One method for the investigation of the fundamental solution of the Cauchy problem for parabolic systems
A recursive method for the investigation of the fundamental solution of the Cauchy problem for parabolic Shilov systems with time-dependent coefficients is proposed. It is based on the general formula for the solution of linear inhomogeneous systems of differential equations of the first order and d...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1596 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507407797452800 |
|---|---|
| author | Litovchenko, V. A. Літовченко, В. А. |
| author_facet | Litovchenko, V. A. Літовченко, В. А. |
| author_sort | Litovchenko, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:59Z |
| description | A recursive method for the investigation of the fundamental solution of the Cauchy problem for parabolic Shilov systems
with time-dependent coefficients is proposed. It is based on the general formula for the solution of linear inhomogeneous
systems of differential equations of the first order and does not require the use of the genus of the analyzed system. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
В. А. Лiтовченко (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ОДИН МЕТОД ДОСЛIДЖЕННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ
ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ
A recursive method for the investigation of the fundamental solution of the Cauchy problem for parabolic Shilov systems
with time-dependent coefficients is proposed. It is based on the general formula for the solution of linear inhomogeneous
systems of differential equations of the first order and does not require the use of the genus of the analyzed system.
Предложен рекурсивный метод исследования фундаментального решения задачи Коши для параболических по
Шилову систем уравнений с непрерывно зависящими от времени коэффициентами, базирующийся на формуле
общего решения линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений первого порядка и не требующий
использования рода системы.
1. Вступ. Параболiчнi за Шиловим системи рiвнянь iз частинними похiдними, як i системи,
параболiчнi за Петровським, характеризуються порядком p i показником параболiчностi h,
0 < h \leq p [1]. Проте для систем Шилова використовується ще одна важлива характеристика —
так званий рiд \mu системи, потреба в якому виникає у зв’язку з використанням теорем типу
Фрагмена – Лiндельофа [2] для дослiдження фундаментального розв’язку задачi Кошi (ФРЗК).
Вiдомо [1], що якщо p = h, то \mu = 1. Але для h < p, за винятком того, що 1 - (p - h) \leq \mu \leq 1,
у випадку, коли розмiрнiсть n просторової змiнної бiльша за одиницю, досi не з’ясовано, як
виражається \mu через p i h за умови, що останнi є точними характеристиками системи (випадок
n = 1 повнiстю дослiджено у [3]). Ця невизначенiсть роду \mu природно поширюється i на низку
результатiв, одержаних, наприклад, у [1, 4, 5].
У зв’язку з цим у [6] було запропоновано альтернативний метод дослiдження ФРЗК для
параболiчних за Шиловим рiвнянь, який ґрунтується на вiдомiй формулi Фаа де Бруно [7]
диференцiювання складених функцiй i не вимагає використання роду \mu . Проте цей метод недi-
євий для систем рiвнянь iз частинними похiдними через некомутативнiсть операцiї множення
матриць.
У данiй роботi пропонується ще один метод дослiдження ФРЗК, який можна застосовувати
як для параболiчних рiвнянь, так i систем рiвнянь. Вiн рекурсивний, базується на формулi
загального розв’язку лiнiйних неоднорiдних систем диференцiальних рiвнянь першого порядку
i також не потребує використання роду \mu .
2. Попереднi вiдомостi. Розглянемо систему рiвнянь
\partial tu(t;x) = P (t; i\partial x)u(t;x), (t;x) \in \Pi (0;T ] := (0;T ]\times \BbbR n, (1)
у якiй функцiя u = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(u1; . . . ;um) є невiдомою, a P (t; i\partial x) — матричний диференцiальний
вираз порядку p з неперервно залежними вiд t комплекснозначними коефiцiєнтами, причому
\partial k
x \cdot :=
\partial | k| \cdot
\partial k1
x1 . . . \partial
kn
xn
, k \in \BbbZ n
+, x \in \BbbR n.
Вважатимемо, що система (1) є рiвномiрно параболiчною за Шиловим на множинi \Pi [0;T ] з
показником параболiчностi h, 0 < h \leq p, тобто (див. [1]) для матрицанта \theta t\tau (\cdot ), 0 \leq \tau < t \leq T,
її двоїстої за Фур’є системи
c\bigcirc В. А. ЛIТОВЧЕНКО, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6 801
802 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
\partial tv(t; \xi ) = \scrP (t; \xi )v(t; \xi ), (t; \xi ) \in \Pi (\tau ;T ], (2)
виконується оцiнка \bigm| \bigm| \theta t\tau (\xi )\bigm| \bigm| \leq c
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \gamma
e - \delta (t - \tau )\| \xi \| h , (t; \xi ) \in \Pi (\tau ;T ], (3)
з оцiночними величинами c > 0, \delta > 0, що не залежать вiд \xi , t i \tau . Тут \gamma := (p - h)(m - 1),
\scrP (t; \cdot ) — матричний символ диференцiального виразу P (t; i\partial x), \| \cdot \| — евклiдова норма у
просторi \BbbR n, a
\bigm| \bigm| (al,j)ml,j=1
\bigm| \bigm| := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}l,j | al,j | .
Вiдомо (див., наприклад, [8, с. 410]), що
\theta t\tau (\xi ) = E +
\infty \sum
r=1
t\int
\tau
t1\int
\tau
. . .
tr - 1\int
\tau
\left( r\prod
j=1
\scrP (tj ; \xi )
\right) dtr . . . dt2 dt1, (4)
де E — одинична матриця порядку m. Цей ряд при кожному фiксованому \xi \in \BbbR n абсолютно
i рiвномiрно вiдносно t збiгається на кожному вiдрiзку [a; b] \subset (\tau ;T ], \tau \in [0;T ), причому
будь-який iнший розв’язок системи (2) має вигляд v = \theta t\tau c, де c — деяка матриця-стовпець з
елементами, залежними лише вiд \xi .
