Continuity in the parameter for the solutions of one-dimensional boundary-value problems for differential equations of higher orders in Slobodetsky spaces
We introduce the most general class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations of order $r \geq 2$ whose solutions belong to the Slobodetsky space $^{Ws+r}_p\bigl( (a, b),C_m\bigr),$ where $m \in N,\; s > 0$ and $p \in (1,\infty )$. We also establish...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1564 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507364468195328 |
|---|---|
| author | Maslyuk, H. O. Mikhailets, V. A. Маслюк, Г. О. Михайлець, В. А. |
| author_facet | Maslyuk, H. O. Mikhailets, V. A. Маслюк, Г. О. Михайлець, В. А. |
| author_sort | Maslyuk, H. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:29Z |
| description | We introduce the most general class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations of
order $r \geq 2$ whose solutions belong to the Slobodetsky space $^{Ws+r}_p\bigl(
(a, b),C_m\bigr),$
where $m \in N,\; s > 0$ and $p \in (1,\infty )$.
We also establish sufficient conditions under which the solutions of these problems are continuous functions of the parameter
in the Slobodetsky space $W^{s+r}_p\bigl(
(a, b),C_m\bigr)$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.927
Г. О. Маслюк (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ),
В. А. Михайлець (Iн-т математики НАН України, Київ)
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ
ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ ВИЩИХ ПОРЯДКIВ
У ПРОСТОРАХ СЛОБОДЕЦЬКОГО
We introduce the most general class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations of
order r \geq 2 whose solutions belong to the Slobodetsky space W s+r
p
\bigl(
(a, b),\BbbC m
\bigr)
, where m \in \BbbN , s > 0 and p \in (1,\infty ).
We also establish sufficient conditions under which the solutions of these problems are continuous functions of the parameter
in the Slobodetsky space W s+r
p
\bigl(
(a, b),\BbbC m
\bigr)
.
Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений порядка r \geq 2 введен наиболее широкий класс линейных
краевых задач, решения которых принадлежат комплексному пространству Слободецкого W s+r
p
\bigl(
(a, b),\BbbC m
\bigr)
, где
m \in \BbbN , s > 0 и p \in (1,\infty ). Найдены достаточные условия, при которых решения этих задач однозначно
определены и непрерывно зависят от параметра в пространстве Слободецкого W s+r
p
\bigl(
(a, b),\BbbC m
\bigr)
.
1. Вступ. Питання, пов’язанi з граничним переходом у системах диференцiальних рiвнянь,
виникають у багатьох задачах аналiзу та його застосувань. Цi питання найкраще дослiджено
стосовно задачi Кошi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку. Бiльш
складний випадок загальних лiнiйних крайових задач вивчав I. Т. Кiгурадзе [1, 2]. У роботах
[3, 4] отримано суттєвi узагальнення цих результатiв. Вони стосуються неперервностi за па-
раметром розв’язкiв систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь першого порядку. Для систем
лiнiйних диференцiальних рiвнянь високого порядку цi питання дослiджено в [4, 5].
Найбiльш широкий клас лiнiйних крайових задач для систем звичайних диференцiальних
рiвнянь першого порядку щодо комплексних просторiв Гельдера та просторiв Слободецького
введено i дослiджено в [6, 7]. Для залежних вiд параметра задач iз вказаних класiв отримано
конструктивний критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв у цих просторах.
Граничний перехiд для широких класiв лiнiйних крайових задач для систем звичайних ди-
ференцiальних рiвнянь високих порядкiв у просторах Соболєва, просторах неперервно дифе-
ренцiйовних функцiй та просторах Гельдера обґрунтовано у роботах [8 – 10]. Такi задачi названо
тотальними щодо вказаних функцiональних просторiв. Доведено фредгольмовiсть цих задач,
знайдено достатнi умови їх коректної розв’язностi та неперервної залежностi за параметром їх
розв’язкiв у вказаних просторах.
Мета даної роботи - поширити вказанi результати на системи диференцiальних рiвнянь
вищих порядкiв у просторах Слободецького.
Варто зазначити, що використаний у роботi пiдхiд можна застосувати i для iнших функцiо-
нальних просторiв.
