ORV sequences with nondegenerate groups of regular points
We define a class of ORV sequences with nondegenerate groups of regular points and consider some properties of this sequences.
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1607 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507420238807040 |
|---|---|
| author | Pavlenkov, V. V. Павленков, В. В. |
| author_facet | Pavlenkov, V. V. Павленков, В. В. |
| author_sort | Pavlenkov, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:20:38Z |
| description | We define a class of ORV sequences with nondegenerate groups of regular points and consider some properties of this
sequences. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Павленков (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
ORV ПОСЛIДОВНОСТI З НЕВИРОДЖЕНИМИ ГРУПАМИ
РЕГУЛЯРНИХ ТОЧОК
We define a class of ORV sequences with nondegenerate groups of regular points and consider some properties of this
sequences.
Определен класс ORV последовательностей с невырожденными группами регулярных точек и рассмотрены свойства
таких последовательностей.
1. Вступ. У 30-х роках XX столiття роботами Й. Карамати було започатковано теорiю правильно
змiнних (RV) функцiй (див. [10 – 12]). У своїх роботах Й. Карамата означив поняття RV функцiї
та довiв ряд фундаментальних теорем теорiї таких функцiй. RV функцiї широко застосовуються
в рiзних роздiлах математики, зокрема в математичному аналiзi та теорiї ймовiрностей (див.
[3, 5]).
Разом iз теорiєю RV функцiй доцiльно розглядати теорiю RV послiдовностей та порiвняти цi
двi теорiї. Ще в роботi [10] Й. Карамата означив поняття RV послiдовностi. В [10] послiдовнiсть
додатних чисел \{ xn\} n\geq 0 називалася правильно змiнною на нескiнченностi з iндексом \rho > - 1,
якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
1
nxn
n\sum
k=1
xk =
1
\rho + 1
. (1)
Зауважимо, що рiвнiсть (1) є аналогом прямої теореми Карамати про асимптотичну поведiнку
iнтегралiв вiд RV функцiй (якщо суму замiнити iнтегралом). У [10] також зазначено, що якщо
для послiдовностi додатних чисел \{ xn\} виконується рiвнiсть (1), то iснують послiдовностi
\{ cn\} , \{ \delta n\} , збiжнi до деякого додатного числа та нуля вiдповiдно, такi, що
xn = n\rho cn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
n\sum
k=1
\delta k
k
\Biggr)
, n \geq 1,
звiдки
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x[\lambda n]
xn
= \lambda \rho , \lambda > 0.
У статтi [10] Й. Карамата стверджував (без доведення), що справедливим є й обернене твер-
дження, тобто якщо для кожного \lambda > 0 iснує додатна та скiнченна границя \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
x[\lambda n]
xn
, то
виконується рiвнiсть (1). Доведення цього твердження було наведене Р. Боянiчем та Е. Сене-
тою в роботi [4], де побудовано теорiю RV послiдовностей, яка є аналогом вiдповiдної теорiї
RV функцiй. У цiй роботi поняття RV послiдовностi будемо розумiти саме в сенсi означення,
даного в [4].
Альтернативне означення RV послiдовностi було розглянуто в [9], проте в [4] показано,
що це альтернативне означення є еквiвалентним до основного.
c\bigcirc В. В. ПАВЛЕНКОВ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7 933
934 В. В. ПАВЛЕНКОВ
В роботi [7] запропоновано вiдмiнний вiд класичного пiдхiд до означення та дослiдження
RV, ORV та iнших послiдовностей. Там для послiдовностей \{ xn\} розглядаються їх кусково-
лiнiйнi iнтерполяцiї
\^x(t) = x[t] +
\bigl(
x[t]+1 - x[t]
\bigr)
(t - [t]), t \geq 0,
якi є неперервними функцiями. За допомогою цих функцiй означуються та дослiджуються RV,
ORV та iншi послiдовностi, при цьому використовуються результати з теорiї RV функцiй.
Iснують рiзноманiтнi узагальнення поняття RV функцiї (див., наприклад, [1, 3, 6]). Серед
цих узагальнень є ORV функцiї з невиродженими групами регулярних точок (див. [5, 7]).
У цiй статтi ми будемо вивчати властивостi ORV послiдовностей з невиродженими групами
регулярних точок.
2. Означення та попереднi вiдомостi. Нехай \bfR — множина дiйсних чисел, \bfR + — множина
додатних дiйсних чисел, \bfQ — множина рацiональних чисел, \bfZ — множина цiлих чисел та \bfN —
множина натуральних чисел. Далi [ \cdot ] позначає цiлу частину дiйсного числа.
Позначимо через \BbbS + простiр послiдовностей \{ xn\} = \{ xn\} n\geq 0 таких, що xn > 0 для всiх
великих n. Далi будемо вважати x0 = 1, якщо не зазначено протилежне. Нехай також \BbbS \BbbE + —
простiр послiдовностей \{ xn\} \in \BbbS +, для яких
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
xn+1
xn
= 1. (2)
Нагадаємо (див. [4]), що послiдовнiсть \{ xn\} \in \BbbS + називається правильно змiнною (RV),
якщо для кожного \lambda > 0 iснує додатна та скiнченна границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x[\lambda n]
xn
= \psi (\lambda ). (3)
Якщо при цьому \psi (\lambda ) = 1, \lambda > 0, то послiдовнiсть \{ xn\} називається повiльно змiнною (SV).
В [4] показано, що для RV послiдовностi \{ xn\} iснує число \rho \in \bfR таке, що гранична
функцiя з (3) завжди має вигляд
\psi (\lambda ) = \lambda \rho , \lambda > 0.
Число \rho \in \bfR називають iндексом RV послiдовностi. Iндекс \rho = 0 мають SV послiдовностi i
лише вони. Якщо \{ xn\} — RV послiдовнiсть з iндексом \rho , то
xn = n\rho \ell n, n > 0,
де \ell n — деяка SV послiдовнiсть.
Вiдомо також (див. [4]), що для кожної RV послiдовностi \{ xn\} виконується рiвнiсть (2),
тобто клас усiх RV послiдовностей мiститься у просторi \BbbS \BbbE +.
Регулярнi точки послiдовностi. Для послiдовностi \{ xn\} \in \BbbS + розглянемо верхню та
нижню граничнi функцiї
\psi \ast (\lambda ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
x[\lambda n]
xn
та \psi \ast (\lambda ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
x[\lambda n]
xn
, \lambda > 0. (4)
Зауважимо, що верхня та нижня граничнi функцiї з (4) набувають значень у множинi [0,\infty ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ORV ПОСЛIДОВНОСТI З НЕВИРОДЖЕНИМИ ГРУПАМИ РЕГУЛЯРНИХ ТОЧОК 935
Означення 1. Число \lambda > 0 називається регулярною точкою послiдовностi \{ xn\} \in \BbbS +,
якщо
\psi \ast (\lambda ) = \psi \ast (\lambda ) \in (0,\infty ),
тобто якщо iснує додатна та скiнченна границя (3). Множину всiх регулярних точок послi-
довностi \{ xn\} позначимо через \BbbG r(\{ xn\} ).
Очевидно, що 1 \in \BbbG r(\{ xn\} ) для довiльної послiдовностi \{ xn\} \in \BbbS +. Множину регулярних
точок будемо називати невиродженою, якщо вона мiстить бiльше одного елемента, в проти-
лежному випадку — виродженою.
Зрозумiло, що якщо \BbbG r(\{ xn\} ) = \bfR +, то \{ xn\} — RV послiдовнiсть.
