Application of the method of averaging to the problems of optimal control over functional-differential equations
We study the application of the method of averaging to the problems of optimal control over functional-differential equations. The procedure of averaging allows us to replace the original problem with the problem of optimal control by a system of ordinary differential equations. It is proved that th...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1551 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507350619652096 |
|---|---|
| author | Koval’chuk, T. V. Kravets, V. I. Mohyl'ova, V. V. Stanzhitskii, A. N. Ковальчук, Т. В. Кравець, В. І. Могильова, В. В. Станжицький, О. М. |
| author_facet | Koval’chuk, T. V. Kravets, V. I. Mohyl'ova, V. V. Stanzhitskii, A. N. Ковальчук, Т. В. Кравець, В. І. Могильова, В. В. Станжицький, О. М. |
| author_sort | Koval’chuk, T. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:03Z |
| description | We study the application of the method of averaging to the problems of optimal control over functional-differential
equations. The procedure of averaging allows us to replace the original problem with the problem of optimal control by a
system of ordinary differential equations. It is proved that the optimal control over the averaged problem is almost optimal
for the exact problem. The optimal control problems are investigated on finite and infinite horizons. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. I. Кравець (Таврiй. держ. агротехнол. ун-т, Мелiтополь),
Т. В. Ковальчук (Київ. нац. торг.-економ. ун-т),
В. В. Могильова (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”),
О. М. Станжицький (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ УСЕРЕДНЕННЯ
ДО ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИМИ РIВНЯННЯМИ
We study the application of the method of averaging to the problems of optimal control over functional-differential
equations. The procedure of averaging allows us to replace the original problem with the problem of optimal control by a
system of ordinary differential equations. It is proved that the optimal control over the averaged problem is almost optimal
for the exact problem. The optimal control problems are investigated on finite and infinite horizons.
Метод усреднения применен к исследованию задач оптимального управления функционально-дифференциальными
уравнениями. Усреднение дает возможность заменить исходную задачу задачей оптимального управления системой
обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказано, что оптимальное управление усредненной задачи является
почти оптимальным для точной. Рассмотрены задачи с конечным и бесконечным горизонтами.
1. Вступ. Нехай h > 0. Позначимо через C = C([ - h, 0];\BbbR d) банахiв простiр неперервних
векторних функцiй, визначених на [ - h, 0], що дiють в \BbbR d iз рiвномiрною нормою \| \varphi \| C =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\theta \in [ - h,0] | \varphi (\theta )| . Через | \cdot | будемо позначати евклiдову норму вектора в евклiдових про-
сторах, а через \| \cdot \| — норму матрицi, узгоджену з нормою вектора.
В данiй роботi для системи функцiонально-диференцiальних рiвнянь
\.x(t) = \varepsilon X(t, xt, u)
\biggl(
\.x(t) =
dx(t)
dt
\biggr)
,
x(t) = \varphi 0(t), t \in [ - h, 0], (1)
розглянуто двi задачi оптимального керування:
1) на скiнченному промiжку iз критерiєм якостi
J1
\varepsilon (u) = \Phi
\biggl(
x
\biggl(
T
\varepsilon
\biggr)
, u
\biggr)
\rightarrow \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}, (2)
2) на нескiнченному промiжку iз критерiєм якостi
J2
\varepsilon (u) =
\infty \int
0
e - \gamma tL(t, x(t))dt\rightarrow \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} . (3)
Тут \varphi \in C — початкова функцiя, \varepsilon > 0 — малий параметр, x \in \BbbR d — фазовий вектор в \BbbR d,
xt = x(t+ \theta ), \theta \in [ - h, 0], u(t) — вектор керування, u(t) \in \scrU \subset \BbbR m, T > 0, \gamma > 0 — фiксованi
сталi.
Керування u(t) вважається допустимим для задачi (1) – (3), якщо:
a1) функцiя u(t) є вимiрною i локально iнтегровною при t \geq 0;
a2) u(t) \in \scrU для t \geq 0;
c\bigcirc В. I. КРАВЕЦЬ, Т. В. КОВАЛЬЧУК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, 2018
206 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ УСЕРЕДНЕННЯ ДО ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 207
a3) для кожного u(t) iснує така стала u0 \in \scrU , що u(t) \rightarrow u0 при t \rightarrow \infty рiвномiрно для
всiх керувань, тобто для довiльного \delta > 0 iснує стала T0 > 0, незалежна вiд u(t), u0 i така,
що для кожного t \geq T0 виконується нерiвнiсть | u(t) - u0| < \delta ;
a4) для функцiонала (3) виконано умову | J\varepsilon (u)| <\infty .
Зазначимо, що умову a3), очевидно, виконано, якщо iснує незалежна вiд u \in F функцiя
\varphi (t) \rightarrow 0, t\rightarrow 0, така, що | u(t) - u0| < \varphi (t).
