A problem for one class of pseudodifferential evolutionary equations multipoint in the time variable
We establish the correct solvability of the multipoint (in the time variable) problem for the evolution equation with operator of differentiation of infinite order in generalized $S$-type spaces. The properties of the fundamental solution of this problem and the behavior of the solution $u(t, x)$ as...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1560 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507361971535872 |
|---|---|
| author | Verezhak, A. P. Horodets’kyi, V. V. Petryshyn, R. I. Вережак, А. П. Городецкий, В. В. Петришин, Р. И. Вережак, А. П. Городецкий, В. В. Петришин, Р. И. |
| author_facet | Verezhak, A. P. Horodets’kyi, V. V. Petryshyn, R. I. Вережак, А. П. Городецкий, В. В. Петришин, Р. И. Вережак, А. П. Городецкий, В. В. Петришин, Р. И. |
| author_sort | Verezhak, A. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:29Z |
| description | We establish the correct solvability of the multipoint (in the time variable) problem for the evolution equation with operator
of differentiation of infinite order in generalized $S$-type spaces. The properties of the fundamental solution of this problem
and the behavior of the solution $u(t, x)$ as $t \rightarrow +\infty$ are investigated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
В. В. Городецкий, Р. И. Петришин, А. П. Вережак (Чернов. нац. ун-т им. Ю. Федьковича)
МНОГОТОЧЕЧНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА
ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
We establish the correct solvability of the multipoint (in the time variable) problem for the evolution equation with operator
of differentiation of infinite order in generalized S -type spaces. The properties of the fundamental solution of this problem
and the behavior of the solution u(t, x) as t \rightarrow +\infty are investigated.
Встановлено коректну розв’язнiсть багатоточкової за часом задачi для еволюцiйного рiвняння з оператором дифе-
ренцiювання нескiнченного порядку в узагальнених просторах типу S i дослiджено властивостi фундаментального
розв’язку вказаної задачi та поведiнку розв’язку u(t, x) при t \rightarrow +\infty .
При исследовании проблемы о классах единственности и классах корректности задачи Коши
для уравнений с частными производными часто используются пространства типа S, введен-
ные в [1, с. 203 – 211]. Функции из таких пространств на действительной оси вместе со всеми
своими производными при | x| \rightarrow \infty убывают быстрее, чем \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - a| x| \} , a > 0, x \in \BbbR . В
[2 – 8] установлено, что пространства типа S и S\prime — пространства, топологически сопряжен-
ные к ним, совпадают с множествами начальных данных задачи Коши для широких классов
уравнений с частными производными конечного и бесконечного порядков, при которых реше-
ния являются целыми функциями по пространственным переменным. Например, для уравне-
ния теплопроводности \partial u/\partial t = \partial 2u/\partial x2 фундаментальное решение задачи Коши — функция
G(t, x) =
\bigl(
2
\surd
\pi t
\bigr) - 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - x2/(4t)\} — при каждом t > 0, как функция x, принадлежит про-
странству S1/2
1/2 [7, с. 46], относящемуся к пространствам типа S.
Обобщением задачи Коши для таких уравнений является нелокальная многоточечная по
времени задача с условием
m\sum
k=0
\alpha ku(t, \cdot )t=tk = f, (1)
где t0 = 0, \{ t1, . . . , tm\} \subset (0, T ], \{ \alpha 0, \alpha 1, . . . , \alpha m\} \subset \BbbR , m \in \BbbN — фиксированные числа (если
\alpha 0 = 1, \alpha 1 = \alpha 2 = . . . = \alpha m = 0, то имеем, очевидно, задачу Коши); при этом условие (1)
понимается в обычном или слабом смысле, если f — обобщенная функция. Нелокальные
по времени задачи относятся к нелокальным краевым задачам для уравнений с частными
производными. Такие задачи возникают при моделировании многих процессов и задач практики
краевыми задачами для уравнений с частными производными с нелокальными условиями (см.,
например, [9, 10]).
Исследованием нелокальных краевых задач в разных аспектах занимались многие матема-
тики, используя при этом разные методы и подходы (см., например, [11 – 19]). Получены важ-
ные результаты относительно постановки, корректной разрешимости и построения решений,
изучен вопрос о зависимости разрешимости задач от поведения символов операций, сфор-
мулированы условия регулярности и нерегулярности краевых условий для важных случаев
дифференциально-операторных уравнений.
В настоящей работе исследуется нелокальная многоточечная по времени задача для урав-
нения \partial u(t, x)/\partial t = A\varphi u(t, x), t \in (0,+\infty ), x \in \BbbR , в пространствах типа S и S\prime , где A\varphi —
c\bigcirc В. В. ГОРОДЕЦКИЙ, Р. И. ПЕТРИШИН, А. П. ВЕРЕЖАК, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3 337
338 В. В. ГОРОДЕЦКИЙ, Р. И. ПЕТРИШИН, А. П. ВЕРЕЖАК
псевдодифференциальный оператор с аналитическим символом \varphi , удовлетворяющим опреде-
ленному условию „параболичности”. Выяснено, что A\varphi можно также понимать как дифферен-
циальный оператор „бесконечного порядка” вида
\sum \infty
k=0
ckD
k
x, действующий в обобщенных
пространствах типа S, введенных в [1, с. 288 – 291]. Такие пространства строятся по после-
довательностям \{ ak, k \in \BbbZ +\} , \{ bn, n \in \BbbZ +\} положительных чисел, обозначаются символом
Sbnak и, как показано в этой роботе, являются естественной средой при исследовании указан-
ной задачи. Установлены свойства фундаментального решения нелокальной многоточечной по
времени задачи для указанного уравнения, доказана корректная разрешимость задачи в полу-
пространстве t > 0, найдено аналитическое представление решения, исследовано поведение
решения u(t, \cdot ) при t \rightarrow +\infty в тех пространствах обобщенных функций типа S\prime , которым
принадлежит функция f в условии (1), при этом (1) понимается в том смысле, что для любой
основной функции \psi выполняется предельное соотношение
m\sum
k=0
\alpha k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
\langle u(t, \cdot ), \psi \rangle = \langle f, \psi \rangle .
Найден класс обобщенных функций f в условии (1), при которых решение u(t, \cdot ) нелокальной
многоточечной по времени задачи стремится к нулю равномерно на \BbbR при t\rightarrow +\infty .
1. Обобщенные пространства типа \bfitS . И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов в известной мо-
нографии [1, с. 203 – 210] предложили метод построения функциональных пространств бес-
конечно дифференцируемых на \BbbR функций, на которые налагаются определенные условия не
только на убывание на бесконечности, но и на рост их производных с увеличением поряд-
ка производной. Эти условия формулируются с помощью неравенств вида | xk\varphi (n)(x)| \leq ckn,
\{ k, n\} \subset \BbbZ +, где \{ ckn\} — двойная последовательность положительных чисел. Если эти чис-
ла меняются произвольно вместе с функцией \varphi , то имеем пространство Л. Шварца S =
= S(\BbbR ) быстро убывающих на \BbbR функций. Если ckn = akbn, где \{ ak, k \in \BbbZ +\} , \{ bn, n \in
\in \BbbZ +\} — некоторые последовательности положительных чисел, то имеем обобщенные про-
странства типа S, которые обозначаются символом Sbnak . В монографии [1] детально изу-
чен случай, когда ak = kk\alpha , \alpha > 0, bn = nn\beta , \beta > 0; соответствующие пространства
называются пространствами типа S и обозначаются символом S\beta \alpha . В работе [20] изучают-
ся пространства Sbnak (их топологическая структура, свойства функций, основные операции
в таких пространствах). Известные пространства типа W, введенные Б. Л. Гуревичем [21]
(см. также [22, c. 7 – 17]), в которых для характеристики поведения функций на бесконеч-
ности вместо степенных функций используются произвольные выпуклые функции, также
вкладываются в пространства Sbnak при конкретном выборе последовательностей \{ ak\} и \{ bn\}
(см. [23]).
Здесь остановимся на пространствах Sbnak , построенных по последовательностям вида \{ bn =
= n!\rho n, n \in \BbbZ +\} , \{ ak = k!dk, k \in \BbbZ +\} , где \{ \rho n\} , \rho 0 = 1, — последовательность положитель-
ных чисел, имеющая свойства: а) она монотонно убывает; б) \exists cb > 0 \exists \gamma 1 \in (0, 1) \forall n \in \BbbN :
\rho n - 1/\rho n \leq cb n
\gamma 1 ; в) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty n
\surd
\rho n = 0; г) \forall \varepsilon > 0 \exists c\varepsilon > 0 \forall n \in \BbbZ + : \rho n \geq c\varepsilon \varepsilon
n/nn. По-
следовательность \{ dk, k \in \BbbZ +\} , d0 = 1, также имеет свойства а) – г), при этом условие б)
принимает вид \exists ca > 0 \exists \gamma 2 \in (0, 1) \forall n \in \BbbN : dk - 1/dk \leq ca k
\gamma 2 . Примером последователь-
ности \{ \rho n\} со свойствами а) – г) может служить последовательность \rho n = (n\beta ) - n\beta en\beta , где
\beta \in (0, 1) — фиксированный параметр. Проверим, например, выполнение для этой последова-
тельности свойства г). Имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
МНОГОТОЧЕЧНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧА . . . 339
\rho n =
en\beta
(n\beta )n\beta
=
en\beta
(n\beta )n\beta
[n(1 - \beta )]n(1 - \beta )
[n(1 - \beta )]n(1 - \beta )
en(1 - \beta )
en(1 - \beta )
=
=
en
nn
1
[\beta \beta (1 - \beta )1 - \beta ]n
[n(1 - \beta )]n(1 - \beta )
en(1 - \beta )
=
en
nn
1
\omega n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\lambda \geq 0
\lambda n
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \lambda 1/(1 - \beta )\}
,
где \omega = \beta \beta (1 - \beta )1 - \beta < 1. Если взять любое \varepsilon > 0 и положить \lambda = \varepsilon , то придем к неравенству
\rho n \geq c\varepsilon \varepsilon
n/nn, где c\varepsilon = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \varepsilon 1/(1 - \beta )\} . Отметим, что условие б) для этой последовательности
выполняется с параметром \gamma 1 = \beta . Предполагаем также, что параметры \gamma 1, \gamma 2 в условии б)
для последовательностей \{ \rho n\} и \{ dk\} связаны условием \gamma 1 + \gamma 2 = \theta \leq 1.
