Best approximation of the functions from anisotropic Nikol’skii – Besov classes defined in $R^d$
We establish the exact-order estimates for the best approximations of the functions from anisotropic Nikol’skii – Besov classes of functions of several variables by entire functions in the Lebesgue spaces.
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1577 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507383210442752 |
|---|---|
| author | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. |
| author_facet | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. |
| author_sort | Yanchenko, S. Ya. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:04Z |
| description | We establish the exact-order estimates for the best approximations of the functions from anisotropic Nikol’skii – Besov classes of functions of several variables by entire functions in the Lebesgue spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
С. Я. Янченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАЙКРАЩЕ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ З АНIЗОТРОПНИХ
КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА, ВИЗНАЧЕНИХ НА \BbbR \bfitd
We establish the exact-order estimates for the best approximations of the functions from anisotropic Nikol’skii – Besov
classes of functions of several variables by entire functions in the Lebesgue spaces.
Получены точные по порядку оценки наилучшего приближения функций из анизотропных классов Никольского –
Бесова функций многих переменных целыми функциями в пространствах Лебега.
У цiй статтi дослiджується питання найкращого наближення функцiй з анiзотропних класiв
Нiкольського – Бєсова B\bfitr
p,\theta (\BbbR d) [1, 2], де параметр \bfitr — d-вимiрний вектор з додатними коор-
динатами (rj > 0, j = 1, d). Похибка наближення при цьому вимiрюється у метрицi простору
Lq(\BbbR d), 1 < p \leq q < \infty . В якостi апарату наближення використовуються цiлi функцiї екс-
поненцiального типу (див., наприклад, [3]) з носiями їх перетворення Фур’є в d-вимiрних
паралелепiпедах.
1. Основнi позначення та означення класiв Нiкольського – Бєсова. Нехай \BbbR d, d \geq 1, — d-
вимiрний евклiдiв простiр з елементами \bfitx = (x1, . . . , xd), (\bfitx ,\bfity ) = x1y1 + . . .+ xdyd; Lp(\BbbR d),
1 \leq p \leq \infty , — простiр вимiрних на \BbbR d функцiй f(\bfitx ) = f(x1, . . . , xd) зi скiнченною нормою
\| f\| Lp(\BbbR d) = \| f\| p :=
\left( \int
\BbbR d
| f(\bfitx )| pd\bfitx
\right)
1
p
, 1 \leq p < \infty ,
\| f\| L\infty (\BbbR d) = \| f\| \infty := \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfitx \in \BbbR d
| f(\bfitx )| .
Для k \in \BbbN , \bfith \in \BbbR d означимо модуль гладкостi k-го порядку функцiї f \in Lp(\BbbR d) за змiнною
xi, який будемо позначати \omega k(f, tei)p, формулою
\omega k(f, tei)p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| \bfith | \leq t
\| \Delta k(f,\bfith ei)\| p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| \bfith | \leq t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
k\sum
l=0
( - 1)k - lC l
kf(\bfitx + l\bfith ei)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
,
де | \bfith | =
\sqrt{}
h21 + . . .+ h2d — евклiдова норма вектора \bfith , а ei — одиничний вектор, який направ-
лений уздовж осi xi.
Нехай ri > 0, ri = \=ri + \alpha i, де \=ri — цiле, 0 < \alpha i \leq 1, i = 1, d.
Означення 1. Будемо говорити, що функцiя f \in Lp(\BbbR d) належить простору B\bfitr
p,\theta (\BbbR d),
1 \leq p, \theta \leq \infty , \bfitr > 0, якщо вона має iнтегровнi в степенi p на \BbbR d частковi, узагальненi в сенсi
Соболєва, похiднi вигляду
Dk
i f =
\partial kf
\partial xki
, k = 0, \=ri, i = 1, d,
i при цьому
c\bigcirc С. Я. ЯНЧЕНКО, 2018
574 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
НАЙКРАЩЕ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ З АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА . . . 575
\| f\| B\bfitr
p,\theta
= \| f\| p +
d\sum
i=1
\left( \infty \int
0
t - \theta \alpha i - 1\omega \theta
1+[\alpha i]
(D \=ri
i f, tei)pdt
\right)
1
\theta
< \infty при 1 \leq \theta < \infty
та
\| f\| B\bfitr
p,\infty = \| f\| H\bfitr
p
= \| f\| \infty +
d\sum
i=1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t>0
t - \alpha i - 1\omega 1+[\alpha i](D
\=ri
i f, tei)p < \infty при \theta = \infty .
