Kolmogorov widths and bilinear approximations of the classes of periodic functions of one and many variables
We obtain the exact order estimates for the Kolmogorov widths of the classes $W^g_p$ of periodic functions of one variable generated by the integral operators with kernels $g(x, y)$ from the Nikol’skii – Besov classes $B^r_{p,\theta}$. We also study the behavior of bilinear approximations to the cla...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1553 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507351344218112 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:03Z |
| description | We obtain the exact order estimates for the Kolmogorov widths of the classes $W^g_p$ of periodic functions of one variable generated by the integral operators with kernels $g(x, y)$ from the Nikol’skii – Besov classes $B^r_{p,\theta}$. We also study the
behavior of bilinear approximations to the classes $W^r_{p,\alpha}$ of periodic multivariate functions with bounded mixed derivative
in the spaces $L_{q_1,q_2}$ for some relations between the parameters $r_1, p, q_1, q_2$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Романюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ОДНIЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
We obtain the exact order estimates for the Kolmogorov widths of the classes W g
p of periodic functions of one variable
generated by the integral operators with kernels g(x, y) from the Nikol’skii – Besov classes Br
p,\theta . We also study the
behavior of bilinear approximations to the classes W r
p,\bfitalpha of periodic multivariate functions with bounded mixed derivative
in the spaces Lq1,q2 for some relations between the parameters r1, p, q1, and q2.
Получены точные по порядку оценки колмогоровских поперечников классов периодических функций одной пере-
менной W g
p , порожденных интегральными операторами с ядрами g(x, y), принадлежащими классам Никольско-
го – Бесова Br
p,\theta . Исследовано также поведение билинейных приближений классов W r
p,\bfitalpha периодических функций
многих переменных с ограниченной смешанной производной в пространствах Lq1,q2 для некоторых соотношений
между параметрами r1, p, q1, q2.
1. Вступ. У цiй статтi основну увагу зосереджено на встановленнi точних за порядком оцi-
нок колмогоровських поперечникiв класiв перiодичних функцiй однiєї змiнної, певним чином
пов’язаних iз класами Нiкольського – Бєсова Br
p,\theta перiодичних функцiй двох змiнних. Знайденi
оцiнки цих величин доповнюють результати, отриманi в роботах [1, 2], в яких можна ознайоми-
тися з iсторiєю питання i детальною бiблiографiєю. Крiм цього, ми дослiджуємо наближення
класiв W r
p,\bfitalpha перiодичних функцiй 2d змiнних з обмеженою мiшаною похiдною лiнiйними ком-
бiнацiями добуткiв функцiй d змiнних. Такого виду наближення називають бiлiнiйними. Одер-
жанi в цьому напрямку результати доповнюють оцiнки вiдповiдних величин, якi встановленi в
[3] (гл. 4, § 3).
Нехай \BbbR d — d-вимiрний простiр з елементами \bfx = (x1, . . . , xd), \bfy = (y1, . . . , yd), (\bfx ,\bfy ) =
= x1 y1+. . .+xd yd i Lp(\pi d), \pi d =
\prod d
j=1
[0; 2\pi ) — простiр 2\pi -перiодичних за кожною змiнною
функцiй f(\bfx ), для яких
| | f | | p =
\Biggl(
(2\pi ) - d
\int
\pi d
| f(\bfx )| p d\bfx
\Biggr) 1/p
<\infty , 1 \leq p <\infty ,
| | f | | \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \pi d
| f(\bfx )| <\infty , p = \infty .
Далi будемо вважати, що для функцiй f \in Lp(\pi d), 1 \leq p \leq \infty , виконується додаткова умова
2\pi \int
0
f(\bfx )dxj = 0, j = 1, d,
i множину таких функцiй будемо позначати L0
p(\pi d).
Для векторiв \bfk = (k1, . . . , kd), kj \in \BbbZ , i \bfs = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , j = 1, d, покладемо
\rho (\bfs ) = \{ \bfk : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , j = 1, d\}
i для f \in L0
1(\pi d) позначимо
c\bigcirc А. С. РОМАНЮК, 2018
224 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 225
\delta s(f) := \delta s(f,\bfx ) =
\sum
k\in \rho (s)
\widehat f(\bfk )ei(k,x),
де \widehat f(\bfk ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(\bft )e - i(k,t)d\bft — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Нехай 1 < p < \infty , \bfr = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d. Тодi класи Br
p,\theta означаються таким
чином [4, 5]:
Br
p,\theta =
\left\{ f : \| f\| Br
p,\theta
=
\Biggl( \sum
s
2(s,r)\theta \| \delta s(f)\| \theta p
\Biggr) 1
\theta
\leq 1
\right\}
при 1 \leq \theta <\infty i
Br
p,\infty =
\bigl\{
f : \| f\| Br
p,\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s
2(s,r)\| \delta s(f)\| p \leq 1
\bigr\}
.
