Irregular elliptic boundary-value problems and Hörmander spaces
We study nonregular elliptic problems with boundary conditions of higher orders and prove that these problems are Fredholm on appropriate pairs of the inner-product H¨ormander spaces that form a two-sided refined Sobolev scale. We prove a theorem on the regularity of generalized solutions to the pro...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1558 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507357006528512 |
|---|---|
| author | Anop, A. V. Kasirenko, T. M. Murach, A. A. Аноп, А. В. Касіренко, Т. М. Мурач, О. О. |
| author_facet | Anop, A. V. Kasirenko, T. M. Murach, A. A. Аноп, А. В. Касіренко, Т. М. Мурач, О. О. |
| author_sort | Anop, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:29Z |
| description | We study nonregular elliptic problems with boundary conditions of higher orders and prove that these problems are
Fredholm on appropriate pairs of the inner-product H¨ormander spaces that form a two-sided refined Sobolev scale. We
prove a theorem on the regularity of generalized solutions to the problems in these spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.223
А. В. Аноп, Т. М. Касiренко, О. О. Мурач (Iн-т математики НАН України, Київ)
НЕРЕГУЛЯРНI ЕЛIПТИЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ТА ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА
We study nonregular elliptic problems with boundary conditions of higher orders and prove that these problems are
Fredholm on appropriate pairs of the inner-product Hörmander spaces that form a two-sided refined Sobolev scale. We
prove a theorem on the regularity of generalized solutions to the problems in these spaces.
Исследованы нерегулярные эллиптические задачи с краевыми операторами высших порядков. Доказано, что эти
задачи являются нетеровыми в подходящих парах гильбертовых пространств Хермандера, которые образуют дву-
стороннюю уточненную соболевскую шкалу. Доказана теорема о регулярности обобщенных решений исследуемых
задач в этих пространствах.
1. Вступ. Цю роботу присвячено дослiдженню у класах просторiв Хермандера елiптичних
задач, для яких максимум порядкiв крайових операторiв бiльший за порядок елiптичного рiв-
няння, або рiвний йому. Такi задачi є нерегулярними елiптичними; для них не виконується
класична формула Грiна, що ускладнює їх дослiдження. Змiстовнi приклади цих задач зустрi-
чаються в акустицi, гiдродинамiцi, теорiї випадкових процесiв [1 – 3].
Зазначенi задачi досить повно дослiджено у двобiчнiй шкалi просторiв Соболєва, модифi-
кованих за Ройтбергом (див. монографiї [4] (розд. 4, 7) i [5] (п. 4.1)). Доведено теореми про
нетеровiсть цих задач i регулярнiсть їх розв’язкiв у просторах Соболєва – Ройтберга. Останнi
збiгаються з соболєвськими просторами, якщо їх порядок регулярностi є достатньо великим
числом; у противному разi вони мiстять елементи, якi не є розподiлами. Втiм соболєвська шка-
ла, градуйована за допомогою числового показника регулярностi, є занадто грубою для низки
задач теорiї диференцiальних рiвнянь i математичного аналiзу. На це вказував Л. Хермандер
[6, 7] ще у 1963 р., який увiв i дослiдив широкi класи нормованих просторiв, для яких по-
казником регулярностi є досить загальна функцiя, та застосував їх до дослiдження рiвнянь з
частинними похiдними. В останнi двадцять рокiв простори Хермандера та їх рiзнi узагальнення
широко застосовуються у рiзних роздiлах математики [8 – 13].
Недавно В. А. Михайлець i О. О. Мурач [14 – 19] побудували загальну теорiю розв’язностi
елiптичних крайових задач у гiльбертових просторах Хермандера Hs,\varphi , якi утворюють уточне-
ну соболєвську шкалу (їх результати пiдсумовано в [9, 20]). Показниками регулярностi для цих
просторiв є дiйсне число s i функцiя \varphi : (0,\infty )\rightarrow (0,\infty ), повiльно змiнна на нескiнченностi за
Караматою. Функцiональний параметр \varphi уточнює основну регулярнiсть s. У випадку \varphi (\cdot ) \equiv 1
простiр Hs,\varphi стає гiльбертовим простором Соболєва Hs порядку s. Нещодавно цю теорiю
було доповнено у статтях [21 – 23], де застосовано бiльш широкi класи гiльбертових просторiв
Хермандера [24, 25]. Вiдмiтимо також роботу [26], в якiй дослiджено елiптичнi з параметром
крайовi задачi у нормованих просторах iз функцiональним показником регулярностi.
Проте елiптичнi задачi, яким присвячено цю роботу, не були охопленi згаданою теорiєю.
Мета даної роботи — довести теореми про нетеровiсть дослiджуваних задач i регулярнiсть їх
узагальнених розв’язкiв у двобiчнiй уточненiй соболєвськiй шкалi. У випадку, коли числовий
c\bigcirc А. В. АНОП, Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3 299
300 А. В. АНОП, Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
показник s > m + 1/2, де m — максимум порядкiв крайових операторiв, вiдповiднi версiї
цих теорем доведено у [27]. Випадок s \leq m + 1/2 iстотно бiльш складний для дослiдження,
оскiльки у ньому лiвi частини крайових умов не можна коректно означити на класi Hs,\varphi (\Omega )
розв’язкiв елiптичного рiвняння, заданого в обмеженiй евклiдовiй областi \Omega з гладкою межею.
На вiдмiну вiд монографiй [4, 5] ми дотримуємося в iдейному планi пiдходу Ж.-Л. Лiонса i
Е. Мадженеса [28 – 30], розробленого для регулярних елiптичних крайових задач у двобiчнiй
соболєвськiй шкалi. При цьому ми обмежуємося розглядом розв’язкiв u \in Hs,\varphi (\Omega ) елiптичного
рiвняння, права частина якого достатньо регулярна — належить простору Соболєва H\lambda (\Omega ), де
\lambda > m+1/2 - 2q, а 2q — порядок цього рiвняння. Як буде показано, крайовi умови допускають
коректне означення на класi усiх таких розв’язкiв, а вiдповiдна елiптична крайова задача має
властивостi, подiбнi до її властивостей у випадку s > m+1/2. Наскiльки нам вiдомо, отриманi
у цiй роботi результати є новими i для соболєвських просторiв.
Зауважимо, що у випадку, коли порядки крайових умов меншi за порядок елiптичного
рiвняння, рiзнi версiї теорем Лiонса – Мадженеса про нетеровiсть елiптичних крайових задач
доведено у [31 – 33] для просторiв Соболєва i в [34, 35] для уточненої соболєвської шкали
(частина цих результатiв викладена у монографiї [9] (пп. 4.4, 4.5)).
2. Постановка задачi. Нехай \Omega — довiльна обмежена область в \BbbR n, де цiле n \geq 2.
Припускаємо, що її межа \Gamma є нескiнченно гладким компактним многовидом вимiрностi n - 1,
причому C\infty -структура на \Gamma породжена простором \BbbR n .
Розглянемо в областi \Omega таку крайову задачу:
Au = f в \Omega , (1)
Bju = gj на \Gamma , j = 1, . . . , q. (2)
Тут A := A(x,D) — лiнiйний диференцiальний оператор на \Omega := \Omega \cup \Gamma довiльного парного
порядку 2q \geq 2, а кожне Bj := Bj(x,D) — крайовий лiнiйний диференцiальний оператор на
\Gamma довiльного порядку mj \geq 0. Усi коефiцiєнти цих диференцiальних операторiв є нескiнченно
гладкими комплекснозначними функцiями, заданими на \Omega i \Gamma вiдповiдно. Взагалi в роботi роз-
подiли та функцiї вважаємо комплекснозначними i тому розглядаємо комплекснi функцiональнi
простори.
Припускаємо, що крайова задача (1), (2) елiптична в областi \Omega , тобто диференцiальний
оператор A є правильно елiптичним на \Omega , а набiр B := (B1, . . . , Bq) крайових диференцiальних
операторiв задовольняє умову Лопатинського щодо A на \Gamma (див., наприклад, огляд [36] (п. 1.2)
або довiдник [37] (розд. III, § 6, пп. 1, 2)). Окрiм того, припускаємо, що
m := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ m1, . . . ,mq\} \geq 2q.
Отже, елiптична крайова задача (1), (2) є нерегулярною. Задля бiльшої лаконiчностi формул
покладемо r := m+ 1.
Пов’яжемо iз цiєю задачею лiнiйне вiдображення
u \mapsto \rightarrow (Au,Bu) = (Au,B1u, . . . , Bqu), де u \in C\infty (\Omega ). (3)
Будемо дослiджувати властивостi продовження за неперервнiстю цього вiдображення у вiдпо-
вiдних парах функцiональних просторiв Хермандера.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕРЕГУЛЯРНI ЕЛIПТИЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ТА ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА 301
Для опису областi значень цього продовження нам знадобиться така спецiальна формула
Грiна [5] (формула (4.1.10)):
(Au, v)\Omega +
r - 2q\sum
j=1
(Dj - 1
\nu Au,wj)\Gamma +
q\sum
j=1
(Bju, hj)\Gamma =
= (u,A+v)\Omega +
r\sum
k=1
\biggl(
Dk - 1
\nu u,Kkv +
r - 2q\sum
j=1
R+
j,kwj +
q\sum
j=1
Q+
j,khj
\biggr)
\Gamma
для довiльних u, v \in C\infty (\Omega ) i w1, . . . , wr - 2q, h1, . . . , hq \in C\infty (\Gamma ). Тут i далi через (\cdot , \cdot )\Omega i (\cdot , \cdot )\Gamma
позначено скалярнi добутки у гiльбертових просторах L2(\Omega ) i L2(\Gamma ) функцiй, квадратично
iнтегровних вiдповiдно на \Omega i \Gamma за мiрою Лебега, а також продовження за неперервнiстю
цих скалярних добуткiв. Окрiм того, D\nu := i\partial /\partial \nu , де i — уявна одиниця, а \nu — поле ортiв
внутрiшнiх нормалей до межi \Gamma . Як звичайно, A+ — диференцiальний оператор, формально
спряжений до A вiдносно (\cdot , \cdot )\Omega . Окрiм того, всi R+
j,k i Q+
j,k є дотичними диференцiальними
операторами, формально спряженими вiдповiдно до Rj,k i Qj,k вiдносно (\cdot , \cdot )\Gamma . Тут дотичнi
лiнiйнi диференцiальнi оператори Rj,k := Rj,k(x,D\tau ) i Qj,k := Qj,k(x,D\tau ) взято iз зображення
крайових диференцiальних операторiв Dj - 1
\nu A i Bj у виглядi
Dj - 1
\nu A(x,D) =
r\sum
k=1
Rj,k(x,D\tau )D
k - 1
\nu , j = 1, . . . , r - 2q,
Bj(x,D) =
r\sum
k=1
Qj,k(x,D\tau )D
k - 1
\nu , j = 1, . . . , q.
