On convergence of mappings in metric spaces with direct and inverse modulus conditions
For mappings in metric spaces satisfying one inequality with respect to the modulus of families of curves, we establish the property of lightness of the limit mapping. It is shown that the uniform limit of these mappings is a light mapping, whenever the function responsible for the distortion of the...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1608 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507422017191936 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Skvortsov, S. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Skvortsov, S. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:20:38Z |
| description | For mappings in metric spaces satisfying one inequality with respect to the modulus of families of curves, we establish
the property of lightness of the limit mapping. It is shown that the uniform limit of these mappings is a light mapping,
whenever the function responsible for the distortion of the families of curves, is of finite mean oscillation at every point.
In addition, for one class of homeomorphisms of metric spaces, we prove theorems on the equicontinuity of the families of
inverse mappings. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов (Житомир. гос. ун-т им. И. Франко)
О СХОДИМОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
С ПРЯМЫМИ И ОБРАТНЫМИ МОДУЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
For mappings in metric spaces satisfying one inequality with respect to the modulus of families of curves, we establish
the property of lightness of the limit mapping. It is shown that the uniform limit of these mappings is a light mapping,
whenever the function responsible for the distortion of the families of curves, is of finite mean oscillation at every point.
In addition, for one class of homeomorphisms of metric spaces, we prove theorems on the equicontinuity of the families of
inverse mappings.
Для вiдображень метричних просторiв, що задовольняють одну оцiнку модуля сiмей кривих, отримано результат про
нульвимiрнiсть граничного вiдображення. Доведено, що рiвномiрною границею послiдовностi вказаних вiдображень
є нульвимiрне вiдображення, як тiльки мажоранта, що вiдповiдає за спотворення сiмей кривих, має скiнченне
середнє коливання в кожнiй точцi. Крiм того, для одного класу гомеоморфiзмiв метричних просторiв отримано
теореми про одностайну неперервнiсть сiмей обернених вiдображень.
1. Введение. Настоящая работа посвящена изучению емкостно-модульной техники и квази-
конформных отображений в метрических пространствах. Как известно, указанные вопросы
активно исследуются последнее время (см., например, [1 – 6]). Основная цель статьи — изучить
сходимость отображений в метрических пространствах, в которых принципиально возможно
применение аппарата модулей семейств кривых. В статье поочередно рассматриваются отоб-
ражения с прямыми и обратными модульными условиями. В пункте 2 рассмотрены обратные
модульные неравенства, которым удовлетворяют прямые отображения, в пункте 3, наоборот,
модульные условия — прямые, а рассматриваемые отображения — обратные. Круг изучаемых
вопросов включает в себя также глобальное поведение отображений (сходимость отображений
в замыкании заданной области). Основные определения и обозначения, используемые в статье,
можно найти в монографиях [7, 8].
Как известно, частью определения квазиконформных отображений является неравенство
M(\Gamma ) \leq KM(f(\Gamma )), (1)
где M — модуль семейств кривых \Gamma , а K — коэффициент квазиконформности (см. [9]). Неравен-
ство (1) также выполнено для квазиконформных отображений с ветвлением, которые принято
называть квазирегулярными отображениями (см. [7]). В последнем случае в (1) следует взять
K := N(f,A)KO(f), где KO = \mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}KO(x, f), KO(x, f) — внешняя дилатация, а N(f,A)
— максимальная кратность отображения f на множестве A, которому принадлежат образы кри-
вых семейства \Gamma (см. [10], теорема 3.2, либо [7], теорема 6.7, гл. II). По поводу отображений
с ограниченным искажением евклидового пространства также установлено, что они открыты
и дискретны и, в частности, являются нульмерными отображениями (см. [7], теорема I.4.1).
(Отображение f : D \rightarrow \BbbR n = \BbbR n \cup \{ \infty \} называется нульмерным, если \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \{ f - 1(y)\} = 0 для
каждого y \in \BbbR n, где \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} обозначает топологическую размерность множества [11].)
Рассмотрим следующий вопрос: будет ли произвольное отображение, удовлетворяющее
оценке (1), открытым и дискретным (нульмерным)? Положительный ответ для пространства
c\bigcirc Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ, 2018
952 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
О СХОДИМОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 953
\BbbR n дан в работе [12], где рассматривается даже более общее условие вида
M(\Gamma ) \leq
\int
D\prime
Q(y)\rho n\ast (y) d\mu
\prime (y). (2)
Здесь Q — заданная измеримая по Лебегу функция, удовлетворяющая условию типа FMO
[8], \rho \ast — произвольная неотрицательная борелевская функция такая, что
\int
\gamma \ast
\rho \ast (y)ds \geq 1
\forall \gamma \ast \in f(\Gamma ), область D\prime = f(D), а M — конформный модуль семейства кривых. Более то-
го, достаточно, чтобы f было пределом последовательности отображений, удовлетворяющих
условию (2) (см. [13], теорема), а вместо показателя n в правой части (2) можно брать произ-
вольное число p \in (n - 1, n].
В настоящей статье мы хотим распространить указанный результат на метрические про-
странства и, тем самым, подытожить наши исследования в этом направлении. Ниже мы по-
кажем, что аналогичное утверждение имеет место в пространствах, регулярных по Альфорсу,
в которых выполнено так называемое (1, p)-неравенство Пуанкаре, где p \in (\alpha - 1, \alpha ] и \alpha —
хаусдорфова размерность рассматриваемого метрического пространства. Вместо неравенства
(2) можно использовать несколько более общее соотношение, которое приведено ниже.
Всюду далее (X, d, \mu ) и (X \prime , d\prime , \mu \prime ) — произвольные метрические пространства с метри-
ками d и d\prime , наделенные локально конечными борелевскими мерами \mu и \mu \prime , и конечными
хаусдорфовыми размерностями \alpha \geq 2 и \alpha \prime \geq 2 соответственно. Далее мы считаем известными
определения, связанные с кривыми в метрическом пространстве, длинами дуг, интегралами,
условиями допустимости и т. д. (см. [8], раздел 13). Определения, связанные с регулярностью
по Альфорсу, и (1; p)-неравенство Пуанкаре можно найти, например, в [4] (раздел 7.22).
Пусть G — область в метрическом пространстве (X, d, \mu ). Следуя [8] (раздел 13.4), будем го-
ворить, что локально интегрируемая в X функция \varphi : G\rightarrow \BbbR имеет конечное среднее колебание
в точке x0 \in G
\bigl(
пишем \varphi \in FMO(x0)
\bigr)
, если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow 0
1
\mu (G(x0, \varepsilon ))
\int
G(x0,\varepsilon )
| \varphi (x) - \varphi \varepsilon | d\mu (x) <
<\infty , где \varphi \varepsilon =
1
\mu (G(x0, \varepsilon ))
\int
G(x0,\varepsilon )
\varphi (x) d\mu (x) — среднее интегральное значение функции \varphi (x)
над множеством G(x0, \varepsilon ) = B(x0, \varepsilon )\cap G = \{ x \in X : d(x, x0) < \varepsilon \} \cap G по отношению к мере \mu .
Пусть p \geq 1, тогда p-модулем семейства кривых \Gamma в метрическом пространстве X называется
величина
Mp(\Gamma ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in adm\Gamma
\int
X
\rho p(x) d\mu (x).
Областью D в метрическом пространстве X называется множество D, являющееся линейно
связным в X. Пусть E, F \subset X — произвольные множества. Обозначим через \Gamma (E,F,D)
семейство всех кривых \gamma : [a, b] \rightarrow X, которые соединяют E и F в D, т. е. \gamma (a) \in E, \gamma (b) \in F
и \gamma (t) \in D при t \in (a, b). Пусть D — область в X. Для y0 \in f(D) и чисел 0 < r1 < r2 < \infty
обозначим
A(y0, r1, r2) =
\bigl\{
y \in X \prime : r1 < d(y, y0) < r2
\bigr\}
, S(y0, r) = \{ y \in X \prime : d(y, y0) = r\} . (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
954 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
Пусть G\prime — область в X \prime и Q : G\prime \rightarrow [0,\infty ] — измеримая относительно меры \mu \prime функция.
