Estimation of equimeasurable rearrangements in the anisotropic case
We study the classes of functions satisfying the reverse Holder inequality on segments in the multidimensional case. For these classes, we obtain sharp estimates of the “norms” of equimeasurable rearrangements.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1609 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507421405872128 |
|---|---|
| author | Shanin, R. V. Шанин, Р. В. Шанин, Р. В. |
| author_facet | Shanin, R. V. Шанин, Р. В. Шанин, Р. В. |
| author_sort | Shanin, R. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:20:38Z |
| description | We study the classes of functions satisfying the reverse Holder inequality on segments in the multidimensional case. For
these classes, we obtain sharp estimates of the “norms” of equimeasurable rearrangements. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. В. Шанин (Ин-т математики, экономики и механики, Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
ОЦЕНКИ РАВНОИЗМЕРИМЫХ ПЕРЕСТАНОВОК
В АНИЗОТРОПНОМ СЛУЧАЕ
We study the classes of functions satisfying the reverse Hölder inequality on segments in the multidimensional case. For
these classes, we obtain sharp estimates of the “norms” of equimeasurable rearrangements.
Вивчаються класи функцiй, що задовольняють обернену нерiвнiсть Гьольдера на сегментах у багатовимiрному
випадку. Для таких функцiй отримано точнi оцiнки „норм” рiвновимiрних переставлень.
1. Введение. Обозначим через \Psi класс неотрицательных, непрерывных и строго монотонных
на (0,+\infty ) функций. Для \alpha \in \Psi будем считать, что \alpha (0) := \alpha (0+) (возможно, равное нулю
или бесконечности). Для функций g1 и g2 их композицию будем обозначать так:
(g1 \circ g2)(x) := g1(g2(x)).
В работе изучаются измеримые и неотрицательные функции, за исключением специально от-
меченных случаев.
Для функции f средним порядка \alpha \in \Psi на измеримом множестве E \subset \BbbR d, 0 < | E| < \infty ,
будем называть величину
M\alpha (f,E) := \alpha - 1
\left( 1
| E|
\int
E
\alpha (f(x)) dx
\right) ,
где | E| — лебегова мера множества E. Если \alpha (t) = tp, p \not = 0, то средние порядка \alpha будем
обозначать через Mp(f,E). В случае p = 1 индекс будем опускать.
Сегментом R \subset \BbbR d будем называть параллелепипед со сторонами, параллельными осям ко-
ординат. Сегменты, внутренности которых не пересекаются, будем называть дизъюнктивными.
Для \alpha \in \Psi и сегмента R \subset \BbbR d положим
\alpha (L) = \alpha (L(R)) :=
\left\{ f :
\int
R
\alpha (f(x)) dx < \infty
\right\} .
Пусть сегмент R \subset \BbbR d, функции \alpha и \beta принадлежат \Psi . Для того чтобы неравенство
M\alpha (f,R) \leq M\beta (f,R) (1)
выполнялось для всех f \in \alpha (L)\cap \beta (L), необходимо и достаточно, чтобы функция \varphi = \beta \circ \alpha - 1
была выпуклая вниз1, когда \beta возрастает, и выпуклая вверх2, когда \beta убывает [1, c. 69]. Если
\alpha (t) = tr, \beta (t) = ts, где r < s, rs \not = 0, то неравенство (1) принимает вид
Mr(f,R) \leq Ms(f,R).
1\varphi (\lambda x+ (1 - \lambda )y) \leq \lambda \varphi (x) + (1 - \lambda )\varphi (y) для всех 0 \leq \lambda \leq 1 и всех x, y \in D\varphi .
2\varphi (\lambda x+ (1 - \lambda )y) \geq \lambda \varphi (x) + (1 - \lambda )\varphi (y) для всех 0 \leq \lambda \leq 1 и всех x, y \in D\varphi .
c\bigcirc Р. В. ШАНИН, 2018
968 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ОЦЕНКИ РАВНОИЗМЕРИМЫХ ПЕРЕСТАНОВОК В АНИЗОТРОПНОМ СЛУЧАЕ 969
В частности, последнее неравенство — это простое следствие неравенства Гельдера [1, c. 139;
2, c. 37]. Обратные к нему, в том или ином смысле, неравенства возникают в различных раз-
делах анализа. Так, при исследовании весовых пространств возникают классы Макенхаупта
[3], в теории квазиконформных отображений — классы Геринга [4], при изучении пространства
H1 [5, 6] возникает пространство BMO функций с ограниченным средним колебанием. Заме-
тим, что при изучении свойств всех упомянутых выше классов важную роль играют оценки
равноизмеримых перестановок (см., например, [7 – 9]).
