Сommutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases of plane orthotropy. I
Among all two-dimensional algebras of the second rank with unity $e$ over the field of complex numbers $C$, we find a semisimple algebra $B_0 = \{ c_1e + c_2\omega: c_k \in C, k = 1, 2\} , \omega^2 = e$, containing bases $(e_1, e_2)$, such that $e^4_1 + 2pe^2_1e^2_2 + e^4_2 = 0$ for every fixed $p...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1617 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507432737832960 |
|---|---|
| author | Gryshchuk, S. V. Грищук, С. В. |
| author_facet | Gryshchuk, S. V. Грищук, С. В. |
| author_sort | Gryshchuk, S. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:04Z |
| description | Among all two-dimensional algebras of the second rank with unity $e$ over the field of complex numbers $C$, we find a
semisimple algebra $B_0 = \{ c_1e + c_2\omega: c_k \in C, k = 1, 2\} , \omega^2 = e$, containing bases $(e_1, e_2)$, such that $e^4_1 + 2pe^2_1e^2_2 + e^4_2 = 0$ for every fixed $p > 1$. A domain $\{ (e1, e2)\}$ is described in the explicit form. We construct $B_0$ -valued “analytic” functions $\Phi$ such that their real-valued components satisfy the equation for the stress function $u$ in the case of orthotropic plane deformations
$$\biggl(\frac{\partial^4}{\partial x^4} + 2p \frac{\partial^4}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4}{\partial y^4}\biggr) u(x, y) = 0,$$ where $x, y$ are real variables. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5, 539.3
С. В. Грищук (Iн-т математики НАН України, Київ)
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ
ТА ДЕЯКI ВИПАДКИ ПЛОСКОЇ ОРТОТРОПIЇ. I*
Among all two-dimensional algebras of the second rank with unity e over the field of complex numbers \BbbC , we find a
semisimple algebra \BbbB 0 := \{ c1e+c2\omega : ck \in \BbbC , k = 1, 2\} , \omega 2 = e, containing bases (e1, e2), such that e41+2pe21e
2
2+e
4
2 =
= 0 for every fixed p > 1. A domain \{ (e1, e2)\} is described in the explicit form. We construct \BbbB 0 -valued “analytic”
functions \Phi such that their real-valued components satisfy the equation for the stress function u in the case of orthotropic
plane deformations
\biggl(
\partial 4
\partial x4
+ 2p
\partial 4
\partial x2\partial y2
+
\partial 4
\partial y4
\biggr)
u(x, y) = 0, where x, y are real variables.
Серед двовимiрних алгебр другого рангу з одиницею e над полем комплексних чисел \BbbC знайдено напiвпросту
алгебру \BbbB 0 = \{ c1e + c2\omega : ck \in \BbbC , k = 1, 2\} , \omega 2 = e, що мiстить базиси (e1, e2) такi, що e41 + 2pe21e
2
2 + e42 = 0
для кожного фiксованого p > 1. Множину \{ (e1, e2)\} описано в явному виглядi. Побудовано \BbbB 0 -значнi „аналiтичнi”
функцiї \Phi такi, що їхнi дiйснозначнi компоненти задовольняють рiвняння для знаходження функцiї напружень u у
випадку плоских ортотропних деформацiй
\biggl(
\partial 4
\partial x4
+ 2p
\partial 4
\partial x2\partial y2
+
\partial 4
\partial y4
\biggr)
u(x, y) = 0, де x, y — дiйснi змiннi.
1. Вступ. Розробцi алгебраїчно-аналiтичних пiдходiв дослiдження пружних середовищ через
„аналiтичнi” функцiї (задовольняють систему рiвнянь з частинними похiдними — узагальнення
„умов Кошi – Рiмана”) зi значеннями у скiнченновимiрних алгебрах присвячено роботи [1 – 15]
(комутативнi алгебри, iзотропнi плоскi середовища), [16] (комутативна алгебра, ортотропнi
плоскi середовища), [17 – 22] (алгебра кватернiонiв, iзотропнi просторовi середовища), [23 – 25]
(алгебри комплексних (2\times 2)-матриць, анiзотропнi плоскi середовища), [26] (алгебри комплекс-
них (3\times 3)-матриць, анiзотропнi просторовi середовища).
Сучаснi роботи ряду авторiв (див., наприклад, [17 – 19]) присвячено дослiдженням полiно-
мiальних розв’язкiв просторової системи рiвнянь рiвноваги Ляме i знаходженню їх подання
через кватернiоннi „моногеннi” полiноми. Суттєвим є те, що такого роду пiдходи ґрунтуються
на певних узагальненнях формул Колосова – Мусхелiшвiлi для випадку кватернiоннозначних
„моногенних” функцiй (див., наприклад, [19 – 22]).
Незважаючи на таку значну кiлькiсть публiкацiй, переважну кiлькiсть робiт присвячено
лише знаходженню частинних розв’язкiв системи рiвнянь рiвноваги Ляме у змiщеннях через
оператори вiд вiдповiдних „аналiтичних” функцiй у певних опуклих областях.