Зауважимо, що \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}Rj,k \leq 2q+j - k i \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}Qj,k \leq mj - k+1, причому Rj,k = 0 при k \geq 2q+j+1
i Qj,k = 0 при k \geq mj + 2. Нарештi, кожне Kk := Kk(x,D) є деяким крайовим лiнiйним
диференцiальним оператором на \Gamma порядку \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}Kk \leq 2q - k з коефiцiєнтами класу C\infty (\Omega );
при цьому Kk = 0, якщо k \geq 2q + 1.
Взявши до уваги спецiальну формулу Грiна, розглянемо таку крайову задачу в областi \Omega з
r - q додатковими невiдомими функцiями на межi \Gamma :
A+v = \omega в \Omega , (4)
Kkv +
r - 2q\sum
j=1
R+
j,kwj +
q\sum
j=1
Q+
j,khj = \psi k на \Gamma , k = 1, . . . , r. (5)
Тут функцiя v на \Omega i r - q функцiй w1, . . . , wr - 2q, h1, . . . , hq на \Gamma є невiдомими. Ця задача
називається формально спряженою до задачi (1), (2) вiдносно розглянутої спецiальної формули
Грiна. Як вiдомо [5] (теорема 4.1.1), крайова задача (1), (2) елiптична в областi \Omega тодi i лише
тодi, коли формально спряжена задача (4), (5) елiптична в \Omega як крайова задача з додатковими
невiдомими функцiями на межi областi.
Позначимо через N лiнiйний простiр усiх розв’язкiв u \in C\infty (\Omega ) крайової задачi (1), (2) у
випадку, коли f = 0 в \Omega i кожне gj = 0 на \Gamma . Окрiм того, позначимо через N \star лiнiйний простiр
усiх розв’язкiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
302 А. В. АНОП, Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
(v, w1, . . . , wr - 2q, h1, . . . , hq) \in C\infty (\Omega )\times (C\infty (\Gamma ))r - q
формально спряженої крайової задачi (4), (5) у випадку, коли \omega = 0 в \Omega i кожне \psi k = 0
на \Gamma . Оскiльки обидвi цi задачi елiптичнi в \Omega , то простори N i N \star скiнченновимiрнi [5]
(наслiдок 4.1.1).
3. Простори Хермандера. Елiптичну крайову задачу (1), (2) дослiджуємо у вiдповiдних
парах гiльбертових просторiв Хермандера Hs,\varphi , для яких показниками регулярностi (або глад-
костi) є довiльнi число s \in \BbbR i функцiя \varphi \in \scrM . Цi простори утворюють уточнену соболєвську
шкалу, введену i дослiджену в [14, 15]. Тут i далi \scrM — множина всiх вимiрних за Борелем
функцiй \varphi : [1,\infty ) \rightarrow (0,\infty ), якi обмеженi i вiдокремленi вiд нуля на кожному компактi та
повiльно змiнюються на нескiнченностi за Й. Караматою, тобто \varphi (\lambda t)/\varphi (t) \rightarrow 1 при t \rightarrow \infty
для кожного \lambda > 0. Повiльно змiннi функцiї добре вивченi i мають рiзноманiтнi застосування
[38, 39]. Їх характерним прикладом є функцiя
\varphi (t) := (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} t)r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} t)r2 . . .
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} . . . \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\underbrace{} \underbrace{}
k разiв
t
\Bigr) rk
, t\gg 1,
де довiльно вибрано цiле число k \geq 1 i дiйснi числа r1, . . . , rk .
Нехай s \in \BbbR i \varphi \in \scrM . Наведемо означення просторiв Hs,\varphi спочатку для \BbbR n, а потiм для
\Omega i \Gamma та зазначимо деякi їх властивостi, потрiбнi нам. При цьому будемо слiдувати монографiї
[9] (пп. 1.3, 2.1, 3.2).
За означенням лiнiйний простiр Hs,\varphi (\BbbR n), де цiле n \geq 1, складається з усiх розподiлiв
w \in \scrS \prime (\BbbR n) таких, що їх перетворення Фур’є \widehat w є функцiєю, яка локально iнтегровна на \BbbR n за
Лебегом i задовольняє умову \int
\BbbR n
\langle \xi \rangle 2s\varphi 2(\langle \xi \rangle )| \widehat w(\xi )| 2d\xi <\infty .
Тут, як звичайно, \scrS \prime (\BbbR n) — лiнiйний топологiчний простiр усiх повiльно зростаючих розподiлiв
на \BbbR n, а \langle \xi \rangle := (1 + | \xi | 2)1/2 . У просторi Hs,\varphi (\BbbR n) уведено скалярний добуток розподiлiв w1 i
w2 за формулою
(w1, w2)Hs,\varphi (\BbbR n) :=
\int
\BbbR n
\langle \xi \rangle 2s\varphi 2(\langle \xi \rangle )\widehat w1(\xi )\widehat w2(\xi ) d\xi .
Вiн породжує норму
\| w\| Hs,\varphi (\BbbR n) := (w,w)
1/2
Hs,\varphi (\BbbR n).
Простiр Hs,\varphi (\BbbR n) — iзотропний гiльбертiв випадок простору \scrB p,k, введеного i дослiдженого
Л. Хермандером [6] (п. 2.2). А саме, Hs,\varphi (\BbbR n) = \scrB 2,k, якщо k(\xi ) = \langle \xi \rangle s\varphi (\langle \xi \rangle ) для довiльного
\xi \in \BbbR n .
У важливому окремому випадку, коли \varphi (\cdot ) \equiv 1, простiр Hs,\varphi (\BbbR n) стає гiльбертовим про-
стором Соболєва Hs(\BbbR n) порядку s. У загальному випадку виконуються неперервнi та щiльнi
вкладення
Hs+\varepsilon (\BbbR n) \lhook \rightarrow Hs,\varphi (\BbbR n) \lhook \rightarrow Hs - \varepsilon (\BbbR n) для кожного \varepsilon > 0. (6)
З них випливає, що у класi функцiональних просторiв \{ Hs,\varphi (\BbbR n) : s \in \BbbR , \varphi \in \scrM \} числовий
параметр s задає основну регулярнiсть (або гладкiсть) розподiлiв, а функцiональний параметр
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕРЕГУЛЯРНI ЕЛIПТИЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ТА ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА 303
\varphi — додаткову регулярнiсть, яка уточнює основну. Тому цей клас природно називати уточненою
соболєвською шкалою на \BbbR n .
Її аналоги для евклiдової областi \Omega i замкненого компактного многовиду \Gamma вводяться у
стандартний спосiб. Наведемо вiдповiднi означення.
За означенням лiнiйний простiр Hs,\varphi (\Omega ) складається зi звужень в область \Omega усiх розподiлiв
w \in Hs,\varphi (\BbbR n). Норму у ньому означено за формулою
\| u\| Hs,\varphi (\Omega ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| w\| Hs,\varphi (\BbbR n) : w \in Hs,\varphi (\BbbR n), w = u в \Omega
\bigr\}
,
де u \in Hs,\varphi (\Omega ). Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний вiдносно вказаної норми та неперервно
вкладений у топологiчний простiр \scrD \prime (\Omega ) усiх розподiлiв в \Omega . Множина C\infty (\Omega ) щiльна у
просторi Hs,\varphi (\Omega ). Вiн є окремим випадком гiльбертових просторiв, уведених i дослiджених
Л. Р. Волевичем i Б. П. Панеяхом [40] (§ 2).
Коротко кажучи, простiр Hs,\varphi (\Gamma ) складається з усiх розподiлiв на \Gamma , якi в локальних коор-
динатах дають елементи простору Hs,\varphi (\BbbR n - 1). Наведемо докладне означення. Нехай довiльним
чином вибрано скiнченний атлас iз C\infty -структури на многовидi \Gamma , утворений локальними кар-
тами \pi j : \BbbR n - 1 \updownarrow \Gamma j , де j = 1, . . . , p. Тут вiдкритi множини \Gamma 1, . . . ,\Gamma p складають скiнченне
покриття многовиду \Gamma . Нехай, окрiм того, вибрано функцiї \chi j \in C\infty (\Gamma ), де j = 1, . . . , p, якi
утворюють розбиття одиницi на \Gamma , що задовольняє умову \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi j \subset \Gamma j .
Тодi, за означенням, лiнiйний простiр Hs,\varphi (\Gamma ) складається з усiх розподiлiв h \in \scrD \prime (\Gamma )
таких, що (\chi jh) \circ \pi j \in Hs,\varphi (\BbbR n - 1) для кожного номера j \in \{ 1, . . . , p\} . Тут, звiсно, \scrD \prime (\Gamma ) —
лiнiйний топологiчний простiр усiх розподiлiв на \Gamma , а (\chi jh) \circ \pi j є зображенням розподiлу h у
локальнiй картi \pi j . У просторi Hs,\varphi (\Gamma ) введено норму за формулою
\| h\| Hs,\varphi (\Gamma ) :=
\left( p\sum
j=1
\| (\chi jh) \circ \pi j\| 2Hs,\varphi (\BbbR n - 1)
\right) 1/2
.
Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний вiдносно цiєї норми та неперервно вкладений у \scrD \prime (\Gamma ).
Важливо, що простiр Hs,\varphi (\Gamma ) з точнiстю до еквiвалентностi норм не залежить вiд зазначеного
вибору атласу i розбиття одиницi (див. [9] (теорема 2.3)). Множина C\infty (\Gamma ) щiльна у Hs,\varphi (\Gamma ).
Введенi гiльбертовi функцiональнi простори утворюють уточненi соболєвськi шкали
\{ Hs,\varphi (\Omega ) : s \in \BbbR , \varphi \in \scrM \} i \{ Hs,\varphi (\Gamma ) : s \in \BbbR , \varphi \in \scrM \} (7)
на \Omega i \Gamma вiдповiдно. Цi шкали є двобiчними за числовим параметром s. Вони мiстять двобiчнi
гiльбертовi соболєвськi шкали: якщо \varphi (\cdot ) \equiv 1, то Hs,\varphi (\Omega ) =: Hs(\Omega ) i Hs,\varphi (\Gamma ) =: Hs(\Gamma ) —
простори Соболєва порядку s \in \BbbR . Для шкал (7) виконуються компактнi i щiльнi вкладення (6),
якщо у формулi (6) замiнити \BbbR n на \Omega або \Gamma вiдповiдно.
