Criteria for the existence of an isolated solution of a nonlinear boundary-value problem
A nonlinear two-point boundary-value problem for an ordinary differential equation is studied by the method of parametrization. We construct systems of nonlinear algebraic equations that enable us to find the initial approximation to the solution to the posed problem. In terms of the properties of c...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1561 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507363488825344 |
|---|---|
| author | Dzhumabaev, D. S. Temesheva, S. M. Джумабаев, Д. С. Темешева, С. М. Джумабаев, Д. С. Темешева, С. М. |
| author_facet | Dzhumabaev, D. S. Temesheva, S. M. Джумабаев, Д. С. Темешева, С. М. Джумабаев, Д. С. Темешева, С. М. |
| author_sort | Dzhumabaev, D. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:29Z |
| description | A nonlinear two-point boundary-value problem for an ordinary differential equation is studied by the method of parametrization.
We construct systems of nonlinear algebraic equations that enable us to find the initial approximation to the solution
to the posed problem. In terms of the properties of constructed systems,we establish necessary and sufficient conditions for
the existence of an isolated solution to the boundary-value problem under consideration. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Д. С. Джумабаев (Ин-т математики и мат. моделирования МОН Республики Казахстан,
Междунар. ун-т информ. технологий, Алматы),
С. М. Темешева (Ин-т математики и мат. моделирования МОН Республики Казахстан,
Казах. нац. ун-т им. аль-Фараби, Алматы)
КРИТЕРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
A nonlinear two-point boundary-value problem for an ordinary differential equation is studied by the method of parametriza-
tion. We construct systems of nonlinear algebraic equations that enable us to find the initial approximation to the solution
to the posed problem. In terms of the properties of constructed systems,we establish necessary and sufficient conditions for
the existence of an isolated solution to the boundary-value problem under consideration.
Методом параметризацiї дослiджується нелiнiйна двоточкова крайова задача для звичайного диференцiального
рiвняння. Побудовано системи нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь, що дають змогу знайти початкове наближення
розв’язку розглядуваної задачi. В термiнах властивостей побудованих систем знайдено необхiднi та достатнi умови
iснування iзольованого розв’язку дослiджуваної крайової задачi.
1. Введение. Pассматpивается нелинейная двухточечная кpаевая задача
dx
dt
= f(t, x), t \in (0, T ), x \in \BbbR n, (1.1)
g
\bigl(
x(0), x(T )
\bigr)
= 0, (1.2)
где f : [0, T ]\times \BbbR n \rightarrow \BbbR n, g : \BbbR n \times \BbbR n \rightarrow \BbbR n — непpеpывные функции, \| x\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | xi| .
Через C([0, T ],\BbbR n) обозначим пространство непрерывных функций x : [0, T ] \rightarrow \BbbR n с нор-
мой \| x\| 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}t\in [0,T ] \| x(t)\| .
Решением задачи (1.1), (1.2) является непрерывно дифференцируемая на (0, T ) функция
x\ast (t) \in C([0, T ],\BbbR n), удовлетворяющая дифференциальному уравнению (1.1) и краевому усло-
вию (1.2).
Вопросы разрешимости краевой задачи (1.1), (1.2) и нахождения ее решения различны-
ми методами исследованы в работах многих авторов [1 – 14]. Одним из эффективных методов
исследования и решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений яв-
ляется численно-аналитический метод, предложенный А. М. Самойленко [15, 16]. Дальнейшее
развитие этого метода и подробный анализ основных групп методов исследования и решения
краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений приведен в [17].
Для нелинейных задач характерно существование нескольких решений. В связи с этим важ-
ное значение для приложений имеет изолированность решений нелинейных задач. Как показано
в [13, c. 4], изолированное решение, рассматриваемое как изолированный элемент множества
решений краевых задач, не имеет свойства непрерывной зависимости от правой части диф-
ференциального уравнения и краевых условий. Поэтому во многих работах рассматривается
изолированное в более сильном смысле решение краевой задачи (1.1), (1.2).
Следующее определение „изолированного” решения краевых задач с непрерывно диффе-
ренцируемыми данными является модификацией определения изолированности из [14].
c\bigcirc Д. С. ДЖУМАБАЕВ, С. М. ТЕМЕШЕВА, 2018
356 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
КРИТЕРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 357
Определение 1.1. Решение x\ast (t) задачи (1.1), (1.2) называется „изолированным”, если
существует число \rho 0 > 0 такое, что функции f(t, x) и g(v, w) соответственно в G\ast
1(\rho 0) =
= \{ (t, x) : t \in [0, T ], \| x - x\ast (t)\| < \rho 0\} и G\ast
2(\rho 0, \rho 0) = \{ (v, w) \in \BbbR 2n : \| v - x\ast (0)\| < \rho 0, \| w -
- x\ast (T )\| < \rho 0\} непрерывны, имеют равномерно непрерывные частные производные f \prime
x(t, x),
g\prime v(v, w), g
\prime
w(v, w) и линеаризованная однородная двухточечная краевая задача
dy
dt
= f \prime
x(t, x
\ast (t))y, t \in (0, T ), y \in \BbbR n, (1.3)
g\prime v(x
\ast (0), x\ast (T ))y(0) + g\prime w(x
\ast (0), x\ast (T ))y(T ) = 0 (1.4)
имеет только тривиальное решение.
Целью работы является установление необходимых и достаточных условий существования
изолированного в смысле определения 1.1 решения задачи (1.1), (1.2). Для этого используется
метод параметризации [18, 19].
2. Схема метода параметризации и достаточные условия существования изолирован-
ного решения. Выберем h > 0 : Nh = T, N \in \BbbN , и разобьем интервал [0, T ) точками tr = rh,
r = 0, N, т. е. [0, T ) =
\bigcup N
r=1
[tr - 1, tr).
Сужение функции x(t) на r-й интервал [tr - 1, tr) обозначим через xr(t) : xr(t) = x(t),
t \in [tr - 1, tr), r = 1, N. Через C([0, T ], h,\BbbR nN ) обозначим пространство систем функций x[t] =
=
\bigl(
x1(t), x2(t), . . . , xN (t)
\bigr)
, где xr : [tr - 1, tr) \rightarrow \BbbR n непрерывна и имеет конечный левосторон-
ний предел \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0 xr(t) при всех r = 1, N, с нормой \| x[\cdot ]\| 1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}r=1,N \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [tr - 1,tr) \| xr(t)\| .
Пространство C([0, T ], h,\BbbR nN ) является полным.
Введем дополнительный параметр \lambda r = xr(tr - 1) и на интервале [tr - 1, tr) выполним замену
ur(t) = xr(t) - \lambda r, r = 1, N. Через \lambda N+1 обозначим x(tN ). Получим многоточечную краевую
задачу с параметрами
dur
dt
= f(t, ur + \lambda r), t \in [tr - 1, tr), r = 1, N, (2.1)
ur(tr - 1) = 0, r = 1, N, (2.2)
g
\bigl(
\lambda 1, \lambda N+1
\bigr)
= 0, (2.3)
\lambda r + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tr - 0
ur(t) - \lambda r+1 = 0, r = 1, N, (2.4)
где (2.4) — условия склеивания решения в точках разбиения отрезка [0, T ].
Решением задачи (2.1) – (2.4) является пара
\bigl(
\lambda \ast , u\ast [t]
\bigr)
с элементами
\lambda \ast =
\bigl(
\lambda \ast
1, \lambda
\ast
2, . . . , \lambda
\ast
N , \lambda \ast
N+1
\bigr)
\in \BbbR n(N+1),
u\ast [t] =
\bigl(
u\ast 1(t), u
\ast
2(t), . . . , u
\ast
N (t)
\bigr)
\in C([0, T ], h,\BbbR nN ),
где непрерывно дифференцируемая на [tr - 1, tr) функция u\ast r(t) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению (2.1) при \lambda r = \lambda \ast
r и начальному условию (2.2) для всех r = 1, N а также
выполняются дополнительные условия (2.3), (2.4).
Если
\bigl(
\lambda \ast , u\ast [t]
\bigr)
— решение задачи (2.1) – (2.4), то функция
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
358 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, С. М. ТЕМЕШЕВА
x\ast (t) =
\left\{ \lambda \ast
r + u\ast r(t) при t \in [tr - 1, tr), r = 1, N,
\lambda \ast
N+1 при t = T
будет решением задачи (1.1), (1.2). Наоборот, если \widetilde x(t) — решение задачи (1.1), (1.2), то пара\bigl( \widetilde \lambda , \widetilde u[t]\bigr) с элементами \widetilde \lambda =
\bigl( \widetilde \lambda 1, \widetilde \lambda 2, . . . , \widetilde \lambda N , \widetilde \lambda N+1
\bigr)
\in \BbbR n(N+1), \widetilde u[t] = \bigl( \widetilde u1(t), \widetilde u2(t), . . . , \widetilde uN (t)
\bigr)
,
где \widetilde \lambda r = \widetilde x(tr - 1), r = 1, N + 1, \widetilde ur(t) = \widetilde x(t) - \widetilde x(tr - 1), t \in [tr - 1, tr), r = 1, N, будет решением
задачи (2.1) – (2.4).
При фиксированном значении \lambda r задача Коши (2.1), (2.2) эквивалентна интегральному
уравнению Вольтерра второго рода
ur(t) =
t\int
tr - 1
f(\tau , \lambda r + ur(\tau ))d\tau , t \in [tr - 1, tr), r = 1, N. (2.5)
Подставив вместо ur(\tau ) соответствующую правую часть (2.5) и повторив этот процесс \nu
раз, для ur(t) получим представление
ur(t) =
t\int
tr - 1
f
\left( \tau 1, \lambda r +
\tau 1\int
tr - 1
f
\left( \tau 2, \lambda r + . . .+
\tau \nu - 1\int
tr - 1
f
\bigl(
\tau \nu , \lambda r + ur(\tau \nu )
\bigr)
d\tau \nu . . .
\right) d\tau 2
\right) d\tau 1, (2.6)
t \in [tr - 1, tr), r = 1, N.
Из (2.6), определив \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0 ur(t), r = 1, N, и подставив их в (2.3), (2.4), предварительно
умножив (2.3) на h > 0, получим систему нелинейных алгебраических уравнений относительно
\lambda r \in \BbbR n :
hg
\Bigl(
\lambda 1, \lambda N+1
\Bigr)
= 0,
\lambda r +
tr\int
tr - 1
f
\left( \tau 1, \lambda r + . . .+
\tau \nu - 1\int
tr - 1
f
\bigl(
\tau \nu , \lambda r + ur(\tau \nu )
\bigr)
d\tau \nu . . .
\right) d\tau 1 - \lambda r+1 = 0, r = 1, N,
которую запишем в виде
Q\nu ,h(\lambda , u) = 0, \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N , \lambda N+1) \in \BbbR n(N+1).
Условие A. Существуют числа h > 0 : Nh = T, N \in \BbbN , \nu \in \BbbN такие, что система нели-
нейных уравнений Q\nu ,h(\lambda , 0) = 0 имеет решение \lambda (0) =
\bigl(
\lambda
(0)
1 , \lambda
(0)
2 , . . . , \lambda
(0)
N , \lambda
(0)
N+1
\bigr)
\in \BbbR n(N+1),
задача Коши
dur
dt
= f(t, ur + \lambda (0)
r ), ur(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr),
имеет решение u(0)r (t) при всех r = 1, N и система функций u(0)[t] =
\bigl(
u
(0)
1 (t), u
(0)
2 (t), . . . , u
(0)
N (t)
\bigr)
принадлежит пространству C([0, T ], h,\BbbR nN ).
По паре (\lambda (0), u(0)[t]) определим кусочно-непрерывную на [0, T ] функцию
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
КРИТЕРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 359
x(0)(t) =
\left\{ \lambda
(0)
r + u
(0)
r (t) при t \in [tr - 1, tr), r = 1, N,
\lambda
(0)
N+1 при t = T.
Возьмем числа \rho \lambda > 0, \rho u > 0, \rho x > 0 и определим множества
S(\lambda (0), \rho \lambda ) = \{ \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N+1) \in \BbbR n(N+1) : \| \lambda - \lambda (0)\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}r=1,N+1 \| \lambda r - \lambda
(0)
r \| <
< \rho \lambda \} ,
S(u(0)[t], \rho u) = \{ u[t] \in C([0, T ], h,\BbbR nN ) : \| u[\cdot ] - u(0)[\cdot ]\| 1 < \rho u\} ,
S(x(0)(t), \rho x) = \{ x(t) \in C([0, T ],\BbbR n) : \| x - x(0)\| 0 < \rho x\} ,
G0
1(\rho x) = \{ (t, x) : t \in [0, T ], \| x - x(0)(t)\| < \rho x\} ,
G0
2(\rho \lambda , \rho x) = \{ (v, w) \in \BbbR 2n : \| v - x(0)(0)\| < \rho \lambda , \| w - x(0)(T )\| < \rho x\} .
Условие B. Функции f(t, x), g(v, w) соответственно в G0
1(\rho x), G
0
2(\rho \lambda , \rho \lambda ) непрерывны,
имеют равномерно непрерывные частные производные f \prime
x(t, x), g
\prime
v(v, w), g
\prime
w(v, w) и выполня-
ются неравенства
\| f \prime
x(t, x)\| \leq L(t), \| g\prime v(v, w)\| \leq L1, \| g\prime w(v, w)\| \leq L2,
где L(t) \in C([0, T ],\BbbR ), L1, L2 — постоянные.
Предполагая, что имеет место условие A, решение многоточечной краевой задачи с пара-
метрами (2.1) – (2.4) находим по следующему алгоритму.
Шаг 1. Решая уравнение Q\nu ,h(\lambda , u
(0)) = 0, получаем \lambda (1) = (\lambda
(1)
1 , \lambda
(1)
2 , . . . , \lambda
(1)
N , \lambda
(1)
N+1) \in
\in \BbbR n(N+1). Решая задачу Коши (2.1), (2.2) при \lambda r = \lambda
(1)
r , r = 1, N, находим компоненты
системы функций u(1)[t] = (u
(1)
1 (t), u
(1)
2 (t), . . . , u
(1)
N (t)).
Шаг 2. Решая уравнение Q\nu ,h(\lambda , u
(1)) = 0, получаем \lambda (2) = (\lambda
(2)
1 , \lambda
(2)
2 , . . . , \lambda
(2)
N , \lambda
(2)
N+1) \in
\in \BbbR n(N+1). Решая задачу Коши (2.1), (2.2) при \lambda r = \lambda
(2)
r , r = 1, N, находим компоненты
системы функций u(2)[t] = (u
(2)
1 (t), u
(2)
2 (t), . . . , u
(2)
N (t)). И так далее.
Достаточные условия осуществимости и сходимости предложенного алгоритма устанавли-
вает следующая теорема.
Теорема 2.1. Пусть при некоторых числах h > 0 : Nh = T, N \in \BbbN , \nu \in \BbbN , \rho \lambda > 0,
\rho u > 0, \rho x > 0 выполняются условия A, B, матрица Якоби
\partial Q\nu ,h(\lambda , u)
\partial \lambda
: \BbbR n(N+1) \rightarrow \BbbR n(N+1)
обратима для всех (\lambda , u[t]) \in S(\lambda (0), \rho \lambda )\times S(u(0)[t], \rho u) и имеют место неравенства\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
\partial Q\nu ,h(\lambda , u)
\partial \lambda
\biggr) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \gamma \nu (h),
q\nu (h) = \gamma \nu (h) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r=1,N
\left( \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( tr\int
tr - 1
L(t)dt
\right) -
\nu \sum
j=0
1
j!
\left( tr\int
tr - 1
L(t)dt
\right)
j\right) < 1,
\gamma \nu (h)
1 - q\nu (h)
\| Q\nu ,h(\lambda
(0), u(0))\| < \rho \lambda ,
\gamma \nu (h)
1 - q\nu (h)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r=1,N
\left( \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( tr\int
tr - 1
L(t)dt
\right) - 1
\right) \| Q\nu ,h(\lambda
(0), u(0))\| < \rho u,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
360 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, С. М. ТЕМЕШЕВА
\rho \lambda + \rho u \leq \rho x.
Тогда определяемая по алгоритму последовательность пар (\lambda (k), u(k)[t]), k \in \BbbN , принадлежит
S(\lambda (0), \rho \lambda )\times S(u(0)[t], \rho u), сходится к (\lambda \ast , u\ast [t]) — изолированному решению задачи (2.1) – (2.4)
в S(\lambda (0), \rho \lambda )\times S(u(0)[t], \rho u) и справедливы оценки
\| \lambda \ast - \lambda (k)\| \leq (q\nu (h))
k
1 - q\nu (h)
\gamma \nu (h)\| Q\nu ,h(\lambda
(0), u(0))\| ,
\| u\ast r(t) - u(k)r (t)\| \leq
\left( \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
tr - 1
L(\tau )d\tau
\right) - 1
\right) \| \lambda \ast
r - \lambda (k)
r \| , t \in [tr - 1, tr), r = 1, N.
Доказательство теоремы 2.1 аналогично доказательству теоремы 2 из [19].
В силу эквивалентности двухточечной краевой задачи (1.1), (1.2) и многоточечной краевой
задачи с параметрами (2.1) – (2.4) справедлива следующая теорема.
Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда нелинейная двухточечная кра-
евая задача (1.1), (1.2) в S(x(0)(t), \rho x) имеет изолированное решение.
3. Необходимые и достаточные условия существования „изолированного” решения. На
отрезке [0, T ] рассмотрим линейную краевую задачу
dx
dt
= A(t)x+ f(t), x \in \BbbR n, (3.1)
Bx(0) + Cx(T ) = d, d \in \BbbR n, (3.2)
где A(t), f(t) непрерывны на [0, T ], B и C — (n\times n)-матрицы.
Вновь с шагом h > 0 : Nh = T, N \in \BbbN , разобьем отрезок [0, T ] точками tr = rh, r = 0, N.
По данным задачи (3.1), (3.2) составим (n(N + 1)\times n(N + 1))-матрицу
Q\nu (h) =
\left(
hB 0 . . . 0 0 hC
I +D\nu ,1(h) - I . . . 0 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . I +D\nu ,N - 1(h) - I 0
0 0 . . . 0 I +D\nu ,N (h) - I
\right)
,
где I — единичная матрица размерности n,
D\nu ,r(h) =
tr\int
tr - 1
A(\tau 1)d\tau 1 +
tr\int
tr - 1
A(\tau 1)
\tau 1\int
tr - 1
A(\tau 2)d\tau 2d\tau 1 + . . .
. . .+
tr\int
tr - 1
A(\tau 1) . . .
\tau \nu - 1\int
tr - 1
A(\tau \nu )d\tau \nu . . . d\tau 1, r = 1, N.
Аналогично теоремам 1 и 4 из [18] устанавливаются следующие утверждения.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
КРИТЕРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 361
Теорема 3.1. Пусть существуют числа h > 0 : Nh = T, N \in \BbbN , и \nu \in \BbbN , при которых
матрица Q\nu (h) : \BbbR n(N+1) \rightarrow \BbbR n(N+1) обратима и выполняются неравенства
\| (Q\nu (h))
- 1\| \leq \gamma \nu (h),
q\nu (h) = \gamma \nu (h) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r=1,N
\Biggl(
e\alpha h -
\nu \sum
i=0
(\alpha h)i
i!
\Biggr)
< 1,
где \alpha = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}t\in [0,T ] \| A(t)\| . Тогда краевая задача (3.1), (3.2) однозначно разрешима.
Теорема 3.2. Краевая задача (3.1), (3.2) однозначно разрешима тогда и только тогда,
когда для любого \nu \in \BbbN существует h0 = h0(\nu ) > 0 такое, что при всех h \in (0, h0] :
Nh = T матрица Q\nu (h) : \BbbR n(N+1) \rightarrow \BbbR n(N+1) обратима и выполняется оценка
\| (Q\nu (h))
- 1\| \leq \gamma
h
, (3.3)
где \gamma — постоянная, не зависящая от h.
Теорема 3.3. При выполнении условий теоремы 2.1 задача (1.1), (1.2) в S(x(0)(t), \rho x) имеет
„изолированное” решение.
Доказательство. Из теоремы 2.2 следует существование изолированного решения x\ast (t) \in
\in S(x(0)(t), \rho x). Покажем, что это решение является изолированным в смысле определе-
ния. Рассмотрим линейную однородную краевую задачу (1.3), (1.4). По матрицам A\ast (t) =
= f \prime
x(t, x
\ast (t)), B\ast = g\prime v(x
\ast (0), x\ast (T )), C\ast = g\prime w(x
\ast (0), x\ast (T )), шагу h > 0 : Nh = T, N \in \BbbN , и
числу \nu \in \BbbN составим (n(N + 1)\times n(N + 1))-матрицу специальной структуры
Q\ast
\nu (h) =
\left(
hB\ast 0 . . . 0 0 hC\ast
I +D\ast
\nu ,1(h) - I . . . 0 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . I +D\ast
\nu ,N - 1(h) - I 0
0 0 . . . 0 I +D\ast
\nu ,N (h) - I
\right)
,
где I — единичная матрица размерности n,
D\ast
\nu ,r(h) =
tr\int
tr - 1
A\ast (\tau 1)d\tau 1 +
tr\int
tr - 1
A\ast (\tau 1)
\tau 1\int
tr - 1
A\ast (\tau 2)d\tau 2d\tau 1 + . . .
. . .+
tr\int
tr - 1
A\ast (\tau 1) . . .
\tau \nu - 1\int
tr - 1
A\ast (\tau \nu )d\tau \nu . . . d\tau 1, r = 1, N.
Обозначив через \lambda \ast
r значение функции x\ast (t) при t = tr - 1, r = 1, N + 1, и на интервалах
[tr - 1, tr) введя функции u\ast r(t) = x\ast (t) - \lambda \ast
r , r = 1, N, нетрудно установить, что матрица Якоби
\partial Q\nu ,h(\lambda
\ast , u\ast )
\partial \lambda
совпадает с Q\ast
\nu (h). Тогда из условий теоремы 2.1 следует, что матрица Q\ast
\nu (h)
обратима и выполняются неравенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
362 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, С. М. ТЕМЕШЕВА
\| A\ast (t)\| = \| f \prime
x(t, x
\ast (t))\| \leq L(t), \| C\ast \| = \| g\prime w(x\ast (0), x\ast (T ))\| \leq L2,
\| (Q\ast
\nu (h))
- 1\| \leq \gamma \nu (h),
q\nu (h) = \gamma \nu (h) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r=1,N
\left( \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( tr\int
tr - 1
L(t)dt
\right) -
\nu \sum
i=0
1
i!
\left( tr\int
tr - 1
L(t)dt
\right)
i\right) < 1.
При этих условиях существование только тривиального решения однородной задачи (1.3), (1.4)
следует из теоремы 3.1.
Теорема 3.3 доказана.
Следующее утверждение показывает, что условия теоремы 2.1 являются и необходимыми
для существования „изолированного” решения нелинейной двухточечной краевой задачи для
системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1), (1.2).
Теорема 3.4. Краевая задача (1.1), (1.2) имеет „изолированное” решение тогда и только
тогда, когда для любого \nu \in \BbbN существуют числа h > 0 : Nh = T, \rho \lambda > 0, \rho u > 0, \rho x > 0,
при которых выполняются условия A, B, матрица Якоби
\partial Q\nu ,h(\lambda , u)
\partial \lambda
: \BbbR n(N+1) \rightarrow \BbbR n(N+1)
обратима для всех (\lambda , u[t]) \in S(\lambda (0), \rho \lambda ) \times S(u(0)[t], \rho u) и имеют место неравенства теоре-
мы 2.1.
Необходимость. Предположим, что задача (1.1), (1.2) имеет „изолированное” решение x\ast (t).
Тогда из определения 1.1 следует, что существуют числа \rho 0 > 0, M > 0, L0 > 0 и L1 > 0,
L2 > 0 такие, что неравенства \| f(t, x)\| \leq M, \| f \prime
x(t, x)\| \leq L0 и \| g\prime v(v, w)\| \leq L1, \| g\prime w(v, w)\| \leq
\leq L2 выполняются для всех (t, x) \in G\ast
1(\rho 0) и (v, w) \in G\ast
2(\rho 0, \rho 0) соответственно. При этом
для любого \varepsilon > 0 найдется \delta \varepsilon \in (0, \rho 0] > 0 такое, что для всех (t, x\prime ), (t, x\prime \prime ) \in G\ast
1(\rho 0) :
\| x\prime - x\prime \prime \| <
\delta \varepsilon
b\nu
и (v\prime , w\prime ), (v\prime \prime , w\prime \prime ) \in G\ast
2(\rho 0, \rho 0) : \| v\prime - v\prime \prime \| < \delta \varepsilon , \| w\prime - w\prime \prime \| < \delta \varepsilon имеют место
неравенства
\| f \prime
x(t, x
\prime ) - f \prime
x(t, x
\prime \prime )\| <
\varepsilon
a\nu
,
\| g\prime v(v\prime , w\prime ) - g\prime v(v
\prime \prime , w\prime \prime )\| <
\varepsilon
2
, \| g\prime w(v\prime , w\prime ) - g\prime w(v
\prime \prime , w\prime \prime )\| <
\varepsilon
2
,
где a\nu =
\sum \nu
p=1
p(L0T )
p - 1
(p - 1)!
, b\nu =
\sum \nu - 1
p=0
(L0T )
p
p!
.
Поскольку линеаризованная однородная краевая задача (1.3), (1.4) имеет только тривиаль-
ное решение, то по теореме 3.2 для любого заданного \nu \in \BbbN существует h0 > 0 такое, что
при всех h \in (0, h0] : Nh = T матрица Q\ast
\nu (h) : \BbbR n(N+1) \rightarrow \BbbR n(N+1) обратима и выполняется
оценка (3.3) с постоянной \gamma , не зависящей от h.
Выберем \varepsilon > 0 такое, что \varepsilon \gamma \leq 1
4
. Покажем существование чисел h \in (0, h0] : Nh = T,
\rho \lambda > 0, \rho u > 0 и \rho x > 0, при которых выполняются условия теоремы.
В силу выбора \delta \varepsilon > 0 и структуры матрицы Якоби
\partial Q\nu ,h(\lambda , u)
\partial \lambda
выполняется неравенство
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial Q\nu ,h(\lambda , u)
\partial \lambda
-
\partial Q\nu ,h(\lambda
\ast , u\ast )
\partial \lambda
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \varepsilon h
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
КРИТЕРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 363
для всех (\lambda , u[t]) \in S(\lambda \ast , \rho \ast \lambda )\times S(u\ast [t], \rho \ast u), где \rho \ast \lambda =
\delta \varepsilon
2b\nu
, \rho \ast u =
\delta \varepsilon
2b\nu
.
Применяя теорему о малых возмущениях ограниченно обратимых операторов [20, c. 142],
получаем, что матрица Якоби
\partial Q\nu ,h(\lambda , u)
\partial \lambda
ограниченно обратима и
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
\partial Q\nu ,h(\lambda , u)
\partial \lambda
\biggr) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 4\gamma
3h
для всех (\lambda , u[t]) \in S(\lambda \ast , \rho \ast \lambda )\times S(u\ast [t], \rho \ast u).
Выберем число h1 \in (0, h0] : N0h1 = T, N0 \in \BbbN , удовлетворяющим неравенствам
Mh1 \leq
\rho \ast u
2
, (3.4)
4\gamma
3
M
(h1L0)
\nu
\nu !
<
\rho \ast \lambda
2
, (3.5)
4\gamma
3
M
(h1L0)
\nu
\nu !
\Bigl(
eh1L0 - 1
\Bigr)
<
\rho \ast u
2
. (3.6)
Поскольку x\ast (t) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1.1), то справедлива оценка
\| u\ast r(t)\| = \| x\ast (t) - x\ast (tr - 1)\| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [tr - 1,tr)
\| \.x\ast (t)\| h1 \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [tr - 1,tr)
\| f(t, x\ast (t))\| h1 \leq Mh1, t \in [tr - 1, tr), r = 1, N0. (3.7)
Покажем, что S(0, \rho \ast u/2) \subset S(u\ast [t], \rho \ast u). Действительно, если u[t] \in S(0, \rho \ast u/2), то в силу
(3.4), (3.7)
\| u[\cdot ] - u\ast [\cdot ]\| 1 \leq \| u[\cdot ]\| 1 + \| u\ast [\cdot ]\| 1 <
\rho \ast u
2
+
\rho \ast u
2
= \rho \ast u,
т. е. u[t] \in S(u\ast [t], \rho \ast u).
При h \in (0, h1] : N1h = T, N1 \in \BbbN , рассмотрим систему нелинейных уравнений
Q\nu ,h (\lambda , 0) = 0, \lambda \in \BbbR n(N1+1). (3.8)
Матрица Якоби
\partial Q\nu ,h(\lambda , 0)
\partial \lambda
равномерно непрерывна в S(\lambda \ast , \rho \ast \lambda ), оценка
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
\partial Q\nu ,h(\lambda , 0)
\partial \lambda
\biggr) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq 4\gamma
3h
справедлива для всех \lambda \in S(\lambda \ast , \rho \ast \lambda ). Здесь h > 0 : N1h = T. В силу (3.5), (3.7) и равенства
Q\nu ,h(\lambda
\ast , u\ast ) = 0 имеем
4\gamma
3h
\| Q\nu ,h(\lambda
\ast , 0)\| =
4\gamma
3h
\| Q\nu ,h(\lambda
\ast , 0) - Q\nu ,h(\lambda
\ast , u\ast )\| \leq 4\gamma
3h
(hL0)
\nu
\nu !
Mh <
\rho \ast \lambda
2
.
Поэтому согласно теореме 1 из [19, c. 39] система уравнений (3.8) имеет решение \lambda (0) \in
\in S(\lambda \ast , \rho \ast \lambda ) и
\| \lambda (0) - \lambda \ast \| \leq 4\gamma
3h
(hL0)
\nu
\nu !
Mh <
\rho \ast \lambda
2
. (3.9)
При сделанных предположениях задача Коши (2.1), (2.2) при \lambda r = \lambda
(0)
r имеет единственное
решение u
(0)
r (t) и для него выполняется неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
364 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, С. М. ТЕМЕШЕВА
\| u(0)r (t) - u\ast r(t)\| \leq
t\int
tr - 1
L0
\bigl(
\| \lambda (0)
r - \lambda \ast
r\| + \| u(0)r (\tau ) - u\ast r(\tau )\|
\bigr)
d\tau .
Используя лемму Гронуолла – Беллмана, имеем\bigm\| \bigm\| u(0)r (t) - u\ast r(t)
\bigm\| \bigm\| \leq (\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(L0(t - tr - 1)) - 1)\| \lambda (0)
r - \lambda \ast
r\| , t \in [tr - 1, tr), r = 1, N,
откуда следует, что \bigm\| \bigm\| u(0)[\cdot ] - u\ast [\cdot ]
\bigm\| \bigm\|
1
\leq 4\gamma
3
M
(hL0)
\nu
\nu !
(ehL0 - 1) <
\rho \ast u
2
. (3.10)
Таким образом, имеет место условие A и оценки (3.9), (3.10).
Теперь возьмем
\rho \lambda = \rho \ast \lambda /2, \rho u = \rho \ast u/2, \rho x = \rho \lambda + \rho u
и выберем число h2 \in (0, h1] : N2h2 = T, N2 \in \BbbN , так, чтобы выполнялись неравенства
4\gamma
3h2
\Biggl(
eh2L0 -
\nu \sum
i=0
(h2L0)
i
i!
\Biggr)
\leq 1
3
, (3.11)
2\gamma M
(h2L0)
\nu
\nu !
\biggl(
4\gamma
3h2
(h2L0)
\nu
\nu !
(eh2L0 - 1) + 1
\biggr)
< \rho \lambda , (3.12)
2\gamma M
(h2L0)
\nu
\nu !
\biggl(
4\gamma
3h2
(h2L0)
\nu
\nu !
(eh2L0 - 1) + 1
\biggr)
(eh2L0 - 1) < \rho u. (3.13)
Если (\lambda , u[t]) \in S(\lambda (0), \rho \lambda )\times S(u(0)[t], \rho u), то на основании (3.5), (3.6), (3.9), (3.10) получим
\| \lambda - \lambda \ast \| \leq \| \lambda - \lambda (0)\| + \| \lambda (0) - \lambda \ast \| \leq \rho \lambda +
4\gamma
3h
(hL0)
\nu
\nu !
Mh < \rho \ast \lambda ,
\| u[\cdot ] - u\ast [\cdot ]\| 1 \leq \| u[\cdot ] - u(0)[\cdot ]\| 1 + \| u(0)[\cdot ] - u\ast [\cdot ]\| 1 \leq \rho u +
4\gamma
3
M
(hL0)
\nu
\nu !
(ehL0 - 1) < \rho \ast u,
т. е. S(\lambda (0), \rho \lambda ) \subset S(\lambda \ast , \rho \ast \lambda ), S(u
(0)[t], \rho u) \subset S(u\ast [t], \rho \ast u) при всех h \in (0, h2]. Поэтому в G\ast
1(\rho 0),
G\ast
2(\rho 0, \rho 0) выполняется условие B.
Первое неравенство теоремы 2.1 выполняется с постоянной \gamma \nu (h) \leq
4\gamma
3h
. Тогда
q\nu (h) =
4\gamma
3h
\biggl(
ehL0 -
\nu \sum
i=0
(hL0)
i
i!
\biggr)
,
и в силу (3.11) q\nu (h) \leq
1
3
при h \in (0, h2].
Принимая во внимание оценки
\bigm\| \bigm\| u(0)[\cdot ]\bigm\| \bigm\|
1
\leq
\bigm\| \bigm\| u(0)[\cdot ] - u\ast [\cdot ]
\bigm\| \bigm\|
1
+
\bigm\| \bigm\| u\ast [\cdot ]\bigm\| \bigm\|
1
\leq Mh
\biggl(
4\gamma
3h
(hL0)
\nu
\nu !
(ehL0 - 1) + 1
\biggr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
КРИТЕРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 365
\bigm\| \bigm\| Q\nu ,h(\lambda
(0), u(0))
\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| Q\nu ,h(\lambda
(0), u(0)) - Q\nu ,h(\lambda
(0), 0)
\bigm\| \bigm\| \leq (hL0)
\nu
\nu !
\bigm\| \bigm\| u(0)[\cdot ]\bigm\| \bigm\|
1
и неравенства (3.12), (3.13), получаем
\gamma \nu (h)
1 - q\nu (h)
\| Q\nu ,h(\lambda
(0), u(0))\| \leq 2\gamma M
(hL0)
\nu
\nu !
\biggl(
4\gamma
3h
(hL0)
\nu
\nu !
(ehL0 - 1) + 1
\biggr)
< \rho \lambda .
Таким образом, при выборе
\rho \lambda = \rho \ast \lambda /2, \rho u = \rho \ast u/2, \rho x = \rho \lambda + \rho u
все условия теоремы 2.1 выполняются для любого разбиения промежутка [0, T ) c шагом h \in
\in (0, h2] : Nh = T, N \in \BbbN .
Достаточность условий теоремы для существования „изолированного” решения задачи
(1.1), (1.2) следует из теоремы 3.3.
Теорема 3.4 доказана.
Литература
1. Ascher U. M., Mattheij R. M., Russel R. D. Numerical solution of boundary value problems for ordinary differential
equations // SIAM Classics Appl. Math. – 1995. – 13.
2. Babenko K. I. Fundamentals of numerical analysis. – Moscow: Nauka, 1986 (in Russian).
3. Bakhvalov N. S. Numerical methods: analysis, algebra, ordinary differential equations. – Moscow: Fizmatgiz, 1973.
4. Bellman R., Kalaba R. Quasilinearization and nonlinear boundary value problems. – New York: Amer. Elsevier, 1965.
5. Butcher J. C. The numerical analysis of ordinary differential equations. – New York: Wiley, 1987.
6. Jiang W., Cui M. Constructive proof for existence of nonlinear two-point boundary value problems // Appl. Math.
and Comput. – 2009. – 215. – P. 1937 – 1948.
7. Keller H. B. Numerical methods for two-point boundary value problems. – New York: Dover, 1992.
8. Lakshmikantham V., Vatsala A. S. Generalized quasilinearization for nonlinear problems. – Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 1998.
9. Modern numerical methods for ordinary differential equations / Eds G. Hall and J. M. Watt. – Oxford: Clarendon,
1976.
10. Ntouyas S. K. Nonlocal initial and boundary value problems: a survey // Handbook Different. Equat.: Ordinary
Different. Equat. – 2005. – 2. – P. 461 – 557.
11. Roberts S. M., Shipman J. S. Two-point boundary-value problems: shooting methods. – New York: Elsevier, 1972.
12. Ronto A., Ronto M. Successive approximation techniques in non-linear boundary value problems for ordinary
differential equations // Handbook Different. Equat.: Ordinary Different. Equat. – 2008. – 4. – P. 441 – 592.
13. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и
техники. Совр. пробл. математики. Новейшие достижения / ВИНИТИ. – 1987. – 30. – С. 3 – 103.
14. Keller H. B., White A. Difference methods for boundary value problems in ordinary differential equations // SIAM J.
Numer. Anal. – 1975. – 12. – P. 791 – 802.
15. Самойленко А. М. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. I // Укр. мат. журн. – 1965. – 17, № 4. – С. 82 – 93.
16. Самойленко A. M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. II // Укр. мат. журн. – 1966. – 18, № 2. – C. 9 – 18.
17. Ronto M., Samoilenko A. M. Numerical-analytic methods in the theory of boundary-value problems. – River Edge,
NJ: World Sci., 2000.
18. Dzhumabayev D. S. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential
equation // USSR Comput. Math. and Math. Phys. – 1989. – 29, № 1. – P. 34 – 46.
19. Dzhumabaev D. S., Temesheva S. M. A parametrization method for solving nonlinear two-point boundary value
problems // Comput. Math. and Math. Phys. – 2007. – 47, № 1. – P. 37 – 61.
20. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 496 с.
Получено 10.01.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1561 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:07Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f0/78628022227a2c99aef6943a4616b4f0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15612019-12-05T09:18:29Z Criteria for the existence of an isolated solution of a nonlinear boundary-value problem Критерии существования изолированного решения нелинейной краевой задачи Dzhumabaev, D. S. Temesheva, S. M. Джумабаев, Д. С. Темешева, С. М. Джумабаев, Д. С. Темешева, С. М. A nonlinear two-point boundary-value problem for an ordinary differential equation is studied by the method of parametrization. We construct systems of nonlinear algebraic equations that enable us to find the initial approximation to the solution to the posed problem. In terms of the properties of constructed systems,we establish necessary and sufficient conditions for the existence of an isolated solution to the boundary-value problem under consideration. Методом параметризацiї дослiджується нелiнiйна двоточкова крайова задача для звичайного диференцiального рiвняння. Побудовано системи нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь, що дають змогу знайти початкове наближення розв’язку розглядуваної задачi. В термiнах властивостей побудованих систем знайдено необхiднi та достатнi умови iснування iзольованого розв’язку дослiджуваної крайової задачi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1561 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 3 (2018); 356-365 Український математичний журнал; Том 70 № 3 (2018); 356-365 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1561/543 Copyright (c) 2018 Dzhumabaev D. S.; Temesheva S. M. |
| spellingShingle | Dzhumabaev, D. S. Temesheva, S. M. Джумабаев, Д. С. Темешева, С. М. Джумабаев, Д. С. Темешева, С. М. Criteria for the existence of an isolated solution of a nonlinear boundary-value problem |
| title | Criteria for the existence of an isolated solution
of a nonlinear boundary-value problem |
| title_alt | Критерии существования изолированного решения
нелинейной краевой задачи |
| title_full | Criteria for the existence of an isolated solution
of a nonlinear boundary-value problem |
| title_fullStr | Criteria for the existence of an isolated solution
of a nonlinear boundary-value problem |
| title_full_unstemmed | Criteria for the existence of an isolated solution
of a nonlinear boundary-value problem |
| title_short | Criteria for the existence of an isolated solution
of a nonlinear boundary-value problem |
| title_sort | criteria for the existence of an isolated solution
of a nonlinear boundary-value problem |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1561 |
| work_keys_str_mv | AT dzhumabaevds criteriafortheexistenceofanisolatedsolutionofanonlinearboundaryvalueproblem AT temeshevasm criteriafortheexistenceofanisolatedsolutionofanonlinearboundaryvalueproblem AT džumabaevds criteriafortheexistenceofanisolatedsolutionofanonlinearboundaryvalueproblem AT temeševasm criteriafortheexistenceofanisolatedsolutionofanonlinearboundaryvalueproblem AT džumabaevds criteriafortheexistenceofanisolatedsolutionofanonlinearboundaryvalueproblem AT temeševasm criteriafortheexistenceofanisolatedsolutionofanonlinearboundaryvalueproblem AT dzhumabaevds kriteriisuŝestvovaniâizolirovannogorešeniânelinejnojkraevojzadači AT temeshevasm kriteriisuŝestvovaniâizolirovannogorešeniânelinejnojkraevojzadači AT džumabaevds kriteriisuŝestvovaniâizolirovannogorešeniânelinejnojkraevojzadači AT temeševasm kriteriisuŝestvovaniâizolirovannogorešeniânelinejnojkraevojzadači AT džumabaevds kriteriisuŝestvovaniâizolirovannogorešeniânelinejnojkraevojzadači AT temeševasm kriteriisuŝestvovaniâizolirovannogorešeniânelinejnojkraevojzadači |