Least-squares method in the theory of matrix differential-algebraic boundary-value problems
We use the scheme of the classical least-squares method for the construction of approximate pseudosolutions of a linear matrix boundary-value problem for a system of differential-algebraic equations.
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1556 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507356301885440 |
|---|---|
| author | Dzyuba, M. V. Nesmelova, O. V. Chuiko, S. M. Дзюба, М. В. Нєсмєлова, О. В. Чуйко, С. М. |
| author_facet | Dzyuba, M. V. Nesmelova, O. V. Chuiko, S. M. Дзюба, М. В. Нєсмєлова, О. В. Чуйко, С. М. |
| author_sort | Dzyuba, M. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:03Z |
| description | We use the scheme of the classical least-squares method for the construction of approximate pseudosolutions of a linear
matrix boundary-value problem for a system of differential-algebraic equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
С. М. Чуйко, О. В. Нєсмєлова, М. В. Дзюба (Донбас. держ. пед. ун-т, Слов’янськ)
МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТIВ У ТЕОРIЇ МАТРИЧНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ*
We use the scheme of the classical least-squares method for the construction of approximate pseudosolutions of a linear
matrix boundary-value problem for a system of differential-algebraic equations.
Найдены условия существования, а также конструкция наилучшего (в смысле наименьших квадратов) псевдореше-
ния матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи.
1. Постановка задачi. Розглянемо задачу про побудову розв’язкiв [1 – 3]
Z(t) \in \BbbC 1
\alpha \times \beta [a; b] := \BbbC 1[a; b]\otimes \BbbR \alpha \times \beta
матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння
\scrA Z \prime (t) = \scrB Z(t) + F (t), (1)
пiдпорядкованих крайовiй умовi
\scrL Z(\cdot ) = \frakA , \frakA \in \BbbR \mu \times \nu . (2)
Тут [5, 6]
\scrA Z \prime (t) : \BbbC 1
\alpha \times \beta [a, b] \rightarrow \BbbC \gamma \times \delta [a, b]
— матричний диференцiально-алгебраїчний оператор, який, за визначенням, для будь-яких ска-
лярних функцiй
\zeta (t), \xi (t) \in \BbbC 1[a, b]
та сталих матриць \Xi 1,\Xi 2 \in \BbbR \alpha \times \beta забезпечує рiвнiсть
\scrA
\bigl(
\zeta \prime (t)\Xi 1 + \xi \prime (t)\Xi 2
\bigr)
(t) = \zeta \prime (t)\scrA (\Xi 1)(t) + \xi \prime (t)\scrA (\Xi 2)(t).
Аналогiчно матричний оператор
\scrB Z(t) : \BbbC 1
\alpha \times \beta [a, b] \rightarrow \BbbC 1
\gamma \times \delta [a, b]
будемо далi називати алгебраїчним, якщо для будь-яких
\zeta (t), \xi (t) \in \BbbC 1[a, b] \Xi 1,\Xi 2 \in \BbbR \alpha \times \beta ,
має мiсце рiвнiсть
\scrB (\zeta (t)\Xi 1 + \xi (t)\Xi 2)(t) = \zeta (t)\scrB (\Xi 1)(t) + \xi (t)\scrB (\Xi 2)(t).
Тут також F (t) \in \BbbC \gamma \times \delta [a, b] — неперервна матриця та \scrL Z(\cdot ) — лiнiйний обмежений матричний
функцiонал:
* Виконано за фiнансової пiдтримки Мiнiстерства освiти i науки України (реєстрацiйний номер 0115U003182)
та гранта Президента України докторам наук для здiйснення наукових дослiджень у 2017 р. (реєстрацiйний номер
8117U006052).
c\bigcirc С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА, М. В. ДЗЮБА, 2018
280 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТIВ . . . 281
\scrL Z(\cdot )\BbbC 1
\alpha \times \beta [a, b] \rightarrow \BbbR \mu \times \nu .
Взагалi кажучи, припускаємо, що
\alpha , \beta , \gamma , \delta , \mu , \nu \in \BbbN
— довiльнi натуральнi числа. Тут i далi \BbbC m\times n[a, b] — лiнiйний нормований простiр дiйсних
(m\times n)-матриць B(t), неперервних на вiдрiзку [a, b] з нормою
\| B(t)\| \BbbC m\times n := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
[a;b]
\| B(t)\| \BbbR m\times n , B(t) \in \BbbC m\times n[a, b],
а \BbbC 1
m\times n[a, b] — лiнiйний нормований простiр дiйсних матриць B(t), неперервно диференцiйов-
них на вiдрiзку [a, b] з нормою
\| B(t)\| \BbbC 1
m\times n
:= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
[a;b]
1\sum
k=0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| B(k)(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\BbbR m\times n
, B(t) \in \BbbC 1
m\times n[a, b].
