Mitigation method for a round plate under the action of mass forces
We develop a refined approximate method for the analytic investigation of the stress-strain states of orthotropic plates. The efficiency of the method is confirmed by comparing the exact and approximate solutions of the problem of bending of a circular plate.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1570 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507374611070976 |
|---|---|
| author | Kilchinsky, A. A. Massalitina, E. V. Кiльчинський, О. О. Массалітіна, Є. В. |
| author_facet | Kilchinsky, A. A. Massalitina, E. V. Кiльчинський, О. О. Массалітіна, Є. В. |
| author_sort | Kilchinsky, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:04Z |
| description | We develop a refined approximate method for the analytic investigation of the stress-strain states of orthotropic plates. The
efficiency of the method is confirmed by comparing the exact and approximate solutions of the problem of bending of a
circular plate. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.564/565
О. О. Кiльчинський (Вiйськ. iн-т телекомунiкацiй та iнформатизацiї, Київ),
Є. В. Массалiтiна (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
МЕТОД ПОМ’ЯКШЕННЯ НЕВ’ЯЗОК
ДЛЯ КРУГЛОЇ ПЛАСТИНИ ПIД ДIЄЮ МАСОВИХ СИЛ
We develop a refined approximate method for the analytic investigation of the stress-strain states of orthotropic plates. The
efficiency of the method is confirmed by comparing the exact and approximate solutions of the problem of bending of a
circular plate.
Развит уточненный приближенный метод аналитического исследования напряженно-деформированного состояния
ортотропных пластин. Эффективность метода подтверждена при сравнении точного и приближенного решений
задачи об изгибе круглой пластины.
1. Вступ. Аналiтичнi розв’язки задач про пружну рiвновагу пластин та оболонок знаходяться,
як правило, наближеними методами, що виходять з можливостi зведення початкової триви-
мiрної задачi (задачi з трьома незалежними змiнними) до звичайно простiшої — двовимiрної.
Коректнiсть такого зведення при побудовi уточненої теорiї тонких пластин була i залишається
предметом прискiпливих дослiджень [1 – 3] механiки твердого деформованого тiла. Можливi
способи такого зведення наведено в роботах [4 – 8]. У 1992 – 1997 рр. на сторiнках журналу
„Известия АН. Механика твердого тела” тривала дискусiя з питань подальшого розвинення так
званої класичної теорiї пластин, що склалася в минулому столiттi. Пiдсумки дискусiї й один iз
можливих варiантiв побудови сучасної теорiї пластин опублiковано в роботi [4]. В основу цiєї
теорiї покладено двi гiпотези:
1. Елемент нормалi до серединної площини пiсля згину пластини не змiнює своєї довжини
i залишається прямолiнiйним.
2. Нормальними напруженнями на площинках, паралельних до серединної площини плас-
тини, можна нехтувати порiвняно з нормальними напруженнями на площинках з нормалями у
тангенцiальних напрямках.
Як один iз можливих варiантiв зведення тривимiрної задачi до двовимiрної ми пропонуємо
метод пом’якшення нев’язок. Метод узгоджує прогнозованi закони апроксимацiї перемiщень по
товщинi пластини iз процедурою пом’якшення нев’язок — мiнiмiзацiї можливих неузгодженос-
тей оптимальним пiдбором параметрiв деформування. Замiсть вiдомих гiпотез [4, 5, 8] про
геометрiю деформування елемента нормалi до серединної поверхнi, можливiсть нехтування
окремими складовими тензора напружень тощо вводяться доказово обґрунтованi кiнцевi спiв-
вiдношення для визначення параметрiв деформування. Дiєвiсть методу пiдтверджено в роботах
[9 – 11] при розрахунках пружної рiвноваги прямокутної та круглої пластин пiд дiєю поверхне-
вих навантажень. Нижче цей метод апробовано при розв’язуваннi задачi про прогини пластини
пiд дiєю власної ваги.
2. Формулювання задачi. Розглянемо задачу про деформований та напружений стан пруж-
ної ортотропної пластини сталої товщини h пiд дiєю об’ємних та поверхневих сил. Виберемо у
просторi ортогональну систему координат (\alpha , \beta , z) так, щоб координатна поверхня (\alpha , \beta ) збi-
галися з серединною площиною пластини, координата z змiнювалася по нормалi до серединної
c\bigcirc О. О. КIЛЬЧИНСЬКИЙ, Є. В. МАССАЛIТIНА, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4 481
482 О. О. КIЛЬЧИНСЬКИЙ, Є. В. МАССАЛIТIНА
площини ( - 0,5h \leq z \leq 0,5h), а головнi напрямки пружностi збiгалися з координатними лiнiя-
ми. Коефiцiєнти Ламе для цих лiнiй позначимо через H1, H2, H3 . У вибранiй системi координат
коефiцiєнти Ламе змiнюються за законом
H1 = H1(\alpha , \beta ), H2 = H2(\alpha , \beta ), H3 = 1. (1)
Проекцiї вектора перемiщень для точок (\alpha , \beta , z) пластини позначимо через u\alpha , u\beta , uz . Через
e\alpha , e\beta , ez, e\alpha \beta , e\alpha z, e\beta z та \sigma \alpha , \sigma \beta , \sigma z, \tau \alpha \beta , \tau \alpha z, \tau \beta z позначимо компоненти тензорiв деформацiй
та напружень. Iнтегральнi характеристики напруженого стану — зусилля T1, T2, T12, N1, N2
та моменти M1, M2, M12 –– визначимо за формулами
T1 =
0,5h\int
- 0,5h
\sigma \alpha dz, T2 =
0,5h\int
- 0,5h
\sigma \beta dz, T12 =
0,5h\int
- 0,5h
\tau \alpha \beta dz,
N1 =
0,5h\int
- 0,5h
\tau \alpha zdz, N2 =
0,5h\int
- 0,5h
\tau \beta zdz, (2)
M1 =
0,5h\int
- 0,5h
z\sigma \alpha dz, M2 =
0,5h\int
- 0,5h
z\sigma \beta dz, M12 =
0,5h\int
- 0,5h
z\tau \alpha \beta dz.
Вiдповiдно до впливу зовнiшнiх факторiв на граничних поверхнях пластини перемiщення
(напруження) повиннi задовольняти певну систему граничних умов, що однозначно визначають
її деформований та напружений стан. Поставлена задача належить до крайових задач теорiї
пружностi, з якою пов’язано чотири вiдомi [5] групи рiвнянь:
1-група (спiввiдношення мiж деформацiями та перемiщеннями):
e\alpha =
1
H1
\partial u\alpha
\partial \alpha
+
1
H1H2
\partial H1
\partial \beta
u\beta , e\beta =
1
H2
\partial u\beta
\partial \beta
+
1
H1H2
\partial H2
\partial \alpha
u\alpha , ez =
\partial uz
\partial z
,
e\alpha \beta =
H1
H2
\partial
\partial \beta
u\alpha
H1
+
H2
H1
\partial
\partial \alpha
u\beta
H2
, e\alpha z =
1
H1
\partial uz
\partial \alpha
+
\partial u\alpha
\partial z
, e\beta z =
1
H2
\partial uz
\partial \beta
+
\partial u\beta
\partial z
.