Дану роботу присвячено побудовi класiв „аналiтичних” функцiй \Phi зi значеннями у дво-
вимiрних алгебах над полем комплексних чисел, що мiстять базиси (e1, e2) з певними алгеб-
раїчними властивостями (далi будуються всi вказанi базиси у явному виглядi та вiдповiдна
алгебра), якi є достатнiми для того, щоб дiйснi компоненти даних функцiй задовольняли такi
рiвняння при фiксованих p > 1:
\widetilde lpu(x, y) := \biggl( \partial 4
\partial x4
+ 2p
\partial 4
\partial x2\partial y2
+
\partial 4
\partial y4
\biggr)
u(x, y) = 0. (1)
Рiвняння (1) є частинним випадком узагальненого бiгармонiчного рiвняння (даний термiн
використовується, наприклад, у [27, c. 603]), що має важливе значення у плоскiй анiзотропнiй
* Частково пiдтримано грантом Мiнiстерства освiти i науки України (проект № 0116U001528) та грантом
№39/2014 мiж академiями наук України та Польщi.
c\bigcirc С. В. ГРИЩУК, 2018
1058 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ . . . 1059
теорiї пружностi (див. [27 – 33]) i визначає рiвняння для знаходження функцiї напружень u(x, y)
(в iзотропному випадку подiбну функцiю часто називають функцiєю Ейрi, а рiвняння (1) тодi
перетворюється на бiгармонiчне рiвняння при p = 1).
2. Двовимiрнi алгебри над полем комплексних чисел та їх базиси. Як вiдомо (див. [34]),
iснують (з точнiстю до iзоморфiзму) двi асоцiативнi, комутативнi над полем комплексних чисел
\BbbC алгебри другого рангу з одиницею e. Це алгебри, породженi базисами (e, \rho ) (e, \omega ) вiдповiдно:
\BbbB := \{ c1e+ c2\rho : ck \in \BbbC , k = 1, 2\} , \rho 2 = 0, (2)
\BbbB 0 := \{ c1e+ c2\omega : ck \in \BbbC , k = 1, 2\} , \omega 2 = e. (3)
Очевидно, що алгебра \BbbB 0 є напiвпростою (означення див., наприклад, у [35, c. 33]) i мiстить
базис з ортогональних iдемпотентiв (I1, I2), де
I1 =
1
2
(e+ \omega ) , I2 =
1
2
(e - \omega ) , I1I2 = 0. (4)
Очевидно, що
I1 + I2 = e, I1 - I2 = \omega . (5)
У зарубiжних джерелах для алгебри \BbbB 0 використовують кiлька назв. Наприклад, у роботi
[36] її названо унiподальною. При цьому вона визначає найпростiший випадок комплексної
алгебри Клiффорда (див. [36 – 38]).
Алгебра (3) є комплексифiкацiєю алгебри гiперболiчних або подвiйних чисел \BbbP над полем
дiйсних чисел \BbbR :
\BbbB 0 = \BbbP \oplus i\BbbP , \BbbP := \{ xe+ hy : x, y \in \BbbR \} , h := \omega ,
де i — комплексна уявна одиниця. Зазначимо, що алгебра \BbbP розглядається, наприклад, у
[38 – 40]. У роботi [41] для \BbbP \oplus i\BbbP використано термiн „гiперболiчнi числа” i розглянуто їх
застосування у релятивiстськiй квантовiй фiзицi.
Елемент w = c1I1 + c2I2 з \BbbB 0 є оборотним тодi i тiльки тодi, коли ck \not = 0, k = 1, 2, у
випадку виконання цiєї умови для оберненого елемента справджується рiвнiсть (див. [37, c. 38]
w - 1 =
1
c1
I1 +
1
c2
I2. (6)
Оскiльки алгебра \BbbB мiстить ненульовий радикал \{ c\rho : c \in \BbbC \} (див. [4]), то алгебра \BbbB не є
напiвпростою. Елемент a = c1e+c2\rho з \BbbB є оборотним тодi i тiльки тодi, коли c1 \not = 0, у випадку
виконання цiєї умови справджується рiвнiсть a - 1 =
1
c1
e - c2
(c1)2
\rho (див. [44]).
Нехай p > 1 є довiльним чином фiксованим дiйсним числом, p \in \BbbR . Введемо для довiльних
комплексних чисел c1 i c2 позначення
lp(c1, c2) := c41 + 2pc21c
2
2 + c42. (7)
Знайдемо асоцiативну, комутативну над полем комплексних чисел \BbbC алгебру другого рангу
з одиницею e, яка мiстить базис (e1, e2), що задовольняє умову
Lp(e1, e2) := e41 + 2pe21e
2
2 + e42 = 0, (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1060 С. В. ГРИЩУК
а всi коренi рiвняння
lp(s, 1) \equiv lp(1, s) = 0 (9)
є попарно рiзними. Зазначимо, що цi коренi мають вигляд\bigl\{
s1, s2, s1, s2
\bigr\}
=: \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} lp(s, 1), (10)
де s1 \not = s2, sk \in \BbbC , k = 1, 2; x+ iy := x - iy \equiv \mathrm{R}\mathrm{e} z - i \mathrm{I}\mathrm{m} z, x, y \in \BbbR , z = x+ iy. Крiм того,
поставимо задачу про знаходження у шуканiй алгебрi (або алгебрах) усiх базисiв
\bigl\{
(e1, e2)
\bigr\}
,
що задовольняють умову (8).
Зауважимо, що спiввiдношення (10) задає множину всiх (попарно рiзних) коренiв рiвнян-
ня (9), наприклад, за результатами робiт [28, 29].
При p = 1 аналогiчну проблему розв’язано в [45] за припущення, що умова (10) замiнюється
на умову e21 + e22 \not = 0. При цьому доведено, що всi шуканi базиси належать алгебрi \BbbB . Крiм
того, там же показано, що над полем дiйсних чисел не iснує жодної алгебри другого рангу з
необхiдними властивостями.