У роботах [5, 7] вивчаються функцiї з невиродженими множинами регулярних точок. Для
таких функцiй множина регулярних точок є мультиплiкативною пiдгрупою групи \bfR + та нази-
вається невиродженою групою регулярних точок.
Для послiдовностей множина регулярних точок не завжди є мультиплiкативною групою.
Наступний приклад пiдтверджує це
\Bigl(
в [9] цей приклад розглядався як приклад послiдовностi,
для якої
\theta nk
\theta n
\rightarrow 1 при будь-якому k \in \bfN , але
\theta n+1
\theta n
\nrightarrow 1
\Bigr)
.
Приклад 1. Нехай \omega n — кiлькiсть простих дiльникiв числа n. Розглянемо послiдовнiсть
\theta n = \omega n +
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n, n \in \bfN . (5)
Тут i далi \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\cdot ) означає натуральний логарифм.
Вiдомо (див., наприклад, [13, c. 39]), що iснує пiдпослiдовнiсть ps1 , ps2 , . . . простих чисел
така, що \omega psn - 1 \sim \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} psn , n\rightarrow \infty . Тому, оскiльки \omega psn = 1, маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\theta psn
\theta psn - 1
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
1 +
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} psn
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} psn +
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} psn
= 0. (6)
Iз рiвностi (6) видно, що
\theta n+1
\theta n
\nrightarrow 1, n\rightarrow \infty .
Зауважимо, що для фiксованих n \in \bfN та k \in \bfN виконуються нерiвностi
\omega n +
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n+ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} k) \leq \theta nk \leq \omega n + \omega k +
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n+ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} k),
а тому для кожного k \in \bfN
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\theta [kn]
\theta n
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\theta kn
\theta n
= 1.
Iз останньої рiвностi видно, що довiльне натуральне число є регулярною точкою послiдовностi
(5), тобто \BbbG r(\{ \theta n\} ) \supset \bfN . Припустимо тепер, що \BbbG r(\{ \theta n\} ) — мультиплiкативна група. Тодi
1
2
\in \BbbG r(\{ \theta n\} ), оскiльки 2 \in \BbbG r(\{ \theta n\} ). Це означає, що iснують додатнi та скiнченнi границi
\psi (2) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\theta 2n
\theta n
, \psi
\biggl(
1
2
\biggr)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\theta [n2 ]
\theta n
. (7)
Розглянемо послiдовнiсть
\delta n =
\theta 2[n2 ]
\theta n
, n \in \bfN .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
936 В. В. ПАВЛЕНКОВ
Враховуючи (7), маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\delta n = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\theta 2[n2 ]
\theta n
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\theta 2[n2 ]
\theta [n2 ]
\theta [n2 ]
\theta n
= \psi (2)\psi
\biggl(
1
2
\biggr)
\in (0,\infty ).
Отже, послiдовнiсть \{ \delta n\} має додатну та скiнченну границю. Але
\delta 2k = 1,
\delta 2k+1 =
\theta 2k
\theta 2k+1
, k \in \bfN ,
(8)
тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\theta 2k
\theta 2k+1
= 1,
що суперечить рiвностi (6), оскiльки послiдовнiсть ps1 , ps2 , . . . є пiдпослiдовнiстю непарних
чисел. Тому припущення про те, що \BbbG r(\{ \theta n\} ) — мультиплiкативна група, є хибним.
Отже, послiдовнiсть (5) має невироджену множину регулярних точок, яка не є мультиплi-
кативною групою.
Наступна теорема встановлює умови, при яких множина регулярних точок послiдовностi
буде мультиплiкативною групою.
Теорема 1. Нехай послiдовнiсть \{ xn\} належить \BbbS +. Якщо \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +, тобто
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
xn+1
xn
= 1,
то множина регулярних точок \BbbG r(\{ xn\} ) є мультиплiкативною групою.
Доведення. Оскiльки \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +, то з (2) для довiльного фiксованого M \in \bfN
випливає
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
xn\pm M
xn
= 1. (9)
Покажемо, що \BbbG r(\{ xn\} ) є мультиплiкативною групою. Оскiльки 1 \in \BbbG r(\{ xn\} ), то множина
\BbbG r(\{ xn\} ) є непорожньою. Якщо \lambda , \mu належать \BbbG r(\{ xn\} ), то
\psi (\lambda \mu ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x[\lambda \mu n]
xn
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x[\lambda n]
xn
x[\mu [\lambda n]]
x[\lambda n]
x[\lambda \mu n]
x[\mu [\lambda n]]
= \psi (\lambda )\psi (\mu ).
Тут ми скористалися тим, що з (9) випливає
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x[\lambda \mu n]
x[\mu [\lambda n]]
= 1,
оскiльки [\lambda \mu n] = [\mu [\lambda n]] +M, M \leq [\mu ] + 1. Отже, якщо \lambda , \mu належать \BbbG r(\{ xn\} ), то i \lambda \mu
належить \BbbG r(\{ xn\} ).
Зауважимо, що для довiльного \lambda > 0 та n \in \bfN вираз
\Bigl[
\lambda
\Bigl[ n
\lambda
\Bigr] \Bigr]
набуває можливих значень
n, n - 1, . . . , n - [\lambda ]. А тому, з урахуванням (9), якщо \lambda належить \BbbG r(\{ xn\} ), то
\psi
\biggl(
1
\lambda
\biggr)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x[n\lambda ]
xn
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x[n\lambda ]
x[\lambda [n\lambda ]]
x[\lambda [n\lambda ]]
xn
=
1
\psi (\lambda )
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ORV ПОСЛIДОВНОСТI З НЕВИРОДЖЕНИМИ ГРУПАМИ РЕГУЛЯРНИХ ТОЧОК 937
Це свiдчить, що
1
\lambda
належить \BbbG r(\{ xn\} ).
Отже, \BbbG r(\{ xn\} ) є мультиплiкативною групою.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 1. В доведеннi теореми 1 встановлено такi властивостi граничної функцiї \psi
для послiдовностей \{ xn\} \in \BbbS \BbbE + :
\psi (\lambda \mu ) = \psi (\lambda )\psi (\mu ), \psi
\biggl(
1
\lambda
\biggr)
=
1
\psi (\lambda )
, \lambda , \mu \in \BbbG r(\{ xn\} ).
Справедливi i деякi оберненi до теореми 1 твердження.
Лема 1. Нехай послiдовнiсть \{ xn\} \in \BbbS + має невироджену множину регулярних точок
\BbbG r(\{ xn\} ), яка є мультиплiкативною групою. Якщо iррацiональне число \lambda належить \BbbG r(\{ xn\} ),
то \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +.
Доведення. Нехай послiдовнiсть \{ xn\} \in \BbbS + має невироджену множину регулярних то-
чок \BbbG r(\{ xn\} ) i ця множина є мультиплiкативною групою. Не обмежуючи загальностi будемо
вважати \lambda > 1 (це припущення не звужує умов леми, оскiльки \lambda та
1
\lambda
належать \BbbG r(\{ xn\} )).
Оскiльки \lambda належить \BbbG r(\{ xn\} ), а
1
\lambda
— \BbbG r(\{ xn\} ), то iснують додатнi та скiнченнi границi
\psi (\lambda ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x[\lambda n]
xn
, \psi
\biggl(
1
\lambda
\biggr)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x[n\lambda ]
xn
. (10)
Розглянемо послiдовнiсть
\delta n =
x\Bigl[ [\lambda n]
\lambda
\Bigr]
xn
, n \in \bfN .
