On the approximation and growth of entire harmonic functions in $R_n$
We establish a criterion of extendability of harmonic function in a ball of the $n$-dimensional space to harmonic entire function and study the growth of entire harmonic function in terms of the best approximation of these function by harmonic polynomials.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1568 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507369662840832 |
|---|---|
| author | Veselovskaya, O. V. Веселовська, О. В. |
| author_facet | Veselovskaya, O. V. Веселовська, О. В. |
| author_sort | Veselovskaya, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:04Z |
| description | We establish a criterion of extendability of harmonic function in a ball of the $n$-dimensional space to harmonic entire
function and study the growth of entire harmonic function in terms of the best approximation of these function by harmonic
polynomials. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.572
О. В. Веселовська (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”)
ПРО АПРОКСИМАЦIЮ ТА ЗРОСТАННЯ ЦIЛИХ
ГАРМОНIЧНИХ В \BbbR \bfitn ФУНКЦIЙ
We establish a criterion of extendability of harmonic function in a ball of the n-dimensional space to harmonic entire
function and study the growth of entire harmonic function in terms of the best approximation of these function by harmonic
polynomials.
Установлен критерий продолжаемости гармонической в шаре функции n-мерного пространства к целой гармо-
нической и исследован рост целой гармонической функции в терминах наилучшего приближения такой функции
гармоническими полиномами.
Нехай Sn = \{ y \in \BbbR n : | y| = 1\} — одинична сфера у просторi \BbbR n, n \geq 3, з центром у початку
координат, а \omega n =
2\pi
n
2
\Gamma
\Bigl( n
2
\Bigr) — площа її поверхнi, де \Gamma (x) — гамма-функцiя.
Через Y (k) будемо позначати сферичнi гармонiки або сферичнi функцiї Лапласа степеня
k, якi є звуженням на одиничну сферу Sn однорiдного гармонiчного многочлена степеня k
[1, с. 157 – 174; 2].
Множину сферичних гармонiк степеня k можна розглядати як пiдпростiр простору L2 (Sn)
дiйснозначних функцiй зi скалярним добутком
(f, g) =
1
\omega n
\int
Sn
f(x)g(x)dS,
де dS — елемент площi сфери Sn. Якщо Y (k)
1 , Y
(k)
2 , . . . , Y
(k)
\gamma k — ортонормований базис у цьому
пiдпросторi, то
\bigcup \infty
k=0
\Bigl\{
Y
(k)
1 , Y
(k)
2 , . . . , Y
(k)
\gamma k
\Bigr\}
буде ортонормованим базисом у просторi L2 (Sn) .
Тут \gamma k =
(2k + n - 2)(k + n - 3)!
k!(n - 2)!
— кiлькiсть лiнiйно незалежних сферичних гармонiк сте-
пеня k.
Нехай Kn
R = \{ y \in \BbbR n : | y| \leq R\} — куля радiуса R у просторi \BbbR n, n \geq 3, з центром у
початку координат, а Kn
R — її замикання. Клас гармонiчних у Kn
R i неперервних на Kn
R функцiй
позначимо через HR, де 0 < R <\infty .
Вiдомо [3, с. 94], що для функцiї u \in HR при всiх r, 0 < r < R, має мiсце розклад у ряд
Фурьє – Лапласа
u(rx) =
\infty \sum
k=0
Y (k)(x;u)rk, (1)
де x \in Sn,
Y (k)(x;u) = a
(k)
1 Y
(k)
1 (x) + a
(k)
2 Y
(k)
2 (x) + . . .+ a(k)\gamma k
Y (k)
\gamma k
(x),
a
(k)
j =
\Bigl(
u, Y
(k)
j
\Bigr)
, j = 1, . . . , \gamma k,
c\bigcirc О. В. ВЕСЕЛОВСЬКА, 2018
464 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ПРО АПРОКСИМАЦIЮ ТА ЗРОСТАННЯ ЦIЛИХ ГАРМОНIЧНИХ В \BbbR n ФУНКЦIЙ 465\Bigl(
u, Y
(k)
j
\Bigr)
— скалярний добуток в L2 (Sn) .
При n = 2 сферичнi гармонiки зводяться до звичайних тригонометричних функцiй кута,
при n \geq 3 мають бiльш складну структуру i зв’язанi з деякими многочленами спецiального
вигляду.
