Divergence theorem in the $L_2$ -version. Application to the Dirichlet problem
We propose the $L_2$ -version of the divergence theorem. The Green and Poisson operators associated with the infinitedimensional version of the Dirichlet problem are investigated.
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1581 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507388199567360 |
|---|---|
| author | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. |
| author_facet | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. |
| author_sort | Bogdanskii, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:33Z |
| description | We propose the $L_2$ -version of the divergence theorem. The Green and Poisson operators associated with the infinitedimensional
version of the Dirichlet problem are investigated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98+517.954
Ю. В. Богданский (Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ им. И. Сикорского”, Киев)
ФОРМУЛА ГАУССА – ОСТРОГРАДСКОГО в \bfitL \bftwo -ВЕРСИИ.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ
We propose the L2 -version of the divergence theorem. The Green and Poisson operators associated with the infinite-
dimensional version of the Dirichlet problem are investigated.
Запропоновано L2 -версiю теореми Гаусса – Остроградського. Дослiджуються оператори Грiна та Пуассона, що
асоцiйованi з нескiнченновимiрним варiантом задачi Дiрiхле.
1. Предварительные сведения. Пусть H — сепарабельное вещественное гильбертово про-
странство (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H \leq \infty ), \mu — неотрицательная конечная борелевская мера на H, G — ограни-
ченная область в H с границей S = \partial G.
Пространство всех ограниченных непрерывных вещественных функций на H обозначим
через Cb = Cb(H); пространство всех непрерывных и ограниченных на H векторных полей X :
H \rightarrow H — символом Cb(H;H); пространство всех функций f \in Cb (соответственно векторных
полей X \in Cb(H;H)), дифференцируемых по Фреше в каждой точке x \in H с ограниченной
и непрерывной на H производной f \prime (\cdot ) (соответственно X\prime (\cdot )) — символом C1
b = C1
b (H)
(соответственно C1
b (H;H)). Символом C1(G) обозначим семейство всех функций на G, до-
пускающих продолжение на H до функций класса C1
b ; символом C1
0 (G) — семейство функций
из C1(G), которые равны нулю в некоторой \varepsilon -окрестности границы S. Аналогично определяем
C(G); C(G;H) и C1(G;H).
Через L2(G) = L2(G;\mu ) обозначим пространство интегрируемых с квадратом функций на
G по отношению к мере \mu | G. Аналогично через L2(G;H) = L2(G;H;\mu ) обозначим простран-
ство квадратично интегрируемых векторных полей на G. Норму в L2(G;H) задаем формулой
| | | Z| | | 2 =
\int
G
\| Z(x)\| 2 d\mu (интегрируемость векторного поля понимаем в смысле конструкции
Бохнера).
Через \Phi t = \Phi Z
t обозначим поток векторного поля Z \in C1
b (H;H), через \mu t — сдвиг меры
\mu вдоль векторного поля Z (\mu t(A) = \mu (\Phi tA) для каждого A \in \scrB (H), \scrB (H) — борелевская
\sigma -алгебра в H). Напомним, что дифференцируемость меры \mu вдоль поля Z в сильном смысле
(по Фомину) означает существование предела \nu (A) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0
1
t
\bigl(
\mu t(A) - \mu (A)
\bigr)
для каждого
A \in \scrB (H). При этом \nu = dZ\mu (производная меры \mu вдоль поля Z) является борелевской
(знакопеременной) мерой, абсолютно непрерывной относительно меры \mu . Соответствующую
плотность
d\nu
d\mu
принято называть логарифмической производной меры \mu вдоль поля Z, или
дивергенцией поля Z (относительно меры \mu ): \rho = \rho Z
\mu = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}Z = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu Z =
d\nu
d\mu
.
Граница S области G предполагается гладким вложенным в H подмногообразием кораз-
мерности 1, а поле единичной внешней нормали границы S — продолжимым до векторного
поля \bfn \in C1
b (H;H). Дополнительно предполагаем также, что мера \mu дифференцируема в силь-
ном смысле вдоль поля \bfn . Существование поля \bfn с указанными выше свойствами постулируем
и говорим о согласовании (S или G) с мерой \mu .
c\bigcirc Ю. В. БОГДАНСКИЙ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5 611
612 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
Для \varepsilon > 0 символом A\varepsilon обозначаем \varepsilon -окрестность множества A. В работе [1] доказано,
что при согласовании S с мерой \mu имеет место равенство \mu (S\varepsilon ) = O(\varepsilon ) (\varepsilon \rightarrow 0), поэтому [2]
(предложение 1) C1
0 (G) плотно в L2(G).
Согласованная с S мера \mu индуцирует на S поверхностную меру [1, 2], которую обозначим
\mu S или \sigma . Если u — ограниченная непрерывная функция на S и \widehat u — ее продолжение до
непрерывной ограниченной на H функции, то поверхностная мера \sigma корректно определяется
формулой, которая должна выполняться для всех ограниченных непрерывных на S функций:\int
S
u d\sigma =
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi \bfn
t G
\widehat u d\mu ,
и при этом \sigma не зависит от выбора продолжения \bfn поля единичной внешней нормали к S
(см. [1 – 3]).
Если u \in C1
b , то имеет место формула (см. [2])\int
S
u d\sigma =
\int
G
(\bfg \bfr \bfa \bfd u,\bfn ) d\mu +
\int
G
u \cdot \rho \bfn \mu d\mu . (1)
Из результатов работы [1] следует возможность определения меры \mu S и в том случае, когда
мера \mu дифференцируема вдоль поля Z \in C1
b (H;H), строго трансверсального к поверхности
S. Последнее условие в терминах скалярного произведения означает, что
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \bigl( Z(x),\bfn (x)\bigr) \bigm| \bigm| | x \in S
\Bigr\}
> 0.
В этом случае равенство (1) для u \in C1
b переходит в следующее:
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi Z
tG
u d\mu =
\int
S
(Z,\bfn )u d\sigma =
\int
G
(\bfg \bfr \bfa \bfd u,Z) d\mu +
\int
G
u \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu Z d\mu , (2)
и мы также будем говорить о согласовании S (или G) с мерой \mu .
