Necessary and sufficient conditions for the absolute instability of solutions of linear differential-difference equations with self-adjoint operator coefficients
For linear differential-difference equations of retarded and neutral types with infinitely many deviations and self-adjoint operator coefficients, we present necessary and sufficient conditions for the absolute instability of the zero solutions.
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1590 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507398880362496 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:33Z |
| description | For linear differential-difference equations of retarded and neutral types with infinitely many deviations and self-adjoint
operator coefficients, we present necessary and sufficient conditions for the absolute instability of the zero solutions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
НЕОБХIДНI ТА ДОСТАТНI УМОВИ АБСОЛЮТНОЇ НЕСТIЙКОСТI
РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ
ЗI САМОСПРЯЖЕНИМИ ОПЕРАТОРНИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
For linear differential-difference equations of retarded and neutral types with infinitely many deviations and self-adjoint
operator coefficients, we present necessary and sufficient conditions for the absolute instability of the zero solutions.
Для линейных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с бесконечным
числом отклонений и самосопряженными операторными коэффициентами приведены необходимые и достаточные
условия абсолютной неустойчивости нулевых решений.
1. Основний об’єкт дослiджень. Нехай H — гiльбертовий простiр i \| \cdot \| H — норма в H, що
визначається рiвнiстю
\| x\| E =
\sqrt{}
(x, x),
де (x, y) — скалярний добуток x на y (x, y \in H ). Позначимо через \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}H банахову алгебру
лiнiйних неперервних операторiв A : H \rightarrow H з одиницею I та нормою
\| A\| EndH = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| H=1
\| Ax\| H .
Розглянемо самоспряженi оператори An \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}H, n \geq 1, Bn \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}H, n \geq 0, що задо-
вольняють умову
\infty \sum
n=1
\| An\| EndH +
\infty \sum
n=0
\| Bn\| EndH < \infty , (1)
невiд’ємнi числа \Delta n, \tau n, n \geq 1, для яких
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\Delta n + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\tau n < \infty , (2)
та диференцiально-рiзницевi рiвняння
dx(t)
dt
= B0x(t) +
\infty \sum
n=1
Bnx(t - \Delta n), t \geq 0, (3)
i
dx(t)
dt
+
\infty \sum
n=1
An
dx(t - \tau n)
dt
= B0x(t) +
\infty \sum
n=1
Bnx(t - \Delta n), t \geq 0, (4)
запiзнювального та нейтрального типiв вiдповiдно.
Нульовi розв’язки рiвнянь (3), (4) називаються абсолютно нестiйкими по вiдношенню до
вiдхилень \Delta n, \tau n, n \geq 1, якщо цi розв’язки нестiйкi при всiх невiд’ємних \Delta n, n \geq 1, i
\Delta n, \tau n, n \geq 1, вiдповiдно i для цих вiдхилень виконується спiввiдношення (2) (означен-
ня нестiйких розв’язкiв диференцiальних рiвнянь iз вiдхиленнями аргумента можна знайти,
наприклад, в [1, 2]).
Мета статтi — встановлення необхiдних i достатнiх умов абсолютної нестiйкостi нульових
розв’язкiв рiвнянь (3), (4).
c\bigcirc В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5 715
716 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
2. Формулювання основних результатiв. Позначимо через \mathrm{S}\mathrm{p}A спектр оператора A \in
\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}H, а через \BbbC + множину \{ z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} z > 0\} .
Правильними є наступнi твердження.
Теорема 1. Для абсолютної нестiйкостi нульового розв’язку рiвняння (3) необхiдно i дос-
татньо, щоб \Biggl(
\mathrm{S}\mathrm{p}
\infty \sum
n=0
Bn
\Biggr) \bigcap
\BbbC + \not = \varnothing . (5)
Теорема 2. Нехай
\infty \sum
n=1
\| An\| EndH < 1 (6)
i \Biggl( \infty \sum
n=1
pnAn
\Biggr) \Biggl(
B0 +
\infty \sum
n=1
qnBn
\Biggr)
=
\Biggl(
B0 +
\infty \sum
n=1
qnBn
\Biggr) \Biggl( \infty \sum
n=1
pnAn
\Biggr)
(7)
для всiх pn \in [0, 1], qn \in [0, 1], n \geq 1.
Для абсолютної нестiйкостi нульового розв’язку рiвняння (4) необхiдно i достатньо вико-
нання спiввiдношення (5).
Доведення цих тверджень див. у пп. 4, 5.
3. Допомiжнi твердження. Спочатку наведемо деякi факти про самоспряженi неперервнi
оператори, що будуть використовуватись у подальшому.
Нагадаємо, що оператор A \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}H називається самоспряженим, якщо вiн збiгається зi
спряженим до нього оператором A\ast , тобто
(Ax, y) = (x,Ay)
для всiх x, y \in H (теорiю таких операторiв викладено, наприклад, у [3 – 5]). Самоспряжений
оператор A \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}H характеризується тим, що його ермiтова форма (Ax, x), x \in H, набуває
лише дiйсних значень. Спектр самоспряженого оператора \mathrm{S}\mathrm{p}A є непорожньою обмеженою
замкненою множиною на дiйснiй осi. Найменший сегмент, що мiстить у собi спектр \mathrm{S}\mathrm{p}A,
позначимо через [\lambda m(A), \lambda M (A)]. Як вiдомо (див., наприклад, [4]),
\lambda m(A) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ (Ax, x) : \| x\| H = 1\} ,
\lambda M (A) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ (Ax, x) : \| x\| H = 1\} ,
\| A\| EndH = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \lambda M (A), - \lambda m(A)\} .
Очевидно, що \lambda m(A), \lambda M (A) i \| A\| EndH неперервно залежать вiд A.
Зазначимо також, що сума самоспряжених операторiв є самоспряженим оператором, лi-
нiйна комбiнацiя їх iз дiйсними коефiцiєнтами також є самоспряженим оператором. Завдяки
неперервностi скалярного добутку границя за нормою послiдовностi самоспряжених операторiв
є самоспряженим оператором. Добуток BA самоспряжених операторiв A i B є самоспряженим
оператором тiльки тодi, коли BA = AB.
Далi наведемо твердження, пов’язанi зi спектром самоспряженого оператора.
Оскiльки точки спектра самоспряженого оператора можуть не бути власними значеннями
такого оператора, то важливим для дослiдження рiвнянь (3), (4) є наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
НЕОБХIДНI ТА ДОСТАТНI УМОВИ АБСОЛЮТНОЇ НЕСТIЙКОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 717
Теорема 3 ([4], роздiл VII, § 4). Точка \lambda належить спектру самоспряженого оператора
A \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}H тодi i тiльки тодi, коли iснує послiдовнiсть нормованих векторiв xn, \| xn\| H = 1,
n \geq 1, для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| Axn - \lambda xn\| H = 0.
Нагадаємо, що кожний самоспряжений оператор A \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}H визначає спектральну функцiю
P (\lambda ), \lambda \in \BbbR , за допомогою якої оператор A можна записати у виглядi
A =
\lambda M (A)\int
\lambda m(A) - \varepsilon
\lambda dP (\lambda ),
а важливу для подальшого операторну функцiю etA (t \in \BbbR ) — у виглядi
etA =
\lambda M (A)\int
\lambda m(A) - \varepsilon
et\lambda dP (\lambda ), (8)
де iнтеграли розумiють як границi iнтегральних сум у сенсi рiвномiрної збiжностi у просторi
операторiв i \varepsilon — довiльне додатне число.
За допомогою рiвностi (8) та властивостей функцiї P (\lambda ) (можна також використати лему
Меррея (див. [3, с. 109,110]) легко встановлюється наступне твердження.
Теорема 4. Якщо для самоспряженого оператора A \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}H виконується спiввiдношення
(\mathrm{S}\mathrm{p}A)
\bigcap
\BbbC + = \varnothing ,
то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq 0
\bigm\| \bigm\| etA\bigm\| \bigm\|
EndH
\leq 1. (9)
Зауважимо, що твердження теореми 4 є хибним, якщо оператор A \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}H не є самоспря-
женим (лiва частина спiввiдношення (9) може бути необмеженою).