Пусть функции \alpha , \beta , \gamma принадлежат \Psi и \varphi = \beta \circ \alpha - 1 выпуклая вниз, когда \beta возрастает,
и выпуклая вверх, когда \beta убывает. Обозначим
c(\gamma ) :=
\left\{ 1, если \gamma возрастает,
- 1, если \gamma убывает.
Зафиксируем сегмент R0 \subset \BbbR d и определим классы функций, удовлетворяющих обратному
неравенству Гельдера, следующим образом:
RH\alpha ,\beta ,\gamma (R0) :=
\Bigl\{
f \in \alpha (L(R0)) \cap \beta (L(R0)) : \langle f\rangle RH\alpha ,\beta ,\gamma (R0)
< +\infty
\Bigr\}
,
где
\langle f\rangle \alpha ,\beta ,\gamma := \langle f\rangle RH\alpha ,\beta ,\gamma (R0)
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
R\subseteq R0
\biggl(
\gamma (M\beta (f,R))
\gamma (M\alpha (f,R))
\biggr) c(\gamma )
и верхняя грань берется по всем сегментам R \subseteq R0.
Пример 1. Зафиксируем r < s, rs \not = 0, и положим \alpha (t) = tr, \beta (t) = ts. Тогда при любом
\gamma (t) = tk, где k \not = 0, класс RH\alpha ,\beta ,\gamma совпадает с общеизвестным классом RHr,s функций,
удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера.
Пример 2. Положим \alpha (t) = t, \beta (t) = t2 и \gamma (t) = et
2
. Тогда условие
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
R\subseteq R0
\biggl(
\gamma (M\beta (f,R))
\gamma (M\alpha (f,R))
\biggr) c(\gamma )
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
R\subseteq R0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(M2
2 (f,R) - M2(f,R)) < \infty
равносильно условию
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
R\subseteq R0
(M2
2 (f,R) - M2(f,R)) < \infty ,
откуда следует, что класс RH\alpha ,\beta ,\gamma совпадает с подмножеством всех неотрицательных функций
из пространства BMO.
Пример 3. Зафиксируем r < s, rs \not = 0, k \not = 0, и положим \alpha (t) = tr, \beta (t) = ts, \gamma (t) = et
k
.
Любая функция f \in RH\alpha ,\beta ,\gamma (R0) удовлетворяет условию
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
R\subseteq R0
\biggl(
\gamma (M\beta (f,R))
\gamma (M\alpha (f,R))
\biggr) c(\gamma )
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
R\subset R0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(Mk
s (f,R) - Mk
r (f,R)) < \infty .
Это условие равносильно условию
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
R\subseteq R0
\bigl(
Mk
s (f,R) - Mk
r (f,R)
\bigr)
< \infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
970 Р. В. ШАНИН
из которого следует, что класс RH\alpha ,\beta ,\gamma совпадает с классом RH \prime
r,s,k, некоторые свойства кото-
рого изучались в работах [10 – 12]. В частности, в работе [10] установлено, что
f \in RH \prime
1,p,p(I0) \leftrightarrow fp/2 \in BMO(I0),
где 1 < p \leq 2, интервал I0 \subset \BbbR . В работе [11] получены оценки равноизмеримых перестановок
функций из RH \prime
r,s,k(I0), где интервал I0 \subset \BbbR .
В настоящей работе получены оценки равноизмеримых перестановок функций из
RH\alpha ,\beta ,\gamma (R0). Для того чтобы сформулировать основной результат, напомним определение рав-
ноизмеримых перестановок функций.
Определение 1. Равноизмеримыми перестановками функции f (невозрастающей и неубы-
вающей соответственно) называются функции
f\ast (t) \equiv \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
y > 0 : | \{ x \in E : f(x) > y\} | \leq t
\bigr\}
, t \in (0, | E| ),
f\ast (t) \equiv \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
y > 0 : | \{ x \in E : f(x) < y\} | \leq t
\bigr\}
, t \in (0, | E| ).
Определенные таким образом перестановки — непрерывные справа функции.
