Estimates of the best bilinear approximations for the classes of $(ψ,β)$-differentiable periodic multivariate functions
Order estimates are obtained for the best bilinear approximations of $2d$-variable functions $f(x y),\; x, y \in \pi_d,\; \pi_d =\prod^d_{j=1} [ \pi , \pi ]$, formed by $d$-variable functions $f(x) \in L^{\psi}_{\beta} ,p$ by the shifts of their argument $x \in \pi_d$ by all possible values of $y...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1576 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507382228975616 |
|---|---|
| author | Shvai, K. V. Швай, К. В. |
| author_facet | Shvai, K. V. Швай, К. В. |
| author_sort | Shvai, K. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:04Z |
| description | Order estimates are obtained for the best bilinear approximations of $2d$-variable functions $f(x y),\;
x, y \in \pi_d,\; \pi_d =\prod^d_{j=1} [ \pi , \pi ]$, formed by $d$-variable functions $f(x) \in L^{\psi}_{\beta} ,p$ by the shifts of their argument $x \in \pi_d$ by all possible
values of $y \in \pi_d$ in the space $L_{q_1,q_2} (\pi 2d)$. The results include various relations between the parameters $p, q_1$ and $q_2$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517. 5
К. В. Швай (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ
КЛАСIВ (\bfitpsi , \bfitbeta )-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ
БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
Order estimates are obtained for the best bilinear approximations of 2d-variable functions f(x - y), x, y \in \pi d, \pi d =
=
\prod d
j=1 [ - \pi , \pi ], formed by d-variable functions f(x) \in L\psi \beta ,p by the shifts of their argument x \in \pi d by all possible
values of y \in \pi d in the space Lq1,q2(\pi 2d). The results include various relations between the parameters p, q1, and q2.
Получены порядковые оценки наилучших билинейных приближений функций 2d переменных вида f(x - y),
x, y \in \pi d, \pi d =
\prod d
j=1 [ - \pi , \pi ], образованных из функций d переменных f(x) \in L\psi \beta ,p сдвигом их аргумента x \in \pi d
на всевозможные y \in \pi d, в пространстве Lq1,q2(\pi 2d) при некоторых соотношениях между параметрами p, q1 и q2.
1. Вступ. Нехай \BbbR m, m \geq 1, — m-вимiрний евклiдiв простiр i для x = (x1, . . . , xm) , y =
= (y1, . . . , ym) з \BbbR m (x, y) = x1y1+. . .+xmym. Через Lq (\pi m) , \pi m =
\prod m
j=1 [ - \pi , \pi ], 1 \leq q \leq \infty ,
будемо позначати простiр 2\pi -перiодичних за кожною змiнною функцiй f(x) = f (x1, . . . , xm)
зi скiнченною нормою
\| f\| Lq(\pi m) = \| f\| q =
\biggl(
(2\pi ) - m
\int
\pi m
| f(x)| qdx
\biggr) 1
q
, 1 \leq q <\infty ,
\| f\| L\infty (\pi m) = \| f\| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \pi m
| f(x)| .
Далi будемо вважати, що для функцiй f \in L1 (\pi m) виконується умова
\pi \int
- \pi
f(x)dxj = 0, j = 1,m.
Нехай для функцiї f \in L1 (\pi m) її ряд Фур’є має вигляд\sum
k\in \BbbZ m
\widehat f(k)ei(k,x),
де \widehat f (k) = (2\pi ) - m
\int
\pi m
f(t)e - i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Далi, нехай \psi j \not = 0 — довiльнi функцiї натурального аргумента, \beta j \in \BbbR , j = 1,m, \r \BbbZ m =
= (\BbbZ \setminus \{ 0\} )m . Припустимо, що ряд
\sum
k\in \r \BbbZ m
m\prod
j=1
ei
\pi \beta j
2
sgnkj
\psi j(| kj | )
\widehat f(k)ei(k,x)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї f\psi \beta . Тодi, наслiдуючи О. I. Степанця [1, с. 25] (див.
також [2, т. I, c. 132]), назвемо її (\psi , \beta )-похiдною функцiї f. Множину функцiй f, для яких
iснують f\psi \beta , позначимо через L\psi \beta .
c\bigcirc К. В. ШВАЙ, 2018
564 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ . . . 565
Якщо f \in L\psi \beta , i, крiм того, f\psi \beta \subset \frakN , то пишуть f \in L\psi \beta \frakN . У данiй роботi в якостi \frakN ми
будемо розглядати множину одиничних куль простору Lp (\pi m) , тобто
f\psi \beta \in \frakN = Up =
\Bigl\{
\varphi : \varphi \in Lp (\pi m) , \| \varphi \| p \leq 1
\Bigr\}
, 1 \leq p \leq \infty .
Вiдповiднi класи L\psi \beta Up будемо позначати через L\psi \beta ,p.