Обговоримо зв’язок мiж шкалами (7). Нехай s > 1/2 i \varphi \in \scrM ; тодi вiдображення слiду
u \mapsto \rightarrow u \upharpoonright \Gamma , де u \in C\infty (\Gamma ), продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого
лiнiйного оператора R\Gamma : Hs,\varphi (\Omega ) \rightarrow Hs - 1/2,\varphi (\Gamma ). Отже, для кожного розподiлу u \in Hs,\varphi (\Omega )
його слiд R\Gamma u на \Gamma означений коректно. Бiльше того,
Hs - 1/2,\varphi (\Gamma ) =
\bigl\{
R\Gamma u : u \in Hs,\varphi (\Omega )
\bigr\}
та виконується еквiвалентнiсть норм
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
304 А. В. АНОП, Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
\| h\| Hs - 1/2,\varphi (\Gamma ) \asymp \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| u\| Hs,\varphi (\Omega ) : u \in Hs,\varphi (\Omega ), h = R\Gamma u
\bigr\}
на класi всiх функцiй h \in Hs - 1/2,\varphi (\Gamma ) (див. [9], теорема 3.5 i наслiдок 3.1). Проте якщо
s < 1/2, то не можна коректно означити слiд на \Gamma довiльного розподiлу u \in Hs,\varphi (\Omega ). А саме,
вiдображення u \mapsto \rightarrow u \upharpoonright \Gamma , де u \in C\infty (\Omega ), не можна продовжити до неперервного лiнiйного
оператора R\Gamma : Hs,\varphi (\Omega ) \rightarrow \scrD \prime (\Gamma ) (див. [9], зауваження 3.5). Це застереження зберiгає силу i
для s = 1/2 у соболєвському випадку \varphi (\cdot ) \equiv 1.
4. Основнi результати роботи стосуються характеру розв’язностi елiптичної крайової за-
дачi (1), (2) i регулярностi її узагальнених розв’язкiв у просторах Хермандера, якi утворюють
двобiчнi шкали (7). З огляду на зазначений вище зв’язок мiж цими шкалами розглянемо окремо
випадки s > m + 1/2 i s \leq m + 1/2. У першому з них нами доведено такий результат [27]
(теорема 1).
Твердження 1. Нехай s > m + 1/2 i \varphi \in \scrM . Тодi вiдображення (3) продовжується
єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого лiнiйного оператора
(A,B) : Hs,\varphi (\Omega )\rightarrow Hs - 2q,\varphi (\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
Hs - mj - 1/2,\varphi (\Gamma ) =: \scrH s - 2q,s,\varphi (\Omega ,\Gamma ). (8)
Цей оператор нетерiв. Його ядро дорiвнює N, а область значень складається з усiх векторiв
(f, g1, . . . , gq) \in \scrH s - 2q,s,\varphi (\Omega ,\Gamma ) таких, що
(f, v)\Omega +
r - 2q\sum
j=1
(Dj - 1
\nu f, wj)\Gamma +
q\sum
j=1
(gj , hj)\Gamma = 0
для всiх (v, w1, . . . , wr - 2q, h1, . . . , hq) \in N \star .
(9)
Iндекс оператора (8) дорiвнює \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star та не залежить вiд s i \varphi .
У зв’язку з цим твердженням нагадаємо, що лiнiйний обмежений оператор T : E1 \rightarrow E2, де
E1 i E2 — банаховi простори, називають нетеровим, якщо його ядро \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T i коядро E2/T (E1)
скiнченновимiрнi. Якщо цей оператор нетерiв, то його область значень замкнена в E2 i вiн має
скiнченний iндекс
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}T := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(E2/T (E1)).
Iз викладеного наприкiнцi п. 3 випливає, що умову s > m+ 1/2 у твердженнi 1 не можна
вiдкинути чи послабити. Зокрема, якщо s \leq m+ 1/2 i \varphi (\cdot ) \equiv 1, то вiдображення u \mapsto \rightarrow Bju, де
u \in C\infty (\Omega ), не можна продовжити до неперервного лiнiйного оператора Bj : Hs(\Omega ) \rightarrow \scrD \prime (\Gamma )
у випадку, коли mj = m.
Щоб отримати версiю твердження 1 для довiльного s \leq m + 1/2, обмежимося розглядом
розв’язкiв u \in Hs,\varphi (\Omega ) елiптичного рiвняння Au = f, права частина якого належить простору
Hm+1/2 - 2q+(\Omega ) :=
\bigcup
\lambda >m+1/2 - 2q
H\lambda (\Omega ) =
\bigcup
\lambda >m+1/2 - 2q,
\eta \in \scrM
H\lambda ,\eta (\Omega )
(тут друга рiвнiсть виконується з огляду на вкладення (6)).
Нехай s \leq m+ 1/2, \varphi \in \scrM i \lambda > m+ 1/2 - 2q . Розглянемо лiнiйний простiр
Hs,\varphi
A,\lambda (\Omega ) :=
\bigl\{
u \in Hs,\varphi (\Omega ) : Au \in H\lambda (\Omega )
\bigr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕРЕГУЛЯРНI ЕЛIПТИЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ТА ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА 305
надiлений нормою графiка
\| u\| Hs,\varphi
A,\lambda (\Omega ) :=
\bigl(
\| u\| 2Hs,\varphi (\Omega ) + \| Au\|
2
H\lambda (\Omega )
\bigr) 1/2
. (10)
Тут Au розумiємо в сенсi теорiї розподiлiв в областi \Omega . У соболєвському випадку \varphi (\cdot ) \equiv 1
будемо пропускати iндекс \varphi у позначеннях цього та iнших просторiв, введених на основi
просторiв Хермандера Hs,\varphi .
Цей простiр гiльбертiв вiдносно норми (10). Справдi, ця норма породжена скалярним до-
бутком, оскiльки такими є норми у правiй частинi рiвностi (10). Окрiм того, простiр Hs,\varphi
A,\lambda (\Omega )
повний вiдносно цiєї норми. Справдi, якщо послiдовнiсть (uk) фундаментальна в цьому про-
сторi, то iснують границi u := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}uk в Hs,\varphi (\Omega ) i f := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}Auk в H\lambda (\Omega ), оскiльки останнi два
простори повнi. Диференцiальний оператор A неперервний у \scrD \prime (\Omega ), тому Au = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}Auk = f
в \scrD \prime (\Omega ). Тут, нагадаємо, u \in Hs,\varphi (\Omega ) i f \in H\lambda (\Omega ). Тому u \in Hs,\varphi
A,\lambda (\Omega ) i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}uk = u у просторi
Hs,\varphi
A,\lambda (\Omega ). Отже, цей простiр є повним.
Теорема 1. Нехай s \leq m+1/2, \varphi \in \scrM i \lambda > m+1/2 - 2q . Тодi множина C\infty (\Omega ) щiльна
у просторi Hs,\varphi
A,\lambda (\Omega ), а вiдображення (3) продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до
обмеженого лiнiйного оператора
(A,B) : Hs,\varphi
A,\lambda (\Omega )\rightarrow H\lambda (\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
Hs - mj - 1/2,\varphi (\Gamma ) =: \scrH \lambda ,s,\varphi (\Omega ,\Gamma ). (11)
Цей оператор нетерiв. Його ядро дорiвнює N, а область значень складається з усiх векторiв
(f, g1, . . . , gq) \in \scrH \lambda ,s,\varphi (\Omega ,\Gamma ), якi задовольняють умову (9). Iндекс оператора (11) дорiвнює
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star та не залежить вiд s, \varphi i \lambda .
Перейдемо до питання про регулярнiсть узагальнених розв’язкiв крайової задачi (1), (2) у
двобiчнiй уточненiй соболєвськiй шкалi. Спочатку дамо означення цих розв’язкiв. Позначимо
через \scrS \prime (\Omega ) лiнiйний простiр звужень в область \Omega усiх розподiлiв w \in \scrS \prime (\BbbR n). Покладемо
\scrS \prime A,m+1/2 - 2q+(\Omega ) :=
\bigl\{
u \in \scrS \prime (\Omega ) : Au \in Hm+1/2 - 2q+(\Omega )
\bigr\}
.
Нехай розподiл u \in \scrS \prime A,m+1/2 - 2q+(\Omega ), тодi u \in Hs
A,\lambda (\Omega ) для деяких чисел s \leq m + 1/2 i
\lambda > m + 1/2 - 2q . Розподiл u називаємо (сильним) узагальненим розв’язком крайової задачi
(1), (2) з правою частиною
(f, g1, . . . , gq) \in \scrS \prime (\Omega )\times (\scrD \prime (\Gamma ))q,
якщо (A,B)u = (f, g1, . . . , gq), де (A,B) — оператор (11). Звiсно, це означення не залежить
вiд вибору чисел s i \lambda .
Нехай V — вiдкрита множина в \BbbR n, яка задовольняє умову \Omega 0 := \Omega \cap V \not = \varnothing . Покладемо
\Gamma 0 := \Gamma \cap V (можливий випадок, коли \Gamma 0 = \varnothing ). Уведемо для множин \Omega 0 i \Gamma 0 локальнi аналоги
просторiв H\sigma ,\varphi (\Omega ) i H\sigma ,\varphi (\Gamma ), де \sigma \in \BbbR i \varphi \in \scrM . За означенням лiнiйний простiр H\sigma ,\varphi
loc (\Omega 0,\Gamma 0)
cкладається з усiх розподiлiв u \in \scrS \prime (\Omega ) таких, що \chi u \in H\sigma ,\varphi (\Omega ) для довiльної функцiї
\chi \in C\infty (\Omega ), носiй якої задовольняє умову \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \Omega 0 \cup \Gamma 0 . Аналогiчно, лiнiйний простiр
H\sigma ,\varphi
loc (\Gamma 0) cкладається, за означенням, з усiх розподiлiв h \in \scrD \prime (\Gamma ) таких, що \chi h \in H\sigma ,\varphi (\Gamma ) для
довiльної функцiї \chi \in C\infty (\Gamma ), носiй якої задовольняє умову \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \Gamma 0 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
306 А. В. АНОП, Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
Теорема 2. Нехай s \in \BbbR i \varphi \in \scrM . Припустимо, що розподiл u \in \scrS \prime A,m+1/2 - 2q+(\Omega ) є
узагальненим розв’язком елiптичної крайової задачi (1), (2), правi частини якої задовольняють
умови f \in Hs - 2q,\varphi
loc (\Omega 0,\Gamma 0) i gj \in H
s - mj - 1/2,\varphi
loc (\Gamma 0) для кожного j \in \{ 1, . . . , q\} . Тодi u \in
\in Hs,\varphi
loc (\Omega 0,\Gamma 0).
