Averaging of fuzzy systems
We develop the ideas of the method of averaging for some classes of fuzzy systems (fuzzy differential equations with delay, fuzzy differential equations with pulsed action, fuzzy integral equations, fuzzy differential inclusions and differential inclusions with fuzzy right-hand sides without and wit...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1565 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507368783085568 |
|---|---|
| author | Perestyuk, N. A. Skripnik, N. V. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. |
| author_facet | Perestyuk, N. A. Skripnik, N. V. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. |
| author_sort | Perestyuk, N. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:29Z |
| description | We develop the ideas of the method of averaging for some classes of fuzzy systems (fuzzy differential equations with
delay, fuzzy differential equations with pulsed action, fuzzy integral equations, fuzzy differential inclusions and differential
inclusions with fuzzy right-hand sides without and with pulsed action). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Н. А. Перестюк (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
Н. В. Скрипник (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ
We develop the ideas of the method of averaging for some classes of fuzzy systems (fuzzy differential equations with
delay, fuzzy differential equations with pulsed action, fuzzy integral equations, fuzzy differential inclusions and differential
inclusions with fuzzy right-hand sides without and with pulsed action).
Розглянуто розвиток iдей методу усереднення для деяких класiв нечiтких систем (нечiтких диференцiальних рiвнянь
iз запiзненням, нечiтких диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом, нечiтких iнтегральних рiвнянь, нечiтких
диференцiальних включень i диференцiальних включень з нечiткою правою частиною при вiдсутностi та наявностi
iмпульсного впливу).
Теория нечетких множеств является очень удобным аппаратом моделирования неопределеннос-
ти. С одной стороны, она дает более широкие возможности, чем, например, интервальный
анализ, так как совмещает его с использованием вероятностных оценок, а с другой — отличает-
ся от теории вероятностей в основных модельных предположениях, подходе и утверждениях.
Теория нечетких множеств может применяться в случаях, когда использовать вероятностную
интерпретацию невозможно, например если флуктуации переменной не стохастичны по своей
природе, если недоступны статистические данные, если имеющейся информации недостаточно
для того, чтобы утверждать выполнение вероятностных аксиом. С 1965 г., когда L. Zadeh
[74] опубликовал свою новаторскую работу, рассмотрены сотни примеров, в которых природа
неопределенности в поведении процессов системы является нечеткой.
Нечеткие дифференциальные уравнения очень важны как с теоретической точки зрения, так
и с практической. Они находят применение, например, в автомобильной, аэрокосмической и
транспортной промышленности, в строительстве, в создании гидравлических и популяционных
моделей, в сфере финансов, анализа и принятия управленческих решений, при прогнозирова-
нии различных экономических, политических, биржевых ситуаций и т. п.
Асимптотические методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений зани-
мают центральное место в нелинейной механике и смежных разделах математики, механики,
физики и техники. Разработка общего алгоритма, получившего название метода усреднения
Крылова – Боголюбова, и теорема о близости решений точной и усредненной систем принад-
лежат Н. М. Крылову и Н. Н. Боголюбову [11]. В дальнейшем Н. Н. Боголюбов создал строгую
теорию метода усреднения и показал, что этот метод органично связан с существованием
замены переменных, позволяющей исключить время t из правых частей рассматриваемых
уравнений с наперед заданной степенью точности относительно малого параметра \varepsilon , обосно-
вал асимптотический характер приближений, получаемых методом усреднения, и установил
соответствие между решениями точных и усредненных уравнений на бесконечном временном
интервале.
Эти результаты получили дальнейшее развитие в работах Ю. А. Митропольского, А. М. Са-
мойленко, Л. Д. Акуленко, В. М. Волосова, Е. А. Гребенникова, М. А. Красносельского,
С. Г. Крейна, Н. Н. Моисеева, Н. А. Перестюка, В. А. Плотникова, А. Н. Филатова, Ф. Л. Чер-
ноусько и др. для нелинейных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами, много-
c\bigcirc Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК, 2018
412 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ 413
частотных систем уравнений в частных производных, разностных уравнений, уравнений с раз-
рывными правыми частями, импульсных дифференциальных уравнений, уравнений с запазды-
ванием, стохастических уравнений, уравнений в бесконечномерных пространствах, дифферен-
циальных включений, дифференциальных уравнений и включений с производной Хукухары,
многозначных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, квазидифференциаль-
ных уравнений и т. п. (см. [3, 4, 12 – 16, 20, 21, 24, 33, 34, 38, 43, 49, 63] и приведенную там
библиографию).
В данном обзоре рассмотрим развитие идей метода усреднения для некоторых классов
нечетких систем.
1. Нечеткие уравнения. Введем в рассмотрение нечеткое пространство \BbbE n отображений
u : \BbbR n \rightarrow [0, 1], удовлетворяющих следующим условиям:
1) u полунепрерывно сверху по Бэру, т. е. для любых \~y \in \BbbR n и \varepsilon > 0 существует \delta (\~y, \varepsilon ) > 0
такое, что для всех \| y - \~y\| < \delta выполняется неравенство u(y) < u(\~y) + \varepsilon ;
2) u нормально, т. е. существует вектор y0 \in \BbbR n такой, что u(y0) = 1;
3) u нечетко выпукло, т. е. для любых y1, y2 \in \BbbR n и любого \lambda \in [0, 1] имеет место нера-
венство u(\lambda y1 + (1 - \lambda )y2) \geq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ u(y1), u(y2)\} ;
4) замыкание множества \{ y \in \BbbR n : u(y) > 0\} компактно.
Нулем в пространстве \BbbE n является отображение
\^0(y) =
\left\{ 1, y = 0,
0, y \in \BbbR n\setminus 0.
Определение 1. \alpha -Срезкой [u]\alpha нечеткого множества u \in \BbbE n при \alpha \in (0, 1] называется
множество
\bigl\{
y \in \BbbR n : u(y) \geq \alpha
\bigr\}
. Нулевой срезкой множества u \in \BbbE n называется замыкание
множества
\bigl\{
y \in \BbbR n : u(y) > 0
\bigr\}
.
Теорема 1 [40]. Если u \in \BbbE n, то:
1) [u]\alpha \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) для всех \alpha \in [0, 1];
2) [u]\alpha 2 \subset [u]\alpha 1 для всех 0 \leq \alpha 1 \leq \alpha 2 \leq 1;
3) если \{ \alpha k\} — неубывающая последовательность, стремящаяся к \alpha , то [u]\alpha =
\bigcap
k\geq 1
[u]\alpha k .
Наоборот, если семейство множеств
\bigl\{
A\alpha : \alpha \in [0, 1]
\bigr\}
из пространства \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) удовлет-
воряет свойствам 1 – 3, то существует u \in \BbbE n такое, что [u]\alpha = A\alpha для всех \alpha \in (0, 1] и
[u]0 =
\bigcup
0<\alpha \leq 1
A\alpha \subset A0.
Определим в пространстве \BbbE n метрику D : \BbbE n \times \BbbE n \rightarrow \BbbR +, положив
D(u, v) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq \alpha \leq 1
h
\bigl(
[u]\alpha , [v]\alpha
\bigr)
,
где h : \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) \times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) \rightarrow \BbbR + — расстояние по Хаусдорфу. Модулем | u| нечеткого мно-
жества u \in \BbbE n будем называть величину D(u, \^0).