Замечание. Если | E| < +\infty и t \in (0, | E| ) — точка непрерывности функции f\ast , то
f\ast (t) = f\ast (| E| - t). (2)
Основной результат работы заключается в следующей оценке равноизмеримых перестано-
вок функции.
Теорема. Пусть \alpha , \beta , \gamma \in \Psi , сегмент R0 \subset \BbbR d, f \in RH\alpha ,\beta ,\gamma (R0) и J0 = (0, | R0| ). Тогда
f\ast , f\ast \in RH\alpha ,\beta ,\gamma (J0) и
\langle f\ast \rangle \alpha ,\beta ,\gamma \leq \langle f\rangle \alpha ,\beta ,\gamma , \langle f\ast \rangle \alpha ,\beta ,\gamma \leq \langle f\rangle \alpha ,\beta ,\gamma .
2. Вспомогательные определения и результаты. Для произвольной функции f через Df
будем обозначать ее область определения, через f(Df ) — область значений. Для произвольного
свойства P обозначим
E(P ) :=
\bigl\{
x \in E : P (x)
\bigr\}
.
Лемма 1. Пусть \alpha \in \Psi и f задана на множестве E, 0 < | E| < \infty . Тогда:
1) если \alpha возрастает, то
(\alpha \circ f)\ast (t) = (\alpha \circ f\ast )(t), (\alpha \circ f)\ast (t) = (\alpha \circ f\ast )(t); (3)
2) если \alpha убывает, то
(\alpha \circ f)\ast (t) = (\alpha \circ f\ast )(t), (\alpha \circ f)\ast (t) = (\alpha \circ f\ast )(t). (4)
Доказательство. Пусть \alpha возрастает, t \in (0, | E| ) и y \in
\bigl\{
y > 0 : | E(\alpha \circ f > y)| \leq t
\bigr\}
.
Тогда | E(\alpha \circ f > y)| \leq t < | E| и, таким образом, E \setminus E(\alpha \circ f > y) \not = \varnothing . Отсюда следует,
что y \geq (\alpha \circ f)(x) для некоторого x \in E и, следовательно, y \geq \alpha (0). С другой стороны, так
как (\alpha \circ f)(x) \leq \alpha (+\infty ) для всех x \in E, то E(\alpha \circ f > y) = \varnothing для всех y \geq \alpha (+\infty ). Таким
образом,
(\alpha \circ f)\ast (t) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
y \in \alpha (D\alpha ) : | E(\alpha \circ f > y)| \leq t
\bigr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ОЦЕНКИ РАВНОИЗМЕРИМЫХ ПЕРЕСТАНОВОК В АНИЗОТРОПНОМ СЛУЧАЕ 971
Обозначая z = \alpha - 1(y) и учитывая, что\bigl(
(\alpha \circ f)(x) > y
\bigr)
\leftrightarrow
\bigl(
f(x) > \alpha - 1(y)
\bigr)
для любых x \in E и y \in \alpha (D\alpha ), имеем\bigl\{
y \in \alpha (D\alpha ) : | E(\alpha \circ f > y)| \leq t
\bigr\}
=
\bigl\{
\alpha (z) \in \alpha (D\alpha ) : | E(f > z)| \leq t
\bigr\}
.
Таким образом,
(\alpha \circ f)\ast (t) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
y > 0 : | E(\alpha \circ f > y)| \leq t
\bigr\}
=
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\alpha (z) \in \alpha (D\alpha ) : | E(f > z)| \leq t
\bigr\}
=
= \alpha
\bigl(
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
z > 0 : | E(f > z)| \leq t
\bigr\} \bigr)
= (\alpha \circ f\ast )(t).
Доказательство второго равенства в (3) аналогично, и мы его опускаем.
Пусть теперь \alpha убывает, t \in (0, | E| ) и
y \in
\bigl\{
y > 0 : | E(\alpha \circ f > y)| \leq t
\bigr\}
.
Тогда | E(\alpha \circ f > y)| \leq t < E и, таким образом, E \setminus E(\alpha \circ f > y) \not = \varnothing . Отсюда y \geq (\alpha \circ f)(x) \geq
\geq \alpha (+\infty ) для всех x \in E \setminus E(\alpha \circ f > y). С другой стороны, так как (\alpha \circ f)(x) \leq \alpha (0+) для
всех x \in E, то \bigm| \bigm| E(\alpha \circ f > y)
\bigm| \bigm| = 0 для всех y \geq \alpha (0+).