Положим C1(S) =
\bigl\{
u
\bigm| \bigm|
S
\bigm| \bigm| u \in C1
b
\bigr\}
. C1(S) плотно в L2(S, \sigma ) (см. [4]).
Рассмотрим оператор \bfg \bfr \bfa \bfd = \bfg \bfr \bfa \bfd G : L2(G) \rightarrow L2(G;H) с естественной областью опре-
деления C1(G) (C1(G) \ni u \mapsto \rightarrow \bfg \bfr \bfa \bfd u \in C(G;H)). Для корректности задания этого опе-
ратора должно быть выполнено условие
\bigl(
u, v \in C1(G); u = v (mod\mu )
\bigr)
=\Rightarrow
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd u =
= \bfg \bfr \bfa \bfd v (mod\mu )
\bigr)
. Данное требование выполнено, в частности, для тех мер \mu , для которых
неравенство \mu (U) > 0 имеет место для любого непустого открытого множества U \subset H (пол-
нота носителя меры \mu ). Последнее условие имеет место для квазиинвариантной меры \mu , т. е.
такой меры, для которой множество квазиинвариантных сдвигов h (\mu h(A) := \mu (A+h); \mu h \sim \mu )
содержит плотное в H линейное подмногообразие. Примером такой меры является гауссова
мера, ядерный корреляционный оператор которой имеет плотный образ в H.
Далее на меру \mu и область G наложим следующие условия:
а) оператор \bfg \bfr \bfa \bfd : L2(G) \supset C1(G) \ni u \mapsto \rightarrow \bfg \bfr \bfa \bfd u \in L2(G;H) корректно определен и
допускает замыкание \bfg \bfr \bfa \bfd = \bfg \bfr \bfa \bfd G;
б) \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfn
\bigm| \bigm|
G
\in L\infty (G).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ФОРМУЛА ГАУССА – ОСТРОГРАДСКОГО В L2 -ВЕРСИИ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ 613
Модельный пример меры, согласованной с поверхностью S, для которой выполняются
одновременно условия а) и б), предложен в работе [5]. Соответствующая мера \mu \varphi определена
формулой
\mu \varphi (A) =
\int
\BbbR
\varphi (t)\mu (\Phi \bfn
t A) dt,
где \mu — гауссова мера с невырожденным ядерным корреляционным оператором, A \in \scrB (H),
\varphi \in C1
b (\BbbR ), \varphi \geq 0,
\int
\BbbR
\varphi (t) dt < \infty . Существует константа C, для которой при всех s \in \BbbR
выполнено неравенство
\bigm| \bigm| \varphi \prime (s)
\bigm| \bigm| \leq C\varphi (s).
Совместное выполнение условий а) и б) позволяет корректно ввести оператор следа \gamma :
L2(G) \rightarrow L2(S) = L2(S, \sigma ) с областью определения D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
(см. [2]). При этом для функ-
ций u \in C1(G) полагаем \gamma (u) = u | S . В работе [2] доказано существование константы C1, для
которой при всех u \in C1(G) выполняется неравенство \| u | S \| L2(S) \leq C1(\| u\| L2(G)+| | | \bfg \bfr \bfa \bfd u| | | ).
Поэтому оператор C1(G) \ni u \mapsto \rightarrow u | S \in L2(S) корректно продолжаем на D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
до опе-
ратора \gamma , который представляет собой ограниченный оператор из банахова в норме графика
пространства D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
в L2(S) и не зависит от продолжения \bfn поля единичной внешней
нормали к S.
В работе [3] доказано, что \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma совпадает с замыканием C1
0 (G) по норме графика опера-
тора \bfg \bfr \bfa \bfd .
Оператор \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} : L2(G;H) \rightarrow L2(G) определим формулой
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} = -
\Bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigm| \bigm|
Ker \gamma
\Bigr) \ast
= -
\Bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigm| \bigm|
C1
0 (G)
\Bigr) \ast
. (3)
Аргументацию для введения оператора \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} формулой (3) нетрудно получить из (2) подстанов-
кой u \in C1
0 (G).
Теперь лапласиан по мере в L2-версии введем равенством
\bigtriangleup = \Delta G = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \circ \bfg \bfr \bfa \bfd .
Если рассматривать \Delta как оператор из D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
в L2(G), то он замкнут, поэтому \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\bigtriangleup
замкнуто в D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
.
Пространство D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
— бесконечномерный аналог классического соболевского про-
странства H1(G) — является гильбертовым пространством относительно скалярного произве-
дения (u, v)\Gamma =
\int
G
uv d\mu +
\int
G
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd u, \bfg \bfr \bfa \bfd v
\bigr)
d\mu (таковым оно предполагается в дальнейшем
изложении). \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma алгебраически изоморфно пространству D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
/Ker \gamma
\sim = D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
\ominus
\ominus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma и может быть наделено индуцированным скалярным произведением\bigl(
\gamma (u), \gamma (v)
\bigr)
\gamma
= (u, v)\Gamma ,
где u, v \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
\ominus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma , относительно которого оно становится гильбертовым.
В работе [1] была получена формула Гаусса – Остроградского для „классической” версии
оператора \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} . Имеется в виду оператор Z \mapsto \rightarrow \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu Z. Далее исследованию подлежит L2-версия
оператора \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}, определенная формулой (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
614 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
2. Слабый поверхностный интеграл. Следующая лемма аналогична лемме 1 из рабо-
ты [3].
Лемма 1. Пусть u, v \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
. Тогда существует
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi \bfn
t G
uv d\mu =
\int
S
\gamma (u)\gamma (v) d\sigma .
Доказательство. Пусть последовательности um, vm \in C1(G) сходятся соответственно к
u, v в норме графика пространства D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
. Из неравенства\int
G
| umvm - uv| d\mu \leq \| um\| L2(G)\| vm - v\| L2(G) + \| v\| L2(G)\| um - u\| L2(G) (4)
следует сходимость umvm \rightarrow uv в L1(G).
