Bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value problems for operator equations in Banach spaces
We obtain bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value problems for operator equations in Banach spaces from the point $\varepsilon = 0$. A convergent iterative procedure is proposed for the construction of solutions as parts of series in powers of $\varepsilon$ with...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1562 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507362245214208 |
|---|---|
| author | Zhuravlev, V. F. Журавлев, В. Ф. Журавлев, В. Ф. |
| author_facet | Zhuravlev, V. F. Журавлев, В. Ф. Журавлев, В. Ф. |
| author_sort | Zhuravlev, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:29Z |
| description | We obtain bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value problems for operator equations in
Banach spaces from the point $\varepsilon = 0$. A convergent iterative procedure is proposed for the construction of solutions as parts
of series in powers of $\varepsilon$ with pole at the point $\varepsilon = 0$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.983
В. Ф. Журавлев (Житомир. нац. агроэкол. ун-т)
УСЛОВИЯ БИФУРКАЦИИ РЕШЕНИЙ СЛАБОВОЗМУЩЕННЫХ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
We obtain bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value problems for operator equations in
Banach spaces from the point \varepsilon = 0. A convergent iterative procedure is proposed for the construction of solutions as parts
of series in powers of \varepsilon with pole at the point \varepsilon = 0.
Отримано умови бiфуркацiї розв’язкiв слабкозбурених крайових задач для операторних рiвнянь у банахових про-
сторах з точки \varepsilon = 0. Запропоновано збiжну iтерацiйну поцедуру побудови розв’язкiв у виглядi частини ряду за
степенями \varepsilon з полюсом у точцi \varepsilon = 0.
Настоящая статья является продолжением работы [1], в которой были рассмотрены условия
бифуркации слабовозмущенных операторных уравнений в банаховых пространствах, когда ли-
нейное порождающее операторное уравнение не везде разрешимо [2], а линейный оператор
обобщенно обратим [3].
Исследование слабовозмущенных краевых задач для операторных уравнений в банаховых
пространствах опирается на метод Вишика – Люстерника [4], который использовался для анали-
за слабовозмущенных краевых задач (с нетеровой линейной частью) для систем обыкновенных
дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений [5 – 7], слабовозмущен-
ных вырожденных нетеровых краевых задач [8] в евклидовых пространствах.
Слабовозмущенные краевые задачи в случае, когда дифференциальный оператор действует
в банаховом пространстве, исследовали А. А. Бойчук и Е. В. Панасенко [9]. Для этих задач
характерным является то, что уравнение Lz = f линейной порождающей краевой задачи
является везде разрешимым.
Поэтому актуальной является проблема исследования краевых задач для операторных урав-
нений в банаховых пространствах в случае, когда операторное уравнение порождающей крае-
вой задачи не везде разрешимо, а линейный оператор — обобщенно обратим.
Постановка задачи. Пусть \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — банахово пространство ограниченных вектор-
функций z(t), определенных на конечном промежутке \scrI со значениями в банаховом про-
странстве \bfB 1, z(\cdot ) : \scrI \rightarrow \bfB 1 с равномерной нормой | | | z(t)| | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| z(t)\| B1 , а \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) —
банахово пространство ограниченных вектор-функций f(t), определенных на том же проме-
жутке \scrI со значениями в банаховом пространстве \bfB 2, f(\cdot ) : \scrI \rightarrow \bfB 2 с равномерной нормой
| | | f(t)| | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| f(t)\| B2 [10].
Рассмотрим слабовозмущенную краевую задачу
(Lz)(t) = f(t) + \varepsilon (Az)(t), (1)
\ell z(\cdot ) = \alpha + \varepsilon \ell 1z(\cdot ), (2)
где L — линейный ограниченный обобщенно-обратимый [3] и A — линейный ограниченный
операторы, которые действуют из банахова пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) в банахово пространство
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 2), f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2), \ell и \ell 1 — линейные непрерывные операторы, которые действуют
c\bigcirc В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, 2018
366 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСЛОВИЯ БИФУРКАЦИИ РЕШЕНИЙ СЛАБОВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 367
из пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) в банахово пространство \bfB , \alpha — элемент пространства \bfB : \alpha \in \bfB ,
\varepsilon << 1 — малый параметр.
Обобщенная обратимость оператора L означает, что ядро N(L) и образ R(L) оператора
L дополняемы [11] в банаховых пространствах \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) и \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) соответственно. С каж-
дой парой взаимно дополняемых подпространств связаны ограниченные проекторы \scrP N(L) :
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow N(L) и \scrP R(L) : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) \rightarrow R(L), которые индуцируют разбиение \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) и
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) в прямые топологические суммы
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) = N(L)\oplus XL, \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) = YL \oplus R(L).
Дополнительные ограниченные проекторы на подпространства XL и YL будем обозначать
соответственно \scrP XL
= Il\infty (\scrI ,B1) - \scrP N(L) и \scrP YL
= Il\infty (\scrI ,B2) - \scrP R(L).
В дальнейшем класс линейных ограниченных обобщенно-обратимых операторов, действу-
ющих из банахова пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) в банахово пространство \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2), будем обозна-
чать \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
. Очевидно, что оператор из \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
является
нормально разрешимым.
Предположим, что порождающая краевая задача
(Lz)(t) = f(t), (3)
\ell z(\cdot ) = \alpha , (4)
которая получается из (1), (2) при \varepsilon = 0, не имеет решений при произвольных неоднородностях
f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) и \alpha \in \bfB .