2. Постановка задачi. Нехай задано скiнченний iнтервал (a, b) \subset \BbbR i числа
p \in (1,\infty ), m \in \BbbN , r \in \BbbN \setminus \{ 1\} , s \in \BbbR + \setminus \BbbZ +, s := [s] + \{ s\} ,
де [s] \in \BbbZ + — цiла частина числа, а \{ s\} \in (0, 1) — дробова частина. Будемо використо-
вувати комплекснi простори Слободецького W s
p := W s
p
\bigl(
(a, b),\BbbC
\bigr)
, (W s
p )
m := W s
p
\bigl(
(a, b),\BbbC m
\bigr)
c\bigcirc Г. О. МАСЛЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, 2018
404 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 405
та (W s
p )
m\times m := W s
p
\bigl(
(a, b),\BbbC m\times m
\bigr)
, що складаються вiдповiдно з функцiй, вектор-функцiй i
матриць-функцiй.
Простiр Слободецького W s
p з нецiлим додатним s означається [11] (п. 2.5.1, зауваження 4)
як простiр функцiй f, якi належать простору Соболєва W
[s]
p i додатково задовольняють умову
\| f\| s,p := \| f\| [s],p +
\left( b\int
a
b\int
a
| f (| s| )(x) - f (| s| )(y)| p
| x - y| 1+\{ s\} p dx dy
\right) 1/p
< +\infty ,
де \| f\| [s],p — норма у просторi Соболєва W
[s]
p . Тут, звiсно, W 0
p := Lp. Функцiонал \| f\| s,p є
нормою на просторi W s
p .
Розглянемо лiнiйну крайову задачу для систем m диференцiальних рiвнянь r-го порядку
на iнтервалi (a, b)
Ly(t) \equiv y(r)(t) +
r\sum
j=1
Ar - j(t)y
(r - j)(t) = f(t), t \in (a, b), (1)
Bjy(\cdot ) = cj , j \in \{ 1, . . . , r\} . (2)
Тут вектор-функцiя y(\cdot ) \in (W s+r
p )m є шуканою, а всi матрицi-функцiї Ar - j(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m,
вектор-функцiя f(\cdot ) \in (W s
p )
m, лiнiйний неперервний оператор
Bj : (W s+r
p )m \rightarrow \BbbC m (3)
i вектор cj \in \BbbC m є заданими. Вектори i вектор-функцiї вважаємо поданими у виглядi стовпцiв.
Крайова умова (2) з неперервним оператором (3) є найбiльш загальною для рiвняння (1),
розв’язок якого належить простору (W s+r
p )m. Вона охоплює як усi класичнi види крайових
умов (задачi Кошi, багатоточковi умови, iнтегральнi умови, умови мiшаних крайових задач),
так i некласичнi умови, що мiстять похiднi аж до порядку r + [s] \geq r.
За аналогiєю з роботами [8 – 10] задачу (1), (2) називаємо тотальною щодо функцiональних
просторiв W s+r
p .
Якщо крайова задача (1), (2) залежить вiд малого параметра \varepsilon \geq 0, то постає важливе питан-
ня про неперервну залежнiсть розв’язку y = y(\cdot , \varepsilon ) такої задачi за параметром \varepsilon у банаховому
просторi (W s+r
p )m, тобто коли\bigm\| \bigm\| y(\cdot , \varepsilon ) - y(\cdot , 0)
\bigm\| \bigm\|
s+r,p
\rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0 + . (4)
Основна мета даної роботи полягає у знаходженнi конструктивних достатнiх умов для
однозначної розв’язностi цих задач для малих \varepsilon > 0 i виконання граничної властивостi (4).
Вони наведенi в теоремах 2 i 3.
3. Основнi результати. Сформулюємо результати статтi. Їх доведення наведено в пп. 4, 5.
Крайову задачу (1), (2) коротко запишемо у виглядi операторного рiвняння
(L,B)y = (f, c), B = (B1, . . . , Br), c = (c1, . . . , cr),
де (L,B) - лiнiйний оператор у парi банахових просторiв
(L,B) : (W s+r
p )m \rightarrow (W s
p )
m \times \BbbC rm. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
406 Г. О. МАСЛЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ
Нагадаємо, що лiнiйний неперервний оператор B : E1 \rightarrow E2, де E1 i E2 — банаховi про-
стори, називають фредгольмовим, якщо його ядро \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B i коядро E2/B(E1) скiнченновимiрнi.
