Hedging of the European option with nonsmooth payment function
We consider onе type of European option in the case of the Black – Scholes financial market model whose payment function is a certain combination of binary and Asian options. The corresponding hedging scheme is analyzed.We deduce the formula for the Clark stochastic integral representation of the co...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1594 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507404005801984 |
|---|---|
| author | Glonti, O. A. Purtukhiya, O. G. Глонти, O. A. Пуртухия, О. Г. Глонти, O. A. Пуртухия, О. Г. |
| author_facet | Glonti, O. A. Purtukhiya, O. G. Глонти, O. A. Пуртухия, О. Г. Глонти, O. A. Пуртухия, О. Г. |
| author_sort | Glonti, O. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:59Z |
| description | We consider onе type of European option in the case of the Black – Scholes financial market model whose payment function
is a certain combination of binary and Asian options. The corresponding hedging scheme is analyzed.We deduce the formula
for the Clark stochastic integral representation of the corresponding Wiener functional with integrand represented in the
explicit form. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
О. А. Глонти , О. Г. Пуртухия (Тбил. гос. ун-т им. И. Джавахишвили,
Ин-т математики им. А. Размадзе, Грузия)
ХЕДЖИРОВАНИЕ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА
С НЕГЛАДКОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЫПЛАТЫ
We consider onе type of European option in the case of the Black – Scholes financial market model whose payment function
is a certain combination of binary and Asian options. The corresponding hedging scheme is analyzed. We deduce the formula
for the Clark stochastic integral representation of the corresponding Wiener functional with integrand represented in the
explicit form.
Розглядається один тип європейського опцiона у випадку фiнансової ринкової моделi Блека – Шоулза, функцiя ви-
плати якого є певною комбiнацiєю функцiй виплат бiнарного та азiйського опцiонiв. Дослiджується вiдповiдна
проблема хеджування. Отримано формулу стохастичного iнтегрального зображення Кларка для вiдповiдного вiне-
рового функцiоналу з пiдiнтегральним виразом у явному виглядi.
1. Введение и предварительные замечания. В работах [1 – 4] были изучены некоторые мето-
ды получения стохастического интегрального представления негладких (в смысле Маллявэна)
винеровских функционалов и его приложений для задач хеджирования европейских опци-
онов. Если функционал стохастически гладкий, то формула Кларка – Оконе доказывает, что
подынтегральное выражение из представления Кларка этого функционала представляет собой
условное математическое ожидание производной Маллявэна. Несмотря на то, что формула
Кларка – Оконе дает конструкцию подынтегральной функции, существуют некоторые пробле-
мы для практической реализации (в отношении вычисления как стохастической производной,
так и условного математического ожидания). Оказалось, что требование гладкости функцио-
нала можно ослабить требованием гладкости только его условного математического ожидания
(см. [1]). В частности, мы обобщили формулу Кларка – Оконе для случая, когда функционал
не является стохастически гладким, но его условное математическое ожидание стохастически
дифференцируемо. Мы предложили метод нахождения подынтегрального выражения. Извест-
но, что если случайная величина стохастически дифференцируема в смысле Маллявэна, то
ее условное математическое ожидание также дифференцируемо (см. [5]). В частности, если
F \in D2,1, то E(F | \Im w
s ) \in D2,1
1 и Dt
\bigl[
E(F | \Im w
s )
\bigr]
= E(DtF | \Im w
s )I[0,s](t). С другой стороны,
условное математическое ожидание может быть гладким, даже если случайная величина не
является стохастически гладкой (см. [1]). Например, известно, что I\{ wT\leq C\} /\in D2,1 (индикатор
события A является дифференцируемым по Маллявэну тогда и только тогда, когда вероятность
\mathrm{P}(A) равна нулю или единице (см. [5]), но для всех t \in [0, T )
E
\bigl[
I\{ wT\leq C\} | \Im w
t
\bigr]
= \Phi
\biggl(
C - wt\surd
T - t
\biggr)
\in D2,1,
где C — некоторая вещественная константа, а \Phi — стандартная нормальная функция распреде-
ления.
1 Пространство D2,1 и оператор стохастического дифференцирования D\cdot будут определены во втором пункте,
а \Im w
s = \sigma \{ wu : 0 \leq u \leq s\} , где w\cdot — стандартный винеровский процесс.
c\bigcirc О. А. ГЛОНТИ , О. Г. ПУРТУХИЯ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6 773
774 О. А. ГЛОНТИ , О. Г. ПУРТУХИЯ
В настоящей работе рассматривается негладкий функционал, условное математическое ожи-
дание которого также не является стохастически дифференцируемым. В частности, изучает-
ся функционал интегрального типа
\int T
0
us(\omega )ds с негладким подынтегральным выражением
us(\omega ). Если us(\omega ) не дифференцируема в смысле Маллявэна, то лебеговское усреднение (от-
носительно ds) также не дифференцируемо в смысле Маллявэна (см. [2], теорема 2). С другой
стороны, в этом случае даже условное математическое ожидание упомянутого функционала не
является гладким, поскольку мы имеем
E
\left[ T\int
0
us(\omega )ds| \Im w
t
\right] =
t\int
0
us(\omega )ds+
T\int
t
E
\bigl[
us(\omega )| \Im w
t
\bigr]
ds,
где первое слагаемое не дифференцируемо, а второе дифференцируемо в смысле Маллявэна
(если us(\cdot ) \in D2,1 для почти всех s и u\cdot (\omega ) является интегрируемым по Лебегу для почти всех
\omega , то
\int T
t
us(\omega )ds принадлежит D2,1). Такой тип интегральных функционалов рассматривался
в [3, 4]. Метод хеджирования опциона на основе использования локального времени цены
рискового актива S был разработан в [3] (но этот подход здесь неприменим). Сначала мы
вывели стохастическое интегральное представление Кларка для локального времени. Затем
получили интегральное представление Кларка для функции выплаты интегрального типа
T\int
0
I\{ a\leq St\leq b\} S
2
t dt
европейского опциона, использовав соотношение между функцией выплаты опциона и локаль-
ным временем (теорема Троттера – Майера, см. теорему IV.45.1 из [6]), а также теорему Фуби-
ни стохастического типа, и впоследствии решили соответствующую проблему хеджирования в
случае модели Блэка – Шоулза с нулевой процентной ставкой.
В настоящей работе изучается экзотический опцион, который является определенной ком-
бинацией бинарных и азиатских опционов, и исследуется соответствующая проблема хеджи-
рования. В частности, мы изучаем европейский опцион с функцией выплаты
T\int
0
I\{ C1\leq St\leq C2\} \mathrm{l}\mathrm{n}(St)dt,
где St — геометрическое броуновское движение и C1, C2, C1 < C2, — некоторые действи-
тельные числа. Для этого мы выводим стохастическое интегральное представление Кларка для
такой функции выплаты с подынтегральным выражением в явном виде.
Пусть на вероятностном пространстве (\Omega ,\Im ,\mathrm{P}) задан винеровский процесс w = (wt), t \in
\in [0, T ] и (\Im w
t ), t \in [0, T ], — естественная фильтрация, порожденная винеровским процессом w.
Рассмотрим модель Блэка – Шоулза, в которой эволюция цены безрискового актива описывается
уравнением
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ХЕДЖИРОВАНИЕ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА С НЕГЛАДКОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЫПЛАТЫ 775
dBt = rBtdt, B0 = 1, (1.1)
где r \geq 0 — процентная ставка, а для эволюции цены рискового актива имеем
dSt = \mu Stdt+ \sigma Stdwt, S0 = 1, (1.2)
где \mu \in R — средная доходность, а \sigma > 0 — коэффициент изменчивости.
Пусть
ZT = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
- \mu - r
\sigma
wT - 1
2
\biggl(
\mu - r
\sigma
\biggr) 2
T
\Biggr\}
и \widetilde PT — такая мера на (\Omega ,\Im w
T ), что
d \widetilde PT = ZTdP.
Из теоремы Гирсанова следует (см. [7]), что по этой мере (риск-нейтральной мартингальной
мере) процесс
\widetilde wt = wt +
\mu - r
\sigma
t
является стандартным винеровским процессом и
dSt = rStdt+ \sigma Std \widetilde wt, S0 = 1,
или
St = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
\sigma \widetilde wt + (r - \sigma 2/2)t
\bigr\}
. (1.3)
Теперь рассмотрим проблему „репликации” европейского опциона экзотического типа с
функцией выплаты интегрального типа
F =
T\int
0
I\{ C1\leq St\leq C2\} \mathrm{l}\mathrm{n}(St)dt (1.4)
(где C1 и C2 — некоторые положительные константы, C1 < C2), т. е. требуется найти торговую
стратегию (\beta t, \gamma t), t \in [0, T ], такую, что капитальный процесс
Xt = \beta tBt + \gamma tSt, XT = F, (1.5)
в условиях самофинансирования
dXt = \beta tdBt + \gamma tdSt. (1.6)
Из соотношений (1.3), (1.5) и (1.6) имеем
F = XT = X0 +
T\int
0
r(\beta tBt + \gamma tSt)dt+
T\int
0
\sigma \gamma tStd \widetilde wt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
776 О. А. ГЛОНТИ , О. Г. ПУРТУХИЯ
Наша цель — найти торговую стратегию (\gamma , \beta ) = (\gamma t, \beta t), t \in [0, T ]. Эта проблема экви-
валентна задаче нахождения мартингального представления функции выплаты F с подынте-
гральным выражением в явном виде. Заметим, что F квадратично интегрируема, но ни F,
ни его условное математическое ожидание не являются дифференцируемыми (в смысле Мал-
лявэна) функционалами винеровского процесса \widetilde w = ( \widetilde wt), t \in [0, T ]. Поэтому мы пытаемся
получить интегральное представление Кларка с известным подынтегральным выражением,
применяя нетрадиционный метод, поскольку метод Кларка – Оконе, а также полученные нами
ранее результаты здесь неприменимы.
2. Вспомогательные сведения и результаты. В 80-е годы прошлого века было показано
(см. [8]), что теоремы мартингального представления (вместе с теоремой Гирсанова о замене
меры) играют важную роль в современной финансовой математике. Согласно формуле Кларка
(см. [9]), если F — \Im w
T -измеримая квадратично интегрируемая случайная величина, то
F = \mathrm{E}F +
T\int
0
\varphi t(\omega )dwt
для некоторого квадратично интегрируемого случайного процесса \varphi t(\omega )
\bigl(
\varphi \cdot (\cdot ) \in L2([0, T ] \times
\times \Omega )
\bigr)
, адаптированного к фильтрации \Im w
t , t \in [0, T ]. Благодаря так называемой формуле
Кларка – Оконе (см. [10]) \varphi t(\omega ) = \mathrm{E}
\bigl[
DtF | \Im w
t
\bigr]
, где DtF — стохастическая производная (так
называемая производная Маллявэна) функционала F. Но в тех случаях, когда функционал F
не имеет стохастическую производную, его применение невозможно.
Производная гладкой случайной величины F вида
F = f
\bigl(
w(h1), . . . , w(hn)
\bigr)
, f \in C\infty
p (Rn), hi \in L2
\bigl(
[0, T ]
\bigr)
,
— стохастический процесс DtF, заданный соотношением (см. [5])
DtF =
n\sum
i=1
\partial f
\partial xi
\bigl(
w(h1), . . . , w(hn)
\bigr)
hi(t),
где w(hi) =
\int T
0
hi(t) dwt.
D замыкаем как оператор из L2(\Omega ) в L2
\bigl(
\Omega ;L2([0, T ])
\bigr)
. Обозначим его область определения
через D2,1. Это означает, что D2,1 равен замыканию класса гладких случайных величин по
норме
\| F\| 2,1 := \| F\| L2(\Omega ) + | | | DF | | | L2(\Omega ;L2([0,T ])) .
Пусть p(u, t, wu, A) — вероятности перехода винеровского процесса w, т. е. \mathrm{P}
\bigl[
wt \in A |
\Im w
u
\bigr]
= p(u, t, wu, A), где 0 \leq u \leq t, A является борелевским подмножеством R и
p(u, t, x,A) =
1\sqrt{}
2\pi (t - u)
\int
A
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (y - x)2
2(t - u)
\biggr\}
dy.
Для вычисления условного математического ожидания мы используем приводимое ниже
утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ХЕДЖИРОВАНИЕ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА С НЕГЛАДКОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЫПЛАТЫ 777
Предложение 2.1. Для любой ограниченной или положительной измеримой функции f
справедливо соотношение
\mathrm{E}
\bigl[
f(wt)| \Im w
u
\bigr]
=
\int
R
f(y)p(u, t, wu, dy) (\mathrm{P} -п. н.). (2.1)
Теорема 2.1. Предположим, что gt = \mathrm{E}
\bigl[
F | \Im w
t
\bigr]
является дифференцируемым по Малля-
вэну функционалом (gt(\cdot ) \in D2,1) для почти всех t \in [0, T ). Тогда справедливо стохастическое
интегральное представление
gT = F = \mathrm{E}F +
T\int
0
\nu udwu (\mathrm{P} -п. н.),
где
\nu u := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow T
\mathrm{E}
\bigl[
Dugt| \Im w
u
\bigr]
в L2
\bigl(
[0, T ]\times \Omega
\bigr)
(см. теорему 1 в [1]).
Теорема 2.2. В схеме (1.1), (1.2) для любого действительного числа C > 0 и \theta \in (0, T ]
функционал I\{ S\theta \leq C\} \mathrm{l}\mathrm{n}(S\theta ) допускает стохастическое интегральное представление
I\{ S\theta \leq C\} \mathrm{l}\mathrm{n}(S\theta ) = b\theta \Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta
\sigma
\surd
\theta
\biggr)
- \sigma
\surd
\theta \varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta
\sigma
\surd
\theta
\biggr)
+
+
\theta \int
0
\biggl\{
\sigma \Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
\theta - u
\biggr)
- \mathrm{l}\mathrm{n}C\surd
\theta - u
\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
\theta - u
\biggr) \biggr\}
d \widetilde wu, (2.2)
где b = r - \sigma 2/2.
Здесь и ниже \Phi a,\lambda — функция нормального распределения с параметрами a и \lambda , \varphi a,\lambda — ее
функция плотности, \Phi := \Phi 0,1 и \varphi := \varphi 0,1.
Доказательство. Согласно предложению 2.1, используя стандартную технику интегриро-
вания и известное свойство функции плотности нормального распределения, нетрудно видеть,
что
g\theta t := \widetilde E\bigl[ I\{ S\theta \leq C\} \mathrm{l}\mathrm{n}(S\theta )| \Im \widetilde w
t
\bigr]
=
= \widetilde E\bigl[ I\{ \widetilde w\theta \leq lnC - b\theta
\sigma
\} (\sigma \widetilde w\theta + b\theta )| \Im \widetilde w
t
\bigr]
=
=
1\sqrt{}
2\pi (\theta - t)
\infty \int
- \infty
I\{ x\leq lnC - b\theta
\sigma
\} (\sigma x+ b\theta ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - \widetilde wt)
2
2(\theta - t)
\biggr\}
dx =
=
\sigma \sqrt{}
2\pi (\theta - t)
\infty \int
- \infty
I\{ x\leq lnC - b\theta
\sigma
\} (x - \widetilde wt) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - \widetilde wt)
2
2(\theta - t)
\biggr\}
dx+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
778 О. А. ГЛОНТИ , О. Г. ПУРТУХИЯ
+(\sigma \widetilde wt + b\theta )\Phi \widetilde wt,\theta - t
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta
\sigma
\biggr)
=
= - \sigma (\theta - t)\sqrt{}
2\pi (\theta - t)
\infty \int
- \infty
I\{ x\leq lnC - b\theta
\sigma
\} d
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - \widetilde wt)
2
2(\theta - t)
\biggr\} \biggr)
dx+
+(\sigma \widetilde wt + b\theta )\Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wt
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr)
=
= - \sigma
\surd
\theta - t\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wt
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr)
+ (\sigma \widetilde wt + b\theta )\Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wt
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr)
.
Поэтому в силу предложения 1.2.3 из [5] (см. также [11]) случайная величина
g\theta t = \widetilde E\bigl[ I\{ S\theta \leq C\} S\theta | \Im \widetilde w
t
\bigr]
является дифференцируемой по Маллявэну (g\theta t (\cdot ) \in D2,1) для любого t \in [0, \theta ).
Используя теорему 2.1, записываем следующее стохастическое интегральное представле-
ние:
I\{ S\theta \leq C\} \mathrm{l}\mathrm{n}(S\theta ) = \widetilde E\bigl[ I\{ S\theta \leq C\} \mathrm{l}\mathrm{n}(S\theta )
\bigr]
+
\theta \int
0
\nu \theta ud \widetilde wu (\mathrm{P} -п. н.), (2.3)
где
\nu \theta u := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \theta
\widetilde E\bigl[ Dug
\theta
t | \Im \widetilde w
u
\bigr]
в L2
\bigl(
[0, T ]\times \Omega
\bigr)
. (2.4)
Ясно, что
\widetilde E[I\{ S\theta \leq C\} \mathrm{l}\mathrm{n}(S\theta )] =
\infty \int
- \infty
I\{ x\leq lnC - b\theta
\sigma
\} (\sigma x+ b\theta )\varphi 0,\theta (x)dx =
= - \sigma \theta
1\surd
2\pi \theta
\infty \int
- \infty
I\{ x\leq lnC - b\theta
\sigma
\} d
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- x2
2\theta
\biggr\} \biggr)
+ b\theta \Phi 0,\theta
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta
\sigma
\biggr)
=
= b\theta \Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta
\sigma
\surd
\theta
\biggr)
- \sigma
\surd
\theta \varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta
\sigma
\surd
\theta
\biggr)
. (2.5)
Далее, в силу предложения 1.2.3 из [5] имеем
Dug
\theta
t = \sigma \varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wt
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr)
I[0,t](u)+
+\sigma \Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wt
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr)
I[0,t](u) -
\sigma \widetilde wt + b\theta \surd
\theta - t
\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wt
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr)
I[0,t](u) :=
:=
\biggl(
\sigma - b\theta \surd
\theta - t
\biggr)
I[0,t](u)J1 + I[0,t](u)J2 -
\sigma \surd
\theta - t
I[0,t](u)J3. (2.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ХЕДЖИРОВАНИЕ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА С НЕГЛАДКОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЫПЛАТЫ 779
Вычислим теперь \nu \theta u. В соответствии с предложением 2.1, снова используя стандартную
технику интегрирования и свойства функции плотности нормального распределения, получаем
\widetilde E\bigl[ J1| \Im \widetilde w
u
\bigr]
:= \widetilde E \biggl[ \varphi \biggl( \mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wt
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Im \widetilde w
u
\biggr]
=
=
1\sqrt{}
2\pi (t - u)
\infty \int
- \infty
\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma x
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - \widetilde wu)
2
2(t - u)
\biggr\}
dx =
=
1
2\pi
\surd
t - u
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu)
2
2\sigma 2(\theta - u)
\biggr\}
\times
\times
\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ -
\biggl[
x - (\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta )(t - u) + \sigma \widetilde wu(\theta - t)
\sigma (\theta - u)
\biggr] 2
2
(\theta - t)(t - u)
\theta - u
\right\} dx =
=
1
2\pi
\surd
t - u
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu)
2
2\sigma 2(\theta - u)
\biggr\} \sqrt{}
2\pi
(\theta - t)(t - u)
\theta - u
=
=
\sqrt{}
\theta - t
2\pi (\theta - u)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu)
2
2\sigma 2(\theta - u)
\biggr\}
.
Поэтому заключаем, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \theta
\widetilde E\biggl\{ \biggl( \sigma - b\theta \surd
\theta - t
\biggr)
I[0,t](u)J1| \Im \widetilde w
u
\biggr\}
=
= \sigma \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu)
2
2\sigma 2(\theta - u)
\biggr\}
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \theta
\Biggl\{ \sqrt{}
\theta - t
2\pi (\theta - u)
I[0,t](u)
\Biggr\}
-
- 1\sqrt{}
2\pi (\theta - u)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu)
2
2\sigma 2(\theta - u)
\biggr\}
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \theta
\bigl\{
b\theta I[0,t](u)
\bigr\}
=
= - b\theta \sqrt{}
2\pi (\theta - u)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu)
2
2\sigma 2(\theta - u)
\biggr\}
I[0,\theta ](u) =
= - b\theta \surd
\theta - u
\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
\theta - u
\biggr)
I[0,\theta ](u). (2.7)
Далее, используя предложение 2.1, имеем
\widetilde E\bigl[ J2| \Im \widetilde w
u
\bigr]
:= \widetilde E \biggl[ \sigma \Phi \biggl( \mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wt
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Im \widetilde w
u
\biggr]
=
=
\sigma \sqrt{}
2\pi (t - u)
\infty \int
- \infty
\Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma x
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - \widetilde wu)
2
2(t - u)
\biggr\}
dx.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
780 О. А. ГЛОНТИ , О. Г. ПУРТУХИЯ
Следовательно, согласно соотношению
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \theta
\Phi
\biggl(
x\surd
\theta - t
\biggr)
=
\left\{
0, x < 0,
0,5, x = 0,
1, x > 0,
используя теорему о мажорируемой сходимости, заключаем, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \theta
\widetilde E\bigl\{ I[0,t](u)J2| \Im \widetilde w
u
\bigr\}
=
=
\sigma \sqrt{}
2\pi (\theta - u)
\infty \int
- \infty
I\{ lnC - b\theta - \sigma x>0\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - \widetilde wu)
2
2(\theta - u)
\biggr\}
dxI[0,\theta ](u) =
= \sigma \Phi \widetilde wu,\theta - u
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta
\sigma
\biggr)
I[0,\theta ](u) = \sigma \Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
\theta - u
\biggr)
I[0,\theta ](u). (2.8)
С другой стороны,
\widetilde E\bigl[ J3| \Im \widetilde w
u
\bigr]
:= \widetilde E \biggl[ \widetilde wt\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wt
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Im \widetilde w
u
\biggr]
=
=
1\sqrt{}
2\pi (t - u)
\infty \int
- \infty
x\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma x
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - \widetilde wu)
2
2(t - u)
\biggr\}
dx.
Теперь обозначим
h1 := h1(\theta , u, \widetilde wu) =
(\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu)
2
2\sigma 2(\theta - u)
,
h2 := h2(\theta , t, u, \widetilde wu) =
(\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta )(t - u) + \sigma \widetilde wu(\theta - t)
\sigma (\theta - u)
,
h3 := h3(\theta , t, u) =
(\theta - t)(t - u)
\theta - u
.
Тогда, проведя преобразования, аналогичные тем, которые используются для вычисления услов-
ного математического ожидания \widetilde E\bigl[ J1| \Im \widetilde w
u
\bigr]
, можем записать
\infty \int
- \infty
x\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma x
\sigma
\surd
\theta - t
\biggr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - \widetilde wu)
2
2(t - u)
\biggr\}
dx =
=
1\surd
2\pi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - h1\}
\infty \int
- \infty
x \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - h2)
2
2h3
\biggr\}
dx =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ХЕДЖИРОВАНИЕ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА С НЕГЛАДКОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЫПЛАТЫ 781
= - h3\surd
2\pi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - h1\}
\infty \int
- \infty
d
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - h2)
2
2h3
\biggr\} \biggr)
+
h2\surd
2\pi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - h1\}
\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - h2)
2
2h3
\biggr\}
dx.
Следовательно, согласно свойствам функции плотности нормального распределения получаем
\widetilde E\bigl[ J3| \Im \widetilde w
u
\bigr]
= - h3
2\pi
\surd
t - u
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - h1\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - h2)
2
2h3
\biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \infty
x= - \infty
+
+
h2
2\pi
\surd
t - u
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - h1\}
\surd
2\pi
\sqrt{}
h3 =
h2
\surd
h3\sqrt{}
2\pi (t - u)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - h1\} .
Поэтому имеем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \theta
\widetilde E\biggl\{ \sigma \surd
\theta - t
I[0,t](u)J3\}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Im \widetilde w
u
\biggr\}
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - h1\} \times
\times \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \theta
\biggl\{
(\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta )(t - u) + \sigma \widetilde wu(\theta - t)\surd
2\pi (\theta - u)3/2
I[0,t](u)
\biggr\}
=
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - h1\}
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta \sqrt{}
2\pi (\theta - u)
I[0,\theta ](u) =
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta \surd
\theta - u
\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
\theta - u
\biggr)
I[0,\theta ](u). (2.9)
Сопоставляя теперь соотношения (2.6) – (2.9), заключаем, что
\nu \theta u = - b\theta \surd
\theta - u
\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
\theta - u
\biggr)
I[0,\theta ](u)+
+\sigma \Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
\theta - u
\biggr)
I[0,\theta ](u) -
- \mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta \surd
\theta - u
\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
\theta - u
\biggr)
I[0,\theta ](u) =
=
\biggl\{
\sigma \Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
\theta - u
\biggr)
- \mathrm{l}\mathrm{n}C\surd
\theta - u
\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - b\theta - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
\theta - u
\biggr) \biggr\}
I[0,\theta ](u). (2.10)
Cоотношение (2.10) вместе c (2.3) – (2.5) завершает доказательство теоремы.
3. Хеджирование опциона.
Теорема 3.1. В схеме (1.1), (1.2) для любых вещественных положительных чисел C1 < C2
и для функционала F (1.4) справедливо стохастическое интегральное представление
T\int
0
I\{ C1\leq St\leq C2\} \mathrm{l}\mathrm{n}(St)dt =
T\int
0
\Bigl[
bt\Phi (h4(t)) - \sigma
\surd
t\varphi (h4(t))
\Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
dt+
+
T\int
0
\left\{
T\int
u
\biggl[
\sigma \Phi (h5(t, u)) -
\mathrm{l}\mathrm{n}C\surd
t - u
\varphi (h5(t, u))
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
dt
\right\} d \widetilde wu, (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
782 О. А. ГЛОНТИ , О. Г. ПУРТУХИЯ
где
h4(t) =
\mathrm{l}\mathrm{n}C - bt
\sigma
\surd
t
,
h5(t, u) =
\mathrm{l}\mathrm{n}C - bt - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
t - u
.
Доказательство. Интегрируя обе части равенства (2.2) по d\theta и используя теорему Фубини
стохастического типа (см. [12], лемма III.4.1 или [13], следствие леммы IV. 2.4), нетрудно видеть,
что имеет место стохастическое интегральное представление
T\int
0
I\{ S\theta \leq C\} \mathrm{l}\mathrm{n}(S\theta )d\theta =
T\int
0
\Bigl[
b\theta \Phi (h4(\theta )) - \sigma
\surd
\theta \varphi (h4(\theta ))
\Bigr]
d\theta +
+
T\int
0
\theta \int
0
\biggl[
\sigma \Phi (h5(\theta , u)) -
\mathrm{l}\mathrm{n}C\surd
\theta - u
\varphi (h5(\theta , u))
\biggr]
d \widetilde wud\theta =
=
T\int
0
\Bigl[
b\theta \Phi (h4(\theta )) - \sigma
\surd
\theta \varphi (h4(\theta ))
\Bigr]
d\theta +
+
T\int
0
\left\{
T\int
u
\biggl[
\sigma \Phi (h5(\theta , u)) -
\mathrm{l}\mathrm{n}C\surd
\theta - u
\varphi (h5(\theta , u))
\biggr]
d\theta
\right\} d \widetilde wu. (3.2)
Ясно, что
T\int
0
I\{ C1\leq St\leq C2\} \mathrm{l}\mathrm{n}(St)dt =
T\int
0
I\{ St\leq C2\} \mathrm{l}\mathrm{n}(St)dt -
T\int
0
I\{ St<C1\} \mathrm{l}\mathrm{n}(St)dt. (3.3)
Из соотношений (3.2) и (3.3) получаем представление (3.1).
Теорема 3.1 дает нам возможность найти компоненту \gamma t хеджирующей стратегии \pi =
= (\beta t, \gamma t), t \in [0, T ], которая определяется подынтегральной функцией интегрального пред-
ставления (3.1) и имеет вид
\gamma t =
1
\sigma St
T\int
t
\biggl[
\sigma \Phi (h5(v, u)) -
\mathrm{l}\mathrm{n}C\surd
v - t
\varphi (h5(v, u))
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
dv. (3.4)
Теперь, используя теорему 3.1, можем найти процесс капитала
Xt = \widetilde E[F | \Im \widetilde w
t ] = \widetilde EF+
+
t\int
0
\left\{
T\int
u
\biggl[
\sigma \Phi (h5(v, u)) -
\mathrm{l}\mathrm{n}C\surd
v - u
\varphi (h5(v, u))
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
dv
\right\} d \widetilde wu. (3.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ХЕДЖИРОВАНИЕ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА С НЕГЛАДКОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЫПЛАТЫ 783
Известно (см., например, [7] или соотношение (1.5) в этой статье), что вторую компонен-
ту \beta t хеджирующей стратегии \pi можно записать следующим образом:
\beta t =
1
Bt
(Xt - \gamma tSt). (3.6)
Поэтому хеджирующая стратегия \pi = (\beta t, \gamma t), t \in [0, T ], в случае финансовой рыночной
модели Блэка – Шоулза в проблеме „репликации” европейского опциона экзотического типа с
функцией выплаты F, заданной соотношением (1.4), определяется соотношениями (3.4) – (3.6),
а цена \widetilde C этого опциона имеет вид
\widetilde C = \widetilde EF =
T\int
0
\Bigl[
b\theta \Phi (h4(t)) - \sigma
\surd
t\varphi (h4(t))
\Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
dt.
Следствие 3.1. В случае r = \sigma 2/2 для любых вещественных положительных чисел C1 <
< C2 функционал F (1.4) допускает стохастическое интегральное представление
F =
T\int
0
I\{ C1\leq St\leq C2\} \mathrm{l}\mathrm{n}(St)dt =
=
\Biggl\{
- 2\sigma
\surd
T
3
\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C
\sigma
\surd
T
\biggr) \biggl(
T - \mathrm{l}\mathrm{n}2C
\sigma 2
\biggr)
+
3| \mathrm{l}\mathrm{n}C| 3
\sigma 2
\biggl[
\mathrm{e}\mathrm{r} f
\biggl(
| \mathrm{l}\mathrm{n}C|
\sigma
\surd
2T
\biggr)
- 1
\biggr] \Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
C2
C=C1
+
+
T\int
0
\bigl\{
\sigma
\bigl[
T\Phi (h(C, u)) + (T - u)h(C, u)\varphi (h(C, u)) - u
\bigr] \bigr\} \bigm| \bigm| C2
C=C1
d \widetilde wu -
-
T\int
0
\biggl\{
\sigma 2
\surd
T - u
2
\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}
\bigl[
h(C, u)
\bigr] \bigl[
u - (T - u)h2(C, u)
\bigr] \biggl[
\mathrm{e}\mathrm{r} f
\biggl(
| h(C, u)| \surd
2
\biggr)
- 1
\biggr] \biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
d \widetilde wu -
-
T\int
0
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{n}C
\surd
T - u
\bigm| \bigm| h(C, u)\bigm| \bigm| \biggl[ \mathrm{e}\mathrm{r} f \biggl( | h(C, u)| \surd
2
\biggr)
- 1
\biggr] \biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
d \widetilde wu -
-
T\int
0
\biggl[
2 \mathrm{l}\mathrm{n}C
\surd
T - u\varphi
\biggl(
h(C, u)\surd
2
\biggr) \biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
d \widetilde wu, (3.7)
где \mathrm{e}\mathrm{r} f(t) — так называемая функция ошибки, т. е.
\mathrm{e}\mathrm{r} f(t) =
2\surd
\pi
t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x2\} dx,
и
h(C, u) =
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
T - u
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
784 О. А. ГЛОНТИ , О. Г. ПУРТУХИЯ
Доказательство. В рассматриваемом случае представление (3.1) можно записать в виде
T\int
0
I\{ C1\leq St\leq C2\} \mathrm{l}\mathrm{n}(St)dt = - \sigma
T\int
0
\Bigl[ \surd
t\varphi (h4(t))
\Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
dt+
+
T\int
0
\left\{
T\int
u
\biggl[
\sigma \Phi (h5(t, u)) -
\mathrm{l}\mathrm{n}C\surd
t - u
\varphi (h5(t, u))
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
dt
\right\} d \widetilde wu, (3.8)
где
h4(t) =
\mathrm{l}\mathrm{n}C
\sigma
\surd
t
,
h5(t, u) =
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
t - u
.
Далее, следуя стандартной технике интегрирования, нетрудно видеть, что для любой поло-
жительной константы a имеем\int
1\surd
t
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a
t
\Bigr\}
dt = 2
\surd
\pi
\surd
a \mathrm{e}\mathrm{r} f
\biggl( \surd
a\surd
t
\biggr)
+ 2
\surd
t \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a
t
\Bigr\}
+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, (3.9)
\int \surd
t \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a
t
\Bigr\}
dt =
2
3
\surd
t \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a
t
\Bigr\}
(t - 2a) -
- 4
3
\surd
\pi a3/2 \mathrm{e}\mathrm{r} f
\biggl( \surd
a\surd
t
\biggr)
+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} (3.10)
и \int
t\sqrt{}
(t - u)3
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- a
t - u
\biggr\}
dt =
= 2
\surd
t - u \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- a
t - u
\biggr\}
-
\sqrt{}
\pi
a
(u - 2a) \mathrm{e}\mathrm{r} f
\biggl( \surd
a\surd
t - u
\biggr)
+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} . (3.11)
Используя равенство (3.9) с a =
\bigl[
\mathrm{l}\mathrm{n}C/(
\surd
2\sigma )
\bigr] 2
, учитывая соотношения \mathrm{e}\mathrm{r} f(+\infty ) = 1 и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\downarrow 0
\Bigl[
(
\surd
t)\alpha \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a
t
\Bigr\} \Bigr]
= 0, \alpha > 0, (3.12)
заключаем, что
- \sigma
T\int
0
\Bigl[ \surd
t\varphi (h4(t))
\Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
dt =
= - \sigma \surd
2\pi
T\int
0
\surd
t \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
-
\bigl[
\mathrm{l}\mathrm{n}C/(
\surd
2\sigma )
\bigr] 2
t
\Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
C2
C=C1
dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ХЕДЖИРОВАНИЕ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА С НЕГЛАДКОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЫПЛАТЫ 785
=
\Biggl\{ \biggl[
- 2\sigma
\surd
t
3
\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C
\sigma
\surd
t
\biggr) \biggl(
t - \mathrm{l}\mathrm{n}2C
\sigma 2
\biggr)
+
3| \mathrm{l}\mathrm{n}C| 3
\sigma 2
\mathrm{e}\mathrm{r} f
\biggl(
| \mathrm{l}\mathrm{n}C|
\sigma
\surd
2t
\biggr) \biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
\Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
T
t=u
=
=
\Biggl\{
- 2\sigma
\surd
T
3
\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C
\sigma
\surd
T
\biggr) \biggl(
T - \mathrm{l}\mathrm{n}2C
\sigma 2
\biggr)
+
3| \mathrm{l}\mathrm{n}C| 3
\sigma 2
\biggl[
\mathrm{e}\mathrm{r} f
\biggl(
| \mathrm{l}\mathrm{n}C|
\sigma
\surd
2T
\biggr)
- 1
\biggr] \Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
C2
C=C1
. (3.13)
Заметим, что в данном случае \mathrm{l}\mathrm{n}C1 \leq \sigma \widetilde wu \leq \mathrm{l}\mathrm{n}C2. Следовательно, мы имеем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\downarrow u
\Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
t - u
\biggr)
=
\left\{ 1, C = C2,
0, C = C1.
