On the criteria of transversality and disjointness of nonnegative selfadjoint extensions of nonnegative symmetric operators
We propose criteria of transversality and disjointness for the Friedrichs and Krein extensions of a nonnegative symmetric operator in terms of the vectors $\{ \varphi j , j \in J\}$ that form a Riesz basis of the defect subspace. The criterion is applied to the Friedrichs and Krein extensions of t...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1571 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507375244410880 |
|---|---|
| author | Kovalev, Yu. G. Ковалев, Ю. Г. Ковалев, Ю. Г. |
| author_facet | Kovalev, Yu. G. Ковалев, Ю. Г. Ковалев, Ю. Г. |
| author_sort | Kovalev, Yu. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:04Z |
| description | We propose criteria of transversality and disjointness for the Friedrichs and Krein extensions of a nonnegative symmetric
operator in terms of the vectors $\{ \varphi j , j \in J\}$ that form a Riesz basis of the defect subspace. The criterion is applied to
the Friedrichs and Krein extensions of the minimal Schr¨odinger operator $\scr A$ d with point potentials. We also present a new
proof of the fact that the Friedrichs extension of the operator $\scr A$ d is a free Hamiltonian. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98
Ю. Г. Ковалев (Восточноукр. нац. ун-т им. В. Даля, Северодонецк)
О КРИТЕРИЯХ ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТИ И ДИЗЪЮНКТНОСТИ
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ
НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО СИММЕТРИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
We propose criteria of transversality and disjointness for the Friedrichs and Krein extensions of a nonnegative symmetric
operator in terms of the vectors \{ \varphi j , j \in \BbbJ \} that form a Riesz basis of the defect subspace. The criterion is applied to
the Friedrichs and Krein extensions of the minimal Schrödinger operator \scrA d with point potentials. We also present a new
proof of the fact that the Friedrichs extension of the operator \scrA d is a free Hamiltonian.
Запропоновано критерiй трансверсальностi та диз’юнктностi розширень Фрiдрiхса та Крейна невiд’ємного симет-
ричного оператора у термiнах векторiв \{ \varphi j , j \in \BbbJ \} , що утворюють базис Рiсса дефектного пiдпростору. Критерiй
застосовується до розширень Фрiдрiхса та Крейна мiнiмального оператора Шрьодiнгера \scrA d з точковими потенцiа-
лами. Дано нове доведення того, що фрiдрiхсове розширення оператора \scrA d є вiльним гамiльтонiаном.
1. Введение. Пусть \scrA — неотрицательный симметрический оператор в гильбертовом про-
странстве H.
Два самосопряженных расширения \widetilde \scrA 1 и \widetilde \scrA 2 симметрического оператора \scrA называются
дизъюнктными, если \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}( \widetilde \scrA 1) \cap \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}( \widetilde \scrA 2) = \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA ), и трансверсальными, если \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}( \widetilde \scrA 1) \dotplus
\dotplus \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}( \widetilde \scrA 2) = \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA \ast ). Если дефектные числа оператора \scrA конечны, то дизъюнктность экви-
валентна трансверсальности.
Свойства дизъюнктности и трансверсальности неотрицательных самосопряженных расши-
рений неотрицательных симметрических операторов играют важную роль в исследовании и
описании операторов: при построении граничных троек и исследовании спектра самосопря-
женных расширений [9], при факторизации плотно и неплотно заданных неотрицательных
симметрических операторов [4], при описании неотрицательных самосопряженных расшире-
ний неплотно заданного неотрицательного симметрического оператора с выходом из простран-
ства [3].
Пусть \BbbJ — конечная или счетная монотонная последовательность индексов, \frakN z(\scrA ) =
= \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\scrA - zI) — дефектное подпространство для оператора \scrA и система векторов \{ \varphi j , j \in \BbbJ \}
образует базис Рисса в \frakN - 1 = \frakN - 1(\scrA ).
В работе предлагается критерий трансверсальности и дизъюнктности неотрицательных са-
мосопряженных расширений в терминах векторов системы \{ \varphi j , j \in \BbbJ \} . Данный критерий
применяется к расширениям Фридрихса и Крейна минимальных операторов Шредингера \scrA d
с точечными потенциалами на прямой, на плоскости и в пространстве, с использованием пре-
образования Фурье. Предложено еще одно доказательство того, что расширение по Фридрихсу
оператора \scrA d является свободным гамильтонианом.
2. Неотрицательные самосопряженные расширения и критерии дизъюнктности и
трансверсальности. Базис \{ ej\} j\in \BbbN пространства \frakH , получаемый из ортонормированного ба-
зиса с помощью преобразования ограниченным обратимым оператором, называется базисом,
эквивалентным ортонормированному, или базисом Рисса [10]. Если \{ ej\} j\in \BbbN образует базис
Рисса в \frakH , то каждый f \in \frakH имеет разложение f =
\sum
j\in \BbbN
ajej такое, что
\sum
j\in \BbbN
| aj | 2 <\infty , и
наоборот, если
\sum
j\in \BbbN
| aj | 2 <\infty , то ряд
\sum
j\in \BbbN
ajej сходится в \frakH .
c\bigcirc Ю. Г. КОВАЛЕВ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4 495
496 Ю. Г. КОВАЛЕВ
Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство и \scrA — плотно определенный неотри-
цательный симметрический оператор в H ((\scrA f, f) \geq 0 для всех f \in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA )). Тогда оператор
\scrA имеет хотя бы одно неотрицательное самосопряженное расширение \scrA F — фридрихсово
расширение (расширение по Фридрихсу) [1, 11]. Обозначим через \scrA [\cdot , \cdot ] замыкание полутора-
линейной формы
\scrA [f, g] = (\scrA f, g), f, g \in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA ),
и пусть \scrD [\scrA ] — область определения этого замыкания. Согласно первой теореме о представ-
лении [11], существует неотрицательный самосопряженный оператор \scrA F , ассоциированный с
формой \scrA [\cdot , \cdot ]:
(\scrA Fh, \psi ) = \scrA [h, \psi ], \psi \in \scrD [\scrA ], h \in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA F ).