В 1983 г. M. L. Puri, D. A. Ralescu [62] ввели понятия H -производной и интеграла для
нечетких отображений, в которых использовались подходы M. Hukuhara и R. J. Aumann для
\alpha -срезок нечетких отображений.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
414 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
Определение 2. Отображение f : [t0, T ] \rightarrow \BbbE n называется измеримым (непрерывным,
липшицевым по x с постоянной L) на [t0, T ], если для всех \alpha \in [0, 1] многозначное отоб-
ражение f\alpha : [t0, T ] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n), определенное как f\alpha (t) = [f(t)]\alpha , измеримо (непрерывно,
липшицево по x с постоянной L).
Определение 3 [40]. Интегралом от отображения f : [t0, T ] \rightarrow \BbbE n на отрезке [t0, T ]
называется элемент g =
\int T
t0
f(t)dt \in \BbbE n такой, что [g]\alpha =
\int T
t0
f\alpha (t)dt для всех \alpha \in [0, 1]
(интеграл от многозначного отображения f\alpha (\cdot ) понимается в смысле Ауманна).
Определение 4 [40]. Отображение f : [t0, T ] \rightarrow \BbbE n называется дифференцируемым в
точке \~t \in [t0, T ], если для любого \alpha \in [0, 1] многозначное отображение f\alpha (\cdot ) дифференцируе-
мо по Хукухаре в точке \~t и семейство
\bigl\{
DHf\alpha (\~t) : \alpha \in [0, 1]
\bigr\}
определяет некоторый элемент
f \prime (\~t) \in \BbbE n. Если f : [t0, T ] \rightarrow \BbbE n дифференцируемо в точке \~t \in [t0, T ], то элемент f \prime (\~t) будем
называть нечеткой производной от f(\cdot ) в точке \~t.
Определение 5. Отображение f : [t0, T ] \rightarrow \BbbE n называется абсолютно непрерывным на
промежутке [t0, T ], если существуют x0 \in \BbbE n и интегрируемое измеримое нечеткое отобра-
жение g : [t0, T ] \rightarrow \BbbE n такие, что
f(t) = x0 +
t\int
t0
g(s) ds.
В 1987 г. O. Kaleva в работе [40] впервые рассмотрел нечеткие дифференциальные урав-
нения на основе H -производной. В дальнейшем были доказаны теоремы существования и
изучались свойства решений нечетких дифференциальных уравнений (O. Kaleva, H. K. Han,
J. Y. Park, S. Seikkala, C. X. Wu, S. J. Song и др.), получены условия устойчивости решений
(А. А. Мартынюк, Ю. А. Мартынюк-Черниенко, В. И. Слынько, P. Diamond, T. Gnana Bhaskar,
V. Lakshmikantham, S. Leela, J. Vasundhara Devi и др.), рассмотрены уравнения высшего порядка
(R. P. Agarwal, E. Ahmady, N. Ahmady, T. Allahviranloo, A. Arara, M. Benchohra, D. N. Georgiou,
I. E. Kougias, M. S. N. Murty, J. J. Nieto, A. Ouahab, D. O’Regan, R. Rodriguez-Lopez, G. Suresh
Kumar и др. ), интегро-дифференциальные уравнения (А. В. Плотников, R. P. Agarwal, P. Bala-
subramaniam, V. Lakshmikantham, S. Muralisankar, D. O’Regan и др.), импульсные (Н. В. Скрип-
ник, M. Benchohra, J. J. Nieto, A. Ouahab, R. Rodriguez-Lopez и др.), управляемые нечеткие
уравнения (А. В. Плотников, N. D. Phu, T. T. Tung и др.), нечеткие уравнения с запаздыванием
(О. Д. Кичмаренко, Н. В. Скрипник и др.) (см. [16, 37, 48] и приведенную в них библио-
графию).
1.1. Усреднение нечетких дифференциальных уравнений. В работах [16, 17, 57] обос-
нована возможность применения схемы полного усреднения для нечетких дифференциальных
уравнений с малым параметром вида
x\prime = \varepsilon f(t, x), x(0) = x0, (1)
где t \in \BbbR + — время, x \in G \subset \BbbE n — фазовая переменная, \varepsilon > 0 — малый параметр, f :
\BbbR + \times G\rightarrow \BbbE n — нечеткое отображение, x0 — начальное состояние.
Системе (1) поставим в соответствие усредненную систему
\=x\prime = \varepsilon f(\=x), (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ 415
где
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
D
\left( 1
T
T\int
0
f(t, x)dt, f(x)
\right) = 0. (3)
Теорема 2 [16, 17, 57]. Пусть в области Q = \{ t \in \BbbR +, x \in G \subset \BbbE n\} выполнены следую-
щие условия:
1) отображение f(t, x) непрерывно по t, равномерно ограничено постоянной M и удовлет-
воряет условию Липшица по x с постоянной \lambda ;
2) равномерно относительно x \in G существует предел (3);
3) решение \=x(\cdot ) системы (2) с начальным условием \=x(0) = x0 \in G\prime \subset G определено для
всех t \in \BbbR + и лежит вместе с \rho -окрестностью в области G.
Тогда для любых \eta > 0 и L > 0 существует такое \varepsilon 0(\eta , L) > 0, что для \varepsilon \in (0, \varepsilon 0] и
t \in
\bigl[
0, L\varepsilon - 1
\bigr]
выполняется неравенство
D(x(t), \=x(t)) < \eta ,
где x(\cdot ) и \=x(\cdot ) — решения уравнений (1) и (3) соответственно, удовлетворяющие условию
x(0) = \=x(0) \in G\prime .
В работах [46, 47] получено обобщение данного результата: условие равномерной ограни-
ченности заменено условием интегральной ограниченности
D
\bigl(
f(t, x), \^0
\bigr)
= m(t),
t2\int
t1
m(t)de \leq M(t2 - t1) для любых t1, t2 \in \BbbR +, t1 \leq t2,
а условие Липшица — интегральным условием Липшица
D
\left( t2\int
t1
f(s, u(s)) ds,
t2\int
t1
f(s, v(s)) ds
\right) \leq \lambda
t2\int
t1
D
\bigl(
u(s), v(s)
\bigr)
ds
для любых t1, t2 \in \BbbR +, t1 \leq t2, и любых непрерывных отображений u, v : \BbbR + \rightarrow \BbbE n.
В [35] интегральное условие Липшица для исходной системы заменено интегральным усло-
вием Липшица для усредненной.
В работе [28] доказано следующее обобщение теоремы М. А. Красносельского, С. Г. Крейна
[10] на случай нечетких дифференциальных уравнений.
Теорема 3 [28]. Пусть для нечеткого дифференциального уравнения
x\prime = f(t, x, \lambda ), (4)
где отображение f(t, x, \lambda ), принимающее значения в \BbbE n, определено при t \in [0, T ], x \in G,
G — ограниченная область в \BbbE n, \lambda \in \Lambda , \Lambda — некоторое множество значений параметра \lambda ,
имеющее \lambda 0 \in \Lambda предельной точкой, выполнены следующие условия:
а) отображение f(t, x, \lambda ) равномерно ограничено, непрерывно по t, равномерно непрерыв-
но по x равномерно относительно t и \lambda ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
416 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
б) отображение f(t, x, \lambda ) интегрально непрерывно по \lambda в точке \lambda 0, т. е. для любых
t1, t2 \in [0, T ], t1 < t2, и любого x \in G выполняется условие
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow \lambda 0
D
\left( t2\int
t1
f(s, x, \lambda ) ds,
t2\int
t1
f(s, x, \lambda 0) ds
\right) = 0;
в) решения x(t, \lambda 0) уравнения
x\prime = f(t, x, \lambda 0), (5)
удовлетворяющие начальному условию x(0, \lambda 0) = x0 \in G1 \subset G, определены при t \in [0, T ] и
лежат вместе с некоторой \rho -окрестностью в области G.