Якщо цей оператор фредгольмовий, то його область значень B(E1) замкнена в E2 (див., на-
приклад, [12], лема 19.1.1). Iндекс фредгольмового оператора B визначається за формулою
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}B := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl(
E2/B(E1)
\bigr)
\in \BbbZ .
Теорема 1. Лiнiйний оператор (5) обмежений i фредгольмовий з iндексом нуль.
Позначимо через Yk(\cdot ) \in (W s+r
p )m\times m єдиний розв’язок вiдповiдного рiвнянню (1) лiнiйного
однорiдного диференцiального рiвняння
Y
(r)
k (t) +
r\sum
j=1
Ar - j(t)Y
(r - j)
k (t) = 0, t \in (a, b), (6)
Y
(j)
k (t0) = \delta k,jIm, k, j \in \{ 0, . . . , r - 1\} . (7)
У початкових умовах (7) точка t0 \in (a, b) фiксована, \delta k,j - символ Кронекера, а Im - одинична
матриця порядку m\times m. Тодi загальний розв’язок однорiдного рiвняння (1) з f \equiv 0 можна
записати у виглядi
y(\cdot ) =
r - 1\sum
k=0
Yk(\cdot )qk, (8)
де вектор-стовпцi qk \in \BbbC m довiльнi.
Числова квадратна матриця [BY ] порядку rm \times rm утворюється в результатi дiї опера-
тора B = (B1, . . . , Br) на вiдповiдний стовпець (з тим же номером) матрицi-функцiї Y =
= (Y0, . . . , Yr - 1). Покладемо
[BY ] :=
\bigl(
[B1Y0] . . . [BrYr - 1]
\bigr)
. (9)
Теорема 2. Оператор (L,B) оборотний тодi i тiльки тодi, коли матриця [BY ] є неви-
родженою, тобто \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}[BY ] \not = 0.
Розглянемо тепер сiм’ю крайових задач вигляду (1), (2), залежних вiд числового пара-
метра \varepsilon :
L(\varepsilon )y(t, \varepsilon ) \equiv y(r)(t, \varepsilon ) +
r\sum
j=1
Ar - j(t, \varepsilon )y
(r - j)(t, \varepsilon ) = f(t, \varepsilon ), t \in (a, b), (10)
Bj(\varepsilon )y(\cdot , \varepsilon ) = cj(\varepsilon ), j \in \{ 1, . . . , r\} , (11)
де \varepsilon \in [0, \varepsilon 0), а число \varepsilon 0 > 0 є фiксованим. Тут вектор-функцiя y(\cdot , \varepsilon ) \in (W s+r
p )m є невiдо-
мою, а всi Ar - j(\cdot , \varepsilon ) \in (W s
p )
m\times m, f(\cdot , \varepsilon ) \in (W s
p )
m, лiнiйний неперервний оператор Bj(\varepsilon ) :
(W s+r
p )m \rightarrow \BbbC m i cj(\varepsilon ) \in \BbbC m — заданими. Крайова задача (10), (11) також є тотальною щодо
простору Слободецького W s+r
p .
Для того щоб спiввiдношення (4) мало сенс, скрiзь далi будемо вважати, що виконується
таке припущення.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 407
Припущення. Однорiдна гранична крайова задача
y(r)(t, 0) +
r\sum
j=1
Ar - j(t, 0)y
(r - j)(t, 0) = 0, t \in (a, b),
Bj(0)y(\cdot , 0) = 0, j \in \{ 1, . . . , r\} ,
має лише тривiальний розв’язок.
Умови, достатнi для однозначної розв’язностi задачi (10), (11) i неперервної залежностi її
розв’язку за малим параметром, дає така теорема.
Теорема 3. Нехай виконується припущення i при \varepsilon \rightarrow 0+ та j \in \{ 1, . . . , r\} умови:
(i) \| Ar - j(\cdot , \varepsilon ) - Ar - j(\cdot , 0)\| s,p \rightarrow 0;
(ii) Bj(\varepsilon )y \rightarrow Bj(0)y для кожного y \in (W s+r
p )m.