Если f : G \rightarrow G\prime — заданное отображение, то для фиксированного y0 \in f(G) и произвольных
0 < r1 < r2 < \infty обозначим через \Gamma (y0, r1, r2) семейство всех кривых \gamma в области G таких,
что f(\gamma ) \in \Gamma (S(y0, r1), S(y0, r2), A(y0, r1, r2)). Для заданных p, q > 1 вместо (1) рассмотрим
неравенство
Mp(\Gamma (y0, r1, r2)) \leq
\int
G\prime
Q(y)\eta q(d\prime (y, y0))d\mu
\prime (y), (4)
выполненное для любой неотрицательной измеримой по Лебегу функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ]
такой, что
r2\int
r1
\eta (r)dr \geq 1. (5)
Пусть (X, d) и (X \prime , d \prime ) — метрические пространства с расстояниями d и d \prime соответственно.
Говорят, что последовательность отображений fk : X \rightarrow X \prime , k = 1, 2, . . . , сходится локально
равномерно к отображению f : X \rightarrow X \prime , если \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in C d
\prime (fk(x), f(x)) \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty на
любом компакте C \subset X. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть (X, d, \mu ) и (X \prime , d\prime , \mu \prime ) — метрические пространства с метриками d
и d\prime , наделенные локально конечными борелевскими мерами \mu и \mu \prime , а G и G\prime — области в
X и X \prime , имеющие конечные хаусдорфовы размерности \alpha \geq 2 и \alpha \prime \geq 2 соответственно.
Предположим, кроме того, что G — локально компактное и локально связное пространство,
\alpha -регулярное по Альфорсу, в котором выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре при некотором
p \in (\alpha - 1, \alpha ].
Пусть fm : G \rightarrow G\prime , m = 1, 2, . . . , — последовательность непрерывных отображений,
сходящаяся локально равномерно к некоторому отображению f : G \rightarrow G\prime . Тогда если fm при
каждом m \in \BbbN удовлетворяет (4) в каждой точке y0 \in f(G) при некотором q \in (1, \alpha \prime ] и
любой неотрицательной измеримой по Лебегу функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ], удовлетворяющей
условию (5), и Q \in FMO в каждой точке y0 \in f(G), то отображение f либо нульмерно,
либо постоянно в G.
2. Формулировка и доказательство основной леммы. Доказательство теоремы 1. Связ-
ный компакт C \subset X будем называть континуумом. Следующая лемма включает в себя основ-
ной результат настоящей работы в наиболее общем случае.
Лемма 1. Предположим, что (X, d, \mu ) и (X \prime , d\prime , \mu \prime ) — метрические пространства с мет-
риками d и d\prime , наделенные локально конечными борелевскими мерами \mu и \mu \prime , а G и G\prime — облас-
ти в X и X \prime , имеющие конечные хаусдорфовы размерности \alpha \geq 2 и \alpha \prime \geq 2 соответственно.
Кроме того, предположим, что G — локально компактное и локально связное пространство,
\alpha -регулярное по Альфорсу, в котором выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре при некотором
p \in (\alpha - 1, \alpha ].
Далее, предположим, что при некотором q \in (1, \alpha \prime ] и каждом y0 \in f(G) найдется \varepsilon 0 > 0,
для которого выполнено соотношение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
О СХОДИМОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 955\int
A(y0,\varepsilon ,\varepsilon 0)
Q(y)\psi q(d\prime (y, y0))d\mu
\prime (y) = o (Iq(\varepsilon , \varepsilon 0)) (6)
для некоторой измеримой по Лебегу функции \psi (t) : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) такой, что
0 < I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\varepsilon 0\int
\varepsilon
\psi (t) dt <\infty
при всех \varepsilon \in (0, \varepsilon 0), где A(y0, \varepsilon , \varepsilon 0) определено в (3) при r1 = \varepsilon , r2 = \varepsilon 0. Потребуем также,
чтобы I(\varepsilon , \varepsilon 0) \rightarrow \infty при \varepsilon \rightarrow 0.
Пусть fm : G \rightarrow G\prime , m = 1, 2, . . . , — последовательность отображений, сходящаяся
локально равномерно к некоторому отображению f : G \rightarrow G\prime . Тогда если fm при каждом
m \in \BbbN удовлетворяет (4) в каждой точке y0 \in f(G) при некотором q \in (1, \alpha \prime ] и любой
неотрицательной измеримой по Лебегу функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] с условием (5), то f либо
нульмерно, либо постоянно.
Доказательство. Если отображение f постоянно, доказывать нечего. Пусть f \not \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.
Предположим противное, а именно, что отображение f не нульмерно. Тогда найдется такое
y0 \in G\prime , что множество \{ f - 1(y0)\} не является всюду разрывным. Следовательно, по определе-
нию, существует невырожденное связное множество C \subset \{ f - 1(y0)\} . Поскольку пространство
X локально компактно, можно считать, что C — континуум.
Так как по предположению f \not \equiv y0, вследствие непрерывности отображения f найдутся
такие x0 \in G и \delta 0 > 0, что B(x0, \delta 0) \subset G и
f(x) \not = y0 \forall x \in B(x0, \delta 0).
Вследствие локальной компактности G можно считать, что B(x0, \delta 0) — компакт в X. Кроме
того, в силу локальной связности G найдется связная окрестность U \subset B(x0, \delta 0). По опреде-
лению U содержит некоторый шар B(x0, \delta 0) \subset U. Заметим, что вследствие регулярности по
Альфорсу метрического пространства X шар B(x0, \delta 0) не может быть одноточечным множест-
вом. Тогда U — невырожденный континуум в G.
Согласно предложению 4.7 [1] при p \in (\alpha - 1, \alpha ] имеем
Mp
\bigl(
\Gamma
\bigl(
C,U,G
\bigr) \bigr)
> 0. (7)
При достаточно большом m \in \BbbN рассмотрим семейство кривых fm
\bigl(
\Gamma
\bigl(
C,U,G
\bigr) \bigr)
. Заметим,
что в силу локально равномерной сходимости fm к f может быть построена подпоследователь-
ность fmk
такая, что d\prime (fmk
(x), y0) < 1/2k при всех k \in \BbbN и всех x \in C. С другой стороны,
f(U) — компакт в X \prime как непрерывный образ компакта, поэтому d\prime (y0, f(U)) \geq \sigma 0 > 0.
Поскольку fm сходится к f локально равномерно, то
d\prime (fm(x), y0) \geq d\prime (f(x), y0) - d\prime (fm(x), f(x)) \geq \sigma 0/2
при всех x \in U и m \geq m0. В таком случае каждая кривая \gamma \in fmk
\bigl(
\Gamma
\bigl(
C,U,G
\bigr) \bigr)
имеет
подкривую \gamma \prime \in \Gamma (S(y0, 1/2
k), S(y0, \sigma 0/2), A(y0, 1/2
k, \sigma 0/2)) при достаточно больших k \geq k0
(см. [8], предложение 13.3). Отсюда \Gamma
\bigl(
C,U,G
\bigr)
> \Gamma fmk
(y0, 1/2
k, \sigma 0/2) и, значит, вследствие
минорирования модуля (см. [14], теорема 1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
956 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
Mp
\bigl(
\Gamma
\bigl(
C,U,G
\bigr) \bigr)
\leq Mp(\Gamma fmk
(y0, 1/2
k, \sigma 0/2)). (8)
Рассмотрим функцию
\eta k(t) =
\left\{ \psi (t)/I(1/2
k, \sigma 0/2), t \in [1/2k, \sigma 0/2],
0, t \in \BbbR \setminus [1/2k, \sigma 0/2],
где I(1/2k, \sigma 0/2) =
\int \sigma 0/2
1/2k
\psi (t)dt. Заметим, что функция \eta k удовлетворяет условию вида (5)
при r1 = 1/2k и r2 = \sigma 0/2. Тогда согласно неравенствам (4), (6) и (8) получаем, что
Mp
\bigl(
\Gamma
\bigl(
C,U,G
\bigr) \bigr)
\leq 1
Iq(1/2k, \sigma 0/2)
\int
A(y0,1/2k,\sigma 0/2)
Q(y)\psi q(d\prime (y, y0)) d\mu
\prime (y) \leq
\leq C
Iq(1/2k, \varepsilon 0)
\int
A(y0,1/2k,\sigma 0/2)
Q(y)\psi q(d\prime (y, y0)) d\mu
\prime (y) \rightarrow 0 (9)
при k \rightarrow \infty . Однако соотношение (9) противоречит неравенству (7). Полученное противоречие
доказывает, что отображение f является нульмерным, что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы 1 следует из леммы 1 и леммы 13.2 [8].
3. О сходимости обратных отображений в метрических пространствах. Теперь рас-
смотрим вопрос о сходимости отображений, удовлетворяющих „обратному” к (4) неравенству.
Такие результаты в пространстве \BbbR n были получены в работе [15] (теорема 6.1), однако имею-
щееся в ней условие фиксации двух точек области нас не вполне устраивает (например, среди
дробно-линейных автоморфизмов единичного круга на себя не более одного такого отображе-
ния). Поэтому мы упомянутое условие нормировки заменим условием \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} f(A) \geq \delta > 0,
которое будем требовать для всех отображений f из рассматриваемого класса и фиксирован-
ного континуума A. Предположим, что f : D \rightarrow D\prime — фиксированное отображение, \alpha и \alpha \prime —
хаусдорфовы размерности областей D \subset X и D\prime \subset X \prime соответственно и вместо требования
(4) выполнено более сильное условие
M\alpha \prime (f(\Gamma )) \leq
\int
D
Q(x)\rho \alpha (x) d\mu (x), (10)
где Q : D \rightarrow [1,\infty ] — фиксированная измеримая функция, а \rho : D \rightarrow [0,\infty ] пробегает класс
борелевских функций, подчиненных неравенству
\int
\gamma
\rho (x)| dx| \geq 1. Будем говорить, что f —
Q-гомеоморфизм в D, если f удовлетворяет условию (10) для каждого семейства кривых \Gamma в
D и произвольной \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma .
В работах [6, 16] был решен вопрос о возможности непрерывного продолжения отображе-
ний данного вида в метрических пространствах (см. [6], лемма 6.1 и теорема 6.1, и [16], лемма 5
и теорема 3). Кроме того, в работе первого автора получено свойство равностепенной непре-
рывности указанных отображений в замыкании области в \BbbR n (см. [15], теорема 6.1). Целью
настоящего пункта является описание сходимости отображений с условием (10) в метрических
пространствах.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
О СХОДИМОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 957
Напомним некоторые определения. Пусть (X, d, \mu ) — метрическое пространство с мерой
\mu . Определим функцию Левнера \phi \alpha : (0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ) на X по правилу
\phi \alpha (t) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ M\alpha (\Gamma (E,F,X)) : \Delta (E,F ) \leq t\} , (11)
где инфимум берется по всем произвольным невырожденным непересекающимся континуумам
E,F в X, относительно которых величина \Delta (E,F ) определяется так:
\Delta (E,F ) :=
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (E,F )
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}F\}
. (12)
Пространство X называется пространством Левнера, если функция \phi n(t) положительна при
всех положительных значениях t (см. [8], раздел 2.5, либо [4], гл. 8). Область D в X будем на-
зывать областью квазиэкстремальной длины относительно p-модуля (сокр. QED-областью),
если M\alpha (\Gamma (E,F,X)) \leq AM\alpha (\Gamma (E,F,D)) для конечного числа A \geq 1 и всех континуумов E и
F в D. Область D будем называть локально линейно связной в точке x0 \in D, если для любой
окрестности U точки x0 найдется окрестность V \subset U такая, что множество V \cap D линейно
связно. В частности, будем говорить, что D локально линейно связна на границе \partial D, если D
локально линейно связна в каждой точке x0 \in \partial D. Докажем следующее утверждение.
Лемма 2. Предположим, что D \subset X и D\prime \subset X \prime — области с конечными хаусдорфовыми
размерностями \alpha \geq 2 и \alpha \prime \geq 2 соответственно, X \prime — \alpha \prime -регулярное по Альфорсу простран-
ство Левнера. Пусть также D\prime является QED-областью. Тогда:
1) в D\prime имеет место свойство сближающихся континуумов: если Ek, Fk — произвольные
континуумы в D\prime такие, что \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}Ek, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}Fk\} \geq \delta , где \delta > 0 — фиксированное число,
и \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (Ek, Fk) \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty , то M\alpha \prime (\Gamma (Ek, Fk, D
\prime )) \rightarrow \infty при k \rightarrow \infty ;
2) граница области D\prime является слабо плоской, т. е. какова бы ни была точка x0 \in \partial D\prime ,
для каждого P > 0 и для любой окрестности U точки x0 найдется окрестность V \subset U
этой же точки такая, что M\alpha \prime (\Gamma (E,F,D\prime )) > P для произвольных континуумов E,F \subset D\prime ,
пересекающих \partial U и \partial V.
Предположим, кроме того, что область D локально линейно связна на D. Tогда:
3) если U — окрестность континуума E0 \subset D, то найдется окрестность V \subset U конти-
нуума E0 такая, что V \cap D — линейно связное множество.
Пусть, кроме того, D и D\prime — компакты в X и X \prime соответственно и Q \in L1(D). Тогда:
4) если f : D \rightarrow D\prime — Q-гомеоморфизм области D на область D\prime , то g = f - 1 продолжа-
ется до непрерывного отображения g : D \rightarrow D\prime , при этом g(D\prime ) = D;
5) если никакая связная компонента границы \partial D\prime не вырождается в точку и fm : D \rightarrow D\prime
— последовательность Q-гомеоморфизмов области D на область D\prime , удовлетворяющих для
некоторого (фиксированного) континуума A \subset D условию \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} fm(A) \geq \delta > 0 при всех
m = 1, 2, . . . , то найдется \delta 1 > 0 такое, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fm(A), \partial D\prime ) > \delta 1 > 0 для всех m \in \BbbN .
Доказательство. Установим вначале свойство 1. Поскольку X \prime по предположению являет-
ся пространством Левнера и, кроме того, является \alpha \prime -регулярным по Альфорсу, то \phi \alpha \prime (t) \rightarrow \infty
при t \rightarrow 0 (см. [4], теорема 8.23). Возьмем произвольное \varepsilon > 0 и для него найдем такое
t0 = t0(\varepsilon ), что при t \in (0, t0) выполнено \phi \alpha \prime (t) > \varepsilon . Положим \Delta (Ek, Fk) = t, где \Delta (Ek, Fk)
определено в (12). Тогда в силу (11)
\varepsilon < M\alpha \prime (\Gamma (Ek, Fk, X
\prime )), (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
958 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
как только t \in (0, t0) и \Delta (Ek, Fk) = t. Заметим, что \Delta (Ek, Fk) \leq 1
\delta
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (Ek, Fk), и ес-
ли \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (Ek, Fk) \in (0, t0\delta ), то \Delta (Ek, Fk) = t \in (0, t0), а значит, имеет место соотноше-
ние (13). Окончательно, для произвольного \varepsilon > 0 нашлось такое t\prime 0 = t0\delta , что как только
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (Ek, Fk) \in (0, t\prime ), выполняется условие (13). Из того, что D\prime является QED-областью
(либо, соответственно, QED-областью относительно D\prime ), вытекает, что
\varepsilon /L < M\alpha \prime (\Gamma (Ek, Fk, D
\prime )),
где L — некоторая фиксированная постоянная, откуда и следует, что M\alpha \prime (\Gamma (Ek, Fk, D
\prime )) \rightarrow \infty
при \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (Ek, Fk) \rightarrow 0, k \rightarrow \infty .