При p > 1 одержуємо
s1 = ip1, s2 = ip2, p1 =
\sqrt{}
2(p+ 1) -
\sqrt{}
2(p - 1)
2
, p2 =
\sqrt{}
2(p+ 1) +
\sqrt{}
2(p - 1)
2
.
(11)
Отже, при p > 1 умова (10) завжди виконується.
Базис (e1, e2), e1 = e, з таблицею множення
e1 = e, e22 = e+ i
\sqrt{}
2(p+ 1)e2 (12)
задовольняє умову (8) при p = 1 в алгебрi (2) (див. [4]), а при p > 1 — в алгебрi (3) (див. [16]).
Далi у роботi, якщо немає спецiальних зауважень щодо p = 1, розглядаємо лише випадок
p > 1.
Очевидно, що якщо
e1 = \alpha 1I1 + \alpha 2I2, e2 = \beta 1I1 + \beta 2I2, \alpha k, \beta k \in \BbbC , k = 1, 2, (13)
є базисними елементами алгебри (3), що задовольняють умову (8), то
e1 = \beta 1I1 + \beta 2I2, e2 = \alpha 1I1 + \alpha 2I2
теж базиснi елементи алгебри (3), що задовольняють умову (8), i має мiсце нерiвнiсть мiж
коефiцiєнтами
\alpha 1\beta 2 \not = \alpha 2\beta 1. (14)
Поєднуючи цi два випадки, будемо казати, що формула (13) задає базис (e1, e2) алгебри (3),
що задовольняє умову (8) з точнiстю до переставлення.
Теорема 1. Алгебра \BbbB не мiстить жодного базису (e1, e2), що задовольняє умову (8).
Усi базиси алгебри \BbbB 0, що задовольняють умову (8) з точнiстю до переставлення, пода-
ються у виглядi
e1 = \alpha 1 I1 + \alpha 2 I2, e2 = \beta 1 I1 + \beta 2 I2,
де комплекснi числа \alpha k \not = 0, \beta k \not = 0, k = 1, 2, задовольняють одну з двох умов:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ . . . 1061
a) \alpha k = \widetilde sk\beta k, k = 1, 2,
б) \alpha 1 = \widehat s1\beta 1, \beta 2 = \widehat s2\alpha 2,
де \widetilde s1 i \widetilde s2 — довiльнi рiзнi елементи з \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} lp(s, 1),\bigl\{
(\widehat s1, \widehat s2)\bigr\} =
\bigl\{
(ip1, ip2), (ip2, ip1), ( - ip1, - ip2), ( - ip2, - ip1),
(ipk, ipk), ( - ipk, ipk), (ipk, - ipk), k = 1, 2
\bigr\}
. (15)
Доведення. З’ясуємо питання про iснування шуканих базисiв у алгебрi \BbbB . У базисi (e, \rho )
базиснi елементи ek, k = 1, 2, мають розклад вигляду
e1 = \alpha 1e+ \beta 1\rho , e2 = \alpha 2e+ \beta 2\rho , \alpha k, \beta k \in \BbbC , (16)
а внаслiдок лiнiйної незалежностi елементiв e1 i e2 виконується спiввiдношення (14).
Iз рiвностей (16) випливає, що
e2k = \alpha 2
ke+ 2\alpha k\beta k\rho , e4k = \alpha 4
ke+ 4\alpha 3
k\beta k\rho , k = 1, 2,
тому справджуються рiвностi
0 = Lp(e1, e2) = lp(\alpha 1, \alpha 2)e+ 4
\Bigl(
\alpha 1\beta 1
\bigl(
\alpha 2
1 + p\alpha 2
2
\bigr)
+ \alpha 2\beta 2
\bigl(
\alpha 2
2 + p\alpha 2
1
\bigr) \Bigr)
\rho ,
якi, у свою чергу, визначають систему рiвнянь вiдносно \alpha k i \beta k, k = 1, 2:
lp(\alpha 1, \alpha 2) = 0,
\alpha 1\beta 1
\bigl(
\alpha 2
1 + p\alpha 2
2
\bigr)
+ \alpha 2\beta 2
\bigl(
\alpha 2
2 + p\alpha 2
1
\bigr)
= 0.
(17)
З першого рiвняння системи (17) i спiввiдношення (14) випливає, що
\alpha k \not = 0, k = 1, 2. (18)
З першого рiвняння системи (17) i спiввiдношень (18) одержуємо
\alpha 1
\alpha 2
= s0 або
\alpha 2
\alpha 1
= s0, (19)
де s0 — довiльний елемент з \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} lp(s, 1).
Нехай \beta 1 = 0, тодi \beta 2 \not = 0. Згiдно з (14), друге рiвняння системи (17) рiвносильне рiвнянню
\alpha 2
2 + p\alpha 2
1 = 0, яке з урахуванням (18) i (19) рiвносильне сукупностi двох рiвнянь: ap,s0 :=
:= s20 + p = 0 i bp,s0 := 1 + ps20 = 0. Враховуючи (10) i (11), легко встановлюємо, що ap,s0 \not = 0
i bp,s0 \not = 0. Отже, \beta 1 \not = 0, тодi з другого рiвняння системи (17) випливає, що \beta 2 \not = 0. Згiдно з
(19), друге рiвняння системи (17) рiвносильне сукупностi двох рiвнянь: \beta 1bp,s0 + \beta 2s0ap,s0 = 0
при \alpha 2 = s0\alpha 1 i \beta 1s0ap,s0 +\beta 2bp,s0 = 0 при \alpha 1 = s0\alpha 2. Тодi рiвнiсть \alpha 1\beta 2 = \alpha 2\beta 1 еквiвалентна
рiвностi lp(s0, 1) = 0, яка має мiсце внаслiдок вибору s0. Отже, нерiвнiсть (14) не має мiсця,
тому в алгебрi \BbbB не iснують базиси, якi б задовольняли умову (8).