(3)
2-група (диференцiальнi рiвняння рiвноваги у напруженнях):
\partial
\partial \alpha
(H2\sigma \alpha ) - \sigma \beta
\partial H2
\partial \alpha
+
1
H1
\partial
\partial \beta
(H2
1\tau \alpha \beta ) +
\partial
\partial z
(H1H2\tau \alpha z) +K1H1H2 = 0,
\partial
\partial \beta
(H1\sigma \beta ) - \sigma \alpha
\partial H1
\partial \beta
+
1
H2
\partial
\partial \alpha
(H2
2\tau \alpha \beta ) +
\partial
\partial z
(H1H2\tau \beta z) +K2H1H2 = 0, (4)
\partial
\partial \alpha
(H2\tau \alpha z) +
\partial
\partial \beta
(H1\tau \beta z) +
\partial
\partial z
(H1H2\sigma z) +K3H1H2 = 0,
де K1, K2, K3 — проекцiї вектора об’ємних сил на дотичнi до координатних лiнiй \alpha , \beta , z.
3-група (диференцiальнi рiвняння рiвноваги у зусиллях та моментах):
\partial
\partial \alpha
(H2T1) - T2
\partial H2
\partial \alpha
+
1
H1
\partial
\partial \beta
(H2
1T12) = - H1H2
\left( 0,5h\int
- 0,5h
K1dz +X2
\right) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
МЕТОД ПОМ’ЯКШЕННЯ НЕВ’ЯЗОК ДЛЯ КРУГЛОЇ ПЛАСТИНИ ПIД ДIЄЮ МАСОВИХ СИЛ 483
\partial
\partial \beta
(H1T2) - T1
\partial H1
\partial \beta
+
1
H2
\partial
\partial \alpha
(H2
2T12) = - H1H2
\left( 0,5h\int
- 0,5h
K2dz + Y2
\right) ,
\partial
\partial \alpha
(H2N1) +
\partial
\partial \beta
(H1N2) = - H1H2
\left( 0,5h\int
- 0,5h
K3dz + Z2
\right) , (5)
\partial
\partial \alpha
(H2M1) - M2
\partial H2
\partial \alpha
+
1
H1
\partial
\partial \beta
(H2
1M12) = H1H2
\left( N1 - hX1 -
0,5h\int
- 0,5h
zK1dz
\right) ,
\partial
\partial \beta
(H1M2) - M1
\partial H1
\partial \beta
+
1
H2
\partial
\partial \alpha
(H2
2M12) = H1H2
\left( N2 - hY1 -
0,5h\int
- 0,5h
zK2dz
\right) .
У рiвняннях системи (5) правi частини визначаються через проекцiї вектора об’ємних сил, а
заданi напруження на площинах z = \mp 0,5h задано формулами
X1 = 0,5(X+ - X - ), Y1 = 0,5(Y + - Y - ), Z1 = 0,5(Z+ - Z - ),
X2 = X+ +X - , Y2 = Y + + Y - , Z2 = Z+ + Z - , (6)
X - = - \tau \alpha z | z= - 0,5h , Y - = - \tau \beta z | z= - 0,5h , Z - = - \sigma z | z= - 0,5h ,
X+ = \tau \alpha z | z=0,5h , Y + = \tau \beta z | z=0,5h , Z+ = \sigma z | z=0,5h .
Cистему (5) i рiвностi (6) можна отримати, якщо кожне з рiвнянь (4) домножити на степенi z0,
z1 та зiнтегрувати по z вiд z = - 0,5h до z = 0,5h, врахувавши спiввiдношення (2).
4-група (спiввiдношення закону Гука для ортотропного тiла):
e\alpha = a11\sigma \alpha + a12\sigma \beta + a13\sigma z, e\beta z = a44\tau \beta z,
e\beta = a12\sigma \alpha + a22\sigma \beta + a23\sigma z, e\alpha z = a55\tau \alpha z, (7)
ez = a13\sigma \alpha + a23\sigma \beta + a33\sigma z, e\alpha \beta = a66\tau \alpha \beta .
Тут через aij позначено коефiцiєнти пружностi матерiалу пластини:
a11 =
1
E1
, a12 = - \nu 12
E2
= - \nu 21
E1
, a13 = - \nu 13
E3
= - \nu 31
E1
,
a22 =
1
E2
, a23 = - \nu 23
E3
= - \nu 32
E2
, a33 =
1
E3
, (8)
a44 =
1
G23
, a55 =
1
G13
, a66 =
1
G12
.
Сталi E1, E2, E3 є модулями Юнга на розтягнення-стискання у напрямках \alpha , \beta , z; G23, G13,
G12 — модулями зсуву у поверхнях \alpha = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, \beta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, z = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}; \nu 12, \nu 21, \nu 13, \nu 31, \nu 23, \nu 32
— коефiцiєнтами Пуассона (перший iндекс позначає напрям поперечного стискання, другий —
вiдповiдний напрям сили розтягнення). Формулам (7) можна надати вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
484 О. О. КIЛЬЧИНСЬКИЙ, Є. В. МАССАЛIТIНА
\sigma \alpha = b11e\alpha + b12e\beta + b13ez, \tau \beta z = b44e\beta z ,
\sigma \beta = b12e\alpha + b22e\beta + b23ez, \tau \alpha z = b55e\alpha z , (9)
\sigma z = b13e\alpha + b23e\beta + b33ez, \tau \alpha \beta = b66e\alpha \beta .
Мають мiсце спiввiдношення
b11 =
1 - \nu 23\nu 32
1 - \~\nu 2
E1, b12 =
\nu 12 + \nu 13\nu 32
1 - \~\nu 2
E1, b13 =
\nu 13 + \nu 12\nu 23
1 - \~\nu 2
E1,
b22 =
1 - \nu 13\nu 31
1 - \~\nu 2
E2, b23 =
\nu 23 + \nu 21\nu 13
1 - \~\nu 2
E2, b33 =
1 - \nu 12\nu 21
1 - \~\nu 2
E3, (10)
b44 = G23, b55 = G13, b66 = G12, \~\nu 2 = \nu 12\nu 21 + \nu 23\nu 32 + \nu 31\nu 13 + 2\nu 12\nu 23\nu 31.
Рiвняння (1) – (10) складають основу для подальшого наближеного методу, в якому, як i в усiх
теорiях, що визначають напружений стан пластини лише по зусиллях та моментах, на торцевих
поверхнях \alpha = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, \beta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} умови по напруженнях також задовольняються iнтегрально,
але замiсть вiдомих [4, 5, 8] гiпотез теорiї пластин та оболонок пропонується застосовувати
спецiальнi кiнцевi спiввiдношення, знайденi за процедурою пом’якшення нев’язок.