Як бачимо, уточнена регулярнiсть \varphi \in \scrM правих частин дослiджуваної задачi успадкову-
ється її узагальненим розв’язком. Вiдмiтимо важливi окремi випадки теореми 2. Якщо \Omega 0 = \Omega
i \Gamma 0 = \Gamma , то простори H\sigma ,\varphi
loc (\Omega 0,\Gamma 0) i H\sigma ,\varphi
loc (\Gamma 0) збiгаються з просторами H\sigma ,\varphi (\Omega ) i H\sigma ,\varphi (\Gamma )
вiдповiдно. У цьому випадку теорема 2 стверджує, що регулярнiсть узагальненого розв’язку u
пiдвищується глобально, тобто в усiй областi \Omega аж до її межi \Gamma . Якщо \Gamma 0 = \varnothing , то регулярнiсть
розв’язку u пiдвищується в околах усiх точок x \in \Omega 0 за умови, що цi околи не перетинають
межу пiдобластi \Omega 0 . У випадку \Gamma 0 = \varnothing простiр H\sigma ,\varphi
loc (\Gamma 0) збiгається з \scrD \prime (\Gamma ), i тому умова на
gj у теоремi 2 стає тривiальною. У цьому випадку висновок теореми 2 випливає з [9] (теорема
4.19). Отже,
\scrS \prime A,m+1/2 - 2q+(\Omega ) \subset
\bigcup
\sigma >m+1/2
H\sigma
loc(\Omega ,\varnothing ).
Теореми 1 i 2 є новими навiть у соболєвському випадку, коли \varphi (\cdot ) \equiv 1.
5. Доведення основних результатiв. Обґрунтуємо основнi результати роботи — теореми
1 i 2.
Доведення теореми 1. Спочатку обґрунтуємо її у соболєвському випадку, коли \varphi (\cdot ) \equiv 1
i цiле s < 2q . У цьому випадку щiльнiсть множини C\infty (\Omega ) у просторi Hs
A,\lambda (\Omega ) випливає з
теорем 4.25(i) та 4.26 з монографiї [9] (див. також [33], теореми 1(i) та 2). Справдi, за другою
з них простiр H\lambda (\Omega ) задовольняє умову \mathrm{I}s - 2q, сформульовану в п. 4.4.2 цiєї монографiї. Тому
за першою з цих теорем множина\bigl\{
u \in C\infty (\Omega ) : Au \in H\lambda (\Omega )
\bigr\}
= C\infty (\Omega )
щiльна у просторi Hs
A,\lambda (\Omega ).
Для доведення iнших тверджень теореми 1 у розглянутому випадку скористаємося таким
результатом про розв’язнiсть дослiджуваної задачi (1), (2) у просторах Соболєва – Ройтберга:
вiдображення (3) продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до нетерoвого обмеженого
лiнiйного оператора
(A,B) : Hs,(r)(\Omega )\rightarrow Hs - 2q,(r - 2q)(\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
Hs - mj - 1/2(\Gamma ) =: \scrH (r - 2q)
s - 2q,s(\Omega ,\Gamma ). (12)
Тут через H\sigma ,(k)(\Omega ), де \sigma \in \BbbR i 1 \leq k \in \BbbZ , позначено гiльбертiв функцiональний простiр,
введений Я. А. Ройтбергом [41] на основi соболєвських просторiв (див. також його монографiю
[4] (п. 2.1)). За означенням простiр Соболєва – Ройтберга H\sigma ,(k)(\Omega ), де \sigma /\in \{ 1/2, . . . , k - 1/2\} ,
є поповненням лiнiйного многовиду C\infty (\Omega ) за гiльбертовою нормою
\| u\| H\sigma ,(k)(\Omega ) :=
\left( \| u\| 2
H\sigma ,(0)(\Omega )
+
k\sum
j=1
\| (Dj - 1
\nu u)\upharpoonright \Gamma \| 2
H\sigma - j+1/2(\Gamma )
\right) 1/2
.
Тут H\sigma ,(0)(\Omega ) := H\sigma (\Omega ), якщо \sigma \geq 0, та H\sigma ,(0)(\Omega ) — поповнення C\infty (\Omega ) за гiльбертовою
нормою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕРЕГУЛЯРНI ЕЛIПТИЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ТА ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА 307
\| u\| H\sigma ,(0)(\Omega ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| (u, v)\Omega | : v \in H - \sigma (\Omega ), \| v\| H - \sigma (\Omega ) = 1
\bigr\}
,
якщо \sigma < 0. У випадку, коли \sigma \in \{ 1/2, . . . , k - 1/2\} , простiр H\sigma ,(k)(\Omega ) означається шляхом
iнтерполяцiї з параметром 1/2 пари гiльбертових просторiв H\sigma \mp \varepsilon ,(k)(\Omega ), де 0 < \varepsilon < 1.
Простiр H\sigma ,(k)(\Omega ), де \sigma /\in \{ 1/2, . . . , k - 1/2\} , допускає такий опис [4] (лема 2.2.1): лiнiйне
вiдображення
Tk : u \mapsto \rightarrow
\bigl(
u, u\upharpoonright \Gamma , . . . , (Dk - 1
\nu u)\upharpoonright \Gamma
\bigr)
, де u \in C\infty (\Omega ),
продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до iзометричного оператора
Tk : H\sigma ,(k)(\Omega )\rightarrow H\sigma ,(0)(\Omega )\oplus
k\bigoplus
j=1
H\sigma - j+1/2(\Gamma ) =: \Pi \sigma ,(k)(\Omega ,\Gamma ),
область значень якого складається з усiх векторiв (u0, u1, . . . , uk) \in \Pi \sigma ,(k)(\Omega ,\Gamma ) таких, що
uj = R\Gamma D
j - 1
\nu u0 для кожного j \in \{ 1, . . . , k\} , що задовольняє умову \sigma > j - 1/2.
Зауважимо [4] (п. 2.1), що при \sigma > k - 1/2 простори H\sigma ,(k)(\Omega ) i H\sigma (\Omega ) рiвнi як поповнення
лiнiйного многовиду C\infty (\Omega ) за еквiвалентними нормами. Окрiм того, виконується неперервне
вкладення H\sigma ,(k)(\Omega ) \lhook \rightarrow H\theta ,(k)(\Omega ), якщо \theta < \sigma .
Обмеженiсть i нетеровiсть оператора (12) доведена Ю. В. Костарчуком i Я. А. Ройтбергом
в [32] (теорема 5) для довiльного дiйсного s. Там же показано, що N — ядро цього опера-
тора. Згiдно з [4] (теорема 4.1.3), область значень оператора (12) складається з усiх векторiв
(f, g1, . . . , gq) \in \scrH (r - 2q)
s - 2q,s(\Omega ,\Gamma ) таких, що
(f0, v)\Omega +
r - 2q\sum
j=1
(fj , wj)\Gamma +
q\sum
j=1
(gj , hj)\Gamma = 0
для всiх (v, w1, . . . , wr - 2q, h1, . . . , hq) \in \scrN \star ,
(13)
а iндекс дорiвнює \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\scrN \star . Тут (f0, f1, . . . , fr - 2q) := Tr - 2qf, а \scrN \star є деяким скiнчен-
новимiрним простором, який лежить в C\infty (\Omega )\times (C\infty (\Gamma ))r - q та не залежить вiд s. Згiдно з [5]
(теорема 4.1.4), можна покласти \scrN \star := N \star в описi (13) областi значень оператора (12) для цiлих
s. Покажемо, що те саме можна зробити i у формулi iндексу цього оператора. Це достатньо по-
казати для s = 0 з огляду на незалежнiсть iндексу вiд s. Оскiльки N \star \subset C\infty (\Omega )\times (C\infty (\Gamma ))r - q,
то N \star можна розглядати як скiнченновимiрний пiдпростiр простору
H2q(\Omega )\oplus
r - 2q\bigoplus
j=1
H2q+j - 1/2(\Gamma )\oplus
q\bigoplus
j=1
Hmj+1/2(\Gamma ).
Останнiй є взаємно спряженим до простору
\Pi - 2q,(r - 2q)(\Omega ,\Gamma )\oplus
q\bigoplus
j=1
H - mj - 1/2(\Gamma ) (14)
вiдносно розширення за неперервнiстю скалярного добутку в L2(\Omega )\oplus (L2(\Gamma ))
r - q . За такого роз-
гляду простiр, спряжений до N \star , збiгається з фактор-простором простору (14) за пiдпростором
усiх векторiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
308 А. В. АНОП, Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
(f0, f1, . . . , fr - 2q, g1, . . . , gq) \in \Pi - 2q,(r - 2q)(\Omega ,\Gamma )\oplus
q\bigoplus
j=1
H - mj - 1/2(\Gamma ),
якi задовольняють умову (13), де беремо \scrN \star := N \star . Звiдси, оскiльки оператор Tr - 2q здiйснює
iзоморфiзм простору H - 2q,(r - 2q)(\Omega ) на простiр \Pi - 2q,(r - 2q)(\Omega ,\Gamma ), випливає, що ковимiрнiсть
областi значень оператора (12), де s = 0, дорiвнює вимiрностi цього фактор-простору, тобто
становить \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star . Отже, iндекс цього оператора дорiвнює \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star .
Покладемо
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega ) :=
\bigl\{
u \in Hs,(r)(\Omega ) : Au \in H\lambda (\Omega )
\bigr\}
.