Поэтому, согласно формуле интегрирования по частям, получаем
T\int
u
[\sigma \Phi (h5(t, u))]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
dt =
\Biggl\{ \biggl[
\sigma t\Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
t - u
\biggr) \biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
\Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
T
t=u
+
+
T\int
u
\Biggl[
t
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu
2
\sqrt{}
(t - u)3
\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
t - u
\biggr) \Biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
C2
C=C1
dt =
=
\biggl[
\sigma T\Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
T - u
\biggr) \biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
- \sigma u+
+
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu
2
\surd
2\pi
T\int
u
\Biggl[
t\sqrt{}
(t - u)3
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu)
2
2\sigma 2(t - u)
\biggr\} \Biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
C2
C=C1
dt. (3.14)
Далее, в силу равенства (3.11) с a =
(\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu)
2
2\sigma 2
, снова принимая во внимание соотноше-
ния (3.12) и \mathrm{e}\mathrm{r} f(+\infty ) = 1, имеем
T\int
u
\Biggl[
t\sqrt{}
(t - u)3
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu)
2
2\sigma 2(t - u)
\biggr\} \Biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
C2
C=C1
dt =
=
\biggl[
2
\sqrt{}
2\pi (T - u)\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
T - u
\biggr) \biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
-
-
\Biggl\{
\sigma
\surd
2\pi
| \mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu|
\biggl[
u - (\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu)
2
\sigma 2
\biggr] \Biggl[
\mathrm{e}\mathrm{r} f
\Biggl(
| \mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu|
\sigma
\sqrt{}
2(T - u)
\Biggr)
- 1
\Biggr] \Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
C2
C=C1
. (3.15)
Следовательно, из соотношений (3.14), (3.15) получаем
T\int
u
\bigl[
\sigma \Phi (h5(t, u))
\bigr]
| C2
C=C1
dt =
\biggl[
\sigma T\Phi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
T - u
\biggr) \biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
- \sigma u+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
786 О. А. ГЛОНТИ , О. Г. ПУРТУХИЯ
+
\biggl[
(\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu)
\surd
T - u\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu
\sigma
\surd
T - u
\biggr) \biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
-
-
\Biggl\{
\sigma
2
\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu)
\biggl[
u - (\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu)
2
\sigma 2
\biggr] \Biggl[
\mathrm{e}\mathrm{r} f
\Biggl(
| \mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu|
\sigma
\sqrt{}
2(T - u)
\Biggr)
- 1
\Biggr] \Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
C2
C=C1
. (3.16)
Наконец, согласно равенству (3.10) с a =
(\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu)
2
2\sigma 2
, используя соотношения (3.12) и
\mathrm{e}\mathrm{r} f(+\infty ) = 1, имеем
T\int
u
\biggl[
- \mathrm{l}\mathrm{n}C\surd
t - u
\varphi (h5(t, u))
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
dt =
= - \mathrm{l}\mathrm{n}C\surd
2\pi
T - u\int
0
\biggl[
- 1\surd
t
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu)
2/(2\sigma 2)
t
\biggr\} \biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
dt =
= -
\Biggl\{ \biggl[
\mathrm{l}\mathrm{n}C| \mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu|
\sigma
\mathrm{e}\mathrm{r} f
\biggl(
| \mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu|
\sigma
\surd
2t
\biggr) \biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
\Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
T - u
t=0
-
-
\Biggl\{ \Biggl[
\mathrm{l}\mathrm{n}C
\surd
2t\surd
\pi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu)
2
2\sigma 22t
\biggr\} \Biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
\Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
T - u
t=0
=
= -
\Biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{n}C| \mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu|
\sigma
\Biggl[
\mathrm{e}\mathrm{r} f
\Biggl(
| \mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu|
\sigma
\sqrt{}
2(T - u)
\Biggr)
- 1
\Biggr] \Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
C2
C=C1
-
-
\Biggl[
2 \mathrm{l}\mathrm{n}C
\surd
T - u\varphi
\Biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wu
\sigma
\sqrt{}
2(T - u)
\Biggr) \Biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
C2
C=C1
. (3.17)
Комбинируя теперь соотношения (3.8), (3.13), (3.16) и (3.17), заключаем, что представление (3.7)
выполнено.
Следствие 3.1 доказано.
Следствие 3.2. В случае r = \sigma 2/2 в силу следствия 3.1 хеджирующая стратегия \pi =
= (\beta t, \gamma t) и цена рассматриваемого опциона определяются соответственно следующими со-
отношениями:
\gamma t =
1
St
\Bigl[
T\Phi (h) + (T - t)h\varphi (h) - 2 \mathrm{l}\mathrm{n}C
\surd
T - t\varphi (h/
\surd
2) - t
\Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
-
- 1
2St
\Bigl\{
\sigma
\surd
T - t \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(h)
\bigl[
t - (T - t)h2
\bigr]
+ \mathrm{l}\mathrm{n}C
\surd
T - th
\Bigr\} \bigl[
\mathrm{e}\mathrm{r} f(| h| /
\surd
2) - 1
\bigr] \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
,
где
h = h(C, t) =
\mathrm{l}\mathrm{n}C - \sigma \widetilde wt
\sigma
\surd
T - t
, \beta t =
1
Bt
(Xt - \gamma tSt),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ХЕДЖИРОВАНИЕ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА С НЕГЛАДКОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЫПЛАТЫ 787
и
\widetilde C =
\biggl\{
- 2
3
\sigma
\surd
T\varphi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}C
\sigma
\surd
T
\biggr)
+
\biggl(
T - \mathrm{l}\mathrm{n}2C
\sigma 2
\biggr)
+
3| \mathrm{l}\mathrm{n}3C|
\sigma 2
\biggl[
\mathrm{e}\mathrm{r} f
\biggl(
| \mathrm{l}\mathrm{n}C|
\sigma
\surd
2T
\biggr)
- 1
\biggr] \biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| C2
C=C1
.
Литература
1. Glonti O., Purtukhia O. On one integral representation of functionals of Brownian motion // SIAM J. Theory Probab.
and Appl. – 2017. – 61, № 1. – P. 133 – 139.
2. Glonti O., Jaoshvili V., Purtukhia O. Hedging of European option of exotic type // Proc. A. Razmadze Math. Inst. –
2015. – 168. – P. 25 – 40.
3. Glonti O., Purtukhia O. Hedging of European option of integral type // Bull. Georgian Nat. Acad. Sci. – 2014. – 8,
№ 3. – P. 4 – 13.
4. Glonti O., Purtukhia O. Hedging of one european option of integral type in Black – Scholes model // Int. J. Eng. and
Innov. Technol. – 2014. – 4, № 5. – P. 51 – 61.
5. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. – Second ed. – Berlin: Springer-Verlag, 2006.
6. Rogers L. C. G., Wiiliams D. Diffusions, Markov processes, and martingales. Vol. 2: Ito calculus. – Cambridge Univ.
Press, 2000.
7. Shiryaev A. N. Essentials of stochastic finance, facts, models, theory // Adv. Ser. Stat. Sci. and Appl. Probab. – New
Jersey etc.: World Sci. Publ., 2003. – 3.
8. Harrison J. M., Pliska S. R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading // Stochast.
Process. and Appl. – 1981. – 11. – P. 215 – 260.
9. Clark M. C. The representation of functionals of Brownian motion by stochastic integrals // Ann. Math. Statist. –
1970. – 41. – P. 1282 – 1295.
10. Ocone D. Malliavin calculus and stochastic integral representation formulas of diffusion processes // Stochastics. –
1984. – 12. – P. 161 – 185.
11. Jaoshvili V., Purtukhia O. Stochastic integral representation of functionals of Wiener processes // Bull. Georgian Nat.
Acad. Sci. – 2005. – 171, № 1. – P. 17 – 20.
12. Glonti O. A. Investigations in the theory of conditional Gaussian processes. – Tbilisi: Metsniereba, 1985 (in Russian).
13. Ikeda N., Watanabe Sh. Stochastic differential equations and diffusion processes. – Tokyo: North-Holland Publ. Co.,
1981.
Получено 13.07.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1594 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:46Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ac/996641def65b14aefe41d8ffa6cf6eac.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15942019-12-05T09:19:59Z Hedging of the European option with nonsmooth payment function Хеджирование европейского опциона с негладкой функцией выплаты Glonti, O. A. Purtukhiya, O. G. Глонти, O. A. Пуртухия, О. Г. Глонти, O. A. Пуртухия, О. Г. We consider onе type of European option in the case of the Black – Scholes financial market model whose payment function is a certain combination of binary and Asian options. The corresponding hedging scheme is analyzed.We deduce the formula for the Clark stochastic integral representation of the corresponding Wiener functional with integrand represented in the explicit form. Розглядається один тип європейського опцiона у випадку фiнансової ринкової моделi Блека – Шоулза, функцiя виплати якого є певною комбiнацiєю функцiй виплат бiнарного та азiйського опцiонiв. Дослiджується вiдповiдна проблема хеджування. Отримано формулу стохастичного iнтегрального зображення Кларка для вiдповiдного вiнерового функцiоналу з пiдiнтегральним виразом у явному виглядi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1594 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 6 (2018); 773-787 Український математичний журнал; Том 70 № 6 (2018); 773-787 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1594/576 Copyright (c) 2018 Glonti O. A.; Purtukhiya O. G. |
| spellingShingle | Glonti, O. A. Purtukhiya, O. G. Глонти, O. A. Пуртухия, О. Г. Глонти, O. A. Пуртухия, О. Г. Hedging of the European option with nonsmooth payment function |
| title | Hedging of the European option with nonsmooth payment function |
| title_alt | Хеджирование европейского опциона с негладкой функцией
выплаты |
| title_full | Hedging of the European option with nonsmooth payment function |
| title_fullStr | Hedging of the European option with nonsmooth payment function |
| title_full_unstemmed | Hedging of the European option with nonsmooth payment function |
| title_short | Hedging of the European option with nonsmooth payment function |
| title_sort | hedging of the european option with nonsmooth payment function |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1594 |
| work_keys_str_mv | AT glontioa hedgingoftheeuropeanoptionwithnonsmoothpaymentfunction AT purtukhiyaog hedgingoftheeuropeanoptionwithnonsmoothpaymentfunction AT glontioa hedgingoftheeuropeanoptionwithnonsmoothpaymentfunction AT purtuhiâog hedgingoftheeuropeanoptionwithnonsmoothpaymentfunction AT glontioa hedgingoftheeuropeanoptionwithnonsmoothpaymentfunction AT purtuhiâog hedgingoftheeuropeanoptionwithnonsmoothpaymentfunction AT glontioa hedžirovanieevropejskogoopcionasnegladkojfunkciejvyplaty AT purtukhiyaog hedžirovanieevropejskogoopcionasnegladkojfunkciejvyplaty AT glontioa hedžirovanieevropejskogoopcionasnegladkojfunkciejvyplaty AT purtuhiâog hedžirovanieevropejskogoopcionasnegladkojfunkciejvyplaty AT glontioa hedžirovanieevropejskogoopcionasnegladkojfunkciejvyplaty AT purtuhiâog hedžirovanieevropejskogoopcionasnegladkojfunkciejvyplaty |