Нехай далi G(t, \tau ; \cdot ), 0 \leq \tau < t \leq T, — ФРЗК для системи (1). Параболiчнiсть цiєї системи
забезпечує iснування фундаментального розв’язку у виглядi [1]
G(t, \tau ;x) = (2\pi ) - n
\int
\BbbR n
e - i(x,\xi )\theta t\tau (\xi ) d\xi , (t;x) \in \Pi (\tau ;T ], \tau \in [0;T ).
Правильним є таке твердження.
Лема 1. Матрична функцiя \theta t\tau (\cdot ) нескiнченно диференцiйовна на \BbbR n за просторовою змiн-
ною, причому \partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi ) для кожного k \in \BbbZ n
+ \setminus \{ 0\} є розв’язком вiдповiдної задачi Кошi
\partial tv(t; \xi ) = \scrP (t; \xi )v(t; \xi ) + f(t; \xi ), (t; \xi ) \in \Pi (\tau ;T ],
v| t=\tau = 0,
(5)
iз неоднорiднiстю f(t; \xi ) := \partial k
\xi
\bigl(
\scrP (t; \xi )\theta t\tau (\xi )
\bigr)
- \scrP (t; \xi )\partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi ).
Доведення. Будемо використовувати тут зображення (4). Для нескiнченної диференцiйов-
ностi по \xi матрицанта \theta t\tau (\xi ), зважаючи на те, що елементи матрицi \scrP (t; \xi ) — цiлi аналiтичнi
функцiї змiнної \xi , достатньо обґрунтувати рiвнiсть
\partial k
\xi
\left( \infty \sum
r=1
t\int
\tau
t1\int
\tau
. . .
tr - 1\int
\tau
\left( r\prod
j=1
\scrP (tj ; \xi )
\right) dtr . . . dt2 dt1
\right) =
=
\infty \sum
r=1
t\int
\tau
t1\int
\tau
. . .
tr - 1\int
\tau
\partial k
\xi
\left( r\prod
j=1
\scrP (tj ; \xi )
\right) dtr . . . dt2 dt1, k \in \BbbZ n
+ \setminus \{ 0\} , t \in (\tau ;T ], \tau \in [0;T ),
(6)
при кожному фiксованому \xi з \BbbR n. Згiдно з класичною теоремою про почленне диференцiю-
вання функцiонального ряду, рiвнiсть (6) виконуватиметься, якщо буде збiгатися рiвномiрно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ОДИН МЕТОД ДОСЛIДЖЕННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI . . . 803
вiдносно \xi на кожному компактi \BbbK \subset \BbbR n ряд
\infty \sum
r=1
t\int
\tau
t1\int
\tau
. . .
tr - 1\int
\tau
\partial k
\xi
\left( r\prod
j=1
\scrP (tj ; \xi )
\right) dtr . . . dt2 dt1, k \in \BbbZ n
+ \setminus \{ 0\} , (7)
при кожному фiксованому t з (\tau ;T ], \tau \in [0;T ).
Отже, зафiксуємо довiльно точку \xi 0 з \BbbR n i розглянемо довiльний компакт \BbbK \subset \BbbR n iз
внутрiшньою точкою \xi 0. Тодi, використавши оцiнку\bigm| \bigm| \partial k
\xi \xi
l
\bigm| \bigm| \leq ckl, \{ k, l\} \subset \BbbZ n
+, \xi \in \BbbK ,
структуру елементiв матрицi \scrP та обмеженiсть на [0;T ] коефiцiєнтiв системи (1), одержимо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \sum
r=1
t\int
\tau
t1\int
\tau
. . .
tr - 1\int
\tau
\partial k
\xi
\left( r\prod
j=1
\scrP (tj ; \xi )
\right) dtr . . . dt2 dt1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\infty \sum
r=1
\bigl(
(t - \tau )c0kp
\bigr) r
/r! = e(t - \tau )c0kp - 1, k \in \BbbZ n
+ \setminus \{ 0\} , \xi \in \BbbK , t \in (\tau ;T ], (8)
де c0kp — додатна величина, що не залежить вiд \xi , t i \tau .
Таким чином, рiвнiсть (6) виконується для всiх \xi \in \BbbK , зокрема i для \xi 0. З огляду на
довiльнiсть вибору \xi 0 з \BbbR n отримаємо нескiнченну диференцiйовнiсть \theta t\tau на \BbbR n.
Зазначимо також, що з оцiнки (8) та рiвностi (6) при кожному фiксованому \xi \in \BbbR n випливає
граничне спiввiдношення
\partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi ) - \rightarrow
t\rightarrow \tau +0
0, k \in \BbbZ n
+ \setminus \{ 0\} , \tau \in [0;T ).
Аналогiчно переконуємось у правильностi рiвностi
\partial t(\partial
k
\xi \theta
t
\tau (\xi )) = \partial k
\xi \scrP (t; \xi ) +
\infty \sum
r=1
t\int
\tau
t1\int
\tau
. . .
tr - 1\int
\tau
\partial k
\xi
\left( \scrP (t; \xi )
r\prod
j=1
\scrP (tj ; \xi )
\right) dtr . . . dt2 dt1,
k \in \BbbZ n
+ \setminus \{ 0\} , \xi \in \BbbR n, t \in (\tau ;T ], \tau \in [0;T ).
Зважаючи тепер на абсолютну збiжнiсть ряду, з останньої рiвностi одержуємо
\partial t
\bigl(
\partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi )
\bigr)
= \partial k
\xi \scrP (t; \xi )+
+
\infty \sum
r=1
t\int
\tau
t1\int
\tau
. . .
tr - 1\int
\tau
\left( k\sum
l=0
C l
k\partial
l
\xi \scrP (t; \xi )\partial k - l
\xi
\left( r\prod
j=1
\scrP (tj ; \xi )
\right) \right) dtr . . . dt2 dt1 =
=
k\sum
l=0
C l
k\partial
l
\xi \scrP (t; \xi )\partial k - l
\xi
\left( E +
\infty \sum
r=1
t\int
\tau
t1\int
\tau
. . .
tr - 1\int
\tau
\left( r\prod
j=1
\scrP (tj ; \xi )
\right) dtr . . . dt2 dt1
\right) =
= \partial k
\xi
\bigl(
\scrP (t; \xi )\theta t\tau (\xi )
\bigr)
, k \in \BbbZ n
+ \setminus \{ 0\} , \xi \in \BbbR n, t \in (\tau ;T ], \tau \in [0;T ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
804 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
де
\sum k
l=q
C l
k :=
\sum k1
l1=q1
. . .
\sum kn
ln=qn
\Bigl( \prod n
j=1
C
lj
kj
\Bigr)
, \{ k, q\} \subset \BbbZ n
+, а Cm
n — бiномiальний коефi-
цiєнт.
Отже, \partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi ) — звичайний розв’язок задачi Кошi (5) для всiх k \in \BbbZ n
+ \setminus \{ 0\} .
Лему доведено.
Наслiдок 1. Для всiх k \in \BbbZ n
+ \setminus \{ 0\} , \tau \in [0;T ), t \in (\tau ;T ] i \xi \in \BbbR n правильною є рiвнiсть
\partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi ) =
t\int
\tau
\theta t\sigma (\xi )
\Bigl(
\partial k
\xi
\bigl(
\scrP (\sigma ; \xi )\theta \sigma \tau (\xi )
\bigr)
- \scrP (\sigma ; \xi )\partial k
\xi \theta
\sigma
\tau (\xi )
\Bigr)
d\sigma . (9)
Дiйсно, з огляду на лему 1, згiдно з формулою (45\prime ) з [8, с. 412], дiстанемо
\partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi ) =
t\int
\tau
\theta t\tau (\xi )\theta
\sigma
\tau (\xi )
- 1f(\sigma , \xi ) d\sigma .
Врахувавши тепер групову властивiсть матрицанта (див. [8, с. 410])
\theta t\tau (\xi )\theta
\sigma
\tau (\xi )
- 1 = \theta t\sigma (\xi )\theta
\sigma
\tau (\xi )\theta
\sigma
\tau (\xi )
- 1 = \theta t\sigma (\xi ),
отримаємо зазначену рекурентну формулу.
На завершення цього пункту сформулюємо ще одне допомiжне твердження.
Лема 2. Нехай Jk
j :=
\sum j
\nu 1=0
\sum \nu 1
\nu 2=0
. . .
\sum \nu k - 1
\nu k=0
1, де k, j — довiльно фiксованi натуральнi
числа. Тодi
Jk
j \leq (j + k)k
k!
. (10)
Доведення. Насамперед оцiнимо суму
\sum j
x=1
xn, \{ n, j\} \subset \BbbN . Оскiльки
j\sum
x=1
xn =
j\sum
x=1
xn \cdot 1,
то зазначену суму можна вважати iнтегральною сумою (верхньою сумою Дарбу) функцiї y = xn
на [0; j], яка вiдповiдає рiвномiрному розбиттю вiдрiзка [0; j] точками з цiлочисловими коор-
динатами. Зважаючи на невiд’ємнiсть i строге зростання цiєї функцiї на [0; +\infty ) та виходячи
безпосередньо з геометричного змiсту визначеного iнтеграла, переконуємось у виконаннi не-
рiвностi
j\sum
x=1
xn \cdot 1 \leq
j+1\int
0
\xi n d\xi .
Обчисливши звiдси iнтеграл, дiстанемо
j\sum
x=1
xn \leq (j + 1)n+1
n+ 1
, \{ n, j\} \subset \BbbN . (11)
Для доведення нерiвностi (10) скористаємося методом математичної iндукцiї. Нехай k = 2,
тодi J2
j =
\sum j
\nu 1=0
\sum \nu 1
\nu 2=0
1 =
\sum j+1
\nu 1=1
\nu 1. Врахувавши тепер оцiнку (11), переконаємось у
виконаннi нерiвностi (10) при k = 2 i довiльному j \in \BbbN .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ОДИН МЕТОД ДОСЛIДЖЕННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI . . . 805
Припустимо, що нерiвнiсть (10) виконується при k = m > 2 та j \in \BbbN : Jm
j \leq (j +m)m
m!
.
Доведемо виконання нерiвностi (10) при k = m+ 1 i j \in \BbbN . Позаяк
Jm+1
j =
j\sum
\nu 1=0
Jm
\nu 1 \leq
j\sum
\nu 1=0
(\nu 1 +m)m
m!
=
1
m!
j+m\sum
\nu =m
\nu m \leq 1
m!
j+m\sum
\nu =1
\nu m,
то, врахувавши (11), одержимо Jm+1
j \leq (j +m+ 1)m+1
(m+ 1)!
, тобто нерiвнiсть (10) виконується
при k = m+ 1 i довiльному j з \BbbN .
Лему доведено.
3. Дослiдження ФРЗК. Передусiм з’ясуємо властивостi похiдних матрицанта \theta t\tau (\cdot ).
Теорема 1. Iснують додатнi сталi c, B i \delta такi, що для всiх k \in \BbbZ n
+, \xi \in \BbbR n, t \in (\tau ;T ] i
\tau \in [0;T ) виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi )
\bigm| \bigm| \leq cB| k| k!
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \alpha | k| +\gamma
e - \delta (t - \tau )\| \xi \| h , (12)
в якiй \alpha := (p - h)m - 1.
Доведення. Спочатку розглянемо випадок, коли k \in \BbbZ n
+ таке, що всi його компоненти, крiм
однiєї, дорiвнюють нулю. Нехай, для визначеностi, k1 \not = 0 i kj = 0, j \not = 1 (решта можливих
випадкiв реалiзуються аналогiчно). Тодi, згiдно з формулою (9), маємо
\partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi ) = \partial k1
\xi 1
\theta t\tau (\xi ) =
k1\sum
l1=1
C l1
k1
t\int
\tau
\theta t\sigma 1
(\xi )\partial l1
\xi 1
\scrP (\sigma 1; \xi )\partial
k1 - l1
\xi 1
\theta \sigma 1
\tau (\xi ) d\sigma 1.
Звiдси, згiдно з рекурсiєю, прийдемо до рiвностi
\partial k1
\xi 1
\theta t\tau (\xi ) =
k1\sum
l1=1
C l1
k1
t\int
\tau
\theta t\sigma 1
(\xi )\partial l1
\xi 1
\scrP (\sigma 1; \xi )
k1 - l1\sum
l2=1
C l2
k1 - l1
\sigma 1\int
\tau
\theta \sigma 1
\sigma 2
(\xi )\partial l2
\xi 1
\scrP (\sigma 2; \xi )\times
\times
k1 - l1 - l2\sum
l3=1
C l3
k1 - l1 - l2
\sigma 2\int
\tau
\theta \sigma 2
\sigma 3
(\xi )\partial l3
\xi 1
\scrP (\sigma 3; \xi ) . . .
1\sum
lj=1
C
lj
1
\sigma j - 1\int
\tau
\theta
\sigma j - 1
\sigma j (\xi )\partial
lj
\xi 1
\scrP (\sigma j ; \xi )\times
\times \theta
\sigma j
\tau (\xi )d\sigma j . . . d\sigma 3d\sigma 2d\sigma 1, \xi \in \BbbR n, 0 \leq \tau < t \leq T, (13)
l1 + l2 + l3 + . . .+ lj = k1 i j \in \BbbN k1 := \{ 1; 2; . . . ; k1\} .
Враховуючи оцiнку (3) i те, що
\bigm| \bigm| \partial l
\xi \scrP (t; \xi )
\bigm| \bigm| \leq c0l!
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) p - | l|
, p \geq | l| ,
0, p < | l|
\right) , l \in \BbbZ n
+, (t; \xi ) \in \Pi [0;T ], (14)
знаходимо
\bigm| \bigm| \partial k1
\xi 1
\theta t\tau (\xi )
\bigm| \bigm| \leq \widehat k1\sum
l1=1
C l1
k1
t\int
\tau
c
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \gamma
e - \delta (t - \sigma 1)\| \xi \| hc0l1!
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) p - l1 , p \geq l1,
0, p < l1
\right) \times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
806 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
\times
\widehat k1 - l1\sum
l2=1
C l2
k1 - l1
\sigma 1\int
\tau
c
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \gamma
e - \delta (\sigma 1 - \sigma 2)\| \xi \| hc0l2!
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) p - l2 , p \geq l2,
0, p < l2
\right) \times
\times
\widehat k1 - l1 - l2\sum
l3=1
C l3
k1 - l1 - l2
\sigma 2\int
\tau
c
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \gamma
e - \delta (\sigma 2 - \sigma 3)\| \xi \| hc0l3!
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) p - l3 , p \geq l3,
0, p < l3
\right) \times . . .
. . .\times
1\sum
lj=1
C
lj
1
\sigma j - 1\int
\tau
c
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \gamma
e - \delta (\sigma j - 1 - \sigma j)\| \xi \| hc0lj !
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) p - lj , p \geq lj ,
0, p < lj
\right) \times
\times c
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \gamma
e - \delta (\sigma j - \tau )\| \xi \| hd\sigma j . . . d\sigma 3d\sigma 2d\sigma 1 =
= ck1!e
- \delta (t - \tau )\| \xi \| h
\widehat k1\sum
l1=1
C l1
k1
\widehat k1 - l1\sum
l2=1
C l2
k1 - l1
. . .
1\sum
lj=1
C
lj
1 \times
\times (cc0)
j (t - \tau )j
j!
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) (\gamma +p)j+\gamma - k1 , pj \geq k1,
0, pj < k1
\right) , k1 \in \BbbN , \xi \in \BbbR n, 0 \leq \tau < t \leq T,
де
\widehat \zeta :=
\left\{ p, \zeta \geq p,
\zeta , \zeta < p,
\zeta \in \BbbN .
Зважаючи тепер на нерiвнiсть
(t - \tau )j
j!
e - \delta 0(t - \tau )\| \xi \| h \leq
\biggl(
2h
\delta 0
\biggr) j
e\delta 0T2h
\bigl(
1+\| \xi \|
\bigr) - jh
, j \in \BbbN , \xi \in \BbbR n, 0 \leq \tau < t \leq T, (15)
отримуємо оцiнку
| \partial k1
\xi 1
\theta t\tau (\xi )| \leq c1B
k1
1 k1!
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \alpha k1+\gamma
e - \delta 1(t - \tau )\| \xi \| h , k1 \in \BbbN , \xi \in \BbbR n, 0 \leq \tau < t \leq T,
(16)
з додатними величинами c1, B1 i \delta 1, що не залежать вiд t, \tau , k1 i \xi .
Таким чином, для завершення обґрунтування правильностi оцiнки (12) при зазначеному k
iз \BbbZ n
+ необхiдно довести виконання нерiвностi (15). Для цього розглянемо спочатку \xi \in \BbbR n
таке, що \| \xi \| < 1, тодi
(t - \tau )j
j!
e - \delta 0(t - \tau )\| \xi \| h =
(t - \tau )j
j!e\delta 0(t - \tau )
\bigl(
1+\| \xi \|
\bigr) h e\delta 0(t - \tau )
\bigl( \bigl(
1+\| \xi \|
\bigr) h
- \| \xi \| h
\bigr)
\leq e\delta 0T2h (t - \tau )j
j!e\delta 0(t - \tau )
\bigl(
1+\| \xi \|
\bigr) h =
= e\delta 0T2h (t - \tau )j
j!
\Biggl(
1 +
\delta 0(t - \tau )
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) h
1!
+ . . .+
(\delta 0(t - \tau )
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) h
)j
j!
+ . . .
\Biggr) \leq
\leq e\delta 0T2h (t - \tau )j
j!
(\delta 0(t - \tau )
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) h
)j
j!
\equiv
\biggl(
1
\delta 0
\biggr) j
e\delta 0T2h
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) - jh
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ОДИН МЕТОД ДОСЛIДЖЕННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI . . . 807
j \in \BbbN , \xi \in \BbbR n, 0 \leq \tau < t \leq T.
Якщо \| \xi \| \geq 1, то
1 - 1
1 + \| \xi \|
\geq 1
2
.
У цьому випадку
(t - \tau )j
j!
e - \delta 0(t - \tau )\| \xi \| h =
(t - \tau )j
j!
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
- \delta 0(t - \tau )
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) h\biggl(
1 - 1
1 + \| \xi \|
\biggr) h
\Biggr\}
\leq
\leq (t - \tau )j
j!
\bigl(
\delta 0(t - \tau )((1 + \| \xi \| )/2)h
\bigr) j
j!
=
=
(t - \tau )j
j!
\biggl(
1 +
\delta 0(t - \tau )((1 + \| \xi \| )/2)h
1!
+ . . .+
(\delta 0(t - \tau )((1 + \| \xi \| )/2)h)j
j!
+ . . .
\biggr) \leq
\leq (t - \tau )j
j!
\bigl(
\delta 0(t - \tau )((1 + \| \xi \| )/2)h
\bigr) j
j!
\equiv
\biggl(
2h
\delta 0
\biggr) j \bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) - jh
, j \in \BbbN , \xi \in \BbbR n, 0 \leq \tau < t \leq T.
Звiдси приходимо до оцiнки (15).
Нехай тепер k \in \BbbZ n
+ таке, що k1 \not = 0 i k2 \not = 0, a kj = 0, j\in \BbbN 2. Припустимо, що виконується
спiввiдношення k1 \geq k2
\bigl(
випадок k2 \geq k1 реалiзується аналогiчно з використанням рiвностi
\partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi ) = \partial k1
\xi 1
\bigl(
\partial k2
\xi 2
\theta t\tau (\xi )
\bigr) \bigr)
. Тодi з огляду на (13) i (14) одержуємо
\partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi ) = \partial k2
\xi 2
(\partial k1
\xi 1
\theta t\tau (\xi )) =
\widehat k1\sum
l11=1
C l11
k1
k2\sum
\mu 1=0
C\mu 1
k2
t\int
\tau
\partial k2 - \mu 1
\xi 2
\theta t\sigma 1
(\xi )
\widehat \mu 1\sum
l21=0
C l21
\mu 1
\bigl(
\partial l11
\xi 1
\partial l21
\xi 2
\scrP (\sigma 1; \xi )
\bigr)
\times
\times
\widehat k1 - l11\sum
l12=1
C l12
k1 - l11
\mu 1 - l21\sum
\mu 2=0
C\mu 2
\mu 1 - l21
\sigma 1\int
\tau
\partial \mu 1 - l21 - \mu 2
\xi 2
\theta \sigma 1
\sigma 2
(\xi )
\widehat \mu 2\sum
l22=0
C l22
\mu 2
\bigl(
\partial l12
\xi 1
\partial l22
\xi 2
\scrP (\sigma 2; \xi )
\bigr)
\times
\times
\widehat k1 - l11 - l12\sum
l13=1
C l13
k1 - l11 - l12
\mu 2 - l22\sum
\mu 3=0
C\mu 3
\mu 2 - l22
\sigma 2\int
\tau
\partial \mu 2 - l22 - \mu 3
\xi 2
\theta \sigma 2
\sigma 3
(\xi )
\widehat \mu 3\sum
l23=0
C l23
\mu 3
\bigl(
\partial l13
\xi 1
\partial l23
\xi 2
\scrP (\sigma 3; \xi )
\bigr)
\times . . .
. . .\times
1\sum
l1j=1
C
l1j
1
\mu j - 1 - l2j - 1\sum
\mu j=0
C
\mu j
\mu j - 1 - l2j - 1
\sigma j - 1\int
\tau
\partial
\mu j - 1 - l2j - 1 - \mu j
\xi 2
\theta
\sigma j - 1
\sigma j (\xi )
\widehat \mu j\sum
l2j=0
C
l2j
\mu j
\bigl(
\partial
l1j
\xi 1
\partial
l2j
\xi 2
\scrP (\sigma j ; \xi )
\bigr)
\times
\times \partial
\mu j - l2j
\xi 2
\theta
\sigma j
\tau (\xi )d\sigma j . . . d\sigma 3d\sigma 2d\sigma 1, \xi \in \BbbR n, 0 \leq \tau < t \leq T,
l11 + l12 + l13 + . . .+ l1j = k1, j \in \BbbN k1 .
Звiдси, використовуючи оцiнки (14) – (16), а також лему 2, знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
808 В. А. ЛIТОВЧЕНКО\bigm| \bigm| \partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi )
\bigm| \bigm| \leq
\leq
\widehat k1\sum
l11=1
C l11
k1
k2\sum
\mu 1=0
C\mu 1
k2
\widehat \mu 1\sum
l21=0
C l21
\mu 1
t\int
\tau
c1B
k2 - \mu 1
1 (k2 - \mu 1)!
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \alpha (k2 - \mu 1)+\gamma
e - \delta 1(t - \sigma 1)\| \xi \| h\times
\times c0l11!l21!
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) p - l11 - l21 , p \geq l11 + l21,
0, p < l11 + l21
\right) \widehat k1 - l11\sum
l12=1
C l12
k1 - l11
\mu 1 - l21\sum
\mu 2=0
C\mu 2
\mu 1 - l21
\widehat \mu 2\sum
l22=0
C l22
\mu 2
\times
\times
\sigma 1\int
\tau
c1B
\mu 1 - l21 - \mu 2
1 (\mu 1 - l21 - \mu 2)!
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \alpha (\mu 1 - l21 - \mu 2)+\gamma
e - \delta 1(\sigma 1 - \sigma 2)\| \xi \| hc0l12!l22!\times
\times
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) p - l12 - l22 , p \geq l12 + l22,
0, p < l12 + l22
\right) \widehat k1 - l11 - l12\sum
l13=1
C l13
k1 - l11 - l12
\mu 2 - l22\sum
\mu 3=0
C\mu 3
\mu 2 - l22
\widehat \mu 3\sum
l23=0
C l23
\mu 3
\times
\times
\sigma 2\int
\tau
c1B
\mu 2 - l22 - \mu 3
1 (\mu 2 - l22 - \mu 3)!
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \alpha (\mu 2 - l22 - \mu 3)+\gamma
e - \delta 1(\sigma 2 - \sigma 3)\| \xi \| hc0l13!l23!\times
\times
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) p - l13 - l23 , p \geq l13 + l23,
0, p < l13 + l23
\right) \times . . .\times
1\sum
l1j=1
C
l1j
1
\mu j - 1 - l2j - 1\sum
\mu j=0
C
\mu j
\mu j - 1 - l2j - 1
\widehat \mu j\sum
l2j=0
C
l2j
\mu j \times
\times
\sigma j - 1\int
\tau
c1B
\mu j - 1 - l2j - 1 - \mu j
1 (\mu j - 1 - l2j - 1 - \mu j)!
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \alpha (\mu j - 1 - l2j - 1 - \mu j)+\gamma \times
\times e - \delta 1(\sigma j - 1 - \sigma j)\| \xi \| hc0l1j !l2j !
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) p - l1j - l2j , p \geq l1j + l2j ,
0, p < l1j + l2j
\right) \times
\times c1B
\mu j - l2j
1 (\mu j - l2j)!
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \alpha (\mu j - l2j)+\gamma
e - \delta 1(\sigma j - \tau )\| \xi \| h\times
\times d\sigma j . . . d\sigma 3d\sigma 2d\sigma 1 = c1B
k2
1 e - \delta 1(t - \tau )\| \xi \| h
\widehat k1\sum
l11=1
C l11
k1
k2\sum
\mu 1=0
C\mu 1
k2
\widehat \mu 1\sum
l21=0
C l21
\mu 1
\times
\times
\widehat k1 - l11\sum
l12=1
C l12
k1 - l11
\mu 1 - l21\sum
\mu 2=0
C\mu 2
\mu 1 - l21
\widehat \mu 2\sum
l22=0
C l22
\mu 2
. . .
1\sum
l1j=1
C
l1j
1
\mu j - 1 - l2j - 1\sum
\mu j=0
C
\mu j
\mu j - 1 - l2j - 1
\widehat \mu j\sum
l2j=0
C
l2j
\mu j \times
\times
\bigl(
(k2 - \mu 1)!(\mu 1 - l21 - \mu 2)!. . .(\mu j - 1 - l2j - 1 - \mu j)!(\mu j - l2)!l21!l22!. . .l2j !
\bigr)
(l11!l12!. . .l1j !)(c0c1)
j\times
\times (t - \tau )j
j!
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \alpha (k2 - l21 - ... - l2j)+(\gamma +p)j+\gamma - k1 - l21 - ... - l2j , jp \geq k1 + l21 +. . .+ l2j ,
0, jp < k1 + l21 +. . .+ l2j
\right) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ОДИН МЕТОД ДОСЛIДЖЕННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI . . . 809
= c1B
k2
1 k1!k2!
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \alpha (k1+k2)+\gamma
e - \delta 1(t - \tau )\| \xi \| h
\widehat k1\sum
l11=1
\widehat k1 - l11\sum
l12=1
. . .
1\sum
l1j=1
\times
\times
\left( k2\sum
\mu 1=0
\widehat \mu 1\sum
l21=0
\mu 1 - l21\sum
\mu 2=0
\widehat \mu 2\sum
l22=0
. . .
\mu j - 1 - l2j - 1\sum
\mu j=0
\widehat \mu j\sum
l2j=0
(c0c1)
j (t - \tau )j
j!
\times
\times
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) (\gamma +p)j - (p - h)m(k1+l21+...+l2j), jp \geq k1 + l21 +. . .+ l2j ,
0, jp < k1 + l21 +. . .+ l2j
\right) \right) \leq
\leq c1e
\delta 1T2h - 1\bigl(
c0c1(4/\delta 1)
h
\bigr) k1Bk2
1 k!
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \alpha | k| +\gamma
e -
\delta 1
2
(t - \tau )\| \xi \| h\times
\times
\widehat k1\sum
l11=1
\widehat k1 - l11\sum
l12=1
. . .
1\sum
l1j=1
\left( k2\sum
\mu 1=0
\mu 1\sum
\mu 2=0
. . .
\mu j - 1\sum
\mu j=0
\left( p\sum
l21=0
p\sum
l22=0
. . .
p\sum
l2j=0
(c0c1)
j\times
\times
\left( \left\{
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) - (p - h)m(k1 - j+l21+...+l2j), jp \geq k1 + l21 +. . .+ l2j ,
0, jp < k1 + l21 +. . .+ l2j
\right) \right) \right) \leq
\leq c1e
\delta 1T2h - 1\bigl(
c0c1(p+ 1)(4/\delta 1)
h
\bigr) k1Bk2
1 k!
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \alpha | k| +\gamma
e -
\delta 1
2
(t - \tau )\| \xi \| h\times
\times
\widehat k1\sum
l11=1
\widehat k1 - l11\sum
l12=1
. . .
1\sum
l1j=1
(k2 + j)j
j!
, \xi \in \BbbR n, 0 \leq \tau < t \leq T.
Далi, оцiнимо величину
S(k) :=
\widehat k1\sum
l11=1
\widehat k1 - l11\sum
l12=1
. . .
1\sum
l1j=1
(k2 + j)j
j!
.
Оскiльки j \in \BbbN k1 , то j = qk1 при q \in (0; 1], тодi
(k2 + j)j
j!
\leq (k1 + j)j
j!
=
(qk1)
qk1
(qk1)!
\biggl( \biggl(
1 +
1
q
\biggr) q\biggr) k1
, q \in (0; 1]
(тут ми врахували спiввiдношення k1 \geq k2). Використовуючи тепер вiдому формулу Стiрлiнга,
згiдно з якою
jj
j!
\leq ej\surd
2\pi
,
а також нерiвнiсть \biggl(
1 +
1
q
\biggr) q
\leq 2, q \in (0; 1],
одержуємо
S(k) \leq (2e)k1\surd
2\pi
\Biggl(
p\sum
l=1
1
\Biggr) k1
=
(2pe)k1\surd
2\pi
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
810 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
Отже, iснують додатнi сталi c, B i \delta такi, що для всiх мультиiндексiв k \in \BbbZ n
+, у яких лише
двi компоненти вiдмiннi вiд нуля, та всiх \xi \in \BbbR n, t \in (\tau ;T ] i \tau \in [0;T ) виконується оцiнка (12).
Продовжуючи згiдно з iндукцiєю процес оцiнювання, переконуємось у виконаннi оцiн-
ки (12) для всiх k \in \BbbZ n
+.
Теорему доведено.
Маючи оцiнки (12) похiдних матрицанта \theta t\tau (\cdot ), можемо оцiнити похiднi ФРЗК G(t, \tau ; \cdot ).
Для цього скористаємось очевидною рiвнiстю
(ix)q\partial k
xG(t, \tau ;x) =
( - i)| k|
(2\pi )n
\int
\BbbR n
\partial q
\xi
\bigl(
\xi k\theta t\tau (\xi )
\bigr)
e - i(x,\xi )d\xi ,
яка виконується для всiх \{ q, k\} \subset \BbbZ n
+, x \in \BbbR n i 0 \leq \tau < t \leq T.
Оскiльки
\bigm| \bigm| \partial q
\xi (\xi
k\theta t\tau (\xi ))
\bigm| \bigm| \leq q\sum
l=0
C l
q| \partial l
\xi \xi
k| | \partial q - l
\xi \theta t\tau (\xi )| \leq c2| k| e - \delta (t - \tau )\| \xi \| h
q\sum
l=0
C l
ql!\| \xi \| | k - l| B| q - l| (q - l)!\times
\times
\bigl(
1 + \| \xi \|
\bigr) \alpha | q - l| +\gamma \leq c0(t - \tau ) -
\alpha | q| +| k| +\gamma
h A
| k|
0 B
| q|
0 e -
\delta
2
(t - \tau )\| \xi \| h
q\sum
l=0
C l
ql!(q - l)!\times
\times \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y>0
\Bigl\{
y
\alpha | q - l| +| k - l| +\gamma
h e - y
\Bigr\}
\leq c1(t - \tau ) -
\alpha | q| +| k| +\gamma
h A
| k|
1 B
| q|
1 | k|
1
h
| k| | q| (1+
\alpha
h
)| q| e -
\delta
2
(t - \tau )\| \xi \| h ,
то \bigm| \bigm| xq\partial k
xG(t, \tau ;x)
\bigm| \bigm| \leq
\leq c2(t - \tau ) -
n+\alpha | q| +| k| +\gamma
h A
| k|
2 B
| q|
2 | k|
1
h
| k| | q| (1+
\alpha
h
)| q| , \{ q, k\} \subset \BbbZ n
+, \xi \in \BbbR n, 0\leq \tau <t\leq T
(тут оцiночнi величини не залежать вiд k, q, t, \tau i x).
Звiдси знаходимо\bigm| \bigm| \partial k
xG(t, \tau ;x)
\bigm| \bigm| \leq c2(t - \tau ) -
n+| k| +\gamma
h A
| k|
2 | k|
1
h
| k| \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
| q| >0
\Bigl\{
B
| q|
2 | q| (1+
\alpha
h
)| q| \bigl( (t - \tau )
\alpha
h \| x\|
\bigr) - | q|
\Bigr\}
\leq
\leq c3(t - \tau ) -
n+| k| +\gamma
h A
| k|
3 | k|
1
h
| k| e - \delta 3
\bigl(
(t - \tau )\alpha /h\| \xi \|
\bigr) 1
1+\alpha /h
, k\in \BbbZ n
+, \xi \in \BbbR n, 0\leq \tau <t\leq T,
де сталi c3, A3 i \delta 3 не залежать вiд k, t, \tau i x.
Отже, правильним є таке твердження.
Теорема 2. Нехай система (1) порядку p iз m рiвнянь є параболiчною за Шиловим з
показником параболiчностi h та неперервними коефiцiєнтами. Тодi
\exists \{ c, A, \delta \} \subset (0;+\infty )\forall k \in \BbbZ n
+ \forall \tau \in [0;T ) \forall t \in (\tau ;T ] \forall \xi \in \BbbR n :
\bigm| \bigm| \partial k
xG(t, \tau ;x)
\bigm| \bigm| \leq c(t - \tau ) -
n+| k| +\gamma
h A| k| | k|
1
h
| k| e - \delta
\bigl(
(t - \tau )\alpha /h\| \xi \|
\bigr) 1
1+\alpha /h
, (17)
\alpha := (p - h)m - 1, \gamma = (p - h)(m - 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ОДИН МЕТОД ДОСЛIДЖЕННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI КОШI . . . 811
Насамкiнець зазначимо, що у випадку, коли система (1) є параболiчною за Петровським iз
p = h = 2b, b \in \BbbN , вiдповiдна оцiнка (17) набирає вигляду
\bigm| \bigm| \partial k
xG(t, \tau ;x)
\bigm| \bigm| \leq c(t - \tau ) -
n+| k|
2b A| k| | k|
1
2b
| k| e
- \delta
\bigl(
\| \xi \|
(t - \tau )1/2b
\bigr) 1
1 - 1/2b
.
Ця оцiнка збiгається з оцiнкою, одержаною, наприклад, в [4, 9] методом теорем типу Фраг-
мена – Лiндельофа для систем iз родом \mu = 1. Крiм цього, якщо рiвняння (1) скалярне, тобто
m = 1, то оцiнка (12) така ж, як у [6] чи [10], яка встановлена там за допомогою формули Фаа
де Бруно диференцiювання складених функцiй.
Лiтература
1. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз,
1958. – 274 с.
2. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с.
3. Борок В. М. Об одном характеристическом свойстве параболических систем // Докл. АН СССР. – 1956. – 110,
№ 6. – С. 903 – 905.
4. Житомирский Я. И. Задача Коши для некоторых типов параболических по Г. Е. Шилову систем линейных
уравнений в частных производных с непрерывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1959. –
23. – С. 925 – 932.
5. Городецкий В. В., Житарюк И. В. О скорости локализации решений задачи Коши для уравнений параболиче-
ского типа с вырождением // Дифференц. уравнения. – 1991. – 27, № 4. – С. 697 – 699.
6. Litovchenko V. А. The cauchy problem for Shilov parabolic equations // Sib. Math. J. – 2004. – 45, № 4. – P. 669 – 679.
7. Дворянинов С. В., Сильванович М. И. О формуле Фаа ди Бруно для производных сложной функции // Мат.
образование. – 2009. – 49, № 1. – С. 22 – 26.
8. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – 5-е изд. – М.: Физматлит, 2004. – 560 с.
9. Эйдельман С. Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 443 с.
10. Litovchenko V. А. Cauchy problem for \{ \vec{}p;\vec{}h\} -parabolic equations with time-dependent coefficients // Math. Notes. –
2005. – 77, № 3-4. – P. 364 – 379.
Одержано 17.09.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1596 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:50Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1f/1cee0c7a85219b4ca19af8589c694e1f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15962019-12-05T09:19:59Z One method for the investigation of the fundamental solution of the Cauchy problem for parabolic systems Один метод дослідження фундаментального розв’язку задачі Коші для параболічних систем Litovchenko, V. A. Літовченко, В. А. A recursive method for the investigation of the fundamental solution of the Cauchy problem for parabolic Shilov systems with time-dependent coefficients is proposed. It is based on the general formula for the solution of linear inhomogeneous systems of differential equations of the first order and does not require the use of the genus of the analyzed system. Предложен рекурсивный метод исследования фундаментального решения задачи Коши для параболических по Шилову систем уравнений с непрерывно зависящими от времени коэффициентами, базирующийся на формуле общего решения линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений первого порядка и не требующий использования рода системы. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1596 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 6 (2018); 801-811 Український математичний журнал; Том 70 № 6 (2018); 801-811 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1596/578 Copyright (c) 2018 Litovchenko V. A. |
| spellingShingle | Litovchenko, V. A. Літовченко, В. А. One method for the investigation of the fundamental solution of the Cauchy problem for parabolic systems |
| title | One method for the investigation of the fundamental solution of the Cauchy
problem for parabolic systems |
| title_alt | Один метод дослідження фундаментального розв’язку задачі Коші для
параболічних систем |
| title_full | One method for the investigation of the fundamental solution of the Cauchy
problem for parabolic systems |
| title_fullStr | One method for the investigation of the fundamental solution of the Cauchy
problem for parabolic systems |
| title_full_unstemmed | One method for the investigation of the fundamental solution of the Cauchy
problem for parabolic systems |
| title_short | One method for the investigation of the fundamental solution of the Cauchy
problem for parabolic systems |
| title_sort | one method for the investigation of the fundamental solution of the cauchy
problem for parabolic systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1596 |
| work_keys_str_mv | AT litovchenkova onemethodfortheinvestigationofthefundamentalsolutionofthecauchyproblemforparabolicsystems AT lítovčenkova onemethodfortheinvestigationofthefundamentalsolutionofthecauchyproblemforparabolicsystems AT litovchenkova odinmetoddoslídžennâfundamentalʹnogorozvâzkuzadačíkošídlâparabolíčnihsistem AT lítovčenkova odinmetoddoslídžennâfundamentalʹnogorozvâzkuzadačíkošídlâparabolíčnihsistem |