Тогда каждому \eta > 0 соответствует такая окрестность U(\lambda 0) точки \lambda 0, что при
\lambda \in U(\lambda 0) для любого решения x(t, \lambda ) уравнения (4), определенного при t \in [0, T ] и удовлетво-
ряющего начальному условию x(0, \lambda ) = x0, существует такое решение x(t, \lambda 0) уравнения (5),
что выполняется неравенство
D(x(t, \lambda ), x(t, \lambda 0)) < \eta , t \in [0, T ].
Замечания. 1. Если x(t, \lambda 0) — некоторое решение нечеткого дифференциального уравне-
ния (5), то может не существовать последовательность решений (4), сходящаяся к x(t, \lambda 0) при
\lambda \rightarrow \lambda 0.
2. Если уравнение (5) имеет единственное решение, то любая последовательность решений
x(t, \lambda ) уравнения (4) сходится к этому решению при \lambda \rightarrow \lambda 0.
3. Из теоремы 3 непосредственно следует теорема о методе полного усреднения для нечет-
кого дифференциального уравнения. Действительно, в уравнении (1) выполним замену \varepsilon t = t1,
\varepsilon = \lambda . Тогда вместо (1) получим уравнение
x\prime = F (t1, x, \lambda ), (6)
где принято обозначение F (t1, x, \lambda ) = f
\biggl(
t1
\lambda
, x
\biggr)
.
Существование среднего (3) эквивалентно интегральной непрерывности по \lambda в точке \lambda = 0
правой части уравнения (6).
В работах [7, 16, 25] обоснована возможность применения к нечеткому дифференциальному
уравнению (1) схемы частичного усреднения. Такой вариант метода усреднения оказывается
полезным, когда для некоторых отображений не существует среднее или же наличие их в
системе не усложняет ее исследования.
Уравнению (1) поставим в соответствие частично усредненное нечеткое дифференциальное
уравнение
x\prime = \varepsilon f(t, x), x(0) = x0, (7)
где
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
D
\left( T\int
0
f(t, x)dt,
T\int
0
f(t, x)dt
\right) = 0. (8)
Имеет место следующая теорема, устанавливающая близость решений уравнений (1) и (7)
на конечном промежутке.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ 417
Теорема 4 [16, 25]. Пусть в области Q =
\bigl\{
(t, x) : t \in \BbbR +, x \in G \subset \BbbE n
\bigr\}
выполнены
следующие условия:
1) отображение f(t, x) измеримо по t при каждом фиксированном x и равномерно непре-
рывно по x равномерно относительно t;
2) отображение f(t, x) измеримо по t при каждом фиксированном x и существуют сум-
мируемая функция \lambda (t) и постоянная \lambda такие, что
\lambda (t) \leq \lambda , D
\bigl(
f(t, x\prime ), f(t, x\prime \prime )
\bigr)
\leq \lambda (t)D(x\prime , x\prime \prime );
3) существуют суммируемая функция N(t) и постоянная N0 такие, что
D(f(t, x), \^0) \leq N(t), D(f(t, x), \^0) \leq N(t),
t2\int
t1
N(t)dt \leq N0(t2 - t1)
для любого конечного отрезка [t1, t2];
4) равномерно относительно x \in G существует предел (8);
5) решение x(\cdot ) уравнения (7) с начальным условием x(0) = x0 \in G\prime \subset G определено при
t \in \BbbR + для всех \varepsilon \in (0, \sigma ] и лежит с некоторой \rho -окрестностью в области G.
Тогда для любых \eta > 0 и L > 0 можно указать такое \varepsilon 0(\eta , L) \in (0, \sigma ], что при \varepsilon \in (0, \varepsilon 0]
для всех t \in
\bigl[
0, L\varepsilon - 1
\bigr]
выполняется неравенство
D(x(t), x(t)) < \eta , (9)
где x(\cdot ) и x(\cdot ) — решения уравнений (1) и (7) соответственно с начальными условиями x(0) =
= x(0) \in G\prime .
Замечание 4 [56]. В случае, когда в теоремах 2, 4 отображения f(t, x)
\bigl[
и f(t, x)
\bigr]
\omega -
периодичны по t, оценку (9) можно уточнить: для любого L > 0 можно указать C(L) > 0
и \varepsilon 0(L) \in (0, \sigma ] такие, что при \varepsilon \in (0, \varepsilon 0] для всех t \in
\bigl[
0, L\varepsilon - 1
\bigr]
выполняется неравенство
D
\bigl(
x(t), x(t)
\bigr)
< C\varepsilon .
В дальнейшем полученные результаты были распространены на случаи:
а) линейных нечетких дифференциальных уравнений [44, 51, 66];
б) нечетких дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием [5]:
x\prime (t, \varepsilon ) = \varepsilon f
\bigl(
t, x(t, \varepsilon ), x(t - \tau , \varepsilon )
\bigr)
, (10)
x(s, \varepsilon ) = \varphi (s, \varepsilon ), - \tau \leq s \leq 0;
в) нечетких дифференциальных уравнений с постоянным и асимптотически большим за-
паздыванием [5]:
x\prime (t, \varepsilon ) = \varepsilon f
\Bigl(
t, x (t, \varepsilon ) , x (t - \tau 1, \varepsilon ) , x
\Bigl(
t - \tau 2
\varepsilon
, \varepsilon
\Bigr) \Bigr)
, (11)
x (s, \varepsilon ) = \varphi (s, \varepsilon ) , - \tau 2
\varepsilon
\leq s \leq 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
418 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
г) нечетких дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием [6]:
x\prime (t) = \varepsilon f
\bigl(
t, x(t), x(\alpha (t))
\bigr)
, x(0) = x0; (12)
д) линейных нечетких дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием [22,
23];
е) нечетких дифференциальных уравнений с максимумом [41, 42]:
x\prime (t) = \varepsilon f
\biggl(
t, x(t), \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\tau \in [\gamma (t),g(t)]
| x(\tau )|
\biggr)
, x(0) = x0. (13)
1.2. Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами. В [27] рассмот-
рено обоснование схем полного и частичного усреднения для нечетких дифференциальных
уравнений с импульсами в фиксированные моменты времени
x\prime = \varepsilon f(t, x), t \not = \tau i, x(0) = x0, (14)
\Delta x| t=\tau i = \varepsilon Ii(x), (15)
где t \in \BbbR + — время, x : \BbbR + \rightarrow \BbbE n — фазовая переменная, \varepsilon > 0 — малый параметр, нечеткие
отображения f : \BbbR + \times \BbbE n \rightarrow \BbbE n, Ii : \BbbE n \rightarrow \BbbE n, начальное значение x0 принадлежит \BbbE n,
моменты импульсов \tau i \in \BbbR + занумерованы в возрастающем порядке.
Системе (14), (15) поставим в соответствие частично усредненную систему
y\prime = \varepsilon f(t, y), t \not = \sigma j , y(0) = x0, (16)
\Delta y| t=\sigma j = \varepsilon Ij(y), (17)
в которой нечеткие отображения f : \BbbR + \times \BbbE n \rightarrow \BbbE n, Ij : \BbbE n \rightarrow \BbbE n таковы, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
D
\left( T\int
0
f(t, x)dt+
\sum
0\leq \tau i<T
Ii(x),
T\int
0
f(t, x)dt+
\sum
0\leq \sigma j<T
Ij(x)
\right) = 0, (18)
моменты импульсов \sigma j \in \BbbR + занумерованы множеством натуральных чисел в возрастающем
порядке.