Опишемо всi базиси алгебри \BbbB 0, що задовольняють умову (8). У базисi (I1, I2) базиснi
елементи e1 i e2 мають розклад вигляду (13).
Тодi з (13) i ортогональностi iдемпотентiв Ik, k = 1, 2, одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1062 С. В. ГРИЩУК
e2k1 = \alpha 2k
1 I1 + \alpha 2k
2 I2, e2k2 = \beta 2k1 I1 + \beta 2k2 I2, k = 1, 2.
Звiдси маємо рiвностi
0 = Lp(e1, e2) = lp(\alpha 1, \beta 1) I1 + lp(\alpha 2, \beta 2) I2,
якi визначають систему рiвнянь вiдносно \alpha k i \beta k, k = 1, 2:
lp(\alpha k, \beta k) = 0,
lp(\alpha 2, \beta 2) = 0.
(20)
Аналогiчно дослiдженню першого рiвняння системи (17) з системи (20) одержуємо можливi
випадки:
\alpha k
\beta k
= \widetilde sk, \alpha k
\beta k
=
1\widetilde sk , k = 1, 2, де \widetilde sk — довiльнi елементи з (10) з урахуванням (11).
Перевiряючи тепер цi випадки на виконання умови (14), легко встановлюємо випадок a), а для
встановлення випадку б) беремо до уваги, що тодi (14) рiвносильне нерiвностi \widetilde s1\widetilde s2 \not = 1, тому\widetilde sk = \widehat sk, k = 1, 2.
Теорему доведено.
Оскiльки
Lp(e, e2) =
\Bigl(
e - e22 - i
\sqrt{}
2(p+ 1)e2
\Bigr) \Bigl(
e - e22 + i
\sqrt{}
2(p+ 1)e2
\Bigr)
, (21)
то важливо знайти базиси (e1, e2), e1 = e, що задовольняють умову (8) i мають таблицю
множення (12) або таку:
e1 = e, e22 = e - i
\sqrt{}
2(p+ 1)e2. (22)
Беручи до уваги, що рiвняння
\beta 2 -
\Bigl(
\pm i
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr)
\beta - 1 = 0, \beta \in \BbbC ,
має коренi \{ \beta \} = \{ \pm ip1,\pm ip2\} (однойменнi знаки вiдповiдають знакам у рiвняннi), а також
рiвнiсть p1p2 = 1, встановлюємо, що коефiцiєнти базису (13) iз таблицею множення (12) мають
вигляд
\alpha k \equiv \alpha +
k := 1, k = 1, 2,
\bigl\{
(\beta 1, \beta 2)
\bigr\}
\equiv
\bigl\{
(\beta +1 , \beta
+
2 )
\bigr\}
:=
\bigl\{
(ip1, ip2
\bigr)
, (ip2, ip1)
\bigr\}
, (23)
а коефiцiєнти базису (13) iз таблицею множення (22) —
\alpha k \equiv \alpha -
k := 1, k = 1, 2,
\bigl\{
(\beta 1, \beta 2)
\bigr\}
\equiv
\bigl\{
(\beta - 1 , \beta
-
2 )
\bigr\}
:=
\bigl\{
( - ip1, - ip2), ( - ip2, - ip1)
\bigr\}
. (24)
Позначимо через B множину всiх базисiв (e1, e2), що задовольняють умову (8), a через B1
її пiдмножину, що складається з елементiв (e1, \widetilde e2), e1 := e, \widetilde e2 := e2.
Множину всiх оборотних елементiв
\bigl\{
e1 = a1I1 + a2I2 \in \BbbB 0 : ak \in \BbbC \setminus \{ 0\} , k = 1, 2
\bigr\}
позначимо через E. За теоремою 1 i рiвнiстю (6) усi базиснi елементи ek належать E, k = 1, 2,
де (e1, e2) \in B.
Пiд добутком множин Ek \subset \BbbB 0, k = 1, 2, розумiємо множину E \equiv E1E2 :=
\bigl\{
x1x2 :
xk \in Ek, k = 1, 2
\bigr\}
, що складається з добуткiв довiльного елемента першої множини E1 на
довiльний елемент другої множини E2.
Встановимо зв’язок мiж множинами базисiв B i B1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ . . . 1063
Лема 1. Справджується рiвнiсть множин B = EB1.
Доведення. Нехай (e1, e2) належить B. Тодi, оскiльки e1 належить E та мають мiсце
рiвностi
0 = Lp(e1, e2) = e41Lp(e, e
- 1
1 e2),
(e, \widetilde e2) належить B1, \widetilde e2 := e - 1
1 e2.
Навпаки, нехай (e, \widetilde e2) належить B1, тодi для будь-якого елемента e1 \in E мають мiсце
рiвностi
0 = e41Lp(e, \widetilde e2) = Lp(e1, e2), e2 = e1\widetilde e2,
тому (e1, e2) = (e1e, e1\widetilde e2) \in B.
Лему доведено.
Лема 1 показує, що для знаходження довiльного базису (e1, e2) \in B достатньо довiльний
елемент (e, \widetilde e2) \in B1 помножити на довiльний елемент E1 \in E, тобто e1 = E1, e2 = E1\widetilde e2.
