On the dependence of the norm of a multiply monotone function on the norms of its derivatives
We establish necessary and sufficient conditions for a system of positive numbers Mk1 , Mk2 , Mk3 , Mk4 , 0 = k1 < < k2 < k3 \leq r 3, k4 = r guaranteeing the existence of an (r 2)-monotone function x on the half line such that \| x(ki)\| \infty = Mki , i = 1, 2, 3, 4.
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1601 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507411217907712 |
|---|---|
| author | Bondarenko, A. R. Kovalenko, O. V. Бондаренко, А. Р. Коваленко, О. В. |
| author_facet | Bondarenko, A. R. Kovalenko, O. V. Бондаренко, А. Р. Коваленко, О. В. |
| author_sort | Bondarenko, A. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:20:38Z |
| description | We establish necessary and sufficient conditions for a system of positive numbers Mk1 , Mk2 , Mk3 , Mk4 , 0 = k1 <
< k2 < k3 \leq r 3, k4 = r guaranteeing the existence of an (r 2)-monotone function x on the half line such that
\| x(ki)\| \infty = Mki , i = 1, 2, 3, 4. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. Р. Бондаренко, О. В. Коваленко (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
ПРО ЗАЛЕЖНIСТЬ МIЖ НОРМОЮ КРАТНО МОНОТОННОЇ ФУНКЦIЇ
I НОРМАМИ ЇЇ ПОХIДНИХ
We establish necessary and sufficient conditions for a system of positive numbers Mk1 , Mk2 , Mk3 , Mk4 , 0 = k1 <
< k2 < k3 \leq r - 3, k4 = r guaranteeing the existence of an (r - 2)-monotone function x on the half line such that
\| x(ki)\| \infty = Mki , i = 1, 2, 3, 4.
Найдены необходимые и достаточные условия на систему положительных чисел Mk1 ,Mk2 ,Mk3 ,Mk4 , 0 = k1 <
< k2 < k3 \leq r - 3, k4 = r, гарантирующие существование (r - 2)-монотонной на полуоси функции x такой, что
\| x(ki)\| \infty = Mki , i = 1, 2, 3, 4.
1. Вступ. Нехай G позначає дiйсну пряму \BbbR = ( - \infty ,\infty ) або недодатну пiввiсь \BbbR - = ( - \infty , 0],
а L\infty (G) — простiр усiх вимiрних суттєво обмежених функцiй x : G\rightarrow \BbbR зi звичайною нормою
\| \cdot \| = \| \cdot \| L\infty (G). Для r \in \BbbN через Lr
\infty (G) будемо позначати простiр усiх функцiй x : G\rightarrow \BbbR ,
якi мають локально абсолютно неперервну похiдну порядку r - 1, x(0) = x (у випадку, коли
G = \BbbR - , ми розглядаємо односторонню похiдну в точцi x = 0) i такi, що x(r) \in L\infty (G).
Покладемо Lr
\infty ,\infty (G) := Lr
\infty (G) \cap L\infty (G).
А. М. Колмогоров (див. [7]) сформулював таку задачу.
Задача Колмогорова. Нехай задано деякий клас функцiй X \subset Lr
\infty ,\infty (G) i систему d цiлих
чисел 0 \leq k1 < k2 < . . . < kd \leq r. Задача полягає у знаходженнi необхiдних та достатнiх
умов на додатнi числа Mk1 ,Mk2 , . . . ,Mkd для того, щоб гарантувати iснування функцiї x \in X
такої , що \bigm\| \bigm\| x(ki)\bigm\| \bigm\| =Mki , i = 1, . . . , d.
Повний розв’язок цiєї задачi для трьох чисел (випадок d = 3 i k3 = r) i класу Lr
\infty ,\infty (\BbbR )
знайшов А. М. Колмогоров (розв’язки в частинних випадках випливали з робiт [5, 4]).
Для заданих r,m \in \BbbN , m \leq r, позначимо через Lr,m
\infty ,\infty (\BbbR - ) клас функцiй x \in Lr
\infty ,\infty (\BbbR - ),
якi є невiд’ємними разом зi своїми похiдними до порядку m включно. Будемо називати цей
клас класом m-монотонних функцiй.
