On boundary values of three-harmonic Poisson integral on the boundary of a unit disk
Let $C_0$ be a curve in a disk $D = \{ | z| < 1\}$ tangential to a circle at the point $z = 1$ and let $C_{\theta}$ be the result of rotation of this curve about the origin $z = 0$ by an angle \theta . We construct a bounded function $u(z)$ three-harmonic in $D$ with zero normal derivatives...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1602 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507413135753216 |
|---|---|
| author | Hembars'ka, S. B. Гембарська, С. В |
| author_facet | Hembars'ka, S. B. Гембарська, С. В |
| author_sort | Hembars'ka, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:20:38Z |
| description | Let $C_0$ be a curve in a disk $D = \{ | z| < 1\}$ tangential to a circle at the point $z = 1$ and let $C_{\theta}$ be the result of rotation
of this curve about the origin $z = 0$ by an angle \theta . We construct a bounded function $u(z)$ three-harmonic in $D$ with zero
normal derivatives $\cfrac{\partial u}{\partial n}$
and $\cfrac{\partial 2u}{\partial r_2}$
on the boundary such that the limit along $C_{\theta}$ does not exist for all $\theta , 0 \leq \theta \leq 2\pi $. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:08:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.944
С. Б. Гембарська (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк)
ПРО ГРАНИЧНI ЗНАЧЕННЯ ТРИГАРМОНIЧНОГО IНТЕГРАЛА ПУАССОНА
НА МЕЖI ОДИНИЧНОГО КРУГА
Let C0 be a curve in a disk D = \{ | z| < 1\} tangential to a circle at the point z = 1 and let C\theta be the result of rotation
of this curve about the origin z = 0 by an angle \theta . We construct a bounded function u(z) three-harmonic in D with zero
normal derivatives
\partial u
\partial n
and
\partial 2u
\partial r2
on the boundary such that the limit along C\theta does not exist for all \theta , 0 \leq \theta \leq 2\pi .
Пусть C0 — касательная кривая в круге D = \{ | z| < 1\} к окружности в точке z = 1 и C\theta — результат ее
вращения вокруг точки z = 0 на угол \theta . Построена ограниченная тригармоническая в D функция u(z) с нулевыми
производными
\partial u
\partial n
и
\partial 2u
\partial r2
на границе, для которой предел вдоль C\theta не существует для всех \theta , 0 \leq \theta \leq 2\pi .
1. Вступ. Питання про поведiнку аналiтичних (гармонiчних) у крузi функцiй, починаючи з
теореми П. Фату [1], активно дослiджувалось у двох напрямках. З одного боку, розширювалися
класи дослiджуваних функцiй, а з iншого – розглядалися рiзноманiтнi способи пiдходу до
межових точок областi.
Так, порiвняння дотичних i недотичних пiдходiв до межi круга D = \{ | z| < 1\} привело
Лiттлвуда [2] до формулювання твердження про те, що iснує обмежена гармонiчна функцiя
f \in D, для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| z| \rightarrow 1
z\in C\theta
f(z) (1)
не iснує майже для всiх \theta \in [0; 2\pi ], де C\theta одержується з довiльної дотичної кривої C0 в D
до кола в точцi z = 1 обертанням на кут \theta . В 1990 р. Х. Аiкава [3] довiв, що сформульоване
твердження має мiсце для всiх \theta \in [0; 2\pi ]. Зазначимо також, що трохи ранiше в роботi В. Й. Гор-
байчука [4] для класу бiгармонiчних в D функцiй, який визначається граничною функцiєю f
i нульовою нормальною похiдною, було показано, що такий клас функцiй не мiстить iнших
гармонiчних функцiй, крiм констант. Згодом в роботi [5] для згаданого класу функцiй було
встановлено iснування обмеженої бiгармонiчної функцiї h \in D такої, що границя (1) не iснує
для всiх \theta \in [0; 2\pi ].
Слiд зазначити, що одержанi в цьому напрямку результати знайшли застосування при дос-
лiдженнi апроксимативних властивостей бiгармонiчного iнтеграла Пуассона (див., наприклад,
[6 – 11]).
Таким чином, у зв’язку з результатами робiт [3, 5] природно виникає питання про те, чи
буде мати мiсце аналогiчне твердження для тригармонiчних в D функцiй. У цiй статтi буде
дано позитивну вiдповiдь на сформульоване питання.
