On the approximation of the classes $W_{β}^rH^{α}$ by biharmonic Poisson integrals
We obtain asymptotic equalities for the least upper bounds of the deviations of biharmonic Poisson integrals from functions of the classes $W_{β}^rH^{α}$ in the case where $r > 2, 0 \leq \alpha < 1$.
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1582 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507388959784960 |
|---|---|
| author | Hrabova, U. Z. Kalchuk, I. V. Stepanyuk, T. A. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. Степанюк, Т. А. |
| author_facet | Hrabova, U. Z. Kalchuk, I. V. Stepanyuk, T. A. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. Степанюк, Т. А. |
| author_sort | Hrabova, U. Z. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:33Z |
| description | We obtain asymptotic equalities for the least upper bounds of the deviations of biharmonic Poisson integrals from functions
of the classes $W_{β}^rH^{α}$ in the case where $r > 2, 0 \leq \alpha < 1$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
У. З. Грабова, I. В. Кальчук (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки),
Т. А. Степанюк (Грац. техн. ун-т, Австрiя)
ПРО НАБЛИЖЕННЯ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА
КЛАСIВ \bfitW \bfitr
\bfitbeta \bfitH
\bfitalpha
We obtain asymptotic equalities for the least upper bounds of the deviations of biharmonic Poisson integrals from functions
of the classes W r
\beta H
\alpha in the case where r > 2, 0 \leq \alpha < 1.
Получены асимптотические равенства для точных верхних граней отклонений бигармонических интегралов Пуас-
сона от функций из классов W r
\beta H
\alpha в случае r > 2, 0 \leq \alpha < 1.
Нехай L — простiр 2\pi -перiодичних сумовних на перiодi функцiй iз нормою \| f\| L = \| f\| 1 =
=
\int \pi
- \pi
| f(t)| dt; C — простiр 2\pi -перiодичних неперервних функцiй, в якому норма задається за
допомогою рiвностi \| f\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
| f(t)| .
Далi, нехай f \in L i її ряд Фур’є має вигляд
S[f ] =
a0
2
+
\infty \sum
k=1
(ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx) .
Якщо r > 0 i \beta — фiксоване дiйсне число, а ряд
\infty \sum
k=1
kr
\biggl[
ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kx+
\beta \pi
2
\biggr)
+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
kx+
\beta \pi
2
\biggr) \biggr]
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї \varphi , то функцiю \varphi називають (r, \beta )-похiдною функцiї f
у розумiннi Вейля – Надя [1] i позначають через f r\beta . Множину всiх функцiй, що задовольняють
таку умову, позначають через W r
\beta .
Якщо f \in W r
\beta , i при цьому f r\beta \in H\alpha , тобто f r\beta задовольняє умову Лiпшиця порядку \alpha :
| f r\beta (x+ h) - f r\beta (x)| \leq | h| \alpha , 0 < \alpha \leq 1, 0 \leq h \leq 2\pi , x \in \BbbR ,
то кажуть, що f належить класу W r
\beta H
\alpha . При \alpha = 0 вважають, що W r
\beta H
0 =W r
\beta ,\infty . При
r = \beta отримуємо клас W rH\alpha функцiй f iз похiдною порядку r > 0 в розумiннi Вейля, яка
задовольняє умову Лiпшиця порядку \alpha .
Нехай f належить L. Величину
B\delta (f ;x) =
a0
2
+
\infty \sum
k=1
\lambda \delta (k) (ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx) , \delta > 0,
де
\lambda \delta (k) =
\biggl(
1 +
k
2
\Bigl(
1 - e -
2
\delta
\Bigr) \biggr)
e -
k
\delta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt,
називають бiгармонiчним iнтегралом Пуассона функцiї f (див., наприклад, [2]).
Дану роботу присвячено вивченню асимптотичної поведiнки при \delta \rightarrow \infty величини
c\bigcirc У. З. ГРАБОВА, I. В. КАЛЬЧУК, Т. А. СТЕПАНЮК, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5 625
626 У. З. ГРАБОВА, I. В. КАЛЬЧУК, Т. А. СТЕПАНЮК
\scrE (W r
\beta H
\alpha ;B\delta )C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
\beta H
\alpha
\| f(\cdot ) - B\delta (f ; \cdot )\| C . (1)
Задачу про вiдшукання асимптотичної рiвностi для величини (1), згiдно з О. I. Степанцем
[3, с. 198], називатимемо задачею Колмогорова – Нiкольського для методу B\delta на класi W r
\beta H
\alpha
у рiвномiрнiй метрицi.