Таким образом,
(\alpha \circ f)\ast (t) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
y \in \alpha (D\alpha ) : | E(\alpha \circ f > y)| \leq t
\bigr\}
.
Обозначая z = \alpha - 1(y) и учитывая, что\bigl(
\alpha (f(x)) > y
\bigr)
\leftrightarrow
\bigl(
f(x) < \alpha - 1(y)
\bigr)
для любых x \in E и y \in \alpha (D\alpha ), получаем\bigl\{
y \in \alpha (D\alpha ) : | E(\alpha \circ f > y)| \leq t
\bigr\}
=
\bigl\{
\alpha (z) \in \alpha (D\alpha ) : | E(f < z)| \leq t
\bigr\}
.
Таким образом,
(\alpha \circ f)\ast (t) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
y > 0 : | E(\alpha \circ f > y)| \leq t
\bigr\}
=
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\alpha (z) \in \alpha (D\alpha ) : | E(f < z)| \leq t
\bigr\}
=
= \alpha
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
z > 0 : | E(f < z)| \leq t
\bigr\} \bigr)
= (\alpha \circ f\ast )(t).
Второе равенство в (4) доказывается аналогично, поэтому мы его опускаем.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2 [9]. Пусть \varphi выпуклая вниз на интервале (a, b) \subseteq (0,+\infty ), J1 — интервал из \BbbR .
Если функция f принадлежит \varphi (L(J1))\cap L(J1), монотонна на J1 и интервал J2 \subset J1 такой,
что M(f, J1) = M(f, J2), то
M(\varphi \circ f, J2) \leq M(\varphi \circ f, J1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
972 Р. В. ШАНИН
Во многих вопросах анализа важную роль играют леммы о покрытиях. Для дальнейше-
го изложения нам нужны две леммы, которые являются разновидностями известной леммы
Рисса „о восходящем солнце”. При этом лемма 3 используется для работы с невозрастающей
перестановкой, а лемма 4 — для работы с неубывающей перестановкой.
Лемма 3 [7, 13]. Пусть сегмент R0 \subset \BbbR d, функция f \in L(R0) и число A \geq M(f,R0).
Тогда существует такое семейство попарно дизъюнктивных сегментов Rj \subset R0, j \in \BbbN ,
что M(f,Rj) = A, j = 1, 2, . . . , и для почти любой точки x \in R0 \setminus
\bigcup
j\geq 1Rj имеет место
неравенство f(x) \leq A.
Лемма 4 [7, 13]. Пусть сегмент R0 \subset \BbbR d, функция f \in L(R0) и число A \leq M(f,R0).
Тогда существует такое семейство попарно дизъюнктивных сегментов Rj \subset R0, j \in \BbbN ,
что M(f,Rj) = A, j = 1, 2, . . . , и для почти любой точки x \in R0 \setminus
\bigcup
j\geq 1Rj имеет место
неравенство f(x) \geq A.
Для оценки интегралов от композиции функций нам нужна следующая лемма.
Лемма 5 [1, с. 170]. Пусть функции g1 и g2 не возрастают на отрезке [a, b]. Для того
чтобы для любой выпуклой вниз функции \varphi имело место неравенство
b\int
a
\varphi (g1(x)) dx \leq
b\int
a
\varphi (g2(x)) dx,
необходимо и достаточно, чтобы
b\int
a
g1(x) dx =
b\int
a
g2(x) dx,
x\int
a
g1(x) dx \leq
x\int
a
g2(x) dx, a \leq x \leq b.
В леммах 6 и 7 устанавливается свойство перестановок, которое играет важную роль в
дальнейшем изложении.
Лемма 6 [11]. Пусть f задана на сегменте R0, измеримое множество E \subset R0, g = f | E —
сужение f на E, 0 \leq a \leq | R0| - | E| . Тогда существуют такие a1, a2, a \leq a1 \leq a2 \leq a+ | E| ,
что:
a) g\ast (t - a) > f\ast (t) для почти всех t \in (a, a1);
b) g\ast (t - a) = f\ast (t) для почти всех t \in (a1, a2);
c) g\ast (t - a) < f\ast (t) для почти всех t \in (a2, a+ | E| ).
Лемма 7 [11]. Пусть f задана на интервале R0, измеримое множество E \subset R0, g =
= f | E — сужение f на E, 0 \leq a \leq | R0| - | E| . Тогда существуют такие a1, a2, a \leq a1 \leq a2 \leq
\leq a+ | E| , что:
a) g\ast (t - a) < f\ast (t) для почти всех t \in (a, a1);
b) g\ast (t - a) = f\ast (t) для почти всех t \in (a1, a2);
c) g\ast (t - a) > f\ast (t) для почти всех t \in (a2, a+ | E| ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ОЦЕНКИ РАВНОИЗМЕРИМЫХ ПЕРЕСТАНОВОК В АНИЗОТРОПНОМ СЛУЧАЕ 973
3. Доказательство основного результата. Приведенная далее лемма представляет собой
основной технический результат работы. Доказательство этой леммы основано на применении
лемм 5 – 7. Подобный результат был получен в работе [9] другими методами.
Лемма 8. Пусть непрерывная и неотрицательная функция \varphi выпуклая вниз на интервале
(a, b) \subseteq (0,+\infty ), сегмент R0 \subset \BbbR d, функция f такая, что f(x) \in [a, b] для всех x \in R0,
f \in \varphi (L(R0)) \cap L(R0) и F — одна из перестановок f\ast или f\ast . Тогда для любого интерва-
ла J \subset (0, | R0| ) найдется такой набор дизъюнктивных сегментов Rn \subset R0, n \geq 1, что
M(f,Rn) = M(F, J) для всех n \geq 1 и
M(\varphi (F ), J) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
M(\varphi (f), Rn).
Доказательство. Пусть F = f\ast . Сначала докажем утверждение леммы для интервалов
J\delta = (0, \delta ). Для этого применим к сегменту R0 лемму 3 с A = M(f\ast , J\delta ). В результате получим
набор таких дизъюнктивных сегментов Rn \subset R0, n \geq 1, что M(f,Rn) = A и f(x) \leq A для
почти всех x \in R0 \setminus E, где E = \cup nRn, т. е. E \supset \{ x \in R0 : f(x) > A\} \setminus \Omega , где \Omega — некоторое
множество нулевой меры. Поскольку
1
\delta
\delta \int
0
f\ast (t) dt =
1
| E|
\int
E
f(x) dx \leq 1
| E|
| E| \int
0
f\ast (t) dt
и функция f\ast не возрастает, то | E| \leq | J\delta | = \delta .
Обозначим через g := f | E сужение функции f на множество E и
a1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
t \in (0, | R0| ) : f\ast (t) > A
\bigr\}
.
Тогда g\ast (t) = f\ast (t) > A при 0 < t < a1 и g\ast (t) \leq f\ast (t) \leq A при a1 < t \leq | E| . На интервале
J\delta определим функцию h следующим образом:
h(t) =
\left\{
g\ast (t), 0 < t < a1,
A, a1 \leq t < a1 + \delta - | E| ,
g\ast (t - \delta + | E| ), a1 + \delta - | E| \leq t < \delta ,
и докажем неравенство
\delta \int
0
\varphi (f\ast (t)) dt \leq
\delta \int
0
\varphi (h(t)) dt.
В силу леммы 5 достаточно показать, что
\delta \int
0
f\ast (t) dt =
\delta \int
0
h(t) dt = A\delta , (5)
T\int
0
f\ast (t) dt \leq
T\int
0
h(t) dt, 0 \leq T \leq \delta . (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
974 Р. В. ШАНИН
Равенство (5) получаем простыми преобразованиями
\delta \int
0
h(t) dt =
a1\int
0
g\ast (t) dt+
a1+\delta - | E| \int
a1
Adt+
\delta \int
a1+\delta - | E|
g\ast (t - \delta + | E| ) dt =
=
a1\int
0
g\ast (t) dt+A(\delta - | E| ) +
| E| \int
a1
g\ast (t) dt =
| E| \int
0
g\ast (t) dt+A(\delta - | E| ) =
=
\int
E
f(t) dt+A(\delta - | E| ) = A| E| +A(\delta - | E| ) = A\delta .
Для доказательства неравенства (6) покажем, что функция
G(T ) =
T\int
0
(h(t) - f\ast (t)) dt \geq 0, 0 \leq T \leq \delta .
