Limit theorems for the solutions of boundary-value problems
We study the uniform limit with respect to a parameter for the solutions of a sequence of general boundary-value problems for systems of linear ordinary differential equations of any order on a finite interval. An essential generalization of the Kiguradze theorem (1987) for these problems is obtaine...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1552 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507351588536320 |
|---|---|
| author | Mikhailets, V. A. Pelekhata, O. B. Reva, N. V. Михайлец, В. А. Пелехата, О. Б. Рева, Н. В. Михайлец, В. А. Пелехата, О. Б. Рева, Н. В. |
| author_facet | Mikhailets, V. A. Pelekhata, O. B. Reva, N. V. Михайлец, В. А. Пелехата, О. Б. Рева, Н. В. Михайлец, В. А. Пелехата, О. Б. Рева, Н. В. |
| author_sort | Mikhailets, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:03Z |
| description | We study the uniform limit with respect to a parameter for the solutions of a sequence of general boundary-value problems
for systems of linear ordinary differential equations of any order on a finite interval. An essential generalization of the
Kiguradze theorem (1987) for these problems is obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.927
В. А. Михайлец (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
О. Б. Пелехата, Н. В. Рева (Нац. техн. ун-т Украины „КПИ им. И. Сикорского”)
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
We study the uniform limit with respect to a parameter for the solutions of a sequence of general boundary-value problems
for systems of linear ordinary differential equations of any order on a finite interval. An essential generalization of the
Kiguradze theorem (1987) for these problems is obtained.
Дослiджується границя за параметром у рiвномiрнiй нормi розв’язкiв послiдовностi загальних крайових задач
для систем лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь довiльного порядку на скiнченному iнтервалi. Отримано
iстотне узагальнення теореми I. Т. Кiгурадзе (1987 р.) щодо таких задач.
1. Введение. Предельные теоремы для решений систем обыкновенных дифференциальных
уравнений используются во многих задачах современного анализа и его приложений. Ста-
новление и развитие этого научного направления связано с фундаментальными результатами
известных математиков. Так, И. И. Гихман [1], а позднее М. А. Красносельский и С. Г. Крейн
[2], Я. Курцвейль и З. Ворел [3], А. М. Самойленко [4, 5] доказали ряд важных теорем о ха-
рактере зависимости решений дифференциальных уравнений и систем от параметра. Часть их
связана с обоснованием известного принципа усреднения Н. Н. Боголюбова (см., например,
[6]) в нелинейной механике и характеризуется единой точкой зрения на линейный и нелиней-
ный случаи. Применительно к линейным задачам Коши эти результаты существенно усилены
в работах [8 – 12]. Более сложный случай общих линейных краевых задач исследовал И. Т. Ки-
гурадзе [7]. Эти результаты получили дальнейшее развитие в работах первого из авторов и его
учеников [13 – 15]. Целью данной работы является обобщение результатов [7] применительно
к линейным системам дифференциальных уравнений произвольного порядка. При этом авто-
ры стремились к поиску конструктивных условий, обеспечивающих равномерную сходимость
последовательности решений к решению предельной краевой задачи. Отметим, что подоб-
ные результаты имеют содержательные применения в теории одномерных дифференциальных
операторов с обобщенными функциями в коэффициентах [16 – 18].
2. Постановка задачи. Рассмотрим на конечном интервале (a, b) \subset \BbbR систему m \in \BbbN
линейных дифференциальных уравнений порядка r \in \BbbN
y(r)(t, 0) +Ar - 1(t, 0)y
(n - 1)(t, 0) + . . .+A0(t, 0)y(t, 0) = f(t, 0) (1)
с общими неоднородными краевыми условиями
Bj(0)y(\cdot , 0) = cj(0), j \in \{ 1, 2, . . . , r\} =: [r], (2)
где линейные непрерывные операторы
Bj(0) : C(r - 1) ([a, b];\BbbC m) \rightarrow \BbbC m, j \in [r].