Возникает вопрос: можно ли с помощью малых линейных возмущений сделать краевую
задачу (1), (2) разрешимой, и каким условиям должны удовлетворять операторы A и \ell 1, чтобы
это стало возможным?
В настоящей работе, применяя теорию обобщенного обращения операторов в банаховых
пространствах [6, 7], а также теоремы о разрешимости операторных уравнений с обобщенно-
обратимыми операторами L [12] и краевых задач для таких уравнений [13], рассмотрим задачу
об условиях существования и способах построения решений слабовозмущенных краевых задач
для операторных уравнений в банаховых пространствах с обобщенно-обратимым оператором
в линейной части.
Предварительные сведения. Пусть L принадлежит \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
. Тогда неод-
нородное операторное уравнение (3) разрешимо для тех и только тех f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2), для
которых выполняется условие [12]
(\scrP YL
f)(t) = 0,
и при этом имеет семейство решений
z(t) =
\bigl(
\scrP N(L)\^z
\bigr)
(t) + (L - f)(t), (5)
где \scrP N(L), \scrP YL
— ограниченные проекторы, \^z(t) — произвольный элемент банахова простран-
ства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), L
- — ограниченный обобщенно-обратный оператор [6, 7, 12] к оператору L.
Для того чтобы решение (5) неоднородного операторного уравнения (1) было решением
краевой задачи (1), (2), необходимо и достаточно, чтобы элемент \^z(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) удовлетворял
операторному уравнению
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
368 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
\ell
\bigl(
\scrP N(L)\^z
\bigr)
(\cdot ) + \ell (L - f)(\cdot ) = \alpha ,
полученному после подстановки решения (5) в краевое условие (2).
Обозначим через \scrL \ast = \ell \scrP N(L)\ast линейный оператор, действующий из банахова простран-
ства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) в банахово пространство \bfB . Оператор \scrL является ограниченным как суперпо-
зиция ограниченных функционала \ell и проектора \scrP N(L).
Пусть оператор \scrL принадлежит \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),\bfB
\bigr)
. Тогда \scrP N(\scrL ) : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow N(\scrL ) и
\scrP Y\scrL : \bfB \rightarrow Y\scrL — ограниченные проекторы, \scrL - — линейный ограниченный обобщенно-обратный
оператор к оператору \scrL .
Для порождающей краевой задачи (3), (4) справедлива следующая теорема.
Теорема 1 [13]. Пусть L \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
и \scrL \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),\bfB
\bigr)
.
Тогда соответствующая (3), (4) однородная краевая задача
\bigl(
f(t) = 0, \alpha = 0
\bigr)
имеет
семейство решений
z(t) =
\bigl(
\scrP N(L)\scrP N(\scrL )\^z
\bigr)
(t),
где \scrP N(L)\scrP N(\scrL ) — разрешающий оператор, \^z(t) — произвольный элемент банахова простран-
ства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1).
Неоднородная краевая задача (3), (4) разрешима для тех и только тех f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) и
\alpha \in \bfB , которые удовлетворяют условиям
(\scrP YL
f)(t) = 0,
\scrP Y\scrL
\bigl\{
\alpha - \ell (L - f)(\cdot )
\bigr\}
= 0,
(6)
и при этом имеет семейство решений
z(t) =
\bigl(
\scrP N(L)\scrP N(\scrL )\^z
\bigr)
(t) + (Gf)(t) +
\bigl(
\scrP N(L)\scrL - \alpha
\bigr)
(t),
где
(Gf)(t) = (L - f)(t) -
\bigl(
\scrP N(L)\scrL - \ell (L - f)(\cdot )
\bigr)
(t)
— обобщенный оператор Грина полуоднородной (\alpha = 0) краевой задачи (3), (4).
Промежуточный результат. Для решения поставленной задачи нам необходимо решить
задачу об условиях разрешимости и представлении решений операторных уравнений с линей-
ным оператором вида
B0 =
\Biggl[
B1
B2
\Biggr]
, (7)
где B1 : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) и B2 : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow \bfB — обобщенно-обратимые, а следова-
тельно, нормально разрешимые операторы.
Это значит, что имеют место разложения
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) = N(B1)\oplus XB1 , \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) = YB1 \oplus R(B1),
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) = N(B2)\oplus XB2 , \bfB = YB2 \oplus R(B2)
и существуют ограниченные проекторы \scrP N(B1) : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow N(B1) и \scrP N(B2) : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow
\rightarrow N(B2) на нуль-пространства операторов B1 и B2, а также ограниченные проекторы \scrP YB1
:
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) \rightarrow YB1 и \scrP YB2
: \bfB \rightarrow YB2 на подпространства YB1 и YB2 соответственно [3, 11].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСЛОВИЯ БИФУРКАЦИИ РЕШЕНИЙ СЛАБОВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 369
Рассмотрим систему операторных уравнений
B0z =
\Biggl[
B1
B2
\Biggr]
z =
\Biggl[
b1
b2
\Biggr]
, (8)
где b1 \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), b2 \in \bfB , а оператор B0 =
\biggl[
B1
B2
\biggr]
действует из банахова пространства
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) в прямое произведение банаховых пространств \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)\times \bfB .
Вследствие нормальной разрешимости оператора B1 уравнение B1z = b1 системы (8)
имеет решение тогда и только тогда, когда [12]
\scrP YB1
b1 = 0,
и при этом имеет семейство решений
z = \scrP N(B1)\^z +B -
1 b1 = \=z +B -
1 b1, (9)
где \^z \in \bfB — произвольный элемент банахова пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \=z = \scrP N(B1)\^z — произ-
вольный элемент нуль-пространства N(B1), B
-
1 — ограниченный обобщенно-обратный опера-
тор к оператору B1.
