Weighted pseudoinversion with indefinite weights
We present the definition of weighted pseudoinverse matrices with nonsingular indefinite weights and study these matrices. The theorems on existence and uniqueness for these matrices are proved. Weighted pseudoinverse matrices with indefinite weights are represented in terms of the coefficients of c...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1593 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507406258143232 |
|---|---|
| author | Vareniuk, N. A. Galba, E. F. Sergienko, I. V. Khimich, A. N. Варенюк, Н. А. Галба, Е. Ф. Сергиенко, И. В. Химич, А. Н. Варенюк, Н. А. Галба, Е. Ф. Сергиенко, И. В. Химич, А. Н. |
| author_facet | Vareniuk, N. A. Galba, E. F. Sergienko, I. V. Khimich, A. N. Варенюк, Н. А. Галба, Е. Ф. Сергиенко, И. В. Химич, А. Н. Варенюк, Н. А. Галба, Е. Ф. Сергиенко, И. В. Химич, А. Н. |
| author_sort | Vareniuk, N. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:59Z |
| description | We present the definition of weighted pseudoinverse matrices with nonsingular indefinite weights and study these matrices.
The theorems on existence and uniqueness for these matrices are proved. Weighted pseudoinverse matrices with
indefinite weights are represented in terms of the coefficients of characteristic polynomials of symmetrizable matrices.
The decompositions of weighted pseudoinverse matrices into matrix power series and products and their limit representations
are obtained. We also propose regularized iterative methods for the determination of these matrices. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н. А. ВАРЕНЮК, Е. Ф. ГАЛБА, И. В. СЕРГИЕНКО, А. Н. ХИМИЧ, 2018
752 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
УДК 512.61
Н. А. Варенюк, Е. Ф. Галба, И. В. Сергиенко, А. Н. Химич
(Ин-т кибернетики НАН Украины, Киев)
ВЗВЕШЕННАЯ ПСЕВДОИНВЕРСИЯ С ИНДЕФИНИТНЫМИ ВЕСАМИ
We present the definition of weighted pseudoinverse matrices with nonsingular indefinite weights and study these matri-
ces. The theorems on existence and uniqueness for these matrices are proved. Weighted pseudoinverse matrices with
indefinite weights are represented in terms of the coefficients of characteristic polynomials of symmetrizable matrices.
The decompositions of weighted pseudoinverse matrices into matrix power series and products and their limit representa-
tions are obtained. We also propose regularized iterative methods for the determination of these matrices.
Наведено означення зваженої псевдооберненої матриці з невиродженими знаконевизначеними вагами та проведено її
дослідження. Доведено теорему про існування та єдиність цієї матриці. Наведено зображення зважених псевдо-
обернених матриць з індефінітними вагами у термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів матриць, які
симетризуються, отримано розклади зважених псевдообернених матриць у матричні степеневі ряди і добутки,
граничні зображення цих матриць; побудовано регуляризовані ітераційні методи для їх обчислення.
1. Введение. Определение взвешенной псевдообратной матрицы с положительно определен-
ными весами впервые было дано в работе [1]. В работе [2] введено понятие косой псевдооб-
ратной матрицы. В [3] показано, что множество взвешенных псевдообратных матриц, опреде-
ленных в [1], совпадает с множеством косых псевдообратных матриц, определенных в [2]. В
работе [4] дано определение взвешенной псевдообратной матрицы с вырожденными весами (с
положительно полуопределенными весовыми матрицами). Там же определены необходимые и
достаточные условия существования рассмотренного варианта псевдообратных матриц с вы-
рожденными весами. В работах [5 − 7] исследованы другие варианты псевдообратных матриц
с вырожденными весами. Определены необходимые и достаточные условия существования
рассмотренных псевдообратных матриц с вырожденными весами. Там же определены взве-
шенные нормальные псевдорешения с вырожденными весами и установлена их связь со взве-
шенными псевдообратными матрицами. В работе [8] введено понятие ML -взвешенной псев-
дообратной матрицы. Отметим работы [9, 10], в которых используется взвешенная псевдоин-
версия с вырожденными весами, когда веса — диагональные матрицы, при построении итера-
ционных методов для решения линейных задач.
В настоящей работе определяется и исследуется взвешенная псевдообратная матрица с не-
вырожденными знаконеопределенными весами. Во втором пункте приведены необходимые
для дальнейшего изложения обозначения, определения и известные факты, а также установле-
ны вспомогательные утверждения. Определены взвешенные матричные нормы с индефинит-
ными весами, установлены неравенства для норм произведения матриц, показано, что симмет-
ризуемая слева положительно определенным симметризатором матрица диагонализуема с по-
мощью взвешенного ортогонального преобразования. В пункте 3 доказана теорема существо-
вания и единственности предложенного варианта взвешенной псевдообратной матрицы с невы-
рожденными индефинитными весами. При доказательстве использована теорема Гамильто-
на –Кэли, на основании чего получено представление взвешенной псевдообратной матрицы с
индефинитными весами в терминах коэффициентов характеристических многочленов симмет-
ризуемых матриц. В пункте 4 на основе свойств симметризуемых матриц и представления
псевдообратных матриц в терминах коэффициентов характеристических многочленов сим-
ВЗВЕШЕННАЯ ПСЕВДОИНВЕРСИЯ С ИНДЕФИНИТНЫМИ ВЕСАМИ 753
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
метризуемых матриц получены и исследованы разложения взвешенных псевдообратных
матриц с положительно определенным и индефинитным весами в матричные степенные ряды и
произведения. На основе этих разложений получены предель���ные представления взвешенных
псевдообратных матриц с этими весами. В пункте 5 построены регуляризованные итерацион-
ные методы для вычисления взвешенных псевдообратных матриц.
2. Обозначения, определения, известные факты и вспомогательные утверждения.
Обозначим через !n n -мерное векторное пространство над полем действительных чисел, где
векторы суть матрицы размера n ×1. Пусть H — симметричная положительно определен-
ная, положительно полуопределенная или же знаконеопределенная матрица. В !n введем
скалярное произведение по формуле (u, v)H = (Hu, v)E , где (u, v)E = uT v , E — единичная
матрица. Если метрическая матрица H положительно определенная или положительно по-
луопределенная, то обычным образом можно нормировать пространство !n , положив
u H = (u, u)H
1 2 . В первом случае функция u H будет определять норму, а во втором —
полунорму.
Отметим, что исследованию n-мерных векторных пространств со знаконеопределенной
метрикой (со знаконеопределенным скалярным произведением) уделено значительно меньше
внимания, чем с положительно определенной и неотрицательной метрикой. Исследования
этих пространств можно найти в работе [11] и монографиях [12, 13], а вопросы их приложе-
ния — в монографии [14] и работах [15, 16].
Определим взвешенную норму прямоугольной матрицы c симметричными невырожденны-
ми весовыми матрицами. Пусть A ∈!m×n, а H = HT ∈!m×m и V = VT ∈!n×n — невы-
рожденные матрицы. Для множества матриц A норму введем соотношением
A HV = sup
x≠0
AVx H 2
x En
= sup
x≠0
HAVx Em
x En
= sup
x≠0
VATH 2AVx, x( )Em
1 2
x En
, (2.1)
где x ∈!n , а нижний индекс при единичной матрице означает ее порядок.
Из (2.1) имеем VATH 2AVx, x( )Em = (HAV )T HAVx, x( ) = HAVx E
2 ≥ 0 при x ≠ 0, откуда
следует неотрицательность собственных значений матрицы VATH 2AV и тем самым су-
ществование неотрицательных квадратных корней из собственных значений этой матрицы.
Тогда взвешенная спектральная норма (2.1) матрицы A определяется формулой
A HV = λmax(VATH 2AV )⎡⎣ ⎤⎦
1 2
, (2.2)
где λmax(L) — максимальное собственное значение матрицы L .
Из (2.2) следует выполнение первой аксиомы матричных норм (положительность), а при
H = Em , V = En функция (2.1) определяет обычную спектральную норму матрицы A .
Лемма 2.1. Пусть A ∈!m×n, а H = HT ∈!m×m и V = VT ∈!n×n — невырожденные
матрицы. Тогда функция (2.1) является аддитивной (обобщенной) матричной нормой.
754 Н. А. ВАРЕНЮК, Е. Ф. ГАЛБА, И. В. СЕРГИЕНКО, А. Н. ХИМИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
Доказательство. Выше отмечено, что для функции (2.1) выполняется первая аксиома
матричных норм. Очевидно, что в силу определения матричной нормы формулой (2.1) вторая
аксиома матричных норм (абсолютная однородность) также выполняется. Покажем, что вы-
полняется и третья аксиома матричных норм (неравенство треугольника). На основании (2.1)
имеем
A + B HV
2 = sup
x≠0
H (A + B)Vx Em
x En
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2
=
= sup
x≠0
V (A + B)T H 2(A + B)Vx, x( )Em
1 2
x En
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2
=
= sup
x≠0
VATH 2AVx, x( )Em + VBTH 2BVx, x( )Em + VATH 2BVx, x( )Em + VBTH 2AVx, x( )Em⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
x En
1/2⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2
=
= sup
x≠0
HAVx Em
2
x En
2 +
HBVx Em
2
x En
2 + 2
HAVx,HBVx( )Em
x En
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
≤
≤ sup
x≠0
HAVx Em
x En
+ sup
x≠0
HBVx Em
x En
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
= A HV + B HV( )2 ,
т. е. A + B HV ≤ A HV + B HV , что и требовалось показать.
Таким образом, выполняются три аксиомы матричных норм (кроме кольцевого свойства),
откуда и следует утверждение леммы 2.1.
Лемма 2.2. Пусть A ∈!m× p , B ∈! p×n , а H ∈!m×m , V ∈!n×n и M ∈! p× p — сим-
метричные невырожденные матрицы. Тогда справедливы соотношения
AB HV ≤ A HM B M −1V , AB HV ≤ A HM −1 B MV . (2.3)
Доказательство. Пусть K = MATH 2AM , L = M −1BV , тогда LTKL = V (AB)T H 2ABV ,
LT L = VBTM −2BV , и в силу определения нормы формулой (2.1) имеем
AB HV ≤ sup
x≠0
KLx, Lx( )Em
1 2
x En
=
= sup
x≠0
KLx, Lx( )Em
1 2
Lx, Lx( )En
1 2
Lx, Lx( )Em
1 2
x En
≤ sup
y≠0
Ky, y( )Em
1 2
y En
sup
x≠0
Lx, Lx( )Em
1 2
x En
=
ВЗВЕШЕННАЯ ПСЕВДОИНВЕРСИЯ С ИНДЕФИНИТНЫМИ ВЕСАМИ 755
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
= sup
y≠0
MATH 2AMy, y( )Em
1 2
y En
sup
x≠0
VBTM −2BVx, x( )Em
1 2
x En
= A HM B M −1V ,
т. е. получили первое соотношение в (2.3).
Аналогично, положив K = M −1ATH 2AM −1 , L = MBV , получим второе соотношение
в (2.3), т. е. утверждение леммы 2.2.
При доказательстве теоремы существования единственной взвешенной псевдообратной
матрицы с индефинитными весами будем использовать следующее утверждение [5].
Лемма 2.3. Пусть для квадратных матриц K , L , M выполняются условия KM =
= MK , LM = ML . Тогда из равенства KM 2 = LM 2 следует равенство KM = LM .
Лемма 2.4. Пусть A ∈!m×n, а B = BT ∈!m×m и C
−1 = (C−1)T ∈!n×n — невырожден-
ные знаконеопределенные матрицы и выполняется условие rk(AT BA) = rk(AC−1AT ) = rk(A) .
Тогда ранги матриц A и AT BAC−1AT совпадают.
Доказательство. Прежде всего отметим, что в силу того, что В и С — невырожденные
матрицы, следует
rk AT B( ) = rk(BA) = rk(AC) = rk(AT ) = rk(A). (2.4)
При доказательстве леммы 2.4 будем использовать неравенство Фробениуса [17]
rk(PQ) + rk(QL) ≤ rk(Q) + rk(PQL) , (2.5)
справедливое для всех тех матриц P , Q , L , для которых определено произведение PQL .
На основании (2.5) имеем
rk AT BA( ) + rk BAC−1AT( ) ≤ rk(BA) + rk AT BAC−1AT( ). (2.6)
Учитывая (2.4) и одно из условий леммы 2.4, а именно равенство rk(AT BA) = rk(A) , из (2.6)
получаем
rk BAC−1AT( ) ≤ rk AT BAC−1AT( ). (2.7)
Далее, в силу неравенства Фробениуса (2.5) выполняется неравенство
rk(BA) + rk AC−1AT( ) ≤ rk(A) + rk BAC−1AT( ). (2.8)
В силу второго условия леммы 2.4, а именно равенства rk AC−1AT( ) = rk(A), а также со-
отношений (2.4) и очевидного неравенства rk BAC−1AT( ) ≤ rk(A) , из (2.8) имеем
rk BAC−1AT( ) = rk(A) . Учитывая это равенство и очевидное соотношение rk AT BAC−1AT( ) ≤
≤ rk(A) , на основании (2.7) получаем rk AT BAC−1AT( ) = rk(A) , т. е. утверждение леммы 2.4.
756 Н. А. ВАРЕНЮК, Е. Ф. ГАЛБА, И. В. СЕРГИЕНКО, А. Н. ХИМИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
При разложении взвешенных псевдообратных матриц в матричные степенные произведе-
ния будем использовать следующие утверждения [18].
Лемма 2.5. Для любых матриц (P + δE)−k ∈!n×n , W ∈!n×m и действительного числа
−∞ < δ < ∞ имеет место тождество
k=0
n−1
∏ E + δ2
k
(P + δE)−(2
k ){ } (P + δE)−1W = δk−1
k=1
2n
∑ (P + δE)−kW , n = 1, 2,… . (2.9)
Лемма 2.6. Для любых матриц (L + δE)−k ∈!m×m , M ∈!n×m и действительного числа
−∞ < δ < ∞ имеет место тождество
M (L + δE)−1
k=0
n−1
∏ E + δ2
k
(L + δE)−(2
k ){ } = M δk−1
k=1
2n
∑ (L + δE)−k , n = 1, 2,… . (2.10)
Определение 2.1. Вещественную матрицу U будем называть симметризуемой слева
или справа, если существует такая симметричная невырожденная матрица H , что вы-
полняются соответственно равенства HU =UTH , UH = HUT .
Определение 2.2. Квадратную вещественную матрицу Q будем называть H - взве-
шенной ортогональной (ортогональной с весом H ), если выполняется условие QTHQ = E,
где H — симметричная положительно определенная матрица.
В ряде работ определялись симметризуемые матрицы и изучались их свойства. В качестве
симметризаторов, в основном, используются симметричные положительно определенные мат-
рицы, а в работах [13, 14, 19, 20] изучались H - самосопряженные матрицы, где H предпола-
гается симметричной невырожденной знаконеопределенной матрицей. Имеет место следую-
щая лемма.
Лемма 2.7. Симметризуемая слева положительно определенным симметризатором H
матрица U может быть приведена к диагональной форме с помощью H - взвешенного ор-
тогонального преобразования, т. е. существует такая H - взвешенная ортогональная
матрица Q , что
QTHUQ = Λ , (2.11)
и матрица U представима в виде
U = QΛQTH , (2.12)
где Λ = diag(λi ) , λi — собственные значения матрицы U , а столбцы матрицы Q обра-
зуют полную систему собственных векторов матрицы U .
Доказательство. Пусть U — симметризуемая слева положительно определенным сим-
метризатором H матрица, а Q1 — H - взвешенная ортогональная матрица. Тогда W =
= Q1T HUQ1 — симметричная матрица. Известно (см., например, [17]), что действительная
симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду с помощью обычного ор-
ВЗВЕШЕННАЯ ПСЕВДОИНВЕРСИЯ С ИНДЕФИНИТНЫМИ ВЕСАМИ 757
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
тогонального преобразования. Пусть Q2 — ортогональная матрица, которая приводит
матрицу W к диагональному виду, т. е. Q2TWQ2 = Q2TQ1T HUQ1Q2 = Λ , где Λ = diag(λi ) ,
λi — собственные значения матрицы W .
Обозначим Q = Q1Q2 , тогда выполняется равенство
QTHQ = E , (2.13)
т. е. Q — H-взвешенная ортогональная матрица, так что QTHUQ = Λ , т. е. имеет место фор-
мула (2.11). Учитывая (2.13), из (2.11) получаем (2.12).
В силу (2.13) из (2.11) имеем Q−1UQ = Λ , так что симметризуемая слева матрица U яв-
ляется диагонализуемой преобразованием подобия матрицей (матрицей простой структуры) и,
следовательно [17], столбцы матрицы Q образуют полную систему собственных векторов
матрицы U , а диагональные элементы матрицы Λ совпадают с соответствующими соб-
ственными значениями матрицы U .
Лемма 2.7 доказана.
3. Теорема существования и единственности. Пусть A ∈!m×n, X ∈!n×m , а
B ∈!m×m и C ∈!n×n — симметричные знаконеопределенные невырожденные матрицы.
Взвешенную псевдообратную матрицу к матрице A определим как матрицу, удовлетворяю-
щую системе матричных уравнений
AXA = A , XAX = X , (BAX)T = BAX , (CXA)T = CXA (3.1)
при выполнении условий
rk(AT BA) = rk(A) , rk(AC−1AT ) = rk(A) . (3.2)
В этом пункте установлено существование единственного решения задачи (3.1), (3.2), а также
получено представление взвешенной псевдообратной матрицы с индефинитными весами в тер-
минах коэффициентов характеристических многочленов симметризуемых матриц.
Теорема 3.1. Система матричных уравнений (3.1) при выполнении условий (3.2) имеет
единственное решение X = ABC+ , причем матрица ABC+ представима в виде
ABC+ = C−1SAT B , (3.3)
где S = f (AT BAC−1) — многочлен от матрицы AT BAC−1 вида
S = −αk
−1 AT BAC−1( )k−1 + α1 AT BAC−1( )k−2 +…+ αk−1E⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
,
α p , p = 1,…, n, — коэффициенты характеристического многочлена
f (λ) = λn + α1λn−1 +…+ αn = det λE − AT BAC−1⎡⎣ ⎤⎦ ,
758 Н. А. ВАРЕНЮК, Е. Ф. ГАЛБА, И. В. СЕРГИЕНКО, А. Н. ХИМИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
а αk — последний отличный от нуля коэффициент этого многочлена, E — единичная
матрица.
Доказательство. Сначала покажем, что матрица, определенная формулой (3.3), удовлет-
воряет системе (3.1), если существует матрица S, удовлетворяющая условиям
SAT BAC−1AT = AT , SAT BAC−1 = AT BAC−1S , C−1S = (C−1S)T . (3.4)
Матрица ABC+ удовлетворяет первому уравнению в (3.1) при выполнении условий (3.4).
Действительно, учитывая второе и третье условия в (3.4), первое условие в (3.4) можно запи-
сать в виде AT BAC−1SAT = AT , ASTC−1AT BA = A , AC−1SAT BA = A , откуда в силу пред-
ставления ABC+ формулой (3.3) и следует утверждение.
Чтобы показать, что матрица ABC+ удовлетворяет второму уравнению в (3.1), умножим
первое уравнение в (3.4) слева на C−1S , а справа на B . Учитывая второе условие в (3.4) и
представление ABC+ (3.3), получаем
C−1S2AT BAC−1AT B = C−1SAT B , C−1SAT BAC−1SAT B = ABC+ , ABC+ AABC+ = ABC+ ,
т. е. матрица ABC+ , определенная формулой (3.3), удовлетворяет второму уравнению в (3.1).
Далее, подставляя в третье уравнение из (3.1) представление для ABC+ из (3.3), с учетом
третьего условия в (3.4) имеем BAC−1SAT B = BASTC−1AT B = (BAC−1SAT B)T , т. е. BAABC+
является симметричной матрицей и, следовательно, ABC+ удовлетворяет третьему уравнению
в (3.1).
Наконец, подставляя в четвертое уравнение из (3.1) представление для ABC+ из (3.3) и учи-
тывая второе и третье условия в (3.4), получаем
CC−1SAT BAC−1C = CC−1AT BAC−1SC =
= CC−1AT BASTC−1C = AT BAST = (SAT BA)T ,
так что CABC+ A является симметричной матрицей, т. е. удовлетворяет четвертому условию
в (3.1).
Теперь покажем, что существует матрица S , которая удовлетворяет равенствам (3.4) при
выполнении условий (3.2). Для этого используем теорему Гамильтона –Кэли, согласно кото-
рой любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. По-
скольку AT BAC−1 ∈!n×n , то справедливо равенство
AT BAC−1( )n + α1 AT BAC−1( )n−1 +…+ αn−1AT BAC−1 + αnE = 0. (3.5)
Пусть матрица AT BAC−1 невырожденная, и, следовательно, имеет обратную. Тогда
αn ≠ 0 и можно было бы положить S = AT BAC−1( )−1 . Легко проверить, что такая матрица
ВЗВЕШЕННАЯ ПСЕВДОИНВЕРСИЯ С ИНДЕФИНИТНЫМИ ВЕСАМИ 759
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
удовлетворяет условиям (3.4). Но в общем случае матрица AT BAC−1 является вырожденной
и, следовательно, αn = 0 . Пусть среди коэффициентов α p , p = 1, 2,…, n −1 , αk будет по-
следний отличный от нуля коэффициент полинома f (λ) = det λE − AT BAC−1⎡⎣ ⎤⎦ и
S = −αk
−1 AT BAC−1( )k−1 + α1 AT BAC−1( )k−2 +…+ αk−1E⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
. (3.6)
Из вида матрицы S, определенной формулой (3.6), следует, что для нее выполняются второе и
третье условия в (3.4). Покажем, что для матрицы S выполняется первое условие в (3.4).
Учитывая (3.6), из (3.5) получаем
S AT BAC−1( )n−k+1 = AT BAC−1( )n−k . (3.7)
В силу леммы 2.3 из (3.7) имеем
S AT BAC−1( )2 = AT BAC−1 ,
откуда, умножая справа обе части этого равенства на A с учетом второго равенства в (3.4),
получаем
AT BAC−1AT BAC−1SAT = AT BAC−1 . (3.8)
Поскольку матрицы B и C−1 невырожденные, то матрицы AT B ∈!n×m , AC−1 ∈!m×n и
AT имеют тот же ранг, что и матрица A , который положим равным r . А в силу леммы 2.4
ранг матрицы AT BAC−1AT при выполнении условий (3.2) также равен r .
Чтобы показать, что из равенства (3.8) следует первое равенство в (3.4), используем ске-
летное разложение матриц (см. [17, 21]) AT B, AC−1 и AT , т. е. представим их в виде
AT B = KL , AC−1 = MN , AT = PQ , где K ∈!n×r , L ∈!r×m , M ∈!m×r , N ∈!r×n ,
P ∈!n×r , Q ∈!r×m — матрицы полного ранга. Тогда (3.8) примет вид
KLMNPQBAC−1SAT = KLMNPQ . (3.9)
Матрица KTK невырождена, поскольку K — матрица полного ранга с n ≥ r (см. [21]).
Умножим равенство (3.9) слева сначала на KT , а потом на (KTK )−1. В результате получим
LMNPQBAC−1SAT = LMNPQ . (3.10)
Матрицы LM и NP — квадратные, невырожденные ранга r .
Действительно, ранг этих матриц равен r , поскольку из леммы 2.4 следует, что ранг
матрицы KLMNPQ = AT BAC−1AT при выполнении условий (3.2) равен r . Но ранг матрицы-
произведения не может превышать ранги матриц-сомножителей, а ранги матриц-
сомножителей LM и NP не смогут превышать r , поскольку r — порядок этих матриц.
760 Н. А. ВАРЕНЮК, Е. Ф. ГАЛБА, И. В. СЕРГИЕНКО, А. Н. ХИМИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
Умножим равенство (3.10) слева сначала на (LM )−1, а затем на (NP)−1 . В результате по-
лучим
QBAC−1SAT = Q . (3.11)
Теперь, умножая слева (3.11) на P и используя второе равенство из (3.4), получаем первое
равенство в (3.4).
Таким образом, показано, что решение системы матричных уравнений (3.1) при выполне-
нии условий (3.2) существует, причем оно представимо формулой (3.3). Покажем, что это
представление единственно, т. е. существует единственная взвешенная псевдообратная матрица
с невырожденными знаконеопределенными весами, определенная системой (3.1) при выполне-
нии условий (3.2). Доказательство проведем от противного.
Предположим, что кроме матрицы S существует еще матрица S1, удовлетворяющая
(3.3). Пусть 0 — нулевая матрица и
!S = S − S1 . Тогда C−1 !SAT B = 0 . Умножим это равен-
ство слева на C , а справа на AC−1AT . Тогда, учитывая первое равенство в (3.4), получаем
!SAT BAC−1AT = AT = 0. Последнее равенство возможно, когда матрица !S или A нулевая.
Если !S — нулевая матрица, то матрица S в (3.3) и, следовательно, матрица ABC+ опреде-
ляются единственным образом. Если A — нулевая матрица, то из (3.3) следует, что взвешен-
ная псевдообратная матрица с невырожденными знаконеопределенными весами будет нулевой.
В последнем также можно убедиться непосредственной проверкой условий (3.1), (3.2).
Теорема 3.1 доказана.
Следствие 3.1. Взвешенная псевдообратная матрица со знаконеопределенными весами,
определенная системой матричных уравнений (3.1) при выполнении условий (3.2), имеет
также представления ABC+ = S1C−1AT B = C−1AT BS2 = C−1ATS3B , где S1, S2 , S3 — много-
члены от симметризуемых матриц вида
S1 = −αk
−1 C−1AT BA( )k−1 + α1 C−1AT BA( )k−2 +…+ αk−1E⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
,
S2 = −αk
−1 AC−1AT B( )k−1 + α1 AC−1AT B( )k−2 +…+ αk−1E⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
,
S3 = −αk
−1 BAC−1AT( )k−1 + α1 BAC−1AT( )k−2 +…+ αk−1E⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
.
Следствие 3.2. Симметризуемые идемпотентные матрицы ABC+ A и AABC+ имеют
следующие представления:
ABC+ A = C−1SAT BA = f C−1AT BA( ) =
= −αk
−1 C−1AT BA( )k + α1 C−1AT BA( )k−1 +…+ αk−1 C−1AT BA( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
,
ВЗВЕШЕННАЯ ПСЕВДОИНВЕРСИЯ С ИНДЕФИНИТНЫМИ ВЕСАМИ 761
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
AABC+ = AC−1SAT B = f AC−1AT B( ) =
= −αk
−1 AC−1AT B( )k + α1 AC−1AT B( )k−1 +…+ αk−1 AC−1AT B( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
.
Следствие 3.3. Имеют место равенства AT BAABC+ = AT B , ABC+ AC−1AT = C−1AT .
Следствие 3.4. При rk(A) = 1 справедлива формула ABC+ = tr AT BAC−1( )⎡⎣ ⎤⎦
−1
C−1AT B
для вычисления взвешенных псевдообратных матриц со знаконеопределенными весами, где
tr(L) — след матрицы L .
Из представления взвешенной псевдообратной матрицы с индефинитными весами форму-
лой (3.3) следуют соответствующее представление взвешенной псевдообратной матрицы с по-
ложительно определенными весами, полученное в работе [22], и псевдообратной матрицы Му-
ра –Пенроуза, полученное в работе [23], где описана вычислительная процедура, позволяющая
на основе представления псевдообратной матрицы Мура –Пенроуза в терминах коэффициен-
тов характеристических многочленов симметричных матриц AT A вычислять эту матрицу за
приемлемое число операций. Представление взвешенной псевдообратной матрицы с индефи-
нитными весами (3.3) в терминах коэффициентов характеристических многочленов симметри-
зуемых матриц используется в следующем пункте при обосновании разложения взвешенных
псевдообратных матриц в матричные степенные ряды и произведения.
4. Разложение взвешенных псевдообратных матриц в матричные степенные ряды и
произведения. В настоящем пункте на основе представления взвешенной псевдообратной
матрицы со знаконеопределенными весами в терминах коэффициентов характеристических
многочленов симметризуемых матриц и утверждений лемм из пункта 2 обоснуем разложение
взвешенных псевдообратных матриц со смешанными весами в матричные степенные ряды и
матричные степенные произведения, когда обе весовые матрицы симметричные, причем одна
из них положительно определена, а вторая является невырожденной знаконеопределенной.
Отметим, что эти задачи являются частным случаем задачи (3.1), (3.2). Поэтому теорема 3.1
для них справедлива. Сначала рассмотрим случай, когда матрица C положительно определе-
на, а B является знаконеопределенной, т. е. обоснуем разложение взвешенных псевдообрат-
ных матриц, удовлетворяющих системе матричных уравнений
AXA = A , XAX = X , (BAX)T = BAX , (CXA)T = CXA (4.1)
при выполнении условия
rk AT BA( ) = rk(A) . (4.2)
Теорема 4.1. Для произвольной матрицы A ≠ 0 ∈!m×n , симметричной знаконеопреде-
ленной невырожденной матрицы B ∈!m×m , симметричной положительно определенной
матрицы C ∈!n×n и действительного числа δ , удовлетворяющего условию
0 < δ < 1
2
µ C−1AT BA( ) , (4.3)
762 Н. А. ВАРЕНЮК, Е. Ф. ГАЛБА, И. В. СЕРГИЕНКО, А. Н. ХИМИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
имеют место соотношения
ABC+ =
k=1
∞
∑ δk−1 C−1AT BA + δE( )−k C−1AT B , (4.4)
ABC+ − Aδ, p+
C1 2V
≤ δ p µ C−1AT BA( ) − δ( )− p ABC+ C1 2V
, (4.5)
где ABC+ — взвешенная псевдообратная матрица, удовлетворяющая условиям (4.1), (4.2),
Aδ, p+ =
k=1
p
∑δk−1 C−1AT BA + δE( )−kC−1AT B , p = 1, 2,… , µ(L) = min λ : λ ≠ 0 ∈σ(L){ } ,
λi — собственные значения матрицы C−1AT BA , V = VT ∈!m×m — любая невырожденная
матрица.
Доказательство. Докажем равенство (4.4). Пусть L = C−1AT BA . Матрица L в общем
случае знаконеопределенная вырожденная, поскольку она представляет собой произведение
симметричных положительно определенной матрицы C−1 и знаконеопределенной матрицы
AT BA, и согласно [17] такая матрица имеет такое же число положительных, отрицательных и
нулевых собственных значений, как и матрица AT BA. Матрица L симметризуемая слева
положительно определенным симметризатором C , а справа симметризатором C−1. В силу
условия (4.3) матрица L + δE невырожденная симметризуемая слева симметризатором C , а
справа симметризатором C−1. Тогда (L + δE)−1 существует, (L + δE)C−1, (L + δE)C−1( )−1 ,
C(L + δE)−1 — симметричные матрицы и, следовательно, (L + δE)−1 симметризуемая слева
положительно определенным симметризатором C матрица. Нетрудно убедиться, что
(L + δE)−k , k = 1, 2,… , — симметризуемые слева симметризатором C матрицы. Поэтому
для них справедлива лемма 2.7. Обозначим через Λ = diag(λi ) , i = 1,…, n , собственные зна-
чения матрицы L . Пусть Q — C -взвешенная ортогональная матрица, которая приводит
матрицы L , (L + δE)−k к диагональному виду. Рассмотрим одно из слагаемых ряда (4.4). В
силу леммы 2.7 (формулы (2.11), (2.12)) с учетом формул (3.3), (3.4) получим
δk−1(L + δE)−kC−1AT B = δk−1(L + δE)−kC−1SAT BAC−1AT B =
= δk−1(L + δE)−kC−1AT BAC−1AT BAC−1S2AT B = δk−1(L + δE)−k L2C−1S2AT B =
= δk−1Q(Λ + δE)−kQTCQΛ2QTCC−1S2AT B = δ−1Qδk (Λ + δE)−kΛ2QTS2AT B ,
т. е.
δk−1(L + δE)−kC−1AT B = δ−1Qδk (Λ + δE)−kΛ2QTS2AT B . (4.6)
ВЗВЕШЕННАЯ ПСЕВДОИНВЕРСИЯ С ИНДЕФИНИТНЫМИ ВЕСАМИ 763
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
Поскольку δk (Λ + δE)−kΛ2 = diag δk (λi + δ)−kλi2{ } и при выполнении условия (4.3) число
δ(λi + δ)−1 < 1 при λi ≠ 0 , то δk (λi + δ)−kk=1
∞∑ λi2 = δλi при λi ≠ 0 и
δk (λi + δ)−kk=1
∞∑ λi2 = 0 при λi = 0 , в силу чего матричный ряд δk (Λ + δE)−kΛ2k=1
∞∑ схо-
дится и
δk (
k=1
∞
∑ Λ + δE)−kΛ2 = δΛ , δk−1(
k=1
∞
∑ Λ + δE)−kΛ2 = Λ . (4.7)
В силу (4.6), (4.7), (3.2), (3.4) имеем
δk−1(
k=1
∞
∑ C−1AT BA + δE)−kC−1AT B = δ−1Q δk (Λ + δE)−kΛ2QTS2AT B
k=1
∞
∑ =
= QΛQTS2AT B = QΛQTCC−1S2AT B = LC−1S2AT B =
= C−1AT BAC−1S2AT B = C−1S2AT BAC−1AT B = C−1SAT B ,
так что получили формулу (4.4), т. е. разложение взвешенной псевдообратной матрицы с ве-
сами, указанными в теореме, в матричный степенной ряд с отрицательными показателями сте-
пеней.
Теперь покажем справедливость оценки (4.5). Аналогично равенству (4.6) получаем
δk−1(L + δE)−kC−1AT B = δk−1Q(Λ + δE)−kΛQTSAT B . (4.8)
Из (4.7) следует равенство
δ−1 δk (
k=1
∞
∑ Λ + δE)−kΛ = I (Λ)[ ]2 = Θ, (4.9)
где I (Λ) — матрица инерции для Λ , Θ — диагональная матрица размера матрицы Λ с эле-
ментами, равными единице при λi ≠ 0 и нулю при λi = 0 .
Нетрудно убедиться, что для частичной суммы членов ряда (4.9) выполняется
δ−1 δk (
k=1
p
∑ Λ + δE)−kΛ = Θ − δ p (Λ + δE)− pΘ .
В силу этого равенства и равенств (4.4), (4.8), (4.9) имеем
ABC+ − Aδ, p+ = δ−1Q δk (
k=1
∞
∑ Λ + δE)−kΛQTSAT B − δ−1Q δk (
k=1
p
∑ Λ + δE)−kΛQTSAT B =
= δ−1QΘQTSAT B − δ−1QΘQTSAT B + δ pQ(Λ + δE)− pΘQTSAT B .
764 Н. А. ВАРЕНЮК, Е. Ф. ГАЛБА, И. В. СЕРГИЕНКО, А. Н. ХИМИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
Учитывая (3.3) и C -взвешенную ортогональность матрицы Q , последнее равенство можно
представить в виде
ABC+ − Aδ, p+ = δ pQ(Λ + δE)− pΘQ−1ABC+ .
Чтобы установить оценку (4.5), будем использовать определение нормы согласно форму-
ле (2.1), равенство (2.2), соотношения (2.3), а также определение матриц C и V , приведен-
ное в формулировке теоремы 4.1, C-взвешенную ортогональность матрицы Q . Тогда из по-
следнего равенства имеем
ABC+ − Aδ, p+
C1 2V
≤ δ p Q C1 2En
Λ + δE( )− p ΘQ−1ABC+ EnV
≤
≤ δ p Λ + δE( )− p Θ
EnEn
Q−1ABC+ EnV
≤
≤ δ p µ(L) − δ( )− p Q−1ABC+ EnV
≤ δ p µ(L) − δ( )− p Q−1
EnC−1 2 ABC+ C1 2V
=
= δ p µ(L) − δ( )− p ABC+ C1 2V
,
т. е. получили оценку (4.5), что и завершает доказательство теоремы 4.1.
Следствие 4.1. Из (4.4) вытекает соотношение
ABC+ = δk−1C−1(AT B
k=1
∞
∑ AC−1 + δE)−k AT B .
При выполнении предположений теоремы 4.1 в силу (2.9) и (4.4) получаем следующее раз-
ложение взвешенной псевдообратной матрицы со знаконеопределенной симметричной невы-
рожденной весовой матрицей B ∈!m×m и положительно определенной матрицей C ∈!n×n в
матричное степенное произведение:
ABC+ =
k=0
∞
∏ E + δ2
k
C−1AT BA + δE( )−(2
k )⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
C−1AT BA + δE( )−1C−1AT B . (4.10)
Обозначим
Aδ,n+ =
k=0
n−1
∏ E + δ2
k
C−1AT BA + δE( )−(2
k )⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
C−1AT BA + δE( )−1C−1AT B , n = 1, 2,… .
Тогда в силу тождества (2.9) и соотношения (4.5) получим
ABC+ − Aδ,n+ C1 2V
≤ δ2
n
µ(C−1AT BA) − δ( )−(2
n )
ABC+ C1 2V
. (4.11)
ВЗВЕШЕННАЯ ПСЕВДОИНВЕРСИЯ С ИНДЕФИНИТНЫМИ ВЕСАМИ 765
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
Из оценки (4.5) следует, что для любого p = 1, 2,… справедливо следующее предельное пред-
ставление взвешенной псевдообратной матрицы:
ABC+ = lim
δ→0 k=1
p
∑δk−1 C−1AT BA + δE( )−k C−1AT B , (4.12)
а из оценки (4.11) для любого n = 1, 2,… имеем
ABC+ = lim
δ→0 k=0
n−1
∏ E + δ2
k
C−1AT BA + δE( )−(2
k )⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
C−1AT BA + δE( )−1C−1AT B . (4.13)
Отметим, что на основе взвешенного сингулярного разложения матриц [24] с положитель-
но определенными весами в работе [18] получены разложения взвешенных псевдообратных
матриц в матричные степенные ряды и произведения с положительно определенными весами, а
на основе взвешенного сингулярного разложения матриц с вырожденными весами в работах
[25, 26] — разложения взвешенных псевдообратных матриц в матричные степенные ряды и
произведения с вырожденными весами.
Теперь рассмотрим случай, когда матрица B положительно определена, а C является
невырожденной знаконеопределенной, т. е. обоснуем разложение взвешенных псевдообратных
матриц, удовлетворяющих системе матричных уравнений
AXA = A , XAX = X , (BAX)T = BAX , (CXA)T = CXA (4.14)
при выполнении условия
rk AC−1AT( ) = rk(A). (4.15)
Теорема 4.2. Для произвольной матрицы A ≠ 0 ∈!m×n , симметричной положительно
определенной матрицы B ∈!m×m , симметричной знаконеопределенной невырожденной
матрицы C ∈!n×n и действительного числа δ , удовлетворяющего условию
0 < δ < 1
2
µ AC−1AT B( ), (4.16)
имеют место соотношения
ABC+ =
k=1
∞
∑ δk−1C−1AT B AC−1AT B + δE( )−k , (4.17)
ABC+ − Aδ, p+
HB−1 2 ≤ δ p µ(AC−1AT B) − δ( )− p ABC+ HB−1 2 , (4.18)
где ABC+ — взвешенная псевдообратная матрица, удовлетворяющая условиям (4.14), (4.15),
Aδ, p+ = k=1
p∑ δk−1C−1AT B(AC−1AT B + δE)−k , p = 1, 2,… , µ(L) определено в теореме 4.1,
766 Н. А. ВАРЕНЮК, Е. Ф. ГАЛБА, И. В. СЕРГИЕНКО, А. Н. ХИМИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
λi — собственные значения матрицы AC−1AT B , H = HT ∈!n×n — любая невырожденная
матрица.