Матричне диференцiально-алгебраїчне рiвняння (1) узагальнює традицiйнi постановки задач
як для матричних диференцiальних рiвнянь [1 – 3], так i для диференцiально-алгебраїчних
рiвнянь [4, 7 – 9]. З iншого боку, матрична диференцiально-алгебраїчна крайова задача (1), (2)
узагальнює нетеровi крайовi задачi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь [10 – 12].
Нехай
\Xi (j) \in \BbbR \alpha \times \beta , j = 1, 2, . . . , \alpha \cdot \beta ,
— природний базис [13] простору \BbbR \alpha \times \beta , при цьому задача про побудову розв’язкiв узагальне-
ного диференцiально-алгебраїчного матричного рiвняння (1) приводить до задачi про побудову
вектора z(t), компоненти якого zj(t) визначають розвинення матрицi
Z(t) =
\alpha \cdot \beta \sum
j=1
\Xi (j)zj(t), zj(t) \in \BbbC 1[a, b], j = 1, 2, . . . , \alpha \cdot \beta .
Лiнiйний диференцiально-алгебраїчний матричний оператор \scrA Z \prime (t) за визначенням має вигляд
\scrA Z \prime (t) =
\alpha \cdot \beta \sum
j=1
\scrA \Xi (j)(t)z\prime j(t).
При цьому
\scrM
\bigl[
\scrA Z \prime (t)
\bigr]
= \Omega (t) \cdot z\prime (t), \Omega (t) := [\Omega j(t)]
\alpha \cdot \beta
j=1 \in \BbbC 1
\gamma \cdot \delta \times \alpha \cdot \beta [a, b],
де
\Omega j(t) = \scrM
\Bigl[
\scrA \Xi (j)(t)
\Bigr]
, j = 1, 2, . . . , \alpha \cdot \beta .
Аналогiчно
\scrM [\scrB Z(t)] = \Theta (t) \cdot z(t), \Theta (t) := [\Theta j(t)]
\alpha \cdot \beta
j=1 \in \BbbC 1
\gamma \cdot \delta \times \alpha \cdot \beta [a, b],
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
282 С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА, М. В. ДЗЮБА
\Theta j(t) = \scrM
\Bigl[
\scrB \Xi (j)(t)
\Bigr]
, j = 1, 2, . . . , \alpha \cdot \beta .
Таким чином, задачу про побудову розв’язкiв диференцiально-алгебраїчного матричного
рiвняння (1) зведено до задачi про знаходження розв’язкiв
z(t) \in \BbbC 1
\alpha \cdot \beta [a, b]
традицiйного диференцiально-алгебраїчного рiвняння [4, 7 – 9]
\Omega (t) \cdot z\prime (t) = \Theta (t) \cdot z(t) + \scrF (t), \scrF (t) := \scrM [F (t)]. (3)
2. Випадок розв’язностi системи (3) вiдносно похiдної. За умови [5, 12]
P\Omega \ast (t)\Theta (t) = 0, P\Omega \ast (t)\scrF (t) = 0, \Omega +(t)\Theta (t) \in \BbbC \alpha \cdot \beta \times \alpha \cdot \beta [a, b] (4)
у випадку
\Omega +(t)\scrF (t), P\Omega \varrho (t)\varphi (t) \in \BbbC \alpha \cdot \beta \times \varrho [a, b] (5)
система (3) розв’язна вiдносно похiдної
dz
dt
= \Omega +(t)\Theta (t)z + \frakF (t, \varphi (t)),
де
\frakF (t, \varphi (t)) := \Omega +(t)\scrF (t) + P\Omega \varrho (t)\varphi (t).
Тут P\Omega \ast (t) — (\gamma \cdot \delta \times \gamma \cdot \delta )-матриця-ортопроектор:
P\Omega \ast (t) : \BbbR \gamma \cdot \delta \rightarrow \BbbN (\Omega \ast (t)) ,
P\Omega \varrho (t) — (\alpha \cdot \beta \times \varrho )-матриця, утворена з \varrho лiнiйно незалежних стовпцiв (\alpha \cdot \beta \times \alpha \cdot \beta )-матрицi-
ортопроектора
P\Omega (t) : \BbbR \alpha \cdot \beta \rightarrow \BbbN (\Omega (t)).