Справедлива следующая теорема, устанавливающая близость решений задач (14), (15) и
(16), (17) на конечном промежутке.
Теорема 5 [27]. Пусть в области Q =
\bigl\{
(t, x) : t \in \BbbR +, x \in G \subset \BbbE n
\bigr\}
выполнены следую-
щие условия:
1) отображение f(t, x) измеримо по t при каждом фиксированном x и существуют функ-
ция k(t) \geq 0, постоянная k0 \geq 0 и неубывающая функция \psi (u) \geq 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}u\downarrow 0 \psi (u) = 0, такие,
что D
\bigl(
f(t, x1), f(t, x2)
\bigr)
\leq k(t)\psi (D(x1, x2)) и
\int t2
t1
k(t)dt \leq k0(t2 - t1) на любом конечном
промежутке [t1, t2];
2) отображения Ii(x) таковы, что D
\bigl(
Ii(x1), Ii(x2)
\bigr)
\leq k0\psi
\bigl(
D(x1, x2)
\bigr)
;
3) отображение f(t, x) измеримо по t при каждом фиксированном x и удовлетворяет по
x условию Липшица с ограниченной суммируемой функцией \lambda (t) \geq 0, т. е.
D
\bigl(
f(t, x1), f(t, x2)
\bigr)
\leq \lambda (t)D(x1, x2), \lambda (t) \leq \lambda ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ 419
4) отображения Ij(x) удовлетворяют условию Липшица с постоянной \lambda :
D
\bigl(
Ij(x1), Ij(x2)
\bigr)
\leq \lambda D(x1, x2);
5) отображения f(t, x), f(t, x) интегрально ограничены, отображения Ii(x), Ij(x) рав-
номерно ограничены, т. е. существуют суммируемая функция M(t) \geq 0 и постоянная M0 \geq 0
такие, что
| f(t, x)| \leq M(t), | f(t, x)| \leq M(t), | Ii(x)| \leq M0, | Ij(x)| \leq M0
и
\int t2
t1
M(t)dt \leq M0(t2 - t1) на любом конечном промежутке [t1, t2];
6) равномерно относительно x в области G существуют предел (18) и постоянная 0 \leq
\leq d <\infty такая, что
1
T
i(t, t+ T ) \leq d,
1
T
j(t, t+ T ) \leq d,
где i(t, t + T ) и j(t, t + T ) — количество точек последовательностей \{ \tau i\} и \{ \sigma j\} соответ-
ственно на промежутке [t, t+ T ];
7) решение y(\cdot ), y(0) = x0 \in G\prime \subset G системы (16), (17) при t \in \BbbR + для всех \varepsilon \in (0, \theta ]
принадлежит области G вместе с некоторой \rho -окрестностью.
Тогда для любых \eta > 0 и L > 0 можно указать такое \varepsilon 0(\eta , L) \in (0, \theta ], что при \varepsilon \in (0, \varepsilon 0]
на отрезке t \in [0, L\varepsilon - 1] выполняется неравенство
D
\bigl(
x(t), y(t)
\bigr)
< \eta , (19)
где x(\cdot ) и y(\cdot ) — решения систем (14), (15) и (16), (17) соответственно.
Замечание 5. Пусть
f(t, x) \equiv f0(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
\left( T\int
0
f(t, x)dt+
\sum
0\leq \tau i<T
Ii(x)
\right) , Ii(x) \equiv \^0.
Тогда соотношение (18) выполнено и теорема 5 обосновывает схему полного усреднения.
1.3. Усреднение нечетких интегральных уравнений. В [70, 73] приведено обоснование
метода усреднения для нечеткого интегрального уравнения с малым параметром
x(t) = x0 + \varepsilon
t\int
0
f
\bigl(
t, s, x(s)
\bigr)
ds, (20)
где t \in \BbbR + — время, x : \BbbR + \rightarrow G,G \subset \BbbE n, \varepsilon — малый параметр.
Уравнению (20) поставим в соответствие усредненное нечеткое интегральное уравнение
\=x(t) = x0 + \varepsilon
t\int
0
\=f(t, \=x(s)) ds, (21)
где
\=f(t, x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
\tau +T\int
\tau
f(t, s, x) ds. (22)
Имеет место следующая теорема, устанавливающая близость решений уравнений (20) и
(21) на конечном промежутке.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
420 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
Теорема 6 [70, 73]. Пусть в области Q =
\bigl\{
(t, s, x) : t, s \in \BbbR +, x \in G \subset \BbbE n
\bigr\}
выполнены
следующие условия:
1) нечеткое отображение f(t, s, x) непрерывно и удовлетворяет по x условию Липшица
с постоянной \lambda ;
2) нечеткое отображение
\int t
0
f(t, s, x(s)) ds равномерно непрерывно на \BbbR + равномерно
относительно нечеткого непрерывного отображения x : \BbbR + \rightarrow G;
3) равномерно относительно t, \tau \in \BbbR +, x \in G существует предел (22);
4) решение \=x(\cdot ) уравнения (21) при x0 \in G\prime \subset G определено при t \in \BbbR + для всех \varepsilon \in (0, \sigma ]
и лежит с некоторой \rho -окрестностью в области G.
Тогда для любых \eta > 0 и L > 0 можно указать такое \varepsilon 0(\eta , L) \in (0, \sigma ], что при \varepsilon \in (0, \varepsilon 0]
для всех t \in [0, L\varepsilon - 1] выполняется неравенство
D
\bigl(
x(t), \=x(t)
\bigr)
< \eta ,
где x(\cdot ) и \=x(\cdot ) — решения уравнений (20) и (21) соответственно.
Данный результат обобщает результаты [16, 17, 57] по обоснованию метода усреднения
для нечетких дифференциальных уравнений, так как переходя от нечеткого дифференциально-
го уравнения к эквивалентному ему интегральному уравнению, убеждаемся, что условия 1,
3, 4 теоремы 6 выполнены вследствие соответствующих условий на правые части исход-
ного дифференциального уравнения, а условие 2 выполнено, так как нечеткое отображение\int t
0
f
\bigl(
s, x(s)
\bigr)
ds, где f(s, x) — правая часть дифференциального уравнения с производной Ху-
кухары, является липшицевым по времени t.
В [32] рассмотрены нечеткие интегральные уравнения с постоянным запаздыванием и обос-
нована возможность применения схемы усреднения на конечном промежутке.
В [45, 58] приведено обоснование различных схем метода усреднения для нечетких интегро-
дифференциальных уравнений, а в [9, 55, 56] — для нечетких управляемых систем.
2. Нечеткие дифференциальные включения. 2.1. Усреднение дифференциальных вклю-
чений с нечеткой правой частью. В 1989 г. В. А. Байдосов [1, 2] и J.-P. Aubin [36] ввели
понятие дифференциального включения с нечеткой правой частью
\.x(t) \in F
\bigl(
t, x(t)
\bigr)
, x(t0) = x0, (23)
где t \in I \subset \BbbR - время, x : I \rightarrow \BbbR n - фазовая переменная, \.x =
dx
dt
— производная вектор-
функции x(\cdot ), F : I \times \BbbR n \rightarrow \BbbE n — нечеткое отображение.
