Asymptotic $Σ$-solutions to singularly perturbed Benjamin – Bona – Mahony equation with variable coefficients
We study the problem of construction of asymptotic $\Sigma$ -solutions to the singularly perturbed Benjamin – Bona – Mahony equation with variable coefficients. An algorithm for the construction of solutions is described. We determine main and first terms of the asymptotic solution. The theorems on...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1554 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507352930713600 |
|---|---|
| author | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. |
| author_facet | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. |
| author_sort | Samoilenko, V. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:03Z |
| description | We study the problem of construction of asymptotic $\Sigma$ -solutions to the singularly perturbed Benjamin – Bona – Mahony equation with variable coefficients. An algorithm for the construction of solutions is described. We determine main and
first terms of the asymptotic solution. The theorems on the accuracy with which the indicated asymptotic solution satisfies
the considered equation are also proved. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. Г. Самойленко, Ю. I. Самойленко (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
АСИМПТОТИЧНI \bfSigma -РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ
BENJAMIN – BONA – MAHONY ЗI ЗМIННИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
We study the problem of construction of asymptotic \Sigma -solutions to the singularly perturbed Benjamin – Bona – Mahony
equation with variable coefficients. An algorithm for the construction of solutions is described. We determine main and
first terms of the asymptotic solution. The theorems on the accuracy with which the indicated asymptotic solution satisfies
the considered equation are also proved.
Рассматривается задача о построении асимптотических \Sigma -решений сингулярно возмущенного уравнения Benjamin –
Bona – Mahony с переменными коэффициентами. Описан алгоритм построения асимптотических \Sigma -решений, най-
дены главный и первый члены асимптотического решения, доказаны теоремы о точности, с которой такое асимп-
тотическое решение удовлетворяет рассматриваемому уравнению.
1. Вступ. Рiвняння Кортевега – де Фрiза [1] є одним iз важливих нелiнiйних диференцiальних
рiвнянь сучасної математики i фiзики. Запропоноване для опису явища вiдокремленої хвилi
у 1895 роцi, воно стало об’єктом iнтенсивних дослiджень в 60-х роках минулого столiття у
зв’язку з проблемою Фермi – Паста – Улама i вiдкриттям методу оберненої задачi розсiюван-
ня [2 – 5], який не лише дозволив знайти новi точнi розв’язки рiвняння Кортевега – де Фрiза,
а й став одним з основних методiв вивчення та побудови в аналiтичному виглядi розв’язкiв
низки нелiнiйних диференцiальних рiвнянь теоретичної i математичної фiзики [6 – 12], зокрема,
таких як нелiнiйне рiвняння Шредiнгера, модифiковане рiвняння Кортевега – де Фрiза, рiвняння
Кадомцева – Петвiашвiлi.
Одночасно з дослiдженням рiвняння Кортевега – де Фрiза за допомогою рiзноманiтних мето-
дiв i пiдходiв проводився iнтенсивний пошук нових диференцiальних рiвнянь i систем рiвнянь,
розв’язки яких описували б поширення хвиль у рiдинах, i при цьому такi рiвняння мали б
властивостi, що подiбнi до властивостей рiвняння Кортевега – де Фрiза.
Як наслiдок в теорiї рiвнянь математичної фiзики сформувався окремий напрям, що вивчає
рiвняння, подiбнi до рiвняння Кортевега – де Фрiза, серед яких важливу роль вiдiграє рiвняння
Benjamin – Bona – Mahony (BBM)
ut + ux + uux - uxxt = 0. (1)
Рiвняння (1) запропонував D. H. Peregrine [13] у 1966 роцi. Згодом це рiвняння вивчали
T. B. Benjamin, J. L. Bona, J. J. Mahony, якi вперше встановили [14] iснування класичного
розв’язку для даного рiвняння та його єдинiсть. Згодом для рiвняння BBM вивчалися й iншi
задачi. Спочатку основним iнструментом дослiдження рiвняння (1) були чисельнi методи, за
допомогою яких було встановлено [15 – 21] низку цiкавих властивостей його розв’язкiв. Зокре-
ма, в [20, 21] було отримано чисельнi результати, якi дозволили припустити, що рiвняння
BBM має двосолiтонний розв’язок, тобто має властивiсть, що аналогiчна властивостям рiвнян-
ня Кортевега – де Фрiза. Тому цiлком природно, що у подальшому проводився iнтенсивний
пошук багатосолiтонних розв’язкiв даного рiвняння. Але гiпотезу про iснування багатосолiтон-
них розв’язкiв для рiвняння BBM було спростовано, тобто було показано, що рiвняння (1) має
односолiтонний розв’язок вигляду
c\bigcirc В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО, 2018
236 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
АСИМПТОТИЧНI \Sigma -РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 237
u(x, t) = 3(a - 1) \mathrm{c}\mathrm{h} - 2
\Biggl(
1
2
\sqrt{}
a - 1
a
(x - at) + C
\Biggr)
, (2)
де a = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, | a| > 1, C \in \bfR — довiльна стала, але це рiвняння не має багатосолiтонних
розв’язкiв (див. [22, c. 649]).
Як вiдомо, ефективними методами аналiзу нелiнiйних задач є асимптотичнi методи, якi
успiшно використовуються при дослiдженнi рiзноманiтних задач сучасної математики, фiзики
та математичного моделювання [23, 24]. Зокрема, впродовж останнiх 50-ти рокiв значна увага
придiляється вивченню рiвняння Кортевега – де Фрiза з малим збуренням [25 – 32] та побудовi їх
асимптотичних розв’язкiв. При цьому в якостi асимптотичних розв’язкiв цього рiвняння часто
розглядаються розв’язки, якi за певними своїми властивостями подiбнi до так званих солiтон-
них розв’язкiв. Зокрема, у [33 – 35] детально вивчено структуру таких розв’язкiв, розроблено
алгоритми їх побудови i наведено обґрунтування запропонованих алгоритмiв.
У [36] побудовано асимптотичнi однофазовi солiтоноподiбнi розв’язки сингулярно збуре-
ного рiвняння BBM зi змiнними коефiцiєнтами
a(x, t, \varepsilon )ut + b(x, t, \varepsilon )ux + c(x, t, \varepsilon )uux - \varepsilon nuxxt = 0, (x, t) \in \bfR \times [0;T ], (3)
де \varepsilon > 0 — малий параметр, n \in \bfN , функцiї a(x, t, \varepsilon ), b(x, t, \varepsilon ), c(x, t, \varepsilon ) є гладкими або
нескiнченно диференцiйовними i записуються у виглядi асимптотичних (за Пуанкаре) рядiв
a(x, t, \varepsilon ) =
N\sum
k=0
\varepsilon kak(x, t) +O
\bigl(
\varepsilon N+1
\bigr)
,
b(x, t, \varepsilon ) =
N\sum
k=0
\varepsilon kbk(x, t) +O
\bigl(
\varepsilon N+1
\bigr)
, (4)
c(x, t, \varepsilon ) =
N\sum
k=0
\varepsilon kck(x, t) +O
\bigl(
\varepsilon N+1
\bigr)
.
Тут функцiї a0(x, t), b0(x, t), c0(x, t) є нескiнченно диференцiйовними i для них має мiсце
умова a0(x, t) b0(x, t) c0(x, t) \not = 0, (x, t) \in \bfR \times [0;T ].
Вiдомо, що коефiцiєнти нелiнiйних диференцiальних рiвнянь суттєво впливають на власти-
востi їх розв’язкiв. Тому цiлком природно розглядати для рiвняння (3) задачу про наявнiсть у
нього асимптотичних розв’язкiв, якi за певними своїми властивостями подiбнi до солiтонних
розв’язкiв.
Оскiльки рiвняння (1) має односолiтоннi розв’язки, то аналогiчно рiвнянню Кортевега –
де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами, для якого побудовано [37] асимптотичнi \Sigma -розв’язки,
що є аналогами асимптотичних багатофазових солiтоноподiбних розв’язкiв, для сингулярно
збуреного рiвняння BBM зi змiнними коефiцiєнтами вигляду (3) цiлком природно розглянути
задачу про побудову асимптотичних \Sigma -розв’язкiв. Саме вивченню цього питання i присвячено
дану статтю.
У цiй статтi побудовано головний i перший члени асимптотичного багатофазового \Sigma -роз-
в’язку та доведено теореми про точнiсть, з якою отриманий асимптотичний розв’язок задо-
вольняє дослiджуване рiвняння.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
238 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
2. Основнi припущення i позначення. Як i розв’язки солiтонного типу, асимптотичнi\sum
-розв’язки належать певним функцiональним просторам, якi опишемо нижче.
Позначимо [38] через G = G(\bfR \times [0;T ]\times \bfR ) лiнiйний простiр нескiнченно диференцiйовних
функцiй f(x, t, \tau ), (x, t, \tau ) \in \bfR \times [0;T ]\times \bfR , для яких рiвномiрно за змiнними (x, t) на кожному
компактi K \subset \bfR \times [0;T ] для довiльних невiд’ємних цiлих чисел n, m, p, q виконуються такi
умови:
10) має мiсце спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
\tau n
\partial m+p+q
\partial xm\partial tp\partial \tau q
f(x, t, \tau ) = 0;
20) iснує така нескiнченно диференцiйовна функцiя f - (x, t), що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow - \infty
\tau n
\partial m+p+q
\partial xm\partial tp\partial \tau q
\bigl(
f(x, t, \tau ) - f - (x, t)
\bigr)
= 0, (x, t) \in K.
За допомогою G0 = G0(\bfR \times [0;T ] \times \bfR ) \subset G позначимо простiр таких функцiй f(x, t, \tau ),
для яких (додатково до умов 10, 20) рiвномiрно щодо (x, t) на кожному компактi K \subset \bfR \times [0;T ]
справджується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow - \infty
f(x, t, \tau ) = 0, (x, t) \in K.