Зазначимо, що з так введеною нормою простори B\bfitr
p,\theta (\BbbR d) будуть банаховими.
Простори B\bfitr
p,\theta (\BbbR d) були введенi О. В. Бєсовим [2], B\bfitr
p,\infty (\BbbR d) = H\bfitr
p (\BbbR d), де H\bfitr
p (\BbbR d) —
простори, якi ввiв С. М. Нiкольський [1]. Далi, зберiгаючи тi самi позначення, будемо розглядати
класи B\bfitr
p,\theta (\BbbR d), тобто одиничнi кулi у просторах B\bfitr
p,\theta (\BbbR d):
B\bfitr
p,\theta (\BbbR d) :=
\Bigl\{
f \in Lp(\BbbR d) : \| f\| B\bfitr
p,\theta (\BbbR d) \leq 1
\Bigr\}
.
Крiм цього, для спрощення викладок замiсть B\bfitr
p,\theta (\BbbR d) та H\bfitr
p (\BbbR d) будемо використовувати
позначення B\bfitr
p,\theta та H\bfitr
p .
Зазначимо, що важливим для встановлення результатiв є той факт, що простори B\bfitr
p,\theta зi
зростанням параметра \theta розширюються (див., наприклад, [3, с. 278]), тобто
B\bfitr
p,1 \subset B\bfitr
p,\theta \subset B\bfitr
p,\theta \prime \subset B\bfitr
p,\infty = H\bfitr
p , 1 \leq \theta < \theta \prime \leq \infty . (1)
Наведемо результат П. I. Лiзоркiна (див. [4]), який дає можливiсть означити норму функцiй
iз просторiв B\bfitr
p,\theta (\BbbR d) в iншiй формi, яка в подальшому зумовлює використання перетворення
Фур’є в теорiї даних просторiв. Для цього попередньо наведемо необхiднi означення.
Назвемо найкращим наближенням функцiї f \in Lp(\BbbR d) за допомогою цiлих функцiй степе-
нiв \nu 1, . . . , \nu d величину
E\nu 1,...,\nu d(f)p = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
g\nu 1,...,\nu d
\| f - g\nu 1,...,\nu d\| p, (2)
де iнфiмум береться по всiх цiлих функцiях g\nu 1,...,\nu d(x1, . . . , xd) \in Lp(\BbbR d) степенiв \nu 1, . . . , \nu d
вiдповiдно за змiнними x1, . . . , xd.
Теорема A [4]. Функцiя f належить простору B\bfitr
p,\theta (\BbbR d), \bfitr > 0, 1 \leq p, \theta \leq \infty , тодi i тiльки
тодi, коли вона зображується збiжним у метрицi простору Lp(\BbbR d) рядом
f(\bfitx ) =
\infty \sum
s=0
P\bfita s(\bfitx ), P\bfita s(\bfitx ) = Pas1,...,a
s
d
(\bfitx ), (3)
де P\nu 1,...,\nu d(\bfitx ) — цiлi функцiї степеня не вищого за \nu 1, . . . , \nu d по кожнiй змiннiй x1, . . . , xd
вiдповiдно, i виконується умова\Biggl( \infty \sum
s=0
bs\theta \| P\bfita s\| \theta p
\Biggr) 1
\theta
< \infty , де b = arii > 1, i = 1, d. (4)
Окрiм цього, має мiсце оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
576 С. Я. ЯНЧЕНКО
\| f\| B\bfitr
p,\theta
\leq C1
\Biggl( \infty \sum
s=0
bs\theta \| P\bfita s\| \theta p
\Biggr) 1
\theta
. (5)
Якщо, крiм того, частиннi суми n-го порядку ряду (3) реалiзують найкраще наближення
або дають порядок найкращого наближення, то вираз у лiвiй частинi (4) i \| f\| B\bfitr
p,\theta
еквiвалент-
нi, тобто разом iз (5) має мiсце оцiнка\Biggl( \infty \sum
s=0
bs\theta \| P\bfita s\| \theta p
\Biggr) 1
\theta
\leq C2\| f\| B\bfitr
p,\theta
.