Подставив найденное z из (9) во второе уравнение B2z = b2 системы (8), получим
B2
\bigl[
\=z +B -
1 b1
\bigr]
= b2,
или
B2\=z = b2 - B2B
-
1 b1. (10)
Уравнение (10) разрешимо относительно \=z тогда и только тогда, когда
\scrP YB2
\bigl[
b2 - B2B
-
1 b1
\bigr]
= 0,
и при этом имеет семейство решений
\=z = \scrP N(B2)\~z +B -
2
\bigl[
b2 - B2B
-
1 b1
\bigr]
, (11)
где \~z = \scrP N(B1)\^z \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольный элемент нуль-пространства N(B1), B -
2 —
ограниченный обобщенно-обратный оператор к оператору B2.
Подставив (11) в (9), получим
z = \scrP N(B2)\~z +B -
2
\bigl[
b2 - B2B
-
1 b1
\bigr]
+B -
1 b1 =
= \scrP N(B2)\scrP N(B1)\^z + \scrP N(B2)B
-
1 b1 +B -
2 b2 = \scrP N(B2)\scrP N(B1)\^z +
\bigl[
\scrP N(B2)B
-
1 B -
2
\bigr] \Biggl[ b1
b2
\Biggr]
,
так как IB - B -
2 B2 = \scrP N(B2) [6, 7].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
370 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Теорема 2. Пусть B1 \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
и B2 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),\bfB ). Тогда опе-
раторное уравнение (8) разрешимо для тех и только тех
\biggl[
b1
b2
\biggr]
, для которых выполняется
условие
\scrP YB0
\Biggl[
b1
b2
\Biggr]
= 0, (12)
и при это имеет семейство решений вида
z = \scrP N(B0)\^z +B -
0
\Biggl[
b1
b2
\Biggr]
, (13)
где \scrP YB0
— ограниченный проектор на подпространство YB0 , \scrP N(B0) = \scrP N(B2)\scrP N(B1) —
ограниченный проектор на нуль-пространство оператора B0, \^z — произвольный элемент
банахова пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),
B -
0 =
\bigl[
\scrP N(B2)B
-
1 B -
2
\bigr]
(14)
— ограниченный обобщенно-обратный оператор к оператору B0 =
\biggl[
B1
B2
\biggr]
.
Сначала покажем, что оператор (14) является ограниченным обобщенно-обратным к опе-
ратору B0. Для этого необходимо и достаточно показать, что B -
0 удовлетворяет условиям
[3, 6, 7]
B -
0 B0B
-
0 = B -
0 , B0B
-
0 B0 = B0. (15)
Для проверки первого из условий (15) сначала определим
B -
0 B0 =
\bigl[
\scrP N(B2)B
-
1 B -
2
\bigr] \Biggl[ B1
B2
\Biggr]
= \scrP N(B2)B
-
1 B1 +B -
2 B2 =
= \scrP N(B2)
\bigl[
Il\infty (\scrI ,B1) - \scrP N(B1)
\bigr]
+
\bigl[
Il\infty (\scrI ,B1) - \scrP N(B2)
\bigr]
=
= Il\infty (\scrI ,B1) - \scrP N(B2)\scrP N(B1) = Il\infty (\scrI ,B1) - \scrP N(B0), (16)
поскольку [6, 7] B -
1 B1 = Il\infty (\scrI ,B1) - \scrP N(B1), а B -
2 B2 = Il\infty (\scrI ,B1) - \scrP N(B2), где Il\infty (\scrI ,B1) —
тождественный оператор в банаховом пространстве \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1).
Из (16) следует, что
\scrP N(B0) = \scrP N(B2)\scrP N(B1).
Далее имеем
B -
0 B0B
-
0 =
\bigl(
Il\infty (\scrI ,B1) - \scrP N(B2)\scrP N(B1)
\bigr) \bigl[
\scrP N(B2)B
-
1 B -
2
\bigr]
=
=
\bigl[
\scrP N(B2)B
-
1 - \scrP N(B2)\scrP N(B1)\scrP N(B2)B
-
1 B -
2 - \scrP N(B2)\scrP N(B1)B
-
2
\bigr]
=
=
\bigl[
\scrP N(B2)B
-
1 B -
2
\bigr]
= B -
0 ,
так как \scrP N(B2)\scrP N(B1)\scrP N(B2)B
-
1 = 0, \scrP N(B2)\scrP N(B1)B
-
2 = 0.
Для проверки второго из условий (15) находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСЛОВИЯ БИФУРКАЦИИ РЕШЕНИЙ СЛАБОВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 371
B0B
-
0 =
\Biggl[
B1
B2
\Biggr] \bigl[
\scrP N(B2)B
-
1 B -
2
\bigr]
=
\Biggl[
B1\scrP N(B2)B
-
1 B1B
-
2
B2\scrP N(B2)B
-
1 B2B
-
2
\Biggr]
=
=
\Biggl[
B1\scrP N(B2)B
-
1 B1B
-
2
0 IB - \scrP YB2
\Biggr]
= Il\infty (\scrI ,B2)\times B - \scrP YB0
,
поскольку B2\scrP N(B2)B
-
1 = 0.