Предполагается, что матрицы-функции Aj - 1(\cdot , 0) принадлежат L ([a, b];\BbbC m\times m) , вектор-функция
f(\cdot , 0) принадлежит L([a, b];\BbbC m), а векторы cj(0) принадлежат \BbbC m.
c\bigcirc В. А. МИХАЙЛЕЦ, О. Б. ПЕЛЕХАТА, Н. В. РЕВА, 2018
216 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 217
Под решением системы дифференциальных уравнений (1) понимается вектор-функция
y(\cdot , 0) \in W r
1 ([a, b];\BbbC m) , которая абсолютно непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими
производными до порядка r - 1 и удовлетворяет векторному уравнению (1) почти всюду. Неод-
нородные краевые условия (2) корректно определены на решениях системы (1) и охватывают
все классические виды краевых условий. Краевая задача (1), (2) является фредгольмовой с нуле-
вым индексом. Поэтому для того чтобы задача была однозначно всюду разрешима, необходимо
и достаточно, чтобы соответствующая однородная краевая задача имела только тривиальное
решение.
Пусть теперь наряду с задачей (1), (2) задана последовательность неоднородных краевых
задач
y(r)(t, n) +Ar - 1(t, n)y
(r - 1)(t, n) + . . .+A0(t, n)y(t, n) = f(t, n) (3)
с краевыми условиями
Bj(n)y(\cdot , n) = cj(n), (4)
где j \in [r], n \in \BbbN , матрицы-функции Aj - 1(\cdot , n), операторы Bj(n), вектор-функции f(\cdot , n) и
векторы cj(n) удовлетворяют приведенным выше условиям для задачи (1), (2).
Пусть решение однородной задачи (1), (2) однозначно определено. Тогда представляют
интерес следующие задачи:
1. При каких условиях на левые части задач (3), (4) ее решения y(\cdot , n) существуют и
единственны при достаточно больших n \in \BbbN ?
2. Какие дополнительные условия на левые и правые части задач (3), (4) гарантируют, что\bigm\| \bigm\| \bigm\| y(j - 1)(\cdot , 0) - y(j - 1)(\cdot , n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\rightarrow 0, n \rightarrow \infty , j \in [r], (5)
где \| \cdot \| \infty — \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}-норма на отрезке [a, b]?
По-видимому, впервые эти вопросы были исследованы И. Т. Кигурадзе [7] применительно к
случаю r = 1. При этом предполагалось, что все функции в задачах являются вещественнознач-
ными. Формулировки этих и некоторых последующих результатов приведены в следующем
пункте.
3. Формулировки результатов. Всюду далее будем считать, не оговаривая этого особо,
что j \in [r], n \in \BbbN \cup \{ 0\} , а все асимптотические соотношения будем рассматривать при n \rightarrow \infty .
Введем некоторые обозначения:
RAj - 1(\cdot , n) := Aj - 1(\cdot , 0) - Aj - 1(\cdot , n) \in L([a, b];\BbbC m\times m),
F (\cdot , n) :=
\left[
f1(\cdot , n) 0 . . . 0
f2(\cdot , n) 0 . . . 0
...
...
. . .
...
fm(\cdot , n) 0 . . . 0
\right] \in L([a, b];\BbbC m\times m),
RF (\cdot , n) := F (\cdot , 0) - F (\cdot , n),
R\vee
F (t, n) :=
t\int
a
RF (s, n)ds, R\vee
Aj - 1
(t, n) :=
t\int
a
RAj - 1(s, n)ds,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
218 В. А. МИХАЙЛЕЦ, О. Б. ПЕЛЕХАТА, Н. В. РЕВА
\| \cdot \| 1 — норма в пространстве Лебега вектор(матриц)-функций на отрезке [a, b].
Для случая r = 1 в работе [7] доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть:
(0) однородная краевая задача (1), (2) имеет только тривиальное решение;
(\mathrm{I}) \| R\vee
Aj - 1
(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0;
(\mathrm{I}\mathrm{I}) \| RAj - 1(\cdot , n)\| 1 = O(1);
(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}) Bj(n)y \rightarrow Bj(0)y, y(\cdot ) \in C(r - 1)([a, b];\BbbC m).
Тогда для достаточно больших n задачи (3), (4) однозначно всюду разрешимы.
Если, кроме того, выполнены условия на правые части задач:
(\mathrm{I}\mathrm{V}) cj(n) \rightarrow cj(0);
(\mathrm{V}) \| R\vee
F (\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0,
то единственные решения задач (1), (2) и (3), (4) удовлетворяют предельному равенству (5).