Зауважимо, що iдею використання такої послiдовностi застосовано в роботi [14] для встанов-
лення властивостей RV послiдовностей. Враховуючи (10), маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\delta n = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x\Bigl[ [\lambda n]
\lambda
\Bigr]
xn
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x\Bigl[ [\lambda n]
\lambda
\Bigr]
x[\lambda n]
x[\lambda n]
xn
= \psi
\biggl(
1
\lambda
\biggr)
\psi (\lambda ) \in (0,\infty ).
Отже, послiдовнiсть \{ \delta n\} має додатну та скiнченну границю. Але оскiльки \lambda — iррацiональне
число та \lambda > 1, то
\delta n =
xn - 1
xn
, n \in \bfN .
Тому iснує додатна та скiнченна границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
xn+1
xn
= a \in (0,\infty ).
Припустимо, що a \not = 1. Тодi, використовуючи теорему Штольца, отримуємо xn \sim an, n\rightarrow \infty ,
що суперечить (10).
Отже, a = 1 i тому \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +.
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай послiдовнiсть \{ xn\} \in \BbbS + має невироджену множину регулярних точок
\BbbG r(\{ xn\} ), яка є мультиплiкативною групою. Якщо рацiональне число \lambda належить \BbbG r(\{ xn\} ),
то знайдеться пiдпослiдовнiсть натуральних чисел cn \rightarrow \infty така, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
xcn - 1
xcn
= 1. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
938 В. В. ПАВЛЕНКОВ
Доведення. Будемо використовувати аналогiчнi до доведення леми 1 мiркування. В дове-
деннi леми 1 показано, що послiдовнiсть \delta n =
x\Bigl[ [\lambda n]
\lambda
\Bigr]
xn
, n \in \bfN , має границю. Бiльше того, в
означеннi послiдовностi \{ \delta n\} можна замiнити \lambda на
1
\lambda
. При такiй замiнi нова послiдовнiсть
буде мати таку саму границю на нескiнченностi.
В умовах леми 2 \lambda — рацiональне число, тому покладемо \lambda =
m
s
, m, s \in \bfN . Тодi для
довiльного k \in \bfN
\delta sk = 1, \delta sk+r =
xsk+r - 1
xsk+r
, r \in \{ 1, 2, . . . , s - 1\} . (12)
Число s \in \bfN iз рiвностей (12) вважаємо не рiвним 1. Зауважимо, що це припущення не звужує
умов леми 2. Дiйсно, в означеннi послiдовностi \{ \delta n\} можна використовувати як число \lambda , так i
число
1
\lambda
, а тому якщо \lambda — цiле, можна покласти s = \lambda .
Послiдовнiсть \{ \delta n\} має границю, тому з (12) отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\delta n = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\delta sk = 1.
Покладемо cn = sn+ 1, n \in \bfN . Тодi, використовуючи (12), маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
xcn - 1
xcn
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\delta cn = 1,
що й завершує доведення леми 2.
Зауваження 2. З доведення леми 2 зрозумiло, що в якостi пiдпослiдовностi \{ cn\} такої, що
виконується (5), можна використовувати послiдовностi вигляду cn = sn+ r, r \in \{ 1, 2, . . . , s -
- 1\} . При цьому в якостi числа s можна використовувати як чисельник, так i знаменник дробу
\lambda , якщо s \not = 1.
А тому якщо крiм умов леми 2 для послiдовностi \{ xn\} \in \BbbS + виконується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
xsn - 1
xsn
= 1,
де s — чисельник або знаменник дробу \lambda , то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
xn - 1
xn
= 1.
Звiдси випливає, що \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +.
Теорема 1, леми 1 i 2 та зауваження 2 свiдчать про важливiсть виконання умови \{ xn\} \in
\in \BbbS \BbbE + для iснування невиродженої групи регулярних точок у послiдовностi. Тому далi будемо
розглядати, якщо не зазначено протилежне, послiдовностi з простору \BbbS \BbbE +.
Далi розглянемо приклад послiдовностi з невиродженою групою регулярних точок, яка не
є RV послiдовнiстю.
Приклад 2. Нехай \{ rn\} — RV послiдовнiсть з iндексом \rho . Для n \in \bfN розглянемо послi-
довнiсть
xn = rn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n), n \in \bfN ,
x0 = 1.
Тодi для всiх \lambda > 0 та n \in \bfN
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ORV ПОСЛIДОВНОСТI З НЕВИРОДЖЕНИМИ ГРУПАМИ РЕГУЛЯРНИХ ТОЧОК 939
x[\lambda n]
xn
=
r[\lambda n]
rn
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
1
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
[\lambda n]
n
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(n[\lambda n])
\biggr) \biggr)
.
Зауважимо, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
1
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
[\lambda n]
n
\biggr)
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\surd
\lambda , \lambda > 0. (13)
Крiм того,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\lambda n2)
\biggr)
= - 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\lambda n2)
\biggr)
= 1, \lambda > 0,
звiдки, враховуючи, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(n[\lambda n])
\biggr)
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(n[\lambda (n+ 1)])
\biggr) \biggr)
= 0,
маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(n[\lambda n])
\biggr)
= - 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(n[\lambda n])
\biggr)
= 1, \lambda > 0. (14)
З рiвностей (13) та (14) випливає
\psi \ast (\lambda ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
x[\lambda n]
xn
= \lambda \rho \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
2| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\surd
\lambda |
\Bigr)
,
\psi \ast (\lambda ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
x[\lambda n]
xn
= \lambda \rho \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
- 2| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\surd
\lambda |
\Bigr)
, \lambda > 0.
Отже, якщо \lambda = e2\pi k, k \in \bfZ , то
\psi \ast (\lambda ) = \psi \ast (\lambda ) \in (0,\infty ),
звiдки
\BbbG r(\{ xn\} ) = \{ e2\pi k, k \in \bfZ \} .
Зауважимо, що отримана множина регулярних точок \BbbG r(\{ xn\} ) є мультиплiкативною гру-
пою. Для n \in \bfN розглянемо
xn+1
xn
=
rn+1
rn
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
1
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
n+ 1
n
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(n(n+ 1))
\biggr) \biggr)
,
звiдки випливає (2) для послiдовностi \{ xn\} . Крiм того, функцiя
\Bigl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
2
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\Bigl( u
2
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \Bigr) , u \in \bfR
\Bigr)
,
через яку виражаються \psi \ast та \psi \ast , є додатною та перiодичною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
940 В. В. ПАВЛЕНКОВ
3. Фактор-зображення верхньої та нижньої граничних функцiй ORV послiдовностей
iз невиродженими групами регулярних точок. Отриманi в цьому та наступному пунктах ре-
зультати є аналогами основних теорем для ORV функцiй iз невиродженими групами регулярних
точок iз [7].
У цьому пунктi ми розглянемо властивостi граничних функцiй iз (4). При цьому будемо
розглядати послiдовностi з простору \BbbS \BbbE +. Вивчення властивостей граничних функцiй почнемо
з леми, яка, вочевидь, випливає з означень (4) та рiвностi (2).
Лема 3. Нехай \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +. Тодi:
(i) для кожного \lambda > 0
0 \leq \psi \ast (\lambda ) \leq \psi \ast (\lambda ) \leq \infty ;
(ii) для кожного \lambda > 0
\psi \ast (\lambda ) =
1
\psi \ast
\biggl(
1
\lambda
\biggr) ,
де покладено
1
\infty
= 0 та
1
0
= \infty ;
(iii) для довiльних \lambda 1, \lambda 2 > 0 таких, що 0 < \psi \ast (\lambda i) \leq \psi \ast (\lambda i) <\infty , i = 1, 2,
\psi \ast (\lambda 1)\psi \ast (\lambda 2) \leq \psi \ast (\lambda 1\lambda 2) \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \psi \ast (\lambda 1)\psi
\ast (\lambda 2), \psi \ast (\lambda 2)\psi
\ast (\lambda 1)\} \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \psi \ast (\lambda 1)\psi
\ast (\lambda 2), \psi \ast (\lambda 2)\psi
\ast (\lambda 1)\} \leq \psi \ast (\lambda 1\lambda 2) \leq \psi \ast (\lambda 1)\psi
\ast (\lambda 2);
(iv) \psi \ast (1) = \psi \ast (1) = 1.
Важливим узагальненням поняття RV послiдовностi є поняття ORV послiдовностi. Нага-
даємо (див., наприклад, [2]), що послiдовнiсть \{ xn\} \in \BbbS + називається O-правильно змiнною
(ORV), якщо для всiх \lambda > 0
\psi \ast (\lambda ) <\infty . (15)
Серед ORV послiдовностей можна видiлити клас O-повiльно змiнних послiдовностей, якi уза-
гальнюють SV послiдовностi. ORV послiдовнiсть \{ xn\} \in \BbbS + назвемо O-повiльно змiнною
(OSV), якщо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\lambda >0
\psi \ast (\lambda ) <\infty .
Наступне твердження випливає з леми 3.
Зауваження 3. Нехай \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +. Тодi наступнi умови є еквiвалентними:
(a) \{ xn\} — ORV послiдовнiсть;
(b) 0 < \psi \ast (\lambda ) для всiх \lambda > 0;
(c) для всiх \lambda > 1
0 < \psi \ast (\lambda ) \leq \psi \ast (\lambda ) <\infty ;
(d) знайдеться iнтервал [a, b], 0 < a < 1 < b < \infty , такий, що (15) виконується для всiх
\lambda \in [a, b].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ORV ПОСЛIДОВНОСТI З НЕВИРОДЖЕНИМИ ГРУПАМИ РЕГУЛЯРНИХ ТОЧОК 941
Для верхньої та нижньої граничних функцiй ORV послiдовностi \{ xn\} \in \BbbS \BbbE + виконуються
нерiвностi
0 < \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\lambda \in [a,b]
\psi \ast (\lambda ) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\lambda \in [a,b]
\psi \ast (\lambda ) <\infty , 0 < a < b <\infty . (16)
Нерiвностi (16) випливають з аналогiчних вiдомих нерiвностей для верхньої та нижньої гра-
ничних функцiй ORV функцiї (див. [1]), якщо розглянути функцiю
f(t) = x[t], t > 0.
Перед тим як перейти до фактор-зображень граничних функцiй, розглянемо ще одне допо-
мiжне твердження.
Лема 4. Нехай послiдовнiсть \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +. Якщо c належить \BbbG r(\{ xn\} ), то
\psi \ast (cn\lambda ) = \psi \ast (cn)\psi \ast (\lambda ) = \psi (cn)\psi \ast (\lambda ) (17)
для всiх \lambda > 0 та n \in \bfZ .
Доведення. Оскiльки \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +, то за теоремою 1 множина \BbbG r(\{ xn\} ) є мульти-
плiкативною групою. Отже, рiвнiсть (17) достатньо довести лише для n = 1. За умовами леми
4 c належить \BbbG r(\{ xn\} ), тому \psi \ast (c) = \psi \ast (c). Звiдси та з твердження (iii) леми 3 маємо
\psi \ast (c)\psi \ast (\lambda ) = \psi \ast (c)\psi
\ast (\lambda ) \leq \psi \ast (c\lambda ) \leq \psi \ast (c)\psi \ast (\lambda )
для всiх \lambda > 0. Звiдки випливає (17) для n = 1.
Лему 4 доведено.
Нагадаємо, що для дiйснозначної функцiї (f(t), t \in \bfR ) її множиною перiодiв називається
множина Sper(f) точок s, для яких f(t \pm s) = f(t), t \in \bfR . Зауважимо, що 0 \in Sper(f)
та Sper(f) — адитивна група. Якщо множина Sper(f) \setminus \{ 0\} є непорожньою, то функцiя f
називається перiодичною.
Тепер ми можемо сформулювати та довести теореми про фактор-зображення граничних
функцiй ORV послiдовностi з простору \BbbS \BbbE +, яка має невироджену множину регулярних точок.
Почнемо з теореми, яка встановлює зображення для верхньої та нижньої граничних
функцiй.
Теорема 2. Нехай \{ xn\} \in \BbbS \BbbE + є ORV послiдовнiстю з невиродженою множиною регуляр-
них точок \BbbG r(\{ xn\} ). Якщо c \in \BbbG r(\{ xn\} ) та c \not = 1, то
\psi \ast (\lambda ) = \lambda \alpha P (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda ), \lambda > 0, (18)
\psi \ast (\lambda ) =
\lambda \alpha
P ( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda )
, \lambda > 0, (19)
де
\alpha = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}c \psi (c), (20)
(P (u), u \in \bfR ) — додатна перiодична функцiя, для якої множина перiодiв Sper(P ) мiстить
множину \{ nu0 : n \in \bfZ \} , P (0) = 1,
u0 = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} c \not = 0, (21)
та Sper(P ) \subset \BbbH r(\{ xn\} ). Бiльше того, для всiх u \in \bfR
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
P (u+ t)
P (t)
= P (u) та \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\rightarrow \infty
P (u+ t)
P (t)
=
1
P ( - u)
. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
942 В. В. ПАВЛЕНКОВ
Тут ми позначили через \BbbH r(\{ xn\} ) множину \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\BbbG r(\{ xn\} )) — це множина точок u \in \bfR
таких, що eu \in \BbbG r(\{ xn\} ).
Доведення. Оскiльки \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +, то за теоремою 1 множина \BbbG r(\{ xn\} ) є мульти-
плiкативною групою.
Позначимо
h(u) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} (\psi \ast (eu)) , u \in \bfR .
Така функцiя є коректно означеною, оскiльки \{ xn\} — ORV послiдовнiсть. Тодi за лемою 4
h(u+ u0) = h(u) + h0, u \in \bfR , (23)
де u0 = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} c, h0 = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\psi (c). Зауважимо, що h(0) = 0, оскiльки \psi \ast (1) = 1, а тому з (23) маємо
h( - u0) = - h(u0) = - h0. Остаточно
h(u\pm u0) = h(u)\pm h0, u \in \bfR . (24)
Покладемо
p(u) = h(u) - h0
u0
u, u \in \bfR .
Тодi з (24) для довiльного u \in \bfR отримуємо
p(u\pm u0) = h(u\pm u0) -
h0
u0
(u\pm u0) =
= h(u)\pm h0 \mp h0 -
h0
u0
u = h(u) - h0
u0
u = p(u).
Це означає, що (p(u), u \in \bfR ) — перiодична функцiя, для якої множина перiодiв Sper(p) мiстить
множину \{ nu0 : n \in \bfZ \} . Тому, оскiльки
\psi \ast (\lambda ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(h(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda )), \lambda > 0,
маємо
\psi \ast (\lambda ) = \lambda \alpha P (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda ), \lambda > 0,
де
\alpha =
h0
u0
=
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\psi (c)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} c
= \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}c \psi (c)
та
P (u) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(p(u)), u \in \bfR .
Це доводить рiвнiсть (18). Рiвнiсть (19) випливає з (18) та спiввiдношення (ii) леми 3.
Оскiльки (p(u), u \in \bfR ) — перiодична функцiя, то (P (u), u \in \bfR ) — також перiодична
функцiя, для якої множина перiодiв Sper(P ) мiстить множину \{ nu0 : n \in \bfZ \} . Бiльше того,
з (18) та (19) випливає, що Sper(P ) \subset \BbbH r(\{ xn\} ). Зрозумiло також, що P (0) = 1, оскiльки
p(0) = 0 та P — додатна функцiя за означенням.
Доведемо тепер рiвностi (22). Для цього спочатку зауважимо, що iз твердження (iii) леми 3
маємо
\psi \ast (\lambda t)
\psi \ast (t)
\leq \psi \ast (\lambda ), \lambda , t > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ORV ПОСЛIДОВНОСТI З НЕВИРОДЖЕНИМИ ГРУПАМИ РЕГУЛЯРНИХ ТОЧОК 943
Тому для довiльного \lambda > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\psi \ast (\lambda t)
\psi \ast (t)
\leq \psi \ast (\lambda ). (25)
Оскiльки \BbbG r(\{ xn\} ) — невироджена мультиплiкативна група, то знайдеться число z > 1 таке,
що z належить \BbbG r(\{ xn\} ). Тодi за лемою 4 для довiльного \lambda > 0 та n \in \bfN маємо
\psi \ast (zn\lambda )
\psi \ast (zn)
= \psi \ast (\lambda ),
звiдки
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\psi \ast (\lambda t)
\psi \ast (t)
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
\psi \ast (\lambda zn)
\psi \ast (zn)
= \psi \ast (\lambda ), \lambda > 0. (26)
Iз спiввiдношень (25), (26) випливає, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\psi \ast (\lambda t)
\psi \ast (t)
= \psi \ast (\lambda ), \lambda > 0. (27)
Iз рiвностi (27) отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\rightarrow \infty
\psi \ast (\lambda t)
\psi \ast (t)
=
\left( \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\psi \ast
\biggl(
t
\lambda
\biggr)
\psi \ast (t)
\right)
- 1
=
1
\psi \ast
\biggl(
1
\lambda
\biggr) , \lambda > 0.
Тому з урахуванням твердження (ii) леми 3
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\rightarrow \infty
\psi \ast (\lambda t)
\psi \ast (t)
= \psi \ast (\lambda ), \lambda > 0. (28)
Остаточно рiвностi (22) випливають iз (27) та (28), якщо врахувати (18) та (19).
Теорему 2 доведено.
Зауваження 4. Число \alpha у рiвностi (18) залежить вiд граничної функцiї \psi та числа c. Проте
якщо (18) виконується для деякого фiксованого \alpha та функцiї (P (u), u \in \bfR ) такої, як i в теоремi
2, то
\psi (\lambda ) = \lambda \alpha , \lambda \in \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (Sper(P )).
Остання рiвнiсть показує вигляд граничної функцiї \psi .
Зауваження 5. З теореми 2 випливає, що для довiльної ORV послiдовностi \{ xn\} \in \BbbS \BbbE + з
невиродженою групою регулярних точок \BbbG r(\{ xn\} ) виконується рiвнiсть
\BbbH r(\{ xn\} ) = \{ u : P (u)P ( - u) = 1\} .
Отже, \{ xn\} — RV послiдовнiсть i (3) виконується тодi i тiльки тодi, коли P (u)P ( - u) = 1 для
всiх u \in \bfR .
Наслiдок 1. Нехай виконуються умови теореми 2. Тодi для функцiї (P (u), u \in \bfR ) з тео-
реми 2 маємо:
(i) P (u)P ( - u) \geq 1 для всiх u \in \bfR ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
944 В. В. ПАВЛЕНКОВ
(ii) \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}u\in R P (u) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}u\in R P (u) \geq 1.
Доведення. З рiвностей (18), (19) та леми 3 отримуємо
P ( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda ) = \lambda \alpha \psi \ast
\biggl(
1
\lambda
\biggr)
\geq \lambda \alpha \psi \ast
\biggl(
1
\lambda
\biggr)
=
\lambda \alpha
\psi \ast (\lambda )
=
\lambda \alpha
\lambda \alpha P (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda )
=
1
P (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda )
для всiх \lambda > 0. Тому, оскiльки функцiя P є додатною, P (u)P ( - u) \geq 1, u \in \bfR . Твердження (i)
наслiдку 1 доведено. Твердження (ii) випливає з (i).
Теорема 2 встановлює зображення граничних функцiй ORV послiдовностей. Але в нiй не
йдеться про єдинiсть таких зображень. Виявляється, що число \alpha з теореми 2 не залежить вiд
вибору числа c \in \BbbG r(\{ xn\} ) i є єдиним. Його можна вважати iндексом ORV послiдовностi з не-
виродженою групою регулярних точок. Для iндексу будемо використовувати звичне позначення
\rho . Наступна теорема уточнює теорему 2 та є основною в цьому пунктi.
Теорема 3. Нехай \{ xn\} \in \BbbS \BbbE + є ORV послiдовнiстю з невиродженою множиною регуляр-
них точок \BbbG r(\{ xn\} ). Тодi \BbbG r(\{ xn\} ) є мультиплiкативною групою та:
(i) iснує єдине число \rho \in \bfR таке, що
\rho = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}c \psi (c), c \in \BbbG r(\{ xn\} ) \setminus \{ 1\} ;
(ii) якщо 1 \in \{ \psi (c), c \in \BbbG r(\{ xn\} ) \setminus \{ 1\} \} , то \rho = 0;
(iii) для \lambda \in \BbbG r(\{ xn\} )
\psi (\lambda ) = \lambda \rho ; (29)
(iv) для \lambda > 0
\psi \ast (\lambda ) = \lambda \rho \scrP (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda ) (30)
та для \lambda > 0
\psi \ast (\lambda ) =
\lambda \rho
\scrP ( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda )
, (31)
де (\scrP (u), u \in \bfR ) — така додатна перiодична функцiя, що
\scrP (0) = 1,
0 < m = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in R
\scrP (u) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in R
\scrP (u) =M <\infty (32)
та
Sper(\scrP ) = \BbbH r(\{ xn\} );
(v) для всiх u \in \bfR
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\scrP (u+ t)
\scrP (t)
= \scrP (u) та \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\rightarrow \infty
\scrP (u+ t)
\scrP (t)
=
1
\scrP ( - u)
;
(vi) в (32) m = 1, тобто
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
u\in R
\scrP (u) = 1;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ORV ПОСЛIДОВНОСТI З НЕВИРОДЖЕНИМИ ГРУПАМИ РЕГУЛЯРНИХ ТОЧОК 945
(vii) для всiх t, u \in \bfR
\scrP (u+ x) \leq \scrP (u)\scrP (x);
(viii) зображення (29), (30) та (31) єдинi.
Перед тим як перейти до доведення теореми 3, зауважимо, що правильним є обернене до
цiєї теореми твердження.