Зауважимо, що класи L\psi \beta ,p є узагальненням вiдомих класiв Вейля – Надя W r
\beta ,p (див., напри-
клад, [3, с. 31]), якi отримуються iз даних, якщо покласти \psi j (| kj | ) = | kj | - rj , rj > 0, kj \in
\in \BbbZ \setminus \{ 0\} , j = 1,m. Зазначимо також, що деякi апроксимативнi характеристики класiв L\psi \beta ,p
дослiджувалися в роботi [4].
Тепер дамо означення апроксимативної характеристики, яка вивчається у данiй роботi.
Нехай Lq1,q2 (\pi 2d) , 1 \leq q1, q2 \leq \infty , — множина функцiй f(x, y), x, y \in \pi d, зi скiнченною
мiшаною нормою
\| f(x, y)\| Lq1,q2 (\pi 2d) = \| f(x, y)\| q1,q2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \| f(\cdot , y)\| q1\bigm\| \bigm\| \bigm\| q2 ,
яка обчислюється послiдовно, спочатку за змiнною x у просторi Lq1 (\pi d) , а потiм вiд результату
за змiнною y у просторi Lq2 (\pi d) .
Тодi величина
\tau M (f)q1,q2 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
ui(x),vi(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x, y) -
M\sum
i=1
ui(x)vi(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,q2
,
де ui \in Lq1(\pi d), vi \in Lq2(\pi d), називається найкращим бiлiнiйним наближенням порядку M
функцiї f \in Lq1,q2 (\pi 2d) .
Якщо F — деякий функцiональний клас, то покладемо
\tau M (F )q1,q2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\tau M (f)q1,q2 . (1)
Класичний результат щодо найкращих бiлiнiйних наближень функцiй двох змiнних у про-
сторi L2,2 отримав Е. Шмiдт [5]. Згодом дослiдження апроксимативної характеристики (1) для
рiзних функцiональних класiв набуло розвитку у роботах В. М. Темлякова [3, 6 – 9], М.-Б. А. Ба-
баєва [10], А. С. Романюка [11 – 14], А. С. Романюка та В. С. Романюка [15], К. В. Солiч [16],
В. В. Шкапи [17] та iн.
Метою даної роботи є отримання порядкових оцiнок величин \tau M (L\psi \beta ,p)q1,q2 при умовi, що
цi величини розглядаються для функцiй 2d змiнних вигляду f(x - y), x, y \in \pi d, утворених
iз функцiй d змiнних f(x) \in L\psi \beta ,p зсувом їх аргументa x \in \pi d на всеможливi y \in \pi d при
деяких спiввiдношеннях мiж параметрами p, q1 та q2. Iншими словами, будемо дослiджувати
величини
\tau M (L\psi \beta ,p)q1,q2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi \beta ,p
\tau M (f(x - y))q1,q2 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
566 К. В. ШВАЙ
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi \beta ,p
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
ui(x),vi(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x - y) -
M\sum
i=1
ui(x)vi(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,q2
. (2)
Варто зазначити, що для класiв F функцiй f, iнварiантних вiдносно зсуву аргумента, оцiнки
їх найкращих бiлiнiйних наближень, крiм самостiйного iнтересу, знаходять застосування для
оцiнок знизу колмогоровських поперечникiв1 dM (F,Lq1). Вiдомо (див., наприклад, [3, c. 85]),
що для множини Ff функцiй f(x - y), x, y \in \pi d, утвореної iз функцiї f(x) \in F, справедливим
є спiввiдношення
\tau M (f(x - y))q1,\infty = dM (Ff , Lq1).
Такий пiдхiд до встановлення оцiнок знизу колмогоровських поперечникiв класiв Соболєва
W r
p перiодичних функцiй однiєї змiнної використовувався у роботi [19], а згодом для класiв
Вейля – Надя W r
\beta ,p i Нiкольського – Бєсова Br
p,\theta перiодичних функцiй багатьох змiнних — у
роботах [20, 21].
2. Допомiжнi твердження. Перед тим як сформулювати твердження, якi будуть викорис-
товуватися при доведеннi одержаних результатiв, введемо ще деякi позначення.
Отже, через D будемо позначати множину функцiй \psi натурального аргументa, якi задо-
вольняють такi умови:
1) \psi є додатними та незростаючими;
2) iснує M > 0 таке, що
\psi (l)
\psi (2l)
\leq M \forall l \in \BbbN .
До вказаної множини належать, зокрема, функцiї \psi (| k| ) =
1
| k| r
, r > 0, k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} ; \psi (| k| ) =
=
\mathrm{l}\mathrm{n}\alpha (| k| + 1)
| k| r
, r > 0, k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} , \alpha \in \BbbR , та iншi.