Нехай \nu =
n - 2
2
. Тодi [2]
Y (k)(x;u) =
k + \nu
\nu \omega n
\int
Sn
C\nu
k [(x, y)]u(y)dS(y), (2)
де k \in Z+, x \in Sn, (\cdot , \cdot ) — скалярний добуток в \BbbR n, а C\nu
k — многочлени Гегенбауера або
ультрасферичнi многочлени степеня k i порядку \nu [2], якi визначаються iз спiввiдношення
\bigl(
1 - 2\tau t+ \tau 2
\bigr) - \nu
=
\infty \sum
k=0
C\nu
k (t)\tau
k,
де | t| \leq 1, 0 \leq \tau < 1.
У випадку тривимiрного простору сферичнi гармонiки, крiм того, можуть бути вираженi
через многочлени Лежандра Pk = P 0
k та приєднанi многочлени Лежандра P j
k (див., наприклад,
[4, c. 151 – 155; 5, с. 179 – 184])
Y (k)(x;u) = Y (k)(\theta , \varphi ;u) =
k\sum
j=0
\Bigl(
a
(1)
kj \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} j\varphi + a
(2)
kj \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} j\varphi
\Bigr)
P j
k (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta ) ,
де k \in Z+, \theta , \varphi — сферичнi координати точки x \in S3, a
(i)
kj , i = 1, 2, — коефiцiєнти.
Функцiя U називається цiлою гармонiчною, якщо вона гармонiчна у всьому просторi \BbbR n.
Розглянемо функцiю M(r, U) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in Sm | U(rx)| , за допомогою якої будемо визначати зростан-
ня функцiї U.
Нехай функцiя \gamma визначена i диференцiйовна на промiжку [a; +\infty ) при деякому a \geq 0,
строго монотонно зростає, при t \rightarrow \infty прямує до \infty . Згiдно з [6], вона належить класу L0,
якщо для будь-якої дiйсної функцiї \psi такої, що \psi (t) \rightarrow 0 при t\rightarrow \infty , справджується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\gamma [(1 + \psi (t)) t]
\gamma (t)
= 1,
i належить класу \Lambda , якщо для всiх c, 0 < c <\infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\gamma (ct)
\gamma (t)
= 1.
За допомогою функцiй \alpha , \beta iз класiв L0, \Lambda за аналогiєю з [6] визначимо узагальнений
порядок i нижнiй порядок цiлої гармонiчної в \BbbR n функцiї U рiвностями
\rho \alpha \beta (U) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n}M(r, U))
\beta (r)
,
\lambda \alpha \beta (U) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n}M(r, U))
\beta (r)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
466 О. В. ВЕСЕЛОВСЬКА
Позначимо через \Pi k множину гармонiчних многочленiв степеня не вищого за k. Похибку
апроксимацiї функцiї u \in HR гармонiчними многочленами P \in \Pi k визначимо як
Ek
R(u) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
P\in \Pi k
\Biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
y\in Kn
R
| u(y) - P (y)|
\Biggr\}
. (3)
У данiй статтi для функцiї з класу HR, яка розкладається в ряд (1), встановлено необхiднi та
достатнi умови, за яких її можна продовжити до цiлої гармонiчної в \BbbR n функцiї, що формулю-
ються в термiнах найкращого наближення Ek
R(u) цiєї функцiї гармонiчними многочленами, i
дослiджено зростання останньої. Аналогiчне питання для гармонiчних у тривимiрному просто-
рi функцiй у випадку, коли вони зображуються рядом за приєднаними многочленами Лежандра,
вивчено в [7].
Нехай
F (t, c) = \beta - 1(c\alpha (t)), (4)
де \beta - 1 — функцiя, обернена до \beta , c — стала.
Теорема 1. Функцiя u \in HR продовжується до цiлої гармонiчної в \BbbR n функцiї тодi i лише
тодi, коли виконується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
k
\sqrt{}
Ek
R(u) = 0, (5)
де Ek
R(u) визначенi спiввiдношенням (3).
Якщо, крiм того, для всiх c, 0 < c <\infty , виконується одна з умов
а) \alpha , \beta \in \Lambda ,
d \mathrm{l}\mathrm{n}F (t, c)
d \mathrm{l}\mathrm{n} t
= O(1), t\rightarrow \infty ;
б) \alpha , \beta \in L0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
d \mathrm{l}\mathrm{n}F (t, c)
d \mathrm{l}\mathrm{n} t
= p, 0 < p <\infty ,
де функцiя F (t, c) визначена спiввiдношенням (4), то узагальнений порядок \rho \alpha \beta (u) цiлої гар-
монiчної в \BbbR n функцiї визначається рiвнiстю
\rho \alpha \beta (u) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\alpha (pk))
\beta
\Bigl(
epR
\bigl[
Ek
R(u)
\bigr] - 1/k
\Bigr) , (6)
причому при виконаннi умови а) число p вважається довiльним додатним.