3. Метод пом’якшення. Основна система рiвнянь для пружної ортотропної пласти-
ни. 3.1. Апроксимацiя перемiщень та деформовано-напруженого стану. При визначеннi
перемiщень, деформацiй та напружень пластини далi розрiзнятимемо вхiднi характеристики,
отриманi безвiдносно до рiвнянь рiвноваги (4) (цi характеристики позначатимемо додатковим
верхнiм iндексом (1)), та вихiднi характеристики, отриманi з урахуванням рiвнянь (4) (вихiд-
нi характеристики позначатимемо додатковим верхнiм iндексом (2)). Перемiщення довiльної
точки (\alpha , \beta , z) пластини апроксимуватимемо по змiннiй z (по товщинi пластини) за законом
u\alpha = u(1)\alpha = u+ z\phi , u\beta = u
(1)
\beta = v + z\psi , uz = u(1)z = w + z\varepsilon + 0,5z2\chi , (11)
де u, v, w, \phi , \psi , \varepsilon , \chi — параметри деформування, функцiї вiд \alpha , \beta . Звiдси за формулами (3)
виводимо функцiональнi залежностi, що визначають закон змiни деформацiй. Тангенцiальнi
деформацiї e\alpha , e\beta , e\alpha \beta та поперечна деформацiя ez змiнюються по z за лiнiйним законом
e\alpha = e(1)\alpha = \varepsilon \alpha + z\kappa \alpha , e\beta = e
(1)
\beta = \varepsilon \beta + z\kappa \beta ,
e\alpha \beta = e
(1)
\alpha \beta = \varepsilon \alpha \beta + z\kappa \beta \alpha , ez = e(1)z = \varepsilon + z\chi ,
(12)
де
\varepsilon \alpha =
1
H1
\partial u
\partial \alpha
+
1
H1H2
\partial H1
\partial \beta
v, \varepsilon \beta =
1
H2
\partial v
\partial \beta
+
1
H1H2
\partial H2
\partial \alpha
u,
\varepsilon \alpha \beta =
H1
H2
\partial
\partial \beta
u
H1
+
H2
H1
\partial
\partial \alpha
v
H2
,
\kappa \alpha =
1
H1
\partial \phi
\partial \alpha
+
1
H1H2
\partial H1
\partial \beta
\psi , \kappa \beta =
1
H2
\partial \psi
\partial \beta
+
1
H1H2
\partial H2
\partial \alpha
\phi ,
\kappa \alpha \beta =
H1
H2
\partial
\partial \beta
\phi
H1
+
H2
H1
\partial
\partial \alpha
\psi
H2
.
(13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
МЕТОД ПОМ’ЯКШЕННЯ НЕВ’ЯЗОК ДЛЯ КРУГЛОЇ ПЛАСТИНИ ПIД ДIЄЮ МАСОВИХ СИЛ 485
Деформацiї поперечних зсувiв e\alpha z, e\beta z змiнюються по товщинi за квадратичним законом
e\alpha z = e(1)\alpha z = \gamma 1 + z\delta 1 + z2\eta 1, e\beta z = e
(1)
\beta z = \gamma 2 + z\delta 2 + z2\eta 2, (14)
де
\gamma 1 = \phi +
1
H1
\partial w
\partial \alpha
, \delta 1 =
1
H1
\partial \varepsilon
\partial \alpha
, \eta 1 =
1
2H1
\partial \chi
\partial \alpha
,
\gamma 2 = \psi +
1
H2
\partial w
\partial \beta
, \delta 2 =
1
H2
\partial \varepsilon
\partial \beta
, \eta 2 =
1
2H2
\partial \chi
\partial \beta
.
(15)
Закони змiни вхiдних (неврiвноважених) напружень виводимо за формулами (2), (7), (9), (12).
Тангенцiальнi напруження отримаємо у виглядi
\sigma (1)\alpha =
1
h
T1 +
12z
h3
M1, \sigma
(1)
\beta =
1
h
T2 +
12z
h3
M2, \tau
(1)
\alpha \beta =
1
h
T12 +
12z
h3
M12, (16)
де
T1 = h(b11\varepsilon \alpha + b12\varepsilon \beta + b13\varepsilon ), T2 = h(b12\varepsilon \alpha + b22\varepsilon \beta + b23\varepsilon ),
M1 =
h3
12
(b11\kappa \alpha + b12\kappa \beta + b13\chi ), M2 =
h3
12
(b12\kappa \alpha + b22\kappa \beta + b23\chi ), (17)
T12 = hb66\varepsilon \alpha \beta , M12 =
h3
12
b66\kappa \alpha \beta .
У формулах (16), (17) i далi для довiльної iнтегровної функцiї f(\alpha , \beta , z) позначено
\langle f\rangle =
0.5h\int
- 0,5h
f(\alpha , \beta , z)dz,
\circ
f = f - 1
h
\langle f\rangle - 12z
h3
\langle zf\rangle . (18)
Для напружень у площинах z = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} будемо мати
\tau (1)\alpha z =
\gamma 1 + z\delta 1 + z2\eta 1
a55
, \tau
(1)
\beta z =
\gamma 2 + z\delta 2 + z2\eta 2
a44
,
\sigma (1)z = b13(\varepsilon \alpha + z\kappa \alpha ) + b23(\varepsilon \beta + z\beta ) + b33(\varepsilon \alpha + z\chi ).
(19)
Для вихiдних тангенцiальних напружень покладемо
\sigma (2)\alpha = \sigma (1)\alpha , \sigma
(2)
\beta = \sigma
(1)
\beta , \tau
(2)
\alpha \beta = \tau
(1)
\alpha \beta . (20)
Вихiднi напруження у площинах z = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} знайдемо за рiвностями (16) i (20), виходячи з
рiвнянь (2), (4), (5):
\tau (2)\alpha z = X1 +
z
h
X2 +
3
2
h2 - 4z2
h3
(N1 - hX1),
\tau
(2)
\beta z = Y1 +
z
h
Y2 +
3
2
h2 - 4z2
h3
(N2 - hY1),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
486 О. О. КIЛЬЧИНСЬКИЙ, Є. В. МАССАЛIТIНА
\sigma (2)z = Z1 +
z
h
Z2 +
h2 - 4z2
2h2
\biggl(
z \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} - \rightarrow g1 +
h
4
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} - \rightarrow g2 +
z
h
Z2
\biggr)
+
+
(h - z)(h+ 2z)2
2h3
\langle K3\rangle -
z\int
- 0,5h
K3dz +
z\int
- 0,5h
dz
z\int
- 0,5h
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}
\circ
\vec{}K dz, (21)
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{}gi =
1
H1H2
\biggl(
\partial H2Xi
\partial \alpha
+
\partial H1Yi
\partial \beta
\biggr)
, i = 1, 2,
\circ
\vec{}K = (
\circ
K1,
\circ
K2 ), \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}
\circ
\vec{}K =
1
H1H2
\left( \partial H2
\circ
K1
\partial \alpha
+
\partial H1
\circ
K2
\partial \beta
\right) .
Формули (16) та (19) задають компоненти тензора \~T (1) — тензора вхiдних (неврiвноважених)
напружень, що не пiдпорядкованi рiвнянням рiвноваги (4). Компоненти тензора \~T (2) — тензора
вихiдних (врiвноважених) напружень — даються формулами (16), (20), (21). За компонентами
тензора \~T (2) можна скласти вирази для вихiдних деформацiй e
(2)
\alpha , e
(2)
\beta , e
(2)
z , e
(2)
\alpha \beta , e
(2)
\alpha z , e
(2)
\beta z та
перемiщень u(2)\alpha , u
(2)
\beta , u
(2)
z .