Розв’язки задачi Колмогорова на класах кратно монотонних функцiй отримано у таких
випадках:
1) X = Lr,r - 1
\infty ,\infty (\BbbR - ) i k1 = 0 < k2 < k3 = r (В. М. Олов’янiшнiков [11]);
2) X = Lr,r - 1
\infty ,\infty (\BbbR - ) i k1 = 0 < k2 < k3 = r - 1, k4 = r (М. Л. Ятцелев [14]);
3) X = Lr,r - 2
\infty ,\infty (\BbbR - ) i k1 = 0 < k2 < k3 = r (Ю. М. Субботiн, М. I. Черних [12] i, незалежно,
В. Ф. Бабенко, Ю. В. Бабенко [1]);
4) X = Lr,r
\infty ,\infty (\BbbR - ) i k1 = 0 < k2 < k3 < k4 = r (В. Ф. Бабенко, Ю. В. Бабенко [2]);
5) X = Lr,r - 1
\infty ,\infty (\BbbR - ) i k1 = 0 < k2 < k3 \leq r - 2, k4 = r (О. В. Коваленко [6]);
c\bigcirc А. Р. БОНДАРЕНКО, О. В. КОВАЛЕНКО, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7 867
868 А. Р. БОНДАРЕНКО, О. В. КОВАЛЕНКО
6) X = Lr,r
\infty ,\infty (\BbbR - ) i 0 \leq k1 < k2 < . . . < kd \leq r (В. Ф. Бабенко, Ю. В. Бабенко,
О. В. Коваленко [3]).
Iнформацiю щодо iнших вiдомих розв’язкiв задачi Колмогорова можна знайти у статтi [3].
Метою даної статтi є розв’язання задачi Колмогорова для системи додатних чисел Mk1 ,
Mk2 , Mk3 , Mk4 , 0 = k1 < k2 < k3 \leq r - 3, k4 = r i класу X = Lr,r - 2
\infty ,\infty (\BbbR - ).
2. Означення екстремальних функцiй. Нехай 0 \leq b < a. Визначимо функцiю \varphi (a, b; \cdot ) :
\BbbR - \rightarrow \BbbR таким чином. Якщо
a >
\surd
2b, (1)
то
\varphi (a, b; t) =
\left\{
0, t < - a,
t+ a, t \in [ - a, - b),
- t+ a - 2b, t \in [ - b, 0].
(2)
Якщо
4
3
b < a \leq
\surd
2b, (3)
то
\varphi (a, b; t) =
\left\{
0, t < - a,
t+ a, t \in [ - a, - b),
- t+ a - 2b, t \in [ - b, - c),
t+ a - 2b+ 2c, t \in [ - c, 0],
(4)
де c =
\sqrt{}
b2 - a2
2
. Нарештi у випадку, коли
a \leq 4
3
b, (5)
покладемо
\varphi (a, b; t) =
\left\{
0, t < - a,
t+ a, t \in [ - a, - b),
- t+ a - 2b, t \in [ - b, - 3b+ 2a),
t+ 4b - 3a, t \in [ - 3b+ 2a, - 4b+ 3a),
0, t \in [ - 4b+ 3a, 0].
(6)
Деякi властивостi введених функцiй мiстяться у наступнiй лемi.
Лема 1. Нехай задано числа 0 \leq b < a. Тодi для функцiї \varphi (a, b), означеної вище, справ-
джуються такi властивостi:
1) \varphi (a, b) є абсолютно неперервною i має компактний носiй, що мiститься в [ - a, 0];
2) \| \varphi \prime (a, b; \cdot )\| = 1;
3)
\int t
- \infty
\varphi (a, b; s)ds \geq 0 для всiх t \in \BbbR - ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ПРО ЗАЛЕЖНIСТЬ МIЖ НОРМОЮ КРАТНО МОНОТОННОЇ ФУНКЦIЇ I НОРМАМИ ЇЇ ПОХIДНИХ 869
4) якщо виконується нерiвнiсть (3), то
\int 0
- \infty
\varphi (a, b; s)ds = 0, а якщо виконується нерiв-
нiсть (5), то
\int - 4b+3a
- \infty
\varphi (a, b; s)ds = 0.
Властивостi 1 та 2 випливають з означення функцiї \varphi (a, b; \cdot ). У випадку, коли числа a i b
пов’язанi нерiвнiстю (5), властивостi 3 та 4 випливають iз формули (6).
Нехай виконується нерiвнiсть (1). Якщо \varphi (a, b; 0) \geq 0, то властивiсть 3 виконується внаслi-
док невiд’ємностi \varphi (a, b) в усiх точках. В iншому випадку достатньо показати, що властивiсть 3
виконується при t = 0. Безпосередньо обчислюючи iнтеграл, отримуємо
0\int
- \infty
\varphi (a, b; s)ds =
1
2
\bigl(
(a - b)2 - (a - 2b)2 + (a - b)2
\bigr)
=
1
2
\bigl(
a2 - 2b2
\bigr)
> 0.
Нехай тепер виконується нерiвнiсть (3). Тодi 2b - a > 0, а отже,
\varphi (a, b; 0) = a - 2b+ 2c \leq 0 \Leftarrow \Rightarrow 4c2 \leq (2b - a)2 \Leftarrow \Rightarrow 3a \geq 4b.