Символом Sbnak обозначим совокупность функций \varphi \in C\infty (\BbbR ), удовлетворяющих условию
\exists c, A,B > 0 \forall \{ k, n\} \subset \BbbZ + \forall x \in \BbbR : | xk\varphi (n)(x)| \leq cAkBnakbn
(о топологической структуре пространств Sbnak см. [20]). В [20] установлено, что функция
\varphi \in C\infty (\BbbR ) принадлежит пространству Sbnak , где ak = k!dk, bn = n!\rho n, тогда и только тогда,
когда она может быть аналитически продолжена в комплексную плоскость и как целая функция
\varphi (z), z \in \BbbC , удовлетворяет условию
\exists a, b, c > 0 \forall z = x+ iy \in \BbbC : | \varphi (z)| \leq c\gamma (ax)\rho (by), (2)
где
\gamma (x) =
\left\{ 1, если | x| < 1,
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k
(ak/| x| k), | x| \geq 1,
\rho (y) =
\left\{
1, если | y| < 1,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
(| y| n/bn), | y| \geq 1.
Отметим, что \rho — непрерывно дифференцируемая, четная на \BbbR функция, монотонно возраста-
ющая на [1,+\infty ). Из свойства г) следует также (см. [20]) существование постоянных c0, c > 0
таких, что \rho (y) \geq c0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(c| y| ). Например, если bn = nn\beta , 0 < \beta < 1, то \rho (y) \sim \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ | y| 1/\beta \} .
Кроме того, как доказано в [20], \mathrm{l}\mathrm{n} \rho — выпуклая на (0,+\infty ) функция в том смысле, что
\forall \{ y1, y2\} \subset (0,+\infty ) : \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (y1) + \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (y2) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (y1 + y2). (3)
Функция \rho в (2) связана с последовательностью \{ \rho n\} , по которой строится последова-
тельность \{ bn = n!\rho n\} , следующим образом [20]: \rho n = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} | \omega | \geq 1(\rho (\omega )/| \omega | n) = \nu - nn \rho (\nu n), где
\nu n — решение уравнения \omega \mu (\omega ) = n, n \in \BbbN , \mu (\omega ) = \rho \prime (\omega )/\rho (\omega ); последовательность \{ \nu n\}
монотонно возрастает и неограничена, \nu n < n, n \in \BbbN .
Поскольку \gamma (x) = 1/\~\gamma (x), где \~\gamma (x) = 1, | x| < 1 и \~\gamma (x) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}k(| x| k/ak), если | x| \geq 1, то
\gamma — непрерывно дифференцируемая, четная на \BbbR функция, монотонно убывающая на [1,+\infty ],
0 < \gamma (x) \leq 1, x \in \BbbR . Например, если ak = kk\alpha , \alpha \in (0, 1), то выполняется неравенство [1,
c. 204] \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- \alpha
e
| x| 1/\alpha
\Bigr\}
\leq \gamma (x) \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- \alpha
e
| x| 1/\alpha
\Bigr\}
, c = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \alpha e/2\} . Функция \mathrm{l}\mathrm{n} \gamma удовле-
творяет на (0,+\infty ) неравенству (см. [20])
\mathrm{l}\mathrm{n} \gamma (x1) + \mathrm{l}\mathrm{n} \gamma (x2) \geq \mathrm{l}\mathrm{n} \gamma (x1 + x2), \{ x1, x2\} \subset (0,+\infty ). (4)
Последовательность \{ \varphi \nu , \nu \geq 1\} \subset Sbnak сходится к нулю в этом пространстве, если после-
довательность \{ \varphi (n)
\nu , \nu \geq 1\} при каждом n \in \BbbZ + сходится к нулю равномерно на каждом от-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
340 В. В. ГОРОДЕЦКИЙ, Р. И. ПЕТРИШИН, А. П. ВЕРЕЖАК
резке [a, b] \subset \BbbR и при этом выполняются неравенства | xk\varphi (n)
\nu (x)| \leq cAkBnakbn, \{ k, n\} \subset \BbbZ +,
x \in \BbbR , где постоянные c, A,B > 0 не зависят от \nu (см. [1, с. 200; 20]).
В пространствах Sbnak , ak = k!dk, bn = n!\rho n, определены и непрерывны операторы, важные
для анализа; в первую очередь, это операторы умножения на x, на все многочлены, операторы
дифференцирования, сдвига и растяжения (см. [20]). В частности, операция сдвига аргумента
Tx : \varphi (\xi ) \rightarrow \varphi (\xi + x) дифференцируема в указанных пространствах Sbnak (даже бесконечно
дифференцируема) в том смысле, что предельные соотношения вида (\varphi (x+ h) - \varphi (x))h - 1 \rightarrow
\rightarrow \varphi \prime (x), h\rightarrow 0, выполняются для каждой функции \varphi \in Sbnak в смысле сходимости по топологии
пространства Sbnak . Пространства Sbnak совершенны [20] (т. е. это пространства, все ограниченные
множества которых компактны); они связаны между собой с помощью преобразования Фурье,
а именно, имеет место формула [1, с. 290] F [Sbnak ] = Sanbk , где
F
\Bigl[
Sbnak
\Bigr]
:=
\Biggl\{
\psi : \psi (\sigma ) =
\int
\BbbR
\varphi (x)ei\sigma xdx, \varphi \in Sbnak
\Biggr\}
.
Из свойств преобразования Фурье в пространствах типа S следует, что в пространстве Sbnak
определен и непрерывен псевдодифференциальный оператор F - 1
\sigma \rightarrow x[\varphi (\sigma )F\sigma \rightarrow x[\psi ]] = A\varphi \psi \forall \psi \in
Sbnak , построенный по функции (символу) \varphi , являющейся мультипликатором в пространстве
Sanbk . Если оператор A\varphi действует в пространстве Sbnbk , bn = n!\rho n, то A\varphi можно также понимать
как оператор дифференцирования „бесконечного порядка”: если \varphi (\sigma ) =
\sum \infty
k=0
ck\sigma
k, то для
любой функции \psi \in Sbnbk имеем
A\varphi \psi = F - 1
\sigma \rightarrow x [\varphi (\sigma )Fx\rightarrow \sigma [\psi ](\sigma )] = F - 1
\Biggl[ \infty \sum
k=0
ck\sigma
kF [\psi ]
\Biggr]
= F - 1
\Biggl[
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n\sum
k=0
ck\sigma
kF [\psi ]
\Biggr]
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n\sum
k=0
ckF
- 1
\Bigl[
\sigma kF [\psi ]
\Bigr]
=
\infty \sum
k=0
ck
\Bigl[
(iDx)
k\psi
\Bigr]
(x), Dx = d/dx. (5)
Корректность проведенных в (5) преобразований следует из соотношения
rn,\psi (\sigma ) =
\infty \sum
k=n+1
ck\sigma
kF [\psi ](\sigma ) \rightarrow 0, n\rightarrow \infty , (6)
которое выполняется в пространстве Sbnbk ; при доказательстве (6) используются свойства пре-
образования Фурье в пространствах Sbnbk , а также свойства последовательности \{ bn\} .
Символом (Sbnak )
\prime обозначим пространство всех линейных непрерывных функционалов на
соответствующем пространстве основных функций со слабой сходимостью, а его элементы
будем называть обобщенными функциями. Поскольку в основном пространстве Sbnak определена
операция сдвига аргумента Tx : \psi (\xi ) \rightarrow \psi (\xi + x), то свертку обобщенной функции f \in (Sbnak )
\prime
с основной определим по формуле (f \ast \psi )(x) := \langle f\xi , T - x \v \psi (\xi )\rangle \equiv \langle f\xi , \psi (x - \xi )\rangle ; при этом
f \ast \psi является обычной бесконечно дифференцируемой функцией. Если f \ast \psi \in Sbnak для
любой функции \psi \in Sbnak и из соотношения \psi \nu \rightarrow 0 при \nu \rightarrow +\infty по топологии пространства
Sbnak следует, что f \ast \psi \nu \rightarrow 0 при \nu \rightarrow +\infty по топологии пространства Sbnak , то функционал
f называется свертывателем в пространстве Sbnak . Поскольку каждое пространство типа S
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
МНОГОТОЧЕЧНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧА . . . 341
вместе с функцией \psi (x) содержит также функцию \psi ( - x) и F - 1[\psi ] = (2\pi ) - 1F [\psi ( - \xi )], то
преобразование Фурье обобщенной функции f \in (Sbnak )
\prime определим по формуле \langle F [f ], \psi \rangle =
= \langle f, F [\psi ]\rangle \forall \psi \in Sanbk , при этом F [f ] \in (Sanbk )
\prime . Если f \in (Sbnak )
\prime — свертыватель в пространстве
Sbnak , то для любой функции \psi \in Sbnak имеет место формула [20] F [f \ast \psi ] = F [f ]F [\psi ].
Пусть X — топологическое пространство, K \subset \BbbR . Функция K \ni \nu \rightarrow \varphi \nu \in X называется
абстрактной функцией параметра \nu со значениями в пространстве X. О свойствах абстрактных
функций см. [1, c. 94 – 97].
2. Основные результаты. Рассмотрим эволюционное уравнение
\partial u(t, x)/\partial t = A\varphi u(t, x), (t, x) \in (0,+\infty )\times \BbbR \equiv \Omega , (7)
где A\varphi = F - 1
\sigma \rightarrow x[\varphi (\sigma )Fx\rightarrow \sigma ] — псевдодифференциальный оператор в пространстве Sbnbk , постро-
енный по функции \varphi (\sigma ), \sigma \in \BbbR , являющейся мультипликатором в этом пространстве и такой,
что e\varphi \in Sbnbk (напомним (см. п. 1), что в этом случае оператор A\varphi можно понимать как оператор
дифференцирования „бесконечного порядка” в пространстве Sbnbk ). Символом P bnbk обозначим
класс функций (символов) \varphi , удовлетворяющих указанным условиям.