Позначимо через X(t) нормальну фундаментальну матрицю [10]
dX(t)
dt
= \Omega +(t)\Theta (t)X(t), X0(a) = I\alpha \beta
одержаної традицiйної системи звичайних диференцiальних рiвнянь. За умов (4), (5) система
(3) має розв’язок вигляду
z(t, c) = X0(t)c+K [\frakF (s, \varphi (s))] (t), c \in \BbbR \alpha \cdot \beta ,
K [\frakF (s, \varphi (s))] (t) := X0(t)
t\int
a
X - 1
0 (s)\frakF (s, \varphi (s))ds,
який визначає розв’язок матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1)
Z(t, c) =W (t, c) +\scrK [\frakF (s, \varphi (s))] (t), W (t, c) := \scrM - 1 [X0(t)c] . (6)
Тут
\scrK [\frakF (s, \varphi (s))] (t) := \scrM - 1 \{ K [\frakF (s, \varphi (s))] (t)\}
— узагальнений оператор Грiна задачi Кошi Z(a) = 0 для диференцiально-алгебраїчної систе-
ми (1).
Таким чином, доведено наступну достатню умову розв’язностi задачi Кошi для системи (1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТIВ . . . 283
Лема. За умов (4), (5) матрична задача Кошi Z(a) = \frakA для диференцiально-алгебраїчної
системи (1) однозначно розв’язна для будь-якого початкового значення \frakA \in \BbbR \mu \times \nu . За умов (4),
(5) загальний розв’язок (6) задачi Кошi Z(a) = \frakA для диференцiально-алгебраїчної системи (1)
визначає узагальнений оператор Грiна задачi Кошi Z(a) = 0 для диференцiально-алгебраїчної
системи (1) та загальний розв’язок W (t, c) задачi Кошi Z(a) = \frakA для однорiдної частини
рiвняння (1).
Доведена лема узагальнює вiдповiднi результати як для матричних диференцiальних рiв-
нянь [1 – 3], так i для диференцiально-алгебраїчних рiвнянь [4, 5, 7 – 9]. З iншого боку, до-
ведена лема узагальнює вiдповiднi результати, отриманi у випадку нетерових крайових за-
дач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь [10 – 12]. Зазначимо, що для розв’язан-
ня диференцiально-алгебраїчного рiвняння (3) можна також скористатися бiльш традицiйною
центральною канонiчною формою [4, 7 – 9].
Приклад 1. Умови леми задовольняє традицiйна диференцiально-алгебраїчна система
Q(t)z\prime (t) = \Omega (t)z(t) + f(t), f(t) :=
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\bigr) \ast
, (7)
де
Q(t) :=
\left(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\right) , \Omega (t) :=
\left(
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\right) .
Оскiльки справджуються рiвностi
PQ\ast (t)\Omega (t) = 0, PQ\ast (t)\scrF (t) = 0,
то умови (4), (5) виконано. Добуток
Q+(t)\Omega (t) =
1
2
\left( 0 1 0
- 2 0 - 2
0 1 0
\right)
визначає загальний розв’язок
W (t, c) = X(t)c, X(t) =
\left(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
t
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
2
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
t
2
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
t
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
t
2
\right) , c \in \BbbR 3,
задачi Кошi Z(a) = c, c \in \BbbR 3, для однорiдної частини рiвняння (7), а також узагальнений
оператор Грiна задачi Кошi Z(0) = 0 для диференцiально-алгебраїчної системи (7). Покладемо
\varphi (t) := \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, при цьому
\scrK [\frakF (s, \varphi (s))] (t) =
1
2
\left( 3(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - 1)
3 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - 1
\right) .
Пiдставляючи розв’язок матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1) у крайову
умову (2), приходимо до задачi про знаходження розв’язкiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
284 С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА, М. В. ДЗЮБА
c =
\alpha \cdot \beta \sum
j=1
\Xi (j)cj \in \BbbR \alpha \cdot \beta , cj \in \BbbR 1, j = 1, 2, . . . , \alpha \cdot \beta ,
матричного рiвняння [14]
\scrL W (\cdot , c) + \scrL \scrK [\frakF (s, \varphi (s))] (\cdot ) = \frakA \in \BbbR \mu \times \nu . (8)
У критичному випадку (P\scrQ \ast \not = 0) за умов (4), (5) та
P\scrQ \ast
d
\scrM \{ \frakA - \scrL \scrK [\frakF (s, \varphi (s))] (\cdot )\} = 0 (9)
розв’язок матричного рiвняння (8) визначає вектор [14]
c = \scrQ +\scrM \{ \frakA - \scrL \scrK [\frakF (s, \varphi (s))] (\cdot )\} + P\scrQ rcr, cr \in \BbbR r.