Очевидно, что \scrA \subset \scrA F \subset \scrA \ast , где \scrA \ast — сопряженный оператор к \scrA . Отметим, что
\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA F ) = \scrD [\scrA ] \cap \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA \ast ).
М. Г. Крейн в [16] установил еще одно расширение с экстремальным свойством минимальности;
это расширение называют расширением Крейна оператора \scrA и обозначают \scrA K . Оператор \widetilde \scrA
является неотрицательным самосопряженным расширением оператора \scrA в том и только в том
случае, когда выполняется неравенство \scrA K \leq \widetilde \scrA \leq \scrA F в смысле ассоциированных замкнутых
квадратичных форм [16]. В этом смысле расширение по Фридрихсу является максимальным, а
расширение Крейна — минимальным.
Предложение 1 [3, 5]. Следующие условия эквивалентны:
1) расширения Фридрихса \scrA F и Крейна \scrA K оператора \scrA трансверсальны (соответ-
ственно, дизъюнктны);
2) оператор \scrA имеет два неотрицательных самосопряженных трансверсальных (соот-
ветственно, дизъюнктных) расширения;
3) хотя бы для одного (а значит, для всех) z \in \BbbC \setminus [0,\infty ) : \frakN z(\scrA ) \subset \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA 1/2
K ) (соответ-
ственно, \frakN z(\scrA ) \cap \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA 1/2
K ) плотно в \frakN z(\scrA ));
4) хотя бы для одного (а значит, для всех) z \in \BbbC \setminus [0,\infty ) : \frakN z(\scrA ) \subset \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\scrA 1/2
F ) (соответ-
ственно, \frakN z(\scrA ) \cap \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\scrA 1/2
F ) плотно в \frakN z(\scrA ));
5) \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}((\scrA K + I) - (\scrA F + I)) = \frakN - 1 (соответственно, \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}((\scrA K + I) - (\scrA F + I)) =
= \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\scrA + I));
6) для плотно определенного \scrA : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}f\in dom(\scrA )
\| (I +\scrA \scrA \ast ) - 1/2\scrA f\| 2
(\scrA f, f)
<\infty (соответствен-
но, из \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty (I +\scrA \scrA \ast ) - 1/2\scrA \varphi n = g и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty (\scrA \varphi n, \varphi n) = 0 следует, что g = 0);
7) \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\scrA \ast ) \subset \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}
\bigl(
\scrA 1/2
F
\bigr)
;
8) \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA \ast ) \subset \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}
\bigl(
\scrA 1/2
K
\bigr)
.
Пусть A — неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H и
H+2 \subset H+1 \subset H \subset H - 1 \subset H - 2
— цепочка оснащенных гильбертовых пространств [7, 14], построенных с помощью операто-
ра A:
H+2 = \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(A), H+1 = \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(| A| 1/2)
с нормами
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
О КРИТЕРИЯХ ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТИ И ДИЗЪЮНКТНОСТИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ . . . 497
\| f\| k =
\biggl( \bigm\| \bigm\| \bigm\| | A| k/2f\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 + \| f\| 2
\biggr) 1/2
, k = 1, 2.
Гильбертовы пространства с отрицательным индексом H - k, k = 1, 2, — это пополнения H
по нормам \| f\| - k = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\| g\| k=1 | (f, g)| . Оператор A имеет непрерывное продолжение \bfA \in
\in \scrL (Hk, Hk - 2), k = 0, 1 (H0 := H) и | \bfA | 1/2 \in \scrL (Hk, Hk - 1), k = - 1, 0, — это продолжение
| A| 1/2. Резольвента Rz = (A - zI) - 1, z \in \rho (A), имеет продолжение \bfR z = (\bfA - zI) - 1 \in
\in \scrL (H - k, H - k+2), k = 0, 1, 2.
Пусть \Phi — подпространство в H - 2 такое, что \Phi \cap H = \{ 0\} , тогда оператор \scrA , определенный
следующим образом [14]:
\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA ) =
\Bigl\{
f \in H+2 : (f, \varphi ) = 0 \forall \varphi \in \Phi
\Bigr\}
, \scrA = A \upharpoonright \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA ), (1)
является замкнутым плотно определенным симметрическим оператором с индексами дефекта,
равными \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(\Phi ). Для дефектного пространства \frakN z(\scrA ) = \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\scrA \ast - zI) справедлива форму-
ла \frakN z(\scrA ) = \bfR z\Phi . Более того, если A — неотрицательный самосопряженный оператор и \scrA
определен формулами (1), то справедливы следующие утверждения.
Теорема 1 [14]. Оператор A является расширением по Фридрихсу оператора \scrA тогда и
только тогда, когда \Phi \cap H - 1 = \{ 0\} .
Теорема 2 [5, 16]. Пусть A — неотрицательный самосопряженный оператор и оператор
\scrA задан формулами (1). Предположим, что A является фридрихсовым расширением операто-
ра \scrA . Следующие условия эквивалентны:
1) расширение Крейна \scrA K оператора \scrA и оператор A трансверсальны (соответственно,
дизъюнктны);
2) A1/2H+1 \supset \frakN - 1(\scrA ) (соответственно, A1/2H+1 \cap \frakN - 1(\scrA ) плотно в \frakN - 1(\scrA ) по нор-
ме H );
3) A1/2H+1 \supset (\bfA 2 + I) - 1\Phi (соответственно, A1/2H+1 \cap (\bfA 2 + I) - 1\Phi плотно в (\bfA 2 +
+ I) - 1\Phi по норме H+1);
4) \bfA 1/2H - 1 \supset \Phi (соответственно, \bfA 1/2H - 1 \cap \Phi плотно в \Phi по норме H - 2).