Тодi для достатньо малих \varepsilon > 0 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) є оборотним.
Якщо, крiм цього,
(iii) \| f(\cdot , \varepsilon ) - f(\cdot , 0)\| s,p \rightarrow 0;
(iv) cj(\varepsilon ) \rightarrow cj(0),
то при малих \varepsilon єдиний розв’язок y(\cdot , \varepsilon ) крайової задачi (10), (11) задовольняє граничну власти-
вiсть (4).
4. Доведення теорем 1 i 2. Обмеженiсть лiнiйного оператора L : (W s+r
p )m \rightarrow (W s
p )
m
випливає з означення норм у просторах Слободецького i неперервностi добутку в банахових
алгебрах, якi утворюють простори Слободецького. Оператор B обмежений за означенням.
Доведемо фредгольмовiсть оператора (L,B).
Означимо лiнiйний обмежений оператор C : (W s+r
p )m \rightarrow \BbbC rm, поклавши
Cy =
\bigl(
y(a), y\prime (a), . . . , y(r - 1)(a)
\bigr)
.
Оскiльки неоднорiдна задача Кошi
(L,C)y = (f, c) \in (W s
p )
m \times \BbbC rm
має єдиний розв’язок y \in (W s+r
p )m при будь-якому значеннi правої частини рiвняння, то
оператор (L,C) є бiєктивним. За теоремою Банаха про обернений оператор вiн є оборотним.
З iншого боку, оператор (L,B) допускає зображення
(L,B) = (L,C) + (0, B - C), (12)
де другий доданок — це скiнченновимiрний обмежений оператор. Тому за теоремою Нiколь-
ського [13] (§ 21.5) оператор (L,B) є фредгольмовим з iндексом 0.
Теорему 1 доведено.
Встановимо допомiжне твердження, яке буде використано у доведеннi теореми 2.
Лема 1. Для довiльних матрицi-функцiї Yk(\cdot ) \in (W s+r
p )m\times m, вектора qk \in \BbbC m та лiнiй-
ного неперервного оператора Bj : (W s+r
p )m \rightarrow \BbbC m справджується рiвнiсть
Bj(Yk(\cdot ) \cdot qk) = [BjYk(\cdot )]qk, (13)
де j \in \{ 1, . . . , r\} , k \in \{ 0, . . . , r - 1\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
408 Г. О. МАСЛЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ
Ця рiвнiсть перевiряється безпосередньо.
За теоремою 1 оператор (5) оборотний тодi i тiльки тодi, коли \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) = \{ 0\} . Тому для
доведення теореми 2 достатньо показати, що
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) \not = \{ 0\} \leftrightarrow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}[BY ] = 0.
Нехай \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) \not = \{ 0\} . Тодi iснує нетривiальний розв’язок однорiдного рiвняння (L,B)y =
= (0, 0), який можна записати у виглядi (8), де хоча б один iз вектор-стовпцiв q0, q1, . . . , qr - 1 \in
\in \BbbC m вiдмiнний вiд нуля. За лемою 1
0 = Bjy(\cdot ) =
r - 1\sum
k=0
Bj(Yk(\cdot )qk) =
r - 1\sum
k=0
[BjYk(\cdot )]qk.
Отже, стовпцi матрицi (9) є лiнiйно залежними i вона є виродженою.
Навпаки, нехай матриця (9) є виродженою. Тодi її стовпцi є лiнiйно залежними i
r - 1\sum
k=0
[BjYk(\cdot )]qk = 0 (14)
для деяких вектор-стовпцiв q0, q1, . . . , qr - 1 \in \BbbC m, серед яких принаймнi один вiдмiнний вiд
нуля. Означимо ненульову функцiю y(\cdot ) \in (W s+r
p )m за формулою (8). Для неї Ly = 0 i
Bjy(\cdot ) =
r - 1\sum
k=0
Bj(Yk(\cdot )qk) =
r - 1\sum
k=0
[BjYk(\cdot )]qk = 0
на пiдставi леми 1 i рiвностi (14). Отже, y \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) i тому \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) \not = \{ 0\} .
Теорему 2 доведено.