Например, пусть \varphi (\sigma ) = - \sigma 2, \sigma \in \BbbR . В этом случае A\varphi = F - 1[ - \sigma 2F ] = - (iDx)
2 =
= D2
x, а уравнение (7) — уравнение теплопроводности \partial u/\partial t = \partial 2u/\partial x2. Поскольку | e - z2 | =
= | e - (\sigma +iy)2 | = e - \sigma
2+y2 , то отсюда и из характеристики пространств S\beta \alpha (см. [1, c. 210]) следует,
что e - \sigma
2 \in S
1/2
1/2 \equiv Sn
n/2
kk/2
. Кроме того, функция - \sigma 2 — мультипликатор в пространстве S1/2
1/2
(см. [1, c. 221, 222]). Следовательно, функция \varphi (\sigma ) = - \sigma 2 принадлежит классу Pn
n/2
kk/2
, при
этом последовательность \{ bn\} имеет вид bn = nn/2 = nn \rho n, где \rho n \sim (n/2) - n/2en/2.
Далее предполагаем, что последовательность bn удовлетворяет условию д):
\exists A > 0 \exists \~L > 0 \forall \{ n, l\} \subset \BbbZ + : bn bl \leq A\~Ln+lbn+l.
Для уравнения (7) зададим нелокальную многоточечную (m-точечную) по времени задачу:
найти решение уравнения (7), удовлетворяющее условию
\mu u(t, \cdot )| t=0 - \mu 1u(t, \cdot )| t=t1 - . . . - \mu mu(t, \cdot )| t=tm = f, (8)
где m \in \BbbN , \{ \mu , \mu 1, . . . , \mu m\} \subset (0,+\infty ), \{ t1, . . . , tm\} \subset (0,+\infty ) — фиксированные числа,
причем \mu > m
\sum m
k=1
\mu k, 0 < t1 < t2 < . . . < tm < +\infty , f \in Sbnbk .
Классическое решение u \in C1
\bigl(
(0,+\infty ), Sbnbk
\bigr)
задачи (7), (8) ищем с помощью преобразо-
вания Фурье; в результате получаем
u(t, x) =
\int
\BbbR
G(t, x - \xi )f(\xi )d\xi = G(t, x) \ast f(x), (t, x) \in \Omega ,
где
G(t, x) = F - 1
\sigma \rightarrow x [Q(t, \sigma )] (x), Q(t, \sigma ) = Q1(t, \sigma )Q2(\sigma ), Q1(t, \sigma ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ t\varphi (\sigma )\} ,
Q2(\sigma ) =
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ tk\varphi (\sigma )\}
\Biggr) - 1
=
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, \sigma )
\Biggr) - 1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
342 В. В. ГОРОДЕЦКИЙ, Р. И. ПЕТРИШИН, А. П. ВЕРЕЖАК
Сходимость соответствующего интеграла следует из свойств функции G, которые мы приведем
ниже. Свойства функции G обусловлены свойствами функции Q, поскольку G = F - 1[Q].
Поэтому прежде всего исследуем свойства функции Q(t, \sigma ) как функции аргумента \sigma .
Поскольку \varphi \in P bnbk , то e\varphi \in Sbnbk . Тогда (см. п.1, неравенство (2)) существуют числа
c0, a, b > 0 такие, что
| e\varphi (z)| \leq c0e
- ln \~\gamma (a\sigma )+ln \rho (b\tau ), \~\gamma = 1/\gamma = \rho , z = \sigma + i\tau \in \BbbC . (9)
Далее предполагаем, что постоянная c0 > 0 в неравенстве (9) удовлетворяет условию c0 \leq 1.
Тогда
| et\varphi (z)| = | e\varphi (z)| t \leq [c0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma ) + \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (b\tau )\} ]t \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma ) + t \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (b\tau )\} . (10)
Из неравенства (10) следует, что Q1(t, \cdot ) принадлежит Sbnbk , bn = n!\rho n, при каждом t \in
\in (0,+\infty ).
Лемма 1. Пусть \varphi принадлежит P bnbk . Для функции Q1(t, \sigma ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ t\varphi (\sigma )\} , \sigma \in \BbbR , и ее
производных (по переменной \sigma ) при t > 1 выполняются оценки
| Ds
\sigma Q1(t, \sigma )| \leq \~bstss!\rho s \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\~a\sigma )\} , s \in \BbbZ +, (11)
где \rho s = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\tau (\rho (\tau )/| \tau | s), постоянные \~a,\~b > 0 не зависят от t.
Доказательство. При t > 1 выполняется неравенство t \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (b\tau ) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (bt\tau ), \tau \in [0,\infty ).
Это свойство следует из соотношений
\mathrm{l}\mathrm{n} \rho (tb\tau ) =
tb\tau \int
0
\mu (\xi )d\xi = t
b\tau \int
0
\mu (ty)dy \geq t
b\tau \int
0
\mu (y)dy = t \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (b\tau ),
где \mu (\xi ) = \rho \prime (\xi )/\rho (\xi ), при этом \mu — неотрицательная, непрерывная на \BbbR функция, монотонно
возрастающая на [0,\infty ) (см. [20]). Тогда
| Q1(t, z)| \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma ) + \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (tb\tau )\} , z \in \BbbC , t > 1. (12)
Согласно интегральной формуле Коши
Ds
\sigma Q1(t, \sigma ) =
s!
2\pi i
\int
\Gamma R
Q1(t, z)
(z - \sigma )s+1
dz, s \in \BbbZ +,
где \Gamma R — окружность радиуса R с центром в точке \sigma \in \BbbR . Используя (12), получаем неравенства
| Ds
\sigma Q1(t, \sigma )| \leq s!
Rs
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}z\in \Gamma R
| Q1(t, z)| \leq s!
Rs
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma 0) + \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (tbR)\} , где \sigma 0 — точка
максимума функции \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\xi )\} , \xi \in [\sigma - R, \sigma + R]. Поскольку \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\xi ) — четная на \BbbR
функция, возрастающая на [0,+\infty ), то
\sigma 0 =
\left\{
0, если | \xi | < R,
\sigma +R, если \xi \leq - R,
\sigma - R, если \xi \geq R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
МНОГОТОЧЕЧНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧА . . . 343
Используя неравенство - \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\sigma 1 + \sigma 2) + \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\sigma 1) \leq - \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\sigma 2), \sigma 1, \sigma 2 > 0, доказываем суще-
ствование постоянных \~a, a2 > 0, \~a \leq a, таких, что
\forall \sigma > 0 \forall R > 0 : \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma 0)\} \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\~a\sigma )\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a2R)\} .
Тогда
| Ds
\sigma Q1(t, \sigma )| \leq
s!
Rs
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\~a\sigma )\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a2R)\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (tbR)\} \leq
\leq s!
Rs
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\~a\sigma )\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (t\~bR)\} , \~b = b+ a2.
Здесь мы воспользовались неравенством выпуклости для функции \mathrm{l}\mathrm{n} \rho : \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (tbR)+\mathrm{l}\mathrm{n} \rho (ta2R) \leq
\leq \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (t(b+ a2)R), а также тем, что \~\gamma = \rho .
Функция gs,t(R) = R - s \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \mathrm{l}\mathrm{n} \rho (t\~bR)\} = R - s\rho (t\~bR) дифференцируема на (0,+\infty ) (при
каждом s \in \BbbZ +), при этом из свойств функции \rho следуют соотношения
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow +\infty
gs,t(R) = +\infty , s \in \BbbZ +; \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow +0
gs,t(R) =
\left\{ +\infty , s \in \BbbN ,
1, s = 0.
Поскольку gs,t(R) > 0, R \in (0,+\infty ), то эта функция достигает своего инфимума. Следова-
тельно,
| Ds
\sigma Q1(t, \sigma )| \leq s! \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
R
gs,t(R) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\~a\sigma )\} =
= s!\~bsts \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho (t\~bR)
(t\~bR)s
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )\} = s!\~bsts\rho s \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\~a\sigma )\} .
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Функция Q2 — мультипликатор в пространстве Sbnbk .
Доказательство. С учетом (10) имеют место неравенства
Q1(tk, \sigma ) \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - tk \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )\} \leq 1, k \in \{ 1, . . . ,m\} , \sigma \in \BbbR .
Поскольку \mu >
\sum m
k=1
\mu k, то
1
\mu
\sum m
k=1
\mu kQ1(tk, \sigma ) \leq
1
\mu
\sum m
k=1
\mu k < 1. Тогда, используя поли-
номиальную формулу, находим
Q2(\sigma ) =
1
\mu
\Biggl(
1 - 1
\mu
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, \sigma )
\Biggr) - 1
=
1
\mu
\infty \sum
r=0
\mu - r
\Biggl(
m\sum
k=1
\mu ke
tk\varphi (\sigma )
\Biggr) r
=
=
\infty \sum
r=0
\mu - (r+1)
\sum
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
\Bigl(
\mu 1e
t1\varphi (\sigma )
\Bigr) r1
. . .
\Bigl(
\mu me
tm\varphi (\sigma )
\Bigr) rm
=
=
\infty \sum
r=0
\mu - (r+1)
\sum
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
\mu r11 . . . \mu rmm Q1(\lambda , \sigma ),
где \lambda := t1r1 + . . .+ tmrm, Q1(\lambda , \sigma ) = e\lambda \varphi (\sigma ). Отсюда и из (11) следуют неравенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
344 В. В. ГОРОДЕЦКИЙ, Р. И. ПЕТРИШИН, А. П. ВЕРЕЖАК
| Ds
\sigma Q2(\sigma )| \leq \~bss!\rho s
\infty \sum
r=0
\mu - (r+1)
\sum
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
\mu r0\lambda
s \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \lambda \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )\} \leq
\leq \~bss!\rho st
s
m
\infty \sum
r=0
\mu - (r+1)\mu r0r
s
\sum
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
, s \in \BbbN ,
где \mu 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \mu 1, . . . , \mu m\} . Далее воспользуемся формулой
\sum
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
= mr.