Задача Колмогорова – Нiкольського для бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона на класах W 1
\infty
розв’язувалась у роботах С. Канiєва [4], П. Пих [5], Л. П. Фалалєєва [6], Л. П. Фалалєєва та
Т. I. Аманова [7], К. М. Жигалла та Ю. I. Харкевича [8], С. Б. Гембарської та К. М. Жигалла
[9]. Апроксимативнi властивостi методу наближення бiгармонiчними iнтегралами Пуассона на
класах диференцiйовних функцiй дослiджувались також у роботах [10 – 12]. На класах функцiй,
якi задаються за допомогою введеного О. I. Степанцем поняття (\psi , \beta )-похiдної (означення
класiв див., наприклад, у [13, с. 25]), задачу Колмогорова – Нiкольського для методу B\delta (f ;x) в
залежностi вiд параметрiв, що визначають данi класи, розв’язанo в роботах [14 – 16].
У роботi Ю. I. Харкевича та I. В. Кальчук [17] знайдено розв’язок задачi Колмогорова –
Нiкольського для бiгармонiчного iнтеграла Пуассона на класах W r
\beta H
\alpha у випадку, коли r \leq 2.
Тому розв’язання вказаної вище задачi доповнює результати дослiджень асимптотичної пове-
дiнки величини \scrE (W r
\beta H
\alpha ;B\delta )C .
Для бiгармонiчного iнтеграла Пуассона введемо функцiю
\tau (u) = \tau \delta (u) =
\left\{
(1 - [1 + \gamma u]e - u)\delta r, 0 \leq u \leq 1
\delta
,
(1 - [1 + \gamma u]e - u)u - r, u \geq 1
\delta
,
(2)
де \gamma =
1
2
(1 - e - 2/\delta )\delta , перетворення Фур’є якої
\widehat \tau (t) = 1
\pi
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du (3)
є сумовним на всiй числовiй осi (цей факт доведено в роботi [16]).
Теорема. При r > 2, 0 \leq \alpha < 1 i \delta \rightarrow \infty має мiсце асимптотична рiвнiсть
\scrE (W r
\beta H
\alpha ;B\delta )C =
1
\delta 2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
\beta H
\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f (2)0
2
+ f
(1)
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
+O
\biggl(
1
\delta r+\alpha
+
1
\delta 3
\biggr)
, (4)
де f (1)0 i f (2)0 — вiдповiдно (1, 0)- та (2, 0)-похiдна функцiї f у розумiннi Вейля – Надя.
Доведення. Запишемо функцiю \tau (u), задану за допомогою спiввiдношення (2), у виглядi
\tau (u) = \varphi (u) + \mu (u), де
\varphi (u) =
\left\{
\biggl(
u2
2
+
u
\delta
\biggr)
\delta r, 0 \leq u \leq 1
\delta
,\biggl(
u2
2
+
u
\delta
\biggr)
u - r, u \geq 1
\delta
,
(5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ПРО НАБЛИЖЕННЯ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА КЛАСIВ W r
\beta H
\alpha 627
\mu (u) =
\left\{
\biggl(
1 - [1 + \gamma u]e - u - u2
2
- u
\delta
\biggr)
\delta r, 0 \leq u \leq 1
\delta
,\biggl(
1 - [1 + \gamma u]e - u - u2
2
- u
\delta
\biggr)
u - r, u \geq 1
\delta
,
(6)
i перетворення Фур’є яких \widehat \varphi (t), \widehat \mu (t) вигляду (3) сумовнi на всiй числовiй осi (цей факт
доведено в роботi [15]).