Для встановлення оцiнок зверху найкращих бiлiнiйних наближень нам знадобляться оцiнки
найкращих M -членних тригонометричних наближень, якi для функцiональних класiв F \subset
\subset Lq(\pi d), 1 \leq q \leq \infty , означаються таким чином:
eM (F )q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
kj ,cj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(\cdot ) -
M\sum
j=1
cje
i(kj ,\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
, (3)
де
\bigl\{
kj
\bigr\} M
j=1
— система векторiв kj =
\Bigl(
kj1, . . . , k
j
d
\Bigr)
iз цiлочисловими координатами, а cj , j =
= 1,M, — довiльнi комплекснi числа.
З iсторiєю дослiдження величини (3) для деяких класiв функцiй багатьох змiнних можна
ознайомитися у роботах [22 – 24].
Далi, кожному вектору s = (s1, . . . , sd) , sj \in \BbbN , j = 1, d, поставимо у вiдповiднiсть
множину
\rho (s) =
\bigl\{
k = (k1, . . . , kd) : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , j = 1, d
\bigr\}
1Колмогоровським поперечником [18] центрально-симетричної множини W в нормованому просторi X нази-
вається величина
dM (W,X) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
LM
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in X
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y\in LM
\| x - y\| X ,
де LM — пiдпростори простору X розмiрностi, що не перевищує M.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ . . . 567
i для f \in L1 (\pi d) покладемо
\delta s(f, x) =
\sum
k\in \rho (s)
\widehat f(k)ei(k,x),
де \widehat f (k) — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Одержанi результати сформульовано в термiнах порядкових спiввiдношень. Для двох не-
вiд’ємних послiдовностей \{ a(n)\} \infty n=1 i \{ b(n)\} \infty n=1 спiввiдношення (порядкова нерiвнiсть) a(n) \ll
\ll b(n) означає, що iснує стала C1 > 0 така, що a(n) \leq C1b(n). Спiввiдношення a(n) \asymp b(n)
рiвносильне тому, що a(n) \ll b(n) i b(n) \ll a(n). Зазначимо, що сталi Ci, i = 1, 2, . . . , якi далi
будуть мiститися у порядкових спiввiдношеннях, можуть залежати лише вiд тих параметрiв, що
входять в означення класу та метрики, в якiй проводиться наближення, а також вiд розмiрностi
простору \BbbR m.
Якщо \frakN — деяка скiнченна множина, то через | \frakN | будемо позначати кiлькiсть елементiв
цiєї множини.
Отже, справджуються такi твердження.
Теорема А (Лiттлвуда – Пелi, див., наприклад, [25, с. 52 – 56]). Нехай задано 1 < q < \infty .
Тодi iснують такi додатнi сталi C2(q) та C3(q), що для кожної функцiї f \in Lq (\pi d) має
мiсце оцiнка
C2(q)\| f\| q \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl( \sum
s
| \delta s(f)| 2
\Biggr) 1
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq C3(q)\| f\| q.
Лема А [3, c. 98]. Нехай задано число M, а число n \in \BbbN таке, що для кiлькостi елементiв
множини \=Q1
n =
\bigcup
(s,1)=n \rho (s) виконуються умови
\bigm| \bigm| \=Q1
n
\bigm| \bigm| > 4M,
\bigm| \bigm| \=Q1
n
\bigm| \bigm| \asymp M. Тодi для будь-якої
функцiї g вигляду
g(x) =
\sum
k\in \=Q1
n
\^g(k)ei(k,x), | \^g(k)| = 1,
справедливoю є оцiнка
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
ui(x),vi(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| g(x - y) -
M\sum
i=1
ui(x)vi(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2,1
\gg M
1
2 .
Наступнi допомiжнi твердження, а також результати роботи будуть мiстити такi характерис-
тики:
\Phi (n) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
(s,1)=n
d\prod
j=1
\psi j (2
sj ), \Psi (n) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(s,1)=n
d\prod
j=1
\psi j (2
sj ).
Теорема Б [26]. Нехай 1 < p < \infty , \psi j \in D, j = 1, d. Тодi для довiльного полiнома t з
„номерами” гармонiк iз множини \=Q1
n =
\bigcup
(s,1)=n \rho (s) має мiсце спiввiдношення\bigm\| \bigm\| \bigm\| t\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\ll 1
\Phi (n)
\| t\| p .
Теорема В [27]. Нехай 1 < p \leq 2 < q < \infty , \psi j \in D, \beta j \in \BbbR , j = 1, d, i, крiм того, iснує
\varepsilon > 0 таке, що \psi j (| kj | ) | kj |
1
p+\varepsilon не зростають. Тодi для будь-яких натуральних M i n, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
568 К. В. ШВАЙ
задовольняють умову M \asymp 2nnd - 1, має мiсце спiввiдношення
\Phi (n)M
1
p -
1
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)
- 2(d - 1)
\Bigl(
1
p -
1
2
\Bigr)
\ll eM
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
q
\ll
\ll \Psi (n)M
1
p -
1
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)
- 2(d - 1)
\Bigl(
1
p -
1
2
\Bigr)
.