Таким чином, при виконаннi нерiвностi (3) маємо \varphi (a, b; 0) \leq 0, a тому за означенням (4)
функцiя \varphi (a, b; \cdot ) змiнює знак рiвно один раз (причому з плюса на мiнус). Це означає, що в
цьому випадку властивiсть 3 є наслiдком вiдповiдної частини властивостi 4. Безпосередньо
обчислюючи iнтеграл, одержуємо
2
0\int
- \infty
\varphi (a, b; s)ds = (a - b)2 - (a+ c - 2b)2 + (a - b)2 + (a - 2b+ 2c)2 -
- (a+ c - 2b)2 = 2(a - b)2 + (a - 2b+ 2c)2 - 2(a+ c - 2b)2 = 2a2 - 4ab+
+2b2 + a2 + 4b2 + 4c2 - 4ab+ 4ac - 8bc - 2a2 - 2c2 - 8b2 - 4ac+ 8ab+
+8bc = a2 - 2b2 + 2c2 = 0.
Лему доведено.
Нехай тепер задано числа l > 0 i a > b \geq 0. Покладемо \varphi 1(a, b, l; t) := l\varphi (a, b; t). Для r \in \BbbN ,
r \geq 2, покладемо \varphi r(a, b, l; t) :=
\int t
- \infty
\varphi r - 1(a, b, l; s)ds. За лемою 1 \varphi r(a, b, l; t) \in Lr,r - 2
\infty ,\infty (\BbbR - ),
\varphi r(a, b, l; t) = 0 при всiх t \leq - a, \varphi (r - 1)
r (a, b, l; t) = l\varphi (a, b; t), а отже,
\bigm\| \bigm\| \varphi (r)
r (a, b, l)
\bigm\| \bigm\| = l. Крiм
того, у випадку, коли виконується нерiвнiсть (3), маємо
\varphi (r - 2)
r (a, b, l; 0) = 0, (7)
а у випадку, коли виконується нерiвнiсть (5),
\varphi (r - 2)
r (a, b, l; t) = 0, t \in [ - 4b+ 3a, 0]. (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
870 А. Р. БОНДАРЕНКО, О. В. КОВАЛЕНКО
3. Основна екстремальна властивiсть. Справедливою є наступна лема.
Лема 2. Нехай задано функцiю x \in Lr,r - 2
\infty ,\infty (\BbbR - ) i цiлi числа 0 \leq k1 < k2 < k3 \leq r - 3,
k4 = r. Нехай числа l > 0, a > b \geq 0 такi, що\bigm\| \bigm\| x(ki)\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \varphi (ki)
r (a, b, l)
\bigm\| \bigm\| , i = 2, 3, 4. (9)
Тодi \bigm\| \bigm\| x(k1)\bigm\| \bigm\| \geq
\bigm\| \bigm\| \varphi (k1)
r (a, b, l)
\bigm\| \bigm\| . (10)
Якщо в нерiвностi (10) має мiсце знак рiвностi, то x(k1) \equiv \varphi
(k1)
r (a, b, l).
Без зменшення загальностi можемо вважати, що \| x(r)\| = 1 i l = 1. Для бiльш короткого
запису далi в доведеннi леми будемо писати \varphi r(t) замiсть \varphi r(a, b, l; t).
Припустимо супротивне, тобто функцiї x(k1) i \varphi (k1)
r не є тотожно рiвними i має мiсце
нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| x(k1)\bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| \varphi (k1)
r
\bigm\| \bigm\| . Покладемо \delta (t) := x(t) - \varphi r(t).
На пiдставi припущення i належностi x, \varphi r \in Lr,r - 2
\infty ,\infty (\BbbR - ) отримуємо \delta (k1)(0) = x(k1)(0) -
- \varphi
(k1)
r (0) =
\bigm\| \bigm\| x(k1)\bigm\| \bigm\| - \bigm\| \bigm\| \varphi (k1)
r
\bigm\| \bigm\| \leq 0. Крiм того, за означенням функцiй \varphi r \delta
(k1)( - a) \geq 0. Це
означає, що iснує точка - a < t1k1+1 < 0 така, що \delta (k1+1)(t1k1+1) < 0. Крiм цього, \delta (k1+1)( - a) \geq
\geq 0. Це означає, що iснує точка - a < t1k1+2 < 0 така, що \delta (k1+2)(t1k1+2) < 0.