Зазначимо, що класи Br
p,\theta є аналогами класiв функцiй, якi були введенi О. В. Бєсовим [6], i
Br
p,\infty \equiv Hr
p , де Hr
p — аналоги класiв, уведених С. М. Нiкольським (див., наприклад, [7], гл. 4,
§ 4.3).
Наведене означення класiв Br
p,\theta можна поширити i на крайнi значення p = 1 i p = \infty ,
видозмiнивши певним чином „блоки” \delta s(f).
Нехай Vl(t), l \in \BbbN , — ядро Валле Пуссена порядку 2l:
Vl(t) = 1 + 2
l\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ 2
2l - 1\sum
k=l+1
\biggl(
1 - k - l
l
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt.
Кожному вектору \bfs = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , j = 1, d, поставимо у вiдповiднiсть полiном
As(\bfx ) =
d\prod
j=1
(V2sj (xj) - V
2sj - 1(xj))
i для f \in L0
1(\pi d) позначимо
As(f) := As(f,\bfx ) = (f \ast As)(\bfx ),
де “\ast ” означає операцiю згортки. Тодi для кожного 1 \leq p \leq \infty , \bfr = (r1, . . . , rd), rj > 0,
j = 1, d, класи Br
p,\theta означаються таким чином:
Br
p,\theta =
\left\{ f : \| f\| Br
p,\theta
=
\Biggl( \sum
s
2(s,r)\theta \| As(f)\| \theta p
\Biggr) 1
\theta
\leq 1
\right\}
при 1 \leq \theta <\infty i
Br
p,\infty =
\bigl\{
f : \| f\| Br
p,\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s
2(s,r)\| As(f)\| p \leq 1
\bigr\}
.
Зазначимо, що зi зростанням параметра \theta класи Br
p,\theta розширюються, тобто
Br
p,1 \subset Br
p,\theta 1 \subset Br
p,\theta 2 \subset Br
p,\infty \equiv Hr
p , (1)
де 1 \leq \theta 1 \leq \theta 2 \leq \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
226 А. С. РОМАНЮК
Результати другої частини роботи стосуються наближення класiв перiодичних функцiй W r
p,\bfitalpha
з обмеженою мiшаною похiдною, тому наведемо їх означення.
Нехай Fr(\bfx ,\bfitalpha ) — багатовимiрнi аналоги ядер Бернуллi, тобто
Fr(\bfx ,\bfitalpha ) = 2d
\sum
k
d\prod
j=1
k
- rj
j \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
kjxj -
\alpha j \pi
2
\Bigr)
, rj > 0, \alpha j \in \BbbR ,
i пiдсумовування проводиться лише за тими векторами \bfk = (k1, . . . , kd), для яких kj > 0,
j = 1, d. Позначимо через W r
p,\bfitalpha (див., наприклад, [3], гл. 2, § 1) клас функцiй f, якi можна
записати у виглядi
f(\bfx ) = \varphi (\bfx ) \ast Fr(\bfx ,\bfitalpha ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
\varphi (\bfy )Fr(\bfx - \bfy ,\bfitalpha )d\bfy ,
де \varphi \in Lp(\pi d), \| \varphi \| p \leq 1.
З детальною iнформацiєю про класи (простори) Br
p,\theta i W r
p,\bfitalpha , а також з iсторiєю їх дослiд-
ження можна ознайомитись у монографiях [3, 4, 7 – 9] i оглядових статтях [5, 10, 11].
У першiй частинi роботи при дослiдженнi колмогоровських поперечникiв функцiональних
класiв використовуються оцiнки найкращих бiлiнiйних наближень класiв Нiкольського – Бєсова
у мiшанiй нормi. Для формулювання вiдповiдного результату введемо необхiднi позначення
i означення, а також вкажемо на iснуючий зв’язок мiж бiлiнiйними наближеннями функцiй i
сингулярними числами вiдповiдних iнтегральних операторiв.
Нехай \bfp = (p1, p2), 1 \leq p1, p2 \leq \infty , i Lp(\pi 2) — множина функцiй f(\bft ), \bft \in \BbbR 2, 2\pi -
перiодичних за обома змiнними зi скiнченними нормами
\| f\| p =
\left( (2\pi ) - 1
2\pi \int
0
\left( (2\pi ) - 1
2\pi \int
0
| f(\bft )| p1dt1
\right)
p2
p1
dt2
\right)
1
p2
при 1 \leq pj <\infty , j = 1, 2, i
\| f\| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \pi 2
| f(\bft )|
при pj = \infty , j = 1, 2.
Зауважимо, що при \bfp = (p, p) \| \cdot \| p,p \equiv \| \cdot \| p, i в такому випадку будемо писати Lp(\pi 2)
замiсть Lp(\pi 2).
Для f \in Lq(\pi 2), \bfq = (q1, q2), означимо найкраще бiлiнiйне наближення порядку M фор-
мулою
\tau M (f)q1,q2 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
ui(x),vi(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x, y) -
M\sum
i=1
ui(x)vi(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,q2
,
де ui \in Lq1 [0; 2\pi ), vi \in Lq2 [0; 2\pi ).