3. Критерий дизъюнктности и трансверсальности. Обозначим через \BbbJ конечное или
счетное множество индексов. Пусть система векторов \{ ej , j \in \BbbJ \} образует базис Рисса под-
пространства \Phi = \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ ej , j \in \BbbJ \} такого, что \Phi \cap H - 1 = \{ 0\} . Пусть A — неотрицательный
самосопряженный оператор такой, что \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(A) = H+2, \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(A1/2) = H+1 и оператор \scrA опре-
делен формулой (1). Тогда \frakN - 1 = \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ \varphi j = (\bfA + I) - 1ej , j \in \BbbJ \} и система \{ \varphi j , j \in \BbbJ \}
образует базис Рисса подпространства \frakN - 1 = (\bfA + I) - 1\Phi .
Предложение 2. Расширения A и \scrA K оператора \scrA :
1) дизъюнктны, если
\varphi j \in \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(A1/2) \forall j \in \BbbJ ; (2)
2) трансверсальны в том и только в том случае, когда выполняется условие (2) и в \ell 2
ограничен оператор \scrB , определенный матрицей B = (bjk)j,k\in \BbbJ , где
bjk = ( \widehat A - 1/2\varphi j , \widehat A - 1/2\varphi k), j, k \in \BbbJ , (3)
оператор \widehat A - 1/2 псевдообратный к A1/2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
498 Ю. Г. КОВАЛЕВ
Доказательство. 1. Поскольку система \{ \varphi j , j \in \BbbJ \} образует базис Рисса подпространства
\frakN - 1 и \varphi j \in \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(A1/2) \forall j \in \BbbJ , то из пункта 2 теоремы 2 следует дизъюнктность операторов A
и \scrA K .
2. Допустим, что операторы A и \scrA K трансверсальны, тогда по теореме 2 каждый вектор
\varphi =
\sum
j\in \BbbJ
cj\varphi j из \frakN - 1 лежит в \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(A1/2), где \{ cj\} j\in \BbbJ \in \ell 2(\BbbJ ). Значит, \varphi j \in \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(A1/2) \forall j \in \BbbJ
и существует f \in H+1 такой, что A1/2f = \varphi . Поскольку A1/2 непрерывно действует из H+1 в
H, то \widehat A - 1/2 — замкнутый оператор из H в H+1. Так как \frakN - 1 — подпространство в H, то по
теореме о замкнутом графике сужение \widehat A - 1/2 \upharpoonright \frakN - 1 — ограниченный оператор из \frakN - 1 в H+1,
т. е.
\| \widehat A - 1/2\varphi \| 2+1 = \| \widehat A - 1/2\varphi \| 2 + \| \varphi \| 2 \leq \gamma \| \varphi \| 2 \forall \varphi \in \frakN - 1, \gamma > 0.
Поскольку
\| \varphi \| 2 =
\sum
j,k\in \BbbJ
(\varphi j , \varphi k)cjck,
\bigm\| \bigm\| \widehat A - 1/2\varphi
\bigm\| \bigm\| 2 = \sum
j,k\in \BbbJ
( \widehat A - 1/2\varphi j , \widehat A - 1/2\varphi k)cjck
и матрица Грамма \| (\varphi j , \varphi k)\| j,k\in \BbbJ порождает в \ell 2(\BbbJ ) ограниченный обратимый оператор [10],
то
\| \varphi \| 2 \leq \gamma \prime
\sum
j\in \BbbJ
| cj | 2
и, согласно (3), \sum
j,k\in \BbbJ
\bigl( \widehat A - 1/2\varphi j , \widehat A - 1/2\varphi k
\bigr)
cjck = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n\sum
j,k=1
bjkcjck.
Следовательно,
0 <
n\sum
j,k=1
bjkcjck \leq \gamma \prime \prime
n\sum
j=1
| cj | 2 \forall \{ c1, c2, c3, . . .\} \in \ell 2 \forall n \in \BbbN .
Значит, B — ограниченный неотрицательный самосопряженный оператор в \ell 2(\BbbN ) [6].
Предполагая, что оператор B, определенный матрицей с элементами вида (3), ограничен,
и проводя рассуждения в обратном порядке, убеждаемся, что расширения A и \scrA K трансвер-
сальны.
Предложение 2 доказано.
Из теоремы 2 вытекает следующее утверждение.
Следствие. Если \varphi j /\in \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(A1/2) \forall j \in \BbbJ , то операторы A и \scrA K дизъюнктны тогда
и только тогда, когда в \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ \varphi j , j \in \BbbJ \} существует такая линейно независимая система
векторов G = \{ gj , j \in \BbbJ \} , что
\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}G = \frakN - 1(\scrA ) и gj \in \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(A1/2) \forall j \in \BbbJ .
Доказательство. Необходимость. Пусть операторы A и \scrA K дизъюнктны, тогда \frakN - 1(\scrA )\cap
\cap A1/2H+1 плотно в \frakN - 1(\scrA ) по норме H, т. е. в \frakN - 1(\scrA ) существует система векторов G =
= \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ gj , j \in \BbbJ \} такая, что
G \subset A1/2H+1 и G = \frakN - 1(\scrA ) по норме H.
Достаточность. Пусть существует система векторов G = \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ gj , j \in \BbbJ \} \subset \frakN - 1(\scrA )
такая, что G \subset A1/2H+1 и G = \frakN - 1(\scrA ) по норме H. Тогда \frakN - 1(\scrA ) \cap A1/2H+1 \supset G и,
следовательно, \frakN - 1(\scrA ) \cap A1/2H+1 плотно в \frakN - 1(\scrA ) по норме H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
О КРИТЕРИЯХ ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТИ И ДИЗЪЮНКТНОСТИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ . . . 499
4. Неотрицательные гамильтонианы, соответствующие точечным взаимодействиям.