Теорема Г [27]. Нехай 2 \leq p < q < \infty , \psi j \in D, \beta j \in \BbbR , j = 1, d, i, крiм того, iснує
\varepsilon > 0 таке, що \psi j (| kj | ) | kj |
1
2+\varepsilon не зростають. Тодi для будь-яких натуральних M i n, що
задовольняють умову M \asymp 2nnd - 1, виконується спiввiдношення
\Phi (n) \ll eM
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
q
\ll \Psi (n).
Теорема Д [28]. Нехай 1 < q \leq p < \infty , \psi j \in D, \beta j \in \BbbR , j = 1, d. Тодi для будь-яких
натуральних M i n, що задовольняють умову M \asymp 2nnd - 1, має мiсце спiввiдношення
\Phi (n) \ll eM
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
q
\ll \Psi (n).
3. Основнi результати. Справджується така теорема.
Теорема 1. Нехай 1 < p \leq 2 < q1 < \infty , 1 \leq q2 \leq \infty , \psi j \in D, \beta j \in \BbbR , j = 1, d, i, крiм
того, iснує \varepsilon > 0 таке, що \psi j (| kj | ) | kj |
1
p+\varepsilon не зростають. Тодi для будь-яких натуральних M
i n, що задовольняють умову M \asymp 2nnd - 1, виконується спiввiдношення
\Phi (n)M
1
p -
1
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)
- 2(d - 1)
\Bigl(
1
p -
1
2
\Bigr)
\ll \tau M
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
q1,q2
\ll
\ll \Psi (n)M
1
p -
1
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)
- 2(d - 1)
\Bigl(
1
p -
1
2
\Bigr)
. (4)
Доведення. Встановимо спочатку оцiнку зверху. Покажемо, що вона випливає iз вiдповiдної
оцiнки для найкращих M -членних тригонометричних наближень функцiй iз класу L\psi \beta ,p.
Дiйсно, згiдно з теоремою В, для довiльної функцiї f \in L\psi \beta ,p знайдеться такий набiр \theta M iз
M \asymp 2nnd - 1 рiзних векторiв k = (k1, . . . , kd) i такi ck \in \BbbC , що\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x) -
\sum
k\in \theta M
cke
i(k,x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1
\ll \Psi (n)M
1
p -
1
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)
- 2(d - 1)
\Bigl(
1
p -
1
2
\Bigr)
. (5)
Крiм цього, для лiвої частини (5) можемо записати\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x) -
\sum
k\in \theta M
cke
i(k,x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x - y) -
\sum
k\in \theta M
cke
i(k,x - y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,\infty
=
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x - y) -
\sum
k\in \theta M
cke
i(k,x)e - i(k,y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,\infty
. (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ . . . 569
Спiвставивши (5) та (6), одержимо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x - y) -
\sum
k\in \theta M
cke
i(k,x)e - i(k,y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q1,\infty
\ll \Psi (n)M
1
p -
1
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)
- 2(d - 1)
\Bigl(
1
p -
1
2
\Bigr)
. (7)
Далi, поклавши в (7) uk(x) = cke
i(k,x), vk(y) = e - i(k,y), згiдно з (2), приходимо до шуканої
оцiнки зверху величини \tau M
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
q1,q2
.
Тепер встановимо в (4) оцiнку знизу.
За заданим M виберемо n \in \BbbN так, щоб для кiлькостi елементiв множини \=Q1
n =
\bigcup
(s,1)=n \rho (s)
виконувалися спiввiдношення
\bigm| \bigm| \=Q1
n
\bigm| \bigm| > 4M,
\bigm| \bigm| \=Q1
n
\bigm| \bigm| \asymp M. Зауважимо, що
\bigm| \bigm| \=Q1
n
\bigm| \bigm| \asymp 2nnd - 1.
Розглянемо функцiю
f1(x) = C4\Phi (n)2
n
\Bigl(
1
p - 1
\Bigr)
n
- d - 1
p \=D1
n(x),
де \=D1
n(x) =
\sum
k\in \=Q1
n
ei(k,x).
Покажемо, що f1 належить L\psi \beta ,p при певному виборi сталої C4 > 0.