Сходимость um \bfg \bfr \bfa \bfd vm \rightarrow u\bfg \bfr \bfa \bfd v в L1(G;H) следует из неравенства\int
G
\| um \bfg \bfr \bfa \bfd vm - u\bfg \bfr \bfa \bfd v\| d\mu \leq \| um - u\| L2(G) | | | \bfg \bfr \bfa \bfd vm| | | +\| u\| L2(G)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfg \bfr \bfa \bfd vm - \bfg \bfr \bfa \bfd v
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Аналогично получим сходимость vm \bfg \bfr \bfa \bfd um \rightarrow v \bfg \bfr \bfa \bfd u в L1(G;H), поэтому
\bfg \bfr \bfa \bfd (umvm) \rightarrow u\bfg \bfr \bfa \bfd v + v \bfg \bfr \bfa \bfd u в L1(G;H). (5)
Для t \leq 0 обозначим
gm(t) =
\int
\Phi \bfn
t G
umvm d\mu , g(t) =
\int
\Phi \bfn
t G
uv d\mu .
Из неравенства (4) следует равномерная на ( - \infty ; 0] сходимость последовательности функ-
ций gm к g.
Поскольку в силу (2) для t \leq 0 выполнено равенство
g\prime m(t) =
\int
\Phi \bfn
t G
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd (umvm),\bfn
\bigr)
d\mu +
\int
\Phi \bfn
t G
umvm \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfn d\mu , \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfn \in L\infty (G),
то из (4), (5) следует непрерывность функций g\prime m и равномерная на ( - \infty ; 0] сходимость после-
довательности функций g\prime m к функции\int
\Phi \bfn
t G
\bigl(
(u\bfg \bfr \bfa \bfd v + v \bfg \bfr \bfa \bfd u,\bfn ) + uv \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfn
\bigr)
d\mu .
На основании классической теоремы анализа делаем вывод о существовании на ( - \infty ; 0]
функции
d
dt
\int
\Phi \bfn
t G
uv d\mu = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
g\prime m(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ФОРМУЛА ГАУССА – ОСТРОГРАДСКОГО В L2 -ВЕРСИИ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ 615
При этом имеет место равенство
d
dt
\int
\Phi \bfn
t G
uv d\mu =
\int
\Phi \bfn
t G
\bigl(
(u\bfg \bfr \bfa \bfd v + v \bfg \bfr \bfa \bfd u,\bfn ) + uv \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfn
\bigr)
d\mu .
Поскольку последовательность \gamma (um) = um | S сходится в L2(S;\sigma ) к функции \gamma (u) и,
аналогично, \gamma (vm) \rightarrow \gamma (v), то \gamma (umvm) = \gamma (um) \cdot \gamma (vm) сходится в L1(S;\sigma ) к \gamma (u) \cdot \gamma (v). А
поскольку
\int
S
\gamma (um) \cdot \gamma (vm) d\sigma = g\prime m(0), то
\int
S
\gamma (u) \cdot \gamma (v) d\sigma = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
g\prime m(0) =
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi \bfn
t G
uv d\mu .
Лемма 1 доказана.
Тем самым след \gamma сопоставляет функции u \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
непрерывный относительно нор-
мы L2(S) функционал на \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma .
Зафиксируем f \in L2(G), и пусть для любой функции u \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
существует число
\varphi (u) = \varphi f (u) =
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi \bfn
t G
uf d\mu . (6)
В силу леммы 5 из работы [3] для функции u \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma имеет место равенство
\int
G\setminus \Phi \bfn
t G
u2 d\mu =
= o(t2), t \rightarrow 0 - 0, поэтому значение \varphi f (u) зависит лишь от \gamma (u).
Для фиксированного t < 0 функционал \varphi t : u \mapsto \rightarrow 1
t
\int
G\setminus \Phi \bfn
t G
uf d\mu непрерывен на D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
в норме L2(G), поэтому и в норме D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
. Обозначив через \Phi : \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma \rightarrow D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
\ominus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma
естественный изоморфизм, привносящий в \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma структуру гильбертова пространства (см. п. 1),
на основании теоремы Банаха – Штейнгауса приходим к выводу о непрерывности функционала
\alpha f (h) = \varphi f (\Phi h) на гильбертовом пространстве \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma .
Пусть функция \widehat \gamma (f) \in \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma определена в соответствии с теоремой Рисса равенством\bigl( \widehat \gamma (f), h\bigr)
\gamma
= \alpha f (h), справедливым для каждой функции h \in \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma .
Определение 1. Обозначим через D(\widehat \gamma ) множество функций из L2(G), для которых при
всех u \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
определено число \varphi f (u) согласно формуле (6), не зависящее от про-
должения \bfn поля единичной внешней нормали к S. Для f \in D(\widehat \gamma ) и u \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
число
w
\int
S
uf d\sigma :=
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi \bfn
t G
uf d\mu назовем слабым поверхностным интегралом на S функ-
ции uf.
Линейный оператор \widehat \gamma : D(\widehat \gamma ) \rightarrow \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma связан со слабым поверхностным интегралом соот-
ношением
w
\int
S
uf d\sigma =
\bigl( \widehat \gamma (f), \gamma (u)\bigr)
\gamma
. (7)
При этом D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
\subset D(\widehat \gamma ), \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \widehat \gamma \cap D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
= \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
616 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
3. Основная теорема.
