Limit theorems for the maximum of sums of independent random processes
We study the conditions for the weak convergence of the maximum of sums of independent random processes in the spaces $C[0, 1]$ and $L_p$ and present examples of applications to the analysis of statistics of the type $\omega 2 $.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1572 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507376002531328 |
|---|---|
| author | Matsak, I. K. Plichko, A. M. Sheludenko, A. S. Мацак, І. К. Плічко, А. М. Шелуденко, А. С. |
| author_facet | Matsak, I. K. Plichko, A. M. Sheludenko, A. S. Мацак, І. К. Плічко, А. М. Шелуденко, А. С. |
| author_sort | Matsak, I. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:04Z |
| description | We study the conditions for the weak convergence of the maximum of sums of independent random processes in the spaces
$C[0, 1]$ and $L_p$ and present examples of applications to the analysis of statistics of the type $\omega 2 $. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
I. K. Mацак (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
А. М. Плiчко (Кракiв. полiтехнiка iм. Т. Косцюшка),
А. С. Шелуденко (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ
НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСIВ
We study the conditions for the weak convergence of the maximum of sums of independent random processes in the spaces
C[0, 1] and Lp and present examples of applications to the analysis of statistics of the type \omega 2 .
Изучаются условия слабой сходимости максимума сумм независимых случайных процессов в пространствах C[0, 1]
и Lp. Приведены примеры применений к анализу статистик типа \omega 2.
1. Вступ. Нехай (\xi n) — незалежнi однаково розподiленi випадковi величини з \bfE \xi n = 0 i
\bfD \xi n = 1. У 1946 р. П. Ердеш i М. Кац [1] встановили, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\bfP
\bigl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(0, \xi 1, \xi 1 + \xi 2, . . . , \xi 1 + \xi 2 + . . .+ \xi n) < x
\surd
n
\bigr\}
=
\sqrt{}
2
\pi
x\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - t2/2)dt. (1)
Крiм того, для процесу броунiвського руху W (t) в \BbbR справджується рiвнiсть [2]
\bfP
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq t\leq 1
W (t) < x
\biggr\}
=
\sqrt{}
2
\pi
x\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - t2/2)dt.
Фактично у цих спiввiдношеннях вже мiститься одна з тих важливих iдей, якi привели до по-
будови теорiї слабкої збiжностi мiр у функцiональних просторах (див. [3, 4]). Рiвностi типу (1)
розглядалися звичайно i у векторному випадку [5, 6]. Тут ми будемо дослiджувати нескiнчен-
новимiрний випадок.
Нехай X =
\bigl\{
X(s), s \in [0, 1]
\bigr\}
— деякий випадковий процес, а \Gamma =
\bigl\{
\Gamma (s), s \in [0, 1]
\bigr\}
—
нормальний випадковий процес, визначенi на ймовiрнiсному просторi (\Omega ,\Sigma ,\bfP ), зi значеннями
в \BbbR такi, що для будь-яких s, t \in [0, 1]
\bfE X(s) = \bfE \Gamma (s) = 0 i \bfE X(s)X(t) = \bfE \Gamma (s)\Gamma (t) =: R(s, t). (2)
Розглянемо сепарабельний функцiональний банахiв простiр B =
\bigl\{
x = x(s), s \in [0, 1]
\bigr\}
. Бу-
демо говорити, що випадковий процес належить B майже напевно (м. н.), якщо його вибiрковi
функцiї належать B м. н.
Припустимо, що \Gamma належать B м. н., i введемо випадкову функцiю двох змiнних
W (s, t) =
\infty \sum
n=1
\Gamma n(s)Fn(t), s, t \in [0, 1], (3)
де (\Gamma n) — послiдовнiсть незалежних копiй процесу \Gamma , а Fn(t) — пiкоподiбнi функцiї Фабера –
Шаудера
\biggl(
якi є iнтегралами вiдповiдних функцiй Гаара Hn(u), точнiше, Fn(t)=
\int t
0
Hn - 1(u)du
\biggr)
.
c\bigcirc I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО, А. С. ШЕЛУДЕНКО, 2018
506 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСIВ 507
Вiдомо (див. [7, с. 128; 8]), що ряд (3) збiгається як для будь-якого s \in [0, 1], так i за
нормою простору B рiвномiрно по t \in [0, 1] м. н. Зазначимо, що в \BbbR така конструкцiя була
запропонована Левi [9] для зображення броунiвського руху (див. також [10]).
Для будь-яких s, t \in [0, 1] W (s, t) — нормально розподiлена випадкова величина, а при
фiксованому t \in [0, 1] W (\cdot , t) буде нормально розподiленим випадковим елементом в B, тобто
W (\cdot , t) — нормально розподiлений неперервний однорiдний процес з незалежними приростами
в B. Такий процес називається процесом броунiвського руху (або вiнерiвським процесом) зi
значеннями в B. Це означення для випадку B = \BbbR m збiгається з класичним означенням
[5, с. 65].