З цiєю метою розглянемо схiдчасто-гiперболiчне ядро Дiрiхле Dn(x) =
\sum
k\in Qn e
i(k,x), де
Qn =
\bigcup
(s,1)\leq n \rho (s). Вiдомо [30], що
\| Dn\| p \asymp 2
n
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr)
n
d - 1
p , 1 < p <\infty . (8)
Тому, взявши до уваги, що \=D1
n(x) = Dn(x) - Dn - 1(x), та скориставшись теоремою Б i
спiввiдношенням (8), будемо мати\bigm\| \bigm\| \bigm\| (f1)\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\ll 1
\Phi (n)
\Phi (n)2
n
\Bigl(
1
p - 1
\Bigr)
n
- d - 1
p
\bigm\| \bigm\| \=D1
n
\bigm\| \bigm\|
p
\leq
\leq 2
n
\Bigl(
1
p - 1
\Bigr)
n
- d - 1
p
\Bigl(
\| Dn\| p + \| Dn - 1\| p
\Bigr)
\ll
\ll 2
n
\Bigl(
1
p - 1
\Bigr)
n
- d - 1
p
\biggl(
2
n
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr)
n
d - 1
p + 2
(n - 1)
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr)
(n - 1)
d - 1
p
\biggr)
\ll 1.
Звiдси випливає, що при вiдповiдному виборi сталої C4 > 0 функцiя f1 належить класу L\psi \beta ,p.
Таким чином, врахувавши обмеження на параметри p, q1 та q2, можемо записати
\tau M
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
q1,q2
\geq \tau M
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
2,1
\geq \tau M (f1(x - y))2,1 \asymp
\asymp \Phi (n)2
n
\Bigl(
1
p - 1
\Bigr)
n
- d - 1
p \tau M
\bigl(
\=D1
n(x - y)
\bigr)
2,1
. (9)
Далi, оскiльки функцiя \=D1
n(x) задовольняє умови леми А, то справедливою є оцiнка
\tau M
\bigl(
\=D1
n(x - y)
\bigr)
2,1
\gg M
1
2 . (10)
Тому, спiвставивши (9) та (10), знайдемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
570 К. В. ШВАЙ
\tau M
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
q1,q2
\gg \Phi (n)2
n
\Bigl(
1
p - 1
\Bigr)
n
- d - 1
p M
1
2 \asymp
\asymp \Phi (n)2
n
\Bigl(
1
p - 1
\Bigr)
n
- d - 1
p 2
n
2 n
d - 1
2 = \Phi (n)2
n
\Bigl(
1
p -
1
2
\Bigr)
n
(d - 1)
\Bigl(
1
2 -
1
p
\Bigr)
\asymp
\asymp \Phi (n)M
1
p -
1
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)
- 2(d - 1)
\Bigl(
1
p -
1
2
\Bigr)
.
Оцiнку знизу, а отже, i теорему 1 доведено.
Зауваження 1. В одновимiрному випадку вiдповiдний теоремi 1 результат встановила
В. В. Шкапа [17], при цьому
\tau M
\Bigl(
L\psi 1
\beta ,p
\Bigr)
q1,q2
\asymp \psi 1(M)M
1
p -
1
2 , 1 < p \leq 2 < q1 <\infty , 1 \leq q2 \leq \infty .
Зауваження 2. Якщо у теоремi 1 покласти \psi j (| kj | ) = | kj | - r , r >
1
p
, kj \in \BbbZ \setminus \{ 0\} , j = 1, d,
то отримаємо точну за порядком оцiнку для класiв Вейля – Надя W r
\beta ,p :
\tau M
\bigl(
W r
\beta ,p
\bigr)
q1,q2
\asymp M
- r+ 1
p
- 1
2
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\Bigr) r - 2
\Bigl(
1
p
- 1
2
\Bigr)
,
1 < p \leq 2 < q1 <\infty , 1 \leq q2 \leq \infty .
У випадку r >
2
p
- 1
2
вiдповiдну оцiнку встановив В. М. Темляков [3, c. 96]. У випадку ж
1
p
< r \leq 2
p
- 1
2
оцiнку знизу величини \tau M
\Bigl(
W r
\beta ,p
\Bigr)
q1,q2
також встановив В. М. Темляков
[3, c. 96], а оцiнка зверху є наслiдком оцiнки величини eM
\Bigl(
W r
\beta ,p
\Bigr)
q1
, яка була одержана
Е. С. Белiнським [31].
Теорема 2. Нехай 2 \leq p < q1 < \infty , 1 \leq q2 \leq \infty , \psi j \in D, \beta j \in \BbbR , j = 1, d, i, крiм того,
iснує \varepsilon > 0 таке, що \psi j (| kj | ) | kj |
1
2+\varepsilon не зростають. Тодi для будь-яких натуральних M i n,
що задовольняють умову M \asymp 2nnd - 1, має мiсце спiввiдношення
\Phi (n) \ll \tau M
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
q1,q2
\ll \Psi (n). (11)
Доведення. Для встановлення оцiнки зверху будемо проводити мiркування, аналогiчнi тим,
якi були використанi при доведеннi вiдповiдної оцiнки у теоремi 1. У цьому випадку iз теореми
Г для найкращих M -членних тригонометричних наближень при M \asymp 2nnd - 1 безпосередньо
отримуємо
\tau M
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
q1,q2
\ll \Psi (n), 2 \leq p < q1 <\infty , 1 \leq q2 \leq \infty . (12)
Перейдемо до встановлення в (11) оцiнки знизу. За заданим M виберемо n \in \BbbN так, щоб для
кiлькостi елементiв множини \=Q1
n =
\bigcup
(s,1)=n \rho (s) виконувались умови
\bigm| \bigm| \=Q1
n
\bigm| \bigm| > 4M,
\bigm| \bigm| \=Q1
n
\bigm| \bigm| \asymp M.
