Approximate and information aspects of the numerical solution of unstable integral and pseudodifferential equations
We present a review of the latest results obtained in the field of numerical solution of unstable integral and pseudodifferential equations. New versions of fully discrete projection and collocation methods are constructed and justified. It is shown that these versions are characterized by the optim...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1566 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507369702686720 |
|---|---|
| author | Semenova, E. V. Solodkii, S. G. Семенова, Є. В. Солодкий, С. Г. |
| author_facet | Semenova, E. V. Solodkii, S. G. Семенова, Є. В. Солодкий, С. Г. |
| author_sort | Semenova, E. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:29Z |
| description | We present a review of the latest results obtained in the field of numerical solution of unstable integral and pseudodifferential
equations. New versions of fully discrete projection and collocation methods are constructed and justified. It is shown that
these versions are characterized by the optimal accuracy and cost efficiency, as far as the use of computational resources is
concerned. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.642
С. Г. Солодкий, Є. В. Семенова (Iн-т математики НАН України, Київ)
АПРОКСИМАЦIЙНI ТА IНФОРМАЦIЙНI АСПЕКТИ
ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕСТIЙКИХ IНТЕГРАЛЬНИХ
ТА ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
We present a review of the latest results obtained in the field of numerical solution of unstable integral and pseudodifferential
equations. New versions of fully discrete projection and collocation methods are constructed and justified. It is shown that
these versions are characterized by the optimal accuracy and cost efficiency, as far as the use of computational resources is
concerned.
Приведен обзор последних результатов в области численного решения неустойчивых интегральных и псевдодиф-
ференциальных уравнений. Построены и обоснованы новые версии полностью дискретных проекционного и кол-
локационного методов, которые являются оптимальными по точности и экономичными по объему использованных
вычислительных ресурсов.
1. Вступ. Iдея впровадження оператора, який би розширював поняття диференцiального опера-
тора та об’єднував його з сингулярним iнтегральним оператором, виникла в серединi минулого
столiття (див., наприклад, [13]). У раннiх дослiдженнях подiбнi об’єднанi оператори мали рiзнi
назви, зокрема в [5] їх називали сингулярними iнтегро-диференцiальними операторами. Без-
посередньо термiн „псевдодиференцiальний оператор” для позначення таких об’єктiв уперше
з’явився в 1965 роцi у статтях [14, 17, 19]. У подальшому цей термiн став загальновизнаним
i залишився у науковiй лiтературi. Основи загальної теорiї псевдодиференцiальних операто-
рiв було закладено у подальших роботах, серед яких слiд вiдзначити монографiї [6, 10, 29].
Що стосується елiптичних псевдодиференцiальних операторiв, то розвиток вiдповiдної теорiї
пов’язаний насамперед з роботами М. Вiшика [3], Г. Ескiна [11], Буте де Монвеля [20]. Де-
тально ознайомитися з дослiдженнями у цiй галузi можна в iсторичному оглядi, що мiститься
у роздiлi 18 монографiї [1].
Створення теорiї псевдодиференцiальних операторiв надало потужний поштовх розвитку
чисельних методiв розв’язування вiдповiдних рiвнянь. Як вiдомо (див. [24]), елiптичнi псевдо-
диференцiальнi рiвняння (елiптичнi ПДР) можуть бути нестiйкими до малих збурень у вхiдних
даних. Такi задачi потребують застосування регуляризацiї при їх чисельному розв’язуваннi.
Специфiка елiптичних ПДР дозволяє досягати стiйкостi наближень за допомогою належного
вибору пари просторiв (наприклад, соболєвських або шаудерiвських). У фаховiй лiтературi та-
кий пiдхiд отримав назву саморегуляризацiї (див., наприклад, [2]). Його суттю (та принциповою
вiдмiннiстю вiд тихоновської регуляризацiї) є можливiсть побудови стiйких апроксимацiй без
використання окремого параметра регуляризацiї: потрiбна точнiсть розв’язування забезпечу-
ється шляхом „налаштування” параметра/iв дискретизацiї, в результатi чого вiдбувається регу-
ляризацiя задачi. При цьому варто зазначити, що вибiр завеликого значення параметра дискре-
тизацiї призводить до нестiйких наближень, а замалого — до збiльшення похибки. В залежностi
вiд iнформацiї про рiвняння, що розглядається, розрiзняють два типи технiк вибору параметра
дискретизацiї: апрiорний та апостерiорний. Дану статтю присвячено побудовi оптимальних за
точнiстю чисельних методiв розв’язування одного класу перiодичних iнтегральних рiвнянь, що
c\bigcirc С. Г. СОЛОДКИЙ, Є. В. СЕМЕНОВА, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3 429
430 С. Г. СОЛОДКИЙ, Є. В. СЕМЕНОВА
мiстить елiптичнi ПДР. При цьому стiйкiсть наближень досягається шляхом саморегуляризацiї
з використанням апрiорних та апостерiорних технiк вибору параметрiв дискретизацiї.
Опишемо коротко структуру статтi. У пунктi 2 дослiджуються апроксимацiйнi та iнфор-
мацiйнi властивостi нових повнiстю дискретних версiй проекцiйного методу для чисельного
розв’язування перiодичних iнтегральних рiвнянь. Докладний опис та приклади рiвнянь, що
розглядаються, наведено у пiдпунктi 2.1. Дослiдження точностi запропонованого пiдходу в
апрiорному випадку проведено у пiдпунктi 2.2, а в апостерiорному випадку — у пiдпунктi 2.3.
У пунктi 3 дослiджуються повнiстю дискретнi версiї проекцiйного та колокацiйного методiв
для розв’язування iнтегрального рiвняння Сiмма. Оцiнки похибки для цих методiв наведено у
пiдпунктах 3.2 та 3.3. Оптимальностi отриманих оцiнок присвячено пiдпункт 3.4.
2. Клас перiодичних iнтегральних рiвнянь. Наслiдуючи [24] (§ 6.3), розглянемо клас
перiодичних iнтегральних рiвнянь, що мiстить елiптичнi ПДР.
Нехай H\lambda та H\lambda 1,\lambda 2 , - \infty < \lambda , \lambda 1, \lambda 2 < \infty , — соболєвськi простори 1-перiодичних та
1-бiперiодичних функцiй iз нормами
\| u\| \lambda :=
\Biggl( \sum
n\in \BbbZ
| n| 2\lambda | \^u(n)| 2
\Biggr) 1/2
< \infty ,
\| a\| \lambda 1,\lambda 2 :=
\left( \sum
(k,l)\in \BbbZ 2
| k| 2\lambda 1 | l| 2\lambda 2 | \^a(k, l)| 2
\right) 1/2 < \infty ,
де
\^u(n) =
1\int
0
e - n(t)u(t) dt, \^a(k, l) =
1\int
0
1\int
0
e - k(t)e - l(s)a(t, s) dt ds
— коефiцiєнти Фур’є функцiй u(t) та a(t, s) за тригонометричним базисом \{ ek\} +\infty
k= - \infty , ek(t) =
= ei2\pi kt, t \in [0, 1]. Тут H0 = L2(0, 1). Через C\infty = C\infty ([0, 1]2) позначимо простiр, який
складається з нескiнченно гладких 1-бiперiодичних функцiй двoх змiнних.