При исследовании операторов Шредингера в гильбертовом пространстве L2(\BbbR d), d = 1, 2, 3, с
потенциалами, сосредоточенными на дискретном множестве точек в \BbbR d, необходимо ассоции-
ровать самосопряженные операторы в L2(\BbbR d) с дифференциальными выражениями
hY,q,\alpha = - \Delta +
\sum
j\in \BbbJ
\alpha j\delta (x - yj), hY,q,\beta = - d2
dx2
+
\sum
j\in \BbbJ
\beta j\langle \cdot , \delta \prime j\rangle \delta \prime j(x),
где \BbbJ — монотонная последовательность индексов, Y = \{ yj\} j\in \BbbJ \subset \BbbR d, \alpha j , \beta j \in \BbbC , \delta \prime j =
= \delta \prime (x - yj) \forall j \in \BbbJ , \delta (\cdot ) и \delta \prime (\cdot ) — дельта-функция Дирака и ее производная.
Существует несколько методов, чтобы ассоциировать самосопряженные операторы с при-
веденными дифференциальными выражениями. Метод квадратичных форм имеет ограничение,
так как дельта-функция \delta (\cdot ) не является непрерывным функционалом над W 1
2 (\BbbR d), d = 2, 3.
В дальнейшем W\pm 1
2 (\BbbR d), W\pm 2
2 (\BbbR d) — пространства Соболева [7], где d = 1, 2 или 3. Во всех
трех случаях d = 1, 2, 3 используется метод самосопряженных расширений, предложенный
Ф. А. Березиным и Л. Д. Фаддеевым [8]. Рассмотрим в гильбертовом пространстве L2(\BbbR d)
следующие дифференциальные операторы:
\scrA d := - \Delta , \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA d) :=
\bigl\{
f \in W 2
2 (\BbbR d) : f(y) = 0, y \in Y
\bigr\}
, d = 2, 3,
\scrA 1 := - d2
dx2
, \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA 1) :=
\bigl\{
f \in W 2
2 (\BbbR ) : f \prime (y) = 0, y \in Y
\bigr\}
,
где \Delta — оператор Лапласа в L2(\BbbR d), d = 2, 3, и Y = \{ yj\} j\in \BbbJ — конечное или счетное множество
точек в \BbbR d таких, что
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
| yj - yk| , j \not = k
\bigr\}
=: \rho (Y ) > 0. (4)
Оператор \scrA d — основа для исследований гамильтонианов в \BbbR d, соответствующих точеч-
ным \delta (d = 2 или 3) и \delta \prime (d = 1) взаимодействиям [1] (см. обзор и библиографию в [5], а
также [2, 8, 15, 18]). Оператор \scrA d линейный, плотно определенный, замкнутый, неотрицатель-
ный, симметрический и является сужением самосопряженного неотрицательного оператора Ad
(свободного гамильтониана) [1]:
Ad = - \Delta , \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(Ad) =W 2
2 (\BbbR d), d = 1, 2, 3. (5)
Тройки W 2
2 (\BbbR d) \subset L2(\BbbR d) \subset W - 2
2 (\BbbR d) и W 1
2 (\BbbR d) \subset L2(\BbbR d) \subset W - 1
2 (\BbbR d) — оснащен-
ные гильбертовы пространства [7], т. е. гильбертово пространство W - 2
2 (\BbbR d) (W - 1
2 (\BbbR d)) —
множество всех непрерывных антилинейных функционалов на W 2
2 (\BbbR d) (на W 1
2 (\BbbR d)). Имеем
цепочку оснащенных гильбертовых пространств W 2
2 (\BbbR d) \subset W 1
2 (\BbbR d) \subset L2(\BbbR d) \subset W - 1
2 (\BbbR d) \subset
\subset W - 2
2 (\BbbR d).
Известно, что \delta (\cdot - y) \in W - 2
2 (\BbbR d) \setminus W - 1
2 (\BbbR d) \forall y \in \BbbR d, d = 2, 3, и \delta \prime (\cdot - y) \in W - 2
2 (\BbbR ) \setminus
W - 1
2 (\BbbR ) при любом y \in \BbbR [1]. Определим следующие подпространства в W - 2
2 (\BbbR d):
\Phi d := \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ \delta (\cdot - y), y \in Y \} — замыкание в W - 2
2 (\BbbR d), d = 2, 3,
\Phi 1 := \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ \delta \prime (\cdot - y), y \in Y \} — замыкание в W - 2
2 (\BbbR ).
(6)
Тогда \Phi d \cap L2(\BbbR d) = \{ 0\} [1], а область определения оператора \scrA d можно записать так:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
500 Ю. Г. КОВАЛЕВ
\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\scrA d) = \{ f \in W 2
2 (\BbbR d) : (f, \varphi ) = 0, \varphi \in \Phi d\} , d = 1, 2, 3.
Оператор Ad, заданный формулами (5), неотрицательный самосопряженный в H = L2(\BbbR d)
и является расширением по Фридрихсу оператора \scrA d (см., например, [12, 13, 17]). Положим
H+2 = \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(Ad) =W 2
2 (\BbbR d), H+1 = \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(A
1/2
d ) =W 1
2 (\BbbR d),
H - 1 =W - 1
2 (\BbbR d), H - 2 =W - 2
2 (\BbbR d), d = 1, 2, 3,
\| f\| k =
\biggl( \bigm\| \bigm\| \bigm\| | A| k/2f\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 + \| f\| 2
\biggr) 1/2
, \| f\| - k = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| g\| k=1
| (f, g)| , k = 1, 2.