У подальшому використовується стандартне для асимптотичного аналiзу позначення
\Psi (x, t, \varepsilon ) = O
\bigl(
\varepsilon N
\bigr)
. Цей запис означає, що iснують такi величина \varepsilon 0 > 0 i стала C > 0,
яка залежить вiд числа N i вiд множини K \subset \bfR \times [0;T ], що для всiх \varepsilon \in (0; \varepsilon 0) i (x, t) \in K
виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \Psi (x, t, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \leq C \varepsilon N .
Означення [37]. Функцiя u(x, t, \varepsilon ) називається асимптотичною
\sum
-функцiєю, якщо для
деякого m \in \bfN , m \geq 2, i кожного цiлого числа N \geq 0 для u(x, t, \varepsilon ) має мiсце зображення
вигляду
u(x, t, \varepsilon ) = YN
\biggl(
x, t,
S1(x, t)
\varepsilon
,
S2(x, t)
\varepsilon
, . . . ,
Sm(x, t)
\varepsilon
, \varepsilon
\biggr)
+O
\bigl(
\varepsilon N+1
\bigr)
. (5)
Тут
YN (x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) =
N\sum
j=0
\varepsilon j
\Biggl(
uj(x, t) +
m\sum
k=1
Vjk(x, t, \tau k)
\Biggr)
, (6)
\tau 1 =
S1(x, t)
\varepsilon
, \tau 2 =
S2(x, t)
\varepsilon
, . . . , \tau m =
Sm(x, t)
\varepsilon
,
Sk = Sk(x, t), k = 1,m, — деякi нескiнченно диференцiйовнi функцiї змiнних (x, t) \in \bfR \times [0;T ],
причому
\partial Sk
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma k
\not = 0, де кривi \Gamma k визначаються рiвняннями Sk(x, t) = 0, (x, t) \in \bfR \times [0;T ],
k = 1,m; функцiї uj(x, t), (x, t) \in \bfR \times [0;T ], є нескiнченно диференцiйовними, а функцiї
Vjk(x, t, \tau k) належать G0, k = 1,m, j = 0, N.
У подальшому описується алгоритм побудови спецiальних асимптотичних розв’язкiв рiв-
няння (3) у виглядi функцiї (5), (6). Такi розв’язки називатимемо (скорочено) асимптотичними\sum
-розв’язками.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
АСИМПТОТИЧНI \Sigma -РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 239
3. Структура асимптотичного розв’язку. Не втрачаючи загальностi вважатимемо, що
n = 2 в рiвняннi (3). З урахуванням означення 1 асимптотичний
\sum
-розв’язок рiвняння (3)
можна записати у виглядi
u(x, t, \varepsilon ) = YN (x, t, \varepsilon ) +O
\bigl(
\varepsilon N+1
\bigr)
, (7)
де
YN (x, t, \varepsilon ) =
N\sum
j=0
\varepsilon j
\Biggl(
uj(x, t) +
m\sum
k=1
Vjk(x, t, \tau k)
\Biggr)
, \tau k =
x - \varphi k(t)
\varepsilon
, k = 1,m,
N — довiльне (фiксоване) натуральне число, \varphi k(t), t \in [0;T ], k = 1,m, — деякi функцiї,
для яких виконується умова \varphi k(0) = 0, k = 1,m, i якi визначаються у процесi побудови
асимптотичного розв’язку iз так званих умов ортогональностi [33].
Функцiя
UN (x, t, \varepsilon ) =
N\sum
j=0
\varepsilon juj(x, t)
називається регулярною частиною асимптотики (7), а функцiя
VN (x, t, \varepsilon ) = VN (x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) =
N\sum
j=0
\varepsilon j
m\sum
k=1
Vjk(x, t, \tau k)
— сингулярною частиною асимптотики (7). При цьому
YN (x, t, \varepsilon ) = UN (x, t, \varepsilon ) + VN (x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ).
Для знаходження рiвнянь для коефiцiєнтiв асимптотичного розкладу (7) аналогiчно [33, 37]
обчислюються похiднi ut(x, t, \varepsilon ), ux(x, t, \varepsilon ), uxxx(x, t, \varepsilon ), їх значення пiдставляються в (3) i
береться до уваги зображення (7). За допомогою стандартних мiркувань [33, 34] визначаються
рiвняння для коефiцiєнтiв регулярної та сингулярної частин асимптотичного розв’язку (7).
Функцiї регулярної частини асимптотики визначаються iз системи диференцiальних рiвнянь
з частинними похiдними вигляду
a0(x, t)
\partial u0
\partial t
+ b0(x, t)
\partial u0
\partial x
+ c0(x, t)u0
\partial u0
\partial x
= 0, (8)
a0(x, t)
\partial uj
\partial t
+ b0(x, t)
\partial uj
\partial x
+ c0(x, t)
\biggl(
uj
\partial u0
\partial x
+ u0
\partial uj
\partial x
\biggr)
= Fj(x, t), j = 1, N, (9)
де Fj(x, t), j = 1, N, обчислюються рекурентним чином пiсля знаходження функцiй u0(x, t),
u1(x, t), . . . , uj - 1(x, t), j = 1, N.
Зауважимо, що (8) є рiвнянням типу рiвняння Хопфа, а (9) — неоднорiдним лiнiйним рiв-
нянням з частинними похiдними першого порядку.
Розв’язки рiвнянь (8), (9) легко знаходяться в аналiтичному виглядi за допомогою методу
характеристик, аналогiчно [39, 40]. Тому вважатимемо, що регулярна частина розв’язку ви-
гляду (7) вже вiдома.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
240 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
З урахуванням рiвнянь для регулярної частини асимптотики (8), (9) з (3) аналогiчно зна-
ходимо систему диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними для членiв сингулярної
частини асимптотики, розв’язки яких повиннi належати простору G0. Процедура визначен-
ня функцiй сингулярної частини асимптотики суттєво складнiша, нiж процедура знаходження
членiв регулярної частини асимптотики, i описується детально нижче.
4. Сингулярна частина асимптотики. Розглянемо питання про визначення головного i
першого членiв сингулярної частини асимптотики (7). При цьому скористаємось умовою, що
функцiї сингулярної частини асимптотики належать простору швидко спадних за змiнними \tau k,
k = 1,m, функцiй. Старшi члени цiєї частини асимптотики визначаються аналогiчно описаному
нижче випадку N = 1.
4.1. Головний член сингулярної частини асимптотики. Головний член сингулярної час-
тини асимптотики — функцiя V0(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m) — записується у виглядi суми
m\sum
k=1
V0k(x, t, \tau k),
доданки якої задовольняють спiввiдношення
m\sum
k=1
\varphi \prime
k(t)
\partial 3V0k
\partial \tau 3k
- a0(x, t)
m\sum
k=1
\varphi \prime
k(t)
\partial V0k
\partial \tau k
+ b0(x, t)
m\sum
k=1
\partial V0k
\partial \tau k
+
+c0(x, t)
\Biggl(
u0(x, t) +
m\sum
k=1
V0k
\Biggr)
m\sum
k=1
\partial V0k
\partial \tau k
= 0. (10)
Це спiввiдношення мiстить m невiдомих функцiй. Оскiльки кожна з функцiй V0k(x, t, \tau k),
k = 1,m, належить простору G0 (за змiнною \tau k, k = 1,m), то за межами довiльного фiксова-
ного околу кривої \Gamma k, k = 1,m, при \tau k \rightarrow \pm \infty значення такої функцiї експоненцiально прямує
до нуля [37]. Тому головний член сингулярної частини асимптотики (7) шукатимемо у виглядi
суми функцiй \=V0k(t, \tau k) \in G0, k = 1,m, кожна з яких є розв’язком рiвняння
\varphi \prime
k(t)
\partial 3 \=V0k
\partial \tau 3k
- a0(\varphi k, t)\varphi
\prime
k(t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
+ b0(\varphi k, t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
+
+c0(\varphi k, t)
\Bigl[
u0(\varphi k, t) +m \=V0k(t, \tau k)
\Bigr] \partial \=V0k
\partial \tau k
= 0, k = 1,m, (11)
де функцiї \varphi k = \varphi k(t), \=V0k = \=V0k(t, \tau k), k = 1,m, t \in [0;T ].
У подальшому буде доведено, що функцiю
\sum m
k=1
\=V0k(t, \tau k) можна розглядати в якостi
головного члена сингулярної частини асимптотики (7) (див. теорему 1).
Безпосереднiм iнтегруванням з рiвняння (11) знаходимо його розв’язок [37]
\=V0k(x, t, \tau k) = \=V0k(t, \tau k) =
3A(\varphi k, t)
mc0(\varphi k, t)
\mathrm{c}\mathrm{h} - 2
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi \prime
k(t)
\tau k + Ck
2
\Biggr)
, k = 1,m, (12)
який, очевидно, належить простору G0.
У формулi (12) позначено
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
АСИМПТОТИЧНI \Sigma -РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 241
A(\varphi k, t) = a0(\varphi k, t)\varphi
\prime
k(t) - b0(\varphi k, t) - c0(\varphi k, t)u0(\varphi k, t), (13)
Ck = Ck(t), k = 1,m, — деякi (довiльнi) сталi iнтегрування, змiнна t вважається параметром.
У подальшому покладемо Ck(t) = 0 для всiх k = 1,m, t \in [0;T ], i припустимо, що для
всiх t \in [0;T ] виконується умова
\varphi \prime
k(t)A(\varphi k(t), t) > 0, k = 1,m. (14)
Має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Нехай виконуються такi умови:
10) функцiї a0(x, t), b0(x, t), c0(x, t) належать C\infty (\bfR \times [0;T ]), причому
a0(x, t)b0(x, t)c0(x, t) \not = 0
для всiх (x, t) \in \bfR \times [0;T ];
20) рiвняння (8) має розв’язок u0(x, t) \in C\infty (\bfR \times [0;T ]);
30) функцiї \varphi k = \varphi k(t), t \in [0;T ], k = 1,m, є нескiнченно диференцiйовними i такими,
що \varphi k(0) = 0, \varphi \prime
k(0) \not = 0, k = 1,m;
40) має мiсце нерiвнiсть (14) i для всiх t \in [0;T ] справджуються спiввiдношення
A(\varphi k(t), t) = A(\varphi l(t), t), k, l = 1,m.