2. Основний результат. Сформулюємо задачу Дiрiхле для тригармонiчного рiвняння в
такiй постановцi.
Знайти у крузi D функцiю
u = u(z) = u(rei\varphi ), 0 \leq r < 1, 0 \leq \varphi \leq 2\pi ,
яка є розв’язком тригармонiчного рiвняння \Delta 3u = 0 i задовольняє такi крайовi умови:
c\bigcirc С. Б. ГЕМБАРСЬКА, 2018
876 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ПРО ГРАНИЧНI ЗНАЧЕННЯ ТРИГАРМОНIЧНОГО IНТЕГРАЛА ПУАССОНА . . . 877
u| \partial D = g,
\partial u
\partial n
\partial D
= g1,
\partial 2u
\partial r2
\partial D
= g2.
Тут g, g1, g2 — функцiї, заданi на межi областi з певними властивостями, що забезпечують
iснування та єдинiсть розв’язку цiєї задачi.
Зазначимо, що сформульована задача Дiрiхле дослiджувалась i в бiльш загальнiй постанов-
цi, а саме, для випадкiв, коли замiсть круга D розглядалися гiперкулi простору Rn, n \geq 3,
n \in N (див., наприклад, [12 – 14]).
Що ж стосується цiєї задачi для одиничного круга D, то, як випливає з результату, одержа-
ного у [12], її розв’язком є функцiя вигляду
ug(\varphi , r) =
=
(1 - r2)3
8\pi
2\pi \int
0
4 - 9r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t) + 6r2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\varphi - t) - r3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t)
(r2 - 2r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t) + 1)3
g(eit)dt -
- (1 - r2)3
2\pi
2\pi \int
0
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t)
(r2 - 2r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t) + 1)2
g1(e
it)dt+
+
(1 - r2)3
4\pi
2\pi \int
0
g2(e
it)
r2 - 2r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t) + 1
dt, (2)
де g \in C2(\partial D), g1 \in C1(\partial D), g2 \in C(\partial D).
Якщо ж на одиничному колi g1 = g2 \equiv 0, то розв’язком вiдповiдної задачi Дiрiхле є
тригармонiчний iнтеграл Пуассона
ug(\varphi , r) =
=
(1 - r2)3
8\pi
2\pi \int
0
4 - 9r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t) + 6r2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\varphi - t) - r3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t)
(1 - 2r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t) + r2)3
g(eit)dt. (3)
Справедливим є таке твердження.
Теорема 1. Iснує обмежена тригармонiчна функцiя u(z) в D така, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| z| \rightarrow 1
z\in C\theta
u(z)
не iснує для всiх \theta , 0 \leq \theta \leq 2\pi .
Для доведення теореми нам знадобляться допомiжнi твердження.
Лема 1. Нехай m > \pi /2, 0 < c < 1 i \eta \in [0, 2\pi ]. Крiм того, g є вимiрною на [0, 2\pi ],
| g| \leq 1 на [0, 2\pi ] i g(\varphi ) = 0 для | \varphi - \eta | < mc. Тодi для всiх r, 1 - c \leq r < 1, справджується
оцiнка
\bigm| \bigm| ug(\eta , r)\bigm| \bigm| < 3
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 2
m - 1 +
1
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 4
m - 3 +
8
5\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 6
m - 5. (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
878 С. Б. ГЕМБАРСЬКА
Доведення. Запишемо тригармонiчне ядро Пуассона \widetilde P з iнтеграла (3) у виглядi
\widetilde P :=
(1 - r2)3
\biggl[
1
2
\bigl(
4 - 9r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t) + 6r2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\varphi - t) - r3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t)
\bigr) \biggr]
2 (1 - 2r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t) + r2)3
\equiv
\equiv 1 - r2
2
\biggl[
3(1 - r2)
4
P +
3 - 5r2
4
P 2 +
1 - r2
2
P 3
\biggr]
,
P =
1 - r2
1 - 2r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi - t) + r2
.