Тут для кожного u \in Hs,(r)(\Omega ) елемент Au \in Hs - 2q,(r - 2q)(\Omega ) означено за допомогою оператора
(12). Для цього елемента умова Au \in H\lambda (\Omega ) має сенс, оскiльки, як зазначалося вище,
H\lambda (\Omega ) = H\lambda ,(r - 2q)(\Omega ) \lhook \rightarrow Hs - 2q,(r - 2q)(\Omega ), (15)
причому вкладення є неперервним. Надiлимо лiнiйний простiр Hs,(r)
A,\lambda (\Omega ) нормою графiка
\| u\|
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )
:=
\bigl(
\| u\| 2
Hs,(r)(\Omega )
+ \| Au\| 2H\lambda (\Omega )
\bigr) 1/2
. (16)
Цей простiр гiльбертiв вiдносно норми (16). Справдi, ця норма, звiсно, породжена деяким
скалярним добутком. Окрiм того, простiр Hs,(r)
A,\lambda (\Omega ) повний вiдносно неї. Дiйсно, якщо послi-
довнiсть (uk) фундаментальна в цьому просторi, то iснують границi u := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}uk в Hs,(r)(\Omega )
i f := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}Auk в H\lambda (\Omega ), оскiльки останнi два простори повнi. З першої границi випливає,
що Au = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}Auk в Hs - 2q,(r - 2q)(\Omega ). Звiдси на пiдставi формули (15) i другої границi маємо
рiвнiсть Au = f . Тому u \in Hs,(r)
A,\lambda (\Omega ) i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}uk = u у просторi Hs,(r)
A,\lambda (\Omega ). Отже, цей простiр є
повним.
Звуження вiдображення (12) на простiр Hs,(r)
A,\lambda (\Omega ) є лiнiйним оператором
(A,B) : Hs,(r)
A,\lambda (\Omega )\rightarrow H\lambda (\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
Hs - mj - 1/2(\Gamma ) =: \scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ). (17)
Iз вказаних вище властивостей оператора (12) безпосередньо випливає, що оператор (17) обме-
жений, його ядро дорiвнює N, а область значень
(A,B)
\bigl(
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )
\bigr)
= \scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ) \cap (A,B)
\bigl(
Hs,(r)(\Omega )
\bigr)
. (18)
З цiєї рiвностi та замкненостi (A,B)(Hs,(r)(\Omega )) у просторi
\scrH (r - 2q)
s - 2q,s(\Omega ,\Gamma )\leftarrow \rhook \scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma )
випливає, що область значень оператора (17) замкнена у просторi \scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ) i складається з
усiх векторiв (f, g1, . . . , gq) \in \scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ), якi задовольняють умову (13), де (f0, f1, . . . , fr - 2q) :=
:= Tr - 2qf i \scrN \star := N \star . Оскiльки f \in H\lambda (\Omega ) i \lambda > m + 1/2 - 2q, то з означення оператора
Tr - 2q випливає, що f0 = f i fj = R\Gamma D
j - 1
\nu f для кожного j \in \{ 1, . . . , r - 2q\} . Тому умова (13)
набирає вигляду (9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕРЕГУЛЯРНI ЕЛIПТИЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ТА ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА 309
Для обґрунтування нетеровостi оператора (17) залишається показати, що його область
значень має скiнченну ковимiрнiсть. Нагадаємо, що ковимiрнiсть областi значень оператора
(12) дорiвнює \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star < \infty . Окрiм того, множина C\infty (\Omega ) \times (C\infty (\Gamma ))q щiльна у просторi
\scrH (r - 2q)
s - 2q,s(\Omega ,\Gamma ). Тому за лемою Гохберга – Крейна [42] (лема 2.1) iснує скiнченновимiрний про-
стiр N1 \subset C\infty (\Omega )\times (C\infty (\Gamma ))q такий, що
\scrH (r - 2q)
s - 2q,s(\Omega ,\Gamma ) = (A,B)
\bigl(
Hs,(r)(\Omega )
\bigr)
\dotplus N1
(як звичайно, знак \dotplus використовується для позначення прямої суми пiдпросторiв). При цьому
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star . Звуження цiєї суми на простiр \scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ) дає на пiдставi формул (18) i
N1 \subset \scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ) рiвнiсть
\scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ) = (A,B)
\bigl(
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )
\bigr)
\dotplus N1. (19)
Отже, ковимiрнiсть областi значень оператора (17) дорiвнює \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star < \infty . Таким
чином, цей оператор нетерiв.
Щоб завершити доведення теореми 1 у розглянутому випадку, достатньо показати, що
множина C\infty (\Omega ) щiльна у просторi Hs,(r)
A,\lambda (\Omega ) та норми у просторах Hs
A,\lambda (\Omega ) i Hs,(r)
A,\lambda (\Omega )
еквiвалентнi на цiй щiльнiй множинi. Справдi, тодi нетерiв оператор (17) стає оператором (11)
з формулювання цiєї теореми.
Доведемо спочатку, що множина C\infty (\Omega ) щiльна в H
s,(r)
A,\lambda (\Omega ). Позначимо через Qs,(r)A,\lambda (\Omega )
ортогональне доповнення пiдпростору N у гiльбертовому просторi Hs,(r)
A,\lambda (\Omega ). Звуження нете-
рового оператора (17) на пiдпростiр Qs,(r)A,\lambda (\Omega ) є iзоморфiзмом
(A,B) : Qs,(r)A,\lambda (\Omega )\updownarrow (A,B)
\bigl(
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )
\bigr)
; (20)
тут, звiсно, (A,B)(H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )) трактується як пiдпростiр простору \scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ). Позначимо через
P оператор косого проектування простору \scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ) на пiдпростiр (A,B)(H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )) пара-
лельно пiдпростору N1 з прямої суми (19).
Запишемо довiльний елемент u \in H
s,(r)
A,\lambda (\Omega ) у виглядi u = v + w, де v \in Q
s,(r)
A,\lambda (\Omega ) i
w \in N . Оскiльки множина C\infty (\Omega ) \times (C\infty (\Gamma ))q щiльна у просторi \scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ), то для вектора
F := (A,B)v \in \scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ) iснує послiдовнiсть (Fk) \subset C\infty (\Omega ) \times (C\infty (\Gamma ))q така, що Fk \rightarrow F
у просторi \scrH \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ). Тодi PFk \rightarrow PF = F у цьому просторi, причому (PFk) \subset C\infty (\Omega ) \times
\times (C\infty (\Gamma ))q . Отже,
vk := (A,B) - 1PFk \rightarrow (A,B) - 1F = v в Q
s,(r)
A,\lambda (\Omega );
тут через (A,B) - 1 позначено оператор, обернений до iзоморфiзму (20). Оскiльки
(A,B)vk = PFk \in \scrH
(r - 2q)
\sigma - 2q,\sigma (\Omega ,\Gamma ) для кожного \sigma \in \BbbR ,
то згiдно з [4] (теорема 7.1.1) виконується включення
vk \in
\bigcap
\sigma \in \BbbR
H\sigma ,(r)(\Omega ) = C\infty (\Omega ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
310 А. В. АНОП, Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
Отже, C\infty (\Omega ) \ni vk + w \rightarrow v + w = u у просторi Hs,(r)
A,\lambda (\Omega ). З огляду на довiльнiсть елемента
u \in Hs,(r)
A,\lambda (\Omega ) доведено щiльнiсть множини C\infty (\Omega ) в Hs,(r)
A,\lambda (\Omega ).
Доведемо тепер, що норми у просторах Hs
A,\lambda (\Omega ) i Hs,(r)
A,\lambda (\Omega ) еквiвалентнi на C\infty (\Omega ). Заува-
жимо спочатку, що
\| u\| Hs
A,\lambda (\Omega ) \leq \| u\| Hs,(r)
A,\lambda (\Omega )
для довiльного u \in C\infty (\Omega ). (21)
Це випливає з означення норми у просторi Hs,(r)(\Omega ): у випадку s \geq 0 — безпосередньо, а у
випадку s < 0 — з огляду на те, що
\| u\| Hs(\Omega ) \leq \| \scrO u\| Hs(\BbbR n) = \| u\| Hs,(0)(\Omega ) для довiльного u \in C\infty (\Omega ).
Тут \scrO u позначає продовження нулем на \BbbR n функцiї u \in C\infty (\Omega ), а рiвнiсть є правильною, як
зазначено в [4, с. 52].
Доведемо обернену оцiнку до (21). Для цього розглянемо елiптичну крайову задачу, яка
складається з рiвняння (1) i крайових умов
Dj - 1
\nu u = gj на \Gamma , j = 1, . . . , q. (22)
Згiдно з [4] (теорема 4.1.1), вiдображення
u \mapsto \rightarrow (Au,\mathrm{D}u) :=
\bigl(
Au, u\upharpoonright \Gamma , . . . , (Dq - 1
\nu u)\upharpoonright \Gamma
\bigr)
, де u \in C\infty (\Omega ), (23)
продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до нетерового обмеженого лiнiйного опера-
тора
(A,\mathrm{D}) : Hs,(r)(\Omega )\rightarrow Hs - 2q,(r - 2q)(\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
Hs - j+1/2(\Gamma ), (24)
до того ж ядро \scrN цього оператора лежить в C\infty (\Omega ). Звуження оператора (24) на простiр
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega ) є нетеровим обмеженим оператором
(A,\mathrm{D}) : Hs,(r)
A,\lambda (\Omega )\rightarrow H\lambda (\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
Hs - j+1/2(\Gamma ) =: \scrH D
\lambda ,s(\Omega ,\Gamma ). (25)
Це доводиться так само, як i нетеровiсть оператора (17).
Крiм того, згiдно з [9] (теорема 4.27), вiдображення (23) продовжується єдиним чином (за
неперервнiстю) до нетерового обмеженого лiнiйного оператора
(A,\mathrm{D}) : Hs
A,\lambda (\Omega )\rightarrow \scrH D
\lambda ,s(\Omega ,\Gamma ), (26)
причому ядро цього оператора лежить в C\infty (\Omega ) (див. також [33], наслiдок 3). Зауважимо,
що зазначену теорему доведено в [9] для регулярних елiптичних крайових задач, до яких
i належить задача (1), (22). Оператори (25) i (26) мають спiльне ядро \scrN \subset C\infty (\Omega ) i спiльну
область значень, бо вона є замиканням множини
\bigl\{
(A,\mathrm{D})u : u \in C\infty (\Omega )
\bigr\}
у просторi \scrH D
\lambda ,s(\Omega ,\Gamma ).
Позначимо цю спiльну область значень через \scrR \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ).