Теорема 1. Пусть X \in D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}), \bfn \in C1
b (H;H) — продолженное на H поле единичной
внешней нормали к S. Тогда (X,\bfn ) \in D(\widehat \gamma ) и для любой функции u \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
имеет место
равенство
w
\int
S
u(X,\bfn ) d\sigma =
\int
G
(u \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}X + (\bfg \bfr \bfa \bfd u,X)) d\mu . (8)
Доказательство. Шаг 1. Функцию t(\cdot ) задаем формулой \Phi
\bigl(
t(x), x
\bigr)
\in S (здесь \Phi (t, x) =
= \Phi t(x) = \Phi \bfn
t (x)). Функция t(\cdot ) определена в некоторой \varepsilon -окрестности S\varepsilon поверхности S;
t(\cdot ) \in C1(S\varepsilon ) и (см. [2])
\bfg \bfr \bfa \bfd t(x) = -
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
\bigl(
t(x), x
\bigr) \biggr) \ast
\bfn (\Phi
\bigl(
t(x), x
\bigr)
). (9)
Дифференцируя по s при s = 0 тождество t(\Phi (s, x)) = t(x) - s, получаем равенство
(\bfg \bfr \bfa \bfd t(x),\bfn (x)) = - 1 всюду в S\varepsilon . Поэтому
\bfg \bfr \bfa \bfd t(x) = - a(x)\bfn (x) + \bfitxi (x), (10)
где \bfitxi (x)\bot \bfn (x) и a(x) =
1
\| \bfn (x)\| 2
.
Поскольку в S\varepsilon имеет место равенство
\bfn (x) =
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
\bigl(
t(x), x
\bigr) \biggr) - 1
\bfn (\Phi
\bigl(
t(x), x
\bigr)
), (11)
а \| \bfn (\Phi
\bigl(
t(x), x
\bigr)
)\| = 1, то из (9) – (11) получим оценку
\bigm\| \bigm\| \bfitxi (x)\bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
\| \bfn (x)\| 2
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
\bigl(
t(x), x
\bigr) \biggr) - 1
-
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
\bigl(
t(x), x
\bigr) \biggr) \ast
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
\bigl(
t(x), x
\bigr) \biggr) - 1
-
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
\bigl(
t(x), x
\bigr) \biggr) \ast
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
\bigm| \bigm| \| \bfn (x)\| 2 - 1
\bigm| \bigm|
\| \bfn (x)\| 2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
\bigl(
t(x), x
\bigr) \biggr) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| . (12)
Для каждого фиксированного x \in H однопараметрическое операторное семейство Y (t) =
=
\partial
\partial x
\Phi tx удовлетворяет уравнению
d
dt
Y (t) = A(t)Y (t), где A(t) = \bfn \prime (\Phi tx), и начальному
условию Y (0) = I.
При достаточно малых t существует Y (t) - 1 и имеют место равенства
d
dt
(Y (t))\ast = (Y (t))\ast (A(t))\ast ,
d
dt
Y (t) - 1 = - Y (t) - 1 d
dt
Y (t)Y (t) - 1 = - Y (t) - 1A(t),
d
dt
(Y (t) - 1 - Y (t)\ast ) = - Y (t)\ast A(t)\ast - Y (t) - 1A(t).
(13)
Существует \alpha > 0 такое, что при всех t \in ( - \alpha , \alpha ) и x \in H выполняются неравенства
\| Y (t)\| \leq 2, \| (Y (t)) - 1\| \leq 2 (см. [6, 7]). Полагая K = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in H \| \bfn \prime (x)\| < +\infty , из (13) при всех
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ФОРМУЛА ГАУССА – ОСТРОГРАДСКОГО В L2 -ВЕРСИИ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ 617
x \in H и t \in ( - \alpha , \alpha ) получаем оценку\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| d
dt
\biggl( \biggl(
\partial \Phi
\partial x
(t, x)
\biggr) - 1
-
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
(t, x)
\biggr) \ast \biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 4K,
откуда при всех x \in G \setminus \Phi - \delta G (\delta \in (0, \alpha )) следует выполнение неравенства\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
(t, x)
\biggr) - 1
-
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
(t, x)
\biggr) \ast
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 4K\delta . (14)
Поскольку
d
dt
\bfn (\Phi tx) = \bfn \prime (\Phi tx)\bfn (\Phi tx) и \| \bfn (\Phi 0x)\| = 1 для x \in S, получаем для x \in S
оценку \| \bfn (\Phi tx)\| \leq eK| t| .
Уменьшив при необходимости \alpha > 0, для \delta \in (0, \alpha ), x \in G \setminus \Phi - \delta G получим также оценки
1
2
\leq \| \bfn (x)\| \leq 2,\bigm| \bigm| \| \bfn (x)\| - 1
\bigm| \bigm| \leq eK\delta - 1 \leq 2K\delta ,
(15)
поэтому для x \in G \setminus \Phi - \delta G справедлива оценка\bigm| \bigm| \| \bfn (x)\| 2 - 1
\bigm| \bigm|
\| \bfn (x)\| 2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
\bigl(
t(x), x
\bigr) \biggr) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 48K\delta . (16)
Теперь из (12), (14), (16) получаем равенство
\| \bfitxi (x)\| = O(t(x)) при t(x) \rightarrow 0. (17)
Шаг 2. Пусть для \delta > 0 непрерывная функция \beta \delta : \BbbR \rightarrow \BbbR задана условиями \beta \delta (t) = 0
при t \leq 0, \beta \delta (t) =
1
\delta
t при t \in [0, \delta ] и \beta \delta (t) = 1 при t \geq \delta . Тогда \beta \prime
\delta (t) = 0 при t \in
\in ( - \infty , 0) \cup (\delta ,+\infty ), \beta \prime
\delta (t) =
1
\delta
при t \in (0, \delta ).
Пусть \delta \in (0, \varepsilon ) и функция v\delta определена в G условием v\delta (x) = \beta \delta (t(x)) для тех x, для
которых функция t(x) определена, и v\delta (x) = 1 для остальных x \in G. Покажем, что v\delta \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma .
Возьмем последовательность функций \varphi m \in C1(\BbbR ), удовлетворяющую условиям \varphi m(t) =
= 0 при t \leq 1
m
<
\delta
3
, \varphi m(t) = 1 при t \geq \delta , \varphi \prime
m \rightarrow \beta \prime
\delta в L2(\BbbR ) и последовательность
\{ \varphi \prime
m\} равномерно ограничена. Тогда \varphi m \circ t \in C1
0 (G). В качестве \{ \varphi m\} можно использовать
последовательность функций
\varphi m(t) =
t\int
- \infty
\omega m(s) ds,
где
\omega m(s) = 0 при s \in
\biggl(
- \infty ,
1
m
\biggr]
\cup [\delta ,+\infty ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
618 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
\omega m(s) =
m2
m\delta - 2
\biggl(
s - 1
m
\biggr)
при s \in
\biggl[
1
m
,
2
m
\biggr]
,
\omega m(s) = - m2
m\delta - 2
(s - \delta ) при s \in
\biggl[
\delta - 1
m
, \delta
\biggr]
,
и
\omega m(s) =
m
m\delta - 2
при s \in
\biggl[
2
m
, \delta - 1
m
\biggr]
.
Поскольку для s \in [0, \delta ] выполнено неравенство
| \varphi m(s) - \beta \delta (s)| \leq
s\int
0
| \varphi \prime
m(s) - \beta \prime
\delta (s)| ds \leq
\surd
\delta \| \varphi \prime
m - \beta \prime
\delta \| L2(\BbbR ),
то последовательность функций \varphi m \circ t равномерно на G сходится к v\delta .
Осталось доказать сходимость в L2(G;H) последовательности \bfg \bfr \bfa \bfd (\varphi m \circ t).
Положим Z = (\beta \prime
\delta \circ t)\bfg \bfr \bfa \bfd t(\cdot ) \in L2(G;H). Здесь и далее используем тот факт, что \mu (S) =
= \mu (\Phi - \delta S) = 0 (см. [1]). Тогда\int
G
\| \bfg \bfr \bfa \bfd (\varphi m \circ t) - Z\| 2 d\mu =
\int
G
\bigm\| \bigm\| \varphi \prime
m(t(x)) \cdot \bfg \bfr \bfa \bfd (t(x)) - \beta \prime
\delta (t(x)) \cdot \bfg \bfr \bfa \bfd (t(x))
\bigm\| \bigm\| 2 d\mu \rightarrow 0
(в силу (9) и теоремы Лебега об ограниченной сходимости).
Итак, v\delta \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma , \bfg \bfr \bfa \bfd v\delta = (\beta \prime
\delta \circ t) \cdot \bfg \bfr \bfa \bfd t.
Шаг 3. Пусть u \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
и um \in C1(G) такова, что um \rightarrow u в D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
. Поскольку
X \in D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}), то umX \in D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}) и при этом (см. [5])
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(umX) = um \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}X + (\bfg \bfr \bfa \bfd um,X).
Переходя в обеих частях равенства\int
G
\bigl(
um \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}X + (\bfg \bfr \bfa \bfd um,X)
\bigr)
v d\mu = -
\int
G
um(X, \bfg \bfr \bfa \bfd v) d\mu ,
справедливого при всех v \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma (см. (3)), к пределу m \rightarrow \infty , убеждаемся, что для достаточно
малых \delta > 0 имеет место равенство\int
G
\bigl(
u \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}X + (\bfg \bfr \bfa \bfd u,X)
\bigr)
v\delta d\mu = -
\int
G
u(X, \bfg \bfr \bfa \bfd v\delta ) d\mu , (18)
так как v\delta \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma .
Левая часть равенства (18) при \delta \rightarrow 0 стремится к
\int
G
\bigl(
u \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}X + (\bfg \bfr \bfa \bfd u,X)
\bigr)
d\mu .
Поскольку
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd v\delta
\bigr)
(x) = \beta \prime
\delta (t(x))
\biggl(
- 1
\| \bfn (x)\| 2
\bfn (x) + \bfitxi (x)
\biggr)
, то правая часть равенст-
ва (18) раскладывается в сумму:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ФОРМУЛА ГАУССА – ОСТРОГРАДСКОГО В L2 -ВЕРСИИ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ 619
-
\int
G
(uX, \bfg \bfr \bfa \bfd v\delta ) d\mu =
1
\delta
\int
G\setminus \Phi - \delta G
\biggl(
uX,
1
\| \bfn (\cdot )\| 2
\bfn (\cdot )
\biggr)
d\mu - 1
\delta
\int
G\setminus \Phi - \delta G
(uX, \bfitxi ) d\mu . (19)
В силу (17) и неравенства\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
\delta
\int
G\setminus \Phi - \delta G
(uX, \bfitxi ) d\mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
1
\delta
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
G\setminus \Phi - \delta G
\| \bfitxi (\cdot )\| d\mu
\int
G\setminus \Phi - \delta G
| u| \| X(\cdot )\| d\mu
второе слагаемое в правой части равенства (19) стремится к нулю при \delta \rightarrow 0, поэтому суще-
ствует предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0+
1
\delta
\int
G\setminus \Phi - \delta G
\biggl(
uX,
1
\| \bfn (\cdot )\| 2
\bfn (\cdot )
\biggr)
d\mu .
Покажем, что последний предел совпадает с \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\delta \rightarrow 0+
1
\delta
\int
G\setminus \Phi - \delta G
(uX,\bfn ) d\mu . Имеем\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
\delta
\int
G\setminus \Phi - \delta G
\biggl(
uX,
\biggl(
1 - 1
\| \bfn (\cdot )\| 2
\biggr)
\bfn (\cdot )
\biggr)
d\mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 1
\delta
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
G\setminus \Phi - \delta G
\bigm| \bigm| \| \bfn (x)\| 2 - 1
\bigm| \bigm|
\| \bfn (x)\|
\int
G\setminus \Phi - \delta G
| u| \| X(\cdot )\| d\mu \rightarrow 0
при \delta \rightarrow 0, поскольку из (15) следует равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
G\setminus \Phi - \delta G
\bigm| \bigm| \| \bfn (x)\| 2 - 1
\bigm| \bigm|
\| \bfn (x)\|
= O(\delta ), \delta \rightarrow 0 + .