Система производных дельта-функций \{ \delta \prime (\cdot - y), y \in Y \subset \BbbR \} и системы дельта-функций \{ \delta (\cdot -
- y), y \in Y \subset \BbbR d\} , d = 2, 3, образуют базисы Рисса в замыкании своих линейных оболочек
(6) в гильбертовых пространствах W - 2
2 (\BbbR d), d = 1, 2, 3 [12, 13]. Приведем еще одно доказа-
тельство того факта, что оператор Ad является расширением по Фридрихсу оператора \scrA d.
Теорема 3. Пусть множество точек Y удовлетворяет условию (4). Тогда свободный га-
мильтониан Ad является расширением по Фридрихсу оператора \scrA d.
Доказательство (получено совместно с Ю. М. Арлинским). Допустим, что существует
\vec{}c = \{ cj\} \in \ell 2(\BbbN ) и
\mu d(x) =
\infty \sum
j=1
cj\delta (x - yj) \in W - 1
2 (\BbbR d), d = 2, 3, \mu 1(x) =
\infty \sum
j=1
cj\delta
\prime (x - yj) \in W - 1
2 (\BbbR ).
Тогда \mu d(x) порождает линейный непрерывный функционал \mu d на W 1
2 (\BbbR d) по формуле [7]
\mu d[f ] =
\bigl(
f(\cdot ), \mu d(\cdot )
\bigr)
L2(\BbbR d)
, f \in W 1
2 (\BbbR d). Кроме того, также по теореме Рисса
\mu d[f ] =
\bigl(
f(\cdot ), \varphi (\cdot )
\bigr)
W 1
2 (\BbbR d)
=
\int
\BbbR d
f(x)\varphi (x) dx+
\int
\BbbR d
(\nabla f)(x)(\nabla \varphi )(x)dx =
=
\bigl(
f(\cdot ), \varphi (\cdot )
\bigr)
L2(\BbbR d)
+
\bigl(
(\nabla f)(\cdot ), (\nabla \varphi )(\cdot )
\bigr)
L2(\BbbR d)
,
где \varphi \in W 1
2 (\BbbR d). В частности, для любого f \in W 2
2 (\BbbR d) имеем
\mu d[f ] =
\bigl(
f(\cdot ), \mu d(\cdot )
\bigr)
L2(\BbbR d)
=
\int
\BbbR d
f(x)\varphi (x) dx+
\int
\BbbR d
(\nabla f)(x)(\nabla \varphi )(x) dx. (7)
Определим функции
\omega h(t) =
\left\{ e
- h2
h2 - t2 , | t| \leq h,
0, | t| > h,
vh,1(t) =
t\int
- h
\bigl(
\omega h(x) - \omega h(x - 2h)
\bigr)
dx,
где h <
1
2
\rho (Y ). Тогда
0 \leq \omega h(t) \leq e - 1 и
d\omega h(t)
dt
= - 2h2t
(h2 - t2)2
e
- h2
h2 - t2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
О КРИТЕРИЯХ ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТИ И ДИЗЪЮНКТНОСТИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ . . . 501
Отсюда \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\omega h(t)
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 6e - 2h - 1, 0 < vh,1(t) \leq 2e - 1h.
Пусть x \in \BbbR d, d = 2, 3, vh,d(x) = \omega h(| x| ). Тогда
vh,d(x) \in C\infty
0 (\BbbR d), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} vh,d = \{ x \in \BbbR d : | x| \leq h\} ,
0 < vh,d(x) \leq e - 1, (\nabla vh,d)(x) =
d\omega h(| x| )
d | x|
x
| x|
,
\bigm| \bigm| \nabla vh,d(x)\bigm| \bigm| \leq 6e - 2h - 1.
Кроме того,
\bigm\| \bigm\| vh,2(t)\bigm\| \bigm\| L2(\BbbR 2)
\leq 1
e
\surd
\pi h,
\bigm\| \bigm\| vh,3(t)\bigm\| \bigm\| L2(\BbbR 3)
\leq 1
e
\sqrt{}
4\pi
3
\surd
h3,\bigm\| \bigm\| v\prime h,1(t)\bigm\| \bigm\| L2(\BbbR )
\leq 2e - 1
\surd
2h,
\bigm\| \bigm\| vh,1(t)\bigm\| \bigm\| L2(\BbbR )
\leq e - 1
\sqrt{}
(2h)3.
Поэтому \bigm\| \bigm\| vh,d(x)\bigm\| \bigm\| L2(\BbbR d)
,
\bigm\| \bigm\| v\prime h,1(x)\bigm\| \bigm\| L2(\BbbR )
- \rightarrow
h\rightarrow 0
0. (8)
Если d = 3, то
\bigm\| \bigm\| (\nabla vh,3)(\cdot - yj)
\bigm\| \bigm\|
L2(\BbbR 3)
\leq 6e - 2
\sqrt{}
4\pi
3
\surd
h . Отсюда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\bigm\| \bigm\| (\nabla vh,3)(\cdot - yj)
\bigm\| \bigm\|
L2(\BbbR 3)
= 0. (9)
Если d = 2, то \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR 2
(\nabla vh,2)(x - yj)(\nabla \varphi )(x) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\left( \int
| x - yj | \leq h
\bigm| \bigm| (\nabla vh,2)(x - yj)
\bigm| \bigm| 2 dx
\right)
1/2\left( \int
| x - yj | \leq h
\bigm| \bigm| (\nabla \varphi )(x)\bigm| \bigm| 2 dx
\right)
1/2
\leq
\leq 2e - 1\surd \pi
\left( \int
| x - yj | \leq h
\bigm| \bigm| (\nabla \varphi )(x)\bigm| \bigm| 2 dx
\right)
1/2
.