Тут P\scrQ \ast — (\mu \cdot \nu \times \mu \cdot \nu )-матриця-ортопроектор P\scrQ \ast : \BbbR \mu \cdot \nu \rightarrow \BbbN (\scrQ \ast ) , де
\scrQ := [\scrQ i]
\alpha \cdot \beta
i=1 \in \BbbR \mu \cdot \nu \times \alpha \cdot \beta , \scrQ i := \scrM
\Bigl\{
\scrL \scrM - 1
\Bigl[
X(\cdot )\Xi (i)
\Bigr] \Bigr\}
, i = 1, 2, . . . , \alpha \cdot \beta ;
матриця P\scrQ r утворена з r лiнiйно незалежних стовпцiв (\alpha \cdot \beta \times \alpha \cdot \beta )-матрицi-ортопроектора P\scrQ :
\BbbR \alpha \cdot \beta \rightarrow \BbbN (\scrQ ). Матриця P\scrQ \ast
d
утворена з d лiнiйно незалежних рядкiв матрицi-ортопроекто-
ра P\scrQ \ast .
3. Псевдорозв’язки крайової задачi (1), (2). Припустимо, що задачу про побудову розв’яз-
кiв
Z(t) \in \BbbC 1
\alpha \times \beta [a; b] := \BbbC 1[a; b]\otimes \BbbR \beta \times \gamma
матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1), пiдпорядкованих крайовiй умовi (2),
некоректно поставлено, а саме, що виконуються умови (4), (5). При цьому матрична задача Кошi
Z(a) = \frakA для диференцiально-алгебраїчної системи (1) однозначно розв’язна для будь-якого
початкового значення \frakA \in \BbbR \mu \times \nu . Водночас припустимо, що має мiсце критичний випадок
(P\scrQ \ast \not = 0) та не виконується умова (9) розв’язностi матричної диференцiально-алгебраїчної
крайової задачi (1), (2). За умов (4), (5) система (3) розв’язна вiдносно похiдної. Отже, за умов
(4), (5) матрична диференцiально-алгебраїчна крайова задача (1), (2) рiвнозначна такiй:
dz
dt
= \Omega +(t)\Theta (t)z + \frakF (t, \varphi (t)), \ell z(\cdot ) := \scrM \scrL Z(\cdot ) = \scrM \frakA . (10)
Нехай \psi 1(t), \psi 2(t), . . . , \psi k(t), . . . — система лiнiйно незалежних неперервно диференцiйовних
\alpha \beta -вимiрних вектор-функцiй,
\psi (t) = [\psi 1(t) \psi 2(t) . . . \psi k(t)]
— (\alpha \beta \times k)-вимiрна матриця. Наближення до розв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної
крайової задачi (1), (2) шукатимемо у виглядi
z(t) := \scrM [Z(t)] = \psi (t) \cdot c, c \in \BbbR k.
Будемо вимагати [15], щоб
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТIВ . . . 285
F (c) :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dzdt - \Omega +(t)\Theta (t)z - \frakF (t, \varphi (t))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
\BbbL 2[a,b]
+ \| \scrM [\scrL Z(\cdot ) - \scrA ]\| 2\BbbR \lambda \cdot \mu \rightarrow \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
для фiксованої матрицi \psi (t); при цьому
F (c) =
\bigm\| \bigm\| \psi \prime (t) \cdot c - \Omega +(t)\Theta (t)\psi (t) \cdot c - \frakF (t, \varphi (t))
\bigm\| \bigm\| 2
\BbbL 2[a,b]
+
+
\bigm\| \bigm\| \scrM \bigl[
\scrL \scrM - 1 [\psi (\cdot )c] - \scrA
\bigr] \bigm\| \bigm\| 2
\BbbR \lambda \cdot \mu \rightarrow \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n} .
Позначимо через \v \Xi (j) \in \BbbR \alpha \cdot \beta , j = 1, 2, . . . , \alpha \cdot \beta , базис простору \BbbR \alpha \cdot \beta та через cj , j =
= 1, 2, . . . , \alpha \cdot \beta , сталi, якi визначають розвинення вектора
c =
\alpha \cdot \beta \sum
j=1
\v \Xi (j)cj , cj \in \BbbR 1, j = 1, 2, . . . , \alpha \cdot \beta ,
по векторах \v \Xi (j) \in \BbbR \alpha \cdot \beta базису простору \BbbR \alpha \cdot \beta . Зазначимо, що
\psi \prime (t) \cdot c - \Omega +(t)\Theta (t)\psi (t) \cdot c =
\alpha \cdot \beta \sum
j=1
\Bigl\{
\psi \prime (t) \cdot \v \Xi (j) - \Omega +(t)\Theta (t)\psi (t) \cdot \v \Xi (j)
\Bigr\}
cj = \Phi (t) c,
де
\Phi (t) := [\Phi 1(t) \Phi 2(t) . . . \Phi k(t)]
— (\alpha \cdot \beta \times k)-вимiрна матриця,
\Phi j(t) := \psi \prime (t) \cdot \v \Xi (j) - \Omega +(t)\Theta (t)\psi (t) \cdot \v \Xi (j), c \in \BbbR k.