Розглянемо пiдмножини B\pm
1 множини B1 : B+
1 складається з усiх базисiв (e1, e2), e1 := e,
e2 := \widetilde e2, якi мають таблицю множення (12), а B -
1 — з усiх базисiв (e1, e2), e1 := e, e2 := \widetilde e2,
якi мають таблицю множення (22). З огляду на (21), (23) i (24) приходимо до спiввiдношень
B1 = B+
1 \cup B -
1 , B+
1 \cap B -
1 = \varnothing . (25)
Зауваження 1. Формули (23) i (24) визначають коефiцiєнти розкладу (13) для елементiв
множини B1, що приводить до повного опису множини B1.
3. Моногеннi функцiї площини, породженої елементами з B
\pm
\bfone . Розглянемо площину
\mu \pm := \{ xe1 + ye2 : x, y \in \BbbR \} , де (e1, e2) \in B+
1 для \mu + або (e1, e2) \in B -
1 для \mu - . Далi
будемо користуватися тими ж позначеннями для подвiйних знакiв, розумiючи сукупнiсть двох
випадкiв: або верхнiй знак або нижнiй.
Розглянемо евклiдову норму \| a\| :=
\sqrt{}
| z1| 2 + | z2| 2, де a = z1e1 + z2e2 \in \BbbB 0, zk \in \BbbC ,
k = 1, 2.
Нехай D — область декартової площини xOy. Позначимо D\pm
\zeta :=
\bigl\{
\zeta = xe1 + ye2 \in \mu \pm :
(x, y) \in D
\bigr\}
, а \partial D\pm
\zeta — її межа.
Далi вважатимемо, що (x, y) \in \BbbR 2, \zeta = xe1 + ye2 \in \mu \pm .
Зауважимо, що якщо \zeta \in \mu \pm , \zeta \not = 0, то \zeta \in E, що легко доводиться аналогiчно випадку \mu +
(див. [16]).
Розглядаємо моногеннi в D\pm
\zeta функцiї, тобто функцiї \Phi \pm : D\pm
\zeta - \rightarrow \BbbB 0 вигляду
\Phi \pm (\zeta ) = (U1)\pm (x, y) e1 + (U2)\pm (x, y) ie1 + (U3)\pm (x, y) e2 + (U4)\pm (x, y) ie2, (26)
що мають класичну похiдну \Phi \prime
\pm (\zeta ) в кожнiй точцi \zeta з D\pm
\zeta :
\Phi \prime
\pm (\zeta ) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0, h\in \mu \pm
\Bigl(
\Phi (\zeta + h) - \Phi (\zeta )
\Bigr)
h - 1.
Кожну компоненту (Uk)\pm : D - \rightarrow \BbbR , k \in \{ 1, . . . , 4\} , з (26) позначаємо через Uk
\bigl[
\Phi \pm
\bigr]
, тобто
Uk
\bigl[
\Phi \pm (\zeta )
\bigr]
:= (Uk)\pm (x, y), k \in \{ 1, . . . , 4\} .
Аналогiчно випадку p = 1 (див. [4, 5]) встановлюємо таку теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1064 С. В. ГРИЩУК
Теорема 2. Функцiя \Phi \pm : D\pm
\zeta - \rightarrow \BbbB 0 є моногенною в областi D\pm
\zeta тодi i тiльки тодi, коли
її компоненти (Uk)\pm : D - \rightarrow \BbbR , k = 1, 4, з розкладу (26) диференцiйовнi в областi D та
виконується аналог умов Кошi – Рiмана
\partial \Phi \pm (\zeta )
\partial y
e1 =
\partial \Phi \pm (\zeta )
\partial x
e2 \forall \zeta = xe1 + ye2 \in D\pm
\zeta . (27)
Зауваження 2. Покомпонентно, у розширенiй формi, рiвнiсть (27) є системою чотирьох
рiвнянь вiдносно компонент (Uk)\pm , k = 1, 4, функцiї (26):
\partial (U1)\pm (x, y)
\partial y
=
\partial (U3)\pm (x, y)
\partial x
, (28)
\partial (U2)\pm (x, y)
\partial y
=
\partial (U4)\pm (x, y)
\partial x
, (29)
\partial (U3)\pm (x, y)
\partial y
=
\partial (U1)\pm (x, y)
\partial x
-
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr) \partial (U4)\pm (x, y)
\partial x
, (30)
\partial (U4)\pm (x, y)
\partial y
=
\partial (U2)\pm (x, y)
\partial x
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\partial (U3)\pm (x, y)
\partial x
. (31)
Для змiнної \zeta = xe1 + ye2 \in \mu \pm , (e1, e2) \in B\pm
1 , введемо до розгляду комплекснi змiннi
Z\pm
k \in \BbbC , k = 1, 2, за допомогою формул
Z\pm
k = x+ y\beta \pm k , k = 1, 2, (32)
де \beta \pm k , k = 1, 2, визначаються з рiвностей (23), (24), тобто\bigl\{
(\beta +1 , \beta
+
2 )
\bigr\}
=
\bigl\{
(ip1, ip2), (ip2, ip1)
\bigr\}
, \beta - k = - \beta +k , k = 1, 2. (33)
З рiвностей e1 \equiv e = I1 + I2, e2 = \beta \pm 1 I1 + \beta \pm 2 I2 та (32) випливає, що змiнну \zeta можна
записати у виглядi \zeta = Z\pm
1 I1 + Z\pm
2 I2.
Зауважимо, що при k = 1, 2 мають мiсце спiввiдношення \mathrm{R}\mathrm{e}\beta \pm k = 0, \mathrm{I}\mathrm{m}\beta \pm k \not = 0, \mathrm{I}\mathrm{m}Z\pm
k =
= \mathrm{I}\mathrm{m}\beta \pm k y \not = 0 при y \not = 0, \mathrm{R}\mathrm{e}Z\pm
k = x \not = 0 при x \not = 0.