Повторюючи аналогiчнi мiркування, переконуємося, що iснує точка - a < t1k2 < 0 така,
що \delta (k2)(t1k2) < 0. Крiм того, \delta (k2)( - a) \geq 0 i на пiдставi (9) \delta (k2)(0) = 0. Це означає, що
iснують точки - a < t1k2+1 < t2k2+1 < 0 такi, що \delta (k2+1)(t1k2+1) < 0 i \delta (k2+1)(t2k2+1) > 0. Окрiм
того, \delta (k2+1)( - a) \geq 0. Повторюючи аналогiчнi мiркування, переконуємося, що iснують точки
- a < t1k3 < t2k3 < 0 такi, що \delta (k3)(t1k3) < 0 i \delta (k3)(t2k3) > 0. Крiм цього, \delta (k3)( - a) \geq 0 i на
пiдставi (9) \delta (k3)(0) = 0. Це означає, що iснують точки - a < t1k3+1 < t2k3+1 < t3k3+1 < 0
такi, що \delta (k3+1)(t1k3+1) < 0, \delta (k3+1)(t2k3+1) > 0 i \delta (k3+1)(t3k3+1) < 0. I так далi, iснують точки
- a < t1r - 2 < t2r - 2 < t3r - 2 < 0 такi, що \delta (r - 2)(t1r - 2) < 0, \delta (r - 2)(t2r - 2) > 0 i \delta (r - 2)(t3r - 2) < 0.
Оскiльки \delta (r - 2)( - a) \geq 0, то iснують точки
- a < t1r - 1 < t1r - 2 < t2r - 1 < t2r - 2 < t3r - 1 < t3r - 2,
якi задовольняють властивостi
\delta (r - 2)(t1r - 1) = 0, \delta (r - 1)(t1r - 1) < 0,
\delta (r - 2)(t2r - 1) = 0, \delta (r - 1)(t2r - 1) > 0, (11)
\delta (r - 2)(t3r - 1) = 0, \delta (r - 1)(t3r - 1) < 0.
Розглянемо три випадки.
Випадок 1. Нехай виконується нерiвнiсть (1). На пiдставi (9) при i = 4 i означення функцiї
\varphi (a, b, \cdot ) (2) приходимо до висновку, що функцiя \delta (r - 1) не може змiнювати знак iз мiнуса на
плюс на iнтервалi ( - a, - b). Тому t2r - 1 > - b. Але тодi згiдно з (11) на промiжку ( - b, 0] функцiя
\delta (r - 1) змiнює знак iз плюса на мiнус, що також неможливо.
Випадок 2. Нехай виконується нерiвнiсть (3). Як i у першому випадку, можна довести, що
t2r - 1 /\in ( - a, - b), тому t2r - 1 \in ( - b, 0); крiм того, t3r - 1 /\in ( - b, - c), a отже, t3r - 1 \in ( - c, 0).
На пiдставi (9) при i = 4 i означення функцiї \varphi (a, b, \cdot ) (4) приходимо до висновку, що
функцiя \delta (r - 1) не може змiнювати знак iз мiнуса на плюс на iнтервалi ( - c, 0). Це означає,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ПРО ЗАЛЕЖНIСТЬ МIЖ НОРМОЮ КРАТНО МОНОТОННОЇ ФУНКЦIЇ I НОРМАМИ ЇЇ ПОХIДНИХ 871
що для всiх t \in (t3r - 1, 0) виконується \varphi
(r - 1)
r (t) > x(r - 1)(t). Але тодi згiдно з останнiм зi
спiввiдношень (11) i рiвнiстю (7) маємо
x(r - 2)(0) - x(r - 2)(t3r - 1) =
0\int
t3r - 1
x(r - 1)(s)ds <
0\int
t3r - 1
\varphi (r - 1)
r (s)ds =
= \varphi (r - 2)
r (0) - \varphi (r - 2)
r (t3r - 1) = - \varphi (r - 2)
r (t3r - 1) = - x(r - 2)(t3r - 1).
Тому x(r - 2)(0) < 0, а це суперечить тому, що x \in Lr,r - 2
\infty ,\infty (\BbbR - ).
Випадок 3. Нехай виконується нерiвнiсть (5). Як i у першому випадку, можна довести,
що t3r - 1 /\in ( - a, 2a - 3b), a тому t3r - 1 \in (2a - 3b, 0). Крiм того, як у другому випадку, можна
довести, що t3r - 1 /\in (2a - 3b, 3a - 4b), а отже, t3r - 1 \in (3a - 4b, 0).
Тодi за означенням функцiї \varphi (a, b) (6)
\varphi (r - 2)
r (t3r - 1) = \varphi (r - 1)
r (t3r - 1) = 0.
З останнього зi спiввiдношень (11) маємо x(r - 2)(t3r - 1) = 0 i x(r - 1)(t3r - 1) < 0. Але внаслiдок
неперервностi функцiї x(r - 1) функцiя x(r - 2) спадає в деякому околi точки t3r - 1, а отже, набуває
вiд’ємних значень. Це суперечить тому, що x \in Lr,r - 2
\infty ,\infty (\BbbR - ).
Лему доведено.