4. Доведення теореми 1. Необхiднiсть. Нехай нульовий розв’язок рiвняння (3) абсолютно
нестiйкий. Тодi цей розв’язок нестiйкий i при \Delta n = 0, n \geq 1. У цьому випадку рiвняння (3)
набирає вигляду
dx(t)
dt
=
\Biggl( \infty \sum
n=0
Bn
\Biggr)
x(t), t \geq 0, (10)
i функцiя
x = etAc, (11)
де A =
\sum \infty
n=0
Bn i c — довiльний вектор простору H, є загальним розв’язком рiвняння (10)
[6]. Завдяки (1) та самоспряженостi операторiв Bn, n \geq 0, оператор
\sum \infty
n=0
Bn також є само-
спряженим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
718 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Припустимо, що спiввiдношення (5) не виконується, тобто\Biggl(
\mathrm{S}\mathrm{p}
\infty \sum
n=0
Bn
\Biggr) \bigcap
\BbbC + = \varnothing . (12)
Тодi на пiдставi теореми 4 кожний розв’язок (11) рiвняння (10) є обмеженим на [0,+\infty ), що
суперечить нестiйкостi нульового розв’язку цього рiвняння.
Отже, припущення про виконання спiввiдношення (12) є хибним.
Достатнiсть. Нехай виконується спiввiдношення (5).
Зафiксуємо довiльнi невiд’ємнi числа \Delta n, n \geq 1, i розглянемо рiвняння (3) та операторну
функцiю P (z), що визначається рiвностями
P (z) = zI - B0 -
\infty \sum
n=1
e - z\Delta nBn, z \geq 0. (13)
Завдяки (1) та самоспряженостi операторiв Bn, n \geq 0, значення функцiї P (z) при z \in
\in [0,+\infty ) є самоспряженими операторами i ця функцiя є неперервною на [0,+\infty ). Тому
неперервною на [0,+\infty ) є функцiя \lambda m(P (z)).
Оскiльки
\lambda m(P (0)) < 0
на пiдставi (5) та (13) i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
z\rightarrow +\infty
\lambda m(P (z)) = +\infty
на пiдставi (13), то за теоремою Больцано – Кошi [7] iснує точка z0 \in (0,+\infty ) така, що
\lambda m(P (z0)) = 0.
Ця рiвнiсть означає, що
0 \in \mathrm{S}\mathrm{p}P (z0).
Покажемо що нульовий розв’язок рiвняння (3) нестiйкий.
За теоремою 3 iснує послiдовнiсть нормованих векторiв am, m \geq 1, для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\| P (z0)am\| H = 0. (14)
Зафiксуємо довiльнi числа \varepsilon \in (0, 1) та m \in \BbbN i розглянемо додатне число T (\varepsilon ), для якого\bigm| \bigm| \bigm| ez0T (\varepsilon )
\bigm| \bigm| \bigm| = 2. (15)
Таке число iснує, оскiльки z0 > 0. Позначимо через x(t, \varepsilon am) неперервний розв’язок рiвняння
(3), що задовольняє умову
x(t, \varepsilon am) = ez0t\varepsilon am
для всiх t \in [ - \Delta , 0), де \Delta = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\geq 1\Delta n, i розглянемо функцiю
\delta m(t) = x(t, \varepsilon am) - ez0t\varepsilon am. (16)
Очевидно, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
НЕОБХIДНI ТА ДОСТАТНI УМОВИ АБСОЛЮТНОЇ НЕСТIЙКОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 719
d\delta m(t)
dt
\equiv
\infty \sum
n=0
Bn\delta m(t - \Delta n) - \varepsilon ez0tP (z0)am,
де \Delta 0 = 0. Звiдси випливає, що
\delta m(t) = \varepsilon
1 - ez0t
z0
P (z0)am +
t\int
0
\infty \sum
n=0
Bn\delta m(s - \Delta n) ds, t \geq 0.
Отже,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\tau \in [0,t]
\| \delta m(\tau )\| H \leq \varepsilon
z0
ez0t\| P (z0)am\| H +
t\int
0
\infty \sum
n=0
\| Bn\| EndH \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\tau \in [0,s]
\| \delta m(\tau )\| H ds, t \geq 0,
i на пiдставi нерiвностi Гронуолла – Беллмана (див., наприклад, [8])
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\tau \in [0,T (\varepsilon )]
\| \delta m(\tau )\| H \leq
\biggl(
\varepsilon
z0
ez0T (\varepsilon )\| P (z0)am\| H
\biggr)
e
T (\varepsilon )
\infty \sum
n=0
\| Bn\| EndH
.
Звiдси та зi спiввiдношення (14) отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\tau \in [0,T (\varepsilon )]
\| \delta m(\tau )\| H = 0.
Тому на пiдставi (15), (16)
\| x(T (\varepsilon ), \varepsilon am)\| H \geq 1
для досить великих n \in \BbbN , що завдяки довiльностi вибору \varepsilon означає нестiйкiсть нульового
розв’язку рiвняння (3). Iз довiльностi вибору невiд’ємних чисел \Delta n, n \geq 1, випливає абсолют-
на нестiйкiсть нульового розв’язку цього рiвняння.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 1. Якщо в рiвняннi (3) операторнi коєфiцiєнти не є самоспряженими, то тверд-
ження теореми 1 є хибним навiть тодi, коли \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H = 2. Це пiдтверджується наступним при-
кладом.
Приклад 1. Розглянемо систему двох скалярних диференцiально-рiзницевих рiвнянь\Biggl(
x\prime 1(t)
x\prime 2(t)
\Biggr)
= B0
\Biggl(
x1(t)
x2(t)
\Biggr)
+B1
\Biggl(
x1(t - \Delta )
x2(t - \Delta )
\Biggr)
, t \geq 0, (17)
з довiльним невiд’ємним \Delta , де
B0 = B1 =
\Biggl(
0 0
1 0
\Biggr)
.
Легко перевiрити, що
\mathrm{S}\mathrm{p} (B0 +B1) = \{ 0\} , (18)
тобто для (17) не виконується спiввiдношення (5). Однак нульовий розв’язок системи рiв-
нянь (17) є абсолютно нестiйким, оскiльки векторнi функцiї\Biggl(
x1(t)
x2(t)
\Biggr)
=
\Biggl(
c1
2c1t+ c2
\Biggr)
, c1, c2 \in \BbbR ,
є розв’язками цiєї системи для кожного \Delta \geq 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
720 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
5. Доведення теореми 2. Необхiднiсть. Нехай виконуються спiввiдношення (6), (7) i ну-
льовий розв’язок рiвняння (4) абсолютно нестiйкий. Тодi цей розв’язок нестiйкий i при \Delta n = 0,
\tau n = 0, n \geq 1. У цьому випадку рiвняння (4) набирає вигляду\Biggl(
I +
\infty \sum
n=1
An
\Biggr)
dx(t)
dt
=
\Biggl( \infty \sum
n=0
Bn
\Biggr)
x(t), t \geq 0. (19)
Завдяки нерiвностi (6) оператор I +
\sum \infty
n=1
An має неперервний обернений
\Bigl(
I +
\sum \infty
n=1
An
\Bigr) - 1
(див., наприклад, [9]) i\Biggl(
I +
\infty \sum
n=1
An
\Biggr) - 1
= I +
\infty \sum
n=1
( - 1)n
\Biggl(
I +
\infty \sum
n=1
An
\Biggr) n
. (20)
Тому рiвняння (19) рiвносильне рiвнянню
dx(t)
dt
=
\Biggl(
I +
\infty \sum
n=1
An
\Biggr) - 1\Biggl( \infty \sum
n=0
Bn
\Biggr)
x(t), t \geq 0. (21)
Завдяки (7), (20) оператор \Biggl(
I +
\infty \sum
n=1
An
\Biggr) - 1\Biggl( \infty \sum
n=0
Bn
\Biggr)
у рiвняннi (21) є самоспряженим. Оскiльки нульовий розв’язок рiвняння (21) нестiйкий, то
за допомогою мiркувань, що використовувалися при доведеннi необхiдностi умов теореми 1,
переконуємося, що виконується спiввiдношення
\BbbC +
\bigcap
\mathrm{S}\mathrm{p}
\left( \Biggl( I + \infty \sum
n=1
An
\Biggr) - 1 \infty \sum
n=0
Bn
\right) \not = \varnothing . (22)
Iз цього спiввiдношення випливає (5). Справдi, на пiдставi (7), (20) самоспряженi оператори\Bigl(
I +
\sum \infty
n=1
An
\Bigr) - 1
i
\sum \infty
n=0
Bn переставнi (комутують) i на пiдставi (6)
\mathrm{S}\mathrm{p}
\Biggl(
I +
\infty \sum
n=1
An
\Biggr) - 1
\subset (0,+\infty ). (23)
Оскiльки для переставних операторiв
\Bigl(
I +
\sum \infty
n=1
An
\Bigr) - 1
i
\sum \infty
n=0
Bn
\mathrm{S}\mathrm{p}
\left( \Biggl( I + \infty \sum
n=1
An
\Biggr) - 1 \infty \sum
n=0
Bn
\right) \subset
\left\{ \lambda \mu : \lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}
\Biggl(
I +
\infty \sum
n=1
An
\Biggr) - 1
, \mu \in \mathrm{S}\mathrm{p}
\infty \sum
n=0
Bn
\right\}
(див., наприклад, [9, с. 229, 230]), то завдяки (22), (23) виконується (5).
Достатнiсть. Нехай виконуються спiввiдношення (5) – (7).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
НЕОБХIДНI ТА ДОСТАТНI УМОВИ АБСОЛЮТНОЇ НЕСТIЙКОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 721
Покажемо, що нульовий розв’язок рiвняння (4) абсолютно нестiйкий.
Зафiксуємо довiльнi невiд’ємнi числа \Delta n, \tau n, n \geq 1, i розглянемо рiвняння (4) та опера-
торну функцiю Q(z), що визначається рiвностями
Q(z) = z
\Biggl(
I +
\infty \sum
n=1
e - z\tau nAn
\Biggr)
- B0 -
\infty \sum
n=1
e - z\Delta nBn, z \geq 0. (24)
Завдяки (1) та самоспряженостi операторiв An, n \geq 1 i Bn, n \geq 0, значення функцiї Q(z)
при z \in [0,+\infty ) є самоспряженими операторами i ця функцiя є неперервною на [0,+\infty ). Тому
неперервною на [0,+\infty ) є функцiя \lambda m(Q(z)).
Очевидно, що на пiдставi (5) та (24)
\lambda m(Q(0)) < 0.
Також
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
z\rightarrow +\infty
\lambda m(Q(z)) = +\infty . (25)
Справдi, завдяки спiввiдношенням
\lambda m(Q(z)) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\| x\| H=1
\Biggl( \Biggl(
z
\Biggl(
I +
\infty \sum
n=1
e - z\tau nAn
\Biggr)
- B0 -
\infty \sum
n=1
e - z\Delta nBn
\Biggr)
x, x
\Biggr)
\geq
\geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\| x\| H=1
\Biggl(
z
\Biggl(
I +
\infty \sum
n=1
e - z\tau nAn
\Biggr)
x, x
\Biggr)
- \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| H=1
\Biggl( \Biggl(
B0 +
\infty \sum
n=1
e - z\Delta nBn
\Biggr)
x, x
\Biggr)
\geq
\geq z - \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| H=1
\Biggl(
z
\Biggl( \infty \sum
n=1
e - z\tau nAn
\Biggr)
x, x
\Biggr)
-
\infty \sum
n=0
\| Bn\| EndH \geq
\geq z
\Biggl(
1 -
\infty \sum
n=1
\| An\| EndH
\Biggr)
-
\infty \sum
n=0
\| Bn\| EndH , z \in [0,+\infty ),
та (6) виконується (25).
За теоремою Больцано – Кошi iснує точка z0 \in (0,+\infty ) така, що
\lambda m(Q(z0)) = 0.
Ця рiвнiсть означає, що
0 \in \mathrm{S}\mathrm{p}Q(z0). (26)
Покажемо що нульовий розв’язок рiвняння (4) нестiйкий.
За теоремою 3 та (26) iснує послiдовнiсть нормованих векторiв am, m \geq 1, для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\| Q(z0)am\| H = 0. (27)
Розглянемо векторнi функцiї vm = ez0tam, m \geq 1. Цi функцiї є розв’язками вiдповiдно
рiвнянь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
722 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
dv(t)
dt
+
\infty \sum
n=1
An
dv(t - \tau n)
dt
- B0v(t) -
\infty \sum
n=1
Bnv(t - \Delta n) = ez0tQ(z0)am, m \geq 1.
Далi розглянемо неперервно диференцiйовнi на [ - \Delta , 0]
\bigl(
\Delta = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\geq 1 \Delta n + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\geq 1 \tau n
\bigr)
функ-
цiї \varepsilon m = \varepsilon m(t), m \geq 1, такi, що
d\varepsilon m(0)
dt
+
\infty \sum
n=1
An
d\varepsilon m( - \tau n)
dt
- B0\varepsilon m(0) -
\infty \sum
n=1
Bn\varepsilon m( - \Delta n) = Q(z0)am, m \geq 1,
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\Biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ - \Delta ,0]
\| \varepsilon m(t)\| H + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ - \Delta ,0]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| d\varepsilon m(t)
dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
H
\Biggr)
= 0 (28)
\biggl(
тут
d\varepsilon m(0)
dt
i
d\varepsilon m( - \Delta )
dt
означають похiднi функцiї \varepsilon m(t) злiва i справа в точках 0 i - \Delta
вiдповiдно
\biggr)
. Функцiї з такими властивостями iснують завдяки спiввiдношенням (6), (27) та
лiнiйностi рiвняння (4).
Позначимо через \gamma m(t) розв’язок початкової задачi
d\gamma (t)
dt
+
\infty \sum
n=1
An
d\gamma (t - \tau n)
dt
- B0\gamma (t) -
\infty \sum
n=1
Bn\gamma (t - \Delta n) = ez0tQ(z0)am,
\gamma (\theta ) = \varepsilon m(\theta ), \theta \in [ - \Delta , 0].
Тодi vm(t) - \gamma m(t) — розв’язок рiвняння (4).
Легко перевiрити, використовуючи (27), (28), що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\Biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,T ]
\| \gamma m(t)\| H + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| d\gamma m(t)
dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
H
\Biggr)
= 0 (29)
для кожного T > 0. Оскiльки для розв’язкiв vm(t) - \gamma m(t), m \geq 1, рiвняння (4), очевидно,
справджуються спiввiдношення
ez0t + \| \gamma m(t)\| H \geq \| ez0tam - \gamma m(t)\| H \geq ez0t - \| \gamma m(t)\| H
для всiх m \geq 1 i t \geq 0, то на пiдставi (29) i того, що z0 > 0, нульовий розв’язок рiвняння (4)
нестiйкий. Iз довiльностi вибору в рiвняннi (4) невiд’ємних чисел \Delta n, \tau n, n \geq 1, випливає
абсолютна нестiйкiсть нульового розв’язку цього рiвняння.
Теорему 2 доведено.
Зауваження 2. Якщо для рiвняння (4) не виконується вимога самоспряженостi оператор-
них коєфiцiєнтiв, то твердження теореми 2 є хибним, що пiдтверджується наступним прик-
ладом.
Приклад 2. Розглянемо систему диференцiально-рiзницевих рiвнянь\Biggl(
x\prime 1(t)
x\prime 2(t)
\Biggr)
+A1
\Biggl(
x\prime 1(t - \tau )
x\prime 2(t - \tau )
\Biggr)
= B0
\Biggl(
x1(t)
x2(t)
\Biggr)
+B1
\Biggl(
x1(t - \Delta )
x2(t - \Delta )
\Biggr)
, t \geq 0, (30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
НЕОБХIДНI ТА ДОСТАТНI УМОВИ АБСОЛЮТНОЇ НЕСТIЙКОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 723
з довiльними невiд’ємними \tau i \Delta , де
A1 =
1
2
\Biggl(
0 0
1 0
\Biggr)
, B0 = B1 =
\Biggl(
0 0
1 0
\Biggr)
.
Легко перевiрити, що для (30) виконуються спiввiдношення (6), (7) i (18).
Отже, для (30) спiввiдношення (5) не виконується. Однак нульовий розв’язок системи рiв-
нянь (30) є абсолютно нестiйким, оскiльки векторнi функцiї\Biggl(
x1(t)
x2(t)
\Biggr)
=
\Biggl(
c1
2c1t+ c2
\Biggr)
, c1, c2 \in \BbbR ,
є розв’язками цiєї системи для всiх невiд’ємних \tau i \Delta .
6. Додатковi зауваження та лiтературнi вказiвки. Теореми 1 i 2 є новими. Вони аналогiчнi
вiдповiдним твердженням про необхiднi та достатнi умови абсолютної нестiйкостi розв’язкiв
лiнiйних скалярних диференцiально-рiзницевих рiвнянь, отриманих автором в [1,10]. У цих
працях також наведено достатнi умови абсолютної нестiйкостi розв’язкiв лiнiйних систем ди-
ференцiально-рiзницевих рiвнянь запiзнювального типу.
Достатнi умови нестiйкостi розв’язкiв диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi зi
скiнченним числом довiльних неперервно залежних вiд часу запiзнень отримано в [1].
Задача про абсолютну нестiйкiсть розв’язкiв диференцiально-рiзницевих рiвнянь аналогiчна
задачi про абсолютну стiйкiсть розв’язкiв диференцiально-рiзницевих рiвнянь, що розв’язува-
лася в [1, 11 – 22] та iнших працях.
Застосування абсолютних стiйкостi та нестiйкостi розв’язкiв диференцiально-рiзницевих
рiвнянь наведено в [1].
Лiтература
1. Слюсарчук В. Ю. Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем iз пiслядiєю. – Рiвне: Вид-во Нац. ун-ту водн.
госп-ва та природокористування, 2003. – 366 с.
2. Слюсарчук В. Ю. Нестiйкiсть розв’язкiв еволюцiйних рiвнянь. – Рiвне: Вид-во Нац. ун-ту водн. госп-ва та
природокористування, 2004. – 416 с.
3. Морен К. Методы гильбертова пространства. – М.: Мир, 1965. – 571 с.
4. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1965. – 520 с.
5. Садовничий В. А. Теория операторов. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. – 368 с.
6. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве. – М.: Наука, 1970. – 535 с.
7. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М: Наука, 1966. – Т. 1. – 608 с.
8. Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк А. А. Устойчивость движения: метод сравнения. – Киев: Наук. думка,
1991. – 248 с.
9. Наймарк М. А. Нормированные кольца. – М.: Наука, 1968. – 664 с.
10. Слюсарчук В. Ю. Умови абсолютної нестiйкостi розв’язкiв диференцiально-рiзницевих рiвнянь // Нелiнiйнi
коливання. – 2007. – 7, № 3. – С. 430 – 436.
11. Репин Ю. М. Об условиях устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений при любых запаз-
дываниях // Уч. зап. Урал. ун-та. – 1960. – 23. – С. 34 – 41.
12. Гоздек В. С. О галопировании тележек шасси при движении самолета по грунтовому аэродрому // Инж. журн. –
1965. – Вып. 4. – С. 743 – 745.
13. Животовский Л. А. Абсолютная устойчивость решений дифференциальных уравнений с несколькими запаз-
дываниями // Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом. – 1969. – 23. –
С. 919 – 928.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
724 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
14. Слюсарчук В. E. Достаточные условия абсолютной асимптотической устойчивости линейных дифференци-
альных уравнений в банаховом пространстве с несколькими запаздываниями // Мат. заметки. – 1975. – 17,
№ 6. – С. 919 – 923.
15. Слюсарчук В. E. Об абсолютной устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве с запаздываниями // Мат. заметки. – 1975. – 18, № 2. – С. 161 – 165.
16. Слюсарчук В. E. Абсолютная асимптотическая устойчивость линейных дифференциальных уравнений с бес-
конечным числом запаздываний в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. – 1976. – 12, № 5. –
С. 840 – 847.
17. Слюсарчук В. E. К вопросу об устойчивости решений бесконечных систем дифференциальных уравнений //
Дифференц. уравнения. – 1976. – 12, № 11. – С. 2019 – 2026.
18. Слюсарчук В. E. К вопросу об абсолютной устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений
запаздывающего типа в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. – 1978. – 14, № 8. – С. 1526 – 1528.
19. Слюсарчук В. E. Необходимые и достаточные условия абсолютной экспоненциальной устойчивости решений
линейных скалярных дифференциальных уравнений нейтрального типа // Проблемы современной теории пе-
риодических движений. – 1982. – № 6. – С. 19 – 24.
20. Слюсарчук В. E. Абсолютно устойчивые системы с запаздыванием // Дифференц. уравнения. – 1988. – 24,
№ 8. – С. 1364 – 1373.
21. Кореневский Д. Г. Коэффициентный критерий абсолютной (не зависящей от отклонения аргумента) устойчи-
вости систем линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа // Мат. физика и нели-
нейн. механика. – 1989. – Вып. 12. – С. 16 – 22.
22. Kovalev A. M., Martynyuk A. A., Boichuk O. A., Mazko A. G., Petryshyn R. I., Slyusarchuk V. Ye., Zuyev A. L.,
Slyn’ko V. I. Novel qualitative methods of nonlinear mechanics and their application to the analysis of multifrequency
oscillations, stability and control problems // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. – 2009. – 9, № 2. – P. 117 – 145.
Одержано 20.07.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1590 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:41Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/00/cb24d3f2b1afc14fe1209289f63c7b00.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15902019-12-05T09:19:33Z Necessary and sufficient conditions for the absolute instability of solutions of linear differential-difference equations with self-adjoint operator coefficients Необхідні та достатні умови абсолютної нестійкості розв’язків лінійних диференціально-різницевих рівнянь зі самоспряженими операторними коефіцієнтами Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. For linear differential-difference equations of retarded and neutral types with infinitely many deviations and self-adjoint operator coefficients, we present necessary and sufficient conditions for the absolute instability of the zero solutions. Для линейных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с бесконечным числом отклонений и самосопряженными операторными коэффициентами приведены необходимые и достаточные условия абсолютной неустойчивости нулевых решений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1590 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 5 (2018); 715-724 Український математичний журнал; Том 70 № 5 (2018); 715-724 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1590/572 Copyright (c) 2018 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Necessary and sufficient conditions for the absolute instability of solutions of linear differential-difference equations with self-adjoint operator coefficients |
| title | Necessary and sufficient conditions for the absolute instability of solutions of
linear differential-difference equations with self-adjoint operator coefficients |
| title_alt | Необхідні та достатні умови абсолютної нестійкості розв’язків лінійних
диференціально-різницевих рівнянь зі самоспряженими операторними
коефіцієнтами |
| title_full | Necessary and sufficient conditions for the absolute instability of solutions of
linear differential-difference equations with self-adjoint operator coefficients |
| title_fullStr | Necessary and sufficient conditions for the absolute instability of solutions of
linear differential-difference equations with self-adjoint operator coefficients |
| title_full_unstemmed | Necessary and sufficient conditions for the absolute instability of solutions of
linear differential-difference equations with self-adjoint operator coefficients |
| title_short | Necessary and sufficient conditions for the absolute instability of solutions of
linear differential-difference equations with self-adjoint operator coefficients |
| title_sort | necessary and sufficient conditions for the absolute instability of solutions of
linear differential-difference equations with self-adjoint operator coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1590 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu necessaryandsufficientconditionsfortheabsoluteinstabilityofsolutionsoflineardifferentialdifferenceequationswithselfadjointoperatorcoefficients AT slûsarčukvû necessaryandsufficientconditionsfortheabsoluteinstabilityofsolutionsoflineardifferentialdifferenceequationswithselfadjointoperatorcoefficients AT slyusarchukvyu neobhídnítadostatníumoviabsolûtnoínestíjkostírozvâzkívlíníjnihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹzísamosprâženimioperatornimikoefícíêntami AT slûsarčukvû neobhídnítadostatníumoviabsolûtnoínestíjkostírozvâzkívlíníjnihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹzísamosprâženimioperatornimikoefícíêntami |