Таким образом, из соотношения B0B
-
0 = Il\infty (\scrI ,B2)\times B - \scrP YB0
получаем
\scrP YB0
= Il\infty (\scrI ,B2)\times B - B0B
-
0 =
\Biggl[
Il\infty (\scrI ,B2) - B1\scrP N(B2)B
-
1 - B1B
-
2
0 \scrP YB2
\Biggr]
. (17)
Покажем, что \scrP YB0
является проектором, т. е.
\scrP 2
YB0
= \scrP YB0
,
\scrP 2
YB0
=
\Biggl[
Il\infty (\scrI ,B2) - B1\scrP N(B2)B
-
1 - B1B
-
2
0 \scrP YB2
\Biggr] 2
=
=
\Biggl[
(Il\infty (\scrI ,B2) - B1\scrP N(B2)B
-
1 )
2 - (Il\infty (\scrI ,B2) - B1\scrP N(B2)B
-
1 )B1B
-
2
0 \scrP 2
YB2
\Biggr]
=
=
\Biggl[
Il\infty (\scrI ,B2) - B1\scrP N(B2)B
-
1 - B1B
-
2
0 \scrP YB2
\Biggr]
= \scrP YB0
,
так как \bigl(
Il\infty (\scrI ,B2) - B1\scrP N(B2)B
-
1
\bigr) 2
= Il\infty (\scrI ,B2) - 2B1\scrP N(B2)B
-
1 +
+B1\scrP N(B2)
\bigl(
Il\infty (\scrI ,B2) - \scrP N(B1)
\bigr)
\scrP N(B2)B
-
1 = Il\infty (\scrI ,B2) - B1\scrP N(B2)B
-
1 ,\bigl(
Il\infty (\scrI ,B2) - B1\scrP N(B2)B
-
1
\bigr)
B1B
-
2 = B1B
-
2 - B1\scrP N(B2)B
-
1 B1B
-
2 = B1B
-
2 ,
\scrP 2
YB2
= \scrP YB2
.
Далее проверим выполнение второго из условий (15):
B0B
-
0 B0 =
\bigl[
Il\infty (\scrI ,B2)\times B - \scrP YB0
\bigr]
B0 = B0 - \scrP YB0
B0 =
= B0 -
\Biggl[
Il\infty (\scrI ,B2) - B1\scrP N(B2)B
-
1 - B1B
-
2
0 \scrP YB2
\Biggr] \Biggl[
B1
B2
\Biggr]
=
= B0 -
\Biggl[ \bigl[
Il\infty (\scrI ,B2) - B1\scrP N(B2)B
-
1
\bigr]
B1 - B1B
-
2 B2
\scrP YB2
B2
\Biggr]
= B0, (18)
поскольку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
372 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ\bigl[
Il\infty (\scrI ,B2) - B1\scrP N(B2)B
-
1
\bigr]
B1 - B1B
-
2 B2 =
= B1 - B1\scrP N(B2)
\bigl[
IB1 - \scrP N(B1)
\bigr]
- B1
\bigl[
IB1 - \scrP N(B2)
\bigr]
= 0,
B1\scrP N(B2)\scrP N(B1) = 0, \scrP YB2
B2 = 0.
Таким образом, оператор B -
0 =
\bigl[
\scrP N(B2)B
-
1 B -
2
\bigr]
является обобщенно-обратным к опе-
ратору B0. Ограниченность оператора B0 следует из ограниченности операторов, которые его
составляют.
Из (17) и (18) следует, что (13) является решением операторного уравнения (8) тогда и
только тогда, когда выполняется условие (12).
Замечание 1. Известно [3], что обобщенно-обратный оператор и проекторы не определя-
ются однозначно. В рассматриваемой задаче обобщенно-обратным оператором B -
0 к оператору
B0 будет также оператор
B -
0 =
\bigl[
B -
1 \scrP N(B1)B
-
2
\bigr]
.
В этом случае \scrP N(B0) = \scrP N(B1)\scrP N(B2),
\scrP YB0
=
\Biggl[
\scrP YB1
0
- B2B
-
1 IB - B2\scrP N(B1)B
-
2
\Biggr]
.
Основной результат. Пусть порождающая краевая задача (3), (4) не имеет решений при
произвольных неоднородностях f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) и \alpha \in \bfB . По теореме 1 это означает, что хотя
бы одно из условий разрешимости (6) не выполняется.
Для решения поставленной задачи используем метод Вишика – Люстерника [4]. Решение
уравнения (1) будем искать в виде части ряда по степеням малого параметра \varepsilon с полюсом в
точке \varepsilon = 0:
z(t, \varepsilon ) =
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon izi(t). (19)
Подставим ряд (19) в краевую задачу (1), (2) и приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях \varepsilon .
При \varepsilon - 1 приходим к однородной краевой задаче
(Lz - 1)(t) = 0, (20)
\ell z - 1(\cdot ) = 0 (21)
для определения z - 1(t).
По теореме 1 однородная краевая задача (20), (21) имеет семейство решений
z - 1(t) =
\bigl(
\scrP N(L)\scrP N(\scrL )\^z - 1
\bigr)
(t), (22)
где \^z - 1(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольный элемент, который будет определен ниже.
Приравнивая коэффициенты при \varepsilon 0, получаем краевую задачу
(Lz0)(t) = f - 1(t),
\ell z0(\cdot ) = \alpha + \ell 1z - 1(\cdot )
(23)
для определения коэффициента z0(t), где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСЛОВИЯ БИФУРКАЦИИ РЕШЕНИЙ СЛАБОВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 373
f - 1(t) = f(t) + (Az - 1)(t).