Теперь докажем свойство 2. Для этого воспользуемся свойством 1. Пусть теперь x0 \in \partial D\prime
— произвольная точка. Возьмем произвольную окрестность U точки x0 и произвольное P > 0.
Для числа k \in \BbbN найдем окрестность Vk точки x0, лежащую в шаре B(x0, 2 - k). Рассмотрим
континуумы E и F, пересекающие \partial U и \partial Vk. Заметим, что \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{E},\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}F\} \geq \delta > 0 при
достаточно больших k, поскольку U — фиксированная окрестность, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (\partial Vk, x0) \rightarrow 0 при
k \rightarrow \infty , а \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{E} и \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}F не меньше расстояния между \partial U и \partial Vk. Кроме того, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (E,F ) \leq
\leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} \partial Vk \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty . Тогда в силу свойства 1 M\alpha \prime (\Gamma (E,F,D\prime )) = \alpha k \rightarrow \infty при
k \rightarrow \infty . Подберем k0 так, чтобы \alpha k > P при k \geq k0 (это число k0 полностью определяется
числом P ). Положим V := Vk0 . Тогда получим, что M\alpha \prime (\Gamma (E,F,D\prime )) > P для произвольных
континуумов E,F \subset D\prime , пересекающих \partial U и \partial V, что и требовалось установить.
Доказательство свойства 3 дословно повторяет доказательство леммы 2.2 в [17], и поэтому
мы его не приводим. Свойство 4, за исключением равенства g(D\prime ) = D, g := f - 1 = g| D\prime , сле-
дует из пункта 2 и теоремы 3 в [16]. Равенство g(D\prime ) = D может быть установлено аналогично
заключительной части теоремы 6.1 в [2].
Установим, наконец, свойство 5). Предположим противное, т. е. что для каждого k \in \BbbN
существует m = mk : \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fmk
(A), \partial D\prime ) < 1/k. Без ограничения общности можем считать
последовательность mk монотонно возрастающей. По условию D\prime — компакт, поэтому и \partial D\prime
также компакт как замкнутое подмножество компакта D\prime . Кроме того, fmk
(A) — компакт как
непрерывный образ компакта A при отображении fmk
. Тогда найдутся такие xk \in fmk
(A) и
yk \in \partial D\prime , что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fmk
(A), \partial D\prime ) = d\prime (xk, yk) < 1/k (см. рис. 1). Поскольку \partial D\prime — компакт,
можно считать, что yk \rightarrow y0 \in \partial D\prime , k \rightarrow \infty . Пусть K0 — связная компонента \partial D\prime , содержащая
точку y0. По условию K0 — невырожденный континуум в \partial D\prime , так что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}K0 > a0 > 0.
Согласно пункту 4, при каждом k \in \BbbN отображение gmk
:= f - 1
mk
продолжается до непре-
рывного отображения gmk
: D\prime \rightarrow D, более того, gmk
равномерно непрерывно на D\prime . Тогда
для любого \varepsilon > 0 найдется такое \delta k = \delta k(\varepsilon ) < 1/k, что
d(gmk
(x), gmk
(x0)) < \varepsilon \forall x, x0 \in D\prime , d\prime (x, x0) < \delta k, \delta k < 1/k. (14)
Пусть далее \varepsilon > 0 — произвольное число с условием
\varepsilon <
1
2
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (\partial D,A), (15)
где A — континуум из условия леммы. При каждом фиксированном k \in \BbbN рассмотрим множест-
во Bk :=
\bigcup
x0\in K0
B(x0, \delta k), k \in \BbbN . Заметим, что Bk — открытое множество, содержащее K0.
Другими словами, Bk — некоторая окрестность континуума K0. В силу пункта 3 существует
такая окрестность Uk \subset Bk континуума K0, что Uk\cap D\prime линейно связно. Пусть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}K0 = m0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
О СХОДИМОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 959
Рис. 1
тогда найдутся такие z0, w0 \in K0, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}K0 = d\prime (z0, w0) = m0. Следовательно, можно
выбрать последовательности yk \in Uk \cap D\prime , zk \in Uk \cap D\prime и wk \in Uk \cap D\prime так, что zk \rightarrow z0,
yk \rightarrow y0 и wk \rightarrow w0 при k \rightarrow \infty . Можно считать, что
d(zk, wk) > m0/2 \forall k \in \BbbN . (16)
Соединим последовательно точки zk, yk и wk кривой \gamma k в Uk \cap D\prime (это возможно, поскольку
Uk \cap D\prime линейно связно). Пусть | \gamma k| — как обычно, носитель (образ) кривой \gamma k в D\prime . Тогда
gmk
(| \gamma k| ) — компакт в D. Пусть x \in | \gamma k| , тогда найдется такое x0 \in K0, что x \in B(x0, \delta k).
Зафиксируем \omega \in A \subset D. Поскольку x \in | \gamma k| , то x — внутренняя точка области D\prime , так что
мы можем писать gmk
(x) вместо gmk
(x) для указанных x. Из (14) и (15), в силу неравенства
треугольника для достаточно больших k \in \BbbN , получаем
d(gmk
(x), \omega ) \geq d(\omega , gmk
(x0)) - d(gmk
(x0), gmk
(x)) \geq
\geq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (\partial D,A) - 1
2
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (\partial D,A) =
1
2
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (\partial D,A) > \varepsilon . (17)
Переходя в (17) к инфимуму по всем x \in | \gamma k| и \omega \in A, имеем
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (gmk
(| \gamma k| ), A) > \varepsilon \forall k = 1, 2, . . . . (18)
В силу (18) длина произвольной кривой, соединяющей компакты gmk
(| \gamma k| ) и A в D, не меньше
\varepsilon . Положим \Gamma k := \Gamma (gmk
(| \gamma k| ), A,D), тогда функция \rho (x) = 1/\varepsilon при x \in D и \rho (x) = 0 при
x \not \in D допустима для \Gamma k. По определению отображений fmk
в (10) выполняется
M\alpha \prime (fmk
(\Gamma k)) \leq
1
\varepsilon \alpha
\int
D
Q(x) d\mu (x) = c = c(\varepsilon ,Q) <\infty , (19)
поскольку по условию Q \in L1(D).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
960 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
Однако соотношение (19) противоречит пункту 1. Действительно, \Gamma (fmk
(A), | \gamma k| , D\prime ) =
= fmk
(\Gamma (A, gmk
(| \gamma k| ), D)) = fmk
(\Gamma k), \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} fmk
(A) \geq \delta по условию, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} | \gamma k| \geq d(zk, wk) >
> m0/2 в силу (16), кроме того, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fmk
(A), | \gamma k| ) \leq d\prime (xk, yk) \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty , поскольку
каждая из последовательностей xk и yk сходится при k \rightarrow \infty к точке y0. Тогда в силу пункта 1
M\alpha \prime (\Gamma (fmk
(A), | \gamma k| , D\prime )) =M\alpha \prime (fmk
(\Gamma k)) \rightarrow \infty при k \rightarrow \infty , что противоречит (19). Получен-
ное противоречие опровергает предположение о неравенстве \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fmk
(A), \partial D\prime ) < 1/k.