Тодi функцiя
Y0(x, t, \varepsilon ) = u0(x, t) +
m\sum
k=1
\=V0k
\biggl(
t,
x - \varphi k(t)
\varepsilon
\biggr)
(15)
в околi точки (0; 0) вигляду
m\bigcup
k=1
\bigl\{
(x, t) \in \bfR \times
\bigl[
0; \varepsilon 2T
\bigr]
: | x - \varphi k(t)| < \varepsilon
\surd
\varepsilon
\bigr\}
(16)
задовольняє рiвняння (3) з точнiстю O(1).
Бiльш того, функцiя (15) задовольняє рiвняння (3) з точнiстю O(1) на множинi
\scrT =
\Biggl(
m\bigcup
k=1
\Bigl\{
(x, t) \in \bfR \times [0; \varepsilon 2T ] : | x - \varphi k(t)| < \varepsilon
\surd
\varepsilon
\Bigr\} \Biggr) \bigcup
\bigcup \Biggl(
m\bigcup
k=1
\Bigl\{
(x, t) \in \bfR \times [0; \varepsilon 2T ] : | x - \varphi k(t)| > \varepsilon \alpha
\Bigr\} \Biggr)
, (17)
де \alpha \in (0; 1) — довiльне число.
Якщо ж значення (x, t) \in \bfR \times [0; \varepsilon 2T ] такi, що | x - \varphi k(t)| /\varepsilon \rightarrow +\infty при всiх k = 1,m, то
для таких значень (x, t) функцiя Y0(x, t, \varepsilon ) задовольняє рiвняння (3) з точнiстю O(\varepsilon ).
Доведення. Оскiльки множина (16) мiститься у множинi (17), то достатньо показати, що
функцiя (15) задовольняє рiвняння (3) на множинi (17) з точнiстю O(1). Для цього пiдставимо
вираз для Y0(x, t, \varepsilon ) у рiвняння (3). Маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
242 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
\varepsilon 2
\partial 3u0
\partial x2\partial t
+
m\sum
k=1
\partial 3 \=V0k
\partial t\partial \tau 2k
- 1
\varepsilon
m\sum
k=1
\varphi \prime
k(t)
\partial 3 \=V0k
\partial \tau 3k
=
= a(x, t, \varepsilon )
\Biggl(
\partial u0
\partial t
+
m\sum
k=1
\partial \=V0k
\partial t
\Biggr)
- 1
\varepsilon
a(x, t, \varepsilon )
m\sum
k=1
\varphi \prime
k(t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
+
+b(x, t, \varepsilon )
\Biggl(
\partial u0
\partial x
+
1
\varepsilon
m\sum
k=1
\partial \=V0k
\partial \tau k
\Biggr)
+ c(x, t, \varepsilon )
\Biggl(
u0 +
m\sum
k=1
\=V0k
\Biggr) \Biggl(
\partial u0
\partial x
+
1
\varepsilon
m\sum
k=1
\partial \=V0k
\partial \tau k
\Biggr)
. (18)
Звiдси, враховуючи рiвняння (8) i (11) для головних членiв регулярної i сингулярної частин
асимптотики (7), переконуємося, що для знаходження оцiнки, з якою асимптотичний розв’я-
зок (15) задовольняє рiвняння (3), досить розглянути нев’язку
R0(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) =
= - 1
\varepsilon
m\sum
k=1
\bigl[
a0(x, t) - a0(\varphi k, t)
\bigr]
\varphi \prime
k(t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
+
+
1
\varepsilon
m\sum
k=1
\bigl[
b0(x, t) - b0(\varphi k, t)
\bigr] \partial \=V0k
\partial \tau k
+
1
\varepsilon
m\sum
k=1
\bigl[
c0(x, t)u0(x, t) - c0(\varphi k, t)u0(\varphi k, t)
\bigr] \partial \=V0k
\partial \tau k
+
+
1
\varepsilon
c0(x, t)
m\sum
l=1
\=V0l
m\sum
k=1
\partial \=V0k
\partial \tau k
- 1
\varepsilon
m\sum
k=1
mc0(\varphi k, t) \=V0k(t, \tau k)
\partial \=V0k
\partial \tau k
+O(1). (19)
З неперервної диференцiйовностi функцiй a0(x, t), b0(x, t), c0(x, t), u0(x, t), \varphi k(t), k =
= 1,m, i того, що \=V0k(t, \tau k) \in G0, k = 1,m, та компактностi (довiльної) множини K \subset
\subset \bfR \times [0;T ] випливає iснування таких сталих ck > 0, k = 1,m, що виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
m\sum
k=1
\bigl[
a0(x, t) - a0(\varphi k, t)
\bigr]
\varphi \prime
k(t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
m\sum
k=1
ck | x - \varphi k|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V0k\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \varepsilon
m\sum
k=1
ck | \tau k|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V0k\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \varepsilon C1,
де стала C1 залежить лише вiд множини K.
Аналогiчно отримуємо нерiвностi\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
m\sum
k=1
\bigl[
b0(x, t) - b0(\varphi k(t), t)
\bigr] \partial \=V0k
\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \varepsilon C2,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
m\sum
k=1
\bigl[
c0(x, t)u0(x, t) - c0(\varphi k(t), t)u0(\varphi k(t), t)
\bigr] \partial \=V0k
\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \varepsilon C3,
де сталi C2, C3 залежать лише вiд множини K.
Розглянемо тепер два останнiх доданки нев’язки (19). Позначимо
r0(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) :=
m\sum
k=1
\Biggl[
c0(x, t)
m\sum
l=1
\=V0l - mc0(\varphi k, t) \=V0k(t, \tau k)
\Biggr]
\partial \=V0k
\partial \tau k
.
Тодi маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
АСИМПТОТИЧНI \Sigma -РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 243
| r0(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon )| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
m\sum
k=1
m\sum
l=1
\bigl[
c0(x, t) - c0(\varphi l, t)
\bigr]
\=V0l(t, \tau l)
\partial \=V 0k
\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
m\sum
k=1
m\sum
l=1
\bigl[
c0(\varphi l, t) \=V0l(t, \tau l) - c0(\varphi k, t) \=V0k(t, \tau k)
\bigr] \partial \=V0k
\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \varepsilon C4 +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
m\sum
k=1
m\sum
l=1
\bigl[
c0(\varphi l, t) \=V0l(t, \tau l) - c0(\varphi k, t) \=V0k(t, \tau k)
\bigr] \partial \=V0k
\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (20)
де C4 — деяка стала, що залежить вiд множини K.
Оцiнимо кожен iз доданкiв у (20). З формули для A(\varphi k, t) i формули (12) для функцiї
\=V0k(t, \tau k), k = 1,m, та умови 40 теореми 1 про те, що A(\varphi k(t), t) = A(\varphi l(t), t) для всiх
t \in [0;T ], k, l = 1,m, випливає iснування такого значення \varepsilon 0 > 0, що для всiх \varepsilon \in (0; \varepsilon 0)
виконується нерiвнiсть \bigm| \bigm| c0(\varphi l, t) \=V0l(t, \tau l) - c0(\varphi k, t) \=V0k(t, \tau k)
\bigm| \bigm| =
=
3
m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| A(\varphi l, t) \mathrm{c}\mathrm{h}
- 2
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi l, t)
\varphi \prime
l (t)
x - \varphi l
2\varepsilon
\Biggr)
- A(\varphi k, t) \mathrm{c}\mathrm{h}
- 2
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi \prime
k(t)
x - \varphi k
2\varepsilon
\Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
3
m
| A(\varphi k, t)|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{h} - 2
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi l, t)
\varphi \prime
l (t)
x - \varphi l
2\varepsilon
\Biggr)
- \mathrm{c}\mathrm{h} - 2
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi \prime
k(t)
x - \varphi k
2\varepsilon
\Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 3
m
\bigm| \bigm| A(\varphi k, t)
\bigm| \bigm| \Biggl( C11
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - \varphi l
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 + C22
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - \varphi k
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
\Biggr)
, (21)
де \varphi k = \varphi k(t), \varphi l = \varphi l(t) для всiх t \in [0;T ], k, l = 1,m.
Звiдси, враховуючи, що функцiя \partial \=V0k(t, \tau k)/\partial \tau k є швидко спадною щодо змiнної \tau k та
беручи до уваги очевидну нерiвнiсть | x - \varphi l| \leq | x - \varphi k| + | \varphi k - \varphi l| , отримуємо\Biggl(
C11
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - \varphi l
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 + C22
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - \varphi k
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
\Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V0k(t, \tau k)\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq (2C11 + C22)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - \varphi k
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V0k(t, \tau k)\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + 2C11
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi l - \varphi k
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V0k(t, \tau k)\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq (2C11 + C22)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - \varphi k
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 \=Cn
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - \varphi k
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 + 1
\Biggr) - n
+ 2C11
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi l - \varphi k
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V0k(t, \tau k)\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (22)
де \=Cn > 0 — деякi сталi, n — довiльне натуральне число.
Тодi для значень (x, t) \in \scrT , тобто коли | x - \varphi k(t)| < \varepsilon
\surd
\varepsilon або | x - \varphi k(t)| > \varepsilon \alpha , \alpha < 1,
виконуються вiдповiдно нерiвностi\bigm| \bigm| x - \varphi k(t)
\bigm| \bigm| 2
\varepsilon 2
< \varepsilon ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (x - \varphi k(t))
2
\varepsilon 2
+ 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - n
\leq
\bigl(
\varepsilon 2\alpha - 2 + 1
\bigr) - n
= \varepsilon n(2 - 2\alpha )
\bigl(
1 + \varepsilon 2 - 2\alpha
\bigr) - n
.