Розглянемо iнтегральне рiвняння Фредгольма першого роду
\scrA u(t) = f(t), t \in [0, 1], (2.1)
де оператор \scrA має вигляд
\scrA =
q\sum
p=0
Ap, Apu(t) =
1\int
0
kp(t - s)ap(t, s)u(s) ds, (2.2)
f та kp — 1-перiодичнi функцiї, а ap \in C\infty ([0, 1]2), p = 0, . . . , q. Далi припускатимемо, що
a0(t, t) \not = 0 \forall t \in [0, 1], (2.3)
а для коефiцiєнтiв Фур’є \^kp(n) при деяких \alpha \in \BbbR та \beta > 0 виконуються умови
c00| n| \alpha \leq | \^k0(n)| \leq c0| n| \alpha , n \in \BbbZ /0, (2.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
АПРОКСИМАЦIЙНI ТА IНФОРМАЦIЙНI АСПЕКТИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 431
| \^k0(n) - \^k0(n - 1)| \leq cn\alpha - \beta , n \in \BbbZ , (2.5)
| \^kp(n)| \leq cn\alpha - \beta , n \in \BbbZ , p = 1, . . . , q. (2.6)
Тут c, c0, c00 > 0 i
n =
\left\{ | n| , n \in \BbbZ /0,
1, n = 0.
Слiд зауважити, що значення \alpha = 0 вiдповiдає сингулярним рiвнянням, а у випадку \alpha = 1
отримаємо гiперсингулярнi рiвняння. Найбiльш змiстовним є випадок, коли \alpha < 0. Такi \alpha
мають елiптичнi ПДР.
Наслiдуючи [24] (розд. 7), запишемо оператор \scrA (2.2) у виглядi
\scrA = D +
q\sum
p=1
A\prime
p,
де D \in \scrL (H\lambda , H\lambda - \alpha ) утворює iзоморфiзм мiж просторами H\lambda та H\lambda - \alpha при будь-якому \lambda \in
\in ( - \infty ,\infty ), а оператори A\prime
p \in \scrL (H\lambda , H\lambda - \alpha +\beta ), p = 1, . . . , q, є компактними на парах просторiв
H\lambda та H\lambda - \alpha . Тодi оператор \scrA утворює iзоморфiзм мiж просторами H\lambda та H\lambda - \alpha , а рiвнян-
ня (2.1) є однозначно розв’язуваним. Тобто iснують сталi c\prime \lambda , c
\prime \prime
\lambda > 0 такi, що для довiльного
v \in H\lambda виконується спiввiдношення
c\prime \lambda \| v\| \lambda \leq \| \scrA v\| \lambda - \alpha \leq c\prime \prime \lambda \| v\| \lambda . (2.7)
Далi будемо вважати, що точний розв’язок рiвняння (2.1) належить cоболєвському простору
H\mu при деякому \mu > \alpha + 1/2, \| u\| \mu \leq 1. Тодi згiдно з (2.7) маємо f \in H\mu - \alpha i \| f\| \mu - \alpha \leq c\prime \prime \mu .
Наведемо приклади елiптичних ПДР (2.1), що задовольняють умови (2.3) – (2.6).
Приклад 2.1. При дослiдженнi граничної задачi Дiрiхле для рiвняння Гельмгольца в обме-
женiй областi з гладкою жордановою межею виникає iнтегральне рiвняння
1\int
0
[k0(t - s) + k1(t - s)a1(t, s) + a2(t, s)]u(s) ds = f(t), t \in \BbbR , (2.8)
де функцiї a1, a2 \in C\infty подано у виглядi рядiв за тригонометричним базисом \{ ek\} \infty k= - \infty , a
k0(t) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi t| , k1(t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \pi t \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi t| , k2(t) \equiv 1.
Для коефiцiєнтiв Фур’є маємо \^k0(n) \asymp | n| - 1 та \^k1(n) \asymp | n| - 3. Таким чином, для рiвняння (2.8)
умови (2.3) – (2.6) виконуються при \alpha = - 1, \beta = 1 та a0(t, s) \equiv 1.
Приклад 2.2. Типовим представником класу задач, що розглядається, є iнтегральне рiв-
няння Сiмма (бiльш докладно див. пункт 3):
\scrA u(t) :=
1\int
0
k0(t - s)u(s) ds+
1\int
0
a1(t, s)u(s) ds = f(t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
432 С. Г. СОЛОДКИЙ, Є. В. СЕМЕНОВА
k0(t - s) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi (t - s)| ,
a1(t, s) =
\left\{
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
| \gamma (t) - \gamma (s)|
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi (t - s)|
, t \not = s,
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\bigl(
| \gamma \prime (t)/\pi |
\bigr)
, t = s.
Тут \gamma — нескiнченно гладка 1-перiодична функцiя. Як вiдомо [24], ядро a1(t, s) є C\infty -гладкою
i 1-бiперiодичною функцiєю, а коефiцiєнти Фур’є функцiї k0 мають вигляд
\^k0(n) =
\left\{
1
2| n|
, n \in \BbbZ /0,
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 2, n = 0.
Очевидно, що умови (2.3) – (2.6) виконуються при a0(t, s) = k1(t, s) \equiv 1, \alpha = - 1 та будь-якому
\beta > 0.
Приклад 2.3. Iнтегральне рiвняння
1\int
0
| x(t) - x(s)| 2 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | x(t) - x(s)| u(s) ds = f(t), t \in [0, 1],
виникає при розв’язуваннi бiгармонiчної задачi Дiрiхле в обмеженiй областi з гладкою жорда-
новою межею, де x — нескiнченно гладка 1-перiодична параметризацiя межi така, що x\prime (t) \not = 0
\forall t \in \BbbR . Запишемо це рiвняння так:
1\int
0
k0(t - s)a0(t, s)u(s) ds+
1\int
0
a1(t, s)u(s) ds = f(t),
де
a0(t, s) =
| x(t) - x(s)| 2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \pi (t - s)
для t \not = s, a0(t, t) =
| x\prime (t)| 2
\pi 2
,
a1(t, s) = | x(t) - x(s)| 2 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | x(t) - x(s)|
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi (t - s)|
для t \not = s, a1(t, t) \equiv 0,
k0(t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \pi t \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi t| .
Коефiцiєнти Фур’є функцiї k0 мають вигляд
\^k0(0) = - 1
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 2 +
1
4
, \^k0(\pm 1) =
1
4
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 2 - 3
16
, \^k0(n) =
1
4| n| (n2 - 1)
, | n| \geq 2.
Умови (2.4) – (2.6) виконуються при \alpha = - 3, \beta = 1.
Цi та iншi приклади задач (2.1) – (2.6) можна знайти у пiдроздiлi 6.4 [24].
З метою задання гладкостi ядер ap, p = 0, . . . , q, введемо у розгляд простiр функцiй класу
Жевре типу Рум’є (див. [4, с.112]):
G\eta 1,\eta 2 =
\left\{ a \in C\infty : \| a\| 2\eta 1,\eta 2 :=
\infty \sum
k,l= - \infty
| \^a(k, l)| 2e2\eta 2(| k| 1/\eta 1+| l| 1/\eta 1 ) < \infty
\right\} , \eta 1, \eta 2 > 0. (2.9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
АПРОКСИМАЦIЙНI ТА IНФОРМАЦIЙНI АСПЕКТИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 433
Зазначимо, якщо в (2.9) \eta 1 = 1, то функцiя a(t, s) має аналiтичне продовження за обома
змiнними у смугу
\biggl\{
z : z = t+ is, | s| < \eta 2
2\pi
\biggr\}
комплексної площини.
Далi будемо вважати, що ap \in G\eta 1,\eta 2 , p = 0, . . . , q, при деяких \eta 1 \geq 1 та \eta 2 > 0.
2.1. Повнiстю дискретний проекцiйний метод для iнтегральних перiодичних рiвнянь.
Введемо необхiднi позначення. Розглянемо n-вимiрний простiр тригонометричних полiномiв
\scrT N =
\left\{ uN : uN (t) =
\sum
k\in ZN
ckek(t)
\right\} ,
ZN =
\biggl\{
k : - N
2
< k \leq N
2
, k = 0,\pm 1,\pm 2, . . .
\biggr\}
.