Позначимо через (Xn) послiдовнiсть незалежних копiй процесу X i покладемо Sn(s) =
=
\sum n
k=1
Xk(s), S0 = 0, Sn(s) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq k\leq n Sk(s), n \geq 1. Має мiсце така лема.
Лема 1. Скiнченновимiрнi розподiли випадкового процесу
Sn(s)\surd
n
збiгаються до скiнченно-
вимiрних розподiлiв процесу
W (s) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}t\in [0,1]W (s, t).
Це твердження є безпосереднiм наслiдком леми 3 роботи [8].
Якщо випадковi процеси Sn(s) та W (s) належать простору B м. н., то природно поставити
задачу дослiдження умов, за яких має мiсце слабка збiжнiсть у цьому просторi: при n \rightarrow \infty
Sn(\cdot )\surd
n
D\rightarrow W (\cdot ). (4)
У працi [8] ця задача вивчалася для просторiв B = Lp. Тут ми розглянемо випадок простору
C[0, 1], а також послабимо умови, отриманi у [8] для Lp.
2. Простiр \bfitC [\bfzero , \bfone ]. Цей простiр складається з неперервних на вiдрiзку [0, 1] функцiй iз
рiвномiрною нормою. Введемо такi позначення:
Th =
\bigl\{
(s, t) \in [0, 1]2 : | s - t| \leq h
\bigr\}
, h > 0,
dp(s, t) =
\bigl(
\bfE
\bigm| \bigm| X(s) - X(t)
\bigm| \bigm| p\bigr) 1
p , s, t \in [0, 1], p \geq 2; dp(h) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Th
dp(s, t).
Теорема 1. Якщо сепарабельнi випадковi процеси X та \Gamma задовольняють умову (2) i для
деякого p \geq 2
\infty \sum
n=1
2
n
p dp(2
- n) < \infty , (5)
то X,\Gamma та W належать C[0, 1] м. н. i в C[0, 1] має мiсце слабка збiжнiсть (4).
Зауваження 1. Для виконання умов теореми 1 достатньою є вiдома умова Колмогорова
(див. [3, c. 235 – 237])
E
\bigm| \bigm| X(s) - X(s+ h)
\bigm| \bigm| p \leq K \cdot hr, r > 1, p \geq 2.
Дiйсно, безпосередньо з означення та умови Колмогорова маємо
dp(2
- n) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
T2 - n
\bigl(
\bfE | X(s) - X(t)| p
\bigr) 1
p \leq K
1
p 2
- rn
p .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
508 I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО, А. С. ШЕЛУДЕНКО
Очевидно, що ця оцiнка при r > 1 забезпечує збiжнiсть ряду (5).
Зазначимо, що при дослiдженнi неперервностi випадкового процесу умова Колмогорова
розглядається для випадкiв p > 0 або p > 1, але в теоремi 1 необхiдно покласти p \geq 2.
Доведення теореми 1. Те, що умова (5) забезпечує неперервнiсть м. н. вибiркових функцiй
сепарабельного процесу X, є вiдомим фактом [11].
Зрозумiло також, що з умови (5) випливає оцiнка
d2(s, s+ h) \leq dp(s, s+ h) \leq C \cdot h
1
p .
Звiдси та з (2) маємо
\bfE
\bigm| \bigm| \Gamma (s) - \Gamma (s+ h)
\bigm| \bigm| 2 = R(s, s) - 2R(s, s+ h) +R(s+ h, s+ h) = d22(s, s+ h) \leq C \cdot h
2
p .
Ця нерiвнiсть i забезпечує неперервнiсть вибiркових функцiй сепарабельного нормального про-
цесу \Gamma [12, с. 192].
Перевiримо тепер, що за умов теореми 1 випадковий процес W (s) теж належить C[0, 1]
м. н. Для цього покладемо Wn(s, t) =
\sum n
k=1
\Gamma k(s)Fk(t), n \in \BbbN . Тодi з елементарної числової
нерiвностi \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
ak - \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
bk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
| ak - bk| (6)
та нерiвностi трикутника маємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| s - s\prime | <h
\bigm| \bigm| W (s) - W (s\prime )
\bigm| \bigm| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| s - s\prime | \leq h
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
\bigm| \bigm| W (s, t) - W (s\prime , t)
\bigm| \bigm| \leq 2D1 +D2, (7)
де
D1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s,t\in [0,1]
\bigm| \bigm| W (s, t) - Wn(s, t)
\bigm| \bigm| ,
D2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| s - s\prime | \leq h, t\in [0,1]
\bigm| \bigm| Wn(s, t) - Wn(s
\prime , t)
\bigm| \bigm| .
Як показано вище, \Gamma n належить простору C[0, 1] м. н., а отже, ряд (3) збiгається рiвномiрно
по t за нормою C[0, 1]. Тодi для будь-якого \varepsilon > 0 iснує таке n = n(\varepsilon , \omega ), що
D1 < \varepsilon . (8)
Для вибраного n функцiя Wn(s, t) рiвномiрно неперервна на [0, 1]2. Тому iснує таке h =
= h(n, \varepsilon , \omega ), що
D2 < \varepsilon . (9)
Внаслiдок довiльностi \varepsilon оцiнки (7) – (9) означають, що W (s) належить C[0, 1] м. н.