Тогда
| Ds
\sigma Q2(\sigma )| \leq c\prime bs1s!\rho s
\infty \sum
r=0
\~\mu rrs = \~cbs1s!\rho s, s \in \BbbN , (13)
где \~\mu = \mu - 1\mu 0m < 1, c\prime = c\mu - 1, \~c = c\prime
\sum \infty
r=0
\~\mu rrs, b1 = \~btm. Из последнего неравенства и
ограниченности функции Q2 на \BbbR следует, что Q2 — мультипликатор в пространстве Sbnbk .
Лемма 2 доказана.
Используя неравенства (10) и лемму 2, убеждаемся, что функция Q(t, \sigma ), как функция \sigma ,
принадлежит пространству Sbnbk (при каждом t > 0). Учитывая (11), (13), условие д) и формулу
Лейбница дифференцирования произведения двух функций, получаем
| Ds
\sigma Q(t, \sigma )| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s\sum
l=0
C lsD
l
\sigma Q1(t, \sigma )D
s - l
\sigma Q2(\sigma )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \~c1A
s
s\sum
l=0
C ls
\~bltll!\rho l\times
\times bs - l1 (s - l)!\rho s - le
- t ln \~\gamma (a\sigma ) \leq \~c1b
s
2t
ss!\rho s \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )\} при t > 1, \sigma \in \BbbR , (14)
где b2 = 2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \~b, b1\} .
Используя формулу F - 1
\Bigl[
Sbnbk
\Bigr]
= Sbnbk , находим G(t, \cdot ) = F - 1[Q(t, \cdot )] \in Sbnbk при каждом
t \in (0,+\infty ). Выделим в оценках функции G и ее производных (по переменной x) зависимость
от параметра t, если t > 2. В этом случае имеет место неравенство
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )\} = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- t
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )
\biggr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- t
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )
\biggr\}
\leq
\leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (a\sigma )\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- t
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )
\biggr\}
= \gamma (a\sigma ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- t
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )
\biggr\}
.
Тогда
| \sigma kDs
\sigma Q(t, \sigma )| \leq \~c1b
s
2t
ss!\rho s \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k
bk
| a\sigma | k
| \sigma | k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- t
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )
\biggr\}
\leq
\leq \~c1b
s
2t
ss!\rho s
\biggl(
1
a
\biggr) k
bk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- t
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )
\biggr\}
=
= c \~Bsts \~Akbsbk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- t
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )
\biggr\}
, c = \~c1, \~B = b2, \~A = 1/a, \{ k, s\} \subset \BbbZ +. (15)
Далее воспользуемся соотношением
xkDs
xF [g](x) = ik+sF [(\sigma sg(\sigma ))(k)] = ik+s
\int
\BbbR
(\sigma sg(\sigma ))(k)eix\sigma d\sigma , \{ k, s\} \subset \BbbZ +, g \in Sbnbk .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
МНОГОТОЧЕЧНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧА . . . 345
Тогда xkDs
xG(t, x) = (2\pi ) - 1ik+s( - 1)s
\int
\BbbR
(\sigma sQ(t, - \sigma ))(k)eix\sigma d\sigma . Из ограничений на последова-
тельность \{ \rho n\} следуют неравенства (см. свойство б))
bn
bn - 1
\geq c - 1
b n1 - \gamma 1 ,
bk
bk - 1
\geq c - 1
b k1 - \gamma 1 , 2\gamma 1 = \theta \leq 1.
Отсюда и из результатов, полученных в [1, c. 239], следует, что последовательность mks = bk bs
удовлетворяет неравенству ks
mk - 1,s - 1
mks
\leq \alpha (k+ s), \alpha > 0. Используя оценки (15) и последнее
неравенство, наxoдим
\bigm| \bigm| \bigm| (\sigma sQ(t, - \sigma ))(k)
\bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
k\sum
p=0
Cpk(\sigma
s)(p)Q(k - p)(t, - \sigma )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \sigma sQ(k)(t, - \sigma )
\bigm| \bigm| \bigm| + ks
\bigm| \bigm| \bigm| \sigma s - 1Q(k - 1)(t, - \sigma )
\bigm| \bigm| \bigm| + k(k - 1)
2!
s(s - 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \sigma s - 2Qk - 2(t, - \sigma )
\bigm| \bigm| \bigm| + . . . \leq
\leq c \~As \~Bkbst
kbk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- t
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )
\biggr\}
\times
\times
\biggl(
1 +
ks
\~A \~B
ms - 1,k - 1
msk
+
1
2!
ks
\~A2 \~B2
ms - 1,k - 1
msk
(k - 1)(s - 1)
ms - 2,k - 2
ms - 1,k - 1
+ . . .
\biggr)
\leq
\leq c \~As \~Bktkbsbk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- t
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )
\biggr\} \biggl(
1 +
\alpha
\~A \~B
(k + s) +
1
2!
\alpha 2
\~A2 \~B2
(k + s)2 + . . .
\biggr)
\leq
\leq c \~As \~Bktkbsbk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- t
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )
\biggr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
\alpha
\~A \~B
(k + s)
\biggr\}
\leq
\leq \~cAs1B
k
1 t
kbsbk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \~c0t| \sigma | \} , t \geq 2, \~c0 > 0, при t > 2,
где A1 = \~A \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
\alpha
\~A \~B
\biggr\}
, B1 = \~B \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
\alpha
\~A \~B
\biggr\}
(здесь учтено, что функция \~\gamma = \rho удовлетворяет
неравенству \~\gamma (\sigma ) \geq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ c0| \sigma | \} , \sigma \in \BbbR ).
Следовательно,\bigm| \bigm| \bigm| xkDs
xG(t, x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq (2\pi ) - 1\~c \~As1 \~B
k
1 t
kbkbs
\int
\BbbR
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \~c0t| \sigma | \} d\sigma =
= L \~As1
\~Bk
1 t
k - 1bkbs, \{ k, s\} \subset \BbbZ +, L > 0.
Тогда
| Ds
xG(t, x)| \leq Lt - 1 \~As1bs \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k
bk
(t - 1 \~B - 1
1 | x| )k
=
= Lt - 1 \~As1bs\gamma (d0t
- 1| x| ) = Lt - 1 \~As1bs \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (d0t
- 1| x| )
\bigr\}
,
где d0 = \~B - 1
1 , s \in \BbbZ +. Таким образом, имеет место следующее утверждение.
Лемма 3. G(t, \cdot ) принадлежит Sbnbk при каждом t \in (0,+\infty ). Функция G(t, x), t \geq 2,
x \in \BbbR , и еe производные (по переменной x) удовлетворяют неравенствам
| Ds
xG(t, x)| \leq Lt - 1As1bs \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (d0t
- 1| x| )
\bigr\}
, s \in \BbbZ +, (16)
где постоянные L,A1, d0 > 0 не зависят от t.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
346 В. В. ГОРОДЕЦКИЙ, Р. И. ПЕТРИШИН, А. П. ВЕРЕЖАК
Лемма 4. Функция G(t, \cdot ), t \in (0,+\infty ), как абстрактная функция параметра t со значе-
ниями в пространстве Sbnbk , дифференцируема по t.
Доказательство. Из свойства непрерывности преобразования Фурье (прямого и обратно-
го) в пространствах типа S следует, что для доказательства леммы достаточно установить, что
функция F [G(t, \cdot )] = Q(t, \cdot ), как абстрактная функция параметра t со значениями в простран-
стве F [Sbnbk ] = Sbnbk , дифференцируема по t, т. е. нужно доказать, что предельное соотношение
\Phi \Delta t(\sigma ) :=
1
\Delta t
[Q(t+\Delta t, \sigma ) - Q(t, \sigma )] \rightarrow \partial
\partial t
Q(t, \sigma ), \Delta t\rightarrow 0,
выполняется в том смысле, что:
1) Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma ) - - - - \rightarrow
\Delta t\rightarrow 0
Ds
\sigma (\varphi (\sigma )Q(t, \sigma )), s \in \BbbZ +, равномерно на любом отрезке [a, b] \subset \BbbR ;
2) | Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma )| \leq \=c \=Bsbse
- ln \~\gamma (a\sigma ), s \in \BbbZ +, bs = s!\rho s, где постоянные \=c, \=B, a > 0 не зависят
от \Delta t для достаточно малых значений \Delta t.
Пусть t > 1 фиксировано. Функция Q(t, \sigma ), t > 1, \sigma \in \BbbR , дифференцируема по t в
обычном смысле, поэтому согласно теореме Лагранжа о конечных приращениях
\Phi \Delta t(\sigma ) = \varphi (\sigma )Q(t+ \theta \Delta t, \sigma ), 0 < \theta < 1, t+ \theta \Delta t \leq T.
Следовательно,
Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma ) =
s\sum
l=0
C lsD
l
\sigma \varphi (\sigma )D
s - l
\sigma Q(t+ \theta \Delta t, \sigma )
и
Ds
\sigma
\biggl(
\Phi \Delta t(\sigma ) -
\partial
\partial t
Q(t, \sigma )
\biggr)
=
s\sum
l=0
C lsD
l
\sigma \varphi (\sigma )
\Bigl[
Ds - l
\sigma Q(t+ \theta \Delta t, \sigma ) - Ds - l
\sigma Q(t, \sigma )
\Bigr]
.
Поскольку Ds - l
\sigma Q(t+\theta \Delta t, \sigma ) - Ds - l
\sigma Q(t, \sigma ) = Ds - l+1
\sigma Q(t+\theta 1\Delta t, \sigma )\theta \Delta t, 0 < \theta 1 < 1, то отсюда
и из оценок (14) получаем, что Ds - l+1
\sigma Q(t+ \theta 1\Delta t, \sigma )\theta \Delta t\rightarrow 0, \Delta t\rightarrow 0, равномерно на каждом
отрезке [a, b] \subset \BbbR . Тогда и Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma ) \rightarrow Ds
\sigma
\biggl(
\partial
\partial t
Q(t, \sigma )
\biggr)
при \Delta t \rightarrow 0 равномерно на каждом
отрезке [a, b] \subset \BbbR .