На основi теореми А дамо еквiвалентне означення анiзотропних просторiв B\bfitr
p,\theta , яким бу-
демо користуватися у подальших мiркуваннях. Для цього нагадаємо означення перетворення
Фур’є (див., наприклад, [5]), з використанням якого дається вiдповiдне означення.
Нехай S = S(\BbbR d) — простiр Л. Шварца основних нескiнченно диференцiйовних на \BbbR d
комплекснозначних функцiй \varphi , що спадають на нескiнченностi разом зi своїми похiдними
швидше за будь-який степiнь функцiї | \bfitx | - 1 (див., наприклад, [5, 6] (гл. 2)). Через S\prime позначимо
простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв на S. Зазначимо, що елементами простору S\prime є
узагальненi функцiї. Якщо f \in S\prime i \varphi \in S, то \langle f, \varphi \rangle позначає значення f на \varphi .
Перетворення Фур’є \frakF \varphi : S \rightarrow S визначається згiдно з формулою
(\frakF \varphi )(\bfitlambda ) =
1
(2\pi )d/2
\int
\BbbR d
\varphi (\bfitt )e - i(\bfitlambda ,\bfitt )d\bfitt \equiv \widetilde \varphi (\bfitlambda ).
Обернене перетворення Фур’є \frakF - 1\varphi : S \rightarrow S задається таким чином:
(\frakF - 1\varphi )(\bfitt ) =
1
(2\pi )d/2
\int
\BbbR d
\varphi (\bfitlambda )ei(\bfitlambda ,\bfitt )d\bfitlambda \equiv \widehat \varphi (\bfitt ).
Перетворення Фур’є узагальнених функцiй f \in S\prime (для нього ми зберiгаємо те ж позначення)
визначається згiдно з формулою
\langle \frakF f, \varphi \rangle = \langle f,\frakF \varphi \rangle (\langle \widetilde f, \varphi \rangle = \langle f, \widetilde \varphi \rangle ),
де \varphi \in S.
Обернене перетворення Фур’є узагальненої функцiї f \in S\prime також позначимо \frakF - 1f, i визна-
чається воно аналогiчно прямому перетворенню Фур’є згiдно з формулою
\langle \frakF - 1f, \varphi \rangle = \langle f,\frakF - 1\varphi \rangle (\langle \widehat f, \varphi \rangle = \langle f, \widehat \varphi \rangle ).
Зазначимо, що кожна функцiя f \in Lp(\BbbR d), 1 \leq p \leq \infty , визначає лiнiйний неперервний
функцiонал на S згiдно з формулою
\langle f, \varphi \rangle =
\int
\BbbR d
f(\bfitx )\varphi (\bfitx )d\bfitx , \varphi \in S,
i, як наслiдок, у цьому сенсi вона є елементом S\prime . Тому перетворення Фур’є функцiї f \in Lp(\BbbR d),
1 \leq p \leq \infty , можна розглядати як перетворення Фур’є узагальненої функцiї \langle f, \varphi \rangle .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
НАЙКРАЩЕ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ З АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА . . . 577
Носiєм узагальненої функцiї f будемо називати замикання \frakN такої множини точок \frakN \subset \BbbR d,
що для довiльної \varphi \in S, яка дорiвнює нулю в \frakN , виконується рiвнiсть \langle f, \varphi \rangle = 0. Носiй
узагальненої функцiї f будемо позначати через supp f. Також будемо говорити, що функцiя f
зосереджена на множинi G, якщо supp f \subseteq G.
У подальшому будемо користуватися такими позначеннями. Нехай функцiя f зображена
iнтегралом Фур’є
f(\bfitx ) =
1
(2\pi )d/2
\int
\BbbR d
\~f(\bfitlambda )ei(\bfitlambda ,\bfitx )d\bfitlambda .