Тем самым для u \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
, X \in D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}) получено равенство
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi \bfn
t G
u(X,\bfn ) d\mu =
\int
G
\bigl(
u \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}X +
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd u,X
\bigr) \bigr)
d\mu . (20)
Шаг 4. Поскольку правая часть равенства (20) не зависит от выбора поля \bfn , то для доказа-
тельства принадлежности функции (X,\bfn ) области определения D(\widehat \gamma ) оператора \widehat \gamma достаточно
проверить равенство \int
G\setminus \Phi \bfn
- tG
u(X,\bfn - \bfn 1) d\mu = o(t), t \rightarrow 0, (21)
где \bfn ,\bfn 1 \in C1
b (H;H) — два различных продолжения поля единичной внешней нормали к
поверхности S.
Равенство (21) непосредственно следует из липшицевости функции \| \bfn (\cdot ) - \bfn 1(\cdot )\| , равенства
\| \bfn (x) - \bfn 1(x)\| = 0 для x \in S и оценки\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
G\setminus \Phi \bfn
- tG
u(X,\bfn - \bfn 1) d\mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
G\setminus \Phi \bfn
- tG
\| \bfn (\cdot ) - \bfn 1(\cdot )\|
\int
G\setminus \Phi \bfn
- tG
| u| \| X(\cdot )\| d\mu .
Теорема 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
620 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
4. Формула Гаусса – Остроградского. Формулы Грина. В силу формулы (7) формулу (8)
можно представить в виде
(\gamma (u), \widehat \gamma ((X,\bfn )))\gamma =
\int
G
\bigl(
u \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}X +
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd u,X
\bigr) \bigr)
d\mu .
В случае, когда u, v \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
, лемма 1 и равенство (6) приводят к тождествам\bigl( \widehat \gamma (u), \gamma (v)\bigr)
\gamma
=
\bigl(
\gamma (u), \gamma (v)
\bigr)
L2(S)
=
\bigl(
\gamma (u), \widehat \gamma (v)\bigr)
\gamma
. (22)
Поэтому в случае, когда \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}X \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
, формула (8) принимает вид\int
S
\gamma (u)\gamma ((X,\bfn )) d\sigma =
\int
G
\bigl(
u \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}X +
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd u,X
\bigr) \bigr)
d\mu . (23)
Следующие утверждения являются непосредственными следствиями теоремы 1.
Следствие 1 (формула Гаусса – Остроградского). Пусть X \in D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}). Тогда (X,\bfn ) \in D(\widehat \gamma )
и имеет место равенство
(1, \widehat \gamma ((X,\bfn )))\gamma = w
\int
S
(X,\bfn ) d\sigma =
\int
G
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}X d\mu .
Если же (X,\bfn ) \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
, то в силу (23) получим равенство\int
S
\gamma ((X,\bfn )) d\sigma =
\int
G
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}X d\mu .
Для u \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
введем обозначение
\partial u
\partial \bfn
:= (\bfg \bfr \bfa \bfd u,\bfn ). В силу теоремы 1, если
u \in D(\Delta ), то
\partial u
\partial \bfn
\in D(\widehat \gamma ).
Следствие 2 (первая формула Грина). Пусть v \in D(\Delta ), u \in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
. Тогда имеет
место равенство\biggl(
\gamma (u), \widehat \gamma \biggl( \partial v
\partial \bfn
\biggr) \biggr)
\gamma
= w
\int
S
u
\partial v
\partial \bfn
d\sigma =
\int
G
\bigl(
u \cdot \Delta v +
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd u, \bfg \bfr \bfa \bfd v
\bigr) \bigr)
d\mu . (24)
В случае, когда
\partial v
\partial \bfn
\in D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
, равенство (24) принимает вид\int
S
\gamma (u) \gamma
\biggl(
\partial v
\partial \bfn
\biggr)
d\sigma =
\int
G
\bigl(
u \cdot \Delta v +
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd u, \bfg \bfr \bfa \bfd v
\bigr) \bigr)
d\mu .
Следствие 3 (вторая формула Грина). Пусть u, v \in D(\Delta ). Тогда имеет место равенство\biggl(
\gamma (u), \widehat \gamma \biggl( \partial v
\partial \bfn
\biggr) \biggr)
\gamma
-
\biggl(
\gamma (v), \widehat \gamma \biggl( \partial u
\partial \bfn
\biggr) \biggr)
\gamma
= w
\int
S
\biggl(
u
\partial v
\partial \bfn
- v
\partial u
\partial \bfn
\biggr)
d\sigma =
\int
G
(u \cdot \Delta v - v \cdot \Delta u) d\mu .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ФОРМУЛА ГАУССА – ОСТРОГРАДСКОГО В L2 -ВЕРСИИ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ 621
5. Операторы Грина и Пуассона. \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma \supset C1
0 (G), поэтому \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma плотно в L2(G) (см. [2]).
Оператор \bfg \bfr \bfa \bfd
\bigm| \bigm|
Ker \gamma
замкнут, поэтому в силу теоремы фон Неймана (см. [8]) оператор
\Delta
\bigm| \bigm|
Ker \gamma
= -
\Bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigm| \bigm|
Ker \gamma
\Bigr) \ast
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigm| \bigm|
Ker \gamma
является самосопряженным отрицательно определен-
ным оператором в L2(G).
Далее заменим условие а) из п. 1 на условие а\prime ):
a\prime ) оператор \bfg \bfr \bfa \bfd = \bfg \bfr \bfa \bfd H : L2(H;\mu ) \rightarrow L2(H;H;\mu ) с областью определения D(\bfg \bfr \bfa \bfd ) =
= C1
b (H) корректно определен, допускает замыкание \bfg \bfr \bfa \bfd и выполнено свойство
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd u =
= 0 (mod\mu )
\bigr)
=\Rightarrow
\bigl(
u = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}(mod\mu )
\bigr)
.
В работе [4] приведены примеры мер, удовлетворяющих одновременно условиям (a\prime ) и (б),
а в работе [9] доказано, что условие a\prime ) влечет за собой условие a).