По теореме 1 критерий разрешимости линейной неоднородной краевой задачи (23) имеет
вид \Bigl(
\scrP YL
\bigl[
f(\cdot ) + (Az - 1)(\cdot )
\bigr] \Bigr)
(t) = 0,
\scrP Y\scrL
\Bigl\{
\alpha + \ell 1z - 1(\cdot ) - \ell
\bigl(
L - [f + (Az - 1)]
\bigr)
(\cdot )
\Bigr\}
= 0.
Подставив z - 1(t) из (22), получим систему операторных уравнений\Bigl(
\scrP YL
\bigl[
f(\cdot ) + (A\scrP N(L)\scrP N(\scrL )\^z - 1)(\cdot )
\bigr] \Bigr)
(t) = 0,
\scrP Y\scrL
\Bigl\{
\alpha + \ell 1
\bigl(
\scrP N(L)\scrP N(\scrL )\^z - 1
\bigr)
(\cdot ) - \ell
\bigl(
L - \bigl[ f +
\bigl(
A\scrP N(L)\scrP N(\scrL )
\bigr)
\^z - 1
\bigr) \bigr]
(\cdot )
\Bigr\}
= 0
(24)
относительно элемента \^z - 1 \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1).
После преобразований из (24) получим операторное уравнение
(B0\^z - 1)(t) =
\Biggl( \Biggl[
B1
B2
\Biggr]
\^z - 1
\Biggr)
(t) = -
\Biggl[
\scrP YL
f
\scrP Y\scrL
\bigl\{
\alpha - \ell (L - f)(\cdot )
\bigr\} \Biggr] (t), (25)
где
B1 = \scrP YL
A\scrP N(L)\scrP N(\scrL ), B1 : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2),
B2 = \scrP Y\scrL
\bigl\{
\ell 1 + \ell (L - A)
\bigr\}
\scrP N(L)\scrP N(\scrL ), B2 : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow \bfB .
(26)
Оператор B0 действует из банахова пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) в прямое произведение бана-
ховых пространств \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) и \bfB .
Пусть B1 \in \bfG \bfI
\bigl(
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)
\bigr)
и B2 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),\bfB ). Тогда по теореме 2 урав-
нение (25) разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условию\Biggl(
\scrP YB0
\Biggl[
\scrP YL
f
\scrP Y\scrL
\bigl\{
\alpha - \ell (L - f)(\cdot )
\bigr\} \Biggr] \Biggr) (t) = 0. (27)
Обозначив в (17)\widetilde \scrP YB1
= Il\infty (\scrI ,B2) - B1\scrP N(B2)B
-
1 , B12 = - B1B
-
2 ,
получим, что условие (27) будет выполняться, если выполнено условие
\scrP YB0
\Biggl[
\scrP YL
\scrP Y\scrL
\Biggr]
=
\Biggl[ \widetilde \scrP YB1
B12
0 \scrP YB2
\Biggr] \Biggl[
\scrP YL
\scrP Y\scrL
\Biggr]
= 0. (28)
При этом операторное уравнение (24) будет иметь хотя бы одно решение
\^z - 1(t) = -
\Biggl(
B -
0
\Biggl[
\scrP YL
f
\scrP Y\scrL
\bigl\{
\alpha - \ell (L - f)(\cdot )
\bigr\} \Biggr] \Biggr) (t),
которое с учетом (14) примет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
374 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
\^z - 1(t) = -
\Biggl( \bigl[
\scrP N(B2)B
-
1 B -
2
\bigr] \Biggl[ \scrP YL
f
\scrP Y\scrL
\bigl\{
\alpha - \ell (L - f)(\cdot )
\bigr\} \Biggr] \Biggr) (t) =
= ( \widetilde B -
1 f)(t) -
\bigl( \widetilde B -
2
\bigl\{
\alpha - \ell (L - f)(\cdot )
\bigr\} \bigr)
(t),
где \widetilde B -
1 = - \scrP N(B2)B
-
1 \scrP YL
, \widetilde B -
2 = - B -
2 \scrP Y\scrL . (29)
Подставляя \^z - 1(t) в (22), получаем решение однородной краевой задачи (20), (21)
z - 1(t) =
\Bigl(
\scrP N(L)\scrP Y\scrL
\Bigl[ \widetilde B -
1 f - \widetilde B -
2
\bigl\{
\alpha - \ell (L - f)(\cdot )
\bigr\} \Bigr] \Bigr)
(t).
При этом краевая задача (23) по теореме 1 имеет семейство решений
z0(t) = (\scrP N(L)\scrP Y\scrL \^z0)(t) + \=z0(t), (30)
где
\=z0(t) =
\bigl(
G
\bigl[
f + (Az - 1)
\bigr] \bigr)
(t) +
\bigl(
\scrP N(L)\scrL - \bigl[ \alpha + \ell 1z - 1(\cdot )
\bigr] \bigr)
(t),
\^z0(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольный элемент пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), который будет опреде-
лен на следующем шаге итерационного процесса, G — обобщенный оператор Грина, который
действует на функцию f(t) + (Az - 1) по правилу
(Gf)(t) :=
\bigl(
L - \bigl[ f + (Az - 1)
\bigr] \bigr)
(t) -
\bigl(
\scrP N(L)\scrL - \ell
\bigl(
L - \bigl[ f + (Az - 1)
\bigr] \bigr)
(\cdot )
\bigr)
(t).
