Entire functions of order zero with zeros on a logarithmic spiral
We prove the Valiron-type and Valiron – Titchmarsh-type theorems for entire functions of order zero with zeros on a logarithmic spiral.
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1606 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507419747024896 |
|---|---|
| author | Zabolotskyi, M. V. Zabolotskii, N. V. Tarasyuk, S. I. Басюк, Ю. В. Заболоцький, М. В. Тарасюк, С. I. |
| author_facet | Zabolotskyi, M. V. Zabolotskii, N. V. Tarasyuk, S. I. Басюк, Ю. В. Заболоцький, М. В. Тарасюк, С. I. |
| author_sort | Zabolotskyi, M. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:20:38Z |
| description | We prove the Valiron-type and Valiron – Titchmarsh-type theorems for entire functions of order zero with zeros on a
logarithmic spiral. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
М. В. Заболоцький, Ю. В. Басюк, С. I. Тарасюк (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ЦIЛI ФУНКЦIЇ НУЛЬОВОГО ПОРЯДКУ
З НУЛЯМИ НА ЛОГАРИФМIЧНIЙ СПIРАЛI
We prove the Valiron-type and Valiron – Titchmarsh-type theorems for entire functions of order zero with zeros on a
logarithmic spiral.
Доказаны теоремы типа Валирона и Валирона – Титчмарша для целых функций нулевого порядка с нулями на
логарифмической спирали.
1. Вступ. Нехай f — цiла трансцендентна (далi цiла) функцiя порядку \rho , 0 \leq \rho <\infty , f(0) = 1,
n(r) = n(r, 0, f) — лiчильна функцiя послiдовностi (an)
+\infty
n=1 її нулiв, 0 < | a1| \leq | a2| \leq . . .\rightarrow \infty ,
n\rightarrow +\infty , \rho (r) — уточнений порядок, N(r) = N(r, 0, f) =
\int r
0
n(t)/tdt.
Якщо нулi функцiї f розташованi на променi l\psi = \{ z : | z| \geq | a1| , \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z = \psi \} ,
n(r) \sim \Delta r\rho (r), r \rightarrow \infty , (1)
0 < \Delta < +\infty , а число \rho = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow \infty \rho (r) є нецiлим, то для всiх \varphi , \psi < \varphi < \psi + 2\pi , виконується
(див., наприклад, [1, c. 94])
\mathrm{l}\mathrm{n} f(rei\varphi ) \sim \pi \Delta
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi \rho
ei\rho (\varphi - \psi - \pi )r\rho (r), r \rightarrow \infty ,
де \mathrm{l}\mathrm{n} f(z) — однозначна в областi D(l\psi ) = \BbbC \setminus l\psi гiлка багатозначної функцiї Ln f(z),
\mathrm{l}\mathrm{n} f(0) = 0. Аналогiчнi спiввiдношення для \mathrm{l}\mathrm{n} f(z) отримано i у випадку цiлого додатного
порядку \rho [1, c. 108, 109].
У випадку \rho (r) = \rho , 0 < \rho < 1, вищенаведене твердження було доведено ще в 1913 р.
Ж. Валiроном [2]. У [2] також доведено: якщо f — цiла функцiя порядку \rho , 0 < \rho < 1, з нулями
на променi l\psi i
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| f(rei(\psi +\pi ))\bigm| \bigm| \bigm| \sim \pi \Delta
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi \rho
r\rho (r), r \rightarrow \infty ,
то n(r) \sim \Delta r\rho , r \rightarrow \infty . Пiзнiше простiше доведення цього твердження навiв Е. Тiтчмарш [3].
Теореми, в яких за вiдомою асимптотикою функцiї n(r) робиться висновок про асимптотику
функцiї \mathrm{l}\mathrm{n} f(z), називають теоремами типу Валiрона, а оберненi до них твердження — теоре-
мами типу Валiрона – Тiтчмарша. В [4 – 6] отримано теореми типу Валiрона – Тiтчмарша для
цiлих функцiй довiльного додатного порядку \rho .
В 1996 р. М. В. Заболоцький [7] отримав теореми типу Валiрона та Валiрона – Тiтчмарша
для цiлих функцiй нульового порядку. Нехай \lambda (r) — такий нульовий уточнений порядок, що
r\lambda (r) \nearrow +\infty при r \rightarrow +\infty , \varepsilon (r) = r
\bigl(
r\lambda (r)
\bigr) \prime
/r\lambda (r) = \lambda (r) + r\lambda \prime (r) \mathrm{l}\mathrm{n} r \rightarrow 0, r \rightarrow +\infty . Якщо f
— цiла функцiя нульового порядку з нулями на променi l\psi , 0 < \Delta < +\infty i
n(r) = \Delta r\lambda (r) + o(\varepsilon (r)r\lambda (r)), r \rightarrow \infty , (2)
c\bigcirc М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, Ю. В. БАСЮК, С. I. ТАРАСЮК, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7 923
924 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, Ю. В. БАСЮК, С. I. ТАРАСЮК
то для всiх \varphi , \psi < \varphi < \psi + 2\pi , маємо
\mathrm{l}\mathrm{n} f(rei\varphi ) = \Delta
r\int
1
t\lambda (t) - 1 dt+ i\Delta (\varphi - \psi - \pi )r\lambda (r) + o(r\lambda (r)), r \rightarrow \infty , (3)
до того ж оцiнка (3) виконується рiвномiрно щодо \varphi \in [\psi + \delta ;\psi + 2\pi - \delta ], \delta > 0.
Навпаки, нехай f — цiла функцiя нульового порядку з нулями на променi l\psi i
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| f(rei(\psi +\pi ))\bigm| \bigm| \bigm| = \Delta
r\int
1
t\lambda (t) - 1 dt+ o(r\lambda (r)), r \rightarrow \infty . (4)
Тодi n(r) \sim \Delta r\lambda (r), r \rightarrow \infty .
Якщо нулi функцiї f замiсть (2) задовольняють умову
n(r) \sim \Delta r\lambda (r), r \rightarrow \infty ,
то для всiх \varphi , \psi < \varphi < \psi + 2\pi , виконується
\mathrm{l}\mathrm{n} f(rei\varphi ) = N(r) + i\Delta (\varphi - \psi - \pi )r\lambda (r) + o(r\lambda (r)), r \rightarrow \infty .
У статтi [7] також показано, що в теоремi типу Валiрона – Тiтчмарша для цiлих функцiй нульо-
вого порядку умову (4) не можна замiнити умовою
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| f(rei(\psi +\pi ))\bigm| \bigm| \bigm| = N(r) + o(r\lambda (r)), r \rightarrow \infty .
С. К. Балашов [8] отримав теорему типу Валiрона для функцiй f додатного порядку \rho з
нулями на логарифмiчнiй спiралi Lc\psi =
\bigl\{
z : z = rei(\psi +c ln r), r \geq 1
\bigr\}
, c \in \BbbR . У випадку нецiлого
\rho для таких функцiй f за умови (1) для всiх \varphi , \psi < \varphi < \psi + 2\pi , виконується
\mathrm{l}\mathrm{n} f(rei(\varphi +c ln r)) \sim
\pi \Delta \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
i
\rho
1 + ic
(\varphi - \psi - \pi )
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi \rho
1 + ic
r\rho (r), r \rightarrow \infty .
Теореми типу Валiрона – Тiтчмарша для цiлих функцiй додатного порядку з нулями на логариф-
мiчнiй спiралi отримано в [9].
У данiй статтi ми доведемо теореми типу Валiрона та Валiрона – Тiтчмарша для цiлих
функцiй нульового порядку з нулями на логарифмiчнiй спiралi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ЦIЛI ФУНКЦIЇ НУЛЬОВОГО ПОРЯДКУ З НУЛЯМИ НА ЛОГАРИФМIЧНIЙ СПIРАЛI 925
2. Означення та формулювання результатiв. Додатнi, зростаючi, необмеженi, непе-
рервно диференцiйовнi на [0; +\infty ) функцiї будемо називати функцiями зростання. Функцiї
зростання v та \~v такi, що v(r) \sim \~v(r), r \rightarrow \infty , називатимемо еквiвалентними i будемо ототож-
нювати. Через \scrL позначимо клас функцiй зростання v, для яких rv\prime (r)/v(r) \rightarrow 0 при r \rightarrow \infty .
Вiдомо [10, c. 15], що з точнiстю до еквiвалентних функцiй клас \scrL збiгається з класом повiльно
зростаючих функцiй, тобто неперервних, додатних, зростаючих до +\infty на [0; +\infty ) функцiй \beta
таких, що \beta (2r) \sim \beta (r), r \rightarrow \infty . Зауважимо також, що функцiї v з класу \scrL мають нульовий
порядок, а саме \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow \infty \mathrm{l}\mathrm{n}+ v(r)/ \mathrm{l}\mathrm{n} r = 0. Легко бачити, що:
а) якщо v \in \scrL , то \lambda (r) := \mathrm{l}\mathrm{n}+ v(r)/ \mathrm{l}\mathrm{n} r є нульовим уточненим порядком;
б) якщо \lambda (r) — нульовий уточнений порядок, то v(r) = r\lambda (r) \in \scrL .
Позначимо через \~\scrH 0(v) клас цiлих функцiй нульового порядку, лiчильна функцiя нулiв яких
задовольняє умову n(r) \sim \Delta v(r), r \rightarrow \infty , де 0 < \Delta < +\infty .
