Multiple modules of continuity and the best approximations of periodic functions in metric spaces
It is proved that, under the condition $M_{\Psi} \Bigl( \frac 12\Bigr) < 1$, where $M_{\Psi}$ is a stretching function $\Psi$ in the space $L_{\Psi}$ , the Jackson inequalities $$\sup_n \sup_{f\in L_{\Psi}, f\not = \text{const}} \frac{E_{n-1}(f)_{\Psi} }{\omega_k \Bigl(f, \frac{\pi}n \Bigr...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1588 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507394886336512 |
|---|---|
| author | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_facet | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_sort | Pichugov, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:33Z |
| description | It is proved that, under the condition $M_{\Psi} \Bigl( \frac 12\Bigr)
< 1$, where $M_{\Psi}$ is a stretching function $\Psi$ in the space $L_{\Psi}$ , the Jackson
inequalities
$$\sup_n \sup_{f\in L_{\Psi}, f\not = \text{const}} \frac{E_{n-1}(f)_{\Psi} }{\omega_k \Bigl(f, \frac{\pi}n
\Bigr)_{\Psi}} < \infty,$$
are true; here, $E_{n-1}(f)_{\Psi}$ is the best approximation of $f$ by trigonometric polynomials of degree at most $n - 1$ and $\omega_k \Bigl(f, \frac{\pi}n \Bigr)_{\Psi}$ is the modulus of continuity of $f$ of order $k$, $k \in N$. We study necessary and sufficient conditions for the
function $f$ under which the following relation is true: $E_{n-1}(f)_{\Psi} \asymp \omega_k
\Bigl(f, \frac{\pi}n
\Bigr)_{\Psi}.$ |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. А. Пичугов (Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. трансп.)
КРАТНЫЕ МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ И НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
It is proved that, under the condition M\Psi
\Bigl( 1
2
\Bigr)
< 1, where M\Psi is a stretching function \Psi in the space L\Psi , the Jackson
inequalities
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\Psi ,f \not =const
En - 1(f)\Psi
\omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
\Psi
< \infty ,
are true; here, En - 1(f)\Psi is the best approximation of f by trigonometric polynomials of degree at most n - 1 and
\omega k(f, h)\Psi is the modulus of continuity of f of order k, k \in N. We study necessary and sufficient conditions for the
function f under which the following relation is true: En - 1(f)\Psi \asymp \omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
\Psi
.
Доведено, що за умови M\Psi
\Bigl( 1
2
\Bigr)
< 1, де M\Psi — функцiя розтягування \Psi у просторi L\Psi , виконуються нерiвностi
Джексона
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\Psi ,f \not =const
En - 1(f)\Psi
\omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
\Psi
< \infty .
Тут En - 1(f)\Psi — найкраще наближення f тригонометричними полiномами степеня не вищого за n - 1, \omega k(f, h)\Psi —
модуль неперервностi f порядку k, k \in N. Дослiджуються необхiднi i достатнi умови на функцiю f для виконання
спiввiдношення En - 1(f)\Psi \asymp \omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
\Psi
.
1. Введение. Пусть \Omega — множество функций \Psi : R1
+ \rightarrow R1
+, являющихся модулем непрерыв-
ности, т. е. \Psi — непрерывная неубывающая функция, \Psi (0) = 0, \Psi (x + y) \leq \Psi (x) + \Psi (y)
для всех x, y \in R1
+; функции f(x), x \in R1, — действительнозначные, имеющие период 2\pi ;
T = [ - \pi , \pi ] — основной тор периодов; L0 \equiv L0(T ) — множество таких функций, которые
почти всюду на T конечны и измеримы; для \Psi \in \Omega множество L\Psi :
L\Psi \equiv L\Psi (T ) =
\left\{ f \in L0 : \| f\| \Psi =
1
2\pi
\int
T
\Psi (| f(x)| )dx < \infty
\right\} ,
является линейным метрическим пространством с метрикой \rho (f, g)\Psi = \| f - g\| \Psi . В частности,
с помощью функции \varphi (t) = t(1 + t) - 1, \varphi \in \Omega , в L0 вводится метрика
\rho (f, g)0 =
\int
T
\varphi
\bigl(
| f(x) - g(x)|
\bigr)
dx,
порождающая сходимость по мере, а в случае \varphi (t) = tp, 0 < p < 1, получаем метрические
пространства Lp.
Пусть Tn(x) =
\sum n
k= - n
cke
ikx — действительнозначный тригонометрический полином сте-
пени n,
En(f)\Psi = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ ck\}
\| f - Tn\| \Psi
— наилучшее приближение f такими полиномами в пространстве L\Psi ,
c\bigcirc С. А. ПИЧУГОВ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5 699
700 С. А. ПИЧУГОВ
\Delta tf(x) = f(x+ t) - f(x), \Delta k
t = \Delta t(\Delta
k - 1
t ), k \in N,
\omega k(f, h)\Psi = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| \leq h
\| \Delta k
t f\| \Psi , h \geq 0,
— модуль непрерывности порядка k функции f в пространстве L\Psi (в случае k = 1 вместо
\omega 1(f, h)\Psi будем писать \omega (f, h)\Psi ).
Рассмотрим задачу о выполнении в пространствах L\Psi следующих соотношений (нера-
венств Джексона):
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n>0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\Psi ,f \not =const
En - 1(f)\Psi
\omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
\Psi
< \infty . (1)
В пространствах Lp, p \in (0, 1), при k = 1 соотношения (1) доказаны в работах [1, 2], для
k > 1 — в [3]. В дальнейшем в [4] предложен новый метод доказательства (1) для всех k \in N.
При исследовании неравенств (1) в шкале пространств L\Psi важную роль играет понятие
функции растяжения.
Пусть \beta (t), t \in (0,\infty ), — произвольная строго положительная всюду конечная функция. Ее
функцией растяжения называют [5] (гл. II, § 1) функцию M\beta (s), s \in (0,\infty ),
M\beta (s) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t>0
\beta (st)
\beta (t)
.
Известно [5], что для функции M\beta существует число \gamma \beta (нижний показатель растяжения
функции \beta ) такое, что M\beta (s) \geq s\gamma \beta \forall s \in [0, 1], и для любого \varepsilon > 0 при 0 < s < 1 M\beta (s) \leq
\leq C\varepsilon s
\gamma \beta - \varepsilon с некоторой постоянной C\varepsilon .
Заметим, что \gamma \beta \in [0, 1] для \beta \in \Omega , и в этом случае функция M\beta (s) в правой окрестности
нуля ведет себя следующим образом: либо M\beta (s) \equiv 1 для всех s \in (0, 1] (случай \gamma \beta = 0), либо
M\beta (+0) = 0 (случай \gamma \beta > 0).
В [6] доказано, что в пространстве L\Psi при k = 1 неравенство Джексона (1) выполнено
тогда и только тогда, когда \gamma \Psi > 0. Случай k > 1 оставался открытым.
В п. 2 мы докажем неравенства Джексона (1) в случае k > 1 для некоторого класса про-
странств L\Psi . В п. 3 приведены конструктивные характеристики классов H\alpha
k (L\Psi ),
H\alpha
k (L\Psi ) =
\bigl\{
f \in L\Psi : \omega k(f, h)\Psi \leq Cf \cdot h\alpha
\bigr\}
.
В п. 4 исследуется задача С. Б. Стечкина о точном обращении неравенств Джексона в
L\Psi , т. е. необходимые и достаточные условия на функцию f для того, чтоб выполнялось
соотношение
En - 1(f)\Psi \asymp \omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
\Psi
.
2. Теорема Джексона в \bfitL \Psi для кратных модулей непрерывности.
Теорема 1. Пусть \Psi \in \Omega , k = 2, 3, . . . .
1. Если M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1, то выполняются соотношения (1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
КРАТНЫЕ МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ И НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 701
2. Если \gamma \Psi = 0, то для любой последовательности \{ \alpha n\} , \alpha n > 0, \alpha n \downarrow 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\Psi ,f \not =const
En - 1(f)\Psi
\omega k(f, \alpha n)\Psi
= \infty . (2)
Метод доказательства неравенства Джексона (1) в Lp, 0 < p < 1, разработанный в [4],
имеет большую общность. Многие этапы доказательства с естественными изменениями оста-
ются в силе в более общем случае пространств L\Psi . При этом на разных этапах возникают
разные требования к поведению функции \Psi . Мы следуем этому методу доказательства. При
изложении, по возможности, ограничиваемся краткими комментариями, акцентируя внимание
на тех местах, где по существу используется специфика метрики L\Psi , и опускаем технические
детали, которые есть в [4], связанные с алгебраическими преобразованиями.