Якщо F \subset Lq(\pi 2) — деякий функцiональний клас, то покладемо
\tau M (F )q1,q2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\tau M (f)q1,q2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 227
Перший результат щодо бiлiнiйних наближень було одержано Е. Шмiдтом [12] при до-
слiдженнi iнтегральних рiвнянь. При цьому виявилось, що наближення функцiй f(x, y) двох
змiнних бiлiнiйними формами у просторi L2([0; 1]
2) пов’язанi з властивостями iнтегральних
операторiв
(Jf\varphi )(x) =
1\int
0
f(x, y)\varphi (y)dy
з ядром f(x, y). Точнiше, Е. Шмiдт одержав розвинення
f(x, y) =
\infty \sum
j=1
sj(Jf )\varphi j(x)\psi j(y),
де \{ sj(Jf )\} \infty j=1 — незростаюча послiдовнiсть сингулярних чисел оператора Jf , тобто sj(Jf ) =
= \lambda j(J
\ast
f Jf ), \{ \lambda j(A)\} \infty j=1 — послiдовнiсть власних чисел оператора A, J\ast
f — оператор, спря-
жений до оператора Jf , а \{ \varphi j(x)\} \infty j=1 i \{ \psi j(y)\} \infty j=1 — ортонормованi системи власних функцiй
операторiв JfJ\ast
f i J\ast
f Jf вiдповiдно.
Крiм цього, Е. Шмiдт встановив рiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x, y) -
M\sum
j=1
sj(Jf )\varphi j(x)\psi j(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2,2
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
uj ,vj\in L2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x, y) -
M\sum
j=1
uj(x)vj(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2,2
,
в якiй вiдображається зв’язок мiж величинами \tau M (f)2,2 i сингулярними числами sj(Jf ) опе-
ратора Jf .
З iншого боку, iснує також тiсний зв’язок мiж сингулярними числами sM (Jf ) i колмогоров-
ськими поперечниками вiдповiдних функцiональних класiв.
Нехай Y — нормований простiр, \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}M (Y ) — сукупнiсть пiдпросторiв Y розмiрностi не
вищої за M i W — деяка опукла i центрально-симетрична пiдмножина в Y. Тодi величина [13]
dM (W,Y ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
LM\in LinM (Y )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y\in LM
\| x - y\| Y
називається колмогоровським поперечником множини W у просторi Y.
Вiдомо (див., наприклад, [14]), що для сингулярних чисел sM+1(Jf ) iнтегрального опера-
тора
(Jf\varphi )(\bfx ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(\bfx ,\bfy )\varphi (\bfy )d\bfy
має мiсце спiввiдношення
sM+1(Jf ) = dM (W f
2 , L2), f \in L2(\pi 2d),
де W f
2 — образ при вiдображеннi Jf одиничної кулi з L2(\pi d) у простiр L2(\pi d).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
228 А. С. РОМАНЮК
2. Колмогоровськi поперечники. У цьому пунктi будемо дослiджувати поведiнку величин
dM (W g
p , Lq), де W g
p — класи 2\pi -перiодичних функцiй \psi (x), якi можна записати у виглядi
\psi (x) = (2\pi ) - 1
2\pi \int
0
g(x, y)\varphi (y)dy, \| \varphi \| p \leq 1,
де функцiї g(x, y) належать класам Br
p,\theta .
Зауважимо, що класи Br
p,\theta є природним узагальненням класiв Br
p,\theta , апроксимативнi харак-
теристики яких у двовимiрному випадку дослiджувались у роботi [15].
Зазначимо також, що колмогоровськi поперечники dM (W g
p , Lq) у випадках, коли функцiї
g(x, y) належать класам W r
p,\bfitalpha або Hr
p, вивчалися В. М. Темляковим [1, 2].
Одержанi результати будемо формулювати в термiнах порядкових спiввiдношень. При цьо-
му для двох невiд’ємних послiдовностей \{ an\} \infty n=1 i \{ bn\} \infty n=1 спiввiдношення (порядкова не-
рiвнiсть) an \ll bn означає, що iснує така стала C > 0 (незалежна вiд n), що an \leq Cbn;
спiввiдношення an \asymp bn рiвносильне тому, що an \ll bn i bn \ll an. Зазначимо, що сталi Ci,
i = 1, 2, . . . , якi далi будуть мiститися в порядкових спiввiдношеннях i, зокрема, в означеннях
функцiй, можуть залежати вiд певних параметрiв. Iнколи ми цю залежнiсть будемо вказувати,
а в iнших випадках вона буде зрозумiлою з контексту.
Для доведення отриманих результатiв нам знадобиться кiлька допомiжних тверджень.
Нехай для компонент векторiв \bfp = (p 1, p 2) i \bfq = (q1, q2) виконанi спiввiдношення 1 \leq
\leq p1 \leq q1 \leq \infty i 1 \leq p 2, q 2 \leq \infty .