Нехай \mathrm{l}\mathrm{n} f(z) — однозначна гiлка в областi D(Lc\psi ) = \BbbC \setminus Lc\psi багатозначної функцiї Lnf(z),
\mathrm{l}\mathrm{n} f(0) = 0.
Теорема 1. Нехай v \in \scrL , f \in \~\scrH 0(v) — цiла функцiя нульового порядку, нулi якої розта-
шованi на логарифмiчнiй спiралi Lc\psi , - \pi \leq \psi < \pi . Тодi для всiх \varphi , \psi < \varphi < \psi + 2\pi , маємо
\mathrm{l}\mathrm{n} f
\Bigl(
rei(\varphi +c ln r)
\Bigr)
= (1 + ic)N(r) + i\Delta (\varphi - \psi - \pi )v(r) + o(v(r)), r \rightarrow \infty , (5)
до того ж оцiнка (5) виконується рiвномiрно щодо \varphi \in \psi + \delta , \psi + 2\pi - \delta , \delta > 0.
Теорема 2. Нехай v \in \scrL , f — цiла функцiя нульового порядку з нулями на логарифмiчнiй
спiралi Lc\psi , для якої виконується спiввiдношення (5). Тодi f належить \~\scrH 0(v).
3. Допомiжнi результати. Для доведення теорем 1, 2 будемо використовувати результати,
якi сформулюємо у виглядi лем. Позначимо Lc\psi (a, b) =
\bigl\{
z : z = rei(\psi +c ln r), 1 \leq a \leq r \leq b
\bigr\}
,
Lc\psi (1,+\infty ) = Lc\psi , де \psi \in \BbbR , c \in \BbbR . Не зменшуючи загальностi будемо вважати, що v(r) = 0
при 0 \leq r \leq 1.
Лема 1. Нехай v \in \scrL , \varepsilon (t) — кусково-неперервна, невiд’ємна на [0,+\infty ) функцiя, \varepsilon (t) \rightarrow 0
при t\rightarrow +\infty . Тодi для z = rei(\varphi +c ln r), - \pi < \varphi < \pi ,
I1 =
\int
Lc
- \pi (1,r)
\varepsilon (| w| )v(| w| )
w - z
dw = o(v(r)), r \rightarrow +\infty ,
I2 = z
\int
Lc
- \pi (r,+\infty )
\varepsilon (| w| )v(| w| )
w(w - z)
dw = o(v(r)), r \rightarrow +\infty ,
до того ж цi оцiнки виконуються рiвномiрно щодо \varphi \in [ - \pi + \delta ;\pi - \delta ], \delta > 0.
Доведення. Покажемо спочатку, що при 0 \leq t < +\infty \bigm| \bigm| \bigm| teic ln t + rei(\varphi +c ln r)
\bigm| \bigm| \bigm| \geq (t+ r)\delta 1 (6)
для всiх \varphi \in [ - \pi + \delta , \pi - \delta ], де \delta 1 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\delta
4
,
\delta
2| c| (e\delta /(2| c| ) + 1)
\biggr\}
.
Покладемо x = t/r. Тодi\bigm| \bigm| teic ln t + rei(\varphi +c ln r)
\bigm| \bigm|
t+ r
=
\bigm| \bigm| xeic lnx + ei\varphi
\bigm| \bigm|
x+ 1
, 0 \leq x < +\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
926 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, Ю. В. БАСЮК, С. I. ТАРАСЮК
Якщо 0 < x \leq e - \delta /(2| c| ), то\bigm| \bigm| xeic lnx + ei\varphi
\bigm| \bigm|
x+ 1
\geq 1 - x
x+ 1
\geq 1 - e - \delta /(2| c| )
1 + e - \delta /(2| c| )
\geq \delta /(2| c| )
e\delta /(2| c| ) + 1
\geq \delta 1.
Нехай e\delta /(2| c| ) \leq x < +\infty . Тодi\bigm| \bigm| xeic lnx + ei\varphi
\bigm| \bigm|
x+ 1
\geq x - 1
x+ 1
\geq 1 - 2
x+ 1
\geq 1 - 2
e\delta /(2| c| ) + 1
\geq \delta /(2| c| )
e\delta /(2| c| ) + 1
\geq \delta 1.
Нарештi, якщо e - \delta /(2| c| ) < x < e\delta /(2| c| ), то для \varphi \in [ - \pi + \delta , \pi - \delta ] маємо
\varphi - c \mathrm{l}\mathrm{n}x \geq - \pi + \delta - | c \mathrm{l}\mathrm{n}x| \geq - \pi + \delta - | c| \mathrm{l}\mathrm{n} e\delta /(2| c| ) = - \pi +
\delta
2
i
\varphi - c \mathrm{l}\mathrm{n}x \leq \pi - \delta + | c \mathrm{l}\mathrm{n}x| \leq \pi - \delta + | c| \mathrm{l}\mathrm{n} e\delta /(2| c| ) = \pi - \delta
2
.