5. Доведення теореми 3. Розглянемо спочатку параметричну сiм’ю неоднорiдних задач
Кошi для системи k \geq 1 лiнiйних диференцiальних рiвнянь першого порядку
y\prime (t, \varepsilon ) = A(t, \varepsilon )y(t, \varepsilon ) + g(t, \varepsilon ), t \in (a, b), y(a, \varepsilon ) = h(\varepsilon ). (15)
Тут для кожного \varepsilon \in [0, \varepsilon 0) вектор-функцiя y(\cdot , \varepsilon ) \in (W s+1
p )k є шуканою, а матриця-функцiя
A(\cdot , \varepsilon ) \in (W s
p )
k\times k, вектор-функцiя g(\cdot , \varepsilon ) \in (W s
p )
k i вектор h(\varepsilon ) \in \BbbC k — заданими. Як вiдомо,
ця задача має єдиний розв’язок для кожного фiксованого \varepsilon .
Лема 2. Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ виконуються такi умови:
(a) A(\cdot , \varepsilon ) \rightarrow A(\cdot , 0) у (W s
p )
k\times k;
(b) g(\cdot , \varepsilon ) \rightarrow g(\cdot , 0) у (W s
p )
k;
(c) h(\varepsilon ) \rightarrow h(0).
Тодi при \varepsilon \rightarrow 0+ \bigm\| \bigm\| y(\cdot , \varepsilon ) - y(\cdot , 0)
\bigm\| \bigm\|
s+1,p
\rightarrow 0. (16)
Це твердження є безпосереднiм наслiдком теореми 3 iз статтi [8].
Доведемо спочатку теорему 3 щодо задач Кошi
L(\varepsilon )x(t, \varepsilon ) = f(t, \varepsilon ), t \in (a, b), (17)
x(j - 1)(a, \varepsilon ) = hj(\varepsilon ), j \in \{ 1, . . . , r\} , (18)
де параметр \varepsilon \in [0, \varepsilon 0). Єдиний розв’язок x(\cdot , \varepsilon ) такої задачi належить простору (W s+r
p )m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 409
Лема 3. Нехай виконуються умови (i), (iii) теореми 3 i, крiм того,
hj(\varepsilon ) \rightarrow hj(0) при \varepsilon \rightarrow 0 + для кожного j \in \{ 1, . . . , r\} . (19)
Тодi \bigm\| \bigm\| x(\cdot , \varepsilon ) - x(\cdot , 0)
\bigm\| \bigm\|
s+r,p
\rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0 + . (20)
Доведення. При r = 1 лема 3 рiвносильна лемi 2. Нехай r \geq 2. Як вiдомо (див., наприклад,
[14] (п. 2.5), крайова задача (17), (18) рiвносильна задачi (15), в якiй
A(\cdot , \varepsilon ) :=
\left(
0m Im 0m . . . 0m
0m 0m Im . . . 0m
...
...
...
. . .
...
0m 0m 0m . . . Im
- A0(\cdot ; \varepsilon ) - A1(\cdot ; \varepsilon ) - A2(\cdot ; \varepsilon ) . . . - Ar - 1(\cdot ; \varepsilon )
\right)
\in (W s
p )
rm\times rm,
де 0m i Im позначають вiдповiдно нульову i одиничну матрицi порядку m, а
g(\cdot , \varepsilon ) := col(0, f(\cdot , \varepsilon )), h(\varepsilon ) := col(h1(\varepsilon ), . . . , hr(\varepsilon )).
Розв’язки цих задач пов’язанi мiж собою спiввiдношенням
y(\cdot , \varepsilon ) = col
\bigl(
x(\cdot , \varepsilon ), x\prime (\cdot , \varepsilon ) . . . , x(r - 1)(\cdot , \varepsilon )
\bigr)
. (21)
При цьому умови (i), (iii) теореми 3 i умова (19) рiвносильнi вiдповiдно умовам (a), (b) i (c)
леми 2. Крiм того, (20) \leftrightarrow (16) за умови (21). Отже, твердження леми 3 випливає з леми 2.
Встановимо iснування i єдинiсть розв’язку крайової задачi (10), (11) при малих значеннях
параметра \varepsilon .
Лема 4. Нехай виконуються умови (i) та (ii) теореми 3 i припущення. Тодi для достатньо
малих \varepsilon > 0 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) є оборотним.