Примеры показывают, что в теореме Кигурадзе все условия являются существенными и ни
одно из них нельзя опустить. Однако часть условий можно ослабить. В частности, в работе
[13] для случая r = 1 доказана следующая теорема.
Теорема 2. Утверждения теоремы 1 останутся правильными, если заменить условие (\mathrm{I}\mathrm{I})
на более слабое
(\mathrm{I}\mathrm{I})\prime
\bigm\| \bigm\| \bigm\| RAr - 1(\cdot , n)R\vee
Aj - 1
(\cdot , n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\rightarrow 0
и потребовать, чтобы
(\mathrm{V}\mathrm{I}) \| F (\cdot , n)\| 1 = O(1).
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 3. В формулировке теоремы 2 условие (\mathrm{V}\mathrm{I}) можно заменить условием
(\mathrm{V}\mathrm{I})\prime \| RAr - 1(\cdot , n)R\vee
F (\cdot , n)\| 1 \rightarrow 0.
Эта теорема обобщает теорему 1 и дополняет теорему 2.
Из неравенств\bigm\| \bigm\| \bigm\| RAr - 1(\cdot , n)R\vee
Aj - 1
(\cdot , n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq \| RAr - 1(\cdot , n)\| 1 \| R\vee
Aj - 1
(\cdot , n)\| \infty ,\bigm\| \bigm\| RAr - 1(\cdot , n)R\vee
F (\cdot , n)
\bigm\| \bigm\|
1
\leq \| RAr - 1(\cdot , n)\| 1 \| R\vee
F (\cdot , n)\| \infty
следует, что условия (\mathrm{I}\mathrm{I})\prime и (\mathrm{V}\mathrm{I})\prime выполняются, если
\| RAr - 1(\cdot , n)\| 1 \| R\vee
Aj - 1
(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0,
\| RAr - 1(\cdot , n)\| 1 \| R\vee
F (\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0.
Последние условия заведомо выполнены, если \| Ar - 1(\cdot , n)\| 1 = O(1) и выполнены условия (\mathrm{I})
и (\mathrm{V}) теоремы 1. При этом предположения, что
\| Aj - 1(\cdot , n)\| 1 = O(1), j \in [r - 1],
излишни.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 219
4. Доказательство теоремы 3. Сначала рассмотрим случай r = 1. В этом случае краевые
задачи (1), (2) и (3), (4) примут вид
y\prime (t, n) +A0(t, n)y(t, n) = f(t, n), B1(n)y(\cdot , n) = c1(n), (6)
где соответственно n = 0 и n \in \BbbN . Налагаемые на задачи (6) условия теперь можно записать
в виде
(\mathrm{I})
\bigm\| \bigm\| R\vee
A0
(\cdot , n)
\bigm\| \bigm\|
\infty \rightarrow 0;
(\mathrm{I}\mathrm{I})\prime
\bigm\| \bigm\| RA0(\cdot , n)R\vee
A0
(\cdot , n)
\bigm\| \bigm\|
1
\rightarrow 0;
(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}) B1(n)y \rightarrow B1(0)y, y(\cdot ) \in C([a, b];\BbbC m);
(\mathrm{I}\mathrm{V}) c1(n) \rightarrow c1(0);
(\mathrm{V}) \| R\vee
F (\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0;
(\mathrm{V}\mathrm{I})\prime \| RA0(\cdot , n)R\vee
F (\cdot , n)\| 1 \rightarrow 0.
Однозначная всюду разрешимость задачи (3), (4) следует из теоремы 2. Поэтому достаточно
доказать предельное соотношение.
Наряду с исходными неоднородными краевыми задачами (6) относительно вектор-функций
y(\cdot , n) рассмотрим еще три векторные полуоднородные последовательности задач:
z\prime (t, n) +A0(t, n)z(t, n) = 0, B1(n)z(\cdot , n) = c1(n), (7)
x\prime (t, n) +A0(t, n)x(t, n) = f(t, n), x(a, n) \equiv 0, (8)
w\prime (t, n) +A0(t, n)w(t, n) = f(t, n), B1(n)w(\cdot , n) \equiv 0. (9)
Как известно, краевая задача (8) (задача Коши) всегда имеет решение и оно единственно.