Нетеровi оператори (25) i (26) породжують у канонiчний спосiб iзоморфiзми
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕРЕГУЛЯРНI ЕЛIПТИЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ТА ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА 311
(A,\mathrm{D}) : Hs,(r)
A,\lambda (\Omega )/\scrN \updownarrow \scrR \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ),
(A,\mathrm{D}) : Hs
A,\lambda (\Omega )/\scrN \updownarrow \scrR \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ).
Тут, звiсно, трактуємо \scrR \lambda ,s(\Omega ,\Gamma ) як пiдпростiр простору \scrH D
\lambda ,s(\Omega ,\Gamma ). Для довiльної функцiї
u \in C\infty (\Omega ) розглянемо її клас сумiжностi \widetilde u := \{ u+w : w \in \scrN \} , який належить обом фактор-
просторам H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )/\scrN i Hs
A,\lambda (\Omega )/\scrN . На пiдставi цих iзоморфiзмiв маємо еквiвалентнiсть
норм
\| \widetilde u\|
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )/\scrN \asymp
\bigm\| \bigm\| (A,\mathrm{D})\widetilde u\bigm\| \bigm\| \scrR \lambda ,s(\Omega ,\Gamma )
\asymp \| \widetilde u\| Hs
A,\lambda (\Omega )/\scrN (27)
на функцiях u \in C\infty (\Omega ). Використавши цей факт, доведемо оцiнку, обернену до (21).
Для довiльного u \in C\infty (\Omega ) iснує таке w \in \scrN , що
\| u+ w\|
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )
\leq 2 \| \widetilde u\|
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )/\scrN . (28)
Скориставшись еквiвалентнiстю норм на скiнченновимiрному просторi \scrN та послiдовно фор-
мулами (21), (28) i (27), отримаємо такi нерiвностi:
\| u\|
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )
\leq \| u+ w\|
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )
+ \| w\|
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )
\leq \| u+ w\|
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )
+ c1\| w\| Hs
A,\lambda (\Omega ) \leq
\leq \| u+ w\|
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )
+ c1\| u+ w\| Hs
A,\lambda (\Omega ) + c1\| u\| Hs
A,\lambda (\Omega ) \leq
\leq (1 + c1)\| u+ w\|
H
s,(r)
A,\lambda (\Omega )
+ c1\| u\| Hs
A,\lambda (\Omega ) \leq 2(1 + c1)\| \widetilde u\| Hs,(r)
A,\lambda (\Omega )/\scrN + c1\| u\| Hs
A,\lambda (\Omega ) \leq
\leq c2\| \widetilde u\| Hs
A,\lambda (\Omega )/\scrN + c1\| u\| Hs
A,\lambda (\Omega ) \leq (c2 + c1)\| u\| Hs
A,\lambda (\Omega );
тут c1 i c2 — деякi додатнi числа, якi не залежать вiд функцiй u i w. Отже, доведено оцiнку,
обернену до (21).
Таким чином, теорему 1 доведено у розглянутому випадку, коли \varphi (\cdot ) \equiv 1, s \in \BbbZ i s < 2q .
У загальному випадку виведемо цю теорему з розглянутого випадку i твердження 1 за
допомогою iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв (означення
цiєї iнтерполяцiї та потрiбнi нам її властивостi наведено, наприклад, в [9] (п. 1.1) або [43]
(п. 2)).
Виберемо цiле число l \geq 1, яке задовольняє умови s > - 2q(l - 1) i \lambda < 2ql. Скористаємося
нетеровим оператором (11) у випадку (вже розглянутому), коли \varphi (\cdot ) \equiv 1 i число - 2q(l - 1)
узято замiсть s, та нетеровим оператором (8) у випадку, коли \varphi (\cdot ) \equiv 1 i число \lambda + 2q взято
замiсть s. Отже, отримаємо нетеровi обмеженi оператори
(A,B) : H - 2q(l - 1)
A,\lambda (\Omega )\rightarrow H\lambda (\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
H - 2q(l - 1) - mj - 1/2(\Gamma ) = \scrH \lambda , - 2q(l - 1)(\Omega ,\Gamma ), (29)
(A,B) : H\lambda +2q(\Omega )\rightarrow H\lambda (\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
H\lambda +2q - mj - 1/2(\Gamma ) = \scrH \lambda ,\lambda +2q(\Omega ,\Gamma ). (30)
Вони мають спiльне ядро N i однаковий iндекс, рiвний \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star . Окрiм того, перший
оператор є розширенням другого.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
312 А. В. АНОП, Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
Покладемо \varepsilon := s + 2q(l - 1) > 0 i \delta := \lambda + 2q - s > 0 та означимо функцiю \psi :
(0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) за формулами \psi (t) := t\varepsilon /(\varepsilon +\delta )\varphi (t1/(\varepsilon +\delta )), якщо t \geq 1, та \psi (t) := \varphi (1), якщо
0 < t < 1. Згiдно з [9] (теорема 1.14), ця функцiя є iнтерполяцiйним параметром. Застосувавши
iнтерполяцiю з функцiональним параметром \psi до обмежених лiнiйних операторiв (29) i (30),
отримаємо обмежений лiнiйний оператор
(A,B) :
\bigl[
H
- 2q(l - 1)
A,\lambda (\Omega ), H\lambda +2q(\Omega )
\bigr]
\psi
\rightarrow
\bigl[
\scrH \lambda , - 2q(l - 1)(\Omega ,\Gamma ),\scrH \lambda ,\lambda +2q(\Omega ,\Gamma )
\bigr]
\psi
. (31)
Вiн є звуженням вiдображення (29) на iнтерполяцiйний простiр
[H
- 2q(l - 1)
A,\lambda (\Omega ), H\lambda +2q(\Omega )]\psi . (32)
Тут i далi у доведеннi через [X0, X1]\psi позначено гiльбертiв простiр, який є результатом iн-
терполяцiї з функцiональним параметром \psi припустимої впорядкованої пари сепарабельних
гiльбертових просторiв X0 i X1 (див. означення цiєї iнтерполяцiї в [9] (п. 1.1.1)). Зауважимо, що
цю пару називають припустимою, якщо виконується неперервне i щiльне вкладення X1 \lhook \rightarrow X0 .
Тодi також виконуються неперервнi i щiльнi вкладення X1 \lhook \rightarrow [X0, X1]\psi \lhook \rightarrow X0 (див. [9] (теоре-
ма 1.1)). Наведенi у формулi (31) пари гiльбертових просторiв є припустимими. Припустимiсть
першої з них випливає, зокрема, iз доведеної вище щiльностi множини C\infty (\Omega ) у просторi
H
- 2q(l - 1)
A,\lambda (\Omega ). Крiм того, цей простiр сепарабельний, що випливає з нетеровостi оператора (29)
i сепарабельностi простору \scrH \lambda , - 2q(l - 1)(\Omega ,\Gamma ). Припустимiсть другої пари є очевидною.
Множина C\infty (\Omega ) щiльна у просторi (32), оскiльки у нього неперервно i щiльно вкладено
простiр H\lambda +2q(\Omega ). Тому оператор (31) є продовженням за неперервнiстю вiдображення (3).
На пiдставi зазначених вище властивостей нетерових операторiв (29) i (30) робимо висновок,
згiдно з теоремою про iнтерполяцiю нетерових операторiв (див. [9], теорема 1.5), що оператор
(31) нетерiв з ядром N, iндексом \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N \star та областю значень\bigl[
\scrH \lambda , - 2q(l - 1)(\Omega ,\Gamma ),\scrH \lambda ,\lambda +2q(\Omega ,\Gamma )
\bigr]
\psi
\cap (A,B)
\bigl(
H
- 2q(l - 1)
A,\lambda (\Omega )
\bigr)
.
З останньої властивостi i вже обґрунтованого опису областi значень оператора (29) (з викори-
станням умови (9)) випливає, що область значень оператора (31) складається з усiх векторiв
(f, g1, . . . , gq) \in
\bigl[
\scrH \lambda , - 2q(l - 1)(\Omega ,\Gamma ),\scrH \lambda ,\lambda +2q(\Omega ,\Gamma )
\bigr]
\psi
,
якi задовольняють умову (9).
Щоб завершити доведення теореми 1, покажемо, що простори, у яких дiє нетерiв опера-
тор (31), задовольняють рiвностi\bigl[
H
- 2q(l - 1)
A,\lambda (\Omega ), H\lambda +2q(\Omega )
\bigr]
\psi
= Hs,\varphi
A,\lambda (\Omega ), (33)\bigl[
\scrH \lambda , - 2q(l - 1)(\Omega ,\Gamma ),\scrH \lambda ,\lambda +2q(\Omega ,\Gamma )
\bigr]
\psi
= \scrH \lambda ,s,\varphi (\Omega ,\Gamma ) (34)
з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Рiвнiсть (34) випливає з теореми 1.5 (про iнтерполяцiю прямих сум просторiв) i теореми 2.2
(про iнтерполяцiю з функцiональним параметром соболєвських просторiв на \Gamma ), наведених у
[9]. А саме, \bigl[
\scrH \lambda , - 2q(l - 1)(\Omega ,\Gamma ),\scrH \lambda ,\lambda +2q(\Omega ,\Gamma )
\bigr]
\psi
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕРЕГУЛЯРНI ЕЛIПТИЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ТА ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА 313
=
\bigl[
H\lambda (\Omega ), H\lambda (\Omega )
\bigr]
\psi
\oplus
q\bigoplus
j=1
\bigl[
H - 2q(l - 1) - mj - 1/2(\Gamma ), H\lambda +2q - mj - 1/2(\Gamma )
\bigr]
\psi
=
= H\lambda (\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
\bigl[
Hs - mj - 1/2 - \varepsilon (\Gamma ), Hs - mj - 1/2+\delta (\Gamma )
\bigr]
\psi
=
= H\lambda (\Omega )\oplus
q\bigoplus
j=1
Hs - mj - 1/2,\varphi (\Gamma ) = \scrH \lambda ,s,\varphi (\Omega ,\Gamma )
з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Для доведення рiвностi (33) скористаємось одним результатом про iнтерполяцiю пiдпро-
сторiв, пов’язаних iз довiльним обмеженим лiнiйним оператором, який дiє в парi гiльбертових
просторiв. Нехай H, \Phi i \Psi — гiльбертовi простори, причому виконується неперервне вкла-
дення \Phi \lhook \rightarrow \Psi . Нехай також задано обмежений лiнiйний оператор T : H \rightarrow \Psi . Покладемо
(H)T,\Phi := \{ u \in H : Tu \in \Phi \} . Простiр (H)T,\Phi є гiльбертовим вiдносно норми графiка
\| u\| (H)T,\Phi :=
\bigl(
\| u\| 2H + \| Tu\| 2\Phi
\bigr) 1/2
.