3.2. Оптимальнi кiнцевi спiввiдношення та основна система рiвнянь. Враховуючи зв’язки
мiж компонентами тензорiв \~T (1) , \~T (2) та спiввiдношення (7), знаходимо
e(2)z = e(1)z + a33(\sigma
(2)
z - \sigma (1)z ), e(2)\alpha z = a55\tau
(2)
\alpha z , e
(2)
\beta z = a44\tau
(2)
\beta z . (22)
З третього, п’ятого та шостого спiввiдношень (3) на основi рiвностей (22) матимемо
\partial u
(2)
z
\partial z
=
\partial u
(1)
z
\partial z
+ a33
\bigl(
\sigma (2)z - \sigma (1)z
\bigr)
,
\partial u
(2)
\alpha
\partial z
= a55\tau
(2)
\alpha z - 1
H1
\partial u
(2)
z
\partial \alpha
,
\partial u
(2)
\beta
\partial z
= a44\tau
(2)
\beta z - 1
H2
\partial u
(2)
z
\partial \beta
.
(23)
Звiдси iнтегруванням по змiннiй z отримаємо
u(2)z = u
(2)
z0 + u(1)z - w + a33
z\int
0
(\sigma (2)z - \sigma (1)z ) dz,
u(2)\alpha = u
(2)
\alpha 0 + a55
z\int
0
\tau (2)\alpha z dz -
1
H1
\partial
\partial \alpha
z\int
0
u(2)z dz, (24)
u
(2)
\beta = u
(2)
\beta 0 + a44
z\int
0
\tau
(2)
\beta z dz -
1
H2
\partial
\partial \beta
z\int
0
u(2)z dz,
де u(2)z0 , u
(2)
\alpha 0 , u
(2)
\beta 0 — додатковi параметри, що визначають деформований стан пластини i ма-
ють сенс вихiдних перемiщень у серединнiй площинi. У загальному випадку через можливi
вiдмiнностi вхiдних та вихiдних характеристик
\bigl(
\~T (1), u
(1)
z , u
(1)
\alpha , u
(1)
\beta , з одного боку, та \~T (1) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
МЕТОД ПОМ’ЯКШЕННЯ НЕВ’ЯЗОК ДЛЯ КРУГЛОЇ ПЛАСТИНИ ПIД ДIЄЮ МАСОВИХ СИЛ 487
u
(2)
z , u
(2)
\alpha , u
(2)
\beta — з iншого
\bigr)
матимемо двi групи нев’язок
\bigl\{
\Delta j1; \Delta j2; \Delta j3
\bigr\} \bigl(
j — номер групи,
j = 1, 2
\bigr)
. Для нев’язок 1- та 2-ї груп (нев’язок по напруженнях та нев’язок по перемiщеннях)
покладемо
\Delta 11 =
\bigm| \bigm| \bigm| \sigma (2)z - \sigma (1)z
\bigm| \bigm| \bigm| , \Delta 12 =
\bigm| \bigm| \bigm| \tau (2)\alpha z - \tau (1)\alpha z
\bigm| \bigm| \bigm| , \Delta 13 =
\bigm| \bigm| \bigm| \tau (2)\beta z - \tau
(1)
\beta z
\bigm| \bigm| \bigm| , (25)
\Delta 21 =
\bigm| \bigm| \bigm| u(2)z - u(1)z
\bigm| \bigm| \bigm| , \Delta 22 =
\bigm| \bigm| \bigm| u(2)\alpha - u(1)\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| , \Delta 23 =
\bigm| \bigm| \bigm| u(2)\beta - u
(1)
\beta
\bigm| \bigm| \bigm| . (26)
Нев’язки розглядатимемо як прояв вiдхилень мiж точним та наближеним розв’язками. Тому їх
будемо пом’якшувати (мiнiмiзувати). Пом’якшення нев’язок (окремо для кожної групи) здiй-
снюватимемо за методом середнього квадратичного — оптимальним пiдбором параметрiв \varepsilon , \chi ,
\phi , \psi та u(2)z0 , u
(2)
\alpha 0 , u
(2)
\beta 0 для мiнiмiзацiї функцiоналiв Ijk :
Ijk =
0,5h\int
- 0,5h
\Delta 2
jkdz, j = 1, 2, k = 1, 3. (27)
Вирази функцiоналiв складемо за формулами (11), (16), (19) та (21), (24). Кожнiй групi нев’язок,
(25) чи (26), вiдповiдає своя група оптимальних кiнцевих спiввiдношень, якi встановлюють
лiнiйну залежнiсть величин \varepsilon , \chi , \phi , \psi , вiд iнших параметрiв деформування та перерiзуючих
зусиль. Результати мiнiмiзацiї функцiоналiв Ij1, Ij2, Ij3, j = 1, 2, запишемо у виглядi
\varepsilon =
1
b33
\Bigl(
- b13\varepsilon \alpha - b23\varepsilon \beta + f
(j)
1
\Bigr)
, \chi =
1
b33
\biggl(
- b13\kappa \alpha - b23\kappa \beta +
1
h
f
(j)
2
\biggr)
,
\phi = a55
\biggl(
1 +
\delta j2
5
\biggr)
N1
h
- 1
H1
\partial
\partial \alpha
\biggl(
w + h2
5 - 2\delta j2
120
\chi
\biggr)
- a55
\delta j2
5
X1,
\psi = a44
\biggl(
1 +
\delta j2
5
\biggr)
N2
h
- 1
H2
\partial
\partial \beta
\biggl(
w + h2
5 - 2\delta j2
120
\chi
\biggr)
- a44
\delta j2
5
Y1,
(28)
u
(2)
z0 = w - 3h
1120
a33(Z2 + \langle K3\rangle + h\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{}g1),
u
(2)
\alpha 0 = u+
h2
24
1
H1
\partial \varepsilon
\partial \alpha
- h
24
a55X2 +
h2
1920
a33
1
H1
\partial
\partial \alpha
\biggl(
12
h
\langle zK3\rangle + h\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{}g2
\biggr)
,
u
(2)
\beta 0 = u+
h2
24
1
H2
\partial \varepsilon
\partial \beta
- h
24
a44Y2 +
h2
1920
a33
1
H2
\partial
\partial \beta
\biggl(
12
h
\langle zK3\rangle + h\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{}g2
\biggr)
,
де
f
(j)
1 = Z1 +
5 + \delta j2
60
\biggl(
h\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{}g2 +
12
h
\langle zK3\rangle
\biggr)
,
f
(j)
2 = Z2 +
\biggl(
1
5
+
3
35
\delta j2
\biggr)
(Z2 + \langle K3\rangle + h\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{}g1),
(29)
\delta j2 — символ Кронекера: \delta j2 =
\Biggl\{
0, j = 1,
1, j = 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
488 О. О. КIЛЬЧИНСЬКИЙ, Є. В. МАССАЛIТIНА
Поклавши j = 1, за формулами (28) отримаємо кiнцевi спiввiдношення, що мiнiмiзують
нев’язки по напруженнях; їх доцiльно застосовувати при визначеннi напруженого стану, зусиль,
моментiв, деформацiй та змiн кривини пластини. При j = 2 за цими ж формулами знайдемо
спiввiдношення, кориснi при визначеннi перемiщень. Отриманi кiнцевi спiввiдношення дозво-
ляють вилучити параметри \varepsilon , \chi у формулах (17) i встановити (без звичних припущень [4, 5, 8]
теорiї пластин i оболонок) безпосереднi зв’язки мiж зусиллями, моментами та деформацiями
\varepsilon \alpha , \varepsilon \beta , \varepsilon \alpha \beta , \kappa \alpha , \kappa \beta , \kappa \alpha \beta серединної поверхнi. З допомогою спiввiдношень (28), (29) та (10) з
формул (17) виводимо
T1 =
E1h
1 - \nu 12\nu 21
\biggl(
\varepsilon \alpha + \nu 12\varepsilon \beta +
\nu 12\nu 23 + \nu 13
E3
f
(1)
1
\biggr)
,
T2 =
E2h
1 - \nu 12\nu 21
\biggl(
\varepsilon \beta + \nu 21\varepsilon \alpha +
\nu 13\nu 21 + \nu 23
E3
f
(1)
1
\biggr)
,
T12 = hG12\varepsilon \alpha \beta ,
(30)
M1 =
E1h
3
12(1 - \nu 12\nu 21)
\biggl[
\kappa \alpha + \nu 12\kappa \alpha +
\nu 12\nu 23 + \nu 13
E3h
f
(1)
2
\biggr]
,
M2 =
E2h
3
12(1 - \nu 12\nu 21)
\biggl[
\kappa \beta + \nu 21\kappa \alpha +
\nu 13\nu 21 + \nu 23
E3h
f
(1)
2
\biggr]
,
M12 =
h3
12
G12\kappa \alpha \beta .