Як вже було зазначено,
\bigm| \bigm| \=Q1
n
\bigm| \bigm| \asymp 2nnd - 1.
Розглянемо функцiю
f2(x) = C5\Phi (n)2
- n2 n -
d - 1
2
\sum
(s,1)=n
d\prod
j=1
Rsj (xj) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ . . . 571
де Rsj (xj) =
\sum 2sj - 1
l=2sj - 1 \varepsilon le
ilxj , \varepsilon l = \pm 1, j = 1, d, — полiноми Рудiна – Шапiро, C5 > 0.
Зазначимо, що для вказаних полiномiв справедливою є порядкова оцiнка (див., наприклад,
[29, c. 155]) \bigm\| \bigm\| Rsj\bigm\| \bigm\| \infty \ll 2
sj
2 . (13)
Переконаємося в тому, що f2 належить L\psi \beta ,p з вiдповiдною сталою C5 > 0. Скориставшись
послiдовно теоремами Б, А та нерiвнiстю Мiнковського, одержимо\bigm\| \bigm\| \bigm\| (f2)\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\ll 1
\Phi (n)
\Phi (n)2 -
n
2 n -
d - 1
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(s,1)=n
d\prod
j=1
Rsj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\ll
\ll 2 -
n
2 n -
d - 1
2 t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( \sum
(s,1)=n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
d\prod
j=1
Rsj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\right)
1
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
= 2 -
n
2 n -
d - 1
2
\left(
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(s,1)=n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
d\prod
j=1
Rsj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p/2
\right)
1
2
\leq
\leq 2 -
n
2 n -
d - 1
2
\left( \sum
(s,1)=n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
d\prod
j=1
Rsj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p/2
\right)
1
2
= 2 -
n
2 n -
d - 1
2
\left( \sum
(s,1)=n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\prod
j=1
Rsj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
p
\right)
1
2
\leq
\leq 2 -
n
2 n -
d - 1
2
\left( \sum
(s,1)=n
d\prod
j=1
\bigm\| \bigm\| Rsj\bigm\| \bigm\| 2\infty
\right)
1
2
. (14)
Тепер, врахувавши (13), iз (14) будемо мати
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (f2)\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\ll 2 -
n
2 n -
d - 1
2
\left( \sum
(s,1)=n
d\prod
j=1
2sj
\right)
1
2
= 2 -
n
2 n -
d - 1
2
\left( \sum
(s,1)=n
2(s,1)
\right)
1
2
\ll
\ll 2 -
n
2 n -
d - 1
2
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) 1
2
= 1.
Звiдси випливає, що при певному виборi сталої C5 > 0 f2 належить L\psi \beta ,p.
Далi, оскiльки полiном v(x) =
\sum
(s,1)=n
\prod d
j=1Rsj (xj) задовольняє умови леми А, то справ-
джується оцiнка
\tau M (v(x - y))2,1 \gg M
1
2 .
Тому, скориставшись цiєю оцiнкою, одержимо
\tau M
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
q1,q2
\geq \tau M
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
2,1
\geq \tau M (f2(x - y))2,1 \asymp
\asymp C5\Phi (n)2
- n2 n -
d - 1
2 \tau M (v(x - y))2,1 \gg \Phi (n)2 -
n
2 n -
d - 1
2 M
1
2 \asymp
\asymp \Phi (n)2 -
n
2 n -
d - 1
2 2
n
2 n
d - 1
2 = \Phi (n). (15)
Оцiнку знизу встановлено.
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
572 К. В. ШВАЙ
Зауваження 3. В одновимiрному випадку з теореми 2 випливає точна за порядком оцiнка
величини \tau M
\Bigl(
L\psi 1
\beta ,p
\Bigr)
q1,q2
, яка була встановлена В. В. Шкапою [17], i при цьому
\tau M
\Bigl(
L\psi 1
\beta ,p
\Bigr)
q1,q2
\asymp \psi 1(M), 2 \leq p < q1 <\infty , 1 \leq q2 \leq \infty .