Нехай \Omega — деяка обмежена множина координатної площини. Позначимо через PN та P\Omega
N,N
ортогональнi проектори вигляду
PNu(t) =
\sum
k\in ZN
\^u(k)ek(t) \in \scrT N ,
P\Omega
N,Na(t, s) =
\sum
(k,l)\in \Omega
\^a(k, l)ek(t)el(s) \in \scrT N \times \scrT N ,
а через QN та QN,N iнтерполяцiйнi проектори такi, що QNu(t) \in \scrT N , QN,Na(t, s) \in \scrT N \times \scrT N
i на рiвномiрної сiтцi виконується
(QNu)(jN - 1) = u(jN - 1), j = 1, 2, . . . , N,
(QN,Na)(jN - 1, iN - 1) = a(jN - 1, iN - 1), j, i = 1, 2, . . . , N.
Наведемо опис повнiстю дискретного проекцiйного методу (ПДПМ), в межах якого шука-
тимемо наближення до точного розв’язку рiвняння (2.1). З цiєю метою побудуємо наближення
до оператора \scrA таким чином:
\scrA M =
q\sum
p=0
Ap,M , (2.10)
де оператори Ap,M , p = 0, . . . , q, визначаються за формулою
Ap,Mu(t) =
1\int
0
kp(t - s)ap,M (t, s)u(s) ds, ap,M = QM,Map, (2.11)
а M — параметр дискретизацiї. Праву частину рiвняння (2.1) апроксимуємо так:
fN := QNf,
де N > M. Тодi у рамках ПДПМ наближений розв’язок знаходиться iз рiвняння
PN\scrA MuM,N :=
q\sum
p=0
PNAp,MuM,N = QNf, (2.12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
434 С. Г. СОЛОДКИЙ, Є. В. СЕМЕНОВА
де Ap,M мають форму (2.11), а uM,N \in \scrT N вибирається за наближений розв’язок рiвняння (2.1).
Зазначимо, що внаслiдок умов (2.4) та (2.5) справджується A0,M \in \scrL (H\lambda , H\lambda - \alpha ) та Ap,M \in
\in \scrL (H\lambda , H\lambda - \alpha +\beta ), p = 1, . . . , q.
Оцiнку точностi ПДПМ на класi рiвнянь (2.1) – (2.6) у випадку точних вхiдних даних вста-
новлено в наступному твердженнi.
Теорема 2.1. Нехай виконуються умови (2.3) – (2.6), а оператор \scrA M має вигляд (2.10).
Тодi для довiльних \alpha \leq \lambda \leq \mu , \mu > \alpha + 1/2 та всiх M таких, що
(M/2)1/\eta 1 \geq \mu - \lambda
2\eta 2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}N +
c\lambda \eta 1
2\eta 2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}N,
де c\lambda > 0 — деяка стала, що залежить вiд \lambda , справджується
\| u - uN,M\| \lambda = O(N\lambda - \mu ).
Далi розглянемо випадок, коли вхiднi данi рiвняння (2.1) задано з похибкою. А саме, на-
слiдуючи [24], будемо вважати, що замiсть точних функцiй ap(t, s), p = 0, . . . , q, та f(t) нам
вiдомi лише деякi їх збурення ap,\varepsilon (t, s), p = 0, . . . , q, та f\delta (t) такi, що в точках рiвномiрної
сiтки маємо\left( 1
M2
M\sum
i,j=1
| ap,\varepsilon (iM - 1, jM - 1) - ap(iM
- 1, jM - 1)| 2
\right) 1/2 \leq \varepsilon , p = 0, . . . , q,
\left( N - 1
N\sum
j=1
\bigm| \bigm| f\delta (jN - 1) - f(jN - 1)
\bigm| \bigm| 2\right) 1/2
\leq \delta \| f\| \mu - \alpha .
Вiдомо (див., наприклад, [24, с. 280]), що наведенi нерiвностi еквiвалентнi умовам
\| QM,M (ap - ap,\varepsilon )\| 0,0 \leq \varepsilon , p = 0, . . . , q, (2.13)
\| QN (f\delta - f)\| 0 \leq \delta \| f\| \mu - \alpha . (2.14)
Тодi з урахуванням збурення у вхiдних даних ПДПМ набирає вигляду
PN\scrA M,\varepsilon uM,N,\varepsilon ,\delta = QNf\delta , (2.15)
де uM,N,\varepsilon ,\delta \in \scrT N i
\scrA M,\varepsilon =
q\sum
p=0
Ap,\varepsilon ,M , Ap,\varepsilon ,Mv(t) =
1\int
0
k(t - s)QM,Map,\varepsilon (t, s)v(s) ds.
Варiанти ПДПМ (2.12) та (2.15) у випадку M = N (тобто з використанням одного парамет-
ра дискретизацiї) широко застосовувалися ранiше при розв’язуваннi перiодичних iнтегральних
рiвнянь (2.1) з умовами (2.3) – (2.6) (докладнiше про це див. [24]). Вiдмiннiсть побудованого
нами пiдходу вiд згаданих методiв полягає в тому, що в (2.12) та (2.15) впроваджено iдею
розподiлу параметрiв дискретизацiї для правої частини та оператора. Ранiше така iдея викори-
стовувалася при розв’язуваннi елiптичних ПДР тiльки для рiвняння Сiмма в [22].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
АПРОКСИМАЦIЙНI ТА IНФОРМАЦIЙНI АСПЕКТИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 435
Поставимо за мету оцiнити точнiсть ПДПМ (2.15) з рiзними рiвнями дискретизацiї для
рiвнянь (2.1), що задовольняють умови (2.3) – (2.6) у метрицi просторiв H\lambda .
Наступне твердження мiстить оцiнку похибки ПДПМ (2.15) у випадку збурених вхiдних
даних.
Теорема 2.2. Нехай M \in \BbbN задовольняє умови
2\varepsilon < \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
p
\bigl\{
\| ap\| \eta 1,\eta 2
\bigr\}
e - 2\eta 2(M2 )
1/\eta 1
, e - 2\eta 2(M2 )
1/\eta 1
\biggl(
M
2
\biggr) \lambda \prime
\leq 1/2,
де
\lambda \prime =
\left\{ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \lambda - \alpha , \nu \} +\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | \lambda | , \nu \} , якщо 1/2 + \alpha < \lambda ,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | \lambda | , \nu \} + \nu , якщо \alpha < \lambda \leq 1/2,
а \nu > 1/2 — деякий параметр, що вибирається заздалегiдь. Тодi при 2 \leq N \leq \delta -
1
\lambda - \alpha i
\lambda \in [\alpha , \mu ] виконується
\| u - uN,M,\delta ,\varepsilon \| \lambda =
= O
\Biggl( \biggl(
N
2
\biggr) \lambda - \mu
+ e - 2\eta 2(M2 )
1/\eta 1
\biggl(
M
2
\biggr) \lambda \prime
+ \delta
\biggl(
N
2
\biggr) \lambda - \alpha
+ \varepsilon
\biggl(
M
2
\biggr) \lambda \prime \Biggr)
, (2.16)
де uM,N,\varepsilon ,\delta \in \scrT N є розв’язком рiвняння (2.15) та вибирається за наближення до точного
розв’язку рiвняння (2.1).
Доведення теорем 2.1 та 2.2 наведено у статтях [7] та [28] вiдповiдно.
2.2. Вибiр параметрiв дискретизацiї. Апрiорний випадок. Розглянемо задачу вибору рiв-
нiв дискретизацiї N та M з метою мiнiмiзацiї оцiнки похибки (2.16). При цьому будемо
дослiджувати два випадки: коли параметр гладкостi \mu вiдомий точно (апрiорний випадок) та
коли значення \mu є невiдомим (апостерiорний випадок).
Введемо позначення f1(N,M) :=
\biggl(
N
2
\biggr) \lambda - \mu
+e - 2\eta 2(M2 )
1/\eta 1
\biggl(
M
2
\biggr) \lambda \prime
(f1 — спадна функцiя при
N,M \rightarrow \infty ) та f2(N,M) :=
\biggl(
N
2
\biggr) \lambda - \alpha
\delta +
\biggl(
M
2
\biggr) \lambda \prime
\varepsilon (f2 — зростаюча функцiя при N,M \rightarrow \infty ).
Очевидно, що своє мiнiмальне значення функцiя f1 + f2 набуває у точцi ( \=N, \=M), координати
якої можна знайти з умов \biggl(
N
2
\biggr) \lambda - \mu
=
\biggl(
N
2
\biggr) \lambda - \alpha
\delta ,
e - 2\eta 2(M2 )
1/\eta 1
\biggl(
M
2
\biggr) \lambda \prime
=
\biggl(
M
2
\biggr) \lambda \prime
\varepsilon .
Внаслiдок цього отримуємо апрiорнi правила для вибору параметрiв дискретизацiї N, M.
Теорема 2.3. Нехай умови (2.3) – (2.6) виконуються, а вхiднi данi збуренi згiдно з (2.13) та
(2.14). Тодi для будь-яких \lambda \in [\alpha , \mu ], \mu > \alpha + 1/2, у випадку вибору параметрiв дискретизацiї
за формулами
\=M = O
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\eta 1
1
\varepsilon
\biggr)
, (2.17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
436 С. Г. СОЛОДКИЙ, Є. В. СЕМЕНОВА
\=N = O
\Bigl(
\delta
1
\alpha - \mu
\Bigr)
(2.18)
має мiсце оцiнка похибки методу (2.15)
\| u - u \=N, \=M,\delta ,\varepsilon \| \lambda = O
\biggl(
\delta
\mu - \lambda
\mu - \alpha + \varepsilon \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\eta 1\lambda
\prime 1
\varepsilon
\biggr)
. (2.19)
Зауваження 2.1. Уперше ПДПМ (2.15) для класу перiодичних iнтегральних рiвнянь (2.1)
з умовами (2.3) – (2.6) було дослiджено у роботi [24] у випадку M = N. У монографiї [24] було
встановлено, що при виборi параметра дискретизацiї згiдно з умовою
N(\varepsilon , \delta ) \asymp \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl\{
\delta
- 1
\mu - \alpha , \varepsilon - 1/(\mu - \lambda +\sigma max(\lambda - \alpha ,| \lambda | ,\nu ))
\Bigr\}
точнiсть ПДПМ має порядок
O
\biggl(
\delta
\mu - \lambda
\mu - \alpha + \varepsilon
\mu - \lambda
\mu - \lambda +\sigma max(\lambda - \alpha ,| \lambda | ,\nu )
\biggr)
, (2.20)
де 0 < \sigma < 1 i \nu > 1/2. Очевидно, що оцiнка (2.19) за порядком величини \varepsilon менша, нiж (2.20).
Iншими словами, запропонований нами варiант ПДПМ дозволяє покращити точнiсть методу з
роботи [24] саме за рахунок введення додаткового параметра дискретизацiї M.
Зауваження 2.2. Припустимо \varepsilon \geq c\delta та обчислимо обсяг необхiдної дискретної iнформа-
цiї для розв’язування рiвнянь (2.1) у межах запропонованого методу (2.15) з точнiстю (2.19).
Очевидно, що значення параметра M не перевищує величину O(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}N). Тодi для дискретиза-
цiї (2.11) необхiдно використовувати не бiльш нiж O(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2N) значень ядер ap,\varepsilon (t, s) у точках
рiвномiрної сiтки. З iншого боку, для реалiзацiї ПДПМ у роботi [24] задiяно O(N \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}N) зна-
чень ядер у вузлах сiтки. Таким чином, перевага запропонованого нами методу за обсягом
iнформацiйних витрат у порiвняннi з вiдомим ранiше методом є очевидною.
Зауваження 2.3. Для скорочення обсягу арифметичних дiй у [25] побудовано таку моди-
фiкацiю ПДПМ: за наближення до \scrA вибирається оператор
\scrA \prime
M = D + Pl
q\sum
p=0
A\prime
p,MPl,
де l = N \tau для деякого 0 < \tau < 1, апроксимацiї A\prime
p,M мають вигляд
A\prime
p,Mu(t) =
1\int
0
kp(t - s)a\prime p,M (t, s)u(s) ds, a\prime p,M = P\Omega
M,MQM,Ma\prime p,
\Omega = D\eta 1
M =
\Biggl\{
(k, l) : | k| 1/\eta 1 + | l| 1/\eta 1 <
\biggl(
M
2
\biggr) 1/\eta 1
, k, l = 0,\pm 1,\pm 2, . . .
\Biggr\}
.
Таким чином, модифiкований ПДПМ набирає вигляду
\scrA \prime
Mu\prime N := Du\prime N + Pl
q\sum
p=0
A\prime
p,MPlu
\prime
N = f \prime
N , (2.21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
АПРОКСИМАЦIЙНI ТА IНФОРМАЦIЙНI АСПЕКТИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 437
де f \prime
N = QNf. Для прискорення обчислень рiвняння (2.21) розв’язується методом градiєнтного
спуску, тобто будується послiдовнiсть наближень u\prime n,N , n = 1, 2, . . . , що задовольняють умову\bigm\| \bigm\| \scrA \prime
Mu\prime n,N - f \prime
N
\bigm\| \bigm\|
0
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
u\in \scrK n(\scrA \prime
M ,f \prime
N )
\| \scrA \prime
Mu - f \prime
N\| 0, (2.22)
де \scrK n(SN , fN ) — вiдомi простори Крилова. За правило зупинки вибрано принцип нев’язки,
згiдно з яким вихiд з обчислювальної процедури здiйснюється при найменшому \=n такому, що\bigm\| \bigm\| \scrA \prime
Mu\prime \=n,N - f \prime
N
\bigm\| \bigm\|
0
\leq c\delta \| f \prime
N\| 0. (2.23)
Встановлено, що побудований модифiкований метод (2.21) дозволяє скоротити обсяг арифме-
тичних дiй до O(N \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2N) (для порiвняння — ПДПМ (2.15) потребує O(N3) арифметичних
дiй). При цьому доведено, що метод (2.21) – (2.23) зберiгає точнiсть (2.19).
Доведення теореми 2.3 наведено у статтях [7, 28].
2.3. Вибiр параметрiв дискретизацiї. Апостерiорний випадок. У випадку, коли параметр
\mu є невiдомим, апрiорне правило (2.18) для вибору N не може бути використаним. Але iснують
апостерiорнi схеми вибору оптимального значення N, що дозволяють зберегти точнiсть (2.19).
Скористаємось одним iз таких правил, а саме, принципом рiвноваги [21].
Наведемо опис цього пiдходу. Позначимо через
DN =
\Bigl\{
N : N = 1, . . . , NA, NA = [\delta -
1
\lambda - \alpha ]
\Bigr\}
множину можливих значень параметра N, де [b] — цiла частина b. Параметр дискретизацiї N
вибиратимемо згiдно з формулою
\^N = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ N : N \in D+
N\} , (2.24)
де
D+
N =
\Biggl\{
N \in DN : \| uN, \=M,\delta ,\varepsilon - uj, \=M,\delta ,\varepsilon \| \lambda \leq C
\Biggl( \biggl(
j
2
\biggr) \lambda - \alpha
\delta + \varepsilon \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\eta 1\lambda
\prime 1
\varepsilon
\Biggr)
\forall j > N
\Biggr\}
,
а C > 0 — вiдома стала. Тут i далi символом C будемо позначати, можливо, рiзнi сталi, що не
залежать вiд рiвнiв похибки \delta , \varepsilon та параметрiв дискретизацiї.
Тодi справджується така теорема.