Тодi вiдрiзком iнтегралa Фур’є функцiї f назвемо вираз
S\bfitsigma (f) =
1
(2\pi )d/2
\sigma 1\int
- \sigma 1
. . .
\sigma d\int
- \sigma d
\~f(\bfitlambda )ei(\bfitlambda ,\bfitx )d\bfitlambda ,
де \~f(\bfitlambda ) — перетворення Фур’є функцiї f \in Lp(\BbbR d).
Нехай D\bfita s = Das1,...,a
s
d
— паралелепiпед: | \lambda j | < asj , j = 1, d, s \geq 0, а \Gamma \bfita s = D\bfita s - D\bfita s - 1
при s \geq 1 i \Gamma \bfita 0 = D\bfita 0 . Покладемо
f\bfita s = S\bfita s(f) - S\bfita s - 1(f) =
\int
\Gamma \bfita s
\~f(\bfitlambda )ei(\bfitlambda ,\bfitx )d\bfitlambda , s \geq 0,
i
f\bfita 0 = S\bfita 0(f) =
\int
\Gamma \bfita 0
\~f(\bfitlambda )ei(\bfitlambda ,\bfitx )d\bfitlambda .
Зображення функцiї f рядом
f = f\bfita 0 +
\infty \sum
s=1
f\bfita s =
\infty \sum
s=0
f\bfita s
будемо називати розшаруванням f (\bfita -розшаруванням f ). У випадку, коли f \in Lp, p > 2,
S\bfita s(f) розумiють, взагалi кажучи, як результат дiї на f деякого оператора, який в образах
Фур’є зводиться до множення на характеристичну функцiю областi D\bfita s (див. [5], § 3, гл. 1).
Для функцiї f \in Lp(\BbbR d) розглянемо величину
\scrE D\bfita n (f)p = \| f - S\bfita n - 1(f)\| p, n \in \BbbN , (6)
яка називається наближенням функцiї f \bfita n-вiдрiзками iнтеграла Фур’є.
У випадку 1 < p < \infty величини (2) i (6) мають один i той же порядок (див., наприклад,
[4]), тобто для функцiї f \in Lp(\BbbR d)
\scrE D\bfita n (f)p \asymp E\bfita n(f)p. (7)
Далi для вектора \bfitr = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, введемо величину
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
578 С. Я. ЯНЧЕНКО
g(\bfitr ) =
\left( 1
d
d\sum
j=1
1
rj
\right) - 1
. (8)
Зауважимо, що при r1 = r2 = . . . = rd = r маємо g(\bfitr ) = r.
Тодi для норми функцiй з анiзотропних просторiв B\bfitr
p,\theta (\BbbR d), згiдно з теоремою А, можна
записати спiввiдношення [4]
\| f\| B\bfitr
p,\theta (\BbbR d) \asymp
\Biggl( \infty \sum
s=0
bs\theta \| f\bfita s\| \theta p
\Biggr) 1
\theta
< \infty при 1 \leq \theta < \infty , (9)
\| f\| B\bfitr
p,\infty (\BbbR d) \asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\geq 0
bs\| f\bfita s\| p < \infty , (10)
де b = 2g(\bfitr ), тобто aj = 2g(\bfitr )/rj , j = 1, d.
2. Наближення класiв \bfitB \bfitr
\bfitp ,\bfittheta (\BbbR
\bfitd ) у метрицi простору \bfitL \bfitq (\BbbR \bfitd ), \bfone < \bfitp \leq \bfitq < \infty . По-
передньо сформулюємо твердження, яке буде iстотно використовуватися при встановленнi ре-
зультатiв.
Теорема Б [3, c. 150]. Якщо 1 \leq p1 \leq p2 \leq \infty , то для цiлої функцiї експоненцiального
типу g = g\bfitnu \in Lp1(\BbbR d) має мiсце „нерiвнiсть рiзних метрик”
\| g\bfitnu \| Lp2 (\BbbR d) \leq 2d
\left( d\prod
j=1
\nu k
\right)
1
p1
- 1
p2
\| g\bfitnu \| Lp1 (\BbbR d). (11)
Наведемо одержанi результати.