Зауваження 4. У випадку \psi j (| kj | ) = | kj | - r , r >
1
2
, kj \in \BbbZ \setminus \{ 0\} , j = 1, d, з теореми 2
випливає точна за порядком оцiнка величини \tau M
\Bigl(
W r
\beta ,p
\Bigr)
q1,q2
, яка була встановлена В. М. Тем-
ляковим [3, c. 96], i при цьому
\tau M
\bigl(
W r
\beta ,p
\bigr)
q1,q2
\asymp M - r
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\Bigr) r
, 2 \leq p < q1 <\infty , 1 \leq q2 \leq \infty .
Теорема 3. Нехай 2 \leq q1 < p < \infty , 1 \leq q2 \leq \infty , \psi j \in D, \beta j \in \BbbR , j = 1, d. Тодi для
будь-яких натуральних M i n, що задовольняють умову M \asymp 2nnd - 1, справджується оцiнка
\Phi (n) \ll \tau M
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
q1,q2
\ll \Psi (n). (16)
Доведення. Як i при встановленнi оцiнок зверху у теоремах 1 та 2, вiдповiдну оцiнку в
(16) одержимо iз теореми Д. Iншими словами, при M \asymp 2nnd - 1
\tau M
\Bigl(
L\psi \beta ,p
\Bigr)
q1,q2
\ll \Psi (n).
Для встановлення в (16) оцiнки знизу достатньо розглянути функцiю f2(x) та повторити мiр-
кування, якi були використанi при доведеннi спiввiдношення (15).
Теорему 3 доведено.
Зауваження 5. В одновимiрному випадку iз теореми 3 випливає оцiнка
\tau M
\Bigl(
L\psi 1
\beta ,p
\Bigr)
q1,q2
\asymp \psi 1(M), 2 \leq q1 < p <\infty , 1 \leq q2 \leq \infty .
Зауваження 6. Якщо у (16) покласти \psi j (| kj | ) = | kj | - r , r > 0, kj \in \BbbZ \setminus \{ 0\} , j = 1, d,
то отримаємо точну за порядком оцiнку найкращих бiлiнiйних наближень класiв Вейля – Надя
W r
\beta ,p, яка була встановлена А. С. Романюком [14]:
\tau M
\bigl(
W r
\beta ,p
\bigr)
q1,q2
\asymp M - r
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\Bigr) r
, 2 \leq q1 < p <\infty , 1 \leq q2 \leq \infty .
Лiтература
1. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 268 с.
2. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – 40. –
Ч. I. – 427 с. ; Ч. II. – 468 с.
3. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – C. 3 – 113.
4. Романюк А. С. О приближении классов периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн. –
1992. – 44, № 5. – С. 662 – 672.
5. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I // Math. Ann. – 1907. – 63. – S. 433 – 476.
6. Темляков В. Н. Приближение периодических функций многих переменных комбинациями функций, зависящих
от меньшего числа переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1986. – 173. – C. 243 – 252.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ . . . 573
7. Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений функций двух переменных и некоторые их
приложения // Мат. сб. – 1987. – 134, № 1. – C. 93 – 107.
8. Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений периодических функций // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1988. – 181. – C. 250 – 267.
9. Темляков В. Н. Билинейная аппроксимация и приложения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – C. 191 –
215.
10. Бабаев М. -Б. А. Приближение соболевских классов функций суммами произведений функций меньшего числа
переменных // Мат. заметки. – 1990. – 48, № 6. – С. 10 – 21.
11. Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические и билинейные приближения функций многих переменных из
классов Brp,\theta . I // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 11. – С. 1535 – 1547.
12. Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические и билинейные приближения функций многих переменных из
классов Brp,\theta . II // Укр. мат. журн. – 1993. – 45, № 10. – С. 1411 – 1423.
13. Романюк А. С. О наилучшей тригонометрической и билинейной аппроксимации классов Бесова функций
многих переменных // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 8. – С. 1097 – 1111.
14. Романюк А. С. Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова Brp,\theta периодических функций
многих переменных // Изв. РАН Сер. мат. – 2006. – 70, № 2. – С. 69 – 98.
15. Романюк А. С., Романюк В. С. Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных
приближений классов функций нескольких переменных // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 4. – С. 536 – 551.
16. Солiч К. В. Оцiнки бiлiнiйних наближень класiв S\Omega
p,\theta B перiодичних функцiй двох змiнних // Укр. мат. журн. –
2012. – 64, № 8. – С. 1106 – 1120.
17. Шкапа В. В. Найкращi тригонометричнi i бiлiнiйнi наближення класiв (\psi , \beta )-диференцiйовних перiодичних
функцiй // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 3. – С. 386 – 399.
18. Kolmogorov A. N. Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse // Ann. Math. –
1936. – 37. – S. 107 – 110.
19. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций
тригонометрическими полиномами // Успехи мат. наук. – 1974. – 29, № 3. – С. 161 – 178.
20. Темляков В. Н. Приближение периодических функций нескольких переменных тригонометрическими полино-
мами и поперечники некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1985. – 49, № 5. – C. 986 – 1030.