Множину допустимих керувань задач (1) – (3) позначимо через F, при цьому J1
\varepsilon =
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}u\in F J
1
\varepsilon (u) та J2
\varepsilon = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}u\in F J
2
\varepsilon (u).
Пара (x\ast \varepsilon (t), u
\ast
\varepsilon (t)) є оптимальною для задачi (1) – (3), якщо u\ast \varepsilon — допустиме керування i
J1
\varepsilon (u
\ast
\varepsilon ) = J1
\varepsilon для функцiонала (2), або J2
\varepsilon (u
\ast
\varepsilon ) = J2
\varepsilon для функцiонала (3).
Для кожного елемента \varphi \in C нехай \^\varphi \in C такий, що \^\varphi (t) = \varphi (0) при t \in [ - h, 0]. За
вiдображенням X(t, \varphi , u) : [0,\infty )\times C \times \scrU \rightarrow \BbbR d побудуємо вiдображення Y (t, x, u) : [0,\infty )\times
\times \BbbR d \times \scrU \rightarrow \BbbR d таким чином. Для кожного x \in \BbbR d розглянемо таке \varphi \in C, що \varphi (0) = x. Тодi
Y (t, x, u) = X(t, \^\varphi , u). Очевидно, Y є вже скiнченновимiрним вiдображенням.
Нехай виконано таку умову усереднення:
a5) рiвномiрно по x \in \BbbR d i u \in \scrU iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow \infty
1
s
s\int
0
Y (t, x, u)dt = Y0(x, u). (4)
Задачам оптимального керування (1) – (3) поставимо у вiдповiднiсть усередненi задачi
\.y(t) = \varepsilon Y0(y, u0),
y(0) = \varphi 0(0),
(5)
\=J1
\varepsilon (u0) = \Phi
\biggl(
y
\biggl(
T
\varepsilon
, u0
\biggr) \biggr)
\rightarrow \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}, (6)
\=J2
\varepsilon (u0) =
\infty \int
0
e - \gamma tL(t, y(t))dt\rightarrow \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} . (7)
Цi задачi є вже задачами оптимального керування для систем звичайних диференцiальних
рiвнянь i значно простiшi, нiж початковi задачi (1) – (3). Зазначимо також, що в задачах (5) – (7)
розглядаються сталi керування, що робить їх скiнченновимiрними. Аналогiчно до початкової
задачi позначимо \=J1
\varepsilon = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}u\in F \=J1
\varepsilon (u), а \=J2
\varepsilon = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}u\in F \=J2
\varepsilon (u).
Основним результатом роботи є встановлення того факту, що оптимальне керування u\ast 0(\varepsilon )
усереднених задач є \eta -оптимальним для початкових задач, а саме, для довiльного \eta > 0 iснує
таке \varepsilon 0 > 0, що при всiх 0 < \varepsilon < \varepsilon 0 виконуються нерiвностi\bigm| \bigm| J1
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon )) - J1
\varepsilon
\bigm| \bigm| < \eta ,
\bigm| \bigm| J2
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon )) - J2
\varepsilon
\bigm| \bigm| < \eta
вiдповiдно. Тут, звичайно, \varepsilon 0 i u\ast 0(\varepsilon ) рiзнi для (2) та (3).
Вiдомо, що метод усереднення є одним iз найбiльш поширених методiв аналiзу нелiнiйних
динамiчних систем. Для звичайних диференцiальних рiвнянь вiн був обґрунтований М. М. Бо-
голюбовим [1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
208 В. I. КРАВЕЦЬ, Т. В. КОВАЛЬЧУК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ
У подальшому цей метод узагальнювався на рiзнi класи диференцiальних рiвнянь, напри-
клад iмпульснi [2], функцiонально-диференцiальнi [3 – 6] та iншi.
Метод усереднення виявився також ефективним i для розв’язування задач оптимального
керування. Даним питанням присвячено низку робiт (див., наприклад, [7] i наведену там бiблi-
ографiю).
В роботi [8] розвинено вiдмiнний вiд ранiше вiдомих пiдходiв щодо застосування методу
усереднення до задач оптимального керування, а саме, здiйснювалось усереднення за часом,
що явно входить у правi частини системи. Вважаючи функцiю керування u параметром, далi
при дослiдженнi усередненої задачi розглядали тi ж керування, що i для початкової. В роботi
[9] такий пiдхiд застосовано до функцiонально-диференцiальних рiвнянь.
Дана робота узагальнює результати роботи [9] у двох напрямках: по-перше, усереднена
задача розглядається лише на сталих керуваннях, а по-друге, розглянуто також задачу керування
на пiвосi.