Теорема 1. Нехай 1 < p \leq q < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty . Тодi для g(\bfitr ) > d
\biggl(
1
p
- 1
q
\biggr)
мають мiсце
порядковi спiввiдношення
\scrE D\bfita n (B
\bfitr
p,\theta )q \asymp E\bfita n(B\bfitr
p,\theta )q \asymp 2
- n
\Bigl(
g(\bfitr ) - d
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr) \Bigr)
, (12)
де aj = 2g(\bfitr )/rj , j = 1, d.
Доведення. Спочатку встановимо в (12) оцiнки зверху. Оскiльки B\bfitr
p,\theta \subset B\bfitr
p,\infty = H\bfitr
p , 1 \leq
\leq \theta < \infty , то шукану оцiнку достатньо отримати для величини \scrE D\bfita n (H
\bfitr
p )q. В залежностi вiд
спiввiдношення мiж параметрами p i q розглянемо два випадки.
1. Нехай 1 < p = q < \infty . Оскiльки для f \in H\bfitr
p згiдно з (10) \| f\bfita s\| p \ll 2 - sg(\bfitr ), то,
скориставшись нерiвнiстю Мiнковського, будемо мати
\scrE D\bfita n (f)p = \| f - S\bfita n - 1(f)\| p =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
s=0
f\bfita s - S\bfita n - 1(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
=
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
s=n
f\bfita s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
\infty \sum
s=n
\| f\bfita s\| p \leq
\infty \sum
s=n
2 - sg(\bfitr ) \ll 2 - ng(\bfitr ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
НАЙКРАЩЕ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ З АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА . . . 579
2. Нехай тепер 1 < p < q < \infty . Тодi для f \in H\bfitr
p , врахувавши (10) та скориставшись
нерiвностями Мiнковського i рiзних метрик Нiкольського (11), можемо записати
\scrE D\bfita n (f)q = \| f - S\bfita n - 1(f)\| q =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
s=n
f\bfita s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq
\infty \sum
s=n
\| f\bfita s\| q \ll
\ll
\infty \sum
s=n
2
sd
\Bigl(
1
p -
1
q
\Bigr)
\| f\bfita s\| p \ll
\infty \sum
s=n
2
sd
\Bigl(
1
p -
1
q
\Bigr)
2 - sg(\bfitr ) =
=
\infty \sum
s=n
2
- s
\Bigl(
g(\bfitr ) - d
\Bigl(
1
p+
1
q
\Bigr) \Bigr)
\ll 2
- n
\Bigl(
g(\bfitr ) - d
\Bigl(
1
p -
1
q
\Bigr) \Bigr)
.
Оцiнку зверху для величини \scrE D\bfita n (H
\bfitr
p )q i, таким чином, згiдно з (7) для найкращого набли-
ження ED\bfita n (H
\bfitr
p )q встановлено.
Встановимо тепер у (12) оцiнки знизу. Оскiльки має мiсце вкладення B\bfitr
p,1 \subset B\bfitr
p,\theta , 1 <
< \theta \leq \infty , то шукану оцiнку достатньо отримати для величини \scrE D\bfita n (B
\bfitr
p,1)q. Iншими словами,
достатньо оцiнити знизу величину \| f - S\bfita n - 1(f)\| q для деякої функцiї f \in B\bfitr
p,1.
З цiєю метою розглянемо функцiю F\bfitk (\bfitx ), на основi якої побудуємо функцiю, для якої
досягається оцiнка (12).
Нехай \bfitk \in \BbbN d, \bfitk = (k, . . . , k),
F\bfitk (\bfitx ) =
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} akjxj
xj
-
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ak - 1
j xj
xj
та
F0(\bfitx ) =
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}xj
xj
.
Тодi для перетворення Фур’є функцiї F\bfitk (\bfitx ) має мiсце спiввiдношення
\frakF F\bfitk (\bfitx ) = \chi \bfitk (\bfitlambda ) =
d\prod
j=1
\chi k(\lambda j),
де
\chi k(\lambda j) =
\left\{
1, ak - 1
j < | \lambda j | < akj ,
1
2
, | \lambda j | = ak - 1
j або | \lambda j | = akj ,
0 — в iнших випадках,
\chi 0(xj) =
\left\{
1, | \lambda j | < 1,
1
2
, | \lambda j | = 1,
0, | \lambda j | > 1.