Перейдемо безпосередньо до доведення слабкої збiжностi (4). Згiдно з результатами
[3, c. 482 – 483], для того, щоб вона мала мiсце у просторi C[0, 1], необхiдно i достатньо
виконання таких умов:
1) скiнченновимiрнi розподiли процесiв
Sn(s)\surd
n
збiгаються до скiнченновимiрних розподiлiв
процесу W (s);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСIВ 509
2) для будь-якого \varepsilon > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
\bfP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Th
1\surd
n
\bigm| \bigm| Sn(s) - Sn(t)
\bigm| \bigm| > \varepsilon
\Biggr\}
\rightarrow 0 при h \rightarrow 0. (10)
Перша умова безпосередньо випливає з леми 1. Тому зосередимося на доведеннi виконан-
ня другої умови. Покладемо, для спрощення записiв, Yn(s, t) =
| Sn(s) - Sn(t)| \surd
n
i покажемо
спочатку, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
\bfE \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Th
Yn(s, t) \rightarrow 0 при h \rightarrow 0. (11)
Скориставшись оцiнками з [11] (теорема 1А), ми доведемо точнiший результат:
\bfE \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Th
Yn(s, t) \leq Cp
\sum
2 - m<h
\bigm| \bigm| \bigm| 2m
p dp(2
- m)
\bigm| \bigm| \bigm| . (12)
Стала Cp тут i далi залежить лише вiд p i не обов’язково одна й та ж сама в рiзних мiсцях.
З умови (5) та нерiвностi (12) безпосередньо отримуємо рiвнiсть (11).
Покладемо J =
\bigl\{
k2 - m : m > 1, 0 \leq k \leq 2m
\bigr\}
i
\alpha nm = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1\leq k\leq 2m
Yn
\bigl(
k2 - m, [k - 1]2 - m
\bigr)
.
Як показано в [11], для довiльних s, s\prime \in J, | s - s\prime | < h,
Yn(s, s
\prime ) \leq 2
\sum
2 - m<h
\alpha nm м. н. (13)
Оскiльки виконується нерiвнiсть
\alpha p
nm \leq
2m\sum
k=1
\bigm| \bigm| Yn(k2 - m, [k - 1]2 - m)
\bigm| \bigm| p,
то, враховуючи оцiнку (13), маємо
\bfE \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| s - s\prime | <h, s,s\prime \in J
| Yn(s, s\prime )| \leq 2
\sum
2 - m<h
| \bfE \alpha p
nm|
1
p \leq
\leq 2
\sum
2 - m<h
\Biggl(
2m\sum
k=1
\bfE
\bigm| \bigm| Yn \bigl( k2 - m, [k - 1]2 - m
\bigr) \bigm| \bigm| p\Biggr) 1
p
. (14)
Для оцiнки доданкiв суми (14) нам знадобиться така лема.
Лема 2 [13]. Нехай \xi 1, \xi 2, . . . , \xi n — незалежнi випадковi величини, \bfE \xi i = 0, i 2 \leq p < \infty .
Тодi
\bfE
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n\sum
i=1
\xi i
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
\leq Cp
\left( n\sum
i=1
\bfE | \xi i| p +
\Biggl(
n\sum
i=1
\bfE | \xi i| 2
\Biggr) p/2
\right) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
510 I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО, А. С. ШЕЛУДЕНКО
Застосовуючи лему 2, одержуємо
\bfE
\bigm| \bigm| Yn \bigl( k2 - m, [k - 1]2 - m
\bigr) \bigm| \bigm| p = \bfE
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\surd
n
Sn(k2
- m) - 1\surd
n
Sn([k - 1]2 - m)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p \leq
\leq Cp
\Bigl(
n1 - p
2\bfE | X(k2 - m) - X
\bigl(
[k - 1]2 - m
\bigr)
| p + (\bfE
\bigm| \bigm| X(k2 - m) - X
\bigl(
[k - 1]2 - m
\bigr) \bigm| \bigm| 2) p
2
\Bigr)
\leq
\leq Cp\bfE
\bigm| \bigm| X(k2 - m) - X([k - 1]2 - m)
\bigm| \bigm| p . (15)
Неважко бачити, що
2m\sum
k=1
\bfE
\bigm| \bigm| X(k2 - m) - X([k - 1]2 - m)
\bigm| \bigm| p \leq
\leq 2m \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
T2 - m
\bfE
\bigm| \bigm| X(s) - X(t)
\bigm| \bigm| p = 2m
\bigm| \bigm| dp(2 - m)
\bigm| \bigm| p. (16)
Збираючи разом оцiнки (14) – (16), отримуємо
\bfE \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| s - s\prime | <h, s,s\prime \in J
\bigm| \bigm| Yn(s, s\prime )\bigm| \bigm| \leq Cp
\sum
2 - m<h
2
m
p dp(2
- m). (17)
Оскiльки процес Sn(t) є неперервним, то нерiвнiсть (12) — безпосереднiй наслiдок нерiвнос-
тi (17).
