A version of the projection-iterative method for the solution of Fredholm integral equations of the second kind
We discuss the problem of application of Alpert’s multiwavelets to the solution of Fredholm integral equations by the projection-iterative method.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1597 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507407244853248 |
|---|---|
| author | Feruk, V. A. Ферук, В. А. |
| author_facet | Feruk, V. A. Ферук, В. А. |
| author_sort | Feruk, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:19:59Z |
| description | We discuss the problem of application of Alpert’s multiwavelets to the solution of Fredholm integral equations by the
projection-iterative method. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.968
В. А. Ферук (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОДИН ВАРIАНТ ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ
ДЛЯ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ТИПУ ФРЕДГОЛЬМА
We discuss the problem of application of Alpert’s multiwavelets to the solution of Fredholm integral equations by the
projection-iterative method.
Рассмотрен вопрос применения мультивейвлетового базиса к решению интегральных уравнений типа Фредгольма
проекционно-итеративным методом.
Iнтегральнi рiвняння, зокрема рiвняння типу Фредгольма, та їх системи є математичними мо-
делями рiзноманiтних процесiв у фiзицi, хiмiї, бiологiї, економiцi тощо. Одним iз основних
напрямкiв теорiї таких рiвнянь є вiдшукання умов iснування та розробка методiв (точних
чи наближених) побудови їх розв’язкiв. Рiзним аспектам дослiдження методiв наближеного
розв’язування рiвнянь типу Фредгольма присвячено публiкацiї багатьох авторiв, зокрема робо-
ти Л. В. Канторовича, М. О. Красносельського, Г. М. Вайнiкко, Б. Г. Габдулхаєва, С. Г. Мiхлiна,
С. В. Переверзєва, Д. Ф. Трауба, Х. Вожняковського, А. Ю. Лучки, C. Г. Солодкого та бага-
тьох iнших. Однак, у зв’язку iз широким колом застосувань, у лiтературi, зокрема iноземнiй,
зберiгається iнтерес до побудови нових варiантiв уже вiдомих методiв: проекцiйного, колока-
цiйного, iтерацiйного, методу Ньострема, методу iнтерполяцiї тощо [1 – 11]. Одним iз джерел
нових iдей для дослiджень у цьому напрямку є використання у цих методах рiзних систем
базисних функцiй: вейвлетiв, полiномiв Чебишова, Лежандра, Бернштейна, Хаара та iн. У да-
нiй роботi розглянуто питання застосування мультивейвлетового базису [12] до розв’язання
iнтегральних рiвнянь типу Фредгольма методами проекцiйно-iтеративного типу [13].
Постановка задачi. Розглядається лiнiйне iнтегральне рiвняння Фредгольма другого роду
x(t) = f(t) +
b\int
a
K(t, s)x(s) ds. (1)
Тут K(t, s) — ядрo, сумовне з квадратом в областi [a, b]\times [a, b], f \in L2[a, b], x \in L2[a, b].
Умови iснування розв’язку iнтегрального рiвняння. Одними iз перших питань, що ви-
никають при розробцi наближених методiв розв’язання будь-якої математичної задачi, в тому
числi i рiвняння (1), є встановлення умов iснування її розв’язку та умов, при яких наближення,
побудованi за запропонованим методом, будуються однозначно i прямують до точного розв’язку
розглядуваної задачi. Умови iснування розв’язку рiвняння (1) вiдомi. Наведемо один iз таких
критерiїв розв’язностi [14, 15].
Для цього зведемо рiвняння (1) до злiченновимiрної системи алгебраїчних рiвнянь. Нехай\bigl\{
\varphi i(t)
\bigr\} \infty
i=1
— повна ортонормальна система функцiй в L2[a, b]. Введемо у розгляд величини
xi =
b\int
a
x(t)\varphi i(t) dt, fi =
b\int
a
f(t)\varphi i(t) dt, aij =
b\int
a
b\int
a
K(t, s)\varphi i(t)\varphi j(s) dt ds. (2)
c\bigcirc В. А. ФЕРУК, 2018
812 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ОДИН ВАРIАНТ ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ ДЛЯ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 813
Враховуючи (2), з iнтегрального рiвняння (1) отримуємо злiченновимiрну систему алгебраїчних
рiвнянь
xi -
\infty \sum
j=1
aijxj = fi, i = 1,\infty ,
\infty \sum
i=1
| xi| 2 < +\infty .
(3)
Запишемо систему (3) у векторному виглядi
\Lambda z = g, (4)
де
z = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
x1, x2, . . . , xi, . . .
\bigr)
\in \ell 2, g = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
f1, f2, . . . , fi, . . .
\bigr)
\in \ell 2, (5)
\Lambda =
\left(
1 - a11 - a12 . . . - a1i . . .
- a21 1 - a22 . . . - a2i . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
- ai1 - ai2 . . . 1 - aii . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
\right)
. (6)
Для рiвняння (1) справедливим є таке твердження [14, 15].
Теорема 1. Однорiдне рiвняння (1) (f(t) = 0) має r-параметричну сiм’ю розв’язкiв x \in
\in L2[a, b]
x(t) = \Phi (t)P\Lambda rcr \forall cr \in Rr. (7)
Неоднорiдне рiвняння (1) є розв’язним тодi i тiльки тодi, коли виконуються r лiнiйно
незалежних умов
P\Lambda \ast
r
g = 0, (8)
i має r-параметричну сiм’ю розв’язкiв x \in L2[a, b] вигляду
x(t) = \Phi (t)P\Lambda rcr +\Phi (t)\Lambda +g \forall cr \in Rr. (9)
Тут P\Lambda r — матриця, яка складається iз повної системи r лiнiйно незалежних стовпчи-
кiв матрицi-проектора P\Lambda ; P\Lambda \ast
r
— матриця, яка складається iз повної системи r лiнiй-
но незалежних рядкiв матрицi-проектора P\Lambda \ast , де P\Lambda та P\Lambda \ast — проектори на ядро та
коядро матрицi \Lambda ; \Lambda + — псевдообернена (за Муром – Пенроузом) до матрицi \Lambda ; \Phi (t) =
=
\bigl(
\varphi 1(t), \varphi 2(t), . . . , \varphi i(t), . . .
\bigr)
.
Зауваження 1. Якщо ядро K(t, s) симетричне та невироджене i система власних функцiй
оператора
(Ky)(t) =
b\int
a
K(t, s)y(s) ds (10)
є вiдомою, то замiсть повної ортонормальної в L2[a, b] системи функцiй
\bigl\{
\varphi i(t)
\bigr\} \infty
i=1
можна
взяти систему лiнiйно незалежних власних функцiй оператора (10) [16].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
814 В. А. ФЕРУК
Зауваження 2. Якщо ядро K(t, s) вироджене, то рiвняння (1) розглядається у деякому
скiнченновимiрному пiдпросторi простору L2[a, b], породженому системою лiнiйно незалежних
власних функцiй оператора (10), яка у цьому випадку замiнює повну ортонормальну систему
функцiй
\bigl\{
\varphi i(t)
\bigr\} \infty
i=1
[16, 17].
Проекцiйно-iтеративний метод. Критерiй розв’язностi, наведений у попередньому пунктi,
дозволяє зробити висновок про iснування та дає загальний вигляд розв’язку рiвняння (1). Однак
у деяких випадках побудова точного розв’язку рiвняння (1) на основi зображення (9) викликає
технiчнi труднощi i постає питання вiдшукання розв’язку розглядуваного рiвняння наближено.
Одними iз наближених методiв розв’язання рiвняння (1), за умови iснування у нього точного
розв’язку, є методи проекцiйно-iтеративного типу. Розглянемо застосування до рiвняння (1)
одного iз таких методiв [13].
Нехай
\bigl\{
\psi i(t)
\bigr\} \infty
i=1
— система ортогональних функцiй в L2[a, b]. Суть методу щодо рiвнян-
ня (1) полягає у тому, що послiдовнi наближення xk(t) визначаються на основi формул
zk(t) = xk - 1(t) + wk(t), (11)
xk(t) = f(t) +
b\int
a
K(t, s)zk(s) ds, k \in \BbbN , (12)
де поправка wk(t) шукається у виглядi
wk(t) =
n\sum
j=1
akj\psi j(t), (13)
невiдомi параметри akj в якiй визначаються з умов
b\int
a
\bigl(
xk(t) - zk(t)
\bigr)
\psi i(t) dt = 0, i = 1, n. (14)
Зазначимо, що якщо поправка wk(t) = 0 i умови (14) вiдсутнi, то метод (11) – (14) вирод-
жується у звичайний метод послiдовних наближень, а при x0(t) = 0, k = 1 наближення z1(t)
та x1(t) збiгаються з наближеннями, побудованими за проекцiйним методом та покращеним
проекцiйним методом вiдповiдно [3 – 6].
Встановимо умови, за яких можна побудувати наближенi розв’язки рiвняння (1) за проек-
цiйно-iтеративним методом (11) – (14). Для цього розглянемо систему лiнiйних алгебраїчних
рiвнянь для визначення параметрiв akj , яка отримується з формул (11) – (14):
n\sum
j=1
\delta ija
k
j = bki , i = 1, n, k \in \BbbN , (15)
де
\delta ij =
b\int
a
\left( \psi j(t) -
b\int
a
K(t, s)\psi j(s) ds
\right) \psi i(t) dt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ОДИН ВАРIАНТ ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ ДЛЯ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 815
bki =
b\int
a
\left( f(t) - xk - 1(t) +
b\int
a
K(t, s)xk - 1(s)ds
\right) \psi i(t) dt.
Ввiвши позначення
ak = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
ak1, a
k
2, . . . , a
k
n
\bigr)
, bk = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
bk1, b
k
2, . . . , b
k
n
\bigr)
,
\Delta =
\left(
\delta 11 \delta 12 . . . \delta 1n
\delta 21 \delta 22 . . . \delta 2n
. . . . . . . . . . . .
\delta n1 \delta n2 . . . \delta nn
\right) , (16)
систему (15) можна записати у векторному виглядi
\Delta ak = bk. (17)
Для того щоб система (17) була розв’язною, необхiдно i достатньо, щоб виконувались
умови [14]
P\Delta \ast
d
bk = 0, (18)
що можливо, зокрема, якщо
P\Delta \ast
d
= 0. (19)
Якщо виконуються умови (18), то система (17) буде мати розв’язок
ak = P\Delta d
cd +\Delta +bk \forall cd \in Rd. (20)
Тут P\Delta d
— матриця, яка складається iз повної системи d лiнiйно незалежних стовпчикiв
матрицi-проектора P\Delta ; P\Delta \ast
d
— матриця, яка складається iз повної системи d лiнiйно неза-
лежних рядкiв матрицi-проектора P\Delta \ast , де P\Delta та P\Delta \ast — проектори на ядро та коядро матрицi
\Delta ; \Delta + — псевдообернена (за Муром – Пенроузом) до матрицi \Delta .
Для того щоб послiдовнi наближення xk(t) за методом (11) – (14) визначались однозначно,
припустимо, що
P\Delta d
= 0. (21)
Тодi \Delta + = \Delta - 1 i система (17) матиме єдиний розв’язок вигляду
ak = \Delta - 1bk.
Умови (18), (21) означають, що метод (11) – (14) використовується для класу рiвнянь вигля-
ду (1), для яких при довiльному g \in L2[a, b] iснує єдиний розв’язок w \in U [a, b] рiвняння [13]
w(t) - (PnK)w(t) = (Png)(t), (22)
де оператор K : L2[a, b] \rightarrow L2[a, b] має вигляд (10), а оператор Pn : L2[a, b] \rightarrow U [a, b] орто-
гонального проектування простору L2[a, b] на його пiдпростiр U [a, b], породжений системою
ортогональних функцiй
\bigl\{
\psi i(t)
\bigr\} n
i=1
, — вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
816 В. А. ФЕРУК
(Pny)(t) :=
b\int
a
Pn(t, s)y(s) ds, (23)
Pn(t, s) = \Psi (t)\Gamma - 1\Psi \ast (s), \Gamma =
b\int
a
\Psi \ast (\xi )\Psi (\xi )d\xi ,
\Psi (t) =
\bigl(
\psi 1(t), \psi 2(t), . . . , \psi n(t)
\bigr)
.
Зауваження 3. Системи функцiй
\bigl\{
\varphi i(t)
\bigr\} \infty
i=1
та
\bigl\{
\psi i(t)
\bigr\} \infty
i=1
можуть збiгатися. Тодi елемен-
ти, що знаходяться на перетинi перших n рядкiв та перших n стовпчикiв матрицi \Lambda , збiгаються
з вiдповiдними елементами матрицi \Delta .
У [13] за припущення, що система функцiй \{ \psi i(t)\} \infty i=1 є довiльною системою лiнiйно неза-
лежних функцiй, встановлено умови збiжностi та оцiнки похибки методу (11) – (14) для рiвнян-
ня (1). Також у [13] було дослiджено випадки, коли система функцiй \{ \psi i(t)\} \infty i=1 є системою
алгебраїчних, тригонометричних полiномiв та iнтерполяцiйних сплайнiв. У данiй роботi роз-
глянуто використання у проекцiйно-iтеративному методi (11) – (14) мультивейвлетового базису.
Наведено порiвняння такого варiанту проекцiйно-iтеративного методу i WG та IWG методiв
[3 – 6].
Многочлени Лежандра та мультивейвлетовий базис. Нагадаємо деякi вiдомi факти з тео-
рiї ортогональних многочленiв. Многочленами Лежандра називаються алгебраїчнi многочлени,
ортогональнi на вiдрiзку [ - 1, 1], що найменше вiдхиляються вiд нуля в розумiннi середнього
квадратичного [18]. Вони утворюють базис у просторi L2[ - 1, 1]. Многочлени, отриманi iз мно-
гочленiв Лежандра за допомогою афiнного перетворення t \mapsto \rightarrow 2t - 1, називаються зсунутими
многочленами Лежандра i утворюють базис у просторi L2[0, 1]. Наприклад, для n = 4 зсунутi
многочленами Лежандра мають вигляд
p1(t) = 1, p2(t) =
\surd
3(2t - 1),
p3(t) =
\surd
5(6t2 - 6t+ 1), p4(t) =
\surd
7(20t3 - 30t2 + 12t - 1).
Нехай \nu \in \BbbN , m = 0, 1, 2, . . . . Визначимо множину S\nu
m кусково-полiномiальних функцiй,
таких, що на iнтервалах (2 - mn, 2 - m(n+ 1)) \subset [0, 1] вони є полiномами порядку меншого нiж
\nu для n = 0, 1, . . . , 2m - 1 та дорiвнюють нулю за межами цих iнтервалiв. Мультивейвлетовим
базисом порядку \nu в L2[0, 1] називається повна ортогональна система функцiй на S\nu
m, що має
вигляд [12]
B\nu = \{ uj(t), j = 1, . . . , \nu \} \cup
\cup
\bigl\{
hnj,m(t),m = 0, 1, 2, . . . , n = 0, 1, . . . , 2m - 1, j = 1, . . . , \nu
\bigr\}
=
\bigl\{
bj(t)
\bigr\} 2m\nu
j=1
.
Тут
\bigl\{
uj(t)
\bigr\} \nu
j=1
— ортогональний базис у S\nu
0 , наприклад система зсунутих многочленiв Лежанд-
ра
\bigl\{
pj(t)
\bigr\} \nu
j=1
, hnj,m(t) = 2m/2hj(2
mt - n), де функцiї hj(t) є полiномами порядку меншого
нiж \nu , що задовольняють умови
1\int
0
hj(t)t
idt = 0, i = 0, 1, . . . , \nu - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ОДИН ВАРIАНТ ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ ДЛЯ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 817
Повною ортогональною системою функцiй на S2
1 , наприклад, буде система
b1(t) = 1, b2(t) =
\surd
3(2t - 1), (24)
b3(t) =
\left\{
\surd
3(4t - 1), 0 < t < 0,5,
\surd
3(3 - 4t), 0,5 < t < 1,
b4(t) =
\left\{ 6t - 1, 0 < t < 0,5,
6t - 5, 0,5 < t < 1.
(25)
Оцiнки швидкостi збiжностi та похибки наближень проекцiйно-iтеративного, WG та
IWG методiв. Одним iз важливих питань дослiдження методу (11) – (14) є встановлення оцi-
нок швидкостi збiжностi та похибки наближень, побудованих за цим методом. Щоб отримати
такi оцiнки у розглядуваному випадку, потрiбно використати вiдповiднi результати для методу
(11) – (14), коли система функцiй
\bigl\{
\psi i(t)
\bigr\} \infty
i=1
є довiльною системою ортогональних функцiй i
результати теорiй наближення мультивейвлетовим базисом є вiдомими.
Cправедливим є такий результат [13].
Теорема 2. Якщо виконується умова (21) та qi < 1 при деякому фiксованому i, то при
всiх n \geq i послiдовностi
\bigl\{
zk(t)
\bigr\} \infty
k=1
,
\bigl\{
xk(t)
\bigr\} \infty
k=1
, згiдно з методом (11) – (14), будуються
однозначно i справджуються оцiнки швидкостi збiжностi\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - zk(t)
\bigm\| \bigm\| \leq lnq
k - 1
n
\bigm\| \bigm\| v\ast (t) - v0(t)
\bigm\| \bigm\| , (26)\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - xk(t)
\bigm\| \bigm\| \leq pnq
k - 1
n
\bigm\| \bigm\| v\ast (t) - v0(t)
\bigm\| \bigm\| (27)
та конструктивнi оцiнки похибки методу\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - zk(t)
\bigm\| \bigm\| \leq ln(1 - qn)
- 1
\bigm\| \bigm\| vk(t) - vk - 1(t)
\bigm\| \bigm\| , (28)\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - xk(t)
\bigm\| \bigm\| \leq pn(1 - qn)
- 1
\bigm\| \bigm\| vk(t) - vk - 1(t)
\bigm\| \bigm\| , (29)
де
p2n =
b\int
a
b\int
a
\bigm| \bigm| Mn(t, s)
\bigm| \bigm| 2 dt ds, q2n =
b\int
a
b\int
a
\bigm| \bigm| Ln(t, s)
\bigm| \bigm| 2 dt ds, l2n = 1 + p2n - q2n, (30)
v\ast (t) - v0(t) = x\ast (t) - x0(t) - (Pnx
\ast )(t) + (Pnx0)(t),
vk(t) - vk - 1(t) = xk(t) - xk - 1(t) - (Pnxk)(t) + (Pnxk - 1)(t).
Ядра Mn(t, s), Ln(t, s), що фiгурують у рiвностях (30), визначаються за допомогою реку-
рентних спiввiдношень
Mi(t, s) =Mi - 1(t, s) -
1
\sigma i
b\int
a
Mi - 1(t, \xi )\psi i(\xi )d\xi
\left( \psi i(s) -
b\int
a
\psi i(\xi )Mi - 1(\xi , s)d\xi
\right) , (31)
\sigma i =
b\int
a
\psi 2
i (\xi )d\xi -
b\int
a
b\int
a
\psi i(\xi )Mi - 1(\xi , s)d\xi \psi i(s) ds, i = 1, n, M0(t, s) = K(t, s), (32)
Li(t, s) = Li - 1(t, s) -
1
\mu i
\psi i(t)\psi i(s) +
1
\sigma i
\left( \psi i(t) -
b\int
a
Li - 1(t, \xi )\psi i(\xi )d\xi
\right) \times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
818 В. А. ФЕРУК
\times
\left( \psi i(s) -
b\int
a
\psi i(\xi )Mi - 1(\xi , s)d\xi
\right) ,
(33)
\mu i =
b\int
a
\psi 2
i (\xi )d\xi , i = 1, n, L0(t, s) = K(t, s).
Нехай [a, b] = [0, 1] i система функцiй
\bigl\{
\psi i(t)
\bigr\} n
i=1
є мультивейвлетовим базисом
\bigl\{
bj(t)
\bigr\} 2m\nu
j=1
.
Звичайно, i у цьому випадку оцiнки (26) – (29) є справедливими. Проте їх можна уточнити та
навести оцiнки швидкостi збiжностi та похибки методу (11) – (14), що враховують властивостi
системи
\bigl\{
bj(t)
\bigr\} 2m\nu
j=1
.
Позначимо через P \nu
m оператор вигляду (23), що ортогонально проектує простiр L2[0, 1] на
S\nu
m. Вiдомо, що для будь-якої функцiї y \in C\nu [0, 1] справедливою є оцiнка [12]\bigm\| \bigm\| (P \nu
my)(t) - y(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 2 - m\nu 2
4\nu \nu !
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
\bigm| \bigm| y(\nu )(t)\bigm| \bigm| . (34)
Якщо (x\ast - x0) \in C\nu [0, 1], то, згiдно з (34), оцiнки (26), (27) наберуть вигляду
\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - zk(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 2 - m\nu 2lnq
k - 1
n
4\nu \nu !
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
\bigm| \bigm| (x\ast (t) - x0(t))
(\nu )
\bigm| \bigm| , (35)
\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - xk(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 2 - m\nu 2pnq
k - 1
n
4\nu \nu !
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
\bigm| \bigm| (x\ast (t) - x0(t))
(\nu )
\bigm| \bigm| , (36)
а якщо (xk - xk - 1) \in C\nu [0, 1] при деякому k, то справджуються оцiнки\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - zk(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 2 - m\nu 2ln
4\nu (1 - qn)\nu !
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
\bigm| \bigm| (xk(t) - xk - 1(t))
(\nu )
\bigm| \bigm| , (37)
\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - xk(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 2 - m\nu 2pn
4\nu (1 - qn)\nu !
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
\bigm| \bigm| (xk(t) - xk - 1(t))
(\nu )
\bigm| \bigm| . (38)
Отже, справедливим є такий результат.
Теорема 3. Нехай система функцiй
\bigl\{
\psi i(t)
\bigr\} n
i=1
у проекцiйно-iтеративному методi (11) –
(14) є мультивейвлетовим базисом
\bigl\{
bj(t)
\bigr\} 2m\nu
j=1
, виконується умова (21) та qi < 1 при деякому
фiксованому i. Тодi при всiх n \geq i послiдовностi
\bigl\{
zk(t)
\bigr\} \infty
k=1
,
\bigl\{
xk(t)
\bigr\} \infty
k=1
, згiдно з методом
(11) – (14), будуються однозначно i справджуються оцiнки швидкостi збiжностi (35), (36) та
конструктивнi оцiнки похибки (37), (38).
Якщо x0(t) = 0, то наближення z1(t) та x1(t), побудованi за методом (11) – (14) iз мульти-
вейвлетовим базисом, збiгаються з наближеннями un(t) та u\prime n(t), побудованими за WG та IWG
методами вiдповiдно i оцiнки (35) – (38) мiстять у собi, як частинний випадок, оцiнки швидкос-
тi збiжностi та конструктивнi оцiнки похибки цих методiв. Зокрема, з оцiнки (35) випливає
наведена у [3, 4] оцiнка \bigm\| \bigm\| x\ast (t) - un(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 2 - m\nu 2ln
4\nu \nu !
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
\bigm| \bigm| (x\ast (t))(\nu )\bigm| \bigm| , (39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ОДИН ВАРIАНТ ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ ДЛЯ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 819
а iз (36) — наведена у [4, 5] оцiнка\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - u\prime n(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 2 - m\nu 2pn
4\nu \nu !
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
\bigm| \bigm| (x\ast (t))(\nu )\bigm| \bigm| . (40)
Також iз оцiнок (37), (38) випливають конструктивнi оцiнки похибки WG та IWG методiв\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - un(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 2 - m\nu 2ln
4\nu (1 - qn)\nu !
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
\bigm| \bigm| (u\prime n(t))(\nu )\bigm| \bigm| , (41)
\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - u\prime n(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 2 - m\nu 2pn
4\nu (1 - qn)\nu !
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
\bigm| \bigm| (u\prime n(t))(\nu )\bigm| \bigm| , (42)
якi автору у лiтературi не зустрiчалися.
Отже, порiвнюючи оцiнки (35) – (38) та (39) – (42), бачимо, що запропонований варiант
проекцiйно-iтеративного методу (11) – (14) iз мультивейвлетовим базисом
\bigl\{
bj(t)
\bigr\} 2m\nu
j=1
дозволяє
будувати наближення
\bigl\{
zk(t)
\bigr\} \infty
k=1
,
\bigl\{
xk(t)
\bigr\} \infty
k=1
, вiдхилення яких вiд точного розв’язку рiвнян-
ня (1) будуть меншими, нiж вiдхилення наближень un(t) та u\prime n(t), побудованих за WG та IWG
методами вiдповiдно. Справдi, якщо qn < 1, то при k = 2 похибка наближення z2(t), побудо-
ваного за методом (11) – (14), буде меншою, нiж похибка наближення un(t), побудованого за
WG методом, а похибка наближення x2(t), побудованого за методом (11) – (14), буде меншою,
нiж похибки наближень un(t) та u\prime n(t), побудованих за WG та IWG методами вiдповiдно, i зi
збiльшенням k похибки наближень zk(t) та xk(t) будуть прямувати до нуля.
Приклад. Проiлюструємо наведенi вище теоретичнi викладки на конкретному прикладi [6]
x(t) = e
1
3
(6t+1) - 1
3
1\int
0
e
1
3
(6t - 5s)x(s) ds. (43)
Розглянемо спочатку питання iснування розв’язкiв рiвняння (43). Введемо у розгляд функ-
цiю
\varphi (t) = 2(e4 - 1) -
1
2 e2t,
що є власною функцiєю оператора
(Ky)(t) = - 1
3
1\int
0
e
1
3
(6t - 5s)y(s) ds,
яка вiдповiдає характеристичному числу \lambda =
\bigl(
1 - 3
\surd
e
\bigr) - 1
.
Зведемо рiвняння (43) до рiвняння (4). Використавши позначення (2), (5), (6), отримаємо
\Lambda z = g,
\Lambda = 3
\surd
e, z = 2(e4 - 1) -
1
2
1\int
0
x(t) e2t dt, g =
1
2
6
\sqrt{}
e2(e4 - 1)3.
Отже, у розглядуваному випадку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
820 В. А. ФЕРУК
\Lambda + = \Lambda - 1 =
\bigl(
3
\surd
e
\bigr) - 1
, P\Lambda = P\Lambda \ast = 0
i умова (8) виконується. Згiдно з теоремою 1, рiвняння (43) має єдиний розв’язок
x\ast (t) = e2t. (44)
Застосуємо до рiвняння (43) проекцiйно-iтеративний метод (11) – (14) iз мультивейвлетовим
базисом на S2
1 , а саме, системою (24), (25), i нехай x0(t) = 0. Спочатку перевiримо виконання
достатньої умови збiжностi методу, тобто умови qi < 1. Згiдно з (33), L0(t, s) = K(t, s) при
i = 0 i, згiдно з (30), q0 \approx 0,65629 < 1. Отже, метод (11) – (14) збiгається при всiх n \geq 1.
Безпосереднiми обчисленнями можна переконатися, що у розглядуваному випадку
\Delta =
\left(
- 1,518232 0,238505 0,048574 0,004613
- 0,162225 - 0,502690 0,015205 0,001444
0,039264 - 0,018071 - 0,581031 - 0,000350
- 0,007707 0,003547 0,000722 - 0,999931
\right) ,
(45)
\Delta - 1 =
\left(
- 0,628567 - 0,296084 - 0,060301 - 0,003306
0,201389 - 1,892586 - 0,032695 - 0,0017923
- 0,048743 0,038855 - 1,724138 0,000434
0,005524 - 0,004403 - 0,000897 - 1,000049
\right) ,
тобто умова (21) виконується i послiдовнi наближення zk(t), xk(t) за методом (11) – (14) ви-
значаються однозначно. У таблицi вiдображено вiдхилення наближень xk(t), k = 0,3, та z1(t)
вiд точного розв’язку (44).
t | x\ast (t) - x0(t)| | x\ast (t) - x1(t)| | x\ast (t) - x2(t)| | x\ast (t) - x3(t)| | x\ast (t) - z1(t)|
0,0 1,000000000 0,000279886 0,000001146 0,000000001 0,126628313
0,2 1,491824698 0,000417540 0,000001711 0,000000004 0,057859839
0,4 2,225540928 0,000622896 0,000002553 0,000000010 0,000456458
0,6 3,320116923 0,000929251 0,000003807 0,000000004 0,026842068
0,8 4,953032424 0,001386281 0,000005677 0,000000029 0,178651358
1,0 7,389059099 0,002068089 0,000008465 0,000000017 0,418963389
Обчислимо тепер сталi p4, q4 i l4 та проiлюструємо оцiнки (35) – (38). Для цього спочатку
знайдемо p1, q1 i l1. При i = 1 \psi 1(t) = b1(t) = 1, i, використовуючи спiввiдношення (31) – (33),
знаходимо ядра M1(t, s), L1(t, s):
M1(t, s) = - 1
3
e
1
3
(6t - 5s) +
1
5\sigma 1
\Bigl(
1 - e -
5
3
\Bigr)
e2t
\biggl(
1 - 1
6
\bigl(
1 - e2
\bigr)
e -
5s
3
\biggr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
ОДИН ВАРIАНТ ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ ДЛЯ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 821
L1(t, s) = - 1
3
e
1
3
(6t - 5s) - 1 +
1
\sigma 1
\biggl(
1 +
1
5
\Bigl(
1 - e -
5
3
\Bigr)
e2t
\biggr) \biggl(
1 - 1
6
\bigl(
1 - e2
\bigr)
e -
5s
3
\biggr)
,
\sigma 1 =
1
10
\Bigl(
9 + e2 + e -
5
3 - e
1
3
\Bigr)
i, згiдно з (30), p1 \approx 0,184052, q1 \approx 0,089867, l1 \approx 1,012817. Продовжуючи обчислення за
формулами (30) – (33), отримуємо p4 \approx 0,011677, q4 \approx 0,001435, l4 \approx 1,000067. Оскiльки у
розглядуваному випадку \nu = 2 i m = 1, оцiнки швидкостi збiжностi та конструктивнi оцiнки
похибки (35) – (38) набирають вигляду\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - zk(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 46,19 \cdot 14,35k - 1 \cdot 102 - 4k, (46)\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - xk(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 53,93 \cdot 14,35k - 1 \cdot 10 - 4k, (47)\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - zk(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 15,65 \cdot 10 - 3 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
| x\prime \prime k(t) - x\prime \prime k - 1(t)| , (48)
\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - xk(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 18,28 \cdot 10 - 5 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1]
| x\prime \prime k(t) - x\prime \prime k - 1(t)| . (49)
Як було зазначено, z1(t) = un(t) i x1(t) = u\prime n(t), тому, згiдно з (46), (47), для наближень,
побудованих за WG та IWG методами справджуються оцiнки\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - un(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 0,4619,\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - u\prime n(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 0,0054,
а згiдно з (48), (49) — оцiнки \bigm\| \bigm\| x\ast (t) - un(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 0,4627,\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - u\prime n(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 0,0054.
У [6] для вiдшукання наближених розв’язкiв рiвняння (43), використано метод Петрова –
Галеркiна. Навiть використавши простори S4
5 та S2
6 , тобто розв’язавши систему 128-ми ал-
гебраїчних рiвнянь, авторам вдалося лише отримати наближений розв’язок u(t), для якого\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - u(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 109 \cdot 10 - 6. Наближення ж x2(t), побудоване за проекцiйно-iтеративним ме-
тодом (11) – (14), згiдно з (47), має похибку
\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - x2(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 7,74 \cdot 10 - 6, а згiдно з (49) —\bigm\| \bigm\| x\ast (t) - x2(t)
\bigm\| \bigm\| \leq 1,51 \cdot 10 - 6.
Лiтература
1. Frank K., Heinrich S., Pereverzev S. Information complexity of multivariate Fredholm integral equation in Sobolev
classes // J. Complexity. – 1996. – 12, № 4. – P. 17 – 34.
2. Atkinson K. E. The numerical solution of integral equations of the second kind. – Cambridge Univ. Press, 1997. –
552 p.
3. Chen Z., Micchelli C. A., Xu Y. The Petrov – Galerkin method for second kind integral equations II: Multiwavelet
schemes // Adv. Comput. Math. – 1997. – № 7. – P. 199 – 233.
4. Chen Z., Xu Y. The Petrov – Galerkin and iterated Petrov – Galerkin methods for second-kind integral equations //
SIAM J. Numer. Anal. – 1998. – 35, № 1. – P. 406 – 434.
5. Kaneko H., Noren R.D., Novaprateep B. Wavelet applications to the Petrov – Galerkin method for Hammerstein
equations // Appl. Numer. Math. – 2003. – 45, № 1. – P. 255 – 273.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
822 В. А. ФЕРУК
6. Maleknejad K., Karami M. Using the WPG method for solving integral equations of the second kind // Appl. Math.
and Comput. – 2005. – 166. – P. 123 – 130.
7. Mosentsova G. V. Exact order of algorithmic complexity for Fredholm integral equations of the second kind //
J. Numer. and Appl. Math. – 2009. – 97. – P. 103 – 111.
8. Chen Y., Tang T. Convergence analysis of the Jacobi spectral-collocation methods for Volterra integral equations with
a weakly singular kernel // Math. Comput. – 2010. – 79, № 269. – P. 147 – 167.
9. Ghomanjani F., Farahi M. H., Kilicman A. Bezier curves for solving Fredholm integral equations of the second
kind // Math. Probl. Eng. – 2014. – 2014. – P. 1 – 6.
10. Occorsio D., Russo M. G. Nystrom methods for Fredholm integral equations using equispaced points // Filomat. –
2014. – 28, № 1. – P. 49 – 63.
11. Allouch C., Sablonniere P. Iteration methods for Fredholm integral equations of the second kind based on spline
quasi-interpolants // Math. and Comput. Simulat. – 2014. – 99. – P. 19 – 27.
12. Alpert B. K. A class of bases in L2 for the sparse representation of integral operators // SIAM J. Math. Anal. –
1993. – 24. – P. 246 – 262.
13. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы. – Киев: Наук. думка, 1993. – 288 с.
14. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. – 2nd ed. –
Utrecht, Boston: Walter de Gruyter, 2016. – 314 p.
15. Бойчук О. А., Козлова Н. О., Ферук В. А. Слабкозбуренi iнтегральнi рiвняння // Нелiнiйнi коливання. – 2016. –
19, № 2. – C. 151 – 160.
16. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960. – 300 с.
17. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. – М.: Физматгиз, 1961. – 436 с.
18. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1979. – 415 с.
Одержано 06.07.17,
пiсля доопрацювання — 24.09.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1597 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:49Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d0/7795b287a2322399d665f4dcef3ae1d0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15972019-12-05T09:19:59Z A version of the projection-iterative method for the solution of Fredholm integral equations of the second kind Один варіант проекційно-ітеративного методу для інтегральних рівнянь типу Фредгольма Feruk, V. A. Ферук, В. А. We discuss the problem of application of Alpert’s multiwavelets to the solution of Fredholm integral equations by the projection-iterative method. Рассмотрен вопрос применения мультивейвлетового базиса к решению интегральных уравнений типа Фредгольма проекционно-итеративным методом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1597 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 6 (2018); 812-822 Український математичний журнал; Том 70 № 6 (2018); 812-822 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1597/579 Copyright (c) 2018 Feruk V. A. |
| spellingShingle | Feruk, V. A. Ферук, В. А. A version of the projection-iterative method for the solution of Fredholm integral equations of the second kind |
| title | A version of the projection-iterative method for the solution of Fredholm integral
equations of the second kind |
| title_alt | Один варіант проекційно-ітеративного методу для інтегральних рівнянь типу
Фредгольма |
| title_full | A version of the projection-iterative method for the solution of Fredholm integral
equations of the second kind |
| title_fullStr | A version of the projection-iterative method for the solution of Fredholm integral
equations of the second kind |
| title_full_unstemmed | A version of the projection-iterative method for the solution of Fredholm integral
equations of the second kind |
| title_short | A version of the projection-iterative method for the solution of Fredholm integral
equations of the second kind |
| title_sort | version of the projection-iterative method for the solution of fredholm integral
equations of the second kind |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1597 |
| work_keys_str_mv | AT ferukva aversionoftheprojectioniterativemethodforthesolutionoffredholmintegralequationsofthesecondkind AT ferukva aversionoftheprojectioniterativemethodforthesolutionoffredholmintegralequationsofthesecondkind AT ferukva odinvaríantproekcíjnoíterativnogometodudlâíntegralʹnihrívnânʹtipufredgolʹma AT ferukva odinvaríantproekcíjnoíterativnogometodudlâíntegralʹnihrívnânʹtipufredgolʹma AT ferukva versionoftheprojectioniterativemethodforthesolutionoffredholmintegralequationsofthesecondkind AT ferukva versionoftheprojectioniterativemethodforthesolutionoffredholmintegralequationsofthesecondkind |