Покладемо
\beta (\bfp ,\bfq ) =
\left\{
1
p1
- 1
q1
, 1 \leq p1 \leq q1 \leq 2,
0, 2 \leq p1 \leq q1 \leq \infty ,
1
p1
- 1
2
, 1 \leq p1 < 2 < q1 \leq \infty ,
\bfr (\bfp ,\bfq ) =
\left\{
\biggl(
1
p1
- 1
q1
,
\biggl(
1
p2
- 1
q2
\biggr)
+
\biggr)
, 1 \leq p1 \leq q1 \leq 2,\biggl(
1
p1
,
1
p2
\biggr)
, 2 \leq p1 \leq q1 \leq \infty , q1 > 2,\biggl(
1
p1
,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl(
1
2
,
1
p2
\biggr) \biggr)
, 1 \leq p1 < 2 < q1 \leq \infty ,
де a+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ a, 0\} .
Теорема А [15]. Нехай 1 \leq \theta < \infty , 1 \leq p1 \leq q1 \leq \infty , 1 \leq p2, q2 \leq \infty . Тодi при
\bfr > \bfr (\bfp ,\bfq ) справджується оцiнка
\tau M (Br
p,\theta )q \asymp M - r1 - r2+\beta (p,q).
Зауваження 1. Тут i далi векторнi нерiвностi будемо розумiти покомпонентно.
Теорема Б [1]. Нехай g(x, y) \in Lq1,\infty (\pi 2). Тодi
dM (W g
1 , Lq1) = \tau M (g)q1,\infty , 1 \leq q1 \leq \infty . (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 229
Нехай \bfm = (m1, . . . ,md), v(\bfm ) =
\prod d
j=1
(2mj + 1), mj , j = 1, d, — цiлi невiд’ємнi числа.
Позначимо через T (\bfm ) множину комплекснозначних тригонометричних полiномiв вигляду
t(\bfx ) =
\sum
| kj | \leq mj
j=1,d
cke
i(k,x), \bfk = (k1, . . . , kd).
Теорема В [2]. Нехай \varepsilon > 0 i пiдпростiр \Psi \subset T (\bfm ) такий, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\Psi \geq \varepsilon v(\bfm ). Тодi
знайдеться такий полiном t \subset \Psi , що
\| t\| \infty \leq 1 i \| t\| 2 \geq C1(\varepsilon , d) > 0.
Тепер сформулюємо твердження, яке випливає з вiдомих результатiв.
Теорема 1. Нехай \bfq = (q1,\infty ), 1 \leq p1 \leq q1 \leq \infty , 1 \leq p2 \leq \infty . Тодi при \bfr > \bfr (\bfp ,\bfq )
справджується оцiнка
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in Br
p,\theta
dM (W g
1 , Lq1) \asymp M - r1 - r2+\beta (p,q). (3)
Оцiнка (3) є наслiдком спiввiдношення (2) i теореми А.
Теорема 2. Нехай \bfone \leq \bfp \leq \infty , \bfr > \bfr (\bfp ) =
\biggl( \biggl(
1
p1
- 1
2
\biggr)
+
,
\biggl(
1
p2
- 1
2
\biggr)
+
\biggr)
, 1 \leq \theta < \infty .
Тодi для 2 \leq a \leq \infty , 1 \leq b \leq \infty справджується спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in Br
p,\theta
dM (W g
a , Lb) \asymp M
- r1 - r2+max
\Bigl(
1
p1
,
1
2
\Bigr)
- 1
(4)
з \bfr > \bfr (\bfp ) при 1 \leq b \leq 2 i \bfr > \bfr (\bfp ) +
\biggl(
1
2
, 0
\biggr)
при b > 2.
Доведення. У процесi доведення ми будемо мати на увазi спiввiдношення (1), якi справед-
ливi i в тому випадку, коли в означеннi класiв параметр p замiнено вектором \bfp = (p1, . . . , pd).
Таким чином, оскiльки Br
p,\theta \subset Hr
p, 1 \leq \theta < \infty , то оцiнка зверху в (4) випливає iз спiввiд-
ношення [2]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in Hr
p
dM (W g
a , Lb) \asymp M
- r1 - r2+max
\Bigl(
1
p1
,
1
2
\Bigr)
- 1
.
Для доведення вiдповiдної оцiнки знизу розглянемо два випадки: 1 \leq p1 \leq 2 i 2 < p1 \leq \infty .
У випадку 1 \leq p1 \leq 2 з огляду на вкладення Br
p,1 \subset Br
p,\theta , 1 \leq \theta < \infty , шукану оцiнку
достатньо одержати для деякої функцiї g1(x, y), яка належить класу Br
(p,\infty ),1, а також при
a = \infty i b = 1.
По заданому M пiдберемо число n \in \BbbN у вiдповiдностi з нерiвностями 2n - 1 \leq M \leq 2n i
розглянемо функцiю
g1(x, y) = C2 2
- n
\Bigl(
r1+r2+1 - 1
p1
\Bigr)
V2n(x - y), C2 > 0.