Доведемо тепер iмплiкацiю (11) \Rightarrow (10). Для цього скористаємося нерiвнiстю (6). Маємо
\bfP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Th
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
Sk(s) - \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
Sk(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| > \varepsilon
\Biggr\}
\leq
\leq \bfP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Th
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
| Sk(s) - Sk(t)| > \varepsilon
\Biggr\}
=
= \bfP
\Biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Th
| Sk(s) - Sk(t)| > \varepsilon
\Biggr\}
. (18)
Далi через C(Th) позначатимемо банахiв простiр неперервних функцiй x(s, t), (s, t) \in Th,
з рiвномiрною нормою. Розглянемо випадковi функцiї X
\prime
n(s, t) = Xn(s) - Xn(t) як елементи
простору C(Th), \bfE X
\prime
n(s, t) = 0, S
\prime
n(s, t) =
\sum n
k=1
X
\prime
k(s, t), i нехай \eta n = \| S\prime
n\| C(Th). Тодi
послiдовнiсть (\eta n) утворює субмартингал. Справдi, при k < n
\bfE k\eta n = \bfE k\| S
\prime
n\| C(Th) \geq \| \bfE kS
\prime
n\| C(Th) = \| S\prime
k\| C(Th) = \eta k.
Тут через \bfE k\eta позначено умовне математичне сподiвання випадкової величини \eta при фiксова-
них випадкових функцiях X
\prime
i(t, s), i = 1, k.
Для субмартингала \eta k виконується нерiвнiсть [3, c. 78]
\bfP
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
\eta +k \geq \varepsilon
\biggr\}
\leq 1
\varepsilon
\bfE \eta +n .
Окрiм того, зрозумiло, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСIВ 511
\eta k = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Th
\bigm| \bigm| Sk(s) - Sk(t)
\bigm| \bigm| .
Тому
\bfP
\Biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Th
| Sk(s) - Sk(t)| > \varepsilon
\Biggr\}
\leq 1
\varepsilon
\bfE
\bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Th
| Sn(s) - Sn(t)|
\bigr\}
.
Звiдси та зi спiввiдношень (11), (18) одержуємо (10).
3. Простiр \bfitL \bfitp . Розглянемо простiр ([0, 1],\Lambda , \mu ), де \Lambda — \sigma -алгебра борелiвських мно-
жин вiдрiзка [0, 1], а \mu — мiра Лебега. Через Lp = Lp[0, 1], 1 \leq p < \infty , позначаємо
банахiв простiр (класiв) вимiрних функцiй x(t) на просторi ([0, 1],\Lambda , \mu ) з нормою \| x\| p =
=
\biggl( \int 1
0
| x(t)| p\mu (dt)
\biggr) 1/p
.
Щоб отримати спiввiдношення (4), у просторi Lp на випадковий процес X(s) у статтi [8],
використовуючи позначення p\ast = 2 при p < 2, p\ast = p при p \geq 2, накладалися такi умови:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq s\leq 1
\bfE | X(s)| p\ast < \infty
i
\exists \varepsilon > 0 : \bfE | X(s)| p+\varepsilon < \infty \forall s \in [0, 1].
У наступнiй теоремi стверджується, що їх можна замiнити слабкiшою умовою. Покладемо
Sp =
\bigl(
\sigma p(s), s \in [0, 1]
\bigr)
, \sigma p(s) = | \bfE | X(s)| p| 1/p.
Теорема 2. Якщо вимiрнi випадковi процеси X та \Gamma задовольняють умову (2) i викону-
ється нерiвнiсть
\| Sp\ast \| p\ast =
\left( 1\int
0
\sigma p\ast
p\ast (s)ds
\right) 1/p\ast
< \infty , (19)
то X,\Gamma та W належать Lp м. н. i в Lp має мiсце слабка збiжнiсть (4).
Доведення. Нехай спочатку p \geq 2, тодi p\ast = p. За теоремою Фубiнi iз (19) випливає, що\int 1
0
| X(s)| pds < \infty м. н. Це означає, що X належить Lp м. н.; бiльше того, можна вважати, що
вiн буде випадковим елементом в Lp [3, с. 390 – 392]. З нерiвностi [8]\bigl(
\bfE | \Gamma (s)| p
\bigr) 1
p \leq Cp
\bigl(
\bfE | X(s)| p
\bigr) 1
p
випливає, що й випадковий процес \Gamma належить Lp м. н. В умовах теореми випадковi процеси
\Gamma n вимiрнi, тому W (s) буде вимiрним. Окрiм того, для фiксованого s
W (s, t)
D
= \sigma 2(s)
\infty \sum
n=1
\gamma nFn(t),
де (\gamma n) — послiдовнiсть нормальних незалежних випадкових величин, \bfE \gamma n = 0, \bfD \gamma n = 1, а
позначення \xi
D
= \eta означає, що розподiли випадкових величин \xi та \eta збiгаються мiж собою.
Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
512 I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО, А. С. ШЕЛУДЕНКО
W (s)
D
= \sigma 2(s)| \gamma 1| ,
а отже,
\bfE | W (s)| p = Cp\sigma
p
2(s) \leq Cp\sigma
p
p(s).
З останньої оцiнки та (19) робимо висновок, що випадковий процес W (s) належить Lp м. н.
Далi ми скористаємося одним вiдомим результатом [14] (теорема 7 та зауваження пiсля неї).
Нехай Zn =
\bigl\{
Zn(s), s \in [0, 1]
\bigr\}
, n \geq 1, Z =
\bigl\{
Z(s), s \in [0, 1]
\bigr\}
, — вимiрнi випадковi
процеси. Тодi для слабкої збiжностi Zn
D\rightarrow Z при n \rightarrow \infty в Lp достатнiми є умови:
(i) скiнченновимiрнi розподiли випадкових процесiв Zn збiгаються до скiнченновимiрних
розподiлiв Z;
(ii) для будь-якого \varepsilon > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
\bfP
\left\{
1\int
0
| Zn(s)| pI
\bigl(
| Zn(s)| > L
\bigr)
ds > \varepsilon
\right\} \rightarrow 0 при L \rightarrow \infty .
Тут i далi через I(A) позначено iндикатор випадкової подiї A.
Оскiльки за лемою 1 умова (i) виконується, то залишається перевiрити умову (ii). Нехай
Yn(s) =
Sn(s)\surd
n
. (20)
За нерiвнiстю Маркова для виконання умови (ii) достатньо довести, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
1\int
0
\bfE | Yn(s)| pI
\bigl(
| Yn(s)| > L
\bigr)
ds \rightarrow 0 при L \rightarrow \infty . (21)
Оскiльки послiдовнiсть
\bigl(
| Sn(s)|
\bigr)
утворює додатний субмартингал по n, то (див. [3, с. 78])
для p > 1
\bfE
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Sn(s)\surd
n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p \leq \biggl( p
p - 1
\biggr) p
\bfE
\biggl(
| Sn(s)| \surd
n
\biggr) p
. (22)
Далi ще раз застосовуючи лему 2, отримуємо
\bfE
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Sn(s)\surd
n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p \leq Cp
\Bigl[
n1 - p
2\bfE | X(s)| p +
\bigl(
\bfE | X(s)| 2
\bigr) p
2
\Bigr]
\leq Cp| \sigma p(s)| p. (23)
Таким чином, спiввiдношення (19), (20) та (22), (23) показують, що функцiя
mp(s) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\bigl(
\bfE | Yn(s)| p
\bigr) 1
p \in Lp.
Очевидно, що пiдiнтегральна функцiя в (21) для будь-якого s \in [0, 1] не перевищує | mp(s)| p.
Якщо ми покажемо, що для кожного s \in [0, 1]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\bfE | Yn(s)| pI
\bigl(
| Yn(s)| > L
\bigr)
\rightarrow 0 при L \rightarrow \infty , (24)
то за теоремою Лебега про збiжнiсть iнтегралiв отримаємо рiвнiсть (21).
Сформулюємо твердження, з якого випливатиме (24).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСIВ 513
Лема 3. Нехай (\xi i) — незалежнi однаково розподiленi випадковi величини i для деякого
p \geq 2
\bfE \xi 2n = \sigma 2, \bfE \xi i = 0, \bfE | \xi i| p < \infty , (25)
sn =
\sum n
i=1
\xi i, sn = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq k\leq n sk. Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\bfE
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| sn\surd n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p I \biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| sn\surd n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| > L
\biggr)
\rightarrow 0 при L \rightarrow \infty .
Перед доведенням леми 3 наведемо ще двi допомiжнi леми.
Лема 4 ([15, с. 68], теорема 12). В умовах леми 3 для будь-якого x > 0
\bfP
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
1\surd
n
| sk| > x
\biggr\}
\leq 2\bfP
\biggl\{
1\surd
n
| sn| > x -
\surd
2\sigma 2
\biggr\}
.
Лема 5. Нехай м. н. невiд’ємнi випадковi величини \xi та \zeta задовольняють такi умови:
1) \bfE \xi p < \infty i \bfE \zeta p < \infty для деякого p \geq 1;
2) iснують такi додатнi сталi b, C, що \bfP (\zeta > x) \leq C\bfP (\xi > x - b) \forall x > 0.
Тодi знайдуться такi сталi C1, C2, що для кожного L > b
\bfE \zeta pI(\zeta > L) \leq C1\bfE \xi pI(\xi > L - b) + C2\bfP (\xi > L - b), (26)
де сталi C1 та C2 залежать лише вiд p, b та C.