Пiдставивши вирази зусиль i моментiв (30) у рiвняння (5) i замiнивши параметри \varepsilon \alpha , \varepsilon \beta , \varepsilon \alpha \beta ,
\kappa \alpha , \kappa \beta , \kappa \alpha \beta їх виразами за формулами (13), отримаємо замкнену систему п’яти диференцiаль-
них рiвнянь з п’ятьма невiдомими u, v, w та \phi , \psi . Розв’язки цiєї системи потрiбно пiдпоряд-
кувати граничним умовам (6) та умовам на торцевих поверхнях \alpha = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, \beta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}. Фор-
мули (2), (5), (6), (8), (10) – (13), (16) – (18), (20), (21) та (28) – (30) складають основну систему
рiвнянь, що визначають деформований та напружений стан пластини за методом пом’якшення
нев’язок. Судячи з характеру функцiоналiв (27) i базового закону (11), можна сподiватись, що
за цим методом у формi (11) можна отримати середнi квадратичнi наближення (по змiннiй z)
до точних розв’язкiв задач теорiї пружних пластин. Очiкуванi похибки наближених розв’язкiв
складатимуть величини порядку h2/l2 порiвняно з одиницею, де h — товщина, а l — характер-
ний розмiр у серединнiй площинi пластини.
4. Метод пом’якшення: осесиметричне навантаження круглої пластини. Розглянемо
круглу пластину радiуса a i товщини h. Вiднесемо її до цилiндричної системи координат
(r, \theta , z) з початком у геометричному центрi O пластини i вiссю Oz, що проходить по нормалi
до її серединної площини. Нехай пластина є однорiдною трансверсально iзотропною, у кожнiй
точцi площина iзотропiї проходить паралельно площинi z = 0. У вибранiй системi координат
спiввiдношення (1) – (30) зберiгають силу, якщо покласти
\alpha = r, \beta = \vargamma , H1 = 1, H2 = r. (31)
Вiдповiдно до властивостей трансверсально iзотропного матерiалу для пружних характеристик
пластини у формулах (7) – (10), (21), та (28), (30) маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
МЕТОД ПОМ’ЯКШЕННЯ НЕВ’ЯЗОК ДЛЯ КРУГЛОЇ ПЛАСТИНИ ПIД ДIЄЮ МАСОВИХ СИЛ 489
E1 = E2 = E, E3 = E\prime , \nu 12 = \nu 21 = \nu , \nu 13 = \nu 23 = \nu \prime , \nu 31 = \nu 32 = \nu \prime
E
E\prime ,
a11 = a22 =
1
E
, a33 =
1
E\prime , a44 = a55 =
1
G\prime ,
a66 =
2(1 + \nu )
E
, a12 =
- \nu
E
, a13 = a23 =
- \nu \prime
E\prime , (32)
b11 = b22 =
\biggl[
1 - (\nu \prime )
2 E
E\prime
\biggr]
E
1 - \~\nu 2
, 1 - \~\nu 2 = (1 + \nu )
\biggl[
1 - \nu - 2(\nu \prime )
2 E
E\prime
\biggr]
,
b12 =
\biggl[
\nu + (\nu \prime )
2 E
E\prime
\biggr]
E
1 - \~\nu 2
, b13 = b23 = E\nu \prime
1 + \nu
1 - \~\nu 2
, b33 = E\prime 1 - \nu 2
1 - \~\nu 2
.
Нехай пластина знаходиться в умовах осесиметричного навантаження, тобто пiд дiєю поверх-
невих i масових сил, що розподiленi симетрично вiдносно осi Oz (не залежать вiд координа-
ти \theta ). Будемо вважати, що така ж симетрiя дотримується i в крайових умовах на поверхнях
z = \pm 0,5h та r = a. Вiдповiдно у формулах (4) – (6) та (21), (28) покладемо K2 = 0, Y1 = 0,
Y2 = 0.
Враховуючи додатково пружнi властивостi матерiалу та геометрiю пластини, зауважимо,
що при осесиметричному навантаженнi у кожнiй точцi пластини всi перемiщення, деформацiї,
напруження, зусилля та моменти також не залежать вiд координати \theta i мають мiсце рiвностi
u\theta = 0, er\theta = e\theta z = 0, \sigma r\theta = \sigma \theta z = 0, T12 = 0, M12 = 0, N2 = 0. (33)
Система (5) при осесиметричному навантаженнi складається з трьох рiвнянь рiвноваги:
d
dr
(rT1) - T2 = - r
\bigl(
\langle K1\rangle +X2
\bigr)
,
d
dr
(rN1) = - r
\bigl(
\langle K3\rangle + Z2
\bigr)
, (34)
d
dr
\bigl(
rM1) - M2 = r(N1 - hX1 - \langle zK1\rangle
\bigr)
.