С помощью функции \nu (s) : R \rightarrow R такой, что:
1) \nu (s) = 1 для s \in [ - 1, 1] и \nu (s) = 0 для | s| \geq 2;
2) \nu ( - s) = \nu (s);
3) \nu (s) \in C\infty (R),
определим тригонометрический полином
Vn(x) :=
\sum
| k| \leq 2n
\nu
\biggl(
k
n
\biggr)
eikx
степени не выше 2n - 1, который является аналогом классических полиномов Валле Пуссена.
Для произвольного натурального N, N \geq 3n, построим на периоде [0, 2\pi ] систему равно-
отстоящих точек tj = 2\pi
j
N
, j = 1, . . . , N, и для \lambda \in R определим полиномиальные операто-
ры Vn,\lambda :
Vn,\lambda (f ;x) =
1
N
N\sum
j=1
f(tj + \lambda )Vn(x - tj - \lambda ).
Если \gamma \Psi > 0, то [6]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1nVn
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M\Psi
\leq C1
1
n
, и если N \leq C2n, то
1
2\pi
2\pi \int
0
\| Vn,\lambda (f)\| \Psi d\lambda \leq
\leq
N\sum
j=1
1
2\pi
2\pi \int
0
1
2\pi
2\pi \int
0
\Psi (| f(tj + \lambda )| )M\Psi
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Vn(x - tj - \lambda )
N
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr) dx d\lambda =
= N\| f\| \Psi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Vn
N
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M\Psi
\leq C3\| f\| \Psi , (3)
т. е. при условии \gamma \Psi > 0 нормы операторов Vn,\lambda в среднем по сдвигам \lambda равномерно ограни-
чены по n (если N имеет порядок роста n).
Пусть \tau h — оператор сдвига аргумента на h, т. е. \tau hg(x) = g(x+ h). Для операторов A,B
через [A,B] обозначим их коммутатор: [A,B] = AB - BA.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
702 С. А. ПИЧУГОВ
В дальнейшем положим
N = 2d
\bigl( \bigl[
2
\gamma \Psi
\bigr] \bigr)
2(2n - 1) - 1 + 1,
где d
(l)
n = n(l + 1) - l.
При таком выборе N в [8] доказано, что при \gamma \Psi > 0 для любого тригонометрического
полинома T2n - 1 степени не выше 2n - 1 при всех h \in
\biggl(
0,
2\pi
N
\biggr)
выполняются неравенства
\bigm\| \bigm\| \Delta k
hT2n - 1
\bigm\| \bigm\|
\Psi
\leq C4\| \Delta k
2\pi
N
T2n - 1\| \Psi . (4)
Лемма 1. Пусть \Psi \in \Omega и M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1. Тогда для всех f \in L\Psi , n \in N, выполняются
неравенства
1
2\pi
2\pi \int
0
1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm\| \bigm\| [Vn,\lambda , \tau h](f, x)
\bigm\| \bigm\|
\Psi
d\lambda dh \leq C5\omega k
\biggl(
f,
\pi
n+ 1
\biggr)
\Psi
. (5)
Доказательство. При условии M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1 для любой
2\pi
m
-периодической функции f \in
\in L\Psi имеет место неравенство [7]
1
2\pi
2\pi \int
0
\| \Delta hf\| \Psi dh \leq C6m
2\pi
m\int
0
\| \Delta k
hf\| \Psi dh. (6)
Обозначим через \Delta h,\lambda оператор разности с шагом h по переменной \lambda , а через \| \cdot \| \Psi ,\lambda
L\Psi -норму по переменной \lambda . Поскольку [4] [Vn,\lambda , \tau h] = \tau h\Delta h,\lambda Vn,\lambda и \Delta k
h(f(x)g(x)) =
=
\sum k
i=0
Ci
k\Delta
k - i
h f(x+ ih)\Delta i
hg(x), то из (6) следует, что
I :=
1
2\pi
2\pi \int
0
1
2\pi
2\pi \int
0
\| [Vn,\lambda , \tau h](f, x)\| \Psi d\lambda dh \leq
\leq C6N
1
2\pi
2\pi \int
0
1
2\pi
t1\int
0
\| \Delta 2k
h,\lambda (Vn,\lambda (f, x))\| \Psi ,\lambda dhdx =
= C6N
1
2\pi
2\pi \int
0
1
2\pi
t1\int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
N\sum
j=1
\Delta 2k
h,\lambda (f(tj + \lambda ))
\biggl(
Vn
N
(x - tj - \lambda )
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Psi ,\lambda
dhdx \leq
\leq C6N
2k\sum
i=0
M\Psi (C
i
2k)
1
2\pi
t1\int
0
1
2\pi
2\pi \int
0
\| \Delta i
- hVn,\lambda \Delta
2k - i
h \tau ih(f, x)\| \Psi d\lambda dh.
Функция Vn,\lambda \Delta
2k - i
h \tau ih(f, x) является тригонометрическим полиномом порядка 2n - 1 по
переменной x, поэтому в силу выбора N из (4) следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
КРАТНЫЕ МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ И НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 703\bigm\| \bigm\| \Delta i
- hVn,\lambda \Delta
2k - i
h \tau ih(f, x)
\bigm\| \bigm\|
\Psi
\leq C4
\bigm\| \bigm\| \Delta i
t1Vn,\lambda \Delta
2k - i
h \tau ih(f, x)
\bigm\| \bigm\|
\Psi
.
Отсюда, учитывая (3), получаем
I \leq C6N
2k\sum
i=0
M\Psi (C
i
2k)C4
1
2\pi
t1\int
0
1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm\| \bigm\| Vn,\lambda \tau
i
h\Delta
i
t1\Delta
2k - i
h (f, x)
\bigm\| \bigm\|
\Psi
d\lambda dh \leq
\leq C7N
t1\int
0
\bigm\| \bigm\| \Delta i
t1\Delta
2k - i
h f(x)
\bigm\| \bigm\|
\Psi
dh \leq C8\omega k(f, t1)\Psi .
Лемма 1 доказана.
Следствие 1. В условиях леммы 1 выполняются неравенства
N
t1\int
0
1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm\| \bigm\| [Vn,\lambda - I,\Delta h](f, x)
\bigm\| \bigm\|
\Psi
d\lambda dh \leq C9\omega k
\biggl(
f,
2\pi
n
\biggr)
\Psi
. (7)
Доказательство теоремы 1. Для доказательства неравенства Джексона (1) по существу
нужно повторить соответствующие выкладки из [4]. Оценка сверху аппроксимации осуществ-
ляется с помощью усреднений по сдвигам
Ik :=
1
(2\pi )k
2\pi \int
0
. . .
2\pi \int
0
\bigm\| \bigm\| (I - Vn,\lambda 1) \circ (I - Vn,\lambda 2) \circ . . . \circ (I - Vn,\lambda k
)
\bigm\| \bigm\|
\Psi
d\lambda 1 . . . d\lambda k.
Достаточно доказать, что Ik \leq C10\omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
\Psi
.
В [7] доказано, что для любой \Psi из \Omega и всех f \in L\Psi и h > 0 выполняются неравенства
\omega k(f, h)\Psi \leq C11\Omega k(f, h)\Psi \leq C12\omega k(f, h)\Psi ,
где
\Omega k(f, h)\Psi =
1
hk
h\int
0
. . .
h\int
0
\| \Delta k
t f\| \Psi dt1 . . . dtk,
t = (t1, . . . , tk), \Delta k
t = \Delta t1 \circ . . . \circ \Delta tk .
Неравенство Ik \leq C13\Omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
\Psi
доказывается индукцией по k. В случае k = 1 при \gamma \Psi > 0
неравенство Джексона доказано в [6], а индуктивный переход основан на неравенстве (7) и
алгебраическом соотношении [4]
\Delta h1 \circ . . . \circ \Delta hs \circ (Vn,\lambda - I) =
= (Vn,\lambda - I) \circ \Delta h1 \circ . . . \circ \Delta hs +
s\sum
i=1
\Delta h1 \circ . . . \circ [\Delta hi
, Vn,\lambda - I] \circ . . . \circ \Delta hs .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
704 С. А. ПИЧУГОВ
Пусть теперь \gamma \Psi = 0. Для доказательства (2) заметим, что \omega k(f, \alpha n)\Psi \leq 2k - 1\omega (f, \alpha n)\Psi ,
поэтому (см. [6])
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\Psi ,f \not =const
En - 1(f)\Psi
\omega k(f, \alpha n)\Psi
\geq 1
2k - 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\Psi ,f \not =const
En - 1(f)\Psi
\omega (f, \alpha n)\Psi
= \infty .
Теорема 1 доказана.
Замечание. Условие M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1 является более сильным, чем условие \gamma \Psi > 0. Напри-
мер, для функции \Psi из \Omega \Psi (x) = 2x для x \in
\biggl[
0,
1
2
\biggr]
, \Psi (x) = 1 для x \in
\biggl[
1
2
, 1
\biggr]
, \Psi (x) = x для
x > 1, \gamma \Psi = 1 и M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
= 1.
В случае k = 1 необходимым и достаточным условием для выполнения неравенства Джек-
сона (1) было условие \gamma \Psi > 0 [6]. При k > 1 при доказательстве теоремы 1 в основном
использовалось условие \gamma \Psi > 0. Однако неравенство (6) доказано при условии M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1.
Остается открытым вопрос: справедлива ли теорема Джексона при k > 1 в пространствах L\Psi
при условии \gamma \Psi > 0?
3. Конструктивная характеристика классов \bfitH \bfitalpha
\bfitk (\bfitL \Psi ). В работе [9] в пространстве L\Psi
доказана обратная теорема Джексона в следующей форме.
Теорема 2. Пусть \Psi \in \Omega , \gamma \Psi > 0. Тогда для любого k \in N найдется постоянная C =
= C(k,\Psi ) такая, что для всех f \in L\Psi и всех h \in (0, \pi ] имеют место неравенства
\omega k(f, h)\Psi \leq C
[ 2\pi h ]\sum
\nu =1
M\Psi
\Biggl( \biggl(
\nu
h
2\pi
\biggr) k
\Biggr)
\nu
E\nu - 1(f)\Psi . (8)
Так как M\Psi (t) \leq C(\varepsilon )t\gamma \Psi - \varepsilon при t \in (0, 1], то из (8) следует, что
\omega k(f, h)\Psi \leq C14h
k(\gamma \Psi - \varepsilon )
[ 2\pi h ]\sum
\nu =1
\nu k(\gamma \Psi - \varepsilon ) - 1E\nu - 1(f)\Psi . (9)
Пусть E\nu - 1(f)\Psi \leq C15
1
\nu \alpha
, \nu \in N, и \alpha < k\gamma \Psi . Положим \varepsilon настолько малым, чтобы
выполнялось условие \alpha < k(\gamma \Psi - \varepsilon ).
Тогда из (9) следует \omega k(f, h)\Psi \leq C16h
\alpha .
Поэтому из теорем 1, 2 вытекает следующее следствие.
Следствие 2. Пусть \Psi \in \Omega , M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1, k > 1, \alpha < k\gamma \Psi . Тогда для функции f
следующие два условия эквивалентны:
1) \exists K1 = K1(f) \forall n : En - 1(f)\Psi \leq K1
1
n\alpha
;
2) \exists K2 = K2(f) \forall h > 0 : \omega k(f, h)\Psi \leq K2h
\alpha .
При k = 1 это утверждение доказано в [9], и в этом случае вместо условия M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1
достаточным было только условие \gamma \Psi > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
КРАТНЫЕ МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ И НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 705
4. Точное обращение неравенства Джексона в \bfitL \Psi . При каких условиях на функцию f
выполняется соотношение En - 1(f)\Psi \asymp \omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
\Psi
? Задачи о совпадении аппроксимативных
и структурных свойств функции в пространстве C[0, 2\pi ] исследовались в [10 – 12] (см. также
[13] для пространств Lp[0, 2\pi ], p \in [1,\infty ]).
В [14] доказано, что при p \in [1,\infty ]
En - 1(f)p \asymp \omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
p
\leftrightarrow \omega k(f, h)p \asymp \omega k+1(f, h)p.
Аналог этого результата в случае p \in (0, 1) доказан в [15]:
En - 1(f)p \asymp \omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
p
\leftrightarrow \omega k(f, h)p \asymp \omega r(f, h)p, r = k +
\biggl[
1
p
\biggr]
.
