Continued-fractions representations of the functions $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$
We obtain the representations of the functions $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z,$ and $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ by quasireciprocal functional continued fractions of the Thiele type.
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1587 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507395837394944 |
|---|---|
| author | Pahirya, M. M. Пагіря, М. М. |
| author_facet | Pahirya, M. M. Пагіря, М. М. |
| author_sort | Pahirya, M. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:33Z |
| description | We obtain the representations of the functions $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z,$ and $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ by quasireciprocal functional continued fractions
of the Thiele type. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.518:519.652
М. М. Пагiря (Мукачiв. держ. ун-т)
ЗОБРАЖЕННЯ ФУНКЦIЙ \bfs \bfh \bfitz , \bfc \bfh \bfitz , \bfs \bfi \bfn \bfitz , \bfc \bfo \bfs \bfitz
ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ
We obtain the representations of the functions \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, and \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z by quasireciprocal functional continued fractions
of the Thiele type.
Получены представления функций \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z квазиобратной функциональной цепной дробью типа
Тиле.
Вступ. Ланцюговi дроби та їх узагальнення застосовуються при дослiдженнi задач теорiї чисел,
наближення функцiй, обчислювальної математики тощо [1 – 11]. Функцiї комплексної змiнної
наближаються ланцюговими дробами, рацiональними функцiями [12] та апроксимантами Паде
[13, 14]. Розглядаються також задачi наближення узагальненнями ланцюгових дробiв у бiльш
загальних функцiональних просторах [15, 16].
Iснує кiлька пiдходiв до зображення функцiй комплексної змiнної ланцюговими дробами.
Вiдомо, що розв’язок диференцiального рiвняння Рiккатi спецiального вигляду можна подати у
виглядi нескiнченного ланцюгового дробу. Якщо функцiя задовольняє диференцiальне рiвняння
Рiккатi при певних значеннях коефiцiєнтiв, то отримуємо розвинення функцiї в ланцюговий
дрiб [5]. Iнший пiдхiд до розвинення функцiй у ланцюговi дроби пов’язаний iз визначниками
Ганкеля, елементи яких є коефiцiєнтами розвинення функцiї в степеневий ряд в околi деякої
точки [2, 6]. У цьому випадку коефiцiєнти правильного ланцюгового С-дробу визначаються
через вiдношення визначникiв Ганкеля. Можна отримати розвинення функцiї в ланцюговий
дрiб, скориставшись розвиненням вiдношення гiпергеометричної функцiї в ланцюговий дрiб.
Велику кiлькiсть розвинень елементарних та спецiальних функцiй у ланцюговi дроби отримано
за допомогою вказаних пiдходiв.
Тiле [17] запропонував формулу, яка є аналогом формули Тейлора в теорiї ланцюгових
дробiв. Якщо в околi деякої точки функцiя має оберненi похiднi Тiле довiльного порядку, то
функцiю можна розвинути в ланцюговий дрiб. Деякi узагальнення формули Тiле для ланцюго-
вих дробiв iнших виглядiв запропоновано в монографiї [18].
У данiй роботi розглядаються застосування ще одного узагальнення формули Тiле — функ-
цiональної формули типу Тiле [19], яка ґрунтується на обернених g-похiдних 2-го типу, до
зображення функцiй \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z квазiоберненим функцiональним ланцюговим дро-
бом типу Тiле.
Щодо актуальностi запропонованих дослiджень варто зазначити наступне. В енциклопе-
дiї [2] та довiднику [6] наведено розвинення багатьох функцiй у ланцюговi дроби, вказано
областi збiжностi розвинень. Всi розвинення отримано вказаними вище методами. Для функ-
цiй \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z не вiдомi коефiцiєнти диференцiального рiвняння Рiккатi, розв’язком
якого були б розглядуванi функцiї. Для даних функцiй не встановлено формули обернених по-
хiдних Тiле n-го порядку та обернених похiдних 2-го типу n-го порядку, а тому не вдається
отримати розвинення функцiй \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z у ланцюговий дрiб Тiле та квазiобернений
c\bigcirc М. М. ПАГIРЯ, 2018
682 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ФУНКЦIЙ \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 683
ланцюговий дрiб типу Тiле в загальному виглядi. Можна послiдовно знаходити оберненi похiд-
нi Тiле та оберненi похiднi 2-го типу цих функцiй. У [18] отримано кiлька пiдхiдних дробiв
ланцюгового дробу Тiле (Т–ЛД) та квазiобернених ланцюгових дробiв типу Тiле для вказа-
них функцiй. Метод Вiсковатова також дозволяє отримати кiлька перших пiдхiдних дробiв для
вказаних функцiй [5, с. 162 – 168; 6, с. 113], але розвинення в ланцюговий дрiб не знайдено.
Використовуючи тотожнiсть Ойлера, можна записати степеневi ряди функцiй \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z загаль-
ним ланцюговим Т-дробом, але такi дроби не мають жодних переваг над степеневими рядами
[6, с. 201]. Вiдомо, що побудованi за формулою Обрешкова рацiональнi наближення функ-
цiй \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x та \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x мають невисокий порядок точностi [5, с. 153]. Узагальненням ланцюгових
С-дробiв є ланцюговi \delta -дроби [20]. Можна послiдовно знаходити пiдхiднi дроби ланцюгових
\delta -дробiв вказаних функцiй, але не встановлено загальний вигляд розвинення функцiй \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z,
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z у ланцюговi \delta -дроби.
У роботах В. К. Дзядика [21, 22] дослiджувалася задача наближення цих функцiй дiагональ-
ними апроксимантами Паде. Коефiцiєнти багаточленiв чисельника та знаменника апроксиманти
Паде R[2n+1,n](z) визначаються через значення похiдних багаточленiв A2n+1(t) при t = 0 або
t = 1. В свою чергу багаточлен A2n+1(t) визначається через детермiнант (n + 1)-го порядку,
останнiй рядок якого складають непарнi степенi t, а решта рядкiв — значення бета-функцiї
B(k, l), k = 2, 4, . . . , 2n, l = 2, 4, . . . , 2n+ 2.
Оберненi g-похiднi 2-го типу та їх властивостi. Нехай функцiя f(z) аналiтична на ком-
пактi \scrZ \subset \BbbC , базис-функцiя g(z) аналiтична та однолиста на \scrZ . Вибрана множина iнтерпо-
ляцiйних вузлiв \bfZ =
\bigl\{
zi : zi \in \scrZ , zi \not = zj , i \not = j, i, j = 0, 1, . . . , n
\bigr\}
. Елементи послiдовностей\bigl\{
vk(g; z)
\bigr\}
та
\bigl\{
Vk(g; z)
\bigr\}
визначимо таким чином:
f(z) =
1
v0(g; z)
, vk(g; z) = dk +
g(z) - g(zk)
vk+1(g; z)
, zk \in \bfZ , dk \in \BbbC , k = 0, 1, . . . , n,
V0(g; z) = v0(g; z), Vk(g; z) = v0(g; z) \circ v1(g; z) \circ . . . \circ vk(g; z), k = 1, 2, . . . , n.
Тодi
f(z) =
1
Vn(g; z)
=
\biggl(
d0 +
g(z) - g(z0)
d1 + \cdot \cdot \cdot +
g(z) - g(zn - 1)
dn +
g(z) - g(zn)
vn+1(g; z)
\biggr) - 1
. (1)
Розглядається квазiобернений функцiональний iнтерполяцiйний ланцюговий дрiб типу Тiле
(Т–КФIЛД) [18]
Dn(g; z) =
\biggl(
d0 +
g(z) - g(z0)
d1 +
g(z) - g(z1)
d2 + \cdot \cdot \cdot +
g(z) - g(zn - 1)
dn
\biggr) - 1
. (2)
Коефiцiєнти Т–КФIЛД (2) обчислюються за значенням функцiї у вузлах \bfZ через оберненi g-
рiзницi 2-го типу:
d0 = \varrho
(2)
0 [g; z0; f ], d1 = \varrho
(2)
1 [g; z0, z1; f ],
dk = \varrho
(2)
k [g; z0, . . . , zk; f ] - \varrho
(2)
k - 2[g; z0, . . . , zk - 2; f ], k \geq 2.
