Entire solutions of one linear implicit differential-difference equation in Banach spaces
We establish the existence and uniqueness conditions for the solution for the initial problem $Bu\prime (z) = Au(z + h) + f(z),\; z \in C, u(0) = u_0$ in the classes of entire functions of exponential type. Closed linear operators $A$ and $B$ act on Banach spaces and can be degenerate. We also pres...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1616 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507433316646912 |
|---|---|
| author | Gefter, S. L. Piven’, A. L. Гефтер, С. Л. Півень, О. Л. |
| author_facet | Gefter, S. L. Piven’, A. L. Гефтер, С. Л. Півень, О. Л. |
| author_sort | Gefter, S. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:04Z |
| description | We establish the existence and uniqueness conditions for the solution for the initial problem $Bu\prime (z) = Au(z + h) + f(z),\; z \in C, u(0) = u_0$ in the classes of entire functions of exponential type. Closed linear operators $A$ and $B$ act on Banach spaces and can be degenerate. We also present an example of application of abstract results to partial differential equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.983
С. Л. Гефтер, О. Л. Пiвень (Харкiв. нац. ун-т iм. В. Н. Каразiна)
ЦIЛI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО ЛIНIЙНОГО НЕЯВНОГО
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ
У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ
We establish the existence and uniqueness conditions for the solution for the initial problem Bu\prime (z) = Au(z+ h)+ f(z),
z \in \BbbC , u(0) = u0 in the classes of entire functions of exponential type. Closed linear operators A and B act on Banach
spaces and can be degenerate. We also present an example of application of abstract results to partial differential equations.
Одержано умови iснування та єдиностi розв’язку початкової задачi Bu\prime (z) = Au(z+h)+f(z), z \in \BbbC , u(0) = u0 у
класах цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу. Замкненi лiнiйнi оператори A, B дiють у банахових просторах
та можуть бути виродженими. Наведено приклад застосування абстрактних результатiв до диференцiальних рiвнянь
з частинними похiдними.
1. Вступ. Нехай X i Y — комплекснi банаховi простори, IX — тотожний у просторi X
оператор, L(X,Y ) — простiр неперервних лiнiйних операторiв, що дiють з X в Y, та h \in \BbbC .
Розглядається початкова задача
Bu\prime (z) = Au(z + h) + f(z), z \in \BbbC , (1)
u(0) = u0, (2)
де A, B — замкненi лiнiйнi оператори, що дiють з X в Y з областями визначення DA та DB
вiдповiдно, i f : \BbbC \rightarrow Y — цiла вектор-функцiя. Рiвняння (1) називається неявним. Якщо X = Y
та B = IX , то рiвняння (1) є явним.
Означення 1. Цiлу вектор-функцiю u : \BbbC \rightarrow X будемо називати розв’язком рiвняння (1),
якщо вектор-функцiї Au(z), Bu(z) також цiлi та u(z) задовольняє рiвняння (1) при кожному
z \in \BbbC . Пiд розв’язком початкової задачi (1), (2) будемо розумiти розв’язок рiвняння (1), який
задовольняє початкову умову (2).
На вiдмiну вiд класичної теорiї диференцiально-рiзницевих рiвнянь (див., наприклад, [1 –
10]) ми розглядаємо комплексне вiдхилення аргумента, розв’язками задачi (1), (2) вважаємо цiлi
вектор-функцiї i задаємо початкову умову тiльки в однiй точцi. З цiєї точки зору в роботi [11]
вивчався частковий випадок рiвняння (1), а саме, явне однорiдне рiвняння з обмеженим опе-
ратором A. Важливу роль при дослiдженнi цiлих розв’язкiв однорiдного рiвняння вiдiгравали
властивостi операторного ряду Брюв’є (див. [11], роздiли 1, 2, а також пункт 2 цiєї роботи). У
[12, 13] за припущення, що X = Y, A = IX i B \in L(X,X), було вивчено питання про розв’яз-
ки рiвняння (1) скiнченного та нульового експоненцiального типу. В данiй роботi за допомогою
методу спектральних проекторiв типу Рiса, що був запропонований у працях А. Г. Руткаса та
його учнiв [2, 14 – 16], доведено теорему iснування та єдиностi розв’язку задачi (1), (2) у кла-
сi цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу (див. теорему 3). Як наслiдок iз теореми 3
отримано вiдповiдний результат для неявного диференцiального рiвняння (наслiдок 4) i для яв-
ного диференцiального рiвняння iз замкненим оператором, для резольвенти якого точка \lambda = 0
є iзольованою особливою точкою (наслiдок 5). Розглянуто також випадок, коли f(z) — цiла
c\bigcirc С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ, 2018
1044 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ЦIЛI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО ЛIНIЙНОГО НЕЯВНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 1045
вектор-функцiя нульового експоненцiального типу (наслiдок 6). У пунктi 4 наведено приклад
застосування абстрактних результатiв до диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними.
Зазначимо, що рiвняння (1) на дiйснiй пiвосi i бiльш загальнi неявнi диференцiально-
рiзницевi рiвняння вивчались у багатьох роботах (див., наприклад, [2, 17 – 21]). Для явного
лiнiйного диференцiального рiвняння з необмеженим оператором цiлi розв’язки експоненцi-
ального типу вивчались у [22 – 24] та iнших роботах (див. бiблiографiю в статтi [22]).
Цю статтю присвячено 80-рiччю професора Анатолiя Георгiйовича Руткаса.
2. Попереднi вiдомостi. В цьому пунктi будемо вважати, що A \in L(X,X) i B = IX .
Через r(A) будемо позначати спектральний радiус обмеженого оператора A. В роботi [11] для
дослiдження початкової задачi
u\prime (z) = Au(z + h), z \in \BbbC , u(0) = u0, (3)
з таким оператором було введено операторний ряд Брюв’є
FA(z) =
\infty \sum
n=0
1
n!
An(z + nh)n, z \in \BbbC ,
та показано, що при виконаннi умови | h| er(A) < 1 цей ряд є цiлою оператор-функцiєю зi
значеннями в L(X,X). Також у роботi [11] (теорема 2.1) було доведено теорему iснування та
єдиностi розв’язку початкової задачi (3). Наступна теорема встановлює iснування та єдинiсть
розв’язку цiєї задачi при бiльш слабких обмеженнях.
Теорема 1. Нехай A \in L(X,X) та | h| er(A) < 1. Тодi для будь-якого початкового вектора
u0 \in X початкова задача (3) має єдиний розв’язок у класi цiлих вектор-функцiй експоненцi-
ального типу \sigma <
1
| h|
,
u(z) = FA(z)(FA(0))
- 1u0.\biggl(
При h = 0 вважаємо
1
| h|
= \infty та одержуємо вiдомий розв’язок u(z) = eAzu0, який є цiлою
вектор-функцiєю експоненцiального типу.
\biggr)
Доведення. Доведення єдиностi збiгається з аналогiчним доведенням теореми 2.1 [11].
Зазначимо, що iснування розв’язку в роботi [11] доводилось за припущенням | h| er(A) \leq 1
2
.
Розглянемо оператор
FA(0) =
\infty \sum
n=0
nnhnAn
n!
i покажемо, що цей оператор має обмежений обернений. Нехай g(z) =
\sum \infty
n=0
nnhnzn
n!
. Тодi
функцiя g(z) голоморфна у крузi | z| < 1
e| h|
. Оскiльки спектр \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A) оператора A мiститься
в цьому ж крузi, то FA(0) = g(A). За теоремою про вiдображення спектра \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(FA(0)) =
= g(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)). Згiдно з результатом О. Перрона [25] (§2), g(z) =
1
1 - hsz
, де sz — найменший
за модулем корiнь рiвняння s = zehs (див. також [1, с. 181], вправа 5). Тому g(z) \not = 0 при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1046 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
| z| < 1
e| h|
, i, отже, 0 /\in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(FA(0)). Таким чином, оператор FA(0) має обмежений оберне-
ний. Тепер неважко перевiрити, що вектор-функцiя u(z) = FA(z)(FA(0))
- 1u0 є розв’язком
початкової задачi (3) (див. доведення теореми 2.1 [11]).
Теорему доведено.
Наслiдок 1. Нехай виконано умови попередньої теореми. Тодi сiм’я операторiв UA(z) =
= FA(z)(FA(0))
- 1, z \in \BbbC , утворює рiвномiрно неперервну групу з генератором T =
= AFA(h)(FA(0))
- 1, який задовольняє операторне рiвняння T = AehT . Таким чином, FA(z) =
= ezTFA(0), z \in \BbbC .
Доведення. За теоремою 1 для будь-якого u0 \in X вектор-функцiя u(z) = UA(z)u0 є
розв’язком початкової задачi (3). Тому справедливою є операторна тотожнiсть
U \prime
A(z) = AUA(z + h), z \in \BbbC . (4)
Для будь-яких \zeta \in \BbbC та u0 \in X вектор-функцiя w(z) = UA(z + \zeta )u0 є розв’язком початкової
задачi (3) з початковим значенням w(0) = UA(\zeta )u0. Вектор-функцiя w1(z) = UA(z)UA(\zeta )u0 є
розв’язком початкової задачi (3) з тим самим початковим значенням w1(0) = UA(\zeta )u0. Внаслi-
док єдиностi розв’язку початкової задачi (3) маємо w(z) = w1(z). Звiдси випливає справедли-
вiсть операторної тотожностi
UA(z + \zeta ) = UA(z)UA(\zeta ), z, \zeta \in \BbbC .
Отже, сiм’я операторiв UA(z), z \in \BbbC , є групою операторiв та цiлою оператор-функцiєю. Оскiль-
ки оператор-функцiя FA(z) є голоморфною у точцi z = 0, то група UA(z) є рiвномiрно непе-
рервною. Генератором цiєї групи є оператор T = U \prime
A(0) \in L(X,X) i тодi за теоремою 9.6.1
[26, с. 302, 303] UA(z) = ezT . Звiдси з урахуванням тотожностi (4) маємо
T = U \prime
A(0) = AUA(h) = AehT .
Наслiдок доведено.
Зауваження 1. Якщо h = 0, то UA(z) = eAz та T = A.
Тепер у просторi X = Y розглянемо частковий випадок рiвняння (1)
u\prime (z) = Au(z + h) + f(z), z \in \BbbC , (5)
коли оператор A є квазiнiльпотентним. У наступнiй лемi будується розв’язок цього рiвняння у
класi цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу \sigma .
Лема 1. Нехай A — квазiнiльпотентний оператор та f(z) — цiла вектор-функцiя експо-
ненцiального типу \sigma . Тодi вектор-функцiя
u(z) =
\infty \sum
n=0
An
z+nh\int
0
(z + nh - \zeta )n
n!
f(\zeta ) d\zeta (6)
є цiлою вектор-функцiєю експоненцiального типу \sigma , що задовольняє рiвняння (5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ЦIЛI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО ЛIНIЙНОГО НЕЯВНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 1047
Доведення. Якщо f(z) — цiла вектор-функцiя експоненцiального типу \sigma , то для будь-якого
\varepsilon > 0 iснує таке M(\varepsilon ) > 0, що справедливою є оцiнка
\| f(z)\| \leq M(\varepsilon )e(\sigma +\varepsilon )| z| , z \in \BbbC .
Тодi \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| An
z+nh\int
0
(z + nh - \zeta )n
n!
f(\zeta ) d\zeta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq M(\varepsilon )\| An\| | z + nh| n+1
n!
e(\sigma +\varepsilon )| z+nh| \leq
\leq M(\varepsilon )\| An\| e(\sigma +\varepsilon )| z| 2
n(| z| n+1 + nn+1| h| n+1)
n!
e(\sigma +\varepsilon )n| h| \leq
\leq M(\varepsilon )e(\sigma +\varepsilon )| z| \cdot 2n\| An\|
\Biggl(
| z| n+1e(\sigma +\varepsilon )n| h|
n!
+ n| h| n+1en(1+(\sigma +\varepsilon )| h| )
\Biggr)
, z \in \BbbC , n = 0, 1, . . . ,
оскiльки
\biggl(
n
e
\biggr) n
\leq n!. Очевидно, що ряд
\infty \sum
n=0
2n\| An\| | z| n+1e(\sigma +\varepsilon )n| h|
n!
збiгається рiвномiрно в кожному крузi | z| \leq \varrho для будь-якого обмеженого оператора A, а
числовий ряд
\infty \sum
n=0
n \cdot 2n\| An\| | h| n+1en(1+(\sigma +\varepsilon )| h| )
збiгається внаслiдок квазiнiльпотентностi оператора A. Тому ряд у правiй частинi (6) збiгається
рiвномiрно в кожному крузi | z| \leq \varrho i при кожному z \in \BbbC справедливою є оцiнка
\| u(z)\| \leq M(\varepsilon )e(\sigma +\varepsilon )| z|
\Biggl( \infty \sum
n=0
2n\| An\| | z| n+1e(\sigma +\varepsilon )n| h|
n!
+
\infty \sum
n=0
n \cdot 2n\| An\| | h| n+1en(1+(\sigma +\varepsilon )| h| )
\Biggr)
.
Внаслiдок квазiнiльпотентностi оператора A для будь-якого \varepsilon > 0 оператор-функцiя
H\varepsilon (z) =
\infty \sum
n=0
2n\| An\| zne(\sigma +\varepsilon )n| h|
n!
є цiлою функцiєю нульового експоненцiального типу. Тому експоненцiальний тип вектор-
функцiї u(z), яку визначено за допомоги формули (6), не перевищує \sigma . Диференцiюючи вектор-
функцiю (6), отримуємо
u\prime (z) = f(z) +
\infty \sum
n=1
An
z+nh\int
0
(z + nh - \zeta )n - 1
(n - 1)!
f(\zeta ) d\zeta = Au(z + h) + f(z), z \in \BbbC .
Отже, u(z) задовольняє рiвняння (5). Оскiльки експоненцiальний тип u\prime (z) дорiвнює експо-
ненцiальному типу u(z) та u(z + h), то з рiвняння (5) випливає, що експоненцiальний тип
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1048 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
\sigma вектор-функцiї f(z) не перевищує експоненцiальний тип вектор-функцiї u\prime (z) - Au(z + h).
Звiдси одержуємо, що експоненцiальний тип u(z) дорiвнює \sigma .
Лему доведено.
Наступна теорема мiстить достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку початкової зада-
чi (5), (2).
Теорема 2. Нехай A — квазiнiльпотентний оператор та f(z) — цiла вектор-функцiя
експоненцiального типу \sigma . Тодi для будь-якого u0 \in X у класi цiлих вектор-функцiй експонен-
цiального типу не вищого за \sigma iснує єдиний розв’язок початкової задачi (5), (2)
u(z) = UA(z)
\left( u0 -
\infty \sum
m=0
Am
mh\int
0
(mh - \zeta )m
m!
f(\zeta ) d\zeta
\right) +
\infty \sum
n=0
An
z+nh\int
0
(z + nh - \zeta )n
n!
f(\zeta ) d\zeta . (7)
Крiм того, експоненцiальний тип цього розв’язку дорiвнює \sigma .
Доведення. З теореми 1 та леми 1 випливає, що для будь-якого вектора v \in X вектор-
функцiя
u(z) = UA(z)v +
\infty \sum
n=0
An
z+nh\int
0
(z + nh - \zeta )n
n!
f(\zeta ) d\zeta (8)
задовольняє рiвняння (5). Виберемо вектор v \in X таким чином, щоб ця вектор-функцiя задо-
вольняла початкову умову (2). Пiдставляючи (8) у (2), одержуємо
u(0) = v +
\infty \sum
m=0
Am
mh\int
0
(mh - \zeta )m
m!
f(\zeta ) d\zeta = u0.
Звiдси маємо
v = u0 -
\infty \sum
m=0
Am
mh\int
0
(mh - \zeta )m
m!
f(\zeta ) d\zeta ,
та для вектор-функцiї u(z) справедливою є формула (7). Iз результатiв [11] (теорема 1.2) випли-
ває, що для квазiнiльпотентного оператора A експоненцiальний тип оператор-функцiї UA(z)
дорiвнює нулю. Тому за лемою 1 експоненцiальний тип вектор-функцiї u(z) (7) дорiвнює \sigma .
Доведемо єдинiсть розв’язку початкової задачi (5), (2) у класi цiлих вектор-функцiй експо-
ненцiального типу не вищого за \sigma . Припустимо, що iснують два розв’язки u1(z), u2(z) цiєї
задачi, що мають експоненцiальний тип не вищий за \sigma . Тодi вектор функцiя v(z) = u1(z) - u2(z)
є розв’язком задачi (3) з початковим вектором v(0) = 0. Оскiльки експоненцiальний тип цього
розв’язку не перевищує \sigma , то для будь-якого \varepsilon > 0 iснує таке M\varepsilon > 0, що
\| v(z)\| \leq M\varepsilon e
(\sigma +\varepsilon )| z| , z \in \BbbC . (9)
Диференцiюючи рiвняння v\prime (z) = Av(z + h), отримуємо v(n)(0) = Anv(nh), i, отже, згiдно з
оцiнкою (9) експоненцiальний тип вектор-функцiї v(z) є таким:
\sigma v = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n
\sqrt{}
\| v(n)(0)\| \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n
\sqrt{}
\| An\| \| v(nh)\| \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n
\sqrt{}
\| An\| e(\sigma +\varepsilon )| h| = 0,
тобто \sigma v = 0. Тепер з теореми 1 випливає, що v(z) \equiv 0, тобто єдинiсть розв’язку встановлено.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ЦIЛI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО ЛIНIЙНОГО НЕЯВНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 1049
Наслiдок 2. Нехай A — нiльпотентний оператор з iндексом нiльпотентностi p + 1 та
f(z) =
\sum d
j=0
cj
zj
j!
— полiном iз коефiцiєнтами cj \in X, j = 0, . . . , d. Тодi для будь-якого
u0 \in X iснує єдиний полiномiальний розв’язок початкової задачi (5), (2)
u(z) = UA(z)
\left( u0 -
d\sum
j=0
p\sum
m=0
(mh)m+j+1
(m+ j + 1)!
Amcj
\right) +
d\sum
j=0
p\sum
n=0
(z + nh)n+j+1
(n+ j + 1)!
Ancj . (10)
При цьому група UA(z) має вигляд
UA(z) =
p\sum
n=0
p\sum
k=0
( - 1)k(z + nh)n
n!
An
\Biggl(
p\sum
l=1
llhl
l!
Al
\Biggr) k
. (11)
Доведення. Для всiх h, z \in \BbbC , n = 0, 1, 2, . . . , обчислюємо
z+nh\int
0
(z + nh - \zeta )n
n!
f(\zeta ) d\zeta =
d\sum
j=0
cj
z+nh\int
0
(z + nh - \zeta )n
n!
\zeta j
j!
d\zeta =
d\sum
j=0
(z + nh)n+j+1cj
(n+ j + 1)!
. (12)
Пiдставляючи спiввiдношення (12) у формулу (7) та враховуючи, що Ak = 0 при k > p,
одержуємо зображення (11) групи UA(z) та зображення (10) розв’язку початкової задачi (5), (2).
Наслiдок доведено.
Покажемо, що у випадку, коли оператор A є квазiнiльпотентним, а f(z) — полiном, рiвнян-
ня (5) може взагалi не мати полiномiальних розв’язкiв, навiть при h = 0.
Приклад 1. Нехай квазiнiльпотентний оператор A має необмежений обернений. Тодi iснує
вектор c0 \in X, який не належить A(X). Якщо f(z) \equiv c0 та h = 0, то будь-який розв’язок
рiвняння (5) має вигляд
u(z) = eAzu0 +
z\int
0
eA(z - \zeta )c0d\zeta =
\infty \sum
k=0
zkAk
k!
u0 +
z\int
0
\infty \sum
k=0
(z - \zeta )kAk
k!
d\zeta c0 =
=
\infty \sum
k=0
zkAk
k!
u0 +
\infty \sum
k=0
zk+1Ak
(k + 1)!
c0 = u0 +
\infty \sum
k=1
zk
k!
Ak - 1(Au0 + c0),
де u0 \in X — довiльний початковий вектор. Якщо при деякому векторi u0 цей розв’язок
є полiномом, то повинно iснувати таке k \in \BbbN , що Ak - 1(Au0 + c0) = 0, а це суперечить
оберненостi оператора A та вибору вектора c0.
3. Iснування та єдинiсть розв’язку неявного рiвняння (1). Рiвнянню (1) вiдповiдає
жмуток операторiв \lambda B+A з областю визначення D = DA\cap DB. Будемо вважати, що D \not = \{ 0\} .
Згiдно з [16], точка \lambda є регулярною точкою жмутка \lambda B+A, якщо визначено резольвенту R(\lambda ) =
= (\lambda B + A) - 1 \in L(Y,X). Множина всiх регулярних точок жмутка \lambda B + A є вiдкритою, та
на цiй множинi резольвента R(\lambda ) є голоморфною оператор-функцiєю зi значеннями в L(Y,X).
Будемо припускати, що точка \lambda = 0 є або регулярною для жмутка \lambda B + A, або iзольованою
особливою точкою резольвенти R(\lambda ). У цьому випадку iснує таке \varepsilon > 0, що множина \{ \lambda :
0 < | \lambda | \leq \varepsilon \} складається з регулярних точок жмутка \lambda B+A. Згiдно з теоремою 2.1 [16], на D
визначено проектори
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1050 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
P1 =
1
2\pi i
\left( \oint
| \lambda | =\varepsilon
(\lambda B +A) - 1d\lambda
\right) B, P2 = IX - P1, (13)
а у просторi Y — обмеженi проектори
Q1 =
1
2\pi i
\oint
| \lambda | =\varepsilon
B(\lambda B +A) - 1d\lambda , Q2 = IY - Q1. (14)
Справедливими є такi розвинення у пряму суму:
D = P1(D) \.+P2(D), Y = Q1(Y ) \.+Q2(Y ),
причому A,B : Pk(D) \rightarrow Qk(Y ), k = 1, 2. За аналогiєю з [2] (п. 2.3.1) розглянемо замкнений
оператор
G = BP1 +AP2 = Q1B +Q2A
з областю визначення DG = D, що має обмежений обернений G - 1 \in L(Y,X). Цей оператор
має такi властивостi:
Q1BG - 1 = Q1, Q2AG
- 1 = Q2. (15)
Оператори G1 = Q1AG
- 1 та G2 = Q2BG - 1 є обмеженими у просторi Y, причому оператор
G1 є квазiнiльпотентним.
Наступна теорема встановлює необхiднi та достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку
початкової задачi (1), (2).
Теорема 3. Нехай f(z) — цiла вектор-функцiя експоненцiального типу \sigma , причому
r(G2)\sigma e
\sigma | h| < 1. Припустимо, що u0 \in D i точка \lambda = 0 є або регулярною для жмутка
\lambda B +A, або iзольованою особливою точкою резольвенти R(\lambda ). Початкова задача (1), (2) має
розв’язок у класi цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу не вищого за \sigma тодi i тiльки
тодi, коли
Q2Au0 = -
\infty \sum
n=0
Gn
2Q2f
(n)( - (n+ 1)h). (16)
При цьому розв’язок є єдиним у класi цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу не вищого
за \sigma та має вигляд
u(z) = G - 1UG1(z)
\Biggl(
Q1Bu0 -
\infty \sum
m=0
Gm
1
mh\int
0
(mh - \zeta )m
m!
Q1f(\zeta ) d\zeta
\Biggr)
+
+
\infty \sum
n=0
G - 1Gn
1
z+nh\int
0
(z + nh - \zeta )n
n!
Q1f(\zeta ) d\zeta -
\infty \sum
n=0
G - 1Gn
2Q2f
(n)(z - (n+ 1)h). (17)
Якщо, крiм того, оператори A i B є обмеженими, то експоненцiальний тип розв’язку u(z)
дорiвнює \sigma .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ЦIЛI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО ЛIНIЙНОГО НЕЯВНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 1051
Доведення. У рiвняннi (1) виконаємо замiну v = Gu та застосуємо до цього рiвняння про-
ектори Q1, Q2. З урахуванням властивостей (15) одержимо два рiвняння вiдносно проекцiй
vj(z) = Qjv(z):
v\prime 1(z) = G1v1(z + h) +Q1f(z), (18)
G2v
\prime
2(z) = v2(z + h) +Q2f(z). (19)
Позначимо через \sigma j експоненцiальний тип вiдповiдної вектор-функцiї Qjf(z), j = 1, 2. Оче-
видно, що \sigma j \leq \sigma , j = 1, 2, та хоча б одне з чисел \sigma j дорiвнює \sigma . Оскiльки оператор G1 є
квазiнiльпотентним, то за теоремою 2 для початкового вектора v1(0) = Q1Gu0 = Q1Bu0 iснує
єдиний розв’язок рiвняння (18)
v1(z) = UG1(z)
\left( Q1Bu0 -
\infty \sum
m=0
Gm
1
mh\int
0
(mh - \zeta )m
m!
Q1f(\zeta ) d\zeta
\right) +
+
\infty \sum
n=0
Gn
1
z+nh\int
0
(z + nh - \zeta )n
n!
Q1f(\zeta ) d\zeta (20)
у класi цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу \sigma 1. Згiдно з теоремою 1 роботи [12],
рiвняння (19) має єдиний розв’язок
v2(z) = -
\infty \sum
n=0
Gn
2Q2f
(n)(z - (n+ 1)h) (21)
у класi цiлих функцiй експоненцiального типу \sigma 2. Тому початковий вектор v2(0) = Q2Gu0 =
= Q2Au0 повинен задовольняти умову узгодження (16). Отже, початкова задача (1), (2) має
єдиний розв’язок u(z) = G - 1(v1(z) + v2(z)), що є цiлою вектор-функцiєю експоненцiального
типу \leq \sigma , причому експоненцiальний тип вектор-функцiї Gu(z) = v1(z) + v2(z) дорiвнює
\sigma . З урахуванням формул (20), (21) цей розв’язок має вигляд (17). Якщо оператори A i B є
обмеженими, то i оператор G є обмеженим, а отже, й експоненцiальний тип розв’язку u(z)
дорiвнює \sigma .
Теорему доведено.
Наслiдок 3. Нехай f(z) =
\sum d
j=0
cj
zj
j!
— полiном з коефiцiєнтами cj \in Y, j = 0, . . . , d.
Припустимо, що u0 \in D i точка \lambda = 0 є полюсом порядку p+1 резольвенти R(\lambda ). Початкова
задача (1), (2) має полiномiальний розв’язок тодi i тiльки тодi, коли
Q2Au0 = -
d\sum
n=0
d - n\sum
j=0
( - (n+ 1)h)j
j!
Gn
2Q2cj+n. (22)
При цьому полiномiальний розв’язок є єдиним i має вигляд
u(z) = G - 1UG1(z)
\Biggl(
Q1Bu0 -
d\sum
j=0
p\sum
m=0
(mh)m+j+1
(m+ j + 1)!
Gm
1 Q1cj
\Biggr)
+
+
d\sum
j=0
p\sum
n=0
(z + nh)n+j+1
(n+ j + 1)!
G - 1Gn
1Q1cj -
d\sum
n=0
d - n\sum
j=0
(z - (n+ 1)h)j
j!
G - 1Gn
2Q2cj+n, (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1052 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
де
UG1(z) =
p\sum
n=0
p\sum
k=0
( - 1)k(z + nh)n
n!
Gn
1
\Biggl(
p\sum
l=1
llhl
l!
Gl
1
\Biggr) k
. (24)
Доведення. Якщо точка \lambda = 0 є полюсом порядку p + 1 резольвенти R(\lambda ), то оператор
G1 є нiльпотентним, причому iндекс його нiльпотентностi дорiвнює p + 1 [2] (п. 2.3.1). Те-
пер, використовуючи формули (12), iз зображення розв’язку (17) одержуємо зображення (23).
Умова (16) набирає вигляду (22). Враховуючи, що Gp+1
1 = 0, отримуємо також формулу (24).
Наслiдок доведено.
Зауваження 2. Як показує приклад 1, умова, що точка \lambda = 0 — полюс резольвенти R(\lambda ),
є суттєвою для iснування полiномiального розв’язку початкової задачi (1), (2).
З теореми 3 при h = 0 та зауваження 1 безпосередньо випливає наступне твердження.
Наслiдок 4. Нехай f(z) — цiла вектор-функцiя експоненцiального типу \sigma , причому
r(G2)\sigma < 1. Припустимо, що точка \lambda = 0 є або регулярною для жмутка \lambda B + A, або
iзольованою особливою точкою резольвенти R(\lambda ). Задача Кошi
Bu\prime (z) = Au(z) + f(z), z \in \BbbC , (25)
u(0) = u0 \in D, (26)
має розв’язок у класi цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу не вищого за \sigma тодi i
тiльки тодi, коли
Q2Au0 = -
\infty \sum
n=0
Gn
2Q2f
(n)(0). (27)
При цьому розв’язок є єдиним у класi цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу не вищого
за \sigma та має вигляд
u(z) = G - 1
\left( ezG1Q1Bu0 +
z\int
0
e(z - \zeta )G1Q1f(\zeta ) d\zeta -
\infty \sum
n=0
Gn
2Q2f
(n)(z)
\right) .
Якщо, крiм того, оператори A i B є обмеженими, то експоненцiальний тип розв’язку u(z)
дорiвнює \sigma .
Розглянемо тепер частковий випадок задачi (25), (26), коли X = Y i B = IX . Тодi маємо
диференцiальне рiвняння
u\prime (z) = Au(z) + f(z), z \in \BbbC , (28)
i наступнi вирази для проекторiв (13), (14):
P = P1 = Q1 =
1
2\pi i
\oint
| \lambda | =\varepsilon
(\lambda IX +A) - 1d\lambda , P2 = Q2 = IX - P. (29)
Вiдповiдний оператор G має вигляд G = P + (IX - P )A. Крiм того, D = DA, G1 = AP та
G2 = (IX - P )G - 1. Умова (27) набирає вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ЦIЛI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО ЛIНIЙНОГО НЕЯВНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 1053
(IX - P )Au0 = -
\infty \sum
n=0
\bigl(
(IX - P )G - 1
\bigr) n
(IX - P )f (n)(0). (30)
Тепер ми отримаємо твердження, яке випливає з наслiдку 4.
Наслiдок 5. Нехай f(z) — цiла вектор-функцiя експоненцiального типу \sigma . Припустимо,
що X = Y, u0 \in DA, r((IX - P )G - 1)\sigma < 1 та точка \lambda = 0 є або регулярною для оператора
A, або iзольованою особливою точкою резольвенти оператора A. Задача Кошi (28), (26) має
розв’язок у класi цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу не вищого за \sigma тодi i тiльки
тодi, коли виконано умову (30). При цьому розв’язок є єдиним у класi цiлих вектор-функцiй
експоненцiального типу не вищого за \sigma та має вигляд
u(z) = G - 1
\left( ezAPPu0 +
z\int
0
e(z - \zeta )APPf(\zeta ) d\zeta -
\infty \sum
n=0
((IX - P )G - 1)n(IX - P )f (n)(z)
\right) . (31)
Наступний приклад показує, що в умовах наслiдку 5 i необмеженостi оператора A експо-
ненцiальний тип розв’язку задачi Кошi (28), (26) може бути i меншим, нiж \sigma , на вiдмiну вiд
рiвняння Bu\prime (z) = u(z) - f(z) з обмеженим оператором B, яке розглядалось у [24].
Приклад 2. Нехай X = Y = \ell 2. Замкнений оператор A визначимо таким чином: якщо
x = \{ xn\} \infty n=1 \in \ell 2, то
Ax =
\bigl\{
((n+ 1)!)xn
\bigr\} \infty
n=1
i DA =
\Biggl\{
x \in \ell 2 :
\infty \sum
n=1
((n+ 1)! \cdot xn)2 < \infty
\Biggr\}
.
Оператор A має обмежений обернений оператор A - 1, який дiє за правилом A - 1x =
=
\biggl\{
xn
(n+ 1)!
\biggr\} \infty
n=1
. Тому згiдно з формулами (29) маємо P = Q = 0, G = A. Нехай
\{ en\} \infty n=1 — стандартний ортонормований базис простору \ell 2. Розглянемо цiлу вектор-функцiю
f(z) =
\sum \infty
n=1
znen
n!
, експоненцiальний тип якої дорiвнює \sigma = 1. Проте вектор-функцiя
g(z) = A - 1f(z) =
\infty \sum
n=1
znen
n!(n+ 1)!
є цiлою функцiєю нульового експоненцiального типу. Крiм того, r(A - 1) \leq \| A - 1\| =
1
2
< 1.
Отже, виконано всi умови як наслiдку 5, так i теореми 2 [12] при h = 0. Згiдно з теоремою 2
[12], рiвняння (28) має єдиний розв’язок
u(z) = -
\infty \sum
n=0
A - (n+1)f (n)(z) (32)
у класi цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу не вищого за 1. При цьому експоненцi-
альний тип цього розв’язку збiгається з експоненцiальним типом вектор-функцiї g(z), тобто
дорiвнює нулю. Зауважимо, що в даному випадку зображення розв’язку (32) збiгається з вiд-
повiдним зображенням (31), а початковий вектор
u0 = u(0) = -
\infty \sum
n=0
A - (n+1)f (n)(0)
задовольняє умову (30).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1054 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
З наслiдку 5 безпосередньо випливає наступне твердження.
Наслiдок 6. Нехай X = Y, u0 \in DA, f(z) — цiла вектор-функцiя нульового експоненцi-
ального типу i точка \lambda = 0 є або регулярною для оператора A, або iзольованою особливою
точкою резольвенти оператора A. Задача Кошi (28), (26) має розв’язок у класi цiлих вектор-
функцiй нульового експоненцiального типу тодi i тiльки тодi, коли виконано умову (30). При
цьому розв’язок є єдиним у класi цiлих вектор-функцiй нульового експоненцiального типу та
має вигляд (31).
Покажемо тепер, що у випадку, коли точка \lambda = 0 не є iзольованою особливою точкою
резольвенти оператора A, а f(z) — цiла вектор-функцiя нульового експоненцiального типу,
рiвняння (28) може взагалi не мати розв’язкiв нульового експоненцiального типу. Отже, умова
iзольованостi точки \lambda = 0 є суттєвою для наслiдку 6.
Приклад 3. Нехай X = C[0, 1] i оператор A визначено таким чином: (Ay)(x) = xy(x),
y \in C[0, 1]. Точка \lambda = 0 не є iзольованою особливою точкою резольвенти оператора A.
Початкова задача (28), (26) для рiвняння (28) при f(z) \equiv 1 має вигляд
\partial u(z, x)
\partial z
= xu(z, x) + 1, x \in [0, 1], z \in \BbbC , (33)
u(0, x) = u0(x), x \in [0, 1], (34)
де u(z, x) = u(z)(x). Зауважимо, що для будь-якої початкової функцiї u0(x) \in C[0, 1] iснує
єдиний розв’язок
u(z, x) =
\left\{ ezxu0(x) +
ezx - 1
x
, x \not = 0,
u0(0) + z, x = 0,
задачi (33), (34) у класi цiлих функцiй експоненцiального типу. Покажемо, що при будь-якiй
функцiї u0(x) експоненцiальний тип цього розв’язку не дорiвнює нулю. Внаслiдок неперерв-
ностi функцiї u0(x) iснує таке x0 \in (0, 1], що u0(x0) \not = - 1
x0
i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in [0,1]
| u(z, x)| \geq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( u0(x0) + 1
x0
\biggr)
ezx0 - 1
x0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , z \in \BbbC .
Ця нерiвнiсть показує, що вектор-функцiя u(z) не є функцiєю нульового експоненцiального
типу. Тому рiвняння (33) не має цiлих розв’язкiв нульового експоненцiального типу.
4. Приклад. У просторi X = Y = L2[0, \pi ] розглянемо диференцiальнi оператори A i B :
Au =
d2u(x)
dx2
+ u(x), Bu =
d2u(x)
dx2
+ 4u(x),
D = DA = DB =
\bigl\{
u(x) \in W 2
2 (0, \pi ) : u(0) = u(\pi ) = 0
\bigr\}
,
де Wm
2 (0, \pi ) — простiр Соболєва. Будемо вважати, що h \in \BbbR . Тодi при переходi на дiйсну вiсь
початкова задача (1), (2) має вигляд
\partial 3u(t, x)
\partial x2\partial t
+ 4
\partial u(t, x)
\partial t
=
\partial 2u(t+ h, x)
\partial x2
+ u(t+ h, x) + f(t, x), (t, x) \in \BbbR \times [0, \pi ], (35)
u(t, 0) = u(t, \pi ) = 0, (36)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ЦIЛI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО ЛIНIЙНОГО НЕЯВНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 1055
u(0, x) = u0(x). (37)
У випадку h = 0 подiбну задачу було розглянуто в монографiї [2] (п. 4.4.1) на множинi
(t, x) \in [0, T0] \times [0, \pi ]. Припустимо, що u0(x) \in D i f(t, x) = e\sigma ty(x), де y(x) \in X, а число
\sigma > 0 вибрано так, що виконується нерiвнiсть
\sigma e\sigma | h| < 1. (38)
Зауважимо, що оператори A,B є виродженими: \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x\} , \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}B = \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2x\} .
Спектр жмутка \lambda B + A складається з послiдовностi \lambda n = - n2 - 1
n2 - 4
, n \in \BbbN , та її граничної
точки \lambda 0 = - 1. Знайдемо резольвенту R(\lambda ) = (\lambda B +A) - 1 :
(R(\lambda )w)(x) =
\infty \sum
n=1
wn\varphi n(x)
- (1 + \lambda )n2 + 4\lambda + 1
, w(x) \in L2(0, \pi ), \lambda /\in \{ \lambda n\} \infty n=0,
де
\varphi n(x) =
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nx, wn =
2
\pi
\pi \int
0
w(x) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nx dx, n \in \BbbN .
Отже, точка \lambda = 0 є iзольованою особливою точкою резольвенти R(\lambda ). Справджуються рiв-
ностi
A\varphi n(x) = (1 - n2)\varphi n(x), B\varphi n(x) = (4 - n2)\varphi n(x), n \in \BbbN . (39)
Тому
(R(\lambda )Bw)(x) = (BR(\lambda )w)(x) =
\infty \sum
n=1
(4 - n2)wn\varphi n(x)
- (1 + \lambda )n2 + 4\lambda + 1
, w(x) \in D, \lambda /\in \{ \lambda n\} \infty n=0,
i згiдно з формулами (13), (14)
(P1w)(x) = (Q1w)(x) = w1\varphi 1(x), (P2w)(x) = (Q2w)(x) =
\infty \sum
n=2
wn\varphi n(x), w(x) \in D.
З урахуванням спiввiдношень (39) маємо
(Gw)(x) = 3w1\varphi 1(x) +
\infty \sum
n=2
(1 - n2)wn\varphi n(x), w(x) \in D,
(G - 1w)(x) =
1
3
w1\varphi 1(x) +
\infty \sum
n=2
wn\varphi n(x)
1 - n2
, w(x) \in X,
(AG - 1w)(x) = (Q2w)(x), (BG - 1w)(x) = w1\varphi 1(x) +
\infty \sum
n=2
(4 - n2)wn\varphi n(x)
1 - n2
, w(x) \in X.
Звiдси
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1056 С. Л. ГЕФТЕР, О. Л. ПIВЕНЬ
G1 = Q1AG
- 1 = 0, (G2w)(x) = (Q2BG - 1w)(x) =
\infty \sum
n=2
(4 - n2)wn\varphi n(x)
(1 - n2)
, w(x) \in X.
Зазначимо, що r(G2) \leq \| G2\| = 1. Тодi згiдно з умовою (38) є збiжним ряд
\infty \sum
n=0
Gn
2Q2f
(n)(t - (n+ 1)h) = e\sigma (t - h)
\infty \sum
n=0
\sigma nGn
2e
- \sigma nh(Q2y)(x) =
= e\sigma (t - h)(IX - \sigma e - \sigma hG2)
- 1(Q2y)(x).
Оскiльки
((IX - \sigma e - \sigma hG2)y)(x) = y1\varphi 1(x) +
\infty \sum
n=2
(n2 - 1) - (n2 - 4)\sigma e - \sigma h
(n2 - 1)
yn\varphi n(x),
де y(x) \in X i yn =
2
\pi
\int \pi
0
y(x) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nx dx, то
\bigl(
(IX - \sigma e - \sigma hG2)
- 1y
\bigr)
(x) = y1\varphi 1(x) +
\infty \sum
n=2
n2 - 1
(n2 - 1) - (n2 - 4)\sigma e - \sigma h
yn\varphi n(x), y(x) \in X.
Оскiльки згiдно з (39)
(Q2Au0)(x) =
\infty \sum
n=2
(1 - n2)u0n\varphi n(x), u0n =
2
\pi
\pi \int
0
u0(x) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nx dx,
то умова (16) набирає вигляду
\infty \sum
n=2
(1 - n2)u0n\varphi n(x) = e - \sigma h
\infty \sum
n=2
1 - n2
(n2 - 1) - (n2 - 4)\sigma e - \sigma h
yn\varphi n(x),
що еквiвалентно рiвностям
u0n =
e - \sigma hyn
(n2 - 1) - (n2 - 4)\sigma e - \sigma h
, n = 2, 3, . . . . (40)
Отже, за теоремою 3, якщо виконано обмеження (38), а функцiї y(x) \in L2[0, \pi ] та u0(x) \in D
задовольняють умову (40), то iснує єдиний розв’язок початково-крайової задачi (35) – (37) у
класi вектор-функцiй, що продовжуються до цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу не
вищого за \sigma . Згiдно з формулою (17) цей розв’язок має вигляд
u(t, x) = u01\varphi 1(x) +
e\sigma t - 1
3\sigma
y1\varphi 1(x) + e\sigma (t - h)
\infty \sum
n=2
yn\varphi n(x)
(n2 - 1) - (n2 - 4)\sigma e - \sigma h
.
Лiтература
1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. – М.: Мир, 1967. – 548 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ЦIЛI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО ЛIНIЙНОГО НЕЯВНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 1057
2. Власенко Л. А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравнениями. –
Днепропетровск: Систем. технологии, 2006. – 272 с.
3. Крейн С. Г., Хазан М. И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Итоги науки и техники.
Сер. Мат. анализ. – 1983. – 21. – С. 130 – 264.
4. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с периодиче-
скими и условно периодическими коэффициентами. – Киев: Наук. думка, 1985. – 216 с.
5. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. – М.: Наука, 1972. –
352 с.
6. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродженням. –
Київ: Вища шк., 2000. – 294 с.
7. Слюсарчук В. Ю. Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем iз пiслядiєю. – Рiвне: Вид-во УДУВГ, 2003. – 288 с.
8. Фодчук В. I., Бiгун Я. Й., Клевчук I. I., Черевко I. М., Якiмов I. В. Регулярно i сингулярно збуренi диференцi-
ально-функцiональнi рiвняння. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. – 210 с.