Звiдси i з нерiвностей (20) – (22) випливає iснування такої сталої C5 > 0, що за умови | \varphi k(t) -
- \varphi l(t)| = O(\varepsilon 2), t \in [0;T ], виконується нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
244 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
| r0(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon )| \leq \varepsilon (C4 + C5).
Зауважимо, що значення сталої C5 > 0 залежить лише вiд множини K.
З умови \varphi k(0) = 0, k = 1,m, випливає, що функцiя Y0(x, t, \varepsilon ) вигляду (15) на множинi \scrT
задовольняє рiвняння (3) з точнiстю O(1).
Враховуючи, що \=V0k(t, \tau k) при кожному k = 1,m є швидко спадною за змiнною \tau k функ-
цiєю, то у випадку, коли (x, t) \in \bfR \times [0; \varepsilon 2T ] i такi, що
\bigm| \bigm| x - \varphi k(t)
\bigm| \bigm| /\varepsilon = | \tau k| \rightarrow +\infty при всiх
k = 1,m, отримуємо властивiсть: функцiя Y0(x, t, \varepsilon ) вигляду (15) для всiх (x, t) \in \bfR \times [0; \varepsilon 2T ]
задовольняє рiвняння (3) з точнiстю O(\varepsilon ).
Теорему 1 доведено.
4.2. Перший член сингулярної частини асимптотики. Перший член сингулярної частини
асимптотики (7) — функцiя V1(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m) — записується у виглядi суми
m\sum
k=1
V1k(x, t, \tau k).
Оскiльки кожна з функцiй V1k(x, t, \tau k), k = 1,m, належить простору G0 (за змiнною \tau k, k =
= 1,m), то за межами довiльного фiксованого околу кривої \Gamma k, k = 1,m, при \tau k \rightarrow \pm \infty
значення такої функцiї експоненцiально прямує до нуля [37]. Тому перший член сингулярної
частини шуканої асимптотики запишемо у виглядi суми функцiй \=V1k(t, \tau k) \in G0, k = 1,m,
кожна з яких в околi кривої x = \varphi l(t), t \in [0;T ], l = 1,m, визначається з системи диференцi-
альних рiвнянь
-
m\sum
k=1
\varphi \prime
k(t)
\partial 3V1k
\partial \tau 3k
+ a0(\varphi l, t)
m\sum
k=1
\varphi \prime
k(t)
\partial V1k
\partial \tau k
- b0(\varphi l, t)
m\sum
k=1
\partial V1k
\partial \tau k
-
- c0(\varphi l, t)
\Biggl( \Biggl[
u0(\varphi l, t) +
m\sum
k=1
V0k
\Biggr]
m\sum
k=1
\partial V1k
\partial \tau k
+
m\sum
k=1
V1k
m\sum
k=1
\partial V0k
\partial \tau k
\Biggr)
=
= \scrF 1l(t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m), l = 1,m, (23)
де \varphi l = \varphi l(t), t \in [0;T ], а функцiї \scrF 1l(t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m), l = 1,m, задаються рекурентним
чином за значеннями V0k = V0k(t, \tau l), k = 1,m, i записуються за допомогою формул
\scrF 1l(t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m) = a0(\varphi l, t)
m\sum
k=1
\partial V0k
\partial t
-
\bigl[
\tau la0x(\varphi l, t) + a1(\varphi l, t)
\bigr] m\sum
k=1
\varphi \prime
k(t)
\partial V0k
\partial \tau k
+
+
\bigl[
\tau lb0x(\varphi l, t) + b1(\varphi l, t) + c0(\varphi l, t)(\tau lu0x(\varphi l, t) + u1(\varphi l, t))
\bigr] m\sum
k=1
\partial V0k
\partial \tau k
+ c0(\varphi l, t)u0x(\varphi l, t)\times
\times
m\sum
k=1
V0k +
\bigl(
\tau lc0x(\varphi l, t) + c1(\varphi l, t)
\bigr) \Biggl(
u0(\varphi l, t) +
m\sum
k=1
V0k
\Biggr)
m\sum
k=1
\partial V0k
\partial \tau k
-
m\sum
k=1
\partial 3V0k
\partial t\partial \tau 2k
.
Як i при визначеннi головного члена асимптотики (7), одночасно з (23) розглянемо допо-
мiжну функцiю \=V1k = \=V1k(t, \tau k), k = 1,m, i, вiдповiдно, допомiжне рiвняння, яке у даному
випадку має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
АСИМПТОТИЧНI \Sigma -РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 245
- \varphi \prime
k(t)
\partial 3 \=V1k
\partial \tau 3k
+ a0(\varphi k, t)\varphi
\prime
k(t)
\partial \=V1k
\partial \tau k
- b0(\varphi k, t)
\partial \=V1k
\partial \tau k
- c0(\varphi k, t)\times
\times
\biggl(
u0(\varphi k, t)
\partial \=V1k
\partial \tau k
+m \=V0k
\partial \=V1k
\partial \tau k
+m \=V1k
\partial \=V0k
\partial \tau k
\biggr)
= \=\scrF 1k(t, \tau k), (24)
де
\=\scrF 1k(t, \tau k) = a0(\varphi k, t)
\partial \=V0k
\partial t
-
\bigl[
\tau ka0x(\varphi k, t) + a1(\varphi k, t)
\bigr]
\varphi \prime
k(t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
+
+
\bigl[
\tau kb0x(\varphi k, t) + b1(\varphi k, t) + c0(\varphi k, t)(\tau ku0x(\varphi k, t) + u1(\varphi k, t))
\bigr] \partial \=V0k
\partial \tau k
+ c0(\varphi k, t)u0x(\varphi k, t) \=V0k+
+
\bigl[
\tau kc0x(\varphi k, t) + c1(\varphi k, t)
\bigr] \bigl(
u0(\varphi k, t) +m \=V0k
\bigr) \partial \=V0k
\partial \tau k
- \partial 3 \=V0k
\partial t\partial \tau 2k
, (25)
функцiї \=V0k(t, \tau k), k = 1,m, визначено згiдно з формулою (12). Очевидно, що за побудовою
функцiя \=\scrF 1k(t, \tau k) належить G0, k = 1,m.
У [36] показано, що необхiдною i достатньою умовою iснування розв’язку рiвняння (24) у
просторi G є умова ортогональностi вигляду
+\infty \int
- \infty
\=\scrF 1k(t, \tau k) \=V0k(t, \tau k)d\tau k = 0, k = 1,m. (26)
При цьому розв’язок рiвняння (24) у просторi G за умови (26) записується за допомогою
формули [36]
\=V1k(t, \tau k) = \nu 1k(t)\eta 1k(t, \tau k) + \psi 1k(t, \tau k), k = 1,m, (27)
де
\nu 1k(t) = (A(\varphi k(t), t))
- 1 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau k\rightarrow - \infty
\Phi 1k(t, \tau k), k = 1,m,
\eta 1k(t, \tau k) \in G, k = 1,m, а функцiї \psi 1k(t, \tau k), k = 1,m, є швидко спадними по \tau k,
\Phi 1k(t, \tau k) =
\tau k\int
- \infty
\=\scrF 1k(t, \xi )d\xi + E1k(t), k = 1,m, (28)
причому сталi iнтегрування E1k(t), k = 1,m, вибираються з умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau k\rightarrow +\infty
\Phi 1k(t, \tau k) = 0, k = 1,m.
Зауважимо, що функцiя \=V1k(t, \tau k) належить G0, k = 1,m, тодi i лише тодi, коли має мiсце
спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau k\rightarrow - \infty
\Phi 1k(t, \tau k) = 0, k = 1,m. (29)
При кожному k = 1,m розв’язок рiвняння (27) у просторi G0 визначається [37] з точнiстю
до функцiй ядра оператора L1k : G0 \rightarrow G0, k = 1,m, де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
246 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
L1k = - \varphi \prime
k(t)
d2
d\tau 2k
+ a0(\varphi k, t)\varphi
\prime
k(t) - b0(\varphi k, t) - c0(\varphi k, t)
\bigl(
u0(\varphi k, t) +m \=V0(t, \tau k)
\bigr)
,
властивостi якого вивчено в [41]. Зокрема, в [41] показано, що ядро оператора L1k : G0 \rightarrow G0,
k = 1,m, мiстить лише одну нетривiальну функцiю \partial \=V0k(t, \tau k)/\partial \tau k. Тому загальний розв’язок
рiвняння (24) у просторi G0 можна записати таким чином:
\=V1k(t, \tau k) = \psi 1k + c1k(t)
\partial
\partial \tau k
\=V0k(t, \tau k),
де функцiю \psi 1k(t, \tau k) охарактеризовано вище, c1k(t), k = 1,m, — довiльнi сталi, величина
t \in [0;T ] розглядається як параметр.
Аналогiчно випадку однофазових солiтоноподiбних розв’язкiв [36] рiвняння (3), умова орто-
гональностi (26) еквiвалентна звичайному диференцiальному рiвнянню для функцiї \varphi k = \varphi k(t),
k = 1,m, яке у даному випадку має вигляд [36]\bigl[
A1\varphi k
\prime 2 +A2\varphi k
\prime +A3
\bigr]
\varphi k
\prime \prime +A4 \varphi k
\prime 4 +A5 \varphi k
\prime 3 +A6 \varphi k
\prime 2 +A7 \varphi k
\prime = 0. (30)
Тут функцiї Aj(\varphi k, t), j = 1, 7, зображуються формулами
A1 = 24a20c0, A2 = - 8 a0 c0 \alpha , A3 = - c0 \alpha
2, A4 = - 40 c0x a
2
0 + 30a0 a0x c0,
A5 = 60 a0 c0x \alpha + 20 a0 a0t c0 - 24 a20 c0t - 30 a0 c0 \alpha x - 15 a0x c0 \alpha + 20a0 c
2
0 u0x,
A6 = - 20 a0 c0 \alpha t - 5 a0t c0\alpha + 15 c0 \alpha \alpha x + 28 a0 c0t \alpha - 20 c20u0x \alpha - 20 c0x \alpha
2,
A7 = 5 c0 \alpha \alpha t - 20 c0t \alpha
2,
де \alpha = b0 + c0u0, a0 = a0(\varphi k, t), b0 = b0(\varphi k, t), c0 = c0(\varphi k, t), u0 = u0(\varphi k, t).