Определение 6 [39]. \alpha -Решением включения (23) назовем абсолютно непрерывную функ-
цию x : I \rightarrow \BbbR n, удовлетворяющую включению
\.x(t) \in
\bigl[
F (t, x(t))
\bigr] \alpha
, x(t0) = x0
почти всюду на I.
Множество всех \alpha -решений включения (23) в момент времени t обозначим через X\alpha (t).
В случае, когда семейство
\bigl\{
X\alpha (t), \alpha \in [0, 1]
\bigr\}
определяет нечеткое множество X(t), X(t)
называется множеством решений включения (23) в момент времени t.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ 421
Вопросы существования множества X(t), его свойства рассматривались в работах
А. В. Плотникова, S. Abbasbandy, T. Allahviranloo, P. Balasubramaniam, Y. Chalco-Cano,
E. Hullermeier, V. Lakshmikantham, O. Lopez-Pouso, K. K. Majumdar, R. N. Mohapatra, J. J. Nieto,
J. Y. Park, D. O’Regan, H. Roman-Flores, A. A. Tolstonogov и др. В работах А. В. Плотникова,
В. С. Васильковской, И. В. Молчанюк были введены управляемые дифференциальные включе-
ния с нечеткой правой частью, которые в дальнейшем рассматривались в работах А. В. Плот-
никова, Т. А. Комлевой, И. В. Молчанюк, T. Pzezuchowski, J. Wasowski и др.
В [52] доказана возможность применения метода усреднения на конечном промежутке для
дифференциальных включений с нечеткой правой частью, содержащих малый параметр:
\.x \in \varepsilon F (t, x), x(0) = x0. (24)
Если для любых t \in \BbbR +, x \in G существует предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
D
\left( t+T\int
t
F (t, x)dt,
t+T\int
t
\=F (t, x)dt
\right) , (25)
то включению (24) поставим в соответствие частично усредненное дифференциальное вклю-
чение с нечеткой правой частью
\.y \in \varepsilon \=F (t, y), y(0) = x0. (26)
Определение 7. Говорят, что отображение F : \BbbR \times \BbbR n \rightarrow \BbbE n вогнутозначно по x, если
\beta
\bigl[
F (t, x)
\bigr] \alpha
+ (1 - \beta )
\bigl[
F (t, y)
\bigr] \alpha \subset
\bigl[
F (t, \beta x+ (1 - \beta )y)
\bigr] \alpha
для любых \beta \in [0, 1] и \alpha \in [0, 1].
Теорема 7 [52]. Пусть в области Q = \{ t \in \BbbR +, x \in G \subset \BbbR n\} , где G выпукло, выполня-
ются следующие условия:
1) нечеткие отображения F, \=F : Q \rightarrow \BbbE n непрерывны, равномерно ограничены постоян-
ной M, удовлетворяют условию Липшица по x с постоянной \lambda и вогнутозначны по x;
2) равномерно относительно t \in \BbbR + и x \in G существует предел (25);
3) для любых x0 \in G\prime \subset G и t \in \BbbR + \alpha -решения включения (26) вместе с \rho -окрестностью
принадлежат области G для всех \alpha \in [0, 1].
Тогда для любых \eta \in (0, \rho ] и L > 0 существует \varepsilon 0(\eta , L) > 0 такое, что для всех \varepsilon \in (0, \varepsilon 0]
и t \in [0, L\varepsilon - 1] выполняется неравенство
D
\bigl(
X(t), Y (t)
\bigr)
< \eta , (27)
где X(t) — множество решений включения (24), Y (t) — множество решений включения (26).
Замечания. 6. В случае, когда \=F (t, x) \equiv \=F (x), теорема обосновывает схему полного усред-
нения.
7. Требование вогнутозначности правых частей исходного включения является достаточно
сильным и необходимо для обеспечения выпуклости множеств \alpha -решений исходного и усред-
ненного включений для любого \alpha \in [0, 1]. Если решение рассматривать в пространстве \Sigma n
отображений x : \BbbR n \rightarrow [0, 1], удовлетворяющих условиям 1, 3 и 4 из определения пространства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
422 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
\BbbE n, то требование вогнутозначности можно опустить, при этом утверждения теорем останутся
в силе.
В статье [8] отдельно рассматривается периодический случай и обосновывается схема пол-
ного усреднения.
В [19, 60] доказана возможность применения схем частичного и полного усреднения для
дифференциального включения (24), при этом введено понятие R-решения дифференциаль-
ного включения с нечеткой правой частью и при доказательстве не осуществлялся переход к
отдельным \alpha -решениям. В [61] с помощью данного подхода исследован линейный случай.
В [53] идеи метода усреднения распространены на случай, когда предел (25) не существует,
но найдутся нечеткие многозначные отображения F - , F+ : G\rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbE n) такие, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
\beta
\left( F - (x),
1
T
T\int
0
F (t, x)dt
\right) = 0,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
\beta
\left( 1
T
T\int
0
F (t, x)dt, F+(x)
\right) = 0,
где \beta (F,G) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}f\in F \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}g\in GD(f, g).
2.2. Усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью.
В [30] приведено обоснование возможности применения метода полного усреднения на конеч-
ном промежутке для импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью,
содержащих малый параметр:
\.x \in \varepsilon F (t, x), t \not = \tau i, x(0) = x0,
\Delta x| t=\tau i \in \varepsilon Ii(x).
(28)
Если для любых t \in \BbbR +, x \in G существует предел
\=F (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
\left( 1
T
t+T\int
t
F (t, x)dt+
1
T
\sum
t\leq \tau i<t+T
Ii(x)
\right) , (29)
то включению (28) поставим в соответствие усредненное дифференциальное включение с
нечеткой правой частью
\.y \in \varepsilon \=F (y), y(0) = x0. (30)
Теорема 8 [30]. Пусть в области Q = \{ t \in \BbbR +, x \in G \subset \BbbR n\} , где G выпукло, выполня-
ются следующие условия:
1) нечеткие отображения F : Q\rightarrow \BbbE n, Ii : G\rightarrow \BbbE n непрерывны, равномерно ограничены
постоянной M, удовлетворяют условию Липшица по x с постоянной \lambda и вогнутозначны по x;
2) равномерно относительно t \in \BbbR + и x \in G существует предел (29) и
1
T
i(t, t+ T ) \leq \nu , \nu <\infty ,
где i(t, t+ T ) — количество точек последовательности \{ \tau i\} на промежутке (t, t+ T ];
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ 423
3) для любых x0 \in G\prime \subset G и t \in \BbbR + \alpha -решения включения (30) вместе с \rho -окрестностью
принадлежат области G для всех \alpha \in [0, 1].
Тогда для любых \eta \in (0, \rho ] и L > 0 существует \varepsilon 0(\eta , L) > 0 такое, что для всех \varepsilon \in (0, \varepsilon 0]
и t \in [0, L\varepsilon - 1] выполняется неравенство
D
\bigl(
X(t), Y (t)
\bigr)
< \eta , (31)
где X(t) — множество решений включения (28), Y (t) — множество решений включения (30).
Замечания. 8. Если нечеткие отображения F (t, x) и Ii(x) периодичны по t, можно получить
более точные оценки [30].
9. Для импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью (28) мож-
но применять метод частичного усреднения [31] (как частный случай схемы ступенчатого
усреднения [71]), а также в случае отсутствия среднего получать внешнюю и внутреннюю
аппроксимации множества решений [72].