Доведення леми 5. Маємо
\bfE \zeta pI(\zeta > L) =
\infty \int
L
xpd\bfP (\zeta < x) = -
\infty \int
L
xpd\bfP (\zeta > x) =
= Lp\bfP (\zeta > L) +
\infty \int
L
\bfP (\zeta > x)dxp \leq C(Lp\bfP (\xi > L - b) +
\infty \int
L
\bfP (\xi > x - b)dxp). (27)
З числової нерiвностi
Lp \leq 2p - 1
\bigl[
(L - b)p + bp
\bigr]
отримуємо оцiнку першого доданка в (27):
Lp\bfP (\xi > L - b) \leq C1| L - b| p\bfP (\xi > L - b) + C2\bfP (\xi > L - b) \leq
\leq C1
\infty \int
L - b
xpd\bfP (\xi < x) + C2\bfP (\xi > L - b). (28)
Другий доданок у (27) оцiнюється величиною
xp\bfP (\xi > x - b)| \infty L +
\infty \int
L
xpd\bfP (\xi < x - b) \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
514 I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО, А. С. ШЕЛУДЕНКО
\leq
\infty \int
L - b
(y + b)pd\bfP (\xi < y) \leq C1
\infty \int
L - b
ypd\bfP (\xi < y) + C2\bfP (\xi > L - b). (29)
Оскiльки \bfE \xi pI(\xi > L - b) =
\int \infty
L - b
xpd\bfP (\xi < x), то з (27) – (29) i отримуємо оцiнку (26).
Доведення леми 3. Вибираючи \xi =
sn\surd
n
, \zeta =
sn\surd
n
, з лем 4, 5 одержуємо
\bfE
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| sn\surd n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p I \biggl( | sn| \surd
n
> L
\biggr)
\leq C1\bfE
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| sn\surd n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p I \biggl( | sn| \surd
n
> L -
\surd
2\sigma 2
\biggr)
+ C2\bfP
\biggl(
| sn| \surd
n
> L -
\surd
2\sigma 2
\biggr)
. (30)
Вiдомо [15, c. 130], що за умови (25) при n \rightarrow \infty
| sn| \surd
n
D\rightarrow | \gamma 1| \sigma (31)
i
\bfE
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| sn\surd n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p \rightarrow \bfE | \gamma 1| p\sigma p.
З останнього спiввiдношення маємо (див. [4, c. 51], теорема 5.4)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
\bfE
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| sn\surd n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p I \biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| sn\surd n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| > L
\biggr)
\rightarrow 0 при L \rightarrow \infty .
Звiдси та з (30), (31) випливає лема 3.
Таким чином, теорему 2 встановлено для p \geq 2.
Випадок p < 2 фактично зводиться до розглянутого вище випадку p = 2. Дiйсно, тодi
p\ast = 2 i виконується умова
1\int
0
\sigma 2
2(s)ds < \infty .
Отже, випадковi процеси X, \Gamma та W належать L2 м. н. i тим бiльше належать Lp м. н.
Як показано вище, для p = 2 виконується умова (20). Тодi вона виконуватиметься i для
p < 2.
Теорему 2 доведено.
З теореми 2 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 1. Нехай p \geq 2, банахiв функцiональний простiр B \supset Lp i
\| x\| B \leq \| x\| Lp \forall x \in B.
Якщо вимiрнi випадковi процеси X та \Gamma задовольняють умову (2) i виконується нерiвнiсть
\| Sp\| p < \infty ,
то X,\Gamma та W належать B м. н. i в B має мiсце слабка збiжнiсть (4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСIВ 515
Введемо iнтегральнi функцiонали вигляду
f(x(\cdot )) =
1\int
0
\varphi (s, x(s))ds,
де \varphi (s, y) — така неперервна функцiя двох змiнних, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}s\in [0,1] \varphi (s, y) = O
\bigl(
| y| p
\bigr)
.
Для таких функцiоналiв iз теореми 2 та [14] одержуємо такий наслiдок.
Наслiдок 2. Якщо вимiрнi випадковi процеси Х та Г задовольняють умови (2) та (21), то
має мiсце слабка збiжнiсть
f
\biggl(
Sn(\cdot )\surd
n
\biggr)
D\rightarrow f(W (\cdot )) при n \rightarrow \infty .
Зауваження 2. Розглянемо в умовах теореми 1 випадковi процеси
S\ast
n(s) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq k\leq n
\bigm| \bigm| Sk(s)
\bigm| \bigm| та W \ast (s) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq t\leq 1
\bigm| \bigm| W (t, s)
\bigm| \bigm| .
З результатiв роботи [8] випливає, що скiнченновимiрнi розподiли процесу
S\ast
n(s)\surd
n
збiга-
ються до скiнченновимiрних розподiлiв випадкового процесу W \ast (s).
Аналiз доведення теореми 1 показує, що воно без значних змiн дозволяє встановити також
i слабку збiжнiсть в C[0, 1]:
S\ast
n(\cdot )\surd
n
D\rightarrow W \ast (\cdot ). (32)
Те саме стосується i простору Lp, точнiше, якщо виконуються умови теореми 2, то спiввiд-
ношення (32) має мiсце в Lp.
4. Приклади застосувань. Зрозумiло, що для застосування теорем 1, 2 на практицi потрiб-
но знати розподiл вiдповiдних граничних випадкових величин. На жаль, задача знаходження
таких розподiлiв здається досить складною.
У випадку простору Lp позначимо
\zeta p =
1\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq t\leq 1
W (t, s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p ds,
S =
\bigl\{
\sigma (s), s \in [0, 1]
\bigr\}
, \sigma (s) = \sigma 2(s), s \in [0, 1].