Оберненi g-рiзницi 2-го типу задовольняють рекурентне спiввiдношення [19]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
684 М. М. ПАГIРЯ
\varrho
(2)
k [g; z0, . . . , zk; f ] =
= \varrho
(2)
k - 2[g; z0, . . . , zk - 2; f ] +
g(zk) - g(zk - 1)
\varrho
(2)
k - 1[g; z0, . . . , zk - 2, zk; f ] - \varrho
(2)
k - 1[g; z0, . . . , zk - 1; f ]
,
\varrho
(2)
0 [g; z0; f ] =
1
f(z0)
, \varrho
(2)
1 = \varrho
(2)
1 [g; z0, z1; f ] =
g(z1) - g(z0)
\varrho
(2)
0 [g; z1; f ] - \varrho
(2)
0 [g; z0; f ]
, k = 2, 3, . . . .
Зауваження 1. Iз (1) випливає, що якщо (g(z) - g(zn))/vn+1(z) \equiv 0 при всiх z \in \scrZ , то
f(z) \equiv Dn(g; z).
Обернена g-рiзниця 2-го типу k-го порядку \varrho
(2)
k [g; z0, . . . , zk; f ] є симетричною функцiєю
вiдносно своїх аргументiв z0, z1, . . . , zk [18, с. 180 – 182].
Означення 1. Якщо iснує границя, скiнченне значення або нескiнченнiсть, коли iнтерполя-
цiйнi вузли z0, z1, . . . , zk прямують до деякого z \in \scrZ оберненої g-рiзницi 2-го типу k-го порядку
\varrho
(2)
k [g; z0, . . . , zk; f ], то граничне значення називається оберненою g-похiдною 2-го типу k-го
порядку.
Обернену g-похiдну 2-го типу k-го порядку в точцi z \in \scrZ позначають через [k]fg(z). З
означення випливає, що [k]fg(z) = \varrho
(2)
k [g; z, . . . , z\underbrace{} \underbrace{}
k+1
; f ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}z0,z1,...,zk\rightarrow z \varrho
(2)
k [g; z0, z1, . . . , zk; f ].
Теорема 1 [19]. 1. Якщо при деякому значеннi m визначники
F (1)
m (z) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
f \prime g\prime (gf)\prime \cdot \cdot \cdot (gm - 1f)\prime (gm)\prime
f \prime \prime g\prime \prime (gf)\prime \prime \cdot \cdot \cdot (gm - 1f)\prime \prime (gm)\prime \prime
...
...
...
. . .
...
...
f (2m) g(2m) (gf)(2m) \cdot \cdot \cdot (gm - 1f)(2m) (gm)(2m)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
F (2)
m (z) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
f \prime g\prime
\bigl(
gf
\bigr) \prime \cdot \cdot \cdot
\bigl(
gm - 1f
\bigr) \prime \bigl(
gmf
\bigr) \prime
f \prime \prime g\prime \prime (gf)\prime \prime \cdot \cdot \cdot (gm - 1f)\prime \prime (gmf)\prime \prime
...
...
...
. . .
...
...
f (2m) g(2m) (gf)(2m) \cdot \cdot \cdot (gm - 1f)(2m) (gmf)(2m)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
вiдмiннi вiд нуля в деякiй точцi z \in \scrZ , то в указанiй точцi функцiя f(z) має обернену g-похiдну
2-го типу (2m)-го порядку i
[2]fg(z) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime g\prime
f \prime \prime g\prime \prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (fg)\prime
f \prime \prime (fg)\prime \prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
[2m]fg(z) =
F
(1)
m (z)
F
(2)
m (z)
, m = 2, 3, . . . .
2. Якщо при деякому значеннi m визначники
F (3)
m (z) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
f g gf . . . gm - 1 gm - 1f gmf gm+1f
f \prime g\prime (gf)\prime . . . (gm - 1)\prime (gm - 1f)\prime (gmf)\prime (gm+1f)\prime
f \prime \prime g\prime \prime (gf)\prime \prime \cdot \cdot \cdot (gm - 1)\prime \prime (gm - 1f)\prime \prime (gmf)\prime \prime (gm+1f)\prime \prime
...
...
...
. . .
...
...
...
...
f (k) g(k) (gf)(k) \cdot \cdot \cdot (gm - 1)(k) (gm - 1f)(k) (gmf)(k) (gm+1f)(k)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ФУНКЦIЙ \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 685
F (4)
m (z) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
f g gf \cdot \cdot \cdot gm - 1 gm - 1f gm gmf
f \prime g\prime (gf)\prime \cdot \cdot \cdot (gm - 1)\prime (gm - 1f)\prime (gm)\prime (gmf)\prime
f \prime \prime g\prime \prime (gf)\prime \prime \cdot \cdot \cdot (gm - 1)\prime \prime (gm - 1f)\prime \prime (gm)\prime \prime (gmf)\prime \prime
...
...
...
. . .
...
...
...
...
f (k) g(k) (gf)(k) \cdot \cdot \cdot (gm - 1)(k) (gm - 1f)(k) (gm)(k) (gmf)(k)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
,
k = 2m+ 1,
вiдмiннi вiд нуля в деякiй точцi z \in \scrZ , то в цiй точцi функцiя f(z) має обернену g-похiдну
2-го типу (2m+ 1)-го порядку i
[1]fg(z) = - f2(z)g\prime (z)
f \prime (z)
, [2m+1]fg(z) =
F
(3)
m (z)
F
(4)
m (z)
m = 1, 2, . . . .
Теорема 2 [19]. Нехай iснують скiнченнi вiдмiннi вiд нуля оберненi g-похiднi 2-го типу
функцiй u = f(z) та v = h(z). Оберненi g-похiднi 2-го типу суми, рiзницi, добутку та частки
цих функцiй визначаються за формулами
[1](u\pm v)g =
(u\pm v)2 \cdot [1] vg \cdot [1] ug
u2 \cdot [1] vg \pm v2 \cdot [1] ug
,
[1](u v)g =
u v \cdot [1] ug \cdot [1]vg
u \cdot [1] vg + v \cdot [1] ug
, [1](u/v)g =
(u/v) \cdot [1] ug \cdot [1] vg
u \cdot [1] vg - v \cdot [1] ug
.
Має мiсце рекурентна формула знаходження обернених g-похiдних 2-го типу [19]
[0]fg(z) =
1
f(z)
, [1]fg(z) =
- f2(z)g\prime (z)
f \prime (z)
,
[k]fg(z) =
k g\prime (z)\bigl(
[k - 1]fg(z)
\bigr) \prime + [k - 2]fg(z), k = 2, 3, . . . .
(3)
Якщо базис-функцiя g(z) аналiтична i однолиста в \scrZ , функцiя f(z) аналiтична в \scrZ i має
скiнченнi оберненi g-похiднi 2-го типу довiльного порядку в точцi z = z\ast , то в околi точки
z\ast \in \scrZ функцiя f(z) може бути розвинена в квазiобернений функцiональний ланцюговий дрiб
типу Тiле (Т–КФЛД)
f(z) =
1
[0]fg(z\ast ) +
g(z) - g(z\ast )
[1]fg(z\ast ) +
g(z) - g(z\ast )
2g\prime (z)/([1]fg(z\ast ))\prime + \cdot \cdot \cdot +
g(z) - g(z\ast )
n g\prime (z)/ ([n - 1]fg(z\ast ))
\prime + \cdot \cdot \cdot
.
(4)
Розвинення функцiї f(z) в Т–КФЛД (4) є формальним. У кожному конкретному випадку пiсля
того, як для функцiї отримано розвинення в Т–КФЛД, потрiбно визначити область збiжностi
ланцюгового дробу та довести збiжнiсть Т–КФЛД до функцiї.
Розвинення функцiй в Т–КФЛД. Розглянемо розвинення функцiй комплексної змiнної
f(z) за базис-функцiєю g(z) в околi точки z\ast \in \scrZ в Т–КФЛД (4):
f(z) =
\Biggl(
d0(g(z); z\ast ) +
\infty
K
n=1
g(z) - g(z\ast )
dn(g(z); z\ast )
\Biggr) - 1
(5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
686 М. М. ПАГIРЯ
де
d0(g(z); z\ast ) =
1
f(z\ast )
, d1(g(z); z\ast ) =
[1]fg(z\ast ) =
- f2(z\ast )g
\prime (z\ast )
f \prime (z\ast )
,
(6)
dn(g(z); z\ast ) =
ng\prime (z\ast )
([n - 1]fg(z\ast ))\prime
= [n]fg(z\ast ) - [n - 1]fg(z\ast ), n = 2, 3, . . . .
Зауваження 2. Згiдно з (3) та зауваженням 1, якщо [n]fg(z) = C,C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, для всiх
z \in \scrZ i g\prime (z) \not = 0, то [n+1]fg(z) = \infty . В цьому випадку Т–КФЛД є скiнченним i функцiя f(z)
зображується скiнченним ланцюговим дробом вигляду
f(z) =
\Biggl(
d0(g(z); z\ast ) +
n
K
k=1
g(z) - g(z\ast )
dk(g(z); z\ast )
\Biggr) - 1
.
Перейдемо до зображення функцiй \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z Т–КФЛД (5).
Функцiя \bfc \bfh \bfitz . Нехай базис-функцiя g(z) = ez. Використовуючи формули (3), знаходимо
оберненi g-похiднi 2-го типу функцiї \mathrm{c}\mathrm{h} z. Маємо
[0] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g =
2ez
e2z + 1
, [1] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g =
(e2z + 1)2
2(1 - e2z)
, [2] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g =
2
ez(3 - e2z)
,
[3] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g =
e4z - 6e2z + 1
2
, [4] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g = 0.
Оскiльки ([4] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g)
\prime = 0, то [5](\mathrm{c}\mathrm{h} z)g = \infty i ланцюговий дрiб „обривається” на 4-му поверсi.
Звiдси випливає, що функцiю \mathrm{c}\mathrm{h} z в околi точки z\ast \in \scrZ , яка належить областi визначення
обернених g-похiдних 2-го типу функцiї \mathrm{c}\mathrm{h} z, можна зобразити скiнченним Т–КФЛД
\mathrm{c}\mathrm{h} z =
1
d0(ez; z\ast ) +
ez - ez\ast
d1(ez; z\ast ) +
ez - ez\ast
d2(ez; z\ast ) +
ez - ez\ast
d3(ez; z\ast ) +
ez - ez\ast
d4(ez; z\ast )
,
де коефiцiєнти, згiдно з (6), будуть такими:
d0(e
z; z\ast ) =
2ez\ast
e2z\ast + 1
, d1(e
z; z\ast ) =
(e2z\ast + 1)2
2(1 - e2z\ast )
, d2(e
z; z\ast ) =
2(e2z\ast - 1)2
ez\ast (3 - e2z\ast )(e2z\ast + 1)
,
d3(e
z; z\ast ) =
e2z\ast (e2z\ast - 3)2
2(e2z\ast - 1)
, d4(e
z; z\ast ) =
2
ez\ast (e2z\ast - 3)
.
Використавши розвинення функцiї ez в Т–ЛД [18, с. 250], отримаємо ланцюговий дрiб Тiле
\bfk (z\ast , z) = ez - ez\ast = ez\ast
\biggl(
z - z\ast
1 +
z - z\ast
- 2 +
z - z\ast
- 3 +
z - z\ast
2 +
z - z\ast
5 +
+
z - z\ast
- 2 +
z - z\ast
- 7 + \cdot \cdot \cdot +
z - z\ast
( - 1)n2 +
z - z\ast
( - 1)n(2n+ 1) + \cdot \cdot \cdot
\biggr)
. (7)
Згiдно з теоремою 9.2.2 [18, c. 287], Т–ЛД (7) збiгається на всiй комплекснiй площинi до функцiї
ez i на довiльному компактi \scrZ \subset \BbbC ланцюговий дрiб збiгається рiвномiрно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ФУНКЦIЙ \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 687
Тодi зображення функцiї \mathrm{c}\mathrm{h} z Т–КФЛД набирає вигляду
\mathrm{c}\mathrm{h} z =
1
d0(ez; z\ast ) +
\bfk (z\ast , z)
d1(ez; z\ast ) +
\bfk (z\ast , z)
d2(ez; z\ast ) +
\bfk (z\ast , z)
d3(ez; z\ast ) +
\bfk (z\ast , z)
d4(ez; z\ast )
.
В окремому випадку в околi точки z\ast = \mathrm{l}\mathrm{n} 2, яка належить областi визначення обернених
g-похiдних 2-го типу функцiї \mathrm{c}\mathrm{h} z, маємо зображення функцiї Т–КФЛД
\mathrm{c}\mathrm{h} z =
1
4/5 +
\bfk (\mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
- 25/6 +
\bfk (\mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
- 9/5 +
\bfk (\mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
2/3 +
\bfk (\mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
1
,
де
\bfk (\mathrm{l}\mathrm{n} 2, z) = 2
\biggl(
z - \mathrm{l}\mathrm{n} 2
1 +
z - \mathrm{l}\mathrm{n} 2
- 2 +
z - \mathrm{l}\mathrm{n} 2
- 3 + \cdot \cdot \cdot +
z - \mathrm{l}\mathrm{n} 2
( - 1)n2 +
z - \mathrm{l}\mathrm{n} 2
( - 1)n(2n+ 1) + \cdot \cdot \cdot
\biggr)
.
Значення \mathrm{l}\mathrm{n} 2 можна знайти з потрiбною точнiстю за допомогою одного iз вiдомих розвинень
функцiї \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + z) у ланцюговий дрiб (див., наприклад, [2, с. 202], формула 6.1.17, [6, с. 196],
формули 11.2.2, 11.2.3, [18 с. 259], формула 8.54, [18, с. 328], формула 10.26).
Можна отримати iнше зображення функцiї \mathrm{c}\mathrm{h} z функцiональним ланцюговим дробом, якщо
за базис-функцiю вибрати g(z) = ez/2. Тодi, згiдно з формулами (3), оберненi g-похiднi 2-го
типу функцiї \mathrm{c}\mathrm{h} z мають вигляд
[0] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g =
2ez
e2z + 1
, [1] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g =
(e2z + 1)2
4ez/2(1 - e2z)
, [2] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g =
- 2ez(e2z + 3)
3e4z - 12e2z + 1
,
[3] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g =
2e3z/2(e4z - 10e2z + 5)
e4z + 14e2z + 1
, [4] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g =
2(1 - 5e2z)
ez(e4z + 40e2z + 15)
,
[5] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g =
e3z/2(e4z + 90e2z + 105)
12(e2z - 1)
, [6] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g =
2
7ez(e2z - 3)
,
[7] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g = 4e3z/2(7 - e2z), [8] (\mathrm{c}\mathrm{h} z)g = 0.
Оскiльки
\bigl(
[8](\mathrm{c}\mathrm{h} z)g
\bigr) \prime
= 0, то Т–КФЛД буде скiнченним. Нехай точка z\ast \in \scrZ належить мно-
жинi визначення обернених g-похiдних 2-го типу функцiї \mathrm{c}\mathrm{h} z. Тодi, згiдно з (6), коефiцiєнти
зображення функцiї \mathrm{c}\mathrm{h} z Т–КФЛД в околi точки z = z\ast набувають значень
d0(e
z
2 ; z\ast ) =
2ez\ast
e2z\ast + 1
, d1(e
z
2 ; z\ast ) =
(e2z\ast + 1)2
4e
z\ast
2 (1 - e2z\ast )
,
d2(e
z
2 ; z\ast ) =
- 8ez\ast (e2z\ast - 1)2
(e2z\ast + 1)(3e4z\ast - 12e2z\ast + 1)
,
d3(e
z
2 ; z\ast ) =
(3e4z\ast - 12e2z\ast + 1)2
4e
z\ast
2 (e2z\ast - 1)(e4z\ast + 14e2z\ast + 1)
,
d4(e
z
2 ; z\ast ) =
2(e4z\ast + 14e2z\ast + 1)2
ez\ast (e4z\ast + 40e2z\ast + 15)(3e4z\ast - 12e2z\ast + 1)
,
d5(e
z
2 ; z\ast ) =
e
3z\ast
2 (e4z\ast + 40e2z\ast + 15)2
12(e2z\ast - 1)(e4z\ast + 14e2z\ast + 1)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
688 М. М. ПАГIРЯ
d6(e
z
2 ; z\ast ) =
72(e2z\ast - 1)2
7ez\ast (e2z\ast - 3)(e4z\ast + 40e2z\ast + 15)
,
d7(e
z
2 ; z\ast ) =
49e
3z\ast
2 (e2z\ast - 3)2
12(1 - e2z\ast )
, d8(e
z
2 ; z\ast ) =
2
7ez\ast (3 - e2z\ast )
.
Функцiя \mathrm{c}\mathrm{h} z зображується скiнченним Т–КФЛД вигляду
\mathrm{c}\mathrm{h} z =
\Biggl(
d0(e
z/2; z\ast ) +
8
K
k=1
ez/2 - ez\ast /2
dk(ez/2; z\ast )
\Biggr) - 1
. (8)
Легко показати [18], що оберненi похiднi Тiле функцiї ez/2 обчислюються за формулами
(2n)
\bigl(
ez/2
\bigr)
= ( - 1)nez/2, (2n+1)ez = ( - 1)n2(n+ 1) e - z/2, n = 0, 1, . . . .
В околi точки z\ast \in \scrZ коефiцiєнти розвинення функцiї в Т–ЛД будуть такими:
b0(z\ast ) = e
z\ast
2 , b1(z\ast ) = 2e -
z\ast
2 ,
b2n(z\ast ) = ( - 1)n2e
z\ast
2 , b2n+1(z\ast ) = ( - 1)n2(2n+ 1)e -
z\ast
2 , n \in \BbbN .
Пiсля еквiвалентних перетворень отримаємо ланцюговий дрiб Тiле
\bfh (z\ast , z) = ez/2 - ez\ast /2 = ez\ast /2
\Bigl( z - z\ast
2 +
z - z\ast
- 2 +
z - z\ast
- 6 +
z - z\ast
2 +
z - z\ast
10 +
+
z - z\ast
- 2 +
z - z\ast
- 14 + \cdot \cdot \cdot +
z - z\ast
( - 1)n2 +
z - z\ast
( - 1)n2(2n+ 1) + \cdot \cdot \cdot
\Bigr)
. (9)
Згiдно з теоремою 9.1.7 [18, с. 283], ланцюговий дрiб (9) збiгається на всiй комплекснiй площинi
до функцiї ez/2 i на довiльному компактi \scrZ \subset \BbbC збiжнiсть буде рiвномiрною.
Пiдставимо (9) у (8). Зображення функцiї Т–КФЛД набирає вигляду
\mathrm{c}\mathrm{h} z =
\Biggl(
d0(e
z/2; z\ast ) +
8
K
k=1
\bfh (z\ast , z)
dk(ez/2; z\ast )
\Biggr) - 1
.
В окремому випадку при z\ast = \mathrm{l}\mathrm{n} 4 маємо
\mathrm{c}\mathrm{h} z =
\Biggl(
8
17
+
\bfh (\mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
- 289/120 +
\bfh (\mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
- 7200/9809 +
\bfh (\mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
332929/57720 +
\bfh (\mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
231361/1051294 +
+
\bfh (\mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
1659842/21645 +
\bfh (\mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
4050/82901 +
\bfh (\mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
- 16562/45 +
\bfh (\mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
- 1/182
\Biggr) - 1
.
Функцiя \bfs \bfh \bfitz . Як i у попередньому випадку, можна отримати зображення функцiї \mathrm{s}\mathrm{h} z
Т–КФЛД, якщо за базис-функцiю взяти g(z) = ez або g(z) = ez/2.
Виберемо за базис-функцiю g(z) = \mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
. За формулами (3) знаходимо оберненi g-похiднi
2-го типу функцiї \mathrm{s}\mathrm{h} z :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ФУНКЦIЙ \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 689
[0] (\mathrm{s}\mathrm{h} z)g =
1
\mathrm{s}\mathrm{h} z
, [1] (\mathrm{s}\mathrm{h} z)g =
- 2 \mathrm{s}\mathrm{h}2
z
2
\mathrm{c}\mathrm{h} z
, [2] (\mathrm{s}\mathrm{h} z)g =
- \mathrm{s}\mathrm{h}
3z
2
2 \mathrm{c}\mathrm{h}3
z
2
, [3] (\mathrm{s}\mathrm{h} z)g = - 2.
Оскiльки
\bigl(
[3] (\mathrm{s}\mathrm{h}x)g
\bigr) \prime
= 0, то [4] (\mathrm{s}\mathrm{h} z) = \infty . Iз (6) випливає, що коефiцiєнти зображення
функцiї \mathrm{s}\mathrm{h} z в околi точки z\ast \not = 0 в Т–КФЛД набувають значень
d0
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
; z\ast
\Bigr)
=
1
\mathrm{s}\mathrm{h} z\ast
, d1
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
; z\ast
\Bigr)
=
- 2 \mathrm{s}\mathrm{h}2
z\ast
2
\mathrm{c}\mathrm{h} z\ast
,
d2
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
; z\ast
\Bigr)
=
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h} 2 z\ast
2
+ 1
\Bigr) 2
- 2\mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
, d3
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
; z\ast
\Bigr)
=
- 2
1 + \mathrm{t}\mathrm{h} 2
z\ast
2
.
Зображення функцiї \mathrm{s}\mathrm{h} z скiнченним Т–КФЛД матиме вигляд
\mathrm{s}\mathrm{h} z =
\left( d0
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
; z\ast
\Bigr)
+
3
K
k=1
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
- \mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
dk
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
; z\ast
\Bigr)
\right) - 1
. (10)
Легко переконатися [18, с. 256], що оберненi похiднi Тiле функцiї \mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
обчислюються за
формулами
(4n)
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
\Bigr)
= \mathrm{t}\mathrm{h}
z
z
, (4n+1)
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
\Bigr)
=
2(2n+ 1)
\Bigl(
n\mathrm{t}\mathrm{h} 2 z
2
- n - 1
\Bigr)
\mathrm{t}\mathrm{h} 2
z
2
- 1
, (4n+2)
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
\Bigr)
=
1
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
,
(4n+3)
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
\Bigr)
=
2(n+ 1)
\Bigl(
(2n+ 3)\mathrm{t}\mathrm{h} 2 z
2
- 2n - 1
\Bigr)
\mathrm{t}\mathrm{h} 2
z
2
- 1
, n = 0, 1, . . . .
Якщо z\ast /\in G, де G = \{ 0\} \cup \{ i\pi (2n+ 1) : n \in \BbbZ \} , то коефiцiєнти розвинення функцiї \mathrm{t}\mathrm{h} (z/2)
в Т–ЛД в околi точки z = z\ast мають вигляд
b0(z\ast ) = \mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
, b4n+1(z\ast ) = - 2(4n+ 1)
\mathrm{t}\mathrm{h} 2
z\ast
2
- 1
, b4n+2(z\ast ) = -
\mathrm{t}\mathrm{h} 2 z\ast
2
- 1
\mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
,
b4n+3(z\ast ) =
2(4n+ 3)\mathrm{t}\mathrm{h} 2 z\ast
2
\mathrm{t}\mathrm{h} 2
z\ast
2
- 1
, b4n+4(z\ast ) =
\mathrm{t}\mathrm{h} 2 z\ast
2
- 1
\mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
, n = 0, 1, . . . .
Тодi пiсля еквiвалентних перетворень маємо розвинення функцiї \mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
в Т–ЛД
\bfp (z\ast , z) = \mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
- \mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
=
(z - z\ast )
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h} 2 z\ast
2
- 1
\Bigr)
- 2 +
(z - z\ast )\mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
- 1 +
z - z\ast
6\mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
690 М. М. ПАГIРЯ
+
z - z\ast
1 +
(z - z\ast )\mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
- 10 +
(z - z\ast )\mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
- 1 +
z - z\ast
14\mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
+
z - z\ast
1 + \cdot \cdot \cdot
\cdot \cdot \cdot +
(z - z\ast )\mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
- 2(4k + 1) +
(z - z\ast )\mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
- 1 +
z - z\ast
2(4k + 3)\mathrm{t}\mathrm{h}
z\ast
2
+
z - z\ast
1 + \cdot \cdot \cdot
. (11)
Ланцюговий дрiб (11) збiгається до функцiї \mathrm{t}\mathrm{h} z/2 скрiзь на комплекснiй площинi, за винятком
точок множини G, i на довiльному компактi \scrZ \subset \BbbC \setminus G збiжнiсть буде рiвномiрною.
Пiдставимо розвинення \bfp (z\ast , z) в (10) i отримаємо зображення функцiї \mathrm{s}\mathrm{h} z T–КФЛД
\mathrm{s}\mathrm{h} z =
\left( d0
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
; z\ast
\Bigr)
+
3
K
k=1
\bfp (z\ast , z)
dk
\biggl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
z
2
; z\ast
\biggr)
\right)
- 1
.
В окремому випадку в околi точки z\ast = \mathrm{l}\mathrm{n} 2 маємо
\mathrm{s}\mathrm{h} z =
\left( 4
3
+
\bfp (\mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
- 1
5
+
\bfp (\mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
- 50
27
+
\bfp (\mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
- 9
5
\right)
- 1
.
Функцiя \bfs \bfh \bfitz . В якостi базис-функцiї виберемо функцiю g(z) = eiz/2. Тодi оберненi g-
похiднi 2-го типу функцiї \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z будуть такими:
[0]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
2ieiz
ei2z - 1
, [1]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
i(ei2z - 1)2
4eiz/2(ei2z + 1)
, [2]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
- 2ieiz(ei2z - 3)
3ei4z + 12ei2z + 1
,
[3]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
= - 2iei3z/2(ei4z + 10ei2z + 5)
ei4z - 14ei2z + 1
, [4]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
2i(5ei2z + 1)
eiz(ei4z - 40ei2z + 15)
,
[5]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
iei3z/2(ei4z - 90ei2z + 105)
12(ei2z + 1)
, [6]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
- 2i
7eiz(ei2z + 3)
,
[7]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
= - 4iei3z/2(ei2z + 7), [8]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
= 0.
Функцiя \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z має лише 8 скiнченних g-похiдних 2-го типу, а отже, функцiя зображується
скiнченним Т–КФЛД. Нехай z\ast \in \scrZ належить областi визначення обернених g-похiдних 2-го
типу функцiї \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, тодi з (6) випливає, що коефiцiєнти Т–КФЛД набувають значень
d0
\bigl(
e
iz
2 ; z\ast
\bigr)
=
2ieiz\ast
ei2z\ast - 1
, d1
\bigl(
e
iz
2 ; z\ast
\bigr)
=
i(ei2z\ast - 1)2
4e
iz\ast
2 (ei2z\ast + 1)
,
d2
\bigl(
e
iz
2 ; z\ast
\bigr)
=
- 8ieiz\ast (ei2z\ast + 1)2
(ei2z\ast - 1)(3ei4z\ast + 12ei2z\ast + 1)
,
d3
\bigl(
e
iz
2 ; z\ast
\bigr)
=
- i(3ei4z\ast + 12ei2z\ast + 1)2
4e
iz\ast
2 (ei2z\ast + 1)(ei4z\ast - 14ei2z\ast + 1)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ФУНКЦIЙ \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 691
d4
\bigl(
e
iz
2 ; z\ast
\bigr)
=
2i(ei4z\ast - 14ei2z\ast + 1)2
eiz\ast (ei4z\ast - 40ei2z\ast + 15)(3ei4z\ast + 12ei2z\ast + 1)
,
d5
\bigl(
e
iz
2 ; z\ast
\bigr)
=
iei3z\ast /2(ei4z\ast - 40ei2z\ast + 15)2
12(ei2z\ast + 1)(ei4z\ast - 14ei2z\ast + 1)
,
d6
\bigl(
eiz/2; z\ast
\bigr)
= - 72i(ei2z\ast + 1)2
7eiz\ast (ei2z\ast + 3)(ei4z\ast - 40ei2z\ast + 15)
,
d7
\bigl(
eiz/2; z\ast
\bigr)
= - 49iei3z\ast /2(ei2z\ast + 3)2
12(ei2z\ast + 1)
, d8
\bigl(
eiz/2; z\ast
\bigr)
=
2i
7eiz\ast (ei2z\ast + 3)
.
Отримали зображення функцiї \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z Т–КФЛД
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z =
\Biggl(
d0(e
iz/2; z\ast ) +
8
K
k=1
eiz/2 - eiz\ast /2
dk(eiz/2; z\ast )
\Biggr) - 1
. (12)
Легко показати, що коефiцiєнти розвинення функцiї eiz/2 в околi точки z = z\ast в Т–ЛД
будуть такими:
b0(z\ast ) = eiz\ast /2, b2n - 1(z\ast ) = i( - 1)n2(2n - 1)e - iz\ast /2,
b2n(z\ast ) = ( - 1)n 2eiz\ast /2, n = 1, 2, . . . .
Тодi пiсля еквiвалентних перетворень отримуємо розвинення в Т–ЛД
\bfn (z\ast , z) = eiz/2 - eiz\ast /2 = eiz\ast /2
\biggl(
z - z\ast
- 2i +
z - z\ast
- 2 +
z - z\ast
6i +
z - z\ast
2 +
+
z - z\ast
- 10i +
z - z\ast
- 2 + \cdot \cdot \cdot +
z - z\ast
( - 1)n2(2n - 1)i +
z - z\ast
( - 1)n2 + \cdot \cdot \cdot
\biggr)
. (13)
Використовуючи теорему 11.2.1 [18, с. 342], можна довести, що ланцюговий дрiб (13) збiгається
до функцiї eiz/2 на всiй комплекснiй площинi i на довiльному компактi \scrZ \subset \BbbC збiжнiсть буде
рiвномiрною.
Пiдставляючи (13) у (12), отримуємо зображення функцiї Т–КФЛД
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z =
\Biggl(
d0(e
iz/2; z\ast ) +
8
K
k=1
\bfn (z\ast , z)
dk(eiz/2; z\ast )
\Biggr) - 1
.
Якщо z\ast = - i \mathrm{l}\mathrm{n} 4, то зображення функцiї \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z має вигляд
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z =
\Biggl(
8i
15
+
\bfn ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
225i/136 +
\bfn ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
- 9248i/14415 +
\bfn ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
- 923521i/4488 +
\bfn ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
- 121i/78802 +
+
\bfn ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
30258i/187 +
\bfn ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
578i/5453 +
\bfn ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
- 35378i/51 +
\bfn ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 4, z)
i/266
\Biggr) - 1
.
Якщо в якостi базис-функцiї вибрати g(z) = \mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
, то iз (3) випливає, що функцiя \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z має
лише сiм скiнченних перших обернених g-похiдних 2-го типу:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
692 М. М. ПАГIРЯ
[0]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
\Bigl(
1 + \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
\Bigr) 2
4 \mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
\Bigl(
1 - \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
\Bigr) , [1]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
- 4 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
- 1
\Bigr) 2
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
+ 1
\Bigr) \Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z
4
- 6 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
+ 1
\Bigr) ,
[2]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
+ 1
\Bigr) 2 \Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z
4
- 14 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
+ 9
\Bigr)
4
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}6
z
4
+ 15 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z
4
- 3 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
+ 1
\Bigr) ,
[3]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
- 4
\Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}8
z
4
+ 28 \mathrm{t}\mathrm{g}6
z
4
- 2 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z
4
+ 4 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
- 1
\Bigr)
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z
4
+ 10 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
+ 1
\Bigr) \Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z
4
- 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
+ 3
\Bigr) ,
[4]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
3 \mathrm{t}\mathrm{g}10
z
4
+ 45 \mathrm{t}\mathrm{g}8
z
4
- 50 \mathrm{t}\mathrm{g}6
z
4
+ 170 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z
4
+ 15 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
+ 9
16 \mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
\Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z
4
- 10 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
- 5
\Bigr) ,
[5]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
- 4
\Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}6
z
4
- 15 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z
4
- 15 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
- 1
\Bigr)
3
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
+ 1
\Bigr) \Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z
4
- 6 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
+ 1
\Bigr) ,
[6]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
=
- \mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
\Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}6
z
4
- 21 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z
4
- 35 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z
4
+ 21
\Bigr)
16
, [7]
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
\bigr)
g
= - 4.
Нехай точка z\ast \in \scrZ належить множинi визначення всiх обернених g-похiдних 2-го типу
функцiї \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z. Тодi, згiдно з (6), в околi точки z = z\ast коефiцiєнти Т–КФЛД будуть такими:
d0
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
; z\ast
\Bigr)
=
\Bigl(
1 + \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
\Bigr) 2
4 \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
\Bigl(
1 - \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
\Bigr) , d1
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
; z\ast
\Bigr)
=
- 4 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
- 1
\Bigr) 2
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) \Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 6 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) ,
d2
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
; z\ast
\Bigr)
=
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) 2 \Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 6 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr)
4 \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
- 1
\Bigr) \Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}6
z\ast
4
+ 15 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 3 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) ,
d3
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
; z\ast
\Bigr)
=
=
4
\Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}6
z\ast
4
+ 15 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 3 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) 2
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) \Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 6 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) \Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
+ 10 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) \Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 3
\Bigr) ,
d4
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
; z\ast
\Bigr)
=
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
+ 10 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) 2 \Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 3
\Bigr) 2
16 \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
\Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 10 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
- 5
\Bigr) \Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}6
z\ast
4
+ 15 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 3 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) ,
d5
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
; z\ast
\Bigr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ФУНКЦIЙ \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 693
=
16 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
\Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 10 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
- 5
\Bigr) 2
3
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) \Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 6 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) \Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
+ 10 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) \Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 3
\Bigr) ,
d6
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
; z\ast
\Bigr)
=
- 9
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) 2 \Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 6 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) 2
16 \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
\Bigl(
3 \mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 10 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
- 5
\Bigr) ,
d7
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
; z\ast
\Bigr)
=
- 16
3
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) \Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}4
z\ast
4
- 6 \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
+ 1
\Bigr) .
Функцiю \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z можна зобразити Т–КФЛД таким чином:
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z =
\left( d0
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
; z\ast
\Bigr)
+
7
K
k=1
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
- \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
dk
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
; z\ast
\Bigr)
\right) - 1
. (14)
За аналогiєю з теоремою 8.5.5 [18, с. 251] можна довести, що функцiя \mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
має оберненi
похiднi Тiле довiльного порядку, якi обчислюються за рекурентним спiввiдношенням, а отже,
функцiя може бути розвинена в Т–ЛД. Пiсля еквiвалентних перетворень рiзниця \mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
- \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
зображується Т–ЛД вигляду
\bfq (z\ast , z) = \mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
- \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
=
(z - z\ast )
\Bigl(
1 + \mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
4
\Bigr)
4 +
(z - z\ast ) \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
- 1 +
+
z - z\ast
12 \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
+
z - z\ast
1 +
(z - z\ast ) \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
20 + \cdot \cdot \cdot
\cdot \cdot \cdot +
z - z\ast
1 +
(z - z\ast ) \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
4(4n+ 1) +
(z - z\ast ) \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
- 1 +
z - z\ast
4(4n+ 3) \mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
4
+ \cdot \cdot \cdot
. (15)
Ланцюговий дрiб (15) збiгається до функцiї \mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
на всiй комплекснiй площинi \BbbC , за винятком
нулiв та особливих точок функцiї, i на довiльному компактi \scrZ \subset \BbbC \setminus \{ 2k\pi : k \in \BbbZ \} збiжнiсть
буде рiвномiрною.
Пiдставимо (15) у (14) i отримаємо зображення функцiї \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z Т–КФЛД
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z =
\left( d0
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
; z\ast
\Bigr)
+
7
K
k=1
\bfq (z\ast , z)
dk
\Bigl(
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
4
; z\ast
\Bigr)
\right) - 1
.
В окремому випадку, коли z\ast =
4\pi
3
, маємо
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z =
\left( - 2
\surd
3
3
+
\bfq
\biggl(
4\pi
3
, z
\biggr)
3
2
+
\bfq
\biggl(
4\pi
3
, z
\biggr)
8
\surd
3
39
+
\bfq
\biggl(
4\pi
3
, z
\biggr)
- 169
30
+
\bfq
\biggl(
4\pi
3
, z
\biggr)
- 150
\surd
3
13
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
694 М. М. ПАГIРЯ
+
\bfq
\biggl(
4\pi
3
, z
\biggr)
- 1
30
+
\bfq
\biggl(
4\pi
3
, z
\biggr)
24
\surd
3 +
\bfq
\biggl(
4\pi
3
, z
\biggr)
1
6
\right)
- 1
,
де
\bfq
\biggl(
4\pi
3
, z
\biggr)
=
z - 4\pi
3
1 +
z - 4\pi
3
- 4
\surd
3/3 +
z - 4\pi
3
9 +
z - 4\pi
3
4
\surd
3/3 +
z - 4\pi
3
5 +
z - 4\pi
3
- 4
\surd
3/3 +
+
z - 4\pi
3
21 +
z - 4\pi
3
4
\surd
3/3 + \cdot \cdot \cdot +
z - 4\pi
3
4n+ 1 +
z - 4\pi
3
- 4
\surd
3/3 +
z - 4\pi
3
3(4n+ 3) +
z - 4\pi
3
4
\surd
3/3 + \cdot \cdot \cdot
.
Функцiя \bfc \bfo \bfs \bfitz . Щоб знайти зображення функцiї \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z Т–КФЛД, виберемо в якостi базис-
функцiї g(z) = eiz/3. Оберненi g-похiднi 2-го типу функцiї \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z знаходимо за формулами (3).
Маємо
[0] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g =
2 eiz
ei2z + 1
, [1] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g = - (ei2z + 1)2
6 ei2z/3(ei2z - 1)
, [2] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g =
- 2 eiz(ei2z + 2)
2 ei4z - 9 ei2z + 1
,
[3] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g =
10 ei6z - 125 ei4z + 80 ei2z - 1
6 ei2z/3(2 ei4z + 23 ei2z + 2)
, [4] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g =
2 eiz(ei4z - 65 ei2z + 10)
10 ei6z + 395 ei4z + 215 ei2z + 1
,
[5](\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g =
- 3ei4z/3(5ei6z + 525ei4z + 1015ei2z + 42)
2(ei2z - 1)(ei4z - 245ei2z + 1)
,
[6](\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g =
- 2(28ei4z + 133ei2z + 1)
eiz(ei6z - 707ei4z + 2653ei2z - 84)
,
[7] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g =
ei4z/3(ei6z - 1708 ei4z + 18186 ei2z - 2520)
18(4 ei4z + 73 ei2z + 4)
,
[8] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g =
2(4 ei2z - 1)
5 eiz(ei4z + 53 ei2z + 12)
,
[9] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g =
11 ei4z/3(ei4z + 129 ei2z + 90)
18(1 - ei2z)
, [10] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g =
- 2
55 eiz(ei2z - 3)
,
[11] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g =
33 ei4z/3(2 ei2z - 15)
2
, [12] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g = 0.
Оскiльки
\bigl(
[12](\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g
\bigr) \prime
= 0, то [13](\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)g = \infty i Т–КФЛД „обривається”. Якщо точка z\ast \in \scrZ
належить областi визначення обернених g-похiдних 2-го типу функцiї \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z, то, згiдно з (6), в
околi точки z = z\ast коефiцiєнти Т–КФЛД набувають таких значень:
d0(e
iz
3 ; z\ast ) =
2eiz\ast
ei2z\ast + 1
, d1(e
iz
3 ; z\ast ) =
- (ei2z\ast + 1)2
6e
i2z\ast
3 (ei2z\ast - 1)
,
d2(e
z
3 ; z\ast ) =
- 6eiz\ast (ei2z\ast - 1)2
(ei2z\ast + 1)(2ei4z\ast - 9 ei2z\ast + 1)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ФУНКЦIЙ \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 695
d3(e
iz
3 ; z\ast ) =
(2 ei4z\ast - 9 ei2z\ast + 1)2
2 ei2z\ast /3(ei2z\ast - 1)(2 ei4z\ast + 23 ei2z\ast + 2)
,
d4(e
iz
3 ; z\ast ) =
6 eiz\ast (2 ei4z\ast + 23 ei2z\ast + 2)2
(2 ei4z\ast - 9 ei2z\ast + 1)(10 ei6z\ast + 395 ei4z\ast + 215 ei2z\ast + 1)
,
d5(e
iz
3 ; z\ast ) =
- (10ei6z\ast + 395ei4z\ast + 215ei2z\ast + 1)2
6ei2z\ast /3(ei2z\ast - 1)(ei4z\ast - 245ei2z\ast + 1)(2ei4z\ast + 23ei2z\ast + 2)
,
d6(e
iz
3 ; z\ast ) =
- 2(ei2z\ast - 1)2 (ei4z\ast - 245 ei2z\ast + 1)2
eiz\ast (ei6z\ast - 707 ei4z\ast + 2653 ei2z\ast - 84)(10 ei6z\ast + 395 ei4z\ast + 215 ei2z\ast + 1)
,
d7(e
iz
3 ; z\ast ) =
ei4z\ast /3(ei6z\ast - 707 ei4z\ast + 2653 ei2z\ast - 84)2
18(ei2z\ast - 1)(ei4z\ast - 245 ei2z\ast + 1) (4 ei4z\ast + 73 ei2z\ast + 4)
,
d8(e
iz
3 ; z\ast ) =
18(4 ei4z\ast + 73 ei2z\ast + 4)2
5eiz\ast (ei4z\ast + 53ei2z\ast + 12)(ei6z\ast - 707ei4z\ast + 2653ei2z\ast - 84)
,
d9(e
iz
3 ; z\ast ) =
- 5ei4z\ast /3(ei4z\ast + 53ei2z\ast + 12)2
2(ei2z\ast - 1)(4ei4z\ast + 73ei2z\ast + 4)
,
d10(e
iz
3 ; z\ast ) =
- 18(ei2z\ast - 1)2
11eiz\ast (ei2z\ast - 3)(ei4z\ast + 53ei2z\ast + 12)
,
d11(e
iz
3 ; z\ast ) =
605 ei4z\ast /3(ei2z\ast - 3)2
18(ei2z\ast - 1)
, d12(e
iz
3 ; z\ast ) =
2
55 eiz\ast (ei2z\ast - 1)
.
Зображення функцiї \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z в околi точки z = z\ast Т–КФЛД має вигляд
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z =
\Biggl(
d0(e
iz
3 ; z\ast ) +
12
K
k=1
e
iz
3 - e
iz\ast
3
dk(e
iz
3 ; z\ast )
\Biggr) - 1
. (16)
Оскiльки функцiя eiz/3 має оберненi похiднi Тiле довiльного порядку, якi знаходяться за
рекурентним спiввiдношенням, то коефiцiєнти розвинення функцiї в ланцюговий дрiб Тiле в
околi точки z\ast \in \scrZ є такими:
b0(z\ast ) = eiz\ast /3, b2n - 1(z\ast ) = ( - 1)n3 (2n - 1) e - iz\ast /3 i, b2n(z\ast ) = ( - 1)n 2 eiz\ast /3, n = 1, 2, . . . .
Пiсля еквiвалентних перетворень маємо розвинення в Т–ЛД
\bfu (z\ast , z) = e
iz
3 - e
iz\ast
3 = e
iz\ast
3
\Bigl( z - z\ast
- 3i +
z - z\ast
- 2 + \cdot \cdot \cdot +
z - z\ast
( - 1)n3(2n - 1)i +
z - z\ast
( - 1)n2 + \cdot \cdot \cdot
\Bigr)
.
(17)
Можна довести, що ланцюговий дрiб (17) буде збiгатися до функцiї eiz/3 на всiй комплекснiй
площинi i на довiльному компактi \scrZ \subset \BbbC збiжнiсть буде рiвномiрною.
Пiдставляючи (17) у (16), отримуємо зображення функцiї \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z Т-КФЛД
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z =
\Biggl(
d0(e
iz/3; z\ast ) +
12
K
k=1
\bfu (z\ast , z)
dk(eiz/3; z\ast )
\Biggr) - 1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
696 М. М. ПАГIРЯ
В окремому випадку, коли z\ast = - i \mathrm{l}\mathrm{n} 2, зображення функцiї \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z набирає вигляду
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z =
\Biggl(
4
5
+
\bfu ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
- 25 3
\surd
2/36 +
\bfu ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
36/5 +
\bfu ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
3
\surd
2/168 +
\bfu ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
- 7056/869 +
+
\bfu ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
755161 3
\surd
2/53928 +
\bfu ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
103041/69520 +
\bfu ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
- 160 3
\surd
2/2889 +
+
\bfu ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
- 27/20 +
\bfu ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
- 800 3
\surd
2/3 +
\bfu ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
- 27/880 +
\bfu ( - i \mathrm{l}\mathrm{n} 2, z)
1/55
\Biggr) - 1
.
Можна також отримати iнше зображення функцiї \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z Т–КФЛД, якщо за базис-функцiю
вибрати g(z) = \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
. Оберненi g-похiднi 2-го типу функцiї \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z будуть такими:
[0] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s})g =
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z
2
+ 1
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z
2
- 1
, [1] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s})g =
-
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z
2
- 1
\Bigr) 2
4 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
, [2] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s})g =
3 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z
2
- 1
3 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z
2
+ 1
,
[3] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s})g = 2 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z
2
+ 1
\Bigr)
, [4] (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s})g = 1.
Оскiльки
\bigl(
[4](\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s})g
\bigr) \prime
= 0, то Т–КФЛД „обривається” на 4-му поверсi. В точцi z\ast \in \scrZ , яка
належить областi визначення обернених g-похiдних 2-го типу функцiї \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z, коефiцiєнти Т–
КФЛД набувають значень
d0
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
; z\ast
\Bigr)
=
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
2
+ 1
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
2
- 1
, d1
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
; z\ast
\Bigr)
=
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
2
- 1
\Bigr) 2
- 4 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
2
,
d2
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
; z\ast
\Bigr)
=
- 8 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
2\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
2
- 1
\Bigr) 2 \Bigl(
3 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
2
+ 1
\Bigr) ,
d3
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
; z\ast
\Bigr)
=
\Bigl(
3 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
2
+ 1
\Bigr) 2
4 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
2
, d4
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
; z\ast
\Bigr)
=
2
3 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
2
+ 1
.