Теорема 2.4. Нехай виконуються умови (2.3) – (2.6) та (2.13), (2.14). Крiм того, припусти-
мо, що ap \in G\eta 1,\eta 2 , \eta 1 \geq 1, \eta 2 > 0. Параметри дискретизацiї M та N вибиратимемо згiдно
з умовами (2.17) та (2.24). Тодi для будь-яких \lambda \in [\alpha , \mu ] i \mu > \alpha +1/2 має мiсце оцiнка похибки
ПДПМ (2.15)
\| u - u \^N, \=M,\delta ,\varepsilon \| \lambda = O
\biggl(
\delta
\mu - \lambda
\mu - \alpha + \varepsilon \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\eta 1\lambda
\prime 1
\varepsilon
\biggr)
. (2.25)
Зауваження 2.4. Порiвняння теорем 2.3 та 2.4 дозволяє зробити висновок, що незважа-
ючи на вiдсутнiсть iнформацiї про точне значення параметра \mu (в апостерiорному випадку)
вдається зберегти той самий порядок точностi (2.25), що i в апрiорному випадку. Величина N
в теоремi 2.4 має бiльший порядок, нiж в теоремi 2.3. Таким чином, в апостерiорному випадку
спостерiгається збiльшення обсягу дискретної iнформацiї, необхiдної для забезпечення оцiн-
ки (2.25). Цей ефект можна розглядати як своєрiдний „штраф” за вiдмову вiд знання гладкостi
шуканого розв’язку.
Доведення теореми 2.4 наведено у статтi [28].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
438 С. Г. СОЛОДКИЙ, Є. В. СЕМЕНОВА
3. Iнтегральне рiвняння Сiмма. У даному пунктi буде дослiджено точнiсть ПДПМ та
повнiстю дискретного методу колокацiй (ПДМК) при розв’язуваннi iнтегрального рiвняння
Сiмма у шкалi соболєвських просторiв H\lambda . Слiд зазначити, що iнтегральнi рiвняння такого
типу виникають при дослiдженнi плоскої граничної задачi Дiрiхле
\bigtriangleup F (X) = 0, X \in \Omega ,
F (X)| \Gamma = f(x), x \in \Gamma = \partial \Omega ,
де \Omega \subset \bfR 2 є замкненою областю з гладкою межею \Gamma , а функцiя f(x) — неперервною. Нага-
даємо, що рiвняння Сiмма належить до елiптичних ПДР, одна з важливих властивостей яких
полягає в тому, що оператор такого рiвняння утворює iзоморфiзм мiж певними парами со-
болєвських просторiв. Згадана властивiсть дозволяє саморегуляризувати подiбнi рiвняння за
рахунок „належного” пiдбору рiвня дискретизацiї i розв’язувати їх без застосування додаткової
регуляризацiї.
В роботах [22, 26] було встановлено стiйкiсть ПДПМ при розв’язуваннi iнтегрального
рiвняння Сiмма у шкалi \{ H\lambda \} . Аналогiчнi результати було отримано i для деяких варiантiв
методу колокацiй. Зокрема, в роботi [23] розглянуто дискретний спектральний колокацiйний
метод, а в роботi [12] — ПДМК.
Як вiдомо (див., наприклад, [15], § 4.1, 7.3), досягнення заданої точностi методу тiсно
пов’язане з вибором параметра регуляризацiї (у розглядуваному випадку останнiй збiгається
з параметром дискретизацiї). Для рiвняння Сiмма при апрiорному виборi оцiнку точностi для
ПДМК було встановлено у [12] (у шкалах соболєвських просторiв), а для ПДПМ — у [22] (на
парi просторiв H0 та H1).
Слiд зазначити, що для рiвняння Сiмма дослiдження точностi чисельних методiв при апо-
стерiорному виборi ранiше проводилися лише в рамках проекцiйних методiв i тiльки у випадку
точно заданого оператора (див. [16]). Наша мета полягає в продовженнi дослiдження апрокси-
мацiйних властивостей ПДМК та ПДПМ у шкалi соболєвських просторiв для апрiорного та
апостерiорного виборiв параметра дискретизацiї i збурення в обох частинах рiвняння Сiмма.
За правило зупинки виберемо принцип рiвноваги. Як буде показано нижче, застосування зазна-
ченого принципу дозволяє зберегти порядки точностi ПДМК та ПДПМ, вiдомi ранiше лише
в апрiорному випадку. Бiльш того, буде встановлено, що отриманi оцiнки точностi є також
оптимальними за величиною \delta , тобто у випадку збурення лише у правiй частинi рiвняння.
Наведемо докладний опис iнтегрального рiвняння Сiмма, яке має вигляд\int
\Gamma
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | x - y| v(y) dsy = g(x), x \in \Gamma , (3.1)
де \Gamma — замкнена C\infty -гладка межа однозв’язної областi \Omega \subset \BbbR 2.
Припустимо, що \gamma (t) : [0, 1] \rightarrow \Gamma — нескiнченно гладка 1-перiодична параметризацiя межi \Gamma
така, що | \gamma \prime (t) \not = 0| для будь-якого t \in [0, 1]. Будемо вважати, що логарифмiчна ємнiсть межi \Gamma
не дорiвнює 1. Як вiдомо (див. [18]), це гарантує iснування i єдинiсть розв’язку рiвняння (3.1).
Розглянемо стандартний розклад для (3.1)
Au := A0u+A1u = f, (3.2)
де u(t) = v(\gamma (t))| \gamma \prime (t)| , f(t) = g(\gamma (t)),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
АПРОКСИМАЦIЙНI ТА IНФОРМАЦIЙНI АСПЕКТИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 439
(A0)(t) =
1\int
0
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi (t - s)| u(s) ds,
(A1u)(t) =
1\int
0
a1(t, s)u(s) ds, a1(t, s) =
\left\{ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
| \gamma (t) - \gamma (s)|
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi (t - s)|
, t \not = s,
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\bigl(
| \gamma \prime (t)/\pi |
\bigr)
, t = s.
(3.3)
Вiдомо (див. [23]), що ядро a1(t, s) оператора A1 є C\infty -гладкою 1-бiперiодичною функцiєю,
а власними функцiями оператора A0 є такi тригонометричнi полiноми, що
A0e
2\pi ikt =
\left\{ - (2| k| ) - 1e2\pi ikt, k = \pm 1,\pm 2, . . . ,
- \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 2, k = 0.
Як i у пунктi 2, будемо вважати, що ядро iнтегрального оператора (3.3) a1(t, s) \in G\eta 1,\eta 2 ,
\eta 1 \geq 1, \eta 2 > 0. Нехай
u \in M\nu ,\rho :=
\bigl\{
u : u = ( - A0)
\nu v, \| v\| 0 \leq \rho
\bigr\}
(3.4)
при деякому \nu > 0.
Наслiдуючи [12], припустимо, що замiсть точних значень функцiй f(t) i \gamma (t, s) вiдомi лише
деякi їхнi збурення f\delta (t) i \gamma \varepsilon (t, s) у вузлах рiвномiрної сiтки, для яких справджуються оцiнки\left( n - 1
n\sum
j=1
| f\delta (jn - 1) - f(jn - 1)| 2
\right) 1/2 \leq \delta \| f\| \nu +1, (3.5)
| \gamma \varepsilon (im - 1) - \gamma (im - 1)| \leq \varepsilon , | \gamma \prime \varepsilon (im - 1) - \gamma \prime (im - 1)| \leq m\varepsilon , i = 1, 2, . . . ,m, (3.6)
а ядро неточно заданого оператора A1,\varepsilon має вигляд
a1,\varepsilon (t, s) =
\left\{
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
| \gamma \varepsilon (t) - \gamma \varepsilon (s)|
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi (t - s)|
, t \not = s,
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\bigl(
| \gamma \prime \varepsilon (t)/\pi |
\bigr)
, t = s.
Вiдмiтимо (див. [12]), що з (3.6) випливає
\bigm| \bigm| a1,\varepsilon (km - 1, lm - 1) - a1(km
- 1, lm - 1)
\bigm| \bigm| \leq
\left\{
c\varepsilon \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \pi (k - l)
m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , 1 \leq k, l \leq m, k \not = l,
cm\varepsilon , k = l, 1 \leq l \leq m.
Цей факт свiдчить, що умова (3.6) є бiльш слабкою, нiж (2.13).
3.1. Повнiстю дискретнi методи. Апрiорний випадок. Наближений розв’язок un,m,\varepsilon ,\delta
задачi (3.1) у рамках ПДПМ будемо знаходити з рiвняння
Am,\varepsilon un,m,\varepsilon ,\delta := A0un,m,\varepsilon ,\delta +A1,m,\varepsilon un,m,\varepsilon ,\delta = Qnf\delta , n > m, (3.7)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
440 С. Г. СОЛОДКИЙ, Є. В. СЕМЕНОВА
(A1,m,\varepsilon u)(t) =
1\int
0
a1m,\varepsilon (t, s)u(s) ds,
a1,m,\varepsilon (t, s) = (Qm,t \otimes Qm,sb\varepsilon )(t, s) =
\sum
k,l\in Zm
\^a1,m,\varepsilon (k, l)e
2\pi i(kt+ls),
\^a1,m,\varepsilon (k, l) = m - 2
m\sum
p,q=1
e -
2\pi i
m
(kp+lq)a1,\varepsilon (pm
- 1, qm - 1).
Наша мета полягає у встановленнi оцiнки похибки ПДПМ (3.7) у шкалi просторiв H\lambda .
Теорема 3.1. Нехай f належлить H\nu +1 та виконуються оцiнки (3.5), (3.6), а a1(t, s)
задовольняє умову (2.9). Тодi при 0 \leq \lambda \leq \nu для ПДПМ (3.7) має мiсце оцiнка похибки
\| u - un,m,\varepsilon ,\delta \| \lambda = O(n - \nu +\lambda + n\lambda +1\delta +m\lambda +1e - \chi m1/\eta 1
+m3/2+\lambda \varepsilon ). (3.8)
Наступне твердження мiстить правила вибору параметрiв дискретизацiї m i n, що забезпе-
чують найкращий порядок для оцiнки (3.8) за величинами \delta i \varepsilon .
Теорема 3.2. Нехай параметри дискретизацiї m i n задовольняють спiввiдношення
m = O
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\eta 1
1
\varepsilon
\biggr)
,
n = O
\bigl(
\delta -
1
\nu +1
\bigr)
.
Тодi при 0 \leq \lambda \leq \nu для похибки методу (3.7) справджується оцiнка
\| u - un,m,\varepsilon ,\delta \| \lambda = O
\biggl(
\delta
\nu - \lambda
\nu +1 + \varepsilon \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\eta 1(3/2+\lambda ) 1
\varepsilon
\biggr)
. (3.9)
Зауваження 3.1. Результат, аналогiчний теоремi 3.2 при \lambda = 0, було отримано у [22]. Та-
ким чином, результати цього пiдпункту є узагальненням результатiв [22] на випадок довiльного
0 \leq \lambda \leq \nu .
Розглянемо варiант ПДМК, що був запропонований для розв’язування рiвняння Сiмма у
[12]. Суть цього методу полягає у замiнi (3.1) наближеним рiвнянням
A\prime
n,\varepsilon un,\varepsilon ,\delta := A0un +QnA
\prime
1,n,\varepsilon un,\varepsilon ,\delta = Qnf\delta , un \in \scrT n, (3.10)
де
(A\prime
1,n,\varepsilon u)(t) = n - 1
n\sum
j=1
a1,\varepsilon (t, jn
- 1)u(jn - 1).
Для методу (3.10) вiдомо (див. [12]), що при n = O
\bigl(
(\varepsilon + \delta ) -
1
\nu +1
\bigr)
має мiсце оцiнка похибки
\| u - un,\varepsilon ,\delta \| \lambda = O
\biggl(
\delta
\nu - \lambda
\nu +1 + \varepsilon
\nu - \lambda
\nu +1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
\delta + \varepsilon
\biggr)
(3.11)
у шкалi просторiв H\lambda , - 1 \leq \lambda \leq \nu .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
АПРОКСИМАЦIЙНI ТА IНФОРМАЦIЙНI АСПЕКТИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 441
Зауваження 3.2. Порiвняємо оцiнки точностi (3.11) для ПДМК i (3.9) для ПДПМ у шкалах
просторiв H\lambda . Очевидно, що за рiвнем \delta обидва методи дають однаковий порядок похибки, а
величина компоненти, що залежить вiд \varepsilon , суттєво менша за порядком в (3.9), тобто для ПДПМ.
Зауваження 3.3. У рамках ПДМК (3.10) за дискретну iнформацiю вибрано набiр значень
функцiоналiв
f\delta (ti),
1\int
0
a1,\varepsilon (t, \tau i)ej(t)dt, i, j = 1, . . . , n,
а для реалiзацiї ПДПМ (3.7) необхiдно використовувати значення функцiй f\delta та a1,\varepsilon у вуз-
лах рiвномiрної сiтки. Оцiнимо обсяг дискретної iнформацiї, задiяної в межах обох згаданих
методiв. Отже, для ПДМК (3.10) i ПДПМ (3.7) маємо оцiнки iнформацiйних витрат
O
\Bigl(
(\varepsilon + \delta ) -
2
\nu +1
\Bigr)
,
O
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2\eta 1
1
\varepsilon
+ \delta -
2
\nu +1
\biggr)
вiдповiдно. Очевидно, що за величиною \varepsilon ПДПМ (3.7) є бiльш економiчним.
Доведення теорем 3.1 та 3.2 наведено у статтi [26].
3.2. Повнiстю дискретнi методи. Апостерiорний випадок. Мета наших дослiджень у
цьому пiдпунктi полягає в знаходженнi оцiнок точностi ПДПМ та ПДМК у випадку апосте-
рiорного вибору параметра n. Для цього скористаємося принципом рiвноваги, який у даному
випадку набирає такого вигляду. Отже, через DN позначимо множину можливих значень па-
раметра дискретизацiї n:
DN =
\Bigl\{
n : n = 1, . . . , N, N =
\bigl[
\delta -
1
\lambda +1
\bigr] \Bigr\}
.
Принцип рiвноваги полягає у виборi номера n+ за правилом
n+ = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
n : n \in D+
N
\bigr\}
, (3.12)
де
D+
N =
\biggl\{
n \in DN : \| un,m,\delta ,\varepsilon - uj,m,\delta ,\varepsilon \| \lambda \leq 4j\lambda +1\delta + \varepsilon
\biggl[
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
\varepsilon
\biggr] \eta 1(\lambda +1)
, j > n
\biggr\}
.
Знайдемо оцiнку похибки ПДПМ (3.7) у випадку вибору параметра n згiдно з принципом
рiвноваги (3.12).
Теорема 3.3. Нехай a1(t, s) належить G\eta 1,\eta 2 , \eta 1 \geq 1, та виконуються оцiнки (3.5) i (2.13).
Якщо для методу (3.7) рiвнi дискретизацiї n та m вибранi згiдно з правилом (3.12) та
m = O
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\eta 1
1
\varepsilon
\biggr)
вiдповiдно, то для 0 \leq \lambda \leq \nu маємо
\| u - u\=n, \=m,\delta ,\varepsilon \| \lambda = O
\Biggl(
\delta
\nu - \lambda
\nu +1 + \varepsilon
\biggl[
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
\varepsilon
\biggr] \eta 1(\lambda +1)
\Biggr)
. (3.13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
442 С. Г. СОЛОДКИЙ, Є. В. СЕМЕНОВА
Зауваження 3.4. Якщо порiвняти оцiнки (3.9) та (3.13), якi характеризують точнiсть ПДПМ
для рiвняння Сiмма в апрiорному та апостерiорному випадках вiдповiдно, то можна зробити
висновок, що основнi (степеневi) порядки по \delta та \varepsilon в обох оцiнках збiгаються, проте степiнь
логарифмiчного множника бiльший у (3.9). Цей факт пояснюється рiзними умовами на похибку
оператора: умова (3.6) є бiльш слабкою у порiвняннi з (2.13).
Зауваження 3.5. ПДПМ розглядався нами як для загального класу iнтегральних рiвнянь
(див. пункт 2), так i окремо для рiвняння Сiмма (див. пункт 3). При цьому вiдповiднi оцiнки
точностi (2.25) та (3.13) вiдрiзняються на степiнь логарифмiчного множника при \varepsilon . Додамо,
що оцiнка (3.13) є кращою, нiж (2.25), оскiльки \lambda \prime \geq \lambda + 1. Покращити оцiнку (2.25) вдалося
за рахунок звуження можливих значень параметра \lambda у шкалi просторiв H\lambda . Бiльш докладно,
в теоремi 3.3 0 \leq \lambda , тодi як теорема 2.4 справджується при - 1 \leq \lambda для рiвняння Сiмма. Таке
звуження розглядуваних \lambda дозволяє застосувати iншу технiку доведення, що призводить до
вказаного зменшення оцiнки точностi. Питання про можливiсть покращення оцiнки (2.25) у
випадку - 1 \leq \lambda < 0 для рiвняння Сiмма залишається вiдкритим.
Перейдемо до ПДМК (3.10) i знайдемо його похибку у випадку вибору рiвня дискретизацiї
n за принципом рiвноваги (3.12), де множина D+
N в межах зазначеного методу набирає вигляду
D+
N =
\Bigl\{
n \in DN : \| un,\delta ,\varepsilon - uj,\delta ,\varepsilon \| \lambda \leq 4Cj\lambda +1(\varepsilon \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} j + \delta ), j > n
\Bigr\}
. (3.14)
Теорема 3.4. Нехай a1(t, s) належить G\eta 1,\eta 2 , \eta 1 \geq 1, та виконуються оцiнки (3.5) i (3.6),
а параметр дискретизацiї n вибрано згiдно з (3.12), (3.14). Тодi для 0 \leq \lambda \leq \nu маємо
\| u - un+,\delta ,\varepsilon
\| \lambda = O
\Bigl(
\delta
\nu - \lambda
\nu +1 + \varepsilon
\nu - \lambda
\nu +1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\varepsilon + \delta ) - 1
\Bigr)
. (3.15)
Зауваження 3.6. Як випливає з оцiнок (3.15) та (3.13), застосування принципу рiвноваги в
апостерiорному випадку надає можливiсть зберегти порядки точностi обох повнiстю дискрет-
них методiв (пор. (3.15) та (3.9)), вiдомi в апрiорному випадку.
Зауваження 3.7. Теореми 3.3 та 3.4 дозволяють провести порiвняльний аналiз апроксима-
цiйних та iнформацiйних властивостей ПДПМ та ПДМK. Виявилося, що висновки, якi викла-
дено в зауваженнях 3.2, 3.3 в апрiорному випадку, також справджуються i в апостерiорному
випадку: ПДПМ (3.7) є бiльш точним та економiчним, нiж ПДМК (3.10). Цей ефект досягається
завдяки тому, що в межах ПДПМ проводиться розподiл параметрiв дискретизацiї ядра та правої
частини.
Доведення результатiв цього пiдпункту див. у роботах [8, 9, 27].
3.3. Оптимальнiсть за порядком оцiнок точностi для ПДПМ та ПДМК. При наявно-
стi багатьох чисельних методiв розв’язування тiєї чи iншої задачi їх ефективнiсть прийнято
оцiнювати шляхом порiвняння за двома основними характеристиками: точнiстю наближення
та обсягом використаних обчислювальних ресурсiв (об’єм машинної пам’ятi i час обчислень).
Ефективнiсть запропонованих нами методiв в сенсi обсягу обчислювальних ресурсiв вже обго-
ворювалася вище. Що стосується оцiнювання точностi методiв, то найбiльш привабливими з
цiєї точки зору є оптимальнi алгоритми. Нижче буде встановлено оптимальнiсть дослiджуваних
нами варiантiв ПДПМ та ПДМК.
Далi будемо вважати, що оператор A1 (3.2) (а отже, i A) вiдомий точно, тобто \varepsilon = 0.
Введемо величини, що характеризують точнiсть наближеного розв’язування рiвняння Сiмма.
Через e\lambda (M\nu ,\rho , \delta ,\scrG ) позначимо найбiльше вiдхилення будь-якого методу \scrG : \scrT n \rightarrow H\lambda , \lambda \leq \nu ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
АПРОКСИМАЦIЙНI ТА IНФОРМАЦIЙНI АСПЕКТИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 443
на множинi M\nu ,\rho (див. (3.4)):
e\lambda (M\nu ,\rho , \delta ,\scrG ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\delta \in \scrT
n,\delta
u\in M\nu ,\rho
\| \scrG f \delta - u\| \lambda , (3.16)
а через E\lambda (M\nu ,\rho , \delta ) — найкращу точнiсть наближення розв’язкiв iз M\nu ,\rho :
E\lambda (M\nu ,\rho , \delta ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\scrG
e\lambda (M\nu ,\rho , \delta ,\scrG ).
Крiм того, введемо допомiжну величину
\omega \lambda ,\nu (\delta ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in M\nu ,\rho
\| QnAu\| 0\leq \delta
\| u\| \lambda ,
яка традицiйно називається модулем неперервностi оберненого оператора i для якої виконується
нерiвнiсть (див. [9])
\omega \lambda ,\nu (\delta ) \leq E\lambda (M\nu ,\rho , \delta ). (3.17)
Наступне твердження мiстить оцiнку знизу для модуля неперервностi, яка пiдтверджує
оптимальнiсть (за порядком) оцiнок, що були встановленi у теоремах 3.4 та 3.3.
Теорема 3.5. Для будь-яких \rho > 0, \lambda < \nu i достатньо малих \delta виконується
C\delta
\nu - \lambda
\nu +1 \rho
\lambda +1
\nu +1 \leq \omega \lambda ,\nu (\delta ).
З теореми 3.5 та спiввiдношення (3.17) безпосередньо випливає таке твердження.
Теорема 3.6. Для будь-яких \rho > 0, 0 \leq \lambda < \nu i достатньо малих \delta виконується
E\lambda (M\nu ,\rho , \delta ) = O
\Bigl(
\delta
\nu - \lambda
\nu +1
\Bigr)
.
Зауваження 3.8. Як випливає з теорем 3.3, 3.4 та 3.6, ми встановили, що ПДМК (3.10)
та ПДПМ (3.7) забезпечують при \lambda \in [0, \nu ) оптимальну за порядком точнiсть розв’язування
рiвняння Сiмма (3.1) на множинi розв’язкiв M\nu ,\rho зi збуреною правою частиною f\delta .
Доведення результатiв цього пiдпункту див. у статтi [9].
Лiтература
1. Агранович М. C. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и
липшицевой границей. – М.: МЦНМО, 2013. – 379 с.
2. Вайникко Г. М., Хаамярик У. A. Проекционные методы и саморегуляризация некорректных задач // Изв. вузов.
Математика. – 1985. – 29. – C. 1 – 17.
3. Вишик М. И., Грушин В. В. Вырождающиеся эллиптические дифференциальные и псевдодифференциальные
операторы // Успехи мат. наук. – 1970. – 25, № 4. – C. 29 – 56.
4. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1984. – 284 с.
5. Дынин А. С. Сингулярные операторы произвольного порядка на многообразии // Докл. АН СССР. – 1961. –
141, № 1. – C. 21 – 23.
6. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой //
Итоги науки и техники. Сер. Математика. Мат. анализ / ВИНИТИ. – 1971. – C. 7 – 252.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
444 С. Г. СОЛОДКИЙ, Є. В. СЕМЕНОВА
7. Семенова E. В., Волынец E. А. Точность полностью дискретного проекционного метода на классе псевдодиф-
ференциальных уравнений // Динам. системы. – 2012. – 2, № 3-4. – С. 309 – 321.
8. Солодкий С. Г., Семенова Є. В. Про апостерiорний вибiр параметра дискретизацiї при розв’язуваннi рiвняння
Сiмма повнiстю дискретним проекцiйним методом колокацiї // Доп. НАН України. – 2012. – 21, № 1. – С. 40 – 53.
9. Солодкий С. Г., Семенова Е. В. Об оптимальном порядке точности приближенного решения интегрального
уравнения Симма // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2012. – 52, № 3. – C. 472 – 482.
10. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. – М.:
Мир, 1984. – 398 с.
11. Эскин Г. И. Краевые задачи и параметрикс для эллиптических систем псевдодифференциальных уравнений //
Тр. Моск. мат. о-ва. – 1973. – 28. – C.75 – 116.
12. Bruckner G., Prossdorf S., Vainikko G. Error bounds of discretization methods for boundary integral equations with
noisy data // Appl. Anal. – 1996. – 63, № 1-2. – P. 25 – 37.
13. Calderon A.-P. Uniqueness in the Cauchy problem for partial differential equations // Amer. J. Math. – 1958. – 80. –
P. 16 – 36.
14. Friedrichs K. O., Lax P. D. Boundary value problems for first order operators // Communs Pure and Appl. Math. –
1965. – 18. – P. 355 – 388.
15. Engl H. W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of inverse problems. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ.,
1996. – 321 p.
16. Harbrecht H., Pereverzev S., Schneider R. Self-regularization by projection for noisy pseudodifferential equations of
negative order // Numer. Math. – 2003. – 95, № 1. – P. 123 – 143.
17. Hörmander L. Pseudo-differential operators // Communs Pure and Appl. Math. – 1965. – 18. – Р. 501 – 517.
18. Hsiao G. C., Wendland W. L. A finite element method for some integral equations of the first kind // J. Math. Anal.
and Appl. – 1977. – 58. – P. 449 – 481.
19. Kohn J. J., Nirenberg L. An algebra of pseudo-differential operators // Communs Pure and Appl. Math. – 1965. –
18. – P. 269 – 305.
20. Monvel, Louis Boutet. Boundary problems for pseudo-differential operators // Acta Math. – 1971. – 126. – P. 11 – 51.
21. Pereverzev S., Schock E. On the adaptive selection of the parameter in regularization of ill-posed problems // SIAM
J. Numer. Anal. – 2005. – 43, № 5. – P. 2060 – 2076.
22. Pereverzev S. V., Prossdorf S. On the characterization of self-regularization properties of a fully discrete projection
method for Symm’s integral equation // J. Integral Equat. and Appl. – 2000. – 12, № 2. – P. 113 – 130.
23. Saranen J. A modified discrete spectral collocation method for first kind integral equations with logarithmic kernel //
J. Integral Equat. and Appl. – 1993. – 5, № 4. – P. 547 – 567.
24. Saranen J., Vainikko G. Periodic integral and pseudodifferential equations with numerical approximation. – Berlin:
Springer, 2002. – 452 p.
25. Semenova E. V. Arithmetical complexity of modified fully discrete projection method for the periodic integral
equations // J. Comput. and Appl. Math. – 2015. – 119, № 2. – P. 60 – 77.
26. Solodky S. G., Lebedeva E. V. Error bounds of a fully discrete projection method for Symm’s integral equation //
Comput. Method and Appl. Math. – 2007. – 7, № 3. – P. 255 – 263.
27. Solodky S. G., Semenova E. V. On accuracy of solving Symm’s equation by a fully discrete projection method // J.
Inverse and III-Posed Probl. – 2013. – 21. – P. 781 – 797.
28. Solodky S. G., Semenova E. V. A class of periodic integral equation with numerical solving by a fully discrete
projection method // Укр. мат. вiсн. – 2014. – 11, № 3. – С. 400 – 416.
29. Taylor M. Pseudo differential operators // Lect. Notes Math. – 1974. – 416. – 155 p.
Одержано 21.11.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1566 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:13Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e2/349f35766238e379d67b2dff5a9a5ee2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15662019-12-05T09:18:29Z Approximate and information aspects of the numerical solution of unstable integral and pseudodifferential equations Апроксимаційні та інформаційні аспекти чисельного розв’язування нестійких інтегральних та псевдодиференціальних рівнянь Semenova, E. V. Solodkii, S. G. Семенова, Є. В. Солодкий, С. Г. We present a review of the latest results obtained in the field of numerical solution of unstable integral and pseudodifferential equations. New versions of fully discrete projection and collocation methods are constructed and justified. It is shown that these versions are characterized by the optimal accuracy and cost efficiency, as far as the use of computational resources is concerned. Приведен обзор последних результатов в области численного решения неустойчивых интегральных и псевдодифференциальных уравнений. Построены и обоснованы новые версии полностью дискретных проекционного и коллокационного методов, которые являются оптимальными по точности и экономичными по объему использованных вычислительных ресурсов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1566 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 3 (2018); 429-444 Український математичний журнал; Том 70 № 3 (2018); 429-444 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1566/548 Copyright (c) 2018 Semenova E. V.; Solodkii S. G. |
| spellingShingle | Semenova, E. V. Solodkii, S. G. Семенова, Є. В. Солодкий, С. Г. Approximate and information aspects of the numerical solution of unstable integral and pseudodifferential equations |
| title | Approximate and information aspects of the numerical solution
of unstable integral and pseudodifferential equations |
| title_alt | Апроксимаційні та інформаційні аспекти чисельного
розв’язування нестійких інтегральних та псевдодиференціальних рівнянь |
| title_full | Approximate and information aspects of the numerical solution
of unstable integral and pseudodifferential equations |
| title_fullStr | Approximate and information aspects of the numerical solution
of unstable integral and pseudodifferential equations |
| title_full_unstemmed | Approximate and information aspects of the numerical solution
of unstable integral and pseudodifferential equations |
| title_short | Approximate and information aspects of the numerical solution
of unstable integral and pseudodifferential equations |
| title_sort | approximate and information aspects of the numerical solution
of unstable integral and pseudodifferential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1566 |
| work_keys_str_mv | AT semenovaev approximateandinformationaspectsofthenumericalsolutionofunstableintegralandpseudodifferentialequations AT solodkiisg approximateandinformationaspectsofthenumericalsolutionofunstableintegralandpseudodifferentialequations AT semenovaêv approximateandinformationaspectsofthenumericalsolutionofunstableintegralandpseudodifferentialequations AT solodkijsg approximateandinformationaspectsofthenumericalsolutionofunstableintegralandpseudodifferentialequations AT semenovaev aproksimacíjnítaínformacíjníaspektičiselʹnogorozvâzuvannânestíjkihíntegralʹnihtapsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ AT solodkiisg aproksimacíjnítaínformacíjníaspektičiselʹnogorozvâzuvannânestíjkihíntegralʹnihtapsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ AT semenovaêv aproksimacíjnítaínformacíjníaspektičiselʹnogorozvâzuvannânestíjkihíntegralʹnihtapsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ AT solodkijsg aproksimacíjnítaínformacíjníaspektičiselʹnogorozvâzuvannânestíjkihíntegralʹnihtapsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ |