Best approximations of the Cauchy – Szegö kernel in the mean on the unit circle
We compute the values of the best approximations of the Cauchy – Szeg¨o kernel in the mean on the unit circle by quasipolynomials with respect to the Takenaka – Malmquist system.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1589 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507396659478528 |
|---|---|
| author | Savchuk, V. V. Савчук, В. В. |
| author_facet | Savchuk, V. V. Савчук, В. В. |
| author_sort | Savchuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:33Z |
| description | We compute the values of the best approximations of the Cauchy – Szeg¨o kernel in the mean on the unit circle by
quasipolynomials with respect to the Takenaka – Malmquist system.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Савчук (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ЯДРА КОШI – СЕГЬО
В СЕРЕДНЬОМУ НА ОДИНИЧНОМУ КОЛI
We compute the values of the best approximations of the Cauchy – Szegö kernel in the mean on the unit circle by
quasipolynomials with respect to the Takenaka – Malmquist system.
Вычислены величины наилучших приближений в среднем на единичной окружности ядра Коши – Сегe посредством
квазиполиномов по системе Такенаки – Мальмквиста.
1. Нехай \BbbD := \{ z \in \BbbC : | z| < 1\} , \BbbT := \{ z \in \BbbC : | z| = 1\} i \sigma — нормована мiра Лебега на \BbbT .
Розглянемо послiдовнiсть \bfa := \{ ak\} \infty k=0 точок у крузi \BbbD , серед яких можуть бути точки
скiнченної i навiть нескiнченної кратностi. Системою функцiй Такенаки – Мальмквiста, поро-
дженою послiдовнiстю \bfa , називається система \varphi := \{ \varphi j\} \infty j=0 функцiй \varphi j вигляду
\varphi 0(t) =
\sqrt{}
1 - | a0| 2
1 - a0t
, \varphi j(t) =
\sqrt{}
1 - | aj | 2
1 - ajt
Bj(t), j = 1, 2, . . . ,
де
Bj(t) :=
j - 1\prod
k=0
- | ak|
ak
t - ak
1 - tak
,
а при ak = 0 покладається | ak| /ak = - 1.
Нехай TM — множина усiх систем Такенаки – Мальмквiста у крузi \BbbD .
Вiдомо (див., наприклад, [1], §10.7), що TM-система \varphi є ортонормованою на колi \BbbT , тобто\int
\BbbT
\varphi k\varphi ld\sigma = \delta kl, k, l = 0, 1, . . . ,
де \delta kl — символ Кронекера, i повною в просторi Гардi H2 тодi i тiльки тодi, коли
\sum \infty
k=0
(1 -
- | ak| ) = +\infty .
Пiд ядром Кошi – Сегьо для круга \BbbD будемо розумiти функцiю двох змiнних
(z, t) \mapsto \rightarrow 1
1 - zt
,
визначену в \BbbD 2 \setminus \BbbT 2 .
Вiдомо [2], що для будь-якого n \in \BbbN
1
1 - zt
-
n - 1\sum
j=0
\varphi j(z)\varphi j(t) =
Bn(z)Bn(t)
1 - zt
, (z, t) \in \BbbD 2 \setminus \BbbT 2, (1)
а у випадку, коли система \varphi є повною в H2 , | Bn(z)Bn(t)| \rightrightarrows 0, n \rightarrow \infty , в областi \BbbD 2 \setminus \BbbT 2 i
тому
1
1 - zt
=
\infty \sum
j=0
\varphi j(z)\varphi j(t) \forall (z, t) \in \BbbD 2 \setminus \BbbT 2.
c\bigcirc В. В. САВЧУК, 2018
708 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ЯДРА КОШI – СЕГЬО В СЕРЕДНЬОМУ НА ОДИНИЧНОМУ КОЛI 709
Зрозумiло також (це випливає з формули (1)), що при фiксованому z \in \BbbD сума\sum n - 1
j=0
\varphi j(z)\varphi j(t) є квазiполiномом порядку n
\bigl(
елемент лiнiйної оболонки \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ \varphi 0, . . . , \varphi n - 1\}
\bigr)
найкращого середньоквадратичного наближення на колi \BbbT ядра Кошi – Сегьо, тобто
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\lambda j,n(z)
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
1 - zt
-
n - 1\sum
j=0
\lambda j,n(z)\varphi j(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
d\sigma (t) =
=
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
1 - zt
-
n - 1\sum
j=0
\varphi j(z)\varphi j(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
d\sigma (t) =
| Bn(z)| 2
1 - | z| 2
, z \in \BbbD .
В данiй роботi розв’язано задачу про найкраще наближення в середньому на колi \BbbT ядра
Кошi – Сегьо пiдпростором \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ \varphi 0, . . . , \varphi n - 1\} , а саме, знайдено формулу для обчислення
величини
En
\biggl(
1
1 - z\cdot
;\varphi
\biggr)
:= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\lambda j,n(z)
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
1 - zt
-
n - 1\sum
j=0
\lambda j,n(z)\varphi j(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\sigma (t) (2)
i вказано явний вигляд коефiцiєнтiв \lambda \ast
j,n(z), на яких досягається мiнiмум у правiй частинi (2).
У випадку, коли система \varphi є системою степенiв, тобто коли \varphi j(t) = tj , дану задачу розв’я-
зано в [3]:
En
\biggl(
1
1 - z\cdot
; \{ tj\} \infty j=0
\biggr)
= | z| n 1 - | z| 2
1 - | z| 2(n+1)
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| 1 - zn+1tn+1
\bigm| \bigm|
| 1 - zt| 2
d\sigma (t), n \in \BbbN .
Результати про найкращi наближення iншими пiдпросторами в iнших метриках ядер Кошi –
Сегьо на одиничному колi та ядер Кошi на дiйснiй осi можна знайти в [4 – 8].
Основним результатом цiєї статтi є така теорема.
Теорема 1. Нехай \varphi \in TM i z \in \BbbD . Тодi для будь-якого n \in \BbbN
En
\biggl(
1
1 - z\cdot
;\varphi
\biggr)
= | Bn(z)|
1 - | z| 2
1 - | zBn(z)| 2
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| 1 - zBn(z)tBn(t)
\bigm| \bigm| \bigm|
| 1 - zt| 2
d\sigma (t)
i
\lambda \ast
j,n(z) =
\varphi j(z)
1 - | zBn(z)| 2
\Biggl(
1 - z
1 - ajz
z - aj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Bn(z)
Bj(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
\Biggr)
, j = 0, 1, . . . , n - 1. (3)
Доведення. Введемо такi позначення:
H1
0 :=
\bigl\{
g \in H1 : g(0) = 0
\bigr\}
,
де H1 — простiр Гардi у крузi \BbbD , i
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}w :=
w
| w|
, w \in \BbbC .
Тепер розглянемо функцiю Pn : \BbbD \rightarrow \BbbC , визначену правилом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
710 В. В. САВЧУК
Pn(t) =
1
1 - zt
- 1 - | z| 2
1 - | zBn(z)| 2
Bn(z)Bn(t)
\Bigl(
1 - zBn(z)tBn(t)
\Bigr)
| 1 - zt| 2
.
Легко бачити, що Pn є обмеженою функцiєю на \BbbD .
Покажемо, що Pn є шуканим квазiполiномом найкращого наближення в середньому ядра
Кошi – Сегьо. Для цього достатньо перевiрити виконання таких умов:
i)
\int
\BbbT
Pngd\sigma = 0 \forall g \in H1
0 ;
ii)
\int
\BbbT
Pn\varphi jd\sigma = 0, j = n, n+ 1, . . . ;
iii)
\int
\BbbT
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - zt
- Pn(t)
\biggr)
\varphi j(t)d\sigma (t) = 0, j = 0, 1, . . . , n - 1.
Умова i) забезпечує те, що функцiя Pn є голоморфною в \BbbD (див., наприклад, [9, с. 94]),
а умова ii) уточнює, що при цьому Pn \in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ \varphi 0, . . . , \varphi n - 1\} . Умова ж iii) є критерiєм
елемента Pn найкращого наближення в середньому на \BbbT функцiї 1/(1 - z\cdot ) пiдпростором
\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ \varphi 0, . . . , \varphi n - 1\} \subset L1(\BbbT ) [10] (теорема 2), де L1(\BbbT ) — простiр Лебега на колi \BbbT .
Нехай g \in H1
0 . Тодi функцiї Bn(t)g(t) i g(t)/t належать H1 . Тому за формулами Кошi та
Пуассона одержимо \int
\BbbT
Pn(t)g(t)d\sigma (t) =
\int
\BbbT
g(t)
1 - zt
d\sigma (t) -
- 1
1 - | zBn(z)| 2
\left( Bn(z)
\int
\BbbT
Bn(t)g(t)
1 - | z| 2
| 1 - zt| 2
d\sigma (t) - z| Bn(z)| 2
\int
\BbbT
tg(t)
1 - | z| 2
| 1 - zt| 2
d\sigma (t)
\right) =
= g(0) - 1
1 - | zBn(z)| 2
\biggl(
| Bn(z)| 2g(z) - z| Bn(z)| 2
g(z)
z
\biggr)
= 0.
Отже, умову i) виконано.
Далi, для всiх j \geq n функцiя Bj(t)/(Bn(t)(1 - ajt)(1 - zt)) є голоморфною в \BbbD , тому за
формулою Кошi \int
\BbbT
Pn(t)\varphi j(t)d\sigma (t) =
=
\int
\BbbT
\varphi j(t)
1 - zt
d\sigma (t) -
\sqrt{}
1 - | aj | 2(1 - | z| 2)Bn(z)
1 - | zBn(z)| 2
\int
\BbbT
Bj(t) - zBn(z)Bj(t)tBn(t)
Bn(t)(1 - ajt)(1 - zt)
d\sigma (t)
1 - zt
=
= \varphi j(z) -
\sqrt{}
1 - | aj | 2(1 - | z| 2)Bn(z)
1 - | zBn(z)| 2
Bj(z) - zBn(z)Bj(z)zBn(z)
Bn(z)(1 - ajz)(1 - zz)
=
= \varphi j(z) -
\sqrt{}
1 - | aj | 2
1 - ajz
Bj(z) = 0.
Отже, i умову ii) виконано.
Для перевiрки умови iii) застосуємо такi мiркування.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ЯДРА КОШI – СЕГЬО В СЕРЕДНЬОМУ НА ОДИНИЧНОМУ КОЛI 711
Нехай \rho \in [0, 1) i \{ ck(\rho )\} \infty k=0 — послiдовнiсть коефiцiєнтiв розкладу
1\sqrt{}
1 - 2\rho \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+ \rho 2
=
\infty \sum
k=0
ck(\rho ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx, x \in \BbbR .
Тодi для будь-якого t \in \BbbT
1\bigm| \bigm| \bigm| 1 - zBn(z)tBn(t)
\bigm| \bigm| \bigm| =
\infty \sum
k= - \infty
Ak(z) (tBn(t))
k , (4)
де
A0(z) := c0 (| zBn(z)| ) , Ak(z) :=
1
2
c| k| (| zBn(z)| ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl(
- ik \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(zBn(z))
\bigr)
,
а ряд в (4) збiгається абсолютно i рiвномiрно вiдносно t.
Оскiльки для кожного j = 0, 1, . . . , n - 1 функцiї tkBk - 1
n (t)Bj(t)/(1 - ajt) при k = 1, 2, . . .
i tkBk+1
n (t)/Bj(t) при k = 0, 1, . . . є голоморфними в \BbbD , то\int
\BbbT
1
tkBk - 1
n (t)Bj(t)(1 - ajt)
d\sigma (t) =
\int
\BbbT
tkBk - 1
n (t)Bj(t)
1 - ajt
d\sigma (t) = 0, k = 1, 2, . . . ,
i \int
\BbbT
tkBk+1
n (t)
Bj(t)
1
1 - ajt
d\sigma (t) =
akjB
k+1
n (aj)
Bj(aj)
= 0, k = 0, 1, . . . .
Отже, з урахуванням (4) для кожного j = 0, . . . , n - 1 одержимо\int
\BbbT
\varphi j(t)Bn(t)\bigm| \bigm| \bigm| 1 - zBn(z)tBj(t)
\bigm| \bigm| \bigm| d\sigma (t) =
\int
\BbbT
\Biggl( \infty \sum
k= - \infty
Ak(z) (tBn(t))
k Bj(t)Bn(t)
\Biggr) \sqrt{}
1 - | aj | 2
1 - ajt
d\sigma (t) =
=
\infty \sum
k= - \infty
Ak(z)
\int
\BbbT
(tBn(t))
k Bn(t)
Bj(t)
\sqrt{}
1 - | aj | 2
1 - ajt
d\sigma (t) = 0. (5)
Аналогiчно отримаємо \int
\BbbT
\varphi j(t)Bn(t)tBn(t)\bigm| \bigm| \bigm| 1 - zBn(z)tBn(t)
\bigm| \bigm| \bigm| d\sigma (t) =
=
\infty \sum
k= - \infty
Ak(z)
\int
\BbbT
(tBn(t))
k tBj(t)
\sqrt{}
1 - | aj | 2
1 - ajt
d\sigma (t) = 0. (6)
Об’єднуючи рiвностi (5) i (6), переконуємося, що умову iii) також виконано.
Покажемо тепер, що коефiцiєнти \lambda \ast
j,n квазiполiнома Pn обчислюються за формулою (3).
Оскiльки
1
(1 - ajt)(1 - zt)
=
t
aj - z
\biggl(
1
1 - ajt
- 1
1 - zt
\biggr)
\forall t \in \BbbT ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
712 В. В. САВЧУК
а функцiя Bn(t)/(Bj(t)(1 - zt)) є голоморфною в \BbbD , то за iнтегральними формулами Кошi та
Пуассона\int
\BbbT
Bn(t)Bj(t)
(1 - ajt)| 1 - zt| 2
d\sigma (t) =
1
aj - z
\int
\BbbT
Bn(t)t
Bj(t)(1 - zt)
\biggl(
1
1 - ajt
- 1
1 - zt
\biggr)
d\sigma (t) =
=
1
aj - z
\biggl(
Bn(aj)aj
Bj(aj)(1 - zaj)
- Bn(z)z
Bj(z)(1 - zz)
\biggr)
=
Bn(z)z
Bj(z)(1 - | z| 2)(z - aj)
i \int
\BbbT
tBj(t)
(1 - ajt)| 1 - zt| 2
d\sigma (t) =
\int
\BbbT
tBj(t)
1 - ajt
1
| 1 - zt| 2
d\sigma (t) =
zBj(z)
(1 - | z| 2)(1 - ajz)
.
Тому
\lambda \ast
j,n(z) =
\int
\BbbT
Pn(t)\varphi j(t)d\sigma (t) =
=
\int
\BbbT
\varphi j(t)
1 - zt
d\sigma (t) -
\sqrt{}
1 - | aj | 2Bn(z)
1 - | zBn(z)| 2
\int
\BbbT
Bj(t)Bn(t)
\Bigl(
1 - zBn(z)tBn(t)
\Bigr)
1 - ajt
1 - | z| 2
| 1 - zt| 2
d\sigma (t) =
= \varphi j(z) -
\sqrt{}
1 - | aj | 2Bn(z)
1 - | zBn(z)| 2
\Biggl(
Bn(z)z
Bj(z)(z - aj)
- | z| 2Bn(z)Bj(z)
1 - ajz
\Biggr)
=
= \varphi j(z)
\Biggl(
1 - Bn(z)
1 - | zBn(z)| 2
\biggl(
Bn(z)z(1 - ajz)
| Bj(z)| 2(z - aj)
- | z| 2Bn(z)
\biggr) \Biggr)
=
=
\varphi j(z)
1 - | zBn(z)| 2
\Biggl(
1 - z
1 - ajz
z - aj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Bn(z)
Bj(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
\Biggr)
,
що й завершує доведення теореми.
2. Наведемо одне з можливих застосувань теореми 1 до задач наближення голоморфних
функцiй.
Нехай K — клас голоморфних в \BbbD функцiй f , якi зображуються iнтегралами типу Кошi –
Сегьо
f(z) =
\int
\BbbT
h(t)
1 - zt
d\sigma (t), z \in \BbbD , (7)
зi щiльностями h : \BbbT \rightarrow \BbbC , для яких
\| h\| := \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbT
| h(t)| \leq 1.
Позначимо
En(K;\varphi ; z) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\mu j,n(z)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in K
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(z) -
n - 1\sum
j=0
\widehat fj\mu j,n(z)\varphi j(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , n \in \BbbN , z \in \BbbD , (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ЯДРА КОШI – СЕГЬО В СЕРЕДНЬОМУ НА ОДИНИЧНОМУ КОЛI 713
де \mu j,n : \BbbD \rightarrow \BbbC — неперервнi функцiї i
\widehat fj = \widehat hj,\varphi :=
\int
\BbbT
h\varphi jd\sigma , j \in \BbbN .
Нашою метою у цьому пунктi є розв’язання екстремальної задачi про точне значення (явну
формулу) для величини En(K;\varphi ; z) та вiдшукання екстремальних елементiв \mu \ast
j,n(z) i f\ast \in K ,
на яких досягаються вiдповiдно iнфiмум i супремум у правiй частинi (8).
Перед формулюванням розв’язку поставленої задачi прокоментуємо те, як ми будемо виби-
рати щiльнiсть h\ast , що породжуватиме екстремальний елемент f\ast у класi K .
Насамперед зауважимо, що для даної функцiї h : \BbbT \rightarrow \BbbC , \| h\| \leq 1, фактор-клас h+H
\infty
0 , де
H
\infty
0 означає пiдпростiр iстотно обмежених функцiй g на колi \BbbT , для яких\int
\BbbT
g(t)t kd\sigma (t) = 0, k = 0, 1, 2, . . . ,
породжує за формулою (7) одну i ту ж функцiю f iз класу K.
Припустимо, що екстремальний елемент f\ast породжується деякою щiльнiстю h. Тодi (див.,
наприклад, [9, с. 139]) у фактор-класi h+H
\infty
0 iснує принаймнi одна функцiя h1 iз найменшою
нормою \| h1\| = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}g\in H\infty
0
\| h + g\| \leq \| h\| \leq 1. Якщо така функцiя єдина, то її вибираємо в
якостi щiльностi, яка породжує функцiю f\ast , i перепозначаємо h\ast = h1 . Якщо ж у фактор-класi
h+H
\infty
0 знайдеться ще одна функцiя h2 з такою самою нормою \| h2\| = \| h1\| , то за теоремою
Адамяна, Арова i Крейна (див., наприклад, [9, с. 154]) у цьому фактор-класi знайдеться i деяка
функцiя h3 , для якої | h3| = \| h1\| майже скрiзь на колi \BbbT . У такому випадку, позначивши
h\ast = h3 , вибиратимемо h\ast у якостi щiльностi в iнтегралi (7), що породжує функцiю f\ast .
Наслiдок. Нехай \varphi \in TM i z \in \BbbD . Тодi для будь-якого n \in \BbbN
En(K;\varphi ; z) =
| Bn(z)| (1 - | z| 2)
1 - | zBn(z)| 2
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| 1 - zBn(z)tBn(t)
\bigm| \bigm| \bigm|
| 1 - zt| 2
d\sigma (t).
При кожному фiксованому n \in \BbbN екстремальними елементами, на яких досягаються точна
нижня i точна верхня межi в (8), є вiдповiдно
\mu \ast
j,n(z) =
1
1 - | zBn(z)| 2
\Biggl(
1 - z
1 - ajz
z - aj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Bn(z)
Bj(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
\Biggr)
, j = 0, 1, . . . , n - 1,
i
h\ast (t) = h\ast n(t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}
\left( 1
1 - zt
-
n - 1\sum
j=0
\mu \ast
j (z)\varphi j(z)\varphi j(t)
\right) .
Справдi, для будь-яких \mu j,n
f(z) -
n - 1\sum
j=0
\widehat fj\mu j,n(z)\varphi j(z) =
\int
\BbbT
h(t)
\left( 1
1 - zt
-
n - 1\sum
j=0
\mu j,n(z)\varphi j(z)\varphi j(t)
\right) d\sigma (t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
714 В. В. САВЧУК
звiдки за теоремою 1 випливає оцiнка зверху
En(K;\varphi ; z) \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(z) -
n - 1\sum
j=0
\widehat fj\mu \ast
j,n(z)\varphi j(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq En
\biggl(
1
1 - z\cdot
;\varphi
\biggr)
=
| Bn(z)| (1 - | z| 2)
1 - | zBn(z)| 2
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| 1 - zBn(z)tBn(t)
\bigm| \bigm| \bigm|
| 1 - zt| 2
d\sigma (t).
Для оцiнки знизу розглянемо функцiю h\ast . В доведеннi теореми 1 (див. перевiрку умови iii))
показано, що \int
\BbbT
h\ast \varphi jd\sigma = 0, j = 0, 1, . . . , n - 1.