Введемо до розгляду такi областi комплексної площини:
DZ\pm
k
:=
\bigl\{
Z\pm
k = x+ \beta \pm k y \in \BbbC : xe1 + ye2 \in D\pm
\zeta
\bigr\}
, k = 1, 2. (34)
Має мiсце зображення моногенної функцiї \Phi \pm : D\pm
\zeta - \rightarrow \BbbB 0 через двi голоморфнi функцiї
комплексної змiнної Z\pm
1 i Z\pm
2 вiдповiдно.
Теорема 3. Функцiя \Phi \pm : D\pm
\zeta - \rightarrow \BbbB 0 є моногенною в областi D\pm
\zeta тодi i тiльки тодi, коли
має мiсце рiвнiсть
\Phi \pm (\zeta ) = (F1)\pm
\bigl(
Z\pm
1
\bigr)
I1 + (F2)\pm
\bigl(
Z\pm
2
\bigr)
I2 \forall \zeta \in D\pm
\zeta , (35)
де (Fk)\pm — деяка голоморфна функцiя комплексної змiнної Z\pm
k в областi DZ\pm
k
вiдповiдно при
k = 1, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ . . . 1065
Теорема 3 доводиться тривiально з використанням теореми 2, рiвностi (26), формул (23)
i (24) для базисiв (e1, e2) \in B\pm
1 з (13), а також умов Кошi – Рiмана аналiтичностi функцiй
(Fk)\pm
\bigl(
Z\pm
k
\bigr)
у областях DZ\pm
k
, k = 1, 2, вiдповiдно. За цiєю ж схемою теорему 2 доведено у
роботi [16] для базису (e1, e2) \in B+
1 (однак у доведеннi є дрiбнi арифметичнi помилки).
Зауважимо, що для алгебри бiкомплексних чисел подiбну теорему доведено у [46] (пункт 10),
причому вiдповiднi функцiї визначено в усiй алгебрi.
У роботах [42, 43] розглядаються функцiї \Phi : \Omega \zeta - \rightarrow \BbbA n, де \BbbA n — скiнченновимiрна на-
пiвпроста комутативна алгебра над полем комплексних чисел розмiрностi n, n \geq 2, базис
якої утворено ортогональними iдемпотентами I1, I2, . . . , In, тобто I2k = Ik, IkIr = 0, k, r =
= 1, 2, . . . , n, k \not = r, \Omega \zeta — область, що належить лiнiйнiй оболонцi
Em :=
\Biggl\{
\zeta =
m\sum
k=1
xkek : xk \in \BbbR
\Biggr\}
лiнiйно незалежних над полем дiйсних чисел векторiв e1, e2, . . . , em, 2 \leq m \leq n, де e1 —
одиниця алгебри \BbbA n. Припускається далi, що \Phi є неперервною у \Omega \zeta , а також диференцiйовною
за Гато у кожнiй точцi даної областi, тобто для кожного \zeta \in \Omega \zeta iснує елемент алгебри \Phi \prime (\zeta ) \in
\in \BbbA n такий, що виконується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0+0
\bigl(
\Phi (\zeta + \varepsilon h) - \Phi (\zeta )
\bigr)
\varepsilon - 1 = h\Phi \prime (\zeta ) \forall \zeta \in Em, \zeta + \varepsilon h \in \Omega \zeta .
Нехай n = m = 2, \BbbA 2 = \BbbB 0, e1 i e2, що породжують E2, такi, що (e1, e2) \in B\pm
1 , iдемпотенти
Ik, k = 1, 2, визначаються рiвностями (4).
Тодi на пiдставi теореми 3 [42] (або теореми 1 [43]) одержуємо таке твердження: нехай
fk(E2) :=
\bigl\{
fk(\zeta ) := x1 + a2kx2 : xj \in \BbbR , j = 1, 2
\bigr\}
\equiv \BbbC , k = 1, 2, (36)
а область \Omega \zeta „опукла за множиною напрямкiв M1, M2”, тобто з того, що \zeta 1, \zeta 2 \in \Omega \zeta i
\zeta 1 - \zeta 2 \in Mk :=
\bigl\{
\zeta \in Em : fk(\zeta ) = 0
\bigr\}
, k = 1, 2, випливає, що область \Omega \zeta повнiстю мiстить
вiдрiзок
\bigl\{
\zeta 1 + \alpha (\zeta 2 - \zeta 1) : \alpha \in [0, 1]
\bigr\}
, що з’єднує точки \zeta 1 i \zeta 2.
Тодi кожна функцiя \Phi : \Omega \zeta - \rightarrow \BbbB 0, яка є неперервною i диференцiйовною за Гато в областi
\Omega \zeta , зображується у виглядi
\Phi (\zeta ) = F1
\bigl(
f1(\zeta )
\bigr)
I1 + F2
\bigl(
f2(\zeta )
\bigr)
I2,
де Fk : Dk - \rightarrow \BbbC , k = 1, 2, — деяка аналiтична в областi Dk :=
\bigl\{
fk(\zeta ) : \zeta \in \Omega \zeta
\bigr\}
\subset \BbbC функцiя
комплексної змiнної x1 + a2kx2 = fk(\zeta ), k = 1, 2.