При выполнении условий а\prime ), б) в силу принципа максимума (см. [4]) 0 не является соб-
ственным числом оператора \Delta
\bigm| \bigm|
Ker \gamma
. Поэтому \mathrm{I}\mathrm{m}
\Bigl(
\Delta
\bigm| \bigm|
Ker \gamma
\Bigr)
плотен в L2(G) и существует
плотно определенный оператор (оператор Грина) \scrG =
\Bigl(
\Delta
\bigm| \bigm|
Ker \gamma
\Bigr) - 1
в L2(G).
Для f \in D(\scrG ) функция v = \scrG f является (единственным) решением краевой задачи \Delta v = f,
\gamma (v) = 0 в области G.
Пусть v \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma , \Delta u = 0. Тогда
\int
G
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd u, \bfg \bfr \bfa \bfd v
\bigr)
d\mu = -
\int
G
\Delta u \cdot v d\mu = 0, и из (24)
получаем \biggl(
\gamma (u), \widehat \gamma \biggl( \partial v
\partial \bfn
\biggr) \biggr)
\gamma
=
\int
G
u \cdot \Delta v d\mu .
Поэтому из равенства \Delta u = 0 следует равенство\biggl(
\gamma (u), \widehat \gamma \biggl( \partial
\partial \bfn
\scrG f
\biggr) \biggr)
\gamma
=
\int
G
u \cdot f d\mu , (25)
справедливое для каждой функции f \in D(\scrG ).
Обратно, пусть u \in D(\Delta ) и равенство (25) выполнено для всех f \in D(\scrG ). Тогда из (24)
получим равенство \int
G
\Delta u \cdot \scrG f d\mu = -
\int
G
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd u, \bfg \bfr \bfa \bfd (\scrG f)
\bigr)
d\mu = 0,
справедливое для всех f \in D(\scrG ). А поскольку \mathrm{I}\mathrm{m}\scrG плотен в L2(G), то \Delta u = 0. Тем самым
доказана следующая лемма.
Лемма 2. Пусть u \in D(\Delta ). Тогда \Delta u = 0 в том и только в том случае, когда для каждой
функции f \in D(\scrG ) имеет место равенство (25).
Задача \Delta u = 0, \gamma (u) = g в силу принципа максимума [4] имеет не более одного решения.
Соответствие g \mapsto \rightarrow u определяет линейный оператор \scrP (оператор Пуассона), действующий из
\mathrm{I}\mathrm{m} \gamma в L2(G).
В силу (25) имеет место равенство\biggl(
g, \widehat \gamma \biggl( \partial
\partial \bfn
\scrG f
\biggr) \biggr)
\gamma
=
\int
G
\scrP g \cdot f d\mu ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
622 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
которое приводит к следующему соотношению между операторами Грина и Пуассона:
\scrP \subset
\biggl( \widehat \gamma \circ \partial
\partial \bfn
\circ \scrG
\biggr) \ast
. (26)
Следует заметить, что здесь и далее \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma — гильбертово пространство относительно ска-
лярного произведения (\cdot , \cdot )\gamma .
Отметим, что (единственное) решение задачи \Delta u = f \in D(\scrG ); \gamma (u) = g \in D(\scrP ) опреде-
лено формулой u = \scrG f + \scrP g.
6. Случай ограниченного оператора Грина. В случае, когда оператор Грина ограничен,
он определен на всем L2(G) (0 — регулярное значение оператора \Delta
\bigm| \bigm|
Ker \gamma
).
Лемма 3. \gamma (D(\Delta )) = \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma .
Доказательство. Рассмотрим задачу
\Delta u = u, \gamma (u) = g.
Достаточно доказать, что она имеет решение для любой функции g \in \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma .
Функция u удовлетворяет уравнению \Delta u = u тогда и только тогда, когда для каждого
v \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma выполнено равенство
(u, v)\Gamma =
\int
G
\bigl(
uv +
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd u, \bfg \bfr \bfa \bfd v
\bigr) \bigr)
d\mu = 0.
Если \widehat g \in \gamma - 1(\{ g\} ), то искомое решение u получаем как ортогональную проекцию в
D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
функции \widehat g на D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
\ominus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma .
Лемма 3 доказана.
Пусть g \in \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma и функция \widehat g \in D(\Delta ) такова, что \gamma (\widehat g) = g. Если оператор Грина ограничен,
то D(\scrG ) = L2(G), поэтому существует v \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma , для которого \Delta v = \Delta \widehat g. В этом случае\widehat g - v \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\Delta , а следовательно,
\gamma (\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\Delta ) = \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma .
Поэтому D(\scrP ) = \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma , а из (26) следует ограниченность операторов \scrP и \widehat \gamma \circ \partial
\partial \bfn
\circ \scrG : \scrP \in
\in \scrL (\mathrm{I}\mathrm{m} \gamma , L2(G)), \widehat \gamma \circ \partial
\partial \bfn
\circ \scrG \in \scrL (L2(G), \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma ) и их взаимная сопряженность:
\scrP =
\biggl( \widehat \gamma \circ \partial
\partial \bfn
\circ \scrG
\biggr) \ast
. (27)
В случае, когда для g \in L2(G) функция
\partial
\partial \bfn
(\scrG g) принадлежит D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
, из (27) и (22) следует
равенство
(\scrP h, g)L2(G) =
\biggl(
h, \gamma
\biggl(
\partial
\partial \bfn
\scrG g
\biggr) \biggr)
L2(S)
, (28)
справедливое для всех h \in \mathrm{I}\mathrm{m} \gamma .
Равенство (28) соответствует известной связи операторов Грина и Пуассона в случае конеч-
номерного пространства H и инвариантной меры Лебега \mu .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ФОРМУЛА ГАУССА – ОСТРОГРАДСКОГО В L2 -ВЕРСИИ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ 623
7. Достаточное условие ограниченности оператора Грина.