Очевидно, що рiвняння (30) при досить загальних щодо функцiй a0(x, t), b0(x, t), c0(x, t)
припущеннях i початкових умовах \varphi k(0) = 0, \varphi \prime
k(0) \not = 0, k = 1,m, має розв’язок, який
визначено на промiжку [0;T ], де T > 0 — деяке число.
З’ясуємо тепер питання про те, за яких умов щодо коефiцiєнтiв a0(x, t), b0(x, t), c0(x, t)
функцiя \=V1k(t, \tau k), k = 1,m, належить простору G0.
Беручи до уваги зображення (28) та умову (29), з (25) безпосереднiм iнтегруванням знахо-
димо функцiю \Phi 1k(t, \tau k), k = 1,m :
\Phi 1k(t, \tau k) =
6
m
\Biggl[
a0(\varphi k, t)
d
dt
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)\varphi k
\prime (t)
c0(\varphi k, t)
\Biggr)
-
A(\varphi k, t)
\sqrt{}
A(\varphi k, t)\varphi k
\prime (t)
c20(\varphi k, t)
-
-
\sqrt{}
A(\varphi k, t)\varphi k
\prime (t)
c0(\varphi k, t)
\Bigl(
- a0x(\varphi k, t)\varphi k
\prime (t) + b0x(\varphi k, t) +
\bigl(
c0(\varphi k, t)u0(\varphi k, t)
\bigr)
x
\Bigr)
+
+c0(\varphi k, t)u0x(\varphi k, t)
\sqrt{}
A(\varphi k, t)\varphi k
\prime (t)
c0(\varphi k, t)
\Biggr]
\times
\Biggl[
\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
\tau k + C0(t)
2
\Biggr)
+ 1
\Biggr]
-
- 9
2m
A(\varphi k, t)
c0(\varphi k, t)
\sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
\Biggl[
d
dt
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
\Biggr)
\tau k +
d
dt
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
C0(t)
\Biggr) \Biggr]
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
АСИМПТОТИЧНI \Sigma -РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 247
\times \mathrm{c}\mathrm{h} - 4
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
\tau k + C0(t)
2
\Biggr)
\mathrm{s}\mathrm{h}2
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
\tau + C0(t)
2
\Biggr)
-
- 3
m
\Biggl[
A(\varphi k, t)
\sqrt{}
A(\varphi k, t)\varphi k
\prime (t)
c20(\varphi k, t)
- d
dt
\Biggl(
A(\varphi k, t)
\sqrt{}
A(\varphi k, t)
c0(\varphi , t)\varphi k
\prime (t)
\Biggr) \Biggr]
\times
\times \mathrm{c}\mathrm{h} - 3
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
\tau k + C0(t)
2
\Biggr)
\mathrm{s}\mathrm{h}
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
\tau k + C0(t)
2
\Biggr)
+
+
1
m
\Biggl[
3a0(\varphi k, t)
\sqrt{}
A(\varphi k, t)\varphi k
\prime (t)
c0(\varphi k, t)
\Biggl(
d
dt
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
\Biggr)
\tau k +
d
dt
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
C0(t)
\Biggr) \Biggr)
+
+
3A(\varphi k, t)
c0(\varphi k, t)
\Bigl(
- a0x(\varphi k, t)\varphi k
\prime (t) + b0x(\varphi k, t) +
\bigl(
c0(\varphi k, t)u0(\varphi k, t)
\bigr)
x
\Bigr)
\tau k+
+
3A(\varphi k, t)
c0(\varphi k, t)
\Bigl(
b1(\varphi k, t) - a1(\varphi k, t)\varphi
\prime
k(t) + c0(\varphi k, t)u1(\varphi k, t) + c1(\varphi k, t)u0(\varphi k, t)
\Bigr)
+
+
3
2
A(\varphi k, t)
c0(\varphi k, t)
\sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
\Biggl(
d
dt
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
\Biggr)
\tau k +
d
dt
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
C0(t)
\Biggr) \Biggr) \Biggr]
\times
\times \mathrm{c}\mathrm{h} - 2
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
\tau k + C0(t)
2
\Biggr)
+
+
9
2m
A2(\varphi k, t)
c20(\varphi k, t)
\Bigl[
c0x(\varphi k, t)\tau k + c1(\varphi k, t)
\Bigr]
\mathrm{c}\mathrm{h} - 4
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi k
\prime (t)
\tau k + C0(t)
2
\Biggr)
,
де \varphi k = \varphi k(t), k = 1,m; C0 = C0(t) — стала iнтегрування з (12).
Тодi умову (29) при j = 1, яка гарантує, що функцiя \=V1k(t, \tau k), k = 1,m, належить простору
G0, можна записати у виглядi
a0(\varphi k, t)
d
dt
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)\varphi k
\prime (t)
c0(\varphi k, t)
\Biggr)
+
\sqrt{}
A(\varphi k, t)\varphi k
\prime (t)
c0(\varphi k, t)
\times
\times
\biggl[
a0x(\varphi k, t)\varphi
\prime
k(t) - b0x(\varphi k, t) - c0x(\varphi k, t)u0(\varphi k, t) -
A(\varphi k, t)
c0(\varphi k, t)
\biggr]
= 0.
Аналогiчно теоремi 1 має мiсце наступне твердження.
Теорема 2. Нехай виконуються такi умови:
10) функцiї ak(x, t), bk(x, t), ck(x, t) \in C\infty (\bfR \times [0;T ]), k = 0, 1, причому
a0(x, t) b0(x, t) c0(x, t) \not = 0
для всiх (x, t) \in \bfR \times [0;T ];
20) рiвняння (8), (9) мають розв’язки u0(x, t), u1(x, t) \in C\infty (\bfR \times [0;T ]) вiдповiдно;
30) функцiї \varphi k = \varphi k(t), t \in [0;T ], k = 1,m, є розв’язками диференцiальних рiвнянь (30) з
початковою умовою \varphi k(0) = 0, k = 1,m, i такими, що \varphi \prime
k(0) \not = 0, k = 1,m;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
248 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
40) має мiсце нерiвнiсть (14) i для всiх t \in [0;T ] справджуються спiввiдношення A(\varphi k(t), t) =
= A(\varphi l(t), t), k, l = 1,m.
Тодi функцiя
Y1(x, t, \varepsilon ) = u0(x, t) +
m\sum
k=1
\=V0k
\biggl(
t,
x - \varphi k(t)
\varepsilon
\biggr)
+ \varepsilon u1(x, t) + \varepsilon
m\sum
k=1
\=V1k
\biggl(
t,
x - \varphi k(t)
\varepsilon
\biggr)
(31)
в околi точки (0; 0) вигляду
m\bigcup
k=1
\Bigl\{
(x, t) \in \bfR \times [0; \varepsilon 2T ] : | x - \varphi k(t)| < \varepsilon 2
\Bigr\}
задовольняє рiвняння (3) з точнiстю O(\varepsilon ).
Бiльш того, функцiя (31) задовольняє рiвняння (3) з точнiстю O(\varepsilon ) на множинi
\scrT 1 =
\Biggl(
m\bigcup
k=1
\Bigl\{
(x, t) \in \bfR \times [0; \varepsilon 2T ] :
\bigm| \bigm| x - \varphi k(t)
\bigm| \bigm| < \varepsilon 2
\Bigr\} \Biggr) \bigcup
\bigcup \Biggl(
m\bigcup
k=1
\Bigl\{
(x, t) \in \bfR \times [0; \varepsilon 2T ] :
\bigm| \bigm| x - \varphi k(t)
\bigm| \bigm| > \varepsilon \alpha
\Bigr\} \Biggr)
,
де \alpha \in (0; 1) — довiльне число.
Якщо ж значення (x, t) \in \bfR \times [0; \varepsilon 2T ] такi, що
\bigm| \bigm| x - \varphi k(t)
\bigm| \bigm| /\varepsilon \rightarrow +\infty при всiх k = 1,m, то
для таких значень (x, t) функцiя Y1(x, t, \varepsilon ) задовольняє рiвняння (3) з точнiстю O(\varepsilon 2).
Доведення. Як i при доведеннi теореми 1, враховуючи рiвняння (8), (9) i (11), (24) для
регулярної i сингулярної частин асимптотики (7), для знаходження оцiнки, з якою функцiя (31)
задовольняє рiвняння (3), досить оцiнити нев’язку вигляду
R1(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) = R10(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) +R11(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ).