Из первой части теоремы 2 следует, что задачи (7) и (9) для достаточно больших n имеют
единственные решения. При n = 0 этот факт следует из предположения (0) и фредгольмовости
с нулевым индексом рассматриваемых задач. Отсюда следует, что при n >> 1
y(\cdot , n) = z(\cdot , n) + w(\cdot , n).
Поэтому для доказательства теоремы 3 достаточно показать, что при ее условиях
\| z(\cdot , 0) - z(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0, (10)
\| w(\cdot , 0) - w(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0. (11)
Асимптотическое равенство (10) следует из второй части теоремы 2.
Лемма 1. Если выполнены предположения (\mathrm{I}), (\mathrm{I}\mathrm{I})\prime , (\mathrm{V}\mathrm{I})\prime , то
\| x(\cdot , 0) - x(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0. (12)
Доказательство. Определим по заданным матрицам-функциям A0(\cdot , n) и F (\cdot , n) блочные
(2m\times 2m) матрицы-функции
AF (\cdot , n) :=
\biggl(
A0(\cdot , n) F (\cdot , n)
0m 0m
\biggr)
, RAF (\cdot , n) := AF (\cdot , 0) - AF (\cdot , n),
R\vee
AF (t, n) :=
t\int
a
RAF (s, n)ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
220 В. А. МИХАЙЛЕЦ, О. Б. ПЕЛЕХАТА, Н. В. РЕВА
Рассмотрим теперь матричные задачи Коши
S\prime (t, n) +AF (t, n)S(t, n) = 0, S(a, n) = I2m. (13)
Тогда
RAF (\cdot , n)R\vee
AF (\cdot , n) =
\biggl(
RA0(\cdot , n)R\vee
A0
(\cdot , n) RA0(\cdot , n)R\vee
F (\cdot , n)
0m 0m
\biggr)
,
откуда в силу предположений (\mathrm{I}\mathrm{I})\prime и (\mathrm{V}\mathrm{I})\prime \bigm\| \bigm\| RAF (\cdot , n)R\vee
AF (\cdot , n)
\bigm\| \bigm\|
1
=
\bigm\| \bigm\| RA0(\cdot , n)R\vee
A0
(\cdot , n)
\bigm\| \bigm\|
1
+
\bigm\| \bigm\| RA0(\cdot , n)R\vee
F (\cdot , n)
\bigm\| \bigm\|
1
\rightarrow 0,
а в силу (\mathrm{I}) \bigm\| \bigm\| R\vee
AF (\cdot , n)
\bigm\| \bigm\|
\infty =
\bigm\| \bigm\| R\vee
A0
(\cdot , n)
\bigm\| \bigm\|
\infty +
\bigm\| \bigm\| R\vee
F (\cdot , n)
\bigm\| \bigm\|
\infty \rightarrow 0.
Отсюда в соответствии с теоремой Левина [10, 11] следует, что
\| S(\cdot , 0) - S(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0. (14)
Рассмотрим теперь последовательность матричных задач
T \prime (t, n) +AF (t, n)T (t, n) = 0, T (a, n) = C \in \BbbC 2m\times 2m. (15)
Решения этих задач можно записать в виде
T (\cdot , n) = S(\cdot , n)C.
Поэтому
\| T (\cdot , 0) - T (\cdot , n)\| \infty = \| (S(\cdot , 0) - S(\cdot , n))C\| \infty \leq \| S(\cdot , 0) - S(\cdot , n)\| \infty \| C\| \rightarrow 0.
Определим для решений x(\cdot , n) = (x1(\cdot , n), x2(\cdot , n), . . . , xm(\cdot , n)) краевых задач (8) матрицы-
функции
X(\cdot , n) :=
\left(
x1(\cdot , n) 0 . . . 0
x2(\cdot , n) 0 . . . 0
...
...
. . .
...
xm(\cdot , n) 0 . . . 0
\right) .