2.3. Усреднение нечетких дифференциальных включений. Введем в рассмотрение про-
странство \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}(\BbbE n)
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbE n)
\bigr)
, состоящее из всех подмножеств F пространства \BbbE n таких,
что для любого \alpha \in [0, 1] множество, составленное из \alpha -срезок элементов множества F, являет-
ся непустым (и выпуклым) компактом в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) (т. е. элементом пространства
\mathrm{c}\mathrm{c}(\BbbR n)
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{c}(\BbbR n)
\bigr)
[21] ).
Определение 8. Метрикой, или расстоянием, между двумя множествами F,G \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}(\BbbE n)
назовем величину
d(F,G) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
f\in F
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
g\in G
D(f, g),\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
g\in G
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
f\in F
D(f, g)
\Bigr\}
.
В работах [26, 29, 50] введено понятие нечеткого дифференциального включения
x\prime \in F (t, x), x(0) = x0,
рассмотрены различные понятия решения (классическое, обычное, обобщенное и квазиреше-
ние) и изучена связь между множествами таких решений, доказаны теоремы существования
и непрерывной зависимости. Данный вид дифференциальных включений обобщает нечеткие
дифференциальные уравнения (в случае, когда F : \BbbR +\times \BbbE n \rightarrow \BbbE n) и дифференциальные вклю-
чения с нечеткой правой частью (если F : \BbbR + \times \BbbR n \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}(\BbbE n)).
Рассмотрим нечеткое дифференциальное включение с малым параметром
x\prime \in \varepsilon F (t, x), x(0) = x0, (32)
где t \in \BbbR + — время, x \in G \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}(\BbbE n) — фазовая переменная, x\prime — производная нечеткого
отображения x(\cdot ), \varepsilon > 0 — малый параметр, F : \BbbR +\times G\rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbE n) — нечеткое многозначное
отображение.
Определение 9 [50]. Абсолютно непрерывное отображение x : I \rightarrow \BbbE n называется (обыч-
ным) решением дифференциального включения (32), если x\prime (t) принадлежит \varepsilon F (t, x(t)) почти
всюду на I.
Включению (32) поставим в соответствие усредненное нечеткое дифференциальное вклю-
чение
\xi \prime \in \varepsilon \=F (\xi ), \xi (0) = x0, (33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
424 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
где
\=F (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
T\int
0
F (t, x)dt. (34)
Теорема 9 [64]. Пусть в области Q =
\bigl\{
t \in \BbbR +, x \in G \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}(\BbbE n)
\bigr\}
выполнены следую-
щие условия:
1) нечеткое многозначное отображение F (t, x) непрерывно, равномерно ограничено по-
стоянной M, удовлетворяет условию Липшица по x с постоянной \lambda , т. е.\bigm| \bigm| F (t, x)\bigm| \bigm| = d
\bigl(
F (t, x), \{ \^0\}
\bigr)
\leq M, d
\bigl(
F (t, x), F (t, y)
\bigr)
\leq \lambda D(x, y);
2) равномерно относительно x в области G существует предел (34);
3) для любых x0 \in G\prime \subset G и t \in \BbbR + решения включения (33) принадлежат области G
вместе с некоторой \rho -окрестностью.
Тогда для любых \eta \in (0, \rho ] и L > 0 существует \varepsilon 0(\eta , L) > 0 такое, что для всех \varepsilon \in (0, \varepsilon 0]
и t \in [0, L\varepsilon - 1] справедливы следующие утверждения:
1) для любого решения \xi (\cdot ) включения (33) существует решение x(\cdot ) включения (32) такое,
что
D
\bigl(
x(t), \xi (t)
\bigr)
< \eta ; (35)
2) для любого решения x(\cdot ) включения (32) существует решение \xi (\cdot ) включения (33) такое,
что справедлива оценка (35).
В случае, когда нарушается равномерная сходимость в (34), справедлива следующая теоре-
ма.
Теорема 10 [64]. Пусть в области Q, где G замкнуто, выполнены следующие условия:
1) нечеткое многозначное отображение F (t, x) непрерывно, локально удовлетворяет усло-
вию Липшица по x;
2) в каждой точке x \in G существует предел (34);
3) для любых x0 \in G\prime \subset G и t \in \BbbR + решения включения (33) вместе с \rho -окрестностью
принадлежат области G.
Тогда для любых \eta \in (0, \rho ] и L > 0 существует \varepsilon 0(\eta , L, x0) > 0 такое, что для всех
\varepsilon \in (0, \varepsilon 0] и t \in [0, L\varepsilon - 1] справедливы утверждения 1 и 2 теоремы 9.
Замечание 10. Если нечеткое многозначное отображение F (t, x) периодично по t, можно
получить более точную оценку.
В [67] показано, что для нечетких дифференциальных уравнений с малым параметром
можно проводить не полное, а частичное усреднение. В работах [64, 67] отдельно рассмотрен
случай, когда правая часть периодична по времени t. В [69] изучен случай, когда предел (34)
не существует.
2.4. Усреднение нечетких импульсных дифференциальных включений. В [65] приведено
обоснование схемы полного усреднения на конечном промежутке для нечеткого импульсного
дифференциального включения
x\prime \in \varepsilon F (t, x), t \not = \tau i, x(0) = x0,
\Delta x| t=\tau i \in \varepsilon Ii(x).
(36)
Если для любых t \in \BbbR +, x \in G существует предел
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ 425
\=F (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
\left( 1
T
t+T\int
t
F (t, x)dt+
1
T
\sum
t\leq \tau i<t+T
Ii(x)
\right) , (37)
то включению (36) поставим в соответствие усредненное включение
y\prime \in \varepsilon \=F (y), y(0) = x0. (38)
Теорема 11 [65]. Пусть в области Q = \{ t \in \BbbR +, x \in G \subset \BbbE n\} выполняются следующие
условия:
1) нечеткие многозначные отображения F : Q \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbE n), Ii : G \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbE n) непре-
рывны, равномерно ограничены постоянной M и удовлетворяют условию Липшица по x с
постоянной \lambda ;
2) равномерно относительно t \in \BbbR + и x \in G существует предел (37) и
1
T
i(t, t+ T ) \leq \nu , \nu <\infty ,
где i(t, t+ T ) — количество точек последовательности \{ \tau i\} на промежутке (t, t+ T ];
3) для любых x0 \in G\prime \subset G и t \in \BbbR + решения включения (38) вместе с некоторой \rho -
окрестностью принадлежат области G.
Тогда для любых \eta \in (0, \rho ] и L > 0 существует \varepsilon 0(\eta , L) > 0 такое, что для всех \varepsilon \in (0, \varepsilon 0]
и t \in
\bigl[
0, L\varepsilon - 1
\bigr]
справедливы следующие утверждения:
1) для любого решения y(\cdot ) включения (38) существует решение x(\cdot ) включения (36) такое,
что
D
\bigl(
x(t), y(t)
\bigr)
< \eta ; (39)
2) для любого решения x(\cdot ) включения (36) существует решение y(\cdot ) включения (38) такое,
что справедлива оценка (39).
Замечания. 11. Если нечеткие многозначные отображения F (t, x) и Ii(x) периодичны по t,
можно получить более точную оценку [65].
12. В [68] рассмотрен вариант схемы частичного усреднения для включения (36).
В [18, 54, 59] идеи метода усреднения распространены на нечеткие интегро-дифференциаль-
ные включения, а также управляемые нечеткие интегро-дифференциальные включения.
3. Заключение. В данном обзоре приведены результаты по обоснованию метода усредне-
ния для некоторых классов нечетких систем: нечетких дифференциальных уравнений, нечет-
ких дифференциальных уравнений с запаздыванием, нечетких дифференциальных уравнений
с импульсным воздействием, нечетких интегральных уравнений, нечетких дифференциальных
включений и дифференциальных включений с нечеткой правой частью при отсутствии и на-
личии импульсного воздействия.
Литература
1. Байдосов В. А. Дифференциальные включения с нечеткой правой частью // Докл. АН СССР. – 1989. – 309,
№ 4. – С. 781 – 783.
2. Байдосов В. А. Нечеткие дифференциальные включения // Прикл. математика и механика. – 1990. – 54, вып. 1. –
С. 12 – 17.
3. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.:
Наука, 1974. – 503 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
426 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
4. Гребенников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. – М.: Наука, 1986. – 256 с.
5. Кiчмаренко О. Д., Скрипник Н. В. Нечiткi диференцiальнi рiвняння iз запiзненням // Вiсн. Київ. нац. ун-ту.
Математика, механика. – 2008. – Вип. 19. – С. 18 – 23.
6. Кичмаренко О. Д., Скрипник Н. В. Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием //
Нелiнiйнi коливання. – 2008. – 11, № 3. – С. 316 – 328.
7. Комлева Т. А., Плотников А. В., Плотникова Л. И. Усреднение нечетких дифференциальных уравнений // Тр.
Одес. политехн. ун-та. – 2007. – Вып. 1 (27). – С. 185 – 190.
8. Комлева Т. А., Плотников А. В., Плотникова Л. И. Усреднение дифференциальных включений с нечеткой
правой частью на конечном промежутке // Тр. Одес. политехн. ун-та. – 2009. – Вып. 1(33) – 2(34). – С. 192 – 196.
9. Комлева Т. А., Плотников А. В., Плотникова Л. И., Скрипник Н. В. Усреднение нечетких управляемых систем //
Нелiнiйнi коливання. – 2011. – 14, № 3. – C. 325 – 332.
10. Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // Успехи мат. наук. –
1955. – 10, № 3(65). – С. 147 – 152.
11. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. – Киев: Изд-во АН УССР, 1937. – 363 с.
12. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. – Киев: Наук. думка, 1971. – 440 с.
13. Митропольский Ю. А., Хома Г. Л. Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной меха-
ники. – Киев: Наук. думка, 1983. – 216 с.
14. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. – М.: Наука, 1981. – 400 с.
15. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциальные урав-
нения с многозначной и разрывной правой частью. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2007. – 428 с.
16. Плотников А. В., Скрипник Н. В. Дифференциальные уравнения с „четкой” и нечеткой многозначной правой
частью. Асимптотические методы. – Одесса: Астропринт, 2009. – 192 с.
17. Плотников А. В., Комлева Т. А. Усреднение нечетких дифференциальных уравнений на конечном промежутке //
Нелiнiйнi коливання. – 2011. – 14, № 4. – C. 516 – 527.
18. Плотников А. В. Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным крите-
рием качества // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 1. – C. 105 – 110.
19. Плотников А. В. Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном проме-
жутке // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 3. – С. 366 – 374.
20. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. – Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. – 187 с.
21. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью.
Асимптотические методы. – Одесса: Астропринт, 1999. – 354 с.
22. Плотникова Л. И., Скрипник Н. В. Усреднение линейных нечетких дифференциальных уравнений с запазды-
ванием // Тр. Одес. политехн. ун-та. – 2008. – Вып. 1 (29). – С. 224 – 230.
23. Полетаева О. В., Скрипник Н. В. Усереднення лiнiйних нечiтких диференцiальних рiвнянь iз запiзненням //
Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика, механiка. – 2012. – 17, вип. 3 (5). – C. 27 – 37.
24. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – Киев: Вища
шк., 1987. – 288 с.
25. Сасонкина М. С., Скрипник Н. В. Усреднение нечетких дифференциальных уравнений // Вiсн. Одес. нац. ун-ту.
Математика, механiка. – 2010. – 15, вип. 19. – С. 109 – 118.
26. Скрипник Н. В. Существование классических решений нечетких дифференциальных включений // Укр. мат.
вестн. – 2008. – 5. – С. 244 – 257.
27. Скрипник Н. В. Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами // Нелiнiйнi коливання. –
2008. – 11, № 4. – С. 530 – 540.
28. Скрипник Н. В. Теорема Красносельского – Крейна для нечетких дифференциальных уравнений // Вiсн. Одес.
нац. ун-ту. Математика, механiка. – 2009. – 14, вип. 20. – С. 115 – 122.
29. Скрипник Н. В. Квазирешения нечетких дифференциальных включений // Нелiнiйнi коливання. – 2011. – 14,
№ 4. – С. 528 – 535.
30. Скрипник Н. В. Усреднение импульcных дифференциальных включений с нечеткой правой частью // Укр. мат.
журн. – 2014. – 66, № 11. – С. 1563 – 1577.
31. Скрипник Н. В. Схема частичного усреднения для импульсных дифференциальных включений с нечеткой
правой частью // Мат. студ. – 2015. – 43, №2. – С. 129 – 139.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ 427
32. Скрипник Н. В. Усреднение нечетких интегральных уравнений с постоянным запаздыванием // Дослiдження
в математицi i механiцi. – 2016. – 21, вип. 2(28). – С. 55 – 63.
33. Филатов А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравне-
ний. – Ташкент: Фан, 1974. – 216 с.
34. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
35. Allaoui A., Melliani S., Allaoui Y., Chadli L.S. Averaging of intuitionistic fuzzy differential equations // Notes Intuit.
Fuzzy Sets. – 2017. – 23, № 2. – P. 44 – 54.
36. Aubin J.-P. Fuzzy differential inclusions // Probl. Control Inform. Theory. – 1990. – 19, № 1. – P. 55 – 67.
37. Chakraverty S., Tapaswini S., Behera D. Fuzzy differential equations and applications for engineers and scientists. –
CRC Press, 2017. – 224 p.
38. Gama R., Smirnov G. Stability and optimality of solutions to differential inclusions via averaging method // Set-Valued
and Var. Anal. – 2014. – 22, № 2. – P. 349 – 374.
39. Hullermeier E. An approach to modelling and simulation of uncertain dynamical system // Internat. J. Uncertain.,
Fuzziness and Knouledge-Based Systems. – 1997. – № 7. – P. 117 – 137.
40. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. – 1987. – 24, № 3. – P. 301 – 317.
41. Kichmarenko O. D., Skripnik N. V. One scheme of averaging of fuzzy differential equations with maxima // J. Adv.
Res. Appl. Math. – 2011. – 3, № 1. – P. 94 – 103.
42. Kichmarenko O. D., Skripnik N. V. The partial averaging of fuzzy differential equations with maxima // Adv. Dyn.
Syst. and Appl. – 2011. – 6, № 2. – P. 199 – 207.
43. Klimchuk S., Plotnikov A., Skripnik N. Overview of V. A. Plotnikov’s research on averaging of differential inclusions //
Physica D. – 2012. – 241, № 22. – P. 1932 – 1947.
44. Komleva T. A. The full averaging of linear fuzzy differential equations with 2\pi -periodic right-hand side // J. Adv.
Res. Dyn. Control Systems. – 2011. – 3, № 1. – P. 12 – 25.
45. Komleva T. A., Plotnikova L. I., Plotnikov A. V. The averaging of fuzzy integrodifferential equations on a finite
interval // J. Adv. Res. Appl. Math. – 2014. – 6, № 3. – P. 47 – 59.