Тодi
1
2\pi
2\pi \int
0
g \widetilde Pd\varphi =
=
1 - r2
2
\left[ 1
2\pi
2\pi \int
0
3(1 - r2)
4
Pgd\varphi +
1
2\pi
2\pi \int
0
3 - 5r2
4
P 2gd\varphi +
1
2\pi
2\pi \int
0
1 - r2
2
P 3gd\varphi
\right] =
= I1 + I2 + I3. (5)
Для встановлення оцiнок зверху модулiв величин I1, I2 та I3 скористаємося вiдповiдними
оцiнками, одержаними в [3, 5], тобто
| I1| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - r2
2
1
2\pi
2\pi \int
0
3(1 - r2)
4
Pgd\varphi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 3
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 2
m - 1,
| I2| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - r2
2
1
2\pi
2\pi \int
0
3 - 5r2
4
P 2gd\varphi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 1
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 4
m - 3.
Далi, за умовою g(\varphi ) = 0 при | \varphi - \eta | < mc, i тому для | I3| будемо мати
| I3| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - r2
2
1
2\pi
2\pi \int
0
1 - r2
2
P 3gd\varphi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
(1 - r2)2
4
1
2\pi
\int
| \varphi - \eta | \geq mc
P 3gd\varphi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 4c5
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 6 \int
| \varphi - \eta | \geq mc
P 3g
d\varphi
| \varphi - \eta | 6
\leq 8
5\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 6
m - 5.
Пiдставивши встановленi оцiнки в (5), одержимо (4).
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай для сталої m > \pi /2 виконується нерiвнiсть
3
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 2
m - 1 +
1
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 4
m - 3 +
8
5\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 6
m - 5 \leq 1
4
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ПРО ГРАНИЧНI ЗНАЧЕННЯ ТРИГАРМОНIЧНОГО IНТЕГРАЛА ПУАССОНА . . . 879
Крiм того, 0 < c < 1, \eta \in [0, 2\pi ], g є вимiрною на [0, 2\pi ], | g| \leq 1 на [0, 2\pi ], g(\varphi ) = 1 при
умовi | \varphi - \eta | < mc. Тодi для 1 - c \leq r < 1 справджується оцiнка
ug(\eta , r) \geq
1
2
. (6)
Доведення. Легко перевiрити, що виконується рiвнiсть
ug(\eta , r) = 1 + 2u 1
2
(g - 1)(\eta , r). (7)
Дiйсно,
1 + 2u 1
2
(g - 1)(\eta , r) = 1 + 2 \cdot 1
2\pi
2\pi \int
0
1
2
(g - 1) \widetilde Pdt =
= 1 +
1
2\pi
2\pi \int
0
g \widetilde Pdt - 1
2\pi
2\pi \int
0
\widetilde Pdt.
Покажемо, що
1
2\pi
\int 2\pi
0
\widetilde Pdt = 1. Використавши зображення (5) для ядра \widetilde P , одержимо
1
2\pi
2\pi \int
0
\widetilde Pdt =
=
1 - r2
2
\left( 1
2\pi
2\pi \int
0
3(1 - r2)
4
Pdt+
1
2\pi
2\pi \int
0
3 - 5r2
4
P 2dt+
1
2\pi
2\pi \int
0
1 - r2
2
P 3dt
\right) = I4 + I5 + I6.
Застосувавши iнтегральну теорему Кошi, обчислимо I4, I5 та I6 :
I4 =
1 - r2
4\pi
2\pi \int
0
3(1 - r2)
4
Pdt =
3r4 - 6r2 + 3
8
,
I5 =
1 - r2
4\pi
2\pi \int
0
3 - 5r2
4
P 2dt =
3 - 2r2 - 5r4
8
,
I6 =
1 - r2
4\pi
2\pi \int
0
1 - r2
4
P 3dt =
2 + 8r2 + 2r4
8
.
Пiдставивши I4, I5 та I6 у рiвнiсть (6), одержимо
1
2\pi
\int 2\pi
0
\widetilde Pdt = 1.
Отже,
1 + 2u 1
2
(g - 1)(\eta , r) = 1 +
1
2\pi
2\pi \int
0
g \widetilde Pdt - 1 = ug(\eta , r).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
880 С. Б. ГЕМБАРСЬКА
Тому, застосувавши лему 1 до функцiї
1
2
(g - 1) при 1 - c \leq r < 1, отримаємо
u 1
2
(g - 1)(\eta , r) \geq - q,
де
q :=
3
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 2
m - 1 +
1
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 4
m - 3 +
8
5\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
m
\biggr) - 6
m - 5.
За умовою q \leq 1
4
, i тому з (7) випливає нерiвнiсть (6).
Лему 2 доведено.