Отже, | \~\varphi | = | \varphi - c \mathrm{l}\mathrm{n}x| \leq \pi - \delta
2
i, враховуючи нерiвнiсть (див., наприклад, [1, с. 92])
| x+ ei\theta | \geq (x+ 1) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\eta /2) для x \geq 0 i | \theta | \leq \pi - \eta , \eta > 0, отримуємо\bigm| \bigm| xeic lnx + ei\varphi
\bigm| \bigm|
x+ 1
=
\bigm| \bigm| x+ ei \~\varphi
\bigm| \bigm|
x+ 1
\geq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\delta
4
\geq \delta 1,
що доводить нерiвнiсть (6).
Нехай w = tei( - \pi +c ln t), t \in (1, r), — рiвняння кривої Lc - \pi (1, r). Тодi
I1 = (1 + ic)
r\int
1
\varepsilon (t)v(t)eic ln tdt
teic ln t + rei(\varphi +c ln r)
.
Далi, завдяки (6), як при доведеннi леми 1 iз [7], для \varphi \in [ - \pi + \delta , \pi - \delta ] отримуємо
| I1| \leq
\surd
1 + c2
\delta 1
r\int
1
\varepsilon (t)v(t)
t+ r
dt = o(v(r)), r \rightarrow +\infty .
Нехай w = tei( - \pi +c ln t), t \in (r,+\infty ), — рiвняння кривої Lc - \pi (r,+\infty ). Тодi
I2 = - (1 + ic) \cdot rei(\varphi +c ln r)
+\infty \int
r
\varepsilon (t)v(t)dt
t (teic ln t + rei(\varphi +c ln r))
.
Враховуючи (6) та мiркування леми 1 iз [7] для \varphi \in [ - \pi + \delta , \pi - \delta ], маємо
| I2| \leq
\surd
1 + c2
\delta 1
r
+\infty \int
r
\varepsilon (t)v(t)
t(t+ r)
dt = o(v(r)), r \rightarrow +\infty .
Лему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ЦIЛI ФУНКЦIЇ НУЛЬОВОГО ПОРЯДКУ З НУЛЯМИ НА ЛОГАРИФМIЧНIЙ СПIРАЛI 927
Для \~v \in \scrL приймемо v(r) =
\int r
1
\~v(t)
t
dt. Легко бачити, що v \in \scrL i \~v(r) = o(v(r)), r \rightarrow +\infty .
Покладемо
ak(r, \~v) =
1
k + 1
r\int
1
\~v(t) tkei(k+1)c ln t dt,
bk(r, \~v) =
1
k + 1
+\infty \int
r
\~v(t) t - k - 2e - i(k+1)c ln t dt.
Лема 2. Нехай \~v \in \scrL . Тодi для z = rei(\varphi +c ln r), - \pi < \varphi < \pi , виконується
I3 =
\int
Lc
- \pi (1,r)
v(| w| )
w - z
dw = \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + e - i\varphi )v(r) +
\sum
1
,
I4 = z
\int
Lc
- \pi (r,+\infty )
v(| w| )
w(w - z)
dw = - \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + ei\varphi )v(r) +
\sum
2
,
де
\sum
1
= -
+\infty \sum
k=0
( - 1)k ak(r, \~v)
zk+1
,
\sum
2
=
+\infty \sum
k=0
( - 1)k bk(r, \~v)
z - k - 1
.
Доведення. Як i при доведеннi леми 1,
I3 = (1 + ic)
r\int
1
v(t)eic ln tdt
teic ln t + rei(\varphi +c ln r)
=
= (1 + ic)
r\int
1
v(t) dt
t+ rei(\varphi +c ln(r/t))
= (1 + ic)
r\int
1
v(t)
rei(\varphi +c ln(r/t))
\biggl(
1 +
t
rei(\varphi +c ln(r/t))
\biggr) - 1
dt =
= (1 + ic)
r\int
1
v(t)
rei(\varphi +c ln(r/t))
\Biggl(
+\infty \sum
k=0
( - 1)k
\biggl(
t
r
\biggr) k
e - ik(\varphi +c ln(r/t))
\Biggr)
dt =
= (1 + ic)
+\infty \sum
k=0
( - 1)k
rk+1ei(k+1)(\varphi +c ln r)
r\int
1
v(t)tk ei(k+1)c ln t dt =
= (1 + ic)
+\infty \sum
k=0
( - 1)k
rk+1ei(k+1)(\varphi +c ln r)
Ak(r, v),
де Ak(r, v) =
\int r
1
v(t)tk ei(k+1)c ln t dt. Тут почленне iнтегрування степеневого ряду обґрунтову-
ється, як у [7, c. 318]. Враховуючи, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
928 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, Ю. В. БАСЮК, С. I. ТАРАСЮК
Ak(r, v) = v(t) ei(k+1)c ln t t
k+1
k + 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| r
1
- 1
k + 1
r\int
1
tk+1 ei(k+1)c ln t
\biggl(
v\prime (t) + i(k + 1)c
v(t)
t
\biggr)
dt =
= v(r) ei(k+1)c ln r r
k+1
k + 1
- 1
k + 1
r\int
1
\~v(t) tkei(k+1)c ln t dt - icAk(r, v),
маємо
Ak(r, v) =
1
1 + ic
\biggl(
v(r) ei(k+1)c ln r r
k+1
k + 1
- ak(r, \~v)
\biggr)
.