4. Деякi допомiжнi результати.
Лема 3. Нехай задано числа a1 > a2 > b \geq 0 i l > 0. Тодi для всiх 0 \leq k \leq r - 3\bigm\| \bigm\| \varphi (k)
r (a1, b, l)
\bigm\| \bigm\| > \bigm\| \bigm\| \varphi (k)
r (a2, b, l)
\bigm\| \bigm\| .
Достатньо довести, що
\varphi (r - 2)
r (a1, b, l; t) \geq \varphi (r - 2)
r (a2, b, l; t) (12)
для всiх t \in [ - a1, 0], тому що з цiєї нерiвностi буде випливати нерiвнiсть \varphi
(k)
r (a1, b, l; t) >
> \varphi
(k)
r (a2, b, l; t) для всiх t \in ( - a1, 0] i k = 0, 1, . . . , r - 3.
Покладемо
\delta (t) := \varphi (r - 1)
r (a1, b, l; t) - \varphi (r - 1)
r (a2, b, l; t) = l
\bigl(
\varphi (a1, b; t) - \varphi (a2, b; t)
\bigr)
.
Якщо a2 >
\surd
2b (тобто для чисел a2 i b виконується нерiвнiсть (1) i функцiя \varphi (a2, b) ви-
значається за допомогою (2)), то a1 >
\surd
2b, а тому \delta (t) > 0 на ( - a1, 0]. Звiдси випливає
нерiвнiсть (12).
Якщо a2 \leq
\surd
2b, то згiдно з (7) i (8) маємо \varphi
(r - 2)
r (a2, b, l, 0) = 0. Крiм того, з побудови
функцiй \varphi (a, b) випливає, що функцiя \delta не може мати бiльше однiєї змiни знака (i якщо змiна
знака є, то вона з плюса на мiнус). Отже, для функцiї \Delta (t) := \varphi
(r - 2)
r (a1, b, l; t) - \varphi (r - 2)
r (a2, b, l; t)
маємо \Delta ( - a1) = 0 i \Delta (0) \geq 0. На пiдставi викладеного вище щодо \delta = \Delta \prime отримуємо
невiд’ємнiсть функцiї \Delta , тобто справедливiсть (12).
Лему доведено.
Наступну лему можна довести, використавши мiркування, аналогiчнi доведенню леми 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
872 А. Р. БОНДАРЕНКО, О. В. КОВАЛЕНКО
Лема 4. Нехай задано функцiю x \in Lr,r - 2
\infty ,\infty (\BbbR - ) i цiлi числа 0 \leq k1 < k2 \leq r - 3, k3 = r.
Нехай числа l > 0, a > 0 такi, що\bigm\| \bigm\| x(ki)\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \varphi (ki)
r (a, 0, l)
\bigm\| \bigm\| , i = 2, 3.
Тодi
\bigm\| \bigm\| x(k1)\bigm\| \bigm\| \geq
\bigm\| \bigm\| \varphi (k1)
r (a, 0, l)
\bigm\| \bigm\| .
Зауважимо, що для всiх a, l > 0 i t \in \BbbR -
\varphi r(a, 0, l; t) =
l
r!
(t+ a)r+, (13)
де для дiйсного t покладено t+ := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ t, 0\} .
Справедливою є наступна лема, яка дає точну нерiвнiсть типу Колмогорова для класу
(r - 2)-монотонних функцiй.
Лема 5. Нехай задано функцiю x \in Lr,r - 2
\infty ,\infty (\BbbR - ) i цiлi числа 0 \leq k1 < k2 \leq r - 3, k3 = r.
Тодi \bigm\| \bigm\| x(k1)\bigm\| \bigm\| \geq (r - k2)!
r - k1
r - k2
(r - k1)!
\bigm\| \bigm\| x(k2)\bigm\| \bigm\| r - k1
r - k2
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| k1 - k2
r - k2 .
Нерiвнiсть перетворюється в рiвнiсть на функцiях \varphi (a, 0, l), a, l > 0.
Враховуючи (13), отримуємо
\bigm\| \bigm\| \varphi (r)
r (a, 0, l)
\bigm\| \bigm\| = l,
\bigm\| \bigm\| \varphi (k1)
r (a, 0, l)
\bigm\| \bigm\| = \varphi
(k1)
r (a, 0, l; 0) = l
ar - k1
(r - k1)!
,\bigm\| \bigm\| \varphi (k2)
r (a, 0, l)
\bigm\| \bigm\| = l
ar - k2
(r - k2)!
. Тодi
(r - k2)!
r - k1
r - k2
(r - k1)!
\| \varphi (k2)
r (a, 0, l)\|
r - k1
r - k2 \| \varphi (r)
r (a, 0, l)\|
k1 - k2
r - k2 =
=
(r - k2)!
r - k1
r - k2
(r - k1)!