Лема 3. Нехай 0 < \varepsilon <
1
4
i 0 < c < 1. Припустимо, що функцiя g є вимiрною на [0, 2\pi ],
| g| \leq 1 на [0, 2\pi ] i для всiх \eta \in [0, 2\pi ] виконується нерiвнiсть
c - 1
\int
| \varphi - \eta | <c
| g(\varphi )| d\varphi \leq \varepsilon .
Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| z| \leq 1 - c
| ug(\eta , r)| \leq m1
\surd
\varepsilon ,
де
m1 =
185
8\pi
+
3
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
2
\biggr) - 2
+
1
4\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
2
\biggr) - 4
+
1
10\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
2
\biggr) - 6
.
Доведення. Нехай r = 1 - c i rei\eta — довiльна точка на колi
\bigl\{
| z| = r
\bigr\}
. Запишемо функцiю
g у виглядi g = v1 + v2, де v1 = g\chi | \varphi - \eta | <c/
\surd
\varepsilon , \chi A — характеристична функцiя множини A.
Оцiнимо зверху на колi | z| = 1 - c величини | uv1(\eta , r)| i | uv2(\eta , r)| . Згiдно з рiвнiстю (5)
для функцiї v1 маємо
| uv1(\eta , r)| \leq
3(1 - r2)2
8
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12\pi
2\pi \int
0
v1Pd\varphi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + (1 - r2)(3 - 5r2)
8
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12\pi
2\pi \int
0
v1P
2d\varphi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
1 - r2
4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12\pi
2\pi \int
0
v1P
3d\varphi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Використавши вiдповiднi оцiнки, одержанi у роботах [3, 5], можемо записати
3(1 - r2)2
8
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12\pi
2\pi \int
0
v1Pd\varphi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 3(4c2 + c4)
4\pi
\surd
\varepsilon <
15
4\pi
\surd
\varepsilon , (8)
(1 - r2)(3 - 5r2)
8
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12\pi
2\pi \int
0
v1P
2d\varphi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 3(c2 + 4)
8\pi
\surd
\varepsilon <
15
8\pi
\surd
\varepsilon , (9)
1 - r2
4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12\pi
2\pi \int
0
v1P
3d\varphi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq (c2 + 4)(4 + 3c2)
2\pi
\surd
\varepsilon <
35
2\pi
\surd
\varepsilon . (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ПРО ГРАНИЧНI ЗНАЧЕННЯ ТРИГАРМОНIЧНОГО IНТЕГРАЛА ПУАССОНА . . . 881
Iз (8) – (10) випливає оцiнка
| uv1(\eta , r)| \leq
185
8\pi
\surd
\varepsilon .
Для встановлення оцiнки величини | uv2(\eta , r)| , застосувавши лему 1 з m = 1/
\surd
\varepsilon , одержимо
| uv2(\eta , r)| <
3
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
2
\biggr) - 2\surd
\varepsilon +
1
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
2
\biggr) - 4\surd
\varepsilon 3 +
8
5\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
2
\biggr) - 6\surd
\varepsilon 5.
Таким чином, на колi | z| = 1 - c справджуються спiввiдношення
| ug(\eta , r)| \leq | uv1(\eta , r)| + | uv2(\eta , r)| <
<
\Biggl(
185
8\pi
+
3
\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
2
\biggr) - 2
+
1
4\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
2
\biggr) - 4
+
1
10\pi
\biggl(
2
\pi
- 1
2
\biggr) - 6
\Biggr)
\surd
\varepsilon .
Тому на пiдставi довiльностi вибору r, 1 - c \leq r < 1, 0 < c < 1, можемо стверджувати, що
для розв’язкiв тригармонiчного рiвняння \Delta 3u = 0 у крузi | z| \leq 1 - c з неперервно диференцi-
йовними граничними умовами твердження леми є справедливим.
Лему 3 доведено.
Для того щоб сформулювати наступне твердження, наведемо необхiднi позначення з вiдпо-
вiдними коментарями.