Наступне допомiжне твердження дає простi оцiнки перших двох моментiв величини \zeta p.
Лема 6. В умовах теореми 2
\bfE \zeta p = \| S\| pp \cdot \Theta p,
\bfD \zeta p \leq \| S\| 2p2p \cdot \Theta 2p - \| S\| 2pp \cdot \Theta 2
p,
де \Theta p =
\sqrt{}
2p
\pi
\bfGamma
\biggl(
p+ 1
2
\biggr)
, (33)
причому \Theta 2k = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot . . . \cdot (2k - 1), \bfGamma (s) — гамма-функцiя.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
516 I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО, А. С. ШЕЛУДЕНКО
Доведення. Як зазначено вище,
W (s)
d
= \sigma (s)| \gamma | , (34)
де \gamma — стандартна нормальна випадкова величина, \bfE \gamma = 0, \bfE \gamma 2 = 1.
Вiдомо [12, с. 32], що при p \geq 1
\bfE | \gamma | p = \Theta p, (35)
де \Theta p задається рiвнiстю (33).
Тодi з (34), (35) одержуємо
\bfE \zeta p =
1\int
0
\bfE | W (s)| pds = \Theta p
1\int
0
| \sigma (s)| pds = \Theta p\| S\| pp. (36)
Далi
\bfE \zeta 2p \leq
1\int
0
\bfE | W (s)| 2pds = \| S\| 2p2p \cdot \Theta 2p.
Звiдси та з (36) безпосередньо випливає оцiнка для дисперсiї \bfD \xi p.
Нехай (ui) — незалежнi однаково розподiленi випадковi величини з функцiєю розподiлу
F (x) = x, x \in [0, 1], тобто ui рiвномiрно розподiленi на [0,1]. Позначимо через
F \ast
n(s) =
1
n
n\sum
n=1
I
\bigl(
ui \in [0, s]
\bigr)
, s \in \BbbR ,
емпiричну функцiю розподiлу випадкових величин ui, i = 1, n.
За аналогiєю з класичними статистиками \omega 2
n та \Omega 2
n розглянемо деякi їхнi модифiкацiї:
np/2\omega p
n =
1\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}1\leq k\leq n k
\bigl(
F \ast
k (s) - s
\bigr)
\surd
n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
ds,
np/2\Omega p
n =
1\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}1\leq k\leq n k(F
\ast
k (s) - s)
\surd
n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p \bigl( s(1 - s)
\bigr) - 1
ds.
Позначимо через W0(s), s \in [0, 1], нормальний випадковий процес, для якого
\bfE W0(s) = 0, \bfE W0(s1)W0(s2) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(s1, s2) - s1s2.
Такий процес називається броунiвським мостом. Нехай у зображеннi (3) для процесу W (t, s)
\Gamma n
d
= W0, а W (s) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}0\leq t\leq 1W (t, s). Тодi з теореми 2 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 3. При n \rightarrow \infty
np/2\omega p
n
D\rightarrow \zeta p[1] =
1\int
0
| W (s)| pds, (37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСIВ 517
np/2\Omega p
n
D\rightarrow \zeta p
\biggl[
1
s(1 - s)
\biggr]
=
1\int
0
| W (s)| p
s(1 - s)
ds. (38)
Доведення. Покладемо
Xi(s) = I
\bigl(
ui \in (0, s)
\bigr)
- s.
Тодi
EXi(s) = 0, EXi(s1)Xi(s2) = R(s1, s2) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(s1, s2) - s1s2,
тобто кореляцiйнi функцiї процесiв Xi(s) та W0(s) збiгаються мiж собою. Щоб застосувати
теорему 2, залишилося перевiрити умову (21). Маємо
| \sigma p(s)| p = E| Xi(s)| p = (1 - s)s
\bigl[
(1 - s)p - 1 + sp - 1
\bigr]
\leq 1. (39)
Остання оцiнка означає, що виконується (21), а отже, (37) встановлено.
Спiввiдношення (38) доводиться аналогiчно. Слiд вибрати
Xi(s) =
I(ui \in (0, s)) - s
| s(1 - s)| 1/p
, а \Gamma n(s)
d
=
W0(s)
| s(1 - s)| 1/p
.
Простi обчислення показують, що тодi
| \sigma p(s)| p = | 1 - s| p - 1 + sp - 1,
1\int
0
| \sigma p(s)| p =
2
p
. (40)
Таким чином, умови (2), (21) виконуються, що й дає (38).
Далi, використавши лему 6, знайдемо оцiнки перших моментiв для граничних величин (37),
(38) при p = 2.
Для випадку \zeta 2[1] маємо
S2(s) = (\sigma 2(s))
2 = s - s2,
E\zeta 2[1] =
1\int
0
\sigma 2(s)ds =
1\int
0
(s - s2)ds =
1
6
,
D\zeta 2[1] \leq \Theta 4\| S\| 44 - \| S\| 42\Theta 2
2 = 3
1\int
0
| \sigma (s)| 4ds -
\left[ 1\int
0
| \sigma (s)| ds
\right] 2
=
13
180
.
Для \zeta 2
\biggl[
1
s(1 - s)
\biggr]
, застосовуючи рiвностi (40), отримуємо
E\zeta 2
\biggl[
1
s(1 - s)
\biggr]
= 1,
D\zeta 2
\biggl[
1
s(1 - s)
\biggr]
\leq 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
518 I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО, А. С. ШЕЛУДЕНКО
Лiтература
1. Erdös E., Kac M. On certain limit theorems in the theory of probability // Bull. Amer. Math. Soc. – 1946. – 52. –
P. 292 – 302.
2. Bachelier P. Theorie de la speculation // Ann. Ecol. norm. – 1900. – 17. – P. 21 – 86.
3. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. – М.: Наука, 1971. – Т. 1 – 664 с.
4. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. – М.: Наука, 1977. – 352 с.
5. Скороход А. В., Слободенюк Н. П. Предельные теоремы для случайных блужданий. – Киев: Наук. думка,
1970. – 304 с.
6. Паулаускас В. О распределении максимума последовательных сумм независимых одинаково распределенных
случайных векторов // Liet. mat. rink. – 1973. – 13, № 2. – С. 133 – 138.
7. Ламперти Дж. Вероятность. – М.: Наука, 1973. – 184 с.
8. Мацак I. К. Деякi граничнi теореми для максимуму сум незалежних випадкових процесiв // Укр. мат. журн. –
2008. – 60, № 12. – С. 1664 – 1674.
9. Levy P. Processus stochastiques et mouvement brownien. – Paris: Gauthier-Villars, 1937.
10. Ciesielsky Z. Holder condition for realizations of Gaussian processes // Trans. Amer. Math. Soc. – 1961. – 99. –
P. 403 – 413.
11. Мацак И. К. Регулярность выборочных функций случайного процесса // Укр. мат. журн. – 1978. – 30, № 2. –
P. 242 – 247.
12. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. – М.: Мир, 1969. – 399 с.
13. Rosenthal H. P. On the subspaces of Lp (p > 2) spanned by sequences of independent random variables // Isr. J.
Math. – 1970. – 8, № 3. – P. 273 – 303.
14. Боровков А. А., Печерский Е. А. Сходимость распределений интегральных функционалов // Сиб. мат. журн. –
1975. – 16, № 5. – С. 899 – 915.
15. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. – М.: Наука, 1972. – 416 c.
Одержано 29.09.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1572 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:19Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/11/22b7adf617863abedb2542954e95e511.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15722019-12-05T09:19:04Z Limit theorems for the maximum of sums of independent random processes Граничні теореми для максимуму сум незалежних випадкових процесів Matsak, I. K. Plichko, A. M. Sheludenko, A. S. Мацак, І. К. Плічко, А. М. Шелуденко, А. С. We study the conditions for the weak convergence of the maximum of sums of independent random processes in the spaces $C[0, 1]$ and $L_p$ and present examples of applications to the analysis of statistics of the type $\omega 2 $. Изучаются условия слабой сходимости максимума сумм независимых случайных процессов в пространствах $C[0, 1]$ и $L_p$. Приведены примеры применений к анализу статистик типа $\omega 2$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1572 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 4 (2018); 506-518 Український математичний журнал; Том 70 № 4 (2018); 506-518 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1572/554 Copyright (c) 2018 Matsak I. K.; Plichko A. M.; Sheludenko A. S. |
| spellingShingle | Matsak, I. K. Plichko, A. M. Sheludenko, A. S. Мацак, І. К. Плічко, А. М. Шелуденко, А. С. Limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| title | Limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| title_alt | Граничні теореми для максимуму сум незалежних випадкових процесів |
| title_full | Limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| title_fullStr | Limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| title_full_unstemmed | Limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| title_short | Limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| title_sort | limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1572 |
| work_keys_str_mv | AT matsakik limittheoremsforthemaximumofsumsofindependentrandomprocesses AT plichkoam limittheoremsforthemaximumofsumsofindependentrandomprocesses AT sheludenkoas limittheoremsforthemaximumofsumsofindependentrandomprocesses AT macakík limittheoremsforthemaximumofsumsofindependentrandomprocesses AT plíčkoam limittheoremsforthemaximumofsumsofindependentrandomprocesses AT šeludenkoas limittheoremsforthemaximumofsumsofindependentrandomprocesses AT matsakik graničníteoremidlâmaksimumusumnezaležnihvipadkovihprocesív AT plichkoam graničníteoremidlâmaksimumusumnezaležnihvipadkovihprocesív AT sheludenkoas graničníteoremidlâmaksimumusumnezaležnihvipadkovihprocesív AT macakík graničníteoremidlâmaksimumusumnezaležnihvipadkovihprocesív AT plíčkoam graničníteoremidlâmaksimumusumnezaležnihvipadkovihprocesív AT šeludenkoas graničníteoremidlâmaksimumusumnezaležnihvipadkovihprocesív |