Покажемо, що з вiдповiдною сталою C2 > 0, яка не залежить вiд n, ця функцiя належить класу
Br
(p,\infty ),1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
230 А. С. РОМАНЮК
Маємо
\| g1\| Br
(p,\infty ),1
\asymp 2
- n
\Bigl(
r1+r2+1 - 1
p1
\Bigr) \infty \sum
s1=1
\infty \sum
s2=1
2(s1r1+s2r2) \| A(s1,s2)(V2n(x - y))\| p1,\infty \asymp
\asymp 2
- n
\Bigl(
r1+r2+1 - 1
p1
\Bigr) n+1\sum
s1=1
n+1\sum
s2=1
2(s1r1+s2r2)\| A(s1,s2)(V2n(x - y))\| p1,\infty \leq
\leq 2
- n
\Bigl(
r1+r2+1 - 1
p1
\Bigr) n+1\sum
s1=1
n+1\sum
s2=1
2(s1r1+s2r2)\| A(s1,s2)(x, y)\| 1,1\times
\times \| V2n(x - y)\| p1,\infty \leq 2
- n
\Bigl(
r1+r2+1 - 1
p1
\Bigr) n+1\sum
s1=1
2s1r1
n+1\sum
s2=1
2s2r2\| V2n(x)\| p1 \asymp
\asymp 2
- n
\Bigl(
r1+r2+1 - 1
p1
\Bigr)
2n(r1+r2) 2
n
\Bigl(
1 - 1
p1
\Bigr)
= C3(r1, r2, p1).
Звiдси випливає, що g1 \in Br
(p,\infty ),1.
Нехай далi T (M)\infty — множина тригонометричних полiномiв t порядку M таких, що
\| t\| \infty \leq 1. Позначимо через \widetilde W g1
\infty множину функцiй \widetilde \psi (x), якi мають вигляд
\widetilde \psi (x) = (2\pi ) - 1
2\pi \int
0
g1(x, y)\varphi (y)dy,
де \varphi \in T (M)\infty .
Для оцiнки поперечника dM (\widetilde W g1
\infty , L1) скористаємось оцiнкою
dM (T (M)\infty , L1) \geq C4 > 0, (5)
яка легко отримується з теореми В.
Дiйсно, розглянемо деяку систему функцiй \{ ui\} Mi=1 i означимо пiдпростiр \Psi \subset T (M):
\Psi = \{ t \in T (M) : (t, ui) = 0, i = 1,M\} .
Тодi \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\Psi \geq M, i згiдно з теоремою В знайдеться елемент f \in \Psi такий, що
\| f\| \infty \leq 1 i \| f\| 2 \geq C5 > 0.
Тому для u \in \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n} \{ ui\} Mi=1 будемо мати
C2
5 \leq (f, f) = (f - u, f) \leq \| f - u\| 1\| f\| \infty \leq \| f - u\| 1.
Звiдси випливає оцiнка (5).
Таким чином, використавши (5), можемо записати
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in Br
(p1,\infty ),1
dM (W g
\infty , L1) \geq dM (\widetilde W g1
\infty , L1) \asymp 2
- n
\Bigl(
r1+r2+1 - 1
p1
\Bigr)
dM (T (M)\infty , L1) \gg
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 231
\gg 2
- n
\Bigl(
r1+r2+1 - 1
p1
\Bigr)
\asymp M
- r1 - r2 - 1+
1
p1 .
Оцiнку знизу у випадку 1 \leq p1 \leq 2 доведено.
Нехай тепер p1 \in (2,\infty ]. Легко бачити, що в цьому випадку шукану оцiнку достатньо
одержати для \bfp = (\infty ,\infty ), \theta = 1, a = \infty , b = 1.
По заданому M пiдберемо n \in \BbbN з нерiвностей 2n+1 \leq 5M \leq 2n+2 i розглянемо функцiю
g2(x, y) = C62
- n
\Bigl(
r1+r2+
1
2
\Bigr)
R5M (x - y), C6 > 0,
де
R5M (u) =
5M\sum
k=1
\varepsilon k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ku, \varepsilon k = \pm 1,
— полiноми Рудiна – Шапiро (див., наприклад, [16, с. 153]), для яких справджується спiввiдно-
шення
\| R5M\| \infty \ll M
1
2 . (6)
Покажемо, що функцiя g2(x, y) з деякою сталою C6 > 0 належить класу Br
\infty ,1. Маємо
\| R5M (x - y)\| Br
\infty ,1
=
\infty \sum
s1=1
\infty \sum
s2=1
2(s1r1+s2r2)\| A(s1,s2)(R5M (x - y))\| \infty =
=
\infty \sum
s1=1
\infty \sum
s2=1
2(s1r1+s2r2)\| A(s1,s2)(x, y) \ast R5M (x - y)\| \infty \leq
\leq
n+2\sum
s1=1
n+2\sum
s2=1
2(s1r1+s2r2)\| A(s1,s2)(x, y)\| 1\| R5M (x - y)\| \infty \ll
\ll 2n(r1+r2)M
1
2 \asymp 2n(r1+r2+
1
2).
Звiдси випливає, що g2 \in Br
\infty ,1.