Функцiя \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z зображується Т–КФЛД таким чином:
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z =
\left( d0
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
; z\ast
\Bigr)
+
4
K
k=1
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
- \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
2
dk
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
; z\ast
\Bigr)
\right) - 1
. (18)
Функцiя \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
має оберненi похiднi Тiле всiх порядкiв, якi визначаються за рекурентним
спiввiдношенням, а отже, функцiя може бути розвинена в Т–ЛД. Як i у попереднiх випадках,
отримуємо ланцюговий дрiб
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ФУНКЦIЙ \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 697
\bfv (z\ast , z) = \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
- \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
2
=
(z - z\ast )
\Bigl(
1 + \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}2
z\ast
2
\Bigr)
- 2 +
(z - z\ast ) \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
2
- 1 +
z - z\ast
- 6 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
2
+
+
z - z\ast
1 +
(z - z\ast ) \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
2
- 10 +
(z - z\ast ) \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
2
- 1 +
z - z\ast
- 14 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
2
+ \cdot \cdot \cdot
\cdot \cdot \cdot +
z - z\ast
1 +
(z - z\ast ) \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
2
- 2(4n+ 1) +
(z - z\ast ) \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
2
- 1 +
z - z\ast
- 2 (4n+ 3) \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z\ast
2
+ \cdot \cdot \cdot
, (19)
який збiгається до функцiї \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
на всiй комплекснiй площинi, за винятком нулiв та особливих
точок функцiї. На довiльному компактi \scrZ \subset \BbbC \setminus \{ k\pi : k \in \BbbZ \} ланцюговий дрiб (19) збiгається
рiвномiрно.
Пiдставивши (19) у (18), отримаємо
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z =
\left( d0
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
; z\ast
\biggr)
+
4
K
k=1
\bfv (z\ast ; z)
dk
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
; z\ast
\biggr)
\right)
- 1
.
В окремому випадку при z\ast =
2\pi
3
зображення функцiї \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z має вигляд
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z =
\left( 2 +
\bfv
\biggl(
2\pi
3
; z
\biggr)
-
\surd
3/3 +
\bfv
\biggl(
2\pi
3
; z
\biggr)
- 6/5 +
\bfv
\biggl(
2\pi
3
; z
\biggr)
25
\surd
3/3 +
\bfv
\biggl(
2\pi
3
; z
\biggr)
1/5
\right)
- 1
,
де
\bfv (
2\pi
3
, z) =
z - 2\pi
3
- 1/2 +
z - 2\pi
3
- 4
\surd
3/2 +
z - 2\pi
3
- 9/2 +
z - 2\pi
3
4
\surd
3/2 + \cdot \cdot \cdot
\cdot \cdot \cdot +
z - 2\pi
3
- (4n+ 1)/2 +
z - 2\pi
3
- 4
\surd
3/2 +
z - 2\pi
3
- 3(4n+ 3)/2 +
z - 2\pi
3
4
\surd
3/2 + \cdot \cdot \cdot
.
Зауваження 3. У статтi отримано зображення функцiй \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z скiнченними
Т–КФЛД. У кожному з отриманих зображень використовувалось розвинення базис-функцiї
g(z) у ланцюговий дрiб Тiле. Можна отримати iншi зображення вказаних функцiй, якщо базис-
функцiю розвинути в квазiобернений ланцюговий дрiб типу Тiле [18].
Лiтература
1. Боднар Д. И. Ветвящиеся цепные дроби. – Киев: Наук. думка, 1986. – 176 с.
2. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. – М.: Мир, 1985. – 414 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
698 М. М. ПАГIРЯ
3. Кучмiнська Х. Й. Двовимiрнi неперервнi дроби. – Львiв: Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН
України, 2010. – 218 с.
4. Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. –
М.: Наука, 1983. – 312 с.
5. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. – М.:
Гостехтеориздат, 1956. – 203 с.
6. Cuyt A., Brevik Petersen V., Verdonk B., Waadeland H., Jones W. B. Handbooks of continued fractions for special
functions. – Berlin etc.: Springer, 2008. – xvi+431 p.
7. Lorentzen L., Waadeland H. Continue fraction with applications. – Amsterdam etc.: North-Holland, 1992. – 606 p.
8. Olds C. D. Continued fractions. New mathematical library. – New York: Random House, 1963. – Vol. 9. – viii+162 p.
9. Perron O. Die Lehre von den Kettenbrüchen. – Stuttgart: Teubner, 1957. – Bd II. – 315 S.
10. Schweiger F. Continues fractions and their generalizations: A short history of f -expansion. – Boston, MA: Docent
Press, 2016. – vi+184 p.
11. Wall H. S. Analytic theory of continued fractions. – New York: D. Van Nostrand Co., 1948. – 433 p.
12. Уолш Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. – М.: Изд-во
иностр. лит., 1961. – 508 с.
13. Бейкер Дж. (мл.), Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. – М.: Мир, 1986. – 502 с.
14. Голуб А. П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. – Київ: Iн-т математики НАН України,
2002. – 222 с.
15. Макаров В. Л., Хлобыстов В. В. Основы теории полиномиального операторного интерполирования. – Киев:
Ин-т математики НАН Украины, 1999. – 278 с.
16. Макаров В. Л., Демкiв I. I. Iнтерполяцiйний iнтегральний ланцюговий дрiб типу Тiле // Мат. методи та фiз.-мех.
поля. – 2014. – 57, № 4. – C. 44 – 50.
17. Thiele T. N. Interpolationsprechnung. – Leipzig: Commisission von B. G. Teubner, 1909. – xii+175 S.
18. Пагiря М. М. Наближення функцiй ланцюговими дробами. – Ужгород: Ґражда, 2016. – 412 с.
19. Pahirya M. M. A reciprocal g-derivatives of 2-nd type and its properties // Int. J. Adv. Res. Math. – 2017. – 8. –
P. 1 – 11.
20. Lange L. J. \delta -Fraction expansions of analytic functions // Anal. Theory Contin. Fract. – Berlin; Heidelberg: Springer,
1982. – P. 152 – 175.
21. Дзядык В. К. Об асимптотике диагональных аппроксимаций Паде функций \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z, \mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z // Мат. сб. –
1979. – 108, вып. 2. – С. 247 – 267.
22. Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1988. – 304 с.
Одержано 02.05.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1587 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:38Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6f/03bb0d9bc5d918a2f787c26a6603436f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15872019-12-05T09:19:33Z Continued-fractions representations of the functions $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ Зображення функцій $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ ланцюговими дробами Pahirya, M. M. Пагіря, М. М. We obtain the representations of the functions $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z,$ and $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ by quasireciprocal functional continued fractions of the Thiele type. Получены представления функций $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ квазиобратной функциональной цепной дробью типа Тиле. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1587 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 5 (2018); 682-698 Український математичний журнал; Том 70 № 5 (2018); 682-698 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1587/569 Copyright (c) 2018 Pahirya M. M. |
| spellingShingle | Pahirya, M. M. Пагіря, М. М. Continued-fractions representations of the functions $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ |
| title | Continued-fractions representations of the functions $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ |
| title_alt | Зображення функцій $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ ланцюговими дробами |
| title_full | Continued-fractions representations of the functions $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ |
| title_fullStr | Continued-fractions representations of the functions $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ |
| title_full_unstemmed | Continued-fractions representations of the functions $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ |
| title_short | Continued-fractions representations of the functions $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ |
| title_sort | continued-fractions representations of the functions $\mathrm{s}\mathrm{h} z, \mathrm{c}\mathrm{h} z, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1587 |
| work_keys_str_mv | AT pahiryamm continuedfractionsrepresentationsofthefunctionsmathrmsmathrmhzmathrmcmathrmhzmathrmsmathrmimathrmnzmathrmcmathrmomathrmsz AT pagírâmm continuedfractionsrepresentationsofthefunctionsmathrmsmathrmhzmathrmcmathrmhzmathrmsmathrmimathrmnzmathrmcmathrmomathrmsz AT pahiryamm zobražennâfunkcíjmathrmsmathrmhzmathrmcmathrmhzmathrmsmathrmimathrmnzmathrmcmathrmomathrmszlancûgovimidrobami AT pagírâmm zobražennâfunkcíjmathrmsmathrmhzmathrmcmathrmhzmathrmsmathrmimathrmnzmathrmcmathrmomathrmszlancûgovimidrobami |