Закон змiни перемiщень (11) при осесиметричному навантаженнi набирає вигляду
ur = u+ z\phi , u\theta = 0, uz = w + z\varepsilon + 0,5z2\chi , (35)
де u, \phi та w, \varepsilon , \chi — функцiї, що залежать тiльки вiд змiнної r. Згiдно з формулами (12) тут
деформацiї er, e\theta та ez змiнюються за законом
er = \varepsilon r + z\kappa r, e\theta = \varepsilon \theta + z\kappa \theta , ez = \varepsilon + z\chi . (36)
Параметри деформування серединної площини знайдемо за формулами (13):
\varepsilon r =
du
dr
, \varepsilon \theta =
u
r
, \kappa r =
d\phi
dr
, \kappa \theta =
\phi
r
. (37)
Використовуючи формули (32) i (37), кiнцевi спiввiдношення (28) отримуємо у виглядi
\varepsilon = - E
E\prime
\nu \prime
1 - \nu
\biggl(
du
dr
+
u
r
\biggr)
+
1
E\prime
\biggl(
1 - 2
1 - \nu
(\nu \prime )
2 E
E\prime
\biggr)
f
(j)
1 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
490 О. О. КIЛЬЧИНСЬКИЙ, Є. В. МАССАЛIТIНА
\chi = - E
E\prime
\nu \prime
1 - \nu
\biggl(
d\phi
dr
+
\phi
r
\biggr)
+
1
E\prime
\biggl(
1 - 2
1 - \nu
(\nu \prime )
2 E
E\prime
\biggr)
1
h
f
(j)
2 , (38)
\phi =
1
G\prime h
5 + \delta j2
5
N1 -
d
dr
\biggl(
w + h2
5 - 2\delta j2
120
\chi
\biggr)
.
За формулами (21), (29) тут маємо
f
(j)
1 = Z1 +
5 + \delta j2
60
\biggl(
h
r
drX2
dr
+
12
h
\langle zK3\rangle
\biggr)
,
f
(j)
2 = Z2 +
7 + 3\delta j2
35
\biggl(
Z2 + \langle K3\rangle +
h
r
drX1
dr
\biggr)
,
(39)
де \delta j2 — символ Кронекера, \delta j2 =
\Biggl\{
0, j = 1,
1, j = 2.
Вiдповiдно до умов мiнiмiзацiї нев’язок (25),
(26) при визначеннi деформацiй, напружень, зусиль i моментiв у формулах (38) слiд покласти
j = 1 ( \delta j2 = 0) при визначеннi перемiщень — j = 2 (\delta j2 = 1). Згiдно з формулами (30), (32) i
(38) зусилля та моменти подамо їх виразами через u i \phi :
T1 =
Eh
1 - \nu 2
\biggl(
du
dr
+ \nu
u
r
+
\nu \prime (1 + \nu )
E\prime f
(1)
1
\biggr)
,
T2 =
Eh
1 - \nu 2
\biggl(
u
r
+ \nu
du
dr
+
\nu \prime (1 + \nu )
E\prime f
(1)
1
\biggr)
,
M1 =
Eh3
12(1 - \nu 2)
\biggl(
d\phi
dr
+ \nu
\phi
r
+
\nu \prime (1 + \nu )
E\prime h
f
(1)
2
\biggr)
,
M2 =
Eh3
12(1 - \nu 2)
\biggl(
\phi
r
+ \nu
d\phi
dr
+
\nu \prime (1 + \nu )
E\prime h
f
(1)
2
\biggr)
.
(40)
Пiдставивши в рiвняння (34) вирази зусиль та моментiв за формулами (40), прийдемо до
системи трьох диференцiальних рiвнянь вiдносно невiдомих u, N1 i \phi :\biggl(
r
d
dr
r
d
dr
- 1
\biggr)
u = F1,
d
dr
(rN1) = F2, (41)\biggl(
r
d
dr
r
d
dr
- 1
\biggr)
\phi = F3,
де
F1 = - \nu
\prime (1 + \nu )
E\prime r2
d
dr
f
(1)
1 - 1 - \nu 2
Eh
r2
\bigl(
\langle K1\rangle +X2
\bigr)
, F2 = - r
\bigl(
\langle K3\rangle + Z2
\bigr)
,
F3 = - \nu
\prime (1 + \nu )
E\prime r2
d
dr
f
(1)
2
h
+
12(1 - \nu 2)
Eh3
r2
\bigl(
N1 - hX1 - \langle zK1\rangle
\bigr)
.
(42)
Загальний розв’язок системи (41) знайдемо у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
МЕТОД ПОМ’ЯКШЕННЯ НЕВ’ЯЗОК ДЛЯ КРУГЛОЇ ПЛАСТИНИ ПIД ДIЄЮ МАСОВИХ СИЛ 491
u = r - 1
\int
rdr
\int
r - 2F1 dr, N1 = r - 1
\int
F2 dr, \phi = r - 1
\int
r dr
\int
r - 2F3 dr. (43)
Звiдси за формулами (37), (38) i (40) можна визначити всi деформацiї, зусилля та моменти.
Перемiщення w знаходимо, iнтегруючи при j = 2 (\delta j2 = 1) третє зi спiввiдношень (38).
Отримуємо
w =
\int \biggl(
6
5G\prime h
N1 - \phi
\biggr)
dr - 1
40
h2\chi . (44)
Довiльнi сталi, що з’являться пiсля iнтегрування у формулах (43), (44), знайдемо вiдповiдно до
граничних умов на поверхнях пластини.
5. Задача про згин круглої пластини. Нижче, як приклад застосування наближеного ме-
тоду для порiвняння з точним розв’язком, розглянемо задачу про осесиметричне навантаження
зазначеної пластини пiд дiєю власної ваги i при вiдсутностi поверхневих сил на площинах
z = \pm 0,5h. Для зовнiшнiх навантажень покладемо
X1 = X2 = Y1 = Y2 = Z1 = Z2 = 0, K1 = K2 = 0, K3 = - p
h
,
\langle K3\rangle = - p, \langle zK3\rangle = 0,
(45)
де p — вага одиницi площi пластини. На зовнiшнiй цилiндричнiй поверхнi пластини приймемо
умови жорсткого закрiплення:
u = 0, v = 0, w = 0,
\partial w
\partial r
= 0. (46)
Вiдповiдно до навантажень (45) за формулами (39), (42) отримаємо
f
(j)
1 = 0, f
(j)
2 =
7 + 3\delta j2
35
p \Rightarrow f
(1)
1 = f
(2)
1 = 0, f
(1)
2 =
1
5
p, f
(2)
2 =
2
7
p,
F1 = 0, F2 = p, F3 =
12(1 - \nu 2)
Eh3
rN1.