Нехай далi \frakL M — довiльний пiдпростiр iз L1 розмiрностi M, а \scrU — лiнiйна оболонка
\{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kmx, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kmx\} N1
m=1, де \{ km\} N1
m=1 = \Theta N1 — множина iндексiв, для яких \varepsilon km = - 1. Множину
решти iндексiв km, якi мiстяться в R5M (u), позначимо через \Theta N2 . Тодi згiдно зi спiввiдношен-
ням (6) будемо мати
N1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
km\in \Theta N1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kmx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
5M\sum
k=1
\varepsilon k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx -
\sum
km\in \Theta 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kmx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
5M\sum
k=1
\varepsilon k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
km\in \Theta N2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kmx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
= N2 +O(M
1
2 ). (7)
Легко бачити, що i для N2 має мiсце аналогiчна оцiнка, тобто
N2 \leq N1 +O(M
1
2 ). (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
232 А. С. РОМАНЮК
Таким чином, згiдно з (7) i (8) можемо вважати, що
N1 =
5
2
M +O(M
1
2 ),
i тому починаючи з деякого M0 для всiх M \geq M0 будемо мати
N1 \leq 3M.
Далi розглянемо пiдпростiр \Psi вигляду
\Psi = T (5M) \cap U \cap \frakL \bot
M ,
при цьому \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\Psi \geq M.
Тодi згiдно з теоремою В знайдеться тригонометричний полiном t \in T (5M)\infty такий, що
\| t\| 2 \gg 1 i, крiм цього, для u \in U i \tau \in \frakL M будуть виконанi спiввiдношення
(\tau , t) = (u, t) = 0. (9)
Таким чином, для полiнома t можемо записати
(Jg2t)(x) = (2\pi ) - 1
2\pi \int
0
g2(x, y)t(y)dy = C7M
- r1 - r2 - 1
2 t(x). (10)
Тепер розглянемо наближення Jg2t елементами пiдпростору \frakL M . Нехай \tau \in \frakL M . Тодi, з
одного боку, з урахуванням спiввiдношення (10) i рiвностей (9) будемо мати
I = (Jg2t - \tau , t) = C7M
- r1 - r2 - 1
2 \| t\| 2 - (\tau , t) \gg M - r1 - r2 - 1
2 , (11)
а з iншого — виконуються нерiвностi
I \leq | (Jg2t - \tau , t) | \leq \| Jg2t - \tau \| 1 . (12)
Спiвставляючи (11) i (12), приходимо до шуканої оцiнки й у випадку p1 \in (2,\infty ].
Теорему 2 доведено.
Прокоментуємо результат теореми 2, спiвставивши його з оцiнкою сингулярних чисел
sM (Jg) iнтегральних операторiв Jg, якi одержанi в роботi [ 17 ]. При цьому для зручностi
наведемо вiдповiдне твердження у частковому випадку, а саме при d = 1 i певних обмеженнях
на вектор \bfp i параметр \theta .
Теорема Г. Нехай \bftwo \leq \bfp \leq \infty , 2 \leq \theta < \infty , \bfr > \bfzero . Тодi для класу функцiй двох змiнних
Br
p,\theta справджується оцiнка
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in Br
p,\theta
sM (Jg) \asymp M - r1 - r2 - 1
2 . (13)
Таким чином, порiвнявши (13) з результатом теореми 2, приходимо до такого висновку.
Нехай \bftwo \leq \bfp \leq \infty , 2 \leq \theta <\infty , 2 \leq a \leq \infty . Тодi при 1 \leq b \leq 2 i \bfr > \bfzero або при 2 < b <\infty
i r1 >
1
2
, r2 > 0 має мiсце спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in Br
p,\theta
sM (Jg) \asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in Br
p,\theta
dM (W g
a , Lb) \asymp M - r1 - r2 - 1
2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 233
3. Найкращi бiлiнiйнi наближення. У цiй частинi роботи встановимо деякi оцiнки, що
стосуються найкращих бiлiнiйних наближень класiв W r
p,\bfitalpha . Iншими словами, одержимо точнi
за порядком оцiнки величин
\tau M (W r
p,\bfitalpha )q1,q2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
p,\bfitalpha
\tau M (f(x - y))q1,q2 (14)
за умови, що f(\bfx ) \in W r
p,\bfitalpha , \bfx ,\bfy \in \BbbR d.
Зазначимо, що величини (14), а також їхнi аналоги для класiв Hr
p i Br
p,\theta дослiджувалися
в роботах [2, 18 – 21], у яких можна ознайомитися з iсторiєю питання i бiльш детальною
бiблiографiєю.
Перш нiж перейти до формулювання i доведення одержаного результату, наведемо одну
вiдому оцiнку величини \tau M (W r
p,\bfitalpha )q1,q2 .