Нехай Tz := \{ \theta | z \in C\theta \} — вiдображення точок множини D на [0, 2\pi ] \ni \theta . Tz := \varnothing , якщо
жодне C\theta , 0 \leq \theta \leq 2\pi , не мiстить z \in D. Якщо M \subset D, то рiвнiсть T (M) = [0, 2\pi ] є
справедливою тодi i тiльки тодi, коли крива C\theta , 0 \leq \theta \leq 2\pi , перетинає множину M. Нехай
\gamma — частина кривої C0, тодi \gamma \theta — це результат її обертання навколо початку координат на
кут \theta . При цих позначеннях \gamma = \gamma 0. Позначимо через T\gamma z :=
\bigl\{
\theta | z \in \gamma \theta
\bigr\}
множину значень
вiдображення T\gamma . Нехай \gamma \ast — радiальна проекцiя \gamma на \partial D. Оскiльки \gamma — зв’язна множина, то
\gamma \ast є круговим iнтервалом на \partial D або точкою. При цьому, якщо \gamma мiстить обидва свої кiнцi,
\gamma \ast є замкненим круговим iнтервалом або точкою. Нехай l(\gamma \ast ) — довжина \gamma \ast . Величина \gamma \ast є
скiнченною, хоча крива \gamma може бути неспрямлюваною.
У статтi [3] доведено, що коли \gamma є частиною кривої C0, яка з’єднує точки aei\alpha i bei\beta ,
0 < a < b < 1, то, поклавши
M(\eta ) = \{ rei\eta , a \leq r \leq b\} ,
переконаємося, що T\gamma (M(\eta )) — замкнений iнтервал довжини l(\gamma \ast ). Зокрема, якщо
\gamma \ast =
\Bigl\{
ei\theta , \theta 1 \leq \theta \leq \theta 2
\Bigr\}
,
то
T\gamma (M(\eta )) = [\eta - \theta 2, \eta - \theta 1] .
Лема 4 [5]. Для довiльного m > 1 можна вибрати послiдовнiсть дуг \gamma j кривої C0 з
такими властивостями:
1) \gamma j зв’язує aje
i\alpha j i bjei\beta j ;
2) якщо z \in \gamma j , то aj \leq | z| \leq bj ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
882 С. Б. ГЕМБАРСЬКА
3) l(\gamma \ast j ) > j2(1 - aj), де \gamma \ast j — радiальна проекцiя \gamma j на \partial D;
4) 0 < 1 - bj < 1 - aj <
1 - bj - 1
m
<
1 - aj - 1
m
.
Доведення теореми 1. Будемо користуватися схемою мiркувань, яка застосовувалась у ро-
ботах [3, 5] при побудовi гармонiчної функцiї h(z) i бiгармонiчної функцiї uf (\varphi , r) вiдповiдно.
Нехай m — стала, яка означена в лемi 2. Виберемо послiдовнiсть кривих \gamma j i чисел aj i bj ,
що задовольняють умови леми 4.
Позначимо через Mj(\eta ) радiальний лiнiйний сегмент \{ rei\eta , aj \leq r \leq bj\} . Тодi, застосу-
вавши лему 4 до \gamma = \gamma j i M(\eta ) = Mj(\eta ), одержимо, що T\gamma j (Mj(\eta )) — замкнений iнтервал
довжини l(\gamma \ast j ).
Нехай N — цiле число, що задовольняє умову
2\pi
l(\gamma \ast j )
\leq N < 1 +
2\pi
l(\gamma \ast j )
. (11)
Покладемо \eta k =
2\pi k
N
. Оскiльки
| \eta k - \eta k+1| =
2\pi
N
\leq l(\gamma \ast j ),
то [0; 2\pi ] =
N\bigcup
k=1
T\gamma j (Mj(\eta k)).
Далi, оскiльки T\gamma jz \subset Tz \forall z \in D, то T (Mj) = [0; 2\pi ], де Mj =
N\bigcup
k=1
Mj(\eta k). Нехай
Ik = [\eta k - m(1 - aj), \eta k +m(1 - aj)],
Ej =
N\bigcup
k=1
Ik, hj = \chi Ej .
Змiнюючи iндекс j, одержуємо деяку послiдовнiсть дуг \gamma j . Використовуючи (11) i властивiсть
3 леми 4, переконуємося, що для мiри множини Ej виконано умову
| Ej | < 2m
4\pi
j2
\rightarrow 0 для j \rightarrow \infty .
Тому, беручи послiдовнiсть дуг \gamma j вiдповiдним чином, можемо вважати, що
\infty \sum
j=1
| Ej | < \infty .
Використовуючи властивiсть 4 леми 4, маємо
l(Ik) < 2(1 - bj - 1).
