Surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions: $A$-deformations occurring independently or simultaneously
It is proved that the surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions allow nontrivial infinitesimal areal deformations of certain three types. The fields of displacements are explicitly expressed in all three cases. Given surfaces are rigid with respect to infinitesimal ben...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1567 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507369248653312 |
|---|---|
| author | Bezkorovaina, L. L. Безкоровайная, Л. Л. Безкоровайная, Л. Л. |
| author_facet | Bezkorovaina, L. L. Безкоровайная, Л. Л. Безкоровайная, Л. Л. |
| author_sort | Bezkorovaina, L. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:04Z |
| description | It is proved that the surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions allow nontrivial infinitesimal
areal deformations of certain three types. The fields of displacements are explicitly expressed in all three cases. Given
surfaces are rigid with respect to infinitesimal bendings of each type. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514.75:517.53
Л. Л. Безкоровайная (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
ПОВЕРХНОСТИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ
ЧАСТЯМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ: А-ДЕФОРМАЦИИ,
ПРОИСХОДЯЩИЕ НЕЗАВИСИМО ИЛИ ОДНОВРЕМЕННО
It is proved that the surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions allow nontrivial infinitesimal
areal deformations of certain three types. The fields of displacements are explicitly expressed in all three cases. Given
surfaces are rigid with respect to infinitesimal bendings of each type.
Доведено, що поверхнi, утворенi дiйсною та уявною частинами аналiтичної функцiї, допускають нетривiальнi аре-
альнi нескiнченно малi деформацiї певних трьох типiв. Поля змiщень у всiх випадках вираженi явно. По вiдношенню
до нескiнченно малих згинань кожного типу заданi поверхнi виявилися жорсткими.
Введение. Рассмотрим пару поверхностей
Z = u(x, y), (1)
Z = v(x, y), (2)
ассоциированных с заданной в области G аналитической функцией
w(z) = u(x, y) + iv(x, y) (3)
комплексной переменной z = x+ iy, и поверхность
Z =
\sqrt{}
u2(x, y) + v2(x, y). (4)
Введенная здесь тройка поверхностей имеет примечательные свойства. Поверхности (1),
(2), (4) над произвольной компактной подобластью области G имеют равные площади. Ис-
пользуя этот факт, В. К. Дзядык доказал теорему, в которой обосновал новое определение
аналитической функции [1], имеющее геометрический характер. Как показал A. W. Goodman
[2], в теореме В. К. Дзядыка поверхность (4) может быть заменена поверхностью Z = \varphi (u, v),
где \varphi (u, v) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию \varphi 2
u+\varphi
2
v = 1. В работе
[3] изучались решения этого уравнения.
В дополнение к предыдущему Ю. Ю. Трохимчук установил [4], что теорема В. К. Дзядыка
допускает усиление. В формулировке своей обобщенной теоремы поверхность (4) он заменил
поверхностью Z = \alpha u + \beta v, где \alpha , \beta — не равные нулю постоянные, \alpha 2 + \beta 2 = 1. Для ее
доказательства Ю. Ю. Трохимчук использовал ряд вспомогательных утверждений из [4, 5].
Геометрические свойства поверхностей (1), (2) исследовались и в работах [6, 7]. Отметим,
что для современных исследователей особый интерес представляют гармонические поверхнос-
ти (см., например, [8]).
c\bigcirc Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4 447
448 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
Определение 1. u-Поверхностью (v-поверхностью) будем называть поверхность, задан-
ную уравнением вида (1) (вида (2)), где u(x, y) — действительная часть (v(x, y) — мнимая
часть) какой-нибудь аналитической функции. Пару поверхностей (1), (2), ассоциированных с
одной и той же аналитической функцией, назовем гармонически сопряженными поверхностя-
ми (ГСП).
Очевидно, не каждые две u- и v-поверхности образуют пару ГСП.
В настоящей статье исследуются бесконечно малые (б. м.) деформации u- и v-поверх-
ностей. Цель исследования — выяснить, допускают ли u- и v-поверхности б. м. деформа-
ции, сохраняющие свойство гармонической сопряженности (ГС), и если ответ положителен,
— то с какой подвижностью.
Для решения поставленной проблемы в статье вводятся и изучаются б. м. деформации трех
типов:
типа dt(u) — б. м. деформация с параметром t u-поверхности в классе u-поверхностей;
типа d\varepsilon (v) — б. м. деформация с параметром \varepsilon v-поверхности в классе v-поверхностей;
типа dt(u \cup v) — б. м. деформации, которые происходят одновременно на u- и v-поверх-
ностях и сохраняют ГС.
Теоремы 1 – 3 содержат аналитические критерии б. м. деформации каждого типа, а теоре-
ма 4 описывает общие связи и зависимости между ними. Эти предложения в дальнейшем
находят развитие в приложениях к двум специальным видам деформаций, а именно:
ареальной бесконечно малой (А-деформации), которая характеризуется условием стацио-
нарности элемента площади;
бесконечно малому изгибанию, сохраняющему длину дуги произвольной кривой на поверх-
ности.
Математические модели ареальных б. м. деформаций рассматриваемых типов визуализи-
руются посредством теорем 6, 8, 10. Теоремами 7, 9 обосновывается существование нетриви-
альных А-деформаций типов dt(u) и d\varepsilon (v), которые здесь заявлены как независимые. Дефор-
мация типа dt(u \cup v) представляет собой некий симбиоз первых двух типов деформаций при
условии их одновременности. В теореме 11 устанавливается существование нетривиальных
А-деформаций этого типа. Поля смещений во всех случаях определены явно. Теоремы 12, 13
дают описание некоторых свойств одной замечательной сети линий ГСП.
По отношению к бесконечно малым изгибаниям (трех типов) u- и v-поверхности оказались
жесткими (теорема 14).
А-деформации изучались, например, в работах [9 – 14]. Исследования в этом направлении
продолжены в [15 – 18].
1. Понятия б. м. деформаций типов \bfitd \bfitt (\bfitu ) и \bfitd \bfitvarepsilon (\bfitv ) и их признаки. Представим u- и
v-поверхности (1), (2) в векторно-параметрическом виде
r = (x, y, u(x, y)), (5)
\rho = (x, y, v(x, y)). (6)
Допустим, что каждая из них независимо подвергается какой-нибудь б. м. деформации первого
порядка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ПОВЕРХНОСТИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЯМИ . . . 449
r\ast (x, y, t) = r(x, y) + ty(x, y), (7)
\rho \ast (x, y, t) = \rho (x, y) + \varepsilon \widetilde y(x, y) (8)
с параметрами t\rightarrow 0 и \varepsilon \rightarrow 0 и полями смещений y,\widetilde y \in C3(G) :
y = (\xi (x, y), \eta (x, y), \zeta (x, y)) , \widetilde y =
\Bigl( \widetilde \xi (x, y), \widetilde \eta (x, y), \widetilde \zeta (x, y)\Bigr) . (9)
Определение 2. Будем говорить, что б. м. деформация (7) u-поверхности (деформация
(8) v-поверхности) происходит в классе u-поверхностей (v-поверхностей), т. е. является б.
м. деформацией типа dt(u) (d\varepsilon (v)), если деформированная поверхность является при этом
некоторой u\ast -поверхностью (v\ast -поверхностью) над G с точностью б. м. 1-го порядка отно-
сительно параметра деформации.
Очевидно, в общем случае u\ast - и v\ast -поверхности могут быть порождены различными ана-
литическими функциями.
Теорема 1. Б. м. деформация (7) (с параметром t) происходит в классе u-поверхностей
тогда и только тогда, когда ее поле смещений имеет вид y = (0, 0, \zeta (x, y)), где \zeta является
действительной частью некоторой аналитической в области G функции.
Доказательство. Пусть б. м. деформация (7) с произвольным вектором смещения y из
(9) происходит в классе u-поверхностей. Найдем декартовы координаты деформированной
поверхности
r\ast = r + ty = (x, y, u) + t(\xi , \eta , \zeta ) = (x+ t\xi , y + t\eta , u+ t\zeta ).
По условию теоремы радиус-вектор r\ast осуществляет деформацию типа dt(u), поэтому он
имеет вид r\ast = (x, y, u + t\zeta ), где u + t\zeta является действительной частью некоторой аналити-
ческой функции w\ast = w+ t\omega , т. е. u+ t\zeta = u\ast = \mathrm{R}\mathrm{e}w\ast = \mathrm{R}\mathrm{e} (w+ t\omega ) \forall t. Отсюда следует, что
\zeta = \mathrm{R}\mathrm{e}\omega (z). Кроме того, t\xi = 0, t\eta = 0, откуда получаем \xi = 0, \eta = 0.
Наоборот, пусть поле y = (0, 0, \zeta (x, y)) и \zeta — действительная часть некоторой аналити-
ческой в G функции. Тогда вектор r\ast = (x, y, u + t\zeta ) = (x, y, u\ast (x, y, t)). Таким образом,
деформированная поверхность является u\ast -поверхностью.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Б. м. деформация (8) (с параметром \varepsilon ) происходит в классе v-поверхностей
тогда и только тогда, когда поле смещения этой деформации имеет вид \widetilde y = (0, 0, \widetilde \zeta (x, y)),
где \widetilde \zeta является мнимой частью некоторой аналитической в области G функции.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
Отметим, что в теоремах 1, 2 функции \zeta и \widetilde \zeta , вообще говоря, не принадлежат одной и той
же аналитической функции.
2. Понятие б. м. деформации типа \bfitd \bfitt (\bfitu \cup \bfitv ).
Определение 3. Параметры деформации (7), (8) двух поверхностей назовем согласован-
ными, если они являются эквивалентными б. м. величинами.
Не ограничивая общности, согласованные параметры деформации пары ГСП будем считать
равными: \varepsilon = t. В этом случае определенные над областью G деформации зависят от одного
и того же параметра t, они имеют представления (7) и (10):
\rho \ast (x, y, t) = \rho (x, y) + t\widetilde y(x, y). (10)
При этом параметр t можно интерпретировать как время.
Пусть w = u+ iv — аналитическая функция.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
450 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
Определение 4. Будем говорить, что б. м. деформация u-поверхности, u = \mathrm{R}\mathrm{e}w(z), про-
исходит одновременно с б. м. деформацией v-поверхности, v = \mathrm{I}\mathrm{m}w(z), если: 1) параметр
деформации u-поверхности согласован с параметром деформации v-поверхности; 2) обе де-
формации рассматриваются в один и тот же момент времени t.
Определение 5. Будем говорить, что при одновременных б. м. деформациях пары u- и
v-поверхностей сохраняется гармоническая сопряженность (или, что то же самое, ГС ста-
ционарна), если для каждого значения параметра t, одного и того же для u- и v-поверхностей,
деформированные поверхности также образуют над G пару ГСП (с точностью б. м. 1-го
порядка).
Б. м. деформации u- и v-поверхностей при ограничениях, оговоренных в определении 5,
назовем б. м. деформациями типа dt(u \cup v).
Теорема 3. Пусть б. м. деформации пары u- и v-поверхностей, ассоциированных с анали-
тической в области G функцией w = u+ iv, происходят одновременно. Для того чтобы при
этих деформациях сохранялась ГС, необходимо и достаточно, чтобы их поля смещений имели
вид
y = (0, 0, \zeta (x, y)), \widetilde y = (0, 0, \widetilde \zeta (x, y)), (11)
где функции \zeta (x, y) и \widetilde \zeta (x, y) соответственно являются действительной и мнимой частью
некоторой аналитической в G функции.
Доказательство. Необходимость. Зададим в области G аналитическую функцию (3).
Предположим, что на u- и v-поверхностях одновременно происходят б. м. деформации, при ко-
торых стационарна ГС. Докажем формулы (11). Для этого введем комплексный радиус-вектор
некоторой виртуальной поверхности
R(x, y) = r(x, y) + i\rho (x, y),
представленный через радиусы-векторы заданных ГСП (5), (6), и найдем его декартовы коор-
динаты:
R(x, y) = (x, y, u) + i(x, y, v) = (x(1 + i), y(1 + i), u+ iv) = (x(1 + i), y(1 + i), w). (12)
Здесь абсцисса и ордината содержат множитель (1 + i), а аппликата является аналитической
функцией w(z). Легко видеть, что полученная для вектор-функции R(x, y) координатная струк-
тура (12) является характерной для произвольной пары ГСП.
Рассмотрим б. м. деформацию поверхности R = R(x, y) :
R
\ast
(x, y, t) = r\ast + i\rho \ast = R(x, y) + iY (x, y)
с комплексным полем смещений Y = y + i\widetilde y, где y и \widetilde y — произвольные векторные поля (9).
Декартовы координаты вектора R
\ast
таковы:
R
\ast
= r + ty + i(\rho + t\widetilde y) = r + i\rho + t(y + i\widetilde y) =
= (x(1 + i), y(1 + i), w) + t
\Bigl(
\xi + i\widetilde \xi , \eta + i\widetilde \eta , \zeta + i\widetilde \zeta \Bigr) =
=
\Bigl(
x(1 + i) + t(\xi + i\widetilde \xi ), y(1 + i) + t(\eta + i\widetilde \eta ), w + t(\zeta + i\widetilde \zeta )\Bigr) . (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ПОВЕРХНОСТИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЯМИ . . . 451
Очевидно, координатное представление R
\ast
в (13) реализует требование одновременности про-
извольных б. м. деформаций поверхностей (5), (6) над областью G.
Потребуем теперь, чтобы в процессе деформации выполнялось условие стационарности ГС.
Для этого достаточно, чтобы координатная структура функции R
\ast
в (13) (после деформации)
была аналогичной координатной структуре (12) функции R (до деформации). Из сравнения
абсцисс и ординат в (12), (13) заключаем, что по необходимости \xi + i\widetilde \xi = 0, \eta + i\widetilde \eta = 0, откуда
\xi = \widetilde \xi = \eta = \widetilde \eta = 0 и из (9) получаем равенство (11). Поскольку аппликата вектор-функции R
\ast
к тому же является аналитической функцией по z, то
w\ast (z, t) = w(z) + t
\Bigl(
\zeta + i\widetilde \zeta \Bigr) = w(z) + t\omega (z),
где \omega (z) — также аналитическая в G функция, причем \zeta = \mathrm{R}\mathrm{e}\omega , \widetilde \zeta = \mathrm{I}\mathrm{m}\omega .
Достаточность. Пусть векторы смещения y, \widetilde y одновременных деформаций пары ГСП
заданы формулами (11), где \zeta = \mathrm{R}\mathrm{e}\omega , \widetilde \zeta = \mathrm{I}\mathrm{m}\omega , \omega (z) — некоторая аналитическая в G функция.
Докажем, что б. м. деформация сохраняет ГС.
В самом деле, положим в (9) \xi = \widetilde \xi = \eta = \widetilde \eta = 0, тогда формула (13) примет вид
R
\ast
=
\Bigl(
x(1 + i), y(1 + i), w + t
\Bigl(
\zeta + i\widetilde \zeta \Bigr) \Bigr) = (x(1 + i), y(1 + i), w\ast (z, t)) ,
откуда следует, что при каждом допустимом значении t аппликата w\ast является аналитической
по z функцией.
Выделим действительную и мнимую части функции R
\ast
:
R
\ast
= (x, y, u+ t\zeta ) + i
\Bigl(
x, y, v + t\widetilde \zeta \Bigr) = r\ast + i\rho \ast ,
r\ast = (x, y, u\ast (x, y, t)) , \rho \ast = (x, y, v\ast (x, y, t)) .
Очевидно, после деформации получили пару u\ast - и v\ast -поверхностей с уравнениями
Z = u(x, y) + t\zeta (x, y), Z = v(x, y) + t\widetilde \zeta (x, y). (14)
Таким образом, деформированные поверхности с точностью 1-го порядка являются ГСП
над G, ассоциированными с аналитической функцией w\ast = u\ast + iv\ast , где u\ast = u+ t\zeta = \mathrm{R}\mathrm{e}w\ast ,
v\ast = v + t\widetilde \zeta = \mathrm{I}\mathrm{m}w\ast .
Теорема 3 доказана.
Отметим, что в теореме 3 параметры деформаций u- и v-поверхностей предполагаются
согласованными, тогда как в теоремах 1, 2 это требование отсутствует. Отсюда следует, что
объединение какой-либо деформации с параметром t из класса u-поверхностей и какой-либо
деформации с параметром \varepsilon из класса v-поверхностей в общем случае не является б. м.
деформацией со стационарной ГС:
dt(u) \cup d\varepsilon (v) \not = dt(u \cup v).
Однако при одновременно происходящих деформациях пары u- и v-поверхностей имеет место
следующая теорема.
Теорема 4. Пусть u = \mathrm{R}\mathrm{e}w, v = \mathrm{I}\mathrm{m}w, где w — аналитическая функция в G, и бес-
конечно малая деформация u-поверхности происходит одновременно с б. м. деформацией
v-поверхности. Тогда следующие утверждения являются эквивалентными:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
452 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
1) бесконечно малые деформации пары u- и v-поверхностей сохраняют ГС, (dt(u \cup v));
2) u-поверхность деформируется в классе u-поверхностей, (dt(u)), и v-поверхность — в
классе v-поверхностей, (dt(v));
3) поля смещений б. м. деформаций u- и v-поверхностей соответственно имеют коорди-
наты
y = (0, 0, \zeta ) , \widetilde y =
\Bigl(
0, 0, \widetilde \zeta \Bigr) ,
где \zeta и \widetilde \zeta — действительная и мнимая части некоторой аналитической в G функции.
Утверждения этой теоремы чрезвычайно наглядны в схематическом варианте:
dt(u \cup v) \Leftarrow \Rightarrow dt(u) \cup dt(v) \Leftarrow \Rightarrow y = (0, 0, \zeta ) , \widetilde y =
\Bigl(
0, 0, \widetilde \zeta \Bigr) .
Доказательство легко следует из сопоставления теорем 1 – 3.
Специфика функций \zeta и \widetilde \zeta проявится вместе с привлечением специальных видов деформа-
ций. Далее рассмотрим два вида б. м. деформаций — ареальную и изгибание, сначала в общей
постановке.
3. Об А-деформации поверхности. Пусть r = r
\bigl(
x1, x2
\bigr)
, x1 = x, x2 = y, — уравнение
поверхности F \in C3 E3-пространства. Рассмотрим б. м. деформацию F \ast 1-го порядка:
r\ast
\bigl(
x1, x2, t
\bigr)
= r
\bigl(
x1, x2
\bigr)
+ ty
\bigl(
x1, x2
\bigr)
. (15)
Геометрические характеристики деформированной поверхности F \ast , в отличие от таковых для
поверхности F, будем отмечать символом \ast . Предполагаем, что эти величины можно разлагать
в ряд по степеням t \rightarrow 0. Коэффициент при t в таком разложении называется вариацией гео-
метрической величины исходной поверхности. Вариации будем обозначать через \delta . Например,
представим разложение элемента площади d\sigma \ast поверхности F \ast по степеням t:
d\sigma \ast = d\sigma + t\delta d\sigma + o(t2),
где d\sigma — элемент площади поверхности F, через o(t2) обозначены величины 2-го порядка и
выше относительно t, которыми будем пренебрегать.
Б. м. деформация (15) поверхности F называется ареальной (А-деформацией), если элемент
площади поверхности сохраняется (стационарен) с точностью 1-го порядка относительно па-
раметра t : d\sigma \ast = d\sigma + o(t2). Для того чтобы б. м. деформация была ареальной, необходимо и
достаточно, чтобы вариация элемента площади
\delta d\sigma = 0. (16)
Следующая лемма содержит некоторую необходимую для дальнейшего информацию [14].
Лемма 1. Векторное поле y является деформирующим полем А-деформации произвольной
поверхности F \in C3 тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет системе уравнений
riyj + rjyi = 2\varepsilon ij ,
\varepsilon ijg
ij = 0,
(17)
где через 2\varepsilon ij \equiv \delta gij обозначены вариации коэффициентов gij = rirj первой квадратичной
формы исходной поверхности, ri =
\partial r
\partial xi
, gi\alpha g
\alpha j = \delta ji , \delta
j
i — символы Кронекера. Все индексы
принимают значения 1, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ПОВЕРХНОСТИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЯМИ . . . 453
Доказательство. Найдем разложения следующих величин поверхности F \ast в ряды по
степеням t :
g\ast ij = r\ast i r
\ast
j = (ri + tyi)
\bigl(
rj + tyj
\bigr)
= rirj + t
\bigl(
riyj + rjyi
\bigr)
+ o(t2) = gij + t2\varepsilon ij + o(t2),
ds\ast 2 = g\ast ijdx
idxj = gijdx
idxj + t2\varepsilon ijdx
idxj + o(t2) = ds2 + t
\bigl(
\delta ds2
\bigr)
+ o(t2),
g\ast = g\ast 11g
\ast
22 - g\ast 212 = g11g22 - g212 + 2t(\varepsilon 11g22 - 2\varepsilon 12g12 + \varepsilon 22g11) + o(t2) =
= g + 2tg\varepsilon \alpha \beta g
\alpha \beta + o(t2), (18)\sqrt{}
g\ast =
\surd
g + t
\surd
g\varepsilon \alpha \beta g
\alpha \beta + o(t2),
d\sigma \ast =
\sqrt{}
g\ast dx1dx2 = d\sigma + t\varepsilon \alpha \beta g
\alpha \beta d\sigma + o(t2).
Отсюда следует, что вариация элемента площади \delta d\sigma = \varepsilon \alpha \beta g
\alpha \beta d\sigma , и равенство (16) имеет
место тогда и только тогда, когда выполняется второе из равенств (17).
Из (181) выразим вариации для метрического тензора gij через частные производные поля
смещения, а именно 2\varepsilon ij = riyj + rjyi.
Лемма 1 доказана.
4. Математическая модель А-деформации \bfitu -поверхности в классе \bfitu -поверхностей.
Сначала составим основную систему уравнений для общей А-деформации u-поверхности.
Теорема 5. Векторное поле y = (\xi , \eta , \zeta ) является полем смещения общей А-деформации
u-поверхности тогда и только тогда, когда его декартовы координаты удовлетворяют
системе уравнений
\xi x + ux\zeta x = \varepsilon 11,
\xi y + \eta x + ux\zeta y + uy\zeta x = 2\varepsilon 12,
(19)
\eta y + ux\zeta y = \varepsilon 22,
\varepsilon 11
\bigl(
1 + u2y
\bigr)
- 2\varepsilon 12uxuy + \varepsilon 22
\bigl(
1 + u2x
\bigr)
= 0.
Доказательство. В качестве поверхности F возьмем u-поверхность (5) и с учетом (9)
найдем следующие величины:
r1 = (1, 0, ux), r2 = (0, 1, uy), ux \equiv \partial u
\partial x
,
g11 = r21 = 1 + u2x, g12 = r1r2 = uxuy, g22 = r22 = 1 + u2y,
g = g11g22 - g212 = 1 + u2x + u2y, g11 =
g22
g
=
1 + u2x
g
, (20)
g12 = - g12
g
= - uxuy
g
, g22 =
g11
g
=
1 + u2y
g
,
y1 =
\partial y
\partial x
= (\xi x; \eta x; \zeta x) , y2 =
\partial y
\partial y
= (\xi y; \eta y; \zeta y) .
Подставив соответствующие величины в (17), получим искомую систему уравнений (19).
Теорема 5 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
454 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
В математических моделях ареальной деформации особо выделяется случай \varepsilon ij = 0. Этим
условием характеризуется б. м. изгибание. Б. м. изгибание — такая б. м. деформация, при
которой, как следует из (182), линейный элемент ds2 сохраняется в любом направлении: \delta ds2 \equiv
\equiv 0. В этом случае система уравнений (19) А-деформаций для u-поверхности сводится к трем
уравнениям относительно трех искомых функций:
\xi x + ux\zeta x = 0, \xi y + \eta x + ux\zeta y + uy\zeta x = 0, \eta y + uy\zeta y = 0. (21)
Систему уравнений типа (21) использовал И. Н. Векуа при доказательстве теоремы об изги-
баниях скольжения [19, с. 315]. Ее использовал также А. В. Погорелов в IV разделе монографии
[20], где доказал ряд теорем для выпуклых поверхностей.
Отметим, что ГСП не являются выпуклыми поверхностями. Наоборот, все они имеют от-
рицательную гауссову кривизну [1] (плоскости мы не рассматриваем).
При исследованиях А-деформаций бесконечно малое изгибание иногда исключают. Для
определенности далее будем называть его тривиальной А-деформацией.
Теорема 6. Для того чтобы бесконечно малая деформация u-поверхности в классе
u-поверхностей была ареальной, необходимо и достаточно, чтобы координата \zeta поля смеще-
ния y = (0, 0, \zeta ) была решением системы дифференциальных уравнений
\zeta x =
\varepsilon 11
ux
, \zeta y = - \varepsilon 11
uy
, (22)
\varepsilon 22 = - \varepsilon 11, 2\varepsilon 12 =
u2y - u2x
uxuy
\varepsilon 11. (23)
Доказательство. Необходимость. Предположим, что u-поверхность претерпевает б. м.
деформацию в классе u-поверхностей с полем смещения y = (0, 0, \zeta ) , и при этом б. м. дефор-
мация является ареальной. Докажем, что тогда имеют место уравнения (22), (23).
Действительно, при общей А-деформации u-поверхности выполняются уравнения (19).
Полагая в них \xi = \eta = 0, получаем
ux\zeta x = \varepsilon 11, ux\zeta y + uy\zeta x = 2\varepsilon 12, uy\zeta y = \varepsilon 22,
\varepsilon 11
\bigl(
1 + u2y
\bigr)
- 2\varepsilon 12uxuy + \varepsilon 22
\bigl(
1 + u2x
\bigr)
= 0.
(24)
Подставив выражения для компонент тензора \varepsilon ij из первых трех уравнений в четвертое, полу-
чим соотношение
ux\zeta x + uy\zeta y = 0.
Заметим, что оно представляет собой признак А-деформации для u-поверхности, выражен-
ный через функцию \zeta (x, y). Соотношение (231) получим при сложении первого и третьего
уравнений из (24). Для получения (232) подставим \zeta x и \zeta y из (241), (243) в (242).
Достаточность. Пусть компонента \zeta поля смещения y = (0, 0, \zeta ) при деформации в классе
u-поверхностей является решением системы уравнений (22), причем величины \varepsilon 11, \varepsilon 12, \varepsilon 22
связаны равенствами (23). Докажем, что б. м. деформация является ареальной.
Подставим в систему уравнений общей А-деформации (19) значения \xi = \eta = 0 и \zeta x,
\zeta y из (22). Непосредственной проверкой убедимся, что с учетом (23) система уравнений (19)
обращается в тождество. Таким образом, б. м. деформация является ареальной.
Теорема 6 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ПОВЕРХНОСТИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЯМИ . . . 455
Очевидно, система уравнений (22), (23) служит математической моделью задачи, обозна-
ченной в названии п. 4.
5. Решение системы уравнений (22) и его геометрическая интерпретация.
Лемма 2. Если действительная часть аналитической функции w = u + iv является ре-
шением уравнения uxy = 0, то
u(x, y) = c1
\bigl(
x2 - y2
\bigr)
+ c2x+ c3y + c4, (25)
v(x, y) = c12xy - c3x+ c2y + c5, (26)
где ci, i = 1, 5, — произвольные постоянные.
Доказательство. Общим решением уравнения uxy = 0, uxy =
\partial 2u
\partial x\partial y
, является u(x, y) =
= p(x) + q(y), где p(x), q(y) — произвольные функции одной переменной. Функции u(x, y)
геометрически соответствует поверхность переноса [21] (§ 32). В [22] проведена их классифи-
кация. Составим уравнение такой поверхности в рассматриваемом случае.
В силу гармоничности u имеем p\prime \prime (x)+q\prime \prime (y) = 0. Это уравнение на плоскости представляет
некоторую кривую. В области G оно удовлетворяется тогда и только тогда, когда p\prime \prime (x) = 2c1,
q\prime \prime (y) = - 2c1, где c1 — произвольная постоянная. Отсюда с помощью интегрирования получаем
p(x) = c1x
2 + c2x+ \widetilde c4, q(y) = - c1y2 + c3y + \widetilde c5,
вследствие чего приходим к (25).
Мнимую часть функции w находим из уравнений Коши – Римана
ux = vy, uy = - vx, (27)
т. е. vx = 2c1y - c3, vy = 2c1x+ c2. Поскольку vxy = vyx и dv = vxdx+ vydy, то
v(x, y) =
\int
(2c1y - c3)dx+ (2c1x+ c2)dy = 2c1xy - c3x+ c2y + c5,
что и требовалось доказать.
Лемма 2 доказана.
Функции (25), (26) составляют аналитическую функцию w(z) = c1z
2+(c2+ic3)z+c4+ic5.
Легко видеть, что связанные с ней поверхности являются гиперболическими параболоидами.
Путем параллельного переноса системы координат Oxy и растяжения вдоль оси Oz при c1 \not = 0
легко добиться, чтобы постоянные ci получили значения c1 = 1, c2 = c3 = c4 = c5 = 0. Тогда
аналитическая функция w(z) = z2, а ее ГСП имеют простейший вид Z = x2 - y2 и Z = 2xy.
Теорема 7. Любая u-поверхность (u = \mathrm{R}\mathrm{e}w), определенная над областью G, допускает
над ней нетривиальные А-деформации в классе u-поверхностей. При этом деформирующее
поле представляется явно:
y =
\biggl(
0, 0, -
\int
\Phi (v(x, y))dv + C1
\biggr)
, (28)
где \Phi (v) — произвольная непрерывно дифференцируемая в области G функция от v(x, y) =
= \mathrm{I}\mathrm{m}w(z).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
456 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
Доказательство. Система (22) — это система двух дифференциальных уравнений относи-
тельно одной неизвестной функции \zeta (x, y). Ее решение существует тогда и только тогда, когда
выполняется условие интегрируемости \zeta xy = \zeta yx, которое в развернутом виде представляет со-
бой линейное неоднородное уравнение с частными производными 1-го порядка относительно
функции \varepsilon 11(x, y) :
u2xuy
\partial \varepsilon 11
\partial x
+ u2yux
\partial \varepsilon 11
\partial y
=
\bigl(
u2x + u2y
\bigr)
uxy\varepsilon 11. (29)
При решении этого уравнения возникают 2 случая: uxy \not = 0 и uxy = 0.
Предположим сначала, что uxy \not = 0. С целью получения решения уравнения (29) соста-
вим систему дифференциальных уравнений [23] (гл. 5, § 2), определяющую характеристики
уравнения (29):
dx
u2xuy
=
dy
uxu2y
=
d\varepsilon 11\bigl(
u2x + u2y
\bigr)
uxy\varepsilon 11
. (30)
Упростим первое дифференциальное уравнение из (30) и найдем его первый интеграл:
dx
ux
=
dy
uy
\Leftarrow \Rightarrow uydx - uxdy = 0 \Leftarrow \Rightarrow
\Leftarrow \Rightarrow vxdx+ vydy = 0 \Leftarrow \Rightarrow dv = 0 \Leftarrow \Rightarrow v(x, y) = \widetilde C1, v = \mathrm{I}\mathrm{m}w(z). (31)
Здесь мы использовали систему уравнений Коши – Римана (27). Итак, первый интеграл урав-
нения (31) равен \psi 1(x, y) \equiv v(x, y) = \widetilde C1.
Найдем теперь первый интеграл дифференциального уравнения
dx
u2xuy
=
d\varepsilon 11\bigl(
u2x + u2y
\bigr)
uxy\varepsilon 11
\Leftarrow \Rightarrow d\varepsilon 11
\varepsilon 11
=
u2xuxydx+ u2yuxydx
u2xuy
. (32)
С учетом (31) и тождества uxx + uyy = 0 преобразуем его правую часть:
uxydx
uy
+
uyuxy
ux
dx
ux
=
uxydx
uy
+
uyuxy
ux
dy
uy
+
(uxx + uyy)dx
ux
=
=
uxxdx+ uxydy
ux
+
uxydx+ uyydy
uy
=
= d \mathrm{l}\mathrm{n} | ux| + d \mathrm{l}\mathrm{n} | uy| \Rightarrow \mathrm{l}\mathrm{n} | \varepsilon 11| = \mathrm{l}\mathrm{n} | \widetilde C2uxuy| \Rightarrow \varepsilon 11 = \widetilde C2uxuy.
Отсюда следует, что первый интеграл уравнения (32) имеет вид \psi 2(x, y, \varepsilon 11) \equiv
\varepsilon 11
uxuy
= \widetilde C2.
Общее решение уравнения (29) можно представить в неявном виде через два независи-
мых первых интеграла \widetilde F (\psi 1(x, y), \psi 2(x, y, \varepsilon 11)) = 0, где \widetilde F — любая функция, имеющая в
области G непрерывные производные по \psi 1, \psi 2. Поскольку первый интеграл \psi 1 не зависит
от неизвестной функции \varepsilon 11, то полученное общее решение можно представить явно через
произвольную непрерывно дифференцируемую функцию \Phi (v(x, y)) от v :
\varepsilon 11 = uxuy\Phi (v(x, y)). (33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ПОВЕРХНОСТИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЯМИ . . . 457
Это выражение \varepsilon 11 является общим решением уравнения (29) в окончательном виде. Если
теперь его подставим в систему уравнений (22), то сможем найти и ее решение.
Действительно, с учетом уравнений (27) находим\left\{ \zeta x = uy\Phi (v),
\zeta y = - ux\Phi (v),
\Rightarrow
\Rightarrow
\left\{ \zeta x = - vx\Phi (v),
\zeta y = - vy\Phi (v),
\Rightarrow
\Rightarrow d\zeta = \zeta xdx+ \zeta ydy \Rightarrow \zeta (x, y) =
\int
d\zeta + C1 =
= -
\int
\Phi (v)(vxdx+ vydy) + C1 = -
\int
\Phi (v)dv + C1.
Значит, общее решение системы уравнений (22) имеет вид
\zeta (x, y) = -
\int
\Phi (v(x, y))dv + C1. (34)
Через найденную функцию \zeta теперь легко выразить в виде (28) и поле смещений А-деформа-
ции.
Наконец, покажем, что полученные решения (33), (34) определяют нетривиальные
А-деформации u-поверхности в классе u-поверхностей. Напомним, что при тривиальной
А-деформации \varepsilon ij \equiv 0 и поле А-деформации является полем изгибания. Однако из (33) следует,
что компонента \varepsilon 11 тензора \varepsilon ij вариаций коэффициентов первой квадратичной формы в общем
случае отлична от нуля.
Таким образом, при условии uxy \not = 0 теорема 7 доказана.
Рассмотрим теперь случай uxy = 0. Тогда дифференциальное уравнение (29) станет одно-
родным
ux
\partial \varepsilon 11
\partial x
+ uy
\partial \varepsilon 11
\partial y
= 0, (35)
а соответствующее уравнение характеристик совпадает с дифференциальным уравнением (31).
Его первый интеграл был найден ранее и имеет вид v(x, y) = \widetilde C1. Что касается общего решения
дифференциального уравнения (35), то оно имеет вид
\varepsilon 11 = F (v(x, y)), (36)
где функция F (v) является произвольной непрерывно дифференцируемой относительно v в
области G.
Покажем еще, что решение (36), полученное при условии uxy = 0, включено в решение
вида (33). Действительно, в силу леммы 2 и выражения (26) для функции v(x, y) в случае
uxy = 0 произведение
- uxuy = (2c1y - c3)(2c1x+ c2) = 2c1v(x, y) - c2c3
является функцией от v. Значит, решение \varepsilon 11 из (33) является общим для какой-либо
u-поверхности.
Теорема 7 полностью доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
458 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
6. А-деформации в классе \bfitv -поверхностей.
Теорема 8. Для того чтобы бесконечно малая деформация v-поверхности в классе
v-поверхностей была ареальной, необходимо и достаточно, чтобы координата \widetilde \zeta поля смеще-
ния \widetilde y =
\Bigl(
0, 0, \widetilde \zeta \Bigr) была решением системы дифференциальных уравнений
\widetilde \zeta x =
\widetilde \varepsilon 11
vx
, \widetilde \zeta y = - \widetilde \varepsilon 11
vy
, (37)
\widetilde \varepsilon 22 = - \widetilde \varepsilon 11, 2\widetilde \varepsilon 12 = v2y - v2x
vxvy
\widetilde \varepsilon 11, (38)
где 2\widetilde \varepsilon ij — вариации коэффициентов первой квадратичной формы v-поверхности.
Доказательство для v-поверхности вполне аналогично доказательству теоремы 6 для u-
поверхности. Все соотношения для v-поверхности можно получить из соответствующих соот-
ношений, записанных для u-поверхности, путем замены \zeta \rightarrow \widetilde \zeta , \varepsilon ij \rightarrow \widetilde \varepsilon ij , ux \rightarrow vx, uy \rightarrow vy.
Теорема 9. Любая v-поверхность, v = \mathrm{I}\mathrm{m}w(z), определенная над областью G, допускает
нетривиальные А-деформации в классе v-поверхностей. Поле деформаций при этом явно выра-
жается через произвольную непрерывно дифференцируемую функцию \Psi от u(x, y) = \mathrm{R}\mathrm{e}w(z) :
\widetilde y =
\biggl(
0, 0,
\int
\Psi (u(x, y))du+ C2
\biggr)
. (39)
Доказательство. Поскольку система уравнений (37) аналогична (22), то ее исследование
и решение аналогичны таковым в доказательстве теоремы 7 для u-поверхности.
Окончательно получаем следующие общие решения соответствующих систем дифферен-
циальных уравнений для v-поверхности:
\widetilde \varepsilon 11 = vxvy\Psi (u(x, y)), (40)
\widetilde \zeta (x, y) = \int
\Psi (u(x, y))du+ C2. (41)
Теорема 9 доказана.
Отметим, что при исследовании А-деформаций в классах u- и v-поверхностей (теоремы 6 –
9), в силу независимости постановок этих задач, согласование параметров деформаций двух
поверхностей не требуется. Но в следующих теоремах 10, 11 предположение согласованности
параметров и одновременности деформаций u- и v-поверхностей обязательно.
7. Одновременные А-деформации со стационарной ГС пары \bfitu - и \bfitv -поверхностей:
математическая модель задачи и ее решение.
Теорема 10. Пусть бесконечно малые деформации u- и v-поверхностей, u = \mathrm{R}\mathrm{e}w, v =
= \mathrm{I}\mathrm{m}w, происходят одновременно и сохраняют ГС. Для того чтобы эти б. м. деформации
были ареальными и на u-, и на v-поверхности, необходимо и достаточно, чтобы имели место
системы уравнений (22), (23), (37), (38).
Доказательство. Необходимость. Пусть для деформаций u- и v-поверхностей выполнены
условия первого предложения теоремы 10. Тогда в силу теоремы 4 в случае стационарнос-
ти ГС u-поверхность деформируется в классе u-поверхностей, а v-поверхность — в классе
v-поверхностей. Потребуем, чтобы на обеих поверхностях эти деформации были ареальными.
Но по теоремам 6, 8 при А-деформациях этих поверхностей имеют место все четыре системы
уравнений, указанные в теореме 10.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ПОВЕРХНОСТИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЯМИ . . . 459
Достаточность. Если при б. м. деформациях пары ГСП выполняются условия первого
предложения теоремы 10, то, как мы убедились при доказательстве первой части теоремы,
рассматриваемые ГСП деформируются в классах u- и v-поверхностей соответственно. Если
же, кроме того, имеют место системы уравнений (22), (23), (37), (38), то, согласно теоремам 6,
8, такие деформации будут ареальными и на u-, и на v-поверхности.
Теорема 10 доказана.
Система уравнений (22), (23), (37), (38) в своей совокупности представляет математическую
модель одновременных А-деформаций со стационарной ГС пары u- и v-поверхностей.
Теорема 11. Две u- и v-поверхности, ассоциированные с аналитической в области G
функцией w = u + iv, одновременно допускают нетривиальные А-деформации, при которых
остается стационарной гармоническая сопряженность. Поля смещений представляются в
явном виде через функции v(x, y), u(x, y) соответственно:
y = (0, 0, - cv(x, y) + c1) \widetilde y(x, y) = (0, 0, cu(x, y) + c2), (42)
где c, c1, c2 — произвольные постоянные.
Доказательство. Докажем существование А-деформаций, одновременных, нетривиальных
и сохраняющих ГС, пары u- и v-поверхностей. Для этого на первом этапе найдем общее
решение систем уравнений (22), (37). При этом учтем, что в случае деформаций, происходящих
одновременно на u- и v-поверхностях и сохраняющих ГС, функции \zeta (x, y) и \widetilde \zeta (x, y) будут
зависимыми, так как они являются действительной и мнимой частями для некоторой (одной
и той же) аналитической в G функции \omega (z) = \zeta + i\widetilde \zeta (теорема 3). Значит, они подчиняются
условиям Коши – Римана вида
\zeta x = \widetilde \zeta y, \zeta y = - \widetilde \zeta x.
Найдем частные производные функций \zeta (x, y), \widetilde \zeta (x, y) из их выражений (34), (41):
\zeta x = \zeta vvx = - \Phi (v)vx, \zeta y = \zeta vvy = - \Phi (v)vy,\widetilde \zeta x = \widetilde \zeta uux = \Psi (u)ux, \widetilde \zeta y = \widetilde \zeta uuy = \Psi (u)uy.
В силу уравнений Коши – Римана получаем равенства
- \Phi (v)vx = \Psi (u)uy = - \Psi (u)vx,
- \Phi (v)vy = - \Psi (u)ux = - \Psi (u)vy.
Отсюда имеем \Phi (v(x, y)) = \Psi (u(x, y)). Это уравнение при заданных функциях \Phi (v) и \Psi (u)
представляет собой некоторую кривую в плоскости Oxy. Например, для функции w = z2 =
= (x2 - y2)+ i2xy уравнение v(x, y) = u(x, y) геометрически изображает две пересекающиеся
в точке (0, 0) прямые.
Таким образом, в общем виде условие \Phi (v) = \Psi (u) в области G невыполнимо. Однако оно
выполняется тождественно, если положить \Phi = c, \Psi = c, где c — произвольная постоянная.
Тогда из (34) и (41) получим общее решение системы уравнений (22), (37) в окончательном
виде
\zeta (x, y) = - cv(x, y) + c1, \widetilde \zeta (x, y) = cu(x, y) + c2. (43)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
460 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
С учетом решения (43) легко найдем и поля смещений (42), которые определяют одновремен-
ные А-деформации u- и v-поверхностей, сохраняющие ГС. Здесь постоянные c1, c2 описывают
б. м. движение u- и v-поверхностей в пространстве (параллельный перенос), а c \not = 0 свиде-
тельствует о растяжении векторов y и \widetilde y вдоль оси OZ.
Осталось показать, что поля смещений (42) определяют нетривиальные А-деформации.
Действительно, для u-поверхности в силу (33) и (23) имеем
\varepsilon 11 = cuxuy, 2\varepsilon 12 = c
\bigl(
u2y - u2x
\bigr)
, \varepsilon 22 = - cuxuy, (44)
откуда при c \not = 0 следует, что \varepsilon ij \not \equiv 0 в области G. Аналогично для v-поверхности, учитывая
(40) и (38), находим
\widetilde \varepsilon 11 = cvxvy, 2\widetilde \varepsilon 12 = c
\bigl(
v2y - v2x
\bigr)
, \widetilde \varepsilon 22 = - cvxvy. (45)
Теорема 11 доказана.
8. О свойствах линий \bfitu (\bfitx , \bfity ) = \bfitc 1, \bfitv (\bfitx , \bfity ) = \bfitc 2 ГСП. Предварительно заметим, что
каждой точке с декартовыми координатами (x, y) \in G соответствует точка с внутренними
координатами (x, y) на u-поверхности и еще одна точка с теми же внутренними координатами
на v-поверхности. Поэтому уравнение вида \psi (x, y) = 0, x, y \in G, определяет некоторую
линию в области G плоскости Oxy, а также соответствующие линии на u- и v-поверхностях.