Поэтому из абсолютной непрерывности интеграла Лебега получаем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\Bigl(
(\nabla vh,2)(\cdot - yj), (\nabla \varphi )(\cdot )
\Bigr)
L2(\BbbR 2)
= 0. (10)
Если fh(x) =
\sum n
j=1
\lambda j vh,d(x - yj) при d = 2, 3 и fh(x) = -
\sum n
j=1
\lambda j vh,1(x - yj) при
d = 1, где 0 < h <
1
2
\rho (Y ), то из (7) следует
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
502 Ю. Г. КОВАЛЕВ
1
e
n\sum
j=1
cj\lambda j =
n\sum
j=1
\lambda j
\bigl(
vh,d(\cdot - yj), \varphi (\cdot )
\Bigr)
L2(\BbbR d)
+
n\sum
j=1
\lambda j
\Bigl(
(\nabla vh,d)(\cdot - yj), (\nabla \varphi )(\cdot )
\Bigr)
L2(\BbbR d)
.
Далее, учитывая (8) – (10), получаем
\sum n
j=1
cj\lambda j = 0. Поскольку последнее равенство справед-
ливо для любого n и любого набора (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda n), а также c = \{ cj\} \in \ell 2(\BbbN ), то cj = 0 для
всех j. Это означает, что \mu d(x) = 0, т. е. \Phi d\cap H - 1 = \{ 0\} . По теореме 1 получаем Ad = (\scrA d)F .
Теорема 3 доказана.
Обозначим через \scrF : L2(\BbbR d, dx) \rightarrow L2(\BbbR d, dp) преобразование Фурье:
\scrF f = \widehat f(p) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
(2\pi ) - d/2
\int
| x| <R
f(x)e - ixp dx.
Тогда \widehat H = L2(\BbbR d, dp). Пусть \widehat A = \scrF A\scrF - 1. Оператор \widehat A действует в \widehat H и унитарно эквивален-
тен оператору A. Пусть \widehat Hk := \scrF Hk, k = \pm 1,\pm 2, \widehat \Phi d = \scrF \Phi d. Имеем
\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}
\bigl( \widehat Ak/2
d
\bigr)
= \widehat Hk =
\left\{ \widehat f \in L2(\BbbR d, dp) :
\int
\BbbR d
| \widehat f(p)| 2(| p| 2k + 1)dp <\infty
\right\} ,
\bigl( \widehat Ak/2
d
\widehat f\bigr) (p) = | p| k \widehat f(p), d = 1, 2, 3, k = 1, 2,
\widehat \Phi d = \scrF \Phi d = \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ e - ipy, y \in Y \} , d = 2, 3, — замыкание в \widehat H - 2,\widehat \Phi 1 = \scrF \Phi 1 = \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ pe - ipy, y \in Y \} — замыкание в \widehat H - 2,
\widehat \frakN z( \widehat \scrA d) = \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}
\biggl\{
e - ipy
| p| 2 - z
, y \in Y
\biggr\}
, d = 2, 3,
\widehat \frakN z( \widehat \scrA 1) = \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}
\biggl\{
pe - ipy
p2 - z
, y \in Y
\biggr\}
, z \in \BbbC \setminus \BbbR +.
Системы функций
\bigl\{
e
(d)
j (p) := e - ipyj
\bigr\}
j\in \BbbN ,
\biggl\{
\varphi
(d)
j (p) :=
e - ipyj
| p| 2 + 1
\biggr\}
j\in \BbbN
, d = 2, 3, и
\bigl\{
e
(1)
j (p) :=
:= pe - ipyj
\bigr\}
j\in \BbbN ,
\biggl\{
\varphi
(1)
j (p) :=
pe - ipyj
| p| 2 + 1
\biggr\}
j\in \BbbN
образуют базисы Рисса подпространств \widehat \Phi d,\widehat \frakN - 1( \widehat \scrA d) и, соответственно, \widehat \Phi 1, \widehat \frakN - 1( \widehat \scrA 1) [12, 13]. В работе [17] доказано, что при усло-
вии (4) система функций
\Biggl\{
e - | x - yj |
| x - yj |
\Biggr\} \infty
j=1
образует базис Рисса дефектного подпространства
оператора \scrA 3.
Далее полагаем, что множество точек Y удовлетворяет условию (4).
Теорема 4. Расширения Фридрихса и Крейна оператора \scrA 3 : 1) при | Y | = \infty дизъюнктны.
Они трансверсальны в том и только в том случае, когда является ограниченным оператор,
определенный матрицей B3 = \| bjk\| j,k\in \BbbJ , где
bjk =
\left\{
1
| yj - yk|
, j \not = k,
1, j = k;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
О КРИТЕРИЯХ ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТИ И ДИЗЪЮНКТНОСТИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ . . . 503
2) трансверсальны при | Y | = n <\infty .
Доказательство. Поскольку\int
\BbbR 3
| \varphi (3)
j (p)| 2(| p| 2 + 1)
| p| 2
dp =
\int
\BbbR 3
| e - ipyj | 2
| p| 2(| p| 2 + 1)
dp = 2\pi 2,
то \varphi (3)
k (x) \in \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}
\bigl(
A
1/2
3
\bigr)
и, следовательно, по предложению 2 расширения Фридрихса и Крейна
оператора \scrA 3 дизъюнктны. Отсюда следует их трансверсальность для случая | Y | = n < \infty .