Лемма 2 доказана.
Будем рассматривать в дальнейшем области D \subset X, удовлетворяющие условию A: любые
две пары точек a \in D, b \in D и c \in D, d \in D можно соединить непересекающимися между
собой кривыми C1 и C2 в области D. В настоящей работе мы покажем, что области в \BbbR n,
n \geq 2, с локально связной границей всегда удовлетворяют условию A (см. предложение 1).
Семейство \frakF отображений f : X \rightarrow X \prime называется равностепенно непрерывным в точке
x0 \in X, если для любого \varepsilon > 0 найдется такое \delta > 0, что d\prime (f(x), f(x0)) < \varepsilon для всех x
таких, что d(x, x0) < \delta , и для всех f \in \frakF . Семейство \frakF равностепенно непрерывно, если
\frakF равностепенно непрерывно в каждой точке x0 \in X. Для областей D \subset X, D\prime \subset X \prime и
произвольной измеримой по Лебегу функции Q : X \rightarrow [1,\infty ], Q(x) \equiv 0 при x \not \in D, обозначим
через RQ(D,D
\prime ) семейство всех гомеоморфизмов g : D\prime \rightarrow D области D\prime на область D таких,
что f = g - 1, f : D \rightarrow D\prime — Q-гомеоморфизм в D. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Предположим, что D \subset X и D\prime \subset X \prime — области с конечными хаусдорфовыми
размерностями \alpha \geq 2 и \alpha \prime \geq 2 соответственно. Пусть также:
1) пространство X \prime является \alpha \prime -регулярным по Альфорсу пространством Левнера,
2) область D локально линейно связна на D, D и D\prime — компакты в X и X \prime соответственно,
кроме того, \partial D содержит не менее двух точек,
3) область D\prime является QED-областью,
4) выполнено условие A,
5) Q \in L1(D).
Тогда семейство RQ(D,D
\prime ) является равностепенно непрерывным в D\prime .
Доказательство проведем от противного. Предположим, что семейство RQ(D,D
\prime ) не яв-
ляется равностепенно непрерывным в некоторой точке y0 \in D\prime . Другими словами, найдутся
такие y0 \in D\prime и \varepsilon 0 > 0, что для любого m \in \BbbN существуют элемент ym \in D\prime с условием
d\prime (ym, y0) < 1/m и гомеоморфизм gm \in RQ(D,D
\prime ) такие, что
d(gm(ym), gm(y0)) \geq \varepsilon 0. (20)
Поскольку по условию D является компактом, можем считать, что последовательности gm(ym)
и gm(y0) сходятся при m \rightarrow \infty к точкам x1 и x2 \in D. В силу неравенства (20) по непрерыв-
ности метрики d(x1, x2) \geq \varepsilon 0. Соединим точку x1 с точкой x1 \in \partial D, а точку x2 с точкой
x2 \in \partial D, x1 \not = x2, непересекающимися кривыми \gamma 1 и \gamma 2 соответственно, так что \gamma i(t) \in D
при 0 < t < 1, \gamma 1(0) = x1, \gamma 1(1) = x1, \gamma 2(0) = x2, \gamma 2(1) = x2 (это возможно по условию
теоремы, см. рис. 2). В случае, когда одна из точек x1 или x2 граничная, отрезки \gamma 1 и \gamma 2
вырождаются в точку по определению.
Пусть U1 и U2 — непересекающиеся окрестности точек xi, i = 1, 2, такие, что Wi := Ui\cap D
— связное множество. Пусть также Pi — непересекающиеся окрестности точек xi, i = 1, 2,
такие, что Li := Pi \cap D — связное множество (все такие окрестности существуют, поскольку
по условию D локально связна на \partial D). Если xi, i = 1, 2, — внутренние точки области D, то
можно выбрать окрестности так, что Li \cap Wj = \varnothing , i, j = 1, 2. Положим fm := g - 1
m . Построим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
О СХОДИМОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 961
Рис. 2
две последовательности z1m \rightarrow x1 и z2m \rightarrow x2 при m\rightarrow \infty , m = 1, 2, . . . , следующим образом.
Поскольку fm — гомеоморфизм, то предельное множество C(fm, x1) лежит на \partial D\prime (см. [8],
предложение 13.5). Поэтому найдется такая точка z1m \in D, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fm(z1m), \partial D\prime ) < 1/m.
Так как D\prime — компакт, то можно считать, что последовательность fm(z1m) \rightarrow p1 \in \partial D\prime при
m\rightarrow \infty . Аналогично строим последовательность z2m : можно считать, что fm(z2m) \rightarrow p2 \in \partial D\prime
при m\rightarrow \infty . Кроме того, можно считать, что z1m \in L1 и z2m \in L2 при всех m \in \BbbN .
Если точка x1 принадлежит D, то последовательность z1m \in D можно выбрать так, что
z1m \in D \cap | \gamma 1| . В этом случае пусть P 1
m обозначает часть кривой | \gamma 1| , соединяющую точки x1
и z1m. Тогда положим Pm := P 1
m \cup W1. В противном случае, если x1 принадлежит \partial D, пусть
Pm — кривая, соединяющая точки z1m и gm(ym) в W1.
Аналогично, если точка x2 принадлежит D, то последовательность z2m \in D можно выбрать
так, что z2m \in D \cap | \gamma 2| . В этом случае пусть P 2
m обозначает часть отрезка | \gamma 2| , соединяющую
точки x2 и z2m. Тогда положим Qm := P 2
m \cup W2. В противном случае, если x2 принадлежит
\partial D, пусть Qm — кривая, соединяющая точки z2m и gm(y0) в W2. По построению Pm и Qm
— непересекающиеся континуумы в D такие, что lm := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (Pm, Qm) > l > 0. Пусть \Gamma m =
= \Gamma (Pm, Qm, D), тогда функция \rho (x) =
\left\{
1
l
, x \in D,
0, x /\in D,
является допустимой для семейства \Gamma m,
поскольку для произвольной (локально спрямляемой) кривой \gamma \in \Gamma m выполнено
\int
\gamma
\rho (x)| dx| \geq
\geq l(\gamma )
l
\geq 1 (здесь l(\gamma ) обозначает длину кривой \gamma ). Поскольку по условию отображения fm
удовлетворяют (10), получаем
M\alpha \prime (fm(\Gamma m)) \leq 1
l\alpha
\int
D
Q(x) d\mu (x) := c <\infty , (21)
так как Q \in L1(D). С другой стороны, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} fm(Pm) \geq d\prime (ym, fm(z1m)) \geq (1/2)d\prime (y0, p1) > 0
и \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} fm(Qm) \geq d\prime (y0, fm(z2m)) \geq (1/2)d\prime (y0, p2) > 0, кроме того, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fm(Pm), fm(Qm)) \leq
\leq d\prime (ym, y0) \rightarrow 0, m\rightarrow \infty . Тогда в силу пункта 1 леммы 2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
962 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
M\alpha \prime (fm(\Gamma m)) =M\alpha \prime (fm(Pm), fm(Qm), D\prime ) \rightarrow \infty , m\rightarrow \infty ,
что противоречит соотношению (21). Полученное противоречие указывает на ошибочность
предположения в (20), что и завершает доказательство теоремы.
Для числа \delta > 0, областей D \subset X, D\prime \subset X \prime , континуума A \subset D и произвольной измеримой
по Лебегу функции Q(x) : X \rightarrow [1,\infty ], Q(x) \equiv 0 при x \not \in D, обозначим через \frakH \delta ,A,Q(D,D
\prime )
семейство всех Q-гомеоморфизмов f : D \rightarrow D\prime , f(D) = D\prime , таких, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} f(A) \geq \delta . Спра-
ведливо следующее утверждение.