Згiдно з теоремою 3 роботи [18], якщо iнтеграли
A(\alpha ,\varphi ) :=
1
\pi
\infty \int
- \infty
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\varphi (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt,
A(\alpha , \mu ) :=
1
\pi
\infty \int
- \infty
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\mu (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt
збiгаються на всiй числовiй осi i A(\alpha , \mu ) = o
\bigl(
A(\alpha ,\varphi )
\bigr)
, то при 0 \leq \alpha < 1 i \delta \rightarrow \infty має мiсце
асимптотична рiвнiсть
\scrE (W r
\beta H
\alpha ;B\delta )C =
1
\delta r
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
\beta H
\alpha
\| f\varphi \| C +O
\biggl(
1
\delta r+\alpha
A(\alpha , \mu )
\biggr)
, (7)
де f\varphi (x) :=
\int \infty
- \infty
\biggl(
f r\beta
\biggl(
x+
t
\delta
\biggr)
- f r\beta (x)
\biggr) \widehat \varphi (t)dt i \widehat \varphi (t) — перетворення Фур’є функцiї \varphi вигля-
ду (3).
Переконаємося, що умови теореми 3 роботи [18] виконуються для функцiй \varphi (u) та \mu (u)
вигляду (5) та (6).
З метою доведення збiжностi iнтеграла A(\alpha ,\varphi ), згiдно з теоремою 1 роботи [18, с. 6],
покажемо збiжнiсть iнтегралiв
1/2\int
0
u1 - \alpha | d\varphi \prime (u)| ,
3/2\int
1/2
| u - 1| 1 - \alpha | d\varphi \prime (u)| ,
\infty \int
3/2
(u - 1)| d\varphi \prime (u)| , (8)
\infty \int
0
| \varphi (u)|
u1+\alpha
du,
1\int
0
| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)|
u1+\alpha
du (9)
i встановимо для них оцiнки зверху.
Оцiнимо перший iнтеграл iз (8). Оскiльки при u \in
\biggl[
0;
1
\delta
\biggr]
\varphi \prime (u) = \delta r
\biggl(
u+
1
\delta
\biggr)
, \varphi \prime \prime (u) = \delta r,
то
1/\delta \int
0
u1 - \alpha | d\varphi \prime (u)| =
1/\delta \int
0
u1 - \alpha d\varphi \prime (u) = \delta r
1/\delta \int
0
u1 - \alpha du = O
\biggl(
1
\delta 2 - (r+\alpha )
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
628 У. З. ГРАБОВА, I. В. КАЛЬЧУК, Т. А. СТЕПАНЮК
При u \in
\biggl[
1
\delta
;
1
2
\biggr]
, \delta > 2, i r > 2 отримуємо
\varphi \prime (u) =
2 - r
2
u1 - r +
1 - r
\delta
u - r,
\varphi \prime \prime (u) =
(2 - r)(1 - r)
2
u - r - (1 - r)r
\delta
u - r - 1 > 0, (10)
1/2\int
1/\delta
u1 - \alpha | d\varphi \prime (u)| =
1/2\int
1/\delta
u1 - \alpha d\varphi \prime (u) = O
\biggl(
1
\delta 2 - (r+\alpha )
\biggr)
.
Отже,
1/2\int
0
u1 - \alpha | d\varphi \prime (u)| = O
\biggl(
1
\delta 2 - (r+\alpha )
\biggr)
. (11)
Оцiнимо наступнi два iнтеграли з (8). Очевидно, що
3/2\int
1/2
| u - 1| 1 - \alpha | d\varphi \prime (u)| \leq 2\alpha
\infty \int
1/2
u| d\varphi \prime (u)| ,
\infty \int
3/2
(u - 1)| d\varphi \prime (u)| \leq
\infty \int
1/2
u| d\varphi \prime (u)| .
Тодi, враховуючи (10), а також те, що r > 2, отримуємо
\infty \int
1/2
u| d\varphi \prime (u)| = O(1).
Отже,
3/2\int
1/2
| u - 1| 1 - \alpha | d\varphi \prime (u)| = O(1),
\infty \int
3/2
(u - 1)| d\varphi \prime (u)| = O(1). (12)
Для того щоб оцiнити перший iнтеграл iз (9), розiб’ємо промiжок [0;\infty ) на три частини:\biggl[
0;
1
\delta
\biggr]
,
\biggl[
1
\delta
; 1
\biggr]
та [1;\infty ). Iз (5) при r > 2 маємо
1/\delta \int
0
| \varphi (u)|
u1+\alpha
du = \delta r
1/\delta \int
0
\biggl(
u2
2
+
u
\delta
\biggr)
u1+\alpha
du = O
\biggl(
1
\delta 2 - (r+\alpha )
\biggr)
, (13)
1\int
1/\delta
| \varphi (u)|
u1+\alpha
du =
1\int
1/\delta
\biggl(
u2 - r
2
+
u1 - r
\delta
\biggr)
u1+\alpha
du = O
\biggl(
1
\delta 2 - (r+\alpha )
\biggr)
, (14)
\infty \int
1
| \varphi (u)|
u1+\alpha
du =
\infty \int
1
\biggl(
u2 - r
2
+
u1 - r
\delta
\biggr)
u1+\alpha
du = O(1). (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ПРО НАБЛИЖЕННЯ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА КЛАСIВ W r
\beta H
\alpha 629
З (13) – (15) одержуємо
\infty \int
0
| \varphi (u)|
u1+\alpha
du = O
\biggl(
1
\delta 2 - (r+\alpha )
\biggr)
, r > 2.
Аналогiчно до формули (30) роботи [17] можна показати, що для функцiї \varphi (u), заданої за
допомогою спiввiдношення (5), має мiсце рiвнiсть
1\int
0
| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)|
u1+\alpha
du =
1\int
0
| \lambda (1 - u) - \lambda (1 + u)|
u1+\alpha
du+
+O
\left( | \varphi (0)| + | \varphi (1)| +
1/2\int
0
u1 - \alpha | d\varphi \prime (u)| +
3/2\int
1/2
| u - 1| 1 - \alpha | d\varphi \prime (u)| +
\infty \int
3/2
(u - 1)| d\varphi \prime (u)|
\right) , (16)
де \lambda (u) = 1 - u2
2
- u
\delta
. Оскiльки
\int 1
0
| \lambda (1 - u) - \lambda (1 + u)|
u1+\alpha
du = O(1), то на пiдставi спiввiдно-
шення (16), враховуючи оцiнки (11), (12), отримуємо
1\int
0
| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)|
u1+\alpha
du = O
\biggl(
1
\delta 2 - (r+\alpha )
\biggr)
, r > 2.
Отже, всi iнтеграли в (8) та (9) є збiжними.
Таким чином, згiдно з теоремою 1 роботи [18], iнтеграл A(\alpha ,\varphi ) є збiжним i для нього має
мiсце оцiнка
A(\alpha ,\varphi ) =
\biggl(
1
\delta 2 - (r+\alpha )
\biggr)
.
Доведемо тепер збiжнiсть iнтеграла A(\alpha , \mu ). Для цього, згiдно з теоремою 1 роботи [18, с. 6],
покажемо збiжнiсть iнтегралiв
1/2\int
0
u1 - \alpha | d\mu \prime (u)| ,
3/2\int
1/2
| u - 1| 1 - \alpha | d\mu \prime (u)| ,
\infty \int
3/2
(u - 1)| d\mu \prime (u)| , (17)
\infty \int
0
| \mu (u)|
u1+\alpha
du,
1\int
0
| \mu (1 - u) - \mu (1 + u)|
u1+\alpha
du. (18)
Для того щоб оцiнити iнтеграли з (17), дослiдимо спочатку функцiю
\widetilde \mu (u) = 1 - e - u - \gamma ue - u - u
\delta
- u2
2
.
Оскiльки
\widetilde \mu (0) = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
630 У. З. ГРАБОВА, I. В. КАЛЬЧУК, Т. А. СТЕПАНЮК
\widetilde \mu \prime (u) = e - u - \gamma e - u + \gamma ue - u - 1
\delta
- u = e - u(1 - \gamma ) + \gamma ue - u - 1
\delta
- u,
\widetilde \mu \prime \prime (u) = - e - u + 2\gamma e - u - \gamma ue - u - 1 = - 1 + e - u( - 1 + 2\gamma - \gamma u)
i мають мiсце оцiнки
1 - 1
\delta
\leq \gamma \leq 1, (19)
e - u \leq 1, u \geq 0, (20)
то
\widetilde \mu \prime (u) < 0, \widetilde \mu \prime \prime (u) \leq - \gamma ue - u < 0.