Тут
R10(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) =
\bigl[
a(x, t, \varepsilon ) - a0(x, t)
\bigr] \biggl( \partial u0
\partial t
+ \varepsilon
\partial u1
\partial t
\biggr)
+
+
\Bigl[
b(x, t, \varepsilon ) - b0(x, t) +
\bigl(
c(x, t, \varepsilon ) - c0(x, t)
\bigr)
(u0 + \varepsilon u1)
\Bigr] \biggl( \partial u0
\partial x
+ \varepsilon
\partial u1
\partial x
\biggr)
-
- \varepsilon 2\partial
3u0
\partial x3
- \varepsilon 3
\partial 3u1
\partial x3
- \varepsilon F1(x, t) +
m\sum
k=1
\Bigl[
a(x, t, \varepsilon ) - a0(\varphi k, t)
\Bigr] \biggl( \partial \=V0k
\partial t
+ \varepsilon
\partial \=V1k
\partial t
\biggr)
-
- 1
\varepsilon
m\sum
k=1
\Bigl[
a(x, t, \varepsilon ) - a0(\varphi k, t) - \varepsilon
\bigl(
\tau ka0x(\varphi k, t) + a1(\varphi k, t)
\bigr) \Bigr]
\varphi \prime
k(t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
-
-
m\sum
k=1
\bigl[
a(x, t, \varepsilon ) - a0(\varphi k, t)
\bigr]
\varphi \prime
k(t)
\partial \=V1k
\partial \tau k
+
+
1
\varepsilon
m\sum
k=1
\Bigl[
b(x, t, \varepsilon ) - b0(\varphi k, t) - \varepsilon
\bigl(
\tau kb0x(\varphi k, t) + b1(\varphi k, t)
\bigr) \Bigr] \partial \=V0k
\partial \tau k
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
АСИМПТОТИЧНI \Sigma -РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 249
+
m\sum
k=1
\Bigl[
b(x, t, \varepsilon ) - b0(\varphi k, t)
\Bigr] \partial \=V1k
\partial \tau k
+
1
\varepsilon
m\sum
k=1
\Bigl[
c(x, t, \varepsilon )
\bigl(
u0(x, t) + \varepsilon u1(x, t)
\bigr)
- c0(\varphi k, t)u0(\varphi k, t) -
- \varepsilon
\Bigl[
\tau k(c0(\varphi k, t)u0(\varphi k, t))x + c1(\varphi k, t)u0(\varphi k, t) + c0(\varphi k, t)u1(\varphi k, t)
\Bigr] \Bigr] \partial \=V0k
\partial \tau k
+
+
m\sum
k=1
\Bigl[
c(x, t, \varepsilon )u0(x, t) - c0(\varphi k, t)u0(\varphi k, t)
\Bigr] \partial \=V1k
\partial \tau k
+
+
m\sum
k=1
\Bigl[
c(x, t, \varepsilon )u0x(x, t) - c0(\varphi k, t)u0x(\varphi k, t)
\Bigr] \partial \=V1k
\partial \tau k
+O(\varepsilon ),
де F1(x, t) — функцiя у правiй частинi рiвняння (9) при j = 1;
R11(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) = B1(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) +B2(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon )+
+B3(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) +B4(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ),
B1(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) =
1
\varepsilon
c(x, t, \varepsilon )
\Biggl(
m\sum
k=1
\=V0k
\Biggr) \Biggl(
m\sum
k=1
\partial \=V0k
\partial \tau k
\Biggr)
-
- 1
\varepsilon
m\sum
k=1
mc0(\varphi k, t) \=V0k
\partial \=V0k
\partial \tau k
-
m\sum
k=1
m\tau kc0x(\varphi k, t) \=V0k
\partial \=V0k
\partial \tau k
-
m\sum
k=1
mc1(\varphi k, t) \=V0k
\partial \=V0k
\partial \tau k
,
B2(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) = c(x, t, \varepsilon )
\Biggl(
m\sum
k=1
\=V1k
\Biggr) \Biggl(
m\sum
k=1
\partial \=V0k
\partial \tau k
\Biggr)
-
m\sum
k=1
mc0(\varphi k, t) \=V1k
\partial \=V0k
\partial \tau k
,
B3(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) = c(x, t, \varepsilon )
\Biggl(
m\sum
k=1
\=V0k
\Biggr) \Biggl(
m\sum
k=1
\partial \=V1k
\partial \tau k
\Biggr)
-
m\sum
k=1
mc0(\varphi k, t) \=V0k
\partial \=V1k
\partial \tau k
,
B4(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) = \varepsilon c(x, t, \varepsilon )
\Biggl(
m\sum
k=1
\=V1k
\Biggr) \Biggl(
m\sum
k=1
\partial \=V1k
\partial \tau k
\Biggr)
.
Використовуючи теорему Лагранжа, отримуємо нерiвностi\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
m\sum
k=1
\Bigl[
c(x, t, \varepsilon )u0(x, t) - c0(\varphi k(t), t)u0(\varphi k(t), t) -
- \varepsilon \tau k
\bigl(
c0(\varphi k(t), t)u0(\varphi k(t), t)
\bigr)
x
- \varepsilon c1(\varphi k(t), t)u0(\varphi k(t), t)
\Bigr] \partial \=V0k
\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
m\sum
k=1
C1k
\bigm| \bigm| x - \varphi k(t)
\bigm| \bigm| 2 \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V0k\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \varepsilon
m\sum
k=1
C2k
\bigm| \bigm| x - \varphi k(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V0k\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +O(\varepsilon 2) \leq C6 \varepsilon
2,
де C1k, C2k, k = 1,m, C6 — деякi додатнi сталi, що залежать лише вiд множини K.
Аналогiчнi асимптотичнi оцiнки справджуються також i для iнших доданкiв виразу для
R10(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ).
Розглянемо тепер доданки виразу для функцiї R11(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
250 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
З формули для B1(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) за допомогою групування доданкiв i оцiнки вiдпо-
вiдних рiзниць знаходимо асимптотичне спiввiдношення
B1(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) =
1
\varepsilon
c(x, t, \varepsilon )
\Biggl(
m\sum
k=1
\=V0k
\Biggr) \Biggl(
m\sum
k=1
\partial \=V0k
\partial \tau k
\Biggr)
- 1
\varepsilon
m\sum
k=1
mc0(\varphi k, t) \=V0k
\partial \=V0k
\partial \tau k
-
-
m\sum
k=1
m\tau kc0x(\varphi k, t) \=V0k
\partial \=V0k
\partial \tau k
-
m\sum
k=1
mc1(\varphi k, t) \=V0k
\partial \=V0k
\partial \tau k
=
=
1
\varepsilon
m\sum
k=1
\Biggl[
m\sum
l=1
\bigl[
c0(x, t) + \varepsilon c1(x, t)
\bigr]
\=V0l -
\bigl[
c0(\varphi k, t) + \varepsilon \tau kc0x(\varphi k, t) + \varepsilon c1(\varphi k, t)
\bigr]
\=V0k
\Biggr]
\partial \=V0k
\partial \tau k
+O(\varepsilon ).
Доданки правої частини цiєї рiвностi, що залежать вiд функцiї c0(x, t) та її похiдних, запишемо
таким чином:
c0(x, t) \=V0l -
\Bigl[
c0(\varphi k, t) + \varepsilon \tau kc0x(\varphi k, t)
\Bigr]
\=V0k =
\Bigl[
c0(x, t) - c0(\varphi l, t) - c0x(\varphi l, t)
\bigl(
x - \varphi l(t)
\bigr) \Bigr]
\=V0l+
+
\Bigl[ \Bigl(
c0(\varphi l, t) + c0x(\varphi l, t)(x - \varphi l(t))
\Bigr)
\=V0l -
\Bigl(
c0
\bigl(
\varphi k(t), t
\bigr)
+ c0x(\varphi k(t), t)
\bigl(
x - \varphi k(t)
\bigr) \Bigr)
\=V0k
\Bigr]
.
На пiдставi теореми Лагранжа i умови 40 теореми 2 отримуємо нерiвностi\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl[ c0(x, t) - c0(\varphi l, t) - c0x(\varphi l, t)
\bigl(
x - \varphi l(t)
\bigr) \Bigr]
\=V0l
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C7\varepsilon
2,\bigm| \bigm| [c0(\varphi l, t) + c0x(\varphi l, t)(x - \varphi l(t))) \=V0l - (c0(\varphi k, t) + c0x(\varphi k, t)(x - \varphi k(t))] \=V0k
\bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl[ c0(\varphi l, t) + c0x(\varphi l, t)(x - \varphi l(t))
\Bigr)
\=V0l -
\Bigl(
c0(\varphi k, t) + c0x(\varphi k, t)(x - \varphi k(t))
\Bigr]
\=V0l
\bigm| \bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| [c0(\varphi k, t) + c0x(\varphi k, t)(x - \varphi k(t))) \=V0l - (c0(\varphi k, t) + c0x(\varphi k, t)(x - \varphi k(t))] \=V0k
\bigm| \bigm| \leq
\leq | c0(\varphi l, t) - c0(\varphi k, t)|
\bigm| \bigm| \=V0l\bigm| \bigm| + | c0x(\varphi l, t)(x - \varphi l(t)) - c0x(\varphi k, t)(x - \varphi k(t))|
\bigm| \bigm| \=V0l\bigm| \bigm| +
+ | c0(\varphi k, t) + c0x(\varphi k, t)(x - \varphi k(t))|
\bigm| \bigm| \=V0l - \=V0k
\bigm| \bigm| \leq | c0(\varphi l, t) - c0(\varphi k, t)|
\bigm| \bigm| \=V0l\bigm| \bigm| +
+ | c0x(\varphi l, t)| | \varphi l(t) - \varphi k(t)|
\bigm| \bigm| \=V0l\bigm| \bigm| + | x - \varphi k(t)| | c0x(\varphi l, t) - c0x(\varphi k, t)|
\bigm| \bigm| \=V0l\bigm| \bigm| +
+ | c0(\varphi k, t)|
\bigm| \bigm| \=V0l - \=V0k
\bigm| \bigm| + | c0x(\varphi k, t)| | x - \varphi k(t)|
\bigm| \bigm| \=V0l - \=V0k
\bigm| \bigm| \leq
\leq | c0(\varphi l, t) - c0(\varphi k, t)|
\bigm| \bigm| \=V0l\bigm| \bigm| + | c0x(\varphi l, t)| | \varphi l(t) - \varphi k(t)|
\bigm| \bigm| \=V0l\bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| x - \varphi l(t)
\bigm| \bigm| | \=V0l| | c0x(\varphi l, t) - c0x(\varphi k, t)| + | \varphi k(t) - \varphi l(t)|
\bigm| \bigm| \=V0l\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c0x(\varphi l, t) - c0x(\varphi k, t)
\bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| c0(\varphi k, t)
\bigm| \bigm| | \=V0l - \=V0k| + | x - \varphi k|
\bigm| \bigm| c0x(\varphi k, t)
\bigm| \bigm| | \=V0k| + | x - \varphi k|
\bigm| \bigm| c0x(\varphi k, t)
\bigm| \bigm| | \=V0l| .