Вiдповiдно для оберненого перетворення будемо мати
\frakF - 1\chi \bfitk (\bfitlambda ) = F\bfitk (\bfitx ).
Зауважимо, що F\bfitk (\bfitx ) — цiла функцiя з Lp(\BbbR d), носiй перетворення Фур’є якої зосереджено
в \Gamma \bfita \bfitk .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
580 С. Я. ЯНЧЕНКО
Перш нiж безпосередньо перейти до встановлення оцiнки знизу в (12), одержимо порядок
величини
\| F\bfitk \| p =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} akjxj
xj
-
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ak - 1
j xj
xj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
. (13)
Для оцiнки зверху будемо мати
\| F\bfitk \| p =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} akjxj
xj
-
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ak - 1
j xj
xj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} akjxj
xj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ak - 1
j xj
xj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
=
=
\left( \int
\BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} akjxj
xj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
d\prod
j=1
dxj
\right)
1
p
+
\left( \int
\BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ak - 1
j xj
xj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
d\prod
j=1
dxj
\right)
1
p
=
=
\biggl(
2
\pi
\biggr) d
2
d\prod
j=1
\left( \int
\BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} akjxjxj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dxj
\right)
1
p
+
\biggl(
2
\pi
\biggr) d
2
d\prod
j=1
\left( \int
\BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} a
k - 1
j xj
xj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dxj
\right)
1
p
=
=
\biggl(
2
\pi
\biggr) d
2
d\prod
j=1
\left( a
k(p - 1)
j
\int
\BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}xjxj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p dxj
\right)
1
p
+
+
\biggl(
2
\pi
\biggr) d
2
d\prod
j=1
\left( a
(k - 1)(p - 1)
j
\int
\BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}xjxj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p dxj
\right)
1
p
\ll
\ll
d\prod
j=1
a
k(p - 1)
p
j +
d\prod
j=1
a
(k - 1)(p - 1)/p
j \ll
d\prod
j=1
a
k
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr)
j =
d\prod
j=1
a
k/p\prime
j . (14)
Врахувавши, що aj = 2g(\bfitr )/rj , та спiввiдношення (8), оцiнку (14) продовжимо таким чином:
\| F\bfitk \| p \ll
d\prod
j=1
a
k/p\prime
j =
d\prod
j=1
2kg(\bfitr )/rjp
\prime
= 2
kg(\bfitr )
p\prime
d\sum
j=1
1
rj
= 2
kg(\bfitr )
p\prime
d
g(\bfitr ) = 2
dk
p\prime . (15)
При оцiнюваннi норми \| F\bfitk \| p знизу отримаємо
\| F\bfitk \| p =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} akjxj
xj
-
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ak - 1
j xj
xj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\geq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
НАЙКРАЩЕ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ З АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА . . . 581
\geq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} akjxj
xj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
-
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ak - 1
j xj
xj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( \int
\BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} akjxj
xj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
d\prod
j=1
dxj
\right)
1
p
-
\left( \int
\BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ak - 1
j xj
xj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
d\prod
j=1
dxj
\right)
1
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\biggl(
2
\pi
\biggr) d
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
d\prod
j=1
\left( \int
\BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} akjxjxj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dxj
\right)
1
p
-
d\prod
j=1
\left( \int
\BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} a
k - 1
j xj
xj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dxj
\right)
1
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \gg
\gg
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
d\prod
j=1
a
k(p - 1)
p
j -
d\prod
j=1
a
(k - 1)(p - 1)
p
j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \gg
\Biggl(
2
dk
p\prime - 2
d(k - 1)
p\prime
\Biggr)
\gg 2
dk
p\prime . (16)
Спiвставивши (15) i (16), для \| F\bfitk \| p можемо записати порядкове спiввiдношення
\| F\bfitk \| p \asymp 2
dk
p\prime . (17)
Далi розглянемо функцiю
g1(\bfitx ) = C12
- n
\Bigl(
g(\bfitr )+
d
p\prime
\Bigr)
F\bfitn (\bfitx ),
де \bfitn = (n, . . . , n) \in \BbbN d, 1/p+ 1/p\prime = 1, C1 > 0.