Векторные краевые задачи (8) равносильны матричным задачам
X \prime (t, n) +A0(t, n)X(t, n) = F (t, n), X(a, n) \equiv 0. (16)
Нетрудно убедиться, что решения задач (15) и (16) связаны между собой равенствами
T (\cdot , n) =
\biggl(
X(\cdot , n) 0m
Im 0m
\biggr)
, C \equiv
\biggl(
0m 0m
Im 0m
\biggr)
.
Поэтому из доказанного выше соотношения следует, что
\| x(\cdot , 0) - x(\cdot , n)\| \infty = \| X(\cdot , 0) - X(\cdot , n)\| \infty = \| T (\cdot , 0) - T (\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0.
Лемма 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 221
Лемма 2. В условиях теоремы 3 выполняется предельное равенство (11).
Доказательство. Положим
v(\cdot , n) := x(\cdot , n) - w(\cdot , n).
Тогда вектор-функции v(\cdot , n) являются решениями краевых задач
v\prime (t, n) +A0(t, n)v(t, n) = 0, B1(n)v(\cdot , n) = B1(n)x(\cdot , n) =: \widetilde c1(n).
Но
\| B1(0)x(\cdot , 0) - B1(n)x(\cdot , n)\| \leq \| (B1(0) - B1(n))x(\cdot , 0)\| + \| B1(n)\| \| x(\cdot , 0) - x(\cdot , n)\| \infty . (17)
Первое слагаемое в правой части неравенства (17) стремится к нулю в силу предположения
(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}). Из этого же условия в силу принципа равномерной ограниченности для линейных опе-
раторов следует также, что \| B1(n)\| = O(1). Поэтому из соотношения (12) следует, что левая
часть неравенства (17) стремится к нулю, т. е. \widetilde c1(n) \rightarrow \widetilde c1(0). Но
v(\cdot , n) = Y (\cdot , n) c1(n),
где вектор c1(n) принадлежит \BbbC m и Y (\cdot , n) — матричное решение задачи Коши
Y \prime (t, n) +A0(t, n)Y (t, n) = 0, Y (a, n) = Im,
а векторы c1(n) и \widetilde c1(n) связаны между собой равенством
[B1(n)Y (\cdot , n)] c1(n) = \widetilde c1(n).
Здесь скобки Кигурадзе
[B1(n)Y (\cdot , n)] (18)
обозначают числовую (m\times m)-матрицу, k-й столбец которой совпадает с действием оператора
B1(n) на k-й столбец квадратной матрицы Y (\cdot , n). Из однозначной разрешимости краевых
задач (7) при n >> 1 следует [13], что матрицы (18) обратимы при достаточно больших n и
c1(n) = [B1(n)Y (\cdot , n)] - 1 \widetilde c1(n) \rightarrow [B1(0)Y (\cdot , 0)] - 1 \widetilde c1(0) = c1(0).
Отсюда следует, что
\| v(\cdot , 0) - v(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0. (19)
Поэтому соотношение (11) следует из равенств w(\cdot , n) = x(\cdot , n) - v(\cdot , n) и соотношений
(12), (19).
Лемма 2 доказана, а вместе с ней доказана и теорема 3 для случая r = 1.
Покажем, что случай r \geq 2 может быть редуцирован к случаю r = 1.
Дифференциальные уравнения (1) и (3) порядка r \geq 2 сводятся к системе m\prime = rm диф-
ференциальных уравнений первого порядка
x\prime (t, n) + \widetilde A0(t, n)x(t, n) = \widetilde f(t, n), (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
222 В. А. МИХАЙЛЕЦ, О. Б. ПЕЛЕХАТА, Н. В. РЕВА
если положить
x(\cdot , n) :=
\Bigl(
y(\cdot , n), y\prime (\cdot , n), . . . , y(r - 1)(\cdot , n)
\Bigr)
, \widetilde f(\cdot , n) := (0, . . . , 0, f(\cdot , n)) \in L([a, b];\BbbC rm),
а блочную матрицу-функцию \widetilde A0(\cdot , n) определить равенством
\widetilde A0(\cdot , n) :=
\left[
0m Im 0m . . . 0m
0m 0m Im . . . 0m
...
...
...
. . .
...