46. Lakrib M., Guen R., Bourada A. Averaging for fuzzy differential equations // Surv. Math. and Appl. – 2014. – № 9. –
P. 93 – 104.
47. Lakrib M., Guen R., Bourada A. An averaging result for fuzzy differential equations with a small parameter // Ann.
Rev. Chaos Theory, Bifurcations and Dyn. Systems. – 2015. – 5. – P. 1 – 9.
48. Lakshmikantham V., Mohapatra R. N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions. – London: Taylor and
Francis Publ., 2003. – 178 p.
49. Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential equations with impulse effects:
multivalued right-hand sides with discontinuities // De Gruyter Stud. Math. – 2011. – 40. – 307 p.
50. Plotnikov A. V., Skripnik N. V. The generalized solutions of the fuzzy differential inclusions // Int. J. Pure and Appl.
Math. – 2009. – 56, № 2. – P. 165 – 172.
51. Plotnikov A. V., Komleva T. A. The full averaging of linear fuzzy differential equations // J. Adv. Res. Different.
Equat. – 2010. – 2, № 3. – P. 21 – 34.
52. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Plotnikova L. I. The partial averaging of differential inclusions with fuzzy right-hand
side // J. Adv. Res. Dyn. Control Systems. – 2010. – 2, № 2. – P. 26 – 34.
53. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Plotnikova L. I. On the averaging of differential inclusions with fuzzy right-hand side
when the average of the right-hand side is absent // Iran. J. Optim. – 2010. – 2, № 3. – P. 506 – 517.
54. Plotnikov A. V. Averaging of fuzzy integrodifferential inclusions // Int. J. Control Sci. Eng. – 2011. – 1, №. 1. –
P. 8 – 14.
55. Plotnikov A. V. The averaging of control linear fuzzy differential equations // J. Adv. Res. Appl. Math. – 2011. – 3,
№ 3. – P. 1 – 20.
56. Plotnikov A. V., Komleva T. A. The averaging of control linear fuzzy 2 \pi -periodic differential equations // DCDIS.
Ser. B. Appl. and Algorithms. – 2011. – 18, № 6. – P. 833 – 847.
57. Plotnikov A. V., Komleva T. A. Averaging of the fuzzy differential equations // J. Uncertain Systems. – 2012. – 6,
№ 1. – P. 30 – 37.
58. Plotnikov A. V., Komleva T. A. The full averaging of fuzzy integrodifferential equations // J. Adv. Res. Dyn. Control
Systems. – 2012. – 4, № 1. – P. 48 – 59.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
428 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
59. Plotnikov A. V., Komleva T. A. Full averaging of control fuzzy integrodifferential inclusions with terminal criterion
of quality // Int. J. Control Sci. Eng. – 2013. – 3, № 2. – P. 68 – 72.
60. Plotnikov A. V., Komleva T. A. The partial averaging of fuzzy differential inclusions on finite interval // Int. J.
Different. Equat. – 2014. – 2014. – Article ID 307941. – 5 p.
61. Plotnikov A. V. The averaging of fuzzy linear differential inclusions on finite interval // DCDIS. Ser. B. Appl. and
Algorithms. – 2016. – 23, №1. – P. 1 – 9.
62. Puri M. L., Ralescu D. A. Differential of fuzzy functions // J. Math. Anal. and Appl. – 1983. – 91. – P. 552 – 558.
63. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. – Singapore: World Sci., 1995. – 462 p.
64. Skripnik N. V. The full averaging of fuzzy differential inclusions // Iran. J. Optim. – 2009. – 1, № 3. – С. 302 – 317.
65. Skripnik N. V. The full averaging of fuzzy impulsive differential inclusions // Surv. Math. and Appl. – 2010. – 5. –
P. 247 – 263.
66. Skripnik N. V. Linear fuzzy differential equations // J. Uncertain Systems. – 2011. – 5, № 4. – P. 305 – 313.
67. Skripnik N. V. The partial averaging of fuzzy differential inclusions // J. Adv. Res. Different. Equat. – 2011. – 3,
№ 1. – P. 52 – 66.
68. Skripnik N. V. The partial averaging of fuzzy impulsive differential inclusions // Different. and Integral Equat. –
2011. – 24, № 7-8. – P. 743 – 758.
69. Skripnik N. V. Averaging of fuzzy differential inclusions when the average of the right-hand side is absent // DCDIS.
Ser. A. Math. Anal. – 2012. – 19, № 2. – P. 187 – 198.
70. Skripnik N. V. Averaging of fuzzy integral equations // Appl. Math. and Phys. – 2013. – 1, № 3. – P. 39 – 44.
71. Skripnik N. Step scheme of averaging method for impulsive differential inclusions with fuzzy right-hand side //
Contemp. Methods Math. Phys. and Gravitation. – 2015. – 1, № 1. – P. 9 – 26.
72. Skripnik N. Averaging of impulsive differential inclusions with fuzzy right-hand side when the average is absent //
Asian-Eur. J. Math. – 8, № 4. – 2015. – P.1550086-1 – 1550086-12.
73. Skripnik N. Averaging of fuzzy integral equations // Discrete and Contin. Dyn. Systems. Ser. B. – 2017. – 22, № 5. –
P.1999 – 2010.
74. Zadeh L. Fuzzy sets // Inform. Control. – 1965. – № 8. – P. 338 – 353.
Получено 08.09.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1565 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:12Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bb/9b10668525037b41810e0c1262f8a6bb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15652019-12-05T09:18:29Z Averaging of fuzzy systems Усреднение нечетких систем Perestyuk, N. A. Skripnik, N. V. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. We develop the ideas of the method of averaging for some classes of fuzzy systems (fuzzy differential equations with delay, fuzzy differential equations with pulsed action, fuzzy integral equations, fuzzy differential inclusions and differential inclusions with fuzzy right-hand sides without and with pulsed action). Розглянуто розвиток iдей методу усереднення для деяких класiв нечiтких систем (нечiтких диференцiальних рiвнянь iз запiзненням, нечiтких диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом, нечiтких iнтегральних рiвнянь, нечiтких диференцiальних включень i диференцiальних включень з нечiткою правою частиною при вiдсутностi та наявностi iмпульсного впливу). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1565 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 3 (2018); 412-428 Український математичний журнал; Том 70 № 3 (2018); 412-428 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1565/547 Copyright (c) 2018 Perestyuk N. A.; Skripnik N. V. |
| spellingShingle | Perestyuk, N. A. Skripnik, N. V. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. Averaging of fuzzy systems |
| title | Averaging of fuzzy systems |
| title_alt | Усреднение нечетких систем |
| title_full | Averaging of fuzzy systems |
| title_fullStr | Averaging of fuzzy systems |
| title_full_unstemmed | Averaging of fuzzy systems |
| title_short | Averaging of fuzzy systems |
| title_sort | averaging of fuzzy systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1565 |
| work_keys_str_mv | AT perestyukna averagingoffuzzysystems AT skripniknv averagingoffuzzysystems AT perestûkna averagingoffuzzysystems AT skripniknv averagingoffuzzysystems AT perestûkna averagingoffuzzysystems AT skripniknv averagingoffuzzysystems AT perestyukna usrednenienečetkihsistem AT skripniknv usrednenienečetkihsistem AT perestûkna usrednenienečetkihsistem AT skripniknv usrednenienečetkihsistem AT perestûkna usrednenienečetkihsistem AT skripniknv usrednenienečetkihsistem |