Так как [13]
\int
\BbbR 3
\bigm| \bigm| \bigm| \sum
j\in \BbbN
cje
- ipyj
\bigm| \bigm| \bigm| 2
| p| 2(| p| 2 + 1)
dp = 2\pi 2 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\left( n\sum
k=1
| ck| 2 +
n\sum
j,k=1,j \not =k
1 - e - | yk - yj |
| yk - yj |
cjck
\right) =
= 2\pi 2 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n\sum
j,k=1
Mjkcjck,
то, согласно предложению 2, трансверсальность расширений Фридрихса и Крейна оператора
\scrA 3 эквивалентна тому, что оператор M, определенный матрицей \| Mjk\| j,k\in \BbbJ , где
Mjk =
\left\{
1 - e - | yk - yj |
| yk - yj |
, j \not = k,
1, j = k,
является ограниченным в \ell 2(\BbbJ ). Оператор Q, определенный матрицей \| qjk\| j,k\in \BbbZ ,
qjk =
\left\{
e - | yk - yj |
| yk - yj |
, j \not = k,
0, j = k,
является ограниченным, так как удовлетворяет тесту Шура [19, c. 159]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j\in \BbbZ
\sum
k\in \BbbZ
| qjk| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j\in \BbbZ
\sum
k\in \BbbZ ,k \not =j
e - | yk - yj |
| yk - yj |
\leq 1
\rho
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j\in \BbbZ
\sum
k\in \BbbZ
e - \rho | k - j| <
<
2
\rho
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j\in \BbbZ
\infty \sum
n=0
e - \rho n =
2
\rho (1 - e - \rho )
<\infty , (11)
где \rho удовлетворяет условию (4). Отсюда получаем требуемое условие трансверсальности для
случая | Y | = \infty .
Теорема 4 доказана.
Замечание. В [17] для случая \BbbR 3 эквивалентный критерий трансверсальности получен с
использованием техники граничных троек и функции Вейля.
Теорема 5. Расширения Фридрихса и Крейна оператора \scrA 2 : 1) дизъюнктны, но не транс-
версальны при | Y | = \infty ; 2) не дизъюнктны при | Y | = n <\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
504 Ю. Г. КОВАЛЕВ
Доказательство. Поскольку
\int
\BbbR 2
| \varphi (2)
j (p)| 2(| p| 2 + 1)
| p| 2
dp =
\int
\BbbR 2
| e - ipyj | 2
| p| 2(| p| 2 + 1)
dp = +\infty ,
то по предложению 2 расширения Фридрихса и Крейна оператора \scrA 2 не трансверсальны, а в
случае | Y | = n < \infty не дизъюнктны. Пусть, как и ранее, \frakN - 1 = \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ fj , j \in \BbbJ \} . Рассмотрим
систему векторов
G :=
\bigl\{
gj(p) = \varphi j(p) - \varphi j+1(p), j \in \BbbN
\bigr\}
.
Так как любой вектор из \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}G имеет конечное число ненулевых координат относительно
базиса \{ \varphi j(p)\} j\in \BbbN и сумма координат равна нулю, то \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}G всюду плотно в \widehat \frakN - 1(\scrA 2).
Поскольку [13] \int
\BbbR 2
| gj(p)| 2(| p| 2 + 1) dp
| p| 2
=
\int
\BbbR 2
| e - ipyj - e - ipyj+1 | 2 dp
| p| 2(| p| 2 + 1)
=
= 4\pi
\infty \int
0
1 - J0(\rho | a| )
\rho (\rho 2 + 1)
d\rho = 4\pi
\biggl(
\gamma +
\pi i
2
H
(1)
0 (i| yj - yj+1| )
\biggr)
<\infty ,
где H(1)
0 (iz) — цилиндрическая функция мнимого аргумента (функция Ханкеля), то из предло-
жения 2 получаем первое утверждение теоремы.
Теорема 5 доказана.
Теорема 6. Расширения Фридрихса и Крейна оператора \scrA 1 трансверсальны.
Доказательство. Поскольку
\int
\BbbR
\bigm| \bigm| \varphi (1)
j (p)| 2(p2 + 1)
p2
dp =
\int
\BbbR
| e - ipyj
\bigm| \bigm| 2
p2 + 1
dp = \pi ,
то по предложению 2 расширения Фридрихса и Крейна оператора \scrA 1 дизъюнктны, а в случае
| Y | = n <\infty и трансверсальны.
Для \widehat \varphi (p) \in \widehat \frakN - 1(\scrA 1), \widehat \varphi (p) = \sum
j\in \BbbJ
cj \widehat \varphi (1)
j (p), \{ cj , j \in \BbbJ \} \in \ell 2(\BbbJ ) (см. [12])
\sum
j,k\in \BbbJ
\Bigl( \widehat A - 1/2\varphi
(1)
j (p), \widehat A - 1/2\varphi
(1)
k (p)
\Bigr)
cjck =
=
\sum
j,k\in \BbbJ
cjck
\int
\BbbR
eip(yj - yk)
p2 + 1
dp = \pi
\sum
j,k\in \BbbJ
cjcke
- | yj - yk| = \pi \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n\sum
j,k= - n
cjckQjk.
Оператор Q, определенный матрицей \| Qjk\| j,k\in \BbbJ , Qjk = e - | yj - yk| , является ограниченным в
\ell 2, так как удовлетворяет тесту Шура (исходя из (11) и (4)). Тогда из предложения 2 следует
трансверсальность расширений Фридрихса и Крейна оператора \scrA 1 при | Y | = \infty .
Теорема 6 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
О КРИТЕРИЯХ ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТИ И ДИЗЪЮНКТНОСТИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ . . . 505
Литература
1. Albeverio S., Gesztesy F., Høegh-Krohn R., Holden H. Solvable models in quantum mechanics // Texts and Monogr.
Phys. – New York: Springer-Verlag, 1988. – 452 p.
2. Albeverio S., Kostenko A., Malamud M. Spectral theory of semibounded Sturm – Liouville operators with local
interactions on a discrete set // J. Math. Phys. – 2010. – 51, № 10. – P. 24.
3. Arlinskiı̆ Yu., Belyi S. Non-negative self-adjoint extensions in rigged Hilbert space // Oper. Theory: Adv. and Appl. –
2013. – 236. – P. 11 – 41.
4. Arlinskiı̆ Yu., Kovalev Yu. Factorizations of nonnegative symmetric operators // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2013. –
19, № 3. – P. 211 – 226.
5. Arlinskii Yu., Tsekanovskii E. M. Krein research on semi-bounded operators, its contemporary developments, and
applications // Oper. Theory: Adv. and Appl. – 2009. – 190. – P. 65 – 112.
6. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1966. –
544 с.
7. Березанский Ю. M. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев: Наук. думка,
1965. – 798 с.
8. Березин Ф. А., Фаддеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // Докл.
АН СССР. – 1967. – 137, № 5. – С. 1011 – 1014.
9. Derkach V. A., Malamud M. M. The extension theory of Hermitian operators and the moment problem // J. Math.
Sci. – 1995. – 73. – P. 141 – 242.
10. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом
пространстве. – М.: Наука, 1965. – 448 с.
11. Kaтo Т. Теория возмущений линейных операторов. – М.: Мир, 1972. – 740 с.
12. Kovalev Yu. G. 1D nonnegative Schrödinger operators with point interactions // Mat. Stud. – 2013. – 39, № 2. –
P. 150 – 163.
13. Ковалев Ю. Г. К теории неотрицательных гамильтонианов на плоскости и в пространстве // Укр. мат. вiсн. –
2014. – 11, № 2. – С. 203 – 226.
14. Кошманенко В. Д. Сингулярные билинейные формы в теории возмущений самосопряженных операторов. –
Киев: Наук. думка, 1993. – 195 с.
15. Kostenko A., Malamud M. 1–D Schrödinger operators with local point interactions on a discrete set // J. Different.
Equat. – 2010. – № 249. – P. 253 – 304.
16. Крейн М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложе-
ния // Мат. сб. – 1947. – 20, № 3. – С. 431 – 495.
17. Malamud M. M., Schmüdgen K. Spectral theory of Schrödinger operators with infinitely many point interactions and
radial positive definite functions // J. Funct. Anal. – 2012. – 263. – P. 3144 – 3194.
18. Mikhailets V. A. Spectral properties of the one-dimensional Schrödinger operator with point intersections // Repts
Math. Phys. – 1995. – 36, № 2/3. – P. 495 – 500.
19. Young R. M. An introduction to nonharmonic Fourier series. – New York: Acad. Press, 1980.
Получено 13.03.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1571 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:19Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/84/ce2f001df300f82f929fe40be646b684.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15712019-12-05T09:19:04Z On the criteria of transversality and disjointness of nonnegative selfadjoint extensions of nonnegative symmetric operators О критериях трансверсальности и дизъюнктности неотрицательных самосопряженных расширений неотрицательного симметрического оператора Kovalev, Yu. G. Ковалев, Ю. Г. Ковалев, Ю. Г. We propose criteria of transversality and disjointness for the Friedrichs and Krein extensions of a nonnegative symmetric operator in terms of the vectors $\{ \varphi j , j \in J\}$ that form a Riesz basis of the defect subspace. The criterion is applied to the Friedrichs and Krein extensions of the minimal Schr¨odinger operator $\scr A$ d with point potentials. We also present a new proof of the fact that the Friedrichs extension of the operator $\scr A$ d is a free Hamiltonian. Запропоновано критерiй трансверсальностi та диз’юнктностi розширень Фрiдрiхса та Крейна невiд’ємного симетричного оператора у термiнах векторiв $\{ \varphi j , j \in J\}$ , що утворюють базис Рiсса дефектного пiдпростору. Критерiй застосовується до розширень Фрiдрiхса та Крейна мiнiмального оператора Шрьодiнгера $\scr A$ d з точковими потенцiа- лами. Дано нове доведення того, що фрiдрiхсове розширення оператора $\scr A$ d є вiльним гамiльтонiаном. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1571 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 4 (2018); 495-505 Український математичний журнал; Том 70 № 4 (2018); 495-505 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1571/553 Copyright (c) 2018 Kovalev Yu. G. |
| spellingShingle | Kovalev, Yu. G. Ковалев, Ю. Г. Ковалев, Ю. Г. On the criteria of transversality and disjointness of nonnegative selfadjoint extensions of nonnegative symmetric operators |
| title | On the criteria of transversality and disjointness of nonnegative selfadjoint
extensions of nonnegative symmetric operators |
| title_alt | О критериях трансверсальности и дизъюнктности неотрицательных
самосопряженных расширений неотрицательного симметрического оператора |
| title_full | On the criteria of transversality and disjointness of nonnegative selfadjoint
extensions of nonnegative symmetric operators |
| title_fullStr | On the criteria of transversality and disjointness of nonnegative selfadjoint
extensions of nonnegative symmetric operators |
| title_full_unstemmed | On the criteria of transversality and disjointness of nonnegative selfadjoint
extensions of nonnegative symmetric operators |
| title_short | On the criteria of transversality and disjointness of nonnegative selfadjoint
extensions of nonnegative symmetric operators |
| title_sort | on the criteria of transversality and disjointness of nonnegative selfadjoint
extensions of nonnegative symmetric operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1571 |
| work_keys_str_mv | AT kovalevyug onthecriteriaoftransversalityanddisjointnessofnonnegativeselfadjointextensionsofnonnegativesymmetricoperators AT kovalevûg onthecriteriaoftransversalityanddisjointnessofnonnegativeselfadjointextensionsofnonnegativesymmetricoperators AT kovalevûg onthecriteriaoftransversalityanddisjointnessofnonnegativeselfadjointextensionsofnonnegativesymmetricoperators AT kovalevyug okriteriâhtransversalʹnostiidizʺûnktnostineotricatelʹnyhsamosoprâžennyhrasširenijneotricatelʹnogosimmetričeskogooperatora AT kovalevûg okriteriâhtransversalʹnostiidizʺûnktnostineotricatelʹnyhsamosoprâžennyhrasširenijneotricatelʹnogosimmetričeskogooperatora AT kovalevûg okriteriâhtransversalʹnostiidizʺûnktnostineotricatelʹnyhsamosoprâžennyhrasširenijneotricatelʹnogosimmetričeskogooperatora |