Функция G непрерывна и G(0) = G(\delta ) = 0. Применив к функциям f и g лемму 6 с a = \delta - | E| ,
найдем такое t0 \in (\delta - | E| , \delta ), что
f\ast (t) \leq g\ast (t - \delta + | E| ) при t \in (\delta - | E| , t0),
f\ast (t) \geq g\ast (t - \delta + | E| ) при t \in (t0, \delta ).
Таким образом, если a2 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ t0, a1 + \delta - | E| \} , то h(t) \geq f\ast (t) при t \in (0, a2) и h(t) \leq
\leq f\ast (t) при t \in (a2, \delta ). Отсюда следует, что G(T ) \geq 0 для T \in (0, \delta ), что равносильно (6).
Следовательно,
\delta \int
0
\varphi (f\ast (t)) dt \leq
\delta \int
0
\varphi (h(t)) dt =
=
a1\int
0
\varphi (g\ast (t)) dt+
a1+\delta - | E| \int
a1
\varphi (A)dt+
\delta \int
a1+\delta - | E|
\varphi (g\ast (t - (\delta - | E| ))) dt =
=
| E| \int
0
\varphi (g\ast (t)) dt+ \varphi (A)(\delta - | E| ).
Учитывая неравенство \varphi (A) = \varphi (M(f\ast , J\delta )) \leq M(\varphi \circ f\ast , J\delta ), которое является следствием
неравенства Йенсена, получаем
0 \leq
\delta \int
0
\varphi (f\ast (t)) dt - \varphi (A)\delta \leq
| E| \int
0
\varphi (g\ast (t)) dt - \varphi (A)| E| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ОЦЕНКИ РАВНОИЗМЕРИМЫХ ПЕРЕСТАНОВОК В АНИЗОТРОПНОМ СЛУЧАЕ 975
Умножая почленно полученное неравенство на неравенство
1
\delta
\leq 1
| E|
, имеем
1
\delta
\delta \int
0
\varphi (f\ast (t)) dt - \varphi (A) \leq 1
| E|
| E| \int
0
\varphi (g\ast (t)) dt - \varphi (A).
Отсюда
M(\varphi \circ f\ast , J\delta ) =
1
\delta
\delta \int
0
\varphi (f\ast (t)) dt \leq 1
| E|
| E| \int
0
\varphi (g\ast (t)) dt =
1
| E|
\int
E
\varphi (f(x)) dx =
= M(\varphi \circ f,E) =
1
| E|
\sum
n\geq 1
| Rn| M(\varphi \circ f,Rn) \leq
\leq 1
| E|
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
M(\varphi \circ f,Rn)
\sum
n\geq 1
| Rn| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
M(\varphi \circ f,Rn).
Доказательство случая J\delta = (\delta , | R0| ) аналогично доказательству случая J\delta = (0, \delta ), только
вместо леммы 3 надо применить лемму 4, поэтому мы его не приводим.
Рассмотрим теперь произвольный интервал J \subset (0, | R0| ). Если M(f\ast , J) \geq M(f,R0), то
найдется такой интервал J\delta = (0, \delta ) \supset J, что M(f\ast , J) = M(f\ast , J\delta ), а если M(f\ast , J) <
< M(f,R0), то найдется такой интервал J\delta = (\delta , | R0| ) \supset J, что M(f\ast , J) = M(f\ast , J\delta ).
Применяя лемму 2 к интервалам J и J\delta , получаем
M(\varphi \circ f\ast , J) \leq M(\varphi \circ f\ast , J\delta ).
Отсюда следует, что существует набор таких дизъюнктивных сегментов Rn \subset R0, n \geq 1, что
M(f,Rn) = M(f\ast , J) для всех n \geq 1 и
M(\varphi \circ f\ast , J) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
M(\varphi \circ f,Rn).
Для F = f\ast утверждение леммы следует из (2) и предыдущей части доказательства.
Лемма 8 доказана.
Доказательство теоремы проведем в несколько шагов для F = f\ast . Для F = f\ast оно
аналогично, и поэтому мы его не приводим.
Пусть \beta возрастает и J = (a, b) \subseteq (0, | R0| ) — произвольный интервал. Обозначим
J \prime =
\left\{ (a, b), если \alpha возрастает,
(| R0| - b, | R0| - a), если \alpha убывает.