Твердження 2. Нехай задано шiсть сепарабельних гiльбертових просторiв X0, Y0, Z0,
X1, Y1 i Z1 та три лiнiйних вiдображення T, R i S, що задовольняють такi умови:
(i) пари X = [X0, X1] i Y = [Y0, Y1] припустимi;
(ii) простори Z0 i Z1 є пiдпросторами деякого лiнiйного простору E;
(iii) виконуються неперервнi вкладення Yj \lhook \rightarrow Zj при j \in \{ 0, 1\} ;
(iv) вiдображення T означене на X0 i задає обмеженi оператори T : Xj \rightarrow Zj при j \in
\in \{ 0, 1\} ;
(v) вiдображення R означене на E i задає обмеженi оператори R : Zj \rightarrow Xj при j \in
\in \{ 0, 1\} ;
(vi) вiдображення S означене на E i задає обмеженi оператори S : Zj \rightarrow Yj при j \in
\in \{ 0, 1\} ;
(vii) для кожного \omega \in E виконується рiвнiсть TR\omega = \omega + S\omega .
Тодi пара просторiв [(X0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ] припустима i для довiльного iнтерполяцiйного пара-
метра \psi \in \scrB виконується така рiвнiсть просторiв з точнiстю до еквiвалентностi норм:\bigl[
(X0)T,Y0 , (X1)T,Y1
\bigr]
\psi
=
\bigl(
[X0, X1]\psi
\bigr)
T,[Y0,Y1]\psi
.
Аналог цього твердження був уперше встановлений Ж.-Л. Лiонсом i Е. Мадженесом [30]
(теорема 14.3) для комплексної iнтерполяцiї з числовим параметром. Для iнтерполяцiї з функ-
цiональним параметром твердження 2 доведено в [16] (п. 4) (див. також [9], п. 3.3.2).
У твердженнi 2 покладемо X0 := H - 2q(l - 1)(\Omega ), X1 := H\lambda +2q(\Omega ), Y0 := Y1 := Z1 :=
:= H\lambda (\Omega ), Z0 := E := H - 2ql(\Omega ) i T := A. Тодi
H
- 2q(l - 1)
A,\lambda (\Omega ) = (X0)T,Y0 i H\lambda +2q(\Omega ) = (X1)T,Y1 . (35)
Зауважимо, що остання рiвнiсть виконується з точнiстю до еквiвалентностi норм, оскiльки A є
обмеженим оператором у парi просторiв H\lambda +2q(\Omega ) i H\lambda (\Omega ) (для довiльного дiйсного \lambda ). Звiсно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
314 А. В. АНОП, Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
умови (i) – (iv) твердження 2 виконуються. Побудуємо оператори R i S, якi задовольняють
решту умов (v) – (vii).
Для цього скористаємося тим, що вiдображення u \mapsto \rightarrow AlAl+u+ u задає iзоморфiзм
AlAl+ + I : H\sigma
D(\Omega )\updownarrow H\sigma - 4ql(\Omega ) для довiльного \sigma \geq 2ql (36)
(див., наприклад, лему 3.1 [9], доведення якої проводиться i для дiйсних \sigma \geq 2ql). Тут, як
звичайно, Al є l-ю iтерацiєю оператора A, а Al+ — формально спряженим оператором до ди-
ференцiального оператора Al вiдносно скалярного добутку в L2(\Omega ) та I — тотожний оператор.
Окрiм того,
H\sigma
D(\Omega ) :=
\bigl\{
u \in H\sigma (\Omega ) : R\Gamma D
j - 1
\nu u = 0 для кожного j \in \{ 1, . . . , 2ql\}
\bigr\}
є пiдпростором простору H\sigma (\Omega ). Оператор, обернений до (36), є обмеженим лiнiйним опера-
тором
(AlAl+ + I) - 1 : H\theta (\Omega )\rightarrow H\theta +4ql(\Omega ) для довiльного \theta \geq - 2ql. (37)
Покладемо
R := Al - 1Al+(AlAl+ + I) - 1 i S = - (AlAl+ + I) - 1.
Використовуючи (37), одержуємо обмеженi оператори
R : Z0 = H - 2ql(\Omega )\rightarrow H2ql - 2ql - 2q(l - 1)(\Omega ) = X0,
R : Z1 = H\lambda (\Omega )\rightarrow H\lambda +4ql - 2ql - 2q(l - 1)(\Omega ) = X1,
S : Z0 = H - 2ql(\Omega )\rightarrow H2ql(\Omega ) \lhook \rightarrow H\lambda (\Omega ) = Y0,
S : Z1 = H\lambda (\Omega )\rightarrow H\lambda +4ql(\Omega ) \lhook \rightarrow H\lambda (\Omega ) = Y1;
тут вкладення неперервнi. Крiм того,
AR = AAl - 1Al+(AlAl+ + I) - 1 = (AlAl+ + I - I)(AlAl+ + I) - 1 = I + S
на просторi E = H - 2ql(\Omega ). Таким чином, для введених операторiв R i S виконуються умови
(v) – (vii) твердження 2.
Згiдно з цим твердженням i на пiдставi (35) отримуємо рiвностi\bigl[
H
- 2q(l - 1)
A,\lambda (\Omega ), H\lambda +2q(\Omega )
\bigr]
\psi
=
\bigl[
(X0)T,Y0 , (X1)T,Y1
\bigr]
\psi
=
\bigl(
[X0, X1]\psi
\bigr)
T,[Y0,Y1]\psi
.
Тут на пiдставi теореми 3.2 (про iнтерполяцiю з функцiональним параметром соболєвських
просторiв на \Omega ), наведеної у [9], маємо рiвнiсть просторiв
[X0, X1]\psi =
\bigl[
H - 2q(l - 1)(\Omega ), H\lambda +2q(\Omega )
\bigr]
\psi
=
\bigl[
Hs - \varepsilon (\Omega ), Hs+\delta (\Omega )
\bigr]
\psi
= Hs,\varphi (\Omega ).
Цi рiвностi виконуються з точнiстю до еквiвалентностi норм. Окрiм того,
[Y0, Y1]\psi =
\bigl[
H\lambda (\Omega ), H\lambda (\Omega )
\bigr]
\psi
= H\lambda (\Omega ).
З останнiх трьох виносних формул безпосередньо випливає рiвнiсть (33).
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕРЕГУЛЯРНI ЕЛIПТИЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ТА ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА 315
Доведення теореми 2. Виберемо довiльно функцiю \chi \in C\infty (\Omega ) таку, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \Omega 0\cup \Gamma 0 .
Виберемо також функцiю \eta \in C\infty (\Omega ), яка задовольняє умови \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \eta \subset \Omega 0 \cup \Gamma 0 i \eta = 1 у
деякому околi V множини \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi (звiсно, цей окiл розглядається у топологiї на \Omega ). За умовою
u належить H\sigma
A,\lambda (\Omega ) для деяких цiлого числа \sigma < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ s, 2q\} i дiйсного числа \lambda > m+1/2 - 2q
та, крiм того,
\eta (f, g) \in
\left\{ \scrH \lambda ,s,\varphi (\Omega ,\Gamma ), якщо s \leq m+ 1/2,
\scrH s - 2q,s,\varphi (\Omega ,\Gamma ), якщо s > m+ 1/2.
(38)
Тут g := (g1, . . . , gq) i \eta (f, g) := (\eta f, (\eta \upharpoonright \Gamma )g1, . . . , (\eta \upharpoonright \Gamma )gq). У випадку, коли s > m + 1/2,
виберемо число \lambda > m+ 1/2 - 2q так, щоб додатково виконувалась нерiвнiсть \lambda < s - 2q .
Взагалi кажучи, \chi u /\in H\sigma
A,\lambda (\Omega ), тому замiсть простору H\sigma
A,\lambda (\Omega ) будемо використовувати
бiльш широкий простiр Соболєва – Ройтберга H\sigma ,(r)(\Omega ), замкнений вiдносно операцiї множен-
ня на довiльну функцiю класу C\infty (\Omega ). Як було показано у доведеннi теореми 1, норми у
просторах H\sigma
A,\lambda (\Omega ) i H\sigma ,(r)
A,\lambda (\Omega ) еквiвалентнi на щiльному лiнiйному многовидi C\infty (\Omega ). Отже,
цi простори рiвнi з точнiстю до еквiвалентностi норм i тому виконується неперервне вкладення
H\sigma
A,\lambda (\Omega ) \lhook \rightarrow H\sigma ,(r)(\Omega ). Отож, нетерiв оператор (12), де беремо число \sigma замiсть s, є розширенням
нетерового оператора
(A,B) : H\sigma
A,\lambda (\Omega )\rightarrow \scrH \lambda ,\sigma (\Omega ,\Gamma ). (39)
Нагадаємо [4] (наслiдок 2.3.1), що оператор множення на функцiю класу C\infty (\Omega ) є неперервним
на кожному просторi Соболєва – Ройтберга.
Оскiльки оператор (39) нетерiв, а множина C\infty (\Omega )\times (C\infty (\Gamma ))q щiльна у просторi\scrH \lambda ,\sigma (\Omega ,\Gamma ),
то за лемою Гохберга – Крейна [42] (лема 2.1) iснує скiнченновимiрний простiр N0 \subset C\infty (\Omega )\times
(C\infty (\Gamma ))q такий, що
\scrH \lambda ,\sigma (\Omega ,\Gamma ) = (A,B)
\bigl(
H\sigma
A,\lambda (\Omega )
\bigr)
\dotplus N0.
Позначимо через P0 проектор простору \scrH \lambda ,\sigma (\Omega ,\Gamma ) на перший доданок у цiй прямiй сумi
паралельно другому доданку.
На пiдставi умови (38), теореми 1 i твердження 1 робимо висновок, що у випадку s \leq
\leq m+ 1/2 виконується включення
P0(\eta (f, g)) \in \scrH \lambda ,s,\varphi (\Omega ,\Gamma ) \cap (A,B)
\bigl(
H\sigma
A,\lambda (\Omega )
\bigr)
= (A,B)
\bigl(
Hs,\varphi
A,\lambda (\Omega )
\bigr)
,
а у випадку s > m+ 1/2 — включення
P0(\eta (f, g)) \in \scrH s - 2q,s,\varphi (\Omega ,\Gamma ) \cap (A,B)
\bigl(
H\sigma
A,\lambda (\Omega )
\bigr)
= (A,B)
\bigl(
Hs,\varphi (\Omega )
\bigr)
.
Тому P0(\eta (f, g)) = (A,B)u1 для деякого u1 \in Hs,\varphi (\Omega ) \cap H\sigma
A,\lambda (\Omega ). Тодi
\eta (f, g) = P0(\eta (f, g)) + (I - P0)(\eta (f, g)) = (A,B)u1 + u\circ 1,
де I — тотожний оператор, а u\circ 1 := (I - P0)(\eta (f, g)) \in N0 . Крiм того, за умовою (A,B)u =
= (f, g). Звiдси отримуємо
(A,B)(u - u1) = (1 - \eta )(f, g) + u\circ 1.
Оскiльки 1 - \eta = 0 на V i u\circ 1 \in N0 \subset C\infty (\Omega ) \times (C\infty (\Gamma ))q, а \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset V, то за теоре-
мою про локальне пiдвищення регулярностi розв’язкiв елiптичних крайових задач у просторах
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
316 А. В. АНОП, Т. М. КАСIРЕНКО, О. О. МУРАЧ
Соболєва – Ройтберга [4] (теорема 7.2.1) виконується включення
w := \chi (u - u1) \in
\bigcap
\theta \geq r
H\theta ,(r)(\Omega ) = C\infty (\Omega ).
Таким чином, \chi u = \chi u1 + w \in Hs,\varphi (\Omega ), бо u1 \in Hs,\varphi (\Omega ). Отже, u \in Hs,\varphi
loc (\Omega 0,\Gamma 0) з огляду на
довiльнiсть вибору функцiї \chi .
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Вентцель A. Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов // Теория вероятностей и
ее применения. – 1959. – 4. – C. 172 – 185.
2. Красильников В. Н. О решении некоторых гранично-контактных задач линейной гидродинамики // Прикл.
математика и механика. – 1961. – 25, № 4. – С. 764 – 768.
3. Вешев В. А., Коузов Д. П. О влиянии среды на колебания пластин, сочлененных под прямым углом // Акуст.
жуpн. – 1977. – 23, № 3. – С. 368 – 377.
4. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1996. – xii+415 p.
5. Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities. –
Providence: Amer. Math. Soc., 1997. – 414 p.
6. Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer, 1963. – 285 p.
7. Hörmander L. The analysis of linear partial differential operators. II: Differential operators with constant coefficients.–
Berlin: Springer, 1983. – viii+391 p.
8. Jacob N. Pseudodifferential operators and Markov processes: In 3 volumes. – London: Imperial College Press, 2001,
2002, 2005. – xxii+493 p., xxii+453 p., xxviii+474 p.
9. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin; Boston: De Gruyter,
2014. – xii+297 p.
10. Nicola F., Rodino L. Global pseudodifferential calculas on Euclidean spaces. – Basel: Birkhäuser, 2010. – x+306 p.
11. Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem.– Berlin: Wiley-VCH, 2000. – 348 p.
12. Stepanets A. I. Methods of approximation theory. – Utrecht: VSP, 2005.
13. Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäuser, 2001. – xii+425 p.
14. Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic operators in a refined scale of functional spaces // Ukr. Math. J. – 2005. – 57,
№ 5. – P. 817 – 825.
15. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scales of spaces and elliptic boundary-value problems. II // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 3. – P. 398 – 417.
16. Mikhailets V. A., Murach A. A. Regular elliptic boundary-value problem for homogeneous equation in two-sided
refined scale of spaces // Ukr. Math. J. – 2006. – 58, № 11. – P. 1748 – 1767.
17. Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic operator with homogeneous regular boundary conditions in two-sided refined
scale of spaces // Ukr. Math. Bull. – 2006. – 3, № 4. – P. 529 – 560.
18. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scales of spaces and elliptic boundary-value problems. III // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 5. – P. 744 – 765.
19. Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic boundary-value problem in a two-sided refined scale of spaces // Ukr. Math.
J. – 2008. – 60, № 4. – P. 574 – 597.
20. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
21. Anop A. V., Murach A. A. Parameter-elliptic problems and interpolation with a function parameter // Meth. Funct.
Anal. and Top. – 2014. — 20, № 2. – P. 103 – 116.
22. Anop A. V., Murach A. A. Regular elliptic boundary-value problems in the extended Sobolev scale // Ukr. Math. J. –
2014. – 66, № 7. – P. 969 – 985.
23. Anop A. V., Kasirenko T. M. Elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces // Meth. Funct. Anal. and Top. –
2016. – 22, № 4. – P. 295 – 310.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕРЕГУЛЯРНI ЕЛIПТИЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ТА ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА 317
24. Mikhailets V. A., Murach A. A. Extended Sobolev scale and elliptic operators // Ukr. Math. J. – 2013. – 65, № 3. –
P. 435 – 447.
25. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces // Results Math. – 2015. – 67,
№ 1. – P. 135 – 152.
26. Denk R., Faierman M. An elliptic boundary problem acting on generalized Sobolev spaces // arXiv:1710.01959v1. –
2017. – 21 p.
27. Касiренко Т. М., Мурач О. О. Елiптичнi задачi з крайовими умовами високих порядкiв у просторах Хермандера //
Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 11. – С. 1486 – 1504.
28. Lions J.-L., Magenes E. Problèmes aux limites non homogénes, V // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa (3). – 1962. –
16. – P. 1 – 44.
29. Lions J.-L., Magenes E. Problèmes aux limites non homogénes, VI // J. Anal. Math. – 1963. – 11. – P. 165 – 188.
30. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971. – 372 с.
31. Ройтберг Я. А. Теоремы о гомеоморфизмах, осуществляемых эллиптическими операторами // Докл.
АН СССР. – 1968. – 180, № 3. – С. 542 – 545.
32. Костарчук Ю. В., Ройтберг Я. А. Теореми про iзоморфiзми для елiптичних граничних задач з граничними
умовами, якi не є нормальними // Укр. мат. журн. – 1973. – 25, № 2. – С. 271 – 277.
33. Murach A. A. Extension of some Lions – Magenes theorems // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2009. – 15, № 2. –
P. 152 – 167.
34. Михайлец В. А., Мурач А. А. Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства
Хермандера // Доп. НАН України. – 2011. – № 4. – С. 30 – 36.
35. Murach A. A., Chepurukhina I. S. Elliptic boundary-value problems in the sense of Lawruk on Sobolev and Hörmander
spaces // Ukr. Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 764 – 784.
36. Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci. Vol. 79. Part. Different. Equat. IX. – Berlin:
Springer, 1997. – P. 1 – 144.
37. Функциональный анализ / Под общ. ред. С. Г. Крейна. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
38. Seneta E. Regularly varying functions. – Berlin: Springer, 1976. – 112 p.
39. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 512 p.
40. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат.
наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
41. Ройтберг Я. А. Эллиптические задачи с неоднородными граничными условиями и локальное повышение
гладкости вплоть до границы обобщенных решений // Докл. АН СССР. – 1964. – 157, № 4. – С. 798 – 801.
42. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых векторах и индексах линейных
операторов // Успехи мат. наук. – 1957. – 12, № 2. – С. 43 – 118.
43. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces // Meth. Funct.
Anal. and Top. – 2008. – 14, № 1. – P. 81 – 100.
Одержано 19.12.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1558 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:01Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0a/9df0f8cc7f018aceec6c02471dee770a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15582019-12-05T09:18:29Z Irregular elliptic boundary-value problems and Hörmander spaces Нерегулярні еліптичні крайові задачі та простори Хермандера Anop, A. V. Kasirenko, T. M. Murach, A. A. Аноп, А. В. Касіренко, Т. М. Мурач, О. О. We study nonregular elliptic problems with boundary conditions of higher orders and prove that these problems are Fredholm on appropriate pairs of the inner-product H¨ormander spaces that form a two-sided refined Sobolev scale. We prove a theorem on the regularity of generalized solutions to the problems in these spaces. Исследованы нерегулярные эллиптические задачи с краевыми операторами высших порядков. Доказано, что эти задачи являются нетеровыми в подходящих парах гильбертовых пространств Хермандера, которые образуют двустороннюю уточненную соболевскую шкалу. Доказана теорема о регулярности обобщенных решений исследуемых задач в этих пространствах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1558 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 3 (2018); 299-317 Український математичний журнал; Том 70 № 3 (2018); 299-317 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1558/540 Copyright (c) 2018 Anop A. V.; Kasirenko T. M.; Murach A. A. |
| spellingShingle | Anop, A. V. Kasirenko, T. M. Murach, A. A. Аноп, А. В. Касіренко, Т. М. Мурач, О. О. Irregular elliptic boundary-value problems and Hörmander spaces |
| title | Irregular elliptic boundary-value problems and
Hörmander spaces |
| title_alt | Нерегулярні еліптичні крайові задачі та простори
Хермандера |
| title_full | Irregular elliptic boundary-value problems and
Hörmander spaces |
| title_fullStr | Irregular elliptic boundary-value problems and
Hörmander spaces |
| title_full_unstemmed | Irregular elliptic boundary-value problems and
Hörmander spaces |
| title_short | Irregular elliptic boundary-value problems and
Hörmander spaces |
| title_sort | irregular elliptic boundary-value problems and
hörmander spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1558 |
| work_keys_str_mv | AT anopav irregularellipticboundaryvalueproblemsandhormanderspaces AT kasirenkotm irregularellipticboundaryvalueproblemsandhormanderspaces AT murachaa irregularellipticboundaryvalueproblemsandhormanderspaces AT anopav irregularellipticboundaryvalueproblemsandhormanderspaces AT kasírenkotm irregularellipticboundaryvalueproblemsandhormanderspaces AT muračoo irregularellipticboundaryvalueproblemsandhormanderspaces AT anopav neregulârníelíptičníkrajovízadačítaprostorihermandera AT kasirenkotm neregulârníelíptičníkrajovízadačítaprostorihermandera AT murachaa neregulârníelíptičníkrajovízadačítaprostorihermandera AT anopav neregulârníelíptičníkrajovízadačítaprostorihermandera AT kasírenkotm neregulârníelíptičníkrajovízadačítaprostorihermandera AT muračoo neregulârníelíptičníkrajovízadačítaprostorihermandera |