Оскiльки (e1, e2) належить B\pm , то a2k = \beta \pm k , k = 1, 2, де \beta \pm k , k = 1, 2, визначаються з (23) i
(24). Перепозначаючи у \zeta змiнну x1 на x, а x2 на y, приходимо до iдентичностi у позначеннях
\zeta \in E2 i \zeta \in \mu \pm \equiv E2. Тодi fk(\zeta ) = x + \beta \pm k y \equiv Z\pm
k , Dk \equiv DZ\pm
k
, k = 1, 2, \Omega \zeta \equiv D\pm
\zeta .
Враховуючи, що Z\pm
k = 0 тодi i тiльки тодi, коли x = y = 0, одержуємо, що M1 = M2 \equiv
\equiv \{ 0\} , тобто „опуклiсть за множиною напрямкiв M1, M2” областi \Omega \zeta \equiv D\pm
\zeta вироджується
у її вiдсутнiсть (\zeta 1 - \zeta 2 = 0 лише при \zeta 1 = \zeta 2). На пiдставi (23), (24) i (32) одержуємо, що
fk(E2) = Z\pm
k , k = 1, 2, „пробiгає” всю комплексну площину \BbbC , коли \zeta „пробiгає” E2 = \mu \pm (x
i y „пробiгають” множину дiйсних чисел).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1066 С. В. ГРИЩУК
Нарештi, враховуючи, що з моногенностi функцiї \Phi := \Phi \pm в областi D\pm
\zeta випливає, що
\Phi є диференцiйовною за Гато i неперервною у данiй областi, переконуємося, що теорема 3 є
наслiдком зазначених результатiв робiт [42, 43].
Використовуючи першi двi рiвностi з (4) та замiнюючи без втрати загальностi (Fk)\pm на
2(Fk)\pm , k = 1, 2, у (35), отримуємо зображення у базисi (e, \omega ):
\Phi \pm (\zeta ) =
\bigl(
(F1)\pm (Z
\pm
1 ) + (F2)\pm (Z
\pm
2 )
\bigr)
e+
\bigl(
(Z\pm
2 )(F1)\pm (Z
\pm
1 ) - (F2)\pm (Z
\pm
2 )
\bigr)
\omega \forall \zeta \in D\pm
\zeta . (37)
Для одержання розкладу вигляду (35) у базисi (e1, e2) \in B\pm
1 потрiбно в (35) пiдставити рiвностi
I1 =
\beta \pm 2
\beta \pm 2 - \beta \pm 1
e1 -
1
\beta \pm 2 - \beta \pm 1
e2, I2 = - \beta \pm 1
\beta \pm 2 - \beta \pm 1
e1 +
1
\beta \pm 2 - \beta \pm 1
e2. (38)
Наведемо важливi наслiдки з теореми 2.
Наслiдок 1. Нехай область \partial D\pm
\zeta така, що межi \partial D\pm
Zk
областей (34), k = 1, 2, є жор-
дановими спрямлюваними кривими комплексної площини. Якщо функцiя \Phi \pm : D\pm
\zeta - \rightarrow \BbbB 0 є
моногенною в областi D\pm
\zeta i неперервною у її замиканнi D\pm
\zeta \cup \partial D\pm
\zeta , то мають мiсце рiвностi
\Phi \pm (\zeta ) =
2\sum
k=1
Ik
1
2\pi i
\int
\partial D
Z\pm
k
(Fk)\pm (T
\pm
k )\bigl(
T\pm
k - Z\pm
k
\bigr) dT\pm
k \forall \zeta \in D\pm
\zeta ,
\int
\partial D\pm
\zeta
\Phi \pm (\zeta ) d\zeta = 0. (39)
Наслiдок 2. Кожна моногенна функцiя \Phi \pm : D\pm
\zeta - \rightarrow \BbbB 0 має похiднi \Phi \pm
(k) довiльного
порядку k = 1, 2, . . . .
4. Iзоморфiзм функцiональних алгебр у площинах, породжених рiзними елементами
з B. Розглянемо площину \mu \ast := \{ \zeta = xe1 + ye2 : x, y \in \BbbR \} , де (e1, e2) \in B. Аналогiчно
випадкам, коли D\pm
\zeta \subset \mu \pm , можна будувати моногеннi функцiї \Phi в областi D\zeta \subset \mu \ast , для
яких критерiй моногенностi повнiстю аналогiчний теоремi 2 (з замiною однойменних базисних
елементiв). На пiдставi леми 1 мають мiсце рiвностi e1 = E1, e2 = E1\widetilde e2, де E1 \in E, (e, \widetilde e2) \in
\in B1. Тодi функцiю \Phi можна єдиним чином записати у виглядi
\Phi (\zeta ) = \widehat \Phi (\zeta 1)E1, \zeta = xe1 + ye2 \in D\zeta , \zeta 1 = xe+ y\widetilde e2,
де \widehat \Phi (\zeta 1) — функцiя змiнної \zeta 1 в областi D\zeta 1 :=
\bigl\{
xe+ y\widetilde e2 : xe1 + ye2 \in D\zeta
\bigr\}
.
Очевидно, що функцiя \Phi моногенна в D\zeta тодi i тiльки тодi, коли функцiя \widehat \Phi моногенна
в D\zeta 1 .
Встановимо як пов’язанi моногеннi функцiї в площинах \mu + i \mu - вiдповiдно.
З рiвностей (13), (23), (24) випливає, що
B\pm
1 =
\bigl\{
(e,\pm e2) : (e,\mp e2) \in B\mp
1
\bigr\}
.
Звiдси одержуємо, що (e, e2) належить B+
1 тодi i тiльки тодi, коли (e, - e2) належить B -
1 . Нехай
\mu \pm — площина, породжена базисом (e,\pm e2) \in B\pm
1 .