Звiдси випливає, що якщо I — такий iнтервал на [0; 2\pi ], що l(I) = 2(1 - bj - 1), то кiлькiсть
iнтервалiв Ik, якi перетинають I, обмежена величиною
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ПРО ГРАНИЧНI ЗНАЧЕННЯ ТРИГАРМОНIЧНОГО IНТЕГРАЛА ПУАССОНА . . . 883
16(1 - bj - 1)
l(\gamma \ast j )
.
Отже, для довiльного \eta \in [0; 2\pi ] hj задовольняє нерiвнiсть
1
1 - bj - 1
\int
| \varphi - \eta | <1 - bj - 1
hj(\varphi )d\varphi \leq 32m
1 - aj
l(\gamma \ast j )
,
де m — стала, визначена в лемi 1.
Покладемо
32m
1 - aj
l(\gamma \ast j )
= \varepsilon > 0.
Внаслiдок обмеженостi m будемо мати, що \varepsilon \rightarrow \infty при j \rightarrow \infty . Тодi за лемою 3, покладаючи
c = 1 - bj - 1, для досить великих j при g = hj одержуємо оцiнку
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| z| \leq bj - 1
uhj (\varphi , r) \leq m1
\surd
32m
\sqrt{}
1 - aj
l(\gamma \ast j )
,
де m1 — стала, визначена в лемi 3.
Далi, мiркуючи, як у роботах [3, 5], остаточно отримуємо спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r=| z| \rightarrow 1
z\in C\theta
ug(\varphi , r) \leq - 1
4
<
1
4
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r=| z| \rightarrow 1
z\in C\theta
ug(\varphi , r)
для всiх \theta \in [0, 2\pi ].
Теорему 1 доведено.
Наступне твердження в певному сенсi доповнює теорему 1.
Теорема 2. У крузi D iснує необмежена тригармонiчна функцiя ug0(\varphi , r) така, що для
всiх \theta , 0 \leq \theta \leq 2\pi , справджується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| z| \rightarrow 1
z\in C\theta
ug0(\varphi , r) = \infty .
Доведення. Використаємо множини Ej , побудованi в [3]. Як зазначалося вище, для мiри
цих множин виконано умову | Ej | \rightarrow 0 при j \rightarrow \infty . Тодi шукану функцiю g0(\varphi ) вибираємо у
виглядi
g0(\varphi ) =
\infty \sum
j=j0
pj\chi Ej ,
де \{ pj\} — невiд’ємна послiдовнiсть така, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
pj = \infty ,
а j0 вибираємо настiльки великим, щоб | g0(\varphi )| \leq 1. Використовуючи лему 2, одержуємо таку
невiд’ємну тригармонiчну функцiю ug0(\varphi , r), для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| z| \rightarrow 1
z\in C\theta
ug0(\varphi , r) = \infty для всiх \theta \in [0, 2\pi ].
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
884 С. Б. ГЕМБАРСЬКА
Лiтература
1. Fatou P. Series trigonometriqes et series du Taylor // Acta Math. – 1906. – 30. – P. 335 – 400.
2. Littlewood J. E. On a theorem of Fatou // J. London Math. Soc. – 1927. – 2. – P. 172 – 176.
3. Aikawa H. Harmonic function having no tagnential limits // Proc. Amer. Math. Soc. – 1990. – 108, № 2. – P. 457 – 464.
4. Горбайчук В. И. Теорема Фату о граничном поведении производных в классе бигармонических функций //
Укр. мат. журн. – 1983. – 35, № 5. – С. 557 – 562.
5. Гембарська С. Б. Дотичнi граничнi значення бiгармонiчного iнтеграла Пуассона в крузi // Укр. мат. журн. –
1997. – 49, № 9. – С. 1171 – 1176.
6. Кальчук I. В., Харкевич Ю. I. Асимптотика величин наближення в середньому класiв диференцiйовних функцiй
за допомогою бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 8. – С. 1105 – 1115.
7. Харкевич Ю. I., Жигалло Т. В. Наближення функцiй iз класу \^C\psi \beta ,\infty бiгармонiчними операторами Пуассона в
рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 5. – С. 669 – 693.
8. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I . Наближення спряжених диференцiйовних функцiй бiгармонiчними iнтегралами
Пуассона // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 3. – С. 333 – 345.
9. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення функцiй iз класiв C
\psi
\beta ,\infty бiгармонiчними iнтегралами Пуассона //
Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 939 – 959.
10. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення (\psi , \beta )-диференцiйовних функцiй малої гладкостi бiгармонiчними
iнтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 12. – С. 1602 – 1622.
11. Кальчук I. В., Харкевич Ю. I. Апроксимативнi властивостi бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона на класах
W r
\beta H
\alpha // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 11. – С. 1493 – 1504.
12. Edenhofer J. Eine Integraldarstellung der Losung der Dirichletschen Aufgabe bei der Polypotentialgleichung im Falle
eine Hyperkugel // Math. Nachr. – 1975. – 69. – S. 149 – 162.
13. Жигалло Т. В., Харкевич Ю. I. Апроксимативнi властивостi бiгармонiчних операторiв Пуассона на класах
\^L\psi \beta ,1 // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 5. – С. 650 – 656.
14. Гембарська С. Б., Жигалло К. М. Апроксимативнi властивостi бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона на класах
Гельдера // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 7. – С. 925 – 933.
15. Gonzales L., Keller E., Wildenhain G. Über das Randverhalten des Poisson-Integral des polyharmonischen Gleichung //
Math. Nachr. – 1980. – 95. – S. 159 – 164.
16. Wildenhain G. Darstellung von Losungen linearer elliptischer Differentialgleichungen. – Berlin: Acad.-Verlag, 1981. –
92 S.
Одержано 24.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1602 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:08:55Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ed/530f3c2a635a554eceb0032a87a708ed.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16022019-12-05T09:20:38Z On boundary values of three-harmonic Poisson integral on the boundary of a unit disk Про граничні значення тригармонічного інтеграла Пуассона на межі одиничного круга Hembars'ka, S. B. Гембарська, С. В Let $C_0$ be a curve in a disk $D = \{ | z| < 1\}$ tangential to a circle at the point $z = 1$ and let $C_{\theta}$ be the result of rotation of this curve about the origin $z = 0$ by an angle \theta . We construct a bounded function $u(z)$ three-harmonic in $D$ with zero normal derivatives $\cfrac{\partial u}{\partial n}$ and $\cfrac{\partial 2u}{\partial r_2}$ on the boundary such that the limit along $C_{\theta}$ does not exist for all $\theta , 0 \leq \theta \leq 2\pi $. Пусть $C_0$ — касательная кривая в круге $D = \{ | z| < 1\}$ к окружности в точке $z = 1$ и $C_{\theta}$ — результат ее вращения вокруг точки $z = 0$ на угол $\theta$. Построена ограниченная тригармоническая в $D$ функция $u(z)$ с нулевыми производными $\cfrac{\partial u}{\partial n}$ и $\cfrac{\partial 2u}{\partial r_2}$ на границе, для которой предел вдоль $C_{\theta}$ не существует для всех $\theta , 0 \leq \theta \leq 2\pi $. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1602 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 7 (2018); 876-884 Український математичний журнал; Том 70 № 7 (2018); 876-884 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1602/584 Copyright (c) 2018 Hembars'ka S. B. |
| spellingShingle | Hembars'ka, S. B. Гембарська, С. В On boundary values of three-harmonic Poisson integral on the boundary of a unit disk |
| title | On boundary values of three-harmonic Poisson integral on the boundary
of a unit disk |
| title_alt | Про граничні значення тригармонічного інтеграла Пуассона на межі одиничного круга |
| title_full | On boundary values of three-harmonic Poisson integral on the boundary
of a unit disk |
| title_fullStr | On boundary values of three-harmonic Poisson integral on the boundary
of a unit disk |
| title_full_unstemmed | On boundary values of three-harmonic Poisson integral on the boundary
of a unit disk |
| title_short | On boundary values of three-harmonic Poisson integral on the boundary
of a unit disk |
| title_sort | on boundary values of three-harmonic poisson integral on the boundary
of a unit disk |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1602 |
| work_keys_str_mv | AT hembars039kasb onboundaryvaluesofthreeharmonicpoissonintegralontheboundaryofaunitdisk AT gembarsʹkasv onboundaryvaluesofthreeharmonicpoissonintegralontheboundaryofaunitdisk AT hembars039kasb prograničníznačennâtrigarmoníčnogoíntegralapuassonanamežíodiničnogokruga AT gembarsʹkasv prograničníznačennâtrigarmoníčnogoíntegralapuassonanamežíodiničnogokruga |