21. Романюк А. С. Приближение классов Бесова периодических функций многих переменных в пространстве
Lq // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 10. – С. 1398 – 1408.
22. Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения классов Бесова периодических
функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. – С. 61 – 100.
23. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Працi Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 с.
24. Dinh Dung, Temlyakov V. N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation, arXiv: 1601. 03978v1 [math. NA] 15 Jan
2016.
25. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1977. – 456 с.
26. Романюк А. С. Неравенства для Lp -норм (\psi , \beta )-производных и поперечников по Колмогорову классов функ-
ций многих переменных L\psi \beta ,p // Исследования по теории аппроксимации функций: Сб. науч. тр. – Киев: Ин-т
математики АН УССР, 1987. – С. 92 – 105.
27. Консевич Н. М. Найкращi M -членнi тригонометричнi наближення класiв L\psi \beta ,p у просторi Lq // Крайовi задачi
для диференцiальних рiвнянь. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1998. – 3. – С. 204 – 219.
28. Консевич Н. М. Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень класiв L\psi \beta ,p перiодичних функцiй
багатьох змiнних у просторi Lq // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 7. – С. 898 – 907.
29. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 496 с.
30. Галеев Э. М. Порядковые оценки производных периодического многомерного \alpha -ядра Дирихле в смешанной
норме // Мат. сб. – 1982. – 117, № 159. – С. 32 – 43.
31. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах периодических функций с огра-
ниченной смешанной производной // Исследование по теории функций многих вещественных переменных. –
Ярославль: Яросл. ун-т, 1988. – С. 16 – 33.
Одержано 05.04.17,
пiсля доопрацювання — 16.06.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1576 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:25Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5f/b60c7c16264cfe3dc1d5c07211e9455f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15762019-12-05T09:19:04Z Estimates of the best bilinear approximations for the classes of $(ψ,β)$-differentiable periodic multivariate functions Оцінки найкращих білінійних наближень класів $(ψ,β)$-диференційовних періодичних функцій багатьох змінних Shvai, K. V. Швай, К. В. Order estimates are obtained for the best bilinear approximations of $2d$-variable functions $f(x y),\; x, y \in \pi_d,\; \pi_d =\prod^d_{j=1} [ \pi , \pi ]$, formed by $d$-variable functions $f(x) \in L^{\psi}_{\beta} ,p$ by the shifts of their argument $x \in \pi_d$ by all possible values of $y \in \pi_d$ in the space $L_{q_1,q_2} (\pi 2d)$. The results include various relations between the parameters $p, q_1$ and $q_2$. Получены порядковые оценки наилучших билинейных приближений функций $2d$ переменных вида $f(x y),\; x, y \in \pi_d,\; \pi_d =\prod^d_{j=1} [ \pi , \pi ]$, образованных из функций $d$ переменных $f(x) \in L^{\psi}_{\beta} ,p$ сдвигом их аргумента $x \in \pi_d$ на всевозможные $y \in \pi d$, в пространстве $L_{q_1, q_2} (\pi 2d)$ при некоторых соотношениях между параметрами $p, q_1$ и $q_2$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1576 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 4 (2018); 564-573 Український математичний журнал; Том 70 № 4 (2018); 564-573 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1576/558 Copyright (c) 2018 Shvai K. V. |
| spellingShingle | Shvai, K. V. Швай, К. В. Estimates of the best bilinear approximations for the classes of $(ψ,β)$-differentiable periodic multivariate functions |
| title | Estimates of the best bilinear approximations for the classes of $(ψ,β)$-differentiable periodic multivariate functions |
| title_alt | Оцінки найкращих білінійних наближень класів $(ψ,β)$-диференційовних періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full | Estimates of the best bilinear approximations for the classes of $(ψ,β)$-differentiable periodic multivariate functions |
| title_fullStr | Estimates of the best bilinear approximations for the classes of $(ψ,β)$-differentiable periodic multivariate functions |
| title_full_unstemmed | Estimates of the best bilinear approximations for the classes of $(ψ,β)$-differentiable periodic multivariate functions |
| title_short | Estimates of the best bilinear approximations for the classes of $(ψ,β)$-differentiable periodic multivariate functions |
| title_sort | estimates of the best bilinear approximations for the classes of $(ψ,β)$-differentiable periodic multivariate functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1576 |
| work_keys_str_mv | AT shvaikv estimatesofthebestbilinearapproximationsfortheclassesofpsbdifferentiableperiodicmultivariatefunctions AT švajkv estimatesofthebestbilinearapproximationsfortheclassesofpsbdifferentiableperiodicmultivariatefunctions AT shvaikv ocínkinajkraŝihbílíníjnihnabliženʹklasívpsbdiferencíjovnihperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT švajkv ocínkinajkraŝihbílíníjnihnabliženʹklasívpsbdiferencíjovnihperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |