Construction of intermediate differentiable functions
For given upper and lower semicontinuous real-valued functions $g$ and $h$, respectively, defined on a closed parallelepiped $X$ in $R^n$ and such that $g(x) < h(x)$ on $X$ and points $x_0 \in X$ and $y_0 \in (g(x_0), h(x_0))$, we construct a smooth function $f : X \rightarrow R$ such that...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1586 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507394314862592 |
|---|---|
| author | Maslyuchenko, V. K. Mel'nik, V. S. Маслюченко, В. К. Мельник, В. С. |
| author_facet | Maslyuchenko, V. K. Mel'nik, V. S. Маслюченко, В. К. Мельник, В. С. |
| author_sort | Maslyuchenko, V. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:33Z |
| description | For given upper and lower semicontinuous real-valued functions $g$ and $h$, respectively, defined on a closed parallelepiped
$X$ in $R^n$ and such that $g(x) < h(x)$ on $X$ and points $x_0 \in X$ and $y_0 \in (g(x_0), h(x_0))$, we construct a smooth function
$f : X \rightarrow R$ such that $f(x_0) = y_0$ and $g(x) < f(x) < h(x)$ on $X$. We also present similar constructions for functions
defined on separable Hilbert spaces and Asplund spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
В. К. Маслюченко, В. С. Мельник (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ПОБУДОВА ПРОМIЖНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ
For given upper and lower semicontinuous real-valued functions g and h, respectively, defined on a closed parallelepiped
X in \BbbR n and such that g(x) < h(x) on X and points x0 \in X and y0 \in (g(x0), h(x0)), we construct a smooth function
f : X \rightarrow \BbbR such that f(x0) = y0 and g(x) < f(x) < h(x) on X. We also present similar constructions for functions
defined on separable Hilbert spaces and Asplund spaces.
Для полунепрерывных соответственно сверху и снизу действительнозначных функций g и h, заданных на замкну-
том параллелепипеде X в \BbbR n и таких, что g(x) < h(x) на X, и точек x0 \in X и y0 \in (g(x0), h(x0)) построена
бесконечно дифференцируемая функция f : X \rightarrow \BbbR , для которой f(x0) = y0 и g(x) < f(x) < h(x) на X.
Аналогичные построения осуществлены и для сепарабельных гильбертовых и асплундовых пространств.
1. Вступ. Класична теорема Гана про промiжну функцiю [1] стверджує, що для метричного
простору X i напiвнеперервних вiдповiдно зверху i знизу функцiй g : X \rightarrow \BbbR i h : X \rightarrow \BbbR
таких, що g(x) \leq h(x) на X, iснує неперервна функцiя f : X \rightarrow \BbbR , для якої g(x) \leq f(x) \leq h(x)
на X. Пару (g, h) напiвнеперервних вiдповiдно зверху i знизу функцiй g, h : X \rightarrow \BbbR на
топологiчному просторi X таких, що g(x) \leq h(x) на X, ми називаємо [2] парою Гана на X.
Якщо ж g(x) < h(x) на X, то пара Гана називається строгою. Функцiя f : X \rightarrow \BbbR , для якої
g(x) \leq f(x) \leq h(x) на X, називається промiжною для пари (g, h), а якщо g(x) < f(x) < h(x)
при g(x) < h(x) i g(x) = f(x) = h(x) при g(x) = h(x), то — строго промiжною.
Цю теорему Гана у XX столiттi було значно розвинено. Пiсля того як Ж. Д’єдонне [3] перенiс
її на випадок паракомпактного простору X, Г. Тонґ [4, 5] та М. Катетов [6, 7] встановили, що
для довiльного T1-простору X iснування промiжної неперервної функцiї f : X \rightarrow \BbbR для кожної
пари Гана (g, h) на X є характеристичною властивiстю нормальностi простору X. К. Даукер
[8] та М. Катетов [6] довели, що T1-простiр X буде нормальним i злiченно паракомпактним
тодi i тiльки тодi, коли кожна строга пара Гана на X має строго промiжну неперервну функцiю.
Нарештi, Е. Майкл [9] показав, що T1-простiр X буде досконало нормальним тодi i тiльки
тодi, коли кожна пара Гана на X має строго промiжну неперервну функцiю. Новий пiдхiд
до доведення цих результатiв запропонували К. Ґуд i Я. Старс [10], а К. Ямазакi [11] вивчав
можливiсть перенесення теореми Гана на функцiї зi значеннями у впорядкованих просторах.
Зауважимо, що теорема Гана про промiжну функцiю має застосування в теорiї наближень [12,
с. 23; 13] при знаходженнi рiвномiрної вiдстанi до простору неперервних функцiй.
В останнiй час з’явилися новi аналоги та модифiкацiї теореми Гана про промiжну функцiю.
Так, у статтi [14] встановлено, що для кожної пари Гана (g, h) на вiдрiзку [a, b], в якому функцiї
g i h зростають, iснує промiжна зростаюча неперервна функцiя. В роботi [15] дослiджувалося
питання про iснування промiжної афiнної функцiї f : X \rightarrow \BbbR на векторному просторi X для
опуклих вiдповiдно догори i донизу функцiй g i h на X. Нарештi, у статтi [2] вивчалося питан-
ня про iснування на промiжках числової прямої промiжних кусково-лiнiйних чи нескiнченно
диференцiйовних функцiй, що задовольняють певнi додатковi умови.
Тут ми продовжуємо дослiдження, розпочатi у статтi [2]. Спочатку будуємо строго промiжну
нескiнченно диференцiйовну функцiю f з даним значенням f(x0) = y0 для строгої пари Гана
на замкненому паралелепiпедi в \BbbR n, застосовуючи, як i в [2], де розглядався вiдрiзок [a, b],
c\bigcirc В. К. МАСЛЮЧЕНКО, В. С. МЕЛЬНИК, 2018
672 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ПОБУДОВА ПРОМIЖНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ 673
мiркування компактностi. Далi, з допомогою вiдповiдних розбиттiв одиницi доводимо iснування
строго промiжної нескiнченно диференцiйовної за Фреше функцiї для довiльної строгої пари
Гана на сепарабельному гiльбертовому просторi, розвиваючи пiдхiд Ленґа – Iлса [16, с. 43 – 50].
Насамкiнець наводимо спосiб побудови строго промiжної диференцiйовної за Фреше функцiї на
асплундових банахових просторах, використовуючи при цьому крiм розбиттiв одиницi технiку
шапочок iз [17].
2. Iснування промiжної \bfitC \infty -функцiї на замкненому паралелепiпедi в \BbbR \bfitn . У цьому
пунктi ми дослiдимо питання про iснування строго промiжної нескiнченно диференцiйовної
функцiї (коротко — C\infty -функцiї) для строгої пари Гана на замкненому паралелепiпедi X =
= [a1, b1]\times . . .\times [an, bn] у просторi \BbbR n.
Перший пiдхiд базується на згаданiй у вступi теоремi Даукера – Катетова. Нехай X — ком-
пактний гаусдорфовий простiр (коротко — компакт). Символом Cu(X) позначимо банаховий
простiр усiх неперервних функцiй f : X \rightarrow \BbbR iз рiвномiрною нормою \| f\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in X
| f(x)| .
Зокрема, роль X може вiдiгравати замкнений паралелепiпед у \BbbR n.
Теорема 1. Нехай X — компакт, L — скрiзь щiльна множина у просторi Cu(X) i (g, h) —
строга пара Гана на X. Тодi iснує строго промiжна для (g, h) функцiя f : X \rightarrow \BbbR така, що
f \in L.
Доведення. За вiдомою теоремою [18, с. 199] компакт X є нормальним простором. Крiм
того, вiн, очевидно, паракомпактний, а отже, i злiченно паракомпактний. Тому за теоремою
Даукера – Катетова iснують такi неперервнi функцiї fi : X \rightarrow \BbbR , i = 1, 2, що g(x) < f1(x) <
< f2(x) < h(x) на X. Функцiя \varphi (x) =
f1(x) + f2(x)
2
теж буде неперервною i f1(x) < \varphi (x) <
< f2(x) на X. При цьому
\varphi (x) - f1(x) =
f2(x) - f1(x)
2
= f2(x) - \varphi (x)
на X. Зрозумiло, що iснує число
\varepsilon = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
x\in X
(\varphi (x) - f1(x)) =
1
2
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
x\in X
(f2(x) - f1(x)) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
x\in X
(f2(x) - \varphi (x))
i \varepsilon > 0. В \varepsilon -околi U\varepsilon (\varphi ) = \{ \psi \in Cu(X) : \| \psi - \varphi \| < \varepsilon \} точки \varphi з простору Cu(X) знайдеться
елемент f з множини L. Вiн i буде шуканою функцiєю, оскiльки
g(x) < f1(x) = \varphi (x) - (\varphi (x) - f1(x)) \leq \varphi (x) - \varepsilon < f(x) < \varphi (x) + \varepsilon \leq
\leq \varphi (x) + (f2(x) - \varphi (x)) = f2(x) < h(x)
на X.
Позначимо символом P (X) простiр усiх многочленiв
f(\xi 1, . . . , \xi n) =
m\sum
k1,...,kn=0
ak1,...,kn\xi
k1
1 . . . \xi knn
вiд n змiнних на замкненому паралелепiпедi X у просторi \BbbR n. Вiдомо (див., наприклад, [19]),
що P (X) для замкненого паралелепiпеда X в \BbbR n — це скрiзь щiльний пiдпростiр простору
Cu(X). Тому з теореми 1 безпосередньо випливає таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
674 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, В. С. МЕЛЬНИК
Теорема 2. Нехай X = [a1, b1] \times . . . \times [an, bn] — замкнений паралелепiпед в \BbbR n i (g, h) —
строга пара Гана на X. Тодi iснує многочлен f \in P (X), що є строго промiжною функцiєю
для пари (g, h).
Оскiльки многочлен є C\infty -функцiєю, то кожна строга пара Гана на замкненому паралеле-
пiпедi X в \BbbR n має строго промiжну C\infty -функцiю.
Зараз ми застосуємо iнший пiдхiд, що базується на компактностi замкненого паралелепiпеда
X i не використовує теорему Даукера – Катетова, а дозволяє довести її точнiший варiант у цьому
випадку.
Для функцiї \varphi : X \rightarrow \BbbR введемо в розгляд множину supp\varphi = \{ x \in X : \varphi (x) \not = 0\} , яку ми
називатимемо носiєм функцiї \varphi .
Лема 1. Для кожного невиродженого обмеженого вiдкритого паралелепiпеда Q =
= (a1, b1) \times . . . \times (an, bn) у \BbbR n iснує така C\infty -функцiя \varphi : \BbbR n \rightarrow \BbbR , що \varphi (x) \geq 0 на \BbbR n
i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi = Q.
Доведення. Як легко перевiрити, для довiльних чисел a i b з \BbbR таких, що a < b, функцiя
\varphi a,b(t) =
\left\{ e
1
(t - a)(t - b) , a < t < b,
0, t \in \BbbR \setminus (a, b),
нескiнченно диференцiйовна, невiд’ємна i supp\varphi a,b = (a, b).
Покладемо \varphi = \varphi a1,b1 \otimes . . .\otimes \varphi an,bn , тобто для x = (\xi 1, . . . , \xi n) \in \BbbR n
\varphi (x) = \varphi a1,b1(\xi 1) . . . \varphi an,bn(\xi n).
Нескладно переконатися в тому, що ця функцiя i є шуканою.
Теорема 3. Нехай X = [a1, b1] \times . . . \times [an, bn] — замкнений паралелепiпед в \BbbR n, (g, h) —
строга пара Гана на X, x0 \in X i g(x0) < y0 < h(x0). Тодi iснує така строго промiжна для
пари (g, h) нескiнченно диференцiйовна функцiя f : X \rightarrow \BbbR , що f(x0) = y0.
Доведення. Розглянемо максимум-норму
| x| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | \xi k| : k = 1, . . . , n\} ,
де x = (\xi 1, . . . , \xi n) \in \BbbR n, на просторi \BbbR n i вiдповiднi кубiчнi \varepsilon -околи U\varepsilon (x) = \{ u \in \BbbR n :
| u - x| < \varepsilon \} . Iз напiвнеперервностi зверху функцiї g у точцi x0 i знизу функцiї h у тiй же точцi
випливає, що iснує таке \delta > 0, що
g(x) < y0 < h(x) на U\delta (x0) \cap X.
Покладемо Q0 = U\delta (x0) i K = X \setminus Q0. Для кожної точки x з K розглянемо довiльне число \gamma x,
для якого g(x) < \gamma x < h(x). Для них можна визначити такий кубiчний \varepsilon x-окiл Ux = U\varepsilon x(x) в
\BbbR n, що x0 /\in Ux i
g(u) < \gamma x < h(u) на X \cap Ux.
Множина K замкнена в X, а отже, компактна. Тому з її вiдкритого покриття \{ Ux : x \in K\}
можна видiлити скiнченне пiдпокриття, що складається з множин Qj = U\varepsilon xj
(xj), j = 1, . . . ,m.
Для кожного вiдкритого куба Qj , j = 0, 1, . . . ,m, згiдно з лемою 1 побудуємо таку не-
вiд’ємну C\infty -функцiю \psi i : \BbbR n \rightarrow \BbbR , що supp\psi i = Qi. Нехай \psi =
\sum m
j=0
\psi j . Оскiльки куби
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ПОБУДОВА ПРОМIЖНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ 675
Q0, Q1, . . . , Qm покривають паралелепiпед X, то для кожного x \in X iснує таке j = 0, 1, . . . ,m,
що x \in Qj , i тому \psi (x) \geq \psi j(x) > 0, адже Qj = supp\psi j . Отже, \psi (x) > 0 на X. Тому можна
визначити на X функцiї \varphi j(x) =
\psi j(x)
\psi (x)
. Зрозумiло, що всi вони нескiнченно диференцiйовнi,\sum m
j=0
\varphi j(x) = 1 на X i supp\varphi j \subseteq Qj при j = 0, 1, . . . ,m.
Покладемо yj = \gamma xj при j = 0, 1, . . . ,m i
f =
m\sum
j=0
yj\varphi j .
Зрозумiло, що f — нескiнченно диференцiйовна функцiя на X. Покажемо, що вона є шуканою.
По-перше, \varphi j(x0) = 0 для всiх j = 1, . . . ,m, оскiльки x0 /\in Qj для таких j за побудовою.
Тому \psi (x0) = \psi 0(x0), а отже, \varphi 0(x0) = 1. Тодi
f(x0) =
m\sum
j=0
yj\varphi j(x0) = y0\varphi 0(x0) = y0.
Далi, для x \in X розглянемо множину J(x) = \{ j : x \in supp\varphi j\} . Множина J(x) непорожня,
тому що
\sum m
j=0
\varphi j(x) = 1 на X. Якщо j \in J(x), то x \in supp\varphi j \subseteq Qj , отже, x \in Qj . Тодi за
побудовою
g(x) < yj = \gamma xj < h(x) i \varphi j(x) > 0.
Якщо ж j /\in J(x), то \varphi j(x) = 0. Тому
g(x) =
\sum
j\in J(x)
g(x)\varphi j(x) < f(x) =
\sum
j\in J(x)
yj\varphi j(x) <
\sum
j\in J(x)
h(x)\varphi j(x) = h(x).
Таким чином, f — шукана функцiя.
3. Диференцiйовнiсть за Фреше i Ґато i похiдна норми. Нехай X i Y — дiйснi нормованi
простори i f : X \rightarrow Y — вiдображення. Воно називається диференцiйовним за Ґато у точцi x
з X, якщо iснує такий лiнiйний неперервний оператор A : X \rightarrow Y, тобто елемент з простору
L(X,Y ), що для довiльного h \in X
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
f(x+ th) - f(x)
t
= Ah.
Такий оператор єдиний, вiн називається похiдною Ґато вiдображення f у точцi x; позначимо
його символом f \prime G(x). Вiдображення f : X \rightarrow Y називаємо диференцiйовним за Фреше у точцi
x з X, якщо iснує такий оператор A з L(X,Y ), що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
f(x+ h) - f(x) - Ah
\| h\|
= 0.
I тут такий оператор визначається однозначно, вiн називається похiдною Фреше вiдображення f
у точцi x i позначається символом f \prime (x). Легко перевiрити [20, с. 556], що з диференцiйовностi
за Фреше вiдображення f у точцi x випливає його диференцiйовнiсть за Ґато у точцi x i
рiвнiсть f \prime G(x) = f \prime (x). Диференцiйовнi за Фреше вiдображення f : X \rightarrow Y будемо називати
просто диференцiйовними, що означає диференцiйовнiсть за Фреше у кожнiй точцi x \in X.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
676 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, В. С. МЕЛЬНИК
Вiдомо [20, с. 552], що для дiйсних нормованих просторiв X, Y i Z та вiдображень f :
X \rightarrow Y i g : Y \rightarrow Z з диференцiйовностi f у точцi x i диференцiйовностi g у точцi f(x)
випливає диференцiйовнiсть композицiї h = g \circ f у точцi x i формула
h\prime (x) = g\prime (f(x)) \circ f \prime (x).
Нас буде цiкавити випадок Y = \BbbR , тобто коли розглядаються функцiонали f : X \rightarrow \BbbR , якi
ми називатимемо просто функцiями. Для функцiї f : X \rightarrow \BbbR її похiдна f \prime (x) у точцi x — це
лiнiйний неперервний функцiонал на X, тобто елемент спряженого з X простору X\ast . Якщо
X = Y = \BbbR , то, спiвставляючи числу a \in \BbbR лiнiйне неперервне вiдображення y = ax,
одержуємо лiнiйну iзометрiю T : \BbbR \rightarrow L(\BbbR ,\BbbR ), яка дозволяє ототожнити лiнiйнi неперервнi
оператори з \BbbR в \BbbR з числами з \BbbR . Для вiдображень f : \BbbR \rightarrow \BbbR пiд похiдною f \prime (x) прийнято
розумiти число з \BbbR , що породжує оператор h \mapsto \rightarrow f \prime (x)h, який є диференцiалом функцiї f у
точцi x. Цей оператор i є похiдною Фреше функцiї f у точцi x.
Якщо функцiя f : X \rightarrow \BbbR диференцiйовна у точцi x, а функцiя g : \BbbR \rightarrow \BbbR — у точцi f(x),
то i композицiя h = g \circ f диференцiйовна в точцi x, до того ж h\prime (x) = g\prime (f(x))f \prime (x). У цiй
формулi число g\prime (f(x)) множиться на функцiонал f \prime (x).
Нам буде потрiбен один результат з [17], який ми доведемо детальнiше, нiж у [17, с. 49].
Лема 2. Нехай (X, p) — нормований простiр iз диференцiйовною при x \not = 0 нормою
p(x) = \| x\| . Тодi \| p\prime (x)\| = 1 для кожного x \not = 0.
Доведення. Нехай x \not = 0. При t > 0
p(x+ tx) - p(x) = \| (1 + t)x\| - \| x\| = (1 + t)\| x\| - \| x\| = t\| x\| .
Тодi
p\prime (x)x = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
p(x+ tx) - p(x)
t
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
t\| x\|
t
= \| x\| ,
звiдки випливає, що \| x\| = | p\prime (x)x| \leq \| p\prime (x)\| \| x\| , a отже, \| p\prime (x)\| \geq 1.
З iншого боку, з нерiвностi | \| u\| - \| v\| | \leq \| u - v\| випливає, що
| p(x+ th) - p(x)| \leq \| th\| = | t| \| h\| .
Отже,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p(x+ th) - p(x)
t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \| h\| при t > 0. Переходячи в цiй нерiвностi до границi при t\rightarrow +0,
отримуємо, що | p\prime (x)h| \leq \| h\| для кожного h \in X. Звiдси випливає, що \| p\prime (x)\| \leq 1, отже,
\| p\prime (x)\| = 1.
4. Iснування нескiнченно диференцiйовної промiжної функцiї на сепарабельному гiль-
бертовому просторi. Нескладно перевiрити, що на евклiдовому просторi X [21, с. 7] квадрат
його норми f(x) = \| x\| 2 = \langle x, x\rangle , де \langle \cdot , \cdot \rangle — скалярний добуток на X, є нескiнченно диферен-
цiйовною функцiєю. Використовуючи C\infty -функцiї з доведення леми 1 i функцiю x \mapsto \rightarrow \| x\| 2,
можна довести таке твердження [16, с. 49].
Лема 3. Нехай A i B — непорожнi неперетиннi замкненi множини у дiйсному сепарабель-
ному гiльбертовому просторi X. Тодi iснує така C\infty -функцiя \varphi : X \rightarrow [0, 1], що \varphi (x) = 1 на
A i \varphi (x) = 0 на B.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ПОБУДОВА ПРОМIЖНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ 677
З допомогою цiєї леми доведемо теорему про iснування C\infty -розбиття одиницi на сепара-
бельному гiльбертовому просторi.
Нагадаємо, що сiм’я множин (Ai)i\in I топологiчного простору X називається локально скiн-
ченною, якщо у кожної точки x з X iснує окiл U такий, що множина I(U) = \{ i \in I :
U \cap Ai
.
= \varnothing \} є скiнченною. Кажуть, що сiм’я множин \alpha = (Ai)i\in I вписана у сiм’ю мно-
жин \beta = (Bj)j\in J (позначається \alpha \preccurlyeq \beta ), якщо для кожного i \in I iснує таке j \in J, що Ai \subseteq Bj .
Далi, кажуть, що сiм’я (\varphi i)i\in I неперервних функцiй \varphi i : X \rightarrow [0, 1] утворює локально скiн-
ченне розбиття одиницi на топологiчному просторi X, що пiдпорядковане покриттю (Uj)j\in J
простору X, якщо сiм’я (supp\varphi i)i\in I локально скiнченна i вписана в сiм’ю (Uj)j\in J , до того ж
\sum
i\in I
\varphi i(x) = 1 на X.
Якщо простiр X нормований i функцiї \varphi i нескiнченно диференцiйовнi, то кажуть, що
маємо C\infty -розбиття одиницi.
Теорема 4. Нехай X — дiйсний сепарабельний гiльбертовий простiр i (Uj)j\in J — вiдкрите
покриття простору X. Тодi iснує локально скiнченне C\infty -розбиття одиницi (\varphi i)i\in I на X, яке
пiдпорядковане цьому покриттю.
Доведення. З теореми Стоуна про паракомпактнiсть метризовного простору [18, с. 414]
випливає, що iснує таке локально скiнченне вiдкрите покриття (Vi)i\in I простору X, що вписане
в покриття (Uj)j\in J . Для нього можна побудувати [18, с. 446] сiм’ю (Ai)i\in I замкнених в X
множин таку, що Ai \subseteq Vi для кожного i \in I, яка утворює покриття простору X. Застосувавши
до замкнених множин Ai та Bi = X \setminus Vi лему 3, побудуємо C\infty -функцiї \psi i : X \rightarrow [0, 1], для
яких \psi i(x) = 1 на Ai та \psi i(x) = 0 на Bi. Оскiльки supp\psi i \subseteq Vi, то сiм’я (supp\psi i)i\in I локально
скiнченна. Тому можна розглянути на X функцiю
\psi (x) =
\sum
i\in I
\psi i(x),
яка, очевидно, буде нескiнченно диференцiйовною. При цьому \psi (x) > 0 на X, адже для
кожного x \in X iснує таке i \in I, що x \in Ai, i тодi \psi (x) \geq \psi i(x) = 1 > 0.
Покладемо \varphi i =
\psi i
\psi
. Зрозумiло, що \varphi i — це C\infty -функцiї, визначенi на X, при цьому
0 \leq \varphi i(x) \leq 1 i \sum
i\in I
\varphi i(x) =
\sum
i\in I \psi i(x)
\psi (x)
= 1
на X. Разом з тим supp\varphi i = supp\psi i \subseteq Vi \subseteq Uj для деякого j = j(i). Таким чином, (\varphi i)i\in I —
шукане C\infty -розбиття одиницi.
Теорема 5. Нехай X — сепарабельний гiльбертовий простiр i (g, h) — строга пара Гана
на X. Тодi iснує C\infty -функцiя f : X \rightarrow \BbbR , яка буде строго промiжною для пари (g, h).
Доведення. Для кожного x \in X виберемо довiльне число \gamma x, для якого g(x) < \gamma x < h(x). З
напiвнеперервностi зверху i знизу у точцi x функцiй g i h вiдповiдно випливає, що для кожного
x \in X iснує такий вiдкритий окiл Ux точки x у X, що
g(u) < \gamma x < h(u) на Ux.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
678 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, В. С. МЕЛЬНИК
Згiдно з теоремою 4, iснує локально скiнченне C\infty -розбиття одиницi (\varphi i)i\in I , яке пiдпорядкова-
не покриттю (Ux)x\in X . Для кожного i \in I виберемо xi \in X так, що supp\varphi i \subseteq Uxi , i покладемо
yi = \gamma xi . Розглянемо на X функцiю
f(x) =
\sum
i\in I
yi\varphi i(x).
Її нескiнченна диференцiйовнiсть безпосередньо випливає з нескiнченної диференцiйовностi
функцiї \varphi i. Покажемо, що функцiя f i є шуканою.
Нехай x \in X. Розглянемо множину I(x) = \{ i \in I : x \in supp\varphi i\} . За побудовою ця множина
скiнченна. Якщо x \in supp\varphi i, то x \in Uxi , а отже,
g(x) < \gamma xi = yi < h(x) i \varphi i(x) > 0.
Тому
g(x) =
\sum
i\in I
g(x)\varphi i(x) <
\sum
i\in I
yi\varphi i(x) = f(x) <
\sum
i\in I
h(x)\varphi i(x) = h(x)
для кожного x \in X.
5. Асплундовi простори. Дiйсний банаховий простiр X називається асплундовим [17,
с. 27], якщо для його довiльного сепарабельного пiдпростору L спряжений iз ним простiр
L\ast теж сепарабельний. Можна довести, що кожний сепарабельний банаховий простiр X iз
сепарабельним спряженим X\ast є асплундовим. Рефлексивнi банаховi простори є асплундовими,
зокрема такими є простори lp(I) при 1 < p < \infty , простори c0(I) теж асплундовi, а простори
l1 i C[0, 1] — нi.
Шапочка на нормованому просторi X — це функцiя \varphi : X \rightarrow \BbbR з обмеженим непорожнiм
носiєм supp \varphi . Ми будемо використовувати наступне твердження з [17, с. 59].
Теорема 6. Нехай X — дiйсний сепарабельний банаховий простiр. Тодi еквiвалентними є
наступнi умови:
(i) на X iснує диференцiйовна при x \not = 0 норма, що еквiвалентна вихiднiй нормi про-
стору X;
(ii) на X iснує диференцiйовна шапочка;
(iii) спряжений з X простiр X\ast є сепарабельним.
Зауважимо, що ще у статтi [22] вказувалося на те, що диференцiйовнi шапочки на просторах
l1 i C[0, 1] не iснують.
Введемо в розгляд числа I =
\int 1
- 1
e
1
t2 - 1dt i M =
2
eI
. Символами B[x0, r] i B(x0, r) ми
позначаємо вiдповiдно замкнену i вiдкриту кулi з центром у точцi x0 i радiусом r у нормованому
просторi (X, \| \cdot \| ).
Лема 4. Нехай (X, \| \cdot \| ) — дiйсний банаховий простiр iз диференцiйовною при x \not = 0
нормою \| \cdot \| , x0 \in X i 0 < r < R. Тодi iснує диференцiйовна функцiя f : X \rightarrow [0, 1] така, що
f(x) = 1 на B[x0, r], \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f = B(x0, R) i \| f \prime (x)\| \leq M
R - r
на X.
Доведення. Розглянемо C\infty -функцiю \varphi = \varphi - 1,1 з доведення леми 1. Функцiя \psi (t) =
=
1
I
\int t
- \infty
\varphi (s)ds теж буде нескiнченно диференцiйовною з \psi \prime (t) =
\varphi (t)
I
, до того ж 0 \leq \psi (t) \leq 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ПОБУДОВА ПРОМIЖНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ 679
i 0 \leq \psi \prime (t) \leq 1
eI
на \BbbR , supp\psi = ( - 1,+\infty ), \psi (t) = 1 при t \geq 1. Нехай \gamma (t) =
2(t - r)
R - r
- 1 i
g(t) = 1 - \psi (\gamma (t)). Зрозумiло, що функцiя g : \BbbR \rightarrow \BbbR нескiнченно диференцiйовна, 0 \leq g(t) \leq 1
на \BbbR , g(t) = 1 при t \leq r, supp g = ( - \infty , R) i
g\prime (t) = - \psi \prime (\gamma (t))\gamma \prime (t) = - 2\varphi (\gamma (t))
I(R - r)
на \BbbR .
Покладемо p(x) = \| x\| i f(x) = g(p(x - x0)) на X. Функцiя f диференцiйовна як при x \not = x0
за теоремою про диференцiйовнiсть композицiї, так i в точцi x0, тому що f(x) = 1 при
\| x - x0\| \leq r. При цьому 0 \leq f(x) \leq 1 i supp f = B(x0, R). Нарештi,
f \prime (x) = g\prime (p(x - x0))p
\prime (x - x0) при x \not = x0 i f \prime (x0) = 0.
Тому при x \not = x0 за лемою 2
\| f \prime (x)\| = | g\prime (p(x - x0))| \| p\prime (x - x0)\| =
2| \varphi (\gamma (p(x - x0)))|
I(R - r)
\leq 2
eI(R - r)
=
M
R - r
i \| f \prime (x0)\| = 0 \leq M
R - r
. Таким чином, f — шукана функцiя.
Нам буде потрiбна теорема про почленне диференцiювання рядiв iз функцiоналiв на бана-
ховому просторi, яка випливає з теореми про диференцiювання граничної функцiї [23, с. 52].
Теорема 7. Нехай X — дiйсний банаховий простiр, un : X \rightarrow \BbbR — диференцiйовнi функцiї
i f(x) =
\sum \infty
n=1
un(x) на X, до того ж ряд iз похiдних
\sum \infty
n=1
u\prime n(x) збiгається рiвномiрно на
X. Тодi функцiя f диференцiйовна i f \prime (x) =
\sum \infty
n=1
u\prime n(x) на X.
З леми 4 i теореми 7 випливає таке твердження.
Лема 5. Нехай X — сепарабельний асплундовий простiр i G — вiдкрита непорожня i об-
межена множина в X. Тодi iснує диференцiйовна функцiя f : X \rightarrow [0, 1] така, що suppf = G.
Доведення. Згiдно з теоремою 6, на X iснує еквiвалентна норма \| \cdot \| , яка диференцiйовна
при x \not = 0. Вiдносно цiєї норми X буде сепарабельним i банаховим, множина G вiдкритою i
обмеженою, отже, її дiаметр
D = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}G = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| x\prime - x\prime \prime \| : x\prime , x\prime \prime \in G\}
— скiнченне число. З сепарабельностi простору (X, \| \cdot \| ) випливає, що iснує така послiдовнiсть
вiдкритих куль Un = B(xn, rn) в X, що G =
\bigcup \infty
n=1
Un. Оскiльки Un \subseteq G, то rn \leq D для
кожного n. Нехай Bn = B
\Bigl[
xn,
rn
2
\Bigr]
. За лемою 4 iснує така диференцiйовна функцiя \varphi n :
X \rightarrow [0, 1], що \varphi n(x) = 1 на Bn, supp\varphi n = Un i \| \varphi \prime
n(x)\| \leq 2M
rn
на X. Покладемо un(x) =
=
rn
2nD
\varphi n(x) на X. Оскiльки
0 \leq un(x) =
rn
2nD
\varphi n(x) \leq
rn
2nD
\leq 1
2n
на X
для кожного n, то ряд
f(x) =
\infty \sum
n=1
un(x)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
680 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, В. С. МЕЛЬНИК
збiгається на X навiть рiвномiрно, до того ж 0 \leq f(x) \leq
\sum \infty
n=1
1
2n
= 1. Далi, для довiльних
x \in X i n \in \BbbN
\| u\prime n(x)\| =
rn
2nD
\| \varphi \prime
n(x)\| \leq rn
2nD
2M
rn
=
M
2n - 1D
.
Тому ряд
\sum \infty
n=1
\| u\prime n(x)\| збiгається рiвномiрно на X, звiдки випливає i рiвномiрна збiжнiсть
ряду
\sum \infty
n=1
u\prime n(x) на X. Тодi за теоремою 7 функцiя f буде диференцiйовною i f \prime (x) =
=
\sum \infty
n=1
u\prime n(x) на X.
Залишилося перевiрити, що supp f = G. Якщо x \in G, то iснує такий номер n, що x \in
\in Un = supp\varphi n = suppun. Але uk(x) \geq 0 для кожного k, тому
f(x) =
\infty \sum
k=1
uk(x) \geq un(x) > 0,
a отже, x \in suppf. Навпаки, якщо x \in suppf, то f(x) > 0, отже, iснує такий номер n, що
un(x) > 0, а тодi x \in suppun = Un \subseteq G i x \in G.
Таким чином, f — шукана функцiя.
6. Iснування промiжної диференцiйовної функцiї на асплундовому просторi. На основi
леми 5 ми доведемо теорему про iснування розбиття одиницi на асплундовому просторi, що
складається з диференцiйовних функцiй.
Теорема 8. Нехай X — сепарабельний асплундовий простiр i (Uj)j\in J — його вiдкрите
покриття, що складається з обмежених множин Uj . Тодi iснує локально скiнченне розбиття
одиницi (\varphi i)i\in I на X, яке пiдпорядковане покриттю (Uj)j\in J i складається з диференцiйовних
функцiй \varphi i.
Доведення. Впишемо в покриття (Uj)j\in J локально скiнченне вiдкрите покриття (Vi)i\in I , де
Vi \not = \varnothing . Всi множини Vi обмеженi, тому на основi леми 5 для кожного i \in I iснує диференцi-
йовна функцiя \psi i : X \rightarrow [0, 1] така, що supp\psi i = Vi. Функцiя
\psi (x) =
\sum
i\in I
\psi i(x)
буде визначеною на X та диференцiйовною i \psi (x) > 0, оскiльки
X =
\bigcup
i\in I
supp\psi i.
В такому випадку функцiї \varphi i =
\psi i
\psi
визначенi i диференцiйовнi на X, supp\varphi i = supp\psi i = Vi
для кожного i \in I. При цьому \sum
i\in I
\varphi i(x) = 1 на X,
отже, (\varphi i)i\in I — шукане розбиття одиницi.
З теореми 8 випливає таке твердження.
Теорема 9. Нехай (g, h) — строга пара Гана на сепарабельному асплундовому просторi
X. Тодi для неї iснує строго промiжна диференцiйовна функцiя f : X \rightarrow \BbbR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ПОБУДОВА ПРОМIЖНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ 681
Доведення. Для кожного x \in X можна вибрати число \gamma x i вiдкриту кулю Ux = B(x, \varepsilon x)
так, що
g(u) < \gamma x < h(u) на Ux.
Для покриття (Ux)x\in X простору X, згiдно з теоремою 8, iснує пiдпорядковане йому локально
скiнченне розбиття одиницi (\varphi i)i\in I , що складається з диференцiйовних функцiй \varphi i : X \rightarrow [0, 1].
Для кожного i \in I iснує така точка xi \in X, що supp\varphi i \subseteq Uxi . Покладемо yi = \gamma xi i визначимо
на X функцiю
f(x) =
\sum
i\in I
yi\varphi i(x).
Як i в доведеннi теореми 5, легко перевiряється, що f — строго промiжна для пари (g, h)
диференцiйовна функцiя.
Лiтература
1. Hahn H. Uber halbstetige und unstetige Functionen // Sitzungsber. Österr. Akad.Wiss. Wien. Math. – naturwiss. Kl.
Abt. IIa. – 1917. – 126. – S. 91 – 110.
2. Маслюченко В. К., Маслюченко О. В., Мельник В. С. Iснування промiжних кусково лiнiйних та нескiнченно
диференцiйовних функцiй // Бук. мат. журн. – 2016. – 4, № 3-4. – С. 93 – 100.
3. Dieudonne J. Une généralisation des espaces compacts // J. Math. Pures et Appl. – 1944. – 23. – P. 65 – 76.
4. Tong H. Some characterizations of normal and perfectly normal spaces // Bull. Amer. Math. Soc. – 1948. – 54. –
P. 65.
5. Tong H. Some characterizations of normal and perfectly normal spaces // Duke Math. J. – 1952. – 19. – P. 289 – 292.
6. Katetov M. On real-valued functions in topological spaces // Fund. Math. – 1952. – 38. – P. 85 – 91.
7. Katetov M. Correction to ’On real-valued functions in topological spaces’ // Fund. Math. – 1953. – 40. – P. 203 – 205.
8. Dowker C. H. On countably paracompact spaces // Can. J. Math. – 1951. – 3. – P. 219 – 224.
9. Michael E. Continuous selections I // Ann. Math. – 1956. – 63. – P. 361 – 382.
10. Good C., Stares I. New proofs of classical insertion theorems // Comment. math. Univ. carol. – 2000. – 41, № 1. –
P. 139 – 142.
11. Yamazaki K. The range of maps on classical insertion theorems // Acta Math. Hung. – 2011. – 132(1-2). – P. 42 – 48.
12. Benyamini Y., Lindenstrauss J. Geometric nonlinear functional analysis. – Amer. Math. Soc., 2000. – Vol. 1. – 488 p.
13. Маслюченко В. К., Мельник В. С. Про рiвномiрне вiдхилення вiд простору неперервних функцiй // Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11, № 1. – С. 158 – 166.
14. Маслюченко В. К., Петей С. П. Поточковi границi неперервних монотонних функцiй та функцiй обмеженої
варiацiї // Бук. мат. журн. – 2015. – 3, № 2. – С. 64 – 71.
15. Маслюченко В. К., Мельник В. С. Теореми про промiжну афiнну функцiю для опуклої i вгнутої функцiй // Бук.
мат. журн. — 2016. — 4, № 1. – С. 110 – 116.
16. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. – М.: Мир, 1967. – 203 с.
17. Deville R., Godefroy G., Zizler V. Smoothness and renormings in Banach spaces. – Longman Sci. & Technical, 1993. –
359 p.
18. Энгелькинг Р. Общая топология. – М.: Мир, 1986. – 752 с.
19. Волошин Г. А. Пошарове наближення нарiзно неперервних функцiй за допомогою многочленiв Бернштейна вiд
багатьох змiнних // Бук. мат. журн. – 2013. – 1, № 1-2. – С. 26 – 29.
20. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1989. –
624 с.
21. Маслюченко В. К. Лекцiї з функцiонального аналiзу. Ч.3. Гiльбертовi простори. – Чернiвцi: Чернiв. нац. ун-т,
2011. – 71 с.
22. Bonic R., Frampton C. Differentiable functions on certain Banach spaces // Bull. Amer. Math. Soc. – 1965. – 71,
№ 2. – С. 393 – 395.
23. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. – М.: Мир, 1971. – 392 с.
Одержано 12.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1586 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:37Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f6/349f6d447d6e5894478813da333b2cf6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15862019-12-05T09:19:33Z Construction of intermediate differentiable functions Побудова проміжних диференційовних функцій Maslyuchenko, V. K. Mel'nik, V. S. Маслюченко, В. К. Мельник, В. С. For given upper and lower semicontinuous real-valued functions $g$ and $h$, respectively, defined on a closed parallelepiped $X$ in $R^n$ and such that $g(x) < h(x)$ on $X$ and points $x_0 \in X$ and $y_0 \in (g(x_0), h(x_0))$, we construct a smooth function $f : X \rightarrow R$ such that $f(x_0) = y_0$ and $g(x) < f(x) < h(x)$ on $X$. We also present similar constructions for functions defined on separable Hilbert spaces and Asplund spaces. Для полунепрерывных соответственно сверху и снизу действительнозначных функций $g$ и $h$, заданных на замкнутом параллелепипеде $X$ в $R^n$ и таких, что $g(x) < h(x)$ на $X$, и точек $x_0 \in X$ и $y_0 \in (g(x_0), h(x_0))$ построена бесконечно дифференцируемая функция $ f : X \rightarrow R$, для которой $f(x_0) = y_0$ и $g(x) < f(x) < h(x)$ на $X$. Аналогичные построения осуществлены и для сепарабельных гильбертовых и асплундовых пространств. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1586 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 5 (2018); 672-681 Український математичний журнал; Том 70 № 5 (2018); 672-681 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1586/568 Copyright (c) 2018 Maslyuchenko V. K.; Mel'nik V. S. |
| spellingShingle | Maslyuchenko, V. K. Mel'nik, V. S. Маслюченко, В. К. Мельник, В. С. Construction of intermediate differentiable functions |
| title | Construction of intermediate differentiable functions |
| title_alt | Побудова проміжних диференційовних функцій |
| title_full | Construction of intermediate differentiable functions |
| title_fullStr | Construction of intermediate differentiable functions |
| title_full_unstemmed | Construction of intermediate differentiable functions |
| title_short | Construction of intermediate differentiable functions |
| title_sort | construction of intermediate differentiable functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1586 |
| work_keys_str_mv | AT maslyuchenkovk constructionofintermediatedifferentiablefunctions AT mel039nikvs constructionofintermediatedifferentiablefunctions AT maslûčenkovk constructionofintermediatedifferentiablefunctions AT melʹnikvs constructionofintermediatedifferentiablefunctions AT maslyuchenkovk pobudovapromížnihdiferencíjovnihfunkcíj AT mel039nikvs pobudovapromížnihdiferencíjovnihfunkcíj AT maslûčenkovk pobudovapromížnihdiferencíjovnihfunkcíj AT melʹnikvs pobudovapromížnihdiferencíjovnihfunkcíj |