При \varepsilon 1 для определения коэффициента z1(t) приходим к краевой задаче
(Lz1)(t) = f0(t), (31)
\ell z1(\cdot ) = \ell 1z0(\cdot ), (32)
где
f0(t) =
\Bigl(
A
\Bigl[
(\scrP N(L)\scrP Y\scrL \^z0)(\cdot ) + \=z0(\cdot )
\Bigr] \Bigr)
(t),
\^z0(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольный элемент, который будет определен из критерия разрешимос-
ти краевой задачи (31), (32).
По теореме 1 краевая задача (31), (32) имеет решение тогда и только тогда, когда выполня-
ются условия
(\scrP YL
Az0)(t) = 0,
\scrP Y\scrL
\bigl\{
\ell 1z0(\cdot ) - \ell (L - Az0)(\cdot )
\bigr\}
= 0.
Подставляя z0(t) из (30), имеем\bigl(
\scrP YL
A[\scrP N(L)\scrP Y\scrL \^z0 + \=z0]
\bigr)
(t) = 0,
\scrP Y\scrL
\Bigl\{
\ell 1
\bigl(
[\scrP N(L)\scrP Y\scrL \^z0 + \=z0]
\bigr)
(\cdot ) - \ell
\Bigl(
L - A
\bigl[
\scrP N(L)\scrP Y\scrL \^z0 + \=z0
\bigr] \Bigr)
(\cdot )
\Bigr\}
= 0.
Из последнего соотношения с учетом (25) и (26) получаем операторное уравнение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСЛОВИЯ БИФУРКАЦИИ РЕШЕНИЙ СЛАБОВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 375
(B0\^z0)(t) =
\Biggl( \Biggl[
B1
B2
\Biggr]
\^z0
\Biggr)
(t) = -
\Biggl( \Biggl[
\scrP YL
\=z0
\scrP Y\scrL
\bigl\{
\ell 1\=z0(\cdot ) - \ell (L - A\=z0)(\cdot )
\bigr\} \Biggr] \Biggr) (t) (33)
относительно элемента \^z0 \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1).
По предположению операторы B1 и B2 нормально разрешимы. Поэтому по теореме 2
операторное уравнение (33) разрешимо тогда и только тогда, когда выполняется условие [12]\Biggl(
\scrP YB0
\Biggl[
\scrP YL
\=z0
\scrP Y\scrL
\bigl\{
\ell 1\=z0(\cdot ) - \ell (L - A\=z0)(\cdot )
\bigr\} \Biggr] \Biggr) (t) =
=
\Biggl( \Biggl[ \widetilde \scrP YB1
B12
0 \scrP YB2
\Biggr] \Biggl[
\scrP YL
\=z0
\scrP Y\scrL
\bigl\{
\ell 1\=z0(\cdot ) - \ell (L - A\=z0)(\cdot )
\bigr\} \Biggr] \Biggr) (t) = 0,
которое будет выполнено, если выполняется условие (28).
В этом случае операторная система (33) будет иметь хотя бы одно решение
\^z0(t) = -
\Biggl(
B -
0
\Biggl[
\scrP YL
\=z0
\scrP Y\scrL
\bigl\{
\ell 1\=z0(\cdot ) - \ell (L - A\=z0)(\cdot )
\bigr\} \Biggr] \Biggr) (t),
которое, использовав теорему 2 и обозначения (29), запишем в виде
\^z0(t) = ( \widetilde B -
1 \=z0)(t) -
\bigl( \widetilde B -
2
\bigl\{
\ell 1\=z0(\cdot ) - \ell (L - A\=z0)
\bigr\} \bigr)
(t). (34)
Подставив (34) в (30), получим решение краевой задачи (23)
z0(t) =
\Bigl(
\scrP N(L)\scrP Y\scrL
\Bigl[ \widetilde B -
1 \=z0 + \widetilde B -
2
\bigl\{
\ell 1\=z0(\cdot ) - \ell (L - A)\=z0)(\cdot )
\bigr\} \Bigr] \Bigr)
(t) + \=z0(t).
При выполнении условий (28) краевая задача (31), (32) по теореме 1 имеет семейство
решений
z1(t) =
\bigl(
\scrP N(L)\scrP Y\scrL \^z1
\bigr)
(t) + \=z1(t),
где \^z1(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольный элемент, который будет определен на следующем шаге
итерационного процесса, \=z1(t) = (GAz0)(t) +
\bigl(
\scrP N(L)\scrL - \ell 1z0(\cdot )
\bigr)
(t).
Действуя по индукции, для определения коэффициентов zi(t) при \varepsilon i ряда (19) приходим к
краевым задачам
(Lzi)(t) = fi - 1(t), (35)
\ell zi(\cdot ) = \ell 1zi - 1(\cdot ), (36)
где
fi - 1(t) = (Azi - 1)(t) =
\Bigl(
A
\Bigl[
\scrP N(L)\scrP Y\scrL \^zi - 1 + \=zi - 1
\Bigr] \Bigr)
(t),
\^zi - 1(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольные элементы, которые будут определяться из критериев
разрешимости краевых задач (35), (36).
При выполнении условий (28) элементы \^zi(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) находятся по формулам
\^zi(t) =
\bigl( \widetilde B -
1 \=zi
\bigr)
(t) -
\Bigl( \widetilde B -
2
\bigl\{
\ell 1\=zi(\cdot ) - \ell L - A\=zi(\cdot )
\bigr\} \Bigr)
(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
376 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
При этом каждая из краевых задач (35), (36) имеет семейство решений
zi(t) = (\scrP N(L)\scrP Y\scrL \^zi)(t) + \=zi(t) =
= ( \widetilde B -
1 \=zi)(t) +
\Bigl( \widetilde B -
2
\bigl\{
\ell 1\=zi(\cdot ) - \ell (L - A)\=zi(\cdot )
\bigr\} \Bigr)
(t) + \=zi(t),
где \^zi(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \=zi(t) = (GAzi - 1)(t) +
\bigl(
\scrP N(L)\scrL - \ell 1zi - 1(\cdot )
\bigr)
(t).