Теорема Д [3, с. 96]. Нехай 1 < p \leq 2 \leq q1 < \infty , 1 \leq q2 \leq \infty . Тодi при r1 >
2
p
- 1
2
справджується спiввiдношення
\tau M (W r
p,\bfitalpha )q1,q2 \asymp M
- r1+
1
p -
1
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)
r1 - 2
p+1
. (15)
Зауваження 2. Тут i далi будемо вважати, що координати вектора \bfr = (r1, . . . , rd) упоряд-
ковано таким чином: 0 < r1 = . . . = r\nu < r\nu +1 \leq . . . \leq rd.
Зазначимо також, що оцiнку знизу в (15) було отримано при r1 >
1
p
- 1
2
.
Крiм спiввiдношення (15) нам знадобляться оцiнки ще однiєї апроксимативної характерис-
тики.
Нехай F \subset Lq(\pi d) — деякий функцiональний клас. Тодi позначимо
eM (F )q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
kj ,cj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(\cdot ) -
M\sum
j=1
cje
i(kj ,\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
, (16)
де \{ \bfk j\} Mj=1 — система векторiв \bfk j = (kj1, . . . , k
j
d) з цiлочисловими координатами, а cj , j = 1,M,
— довiльнi комплекснi числа. Величина (16) називається найкращим M -членним тригономет-
ричним наближенням класу F у просторi Lq.
З iсторiєю дослiдження величин eM (F )q для рiзноманiтних функцiональних класiв можна
ознайомитись у роботах [10, 22 – 24] i монографiях [3, 9].
Справедливим є таке твердження.
Теорема 3. Нехай 1 < p \leq 2 \leq q1 < \infty , 1 \leq q2 \leq \infty . Тодi при r1 >
1
p
має мiсце
спiввiдношення
\tau M (W r
p,\bfitalpha )q1,q2 \asymp M
- r1+
1
p -
1
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)
r1 - 2
p+1
. (17)
Доведення. Оцiнка знизу в (17) є наслiдком оцiнки величини \tau M (W r
p,\bfitalpha )2,1, яку встановлено
в [3] при r1 >
1
p
- 1
2
.
При доведеннi вiдповiдної оцiнки зверху скористаємось спiввiдношенням [23]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
234 А. С. РОМАНЮК
eM (W r
p,\bfitalpha )q1 \asymp M
- r1+
1
p -
1
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)
r1 - 2
p+1
, (18)
1 < p \leq 2 < q1 <\infty , r1 >
1
p
.
Таким чином, згiдно з (18) для довiльної функцiї f(\bfx ) з класу W r
p,\bfitalpha знайдуться множини
векторiв \bfk 1, . . . ,\bfk M , \bfk j = (kj1, . . . , k
j
d), k
j
m \in \BbbZ , m = 1, d, i чисел c1, . . . , cM таких, що\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(\bfx ) -
M\sum
j=1
cje
i(kj ,x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1
\ll M
- r1+
1
p -
1
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)
r1 - 2
p+1
. (19)
З iншого боку, для лiвої частини (19) можемо записати\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(\bfx ) -
M\sum
j=1
cje
i(kj ,x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(\bfx - \bfy ) -
M\sum
j=1
cje
i(kj ,(x - y))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,\infty
=
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(\bfx - \bfy ) -
M\sum
j=1
cje
i(kj ,x) e - i(kj ,y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,\infty
. (20)
Спiвставивши (19) i (20), будемо мати\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(\bfx - \bfy ) -
M\sum
j=1
cje
i(kj ,x) e - i(kj ,y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,\infty
\ll M
- r1+
1
p -
1
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)
r1 - 2
p+1
. (21)
Тепер поклавши у (21) cjei(k
j ,x) = uj(\bfx ) i e - i(kj ,y) = vj(\bfy ), отримаємо шукану оцiнку.
Теорему 3 доведено.
Насамкiнець наведемо твердження щодо оцiнки величини \tau M (W r1
1,\alpha )q1,q2 в одновимiрному
випадку.
Теорема 4. Нехай d = 1, 2 < q1 <\infty , 1 \leq q2 \leq \infty . Тодi при r1 > 1 справджується оцiнка
\tau M (W r1
1,\alpha )q1,q2 \asymp M - r1+
1
2 . (22)
Доведення. Оцiнка зверху в (22) випливає зi спiввiдношення [22]
eM (W r1
1,\alpha )q1 \asymp M - r1+
1
2 .
Вiдповiдну оцiнку знизу одержано в [3] (гл. 4, § 3).
Теорему 4 доведено.
Зауваження 3. Питання про порядок величин \tau M (W r
1,\bfitalpha )q1,q2 , 2 < q1 < \infty , 1 \leq q2 \leq \infty ,
при d \geq 2 залишається вiдкритим.
Лiтература
1. Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений функций двух переменных и некоторые их
приложения // Мат. сб. – 1987. – 134(176), № 1(9). – С. 93 – 107.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ I БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ . . . 235
2. Темляков В. Н. Билинейная аппроксимация и близкие вопросы // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1992. – 194. – С. 229 –
248.
3. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 1 – 112.
4. Аманов Т. И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. – Алма-
Ата: Наука, 1976. – 224 с.
5. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – С. 143 – 161.
6. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения //
Докл. АН СССР. – 1959. – 126, № 6. – С. 1163 – 1165.
7. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 с.
8. Бесов О. И., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. – М.:
Наука, 1975. – 480 с.
9. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 с.
10. Ding D., Temlyakov V. N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation // arXiv: 1601.03978v2 [math. NA] 2 Dec.
2016.
11. Теляковский С. А. О работах по теории приближения функций, выполненных в МИАНе // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1988. – 182. – С. 128 – 179.
12. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I // Math. Ann. – 1907. – 63, № 4. –
S. 433 – 476.
13. Kolmogoroff A. Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse // Ann. Math. – 1936. –
37, № 1. – P. 107 – 111.
14. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. – М.: Наука, 1965.
15. Романюк А. С., Романюк В. С. Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных
приближений классов функций нескольких переменных // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 4. – С. 536 – 551.
16. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 496 с.
17. Романюк А. С., Романюк В. С. Оценки наилучших билинейных приближений классов Br
p,\theta и сингулярных
чисел интегральных операторов // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 9. – С. 1240 – 1250.
18. Темляков В. Н. Приближение периодических функций многих переменных комбинациями функций, зависящих
от меньшего числа переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1986. – 173. – С. 243 – 252.
19. Романюк А. С. О наилучшей тригонометрической и билинейной аппроксимации классов Бесова функций
многих переменных // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 8. – С. 1097 – 1111.
20. Романюк А. С. Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова Br
p,\theta периодических функций
многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2006. – 70, № 2. – С. 69 – 98.
21. Романюк А. С., Романюк В. С. Наилучшие билинейные приближения классов функций многих переменных //
Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 12. – С. 1681 – 1699.
22. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах гладких периодических функций //
Мат. сб. – 1987. – 132, № 1. – С. 20 – 27.
23. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах периодических функций с огра-
ниченной смешанной производной // Исследования по теории функций многих вещественных переменных. –
Ярославль: Ярослав. ун-т, 1988. – С. 16 – 33.
24. Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения классов Бесова периодических
функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. – С. 61 – 100.
Одержано 13.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1553 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:56Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/47/3b73892165cd41accc2f561a885b7b47.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15532019-12-05T09:18:03Z Kolmogorov widths and bilinear approximations of the classes of periodic functions of one and many variables Колмогоровські поперечники і білінійні наближення класів періодичних функцій однієї та багатьох змінних Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. We obtain the exact order estimates for the Kolmogorov widths of the classes $W^g_p$ of periodic functions of one variable generated by the integral operators with kernels $g(x, y)$ from the Nikol’skii – Besov classes $B^r_{p,\theta}$. We also study the behavior of bilinear approximations to the classes $W^r_{p,\alpha}$ of periodic multivariate functions with bounded mixed derivative in the spaces $L_{q_1,q_2}$ for some relations between the parameters $r_1, p, q_1, q_2$. Получены точные по порядку оценки колмогоровских поперечников классов периодических функций одной переменной $W^g_p$ , порожденных интегральными операторами с ядрами $g(x, y)$, принадлежащими классам Никольского – Бесова $B^r_{p,\theta}$. Исследовано также поведение билинейных приближений классов $W^r_{p,\alpha}$ периодических функций многих переменных с ограниченной смешанной производной в пространствах $L_{q_1,q_2}$ для некоторых соотношений между параметрами $r_1, p, q_1, q_2$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1553 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 2 (2018); 224-235 Український математичний журнал; Том 70 № 2 (2018); 224-235 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1553/535 Copyright (c) 2018 Romanyuk A. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Kolmogorov widths and bilinear approximations of the classes of periodic functions of one and many variables |
| title | Kolmogorov widths and bilinear approximations of the classes of periodic
functions of one and many variables |
| title_alt | Колмогоровські поперечники і білінійні наближення класів періодичних
функцій однієї та багатьох змінних |
| title_full | Kolmogorov widths and bilinear approximations of the classes of periodic
functions of one and many variables |
| title_fullStr | Kolmogorov widths and bilinear approximations of the classes of periodic
functions of one and many variables |
| title_full_unstemmed | Kolmogorov widths and bilinear approximations of the classes of periodic
functions of one and many variables |
| title_short | Kolmogorov widths and bilinear approximations of the classes of periodic
functions of one and many variables |
| title_sort | kolmogorov widths and bilinear approximations of the classes of periodic
functions of one and many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1553 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas kolmogorovwidthsandbilinearapproximationsoftheclassesofperiodicfunctionsofoneandmanyvariables AT romanûkas kolmogorovwidthsandbilinearapproximationsoftheclassesofperiodicfunctionsofoneandmanyvariables AT romanyukas kolmogorovsʹkípoperečnikiíbílíníjnínabližennâklasívperíodičnihfunkcíjodníêítabagatʹohzmínnih AT romanûkas kolmogorovsʹkípoperečnikiíbílíníjnínabližennâklasívperíodičnihfunkcíjodníêítabagatʹohzmínnih |