Для характеристики поведения функции \Psi наряду с нижним показателем растяжения будем
теперь использовать и верхний показатель \delta \Psi , т. е. [5] (гл. II, § 1) такой показатель степени, что
M\Psi (t) \geq t\delta \Psi при всех t \geq 1, но для любого \varepsilon > 0 M\Psi (t) \leq C\varepsilon t
\delta \Psi +\varepsilon с некоторой постоянной C\varepsilon .
Для модуля непрерывности \omega k(f, h)\Psi заданной функции f верхний показатель обозна-
чим \delta \omega k
.
Теорема 3. Пусть k \in N, \gamma \Psi > 0 при k = 1 и M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1 при k > 1. Если \delta \omega k
< k\gamma \Psi
для f \in L\Psi , то \omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
\Psi
\asymp En - 1(f)\Psi .
Теорема 4. Пусть k \in N, M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1. Тогда для f \in L\Psi
\omega k
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
\Psi
\asymp En - 1(f)\Psi \leftrightarrow \exists s \in N : s >
\biggl(
\delta \Psi
\gamma \Psi
- 1
\biggr)
k +
1 - \delta \Psi
\gamma \Psi
,
\omega k(f, h)\Psi \asymp \omega k+s(f, h)\Psi .
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма 2. Пусть N,n \in N, N \geq n, k, l \in N, \gamma \Psi > 0 при k = 1 и M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1 при k > 1.
Тогда если \delta \omega k
< l\gamma \Psi , то для всех \varepsilon > 0 таких, что l(\gamma \Psi - \varepsilon ) - \delta \omega k
- \varepsilon > 0,
1
N
N\sum
\nu =1
\Bigl( \nu
N
\Bigr) (\gamma \Psi - \varepsilon )l - 1
E\nu - 1(f)\Psi \leq C17
\Bigl( n
N
\Bigr) l(\gamma \Psi - \varepsilon )
\omega k
\biggl(
f,
1
n
\biggr)
\Psi
+ C18En - 1(f)\Psi ,
где постоянные C17, C18 не зависят от n и N.
Далее для краткости для данной функции f обозначим e\nu := E\nu (f)\Psi , \omega k(h) := \omega k(f, h)\Psi .
Доказательство леммы 2. Имеем
1
N
N\sum
\nu =1
\Bigl( \nu
N
\Bigr) l(\gamma \Psi - \varepsilon ) - 1
e\nu - 1 =
1
N
\Biggl(
n - 1\sum
\nu =1
+
N\sum
\nu =n
\Biggr) \Bigl( \nu
N
\Bigr) l(\gamma \Psi - \varepsilon ) - 1
e\nu - 1 =: A+B.
Поскольку \{ e\nu - 1\} \downarrow , то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
706 С. А. ПИЧУГОВ
B \leq en - 1
1
N l(\gamma \Psi - \varepsilon )
N\sum
\nu =n
\nu l(\gamma \Psi - \varepsilon ) - 1 \leq C18en - 1.
Для оценки A используем теорему Джексона и определение \delta \omega k
: при \nu < n
e\nu - 1 \leq C19\omega k
\biggl(
1
\nu
\biggr)
\leq C20\omega k
\biggl(
1
n
\biggr) \Bigl( n
\nu
\Bigr) \delta \omega k
+\varepsilon
,
A \leq C20\omega k
\biggl(
1
n
\biggr)
1
N
n - 1\sum
\nu =1
\Bigl( \nu
N
\Bigr) l(\gamma \Psi - \varepsilon ) - 1 \Bigl( n
\nu
\Bigr) \delta \omega k
+\varepsilon
=
= C20\omega k
\biggl(
1
n
\biggr)
n\delta \omega k
+\varepsilon
N l(\gamma \Psi - \varepsilon )
n - 1\sum
\nu =1
\nu l(\gamma \Psi - \varepsilon ) - (\delta \omega k
+\varepsilon ) - 1 \leq C17(
n
N
)l(\gamma \Psi - \varepsilon )\omega k
\biggl(
1
n
\biggr)
.