2. Постановка задачi та формулювання основних результатiв. У подальшому для задач
(1) – (3) та вiдповiдних їм усереднених задач (5) – (7) будемо вважати виконаними такi умови:
2.1) вiдображення X(t, \varphi , u) : [0,\infty ] \times C \times \scrU \rightarrow \BbbR d неперервне за сукупнiстю змiнних,
причому функцiя X рiвномiрно неперервна по u \in \scrU , рiвномiрно вiдносно t \geq 0, \varphi \in C;
2.2) X задовольняє за змiнною \varphi умову Лiпшиця, тобто iснує така стала L > 0, що
| X(t, \varphi , u) - X(t, \psi , u)| \leq \| \varphi - \psi \| C ;
2.3) iснує M > 0 таке, що | X(t, 0, u)| \leq M для t \geq 0, u \in \scrU ;
2.4) виконано умову a5);
2.5) функцiя \Phi : \BbbR d \rightarrow \BbbR 1 є рiвномiрно неперервною при x \in \BbbR d;
2.6) функцiя L : [0,\infty )\times \BbbR d \rightarrow \BbbR 1 рiвномiрно неперервна за сукупнiстю аргументiв.
Наступна теорема стосується зв’язку мiж задачами (1), (2) та (5), (6).
Теорема 1. Нехай виконано умови 2.1) – 2.5) та iснує оптимальне керування u\ast 0(\varepsilon ) при
0 < \varepsilon \leq \varepsilon 0 усередненої задачi. Тодi для довiльного \eta > 0 iснує таке \varepsilon 1 = \varepsilon 1(\varepsilon 0, \eta ) > 0, що:
1) J1
\varepsilon > - \infty для довiльного 0 < \varepsilon \leq \varepsilon 1;
2) виконується нерiвнiсть \bigm| \bigm| J1
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon )) - J1
\varepsilon
\bigm| \bigm| \leq \eta , (8)
тобто оптимальне керування усередненої задачi є \eta -оптимальним для точної задачi (1), (2).
Зауваження 1. Якщо в умовах теореми 1 множина значень допустимих керувань \scrU є
компактом в \BbbR m, то оптимальне керування u\ast 0(\varepsilon ) iснує.
Дiйсно, з умов 2.1) – 2.4) випливає, що функцiя Y0(y, u0) неперервна за сукупнiстю змiн-
них та лiпшицева по y, тому функцiя \Phi
\biggl(
y
\biggl(
T
\varepsilon
, u0
\biggr) \biggr)
є неперервною по u0. Тодi iснування
оптимального керування випливає з теореми Вейєрштрасса.
Зауваження 2. Якщо функцiя Y0(y, u0) є неперервно диференцiйовною по y i u0, а функ-
цiя \Phi (z) — неперервно диференцiйовною за змiнною z, то задача (5), (6) є гладкою скiнченно-
вимiрною екстремальною задачею.
Останнє випливає з теореми про гладку залежнiсть розв’язку задачi Кошi вiд параметра.
Отже, оптимальне керування задачi (5), (6) лежить або на межi \scrU , або у внутрiшнiх точках, де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ УСЕРЕДНЕННЯ ДО ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 209
d\Phi
\biggl(
y
\biggl(
T
\varepsilon
, u0
\biggr) \biggr)
du0
= 0.
Останнє рiвняння можна записати у виглядi
\partial \Phi
\partial y
\partial y
\biggl(
T
\varepsilon
, u0
\biggr)
\partial u0
= 0.
Бiльш того,
\partial y
\biggl(
T
\varepsilon
, u0
\biggr)
\partial u0
задовольняє рiвняння у варiацiях
d
dt
\partial y
\biggl(
T
\varepsilon
, u0
\biggr)
\partial u0
= \varepsilon
\partial Y0 (y(t, u0), u0)
\partial y
\partial y(t, u0)
\partial u0
+
\partial Y0 (y(t, u0), u0)
\partial u0
з початковою умовою
\partial y (0, u0)
\partial u0
= 0.