Теорема 3. В условиях теоремы 2 каждый элемент g семейства
\frakH - 1
\delta ,A,Q(D,D
\prime ) :=
\bigl\{
g = f - 1 : D\prime \rightarrow D, f \in \frakH \delta ,A,Q(D,D
\prime )
\bigr\}
может быть продолжен по непрерывности до отображения g = f - 1 : D\prime \rightarrow D, причем
g(D\prime ) = D и семейство \frakH - 1
\delta ,A,Q(D,D
\prime ) := \{ g : D\prime \rightarrow D, g| D\prime = g, g \in \frakH - 1
\delta ,A,Q(D,D
\prime )\} является
равностепенно непрерывным в D\prime .
Доказательство. Возможность непрерывного продолжения каждого \frakH - 1
\delta ,A,Q(D,D
\prime ) на гра-
ницу области D\prime — утверждение пункта 3 леммы 2, а равностепенная непрерывность семейства
\frakH - 1
\delta ,A,Q(D,D
\prime ) в D\prime следует из теоремы 2. Равенство g(D\prime ) = D для g \in \frakH - 1
\delta ,A,Q является утвер-
ждением пункта 4 леммы 2. Осталось показать равностепенную непрерывность семейства
\frakH - 1
\delta ,A,Q(D,D
\prime ) на границе области D\prime .
Предположим противное, т. е. найдутся точка z0 \in \partial D\prime , число \varepsilon 0 > 0 и последовательности
zm \in D\prime , zm \rightarrow z0 при m\rightarrow \infty и gm \in \frakH - 1
\delta ,A,Q(D,D
\prime ) такие, что
d(gm(zm), gm(z0)) \geq \varepsilon 0, m = 1, 2, . . . . (22)
Положим gm := gm| D\prime . Поскольку gm по непрерывности продолжается на границу D\prime , можно
считать, что zm \in D\prime , а значит, gm(zm) = gm(zm). Кроме того, найдется еще одна последова-
тельность z\prime m \in D\prime , z\prime m \rightarrow z0 при m \rightarrow \infty , такая, что d(gm(z\prime m), gm(z0)) \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty .
Так как D — компакт, можем считать, что последовательности gm(zm) и gm(z0) являются схо-
дящимися при m \rightarrow \infty . Пусть gm(zm) \rightarrow x1 и gm(z0) \rightarrow x2 при m \rightarrow \infty . По непрерывности
модуля из (22) следует, что d(x1, x2) \geq \varepsilon 0. Более того, так как гомеоморфизмы сохраняют
границу, x2 \in \partial D. Пусть x1 и x2 — произвольные различные точки континуума A, ни одна
из которых не совпадает с x1. В силу условия A можно соединить точки x1 и x1 кривой \gamma 1 :
[0, 1] \rightarrow D, а точки x2 и x2 кривой \gamma 2 : [0, 1] \rightarrow D так, что | \gamma 1| \cap | \gamma 2| = \varnothing , \gamma i(t) \in D
при всех t \in (0, 1), i = 1, 2, \gamma 1(0) = x1, \gamma 1(1) = x1, \gamma 2(0) = x2 и \gamma 2(1) = x2. Так как
D локально связна на своей границе, найдутся непересекающиеся окрестности U1 и U2 то-
чек x1 и x2 соответственно такие, что Wi := D \cap Ui — линейно связное множество. За
счет уменьшения окрестностей Ui, если это необходимо, можем считать, что U1 \cap U2 = \varnothing и
U1\cap | \gamma 2| = \varnothing = U2\cap | \gamma 1| . Мы также можем считать, что gm(zm) \in W1 и gm(z\prime m) \in W2 при всех
m \in \BbbN . Пусть a1 и a2 — произвольные точки, принадлежащие | \gamma 1| \cap W1 и | \gamma 2| \cap W2. Пусть
t1, t2 таковы, что \gamma 1(t1) = a1 и \gamma 2(t2) = a2. Соединим точку a1 с точкой gm(zm) кривой \alpha m :
[t1, 1] \rightarrow W1 такой, что \alpha m(t1) = a1 и \alpha m(1) = gm(zm). Аналогично, соединим точку a2 с
точкой gm(z\prime m) кривой \beta m : [t2, 1] \rightarrow W2 так, что \beta m(t2) = a2 и \beta m(1) = gm(z\prime m) (см. рис. 3).
Положим теперь C1
m(t) =
\Biggl\{
\gamma 1(t), t \in [0, t1],
\alpha m(t), t \in [t1, 1],
C2
m(t) =
\Biggl\{
\gamma 2(t), t \in [0, t2],
\beta m(t), t \in [t2, 1].
Пусть, как
обычно, | C1
m| и | C2
m| — носители кривых C1
m и C2
m соответственно. Заметим, что по построе-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
О СХОДИМОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 963
Рис. 3
нию | C1
m| и | C2
m| — два непересекающихся континуума в D, причем существует такое l0 > 0,
что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (| C1
m| , | C2
m| ) > l0 > 0 при всех m = 1, 2, . . . . Пусть теперь \Gamma m — семейство кривых,
соединяющих | C1
m| и | C2
m| в D. Тогда функция \rho (x) =
\left\{
1
l0
, x \in D,
0, x /\in D,
является допустимой
для семейства \Gamma m и, поскольку по условию отображения fm, fm = g - 1
m , удовлетворяют (10),
получаем
M\alpha \prime (fm(\Gamma m)) \leq 1
l\alpha 0
\int
D
Q(x) d\mu (x) := c = c(l0, Q) <\infty ,
так как Q \in L1(D). С другой стороны, в силу пункта 5 леммы 2 найдется число такое \delta 1 > 0,
что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fm(A), \partial D\prime ) > \delta 1 > 0, m = 1, 2, . . . . Поэтому найдется некоторый номер m1 > m0,
m0 \in \BbbN , такой, что при всех m \geq m1
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} fm(| C1
m| ) \geq d\prime (zm, fm(x1)) \geq
1
2
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fm(A), \partial D\prime ) > \delta 1/2,
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} fm(| C2
m| ) \geq d\prime (z\prime m, fm(x2)) \geq
1
2
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fm(A), \partial D\prime ) > \delta 1/2.
(23)
Кроме того, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fm(| C1
m| , fm(| C2
m| ) \leq d\prime (zm, z
\prime
m) \rightarrow 0 по выбору zm и z\prime m. Тогда в силу
пункта 1 леммы 2 M\alpha \prime (fm(\Gamma m)) = M\alpha \prime (\Gamma (fm(| C1
m| ), fm(| C2
m| ), D\prime )) \rightarrow \infty при m \rightarrow \infty , но
это противоречит соотношению (23). Полученное противоречие указывает на ошибочность
предположения в (22), что и доказывает теорему.
Заметим, что при Q(x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} теорема 3 является ослабленным вариантом теоремы Няк-
ки – Палка о равностепенной непрерывности семейства квазиконформных отображений в за-
мыкании области (см. [19], теорема 3.1).
4. О выполнении условия A в евклидовом пространстве. Для открытого, замкнутого,
либо полуоткрытого интервала I \subset \BbbR и кривой \gamma : I \rightarrow \BbbR n, как обычно, полагаем | \gamma | = \{ x \in
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
964 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
Рис. 4
\in \BbbR n : \exists t \in [a, b] : \gamma (t) = x\} . Как известно, кривая \gamma : I \rightarrow \BbbR n называется жордановой дугой,
если \gamma — гомеоморфизм на I. Справедливо следующее утверждение.