Таким образом, имеем итерационный алгоритм построения решения краевой задачи (1), (2):
zi(t) =
\Biggl[
(\scrP N(L)\scrP Y\scrL \^zi)(t), если i = - 1,
(\scrP N(L)\scrP Y\scrL \^zi)(t) + \=zi(t), если i = 0,\infty ,
\^zi(t) =
\Biggl[
( \widetilde B -
1 f)(t) - ( \widetilde B -
2 \{ \alpha - \ell (L - f)(\cdot )\} )(t), если i = - 1,
( \widetilde B -
1 \=zi)(t) - ( \widetilde B -
2 \{ \ell 1\=zi(\cdot ) - \ell (L - A\=zi)(\cdot )\} )(t), если i = 0,\infty ,
(37)
\=zi(t) =
\Biggl[
(G[f + (Az - 1)])(t) + (\scrP N(L)\scrL - [\alpha + \ell 1z - 1(\cdot )])(t), если i = 0,
(GAzi - 1)(t) + (\scrP N(L)\scrL - \ell 1zi - 1(\cdot ))(t), если i = 1,\infty .
Докажем сходимость ряда (19) при фиксированном \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast ].
Пусть\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \widetilde B -
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\infty (\scrI ,B2)
= \~b1 < \infty ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \widetilde B -
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
B
= \~b2 < \infty ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| L - \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\infty (\scrI ,B2)
= l < \infty ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrL - \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
B
= \~l < \infty , | | | A| | | l\infty (\scrI ,B1)
= a < \infty , | | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B2)
= f < \infty ,
(38)
| | | G| | | l\infty (\scrI ,B2)
= g < \infty ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrP N(L)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\infty (\scrI ,B2)
= p1 < \infty , | | | \scrP Y\scrL | | | B = p2 < \infty ,
| | | \ell | | | B = l0 < \infty , | | | \ell 1| | | B = l1 < \infty .
Запишем ряд (19) в виде
z(t, \varepsilon ) =
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon izi(t) = \varepsilon - 1z - 1(t) + z0(t) +
+\infty \sum
i=1
\varepsilon izi(t). (39)
Очевидно, что, в силу (38) первых два члена ряда (39) ограничены.
Докажем сходимость ряда
\sum +\infty
i=1
\varepsilon izi(t). Для всех i = 1,\infty имеем
| | | \=zi(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \scrI
\bigm\| \bigm\| (GAzi - 1)(t) + (\scrP N(L)\scrL - \ell 1zi - 1(\cdot ))(t)
\bigm\| \bigm\| \leq
\leq (ga+ p1\~ll1) | | | zi - 1(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
= \=k | | | zi - 1(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
,
где \=k = (ga+ p1\~ll1),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСЛОВИЯ БИФУРКАЦИИ РЕШЕНИЙ СЛАБОВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 377
| | | \^zi(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \scrI
\bigm\| \bigm\| ( \widetilde B -
1 \=zi)(t) + ( \widetilde B -
2 \{ \ell 1\=zi(\cdot ) - \ell (L - A\=zi\} )(t)
\bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\bigl(
\~b1 +\~b2[l1 + l0la]
\bigr)
| | | \=zi(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
\leq \^k\=k | | | zi - 1(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
,
где \^k = \~b1 +\~b2[l1 + l0la].
Тогда для zi(t) получим оценку по норме
| | | zi(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \scrI
\bigm\| \bigm\| (\scrP N(L)\scrP Y\scrL \^zi)(t) + \=zi(t)
\bigm\| \bigm\| \leq (p1p2\^k\=k + \=k) | | | zi - 1(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
.
Таким образом, имеем
| | | z1(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
\leq (p1p2\^k\=k + \=k) | | | z0(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
,
| | | z2(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
\leq (p1p2\^k\=k + \=k) | | | z1(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
\leq (p1p2\^k\=k + \=k)2 | | | z0(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
.
Продолжая этот процесс далее, по индукции получаем
| | | zi(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
\leq (p1p2\^k\=k + \=k)i | | | z0(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
.
Из полученных оценок следует, что первых два члена ряда (19) ограничены, а ряд\sum +\infty
i=1
\varepsilon izi(t) мажорируется рядом
+\infty \sum
i=1
\varepsilon izi(t) \leq
+\infty \sum
i=1
\varepsilon i(p1p2\^k\=k + \=k)i | | | z0(t)| | | l\infty (\scrI ,B1)
,
который равномерно сходится для всех \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast ], где \varepsilon \ast < (p1p2\^k\=k + \=k) - 1.
Таким образом, для слабовозмущенной краевой задачи (1), (2) справедлива следующая
теорема.
Теорема 3. Пусть L \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2), \scrL \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),\bfB ) и порождающая
краевая задача (3), (4) (\varepsilon = 0) при произвольных неоднородностях f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) и \alpha \in \bfB
не имеет решений.