Наступна теорема стосується задач оптимального керування на пiвосi. Для цього систему
(5) запишемо у „повiльному” часi \tau = \varepsilon t:
dy
d\tau
= Y0(y, u0), y(0) = \varphi 0(0), (9)
а умову a5) посилимо до такої умови:
a6) рiвномiрно по t \geq 0, x \in \BbbR d i u \in \scrU iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow \infty
1
s
t+s\int
t
Y0(\xi , x, u)d\xi = Y0(x, u). (10)
Теорема 2. Нехай виконано умови 2.1) – 2.3), 2.6), \mathrm{a}6), а розв’язок задачi Кошi (9) рiвно-
мiрно асимптотично стiйкий по \tau 0 i u0. Тодi якщо iснує оптимальне керування u\ast 0(\varepsilon ) при
0 < \varepsilon \leq \varepsilon 0 усередненої задачi (5) – (7), то для довiльного \eta > 0 iснує \varepsilon 1 = \varepsilon 1(\varepsilon 0, \eta ) > 0 таке,
що:
1) J2
\varepsilon > - \infty для довiльного 0 < \varepsilon < \varepsilon 1;
2) виконується нерiвнiсть \bigm| \bigm| J2
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon )) - J2
\varepsilon
\bigm| \bigm| \leq \eta . (11)
Зауваження 3. Якщо в умовах теореми 2 множина значень допустимих керувань \scrU є
компактом в \BbbR m, то оптимальне керування u\ast 0(\varepsilon ) задачi (5) – (7) iснує. Дiйсно, з умов 2.1) – 2.3)
та a6) випливає, що Y0(y, u0) неперервна за сукупнiстю змiнних, лiпшицева по y i задовольняє
умову лiнiйного зростання. А тому розв’язок задачi Кошi (9) необмежено продовжуваний вправо
i на кожному скiнченному iнтервалi неперервно залежить вiд u0. Тодi i функцiонал J2
\varepsilon (u0)
неперервно залежить вiд u0 за умовою 2.6) i теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
210 В. I. КРАВЕЦЬ, Т. В. КОВАЛЬЧУК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ
3. Леми про усереднення. При доведеннi теорем 1 та 2 ключову роль вiдiграють двi леми,
що є узагальненнями принципу усереднення для функцiонально-диференцiальних рiвнянь на
випадок залежностi правих частин вiд функцiональних параметрiв. Перша лема стосується
скiнченного часового iнтервалу.
Лема 1. Нехай виконано умови 2.1) – 2.4). Тодi для довiльних \eta > 0 i T > 0 iснує \varepsilon 0 =
= \varepsilon 0(\eta , T ) > 0 таке, що для довiльного 0 < \varepsilon < \varepsilon 0 та t \in
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
виконується нерiвнiсть
| x(t, u) - y(t, u0)| \leq \eta (12)
для кожного керування u \in F, а u0 вибрано з умови a3).
Зауваження 4. Оцiнка (12) рiвномiрна за всiма u \in F та \varphi 0(0), тобто \varepsilon 0 не залежить вiд
u та \varphi 0.
Доведення. По-перше, зауважимо, що з умов 2.1) – 2.3) випливає iснування, єдинiсть i
необмежувана продовжуванiсть вправо розв’язку x(t, u) початкової задачi (1). З умови 2.4)
випливає також, що Y0(y, u0) є глобально лiпшицевою по y i задовольняє умову лiнiйного зрос-
тання. Також очевидно, що Y0(y, u0) є неперервною за сукупнiстю змiнних. Отже, i розв’язок
задачi (9) iснує, єдиний i необмежено продовжуваний вправо.
Вiзьмемо тепер довiльне T > 0 i \eta > 0 та зафiксуємо їх. Для \varepsilon > 0 i довiльного u \in F
оцiнимо норму рiзницi мiж розв’язком задачi (1) та системи
\.z = \varepsilon X(t, zt, u0), z(t) = \varphi 0(t), t \in [ - h, 0]. (13)
Тут u0 вибрано для u(t) \in F iз умови a3). Маємо
x(t) - z(t) = \varepsilon
t\int
0
[X(s, xs, u(s)) - X(s, zs, u(s))] ds+
+\varepsilon
t\int
0
[X(s, xs, u(s)) - X(s, zs, u0)] ds. (14)
З умови (8) випливає iснування такого \delta > 0, що при | u - u0| < \delta
| X(t, \varphi , u) - X(t, \varphi , u0)| <
\eta
2T \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ TL\}
(15)
для t \geq 0, \varphi \in C, при цьому \delta не залежить вiд t i \varphi . Виберемо тепер T0 з умови a3) так, щоб
при t \geq T0 виконувалась нерiвнiсть
| u(t) - u0| < \delta . (16)
Очевидно, що
T
\varepsilon
\geq T0 при малих \varepsilon > 0. Далi зазначимо, що стандартними оцiнками з умов
2.2) i 2.3) з використанням леми Гронуолла – Беллмана можна отримати нерiвнiсть
| x(t, u)| + | z(t, u)| + | y(t, u0)| \leq C (17)
при t \in
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
, де стала C залежить лише вiд T, L,M i \varphi 0. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ УСЕРЕДНЕННЯ ДО ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 211
| x(t) - z(t)| \leq \varepsilon L
t\int
0
\| xs - zs\| C ds+ \varepsilon
T0\int
0
| X(s, xs, u(s)) - X(s, xs, u0)| ds+
+\varepsilon
t\int
T0
| X(s, xs, u(s)) - X(s, xs, u0)| ds \leq \varepsilon L
t\int
0
\| xs - zs\| C ds+ \varepsilon T0C1 +
\eta
2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ TL\}
(18)
для деякої сталої C1, незалежної вiд \varepsilon i \eta . Остання оцiнка випливає з (15), (16) та умов 2.2) i
2.3).