Наведемо леми, необхiднi для доведення цiєї теореми.
Лема 1. Якщо u \in HR, то для всiх k \in N
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in Sn
\bigm| \bigm| \bigm| Y (k)(\xi ;u)
\bigm| \bigm| \bigm| Rk \leq 4(k + 2\nu )2\nu
(2\nu )!
Ek - 1
R (u), (7)
де \nu =
n - 2
2
, а Ek - 1
R (u) визначенi спiввiдношенням (3).
Доведення. Оскiльки гармонiчний многочлен є сумою однорiдних гармонiчних многочле-
нiв, то на пiдставi теореми додавання [5, с. 235] для многочленiв Гегенбауера C\nu
k маємо\int
Sn
C\nu
k [(\xi , \eta )]P (\tau \eta )dS(\eta ) = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ПРО АПРОКСИМАЦIЮ ТА ЗРОСТАННЯ ЦIЛИХ ГАРМОНIЧНИХ В \BbbR n ФУНКЦIЙ 467
де P \in \Pi k - 1, 0 < \tau < R, \xi \in Sn. Враховуючи це, записуємо спiввiдношення (2) так:
Y (k)(\xi ;u)\tau k =
k + \nu
\nu \omega n
\int
Sn
C\nu
k [(\xi , \eta )] \{ u(\tau \eta ) - P (\tau \eta )\} dS(\eta ).
Звiдси, враховуючи спiввiдношення \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} - 1\leq t\leq 1 | C\nu
k (t)| = C\nu
k (1), де C\nu
k (1) =
(k + 2\nu - 1)!
(2\nu - 1)!k!
[5, с. 176], знаходимо\bigm| \bigm| \bigm| Y (k)(\xi ;u)
\bigm| \bigm| \bigm| \tau k \leq k + \nu
\nu \omega n
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\tau \eta \in Kn
R
| u(\tau \eta ) - P (\tau \eta )| C\nu
k (1)\omega n \leq
\leq 2(k + 2\nu )!
(2\nu )!k!
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\tau \eta \in Kn
R
| u(\tau \eta ) - P (\tau \eta )| \leq 2(k + 2\nu )2\nu
(2\nu )!
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\tau \eta \in Kn
R
| u(\tau \eta ) - P (\tau \eta )| . (8)
Далi, з визначення похибки Ek
R(u) випливає, що iснує многочлен P \ast \in \Pi k - 1, для якого
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\tau \eta \in Kn
R
| u(\tau \eta ) - P \ast (\tau \eta )| \leq 2Ek - 1
R (u). (9)
Покладаючи в нерiвностi (8) P = P \ast i враховуючи нерiвнiсть (9), а також те, що \tau є
довiльним, отримуємо твердження леми 1.
Нехай
Bk =
\sqrt{}
(2\nu )!
2
1
(k + 2\nu )\nu
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in Sn
\bigm| \bigm| \bigm| Y (k)(\xi ;u)
\bigm| \bigm| \bigm| .
Лема 2 [8]. Для цiлої гармонiчної в \BbbR n функцiї u, яка задана рядом (1), виконуються
нерiвностi
Bk \leq M(r, u)r - k
для всiх k \in Z+ i r > 0.
Лема 3. Для цiлої гармонiчної в \BbbR n функцiї u справедливою є оцiнка
Ek
R(u) \leq
\sqrt{}
2
(2\nu )!
(2\nu + 1)!(k + 2\nu )2\nu M(r, u)
\biggl(
R
r
\biggr) k
(10)
для всiх r > eR i k \in Z+.
Доведення. Нехай
Qk (r\xi ) =
k\sum
j=0
Y (j)(\xi ;u)rj ,
де r > 0, \xi \in Sn. Функцiя Qk є гармонiчним многочленом степеня не вищого за k, тобто
Qk \in \Pi k. Виходячи з означення похибки Ek
R(u) та враховуючи розклад (1) i лему 2, знаходимо
Ek
R(u) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\tau \xi \in Kn
R
| u (\tau \xi ) - Qk (\tau \xi )| \leq
\infty \sum
j=k+1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\xi \in Sn
\bigm| \bigm| \bigm| Y (j)(\xi ;u)
\bigm| \bigm| \bigm| Rj \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
468 О. В. ВЕСЕЛОВСЬКА
\leq
\sqrt{}
2
(2\nu )!
M (r;u)
\infty \sum
j=k+1
(j + 2\nu )\nu
\biggl(
R
r
\biggr) j
=
=
\sqrt{}
2
(2\nu )!
M (r;u)
\biggl(
R
r
\biggr) k \infty \sum
j=k+1
(j + 2\nu )\nu
\biggl(
R
r
\biggr) j - k
.
