Spectral properties of nonself-adjoint nonlocal boundary-value problems for the operator of differentiation of even order
We study spectral properties of an essentially nonself-adjoint problem generated by nonlocal multipoint conditions for the operator of differentiation of order 2n and analyze the cases of regular and irregular Birkhoff boundary conditions. A system of root functions of the problem and elements of bi...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1592 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507402070130688 |
|---|---|
| author | Baranetskij, Ya. O. Kalenyuk, P. I. Kolyasa, L. I. Баранецький, Я. О. Каленюк, П. І. Коляса, Л. І. |
| author_facet | Baranetskij, Ya. O. Kalenyuk, P. I. Kolyasa, L. I. Баранецький, Я. О. Каленюк, П. І. Коляса, Л. І. |
| author_sort | Baranetskij, Ya. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:59Z |
| description | We study spectral properties of an essentially nonself-adjoint problem generated by nonlocal multipoint conditions for the
operator of differentiation of order 2n and analyze the cases of regular and irregular Birkhoff boundary conditions. A
system of root functions of the problem and elements of biorthogonal systems are constructed. We also establish sufficient
conditions under which these systems are complete and form a Riesz basis under certain additional assumptions.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517. 927.6 +517.984.52
Я. О. Баранецький, П. I. Каленюк, Л. I. Коляса (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”)
СПЕКТРАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI НЕСАМОСПРЯЖЕНИХ
НЕЛОКАЛЬНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ОПЕРАТОРА ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ПАРНОГО ПОРЯДКУ
We study spectral properties of an essentially nonself-adjoint problem generated by nonlocal multipoint conditions for the
operator of differentiation of order 2n and analyze the cases of regular and irregular Birkhoff boundary conditions. A
system of root functions of the problem and elements of biorthogonal systems are constructed. We also establish sufficient
conditions under which these systems are complete and form a Riesz basis under certain additional assumptions.
Исследованы спектральные свойства существенно несамосопряженной задачи, порожденной нелокальными много-
точечными условиями, для оператора дифференцирования четного порядка. Изучены случаи регулярных и нерегу-
лярных по Биркгофу двухточечных краевых условий. Построена система корневых функций исследуемой задачи и
элементы биортогональной системы. Получены достаточные условия, при которых эти системы являются полными,
и условия, при которых они образуют базис Рисса.
1. Вступ. Властивостi повноти та базисностi (умовної, безумовної, за Рiссом) системи коре-
невих функцiй крайової задачi є важливими при побудовi розв’язкiв багатьох нестацiонарних
задач методом Фур’є або його аналогами.
Для звичайних диференцiальних рiвнянь на скiнченному iнтервалi базиснiсть за Рiссом
для крайових задач, породжених регулярними за Бiркгофом крайовими умовами, встановле-
но в [1, 2]. У випадку, коли крайовi умови регулярнi, але не посилено регулярнi, у статтi [3]
було доведено, що система кореневих пiдпросторiв, якi вiдповiдають кратним власним значен-
ням крайової задачi, утворює базис Рiсса у просторi L2(0,1) iз пiдпросторiв. У роботах [4, 5]
було запропоновано поняття зведеної системи кореневих функцiй задачi, яка утворює базис
Рiсса у просторi L2(0,1), а також поняття суттєво несамоспряженого оператора (оператора,
система кореневих функцiй якого мiстить нескiнченне число приєднаних) i вивчено властиво-
стi таких операторiв. Задачi з нерегулярними за Бiркгофом умовами дослiджувались у статтях
[6, 8]. У роботi [9] вивчались спектральнi властивостi задач з умовами перiодичностi. Зада-
чi з iнтегральними та iнтегро-диференцiальними крайовими умовами розглядались у [10, 11].
Узагальнення та уточнення поняття регулярних за Бiркгофом крайових умов дослiджувались
у [12, 13]. Залежнiсть розв’язкiв крайових задач вiд параметра аналiзувалась у роботах [14, 15].
Властивостi суттєво несамоспряжених операторiв, визначених в абстрактному сепарабельно-
му гiльбертовому просторi, вивчались у роботi [16]. Опишемо коротко структуру статтi. У
пунктi 2 наведено основнi позначення та постановку багатоточкової задачi. Пункт 3 присвяче-
но дослiдженню перiодичної задачi, яка отримується при певних припущеннях на параметри
як частковий випадок багатоточкової задачi. У пунктi 4 вивчаються спектральнi властивостi
оператора нелокальної задачi, крайовi умови якої є збуренням спецiального вигляду умов перi-
одичностi. У пунктi 5 розглядається множина iзоспектральних операторiв, система кореневих
функцiй яких визначається послiдовнiстю дiйсних чисел. Вивчено властивостi операторiв, якi
вiдображають системи кореневих функцiй одного елемента цiєї множини в iнший. Пункт 6
присвячено дослiдженню властивостей оператора, породженого нелокальною задачею, крайовi
умови якої є двоточковими збуреннями однiєї з умов перiодичностi. В пунктi 7 сформульовано
c\bigcirc Я. О. БАРАНЕЦЬКИЙ, П. I. КАЛЕНЮК, Л. I. КОЛЯСА, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6 739
740 Я. О. БАРАНЕЦЬКИЙ, П. I. КАЛЕНЮК, Л. I. КОЛЯСА
та встановлено основнi результати роботи. У пунктi 8 наведено висновки щодо отриманих
результатiв.
2. Основнi позначення та постановка задачi. Нехай I : L2(0,1) \rightarrow L2(0,1) — оператор
iнволюцiї, Iy(x) \equiv y(1 - x), Hj \equiv
\bigl\{
y \in L2(0,1) : Iy = ( - 1)jy
\bigr\}
, j = 0, 1, B(L2(0,1)) — мно-
жина лiнiйних неперервних операторiв, L2(0,1) \rightarrow L2(0,1), W
2n
2 (0,1) \equiv
\bigl\{
y \in L2(0,1) : y(m) \in
\in AC[0,1], y(2n) \in L2(0,1),m = 1, 2, . . . , 2n - 1
\bigr\}
,
\bigl(
y, u;W 2n
2 (0,1)
\bigr)
\equiv
\sum 2n
k=0
\bigl(
y(k), u(k);L2(0,1)
\bigr)
,\bigm\| \bigm\| y;W 2n
2 (0,1)
\bigm\| \bigm\| 2 \equiv (y, y;W 2n
2 (0,1)), W \ast (0,1) — простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв над
W 2n
2 (0,1), W \ast
j (0,1) =
\bigl\{
l \in W \ast (0,1) : ly = 0, y \in H1 - j \cap W 2n
2 (0,1)
\bigr\}
, j = 0, 1.
У роботi вивчається багатоточкова задача
( - 1)ny(2n)(x) = f(x), x \in (0,1), (1)
lpy \equiv y(2p - 1)(0) - y(2p - 1)(1) = 0, p = 1, 2, . . . , n, (2)
ln+py \equiv y(2p - 2)(0) - y(2p - 2)(1)+
+
r\sum
s=0
kp\sum
q=1
bp,q,s
\Bigl(
y(2q - 2)(xs) + y(2q - 2)(1 - xs)
\Bigr)
= 0,
(3)
bp,q,s \in \BbbR , q = 0, 1, . . . , kp, kp \leq n, 0 = x0 < x1 < . . . < xr < 1, p = 1, 2, . . . , n.
3. Допомiжна cамоспряжена задача з перiодичними умовами. Розглянемо частинний
випадок задачi (1) – (3), коли bp,q,s = 0, q = 0, 1, . . . , kp, p = 1, 2, . . . , n, s = 0, 1, . . . , r:
( - 1)2ny(2n) = \lambda y, x \in (0,1), \lambda \in \BbbC , (4)
l0,py \equiv y(2p - 1)(0) - y(2p - 1)(1) = 0, p = 1, 2, . . . , n, (5)
l0,n+py \equiv y(2p - 2)(0) - y(2p - 2)(1) = 0, p = 1, 2, . . . , n. (6)
Умови перiодичностi (5), (6) занумеровано так, що справджуються включення l0,p \in W \ast
0 (0,1),
l0,n+p \in W \ast
1 (0,1), p = 1, 2, . . . , n.
Нехай A0 — оператор задачi (4) – (6), A0y \equiv ( - 1)ny(2n)(x), y \in D(A0) \subset W 2n
2 (0,1),
D(A0) \equiv
\bigl\{
y \in W 2n
2 (0,1) : l0,py = 0, p = 1, 2, . . . , 2n
\bigr\}
.
Власнi числа та власнi функцiї самоспряженого оператора A0 визначимо спiввiдношеннями
\lambda 0 = 0, \lambda m \equiv 4\pi 2nm2n, v0(x) = 1, v2m(x) \equiv
\surd
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\pi mx,
v2m - 1(x) \equiv
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\pi mx, m = 1, 2, . . . .
Зауваження 1. Системи функцiй V0(A0) \equiv
\bigl\{
v2m(x) : m = 0, 1, . . .
\bigr\}
\subset H0, V1(A0) \equiv
\equiv
\bigl\{
v2m - 1(x) : m = 1, 2, . . .
\bigr\}
\subset H1 утворюють ортонормованi базиси просторiв H0 та H1
вiдповiдно.
Нехай \omega s — розв’язки рiвняння \omega 2n = ( - 1)n — занумеровано так, що \omega 1 = i, \omega j =
= \omega 1e
i
1
n\pi (j - 1), j = 1, . . . , n.
Розглянемо функцiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
СПЕКТРАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI НЕСАМОСПРЯЖЕНИХ НЕЛОКАЛЬНИХ КРАЙОВИХ . . . 741
y1,1(x, \rho m) \equiv 1
2
(1 - 2x) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \rho mx, y1,q(x, \rho m) \equiv 1
2
(1 - ewq\rho m) - 1yq(x, \rho m),
m = 1, 2, . . . , q = 2, 3, . . . , n,
(7)
та визначимо рядки квадратної матрицi \mathrm{B}0(x, \rho m) порядку n так: p-й рядок визначається еле-
ментами системи (7): \beta 0
p,q(x, \rho m) \equiv y1,q(x, \rho m), iншi рядки визначаються рiвностями
\beta 0
j,q(x, \rho m) \equiv (\omega q)
2j - 2 при j = 1, 2, . . . , n, j \not = p, q = 1, 2, . . . , n.
Визначник матрицi \mathrm{B}0(x, \rho m) позначимо через \Delta p(x, \rho m).
Пiдстановкою в умови (5), (6) можна переконатися, що
l0,r\Delta p = 0, r \not = n+ p, l0,n+p\Delta p = Wn(\rho m)2p - 2, r = 1, 2, . . . , 2n, p = 1, 2, . . . , n, (8)
де Wn — визначник Вандермонда, побудований за числами - 1, (\omega 2)
2, . . . , (\omega n)
2.
Визначимо функцiї
y2,p(x, \rho m) \equiv W - 1
n \Delta p(x, \rho m), p = 1, 2, . . . , n, m = 1, 2, . . . . (9)
Враховуючи спiввiдношення (8), отримуємо
l0,ry2,p = 0, r \not = n+ p, l0,n+py2,p = (\rho m)2p - 2, r = 1, 2, . . . , 2n, p = 1, 2, . . . , n.
Аналогiчно, розглянемо функцiї
y1,n+1(x, \rho m) \equiv 1
2
(1 - 2x) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \rho mx, y1,n+q(x, \rho m) \equiv 1
2
\bigl(
1 + ewq\rho m
\bigr) - 1
yn+q(x, \rho m), (10)
q = 2, 3, . . . , n,
та визначимо квадратну матрицю \mathrm{B}1(x, \rho m) порядку n, рядки якої задано так: k-й рядок
визначається елементами системи (10): \beta 1
k,q(x, \rho m) \equiv y1,n+q(x, \rho m), iншi рядки визначаються
при j \not = k, j = 1, 2, . . . , n, рiвностями \beta 1
j,q(x, \rho m) \equiv (\omega q)
2j - 1, q = 1, 2, . . . , n.
Визначник матрицi \mathrm{B}1(x, \rho m) позначимо через \Delta n+k(x, \rho m).
Пiдстановкою в умови (5), (6) можна переконатися, що
l0,r\Delta n+k(x, \rho m) = 0, r \not = n+ k, l0,k\Delta n+k(x, \rho m) = h(i)Wn(\rho m)2k - 1,
h(i) = ( - i)n - 1i, r = 1, 2, . . . , 2n, k = 1, 2, . . . , n.
(11)
Визначимо функцiї
y2,n+k(x, \rho m) \equiv \Delta n+k(x, \rho m)h - 1(i)W - 1
n (\rho m).
Враховуючи спiввiдношення (11), отримуємо
l0,ry2,n+k = 0, r \not = k, l0,ky2,n+k = (\rho m)2k - 1,
r = 1, 2, . . . , 2n, k = 1, 2, . . . , n, m = 1, 2, . . . .
(12)
Зауваження 2. Iз формул (7), (9), (11), (12) та означення функцiй \Delta k(x, \rho m) маємо нерiв-
ностi
\bigm\| \bigm\| y2,k(x, \rho m);L2(0,1)
\bigm\| \bigm\| \leq K1 < \infty , k = 1, 2, . . . , 2n, m = 1, 2, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
742 Я. О. БАРАНЕЦЬКИЙ, П. I. КАЛЕНЮК, Л. I. КОЛЯСА
Нехай Wn - 1 — визначник Вандермонда, побудований за числами (\omega 2)
2, (\omega 3)
2, . . . , (\omega n)
2.
Враховуючи, що
\bigm\| \bigm\| y2,k(x, \rho m) - Wn - 1y1,n+1(x, \rho m);L2(0,1)
\bigm\| \bigm\| \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty , одержуємо\bigm\| \bigm\| y2,k(x, \rho m);L2(0,1)
\bigm\| \bigm\| \geq K2 при k = 1, 2, . . . , n.
Аналогiчну оцiнку знизу отримуємо для функцiй y2,n+k(x, \rho m), k = 1, 2, . . . , n.
Отже,
K2 \leq
\bigm\| \bigm\| y2,k(x, \rho m);L2(0,1)
\bigm\| \bigm\| \leq K1 < \infty , k = 1, 2, . . . , 2n, m = 1, 2, . . . . (13)
4. Несамоспряженi крайовi задачi. Розглянемо при будь-яких p \in \{ 1, 2, . . . , n\} , b \in \BbbR для
рiвняння (1) задачу з крайовими умовами
l1,jy \equiv y(2j - 1)(0) - y(2j - 1)(1) = 0, j = 1, 2, . . . , n, (14)
l1,n+jy \equiv y(2j - 2)(0) - y(2j - 2)(1) = 0, j = 1, 2, . . . , n, j \not = p, (15)
l1,n+py \equiv y(2p - 1)(0) - y(2p - 1)(1) + l1p,by = 0, (16)
де
l1p,by \equiv b
\Bigl(
y(2p - 2)(0) + y(2p - 2)(1)
\Bigr)
, b \in \BbbR . (17)
Нехай A1 \equiv Ap,b — оператор задачi (1), (14) – (17), A1y(x) \equiv ( - 1)ny(2n)(x), y \in D(A1),
D(A1) \equiv
\bigl\{
y \in W 2n
2 (0,1) : l1,jy = 0, j = 1, 2, . . . , 2n
\bigr\}
, V (A1) — система кореневих функцiй
оператора A1.
Теорема 1. Для будь-яких фiксованих p \in \{ 1, 2, . . . , n\} , b \in \BbbR спектри операторiв A0, A1
збiгаються мiж собою та система функцiй V (A1) утворює базис Рiсса простору L2(0,1).
Доведення. Покажемо, що власнi значення операторiв A0 та A1 збiгаються.
Визначимо фундаментальну систему розв’язкiв рiвняння (5) за допомогою спiввiдношень
yj(x, \rho ) \equiv e\omega j\rho x + e\omega j\rho (1 - x) \in H0, yn+j(x, \rho ) \equiv e\omega j\rho x - e\omega j\rho (1 - x) \in H1, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\rho | \leq \pi
2n
, \lambda =
= ( - 1)n\rho 2n.
Враховуючи, що l0,py0,n+j(x, \rho ) = 0, отримуємо рiвняння для визначення власних значень
операторiв A1, A0 вiдповiдно:
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\left(
l1,1y1(x, \rho ) . . . l1,1y2n(x, \rho )
...
. . .
...
l1,2ny1(x, \rho ) . . . l1,2ny2n(x, \rho )
\right) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\left(
l0,1y1(x, \rho ) . . . l0,1y2n(x, \rho )
...
. . .
...
l0,2ny1(x, \rho ) . . . l0,2ny2n(x, \rho )
\right) = 0.
Отже, власнi значення операторiв A0, A1 збiгаються.
Визначимо елементи системи V (A1).
Можна переконатися, що v2m - 1(x) \equiv
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\pi mx, v2m - 1(x) \in D(A1), A1v2m - 1(x) =
= \lambda mv2m - 1(x), m = 1, 2, . . . . Тому
v2m - 1(x,A1) \equiv v2m - 1(x) =
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\pi mx, m = 1, 2, . . . , (18)
v0(x,A1) \equiv
\left\{ 1 + b (2x - 1) для p = 1,
1 для p > 1,
(19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
СПЕКТРАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI НЕСАМОСПРЯЖЕНИХ НЕЛОКАЛЬНИХ КРАЙОВИХ . . . 743
де p = 1, 2, . . . , n, b \in \BbbR .
Кореневi функцiї оператора A1 визначимо у виглядi суми
v2m(x,A1) \equiv v2m(x) - b
\surd
2y2,p(x, \rho m), m = 1, 2, . . . , p = 1, 2, . . . , n. (20)
Отже, оператор A1 має систему V (Ap,b) функцiй (18) – (20), кореневих у сенсi рiвностей
A1v2m(x,A1) = \lambda mv2m(x,A1) + \xi 1,mv2m - 1(x,A1),
\xi 1,m = 2
\surd
2b( - 1)nn(\rho m)2n - 1, m = 1, 2, . . . ,
A1v2m - 1(x,A1) = \lambda mv2m - 1(x,A1), m = 1, 2, . . . .
Розглянемо задачу, яка є спряженою до крайової задачi (1), (14) – (17):
L0z \equiv ( - 1)nz(2n) = f, x \in (0,1), (21)
l2j z \equiv z(2j - 1)(0) - z(2j - 1)(1) = 0, j \not = n - p+ 1, j = 1, 2, . . . , n, (22)
l2n - p+1z \equiv
\Bigl(
z(2n - 2p+1)(0) - z(2n - 2p+1)(1)
\Bigr)
+ b
\Bigl(
z(2n - 2p+1)(0) + z(2n - 2p+1)(1)
\Bigr)
= 0, b \in \BbbR ,
(23)
l2n+jz \equiv z(2j - 2)(0) - z(2j - 2)(1) = 0, j = 1, 2, . . . , n. (24)
Нехай A\ast
1 — спряжений оператор до A1, породжений задачею (21) – (24):
A\ast
1z(x) \equiv ( - 1)nz(2n)(x), y \in D(A\ast
1), D(A\ast
1) \equiv
\bigl\{
z \in W 2n
2 (0,1) : l2j z = 0, j = 1, 2, . . . , 2n
\bigr\}
,
W (A\ast
1) — система кореневих функцiй оператора A\ast
1. Оператор A\ast
1 має функцiї
w0(x,A
\ast
1) \equiv v0(x),
w2m(x,A\ast
1) \equiv v2m(x), m = 1, 2, . . . ,
w2m - 1(x,A
\ast
1) \equiv v2m - 1(x) + ( - 1)p+1
\surd
2by2,n - p+1(x, \rho m),
m = 1, 2, . . . , p = 1, 2, . . . , n,
якi є кореневими в сенсi рiвностей
A\ast
1w2m - 1(x,A
\ast
1) = \lambda mw2m - 1(x,A
\ast
1) + \xi mw2m(x,A\ast
1), m = 1, 2, . . . ,
A\ast
1w2m(x,A\ast
1) = \lambda mw2m(x,A\ast
1), m = 0, 1, . . . .
Крайовi умови (14) – (17) є регулярними, але не сильно регулярними за Бiркгофом [18].
За теоремою О. О. Шкалiкова [3] система Vm(A1) кореневих пiдпросторiв оператора A1 є
базисом Рiсса iз пiдпросторiв [17] у просторi L2(0,1). Покажемо, що V (A1) та W (A\ast
1) —
системи Бесселя, тобто для будь-якої функцiї h \in L2(0,1) справджуються нерiвностi
\infty \sum
k=0
\bigl(
h, \nu k(x,A1);L2(0,1)
\bigr) 2 \leq K3
\bigm\| \bigm\| h;L2(0,1)
\bigm\| \bigm\| 2, 0 < K3 < \infty , (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
744 Я. О. БАРАНЕЦЬКИЙ, П. I. КАЛЕНЮК, Л. I. КОЛЯСА
\infty \sum
k=0
\bigl(
h,wk(x,A
\ast
1);L2(0,1)
\bigr) 2 \leq K4
\bigm\| \bigm\| h;L2(0,1)
\bigm\| \bigm\| 2, 0 < K4 < \infty . (26)
Розглянемо систему функцiй V 1(A1):
\nu 10(x,A1) \equiv \nu 0(x,A1), \nu 12m - 1(x,A1) \equiv
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\pi mx, m = 1, 2, . . . ,
\nu 12m(x,A1) \equiv \nu 2m(x,A1) -
\bigl(
\nu 2m(x,A1), \nu
1
2m - 1(x,A1);L2(0,1)
\bigr)
\nu 12m - 1(x,A1), (27)
m = 1, 2, . . . .
Система функцiй, утворена нормуванням системи V 1(A1), є об’єднанням сукупностi орто-
нормованих базисiв кореневих пiдпросторiв Vm(A1) оператора A1, m = 1, 2, . . . . Тому вона є
базисом Рiсса простору L2(0,1) [17, с. 414, 415].
Отже, для будь-якої функцiї h \in L2(0,1) справджується нерiвнiсть
\infty \sum
k=0
\bigl(
h, \nu 1k(x,A1);L2(0,1)
\bigr)
\leq K5
\bigm\| \bigm\| h;L2(0,1)
\bigm\| \bigm\| 2, 0 < K5 < \infty .
Iз формули (27) маємо
\nu 2m(x,A1) \equiv \nu 12m(x,A1) +
\bigl(
\nu 2m(x,A1), \nu
1
2m - 1(x,A1);L2(0,1)
\bigr)
\nu 12m - 1(x,A1). (28)
Враховуючи нерiвнiсть Кошi та рiвнiсть (28), отримуємо оцiнки\bigl(
h, \nu 2m(x,A1);L2(0,1)
\bigr) 2 \leq 2
\bigl(
h, \nu 12m(x,A1);L2(0,1)
\bigr) 2
+
+2
\bigl(
\nu 2m(x,A1), \nu
1
2m - 1(x,A1);L2(0,1)
\bigr) 2\bigl(
h, \nu 12m - 1(x,A1);L2(0,1)
\bigr) 2
,\bigl(
h, \nu 2m(x,A1);L2(0,1)
\bigr) 2 \leq 2
\bigl(
h, \nu 12m(x,A1);L2(0,1)
\bigr) 2
+
+2
\bigm\| \bigm\| \nu 2m(x,A1);L2(0,1)
\bigm\| \bigm\| 2\bigl( h, \nu 12m - 1(x,A1);L2(0,1)
\bigr) 2
.
Iз спiввiдношень (13), (20) одержуємо нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \nu 2m(x,A1);L2(0,1)
\bigm\| \bigm\| 2 \leq K6| b| 2, 0 < K6 < \infty .
Тому \bigl(
h, \nu 2m(x,A1);L2(0,1)
\bigr) 2 \leq 2
\bigl(
h, \nu 12m(x,A1);L2(0,1)
\bigr) 2
+
+K6| b| 2
\bigl(
h, \nu 12m - 1(x,A1);L2(0,1)
\bigr) 2
.
Пiдсумовуючи отриманi нерiвностi при m = 1, 2, . . . та враховуючи рiвностi (27), маємо
оцiнку (25) при
K3 = 1 + 2K2
\bigl(
K6| b| 2
\bigr)
.
При цьому враховуємо, що система функцiй W 1 (A\ast
1) , елементи якої отримуються аналогiчною
ортогоналiзацiєю елементiв W (A\ast
1) , є базисом Рiсса в L2(0,1). Тому з теореми Н. К. Барi [17]
отримуємо твердження теореми.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 3. Системи V (A1) та W (A\ast
1) є бiортогональними в сенсi рiвностей\bigl(
w2m - \alpha (x,A
\ast
1), v2k - \beta (x,A1);L2(0,1)
\bigr)
= \delta m,k\delta \alpha ,\beta , m, k = 0, 1, . . . , \alpha , \beta = 0, 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
СПЕКТРАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI НЕСАМОСПРЯЖЕНИХ НЕЛОКАЛЬНИХ КРАЙОВИХ . . . 745
5. Оператори перетворення. Розглянемо для довiльного p \in \{ 1, 2, . . . , n\} оператор B0,p,
власнi значення якого збiгаються з власними значеннями оператора A0, а кореневi функцiї
визначаються спiввiдношеннями
v2m - 1 (x,B0,p) \equiv v2m - 1(x), m = 1, 2, . . . ,
v2m (x,B0,p) \equiv v2m(x) + y2,p(x, \rho 2m), p = 1, 2, . . . , n, m = 1, 2, . . . .
Зауваження 4. Оператор B0,p є частковим випадком оператора A1 при b = - 1\surd
2
. Тому,
згiдно з теоремою 1, система V (B0,p) кореневих функцiй цього оператора є базисом Рiсса у
просторi L2(0,1).
Розглянемо для довiльного p \in \{ 1, 2, . . . , n\} оператор Bp : L2(0,1) \rightarrow L2(0,1), власнi зна-
чення якого збiгаються з власними значеннями оператора A0, а кореневi функцiї визначаються
спiввiдношеннями
v2m - 1(x,Bp) \equiv v2m - 1(x),
v2m(x,Bp) \equiv v2m(x) + v02m(x,Bp), (29)
v0,2m(x,Bp) \equiv cm(Bp)y2,p(x, \rho 2m), cm (Bp) \in \BbbR , m = 1, 2, . . . .
Оператор, який вiдображає V (A0) у систему V (Bp) кореневих функцiй оператора Bp,
позначимо через R(Bp).
Зауваження 5. Система функцiй V (Bp) є повною у просторi L2(0,1).
Тому оператор R(Bp) має щiльну в просторi L2(0,1) область визначення.
Нехай G(B0,p) — множина операторiв R(Bp), для яких елементи системи V (Bp) визна-
чаються формулами (29), Gc(B0,p) \equiv O(Ap) \cap B
\bigl(
L2(0,1)
\bigr)
.
Аналогiчно, за допомогою кореневих функцiй оператора A\ast
p визначається множина
G\ast (B0,p) \equiv
\bigl\{
R\ast (Bp) = E - S\ast (Bp), R(Bp) \in G(B0,p)
\bigr\}
.
Теорема 2. Нехай p \in \{ 1, 2, . . . , n\} . Система функцiй V (Bp) є базисом Рiсса простору
L2(0,1) тодi i лише тодi, коли послiдовнiсть cm(Bp) є обмеженою:
\bigm| \bigm| cm(Bp)
\bigm| \bigm| \leq K < \infty .
Доведення. Необхiднiсть. Нехай V (Bp) є базисом Рiсса простору L2(0,1), тобто R(Bp) \in
\in B
\bigl(
L2(0,1)
\bigr)
, S(Bp) = E - R(Bp) \in B(L2(0,1)). Iз означення оператора Bp маємо
S(x,Bp)v2m(x) = cm(Bp)y2,p(x, \rho 2m), m = 1, 2, . . . .
Тому, враховучи оцiнку (13), отримуємо\bigm| \bigm| cm(Bp)
\bigm| \bigm| \leq \bigm\| \bigm\| Sp(x,Bp);B(L2(0,1))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y2,n+p(x, \rho 2m);L2(0,1)
\bigm\| \bigm\| - 1 \leq K7 < \infty , m = 1, 2, . . . .
Достатнiсть. Повнота та мiнiмальнiсть системи V (Bp) у просторi L2(0,1) випливає iз
зауваження 5 та iснування оператора R\ast (Bp) \in O\ast (Ap).
Виберемо f \in L2(0,1), f = f0 + f1, fj \in Hj , j = 0, 1,
f =
\infty \sum
k=0
fkvk(x) \in L2(0,1),
\bigm\| \bigm\| f ;L2(0,1)
\bigm\| \bigm\| 2 = \infty \sum
k=0
(fk)
2 < \infty .
Нехай
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
746 Я. О. БАРАНЕЦЬКИЙ, П. I. КАЛЕНЮК, Л. I. КОЛЯСА
hp = S(Bp)f =
\infty \sum
k=0
fkck(Bp)vk(x,Bp) \in L2(0,1),
hp =
\infty \sum
k=1
\bigl(
f2k - 1v2k - 1(x) + f2kck(Bp)
\bigl(
v2k(x,Ap) - v2k(x)
\bigr) \bigr)
\in L2(0,1),
\bigm\| \bigm\| S(Bp)f ;L2(0,1)
\bigm\| \bigm\| 2 \leq K8
\infty \sum
k=1
(fk)
2, K8 = 3
\Bigl(
1 +K2 + K2
\bigm\| \bigm\| R(Ap);B(L2(0,1))
\bigm\| \bigm\| 2\Bigr) .
Отже,
\bigm\| \bigm\| S(Bp);B(L2(0,1))
\bigm\| \bigm\| 2 \leq K8.
Враховуючи рiвностi R(Bp) = E + S(Bp), R
- 1(Bp) = E - S(Bp), маємо\bigm\| \bigm\| R(Bp);B(L2(0,1))
\bigm\| \bigm\| \leq 2 + 2K8,
\bigm\| \bigm\| R - 1(Bp);B(L2(0,1))
\bigm\| \bigm\| \leq 2 + 2K8.
Застосовуючи теорему Н. К. Барi [17], отримуємо для системи V (Ap) твердження теореми 2.
Наслiдок 1. Oc(Ap) =
\bigl\{
G \in O(Ap) : | cm(G)| \leq KG < \infty , m = 0, 1, . . .
\bigr\}
.
Нехай U — множина систем функцiй (um)\infty m=1, якi є повними та мiнiмальними у просторi
L2(0,1), Q0(I) — множина операторiв R = E + S : U \rightarrow U таких, що S : H0 \rightarrow H1, S :
H1 \rightarrow 0.
Через Q0,c(I) позначимо всi обмеженi оператори з множини Q0(I). З властивостi S2 = 0
маємо R = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}S.
На множинi Q0(I) можна визначити операцiю множення R1R2 \equiv (E + S1)(E + S2) =
= E + S1 + S2. Для кожного оператора R \in Q0(I) iснує єдиний обернений R - 1 = E - S,
R = (E + S)(E - S) = E.
Множина Q0(I) є абелевою групою, яка мiстить абелеву пiдгрупу Q0,c(I).
Тому для будь-яких операторiв Rj = E+Sj \in Q(A0), j = 1, 2, . . . , d, d \in \BbbN , справджується
рiвнiсть
d\prod
j=1
Rj \equiv
d\prod
j=1
(E + Sj) = E +
d\sum
j=1
Sj , d \in \BbbN .
Iз зауваження 5, означення оператора Bp та множини G(B0,p) випливають включення
G(B0,p) \subset Q0(I), Gc(B0,p) \subset Q0,c(I).
Аналогiчно можна визначити множину
Q1(I) \equiv
\bigl\{
R : U \rightarrow U,R = E + S, S : H1 \rightarrow H0, S : H0 \rightarrow 0
\bigr\}
.
При цьому правильними є спiввiдношення O(A\ast
p) \subset Q1(I), Oc(A
\ast
p) \subset Q1,c(I).
6. Крайова задача. 6.1. Для диференцiального рiвняння (1) при будь-яких p \in \{ 1, 2, . . . , n\} ,
b \in \BbbR розглянемо крайову задачу з умовами
l2,jy \equiv y(2j - 1)(0) - y(2j - 1)(1) = 0, j = 1, 2, . . . , n, (30)
l2,n+jy \equiv y(2j - 2)(0) - y(2j - 2)(1) = 0, j = 1, 2, . . . , n, j \not = p, (31)
l2,n+py \equiv y(2p - 2)(0) - y(2p - 2)(1)y + l2py = 0, (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
СПЕКТРАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI НЕСАМОСПРЯЖЕНИХ НЕЛОКАЛЬНИХ КРАЙОВИХ . . . 747
де
l2py \equiv
kp\sum
q=1
bq,p
\Bigl(
y(2q - 2)(0) + y(2q - 2)(1)
\Bigr)
= 0, bq,p \in \BbbR , kp \leq n, p = 1, 2, . . . , n.
Нехай A2 \equiv A2,p,b — оператор задачi (1), (30) – (32),
A2y \equiv ( - 1)ny(2n)(x), y \in D(Ap2), D(A2) \equiv
\bigl\{
y \in W 2n
2 (0,1) : l2,jy = 0, j = 1, 2, . . . , 2n
\bigr\}
,
V (A2) — система кореневих функцiй оператора A2.
Теорема 3. Нехай bp,q \in \BbbR , 0 \leq q \leq kp \leq n, 1 \leq p \leq n. Тодi спектри операторiв A0, A2
збiгаються мiж собою i система функцiй V (A2) є повною та мiнiмальною в просторi L2(0,1).
Безпосереднiми обчисленнями можна переконатися, що
v2m - 1(x) \in D(A2), A2v2m - 1(x) = \lambda mv2m - 1(x).
Отже,
v2m - 1(x,A2) \equiv v2m - 1(x) =
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\pi mx, m = 1, 2, . . . , (33)
v0(x,A2) \equiv
\left\{ 1 + bp,1(2x - 1) для p = 1,
1 для p > 1.
(34)
Кореневi функцiї оператора A2 визначимо сумою
v2m(x,A2) \equiv v2m(x) + c2,my2,n+p(x, \rho m), m = 0, 1, . . . . (35)
Пiдставляючи вираз (35) в умови (31), (32), отримуємо
c2,m =
kp\sum
q=1
( - 1)q+12
\surd
2bq,p(\rho m)2kp - 2p, m = 0, 1, . . . , (36)
v2m(x,A2) = v2m(x) +
kp\sum
q=1
( - 1)q+1bq,p(\rho m)2q - 2py2,n+p(x, \rho m), (37)
p = 1, 2, . . . , n, m = 1, 2, . . . .
Отже, оператор A2 має систему кореневих функцiй (33) – (36) у сенсi рiвностей
A2v2m(x,A2) = \lambda mv2m(x, a2) + \xi 2,mv2m - 1(x,A2), m = 1, 2, . . . ,
\xi 2,m = 4( - 1)nnW (\omega 2
2, . . . , \omega
2
n)(\rho m)2n - 1c2,m, m = 1, 2, . . . ,
A2v2m - 1(x,A2) = \lambda mv2m - 1(x,A2), m = 1, 2, . . . .
Введемо в розгляд оператор R(A2) : L2(0,1) \rightarrow L2(0,1), який вiдображає систему функцiй
V (A0) у систему V (A2): R(A2)v2m - j(x) \equiv v2m - j(x,A2), j = 0, 1, m = 0, 1, . . . .
Iз формул (33) – (35) отримуємо включення R(A2) \in G(B0,p).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
748 Я. О. БАРАНЕЦЬКИЙ, П. I. КАЛЕНЮК, Л. I. КОЛЯСА
У випадку, коли kp \leq p, p = 1, 2, . . . , n, iз спiввiдношення (36) випливає, що послiдовнiсть
\{ c2,m\} \infty m=0 є обмеженою.
Тому з теореми 2 отримуємо останнє твердження теореми.
6.2. Розглянемо для рiвняння (1) крайову задачу з умовами
l3,jy \equiv y(2j - 1)(0) - y(2j - 1)(1) = 0, j = 1, 2, . . . , n, (38)
l3,n+py \equiv l0n+py + l2py = 0, p = 1, 2, . . . , n, (39)
де
l2py \equiv
kp\sum
q=1
bq,p
\bigl(
y(2q - 2)(0) + y(2q - 2)(1)
\bigr)
, bp,q \in \BbbR , kp \leq n, p = 1, 2, . . . , n. (40)
Нехай A3 \equiv A3,p — оператор задачi (1), (38) – (40), A3y \equiv ( - 1)ny(2n)(x), y \in D(A3),
D(A3) \equiv
\bigl\{
y \in W 2n
2 (0,1) : l3jy = 0, j = 1, . . . , 2n
\bigr\}
, V (A3) — система кореневих функцiй
оператора A3.
Теорема 4. Нехай bp,q \in \BbbR , 0 \leq q \leq kp \leq n, p = 1, 2, . . . , n. Тодi множини власних
значень операторiв A0 та A3 збiгаються мiж собою i система V (A3) повна та мiнiмальна у
просторi L2(0,1).
Визначимо систему V (A3) за допомогою операторiв R(A3) : V (A0) \rightarrow V (A3), R(A3) =
= E + S(A3) =
\prod n
p=1
\bigl(
E + S(A2,p,b)
\bigr)
.
Для оператора R
\bigl(
A1
\bigr)
маємо розвинення
R
\bigl(
A1
\bigr)
=
n\prod
p=1
\bigl(
E + S(A1
p)
\bigr)
= E +
n\sum
p=1
S(A1
p).
За наслiдком 1 оператор R(A3,p) = E + S(A3,p) є елементом G(B0,p).
Далi використовуємо мiркування з доведення теореми 3.
7. Нелокальна багатоточкова задача. 7.1. Розглянемо для будь-якого p \in \{ 1, 2, . . . , n\}
багатоточкову задачу для рiвняння (1) з умовами
l4,jy \equiv y(2j - 1)(0) - y(2j - 1)(1) = 0, j = 1, 2, . . . , n, (41)
l4,n+jy \equiv (y(2j - 2)(0) - y(2j - 2)(1)) = 0, j \not = p, j = 1, 2, . . . , n, (42)
l4,n+py \equiv (y(2p - 2)(0) - y(2p - 2)(1))y + l3py = 0, (43)
де
l3py \equiv
kp\sum
q=1
bp,q,s
\bigl(
y(2q - 2)(xs) + y(2q - 2)(1 - xs)
\bigr)
= 0. (44)
Нехай A4 \equiv A4,p — оператор задачi (1), (41) — (44),
A4y \equiv ( - 1)ny(2n)(x), y \in D(A4), D(A4) \equiv
\bigl\{
y \in W 2n
2 (0,1) : l4jy = 0, j = 1, 2, . . . , 2n
\bigr\}
.
Визначимо елементи системи V (A4) кореневих функцiй оператора A4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
СПЕКТРАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI НЕСАМОСПРЯЖЕНИХ НЕЛОКАЛЬНИХ КРАЙОВИХ . . . 749
Безпосереднiми обчисленнями можна переконатися, що v2m - 1(x) \equiv
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\pi mx \in D(A4),
A4v2m - 1(x) = \lambda 2m - 1v2m - 1(x), m = 1, 2, . . . .
Отже,
v2m - 1(x,A4) \equiv v2m - 1(x) =
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\pi mx, m = 1, 2, . . . ,
v0(x,A4) \equiv
\left\{ 1 + b(2x - 1) для p = 1,
1 для p > 1.
(45)
Кореневi функцiї оператора A4 визначимо сумою
v2m(x,A4) \equiv v2m(x) + c4,my2,n+p(x, \rho m), m = 0, 1, . . . . (46)
Пiдставляючи вираз (46) в (43), (44), отримуємо
c4,m =
kp\sum
q=1
bp,q,s( - 1)2q - 2p - 1(\rho m)2q - 2p \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \rho mxs, m = 1, 2, . . . , (47)
v2m(x,A4) \equiv v2m(x) +
kp\sum
q=1
bp,q,s( - 1)2q - 2p - 1(\rho m)2q - 2p \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \rho mxsy
1
n+p(x, \rho m), (48)
m = 1, 2, . . . , p = 1, 2, . . . , n.
Отже, оператор A4 має систему функцiй (43) – (48), кореневих у сенсi рiвностей
A4v
1
2m(x,A4) = \lambda mv2m(x,A4) + \xi 4,m(A4)v2m - 1(x,A4),
\xi 4,m(A4) = 4( - 1)nnW (\omega 2
2, . . . , \omega
2
n)(\rho m)2n - 1c4,m (b) , m = 1, 2, . . . ,
A4v2m - 1(x,A4) = \lambda mv2m - 1(x,A4), m = 1, 2, . . . .
Зауваження 6. З формули (48) випливає, що R(A4) \in G(B0,p) та R(A4) \in Gc(B0,p) при
kp \leq p.
Тому справджується така теорема.
Теорема 5. Нехай bp,q,s \in R, 0 \leq kp \leq n, 1 \leq p \leq n. Тодi спектри операторiв A0, A4
збiгаються мiж собою i система функцiй V (A4) є повною та мiнiмальною в просторi L2(0,1).
Якщо kp \leq p, p = 1, 2, . . . , n, то система кореневих функцiй V (A4) є базисом Рiсса у
просторi L2(0,1).
7.2. Розглянемо багатоточкову задачу (1) – (3).
Нехай A — оператор задачi (1) – (3),
Ay \equiv ( - 1)ny(2n)(x), y \in D(A), D(A) \equiv
\bigl\{
y \in W 2n
2 (0,1) : l7jy = 0, j = 1, 2, . . . , 2n
\bigr\}
,
V (A) — система кореневих функцiй оператора A.
Теорема 6. Нехай bp,q,j \in \BbbR , 0 \leq q \leq kp \leq n - 1, j = 0, 1, . . . , r, p = 1, 2, . . . , n. Тодi
множини власних значень операторiв A0 та A збiгаються мiж собою i система V (A) повна
та мiнiмальна у просторi L2(0,1).
Якщо kp \leq p, p = 1, 2, . . . , n, то система функцiй V (A) є базисом Рiсса у просторi L2(0,1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
750 Я. О. БАРАНЕЦЬКИЙ, П. I. КАЛЕНЮК, Л. I. КОЛЯСА
Iзоспектральнiсть операторiв A4 та A0 доводиться, як у доведеннi теореми 1.
Визначимо систему V (A) за допомогою оператора R(A) : V (A0) \rightarrow V (A).
Враховуючи спiввiдношення (44), (3), для оператора R(A) отримуємо розвинення
R(A) =
n\prod
p=1
\bigl(
E + S(A4,p)
\bigr)
= E +
n\sum
p=1
S(A4,p), (49)
де оператори R(A4,p) = E + S(A4,p) за лемою 2 є елементами групи G(B0,p).
Тому система функцiй V (A) повна та мiнiмальна у просторi L2(0,1).
Якщо припущення kp \leq p, p = 1, 2, . . . , n, справджуються, то з розвинення (49) та наслiд-
ку 3 отримуємо твердження теореми.
Зауваження 7. Аналогiчнi результати можна отримати для випадку багатоточкових умов
y(2j - 2)(0) - y(2j - 2)(1) +
r\sum
s=0
kp\sum
j=0
bp,j,s
\Bigl(
y(j)(xs) + ( - 1)jy(r)(1 - xs)
\Bigr)
= 0.
8. Деякi висновки. Отже, в роботi отримано такi результати:
1. Визначено новi класи суттєво несамоспряжених крайових та багатоточкових задач, по-
будовано системи кореневих функцiй та бiортогональнi системи, визначено спектр таких задач.
2. Сформульовано достатнi умови повноти та базисностi за Рiссом системи кореневих
функцiй дослiджуваних задач.
3. Встановлено умови збiжностi розкладу функцiї у ряд за системою кореневих функцiй
нерегулярних за Бiркгофом крайових задач та їх багатоточкових аналогiв.
4. Дослiджено властивостi операторiв перетворення, якi породжуються нелокальними за-
дачами, iзоспектральними з оператором перiодичної задачi.
Лiтература
1. Михайлов В. П. О базисах Рисса в L2(0,1) // Докл. АН СССР. – 1962. – 144, № 5. – С. 981 – 984.
2. Кесельман Г. М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифферен-
циальных операторов // Изв. вузов. Математика. – 1964. – 39, № 2. – С. 82 – 93.
3. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора // Успехи
мат. наук. – 1979. – 34, № 5. – С. 235 – 236.
4. Ильин В. А. О существовании приведенной системы собственных и присоединенных функций у несамо-
сопряженного обыкновенного дифференциального оператора // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1976. – 142. –
C. 148 – 155.
5. Ильин В. А., Крицков Л. В. Свойства спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным операторам //
Итоги науки и техники. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Функцион. анализ / ВИНИТИ. – 2006. – 96. – С. 5 – 105.
6. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов
с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат. сб. – 1966. – 70, № 3. – С. 310 – 329.
7. Шкаликов А. А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального
оператора с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Функцион. анализ и его прил. – 1976. –
10, № 4. – С. 69 – 80.
8. Хромов А. П. Дифференциальный оператор с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат.
заметки. – 1976. – 19, № 5. – С. 763 – 772.
9. Ткаченко В. А. Разложения по собственным функциям, связанные с одномерными периодическими дифферен-
циальными операторами порядка 2n // Функцион. анализ и его прил. – 2007. – 41, № 1. – С. 66 – 89.
10. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интег-
ральными краевыми условиями // Вестн. МГУ. Математика и механика. – 1982. – № 6. – С. 12 – 21.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
СПЕКТРАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI НЕСАМОСПРЯЖЕНИХ НЕЛОКАЛЬНИХ КРАЙОВИХ . . . 751
11. Кангужин Б. Е., Нурахметов Д. Б., Токмагамбетов Н. Е. Аппроксимативные свойства систем корневых
функций, порождаемые корректно разрешимыми краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных
уравнений высших порядков // Уфим. мат. журн. – 2011. – 3, № 3. – С. 80 – 92.
12. Ширяев Е. А. Диссипативные краевые условия для обыкновенных дифференциальных операторов // Мат.
заметки. – 2005. – 77, № 6. – С. 950 – 954.
13. Ширяев Е. А., Шкаликов А. А. Регулярные и вполне регулярные дифференциальные операторы // Мат. заметки. –
2007. – 81, № 4. – С. 636 – 640.
14. Mikhailets V. A., Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-dimensional boundary-value problems // J. Math.
Sci. – 2015. – 204, № 3. – P. 333 – 342.
15. Hnyp Y., Mikhailets V., Murach A. Parameter dependent one-dimentsional boundary-value problems in Sobolev
spaces // Electron. J. Diferent. Equat. – 2017. – № 81. – P. 1 – 13.
16. Каленюк П. И., Баранецкий Я. Е., Нитребич З. Н. Обобщенный метод разделения переменных. – Kиев: Наук.
думка, 1993. – 231 с.
17. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. – М.: Наука, 1965. –
448 с.
18. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969. – 326 с.
Одержано 01.07.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1592 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:44Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a8/7266c0296cba9d22ec242ca64a616ba8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15922019-12-05T09:19:59Z Spectral properties of nonself-adjoint nonlocal boundary-value problems for the operator of differentiation of even order Спектральні властивості несамоспряжених нелокальних крайових задач для оператора диференціювання парного порядку Baranetskij, Ya. O. Kalenyuk, P. I. Kolyasa, L. I. Баранецький, Я. О. Каленюк, П. І. Коляса, Л. І. We study spectral properties of an essentially nonself-adjoint problem generated by nonlocal multipoint conditions for the operator of differentiation of order 2n and analyze the cases of regular and irregular Birkhoff boundary conditions. A system of root functions of the problem and elements of biorthogonal systems are constructed. We also establish sufficient conditions under which these systems are complete and form a Riesz basis under certain additional assumptions. Исследованы спектральные свойства существенно несамосопряженной задачи, порожденной нелокальными многоточечными условиями, для оператора дифференцирования четного порядка. Изучены случаи регулярных и нерегулярных по Биркгофу двухточечных краевых условий. Построена система корневых функций исследуемой задачи и элементы биортогональной системы. Получены достаточные условия, при которых эти системы являются полными, и условия, при которых они образуют базис Рисса. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1592 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 6 (2018); 739-751 Український математичний журнал; Том 70 № 6 (2018); 739-751 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1592/574 Copyright (c) 2018 Baranetskij Ya. O.; Kalenyuk P. I.; Kolyasa L. I. |
| spellingShingle | Baranetskij, Ya. O. Kalenyuk, P. I. Kolyasa, L. I. Баранецький, Я. О. Каленюк, П. І. Коляса, Л. І. Spectral properties of nonself-adjoint nonlocal boundary-value problems for the operator of differentiation of even order |
| title | Spectral properties of nonself-adjoint nonlocal
boundary-value problems for the operator of differentiation of even order |
| title_alt | Спектральні властивості несамоспряжених
нелокальних крайових задач для оператора диференціювання парного порядку |
| title_full | Spectral properties of nonself-adjoint nonlocal
boundary-value problems for the operator of differentiation of even order |
| title_fullStr | Spectral properties of nonself-adjoint nonlocal
boundary-value problems for the operator of differentiation of even order |
| title_full_unstemmed | Spectral properties of nonself-adjoint nonlocal
boundary-value problems for the operator of differentiation of even order |
| title_short | Spectral properties of nonself-adjoint nonlocal
boundary-value problems for the operator of differentiation of even order |
| title_sort | spectral properties of nonself-adjoint nonlocal
boundary-value problems for the operator of differentiation of even order |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1592 |
| work_keys_str_mv | AT baranetskijyao spectralpropertiesofnonselfadjointnonlocalboundaryvalueproblemsfortheoperatorofdifferentiationofevenorder AT kalenyukpi spectralpropertiesofnonselfadjointnonlocalboundaryvalueproblemsfortheoperatorofdifferentiationofevenorder AT kolyasali spectralpropertiesofnonselfadjointnonlocalboundaryvalueproblemsfortheoperatorofdifferentiationofevenorder AT baranecʹkijâo spectralpropertiesofnonselfadjointnonlocalboundaryvalueproblemsfortheoperatorofdifferentiationofevenorder AT kalenûkpí spectralpropertiesofnonselfadjointnonlocalboundaryvalueproblemsfortheoperatorofdifferentiationofevenorder AT kolâsalí spectralpropertiesofnonselfadjointnonlocalboundaryvalueproblemsfortheoperatorofdifferentiationofevenorder AT baranetskijyao spektralʹnívlastivostínesamosprâženihnelokalʹnihkrajovihzadačdlâoperatoradiferencíûvannâparnogoporâdku AT kalenyukpi spektralʹnívlastivostínesamosprâženihnelokalʹnihkrajovihzadačdlâoperatoradiferencíûvannâparnogoporâdku AT kolyasali spektralʹnívlastivostínesamosprâženihnelokalʹnihkrajovihzadačdlâoperatoradiferencíûvannâparnogoporâdku AT baranecʹkijâo spektralʹnívlastivostínesamosprâženihnelokalʹnihkrajovihzadačdlâoperatoradiferencíûvannâparnogoporâdku AT kalenûkpí spektralʹnívlastivostínesamosprâženihnelokalʹnihkrajovihzadačdlâoperatoradiferencíûvannâparnogoporâdku AT kolâsalí spektralʹnívlastivostínesamosprâženihnelokalʹnihkrajovihzadačdlâoperatoradiferencíûvannâparnogoporâdku |