0m 0m 0m . . . Im
- A0(\cdot , n) - A1(\cdot , n) - A2(\cdot , n) . . . - Ar - 1(\cdot , n)
\right] . (21)
Каждый из операторов Bj(n) в краевых условиях (2), (4) допускает однозначное представле-
ние [19]
Bj(n)y =
r - 1\sum
l=1
\alpha j,l(n)y
(l - 1)(a) +
b\int
a
[d\Phi j(t, n)] y
(r - 1)(t), (22)
где числовые матрицы \alpha j,l(n) принадлежат \BbbC m\times m, (m\times m)-матрицы-функции \Phi j(\cdot , n) имеют
ограниченную вариацию на [a, b], непрерывны слева на интервале (a, b) и \Phi j(a, n) = 0m, а
интеграл в (22) понимается как интеграл Римана – Стильтьеса.
Определим, исходя из формулы (22), r2 линейных операторов
Bj,l(n) : C(r - 1) ([a, b];\BbbC m) \rightarrow \BbbC m,
полагая для j, l \in [r]
Bj,l(n)y := \alpha j,l(n)y
(l - 1), l \in [r - 1], (23)
Bj,r(n)y :=
b\int
a
[d\Phi j(t, n)] y
(r - 1)(t). (24)
Определим теперь операторы \widetilde B1(n), положив
\widetilde B1(n) :=
\left[ B1,1(n) . . . B1,r(n)
...
. . .
...
Br,1(n) . . . Br,r(n)
\right] , \widetilde c1(n) := (c1(n), . . . , cr(n)) \in \BbbC rm. (25)
Лемма 3 [19]. Неоднородные краевые задачи (1), (2) и (3), (4) эквивалентны неоднородным
краевым задачам для системы дифференциальных уравнений (20) с краевыми условиями\widetilde B1(n)y = \widetilde c1(n), (26)
которые задаются формулами (23) – (25).
Из результатов работы [19] также вытекает следующее утверждение.
Лемма 4. Если для краевых задач вида (1), (2) и (3), (4) выполнены условия теоремы 3, то
задачи вида (20) – (26) также удовлетворяют условиям этой теоремы.
Утверждения теоремы 3 вытекают из лемм 3, 4 и уже доказанного утверждения теоремы
для случая r = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 223
Литература
1. Гихман И. И. По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова // Укр. мат. журн. – 1952. – 4, № 2. — С. 215 – 219.
2. Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // Успехи мат. наук. –
1955. – 10, вып. 3. – С. 147 – 153.
3. Курцвейль Я., Ворел З. О непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра //
Чех. мат. журн. – 1957. – 7, № 4. – С. 568 – 583.
4. Самойленко А. М. Про неперервну залежнiсть розв’язкiв диференцiальних рiвнянь вiд параметра // Доп. АН
УРСР. Сер. А. – 1962. – № 10. – С. 1290 – 1293.
5. Самойленко А. М. Об одном случае непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от
параметра // Укр. мат. журн. – 1962. – 14, № 3. – С. 289 – 298.
6. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.:
Физматгиз, 1958. – 410 с.
7. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Совр. пробл.
математики. Новейшие достижения / ВИНИТИ. — 1987. — 30. — С. 3 – 103.
8. Reid W. T. Some limit theorems for ordinary differential systems // J. Different. Equat. – 1967. – 3, № 3. – Р. 423 – 439.
9. Opial Z. Continuous parameter dependence in linear systems of differential equations // J. Different. Equat. – 1967. –
3. – Р. 571 – 579.
10. Левин А. Ю. Предельный переход для несингулярных систем \.X = An(t)X // Докл. АН СССР. – 1967. – 176,
№ 4. – С. 774 – 777.
11. Левин А. Ю. Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального уравнения. I // Вестн. Ярослав.
ун-та. – 1973. – Вып. 5. – С. 105 – 132.
12. Нгуен Тхе Хоан. О зависимости от параметра решений линейной системы дифференциальных уравнений //
Дифференц. уравнения. – 1993. – 29, № 6. – С. 970 – 975.
13. Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems // Ukr.
Math. J. – 2013. – 65, № 1. — P. 77 – 90.
14. Hnyp Y., Mikhailets V. A., Murach A. A. Parameter-dependent one-dimensional boundary-value problems in Sobolev
spaces // Electron. J. Different. Equat. – 2017. – № 81. – P. 1 – 13.