Доказательство. Докажем равенство (4.17). Пусть L = AC−1AT B . Матрица L в об-
щем случае знаконеопределенная вырожденная, поскольку она представляет собой произведе-
ние симметричных знаконеопределенной матрицы AC−1AT и положительно определенной
матрицы B , и согласно [17] такая матрица имеет такое же число положительных, отрица-
тельных и нулевых собственных значений, как и матрица AC−1AT . Матрица L симметризу-
емая слева положительно определенным симметризатором B , а справа симметризатором
B−1 . В силу условия (4.16) матрица L + δE невырожденная симметризуемая слева симметри-
затором B , а справа симметризатором B−1 . Тогда (L + δE)−1 существует, (L + δE)B−1,
(L + δE)B−1( )−1, B(L + δE)−1 — симметричные матрицы и, следовательно, (L + δE)−1 сим-
метризуемая слева положительно определенным симметризатором B матрица. Нетрудно
убедиться, что (L + δE)−k , k = 1, 2,… , — симметризуемые слева симметризатором B
матрицы. Поэтому для них справедлива лемма 2.7. Обозначим через Λ = diag(λi ) , i =
= 1,…, n , собственные значения матрицы L .
Отметим, что поскольку в силу следствий 3.1, 3.2 S2AC−1AT B = AABC+ , то, учитывая пер-
вое равенство в (3.1), имеем S2AC−1AT BA = A , откуда следуют равенства
AT BAC−1ATS2T = AT , S2AC−1AT B = AC−1AT BS2 , S2T B = S2T B( )T . (4.19)
Рассмотрим одно из слагаемых матричного ряда (4.17). В силу леммы 2.7 (формулы (2.11),
(2.12)) с учетом формул (4.19) и ABC+ = C−1AT BS2 (см. следствие 3.1) получаем
δk−1C−1AT B(L + δE)−k = δk−1C−1AT BAC−1ATS2T B(L + δE)−k =
= δk−1C−1AT BS2AC−1AT B(L + δE)−k = δk−1C−1AT BS22AC−1AT BAC−1AT B(L + δE)−k =
= δk−1C−1AT BS22L2(L + δE)−k = δk−1C−1AT BS22QΛ2QT BQ(Λ + δE)−kQT B =
= δk−1C−1AT BS22QΛ2(Λ + δE)−kQT B ,
т. е.
δk−1C−1AT B(L + δE)−k = δk−1C−1AT BS22QΛ2(Λ + δE)−kQT B . (4.20)
Поскольку δkΛ2(Λ + δE)−k = diag δkλi2(λi + δ)−k{ } и при выполнении условия (4.16) число
δ(λi + δ)−1 < 1 при λi ≠ 0 , то δkλi2(λi + δ)−kk=1
∞∑ = δλi при λi ≠ 0 и
δkλi2(λi + δ)−kk=1
∞∑ = 0 при λi = 0 , в силу чего матричный ряд δkΛ2(Λ + δE)−kk=1
∞∑ схо-
дится и
ВЗВЕШЕННАЯ ПСЕВДОИНВЕРСИЯ С ИНДЕФИНИТНЫМИ ВЕСАМИ 767
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
δkΛ2(
k=1
∞
∑ Λ + δE)−k = δΛ . (4.21)
Учитывая (4.19) – (4.21), следствия 3.1, 3.2 и первое равенство в (3.1), имеем
δk−1C−1AT B(
k=1
∞
∑ AC−1AT B + δE)−k = δ−1C−1AT BS22Q δkΛ2(
k=1
∞
∑ Λ + δE)−kQT B =
= C−1AT BS22QΛQT B = C−1AT BS22L = ABC+ S2L = ABC+ AABC+ = ABC+ ,
так что получили формулу (4.17), т. е. разложение взвешенной псевдообратной матрицы с ве-
сами, указанными в теореме, в матричный степенной ряд с отрицательными показателями сте-
пеней.
Теперь покажем справедливость оценки (4.18). Аналогично равенству (4.20) имеем
δk−1C−1AT B(L + δE)−k = δk−1ABC+ QΛ(Λ + δE)−kQ−1 . (4.22)
Из (4.21) получаем равенство
δ−1 δkΛ(
k=1
∞
∑ Λ + δE)−k = I (Λ)[ ]2 = Θ . (4.23)
Для частичной суммы членов матричного ряда (4.23) имеем
δ−1 δkΛ(
k=1
p
∑ Λ + δE)−k = Θ − δ pΘ(Λ + δE)− p .
В силу последнего равенства и равенств (4.22), (4.23) выполняется
ABC+ − Aδ, p+ = δ−1ABC+ Q δkΛ(Λ + δE)−kQ−1
k=1
∞
∑ − δ−1ABC+ Q δkΛ(Λ + δE)−kQ−1
k=1
p
∑ =
= ABC+ Q Θ − Θ + δ pΘ(Λ + δE)− p( )Q−1 = δ pABC+ QΘ(Λ + δE)− pQ−1 ,
т. е.
ABC+ − Aδ, p+ = δ pABC+ QΘ(Λ + δE)− pQ−1 .
Чтобы установить оценку (4.18), будем использовать определение нормы согласно форму-
ле (2.1), равенство (2.2), соотношения (2.3), а также определение матриц B , H , приведенное
в формулировке теоремы 4.2, и B-взвешенную ортогональность матрицы Q . Тогда из по-
следнего равенства последовательно имеем
ABC+ − Aδ, p+
HB−1 2 ≤ δ p ABC+ QΘ Λ + δE( )− p
HEm
Q−1
EmB−1 2 =
768 Н. А. ВАРЕНЮК, Е. Ф. ГАЛБА, И. В. СЕРГИЕНКО, А. Н. ХИМИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
= δ p ABC+ QΘ Λ + δE( )− p
HEm
≤ δ p ABC+ HB−1 2 QΘ Λ + δE( )− p
B1 2Em
≤
≤ δ p ABC+ HB−1 2 Q B1 2Em
Θ Λ + δE( )− p
EmEm
=
= δ p ABC+ HB−1 2 Θ Λ + δE( )− p
EmEm
≤ δ p µ(L) − δ( )− p ABC+ HB−1 2 ,
т. е. получили оценку (4.18), что и завершает доказательство теоремы 4.2.
Следствие 4.2. Из (4.17) вытекает соотношение
ABC+ = δk−1C−1AT (B
k=1
∞
∑ AC−1AT + δE)−k B .
При выполнении предположений теоремы 4.2 в силу (2.10) и (4.17) получаем следующее
разложение взвешенной псевдообратной матрицы с положительно определенной симметрич-
ной весовой матрицей B ∈!m×m и знаконеопределенной симметричной невырожденной весо-
вой матрицей C ∈!n×n в матричное степенное произведение:
ABC+ = C−1AT B AC−1AT B + δE( )−1
k=0
∞
∏ E + δ2
k
AC−1AT B + δE( )−(2
k )⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
. (4.24)
Обозначим
Aδ,n+ = C−1AT B AC−1AT B + δE( )−1
k=0
n−1
∏ E + δ2
k
AC−1AT B + δE( )−(2
k )⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
, n = 1, 2,….
Тогда в силу (2.10) и соотношения (4.18) выполняется неравенство
ABC+ − Aδ,n+ HB−1 2 ≤ δ2
n
µ(AC−1AT B) − δ( )−(2
n )
ABC+ HB−1 2 . (4.25)
Из оценки (4.18) следует, что для любого p = 1, 2,… справедливо следующее предельное
представление взвешенной псевдообратной матрицы:
ABC+ = lim
δ→0
C−1AT B
k=1
p
∑δk−1 AC−1AT B + δE( )−k , (4.26)
а из оценки (4.25) для любого n = 1, 2,… имеем
ABC+ = lim
δ→0
C−1AT B(AC−1AT B + δE)−1
k=0
n−1
∏ E + δ2
k
AC−1AT B + δE( )−(2
k )⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
. (4.27)
Из предельных представлений (4.12), (4.13), (4.26), (4.27) взвешенных псевдообратных
матриц следует, что при достаточно малом параметре δ матрицы ABC+ и Aδ, p+ , Aδ,n+ могут
ВЗВЕШЕННАЯ ПСЕВДОИНВЕРСИЯ С ИНДЕФИНИТНЫМИ ВЕСАМИ 769
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
как угодно мало отличаться одна от другой и на основании предложенных предельных пред-
ставлений можно вычислять приближения к взвешенным псевдообратным матрицам. Оценки
близости взвешенных псевдообратных матриц и их приближенных значений даны формула-
ми (4.5), (4.11), (4.18), (4.25).
5. Построение итерационных процессов для вычисления взвешенных псевдообратных
матриц. В данном пункте опишем методику построения регуляризованных итерационных
процессов для вычисления взвешенных псевдообратных матриц, основанную на разложениях
взвешенных псевдообратных матриц в матричные степенные ряды и произведения, получен-
ных в пункте 4.
Сначала построим итерационный процесс для вычисления взвешенной псевдообратной
матрицы со смешанными весами, когда матрица C положительно определена, а B является
знаконеопределенной, т. е. итерационный процесс для вычисления взвешенных псевдообрат-
ных матриц, удовлетворяющих системе матричных уравнений (4.1) при выполнении усло-
вия (4.2).
Рассмотрим разложение (4.4) взвешенных псевдообратных матриц в матричный степенной
ряд. Положим
Xk = δi−1
i=1
k
∑ C−1AT BA + δE( )−i C−1AT B .
Тогда для вычисления ABC+ получим регуляризованный итерационный процесс
X0 = 0 ,
(5.1)
Xk = δ C−1AT BA + δE( )−1 Xk−1 + C−1AT BA + δE( )−1C−1AT B =
= C−1AT BA + δE( )−1 δXk−1 + C−1AT B( ) , k = 1, 2,….
Оценка близости k -го приближения по формулам (5.1) к ABC+ определяется формулой (4.5),
где следует положить p = k .
Используем разложение (4.10) взвешенной псевдообратной матрицы в матричное степен-
ное произведение, на основе которого положим
Xk =
i=0
k−1
∏ E + δ2
i
C−1AT BA + δE( )−(2
i )⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
C−1AT BA + δE( )−1C−1AT B .
Тогда для вычисления ABC+ получим регуляризованный итерационный процесс
X0 = C−1AT BA + δE( )−1C−1AT B ,
(5.2)
Xk = E + δ2
k−1
C−1AT BA + δE( )−(2
k−1)⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
Xk−1 =
= Xk−1 + δ2
k−1
C−1AT BA + δE( )−(2
k−1)
Xk−1, k = 1, 2,… .
770 Н. А. ВАРЕНЮК, Е. Ф. ГАЛБА, И. В. СЕРГИЕНКО, А. Н. ХИМИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
Оценка близости k -го приближения по формулам (5.2) к ABC+ определяется формулой (4.11),
где следует положить n = k .
Теперь построим итерационный процесс для вычисления взвешенной псевдообратной
матрицы со смешанными весами, когда матрица B положительно определена, а C является
знаконеопределенной, т. е. итерационный процесс для вычисления взвешенных псевдообрат-
ных матриц, удовлетворяющих системе матричных уравнений (4.14) при выполнении усло-
вия (4.15).
Рассмотрим разложение (4.17) взвешенных псевдообратных матриц в матричный степен-
ной ряд. Положим
Xk = C−1AT B
i=1
k
∑δi−1 AC−1AT B + δE( )−i .
Тогда для вычисления ABC+ получим регуляризованный итерационный процесс
X0 = 0 ,
(5.3)
Xk = δXk−1 AC−1AT B + δE( )−1 + C−1AT B AC−1AT B + δE( )−1 =
= δXk−1 + C−1AT B( ) AC−1AT B + δE( )−1, k = 1, 2,….
Оценка близости k -го приближения по формулам (5.3) к ABC+ определяется формулой (4.18),
где следует положить p = k .
Используем разложение (4.24) взвешенной псевдообратной матрицы в матричное степен-
ное произведение, на основе которого положим
Xk = C−1AT B AC−1AT B + δE( )−1
i=0
k−1
∏ E + δ2
i
AC−1AT B + δE( )−(2
i )⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
.
Тогда для вычисления ABC+ получим регуляризованный итерационный процесс
X0 = C−1AT B AC−1AT B + δE( )−1,
(5.4)
Xk = Xk−1 E + δ2
k−1
AC−1AT B + δE( )−(2
k−1)⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
= Xk−1 + δ2
k−1
Xk−1 AC−1AT B + δE( )−(2
k−1)
, k = 1, 2,… .
Оценка близости k -го приближения по формулам (5.4) к ABC+ определяется формулой (4.25),
где следует положить n = k .
Таким образом, получены регуляризованные итерационные процессы для вычисления
взвешенных псевдообратных матриц со смешанными весовыми матрицами. Из оценок (4.5),
ВЗВЕШЕННАЯ ПСЕВДОИНВЕРСИЯ С ИНДЕФИНИТНЫМИ ВЕСАМИ 771
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
(4.11), (4.18), (4.25) следует, что погрешность приближения зависит от количества итераций и
параметра δ . Очевидно, что параметр δ необходимо выбирать по возможности наименьшим.
Но его величина ограничивается в сторону уменьшения необходимой точностью вычисления
обратных матриц к матрицам C−1AT BA + δE и AC−1AT B + δE . Таким образом, остается от-
крытым вопрос согласования параметра δ с числом итераций с точки зрения получения необ-
ходимой точности приближенного решения. При решении прикладных задач исходные дан-
ные, как правило, задаются с погрешностью, кроме того, погрешность в решения вносят
ошибки округления. Следовательно, возникает вопрос согласования параметра δ , числа ите-
раций, величины погрешности исходных данных и ошибок округления с точки зрения получе-
ния необходимой точности приближенного решения регуляризованными итерационными мето-
дами. Последнее обстоятельство особенно важно, поскольку вычисление псевдообратных
матриц относится к классу некорректных задач (нет непрерывной зависимости решения задачи
от изменения исходных данных). Отметим, что в [27] приведен краткий обзор библиографии
по использованию взвешенного сингулярного разложения матриц с положительно определен-
ными весами при анализе влияния возмущений исходных данных на решения задач вычисления
взвешенных нормальных псевдорешений с положительно определенными весами (см., напри-
мер, [28, 29]). В работах [18, 25, 27, 30, 31] построены и исследованы регуляризованные ите-
рационные процессы для вычисления взвешенных псевдообратных матриц с положительно
полуопределенными весовыми матрицами, основанные на разложениях этих матриц в матрич-
ные степенные ряды и произведения.
Литература
1. Chipman J. S. On least squares with insufficient observation // J. Amer. Statist. Assoc. – 1964. – 59, № 308. –
P. 1078 – 1111.
2. Milne R. D. An oblique matrix pseudoinverse // SIAM J. Appl. Math. – 1968. – 16, № 5. – P. 931 – 944.
3. Ward J. F., Boullion T. L., Lewis T. O. A note on the oblique matrix pseudoinverse // SIAM J. Appl. Math. – 1971. –
20, № 2. – P. 173 – 175.
4. Ward J. F., Boullion T. L., Lewis T. O. Weighted pseudoinverses with singular weights // SIAM J. Appl. Math. –
1971. – 21, № 3. – P. 480 – 482.
5. Галба Е. Ф., Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Взвешенные псевдообратные матрицы и взвешенные нормальные
псевдорешения с вырожденными весами // Журн. вычислит. математики и мат. физики. − 2009. − 49, № 8. −
С. 1347 – 1363.
6. Сергиенко И. В., Галба Е. Ф., Дейнека В. С. Существование и единственность взвешенных псевдообратных
матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами // Укр. мат. журн. − 2011. − 63,
№ 1. − С. 80 – 101.
7. Сергиенко И. В., Галба Е. Ф., Дейнека В. С. Теоремы существования и единственности в теории взвешенной
псевдоинверсии с вырожденными весами // Кибернетика и системный анализ. − 2011. − № 1. − С. 14 – 33.
8. Mitra S. K., Rao C. R. Projections under seminorms and generalized Moore – Penroze inverses // Linear Algebra and
Appl. – 1974. – 9. – P. 155 – 167.
9. Censor Y., Elfving T. Block-iterative algorithms with diagonally skaled oblique projections for the linear feasibility
problem // SIAM J. Matrix Anal. – 2002. – 24, № 1. – P. 40 – 58.
10. Censor Y., Elfving T. Iterative algorithms with seminorm-induced oblique projections // Abstr. Appl. Anal. – 2003. –
№ 7. – P. 387 – 406.
11. Понтрягин Л. С. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой // Изв. АН СССР. Сер. мат. –
1944. – 8. – C. 243 – 280.
12. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. – М.: Гостехиздат, 1948. – 420 c.
13. Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Matrices and indefinite scalar products. – Basel etc.: Birkhäuser, 1983.
14. Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Indefinite linear algebra and applications. – Basel etc.: Birkhäuser, 2005. –
357 p.
772 Н. А. ВАРЕНЮК, Е. Ф. ГАЛБА, И. В. СЕРГИЕНКО, А. Н. ХИМИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
15. Икрамов Х. Д. Теорема о диагонализации одного типа гамильтонианов с точки зрения теории операторов в
пространствах с индефинитной метрикой // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1989. – 29, № 1. –
С. 3 – 14.
16. Икрамов Х. Д. О связи между биортогональным алгоритмом и методом Ланцоша в пространстве с незнако-
определенной метрикой // Вестн. МГУ. Сер. вычислит. математика и кибернетика. – 1991. – № 3. – С. 19 – 23.
17. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. – М.: Мир, 1989. – 656 с.
18. Галба Е. Ф., Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Разложения и многочленные предельные представления взвешен-
ных псевдообратных матриц // Журн. вычислит. математики и мат. физики. − 2007. − 47, № 5. − С. 747 – 766.
19. Lancaster P., Rozsa P. Eigenvectors of H-self-adjoint matrices // Z. angew. Math. und Mech. − 1984. − 64, № 9. −
S. 439 – 441.
20. Икрамов Х. Д. Об алгебраических свойствах классов псевдоперестановочных и Н-самосопряженных матриц //
Журн. вычислит. математики и мат. физики. − 1992. − 32, № 8. − С. 155 – 169.
21. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 576 c.
22. Молчанов И. Н., Галба Е. Ф. Взвешенное псевдообращение комплексных матриц // Укр. мат. журн. – 1983. –
35, № 1. – С. 53 – 57.
23. Decell H. P. An application of the Cayley – Hamilton theorem to generalized matrix inversion // SIAM Rev. –
1965. – 7, № 4. – P. 526 – 528.
24. Галба Е. Ф. Взвешенное сингулярное разложение и взвешенное псевдообращение матриц // Укр. мат. журн. –
1996. – 48, № 10. – С. 1426 – 1430.
25. Галба Е. Ф., Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Необходимые и достаточные условия существования одного из
вариантов взвешенного сингулярного разложения матриц с вырожденными весами // Докл. РАН. − 2014. − 455,
№ 3. − С. 261 – 264.
26. Сергиенко И. В., Галба Е. Ф., Дейнека В. С. Необходимые и достаточные условия существования взвешенного
сингулярного разложения матриц с вырожденными весами // Укр. мат. журн. − 2015. − 67, № 3. − С. 406 – 426.
27. Галба Е. Ф., Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Взвешенное сингулярное разложение и взвешенное псевдо-
обращение матриц с вырожденными весами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. − 2012. − 52, № 12. −
С. 2115 – 2132.
28. Химич А. Н., Николаевская Е. А. Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраи-
ческих уравнений с приближенно заданными исходными данными // Кибернетика и системный анализ. − 2008. −
№ 6. − С. 83 – 95.
29. Николаевская Е. А., Химич А. Н. Оценка погрешности взвешенного нормального псевдорешения с положи-
тельно определенными весами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. − 2009. − 49, № 3. − С. 422 – 430.
30. Галба Е. Ф., Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Итерационные методы высоких скоростей сходимости для вычис-
ления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными веса-
ми // Журн. вычисл. математики. и мат. физики. − 2005. − 45, № 10. − С. 1731 – 1755.
31. Сергиенко И. В., Галба Е. Ф., Дейнека В. С. Необходимые и достаточные условия существования взвешенного
сингулярного разложения матриц с вырожденными весами // Укр. мат. журн. − 2015. − 67, № 3. − С. 406 – 426.
Получено 05.07.17
|
| id | umjimathkievua-article-1593 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:48Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/87/a997d37750064652a3c73f84a63bdf87.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15932019-12-05T09:19:59Z Weighted pseudoinversion with indefinite weights Взвешенная псевдоинверсия с индефинитными весами Vareniuk, N. A. Galba, E. F. Sergienko, I. V. Khimich, A. N. Варенюк, Н. А. Галба, Е. Ф. Сергиенко, И. В. Химич, А. Н. Варенюк, Н. А. Галба, Е. Ф. Сергиенко, И. В. Химич, А. Н. We present the definition of weighted pseudoinverse matrices with nonsingular indefinite weights and study these matrices. The theorems on existence and uniqueness for these matrices are proved. Weighted pseudoinverse matrices with indefinite weights are represented in terms of the coefficients of characteristic polynomials of symmetrizable matrices. The decompositions of weighted pseudoinverse matrices into matrix power series and products and their limit representations are obtained. We also propose regularized iterative methods for the determination of these matrices. Наведено означення зваженої псевдооберненої матриці з невиродженими знаконевизначеними вагами та проведено її дослідження. Доведено теорему про існування та єдиність цієї матриці. Наведено зображення зважених псевдо- обернених матриць з індефінітними вагами у термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів матриць, які симетризуються, отримано розклади зважених псевдообернених матриць у матричні степеневі ряди і добутки, граничні зображення цих матриць; побудовано регуляризовані ітераційні методи для їх обчислення. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1593 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 6 (2018); 752-772 Український математичний журнал; Том 70 № 6 (2018); 752-772 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1593/575 Copyright (c) 2018 Vareniuk N. A.; Galba E. F.; Sergienko I. V.; Khimich A. N. |
| spellingShingle | Vareniuk, N. A. Galba, E. F. Sergienko, I. V. Khimich, A. N. Варенюк, Н. А. Галба, Е. Ф. Сергиенко, И. В. Химич, А. Н. Варенюк, Н. А. Галба, Е. Ф. Сергиенко, И. В. Химич, А. Н. Weighted pseudoinversion with indefinite weights |
| title | Weighted pseudoinversion
with indefinite weights |
| title_alt | Взвешенная псевдоинверсия
с индефинитными весами |
| title_full | Weighted pseudoinversion
with indefinite weights |
| title_fullStr | Weighted pseudoinversion
with indefinite weights |
| title_full_unstemmed | Weighted pseudoinversion
with indefinite weights |
| title_short | Weighted pseudoinversion
with indefinite weights |
| title_sort | weighted pseudoinversion
with indefinite weights |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1593 |
| work_keys_str_mv | AT vareniukna weightedpseudoinversionwithindefiniteweights AT galbaef weightedpseudoinversionwithindefiniteweights AT sergienkoiv weightedpseudoinversionwithindefiniteweights AT khimichan weightedpseudoinversionwithindefiniteweights AT varenûkna weightedpseudoinversionwithindefiniteweights AT galbaef weightedpseudoinversionwithindefiniteweights AT sergienkoiv weightedpseudoinversionwithindefiniteweights AT himičan weightedpseudoinversionwithindefiniteweights AT varenûkna weightedpseudoinversionwithindefiniteweights AT galbaef weightedpseudoinversionwithindefiniteweights AT sergienkoiv weightedpseudoinversionwithindefiniteweights AT himičan weightedpseudoinversionwithindefiniteweights AT vareniukna vzvešennaâpsevdoinversiâsindefinitnymivesami AT galbaef vzvešennaâpsevdoinversiâsindefinitnymivesami AT sergienkoiv vzvešennaâpsevdoinversiâsindefinitnymivesami AT khimichan vzvešennaâpsevdoinversiâsindefinitnymivesami AT varenûkna vzvešennaâpsevdoinversiâsindefinitnymivesami AT galbaef vzvešennaâpsevdoinversiâsindefinitnymivesami AT sergienkoiv vzvešennaâpsevdoinversiâsindefinitnymivesami AT himičan vzvešennaâpsevdoinversiâsindefinitnymivesami AT varenûkna vzvešennaâpsevdoinversiâsindefinitnymivesami AT galbaef vzvešennaâpsevdoinversiâsindefinitnymivesami AT sergienkoiv vzvešennaâpsevdoinversiâsindefinitnymivesami AT himičan vzvešennaâpsevdoinversiâsindefinitnymivesami |