Тому для будь-яких \mu j,n
En(K;\varphi ; z) \geq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbT
h\ast (t)
1 - zt
d\sigma (t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\int
\BbbT
h\ast (t)
\left( 1
1 - zt
-
n - 1\sum
j=0
\mu \ast
j,n(z)\varphi j(z)\varphi j(t)
\right) d\sigma (t) =
= En
\biggl(
1
1 - z\cdot
;\varphi
\biggr)
=
| Bn(z)| (1 - | z| 2)
1 - | zBn(z)| 2
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| 1 - zBn(z)tBn(t)
\bigm| \bigm| \bigm|
| 1 - zt| 2
d\sigma (t),
що й потрiбно було довести.
Лiтература
1. Уолш Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. – М.: Изд-во
иностр. лит., 1961. – 508 с.
2. Джрбашян М. М. О разложении аналитических функций в ряд по рациональным функциям с заданным
множеством полюсов // Изв. АН АрмССР. Сер. мат. – 1956. – 9, № 7. – С. 3 – 28.
3. Альпер С. Я. О наилучшем приближении аналитических функций в среднем первой степени на окружности //
Докл. АН СССР. – 1963. – 153, № 3. – С. 503 – 506.
4. Альпер С. Я. Об асимптотических значениях наилучшего приближения аналитических функций в комплексной
области // Успехи мат. наук. – 1959. – 14, № 1. – С. 131 – 134.
5. Rivlin T. J. Some explicit polynomial approximations in the complex domain // Bull. Amer. Math. Soc. – 1967. – 73,
№ 3. – P. 467 – 469.
6. Джрбашян М. М. Биортогональные рациональные функции и наилучшее приближение ядра Коши на ве-
щественной оси // Мат. сб. – 1974. – 94, № 3. – С. 418 – 444.
7. Савчук В. В. Найкращi лiнiйнi методи наближення та оптимальнi ортонормованi системи простору Гардi //
Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 5. – С. 661 – 671.
8. Савчук В. В., Чайченко С. О. Найкращi наближення ядра Кошi на дiйснiй осi // Укр. мат. журн. – 2014. – 66,
№ 1. – С. 1540 – 1549.
9. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.: Мир, 1984. – 469 с.
10. Хавинсон С. Я. О единственности функции наилучшего приближения в метрике пространства L1 // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1958. – 22, № 2. – С. 242 – 270.
Одержано 14.11.16,
пiсля доопрацювання — 29.12.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1589 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:39Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/60/d14652f71e4a0ece915b569ee8bf1e60.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15892019-12-05T09:19:33Z Best approximations of the Cauchy – Szegö kernel in the mean on the unit circle Найкращі наближення ядра Коші – Сегьо в середньому на одиничному колі Savchuk, V. V. Савчук, В. В. We compute the values of the best approximations of the Cauchy – Szeg¨o kernel in the mean on the unit circle by quasipolynomials with respect to the Takenaka – Malmquist system. Вычислены величины наилучших приближений в среднем на единичной окружности ядра Коши – Сегьо посредством квазиполиномов по системе Такенаки – Мальмквиста. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1589 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 5 (2018); 708-714 Український математичний журнал; Том 70 № 5 (2018); 708-714 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1589/571 Copyright (c) 2018 Savchuk V. V. |
| spellingShingle | Savchuk, V. V. Савчук, В. В. Best approximations of the Cauchy – Szegö kernel in the mean on the unit circle |
| title | Best approximations of the Cauchy – Szegö kernel in the mean on the unit circle |
| title_alt | Найкращі наближення ядра Коші – Сегьо в середньому на одиничному колі |
| title_full | Best approximations of the Cauchy – Szegö kernel in the mean on the unit circle |
| title_fullStr | Best approximations of the Cauchy – Szegö kernel in the mean on the unit circle |
| title_full_unstemmed | Best approximations of the Cauchy – Szegö kernel in the mean on the unit circle |
| title_short | Best approximations of the Cauchy – Szegö kernel in the mean on the unit circle |
| title_sort | best approximations of the cauchy – szegö kernel in the mean on the unit circle |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1589 |
| work_keys_str_mv | AT savchukvv bestapproximationsofthecauchyszegokernelinthemeanontheunitcircle AT savčukvv bestapproximationsofthecauchyszegokernelinthemeanontheunitcircle AT savchukvv najkraŝínabližennââdrakošísegʹovserednʹomunaodiničnomukolí AT savčukvv najkraŝínabližennââdrakošísegʹovserednʹomunaodiničnomukolí |