Отже,
I3 =
\Biggl(
+\infty \sum
k=0
( - 1)k
k + 1
e - i(k+1)\varphi
\Biggr)
v(r) -
+\infty \sum
k=0
( - 1)k
zk+1
ak(r, \~v) = \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + e - i\varphi )v(r) +
\sum
1
.
Аналогiчно показуємо, що I4 = - \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + ei\varphi )v(r) +
\sum
2
.
Лему 2 доведено.
Лема 3. Нехай \~v \in \scrL ,
\sum
1,
\sum
2 — такi, як у лемi 2. Тодi для z = rei(\varphi +c ln r), рiвномiрно
щодо \varphi на множинi - \pi < \varphi < \pi , виконується\sum
1
= o(v(r)),
\sum
2
= o(v(r)), r \rightarrow +\infty .
Доведення. Маємо
\bigm| \bigm| \bigm| \sum
1
\bigm| \bigm| \bigm| \leq +\infty \sum
k=0
| ak(r, \~v)|
rk+1
\leq
+\infty \sum
k=0
a\ast k(r, \~v)
rk+1
,
\bigm| \bigm| \bigm| \sum
2
\bigm| \bigm| \bigm| \leq +\infty \sum
k=0
| bk(r, \~v)|
rk+1
\leq
+\infty \sum
k=0
b\ast k(r, \~v)
rk+1
,
де
a\ast k(r, \~v) =
1
k + 1
r\int
1
\~v(t) tk dt, b\ast k(r, \~v) =
1
k + 1
r\int
1
\~v(t) t - k - 2 dt.
Оскiльки \~v(r) = o(v(r)), r \rightarrow +\infty , то завдяки лемi 3 з [7] отримуємо\sum
i
= o(v(r)), r \rightarrow +\infty , i = 1, 2,
що доводить лему 3.
Нагадаємо, що множина E \subset \BbbR + називається E0-множиною, якщо E — вимiрна множина
i \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(E \cap [0, r]) = o(r), r \rightarrow +\infty .
З лем 4 та 5 роботи [11] отримуємо таке твердження.
Лема 4. Нехай v \in \scrL , \delta > 0, 0 \leq \theta < 2\pi , f — цiла функцiя нульового порядку, n(r) \leq Kv(r),
r \geq 0, де K > 0 — стала. Тодi iснує E0-множина E така, що
r
\theta +\delta \int
\theta - \delta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (rei\varphi )f(rei\varphi )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\varphi = O(v(r))
\biggl(
\delta + \delta \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
1
\delta
\biggr) \biggr)
, r \rightarrow +\infty , r /\in E.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ЦIЛI ФУНКЦIЇ НУЛЬОВОГО ПОРЯДКУ З НУЛЯМИ НА ЛОГАРИФМIЧНIЙ СПIРАЛI 929
4. Доведення теорем 1, 2. Не зменшуючи загальностi будемо вважати, що нулi цiлої функцiї
f розташованi на логарифмiчнiй спiралi Lc - \pi i | a1| > 1.
Доведення теореми 1. За умов теореми 1 для z = rei(\varphi +c ln r), - \pi < \varphi < \pi , маємо
\mathrm{l}\mathrm{n} f(z) =
+\infty \sum
n=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - z
an
\biggr)
=
\int
Lc
- \pi
\mathrm{l}\mathrm{n}
\Bigl(
1 - z
w
\Bigr)
dn(| w| ) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
\Bigl(
1 - z
w
\Bigr)
n(| w| )
\bigm| \bigm| \bigm|
w\in Lc
- \pi
- z
\int
Lc
- \pi
n(| w| )
w(w - z)
dw =
=
\int
Lc
- \pi (1,r)
n(| w| )
w
dw -
\int
Lc
- \pi (1,r)
n(| w| )
\biggl(
z
w(w - z)
+
1
w
\biggr)
dw -
- z
\int
Lc
- \pi (r,+\infty )
n(| w| )
w(w - z)
dw =
\int
Lc
- \pi (1,r)
n(| w| )
w
dw -
\int
Lc
- \pi (1,r)
n(| w| )
w - z
dw -
- z
\int
Lc
- \pi (r,+\infty )
n(| w| )
w(w - z)
dw = J1 + J2 + J3. (7)
Нехай w = tei( - \pi +c ln t), 1 \leq t \leq r, — рiвняння кривої Lc - \pi (1, r). Тодi, враховуючи леми 1 –
3, одержуємо
J1 = (1 + ic)
r\int
1
n(t)
t
dt = (1 + ic)N(r), (8)
J2 = -
\int
Lc
- \pi (1,r)
n(| w| ) - \Delta v(| w| )
w - z
dw - \Delta
\int
Lc
- \pi (1,r)
v(| w| )
w - z
dw = - I1 - \Delta I3 =
= - I1 - \Delta \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + e - i\varphi )v(r) - \Delta
\sum
1
= - \Delta \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + e - i\varphi )v(r) + o(v(t)), r \rightarrow +\infty . (9)
Якщо w = tei( - \pi +c ln t), r \leq t < +\infty , — рiвняння кривої Lc - \pi (r,+\infty ), то завдяки лемам
1 - 3 отримуємо
J3 = - z
\int
Lc
- \pi (r,+\infty )
n(| w| ) - \Delta v(| w| )
w(w - z)
dw - z\Delta
\int
Lc
- \pi (r,+\infty )
v(| w| )
w(w - z)
dw = - I2 - \Delta I4 =
= - I2 +\Delta \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + ei\varphi )v(r) - \Delta
\sum
2
+o(v(t)) = \Delta \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + ei\varphi )v(r) + o(v(t)), r \rightarrow +\infty .
(10)
Отже, пiдставляючи (8) – (10) у (7), маємо
\mathrm{l}\mathrm{n} f
\Bigl(
rei(\varphi +c ln r)
\Bigr)
= (1 + ic)N(r) + \Delta \mathrm{l}\mathrm{n}
1 + ei\varphi
1 + e - i\varphi
v(r) + o(v(r)) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
930 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, Ю. В. БАСЮК, С. I. ТАРАСЮК
= (1 + ic)N(r) + i\Delta \varphi v(r) + o(v(r)), r \rightarrow \infty , (11)
що доводить теорему 1 у випадку \psi = - \pi .
Нехай нулi функцiї f розташованi на логарифмiчнiй спiралi Lc\psi , - \pi < \psi < \pi . Якщо
виконати поворот площини за годинниковою стрiлкою на кут (\pi + \psi ), тобто замiнити у спiв-
вiдношеннi (11) \varphi величиною \varphi - \psi - \pi , то отримаємо, що для довiльного \delta > 0 рiвномiрно
щодо \varphi , \psi + \delta \leq \varphi \leq \psi + 2\pi - \delta , виконується
\mathrm{l}\mathrm{n} f
\Bigl(
rei(\varphi +c ln r)
\Bigr)
= (1 + ic)N(r) + i\Delta (\varphi - \psi - \pi ) v(r) + o(v(r)), r \rightarrow \infty .
Теорему 1 доведенo.
Доведення теореми 2. Нехай r /\in \Omega , де \{ \Omega = | an| : n \in \BbbN \} , an — нулi функцiї f. Позна-
чимо G(\alpha , \beta , r) =
\bigcup
\alpha \leq \theta \leq \beta
Lc\theta (1, r), де 0 \leq \alpha < \pi < \beta < 2\pi . Тодi \partial G(\alpha , \beta , r) = Lc\alpha (1, r)\cup
\cup \Gamma (\alpha , \beta , r) \cup
\Bigl(
Lc\beta (1, r)
\Bigr) - 1
\cup (\Gamma (\alpha , \beta , 1)) - 1, де \Gamma (\alpha , \beta , t) = \{ z : | z| = t, \alpha + c \mathrm{l}\mathrm{n} t \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z \leq
\leq \beta + c \mathrm{l}\mathrm{n} t\} . Враховуючи, що нулi функцiї f розташованi на логарифмiчнiй спiралi Lc - \pi , за
основною теоремою про лишки маємо
2\pi i n(r) =
\int
\partial G(\alpha ,\beta ,r)
f \prime (z)
f(z)
dz =
\left( \int
Lc
\alpha (1,r)
+
\int
\Gamma (\alpha ,\beta ,r)
-
\int
Lc
\beta (1,r)
-
\int
\Gamma (\alpha ,\beta ,1)
\right) f \prime (z)
f(z)
dz =
= (1 + ic)
r\int
1
f \prime (tei(\alpha +c ln t))
f(tei(\alpha +c ln t))
ei(\alpha +c ln t) dt+
\beta \int
\alpha
f \prime (rei(\theta +c ln r))
f(rei(\theta +c ln r))
rei(\theta +c ln t) id\theta -
- (1 + ic)
r\int
1
f \prime (tei(\beta +c ln t))
f(tei(\beta +c ln t))
ei(\beta +c ln t) dt -
\beta \int
\alpha
f \prime (ei\theta )
f(ei\theta )
ei\theta id\theta = \mathrm{l}\mathrm{n} f(rei(\alpha +c ln r))+
+
\left( \pi - \delta \int
\alpha
+
\pi +\delta \int
\pi - \delta
+
\beta \int
\pi +\delta
\right) f \prime (rei(\theta +c ln r))
f(rei(\theta +c ln r))
rei(\theta +c ln t) id\theta - \mathrm{l}\mathrm{n} f(rei(\beta +c ln r)) + C,
де C = - \mathrm{l}\mathrm{n} f(ei\alpha ) + \mathrm{l}\mathrm{n} f(ei\beta ) -
\int \beta
\alpha
f \prime (ei\theta )
f(ei\theta )
ei\theta id\theta .
Далi,\left( \pi - \delta \int
\alpha
+
\beta \int
\pi +\delta
\right) f \prime (rei(\theta +c ln r))
f(rei(\theta +c ln r))
rei(\theta +c ln t) id\theta + \mathrm{l}\mathrm{n} f(rei(\alpha +c ln r)) - \mathrm{l}\mathrm{n} f(rei(\beta +c ln r)) =
= \mathrm{l}\mathrm{n} f(rei((\pi - \delta )+c ln r)) - \mathrm{l}\mathrm{n} f(rei((\pi +\delta )+c ln r)).
Тому з останнiх спiввiдношень отримуємо
2\pi i n(r) = \mathrm{l}\mathrm{n} f(rei((\pi - \delta )+c ln r)) - \mathrm{l}\mathrm{n} f(rei((\pi +\delta )+c ln r)) +
\pi +\delta \int
\pi - \delta
f \prime (rei(\theta +c ln r))
f(rei(\theta +c ln r))
rei(\theta +c ln t) id\theta + C.
(12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ЦIЛI ФУНКЦIЇ НУЛЬОВОГО ПОРЯДКУ З НУЛЯМИ НА ЛОГАРИФМIЧНIЙ СПIРАЛI 931
З (5) для \psi = - \pi маємо
\mathrm{l}\mathrm{n} f(rei((\pi - \delta )+c ln r)) = (1 + ic)N(r) + i\Delta (\pi - \delta )v(r) + o(v(r)), r \rightarrow \infty ,
\mathrm{l}\mathrm{n} f(rei((\pi +\delta )+c ln r)) = (1 + ic)N(r) + i\Delta (\pi + \delta - 2\pi )v(r) + o(v(r)), r \rightarrow \infty .
Звiдси з урахуванням (12) одержуємо
2\pi i n(r) = i\Delta (\pi - \delta ) v(r) - i\Delta ( - \pi + \delta ) v(r) + I5 + o(v(r)) =
= i\Delta (2\pi - 2\delta ) v(r) + I5 + o(v(r)), r \rightarrow +\infty ,
де I5 =
\int \pi +\delta
\pi - \delta
f \prime (rei(\theta +c ln r))
f(rei(\theta +c ln r))
rei(\theta +c ln t) id\theta .
Далi, враховуючи лему 4, маємо
| I5| \leq r
\pi +\delta \int
\pi - \delta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (rei\varphi )f(rei\varphi )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\varphi = O(v(r))
\biggl(
\delta + \delta \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
1
\delta
\biggr) \biggr)
, r \rightarrow +\infty , r /\in E,
де E — деяка E0-множина.
З останнiх спiввiдношень отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
r/\in E
n(r)
v(r)
= \Delta
\biggl(
1 - \delta
\pi
\biggr)
+K
\biggl(
\delta + \delta \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
1
\delta
\biggr) \biggr)
,
де K > 0 — деяка стала. Звiдси, спрямовуючи \delta до 0+, маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
r/\in E
n(r)
v(r)
= \Delta .
Оскiльки мiра множини E дорiвнює 0, то будь-який iнтервал (R, (1 + \eta )R) при \eta > 0,
R > R0, мiстить точки, що не належать множинi E. Враховуючи монотоннiсть функцiї n(r),
для довiльного r > R0, r(1 - \eta ) < r1 < r < r2 < r(1 + \eta ), r1, r2 /\in E, одержуємо
n(r1)
v(r1)
v(r1)
v(r)
\leq n(r)
v(r)
\leq n(r2)
v(r2)
v(r2)
v(r)
.
Оскiльки v(r) — повiльно зростаюча функцiя, то v(r2) \sim v(r) \sim v(r1), r \rightarrow +\infty . Отже, з
останнього спiввiдношення отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
n(r)
v(r)
= \Delta ,
що доводить теорему 2.
Лiтература
1. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. – М.: Наука, 1970. – 592 с.
2. Valiron G. Sur les fonctions entieres d’ordre nul et d’ordre fini, et en particulier sur les fonctions a correspondance
reguliere // Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse. – 1913. – 5, № 3. – P. 117 – 257.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
932 М. В. ЗАБОЛОЦЬКИЙ, Ю. В. БАСЮК, С. I. ТАРАСЮК
3. Titchmarsh E. C. On integral functions with real negative zeros // Proc. London Math. Soc. – 1927. – 26, № 2. –
P. 185 – 200.
4. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. – М.: Наука, 1964. – 267 с.
5. Bowen N. A. A function theory proof of Tauberian theorem on integral functions // Quart. J. Math. Oxford Ser. –
1948. – 19. – P. 90 – 100.
6. Delange H. Un theoreme sur les fonctions entieres a zeros reels et negatifs // J. Math. Pures et Appl. – 1952. – 31,
№ 1. – P. 55 – 78.
7. Заболоцький М. В. Теореми типу Валiрона та Валiрона – Тiтчмарша для цiлих функцiй нульового порядку //
Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 3. – С. 315 – 325.
8. Балашов С. К. О целых функциях конечного порядка с корнями на кривых правильного вращения // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1973. – 37, № 3. – С. 603 – 629.
9. Хейфиц А. И. Аналог теоремы Валирона – Титчмарша для целых функций с корнями на логарифмической
спирали // Изв. вузов. Математика. – 1980. – № 12. – С. 74 – 75.
10. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
11. Zabolotskii N. V. Strongly regular growth of entire functions of order zero // Math. Notes. – 1998. – 63, № 2. –
P. 172 – 182.
Одержано 22.06.17,
пiсля доопрацювання — 22.01.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1606 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:01Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7d/7195495c8267b7b4ca75a8d456d23e7d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16062019-12-05T09:20:38Z Entire functions of order zero with zeros on a logarithmic spiral Цілі функції нульового порядку з нулями на логарифмічній спіралі Zabolotskyi, M. V. Zabolotskii, N. V. Tarasyuk, S. I. Басюк, Ю. В. Заболоцький, М. В. Тарасюк, С. I. We prove the Valiron-type and Valiron – Titchmarsh-type theorems for entire functions of order zero with zeros on a logarithmic spiral. Доказаны теоремы типа Валирона и Валирона – Титчмарша для целых функций нулевого порядка с нулями на логарифмической спирали. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1606 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 7 (2018); 923-932 Український математичний журнал; Том 70 № 7 (2018); 923-932 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1606/588 Copyright (c) 2018 Zabolotskyi M. V.; Zabolotskii N. V.; Tarasyuk S. I. |
| spellingShingle | Zabolotskyi, M. V. Zabolotskii, N. V. Tarasyuk, S. I. Басюк, Ю. В. Заболоцький, М. В. Тарасюк, С. I. Entire functions of order zero with zeros on a logarithmic spiral |
| title | Entire functions of order zero with zeros
on a logarithmic spiral |
| title_alt | Цілі функції нульового порядку з нулями
на логарифмічній спіралі |
| title_full | Entire functions of order zero with zeros
on a logarithmic spiral |
| title_fullStr | Entire functions of order zero with zeros
on a logarithmic spiral |
| title_full_unstemmed | Entire functions of order zero with zeros
on a logarithmic spiral |
| title_short | Entire functions of order zero with zeros
on a logarithmic spiral |
| title_sort | entire functions of order zero with zeros
on a logarithmic spiral |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1606 |
| work_keys_str_mv | AT zabolotskyimv entirefunctionsoforderzerowithzerosonalogarithmicspiral AT zabolotskiinv entirefunctionsoforderzerowithzerosonalogarithmicspiral AT tarasyuksi entirefunctionsoforderzerowithzerosonalogarithmicspiral AT basûkûv entirefunctionsoforderzerowithzerosonalogarithmicspiral AT zabolocʹkijmv entirefunctionsoforderzerowithzerosonalogarithmicspiral AT tarasûksi entirefunctionsoforderzerowithzerosonalogarithmicspiral AT zabolotskyimv cílífunkcíínulʹovogoporâdkuznulâminalogarifmíčníjspíralí AT zabolotskiinv cílífunkcíínulʹovogoporâdkuznulâminalogarifmíčníjspíralí AT tarasyuksi cílífunkcíínulʹovogoporâdkuznulâminalogarifmíčníjspíralí AT basûkûv cílífunkcíínulʹovogoporâdkuznulâminalogarifmíčníjspíralí AT zabolocʹkijmv cílífunkcíínulʹovogoporâdkuznulâminalogarifmíčníjspíralí AT tarasûksi cílífunkcíínulʹovogoporâdkuznulâminalogarifmíčníjspíralí |