Предложение 1. Пусть D — область в \BbbR n, n \geq 2, локально связная на своей границе. То-
гда любые две пары точек a \in D, b \in D и c \in D, d \in D можно соединить непересекающимися
между собой кривыми \gamma 1 : [0, 1] \rightarrow D и \gamma 2 : [0, 1] \rightarrow D так, что \gamma i(t) \in D при всех t \in (0, 1),
i = 1, 2, \gamma 1(0) = a, \gamma 1(1) = b, \gamma 2(0) = c, \gamma 2(1) = d.
Доказательство. В случае n \geq 3 доказательство очевидно, так как точки области, ло-
кально связной на границе, являются достижимыми изнутри области посредством кривых (см.
[8], предложение 13.2), а множества топологической размерности 1 не разбивают область в \BbbR n,
n \geq 3 (см. [11], следствие 1.5.IV). Пусть теперь n = 2, тогда снова точки c и d не разбивают
область D [11] (следствие 1.5.IV). В таком случае также можно соединить точки a и b жор-
дановой дугой \gamma 1 в D, не проходящей через точки c и d. В силу теоремы Антуана (см. [20],
теорема 4.3, § 4) область D можно отобразить на некоторую область D \ast посредством плоского
гомеоморфизма \varphi : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR 2 так, что \varphi (\gamma 1) = J и J — отрезок в D \ast (см. рис. 4).
Заметим также, что точки границы области D \ast являются достижимыми изнутри D \ast по-
средством кривых. Таким образом, мы можем соединить точки \varphi (c) и \varphi (d) в D \ast посредством
жордановой кривой \alpha 2 : [0, 1] \rightarrow D \ast , которая целиком лежит в D \ast , кроме, возможно, своей
концевой точки \alpha 2(1) = \varphi (d).
Осталось показать, что кривую \alpha 2 можно выбрать так, что она не будет пересекать отрезок
J. Действительно, пусть \alpha 2 пересекает J, а t1 и t2 — соответственно наибольшее и наименьшее
значения t \in [0, 1], для которых \alpha 2(t) \in | J | . Пусть также
J = J(s) = \varphi (a) + (\varphi (b) - \varphi (a))s, s \in [0, 1],
— параметризация отрезка J. Пусть \widetilde s1 и \widetilde s2 \in (0, 1) таковы, что J( \widetilde s1) = \alpha 2(t1) и J( \widetilde s2) =
= \alpha 2(t2). Положим s2 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \widetilde s1, \widetilde s2\} . Пусть e1 = \varphi (b) - \varphi (a) и e2 — единичный вектор,
ортогональный e1. Тогда множество
P\varepsilon = \{ x = \varphi (a) + x1e1 + x2e2, x1 \in ( - \varepsilon , s2 + \varepsilon ), x2 \in ( - \varepsilon , \varepsilon )\} , \varepsilon > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
О СХОДИМОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 965
представляет собой прямоугольник, содержащий | J1| , где J1 — сужение J на отрезок [0, s2].
Выберем \varepsilon > 0 так, что \varphi (c) \not \in P\varepsilon , \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (P\varepsilon , \partial D
\ast ) > \varepsilon . В силу теоремы 1.I в [18] (гл. 5,
§ 46) кривая \alpha 2 пересекает \partial P\varepsilon при некоторых T1 < t1 и T2 > t2. Пусть \alpha 2(T1) = y1 и
\alpha 2(T2) = y2. Поскольку \partial P\varepsilon — связное множество, можно соединить точки y1 и y2 кривой
\alpha \ast (t) : [T1, T2] \rightarrow \partial P\varepsilon . Можно также считать, что кривая \alpha \ast не проходит через точку z0 :
\varphi (a) + (s2 + \varepsilon )e1, так как \partial P\varepsilon \setminus z0 также связно. Окончательно положим
\alpha \ast
2 (t) =
\left\{ \alpha 2(t), t \in [0, 1] \setminus [T1, T2],
\alpha \ast (t), t \in [T1, T2],
и \gamma \ast
2 := \varphi - 1 \circ \alpha \ast
2 . Тогда \gamma 1 соединяет a и b в D, а \gamma \ast
2 — c и d в D, при этом \gamma 1 и \gamma \ast
2 не
пересекаются, что и следовало установить.
Пример 1. Как известно, дробно-линейные автоморфизмы единичного круга \BbbD \subset \BbbC на
себя задаются формулой f(z) = ei\theta
z - a
1 - az
, z \in \BbbD , a \in \BbbC , | a| < 1, \theta \in [0, 2\pi ). Указанные
отображения f являются 1-гомеоморфизмами; все условия теоремы 3 выполняются, кроме
условия \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} f(A) \geq \delta , выполнение которого зависит от конкретного вида этих отображений.
Если, например, \theta = 0 и a = 1/n, n = 1, 2, . . . , то fn(z) =
z - 1/n
1 - z/n
=
nz - 1
n - z
. Положим
A = [0, 1/2], тогда fn(0) = - 1/n \rightarrow 0 и fn(1/2) =
n - 2
2n - 1
\rightarrow 1/2, n \rightarrow \infty . Отсюда видно,
что последовательность fn удовлетворяет условию \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} fn(A) \geq \delta , например, при \delta = 1/4.
Путем непосредственных вычислений убеждаемся в том, что f - 1
n (z) =
z + 1/n
1 + z/n
, а значит, f - 1
n
равномерно сходится к f - 1(z) \equiv z. Таким образом, последовательность f - 1
n (z) равностепенно
непрерывна в \BbbD (что, впрочем, независимо от прямых вычислений следует из теоремы 3).
Если же взять f - 1
n (z) =
z - (n - 1)/n
1 - z(n - 1)/n
=
nz - n+ 1
n - nz + 1
, то, как легко видеть, такая после-
довательность локально равномерно (но не равномерно!) сходится к - 1 в \BbbD . В то же время
f - 1
n (1) = 1. Следовательно, f - 1
n не является равностепенно непрерывной в точке 1. В этом
случае fn(z) =
z + (n - 1)/n
1 + z(n - 1)/n
и условие \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} fn(A) \geq \delta ни при каком \delta > 0, не завися-
щем от n, не может быть выполнено в силу теоремы 3 (что, впрочем, непосредственно видно,
поскольку fn(z) \rightarrow 1 при n\rightarrow \infty локально равномерно, но не равномерно, в \BbbD ).
Пример 2. Пусть p \geq 1 настолько велико, что число n/p(n - 1) меньше 1, и, кроме
того, \alpha \in (0, n/p(n - 1)) — произвольное число. Рассмотрим последовательность отображений
fm : \BbbB n \rightarrow B(0, 2) шара \BbbB n на шар B(0, 2) следующим образом:
fm(x) =
\left\{
1 + | x| \alpha
| x|
\cdot x, 1/m \leq | x| \leq 1,
1 + (1/m)\alpha
(1/m)
\cdot x, 0 < | x| < 1/m .
Заметим, что fm являются Q-гомеоморфизмами в \BbbB n при Q =
\biggl(
1 + | x| \alpha
\alpha | x| \alpha
\biggr) n - 1
\in L1(\BbbB n)
(см. [15], доказательство теоремы 7.1), B(0, 2) является QED-областью (см. [21], лемма 4.3)
и \BbbR n является пространством Левнера (см. [4], теорема 8.2). По построению отображения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
966 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
fm фиксируют бесконечное число точек единичного шара при всех m \geq 2. Равностепенная
непрерывность семейства отображений gm := f - 1
m в B(0, 2),
gm(y) := f - 1
m (y) =
\left\{
y
| y|
(| y| - 1)1/\alpha , 1 + 1/m\alpha \leq | y| < 2,
(1/m)
1 + (1/m)\alpha
\cdot y, 0 < | y| < 1 + 1/m\alpha ,
следует из теоремы 3, однако может быть установлена и непосредственно. Из этой же теоремы
следует равностепенная непрерывность продолженного по непрерывности семейства \{ gm\} \infty m=1
на B(0, 2).