Поскольку \varphi — мультипликатор в пространстве Sbnbk , то (см. [20])
\forall \varepsilon > 0 \exists c\varepsilon > 0 \forall z = \sigma + i\tau \in \BbbC : | \varphi (z)| \leq c\varepsilon e
ln \~\gamma (\varepsilon \sigma )+ln \rho (\varepsilon \tau ). (17)
Согласно интегральной формуле Коши
\varphi (n)(\sigma ) =
n!
2\pi i
\int
\Gamma R
\varphi (z)
(z - \sigma )n+1
dz, n \in \BbbZ +,
где \Gamma R — окружность радиуса R с центром в точке \sigma \in \BbbR . Тогда с учетом (17) приходим к
неравенствам
| \varphi (n)(\sigma )| \leq n!
Rn
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in \Gamma R
| \varphi (z)| \leq c\varepsilon
n!
Rn
eln \~\gamma (\varepsilon (\sigma +R))+ln \rho (\varepsilon R) \leq
\leq c\varepsilon n! \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
R
\rho (\varepsilon R)
Rn
eln \~\gamma (\varepsilon (\sigma +R)) = c\varepsilon \varepsilon
nn!\rho ne
ln \~\gamma (\varepsilon (\sigma +R)), \sigma \geq 0.
При достаточно больших \sigma \geq 0 выполняется неравенство \varepsilon (\sigma + R) \leq (\varepsilon + R)\sigma . Поскольку
функция \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma монотонно возрастает на [0,+\infty ), то при этих значениях \sigma имеем неравенство
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\varepsilon (\sigma +R)) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma ((\varepsilon +R)\sigma ). Тогда для всех \sigma \geq 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
МНОГОТОЧЕЧНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧА . . . 347
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\varepsilon (\sigma +R)) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma ((\varepsilon +R)\sigma ) + cR, cR > 0.
Таким образом, \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\varepsilon (\sigma + R))
\bigr\}
\leq \~cR \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma ((\varepsilon + R)\sigma )
\bigr\}
, \sigma \geq 0. Далее при заданном
\varepsilon > 0 считаем, что R = \varepsilon . Тогда
| \varphi (n)(\sigma )| \leq \~c\varepsilon \varepsilon
nn!\rho n \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
\mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (2\varepsilon \sigma )
\bigr\}
, n \in \BbbZ +. (18)
Учитывая (18) и оценки, которым удовлетворяют производные функции Q(t, \sigma ), находим
| Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma )| \leq \~c1\~c\varepsilon
s\sum
l=0
C ls\varepsilon
ll!\rho lb
s - l
2 ts - l(s - l)!\rho s - l \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (2\varepsilon \sigma ) - (t+ \theta \Delta t) \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )\} \leq
\leq \=c \=Bss!\rho s \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (2\varepsilon \sigma ) - t \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )\} \leq \=c \=Bss!\rho s \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (2\varepsilon \sigma ) - \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma )\} ,
где \=B = 2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \varepsilon , b2t\} . Возьмем \varepsilon = a/4. Из неравенства выпуклости для функции \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma следует,
что \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (2\varepsilon \sigma ) - \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a\sigma ) \leq - \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma ((a - 2\varepsilon )\sigma ) \equiv - \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (\=a\sigma ), \=a = a - 2\varepsilon = a/2 > 0. Тогда
| Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma )| \leq \=c \=Bss!\rho s \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (\=a\sigma )\} , \sigma \geq 0,
при этом постоянные \=c, \=B, \=a > 0 не зависят от \Delta t (для достаточно малых значений \Delta t). Случай
\sigma < 0 рассматривается аналогично.
Если t \in (0, 1] фиксировано, то доказательство утверждения в этом случае проводится по
схеме доказательства в случае t > 1; при этом в оценках (14) следует считать t = 1. Таким
образом, условие 2 также выполняется.
Лемма 4 доказана.
Следствие 1. Имеет место формула
\partial
\partial t
(f \ast G(t, x)) = f \ast \partial G(t, x)
\partial t
\forall f \in
\Bigl(
Sbnbk
\Bigr) \prime
, t > 0.
Доказательство. Согласно определению свертки обобщенной функции с основной имеем
f \ast G(t, x) = \langle f\xi , T - x \v G(t, \xi )\rangle , \v G(t, \xi ) = G(t, - \xi ).
Тогда
\partial
\partial t
(f \ast G(t, \cdot )) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
1
\Delta t
[f \ast G(t+\Delta t, \cdot ) - f \ast G(t, \cdot )] =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
\biggl\langle
f\xi ,
1
\Delta t
\bigl[
T - x \v G(t+\Delta t, \xi ) - T - x \v G(t, \xi )
\bigr] \biggr\rangle
.
Вследствие леммы 4 предельное соотношение
1
\Delta t
\bigl[
T - x \v G(t+\Delta t, \cdot ) - T - x \v G(t, \cdot )
\bigr]
- - - - \rightarrow
\Delta t\rightarrow 0
\partial
\partial t
T - x \v G(t, \cdot )
выполняется в смысле сходимости по топологии пространства Sbnbk , поэтому с учетом непре-
рывности функционала f находим
\partial
\partial t
(f \ast G(t, \cdot )) =
\biggl\langle
f\xi , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
1
\Delta t
\bigl[
T - x \v G(t+\Delta t, \xi ) - T - x \v G(t, \xi )
\bigr] \biggr\rangle
=
=
\biggl\langle
f\xi ,
\partial
\partial t
T - x \v G(t, \xi )
\biggr\rangle
=
\biggl\langle
f\xi , T - x
\partial
\partial t
\v G(t, \xi )
\biggr\rangle
= f \ast \partial G(t, x)
\partial t
,
что и требовалось доказать.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
348 В. В. ГОРОДЕЦКИЙ, Р. И. ПЕТРИШИН, А. П. ВЕРЕЖАК
Лемма 5. В пространстве (Sbnbk )
\prime выполняется предельное соотношение
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
G(t, \cdot ) -
m\sum
l=1
\mu l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl
G(t, \cdot ) = \delta (19)
(здесь \delta — дельта-функция Дирака).
Доказательство. Воспользовавшись свойством непрерывности преобразования Фурье и
функции G(t, \cdot ), как абстрактной функции параметра t со значениями в пространстве Sbnbk ,
соотношение (19) заменим предельным соотношением
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
F [G(t, \cdot )] -
m\sum
l=1
\mu l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl
F [G(t, \cdot )] = F [\delta ] (20)
в пространстве (Sbnbk )
\prime . С учетом представления функции G соотношение (20) запишем в виде
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
Q(t, \cdot ) -
m\sum
l=1
\mu l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl
Q(t, \cdot ) = 1. (21)
Для доказательства (21) выберем любую функцию \psi \in Sbnbk . Тогда, используя теорему о пре-
дельном переходе под знаком интеграла Лебега и понимая Q(t, \cdot ) как регулярную обобщенную
функцию из пространства (Sbnbk )
\prime , получаем
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
\langle Q(t, \cdot ), \psi \rangle -
m\sum
l=1
\mu l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl
\langle Q(t, \cdot ), \psi \rangle =
= \mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
\int
\BbbR
Q(t, \sigma )\psi (\sigma )d\sigma -
m\sum
l=1
\mu l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl
\int
\BbbR
Q(t, \sigma )\psi (\sigma )d\sigma =
=
\int
\BbbR
\left[ \mu
\mu -
\sum m
k=1
\mu kQ1(tk, \sigma )
-
m\sum
l=1
\mu l
Q1(tl, \sigma )
\mu -
\sum m
k=1
\mu kQ1(tk, \sigma )
\right] \psi (\sigma )d\sigma =
=
\int
\BbbR
\mu -
\sum m
l=1
\mu lQ1(tl, \sigma )
\mu -
\sum m
k=1
\mu kQ1(tk, \sigma )
\psi (\sigma )d\sigma =
\int
\BbbR
\psi (\sigma )d\sigma = \langle 1, \psi \rangle .
Отсюда следует, что соотношение (21) выполняется в пространстве (Sbnbk )
\prime . Этим доказано, что
соотношение (19) также имеет место.
Лемма 5 доказана.
Непосредственно убеждаемся в том, что функция G удовлетворяет уравнению (7). Далее
функцию G будем называть фундаментальным решением многоточечной (m-точечной) задачи
для уравнения (7).
Символом (Sbnbk ,\ast )
\prime обозначим класс обобщенных функций из (Sbnbk )
\prime , являющихся сверты-
вателями в пространстве Sbnbk .
Следствие 2. Пусть \omega (t, x) = f \ast G(t, x), f \in (Sbnbk ,\ast )
\prime , (t, x) \in \Omega . Тогда в пространстве
(Sbnbk ,\ast )
\prime выполняется предельное соотношение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
МНОГОТОЧЕЧНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧА . . . 349
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
\omega (t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
\omega (t, \cdot ) = f. (22)
Из следствия 2 (см. (22)) вытекает, что для уравнения (7) m-точечную по времени задачу
можно поставить так: найти решение u \in C1
\bigl(
(0,\infty ), Sbnbk
\bigr)
уравнения (7), удовлетворяющее
условию
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
u(t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
u(t, \cdot ) = f, f \in (Sbnbk ,\ast )
\prime . (23)
При этом предельное соотношение (23) рассматривается в пространстве (Sbnbk )
\prime (ограничения
на параметры \mu , \mu 1, . . . , \mu m, t1, . . . , tm такие же, как и в случае задачи (7), (8)).
Теорема 1. Нелокальная многоточечная по времени задача (7), (23) корректно разрешима.
Решение дается формулой u(t, x) = f \ast G(t, x), (t, x) \in \Omega , где G — фундаментальное решение
многоточечной задачи для уравнения (7).
Доказательство. Прежде всего убедимся в том, что функция u(t, x) удовлетворяет урав-
нению (7). Действительно (см. следствие 1),
\partial u(t, x)
\partial t
=
\partial
\partial t
(f \ast G(t, x)) = f \ast \partial G(t, x)
\partial t
, A\varphi u(t, x) = F - 1[\varphi (\sigma )F [f \ast G(t, x)](\sigma )](x).