Аналогiчно мiркуванням, що використанi при доведеннi теореми 1, знаходимо нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \=V0l - \=V0k
\bigm| \bigm| = 3
m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| A(\varphi k, t)
c0(\varphi k, t)
\mathrm{c}\mathrm{h} - 2
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi \prime
k(t)
x - \varphi k(t)
2\varepsilon
\Biggr)
-
- A(\varphi l, t)
c0(\varphi l, t)
\mathrm{c}\mathrm{h} - 2
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi l, t)
\varphi \prime
l(t)
x - \varphi l(t)
2\varepsilon
\Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
АСИМПТОТИЧНI \Sigma -РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 251
\leq 3
m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| A(\varphi k, t)
c0(\varphi k, t)
\Biggl(
\mathrm{c}\mathrm{h} - 2
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi \prime
k(t)
x - \varphi k(t)
2\varepsilon
\Biggr)
- \mathrm{c}\mathrm{h} - 2
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi l, t)
\varphi \prime
l(t)
x - \varphi l(t)
2\varepsilon
\Biggr) \Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
3
m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{h} - 2
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi l, t)
\varphi \prime
l(t)
x - \varphi l(t)
2\varepsilon
\Biggr) \biggl(
A(\varphi k, t)
c0(\varphi k, t)
- A(\varphi l, t)
c0(\varphi l, t)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq C11
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - \varphi k(t)
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 + C12
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - \varphi l(t)
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 + C13
\bigm| \bigm| \varphi k(t) - \varphi l(t)
\bigm| \bigm| .
Таким чином, маємо
| B1(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon )| \leq C9 \varepsilon , (x, t) \in \scrT 1,
де C9 — деяка стала, що залежить лише вiд множини K.
Далi розглянемо вираз для B2(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ). Маємо
B2(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) = c(x, t, \varepsilon )
\Biggl(
m\sum
k=1
\=V1k
\Biggr) \Biggl(
m\sum
k=1
\partial \=V0k
\partial \tau k
\Biggr)
-
-
m\sum
k=1
mc0(\varphi k, t) \=V1k
\partial \=V0k
\partial \tau k
=
=
m\sum
k=1
m\sum
l=1
\biggl(
c(x, t, \varepsilon )
\partial \=V0l
\partial \tau l
- c0(\varphi k, t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
\biggr)
\=V1k =
=
m\sum
k=1
m\sum
l=1
\biggl(
c0(x, t)
\partial \=V0l
\partial \tau l
- c0(\varphi k, t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
\biggr)
\=V1k +O(\varepsilon ).
Оскiльки \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c0(x, t)\partial \=V0l\partial \tau l
- c0(\varphi k, t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \=V1k\bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (c0(x, t) - c0(\varphi l, t))
\partial \=V0l
\partial \tau l
+ c0(\varphi l, t)
\partial \=V0l
\partial \tau l
- c0(\varphi k, t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \=V1k\bigm| \bigm| \leq
\leq C10\varepsilon | \tau l|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V0l\partial \tau l
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \=V1k\bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c0(\varphi l, t)
\partial \=V0l
\partial \tau l
- c0(\varphi k, t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \=V1k\bigm| \bigm| ,
то, враховуючи нерiвнiсть \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c0(\varphi l, t)
\partial \=V0l
\partial \tau l
- c0(\varphi k, t)
\partial \=V0k
\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \=V1k\bigm| \bigm| \leq
\leq 3 | A(\varphi k, t)|
m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sqrt{}
A(\varphi l, t)
\varphi \prime
l(t)
\mathrm{c}\mathrm{h} - 3
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi l, t)
\varphi \prime
l(t)
x - \varphi l(t)
2\varepsilon
\Biggr)
\mathrm{s}\mathrm{h}
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi l, t)
\varphi \prime
l(t)
x - \varphi l(t)
2\varepsilon
\Biggr)
-
-
\sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi \prime
k(t)
\mathrm{c}\mathrm{h} - 3
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi \prime
k(t)
x - \varphi k(t)
2\varepsilon
\Biggr)
\mathrm{s}\mathrm{h}
\Biggl( \sqrt{}
A(\varphi k, t)
\varphi \prime
k(t)
x - \varphi k(t)
2\varepsilon
\Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \=V1k\bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
252 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
\leq
\biggl(
C23
| x - \varphi l(t)|
\varepsilon
+ C33
| x - \varphi k(t)|
\varepsilon
\biggr) \bigm| \bigm| \=V1k\bigm| \bigm| \leq
\leq
\biggl(
(C23 + C33)
| x - \varphi k(t)|
\varepsilon
+ C23
| \varphi l(t) - \varphi k(t)|
\varepsilon
\biggr) \bigm| \bigm| \=V1k\bigm| \bigm| ,
отримуємо асимптотичну оцiнку\bigm| \bigm| B2(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \leq C10 \varepsilon , (x, t) \in \scrT 1,
де C10 — деяка стала, що залежить лише вiд множини K.
Розглянемо нарештi вираз для B3(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ). Маємо
B3(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) = c(x, t, \varepsilon )
\Biggl(
m\sum
k=1
\=V0k
\Biggr) \Biggl(
m\sum
k=1
\partial \=V1k
\partial \tau k
\Biggr)
-
m\sum
k=1
mc0(\varphi k, t) \=V0k
\partial \=V1k
\partial \tau k
=
=
m\sum
k=1
m\sum
l=1
\bigl(
c(x, t, \varepsilon ) \=V0l - c0(\varphi k, t) \=V0k
\bigr) \partial \=V1k
\partial \tau k
=
=
m\sum
k=1
m\sum
l=1
\bigl(
c0(x, t) \=V0l - c0(\varphi k, t) \=V0k
\bigr) \partial \=V1k
\partial \tau k
+O(\varepsilon ).
Очевидно, що виконуються такi нерiвностi:
\bigm| \bigm| c0(x, t) \=V0l - c0(\varphi k, t) \=V0k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \=V1k\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigl( c0(x, t) - c0(\varphi l, t)
\bigr)
\=V0l + c0(\varphi l, t) \=V0l - c0(\varphi k, t) \=V0k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V1k\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq C11\varepsilon | \tau l|
\bigm| \bigm| \=V0l\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V1k\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \bigm| c0(\varphi l, t) \=V0l - c0(\varphi k, t) \=V0k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V1k\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
де C11 — деяка стала, що залежить лише вiд множини K.
Тодi, беручи до уваги нерiвнiсть
\bigm| \bigm| c0(\varphi l, t) \=V0l - c0(\varphi k, t) \=V0k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V1k\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 3
m
\bigm| \bigm| A(\varphi k, t)
\bigm| \bigm| \Biggl( C11
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - \varphi l(t)
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 + C22
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - \varphi k(t)
\varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
\Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \=V1k\partial \tau k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
отримуємо асимптотичне спiввiдношення\bigm| \bigm| B3(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \leq C12 \varepsilon , (x, t) \in \scrT 1,
де C12 — деяка стала, що залежить вiд множини K.
Таким чином, знаходимо асимптотичну оцiнку R11(x, t, \tau 1, \tau 2, . . . , \tau m, \varepsilon ) = O(\varepsilon ).
Це означає, що на множинi \scrT 1 функцiя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
АСИМПТОТИЧНI \Sigma -РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 253
Y1(x, t, \varepsilon ) = u0(x, t) +
m\sum
k=1
\=V0k
\biggl(
t,
x - \varphi k(t)
\varepsilon
\biggr)
+ \varepsilon u1(x, t) + \varepsilon
m\sum
k=1
\=V1k
\biggl(
t,
x - \varphi k(t)
\varepsilon
\biggr)
задовольняє рiвняння (3) з точнiстю O(\varepsilon ).
З доведення теореми 2 випливає така властивiсть побудованого асимптотичного розв’язку
Y1(x, t, \varepsilon ): якщо значення (x, t) \in \bfR \times [0; \varepsilon 2T ] такi, що | x - \varphi k(t)| /\varepsilon = | \tau k| \rightarrow +\infty при всiх
k = 1,m, то для таких значень (x, t) функцiя Y1(x, t, \varepsilon ), (x, t) \in \bfR \times [0; \varepsilon 2T ], вигляду (31)
задовольняє рiвняння (3) з точнiстю O(\varepsilon 2).
Ця властивiсть асимптотичного розв’язку Y1(x, t, \varepsilon ) випливає з того, що функцiї \=V0k(t, \tau k),
\=V1k(t, \tau k) є швидко спадними за кожною iз змiнних \tau k, k = 1,m.
Теорему 2 доведено.
Висновки. Побудовано асимптотичний солiтоноподiбний розв’язок сингулярно збуреного
рiвняння Benjamin – Bona – Mahony зi змiнними коефiцiєнтами у виглядi суми, що мiстить функ-
цiї, кожна з яких є однофазовою солiтоноподiбною функцiєю. Отримано головний i перший
члени такого асимптотичного розв’язку i доведено теореми про точнiсть, з якою побудований
асимптотичний розв’язок задовольняє дослiджуване рiвняння.
Лiтература
1. Korteweg D. J., de Vries G. On the change in form of long waves advancing in a rectangular canal and a new type
of long stationary waves // Phil. Mag. – 1895. – № 39. – P. 422 – 433.
2. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and recurrence of initial states // Phys.
Rev. Lett. – 1965. – 15. – P. 240 – 243.
3. Gardner C. S., Green J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg – de Vries equation //
Phys. Rev. Lett. – 1967. – 19. – P. 1095 – 1097.
4. Novikov S., Manakov S. V., Pitaevskii L. P., Zakharov V. E. Theory of solitons. The inverse scattering method. –
Berlin: Springer, 1984. – 276 p.
5. Calogero F., Degasperis A. Spectral transform and solitons. – Amsterdam: North-Holland, 1982. – 516 p.
6. Wadati M. The modified Korteweg – de Vries equation // J. Phys. Soc. Jap. – 1973. – 34, № 6. – P. 1289 – 1296.
7. Toda M. Nonlinear waves and solitons. – Tokyo: Kluwer Acad. Publ., 1989. – 377 p.
8. Kaup D. J., Newell A. C. An exact solution for a derivative nonlinear Schrödinger equation // J. Math. Phys. – 1978. –
19, № 4. – P. 798 – 801.