Аналогiчно
\scrM
\bigl\{
\scrL \scrM - 1 [\psi (\cdot )c]
\bigr\}
= \Psi \gamma , \Psi := [\Psi 1 \Psi 2 . . . \Psi k] \in \BbbR \lambda \cdot \mu \times k,
де
\Psi j := \scrM
\Bigl\{
\scrL \scrM - 1
\Bigl[
\psi (\cdot )\v \Xi (j)
\Bigr] \Bigr\}
, j = 1, 2, . . . , \alpha \cdot \beta .
Функцiя F (c) має вигляд
F (c) =
b\int
a
\{ \Phi (t)c - \frakF (t, \varphi (t))\} \ast \times
\times \{ \Phi (t)c - \frakF (t, \varphi (t)\} dt+ \{ \Psi c - \scrM [\scrA ]\} \ast \cdot \{ \Psi c - \scrM [\scrA ]\} .
Для фiксованої матрицi \psi (t) мiнiмум функцiї F (c) iснує, оскiльки неперервна невiд’ємна
функцiя досягає мiнiмуму. Необхiдною умовою мiнiмiзацiї функцiї F (c) є рiвнiсть F \prime (c) = 0,
тотожна рiвнянню
[\Gamma (\psi (\cdot )) + \Gamma (\scrL \psi (\cdot ))] \cdot c =
b\int
a
\Phi \ast (t)\frakF (t, \varphi (t)) dt+\Psi \ast \scrM [\scrA ] ,
розв’язному вiдносно вектора
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
286 С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА, М. В. ДЗЮБА
c = [\Gamma (\psi (\cdot )) + \Gamma (\scrL \psi (\cdot ))]+
\left\{
b\int
a
\Phi \ast (t)\frakF (t, \varphi (t)) dt+\Psi \ast \scrM [\scrA ]
\right\}
за умови
\scrP \psi
\left\{
b\int
a
\Phi \ast (t)\frakF (t, \varphi (t)) dt+\Psi \ast \scrM [\scrA ]
\right\} = 0. (11)
Зокрема, у випадку невиродженостi суми (k \times k)-матриць Грама [16, 17]
\Gamma (\psi (\cdot )) :=
b\int
a
\Phi \ast (t)\Phi (t)dt, \Gamma (\scrL \psi (\cdot )) := \Psi \ast \Psi .
Тут
\scrP \psi := P[\Gamma (\psi (\cdot ))+\Gamma (\scrL \psi (\cdot ))]\ast : \BbbR k \rightarrow \BbbN [\Gamma (\psi (\cdot )) + \Gamma (\scrL \psi (\cdot ))]\ast
— (k \times k)-матриця-ортопроектор. Отриманий псевдорозв’язок
z\dagger (\psi (t)) = \psi (t) \cdot [\Gamma (\psi (\cdot )) + \Gamma (\scrL \psi (\cdot ))]+\times
\times
\left\{
b\int
a
\Phi \ast (t)\frakF (t, \varphi (t)) dt+\Psi \ast \scrM [\scrA ]
\right\}
забезпечує мiнiмум функцiї F (c) i залежить вiд вибору матрицi \psi (t).
Теорема. Для фiксованого числа k та фiксованої (\alpha \beta \times k)-вимiрної матрицi \psi (t) за умов
(4), (5) та (11) отриманий псевдорозв’язок найкращим чином (у сенсi найменших квадратiв)
мiнiмiзує нев’язку F (c) псевдорозв’язку
Z\dagger (\psi (t)) = \scrM - 1
\Biggl\{
\psi (t) \cdot [\Gamma (\psi (\cdot )) + \Gamma (\scrL \psi (\cdot ))]+\times
\times
\Biggl\{ b\int
a
\Phi \ast (t)\frakF (t, \varphi (t)) dt+\Psi \ast \scrM [\scrA ]
\Biggr\} \Biggr\}
(12)
матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1), пiдпорядкованого крайовiй умовi (2),
серед функцiй вигляду
Z\dagger (\psi (t)) = \scrM - 1 \{ \psi (t) \cdot c\} .