Применяя к функции \alpha \circ f и интервалу J \prime лемму 8 с \varphi (t) = (\beta \circ \alpha - 1)(t), получаем такой набор
дизъюнктивных сегментов Rn \subset R0, n \geq 1, что M((\alpha \circ f)\ast , J \prime ) = M(\alpha \circ f,Rn) и
M(\varphi \circ (\alpha \circ f)\ast , J \prime ) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
M(\beta \circ f,Rn).
Отсюда, применяя (3), если \alpha возрастает, и (4), если \alpha убывает, а также учитывая (2), имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
976 Р. В. ШАНИН
M((\alpha \circ f)\ast , J \prime ) = M(\alpha \circ f\ast , J), M(\varphi \circ (\alpha \circ f)\ast , J \prime ) = M(\beta \circ f\ast , J).
Таким образом,
M\alpha (f
\ast , J) = M\alpha (f,Rn), n \geq 1, (7)
M\beta (f
\ast , J) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
M\beta (f,Rn). (8)
Отсюда для f \in RH\alpha ,\beta ,\gamma (R0) получаем\biggl(
\gamma (M\beta (f
\ast , J))
\gamma (M\alpha (f\ast , J))
\biggr) c(\gamma )
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
\biggl(
\gamma (M\beta (f,Rn))
\gamma (M\alpha (f,Rn))
\biggr) c(\gamma )
\leq \langle f\rangle RH\alpha ,\beta ,\gamma (R0)
. (9)
Пусть теперь функция \beta убывает. Если функция \alpha убывает, то \beta \circ \alpha - 1 возрастает и выпуклая
вверх. Обратная к ней функция \varphi = \alpha \circ \beta - 1 тоже возрастает и выпуклая вниз. Применяя к
функции \beta \circ f и интервалу
J \prime =
\bigl(
| R0| - b, | R0| - a
\bigr)
лемму 8 с \varphi (t) = (\alpha \circ \beta - 1)(t), получаем такой набор дизъюнктивных сегментов Rn \subset R0,
n \geq 1, что
M((\beta \circ f)\ast , J \prime ) = M(\beta \circ f,Rn), n \geq 1,
M(\varphi \circ (\beta \circ f)\ast , J \prime ) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
M(\alpha \circ f,Rn).
Применяя (4) и (2), находим
M((\beta \circ f)\ast , J \prime ) = M(\beta \circ f\ast , J), M(\varphi \circ (\beta \circ f)\ast , J \prime ) = M(\alpha \circ f\ast , J).
Таким образом,
M\beta (f
\ast , J) = M\beta (f,Rn), n \geq 1, (10)
M\alpha (f
\ast , J) \geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
M\alpha (f,Rn). (11)
Из (10) и (11) следует (9).
Осталось рассмотреть случай, когда функция \beta убывает, а \alpha возрастает. Композиция \beta \circ \alpha - 1
убывает и выпуклая вверх. Обратная к ней функция \alpha \circ \beta - 1 тоже убывает и выпуклая вверх.
Таким образом, метод, использованный в предыдущей части доказательства, здесь неприменим.
Отметим, что функция \beta \circ \alpha - 1 ограничена. Пусть
K := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
(\beta \circ \alpha - 1)(t) : t \in \alpha - 1((0,\infty ))
\bigr\}
.
Тогда функция \varphi (t) = K - (\beta \circ \alpha - 1)(t) возрастает и выпуклая вниз. Применяя к функции \alpha \circ f
и интервалу J лемму 8, получаем такой набор дизъюнктивных сегментов Rn \subset R0, n \geq 1, что
M((\alpha \circ f)\ast , J) = M(\alpha \circ f,Rn) и
M(\varphi \circ (\alpha \circ f)\ast , J) \leq K - \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
M(\beta \circ f,Rn).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
ОЦЕНКИ РАВНОИЗМЕРИМЫХ ПЕРЕСТАНОВОК В АНИЗОТРОПНОМ СЛУЧАЕ 977
Отсюда, применяя (3), имеем
M((\alpha \circ f)\ast , J) = M(\alpha \circ f, J), M(\varphi \circ (\alpha \circ f)\ast , J) = K - M(\beta \circ f\ast , J).
Учитывая, что функция \beta убывает, получаем
M\alpha (f
\ast , J) = M\alpha (f,Rn), n \geq 1, (12)
M\beta (f
\ast , J) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n
M\beta (f,Rn). (13)
Из (12) и (13) следует (9).