9. Хан В. Обзор по теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными и переменными отклонени-
ями // Математика: Сб. пер. – 1961. – 5, № 6. – С. 73 – 98.
10. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1984. – 421 c.
11. Gefter S. L., Piven A. L., Tanasichuk A. S. Operator Bruwier series and initial problem for a linear differential-
difference equation in a Banach space // J. Math. Sci. – 2017. – 226, Issue 4. – P. 335 – 343.
12. Gefter S. L., Stulova T. E. On entire solutions of exponential type for some implicit linear differential-difference
equation in a Banach space // J. Math. Sci. – 2014. – 202, Issue 4. – P. 541 – 545.
13. Gefter S. L., Stulova T. E. On solutions of zero exponential type for some inhomogeneous differential-difference
equations in a Banach space // Prog. and Challeng. Dyn. Syst., Springer Proc. Math. and Stat. – 2013. – 54. –
P. 253 – 263.
14. Радбель Н. И. О начальном многообразии и диссипативности задачи Коши для уравнения Ax\prime (t)+Bx(t) = 0 //
Дифференц. уравнения. – 1979. – 15, № 6. – С. 1142 – 1143.
15. Руткас А. Г. Задача Коши для уравнения Ax\prime (t)+Bx(t) = f(t) // Дифференц. уравнения. – 1975. – 11, № 11. –
С. 1996 – 2010.
16. Руткас А. Г. Спектральные методы исследования вырожденных дифференциально-операторных уравнений //
Современная математика и ее приложения. – 2005. – 35. – С. 48 – 64.
17. Campbell S. L. Singular systems of differential equations I // Res. Notes Math. – 1980. – 40. – 176 p.
18. Власенко Л. А., Руткас А. Г. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений с неатомарным
разностным оператором // Мат. заметки. – 2014. – 95, вып. 1. – С. 37 – 49.
19. Власенко Л. А., Руткас А. Г. Оптимальное управление недемпфированными системами типа Соболева с
запаздыванием // Мат. заметки. – 2017. – 102, вып. 3. – С. 323 – 338.
20. Favini A., Vlasenko L. Degenerate non-stationary differential equations with delay in Banach spaces // J. Different.
Equat. – 2003. – 192, № 1. – P. 93 – 110.
21. Vlasenko L. A. On a class of neutral functional differential equations // Funct. Different. Equat. – 2006. – 13, № 2. –
P. 305 – 321.
22. Горбачук В. М., Горбачук М. Л. Простори гладких та узагальнених векторiв генератора аналiтичної пiвгрупи
та їх застосування // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 4. – С. 478 – 509.
23. Gorbachuk M. L., Gorbachuk V. I. On well-posed solvability in some classes of entire functions of the Cauchy
problem for differential equations in a Banach space // Methods Funct. Anal. and Topology. – 2005. – 11, № 2. –
P. 113 – 125.
24. Гефтер С. Л., Стулова Т. Е. О корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального
уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа // Доп. НАН України. – 2012. – № 9. –
С. 7 – 12.
25. Perron O. Über Bruwiersche Reihen // Math. Z. – 1939. – 45. – S. 127 – 141.
26. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 829 с.
Одержано 17.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1616 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:14Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/01/3766bd99ea5bd1a12be8264e04f39301.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16162019-12-05T09:21:04Z Entire solutions of one linear implicit differential-difference equation in Banach spaces Цілі розв’язки одного лінійного неявного диференціально- різницевого рівняння у банахових просторах Gefter, S. L. Piven’, A. L. Гефтер, С. Л. Півень, О. Л. We establish the existence and uniqueness conditions for the solution for the initial problem $Bu\prime (z) = Au(z + h) + f(z),\; z \in C, u(0) = u_0$ in the classes of entire functions of exponential type. Closed linear operators $A$ and $B$ act on Banach spaces and can be degenerate. We also present an example of application of abstract results to partial differential equations. Одержано умови iснування та єдиностi розв’язку початкової задачi $Bu\prime (z) = Au(z + h) + f(z),\; z \in C, u(0) = u_0$ укласах цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу. Замкненi лiнiйнi оператори $A$, $B$ дiють у банахових просторах та можуть бути виродженими. Наведено приклад застосування абстрактних результатiв до диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1616 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 8 (2018); 1044-1057 Український математичний журнал; Том 70 № 8 (2018); 1044-1057 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1616/598 Copyright (c) 2018 Gefter S. L.; Piven’ A. L. |
| spellingShingle | Gefter, S. L. Piven’, A. L. Гефтер, С. Л. Півень, О. Л. Entire solutions of one linear implicit differential-difference equation in Banach spaces |
| title | Entire solutions of one linear implicit differential-difference equation in Banach spaces |
| title_alt | Цілі розв’язки одного лінійного неявного диференціально-
різницевого рівняння у банахових просторах |
| title_full | Entire solutions of one linear implicit differential-difference equation in Banach spaces |
| title_fullStr | Entire solutions of one linear implicit differential-difference equation in Banach spaces |
| title_full_unstemmed | Entire solutions of one linear implicit differential-difference equation in Banach spaces |
| title_short | Entire solutions of one linear implicit differential-difference equation in Banach spaces |
| title_sort | entire solutions of one linear implicit differential-difference equation in banach spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1616 |
| work_keys_str_mv | AT geftersl entiresolutionsofonelinearimplicitdifferentialdifferenceequationinbanachspaces AT pivenal entiresolutionsofonelinearimplicitdifferentialdifferenceequationinbanachspaces AT geftersl entiresolutionsofonelinearimplicitdifferentialdifferenceequationinbanachspaces AT pívenʹol entiresolutionsofonelinearimplicitdifferentialdifferenceequationinbanachspaces AT geftersl cílírozvâzkiodnogolíníjnogoneâvnogodiferencíalʹnoríznicevogorívnânnâubanahovihprostorah AT pivenal cílírozvâzkiodnogolíníjnogoneâvnogodiferencíalʹnoríznicevogorívnânnâubanahovihprostorah AT geftersl cílírozvâzkiodnogolíníjnogoneâvnogodiferencíalʹnoríznicevogorívnânnâubanahovihprostorah AT pívenʹol cílírozvâzkiodnogolíníjnogoneâvnogodiferencíalʹnoríznicevogorívnânnâubanahovihprostorah |