Наслiдок. Для фiксованого числа k та фiксованої (\alpha \beta \times k)-вимiрної матрицi \psi (t) за умов
(4), (5) та [19]
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} [\Gamma (\psi (\cdot )) + \Gamma (\scrL \psi (\cdot ))] \not = 0
псевдорозв’язок (12) найкращим чином (у сенсi найменших квадратiв) мiнiмiзує нев’язку F (c)
псевдорозв’язку Z\dagger (\psi (t)) матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1), пiдпорядко-
ваного крайовiй умовi (2), серед функцiй вигляду
Z\dagger (\psi (t)) = \scrM - 1 \{ \psi (t) \cdot c\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТIВ . . . 287
У частинному випадку, коли \ell \psi (\cdot ) = 0, значно спрощуються умова (11)
\scrP \psi
b\int
a
\Phi \ast (t)\frakF (t, \varphi (t)) dt = 0 (13)
та формула (12)
Z\dagger (\psi (t)) = \psi (t) \cdot [\Gamma (\psi (\cdot ))]+
b\int
a
\Phi \ast (t)\frakF (t, \varphi (t)) dt. (14)
У випадку розв’язностi матричної крайової задачi (1), (2) за умов (4), (5) та (11) для вiдпо-
вiдного вибору матрицi \psi (t) найкращий (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язок (12)
матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi (1), (2) є точним розв’язком. Доведена
теорема та наслiдок узагальнюють вiдповiднi твердження [19] на випадок матричної диферен-
цiально-алгебраїчної крайової задачi (1), (2).
Приклад 2. Побудуємо псевдорозв’язок Z\dagger (\psi (t)) коректно поставленої 2\pi -перiодичної
диференцiально-алгебраїчної крайової задачi для системи
\scrA Z \prime (t) = \scrB Z(t) + F (t), \scrA Z \prime (t) :=
2\sum
i=1
SiZ
\prime (t)Ri, (15)
де
S1 :=
\left(
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
\right) , S2 :=
\left(
0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
\right) , R1 :=
\biggl(
1 0 0
0 0 0
\biggr)
,
R2 :=
\biggl(
0 0 0
0 1 0
\biggr)
, \Psi 1 := R2, \Psi 2 :=
\biggl(
0 1 0
0 1 0
\biggr)
, \scrB Z(t) :=
2\sum
j=1
\Phi jZ(t)\Psi j ,
\Phi 1 := \Phi 2 :=
\left(
0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
\right) , F (t) :=
\left(
0 0 0
0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t 0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t 0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t 0 0
\right) .
Нехай
\Xi 1 :=
\left( 1 0
0 0
0 0
\right) , \Xi 2 :=
\left( 0 0
1 0
0 0
\right) , . . . , \Xi 6 :=
\left( 0 0
0 0
0 1
\right)
— природний базис простору \BbbR 3\times 2. Оскiльки справджуються рiвностi P\Omega \ast (t)\Theta (t) = 0,
P\Omega \ast (t)\scrF (t) = 0, то умови (4), (5) виконано; тут
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
288 С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА, М. В. ДЗЮБА
\Omega (t) =
\left(
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
\right)
, \Theta (t) =
\left(
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
\right)
.
Добуток
\Omega +(t)\Theta (t) =
\left(
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 2
0 0 0 0 0 0
\right)
визначає матрицю
X(t) =
\left(
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 t 0 1 2t
0 0 0 0 0 1
\right) .
Для її знаходження використано жорданову форму:
\Omega +(t)\Theta (t) = S J S - 1,
де
J =
\left(
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
\right) , S =
\left(
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 2 2 2 2
0 0 0 1 0 0
2 0 0 0 0 0
0 1 - 1 - 1 - 1 - 1
\right) .
Крiм того,
X(t) = S U(t)S - 1.
Тут
U(t) =
\left(
1 t 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
\right) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТIВ . . . 289
Таким чином, знаходимо розв’язок
W (t, c) =
\left( c1 c4
c2 t c3 + c5 + 2t c6
c3 c6
\right)
задачi Кошi
Z(0) = \scrM - 1(c) :=
\left( c1 c4
c2 c5
c3 c6
\right) , c :=
\left( c1...
c6
\right) \in \BbbR 6,
для однорiдної частини диференцiально-алгебраїчної системи (15). Традицiйний оператор Грiна
задачi Кошi K[f(s)](t) визначає узагальнений оператор Грiна задачi Кошi для системи (15)
\scrK [F (s)( t) := \scrM - 1
\bigl\{
K
\bigl[
Q+(s)\scrF (s)
\bigr]
(t)
\bigr\}
=
\left( 0 0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t 3 + t - 3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\right) ,
де
Q+(t)\scrF (t) = (0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t 0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)\ast .
Оскiльки P\scrQ \ast \not = 0, то в задачi про побудову 2\pi -перiодичних розв’язкiв матричної диферен-
цiально-алгебраїчної системи (15) має мiсце критичний випадок; тут
\scrQ = - 2\pi
\left(
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 2
0 0 0 0 0 0
\right) , P\scrQ \ast =
\left(
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
\right) .