Следует отметить тот факт, что хотя семейство отображений \frakG = \{ gm\} \infty m=1 равностепен-
но непрерывно в B(0, 2), таковым не является «обратное» к ним семейство \frakF = \{ fm\} \infty m=1
(действительно, | fm(xm) - f(0)| = 1 + 1/m \not \rightarrow 0 при m\rightarrow \infty , где | xm| = 1/m).
Теперь исследуем последовательность gm в контексте утверждения теоремы 1. Нетрудно
проверить, что последовательность gm равномерно сходится в B(0, 2) к отображению
g(y) :=
\left\{
y
| y|
(| y| - 1)1/\alpha , 1 < | y| < 2,
0, 0 < | y| < 1 + 1/m\alpha ,
которое не является ни постоянным, ни нульмерным. В силу теоремы 7.1 в [15] заключаем,
что gm удовлетворяет условию (2) (и тем более условию (4) при p = q = n) при Q =
=
\biggl(
1 + | x| \alpha
\alpha | x| \alpha
\biggr) n - 1
\in Lp, где p — число, выбранное в начале рассмотрения данного примера.
Последнее указывает на то, что условия на функцию Q, содержащиеся в теореме 1, являются
точными в следующем смысле: требование Q \in FMO нельзя заменить условием Q \in Lp ни
для какого (сколь угодно большого) p > 1.
Литература
1. Adamowicz T., Shanmugalingam N. Non-conformal Loewner type estimates for modulus of curve families // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Math. – 2010. – 35. – P. 609 – 626.
2. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yakubov E. The Beltrami equations and prime ends // J. Math. Sci. – 2015. – 210, № 1. –
P. 22 – 51.
3. Hajlasz P., Koskela P. Sobolev met Poincare // Mem. Amer. Math. Soc. – 2000. – 145, № 688. – P. 1 – 101.
4. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. – New York: Springer Science+Business Media, 2001.
5. Onninen J., Rajala K. Quasiregular mappings to generalized manifolds // J. Anal. Math. – 2009. – 109. – P. 33 – 79.
6. Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Укр. мат. вестн. –
2007. – 4, № 2. – С. 199 – 234.
7. Rickman S. Quasiregular mappings // Results Math. and Relat. Areas. – Berlin: Springer-Verlag, 1993. – 26, № 3. –
213 p.
8. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Science +
Business Media, LLC, 2009. – 367 p.
9. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lecture Notes Math. – 1971. – 229.
10. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. – 1969. –
448. – P. 1 – 40.
11. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1948. – 165 p.
12. Севостьянов Е. А. Об открытости и дискретности отображений с неограниченной характеристикой квазикон-
формности // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 8. – С. 1128 – 1134.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
О СХОДИМОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 967
13. Севостьянов Е. А. О нульмерности предела последовательности обобщенно квазиконформных отображений //
Мат. заметки. – 2017. – 102, № 4. – С. 586 – 596.
14. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math. – 1957. – 98. – P. 171–219.
15. Севостьянов Е. А. О равностепенной непрерывности гомеоморфизмов с неограниченной характеристикой //
Мат. тр. – 2012. – 15, № 1. – С. 178 – 204.
16. Смоловая Е. С. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах // Укр. мат.
журн. – 2012. – 62, № 5. – С. 682 – 689.
17. Herron J., Koskela P. Quasiextremal distance domains and conformal mappings onto circle domains // Complех Var.
Theor. Appl. – 1990. – 15. – P. 167 – 179.
18. Куратовский К. Топология. – М.: Мир, 1969. – Т. 2.
19. Näkki R., Palka B. Uniform equicontinuity of quasiconformal mappings // Proc. Amer. Math. Soc. – 1973. – 37, № 2. –
P. 427 – 433.
20. Келдыш Л. В. Топологические вложения в евклидово пространство // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1966. – 81. –
P. 3 – 184.
21. Vuorinen M. On the existence of angular limits of n-dimensional quasiconformal mappings // Ark. Mat. – 1980. –
18. – P. 157 – 180.
Получено 30.01.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1608 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:03Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/dc/a4e6c4c683b8699c3fc0a4ece8eaf2dc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16082019-12-05T09:20:38Z On convergence of mappings in metric spaces with direct and inverse modulus conditions О сходимости отображений в метрических пространствах с прямыми и обратными модульными условиями Sevost'yanov, E. A. Skvortsov, S. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. For mappings in metric spaces satisfying one inequality with respect to the modulus of families of curves, we establish the property of lightness of the limit mapping. It is shown that the uniform limit of these mappings is a light mapping, whenever the function responsible for the distortion of the families of curves, is of finite mean oscillation at every point. In addition, for one class of homeomorphisms of metric spaces, we prove theorems on the equicontinuity of the families of inverse mappings. Для вiдображень метричних просторiв, що задовольняють одну оцiнку модуля сiмей кривих, отримано результат про нульвимiрнiсть граничного вiдображення. Доведено, що рiвномiрною границею послiдовностi вказаних вiдображень є нульвимiрне вiдображення, як тiльки мажоранта, що вiдповiдає за спотворення сiмей кривих, має скiнченне середнє коливання в кожнiй точцi. Крiм того, для одного класу гомеоморфiзмiв метричних просторiв отримано теореми про одностайну неперервнiсть сiмей обернених вiдображень Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1608 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 7 (2018); 952-687 Український математичний журнал; Том 70 № 7 (2018); 952-687 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1608/590 Copyright (c) 2018 Sevost'yanov E. A.; Skvortsov S. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Skvortsov, S. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. On convergence of mappings in metric spaces with direct and inverse modulus conditions |
| title | On convergence of mappings in metric spaces with direct
and inverse modulus conditions |
| title_alt | О сходимости отображений в метрических пространствах
с прямыми и обратными модульными условиями |
| title_full | On convergence of mappings in metric spaces with direct
and inverse modulus conditions |
| title_fullStr | On convergence of mappings in metric spaces with direct
and inverse modulus conditions |
| title_full_unstemmed | On convergence of mappings in metric spaces with direct
and inverse modulus conditions |
| title_short | On convergence of mappings in metric spaces with direct
and inverse modulus conditions |
| title_sort | on convergence of mappings in metric spaces with direct
and inverse modulus conditions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1608 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea onconvergenceofmappingsinmetricspaceswithdirectandinversemodulusconditions AT skvortsovsa onconvergenceofmappingsinmetricspaceswithdirectandinversemodulusconditions AT sevostʹânovea onconvergenceofmappingsinmetricspaceswithdirectandinversemodulusconditions AT skvorcovsa onconvergenceofmappingsinmetricspaceswithdirectandinversemodulusconditions AT sevostʹânovea onconvergenceofmappingsinmetricspaceswithdirectandinversemodulusconditions AT skvorcovsa onconvergenceofmappingsinmetricspaceswithdirectandinversemodulusconditions AT sevost039yanovea oshodimostiotobraženijvmetričeskihprostranstvahsprâmymiiobratnymimodulʹnymiusloviâmi AT skvortsovsa oshodimostiotobraženijvmetričeskihprostranstvahsprâmymiiobratnymimodulʹnymiusloviâmi AT sevostʹânovea oshodimostiotobraženijvmetričeskihprostranstvahsprâmymiiobratnymimodulʹnymiusloviâmi AT skvorcovsa oshodimostiotobraženijvmetričeskihprostranstvahsprâmymiiobratnymimodulʹnymiusloviâmi AT sevostʹânovea oshodimostiotobraženijvmetričeskihprostranstvahsprâmymiiobratnymimodulʹnymiusloviâmi AT skvorcovsa oshodimostiotobraženijvmetričeskihprostranstvahsprâmymiiobratnymimodulʹnymiusloviâmi |