Зауваження 6. Дiйсно, нехай для верхньої граничної функцiї послiдовностi \{ xn\} \in \BbbS \BbbE +
виконуються рiвнiсть (30) iз деяким фiксованим \rho \in \bfR та додатною перiодичною функцiєю
(\scrP (u), u \in \bfR ), для якої \scrP (0) = 1, (32) та твердження (v) – (vii) теореми 3. Тодi з леми 3 випливає
рiвнiсть (31). Рiвностi (30) та (31) показують, що \{ xn\} є ORV послiдовнiстю. Бiльше того, з
цих же рiвностей випливає, що \psi \ast (\lambda ) = \psi \ast (\lambda ) тодi i тiльки тодi, коли \scrP (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda )\scrP ( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda ) = 1,
а оскiльки \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}u\in R \scrP (u) = 1, то
Sper(\scrP ) = \BbbH r(\{ xn\} ).
Отже, \{ xn\} є ORV послiдовнiстю з невиродженою групою регулярних точок.
Доведення теореми 3. Оскiльки \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +, то за теоремою 1 множина \BbbG r(\{ xn\} )
є мультиплiкативною групою.
Нехай c належить \BbbG r(\{ xn\} ) \setminus \{ 1\} . Тодi за теоремою 2
\psi \ast (\lambda ) = \lambda \alpha cPc(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda ), \lambda > 0,
де
\alpha c = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}c \psi (c),
(Pc(u), u \in \bfR ) — додатна перiодична функцiя з перiодом uc = | \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} c | > 0 та
Pc(0) = 1.
Отже, для кожного c \in \BbbG r(\{ xn\} ) \setminus \{ 1\}
Pc(u) = \psi \ast (eu) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - \alpha cu), u \in \bfR . (33)
Тодi з (16) з урахуванням перiодичностi функцiї Pc маємо
0 < mc = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0\leq u\leq uc
Pc(u) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in R
Pc(u) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in R
Pc(u) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq u\leq uc
Pc(u) =Mc <\infty . (34)
Припустимо, що iснують c1, c2 \in \BbbG r(\{ xn\} ) \setminus \{ 1\} такi, що
\alpha 1 = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}c1 \psi (c1) \not = \alpha 2 = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}c2 \psi (c2).
Тодi з (33) та (34) отримуємо
0 < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
mc1
Mc2
,
mc2
Mc1
\biggr\}
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\rightarrow \infty
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
Pc1(u)
Pc2(u)
,
Pc2(u)
Pc1(u)
\biggr\}
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\rightarrow \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - | \alpha 1 - \alpha 2| u) = 0.
Отримана суперечнiсть свiдчить, що всi числа \alpha c для c \in \BbbG r(\{ xn\} ) \setminus \{ 1\} рiвнi мiж собою, а
тому можна покласти
\rho = \alpha c = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}c \psi (c), c \in \BbbG r(\{ xn\} ) \setminus \{ 1\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
946 В. В. ПАВЛЕНКОВ
Це доводить твердження (i).
Якщо 1 \in \{ \psi (c), c \in \BbbG r(\{ xn\} ) \setminus \{ 1\} \} , то iснує \~c \in \BbbG r(\{ xn\} ) \setminus \{ 1\} таке, що \psi (\~c) = 1. Тодi
з твердження (i) випливає, що \rho = 0. Це доводить (ii).
Спiввiдношення (iii) випливає з (i).
Для доведення твердження (vi) покладемо
\scrP (u) = \psi \ast (eu) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - \rho u), u \in \bfR .
Позначивши \lambda = eu, отримаємо (30). Iз (30) та леми 3 маємо
\psi \ast (\lambda ) =
1
\psi \ast
\biggl(
1
\lambda
\biggr) =
\lambda \rho
\scrP ( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda )
, \lambda > 0,
що доводить (31). Iз твердження (i) та (33) отримуємо
\scrP (u) = Pc(u), u \in \bfR ,
для кожного c \in \BbbG r(\{ xn\} ) \setminus \{ 1\} , а тому (\scrP (u), u \in \bfR ) — додатна перiодична функцiя, та
\scrP (0) = 1, оскiльки такою є функцiя (Pc(u), u \in \bfR ). З теореми 2 випливає, що
\BbbH r(\{ xn\} ) \subset
\bigcup
c\in \BbbG r(\{ xn\} )\setminus \{ 1\}
Sper(Pc) \subset Sper(\scrP ).
З iншого боку, рiвностi (30) та (31) показують, що Sper(\scrP ) \subset \BbbH r(\{ xn\} ). Тому
\BbbH r(\{ xn\} ) = Sper(\scrP ).
Крiм того, з (34) маємо
0 < \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c\in \BbbG r(\{ xn\} )\setminus \{ 1\}
mc \leq \scrP (u) \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
c\in \BbbG r(\{ xn\} )\setminus \{ 1\}
Mc <\infty , u \in \bfR ,
звiдки випливає (32). Отже, твердження (iv) доведено.
Спiввiдношення (v) випливають iз теореми 2.
Для доведення (vi) спочатку зауважимо, що в (32) m \leq 1, оскiльки \scrP (0) = 1. Припустимо,
що 0 < m < 1, тобто iснує таке число u\prime \in \bfR , що \scrP (u\prime ) \in (0, 1). Можна вважати u\prime >
> 0, оскiльки функцiя \scrP є перiодичною. Нехай \gamma належить (\scrP (u\prime ), 1). Тодi з твердження (v)
випливає, що iснує таке додатне число t\prime , що
\scrP (t)
\scrP (u\prime + t)
>
1
\gamma
для всiх t \geq t\prime . Тому для всiх n \in \bfN
\scrP (t\prime ) >
\scrP (u\prime + t\prime )
\gamma
>
\scrP (2u\prime + t\prime )
\gamma 2
> . . . >
\scrP (nu\prime + t\prime )
\gamma n
\geq m
\gamma n
,
звiдки, враховуючи (32), маємо
\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in N
m
\gamma n
\leq \scrP (t\prime ) <\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ORV ПОСЛIДОВНОСТI З НЕВИРОДЖЕНИМИ ГРУПАМИ РЕГУЛЯРНИХ ТОЧОК 947
Отримана суперечнiсть доводить, що m = 1, а отже, i твердження (vi) встановлено.
Для доведення (vii) припустимо, що
\scrP (u\prime + t\prime ) = \gamma \prime \scrP (u\prime )\scrP (t\prime )
для деяких u\prime , t\prime \in \bfR та \gamma \prime > 1. Тодi для всiх n \in \bfN
\scrP (u\prime + t\prime + nu0)
\scrP (t\prime + nu0)
= \gamma \prime \scrP (u\prime ),
де u0 — деякий додатний перiод функцiї \scrP . Тому з тверджень (v) та (vi) маємо
1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\scrP (u\prime + t)
\scrP (t)\scrP (u\prime )
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
\scrP (u\prime + t\prime + nu0)
\scrP (t\prime + nu0)\scrP (u\prime )
= \gamma \prime > 1.
Ця суперечнiсть доводить (vii).
Єдинiсть зображень (30) – (32) випливає з (i).
Отже, теорему 3 доведено.
З теореми 3 випливає такий результат.
Наслiдок 2. Нехай \{ xn\} \in \BbbS \BbbE + — ORV послiдовнiсть iз невиродженою групою регулярних
точок \BbbG r(\{ xn\} ) та iндексом \rho . Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0+
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\psi \ast (\lambda )
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\psi \ast (\lambda )
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda
= \rho
та
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0+
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\psi \ast (\lambda )
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\psi \ast (\lambda )
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda
= \rho .
Означення 2. Показник \rho з твердження (iii) теореми 3 будемо називати iндексом, а
функцiю \scrP з твердження (iv) теореми 3 — перiодичною компонентою ORV послiдовностi з
невиродженою групою регулярних точок.