Покажемо, що з деякою сталою C1 > 0 функцiя g1 належить класу B\bfitr
p,1(\BbbR d). Згiдно з (9)
та (17) маємо
\| g1\| B\bfitr
p,1
\asymp
\sum
s
2sg(\bfitr )\| f\bfita s(g1)\| p \asymp
\asymp
\sum
s
2sg(\bfitr )2
- n
\Bigl(
g(\bfitr )+
d
p\prime
\Bigr)
\| F\bfitn \| p = 2
- n
\Bigl(
g(\bfitr )+
d
p\prime
\Bigr) \sum
s
2sg(\bfitr )2
dn
p\prime \ll
\ll 2
- n
\Bigl(
g(\bfitr )+
d
p\prime
\Bigr)
2ng(\bfitr )2
dn
p\prime = 1.
Оскiльки за вибором функцiї g1 для неї має мiсце спiввiдношення S\bfita n - 1(g1) = 0, то
\scrE D\bfita n (B
\bfitr
p,1)q \geq \scrE D\bfita n (g1)q = \| g1 - S\bfita n - 1(g1)\| q = \| g1\| q \gg
\gg 2
- n
\Bigl(
g(\bfitr )+
d
p\prime
\Bigr)
\| F\bfitn \| q \gg 2
- n
\Bigl(
g(\bfitr )+
d
p\prime
\Bigr)
2
dn
q\prime = 2
- n
\Bigl(
g(\bfitr ) - d
\Bigl(
1
p -
1
q
\Bigr) \Bigr)
.
Оцiнку знизу в (12) встановлено.
Теорему доведено.
Зауваження 1. У випадку r1 = . . . = rd = r, тобто для iзотропних класiв Нiкольського –
Бєсова Br
p,\theta (\BbbR d), оцiнку (12) встановлено у [8]. Зазначимо також, що апроксимативнi характе-
ристики iзотропних класiв Br
p,\theta (\BbbR d) дослiджувались у роботi [9].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
582 С. Я. ЯНЧЕНКО
Зауваження 2. Анiзотропнi класи Нiкольського – Бєсова функцiй багатьох змiнних, що ви-
значенi на \BbbR d, з точки зору знаходження точних за порядком значень деяких апроксимативних
характеристик дослiджувалися, зокрема, у роботах [10, 11], а iзотропнi та анiзотропнi класи
Нiкольського – Бєсова перiодичних функцiй багатьох змiнних — у роботах [12 – 15].
Зауваження 3. В одномiрному випадку (d = 1) анiзотропнi класи Нiкольського – Бєсова
збiгаються з класами Нiкольського – Бєсова мiшаної гладкостi, якi дослiджувалися в роботах
[16, 17]. Розв’язанню ряду екстремальних проблем апроксимацiї функцiй, визначених на прямiй,
присвячено роботи С. Б. Вакарчука [18, 19], де також проведено детальний порiвняльний аналiз
завершених результатiв, якi пов’язанi з розв’язком екстремальних задач теорiї наближення в
перiодичному випадку i випадку всiєї дiйсної осi.
Лiтература
1. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – C. 244 – 278.
2. Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и
продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – C. 42 – 81.
3. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 c.
4. Лизоркин П. И. Обобщенные гельдеровы пространства B
(r)
p,\theta и их соотношения с пространствами Соболева
L
(r)
p // Сиб. мат. журн. – 1968. – 9, № 5. – C. 1127 – 1152.
5. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений
классов дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1969. – 105. – C. 89 – 167.
6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1967. – 436 c.
7. Никольский С. М. Теоремы вложения для классов обобщенных функций // Сиб. мат. журн. – 1968. – 9, № 5. –
C. 1107 – 1126.
8. Янченко С. Я. Наближення функцiй з класiв Бєсова цiлими функцiями у просторi Lq(\BbbR d) // Теорiя наближення
функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010. – 7, № 1. – С. 380 – 391.
9. Янченко С. Я. Наближення функцiй з iзотропних класiв Нiкольського – Бєсова у рiвномiрнiй та iнтегральнiй
метриках // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 10. – С. 1423 – 1433.