Оцiнимо останню суму. Для r > eR маємо
\infty \sum
j=k+1
(j + 2\nu )\nu
\biggl(
R
r
\biggr) j - k
\leq ek
\infty \sum
j=k+1
(j + 2\nu )2\nu e - j \leq ek
\infty \int
k
(t+ 2\nu )2\nu e - tdt.
Вибираючи s = 2\nu i hs(t) = (t+ s)s та iнтегруючи s+ 1 раз частинами, отримуємо
\infty \int
k
hs(t)e
- tdt =
\Bigl[
- e - t
\Bigl(
hs(t) + h
\prime
s(t) + . . .+ h(s)s (t)
\Bigr) \Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| \infty
k
.
Враховуючи, що h(i)s (t) =
s!
(s - i)!
(t+ s)s - i для i = 1, s, знаходимо
\infty \int
k
hs(t)e
- tdt = e - k
s\sum
i=0
s!(k + s)s - i
(s - i)!
= e - k
2\nu \sum
i=0
(2\nu )!(k + 2\nu )2\nu - i
(2\nu - i)!
.
Остання сума не перевищує (2\nu + 1)!(k + 2\nu )2\nu , що й доводить лему 3.
Доведення теореми 1. Припустимо, що функцiя u \in HR продовжується до цiлої гармо-
нiчної в \BbbR n функцiї, яку також позначимо через u. Тодi спiввiдношення (5) безпосередньо
випливає з оцiнки (10). Навпаки, використовуючи нерiвнiсть (7), отримуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \sum
k=0
Y (k)(\xi ;u)rk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| Y (0)(\xi ;u)
\bigm| \bigm| \bigm| + 4
(2\nu )!
\infty \sum
k=1
(k + 2\nu )2\nu Ek - 1
R (u)
\Bigl( r
R
\Bigr) k
, (11)
звiдки, згiдно зi спiввiдношенням (5), випливає рiвномiрна збiжнiсть на компактних пiдмно-
жинах з \BbbR n ряду в правiй частинi рiвностi (1). Отже, задавши функцiю u \in HR рядом (1),
продовжимо її на весь простiр \BbbR n.
Доведемо спiввiдношення (6). Для цього розглянемо цiлi функцiї комплексної змiнної
f1 (z) =
\infty \sum
k=0
\sqrt{}
(2\nu )!
\surd
2 (2\nu + 1)! (k + 2\nu )2\nu
Ek
R(u)
\Bigl( z
R
\Bigr) k
,
f2 (z) =
\infty \sum
k=1
4
(2\nu )!
(k + 2\nu )2\nu Ek - 1
R (u)
\Bigl( z
R
\Bigr) k
.
Використовуючи нерiвностi (10) та (11), для r > eR отримуємо
\mu (r; f1) \leq M (r;u) \leq
\bigm| \bigm| \bigm| Y (0) (\xi ;u)
\bigm| \bigm| \bigm| +M (r; f2) ,
де \mu (r; f1) — максимальний член степеневого ряду функцiї f1 (z) , а M (r; f2) — максимум
модуля функцiї f2 (z) . Звiдси
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ПРО АПРОКСИМАЦIЮ ТА ЗРОСТАННЯ ЦIЛИХ ГАРМОНIЧНИХ В \BbbR n ФУНКЦIЙ 469
\rho \alpha \beta (f1) \leq \rho \alpha \beta (u) \leq \rho \alpha \beta (f2) . (12)
Використовуючи формулу, яка виражає узагальнений порядок цiлої функцiї однiєї комп-
лексної змiнної через коефiцiєнти її степеневого ряду, знаходимо
\rho \alpha \beta (f1) = \rho \alpha \beta (f2) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\alpha (pk)
\beta
\Bigl(
epR
\bigl[
Ek
R(u)
\bigr] - 1/k
\Bigr) .
Звiдси, враховуючи нерiвнiсть (12), отримуємо рiвнiсть (6).
Теорему 1 доведено.
Зауважимо, що з теореми 1 для цiлої гармонiчної в \BbbR n функцiї u можна отримати:
1) при \alpha (t) = \beta (t) = \mathrm{l}\mathrm{n} t формулу для порядку \rho (u):
\rho (u) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
k \mathrm{l}\mathrm{n} k
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
Ek
R(u)
;
2) при \alpha (t) = t, \beta (t) = t\rho , p =
1
\rho
, де \rho — порядок функцiї u, формулу для типу \sigma (u):
R (\sigma (u)\rho e)1/\rho = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
k1/\rho k
\sqrt{}
Ek
R(u);
3) при \alpha (t) = t, \beta (t) = t\rho (t), де \rho (t) — уточнений порядок функцiї u, формулу для типу
\sigma \ast (u) вiдносно уточненого порядку \rho (t):
R (\sigma \ast (u)\rho e)1/\rho = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\psi (k) k
\sqrt{}
Ek
R(u),
де t = \psi (\tau ) — функцiя, обернена до \tau = t\rho (t) .
Теорема 2. Нехай u \in HR. Якщо виконується умова (5), то функцiя u продовжується до
цiлої гармонiчної функцiї i
\lambda \alpha \beta (u) \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\alpha (pk))
\beta
\Bigl(
epR
\bigl[
Ek
R(u)
\bigr] - 1/k
\Bigr) . (13)
Якщо, крiм того, частка
Ek
R(u)
Ek+1
R (u)
є неспадною функцiєю вiд k i виконується одна з умов
а), б) теореми 1, то нерiвнiсть (13) перетворюється в рiвнiсть.
Доведення цiєї теореми аналогiчне доведенню теореми 1.
Наслiдок. Нехай u — цiла гармонiчна в \BbbR n функцiя. Тодi
\lambda (u) \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
k \mathrm{l}\mathrm{n} k
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
Ek
R(u)
. (14)
Нерiвнiсть (14) перетворюється у рiвнiсть, коли частка
Ek
R(u)
Ek+1
R (u)
є неспадною функцiєю вiд k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
470 О. В. ВЕСЕЛОВСЬКА
Лiтература
1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир, 1974. – 336 с.
2. Berens H., Butzer P. L., Pawelke S. Limitierungs verfahren von Reihen mehrdimensionaler Kugelfunktionen und
deren Saturationsverhalten // Publ. Res. Inst. Math. Sci. – 1968. – P. 201 – 268.
3. Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. – М.: Наука, 1968. – 208 с.
4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – 2-е изд. – М.: Наука, 1973. – Т. 1. – 296 с.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – 2-е изд. – М.: Наука, 1974. – Т. 2. – 296 с.
6. Шеремета М. Н. Связь между асимптотикой аналитических функций и коэффициентами их степенных
разложений: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Ростов-на-Дону, 1969. – 14 с.
7. Kapoor C. P., Nautiyal A. Approximation of entire harmonic functions in R3 //Indian J. Pure and Appl. Math. –
1982. – 13, № 9. – P. 1024 – 1030.
8. Веселовская О. В. О росте целых гармонических в \BbbR n функций // Изв. вузов. Математика. – 1983. – № 10. –
С. 13 – 17.
Одержано 10.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1568 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:13Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e5/f9e9490081de0abfd2e69297fb94a3e5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15682019-12-05T09:19:04Z On the approximation and growth of entire harmonic functions in $R_n$ Про апроксимацію та зростання цілих гармонічних в $R_n$ функцій Veselovskaya, O. V. Веселовська, О. В. We establish a criterion of extendability of harmonic function in a ball of the $n$-dimensional space to harmonic entire function and study the growth of entire harmonic function in terms of the best approximation of these function by harmonic polynomials. Установлен критерий продолжаемости гармонической в шаре функции $n$-мерного пространства к целой гармонической и исследован рост целой гармонической функции в терминах наилучшего приближения такой функции гармоническими полиномами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1568 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 4 (2018); 464-470 Український математичний журнал; Том 70 № 4 (2018); 464-470 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1568/550 Copyright (c) 2018 Veselovskaya O. V. |
| spellingShingle | Veselovskaya, O. V. Веселовська, О. В. On the approximation and growth of entire harmonic functions in $R_n$ |
| title | On the approximation and growth of entire harmonic functions in $R_n$ |
| title_alt | Про апроксимацію та зростання цілих гармонічних в $R_n$ функцій |
| title_full | On the approximation and growth of entire harmonic functions in $R_n$ |
| title_fullStr | On the approximation and growth of entire harmonic functions in $R_n$ |
| title_full_unstemmed | On the approximation and growth of entire harmonic functions in $R_n$ |
| title_short | On the approximation and growth of entire harmonic functions in $R_n$ |
| title_sort | on the approximation and growth of entire harmonic functions in $r_n$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1568 |
| work_keys_str_mv | AT veselovskayaov ontheapproximationandgrowthofentireharmonicfunctionsinrn AT veselovsʹkaov ontheapproximationandgrowthofentireharmonicfunctionsinrn AT veselovskayaov proaproksimacíûtazrostannâcílihgarmoníčnihvrnfunkcíj AT veselovsʹkaov proaproksimacíûtazrostannâcílihgarmoníčnihvrnfunkcíj |