Например, однопараметрические семейства линий u(x, y) = c1, v(x, y) = c2 определены как
на u-поверхности, так и на v-поверхности.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 12. Пусть Z = u(x, y), w = u+iv — некоторая u-поверхность. Тогда семейство
линий v(x, y) = c2, принадлежащее этой поверхности, представляет собой ортогональные
траектории семейства линий уровня u(x, y) = c1 u-поверхности. Аналогично, семейство ли-
ний u(x, y) = c1, принадлежащее v-поверхности Z = v(x, y), является ортогональными
траекториями семейства линий уровня v(x, y) = c2, заданных на v-поверхности.
Доказательство. Докажем теорему для случая u-поверхности (5). Найдем ортогональные
траектории ее линий уровня u(x, y) = c1.
Условие ортогональности двух семейств линий на u-поверхности получим из равенства
(\delta r, dr) = 0, где вектор \delta r = r1\delta x + r2\delta y направлен по касательной к линии уровня, а dr =
= r1dx + r2dy является направлением линии ортогональной траектории. Отсюда следует, что
в произвольной точке u-поверхности с учетом формул (20) равенство (\delta r, dr) = 0 принимает
вид \bigl(
1 + u2x
\bigr)
dx\delta x+ uxuy(dx\delta y + dy\delta x) +
\bigl(
1 + u2y
\bigr)
dy\delta y = 0. (46)
Исходя из уравнения u(x, y) = c1, найдем зависимость между дифференциалами \delta x, \delta y : ux\delta x+
+ uy\delta y = 0, \delta y = - ux
uy
\delta x. Подставим полученное выражение \delta y в (46). После ряда простых
преобразований получим дифференциальное уравнение искомых ортогональных траекторий
uydx - uxdy = 0. (47)
В нашем изложении оно встречалось под номером (32). Там же найдено его общее решение в
неявном виде v(x, y) = c2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ПОВЕРХНОСТИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЯМИ . . . 461
Итак, для u-поверхности теорема 12 справедлива. Легко видеть, что линии уровня
u-поверхности и их ортогональные траектории на этой поверхности образуют регулярную
ортогональную сеть. В случае v-поверхности доказательство теоремы аналогично.
Теорема 12 доказана.
Теорема 13. Если w = u + iv — аналитическая функция, то при одновременных
А-деформациях пары ГСП, сохраняющих ГС, линии уровня u-поверхности u(x, y) = c1 и их
ортогональные траектории v(x, y) = c2 образуют сеть линий стационарной длины. Что
касается v-поверхности, то на ней сеть линий стационарной длины образуют линии уровня
v(x, y) = c2 заданной v-поверхности и их ортогональные траектории u(x, y) = c1.
Доказательство. Напомним, что в процессе А-деформации площадь области остается
неизменной (с точностью 1-го порядка), хотя длина дуги кривой на поверхности, вообще гово-
ря, изменяется. Однако при этом на каждой поверхности существует сеть линий стационарной
длины [13]. Найдем линии стационарной длины u- и v-поверхностей в случае их одновремен-
ных А-деформаций, сохраняющих ГС, т. е. типа dt (u \cup v) .
Дифференциальное уравнение линий стационарной длины получим из соотношения (183):
\varepsilon ijdx
idxj = 0 \Leftarrow \Rightarrow \varepsilon 11dx
2 + 2\varepsilon 12dxdy + \varepsilon 22dy
2 = 0.
Для u-поверхности с учетом равенств (44) при c \not = 0 будем иметь
uxuydy
2 +
\bigl(
u2x - u2y
\bigr)
dxdy - uxuydx
2 = 0.
В случае dx = 0 или dy = 0 это дифференциальное уравнение исчезает. Полагая dx \not = 0,
преобразуем его к виду квадратного алгебраического уравнения
uxuy
\biggl(
dy
dx
\biggr) 2
+
\bigl(
u2x - u2y
\bigr) dy
dx
- uxuy = 0
с дискриминантом D =
\bigl(
u2x + u2u
\bigr) 2
> 0 и различными действительными корнями\biggl(
dy
dx
\biggr)
1
= - ux
uy
,
\biggl(
dy
dx
\biggr)
2
=
uy
ux
. (48)
Общее решение каждого из дифференциальных уравнений (48) дает аналитическое выраже-
ние однопараметрического семейства линий. Из первого дифференциального уравнения легко
найдем его общее решение в неявном виде
uxdx+ uydy = 0 \Leftarrow \Rightarrow du = 0 \Leftarrow \Rightarrow u(x, y) = c1.
Второе уравнение из (48) совпадает с (47), а его общим решением является v(x, y) = c2.
Итак, мы доказали первую часть теоремы для u-поверхности.
Линии стационарной длины v-поверхности можно найти аналогично, исходя из дифферен-
циального уравнения \widetilde \varepsilon 11dx2 + 2\widetilde \varepsilon 12dxdy + \widetilde \varepsilon 22dy2 = 0.
В силу (45) и c \not = 0 алгебраическое уравнение типа (46) для v-поверхности имеет вид
vxvy
\biggl(
dy
dx
\biggr) 2
+
\bigl(
v2x - v2y
\bigr) dy
dx
- vxvy = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
462 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
Его дискриминант D =
\bigl(
v2x + v2y
\bigr) 2
> 0, а корни\biggl(
dy
dx
\biggr)
1
= - vx
vy
=
uy
ux
,
\biggl(
dy
dx
\biggr)
2
=
vy
vx
= - ux
uy
совпадают с корнями квадратного уравнения (46). Следовательно, уравнения линий стационар-
ной длины v-поверхности совпадают с уравнениями линий стационарной длины u-поверхности.
Теорема 13 доказана.
9. Б. м. изгибания типов \bfitd \bfitt (\bfitu ), \bfitd \bfitvarepsilon (\bfitv ) и \bfitd \bfitt (\bfitu \cup \bfitv ).
Теорема 14. Любая u-поверхность является жесткой относительно б. м. изгибаний типа
dt(u). Любая v-поверхность является жесткой относительно б. м. изгибаний типа d\varepsilon (v).
Если w = u + iv — аналитическая функция, то пара u- и v-поверхностей не допускает
нетривиальных б. м. изгибаний, происходящих на них одновременно, типа dt (u \cup v) .
Доказательство. Докажем теорему для случая изгибаний типа dt(u). При изгибаниях u-
поверхности компоненты тензора \varepsilon ij тождественно равны нулю (п. 4). Поскольку
А-деформация обобщает понятие б. м. изгибания, то математическую модель данной зада-
чи получим из (22), (23) при условии \varepsilon ij \equiv 0. Тогда система уравнений (23) исчезает, а из (22)
будем иметь \zeta x = 0, \zeta y = 0. Отсюда общее решение \zeta (x, y) = c, c = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, а вектор смещения
y = (0, 0, c) выражает тривиальное б. м. изгибание [19, с. 307].
Таким образом, u-поверхность является жесткой в отношении изгибаний указанного типа.
Для остальных двух типов изгибаний доказательство теоремы аналогично.
Теорема 14 доказана.
Примером нежесткой поверхности является поверхность Гауди [24]. Она не является гар-
монической, но однозначно проектируется на плоскость.
Заключение. В статье изучены А-деформации трех типов ГСП. В общей постановке каждая
из поставленных задач имеет самостоятельное значение. Но при условиях согласованности
параметров деформаций на двух заданных поверхностях, а также их одновременности все три
типа деформации оказываются взаимозависимыми.
Каждая поставленная в статье задача получила, по мнению автора, исчерпывающее реше-
ние. Кроме того, установлено, что на u-поверхности (v-поверхности) существует регулярная
действительная ортогональная сеть линий, одно семейство которой представляет линии уров-
ня, а другое состоит из их ортогональных траекторий. Обнаружены особенности ее дефор-
мирования.