Позначимо m(t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}s\in [ - h,t] | x(t) - z(t)| . Тодi з (18) отримуємо
m(t) \leq \varepsilon L
t\int
0
m(s)ds+ \varepsilon T0C1 +
\eta
2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ TL\}
,
звiдки випливає, що
| x(t) - z(t)| \leq \varepsilon T0C1e
LT +
\eta
2
. (19)
Для розв’язкiв задач (13) i (9) з урахуванням результатiв [6] (п. 4.2.1) при 0 < \varepsilon < \varepsilon 1 справ-
джується на
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
оцiнка
| z(t) - y(t)| \leq \eta
2
. (20)
Тодi з (19) i (20) випливає твердження леми 1.
Наступна лема обґрунтовує схему усереднення на пiвосi.
Лема 2. Нехай виконано умови 2.1) – 2.3) та умову a6), а розв’язок y(\tau , u0) задачi (9) рiв-
номiрно асимптотично стiйкий по \tau 0 та u0. Тодi для довiльного \eta > 0 iснує \varepsilon 0 = \varepsilon 0(\eta ) > 0
таке, що при 0 < \varepsilon < \varepsilon 0 для розв’язкiв x(t, u) та y(t, u0) задач (1) i (5) справджується оцiнка
| x(t, u) - y(t, u0)| \leq \eta (21)
для кожного керування u \in F i u0, вибраного з умови a3).
Зауваження 5. Як i в лемi 1, оцiнка (21) рiвномiрна по u \in F та \varphi 0(0).
Доведення. Оскiльки розв’язок y(\tau , u0) усередненої системи (9) рiвномiрно асимптотично
стiйкий, то для \eta iснують такi \delta (\eta ) <
\eta
2
i T (\delta ) > 0, що для довiльного iншого розв’язку
y1(\tau , u0) системи (9) iз нерiвностi
| y(\tau 0, u0) - y1(\tau 0, u0)| < \delta
випливає виконання нерiвностей
| y(\tau , u0) - y1(\tau , u0)| <
\eta
2
при \tau \geq \tau 0,
| y(\tau , u0) - y1(\tau , u0)| <
\delta
2
при \tau \geq \tau 0 + T,
де \delta не залежить вiд \delta 0 i u0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
212 В. I. КРАВЕЦЬ, Т. В. КОВАЛЬЧУК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ
Враховуючи рiвномiрнiсть границi (10) вiдносно t \geq 0, iз леми 1 отримуємо, що за вказани-
ми \delta i T можна вибрати таке \varepsilon 1(\delta , T ), що при 0 < \varepsilon < \varepsilon 1 на вiдрiзку [\tau 0, \tau 0+T ] справедливою
є оцiнка \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x\biggl( T\varepsilon , u
\biggr)
- y (\tau , u0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \delta
2
.
Розглянемо тепер розв’язок yT (\tau , u0) системи (9) такий, що yT (T, u0) = x
\biggl(
T
\varepsilon
, u
\biggl(
T
\varepsilon
\biggr) \biggr)
. Тодi
виконується нерiвнiсть | y(T, u0) - yT (T, u0)| < \delta , з якої випливають нерiвностi
| y(\tau , u0) - yT (\tau , u0)| \leq
\eta
2
при \tau \geq T,
| y(\tau , u0) - yT (\tau , u0)| \leq
\delta
2
при \tau \geq 2T.
Для розв’язкiв x
\Bigl( \tau
\varepsilon
, u
\Bigr)
i yT (\tau , u0) згiдно з лемою 1 виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \bigm| x\Bigl( \tau
\varepsilon
, u
\Bigr)
- yT (\tau , u0)
\bigm| \bigm| \bigm| < \delta
2
при \tau \in [T, 2T ],
отже,\bigm| \bigm| \bigm| x\Bigl( \tau
\varepsilon
, u
\Bigr)
- y(\tau , u0)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| x\Bigl( \tau
\varepsilon
, u
\Bigr)
- yT (\tau , u0)
\bigm| \bigm| \bigm| + | yT (\tau , u0) - y(\tau , u0)| \leq
\delta
2
+
\eta
2
< \eta ,
а при \tau = 2T отримуємо \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x\biggl( 2T
\varepsilon
, u
\biggr)
- y(2T, u0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \delta
2
+
\delta
2
< \delta .
Розглядаючи тепер розв’язок y2T (2T, u0) = x
\biggl(
2T
\varepsilon
, u
\biggl(
2T
\varepsilon
\biggr) \biggr)
i продовжуючи дану процедуру,
завершуємо доведення леми.
4. Доведення теорем. 4.1. Доведення теореми 1. Перше твердження теореми доведемо
вiд супротивного. Якщо це твердження не виконується, то iснує послiдовнiсть \varepsilon n > 0 така, що
\varepsilon n \rightarrow 0 при n\rightarrow \infty ,
J1
\varepsilon n = - \infty . (22)
Тодi для кожного \varepsilon n iснує така послiдовнiсть керувань unm \in F, що
J1
\varepsilon n(u
n
m) \rightarrow - \infty при m\rightarrow \infty . (23)
Нехай xnm(t, unm) та ynm(t, un0m) — розв’язки задач (1) i (5), що вiдповiдають керуванням unm(t)
та un0m. Тут un0m вибрано з умови a3).
Оскiльки для задачi (5), (6) iснує оптимальне керування, то
\=J1
\varepsilon (u
n
0m) \geq \=J\varepsilon n > - \infty .
Зафiксуємо деяке \eta 0 > 0. Тодi з умови 2.4) i леми 1 випливає iснування такого натурального
n0, що при \varepsilon n \leq \varepsilon n0 справджуються оцiнки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ УСЕРЕДНЕННЯ ДО ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 213
\bigm| \bigm| J1
\varepsilon n(u
n
m) - \=J1
\varepsilon n(u
n
0m)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Phi \biggl(
xnm
\biggl(
T
\varepsilon n
, unm
\biggr) \biggr)
- \Phi
\biggl(
ynm
\biggl(
T
\varepsilon n
, un0m
\biggr) \biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \eta 0.
Звiдси отримуємо
J1
\varepsilon n(u
n
m) = \=J1
\varepsilon n(u
n
0m) + J1
\varepsilon n(u
n
m) - \=J1
\varepsilon n(u
n
0m) \geq \=J1
\varepsilon n - \eta 0,
що призводить до суперечностi з (23), а отже, i з (22). Перше твердження теореми доведено.
Доведемо друге твердження теореми. Маємо
J1
\varepsilon \leq J1
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon )) = \=J1
\varepsilon + J1
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon )) - \=J1
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon )).
Згiдно з умовою 2.5) i лемою 1, для довiльного \eta 1 > 0 при достатньо малих \varepsilon > 0 отримуємо
оцiнку
J1
\varepsilon \leq \=J1
\varepsilon + \eta 1. (24)
З означення iнфiмуму також випливає, що для вибраного \eta 1 iснує керування u\eta 1(t, \varepsilon ) \in F з
виконанням нерiвностi
J1
\varepsilon (u\eta 1) < J1
\varepsilon + \eta 1.
Для керування u\eta 1(t, \varepsilon ) позначимо стале керування u\eta 10 (\varepsilon ) з умови a3). Тодi
\=J1
\varepsilon = \=J1
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon )) \leq \=J1
\varepsilon (u
\eta 1
0 (\varepsilon )) + J1
\varepsilon - J1
\varepsilon (u\eta 1) + \eta 1.
Але з умови 2.4) i леми 1 випливає, що при малих \varepsilon > 0\bigm| \bigm| \=J1
\varepsilon (u
\eta 1
0 (\varepsilon )) - J1
\varepsilon (u\eta 1)
\bigm| \bigm| < \eta .
Отже,
\=J1
\varepsilon \leq J1
\varepsilon + 2\eta 1.
З останньої нерiвностi та (24) отримуємо
| \=J1
\varepsilon - J1
\varepsilon | \leq 2\eta 1. (25)
Розглянемо тепер рiзницю\bigm| \bigm| J1
\varepsilon (u
\ast \varepsilon
0 (\varepsilon )) - J1
\varepsilon
\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| J1
\varepsilon (u
\ast \varepsilon
0 (\varepsilon )) - \=J1
\varepsilon
\bigm| \bigm| + | \=J1
\varepsilon - J1
\varepsilon | . (26)
Знову, згiдно з умовою 2.4) i лемою 1, при достатньо малих \varepsilon > 0 перший доданок у (26)
не перевищує \eta 1. Отже, внаслiдок довiльностi \eta 1 i (25), (26) отримуємо друге твердження
теореми.
Теорему 1 доведено.
4.2. Доведення теореми 2. Покажемо, що множина допустимих керувань точної задачi
(1) – (3) непорожня. Дiйсно, нехай u\ast 0(\varepsilon ) — оптимальне керування усередненої задачi (5) – (7).
Покажемо, що воно допустиме для задачi (1) – (3). Для цього достатньо перевiрити виконання
умови a4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
214 В. I. КРАВЕЦЬ, Т. В. КОВАЛЬЧУК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ
Нехай x(t, u\ast 0(\varepsilon )) — розв’язок задачi (1), що вiдповiдає керуванню u\ast 0(\varepsilon ). Тодi з леми 2
випливає, що для довiльного \eta > 0 iснує таке \varepsilon 0 > 0, що при 0 < \varepsilon < \varepsilon 0
| x(t, u\ast 0(\varepsilon )) - y(t, u\ast 0(\varepsilon ))| \leq \eta при t \geq 0.