10. Jiang Yanjie, Liu Yongping. Average widths and optimal recovery of multivariate Besov classes in Lp(\BbbR d) // J.
Approxim. Theory. – 2000. – 102. – P. 155 – 170.
11. Jiang Yanjie. Optimal recovery of anisotropic Besov – Wiener classes // Anal. Math. – 2002. – 28. – P. 77 – 88.
12. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики изотропных классов периодических функций многих пере-
менных // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 4. – С. 513 – 523.
13. Романюк А. С., Романюк В. С. Тригонометрические и ортопроекционные поперечники классов периодических
функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 10. – С. 1348 – 1366.
14. Gensun Fang, Fred J. Hickernell, Huan Li. Approximation on anisotropic Besov classes with mixed norms by
standard information // J. Complexity. – 2005. – 21. – P. 294 – 313.
15. Миронюк В. В. Тригонометричнi наближення та колмогорoвськi поперечники анiзотропних класiв Бєсова перi-
одичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 8. – С. 1117 – 1132.
16. Wang Heping, Sun Yongsheng. Approximation of multivariate functions with certain mixed smoothness by entire
functions // Northeast. Math. J. – 1995. – 11, № 4. – P. 454 – 466.
17. Янченко С. Я. Наближення класiв Sr
p,\theta B(\BbbR d) функцiй багатьох змiнних цiлими функцiями спецiального ви-
гляду // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 8. – С. 1124 – 1138.
18. Вакарчук С. Б. О некоторых экстремальных задачах теории аппроксимации функций на вещественной оси. I //
Укр. мат. вiсн. – 2012. – 9, № 3. – С. 401 – 429.
19. Вакарчук С. Б. О некоторых экстремальных задачах теории аппроксимации функций на вещественной оси. II //
Укр. мат. вiсн. – 2012. – 9, № 4. – С. 578 – 602.
Одержано 29.03.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1577 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:26Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cb/fcfe0b67cce67d7dbc26c1025f8edacb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15772019-12-05T09:19:04Z Best approximation of the functions from anisotropic Nikol’skii – Besov classes defined in $R^d$ Найкраще наближення функцій з анізотропних класів Нікольського – Бєсова, визначених на $R^d$ Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. We establish the exact-order estimates for the best approximations of the functions from anisotropic Nikol’skii – Besov classes of functions of several variables by entire functions in the Lebesgue spaces. Получены точные по порядку оценки наилучшего приближения функций из анизотропных классов Никольского – Бесова функций многих переменных целыми функциями в пространствах Лебега. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1577 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 4 (2018); 574-582 Український математичний журнал; Том 70 № 4 (2018); 574-582 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1577/559 Copyright (c) 2018 Yanchenko S. Ya. |
| spellingShingle | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. Best approximation of the functions from anisotropic Nikol’skii – Besov classes defined in $R^d$ |
| title | Best approximation of the functions from anisotropic Nikol’skii – Besov classes defined in $R^d$ |
| title_alt | Найкраще наближення функцій з анізотропних класів Нікольського – Бєсова, визначених на $R^d$ |
| title_full | Best approximation of the functions from anisotropic Nikol’skii – Besov classes defined in $R^d$ |
| title_fullStr | Best approximation of the functions from anisotropic Nikol’skii – Besov classes defined in $R^d$ |
| title_full_unstemmed | Best approximation of the functions from anisotropic Nikol’skii – Besov classes defined in $R^d$ |
| title_short | Best approximation of the functions from anisotropic Nikol’skii – Besov classes defined in $R^d$ |
| title_sort | best approximation of the functions from anisotropic nikol’skii – besov classes defined in $r^d$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1577 |
| work_keys_str_mv | AT yanchenkosya bestapproximationofthefunctionsfromanisotropicnikolskiibesovclassesdefinedinrd AT ânčenkosâ bestapproximationofthefunctionsfromanisotropicnikolskiibesovclassesdefinedinrd AT yanchenkosya najkraŝenabližennâfunkcíjzanízotropnihklasívníkolʹsʹkogobêsovaviznačenihnard AT ânčenkosâ najkraŝenabližennâfunkcíjzanízotropnihklasívníkolʹsʹkogobêsovaviznačenihnard |