Тогда если B1 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), YL), B2 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), YL) и выполняются условия\Biggl[ \widetilde \scrP YB1
B12
0 \scrP YB2
\Biggr] \Biggl[
\scrP YL
\scrP Y\scrL
\Biggr]
= 0,
то слабовозмущенная краевая задача (1), (2) при произвольных неоднородностях f(t) \in
\in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) и \alpha \in \bfB имеет семейство решений в виде ряда
z(t, \varepsilon ) =
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon izi(t),
абсолютно сходящегося при произвольных фиксированных \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast ], коэффициенты которо-
го определяются с помощью итерационного алгоритма (37).
Замечание 2. Условие
\Biggl[ \widetilde \scrP YB1
B12
0 \scrP YB2
\Biggr] \biggl[
\scrP YL
\scrP Y\scrL
\biggr]
= 0 является достаточным условием сущест-
вования решения уравнения (1). Если это условие не выполняется, то решение уравнения (1) в
виде ряда (19) не существует. Но решение уравнения (1) может существовать в виде ряда (19),
где i = - 2, - 3, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
378 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Литература
1. Журавлев В. Ф. Слабовозмущенные операторные уравнения в банаховых пространствах // Укр. мат. журн. –
2017. – 69, № 6. – P. 751 – 764.
2. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1971. – 104 с.
3. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. –
Кишинев: Штиинца, 1973. – 426 с.
4. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосопряженных
и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. – 1960. – 15, вып. 3. – C. 3 – 80.
5. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. – Киев: Наук. думка, 1990. – 96 с.
6. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые задачи. –
Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. – 319 с.
7. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Utrecht;
Boston: VSP, 2004. – 323 p.
8. Boichuk A. A., Shegda L. M. Bifurcation of solutions of singular Fredholm boundary value problems // Different.
Equat. – 2011. – 47, № 4. – P. 453 – 461.
9. Бойчук А. А., Панасенко Є. В Слабкозбуренi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь у банаховому
просторi // Нелiнiйнi коливання. – 2010. – 13, №. 3. – C. 291 – 304.
10. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. – М.: МЦНМО, 2004. – 552 с.
11. Попов М. М. Доповнювальнi простори i деякi задачi сучасної геометрiї просторiв Банаха // Математика
сьогоднi’07. – 2007. – Вип. 13. – C. 78 – 116.
12. Boichuk A. A., Zhuravlev V. F., Pokutnyi A. A. Normally solvable operator equations in a Banach space // Ukr. Math.
J. – 2013. – 65, № 2. – P. 179 – 192.
13. Samoilenko A. M., Boichuk A. A., Zhuravlev V. F. Linear boundary value problems for normally solvable operator
equations in a Banach space // Different. Equat. – 2014. – 50, № 3. – P. 1 – 11.
Получено 09.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1562 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:06Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b3/1745255655c6a12f37b076643f4fb0b3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15622019-12-05T09:18:29Z Bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value problems for operator equations in Banach spaces Условия бифуркации решений слабовозмущенных краевых задач для операторных уравнений в банаховых пространствах Zhuravlev, V. F. Журавлев, В. Ф. Журавлев, В. Ф. We obtain bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value problems for operator equations in Banach spaces from the point $\varepsilon = 0$. A convergent iterative procedure is proposed for the construction of solutions as parts of series in powers of $\varepsilon$ with pole at the point $\varepsilon = 0$. Отримано умови бiфуркацiї розв’язкiв слабкозбурених крайових задач для операторних рiвнянь у банахових про- сторах з точки $\varepsilon = 0$. Запропоновано збiжну iтерацiйну поцедуру побудови розв’язкiв у виглядi частини ряду за степенями $\varepsilon$ з полюсом у точцi $\varepsilon = 0$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1562 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 3 (2018); 366-378 Український математичний журнал; Том 70 № 3 (2018); 366-378 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1562/544 Copyright (c) 2018 Zhuravlev V. F. |
| spellingShingle | Zhuravlev, V. F. Журавлев, В. Ф. Журавлев, В. Ф. Bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value problems for operator equations in Banach spaces |
| title | Bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value
problems for operator equations in Banach spaces |
| title_alt | Условия бифуркации решений слабовозмущенных краевых задач
для операторных уравнений в банаховых пространствах |
| title_full | Bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value
problems for operator equations in Banach spaces |
| title_fullStr | Bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value
problems for operator equations in Banach spaces |
| title_full_unstemmed | Bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value
problems for operator equations in Banach spaces |
| title_short | Bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value
problems for operator equations in Banach spaces |
| title_sort | bifurcation conditions for the solutions of weakly perturbed boundary-value
problems for operator equations in banach spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1562 |
| work_keys_str_mv | AT zhuravlevvf bifurcationconditionsforthesolutionsofweaklyperturbedboundaryvalueproblemsforoperatorequationsinbanachspaces AT žuravlevvf bifurcationconditionsforthesolutionsofweaklyperturbedboundaryvalueproblemsforoperatorequationsinbanachspaces AT žuravlevvf bifurcationconditionsforthesolutionsofweaklyperturbedboundaryvalueproblemsforoperatorequationsinbanachspaces AT zhuravlevvf usloviâbifurkaciirešenijslabovozmuŝennyhkraevyhzadačdlâoperatornyhuravnenijvbanahovyhprostranstvah AT žuravlevvf usloviâbifurkaciirešenijslabovozmuŝennyhkraevyhzadačdlâoperatornyhuravnenijvbanahovyhprostranstvah AT žuravlevvf usloviâbifurkaciirešenijslabovozmuŝennyhkraevyhzadačdlâoperatornyhuravnenijvbanahovyhprostranstvah |