Теорема доказана.
Литература
1. Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. Inequalities. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1934. – 314 p.
2. Либ Э., Лосс М. Анализ. – Пер. с англ. – Новосибирск: Науч. книга, 1998. – 276 с.
3. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function // Trans. Amer. Math. Soc. – 1972. –
165. – P. 207 – 226.
4. Gehring F. W. The Lp -integrability of the partial derivatives of a quasicinformal mapping // Acta Math. – 1973. –
130, № 1. – P. 265 – 277.
5. Fefferman C. L., Stein E. M. Hp spaces of several variables // Acta Math. – 1972. – 129. – P. 137 – 193.
6. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation // Communs Pure and Appl. Math. – 1961. – 14,
Issue 3. – P. 415 – 426.
7. Korenovskii A. A. Mean oscillations and equimeasurable rearrangements of functions // Lecture Notes Unione Mat.
Ital. – 2007. – 189 p.
8. Sbordone C. Rearrangement of functions and reverse Jensen inequalities // Proc. Sympos. Pure Math. – 1986. – 45,
Pt II. – P. 325 – 329.
9. Кореновский А. А. О точном продолжении обратного неравенства Гельдера и условия Макенхаупта // Мат.
заметки. – 1992. – 52, вып. 6. – С. 32 – 44.
10. Fiorenza A. BMO regularity for one-dimensional minimizers of some Lagrange problems // J. Convex Anal. –
1997. – 4, № 2. – P. 289 – 303.
11. Shanin R. Equimeasurable rearrangements of functions satisfying the reverse Hölder or the reverse Jensen inequality //
Ric. Mat. – 2015. – 64. – P. 217 – 228.
12. Шанин Р. В. Об обратных неравенствах Гельдера и Йенсена // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика, механiка. –
2012. – 17, вип. 3(15). – С. 60 – 67.
13. Korenovskyy A. A., Lerner A. K., Stokolos A. M. On a multidimensional form of F. Riesz „rising sun” lemma // Proc.
Amer. Math. Soc. – 2005. – 133, № 5. – P. 1437 – 1440.
Получено 14.08.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1609 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:03Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/13/62ee17c0e205a657a7a37ed519689113.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16092019-12-05T09:20:38Z Estimation of equimeasurable rearrangements in the anisotropic case Оценки равноизмеримых перестановок в анизотропном случае Shanin, R. V. Шанин, Р. В. Шанин, Р. В. We study the classes of functions satisfying the reverse Holder inequality on segments in the multidimensional case. For these classes, we obtain sharp estimates of the “norms” of equimeasurable rearrangements. Вивчаються класи функцiй, що задовольняють обернену нерiвнiсть Гьольдера на сегментах у багатовимiрному випадку. Для таких функцiй отримано точнi оцiнки „норм” рiвновимiрних переставлень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1609 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 7 (2018); 968-977 Український математичний журнал; Том 70 № 7 (2018); 968-977 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1609/591 Copyright (c) 2018 Shanin R. V. |
| spellingShingle | Shanin, R. V. Шанин, Р. В. Шанин, Р. В. Estimation of equimeasurable rearrangements in the anisotropic case |
| title | Estimation of equimeasurable rearrangements in the anisotropic case |
| title_alt | Оценки равноизмеримых перестановок в анизотропном случае |
| title_full | Estimation of equimeasurable rearrangements in the anisotropic case |
| title_fullStr | Estimation of equimeasurable rearrangements in the anisotropic case |
| title_full_unstemmed | Estimation of equimeasurable rearrangements in the anisotropic case |
| title_short | Estimation of equimeasurable rearrangements in the anisotropic case |
| title_sort | estimation of equimeasurable rearrangements in the anisotropic case |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1609 |
| work_keys_str_mv | AT shaninrv estimationofequimeasurablerearrangementsintheanisotropiccase AT šaninrv estimationofequimeasurablerearrangementsintheanisotropiccase AT šaninrv estimationofequimeasurablerearrangementsintheanisotropiccase AT shaninrv ocenkiravnoizmerimyhperestanovokvanizotropnomslučae AT šaninrv ocenkiravnoizmerimyhperestanovokvanizotropnomslučae AT šaninrv ocenkiravnoizmerimyhperestanovokvanizotropnomslučae |