Внаслiдок умови 2.6) величину | L(t, x(t, u\ast 0(\varepsilon ))) - L(t, y(t, u\ast 0(\varepsilon )))| можна зробити обмеженою
при всiх достатньо малих \varepsilon . Звiдси випливає виконання умови a4).
Перше твердження теореми доведемо вiд супротивного. Нехай iснує послiдовнiсть додатних
\{ \varepsilon n\} така, що \varepsilon n \rightarrow 0 при n\rightarrow \infty , а
J2
\varepsilon n = - \infty . (27)
Тодi для кожного \varepsilon n iснує послiдовнiсть допустимих керувань \{ unm(t)\} така, що
J2
\varepsilon n(u
n
m) \rightarrow \infty при m\rightarrow \infty . (28)
Нехай un0m — сталi керування, що вiдповiдають керуванням unm з умови a3). Позначимо через
xnm = x(t, unm) розв’язок системи (1) при керуваннях unm, а через ynm = y(t, un0m) розв’язок
задачi (5) при керуваннях un0m. За умовами теореми для кожного \varepsilon n iснує оптимальне керування
усередненої задачi (5) – (7). Отже,
\=J2
\varepsilon n(u
n
0m) > \=J2
\varepsilon n > - \infty .
Тодi \bigm| \bigm| J2
\varepsilon n(u
n
m) - \=J2
\varepsilon n(u
n
0m)
\bigm| \bigm| \leq \infty \int
0
e - \gamma t | L(t, xnm) - L(t, ynm)| dt.
Дана величина обмежена незалежною вiд m сталою C1, згiдно з умовою 2.6) i лемою 2:\bigm| \bigm| J2
\varepsilon n(u
n
m) - \=J2
\varepsilon n(u
n
0m)
\bigm| \bigm| \leq C1.
Звiдси отримуємо
J2
\varepsilon n(u
n
m) = \=J2
\varepsilon n(u
n
0m) + J2
\varepsilon n(u
n
m) - \=J2
\varepsilon n(u
n
0m) \geq \=J2
\varepsilon n - C1 > - \infty ,
що призводить до суперечностi з (28), а отже, i з (27). Таким чином, перше твердження теореми
доведено.
Доведемо друге твердження теореми. Нехай u\ast 0(\varepsilon ) — оптимальне керування усередненої
задачi. Позначимо через x(t, u\ast 0(\varepsilon )) розв’язок точної системи (1) при керуваннi u\ast 0(\varepsilon ), а через
y\ast (t, u\ast 0(\varepsilon )) розв’язок усередненої задачi. Тодi
J2
\varepsilon \leq J2
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon )) =
\=J2
\varepsilon + J2
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon )) - \=J2
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon )).
Але \bigm| \bigm| J2
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon )) - \=J2
\varepsilon (u
\ast
0(\varepsilon ))
\bigm| \bigm| \leq \infty \int
0
e - \gamma t | L(t, x(t, u\ast 0(\varepsilon ))) - L(t, y\ast (t, u\ast 0(\varepsilon )))| dt.
З умови 2.6) i леми 2 випливає, що рiзниця в останньому iнтегралi прямує до нуля при \varepsilon \rightarrow 0
i при малих \varepsilon обмежена незалежною вiд \varepsilon сталою. Отже, згiдно з теоремою Лебега про
мажоровану збiжнiсть, для довiльного \eta 1 при достатньо малих \varepsilon > 0 справджується оцiнка
J2
\varepsilon \leq \=J2
\varepsilon + \eta 1.
Подальше доведення аналогiчне доведенню теореми 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ УСЕРЕДНЕННЯ ДО ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 215
Лiтература
1. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике. – Киев: Изд-во АН УССР,
1945. – 150 с.
2. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Вторая теорема Н. Н. Боголюбова для систем дифференциальных уравнений
с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения. – 1974. – 10, № 11. – С. 2001 – 2010.
3. Фодчук В. И. О непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргу-
ментом от параметра // Укр. мат. журн. – 1964. – 16, № 2. – С. 273 – 279.
4. Халанай А. Метод усреднения для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Rev.
math. pures et appl. Acad. RPR. – 1959. – 43. – P. 467 – 483.
5. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1984. – 421 с.
6. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. – Рига: Зинатне, 1989. –
421 с.
7. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. – Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. – 188 с.
8. Nosenko T., Stanzhytskyi О. The averaging metod in some optimal control problems // Nonlinear Oscillations. – 2008. –
11, № 4. – Р. 512 – 519.
9. Грисенко М. В., Кравець В. I. Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування диференцiально-
функцiональними рiвняннями // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. – 2011. – 23, № 2. – С. 35 – 42.