\biggl(
l
ar - k2
(r - k2)!
\biggr) r - k1
r - k2
l
k1 - k2
r - k2 = l
ar - k1
(r - k1)!
=
\bigm\| \bigm\| \varphi (k1)
r (a, 0, l)
\bigm\| \bigm\| ,
i твердження про те, що функцiї \varphi r(a, 0, l) перетворюють нерiвнiсть у рiвнiсть, доведено.
Покладемо
a =
\Biggl(
(r - k2)!\| x(k2)\|
\| x(r)\|
\Biggr) 1
r - k2
, l =
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| .
Тодi для i = 2, 3 виконуються рiвностi
\bigm\| \bigm\| x(ki)\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \varphi (ki)(a, 0, l)
\bigm\| \bigm\| . Використовуючи лему 4,
отримуємо \bigm\| \bigm\| x(k1)\bigm\| \bigm\| \geq
\bigm\| \bigm\| \varphi (k1)
r (a, 0, l)
\bigm\| \bigm\| =
=
(r - k2)!
r - k1
r - k2
(r - k1)!
\bigm\| \bigm\| \varphi (k2)
r (a, 0, l)
\bigm\| \bigm\| r - k1
r - k2
\bigm\| \bigm\| \varphi (r)
r (a, 0, l)
\bigm\| \bigm\| k1 - k2
r - k2 =
=
(r - k2)!
r - k1
r - k2
(r - k1)!
\bigm\| \bigm\| x(k2)\bigm\| \bigm\| r - k1
r - k2
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| k1 - k2
r - k2 .
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ПРО ЗАЛЕЖНIСТЬ МIЖ НОРМОЮ КРАТНО МОНОТОННОЇ ФУНКЦIЇ I НОРМАМИ ЇЇ ПОХIДНИХ 873
5. Iснування екстремальних функцiй iз заданими нормами похiдних.
Лема 6. Нехай задано цiлi числа 0 \leq k1 < k2 \leq r - 3, k3 = r i додатнi числа Mk1 , Mk2 ,
Mr такi, що виконується нерiвнiсть
Mk1 \geq (r - k2)!
r - k1
r - k2
(r - k1)!
M
r - k1
r - k2
k2
M
k1 - k2
r - k2
r .
Тодi iснують такi числа l > 0, a > b \geq 0, що виконуються рiвностi
\| \varphi (ki)
r (a, b, l)\| =Mki , i = 1, 2, 3. (14)
Можна вважати, що Mr = l = 1, i замiсть \varphi r(a, b, 1) будемо писати \varphi r(a, b).
Для кожного b \geq 0 iснує число a = a(b) таке, що\bigm\| \bigm\| \varphi (k2)
r (a(b), b)
\bigm\| \bigm\| =Mk2 . (15)
Дiйсно, при фiксованому b \psi (a) :=
\bigm\| \bigm\| \varphi (k2)
r (a, b)
\bigm\| \bigm\| є неперервною функцiєю змiнної a. Крiм
того, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}a\rightarrow b+0 \psi (a) = 0, а отже, при a, достатньо близькому до b,
\psi (a) < Mk2 . (16)
Спрямуємо тепер a до \infty . Тодi виконується нерiвнiсть (1), а отже, функцiя \varphi (a, b) має
вигляд (2). Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
a\rightarrow \infty
\psi (a) = \infty . (17)
З (16) i (17) та неперервностi функцiї \psi випливає, що iснує число a = a(b) таке, що
\psi (a(b)) =Mk2 . Крiм того, з леми 3 випливає, що таке число єдине. Таким чином, на промiжку
[0,\infty ) ми визначили функцiю a(b) таку, що для всiх b \geq 0 виконується рiвнiсть (15). При цьому
функцiя a(b) є неперервною внаслiдок неперервної залежностi
\bigm\| \bigm\| \varphi (k2)
r (a, b)
\bigm\| \bigm\| вiд a, b i леми 3.
Покажемо, що iснує b \geq 0 таке, що виконується\bigm\| \bigm\| \varphi (k1)
r (a(b), b)
\bigm\| \bigm\| =Mk1 .
Покладемо \eta (b) :=
\bigm\| \bigm\| \varphi (k1)
r (a(b), b)
\bigm\| \bigm\| . За лемою 5 \eta (0) =
(r - k2)!
r - k1
r - k2
(r - k1)!
M
r - k1
r - k2
k2
M
k1 - k2
r - k2
r , а отже, на
пiдставi умови леми
\eta (0) \leq Mk1 . (18)
Покажемо, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
b\rightarrow \infty
\eta (b) = \infty . (19)
Оскiльки виконується рiвнiсть (15), то величина \| \varphi (k2)
r (a(b), b)\| обмежена, а отже, за визначен-
ням функцiй \varphi (a, b, l; t) величина a(b) - b є обмеженою. Тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
b\rightarrow +\infty
(3a(b) - 4b) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
b\rightarrow +\infty
(4(a(b) - b) - a(b)) = - \infty . (20)
Крiм того, оскiльки величина a(b) - b обмежена, то при достатньо великих b виконується
нерiвнiсть (5). Тому при достатньо великих b функцiя \varphi (a, b) має вигляд (6), а отже, звужен-
ня p(b; t) функцiї \varphi (a(b), b; t) на вiдрiзок [3a - 4b, 0] є полiномом степеня r - 2. Крiм того,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
874 А. Р. БОНДАРЕНКО, О. В. КОВАЛЕНКО
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [ - 4b+3a;0]
\bigm| \bigm| p(k2)(b; t)\bigm| \bigm| = p(k2)(b; 0) =Mk2 > 0. (21)
Тепер, застосовуючи нерiвнiсть Маркова для алгебраїчних полiномiв (див. [9, 10]) i враховую-
чи (20), (21), отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
b\rightarrow \infty
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [ - 4b+3a;0]
\bigm| \bigm| p(k1)(b; t)\bigm| \bigm| = \infty .
Звiдси випливає справедливiсть (19). Залишилось врахувати (18), (19) i неперервнiсть функцiї \eta .
Лему доведено.
Зауваження. При виконаннi умов леми 6 покладемо
\Phi (Mk1 ,Mk2 ,Mk3 ; t) = \phi (a, b, l; t), (22)
де числа a, b, l вибрано так, щоб виконувались рiвностi (14).
6. Розв’язок задачi Колмогорова.
Теорема. Нехай задано цiлi числа 0 = k1 \leq k2 < k3 \leq r - 3, k4 = r i додатнi числа Mk1 ,
Mk2 , Mk3 , Mk4 . Iснує функцiя x \in Lr,r - 2
\infty ,\infty (\BbbR - ) така, що
\| x(ki)(a, b, l)\| =Mki , i = 1, 2, 3, 4, (23)
тодi i тiльки тодi, коли виконуються нерiвностi
Mk2 \geq (r - k3)!
r - k2
r - k3
(r - k2)!
M
r - k2
r - k3
k3
M
k2 - k3
r - k3
r (24)
i
Mk1 \geq
\bigm\| \bigm\| \Phi (Mk2 ,Mk3 ,Mr)
\bigm\| \bigm\| , (25)
де \Phi (Mk1 ,Mk2 ,Mk3 ; t) визначено в (22).
Доведення. Необхiднiсть. Нехай x \in Lr,r - 2
\infty ,\infty (\BbbR - ) i виконуються рiвностi (23). Тодi для
чисел Mk2 , Mk3 , Mk4 за лемою 5 виконується нерiвнiсть (24). За лемою 6 iснують числа
a, b, l > 0 такi, що
\| \varphi (ki)(a, b, l)\| =Mki , i = 2, 3, 4.
Отже, за лемою 2
\bigm\| \bigm\| \Phi (Mk2 ,Mk3 ,Mr)
\bigm\| \bigm\| = \| \varphi (a, b, l)\| \leq \| x\| . З цього випливає (25).
Достатнiсть. При виконаннi умов (24), (25) достатньо розглянути функцiю x = \Phi (Mk2 ,Mk3 ,
Mr) +Mk1 -
\bigm\| \bigm\| \Phi (Mk2 ,Mk3 ,Mr)
\bigm\| \bigm\| \in Lr,r - 2
\infty ,\infty (\BbbR - ). Для неї виконуються рiвностi (23).
Теорему доведено.
Лiтература
1. Babenko V., Babenko Yu. The Kolmogorov inequalities for multiply monotone functions defined on a half-line // East
J. Approxim. – 2005. – 11, № 2. – P. 169 – 186.
2. Babenko V., Babenko Yu. On the Kolmogorov’s problem for the upper bounds of four consecutive derivatives of a
multiply monotone function // Constr. Approxim. – 2007. – 26, № 1. – P. 83 – 92.
3. Babenko V., Babenko Yu., Kovalenko O. Kolmogorov’s problem on the class of multiply monotone functions // Adv.
Math. – 2015. – 280. – P. 256 – 281.
4. Боссе Ю. К. (Шилов Г. Е.) О неравенствах между производными // Сб. работ студ. науч. кружков Моск. ун-та. –
1937. – C. 17 – 27.
5. Hadamard J. Sur le maximum d’une fonction et de ses derivees // C. R. Math. Acad. Sci. Soc. France. – 1914. –
41. – P. 68 – 72.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ПРО ЗАЛЕЖНIСТЬ МIЖ НОРМОЮ КРАТНО МОНОТОННОЇ ФУНКЦIЇ I НОРМАМИ ЇЇ ПОХIДНИХ 875
6. Коваленко О. В. Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций // Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2013. – 10, № 1. – С. 140 – 147.
7. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных произвольных функций на
бесконечном интервале // Избр. тр. Математика, механика. – М.: Наука, 1985. – С. 252 – 263.
8. Landau E. Einige Ungleichungen fur zweimal differenzierbare Funktion // Proc. London Math. Soc. – 1913. – 13. –
P. 43 – 49.
9. Марков В. А. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке. – СПб, 1892.
10. Марков A. А. Об одном вопросе Д. И. Менделеева // Изв. Петербург. академии наук. –1889. – 62. – С. 1 – 24.
11. Оловянишников В. М. О неравенствах для верхних граней последовательностей производных на полуоси //
Успехи мат. наук. – 1951. – 42, № 2. – С. 167 – 170.
12. Субботин Ю. Н., Черных Н. И. Неравенства для производных монотонных функций // Приближение функций.
Теор. и прикл. аспекты: Сб. ст., посвящ. памяти проф. А. В. Ефимова. — М.: Моск. ин-т электрон. техники,
2003. – С. 199 – 211.
13. Schoenberg I. J., Cavaretta A. Solution of Landau’s problem, concerning higher derivatives on half line // M. R. C.
Techn. Summary Rept. – 1970.
14. Ятцелев М. Л. Неравенство между четырьмя верхними гранями последовательных производных на полупря-
мой // Вiсн. Днiпропетр. нац. ун-ту. Сер. Математика. – 1999. – 4. – С. 106 – 111.
Одержано 08.09.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1601 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:53Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8b/c2496b8c4d6cbc99ff15546325b3fc8b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16012019-12-05T09:20:38Z On the dependence of the norm of a multiply monotone function on the norms of its derivatives Про залежність між нормою кратно монотонної функції і нормами її похідних Bondarenko, A. R. Kovalenko, O. V. Бондаренко, А. Р. Коваленко, О. В. We establish necessary and sufficient conditions for a system of positive numbers Mk1 , Mk2 , Mk3 , Mk4 , 0 = k1 < < k2 < k3 \leq r 3, k4 = r guaranteeing the existence of an (r 2)-monotone function x on the half line such that \| x(ki)\| \infty = Mki , i = 1, 2, 3, 4. Найдены необходимые и достаточные условия на систему положительных чисел $M_{k_1} ,M_{k_2}, M_{k_3}, M_{k_4} , 0 = k_1 < < k_2 < k_3 \leq r - 3, k_4 = r$, гарантирующие существование $(r_2)$-монотонной на полуоси функции x такой, что $\| x(k_i)\| \infty = M_{k_i} , i = 1, 2, 3, 4$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1601 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 7 (2018); 867-875 Український математичний журнал; Том 70 № 7 (2018); 867-875 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1601/583 Copyright (c) 2018 Bondarenko A. R.; Kovalenko O. V. |
| spellingShingle | Bondarenko, A. R. Kovalenko, O. V. Бондаренко, А. Р. Коваленко, О. В. On the dependence of the norm of a multiply monotone function on the norms of its derivatives |
| title | On the dependence of the norm of a multiply monotone
function on the norms of its derivatives |
| title_alt | Про залежність між нормою кратно монотонної функції
і нормами її похідних |
| title_full | On the dependence of the norm of a multiply monotone
function on the norms of its derivatives |
| title_fullStr | On the dependence of the norm of a multiply monotone
function on the norms of its derivatives |
| title_full_unstemmed | On the dependence of the norm of a multiply monotone
function on the norms of its derivatives |
| title_short | On the dependence of the norm of a multiply monotone
function on the norms of its derivatives |
| title_sort | on the dependence of the norm of a multiply monotone
function on the norms of its derivatives |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1601 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkoar onthedependenceofthenormofamultiplymonotonefunctiononthenormsofitsderivatives AT kovalenkoov onthedependenceofthenormofamultiplymonotonefunctiononthenormsofitsderivatives AT bondarenkoar onthedependenceofthenormofamultiplymonotonefunctiononthenormsofitsderivatives AT kovalenkoov onthedependenceofthenormofamultiplymonotonefunctiononthenormsofitsderivatives AT bondarenkoar prozaležnístʹmížnormoûkratnomonotonnoífunkcííínormamiíípohídnih AT kovalenkoov prozaležnístʹmížnormoûkratnomonotonnoífunkcííínormamiíípohídnih AT bondarenkoar prozaležnístʹmížnormoûkratnomonotonnoífunkcííínormamiíípohídnih AT kovalenkoov prozaležnístʹmížnormoûkratnomonotonnoífunkcííínormamiíípohídnih |