15. Mikhailets V. A., Murach A. A., Soldatov V. Continuity in a parameter of solutions to generic boundary-value
problems // Electron. J. Qual. Theory Different. Equat. – 2016. – № 87. – P. 1 – 16.
16. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Resolvent convergence of Sturm – Liouville operators with singular potentials //
Math. Notes. – 2010. – 87, № 2. – P. 287 – 292.
17. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by
quasiderivatives // Ukr. Math. J. – 2012. – 63, № 9. – P. 1361 – 1378.
18. Goriunov A. S. Convergence and approximation of the Sturm – Liouville operators with potentials-distributions // Ukr.
Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 680 – 689.
19. Mikhailets V. A., Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-dimensional boundary-value problems // J. Math.
Sci. – 2015. – 204, № 3. – P. 333 – 342.
Получено 30.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1552 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:56Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c4/0cf670d8319257a2f85d59c79cddb8c4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15522019-12-05T09:18:03Z Limit theorems for the solutions of boundary-value problems Предельные теоремы для решений краевых задач Mikhailets, V. A. Pelekhata, O. B. Reva, N. V. Михайлец, В. А. Пелехата, О. Б. Рева, Н. В. Михайлец, В. А. Пелехата, О. Б. Рева, Н. В. We study the uniform limit with respect to a parameter for the solutions of a sequence of general boundary-value problems for systems of linear ordinary differential equations of any order on a finite interval. An essential generalization of the Kiguradze theorem (1987) for these problems is obtained. Дослiджується границя за параметром у рiвномiрнiй нормi розв’язкiв послiдовностi загальних крайових задач для систем лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь довiльного порядку на скiнченному iнтервалi. Отримано iстотне узагальнення теореми I. Т. Кiгурадзе (1987 р.) щодо таких задач. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1552 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 2 (2018); 216-223 Український математичний журнал; Том 70 № 2 (2018); 216-223 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1552/534 Copyright (c) 2018 Mikhailets V. A.; Pelekhata O. B.; Reva N. V. |
| spellingShingle | Mikhailets, V. A. Pelekhata, O. B. Reva, N. V. Михайлец, В. А. Пелехата, О. Б. Рева, Н. В. Михайлец, В. А. Пелехата, О. Б. Рева, Н. В. Limit theorems for the solutions of boundary-value problems |
| title | Limit theorems for the solutions of boundary-value
problems |
| title_alt | Предельные теоремы для решений краевых задач |
| title_full | Limit theorems for the solutions of boundary-value
problems |
| title_fullStr | Limit theorems for the solutions of boundary-value
problems |
| title_full_unstemmed | Limit theorems for the solutions of boundary-value
problems |
| title_short | Limit theorems for the solutions of boundary-value
problems |
| title_sort | limit theorems for the solutions of boundary-value
problems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1552 |
| work_keys_str_mv | AT mikhailetsva limittheoremsforthesolutionsofboundaryvalueproblems AT pelekhataob limittheoremsforthesolutionsofboundaryvalueproblems AT revanv limittheoremsforthesolutionsofboundaryvalueproblems AT mihajlecva limittheoremsforthesolutionsofboundaryvalueproblems AT pelehataob limittheoremsforthesolutionsofboundaryvalueproblems AT revanv limittheoremsforthesolutionsofboundaryvalueproblems AT mihajlecva limittheoremsforthesolutionsofboundaryvalueproblems AT pelehataob limittheoremsforthesolutionsofboundaryvalueproblems AT revanv limittheoremsforthesolutionsofboundaryvalueproblems AT mikhailetsva predelʹnyeteoremydlârešenijkraevyhzadač AT pelekhataob predelʹnyeteoremydlârešenijkraevyhzadač AT revanv predelʹnyeteoremydlârešenijkraevyhzadač AT mihajlecva predelʹnyeteoremydlârešenijkraevyhzadač AT pelehataob predelʹnyeteoremydlârešenijkraevyhzadač AT revanv predelʹnyeteoremydlârešenijkraevyhzadač AT mihajlecva predelʹnyeteoremydlârešenijkraevyhzadač AT pelehataob predelʹnyeteoremydlârešenijkraevyhzadač AT revanv predelʹnyeteoremydlârešenijkraevyhzadač |