Лемма 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Положим в лемме 2 l = k и применим обратную теорему
Джексона в форме (9):
\omega k
\biggl(
2\pi
n
\biggr)
= \omega k
\biggl(
2\pi
N
N
n
\biggr)
\leq C21
\biggl(
N
n
\biggr) \delta \omega k
+\varepsilon 1
N
N\sum
\nu =1
\Bigl( \nu
N
\Bigr) k(\gamma \Psi - \varepsilon ) - 1
e\nu - 1 \leq
\leq C21
\biggl(
N
n
\biggr) \delta \omega k
+\varepsilon \biggl(
C17
\Bigl( n
N
\Bigr) k(\gamma \Psi - \varepsilon )
\omega k
\biggl(
2\pi
n
\biggr)
+ C18en - 1
\biggr)
=
= C21
\Bigl( n
N
\Bigr) k(\gamma \Psi - \varepsilon ) - (\delta \omega k
+\varepsilon )
\omega k
\biggl(
2\pi
n
\biggr)
+ C22
\biggl(
N
n
\biggr) \delta \omega k
+\varepsilon
en - 1. (10)
Заметим, что постоянные C21 и C22 не зависят от n и N.
Положим N = n \cdot r, r \in N, и выберем r настолько большим, чтобы выполнялось условие
C21
\biggl(
1
r
\biggr) k(\gamma \Psi - \varepsilon ) - (\delta \omega k
+\varepsilon )
<
1
2
.
Тогда из (10) следует, что \omega k
\biggl(
\pi
n
\biggr)
\leq C23en - 1.
Теорема 3 доказана.
Доказательство теоремы 4. Импликация \Rightarrow очевидным образом справедлива (причем
для любого s \in N):
\omega k
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
\asymp en - 1 \leq C24\omega k+s
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
\leq C25\omega k
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
.
Докажем обратное утверждение. Достаточно показать, что \delta \omega k+s
< (k + s)\gamma \Psi . Тогда по
теореме 3
\omega k
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
\asymp \omega k+s
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
\asymp en - 1. (11)
Из определения верхнего показателя растяжения видно, что если \omega k(h) \asymp \omega k+s(h), то
\delta \omega k
= \delta \omega k+s
. Значит, справедливость (11) гарантируется условием \delta \omega k
< (k + s)\gamma \Psi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
КРАТНЫЕ МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ И НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 707
В [7] доказано, что для любой f \in L\Psi ,\Psi \in \Omega , всех k, n \in N и h > 0
\omega k(f, nh)\Psi \leq C(k)nM\Psi (n
k - 1)\omega k(f, h)\Psi .
Отсюда следует оценка сверху для значений \delta \omega k
:
\delta \omega k
\leq (k - 1)\delta \Psi + 1.
Поэтому для выполнимости (11) достаточно выбрать значение s так, чтобы
(k - 1)\delta \Psi + 1 < (k + s)\gamma \Psi .
Теорема 4 доказана.
Литература
1. Иванов В. И. Прямые и обратные теоремы теории приближения в метрике Lp для 0 < p < 1 // Мат. заметки. –
1975. – 18, № 5. – С. 641 – 658.
2. Стороженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах
Lp, 0 < p < 1 // Мат. сб. – 1975. – 98, № 3. – С. 395 – 415.
3. Стороженко Э. А., Освальд П. Теорема Джексона в пространствах Lp(R
k), 0 < p < 1 // Сиб. мат. журн. –
1978. – 19, № 4. – С. 888 – 901.
4. Руновский К. В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp,
0 < p < 1 // Мат. сб. – 1994. – 185, № 8. – С. 81 – 102.
5. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
6. Пичугов С. А. О теореме Джексона для периодических функций в метрических пространствах с интегральной
метрикой. II // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 11. – С. 1524 – 1533.
7. Пичугов С. А. Некоторые свойства модулей непрерывности периодических функций в метрических простран-
ствах // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 12. – С. 1657 – 1664.
8. Пичугов С. А. Неравенства типа Никольского – Стечкина для приращений тригонометрических полиномов в
метрических пространствах // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 5. – С. 711 – 716.
9. Пичугов С. А. Обратные теоремы Джексона в пространствах с интегральной метрикой // Укр. мат. журн. –
2012. – 64, № 3. – С. 351 – 362.
10. Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Докл. АН СССР. – 1949. – 65,
№ 2. – С. 135 – 137.
11. Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1951. –
15, № 3. – С. 219 – 242.
12. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функ-
ций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 483 – 522.
13. Тиман А. Ф. Теория приближений функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
14. Rathore R. K. S. The problem of A. F. Timan on the precise oredes of decrease of the best approximations // J.
Approxim. Theory. – 1994. – 77. – P. 153 – 166.
15. Коломойцев Ю. С. О модулях гладкости и мультипликаторах Фурье в Lp, 0 < p < 1 // Укр. мат. журн. –
2007. – 59, № 9. – С. 1221 – 1238.
Получено 25.05.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1588 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:37Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/72/27ee89d3d58648f0aea4f934af94b772.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15882019-12-05T09:19:33Z Multiple modules of continuity and the best approximations of periodic functions in metric spaces Кратные модули непрерывности и наилучшие приближения периодических функций в метрических пространствах Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. It is proved that, under the condition $M_{\Psi} \Bigl( \frac 12\Bigr) < 1$, where $M_{\Psi}$ is a stretching function $\Psi$ in the space $L_{\Psi}$ , the Jackson inequalities $$\sup_n \sup_{f\in L_{\Psi}, f\not = \text{const}} \frac{E_{n-1}(f)_{\Psi} }{\omega_k \Bigl(f, \frac{\pi}n \Bigr)_{\Psi}} < \infty,$$ are true; here, $E_{n-1}(f)_{\Psi}$ is the best approximation of $f$ by trigonometric polynomials of degree at most $n - 1$ and $\omega_k \Bigl(f, \frac{\pi}n \Bigr)_{\Psi}$ is the modulus of continuity of $f$ of order $k$, $k \in N$. We study necessary and sufficient conditions for the function $f$ under which the following relation is true: $E_{n-1}(f)_{\Psi} \asymp \omega_k \Bigl(f, \frac{\pi}n \Bigr)_{\Psi}.$ Доведено, що за умови $M_{\Psi} \Bigl( \frac 12\Bigr) < 1$, де $M_{\Psi}$ — функцiя розтягування $\Psi$ у просторi $L_{\Psi}$, виконуються нерiвностi Джексона $$\sup_n \sup_{f\in L_{\Psi}, f\not = \text{const}} \frac{E_{n-1}(f)_{\Psi} }{\omega_k \Bigl(f, \frac{\pi}n \Bigr)_{\Psi}} < \infty.$$ Тут $E_{n-1}(f)_{\Psi}$ — найкраще наближення $f $тригонометричними полiномами степеня не вищого за $n- 1,\; \omega_k \Bigl(f, \frac{\pi}n \Bigr)_{\Psi}$ — модуль неперервностi $f$ порядку $k$, $k \in N$. Дослiджуються необхiднi i достатнi умови на функцiю $f$ для виконання спiввiдношення $E_{n-1}(f)_{\Psi} \asymp \omega_k \Bigl(f, \frac{\pi}n \Bigr)_{\Psi}.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1588 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 5 (2018); 699-707 Український математичний журнал; Том 70 № 5 (2018); 699-707 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1588/570 Copyright (c) 2018 Pichugov S. A. |
| spellingShingle | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. Multiple modules of continuity and the best approximations of periodic functions in metric spaces |
| title | Multiple modules of continuity and the best approximations of periodic functions
in metric spaces |
| title_alt | Кратные модули непрерывности и наилучшие приближения периодических
функций в метрических пространствах |
| title_full | Multiple modules of continuity and the best approximations of periodic functions
in metric spaces |
| title_fullStr | Multiple modules of continuity and the best approximations of periodic functions
in metric spaces |
| title_full_unstemmed | Multiple modules of continuity and the best approximations of periodic functions
in metric spaces |
| title_short | Multiple modules of continuity and the best approximations of periodic functions
in metric spaces |
| title_sort | multiple modules of continuity and the best approximations of periodic functions
in metric spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1588 |
| work_keys_str_mv | AT pichugovsa multiplemodulesofcontinuityandthebestapproximationsofperiodicfunctionsinmetricspaces AT pičugovsa multiplemodulesofcontinuityandthebestapproximationsofperiodicfunctionsinmetricspaces AT pičugovsa multiplemodulesofcontinuityandthebestapproximationsofperiodicfunctionsinmetricspaces AT pichugovsa kratnyemodulinepreryvnostiinailučšiepribliženiâperiodičeskihfunkcijvmetričeskihprostranstvah AT pičugovsa kratnyemodulinepreryvnostiinailučšiepribliženiâperiodičeskihfunkcijvmetričeskihprostranstvah AT pičugovsa kratnyemodulinepreryvnostiinailučšiepribliženiâperiodičeskihfunkcijvmetričeskihprostranstvah |