Заметим, что в данной работе мы ограничились рассмотрением свойств вариативности
исключительно метрических форм ГСП. Здесь не затронуты вопросы приложения рассматри-
ваемых б. м. деформаций в безмоментной теории оболочек и др.
Литература
1. Дзядык В. К. Геометрическое определение аналитических функций // Успехи мат. наук. – 1960. – 15, вып. 1(91). –
С. 191 – 194.
2. Goodman A. W. On a characterization of analytic function // Amer. Math. Mon. — 1964. — 71, № 3. – P. 265 – 267.
3. Goodman A. W. A partial differential equation and parallel plane curves // Amer. Math. Mon. – 1964. – 71, № 3. –
P. 257 – 264.
4. Трохимчук Ю. Ю. Об одном критерии аналитичности функций // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 10. –
С. 1410 – 1418.
5. Трохимчук Ю. Ю., Сафонов В. М. Об одном критерии постоянства комплексной функции // Укр. мат. журн. –
1999. – 51, № 8. – С. 1096 – 1104.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ПОВЕРХНОСТИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЯМИ . . . 463
6. Jerrard Richard. Curvatures of surfaces associated with holomorphic functions // Colloq. Math. – 1970. – 21, № 1. –
P. 127 – 132.
7. Kreyszig Erwin, Pendl Alois. Über die Gauss Krümmung der Real und Imaginär — teilflächen analytischer
Funktionen // Elem. Math. – 1973. – 28, № 1. – P. 10 – 13.
8. Kalaj D., Mateljevic M. On quasiconformal harmonic surfaces with rectifiable boundary // Complex Anal. and Oper.
Theory. – 2011. – 5, № 3. – P. 633 – 646.
9. Vincensini P. Sur les probleme des transformations equivalentes infinitesimales d’une surface, et ses relations avec la
theorie de congruences de spheres // Ann. sci. Ecole norm. supér. – 1962. – 79, № 4. – P. 299 – 319.
10. Roger Boudet. Sur quelques proprietes geometriques des transformations infinitesimales des surfaces: These doct.
sci. math. – Univ. Aix-Marseille, 1961. – 78 p.
11. Rosca Radu. Asupra transformǎrilor infinitezimale de dilatate superficialǎ nulǎ din spatiul eliptic // Stud. cerc. mat.
Acad. RSR. – 1967. – 19, № 2. – P. 165 – 175.
12. Тихонов В. А. О бесконечно малых p-изгибаниях // Изв. вузов. Математика. – 1971. – № 7. – С. 94 – 98.
13. Колобов П. Г. О бесконечно малых деформациях поверхности с сохранением площади // Уч. зап. Кабардино-
Балкар. ун-та. Сер. мат. – 1966. – Вып. 30. – С. 65 – 68.
14. Безкоровайна Л. Л. Ареальнi нескiнченно малi деформацiї i врiвноваженi стани пружної оболонки. – Одеса:
Астропринт, 1999. – 168 с.
15. Souam Robah. On stable constant mean curvature surfaces in S2 \times R and H2 \times R // Trans. Amer. Math. Soc. –
2010. – 362, № 6. – P. 2845 – 2857.
16. Hurtado Ana, Ritore Manuel, Rosales Cesar. The classification of complete stable area-stationary surfaces in the
Heisenberg group H1 // Adv. Math. – 2010. – 224, № 2. – P. 501 – 600.
17. Qiu Lianghua. On a special class of prescribed scolar courvature problems with volume element preserving
deformations // Shuxue wuli xuebao. Ser. A. Acta math. sci. – 2011. – 31, № 5. – P. 1317 – 1322.
18. Tian Daping, Li Guanghan, Wu Chuanxi. The surface area preserving mean curvature flow in quasi-Fuchsian manifolds
// Acta math. sci. B. – 2012. – 32, № 6. – P. 2191 – 2202.
19. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Наука, 1988. – 512 с.
20. Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. – М.: Наука, 1969. – 760 с.
21. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей. – М.: ОГИЗ, 1947. – Ч. 1. – 512 с.
22. Yang Yun, Yu Yanhua, Liu Huili. Linear Weingarten centroaffine translation surfaces in R3 // J. Math. Anal. and
Appl. – 2011. – 375, № 2. – P. 458 – 466.
23. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.
24. Velimirovic Ljubica S., Cvetkovic Milica D., Ciric Marija S., Velimirovic Nicola. Analysis of Gaudi surfaces at small
deformations // Appl. Math. and Comput. – 2012. – 218, № 13. – P. 6999 – 7004.
Получено 11.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1567 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:13Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cd/ec214f5e8e2e76fcb6a420978f5c47cd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15672019-12-05T09:19:04Z Surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions: $A$-deformations occurring independently or simultaneously Поверхности, образованные действительной и мнимой частями аналитической функции: $А$-деформации, происходящие независимо или одновременно Bezkorovaina, L. L. Безкоровайная, Л. Л. Безкоровайная, Л. Л. It is proved that the surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions allow nontrivial infinitesimal areal deformations of certain three types. The fields of displacements are explicitly expressed in all three cases. Given surfaces are rigid with respect to infinitesimal bendings of each type. Доведено, що поверхнi, утворенi дiйсною та уявною частинами аналiтичної функцiї, допускають нетривiальнi ареальнi нескiнченно малi деформацiї певних трьох типiв. Поля змiщень у всiх випадках вираженi явно. По вiдношенню до нескiнченно малих згинань кожного типу заданi поверхнi виявилися жорсткими. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1567 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 4 (2018); 447-463 Український математичний журнал; Том 70 № 4 (2018); 447-463 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1567/549 Copyright (c) 2018 Bezkorovaina L. L. |
| spellingShingle | Bezkorovaina, L. L. Безкоровайная, Л. Л. Безкоровайная, Л. Л. Surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions: $A$-deformations occurring independently or simultaneously |
| title | Surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions:
$A$-deformations occurring independently or simultaneously |
| title_alt | Поверхности, образованные действительной и мнимой частями аналитической функции: $А$-деформации, происходящие независимо или
одновременно |
| title_full | Surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions:
$A$-deformations occurring independently or simultaneously |
| title_fullStr | Surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions:
$A$-deformations occurring independently or simultaneously |
| title_full_unstemmed | Surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions:
$A$-deformations occurring independently or simultaneously |
| title_short | Surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions:
$A$-deformations occurring independently or simultaneously |
| title_sort | surfaces generated by the real and imaginary parts of analytic functions:
$a$-deformations occurring independently or simultaneously |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1567 |
| work_keys_str_mv | AT bezkorovainall surfacesgeneratedbytherealandimaginarypartsofanalyticfunctionsadeformationsoccurringindependentlyorsimultaneously AT bezkorovajnaâll surfacesgeneratedbytherealandimaginarypartsofanalyticfunctionsadeformationsoccurringindependentlyorsimultaneously AT bezkorovajnaâll surfacesgeneratedbytherealandimaginarypartsofanalyticfunctionsadeformationsoccurringindependentlyorsimultaneously AT bezkorovainall poverhnostiobrazovannyedejstvitelʹnojimnimojčastâmianalitičeskojfunkciiadeformaciiproishodâŝienezavisimoiliodnovremenno AT bezkorovajnaâll poverhnostiobrazovannyedejstvitelʹnojimnimojčastâmianalitičeskojfunkciiadeformaciiproishodâŝienezavisimoiliodnovremenno AT bezkorovajnaâll poverhnostiobrazovannyedejstvitelʹnojimnimojčastâmianalitičeskojfunkciiadeformaciiproishodâŝienezavisimoiliodnovremenno |