(47)
Врахувавши значення (47), розв’язки (43) знайдемо у виглядi
u = C1
r
2
+
C2
r
, N1 = p
\biggl(
r
2
+
C3
r
\biggr)
,
\phi =
p
D
\biggl[
r3
16
+ C3
r
2
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} r - 1
2
\biggr)
+ C4
r
2
+
C5
r
\biggr]
,
(48)
де Ci, i = 1, 5, — довiльнi сталi. Маючи розв’язки (48), за спiввiдношеннями (37), (40), (47)
дiстанемо
\varepsilon r =
C1
2
- C2
r2
, \kappa r =
p
D
\biggl[
3 r2
16
+
C3
2
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} r +
1
2
\biggr)
+
C4
2
- C5
r2
\biggr]
,
\varepsilon \theta =
C1
2
+
C2
r2
, \kappa \theta =
p
D
\biggl[
r2
16
+
C3
2
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} r - 1
2
\biggr)
+
C4
2
+
C5
r2
\biggr]
,
T1 =
Eh
1 - \nu 2
\biggl(
1 + \nu
2
C1 -
1 - \nu
r2
C2
\biggr)
, T2 =
Eh
1 - \nu 2
\biggl(
1 + \nu
2
C1 +
1 - \nu
r2
C2
\biggr)
, (49)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
492 О. О. КIЛЬЧИНСЬКИЙ, Є. В. МАССАЛIТIНА
M1 = p
\biggl[
3 + \nu
16
r2 + C3
\biggl(
1 + \nu
2
\mathrm{l}\mathrm{n} r +
1 - \nu
4
\biggr)
+ C4
1 + \nu
2
- C5
1 - \nu
r2
- \nu \prime
1 - \nu
E
E\prime
h2
60
\biggr]
,
M2 = p
\biggl[
1 + 3\nu
16
r2 + C3
\biggl(
1 + \nu
2
\mathrm{l}\mathrm{n} r - 1 - \nu
4
\biggr)
+ C4
1 + \nu
2
+ C5
1 - \nu
r2
- \nu \prime
1 - \nu
E
E\prime
h2
60
\biggr]
,
де
D =
Eh3
12(1 - \nu 2)
. (50)
Для визначення перемiщення uz знайдемо параметри w, \varepsilon , \chi . Застосовуючи спiввiдношен-
ня (38) i рiвностi (47) при j = 2 (\delta j2 = 1), отримуємо
\varepsilon = - \nu \prime
1 - \nu
E
E\prime C1,
\chi = - \nu \prime
1 - \nu
E
E\prime
p
D
\biggl(
r2
4
+ C3 \mathrm{l}\mathrm{n} r + C4
\biggr)
- 2
7
p
E\prime h
\biggl(
1 - 2
1 - \nu
(\nu \prime )
2 E
E\prime
\biggr)
.
(51)
З рiвностi (44), пiдставляючи вирази для N1, \phi i \chi за формулами (48), (51) i iнтегруючи, маємо
w =
p
D
\biggl[
1
5
h2
1 - \nu
\biggl(
\nu \prime
8
E
E\prime +
G
G\prime
\biggr) \biggl(
r2
4
+ C3 \mathrm{l}\mathrm{n} r
\biggr)
- r4
64
- C3
r2
4
(\mathrm{l}\mathrm{n} r - 1) - C4
r2
4
- C5 \mathrm{l}\mathrm{n} r - C6
\biggr]
.
(52)
Задовольняючи граничнi умови (46) i вимагаючи, щоб при r = 0 значення u, N1 i \phi були
обмеженими, знаходимо
C1 = C2 = C3 = C5 = 0, C4 =
1
5
h2
1 - \nu
\biggl(
\nu \prime
8
E
E\prime +
G
G\prime
\biggr)
- a2
8
, C6 =
a4
64
. (53)
Звiдси, спираючись на формули (33), (35) i (48) – (53), для перемiщень та iнтегральних характе-
ристик напруженого стану пластини маємо
ur = u+ z\phi , u = 0, \phi =
pr
D
\biggl[
r2 - a2
16
+
1
10
h2
1 - \nu
\biggl(
\nu \prime
8
E
E\prime +
G
G\prime
\biggr) \biggr]
, u\theta = 0,
uz = w + z\varepsilon +
z2
2
\chi , w = - p
64D
(a2 - r2)
2
, \varepsilon = 0,
\chi = - p
D
E
E\prime
1
1 - \nu
\biggl[
\nu \prime
2r2 - a2
8
+
h2
5
\nu \prime
1 - \nu
\biggl(
\nu \prime
8
E
E\prime +
G
G\prime
\biggr)
+
+
h2
42
1
1 + \nu
\biggl(
1 - 2
1 - \nu
(\nu \prime )
2 E
E\prime
\biggr) \biggr]
,
(54)
T1 = T2 = N2 = T12 = 0,
M1 = p
\biggl[
3 + \nu
16
r2 - 1 + \nu
16
a2 +
h2
10
1 + \nu
1 - \nu
\biggl(
\nu \prime
8
E
E\prime +
G
G\prime
\biggr)
- \nu \prime
1 - \nu
E
E\prime
h2
60
\biggr]
,
M2 = p
\biggl[
1 + 3\nu
16
r2 - 1 + \nu
16
a2 ++
h2
10
1 + \nu
1 - \nu
\biggl(
\nu \prime
8
E
E\prime +
G
G\prime
\biggr)
- \nu \prime
1 - \nu
E
E\prime
h2
60
\biggr]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
МЕТОД ПОМ’ЯКШЕННЯ НЕВ’ЯЗОК ДЛЯ КРУГЛОЇ ПЛАСТИНИ ПIД ДIЄЮ МАСОВИХ СИЛ 493
M12 = 0, N1 =
pr
2
.
За матерiалами роботи [6] точний розв’язок цiєї задачi (методами теорiї товстих пластин) для
пластини з iзотропного матерiалу можна знайти у виглядi
ur =
p
D
zr
\biggl[
r2 - a2
16
- 1
8
h2
1 - \nu
+
1
12
2 - \nu
1 - \nu
z2
\biggr]
, u\theta = 0,
uz = w +
p
D
z2
\biggl[
\nu
16
a2 - 2r2
1 - \nu
- 1 + 4\nu
(1 - \nu )2
h2
48
+
1 + \nu
1 - \nu
z2
24
\biggr]
, w = - p
D
(a2 - r2)
2
64
,
T1 = T2 = N2 = T12 = 0, N1 =
pr
2
, (55)
M1 = p
\biggl[
(3 + \nu )r2 - (1 + \nu )a2
16
+
h2
240
24 + 23\nu + 3\nu 2
1 - \nu
\biggr]
,
M2 = p
\biggl[
(1 + 3\nu )r2 - (1 + \nu )a2
16
+
h2
240
24 + 23\nu + 3\nu 2
1 - \nu
\biggr]
, M12 = 0.
Поклавши у формулах (54) \nu \prime = \nu , E\prime = E, G\prime = G =
E
2(1 + \nu )
, отримаємо наближений
розв’язок вiдповiдної задачi для пластини з iзотропного матерiалу за методом пом’якшення
нев’язок:
ur =
p
D
zr
\biggl[
r2 - a2
16
+
h2
80
8 + \nu
1 - \nu
\biggr]
, u\theta = 0,
uz = w +
p
D
z2
\biggl[
\nu
16
a2 - 2r2
1 - \nu
- h2
(1 - \nu )2
20 + 128\nu + 21\nu 2
1680
\biggr]
, w = - p
D
(a2 - r2)
2
64
,
T1 = T2 = N2 = T12 = 0, N1 =
pr
2
, (56)
M1 = p
\biggl[
(3 + \nu )r2 - (1 + \nu )a2
16
+
h2
240
24 + 23\nu + 3\nu 2
1 - \nu
\biggr]
,
M2 = p
\biggl[
(1 + 3\nu )r2 - (1 + \nu )a2
16
+
h2
240
24 + 23\nu + 3\nu 2
1 - \nu
\biggr]
, M12 = 0.
Для порiвняння точного та наближеного розв’язкiв знайдемо середню квадратичну апрокси-
мацiю розв’язку (55) вiдповiдно до закону (35). Середнi квадратичнi апроксимацiї перемiщень
ur, uz по змiннiй z на вiдрiзку [ - 0,5h; 0,5h] отримаємо у виглядi
ur =
p
D
zr
\biggl[
r2 - a2
16
+
h2
80
8 + \nu
1 - \nu
\biggr]
,
(57)
uz = - 1
64
p
D
\biggl[
(a2 - r2)
2
+
h4
70
1 + \nu
1 - \nu
\biggr]
+
+
p
D
z2
\biggl[
\nu
16
a2 - 2r2
1 - \nu
- h2
(1 - \nu )2
20 + 140\nu + 15\nu 2
1680
\biggr]
.
Спiвставляючи розв’язки (55) та (56), переконуємось, що:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
494 О. О. КIЛЬЧИНСЬКИЙ, Є. В. МАССАЛIТIНА
1) вiдповiднi вирази зусиль i моментiв у точному та наближеному розв’язках збiгаються;
2) за формулою (57) середня квадратична апроксимацiя перемiщення ur у точному розв’язку
збiгається з його виразом у наближеному розв’язку, а середня квадратична апроксимацiя пе-
ремiщення uz у точному розв’язку з похибкою порядку порядку h2/a2 — з його виразом у
наближеному розв’язку (56).
Порiвнявши метод пом’якшення з iншими наближеними методами, як i в роботi [12], за-
уважимо, що при розрахунках за теорiєю тонких пластин у виразах для моментiв M1, M2 на
вiдмiну вiд розв’язку (55) вдається врахувати лише першi доданки:
M1 = p
(3 + \nu )r2 - (1 + \nu )a2
16
, M2 = p
(1 + 3\nu )r2 - (1 + \nu )a2
16
.
При розв’язуваннi за уточненою теорiєю [1] можна отримати точнiшi значення:
M1 = p
\biggl[
(3 + \nu )r2 - (1 + \nu )a2
16
+
h2
10
1 + \nu
1 - \nu
\biggr]
,
M2 = p
\biggl[
(1 + 3\nu )r2 - (1 + \nu )a2
16
+
h2
10
1 + \nu
1 - \nu
\biggr]
,
але на вiдмiну вiд методу пом’якшення в основу цiєї теорiї, як i теорiї тонких пластин, закладено
припущення про те, що перемiщення в напрямку нормалi до серединної площини пластини не
залежать вiд координати z . З цiєї причини при знаходженнi перемiщення uz за цими теорiями
у розв’язку (55) вдається врахувати лише перший доданок w.
6. Висновки. В роботi розробляється наближений аналiтичний метод розрахунку деформо-
вано-напруженого стану анiзотропних пластин. Метод виходить лише з можливостi апрокси-
мацiї перемiщень по товщинi пластини, не потребує застосування традицiйних гiпотез [1, 2]
теорiї тонких пластин. Нами прогнозується, що метод дозволяє знаходити середнi квадратичнi
наближення точних розв’язкiв по товщинi пластини з похибкою порядку h2/R2 порiвняно з
одиницею.
Лiтература
1. Timoshenko S. P. History of strength of matherials. – New York: Dover, 1983. – 452 p.
2. Reissner E. Reflections on the theory of elastic plates // Appl. Mech. Revs. – 1985. – 38, № 11. – P. 1453 – 1464.
3. Jemielita G. On the winding paths of the theory of plates // Mech. Teor. i Stosow. – 1993. – 2, № 31. – P. 317 – 327.
4. Васильев В. В. Классическая теория пластин – история и современный анализ // Изв. АН. Механика твердого
тела. – 1998. – № 3. – С. 46 – 58.
5. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. – М.: Наука, 1974. – 446 с.
6. Кильчевский Н. А. Основы аналитической механики оболочек. – Киев: Изд-во АН УССР, 1963. – Т. 1– 354 с.
7. Иванов Г. В. Теория пластин и оболочек. – Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1980. – 84 с.
8. Палий О. М. Вариант прикладной теории толстых оболочек // Изв. АН. Механика твердого тела. – 2014. –
№ 2. – С. 87 – 97.
9. Кiльчинський О. О., Скрипка В. I. Про деформацiю пластин, податливих на поперечнi зсуви та стискання //
Пр. мiжнар. конф. „Питання оптимiзацiї обчислень (ПОО XV)”. – Київ, 2013. – С. 116 – 117.
10. Кiльчинський О. О., Массалiтiна Є. В. Уточнений метод пом’якшення нев’язок для ортотропної пластини //
Зб. наук. праць ДЕТУТ. Сер. Транспортнi системи i технологiї. – 2014. – № 24. — С. 163 – 172.
11. Кiльчинський О. О., Массалiтiна Є. В. Уточнений метод пом’якшення нев’язок для круглої пластини, подат-
ливої на поперечнi зсуви та стискання // Матер. XV мiжнар. наук. конф. iм. акад. Михайла Кравчука (Київ,
2014 р). – С. 142 – 145.
12. Ляв А. Математическая теория упругости. – М.: ОНТИ, 1935. – 674 с.
Одержано 06.06.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1570 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:18Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d1/ac88c3dcdeb325588dc509a3f436ead1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15702019-12-05T09:19:04Z Mitigation method for a round plate under the action of mass forces Метод пом’якшення нев’язок для круглої пластини під дією масових сил Kilchinsky, A. A. Massalitina, E. V. Кiльчинський, О. О. Массалітіна, Є. В. We develop a refined approximate method for the analytic investigation of the stress-strain states of orthotropic plates. The efficiency of the method is confirmed by comparing the exact and approximate solutions of the problem of bending of a circular plate. Развит уточненный приближенный метод аналитического исследования напряженно-деформированного состояния ортотропных пластин. Эффективность метода подтверждена при сравнении точного и приближенного решений задачи об изгибе круглой пластины. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1570 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 4 (2018); 481-494 Український математичний журнал; Том 70 № 4 (2018); 481-494 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1570/552 Copyright (c) 2018 Kilchinsky A. A.; Massalitina E. V. |
| spellingShingle | Kilchinsky, A. A. Massalitina, E. V. Кiльчинський, О. О. Массалітіна, Є. В. Mitigation method for a round plate under the action of mass forces |
| title | Mitigation method for a round plate under the action of mass
forces |
| title_alt | Метод пом’якшення нев’язок для круглої пластини
під дією масових сил |
| title_full | Mitigation method for a round plate under the action of mass
forces |
| title_fullStr | Mitigation method for a round plate under the action of mass
forces |
| title_full_unstemmed | Mitigation method for a round plate under the action of mass
forces |
| title_short | Mitigation method for a round plate under the action of mass
forces |
| title_sort | mitigation method for a round plate under the action of mass
forces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1570 |
| work_keys_str_mv | AT kilchinskyaa mitigationmethodforaroundplateundertheactionofmassforces AT massalitinaev mitigationmethodforaroundplateundertheactionofmassforces AT kilʹčinsʹkijoo mitigationmethodforaroundplateundertheactionofmassforces AT massalítínaêv mitigationmethodforaroundplateundertheactionofmassforces AT kilchinskyaa metodpomâkšennânevâzokdlâkrugloíplastinipíddíêûmasovihsil AT massalitinaev metodpomâkšennânevâzokdlâkrugloíplastinipíddíêûmasovihsil AT kilʹčinsʹkijoo metodpomâkšennânevâzokdlâkrugloíplastinipíddíêûmasovihsil AT massalítínaêv metodpomâkšennânevâzokdlâkrugloíplastinipíddíêûmasovihsil |