Таким чином,
\widetilde \mu (u) < 0, \widetilde \mu \prime (u) < 0, \widetilde \mu \prime \prime (u) < 0, u \in [0;\infty ). (21)
Використовуючи оцiнки (19) – (21) та
e - u \geq 1 - u, e - u \leq 1 - u+
u2
2
, u \geq 0, (22)
- 1 + \gamma +
1
\delta
\leq 2
3\delta 2
, (23)
одержуємо
| \widetilde \mu (u)| \leq 2
3\delta 2
u+
1
\delta
u2 +
u3
2
, (24)
| \widetilde \mu \prime (u)| \leq 2
3\delta 2
+
2
\delta
u+
3
2
u2, (25)
| \widetilde \mu \prime \prime (u)| \leq 2
\delta
+ 3u. (26)
Щоб оцiнити перший iнтеграл у (17), розiб’ємо промiжок
\biggl[
0;
1
2
\biggr]
на двi частини:
\biggl[
0;
1
\delta
\biggr]
та\biggl[
1
\delta
;
1
2
\biggr]
, \delta > 2. Iз (6), враховуючи (26), отримуємо
1/\delta \int
0
u1 - \alpha | d\mu \prime (u)| \leq \delta r
1/\delta \int
0
\biggl(
2
\delta
+ 3u
\biggr)
u1 - \alpha du = O
\biggl(
1
\delta 3 - (\alpha +r)
\biggr)
. (27)
Нехай тепер u \in
\biggl[
1
\delta
;
1
2
\biggr]
. Згiдно зi спiввiдношеннями (6) та (21), при u \geq 1
\delta
будемо мати
| d\mu \prime (u)| \leq
\bigl\{
r(r + 1)u - r - 2| \widetilde \mu (u)| + 2ru - r - 1| \widetilde \mu \prime (u)| + u - r| \widetilde \mu \prime \prime (u)| \bigr\} du. (28)
Тодi з урахуванням оцiнок (24) – (26) одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ПРО НАБЛИЖЕННЯ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА КЛАСIВ W r
\beta H
\alpha 631
1/2\int
1/\delta
u1 - \alpha | d\mu \prime (u)| \leq r(r + 1)
1/2\int
1/\delta
u - r - \alpha - 1| \widetilde \mu (u)| du+
+2r
1/2\int
1/\delta
u - r - \alpha | \widetilde \mu \prime (u)| du+
1/2\int
1/\delta
u1 - r - \alpha | \widetilde \mu \prime \prime (u)| du \leq
\leq r(r + 1)
1/2\int
1/\delta
u - r - \alpha - 1
\biggl(
2
3\delta 2
u+
1
\delta
u2 +
u3
2
\biggr)
du+ 2r
1/2\int
1/\delta
u - r - \alpha
\biggl(
2
3\delta 2
+
2
\delta
u+
3
2
u2
\biggr)
du+
+
1/2\int
1/\delta
u1 - r - \alpha
\biggl(
2
\delta
+ 3u
\biggr)
du = O
\biggl(
1 +
1
\delta 3 - (r+\alpha )
\biggr)
. (29)
Об’єднуючи (27) та (29), маємо оцiнку
1/2\int
0
u1 - \alpha | d\mu \prime (u)| = O
\biggl(
1 +
1
\delta 3 - (r+\alpha )
\biggr)
. (30)
Використовуючи нерiвностi (19) – (21), оцiнюємо функцiю \mu (u) та її похiднi таким чином:
| \widetilde \mu (u)| = - 1 + e - u + \gamma ue - u +
u
\delta
+
u2
2
\leq - 1 + 1 - u+
u2
2
+ u+
u
\delta
+
u2
2
= u2 +
u
\delta
, (31)
| \widetilde \mu \prime (u)| = - e - u + \gamma e - u - \gamma ue - u +
1
\delta
+ u \leq - (1 - u) + 1 - \gamma ue - u + u+
1
\delta
=
= 2u+
1
\delta
- \gamma ue - u < 2u+
1
\delta
, (32)
| \widetilde \mu \prime \prime (u)| = e - u - 2\gamma e - u + \gamma ue - u + 1 < 3. (33)
Легко бачити, що
3/2\int
1/2
| u - 1| 1 - \alpha | d\mu \prime (u)| \leq 2\alpha
\infty \int
1/2
u| d\mu \prime (u)| ,
\infty \int
3/2
(u - 1)| d\mu \prime (u)| \leq
\infty \int
1/2
u| d\mu \prime (u)| .