Поскольку f — свертыватель в пространстве Sbnbk , то F [f \ast G(t, x)](\sigma ) = F [f ]F [G(t, x)](\sigma ) =
= F [f ](\sigma )Q(t, \sigma ). Следовательно,
A\varphi u(t, x) = F - 1[\varphi (\sigma )Q(t, \sigma )F [f ](\sigma )](x) = F - 1
\biggl[
\partial
\partial t
Q(t, \sigma )F [f ](\sigma )
\biggr]
(x) =
= F - 1
\biggl[
F
\biggl[
\partial
\partial t
G
\biggr]
(t, \sigma )F [f ](\sigma )
\biggr]
(x) = F - 1
\biggl[
F
\biggl[
f \ast \partial G
\partial t
\biggr] \biggr]
(x) = f \ast \partial G(t, x)
\partial t
.
Отсюда получаем, что функция u(t, x), (t, x) \in \Omega , удовлетворяет уравнению (7). Из следствия 2
вытекает, что u удовлетворяет предельному условию (23) в указанном смысле.
Отметим также, что u непрерывно зависит от функции f \in (Sbnbk ,\ast )
\prime в силу непрерывности
операции свертки.
Осталось убедиться в том, что задача (7), (23) имеет единственное решение. Для этого
рассмотрим задачу Коши
\partial v
\partial t
+A\ast
\varphi v = 0, (t, x) \in [0, t0)\times \BbbR \equiv \Omega \prime , 0 \leq t < t0 <\infty , (24)
v(t, \cdot )| t=t0 = \psi , \psi \in (Sbnbk ,\ast )
\prime , (25)
где A\ast
\varphi g = F [\varphi F - 1[g]] \forall g \in Sbnbk , A
\ast
\varphi — сужение сопряженного оператора к оператору A\varphi на
пространство Sbnbk \subset (Sbnbk )
\prime . Условие (24) понимаем в слабом смысле. Задача Коши (24), (25)
разрешима, при этом v(t, \cdot ) принадлежит Sbnbk при каждом t \in [0, t0).
Пусть Qtt0 : (Sbnbk ,\ast )
\prime \rightarrow Sbnbk — оператор, ставящий функционалу \psi \in (Sbnbk ,\ast )
\prime в соответствие
решение задачи (24), (25). Оператор Qtt0 является линейным и непрерывным, определен при
любых t и t0 таких, что 0 \leq t < t0 <\infty , и имеет свойства
\forall \psi \in (Sbnbk ,\ast )
\prime :
dQtt0\psi
dt
+A\ast
\varphi Q
t
t0\psi = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t0
Qtt0\psi = \psi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
350 В. В. ГОРОДЕЦКИЙ, Р. И. ПЕТРИШИН, А. П. ВЕРЕЖАК
(предел рассматривается в пространстве (Sbnbk )
\prime ).
Рассмотрим решение u(t, x), (t, x) \in \Omega , задачи (7), (23), которое будем понимать как ре-
гулярный функционал в пространстве (Sbnbk ,\ast )
\prime \supset Sbnbk . Докажем, что задача (7), (23) имеет
единственное решение в пространстве (Sbnbk ,\ast )
\prime . Для этого достаточно показать, что единствен-
ным решением уравнения (7) при нулевом начальном условии может быть только функционал
u(t, x) \equiv 0 (при каждом t \in (0,\infty )). Применим функционал u к функции Qtt0\psi \in Sbnbk , где
\psi — произвольно фиксированный элемент из пространства Sbnbk \subset (Sbnbk ,\ast )
\prime . Дифференцируя по
t и используя уравнения (7), (23), находим
\partial
\partial t
\langle u(t, \cdot ), Qtt0\psi \rangle =
\biggl\langle
\partial u
\partial t
,Qtt0\psi
\biggr\rangle
+
\biggl\langle
u,
\partial Qtt0\psi
\partial t
\biggr\rangle
=
= \langle A\varphi u,Qtt0\psi \rangle - \langle u,A\ast
\varphi Q
t
t0\psi \rangle = \langle A\varphi u,Qtt0\psi \rangle - \langle A\varphi u,Qtt0\psi \rangle = 0, t \in [0, t0).
Отсюда получаем, что \langle u(t, \cdot ), Qtt0\psi \rangle — постоянная величина. Из свойств абстрактных функций
следует соотношение \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow t0\langle u(t, \cdot ), Qtt0\psi \rangle = \langle u(t0, \cdot ), \psi \rangle = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \equiv c в любой точке t0 \in
\in (0,\infty ). Следовательно, если в (23) f = 0, то
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
\langle u(t, \cdot ), \psi \rangle -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
\langle u(t, \cdot ), \psi \rangle = c
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu k
\Biggr)
= 0,
т. е. c = 0. Таким образом, \langle u(t0, \cdot ), \psi \rangle = 0 для любого \psi \in Sbnbk , т. е. u(t0, x) — нулевой
функционал в пространстве (Sbnbk )
\prime . Поскольку t0 \in (0,\infty ) и t0 выбрано произвольным образом,
то u(t, x) = 0 для всех t \in (0,+\infty ).
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Решение u(t, x) нелокальной многоточечной по времени задачи (7), (23) схо-
дится к нулю при t\rightarrow +\infty в пространстве (Sbnbk )
\prime .
Доказательство. Напомним, что решение задачи (7), (23) дается формулой
u(t, x) = f \ast G(t, x) = \langle f\xi , T - x \v G(t, \xi )\rangle = \langle f\xi , G(t, x - \xi )\rangle ,
где G — фундаментальное решение указанной задачи, \v G(t, \xi ) = G(t, - \xi ), T - x — оператор
сдвига аргумента в пространстве Sbnbk . Пусть \psi \in Sbnbk . Положим
\psi t(\xi ) =
+\infty \int
- \infty
G(t, x - \xi )\psi (x)dx, \psi t,R(\xi ) =
R\int
- R
G(t, x - \xi )\psi (x)dx, R > 0.
В этих обозначениях докажем, что: а) при каждом t \geq 2 и любом R > 0 функция \psi t,R(\xi )
принадлежит пространству Sbnbk , \psi t,R(\xi ) \rightarrow \psi t(\xi ) при R \rightarrow +\infty в пространстве Sbnbk ; б) \psi t(\xi )
принадлежит Sbnbk при каждом t \geq 2. Отсюда следуют соотношения
\langle u(t, x), \psi (x)\rangle =
+\infty \int
- \infty
\langle f\xi , G(t, x - \xi )\rangle \psi (x)dx =
\Biggl\langle
f\xi ,
+\infty \int
- \infty
G(t, x)\psi (x+ \xi )dx
\Biggr\rangle
=
=
\Biggl\langle
f\xi ,
+\infty \int
- \infty
G(t, - y)\psi ( - (y - \xi ))dy
\Biggr\rangle
=
\Biggl\langle
f\xi ,
+\infty \int
- \infty
G(t, - y) \v \varphi (y - \xi )dy
\Biggr\rangle
, \v \varphi (x) = \varphi ( - x)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
МНОГОТОЧЕЧНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧА . . . 351
(здесь u(t, \cdot ) понимается как регулярная обобщенная функция из пространства (Sbnbk )
\prime при
каждом t > 0).
Итак, докажем пункт а). При фиксированных \{ k, n\} \subset \BbbZ + имеем
\bigm| \bigm| \bigm| \xi kDn
\xi \psi t,R(\xi )
\bigm| \bigm| \bigm| \leq +R\int
- R
\bigm| \bigm| \bigm| \xi k\psi (x)Dn
\xi G(t, x - \xi )
\bigm| \bigm| \bigm| dx \leq
+\infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \xi k\psi (\xi + \eta )Dn
\eta G(t, \eta )
\bigm| \bigm| \bigm| d\eta .
Поскольку \psi принадлежит Sbnbk , то при некоторых c1, L1,M1 > 0 выполняются неравенства\bigm| \bigm| \bigm| \xi kDn
\xi \psi (\xi )
\bigm| \bigm| \bigm| \leq c1L
k
1M
n
1 bkbn, \{ k, n\} \subset \BbbZ +. Отсюда при каждом \eta \in \BbbR получаем оценки
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in \BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| \xi k\psi (\xi + \eta )
\bigm| \bigm| \bigm| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| (y - \eta )k\psi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
k\sum
l=0
C lky
l( - \eta )k - l\psi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
k\sum
l=0
C lk| \eta | k - l \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR
| yl\psi (y)| \leq c1b0
k\sum
l=0
C lkL
l
1bl| \eta | k - l.
Далее воспользуемся оценками (16). Тогда
\bigm| \bigm| \bigm| \xi kDn
\xi \psi t,R(\xi )
\bigm| \bigm| \bigm| \leq c1b0
k\sum
l=0
C lkL
l
1bl
+\infty \int
- \infty
| \eta k - lDn
\eta G(t, \eta )| d\eta \leq
\leq c1b0Lt
- 1An1bn
k\sum
l=0
C lkL
l
1bl
+\infty \int
- \infty
| \eta | k - l \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (d0t
- 1| \eta | )
\bigr\}
d\eta .
Выполняя замену переменной интегрирования d0t - 1\eta = z, приходим к соотношению
+\infty \int
- \infty
| \eta | k - l \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (d0t
- 1| \eta | )
\bigr\}
d\eta = (d - 1
0 t)k - l+1
+\infty \int
- \infty
| z| k - l \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (z)\} dz.
Используя свойство выпуклости функции \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma , находим
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (z)\} \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma
\Bigl( z
2
\Bigr) \Bigr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma
\Bigl( z
2
\Bigr) \Bigr\}
=
= \gamma
\Bigl( z
2
\Bigr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma
\Bigl( z
2
\Bigr) \Bigr\}
\leq \~c0\gamma
\Bigl( z
2
\Bigr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \~c| z| \} , \~c0, \~c > 0.
Тогда
Ik - l :=
+\infty \int
- \infty
| \eta | k - l \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (d0t
- 1| \eta | )
\bigr\}
d\eta \leq
\leq \~c0(d
- 1
0 t)k - l+1 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z
\left( | z| k - l\gamma
\Bigl( z
2
\Bigr) +\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \~c| z| \}
\right) dz.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
352 В. В. ГОРОДЕЦКИЙ, Р. И. ПЕТРИШИН, А. П. ВЕРЕЖАК
Поскольку | z| k - l\gamma
\Bigl( z
2
\Bigr)
= | z| k - l \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} bk - l
| z/2| k - l
\leq 2kbk - l, | z| \geq 1, l \in \{ 0, 1, . . . , k\} , то Ik - l
оценивается следующим образом: Ik - l \leq \~c0\alpha t
k+1(2 \~d0)
kbk - l, t \geq 2, l \in \{ 0, 1, . . . , k\} , где
\=d0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ d - 1
0 , 1\} , \alpha =
\int +\infty
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \~c| z| \} dz. Учитывая свойство д) последовательности \{ bk\} ,
имеем \bigm| \bigm| \bigm| \xi kDn
\xi \psi t,R(\xi )
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \~c0c1\alpha b0L(2 \~d0t)
kAn1bn
k\sum
l=0
C lkL
l
1bl bk - l \leq
\leq N \~LnAn1bn(2
\~d0t)
k bk
k\sum
l=0
C lkL
l
1 = NAn2B
k
2 bnbk, (26)
где N = c1\~c0\alpha b0LA, A2 = \~LA1, B2 = 4 \~d0t\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, L1\} , откуда получаем, что \psi t,R(\xi ) при-
надлежит Sbnbk при каждом t \geq 2 и R > 0. Далее непосредственно убеждаемся в том, что
\psi t,R(\xi ) \rightarrow \psi t(\xi ) при R \rightarrow +\infty равномерно по \xi вместе со всеми своими производными на
каждом отрезке [a, b] \subset \BbbR . Кроме того, совокупность функций \xi kDn
\xi \psi t,R(\xi ), \{ k, n\} \subset \BbbZ +,
равномерно ограничена в пространстве Sbnbk (это свойство следует из оценок (26), в которых
постоянные N, A2, B2 > 0 не зависят от R). Это и означает, что условие а) выполняется.
Из условия а) следует условие б), поскольку в совершенном пространстве каждое ограни-
ченное множество компактно.
Используя свойства а), б), приходим к соотношению
\langle u(t, \cdot ), \psi \rangle =
+\infty \int
- \infty
G(t, - y)(f \ast \v \psi )(y)dy, \psi \in Sbnbk .
Поскольку функционал f — свертыватель в пространстве Sbnbk , то f \ast \v \psi \in Sbnbk . Отсюда, в
частности, получаем | (f \ast \v \psi )(y)| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (ay)\} , y \in \BbbR , с некоторыми постоянными
c, a > 0. Учитывая последнее неравенство и оценки (16), приходим к выводу, что
| \langle u(t, \cdot ), \psi \rangle | \leq
+\infty \int
- \infty
| G(t, - y)| | (f \ast \v \psi )(y)| dy \leq
\leq Lb0ct
- 1
+\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (d0t
- 1y)
\bigr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (ay)\} dy \leq
\leq \~bt - 1
+\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (ay)\} dy = b\prime t - 1.
Перейдем здесь к пределу при t\rightarrow +\infty ; в результате получим, что \langle u(t, \cdot ), \psi \rangle \rightarrow 0 при t\rightarrow +\infty
для любой функции \psi \in Sbnbk , что и требовалось доказать.
Далее будем рассматривать обобщенные функции, заданные на неквазианалитическом клас-
се основных функций. Такой класс содержит бесконечно дифференцируемые финитные функ-
ции. В частности, для произвольных непересекающихся промежутков [a1, b1] и [a2, b2] найдется
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
МНОГОТОЧЕЧНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧА . . . 353
основная функция, равная единице на [a1, b1] и нулю на [a2, b2]. Рассмотрим последователь-
ность \{ \~bn, n \in \BbbZ +\} , удовлетворяющую условию bn \leq \~bn \forall n \in \BbbZ +, где \{ bn = n!\rho n\} — после-
довательность, рассмотренная ранeе. Cчитаем также, что для последовательности \{ \~bn\} выпол-
няется аналог условия д). При этом имеют место непрерывные вложения Sbnbk \in \~
Sbnbk \subset (
\~
Sbnbk )
\prime \subset
\subset (Sbnbk )
\prime . Согласно теореме Карлемана – Островского (см., например, [2, c. 125]), класс \~
Sbnbk
неквазианалитический тогда и только тогда, когда выполняется условие
+\infty \int
1
\mathrm{l}\mathrm{n}T (\lambda )
\lambda 2
d\lambda < +\infty , T (\lambda ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ +
\lambda n
\~bn
. (27)
Далeе будем предполагать, что последовательность \{ \~bn\} такова, что соответствующая функция
T (\lambda ) удовлетворяет условию (27).
Например, если \~bn = nn\beta 1 (\beta 1 > \beta ), то T (\lambda ) \sim \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \lambda 1/\beta 1\} и интеграл (27) сходится при
\beta 1 > 1. Следовательно, класс Sn
n\beta 1
kk\beta
, 0 < \beta < 1, неквазианалитический, если \beta 1 > 1.
Если обобщенная функция f в условии (23) финитная (т. е. носитель (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f) — ограни-
ченное множество в \BbbR ), то можно говорить о равномерной стабилизации к нулю решения
задачи (7), (23) при t \rightarrow +\infty . Отметим также, что каждая финитная обобщенная функция —
свертыватель в пространстве \~
Sbnbk . Это свойство следует из общего результата, относящего-
ся к теории совершенных пространств (см. [1, c. 173]): если \Phi — совершенное пространство
с дифференцируемой операцией сдвига, то каждый финитный функционал — свертыватель
в пространстве \Phi . Финитные обобщенные функции составляют довольно широкий класс; в
частности, каждое ограниченное замкнутое множество F \subset \BbbR является носителем некоторой
обобщенной функции.
Теорема 3. Пусть u(t, x) — решение задачи (7), (23) с функцией f в условии (23), принад-
лежащей пространству (
\~
Sbnbk )
\prime \subset (Sbnbk )
\prime , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f — ограниченное множество в \BbbR . Тогда u(t, x)
стремится к нулю при t\rightarrow +\infty равномерно на \BbbR .
Доказательство. Пусть \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f \subset [a1, b1] \subset [a2, b2] \subset \BbbR . Рассмотрим функцию \psi \in \~
Sbnbk та-
кую, что \psi (x) = 1 для x \in [a1, b1], \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\psi \subset [a2, b2]. Такая функция существует, поскольку про-
странство \~
Sbnbk содержит финитные функции. Функции \psi (\xi )G(t, x - \xi ), (1 - \psi (\xi ))G(t, x - \xi ),
как функции \xi , принадлежат пространству \~
Sbnbk (при каждом t > 0 и x \in \BbbR ), поэтому
u(t, x) =
\bigl\langle
f\xi , \psi (\xi )G(t, x - \xi )
\bigr\rangle
+
\bigl\langle
f\xi , \gamma (\xi )G(t, x - \xi )
\bigr\rangle
,
где \gamma (\xi ) = 1 - \psi (\xi ). Второе слагаемое в этом равенстве равно нулю, так как
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} (\gamma (\xi )G(t, x - \xi )) \cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f = \varnothing . Следовательно, u(t, x) = t - 1\langle f\xi , t\psi (\xi )G(t, x - \xi )\rangle . Та-
ким образом, для доказательства сформулированного утверждения достаточно показать, что
совокупность функций \Phi t,x(\xi ) = t\psi (\xi )G(t, x - \xi ) ограничена в пространстве \~
Sbnbk для больших
значений t и x \in \BbbR , т. е.
| Dn
\xi \Phi t,x(\xi )| \leq cBn\~bn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (a\xi )\} , n \in \BbbZ +, (28)
где постоянные c, B, a > 0 не зависят от t, x и \xi , изменяющихся указанным способом.
Неравенства (28) достаточно установить только для \xi \in [a2, b2], так как \Phi t,x(\xi ) = 0 для
\xi \in \BbbR \setminus [a2, b2].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
354 В. В. ГОРОДЕЦКИЙ, Р. И. ПЕТРИШИН, А. П. ВЕРЕЖАК
Поскольку \psi принадлежит \~
Sbnbk , то | Dn
\xi \psi (\xi )| \leq c1B
n
1
\~bn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (a1\xi )\} , \xi \in \BbbR , с некото-
рыми постоянными c1, B1, a1 > 0. Отсюда и из оценок (16) следуют неравенства
| Dn
\xi \Phi t,x(\xi )| \leq t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n\sum
l=0
C lnD
l
\xi \psi (\xi )D
n - l
\xi G(t, x - \xi )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq c1L \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (d0t
- 1| x - \xi | ) - \mathrm{l}\mathrm{n} \~\gamma (a1\xi )
\bigr\} n\sum
l=0
C lnB
l
1
\~blA
n - l
1 bn - l.
Поскольку
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (d0t
- 1| x - \xi |
\bigr\}
\leq 1, t \geq 2, x \in \BbbR , \xi \in [a2, b2], bn - l \leq \~bn - l,
\~bl \~bn - l \leq A\~Ln\~bn, A, \~L > 0,
то
| Dn
\xi \Phi t,x(\xi )| \leq \~c \~Bn\~bn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \mathrm{l}\mathrm{n}\~\gamma (a1\xi )\} ,
где \~c = c1LA, \~B = 2\~L\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ B1, A1\} , причем все постоянные не зависят от t, x, \xi , изменяю-
щихся указанным способом.
Теорема 3 доказана.
В качества примера рассмотрим нелокальную многоточечную по времени задачу для урав-
нения (7) с оператором A\varphi , построенным по функции \varphi (\sigma ) = - \sigma 2. В этом случае, как уже
отмечалось ранее, A\varphi = d2/dx2, а уравнение (7) является уравнением теплопроводности.
Поскольку | e - z2 | = | e - (\sigma +iy)2 | = e - \sigma
2+y2 , то в неравенстве (13) для функции \varphi (z) = e - z
2
по-
стоянная c0 = 1, т. е. условие c0 \leq 1 выполняется. В силу теоремы 1 нелокальная m-точечная
по времени задача в полупространстве t > 0 для уравнения теплопроводности корректно раз-
решима, если f принадлежит (S
1/2
1/2 ,\ast )
\prime . Используя представление функции Q2(\sigma ) в случае
уравнения теплопроводности, находим
G(t, x) = (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
Q1(t, \sigma )Q2(\sigma )e
i\sigma xd\sigma = (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
e - t\sigma
2
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu ke
- tk\sigma 2
\Biggr) - 1
ei\sigma xd\sigma =
= (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
e - t\sigma
2
\infty \sum
r=0
\mu - (r+1)
\sum
r1+...+rm=r
r!\mu r11 . . . \mu rmm
r1! . . . rm!
e - (t1r1+...+tmrm)\sigma 2
ei\sigma xd\sigma =
=
\infty \sum
r=0
\mu - (r+1)
\sum
r1+...+rm=r
r!\mu r11 . . . \mu rmm
r1! . . . rm!
\~G(t1r1 + . . .+ tmrm + t, x),
\~G(\lambda , x), \lambda = t1r1 + . . . + tmrm + t, — фундаментальное решение задачи Коши для уравнения
теплопроводности, т. е. \~G(\lambda , x) =
\bigl(
2
\surd
\pi \lambda
\bigr) - 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- x2/(4\lambda )
\bigr\}
. В частности, если f = \delta \in
\in
\bigl(
S
1/2
1/2 ,\ast
\bigr) \prime
, то u(t, x) = \delta \ast G(t, x) = G(t, x). Поскольку \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \delta = \{ 0\} , то в силу теоремы 3
u(t, x) \rightarrow 0 при t \rightarrow +\infty равномерно на \BbbR . Если m = 1 (случай двухточечной задачи),
f = \delta \in (S
1/2
1/2 ,\ast ), то
u(t, x) =
1
2\mu
\infty \sum
r=0
\biggl(
\mu 1
\mu
\biggr) r 1\sqrt{}
\pi (t+ rt1)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- x2
4(t+ rt1)
\biggr\}
, \mu > \mu 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
МНОГОТОЧЕЧНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧА . . . 355
Литература
1. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с.
2. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1984. – 284 с.
3. Gorbachuk M. L., Gorbachuk V. I. Boundary value problems for operator differential equations. – Dordrecht etc.:
Kluwer, 1991. – 374 p.
4. Кашпировский А. И. Граничные значения решений некоторых классов однородных дифференциальных урав-
нений в гильбертовом пространстве: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1981. – 18 с.
5. Горбачук М. Л., Дудников П. И. О начальных данных задачи Коши для параболических уравнений, при которых
решения бесконечно дифференцируемы // Докл. АН СССР. Сер. А. – 1981. – № 4. – С. 9 – 11.
6. Городецький В. В. Граничнi властивостi гладких у шарi розв’язкiв рiвнянь параболiчного типу. – Чернiвцi:
Рута, 1998. – 225 с.
7. Городецький В. В. Множини початкових значень гладких розв’язкiв диференцiально-операторних рiвнянь
параболiчного типу. – Чернiвцi: Рута, 1998. – 219 с.
8. Городецький В. В. Еволюцiйнi рiвняння в злiченно-нормованих просторах нескiнченно диференцiйовних
функцiй. – Чернiвцi: Рута, 2008. – 400 с.
9. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. – М.: Высш. шк., 1995. – 301 с.
10. Белавин И. А., Капица С. П., Курдюмов С. П. Математическая модель глобальных демографических процессов
с учетом пространственного распределения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1998. – 38, № 6. –
С. 885 – 902.
11. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. – М.: Наука, 1980. – 208 с.
12. Романко В. К. Граничные задачи для одного класса дифференциальных операторов // Дифференц. уравне-
ния. – 1974. – 10, № 11. – С. 117 – 131.
13. Романко В. К. Нелокальные граничные задачи для некоторых систем уравнений // Мат. заметки. – 1985. – 37,
№ 7. – С. 727 – 733.
14. Макаров А. А. Существование корректной двухточечной краевой задачи в слое для систем псевдодифферен-
циальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 1994. – 30, № 1. – С. 144 – 150.
15. Чесалин В. И. Задача с нелокальными граничными условиями для абстрактных гиперболических уравнений //
Дифференц. уравнения. – 1979. – 15, № 11. – С. 2104 – 2106.
16. Илькив В. С., Пташник Б. И. Некоторая нелокальная двухточечная задача для систем уравнений с частными
производными // Сиб. мат. журн. – 2005. – 46, № 1. – С. 119 – 129.
17. Lazetic N. L. On classical solutions of mixed boundary problems for one-demensional parabolic equation of second
order // Publ. Inst. Math. – 2000. – 67. – P. 53 – 75.
18. Chabrowski J. On the non-local problems with a functional for parabolic equation // Funkc. ekvacioj. – 1984. – 27. –
P. 101 – 123.
19. Bouziani A., Benouar N. E. Probleme mixed avec conditions integrales pour une class d’equations paraboliques // C.
r. Acad. sci. Ser. J. – 1995. – 321. – P. 1177 – 1182.
20. Городецкий В. В., Мартынюк О. В. Операторы обобщенного дифференцирования Гельфонда – Леонтьева в
пространствах типа S // Сиб. мат. журн. – 2013. – 54, № 3. – С. 569 – 584.
21. Гуревич Б. Л. Некоторые пространства основных и обобщенных функций и проблема Коши для конечно-
разностных схем // Докл. АН СССР. – 1954. – 99, № 6. – С. 893 – 896.
22. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз,
1958. – 274 с.
23. Готинчан Т. I., Атаманюк Р. М. Рiзнi форми означення просторiв типу W // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту.
Математика. – Чернiвцi: Рута, 2001. – Вип. 111. – С. 21 – 26.
Получено 14.04.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1560 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:06Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/22/20df1fcab0a44b776f8cb5b537506222.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15602019-12-05T09:18:29Z A problem for one class of pseudodifferential evolutionary equations multipoint in the time variable Многоточечная по времени задача для одного класса эволюционных псевдодифференциальных уравнений Verezhak, A. P. Horodets’kyi, V. V. Petryshyn, R. I. Вережак, А. П. Городецкий, В. В. Петришин, Р. И. Вережак, А. П. Городецкий, В. В. Петришин, Р. И. We establish the correct solvability of the multipoint (in the time variable) problem for the evolution equation with operator of differentiation of infinite order in generalized $S$-type spaces. The properties of the fundamental solution of this problem and the behavior of the solution $u(t, x)$ as $t \rightarrow +\infty$ are investigated. Встановлено коректну розв’язнiсть багатоточкової за часом задачi для еволюцiйного рiвняння з оператором дифе ренцiювання нескiнченного порядку в узагальнених просторах типу $S$ i дослiджено властивостi фундаментального розв’язку вказаної задачi та поведiнку розв’язку $u(t, x)$ при $t \rightarrow +\infty $. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1560 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 3 (2018); 337-355 Український математичний журнал; Том 70 № 3 (2018); 337-355 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1560/542 Copyright (c) 2018 Verezhak A. P.; Horodets’kyi V. V.; Petryshyn R. I. |
| spellingShingle | Verezhak, A. P. Horodets’kyi, V. V. Petryshyn, R. I. Вережак, А. П. Городецкий, В. В. Петришин, Р. И. Вережак, А. П. Городецкий, В. В. Петришин, Р. И. A problem for one class of pseudodifferential evolutionary equations multipoint in the time variable |
| title | A problem for one class of pseudodifferential
evolutionary equations multipoint in the time variable |
| title_alt | Многоточечная по времени задача
для одного класса эволюционных псевдодифференциальных уравнений |
| title_full | A problem for one class of pseudodifferential
evolutionary equations multipoint in the time variable |
| title_fullStr | A problem for one class of pseudodifferential
evolutionary equations multipoint in the time variable |
| title_full_unstemmed | A problem for one class of pseudodifferential
evolutionary equations multipoint in the time variable |
| title_short | A problem for one class of pseudodifferential
evolutionary equations multipoint in the time variable |
| title_sort | problem for one class of pseudodifferential
evolutionary equations multipoint in the time variable |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1560 |
| work_keys_str_mv | AT verezhakap aproblemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT horodetskyivv aproblemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT petryshynri aproblemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT verežakap aproblemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT gorodeckijvv aproblemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT petrišinri aproblemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT verežakap aproblemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT gorodeckijvv aproblemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT petrišinri aproblemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT verezhakap mnogotočečnaâpovremenizadačadlâodnogoklassaévolûcionnyhpsevdodifferencialʹnyhuravnenij AT horodetskyivv mnogotočečnaâpovremenizadačadlâodnogoklassaévolûcionnyhpsevdodifferencialʹnyhuravnenij AT petryshynri mnogotočečnaâpovremenizadačadlâodnogoklassaévolûcionnyhpsevdodifferencialʹnyhuravnenij AT verežakap mnogotočečnaâpovremenizadačadlâodnogoklassaévolûcionnyhpsevdodifferencialʹnyhuravnenij AT gorodeckijvv mnogotočečnaâpovremenizadačadlâodnogoklassaévolûcionnyhpsevdodifferencialʹnyhuravnenij AT petrišinri mnogotočečnaâpovremenizadačadlâodnogoklassaévolûcionnyhpsevdodifferencialʹnyhuravnenij AT verežakap mnogotočečnaâpovremenizadačadlâodnogoklassaévolûcionnyhpsevdodifferencialʹnyhuravnenij AT gorodeckijvv mnogotočečnaâpovremenizadačadlâodnogoklassaévolûcionnyhpsevdodifferencialʹnyhuravnenij AT petrišinri mnogotočečnaâpovremenizadačadlâodnogoklassaévolûcionnyhpsevdodifferencialʹnyhuravnenij AT verezhakap problemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT horodetskyivv problemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT petryshynri problemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT verežakap problemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT gorodeckijvv problemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT petrišinri problemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT verežakap problemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT gorodeckijvv problemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable AT petrišinri problemforoneclassofpseudodifferentialevolutionaryequationsmultipointinthetimevariable |