Загальний розв’язок
W (t, cr) =
\left( c1 c3
c2 c4
- 2c5 c5
\right) , cr \in \BbbR 5,
однорiдної частини 2\pi -перiодичної матричної задачi для диференцiально-алгебраїчної системи
(15) визначають матрицi
P\scrQ =
1
5
\left(
5 0 0 0 0 0
0 5 0 0 0 0
0 0 4 0 0 - 2
0 0 0 5 0 0
0 0 0 0 5 0
0 0 - 2 0 0 1
\right) , P\scrQ r =
1
5
\left(
5 0 0 0 0
0 5 0 0 0
0 0 0 0 - 2
0 0 5 0 0
0 0 0 5 0
0 0 0 0 1
\right) .
Оскiльки P\Omega (t) \not = 0 :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
290 С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА, М. В. ДЗЮБА
P\Omega \varrho (t) =
\left(
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
\right) \not = 0,
то розв’язок матричної диференцiально-алгебраїчної системи (15) залежатиме вiд довiльної
функцiї \varphi (t) \in \BbbC [0; 2\pi ]. Покладемо
\varphi (t) :=
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\biggr)
.
Таким чином, отримуємо функцiю
\frakF (t, \varphi (t)) := \Omega +(t)\scrF (t) + P\Omega \varrho (t)\varphi (t) =
\left(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\right) ,
причому умову (9) виконано. Позначимо через
\psi (t) := I6 \otimes (1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t)
(6\times 18)-вимiрну матрицю. Оскiльки \ell \psi (\cdot ) = 0, то для знаходження псевдорозв’язку коректно
поставленої 2\pi -перiодичної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi для системи (15) ви-
користовуємо формулу (11). Тут
\Gamma (\psi (\cdot )) =
=
1
\pi
\left(
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0
0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 - 1 0 2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 1 0 - 2 0
0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0
0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 - 2 0 5 0
0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 5
\right)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТIВ . . . 291
При цьому умова (13) виконується i
\frakF (t, \varphi (t)) =
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
\bigr) \ast
.
Крiм того,
\scrP \psi =
=
1
5
\left(
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 - 2 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\right)
.
Оскiльки умову (13) виконано, отримуємо розв’язок 2\pi -перiодичної матричної задачi для ди-
ференцiально-алгебраїчної системи (15)
Z(t, \varphi (t)) =
\left( - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t - 3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\right) ,
який вiдрiзняється вiд розв’язку, який можна отримати за допомогою узагальненого оператора
Грiна [5]
G [\frakF (s, \varphi (s));\frakA ] (t) =
\left(
4
5
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t 3 - 3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
4
5
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - 2
5
+ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\right) .
У випадку нерозв’язностi системи (3) вiдносно похiдної дослiдження матричної крайової
задачi (1), (2) може бути проведено аналогiчно [4, 7, 18, 19, 21].
На завершення вважаємо приємним обов’язком висловити вдячнiсть академiку НАН Украї-
ни А. М. Самойленку за постiйну увагу до роботи та привiтати його з 80-рiччям.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
292 С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА, М. В. ДЗЮБА
Лiтература
1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1969. – 367 с.
2. Деревенский В. П. Матричные уравнения Бернулли. I // Изв. вузов. Математика. – 2008. – № 2. – P. 14 – 23.
3. Boichuk A. A., Krivosheya S. A. A critical periodic boundary-value problem for a matrix Riccati equations // Different.
Equat. – 2001. – 37, № 4. – P. 464 – 471.
4. Campbell S. L. Singular systems of differential equations. — San Francisco etc.: Pitman Adv. Publ. Progr., 1980. —
178 p.
5. Chuiko S. M. The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-algebraic boundary value problem //
Sib. Math. J. – 2015. – 56, № 4. – P. 752 – 760.
6. Chuiko S. M. A generalized matrix differential-algebraic equation // J. Math. Sci. – 2015. – 210, № 1. – P. 9 – 21.
7. Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. – Новосибирск: Наука,
1996. – 280 с.
8. Бояринцев Ю. Е., Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования. –
Новосибирск: Наука, 1998. – 224 с.
9. Чистяков В. Ф., Щеглова А. А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. – Новосибирск:
Наука, 2003. – 317 с.
10. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Utrecht;
Boston: VSP, 2004. – xiv + 317 p.
11. Бойчук A. A., Шегда Л. М. Виродженi нетеровi крайовi задачi // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – 10, № 3. –
С. 303 – 312.
12. Чуйко С. М. Линейные нетеровы краевые задачи для дифференциально-алгебраических систем // Компьют.
исслед. и моделирование. – 2013. – 5, № 5. – С. 769 – 783.
13. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984. — 318 с.
14. Чуйко С. М. О решении линейных матричных уравнений // Наук. вiсн. Харкiв. ун-ту iм. В. Н. Каразiна.
Математика, прикл. математика i механiка. – 2015. – 81. – С. 28 – 34.
15. Chuiko S. М., Starkova О. V. About an approximate solution of autonomous boundary-value problem with a least-
squares methods // Nonlinear Oscillations. – 2009. – 12, № 4. – P. 556 – 573.
16. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 408 с.
17. Кравчук М. Вибранi математичнi працi. – Київ; Нью-Йорк: Задруга, 2002. – 792 с.
18. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродженням. –
Київ: Вища шк., 2000. – 296 c.
19. Чуйко С. М. Метод найменших квадратiв в теорiї некоректно поставлених крайових задач // Вiсн. Київ. нац.
ун-ту iм. Т. Шевченка. – 2007. – № 7. – С. 51 – 53.
20. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-
алгебраические задачи. – М.: Мир, 1999. – 686 с.
21. Chuiko S. M. To the issue of a generalization of the matrix differential-algebraic boundary-value problem // J. Math.
Sci. – 2017. – 227, № 1. – P. 13 – 25.
Одержано 08.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1556 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:01Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/57/88385db37cd0134f6793a381c83c1657.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15562019-12-05T09:18:03Z Least-squares method in the theory of matrix differential-algebraic boundary-value problems Метод найменших квадратів у теорії матричних диференціально-алгебраїчних крайових задач Dzyuba, M. V. Nesmelova, O. V. Chuiko, S. M. Дзюба, М. В. Нєсмєлова, О. В. Чуйко, С. М. We use the scheme of the classical least-squares method for the construction of approximate pseudosolutions of a linear matrix boundary-value problem for a system of differential-algebraic equations. Найдены условия существования, а также конструкция наилучшего (в смысле наименьших квадратов) псевдореше- ния матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1556 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 2 (2018); 280-292 Український математичний журнал; Том 70 № 2 (2018); 280-292 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1556/538 Copyright (c) 2018 Dzyuba M. V.; Nesmelova O. V.; Chuiko S. M. |
| spellingShingle | Dzyuba, M. V. Nesmelova, O. V. Chuiko, S. M. Дзюба, М. В. Нєсмєлова, О. В. Чуйко, С. М. Least-squares method in the theory of matrix differential-algebraic boundary-value problems |
| title | Least-squares method in the theory of matrix
differential-algebraic boundary-value problems |
| title_alt | Метод найменших квадратів у теорії
матричних диференціально-алгебраїчних крайових задач |
| title_full | Least-squares method in the theory of matrix
differential-algebraic boundary-value problems |
| title_fullStr | Least-squares method in the theory of matrix
differential-algebraic boundary-value problems |
| title_full_unstemmed | Least-squares method in the theory of matrix
differential-algebraic boundary-value problems |
| title_short | Least-squares method in the theory of matrix
differential-algebraic boundary-value problems |
| title_sort | least-squares method in the theory of matrix
differential-algebraic boundary-value problems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1556 |
| work_keys_str_mv | AT dzyubamv leastsquaresmethodinthetheoryofmatrixdifferentialalgebraicboundaryvalueproblems AT nesmelovaov leastsquaresmethodinthetheoryofmatrixdifferentialalgebraicboundaryvalueproblems AT chuikosm leastsquaresmethodinthetheoryofmatrixdifferentialalgebraicboundaryvalueproblems AT dzûbamv leastsquaresmethodinthetheoryofmatrixdifferentialalgebraicboundaryvalueproblems AT nêsmêlovaov leastsquaresmethodinthetheoryofmatrixdifferentialalgebraicboundaryvalueproblems AT čujkosm leastsquaresmethodinthetheoryofmatrixdifferentialalgebraicboundaryvalueproblems AT dzyubamv metodnajmenšihkvadratívuteoríímatričnihdiferencíalʹnoalgebraíčnihkrajovihzadač AT nesmelovaov metodnajmenšihkvadratívuteoríímatričnihdiferencíalʹnoalgebraíčnihkrajovihzadač AT chuikosm metodnajmenšihkvadratívuteoríímatričnihdiferencíalʹnoalgebraíčnihkrajovihzadač AT dzûbamv metodnajmenšihkvadratívuteoríímatričnihdiferencíalʹnoalgebraíčnihkrajovihzadač AT nêsmêlovaov metodnajmenšihkvadratívuteoríímatričnihdiferencíalʹnoalgebraíčnihkrajovihzadač AT čujkosm metodnajmenšihkvadratívuteoríímatričnihdiferencíalʹnoalgebraíčnihkrajovihzadač |