Тодi, враховуючи спiввiдношення (28), (31) – (33), знаходимо оцiнку iнтеграла
\infty \int
1/2
u| d\mu \prime (u)| \leq r(r + 1)
\infty \int
1/2
u - r - 1
\Bigl(
u2 +
u
\delta
\Bigr)
du+
+2r
\infty \int
1/2
u - r
\biggl(
2u+
1
\delta
\biggr)
du+ 3
\infty \int
1/2
u1 - rdu = O(1), r > 2.
Таким чином,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
632 У. З. ГРАБОВА, I. В. КАЛЬЧУК, Т. А. СТЕПАНЮК
3/2\int
1/2
| u - 1| 1 - \alpha | d\mu \prime (u)| = O(1),
\infty \int
3/2
(u - 1)| d\mu \prime (u)| = O(1). (34)
Для того щоб оцiнити перший iнтеграл iз (18), розiб’ємо промiжок [0;\infty ) на три частини:\biggl[
0;
1
\delta
\biggr]
,
\biggl[
1
\delta
; 1
\biggr]
та [1;\infty ). Враховуючи спочатку рiвнiсть (6), а потiм нерiвностi (21) та (24),
отримуємо
1/\delta \int
0
| \mu (u)|
u1+\alpha
du = -
1/\delta \int
0
\mu (u)
u1+\alpha
du =
= \delta r
1/\delta \int
0
\biggl(
- 1 + e - u + \gamma ue - u +
u2
2
+
u
\delta
\biggr)
du
u1+\alpha
\leq
\leq \delta r
1/\delta \int
0
\biggl(
2
3\delta 2
+
u
\delta
+
u2
2
\biggr)
du
u\alpha
= O
\biggl(
1
\delta 3 - (r+\alpha )
\biggr)
, (35)
1\int
1/\delta
| \mu (u)|
u1+\alpha
du \leq
1\int
1/\delta
\biggl(
2
3\delta 2
+
u
\delta
+
u2
2
\biggr)
u - r - \alpha du = O
\biggl(
1 +
1
\delta 3 - (r+\alpha )
\biggr)
. (36)
Мiркуючи, як i при оцiнюваннi попереднiх двох iнтегралiв, з урахуванням нерiвностей (19) та
(22) маємо
\infty \int
1
| \mu (u)|
u1+\alpha
du =
\infty \int
1
\biggl(
e - u - 1 + \gamma ue - u +
u2
2
+
u
\delta
\biggr)
du
u1+r+\alpha
\leq
\leq
\infty \int
1
\biggl(
- 1 + u+ \gamma +
1
\delta
\biggr)
du
ur+\alpha
= O(1), r > 2. (37)
Об’єднуючи спiввiдношення (35) – (37), одержуємо оцiнку
\infty \int
0
| \mu (u)|
u1+\alpha
du =O
\biggl(
1 +
1
\delta 3 - (r+\alpha )
\biggr)
. (38)
Для того щоб оцiнити другий iнтеграл iз (18), зауважимо, що має мiсце рiвнiсть
1\int
0
| \mu (1 - u) - \mu (1 + u)|
u1+\alpha
du =
1\int
0
| \lambda (1 - u) - \lambda (1 + u)|
u1+\alpha
du+
+O
\left( | \mu (0)| + | \mu (1)| +
1/2\int
0
u1 - \alpha | d\mu \prime (u)| +
3/2\int
1/2
| u - 1| 1 - \alpha | d\mu \prime (u)| +
\infty \int
3/2
(u - 1)| d\mu \prime (u)|
\right) ,
де \lambda (u) = [1 + \gamma u]e - u +
u2
2
+
u
\delta
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ПРО НАБЛИЖЕННЯ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА КЛАСIВ W r
\beta H
\alpha 633
Оскiльки
1\int
0
| \lambda (1 - u) - \lambda (1 + u)|
u1+\alpha
du = O(1),
то, враховуючи спiввiдношення (30) та (34), отримуємо
1\int
0
| \mu (1 - u) - \mu (1 + u)|
u1+\alpha
du = O
\biggl(
1 +
1
\delta 3 - (r+\alpha )
\biggr)
. (39)
Використовуючи формули (30), (34), (38) та (39), згiдно з теоремою 1 роботи [18], переко-
нуємося в тому, що iнтеграл A(\alpha , \mu ) є збiжним i для нього має мiсце оцiнка
A(\alpha , \mu ) = O
\biggl(
1 +
1
\delta 3 - (r+\alpha )
\biggr)
. (40)
Отже, умови теореми 3 роботи [18] виконуються, тобто має мiсце рiвнiсть (7). Iз урахуван-
ням оцiнки (40) отримуємо
\scrE (W r
\beta H
\alpha ;B\delta )C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
\beta H
\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
\delta r
\infty \int
- \infty
\biggl(
f r\beta
\biggl(
x+
t
\delta
\biggr)
- f r\beta (x)
\biggr) \widehat \varphi (t)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
+
+O
\biggl(
1
\delta r+\alpha
+
1
\delta 3
\biggr)
. (41)
Вiдомо, що ряд Фур’є функцiї
f\varphi (x) =
\infty \int
- \infty
\biggl(
f r\beta
\biggl(
x+
t
\delta
\biggr)
- f r\beta (x)
\biggr) \widehat \varphi (t)dt
має вигляд (див., наприклад, [19])
S[f\varphi ] =
\infty \sum
k=1
\biggl(
k2
2\delta 2 - r
+
k
\delta 2 - r
\biggr)
(ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx),
де ak , bk — коефiцiєнти Фур’є функцiї f . Тому
f\varphi (x) =
\infty \int
- \infty
\biggl(
f r\beta
\biggl(
x+
t
\delta
\biggr)
- f r\beta (x)
\biggr) \widehat \varphi (t)dt = 1
\delta 2 - r
\Biggl(
f
(2)
0 (x)
2
+ f
(1)
0 (x)
\Biggr)
. (42)
Пiдставляючи (42) в (41), отримуємо (4).
Теорему доведено.
Лiтература
1. Nagy B. Sur l’ordre de l’approximation d’une fonction par son integrale de Poisson // Acta Math. Acad. Sci. Hung. –
1950. – 1. – P. 183 – 188.
2. Гембарська С. Б. Дотичнi граничнi значення бiгармонiчного iнтеграла Пуассона в крузi // Укр. мат. журн. –
1997. – 49, № 9. – С. 1171 – 1176.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
634 У. З. ГРАБОВА, I. В. КАЛЬЧУК, Т. А. СТЕПАНЮК
3. Степанец А. И. Методы теории приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. I. – 427 с.
4. Каниев С. Об уклонении бигармонических в круге функций от их граничных значений // Докл. АН СССР. –
1963. – 153, № 5. – С. 995 – 998.
5. Pych P. On a biharmonic function in unit dise // Ann. pol. math. – 1968. – 20, № 3. – P. 203 – 213.
6. Фалалеев Л. П. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}11 от
одного сингулярного интеграла // Теоремы вложения и их приложения: Матер. всесоюз. симп. – Алма-Ата:
Наука КазССР, 1976. – С. 163 – 167.
7. Аманов Т. И., Фалалеев Л. П. Приближение дифференцируемых функций операторами типа Абеля–Пуассона //
5-е Советско-Чехословацкое совещание по применению методов теории функций и функционального анализа
к задачам математической физики (Алма-Ата, 1976): Тр. совещания. – Новосибирск, 1979. – С. 13 – 16.
8. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Про наближення функцiй класу Гельдера бiгармонiчними iнтегралами Пуассо-
на // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 7. – С. 971 – 974.
9. Гембарська С. Б., Жигалло К. М. Апроксимативнi властивостi бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона на класах
Гельдера // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 7. – С. 925 – 932.
10. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення диференцiйовних перiодичних функцiй їх бiгармонiчними iнте-
гралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 9. – С. 1213 – 1219.
11. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення спряжених диференцiйовних функцiй бiгармонiчними iнтегралами
Пуассона // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 3. – С. 333 – 345.
12. Кальчук I. В., Харкевич Ю. I. Асимптотика величин наближення в середньому класiв диференцiйовних функцiй
за допомогою бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 8. – С. 1105 – 1115.
13. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 268 с.
14. Харкевич Ю. I., Жигалло Т. В. Наближення функцiй iз класу \^C\psi \beta ,\infty бiгармонiчними операторами Пуассона в
рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 5. – С. 669 – 693.
15. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення функцiй iз класiв C
\psi
\beta ,\infty бiгармонiчними iнтегралами Пуассона //
Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 939 – 959.
16. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення (\psi , \beta )-диференцiйовних функцiй малої гладкостi бiгармонiчними
iнтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 12. – С. 1602 – 1622.
17. Кальчук I. В., Харкевич Ю. I. Апроксимативнi властивостi бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона на класах
W r
\beta H
\alpha // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 11. – С. 1493 – 1504.
18. Баусов Л. И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными матрицами, II //Изв.
вузов. – 1996. – 46, № 3. – С. 15 – 31.
19. Харкевич Ю. И., Степанюк Т. А. Аппроксимативные свойства интегралов Пуассона на классах C\psi \beta H
\alpha // Мат.
заметки. – 2014. – 96, № 6. – C. 939 – 952.
Одержано 05.05.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1582 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:32Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/28/94ac18bbac3b86886aa536058b17e928.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15822019-12-05T09:19:33Z On the approximation of the classes $W_{β}^rH^{α}$ by biharmonic Poisson integrals Про наближення бігармонічними інтегралами Пуассона класів $W_{β}^rH^{α}$ Hrabova, U. Z. Kalchuk, I. V. Stepanyuk, T. A. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. Степанюк, Т. А. We obtain asymptotic equalities for the least upper bounds of the deviations of biharmonic Poisson integrals from functions of the classes $W_{β}^rH^{α}$ in the case where $r > 2, 0 \leq \alpha < 1$. Получены асимптотические равенства для точных верхних граней отклонений бигармонических интегралов Пуас- сона от функций из классов $W_{β}^rH^{α}$ в случае $r > 2, 0 \leq \alpha < 1$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1582 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 5 (2018); 625-634 Український математичний журнал; Том 70 № 5 (2018); 625-634 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1582/564 Copyright (c) 2018 Hrabova U. Z.; Kalchuk I. V.; Stepanyuk T. A. |
| spellingShingle | Hrabova, U. Z. Kalchuk, I. V. Stepanyuk, T. A. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. Степанюк, Т. А. On the approximation of the classes $W_{β}^rH^{α}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title | On the approximation of the classes $W_{β}^rH^{α}$
by biharmonic Poisson integrals |
| title_alt | Про наближення бігармонічними інтегралами
Пуассона класів $W_{β}^rH^{α}$ |
| title_full | On the approximation of the classes $W_{β}^rH^{α}$
by biharmonic Poisson integrals |
| title_fullStr | On the approximation of the classes $W_{β}^rH^{α}$
by biharmonic Poisson integrals |
| title_full_unstemmed | On the approximation of the classes $W_{β}^rH^{α}$
by biharmonic Poisson integrals |
| title_short | On the approximation of the classes $W_{β}^rH^{α}$
by biharmonic Poisson integrals |
| title_sort | on the approximation of the classes $w_{β}^rh^{α}$
by biharmonic poisson integrals |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1582 |
| work_keys_str_mv | AT hrabovauz ontheapproximationoftheclasseswbrhabybiharmonicpoissonintegrals AT kalchukiv ontheapproximationoftheclasseswbrhabybiharmonicpoissonintegrals AT stepanyukta ontheapproximationoftheclasseswbrhabybiharmonicpoissonintegrals AT grabovauz ontheapproximationoftheclasseswbrhabybiharmonicpoissonintegrals AT kalʹčukív ontheapproximationoftheclasseswbrhabybiharmonicpoissonintegrals AT stepanûkta ontheapproximationoftheclasseswbrhabybiharmonicpoissonintegrals AT hrabovauz pronabližennâbígarmoníčnimiíntegralamipuassonaklasívwbrha AT kalchukiv pronabližennâbígarmoníčnimiíntegralamipuassonaklasívwbrha AT stepanyukta pronabližennâbígarmoníčnimiíntegralamipuassonaklasívwbrha AT grabovauz pronabližennâbígarmoníčnimiíntegralamipuassonaklasívwbrha AT kalʹčukív pronabližennâbígarmoníčnimiíntegralamipuassonaklasívwbrha AT stepanûkta pronabližennâbígarmoníčnimiíntegralamipuassonaklasívwbrha |