Одержано 27.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1551 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:55Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9f/6f222dad61b55ad96db8700864948b9f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15512019-12-05T09:18:03Z Application of the method of averaging to the problems of optimal control over functional-differential equations Застосування методу усереднення до задач оптимального керування функціонально-диференціальними рівняннями Koval’chuk, T. V. Kravets, V. I. Mohyl'ova, V. V. Stanzhitskii, A. N. Ковальчук, Т. В. Кравець, В. І. Могильова, В. В. Станжицький, О. М. We study the application of the method of averaging to the problems of optimal control over functional-differential equations. The procedure of averaging allows us to replace the original problem with the problem of optimal control by a system of ordinary differential equations. It is proved that the optimal control over the averaged problem is almost optimal for the exact problem. The optimal control problems are investigated on finite and infinite horizons. Метод усреднения применен к исследованию задач оптимального управления функционально-дифференциальными уравнениями. Усреднение дает возможность заменить исходную задачу задачей оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказано, что оптимальное управление усредненной задачи является почти оптимальным для точной. Рассмотрены задачи с конечным и бесконечным горизонтами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1551 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 2 (2018); 206-215 Український математичний журнал; Том 70 № 2 (2018); 206-215 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1551/533 Copyright (c) 2018 Koval’chuk T. V.; Kravets V. I.; Mohyl'ova V. V.; Stanzhitskii A. N. |
| spellingShingle | Koval’chuk, T. V. Kravets, V. I. Mohyl'ova, V. V. Stanzhitskii, A. N. Ковальчук, Т. В. Кравець, В. І. Могильова, В. В. Станжицький, О. М. Application of the method of averaging to the problems of optimal control over functional-differential equations |
| title | Application of the method
of averaging to the problems of optimal control over functional-differential equations |
| title_alt | Застосування методу
усереднення до задач оптимального керування функціонально-диференціальними
рівняннями |
| title_full | Application of the method
of averaging to the problems of optimal control over functional-differential equations |
| title_fullStr | Application of the method
of averaging to the problems of optimal control over functional-differential equations |
| title_full_unstemmed | Application of the method
of averaging to the problems of optimal control over functional-differential equations |
| title_short | Application of the method
of averaging to the problems of optimal control over functional-differential equations |
| title_sort | application of the method
of averaging to the problems of optimal control over functional-differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1551 |
| work_keys_str_mv | AT kovalchuktv applicationofthemethodofaveragingtotheproblemsofoptimalcontroloverfunctionaldifferentialequations AT kravetsvi applicationofthemethodofaveragingtotheproblemsofoptimalcontroloverfunctionaldifferentialequations AT mohyl039ovavv applicationofthemethodofaveragingtotheproblemsofoptimalcontroloverfunctionaldifferentialequations AT stanzhitskiian applicationofthemethodofaveragingtotheproblemsofoptimalcontroloverfunctionaldifferentialequations AT kovalʹčuktv applicationofthemethodofaveragingtotheproblemsofoptimalcontroloverfunctionaldifferentialequations AT kravecʹví applicationofthemethodofaveragingtotheproblemsofoptimalcontroloverfunctionaldifferentialequations AT mogilʹovavv applicationofthemethodofaveragingtotheproblemsofoptimalcontroloverfunctionaldifferentialequations AT stanžicʹkijom applicationofthemethodofaveragingtotheproblemsofoptimalcontroloverfunctionaldifferentialequations AT kovalchuktv zastosuvannâmetoduuserednennâdozadačoptimalʹnogokeruvannâfunkcíonalʹnodiferencíalʹnimirívnânnâmi AT kravetsvi zastosuvannâmetoduuserednennâdozadačoptimalʹnogokeruvannâfunkcíonalʹnodiferencíalʹnimirívnânnâmi AT mohyl039ovavv zastosuvannâmetoduuserednennâdozadačoptimalʹnogokeruvannâfunkcíonalʹnodiferencíalʹnimirívnânnâmi AT stanzhitskiian zastosuvannâmetoduuserednennâdozadačoptimalʹnogokeruvannâfunkcíonalʹnodiferencíalʹnimirívnânnâmi AT kovalʹčuktv zastosuvannâmetoduuserednennâdozadačoptimalʹnogokeruvannâfunkcíonalʹnodiferencíalʹnimirívnânnâmi AT kravecʹví zastosuvannâmetoduuserednennâdozadačoptimalʹnogokeruvannâfunkcíonalʹnodiferencíalʹnimirívnânnâmi AT mogilʹovavv zastosuvannâmetoduuserednennâdozadačoptimalʹnogokeruvannâfunkcíonalʹnodiferencíalʹnimirívnânnâmi AT stanžicʹkijom zastosuvannâmetoduuserednennâdozadačoptimalʹnogokeruvannâfunkcíonalʹnodiferencíalʹnimirívnânnâmi |