Теорема 3 показує, що для ORV послiдовностi з невиродженою групою регулярних точок її
граничнi функцiї однозначно визначаються iндексом \rho та перiодичною компонентою \scrP . Крiм
того, з теореми 3 випливає, що серед усiх ORV послiдовностей з невиродженими групами
регулярних точок iндекс \rho = 0 мають OSV послiдовностi i лише вони.
4. Фактор-зображення ORV послiдовностей з невиродженими групами регулярних то-
чок. У попередньому пунктi було доведено теореми про зображення граничних функцiй ORV
послiдовностей з невиродженими групами регулярних точок. У цьому пунктi будуть розглянутi
зображення самих послiдовностей.
Лема 5. Нехай \{ xn\} \in \BbbS \BbbE + — ORV послiдовнiсть iз невиродженою групою регулярних то-
чок \BbbG r(\{ xn\} ), iндексом \rho та перiодичною компонентою \scrP . Тодi iснує така OSV послiдовнiсть
\{ sn\} \in \BbbS \BbbE +, що
xn = n\rho sn, n \in \bfN , (35)
та верхня гранична функцiя послiдовностi \{ sn\} має вигляд
\psi \ast
\{ sn\} (\lambda ) = \scrP (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda ), \lambda > 0. (36)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
948 В. В. ПАВЛЕНКОВ
Доведення. З теореми 3 випливає зображення (30). Покладемо
sn =
xn
n\rho
, n \in \bfN .
Тодi, оскiльки \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +, \{ sn\} теж належить \BbbS \BbbE +. Iз (30) маємо
\psi \ast
\{ sn\} (\lambda ) = \lambda - \rho \psi \ast
\{ xn\} (\lambda ) = \scrP (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda ), \lambda > 0,
що доводить (36). Бiльше того, iз твердження (iv) теореми 3 випливає, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\lambda >0
\psi \ast
\{ sn\} (\lambda ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in R
\scrP (u) <\infty ,
отже, \{ sn\} — OSV послiдовнiсть.
Нагадаємо (див. [8]), що вимiрна функцiя (f(t), t > 0), додатна для всiх великих t, нази-
вається OSV функцiєю, якщо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\lambda >0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
f(\lambda t)
f(t)
<\infty .
У роботi [8] показано, що вимiрна f є OSV функцiєю тодi i тiльки тодi, коли
f(t) = \ell (t)s(t), t > 0,
де \ell — повiльно змiнна в сенсi Карамати функцiя, s — вимiрна функцiя, така, що s та
1
s
обмеженi на (0,\infty ). Подiбне твердження справедливе i для OSV послiдовностей.
Твердження 1. Нехай \{ xn\} належить \BbbS \BbbE +. Послiдовнiсть \{ xn\} є OSV послiдовнiстю
тодi i тiльки тодi, коли вона має вигляд
xn = \ell nsn, n \in \bfN ,
де \{ \ell n\} — SV послiдовнiсть, \{ sn\} ,
\biggl\{
1
sn
\biggr\}
є обмеженими та \{ sn\} \in \BbbS \BbbE +.
Доведення. Покладемо f(t) = x[t], t \geq 1. Зауважимо, що
f(\lambda t)
f(t)
=
x[\lambda t]
x[t]
=
x[\lambda t]
x[\lambda [t]]
x[\lambda [t]]
x[t]
, \lambda > 0, t \geq 1.
Для послiдовностей \{ xn\} \in \BbbS \BbbE + з рiвностi (9) випливає, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x[\lambda t]
x[\lambda [t]]
= 1, \lambda > 0,
оскiльки 0 \leq [\lambda t] - [\lambda [t]] \leq \lambda + 1, \lambda > 0, t \geq 1. Тому для \{ xn\} \in \BbbS \BbbE + умови \{ xn\} — OSV
послiдовнiсть та f — OSV функцiя є еквiвалентними. Отже, твердження 1 випливає з результату
Д. Дразiна та Е. Сенети [8].
Тепер ми можемо сформулювати теорему про фактор-зображення послiдовностей iз неви-
родженими групами регулярних точок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ORV ПОСЛIДОВНОСТI З НЕВИРОДЖЕНИМИ ГРУПАМИ РЕГУЛЯРНИХ ТОЧОК 949
Теорема 4. Нехай \{ xn\} належить \BbbS +. Послiдовнiсть \{ xn\} належить \BbbS \BbbE + та є ORV
послiдовнiстю з невиродженою групою регулярних точок \BbbG r(\{ xn\} ) тодi i тiльки тодi, коли
\{ xn\} можна подати у виглядi
xn = rnsn, n \in \bfN , (37)
де
(A1) \{ rn\} — RV послiдовнiсть;
(A2) \{ sn\} належить \BbbS \BbbE +;
(A3) послiдовностi \{ sn\} ,
\biggl\{
1
sn
\biggr\}
є обмеженими;
(A4) верхня гранична функцiя послiдовностi \{ sn\} має вигляд
\psi \ast
\{ sn\} (\lambda ) = \scrP (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda ), \lambda > 0,
де (\scrP (u), u \in \bfR ) — додатна перiодична функцiя, \scrP (0) = 1 та
0 < \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in R
\scrP (u) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in R
\scrP (u) <\infty .
Бiльше того, якщо виконуються (37) та (A1) – (A4), то
(A5) iндекс послiдовностi \{ rn\} збiгається з iндексом послiдовностi \{ xn\} ;
(A6) Sper(\scrP ) = \BbbH r(\{ xn\} );
(A7) для всiх u \in \bfR
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\scrP (u+ t)
\scrP (t)
= \scrP (u) та \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\rightarrow \infty
\scrP (u+ t)
\scrP (t)
=
1
\scrP ( - u)
;
(A8) \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}u\in R \scrP (u) = 1;
(A9) функцiя \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\scrP субадитивна;
(A10) \BbbG r(\{ xn\} ) = \BbbG r(\{ sn\} ).
Доведення. Нехай \{ xn\} належить \BbbS \BbbE + та є ORV послiдовнiстю з невиродженою групою
регулярних точок \BbbG r(\{ xn\} ). Тодi (37) та (A1) – (A10) випливають iз леми 5, твердження 1 та
теореми 3.
Нехай виконуються (37) та (A1) – (A4). Безпосередньо перевiряється, що тодi \{ xn\} нале-
жить \BbbS \BbbE + та є ORV послiдовнiстю з невиродженою групою регулярних точок \BbbG r(\{ xn\} ). Тому
справджується теорема 3, звiдки випливають (A5) – (A10).
Теорему 4 доведено.
Для RV послiдовностi \{ xn\} з iндексом \rho вiдомо (див., наприклад, [4]), що f(t) = x[t], t \geq 1,
є RV функцiєю з iндексом \rho . Також вiдомо (див. [3]), що для RV функцiї f з iндексом \rho
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(t)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} t
= \rho ,
звiдки для RV послiдовностi \{ xn\} з iндексом \rho
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} xn
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
= \rho .
Подiбний результат має мiсце i для ORV послiдовностей з невиродженими групами регу-
лярних точок та випливає з теореми 4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
950 В. В. ПАВЛЕНКОВ
Наслiдок 3. Нехай \{ xn\} \in \BbbS \BbbE + є ORV послiдовнiстю з невиродженою групою регулярних
точок \BbbG r(\{ xn\} ) та iндексом \rho . Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} xn
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
= \rho .
Доведення. З (37) та (A1), (A3), (A6) теореми 4 випливає
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} xn
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} rn
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
+ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} sn
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} rn
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
= \rho .
5. Зображення типу iнтегральних зображень Карамати. Для RV послiдовностей вiдомi
зображення, якi є аналогами iнтегральних зображень Карамати RV функцiй. Справедливим є
таке твердження (див. [4, 9]).
Твердження 2. Нехай \{ xn\} належить \BbbS +. Послiдовнiсть \{ xn\} є RV послiдовнiстю з
iндексом \rho тодi i тiльки тодi, коли iснують такi послiдовностi \{ cn\} , \{ \delta n\} , що
xn = n\rho cn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
n\sum
k=1
\delta k
k
\Biggr)
, n \in \bfN ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
cn = c \in (0,\infty ), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\delta n = 0.
Наступна теорема встановлює подiбне зображення для ORV послiдовностей iз невиродже-
ними групами регулярних точок та є очевидним наслiдком теореми 4 та твердження 2.
Теорема 5. Нехай \{ xn\} належить \BbbS +. Послiдовнiсть \{ xn\} належить \BbbS \BbbE + та є ORV
послiдовнiстю з невиродженою групою регулярних точок \BbbG r(\{ xn\} ) тодi i тiльки тодi, коли
\{ xn\} можна подати у виглядi
xn = n\rho cn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
n\sum
k=1
\delta k
k
\Biggr)
, n \in \bfN , (38)
де
(B1) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \delta n = 0;
(B2) \{ cn\} належить \BbbS \BbbE +;
(B3) послiдовностi \{ cn\} ,
\biggl\{
1
cn
\biggr\}
є обмеженими;
(B4) верхня гранична функцiя послiдовностi \{ cn\} має вигляд
\psi \ast
\{ cn\} (\lambda ) = \scrP (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda ), \lambda > 0,
де (\scrP (u), u \in \bfR ) — додатна перiодична функцiя, \scrP (0) = 1 та
0 < \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in R
\scrP (u) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in R
\scrP (u) <\infty .
Бiльше того, якщо виконуються (38) та (B1) – (B4), то
(B5) iндекс послiдовностi \{ xn\} збiгається з \rho ;
(B6) Sper(\scrP ) = \BbbH r(\{ xn\} );
(B7) для всiх u \in \bfR
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ORV ПОСЛIДОВНОСТI З НЕВИРОДЖЕНИМИ ГРУПАМИ РЕГУЛЯРНИХ ТОЧОК 951
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\scrP (u+ t)
\scrP (t)
= \scrP (u) та \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\rightarrow \infty
\scrP (u+ t)
\scrP (t)
=
1
\scrP ( - u)
;
(B8) \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}u\in R \scrP (u) = 1;
(B9) функцiя \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\scrP субадитивна;
(B10) \BbbG r(\{ xn\} ) = \BbbG r(\{ cn\} ).
6. Висновки. В роботi дослiджено клас ORV послiдовностей iз невиродженими групами
регулярних точок. Для таких послiдовностей розглянуто граничнi функцiї, за допомогою яких
означуються поняття RV та ORV послiдовностей. Для граничних функцiй встановлено їх зобра-
ження. Також отримано зображення самих послiдовностей. Отриманi результати є аналогами
подiбних результатiв для ORV функцiй iз невиродженими групами регулярних точок.
Встановлено i деякi вiдмiнностi мiж ORV послiдовностями та ORV функцiями з невиро-
дженими групами регулярних точок. Так, для послiдовностей, на вiдмiну вiд функцiй, множина
регулярних точок не завжди є мультиплiкативною групою.
Лiтература
1. Aljancić S., Arandelović D. O-regularly varying functions // Publ. Inst. Math. (Beograd). – 1977. – 22. – P. 5 – 22.
2. Avakumovic V. G. Sur une extension de la condition de convergence des theorems inverses de sommabilite //
C. R. Acad. Sci. Paris. – 1935. – 200. – P. 1515 – 1517.
3. Bingham N. M., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987. – 508 p.
4. Bojanic R., Seneta E. A unified theory of regularly varying sequences // Math. Z. – 1973. – 134. – S. 91 – 106.
5. Булдигiн В. В., Iндлекофер К.-Х., Клесов О. I., Штайнебах Й. Г. Псевдорегулярнi функцiї та узагальненi
процеси вiдновлення. – Київ: ТВiМС, 2012. – 441 с.
6. Булдигiн В. В., Клесов О. I., Штайнебах Й. Г. Про деякi властивостi асимптотично квазiобернених функцiй та
їх застосування. I // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 2004. – 70. – С. 9 – 25.
7. Buldygin V. V., Klesov O. I., Steinebach J. G. On factorization representation for Avakumovic – Karamata functions
with nondegenerate groups of regular points // Anal. Math. – 2004. – 30. – P. 161 – 192.
8. Drasin D., Seneta E. A generalization of slowly varying functions // Proc. Amer. Math. Soc. – 1986. – 96. –
P. 470 – 472.
9. Galambos J., Seneta E. Regularly varying sequences // Proc. Amer. Math. Soc. – 1973. – 41. – P. 110 – 116.
10. Karamata J. Sur certains “Tauberian theorems” de M. M. Hardy et Littlewood // Mathematica (Cluj). – 1930. – 3. –
P. 33 – 48.
11. Karamata J. Sur un mode de croissance reguliere // Mathematica (Cluj). – 1930. – 4. – P. 38 – 53.
12. Karamata J. Sur un mode de croissance régulière. Théoremès fondamentaux // Bull. Soc. Math. France. – 1933. –
61. – P. 55 – 62.
13. Kubilius J. Probabilistic method in the theory of numbers // Transl. Math. Monogr. – 1964. – 11. – 184 p.
14. Weissman I. A note on Bojanic – Seneta theory of regularly varying sequences // Math. Z. – 1976. – 151. – S. 29 – 30.
Одержано 20.12.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1607 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:02Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f9/932ad38b02cbb92acf96faeca60195f9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16072019-12-05T09:20:38Z ORV sequences with nondegenerate groups of regular points ORV послідовності з невиродженими групами регулярних точок Pavlenkov, V. V. Павленков, В. В. We define a class of ORV sequences with nondegenerate groups of regular points and consider some properties of this sequences. Определен класс ORV последовательностей с невырожденными группами регулярных точек и рассмотрены свойства таких последовательностей. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1607 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 7 (2018); 933-951 Український математичний журнал; Том 70 № 7 (2018); 933-951 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1607/589 Copyright (c) 2018 Pavlenkov V. V. |
| spellingShingle | Pavlenkov, V. V. Павленков, В. В. ORV sequences with nondegenerate groups of regular points |
| title | ORV sequences with nondegenerate groups of regular points |
| title_alt | ORV послідовності з невиродженими групами регулярних точок |
| title_full | ORV sequences with nondegenerate groups of regular points |
| title_fullStr | ORV sequences with nondegenerate groups of regular points |
| title_full_unstemmed | ORV sequences with nondegenerate groups of regular points |
| title_short | ORV sequences with nondegenerate groups of regular points |
| title_sort | orv sequences with nondegenerate groups of regular points |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1607 |
| work_keys_str_mv | AT pavlenkovvv orvsequenceswithnondegenerategroupsofregularpoints AT pavlenkovvv orvsequenceswithnondegenerategroupsofregularpoints AT pavlenkovvv orvposlídovnostíznevirodženimigrupamiregulârnihtočok AT pavlenkovvv orvposlídovnostíznevirodženimigrupamiregulârnihtočok |