Теорема 2 (неравенство Фридрихса). Пусть существует поле Z \in C1(H;H), вдоль кото-
рого мера \mu дифференцируема и на шарах V выполнено условие \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu Z
\bigm| \bigm|
V
\in L\infty (V, \mu ). Пусть
существует t0 \in \BbbR , для которого \Phi t0G\cap G = \varnothing (здесь \Phi t — поток поля Z). Тогда существует
C > 0, для которого при всех v \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma выполнено неравенство
\| v\| L2(G) \leq C
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfg \bfr \bfa \bfd v
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (29)
Доказательство. Неравенство (29) достаточно доказать лишь для функций v \in C1
0 (G).
Далее, не теряя общности, считаем t0 > 0.
Доопределим нулем вне G функцию v \in C1
0 (G). Тогда для каждой точки x \in G имеет
место равенство
- v2(x) = v2(\Phi t0x) - v2(x) =
t0\int
0
d
dt
v2(\Phi tx) dt = 2
t0\int
0
v(\Phi tx)
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd v(\Phi tx),Z(\Phi tx)
\bigr)
dt.
Отсюда следует неравенство
\int
H
v2 d\mu \leq 2
\int
H
d\mu
t0\int
0
| v(\Phi tx)| \| \bfg \bfr \bfa \bfd v(\Phi tx)\| \| Z(\Phi tx)\| dt =
= 2
t0\int
0
dt
\int
H
| v(x)| \| \bfg \bfr \bfa \bfd v(x)\| \| Z(x)\| d\mu - t
d\mu
d\mu . (30)
Поскольку Z \in C1
b (H;H), то существует шар V \subset H, для которого \Phi [0,t0]G := \{ \Phi tx | x \in
\in G; t \in [0, t0]\} \subset V. Пусть K = \| \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu Z\| L\infty (V,\mu ). Тогда для t \in [0, t0] имеет место неравенство
(см. [3], лемма 2)
d\mu - t
d\mu
\bigm| \bigm| \bigm|
V
\leq eKt (mod\mu ).
Поэтому из (30) получаем неравенство\int
G
v2 d\mu \leq 2t0 e
Kt0 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
H
\| Z(\cdot )\| \| v\| L2(G) | | | \bfg \bfr \bfa \bfd v| | | ,
откуда следует утверждение теоремы с постоянной
C = 2t0 e
Kt0 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
H
\| Z(\cdot )\| .
Теорема 2 доказана.
В условиях доказанной теоремы оператор \bfg \bfr \bfa \bfd
\bigm| \bigm|
Ker \gamma
имеет ограниченный обратный, от-
куда и следует ограниченность оператора \scrG =
\Bigl(
\Delta
\bigm| \bigm|
Ker \gamma
\Bigr) - 1
.
Заметим, что в случае \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H < \infty и инвариантной меры Лебега \mu условия теоремы 2
очевидным образом выполнены.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
624 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
Литература
1. Богданский Ю. В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса – Остроградского //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 10. – С. 1299 – 1313.
2. Богданский Ю. В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона
в L2 -версии // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1169 – 1178.
3. Богданский Ю. В. Граничный оператор следа в области гильбертова пространства и характеристическое
свойство его ядра // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 11. – С. 1450 – 1460.
4. Богданский Ю. В. Принцип максимума для лапласиана по мере в области гильбертова пространства // Укр.
мат. журн. – 2016. – 68, № 4. – С. 460 – 468.
5. Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом простран-
стве // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 6. – С. 733 – 739.
6. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве. – М.: Наука, 1970. – 536 с.
7. Богданский Ю. В., Потапенко А. Ю. Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Дирихле. I //
Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 7. – С. 897 – 907.
8. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624 с.
9. Богданский Ю. В., Потапенко А. Ю. Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Дирихле. II //
Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 11. – С. 1443 – 1449.
Получено 06.07.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1581 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:31Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9b/5e1dfb99b9ec0c96d3a5acd5dbb1409b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15812019-12-05T09:19:33Z Divergence theorem in the $L_2$ -version. Application to the Dirichlet problem Формула Гаусса – Остроградского в $L_2$ -версии. Приложение к задаче Дирихле Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. We propose the $L_2$ -version of the divergence theorem. The Green and Poisson operators associated with the infinitedimensional version of the Dirichlet problem are investigated. Запропоновано $L_2$ -версiю теореми Гаусса – Остроградського. Дослiджуються оператори Грiна та Пуассона, що асоцiйованi з нескiнченновимiрним варiантом задачi Дiрiхле Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1581 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 5 (2018); 611-624 Український математичний журнал; Том 70 № 5 (2018); 611-624 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1581/563 Copyright (c) 2018 Bogdanskii Yu. V. |
| spellingShingle | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. Divergence theorem in the $L_2$ -version. Application to the Dirichlet problem |
| title | Divergence theorem in the $L_2$ -version. Application to the Dirichlet problem |
| title_alt | Формула Гаусса – Остроградского в $L_2$ -версии. Приложение к задаче Дирихле |
| title_full | Divergence theorem in the $L_2$ -version. Application to the Dirichlet problem |
| title_fullStr | Divergence theorem in the $L_2$ -version. Application to the Dirichlet problem |
| title_full_unstemmed | Divergence theorem in the $L_2$ -version. Application to the Dirichlet problem |
| title_short | Divergence theorem in the $L_2$ -version. Application to the Dirichlet problem |
| title_sort | divergence theorem in the $l_2$ -version. application to the dirichlet problem |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1581 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanskiiyuv divergencetheoreminthel2versionapplicationtothedirichletproblem AT bogdanskijûv divergencetheoreminthel2versionapplicationtothedirichletproblem AT bogdanskijûv divergencetheoreminthel2versionapplicationtothedirichletproblem AT bogdanskiiyuv formulagaussaostrogradskogovl2versiipriloženiekzadačedirihle AT bogdanskijûv formulagaussaostrogradskogovl2versiipriloženiekzadačedirihle AT bogdanskijûv formulagaussaostrogradskogovl2versiipriloženiekzadačedirihle |