Доведення. Розглянемо при кожному \varepsilon \in [0, \varepsilon 0) i k \in \{ 0, . . . , r - 1\} задачу Кошi (6), (7), де
Y
(r)
k (\cdot ) = Y
(r)
k (\cdot , \varepsilon ), Ar - j(\cdot ) = Ar - j(\cdot , \varepsilon ).
Вона складається з m задач Кошi вигляду (17), (18) з f = 0 вiдносно вектор-функцiй x(\cdot , \varepsilon ),
якi є стовпцями матрицi Yk(\cdot , \varepsilon ). Тодi за лемою 3\bigm\| \bigm\| Yk(\cdot , \varepsilon ) - Yk(\cdot , 0)
\bigm\| \bigm\|
s+r,p
\rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0 + . (22)
Звiдси на пiдставi умови (ii) теореми 3 випливає збiжнiсть при \varepsilon \rightarrow 0+ блочних числових
матриць\Bigl( \bigl[
B1(\varepsilon )Y0(\cdot , \varepsilon )
\bigr]
. . .
\bigl[
Br(\varepsilon )Yr - 1(\cdot , \varepsilon )
\bigr] \Bigr)
\rightarrow
\Bigl( \bigl[
B1(0)Y0(\cdot , 0)
\bigr]
. . .
\bigl[
Br(0)Yr - 1(\cdot , 0)
\bigr] \Bigr)
. (23)
Тут гранична матриця невироджена згiдно зi зробленим припущенням i теоремою 2. Тому для
достатньо малих \varepsilon \geq 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
410 Г. О. МАСЛЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\Bigl( \bigl[
B1(\varepsilon )Y0(\cdot , \varepsilon )
\bigr]
. . .
\bigl[
Br(\varepsilon )Yr - 1(\cdot , \varepsilon )
\bigr] \Bigr)
\not = 0. (24)
Отже, за теоремою 2 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) є оборотним.
Лему 4 доведено.
Розглянемо напiводнорiдну крайову задачу
L(\varepsilon )\upsilon (\cdot , \varepsilon ) \equiv 0, Bj(\varepsilon )\upsilon (\cdot , \varepsilon ) = cj(\varepsilon ), j \in \{ 1, . . . , r\} , (25)
залежну вiд параметра \varepsilon \in [0, \varepsilon 0).
Лема 5. Нехай виконуються умови (i), (ii), (iv) теореми 3. Тодi\bigm\| \bigm\| \upsilon (\cdot , \varepsilon ) - \upsilon (\cdot , 0)
\bigm\| \bigm\|
s+r,p
\rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0 + . (26)
Доведення. Запишемо при кожному \varepsilon \rightarrow 0+ розв’язок однорiдного диференцiального
рiвняння (25) у виглядi
\upsilon (\cdot , \varepsilon ) =
r - 1\sum
k=0
Yk(\cdot , \varepsilon )qk(\varepsilon ) (27)
з довiльними вектор-функцiями q0(\varepsilon ), . . . , qr - 1(\varepsilon ) \in \BbbC m, де кожна матриця-функцiя Yk(\cdot , \varepsilon )
належить простору (W s+r
p )m\times m. За лемою 1 маємо
Bj(\varepsilon )\upsilon (\cdot , \varepsilon ) =
r - 1\sum
k=0
Bj(\varepsilon )
\bigl(
Yk(\cdot , \varepsilon )qk(\varepsilon )
\bigr)
=
r - 1\sum
k=0
\bigl[
Bj(\varepsilon )Yk(\cdot , \varepsilon )
\bigr]
qk(\varepsilon ).
Тому друга рiвнiсть у формулi (25) рiвносильна, тому що
r - 1\sum
k=0
\bigl[
Bj(\varepsilon )Yk(\cdot , \varepsilon )
\bigr]
qk(\varepsilon ) = cj(\varepsilon ). (28)
Рiвнiсть (28) можна записати у виглядi системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь\Bigl( \bigl[
B1(\varepsilon )Y0(\cdot , \varepsilon )
\bigr]
. . .
\bigl[
Br(\varepsilon )Yr - 1(\cdot , \varepsilon )
\bigr] \Bigr)
q(\varepsilon ) = cj(\varepsilon ) (29)
вiдносно координат стовпця q(\varepsilon ) := col
\bigl(
q0(\varepsilon ), . . . , qr - 1(\varepsilon )
\bigr)
.
Звiдси на пiдставi умови (iv) теореми 3 i формул (23), (24) випливає, що система (29) має
єдиний розв’язок при достатньо малих \varepsilon i вiн задовольняє граничну умову q(\varepsilon ) \rightarrow q(0) \in \BbbC m
при \varepsilon \rightarrow 0 + . Iз нього i спiввiдношення (22) отримуємо формулу (26).
Лему 5 доведено.
Доведемо тепер виконання граничної рiвностi без припущення про однорiднiсть диферен-
цiального рiвняння (10). Для кожного достатньо малого \varepsilon \geq 0 покладемо
z(\cdot , \varepsilon ) = y(\cdot , \varepsilon ) - x(\cdot , \varepsilon ),
де вектор-функцiя y(\cdot , \varepsilon ) є розв’язком неоднорiдної крайової задачi (10), (11), а вектор-функцiя
x(\cdot , \varepsilon ) - розв’язком задачi Кошi (17), (18) з hj(\varepsilon ) \equiv 0. Тодi z(\cdot , \varepsilon ) є розв’язком напiводнорiдної
крайової задачi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 411
L(\varepsilon )z(\cdot , \varepsilon ) \equiv 0, Bj(\varepsilon )z(\cdot , \varepsilon ) = \~c(\varepsilon ), \~c(\varepsilon ) := cj(\varepsilon ) - Bj(\varepsilon )x(\cdot , \varepsilon ) \in \BbbC m.
На пiдставi зроблених припущень i леми 3 \~c(\varepsilon ) \rightarrow \~c(0) при \varepsilon \rightarrow 0 + . Таким чином, у
вiдповiдностi з лемою 5 \bigm\| \bigm\| z(\cdot , \varepsilon ) - z(\cdot , 0)
\bigm\| \bigm\|
s+r,p
\rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0 + . (30)
Iз (20) i (30) випливає гранична властивiсть (4).
Теорему 3 доведено.
Лiтература
1. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальних уравнений // Совр. пробл.
математики. Новейшие достижения / ВИНИТИ. – 1987. – 30. – С. 3 – 103.
2. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. –
Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. – 352 с.
3. Kodlyuk T. I. , Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems // Ukr.
Math. J. – 2013. – 65, № 1. – P. 77 – 90.
4. Михайлец В. А., Пелехата О. В., Рева Н. В. Предельные теоремы для решений краевых задач // Укр. мат.
журн. – 2018. – 70, № 2. – С. 216 – 223.
5. Mikhailets V. A., Chehanova G. A. Limit theorems for general one-dimensional boundary-value problems // J. Math.
Sci. – 2015. – 204, № 3. – P. 333 – 342.
6. Mikhailets V. A., Murach A. A., Soldatov V. A. Continuity in a parameter of solutions to generic boundary-value
problems // Electron. J. Qual. Theory Different. Equat. – 2016. – № 87. – P. 1 – 16.
7. Gnyp E. V. Continuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems with respect to the parameter in
Slobodetsky spaces // Ukr. Math. J. – 2016. – 68, № 6. – P. 746 – 756.
8. Gnyp E. V., Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Fredholm boundary-value problems with parameter in Sobolev spaces //
Ukr. Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 658 – 667.
9. Soldatov V. A. On the continuity in a parameter for the solutions of boundary-value problems total with respect to the
spaces C(n+r)[a, b] // Ukr. Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 785 – 794.
10. Maslyuk H. O. Continuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems in Hölder spaces with respect
to the parameter // Ukr. Math. J. – 2017. – 69, № 1. – P. 83 – 91.
11. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. – М.: Мир,
1980. – 664 с.
12. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4 т. Т. 3. Псев-
додифференциальные операторы. – М.: Мир, 1987. – 696 с.
13. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 495 с.
14. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. – М.: Мир, 1971. – 392 с.
Одержано 26.11.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1564 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:08Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/19/d429e406cbab0de53e6a200cfb9b8819.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15642019-12-05T09:18:29Z Continuity in the parameter for the solutions of one-dimensional boundary-value problems for differential equations of higher orders in Slobodetsky spaces Неперервність за параметром розв’язків одновимірних крайових задач для диференціальних систем вищих порядків у просторах Слободецького Maslyuk, H. O. Mikhailets, V. A. Маслюк, Г. О. Михайлець, В. А. We introduce the most general class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations of order $r \geq 2$ whose solutions belong to the Slobodetsky space $^{Ws+r}_p\bigl( (a, b),C_m\bigr),$ where $m \in N,\; s > 0$ and $p \in (1,\infty )$. We also establish sufficient conditions under which the solutions of these problems are continuous functions of the parameter in the Slobodetsky space $W^{s+r}_p\bigl( (a, b),C_m\bigr)$. Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений порядка $r \geq 2$ введен наиболее широкий класс линейных краевых задач, решения которых принадлежат комплексному пространству Слободецкого $^{Ws+r}_p\bigl( (a, b),C_m\bigr),$ где $m \in N,\; s > 0$ и $p \in (1,\infty )$. Найдены достаточные условия, при которых решения этих задач однозначно определены и непрерывно зависят от параметра в пространстве Слободецкого $W^{s+r}_p\bigl( (a, b),C_m\bigr)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1564 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 3 (2018); 404-411 Український математичний журнал; Том 70 № 3 (2018); 404-411 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1564/546 Copyright (c) 2018 Maslyuk H. O.; Mikhailets V. A. |
| spellingShingle | Maslyuk, H. O. Mikhailets, V. A. Маслюк, Г. О. Михайлець, В. А. Continuity in the parameter for the solutions of one-dimensional boundary-value problems for differential equations of higher orders in Slobodetsky spaces |
| title | Continuity in the parameter for the solutions of one-dimensional
boundary-value problems for differential equations of higher orders in Slobodetsky spaces |
| title_alt | Неперервність за параметром розв’язків одновимірних
крайових задач для диференціальних систем вищих порядків у просторах
Слободецького |
| title_full | Continuity in the parameter for the solutions of one-dimensional
boundary-value problems for differential equations of higher orders in Slobodetsky spaces |
| title_fullStr | Continuity in the parameter for the solutions of one-dimensional
boundary-value problems for differential equations of higher orders in Slobodetsky spaces |
| title_full_unstemmed | Continuity in the parameter for the solutions of one-dimensional
boundary-value problems for differential equations of higher orders in Slobodetsky spaces |
| title_short | Continuity in the parameter for the solutions of one-dimensional
boundary-value problems for differential equations of higher orders in Slobodetsky spaces |
| title_sort | continuity in the parameter for the solutions of one-dimensional
boundary-value problems for differential equations of higher orders in slobodetsky spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1564 |
| work_keys_str_mv | AT maslyukho continuityintheparameterforthesolutionsofonedimensionalboundaryvalueproblemsfordifferentialequationsofhigherordersinslobodetskyspaces AT mikhailetsva continuityintheparameterforthesolutionsofonedimensionalboundaryvalueproblemsfordifferentialequationsofhigherordersinslobodetskyspaces AT maslûkgo continuityintheparameterforthesolutionsofonedimensionalboundaryvalueproblemsfordifferentialequationsofhigherordersinslobodetskyspaces AT mihajlecʹva continuityintheparameterforthesolutionsofonedimensionalboundaryvalueproblemsfordifferentialequationsofhigherordersinslobodetskyspaces AT maslyukho neperervnístʹzaparametromrozvâzkívodnovimírnihkrajovihzadačdlâdiferencíalʹnihsistemviŝihporâdkívuprostorahslobodecʹkogo AT mikhailetsva neperervnístʹzaparametromrozvâzkívodnovimírnihkrajovihzadačdlâdiferencíalʹnihsistemviŝihporâdkívuprostorahslobodecʹkogo AT maslûkgo neperervnístʹzaparametromrozvâzkívodnovimírnihkrajovihzadačdlâdiferencíalʹnihsistemviŝihporâdkívuprostorahslobodecʹkogo AT mihajlecʹva neperervnístʹzaparametromrozvâzkívodnovimírnihkrajovihzadačdlâdiferencíalʹnihsistemviŝihporâdkívuprostorahslobodecʹkogo |