9. Kadomtsev B. B., Petviashvili V. I. On the stability of solitary waves in weakly dispersive media // Sov. Phys. Dokl. –
1970. – 15. – P. 539 – 541.
10. Kaup D. J. A higher-order water-wave equation and the method for solving it // Prog. Theor. Phys. – 1975. – 54. –
P. 396 – 408.
11. Newell A. C. Nonlinear wave motion // Lect. Appl. Math. – Providence: Amer. Math. Soc., 1974. – 229 p.
12. Lamb G.R., Jr. Elements of soliton theory. – New York: J. Wiley, 1980. – 289 p.
13. Peregrin D. H. Calculations of the development of an undular bore // J. Fluid Mech. – 1966. – 25, № 2. – P. 321 – 330.
14. Benjamin T. B., Bona J. L., Mahony J. J. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems // Phil.
Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. – 1972. – 272. – P. 47 – 78.
15. Abdulloyev Kh. O., Bogolubsky I. L., Makhankov V. G. One more example of inelastic soliton interaction // Phys.
Lett. A. – 1976. – 56. – P. 427 – 428.
16. Santarelli A. R. Numerical analysis of the regularized long-wave equation: inelastic collision of solitary waves //
Nuova Cim. B. – 1978. – 46. – P. 179 – 188.
17. Bona J. L., Pritchard W. G., Scott L. R. Solitary wave interaction // Phys. Fluids. – 1980. – 23, № 3. – P. 438 – 441.
18. Bona J. L., Pritchard W. G., Scott L. R. An evolution of a model equation for water waves // Phyl. Trans. Roy. Soc.
A. – 1981. – 302. – P. 457 – 510.
19. Seadway A. R., Sayed A. Travelling wave solutions of the Benjamine – Bona – Mahony wate wave equations // Abstr.
and Appl. Anal. – 2014. – 2014. – Article ID 926838. – 7 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
254 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
20. Eilback J. C., McGruire G. R. Numerical studies of the regularized long wave equation. I: Numerical methods // J.
Comput. Phys. – 1975. – 19. – P. 43 – 57.
21. Eilback J. C., McGruire G. R. Numerical studies of the regularized long wave equation. II: Interaction of solitary
waves // J. Comput. Phys. – 1977. – 23. – P. 63 – 73.
22. Dodd R. K., Eilback J. C., Gibbon J. D., Morris H. C. Solitons and nonlinear wave equations. – First ed. – Acad.
Press., 1982. – 630 p.
23. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.:
Наука, 1963. – 407 с.
24. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной
механике. – Киев: Наук. думка, 1969. – 244 с.
25. Miura R. M., Kruskal M. D. Application of nonlinear WKB-method to the Korteweg – de Vries equation // SIAM
Appl. Math. – 1974. – 26, № 2. – P. 376 – 395.
26. Lax P. D., Levermore C. D. The small dispersion limit of the Korteweg – de Vries equation. I // Communs Pure and
Appl. Math. – 1983. – 36, № 3. – P. 253 – 290.
27. Lax P. D., Levermore C. D. The small dispersion limit of the Korteweg – de Vries equation. II // Communs Pure and
Appl. Math. – 1983. – 36, № 5. – P. 571 – 593.
28. Lax P. D., Levermore C. D. The small dispersion limit of the Korteweg – de Vries equation. III // Communs Pure and
Appl. Math. – 1983. – 36, № 6. – P. 809 – 829.
29. Flaschka H., Forest M. G., McLaughlin D. W. Multiphase averaging and the inverse spectral solution of the
Korteweg – de Vries equation // Communs Pure and Appl. Math. – 1980. – 33, № 6. – P. 739 – 784.
30. Ильин А. М., Калякин Л. А. Возмущение конечносолитонных решений уравнения Кортевега – де Фриса //
Докл. РАН. – 1994. – 336, № 5. – С. 595 – 598.
31. Самойленко А. М., Прикарпатський Я. А. Алгебро-аналiтичнi аспекти цiлком iнтегровних динамiчних систем
та їх збурень. – Kиїв: Iн-т математики НАН України, 2002. – 237 c.
32. de Kerf F. Asymptotic analysis of a class of perturbed Korteweg – de Vries initial value problems. – Amsterdam:
Centr. Wiskunde Inform., 1988. – 50. – 180 p.
33. Samoylenko V. Hr., Samoylenko Yu. I. Asymptotic expansions for one-phase soliton-type solutions of the Korteweg – de
Vries equation with variable coefficients // Ukr. Math. J. – 2005. – 57, № 1. – P. 132 – 148.
34. Samoylenko V. Hr., Samoylenko Yu. I. Asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg –
de Vries equation with variable coefficients. I // Ukr. Math. J. – 2012. – 64, № 7. – P. 1109 – 1127.
35. Samoylenko V. Hr., Samoylenko Yu. I. Asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg –
de Vries equation with variable coefficients. II // Ukr. Math. J. – 2013. – 64, № 8. – P. 1241 – 1259.
36. Samoilenko V., Samoilenko Yu. Asymptotic soliton like solutions to the singularly perturbed Benjamin – Bona – Mahony
equation with variable coefficients // arXiv:1703.01265. – 19 p.
37. Samoylenko V. Hr., Samoylenko Yu. I. Asymptotic multiphase \Sigma -solutions to the singularly perturbed Korteweg – de
Vries equation with variable coefficients // J. Math. Sci. – 2014. – 200, № 3. – P. 358 – 373.
38. Maslov V. P., Omel’yanov G. A. Geometric asymptotics for PDE. I. – Providence: Amer. Math. Soc., 2001. – 243 p.
39. Самойленко Ю. I. Iснування розв’язку задачi Кошi для рiвняння Хопфа зi змiнними коефiцiєнтами у просторi
швидко спадних функцiй // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 9, № 1. – С. 293 – 300.
40. Самойленко Ю. I. Iснування розв’язку задачi Кошi для лiнiйного рiвняння з частинними похiдними першого
порядку зi змiнними коефiцiєнтами у просторi швидко спадних функцiй // Буков. мат. журн. – 2013. – 1, № 1-2. –
С. 120 – 124.
41. Samoylenko V. Hr., Samoylenko Yu. I Existence of a solution to the inhomogeneous equation with the one-dimensional
Schrödinger operator in the space of quickly decreasing functions // J. Math. Sci. – 2012. – 187, № 1. – P. 70 – 76.
Одержано 28.09.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1554 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:57Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/43/4d74324934badf30e0880d827b761a43.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15542019-12-05T09:18:03Z Asymptotic $Σ$-solutions to singularly perturbed Benjamin – Bona – Mahony equation with variable coefficients Асимптотичні $Σ$-розв’язки сингулярно збуреного рівняння Benjamin – Bona – Mahony зі змінними коефіцієнтами Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. We study the problem of construction of asymptotic $\Sigma$ -solutions to the singularly perturbed Benjamin – Bona – Mahony equation with variable coefficients. An algorithm for the construction of solutions is described. We determine main and first terms of the asymptotic solution. The theorems on the accuracy with which the indicated asymptotic solution satisfies the considered equation are also proved. Рассматривается задача о построении асимптотических $\Sigma$ -решений сингулярно возмущенного уравнения Benjamin – Bona – Mahony с переменными коэффициентами. Описан алгоритм построения асимптотических $\Sigma$ -решений, найдены главный и первый члены асимптотического решения, доказаны теоремы о точности, с которой такое асимптотическое решение удовлетворяет рассматриваемому уравнению. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1554 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 2 (2018); 236-254 Український математичний журнал; Том 70 № 2 (2018); 236-254 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1554/536 Copyright (c) 2018 Samoilenko V. G.; Samoilenko Yu. I. |
| spellingShingle | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. Asymptotic $Σ$-solutions to singularly perturbed Benjamin – Bona – Mahony equation with variable coefficients |
| title | Asymptotic $Σ$-solutions to singularly perturbed
Benjamin – Bona – Mahony equation with variable coefficients |
| title_alt | Асимптотичні $Σ$-розв’язки сингулярно
збуреного рівняння Benjamin – Bona – Mahony зі змінними коефіцієнтами |
| title_full | Asymptotic $Σ$-solutions to singularly perturbed
Benjamin – Bona – Mahony equation with variable coefficients |
| title_fullStr | Asymptotic $Σ$-solutions to singularly perturbed
Benjamin – Bona – Mahony equation with variable coefficients |
| title_full_unstemmed | Asymptotic $Σ$-solutions to singularly perturbed
Benjamin – Bona – Mahony equation with variable coefficients |
| title_short | Asymptotic $Σ$-solutions to singularly perturbed
Benjamin – Bona – Mahony equation with variable coefficients |
| title_sort | asymptotic $σ$-solutions to singularly perturbed
benjamin – bona – mahony equation with variable coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1554 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkovg asymptoticssolutionstosingularlyperturbedbenjaminbonamahonyequationwithvariablecoefficients AT samoilenkoyui asymptoticssolutionstosingularlyperturbedbenjaminbonamahonyequationwithvariablecoefficients AT samojlenkovg asymptoticssolutionstosingularlyperturbedbenjaminbonamahonyequationwithvariablecoefficients AT samojlenkoûlí asymptoticssolutionstosingularlyperturbedbenjaminbonamahonyequationwithvariablecoefficients AT samoilenkovg asimptotičnísrozvâzkisingulârnozburenogorívnânnâbenjaminbonamahonyzízmínnimikoefícíêntami AT samoilenkoyui asimptotičnísrozvâzkisingulârnozburenogorívnânnâbenjaminbonamahonyzízmínnimikoefícíêntami AT samojlenkovg asimptotičnísrozvâzkisingulârnozburenogorívnânnâbenjaminbonamahonyzízmínnimikoefícíêntami AT samojlenkoûlí asimptotičnísrozvâzkisingulârnozburenogorívnânnâbenjaminbonamahonyzízmínnimikoefícíêntami |