Розглянемо при (e, e2) \in B+
1 областi
D+
\zeta \in \mu +, D -
\zeta :=
\Bigl\{
xe - y( - e2) \in \mu - : xe+ ye2 \in D+
\zeta
\Bigr\}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ . . . 1067
та функцiї: \Phi \pm : D\pm
\zeta - \rightarrow \BbbB 0. Очевидно, що кожна функцiя \Phi - , моногенна в D -
\zeta , породжує
моногенну функцiю \Phi + в D+
\zeta (та навпаки) за формулою
\Phi -
\bigl(
xe - y( - e2)
\bigr)
= \Phi +(xe+ ye2) \forall
\bigl(
xe\pm y(\pm e2)
\bigr)
\in D\pm
\zeta ,
яка i встановлює необхiдний iзоморфiзм функцiональних алгебр.
Зауваження 3. Отже, показано, що вивчення моногенних функцiй в областях з \mu \ast еквi-
валентне вивченню моногенних функцiй в областях з \mu + або \mu - . У свою чергу, дослiдження
моногенних функцiй в областях з \mu + i \mu - вiдповiдно є рiвноправним.
5. Моногеннi функцiї зi значеннями у двовимiрнiй комутативнiй алгебрi (2) або (3) та
аналiтичнi функцiї за Дуглiсом. Пiд \BbbB \ast розумiємо одну з алгебр (2), (3). Нехай (e1, e2) —
базис алгебри \BbbB \ast , що задовольняє умову (8) з p > 1 при \BbbB \ast = \BbbB 0 або з p = 1 при \BbbB \ast = \BbbB .
Позначимо \mu e1,e2 := \{ \zeta = xe1 + ye2 : x, y \in \BbbR \} , де (e1, e2) \in B+
1 при \BbbB \ast = \BbbB 0 (\mu e1,e2 \equiv \mu +), а
при \BbbB \ast = \BbbB вважаємо, що базис (e1, e2) має таблицю множення (12).
Нехай D\zeta — область площини \mu e1,e2 , Dz := \{ z = x + iy : \zeta = xe1 + ye2 \in D\zeta \} \subset
\subset \BbbC . Розглянемо моногеннi функцiї \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB \ast . Тодi при \BbbB \ast = \BbbB 0 маємо зображення (35)
моногенної функцiї \Phi = \Phi + у iдемпотентному базисi (I1, I2), а при \BbbB \ast = \BbbB — зображення
моногенної функцiї \Phi (будується аналогiчно випадку \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0) у базисi (\widetilde \omega , e1), \widetilde \omega :=
e2 - ie1, через вiдповiднi аналiтичнi функцiї \psi k : Dz - \rightarrow \BbbC , k = 1, 2, комплексної змiнної
z = x+ iy у виглядi
\Phi (\zeta ) =
\bigl(
\psi 1(z) + y \psi \prime
2(z)
\bigr) \widetilde \omega + \psi 2(z)e1 \forall \zeta \in D\zeta . (40)
Формула (40) випливає також з аналогiчної формули робiт [5 – 7] при \psi 2 := F i \psi 1 := 2iF0.
Зазначимо, що у випадку, коли область D\zeta є опуклою у напрямку осi Oy, зображення (40)
встановлено у роботi [8].
Отже, моногеннi функцiї зi значеннями у \BbbB \ast зображуються через двi функцiї \psi k(x+ \nu ky),
k = 1, 2, аналiтичнi в областях вигляду (34) (де слiд покласти знак „плюс”) вiдповiдно, при
цьому \beta +k := i, k = 1, 2, при \BbbB \ast = \BbbB i F+
k := \psi k в (35), k = 1, 2, при \BbbB \ast = \BbbB 0. У зазначених
вище позначеннях комплекснозначнi компоненти \Phi k, k = 1, 2, розкладу моногенної функцiї у
вiдповiдному базисi мають вигляд \Phi k = \psi k, k = 1, 2, при \BbbB \ast = \BbbB 0 i \Phi 2 = \psi 2, \Phi 1 = \psi 1 + y\psi \prime
2\biggl(
\psi \prime
2 :=
d\psi 2
dz
\biggr)
при \BbbB \ast = \BbbB . Тодi за умови, що дiйсна та уявна частини компонент \Phi k = \Phi k(x, y),
k = 1, 2, є диференцiйовними функцiями в областi D =
\bigl\{
(x, y) : \zeta = xe1 + ye2 \in D\zeta
\bigr\}
декартової площини xOy, аналог умов Кошi – Рiмана (критерiй моногенностi)
\partial \Phi (\zeta )
\partial y
e1 =
\partial \Phi (\zeta )
\partial x
e2 \forall \zeta \in D\zeta , (41)
можна записати у виглядi
\partial \Phi (\zeta )
\partial y
= J\BbbB \ast
\partial \Phi (\zeta )
\partial x
\forall \zeta \in D\zeta , (42)
де \Phi (\zeta ) — вектор-стовпець \Phi (\zeta ) = (\Phi 1(\zeta ),\Phi 2(\zeta )), а J = J\BbbB \ast — (2 \times 2)-комплексна матриця,
що визначається таким чином:
J\BbbB 0 =
\Biggl(
\nu 1 0
0 \nu 2
\Biggr)
, J\BbbB =
\Biggl(
i 1
0 i
\Biggr)
, \nu k := \beta +k , k = 1, 2. (43)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1068 С. В. ГРИЩУК
Матрицi (43) є невиродженими i мають власнi значення, що належать верхнiй пiвплощинi
\{ z \in \BbbC : \mathrm{I}\mathrm{m} z > 0\} .
У роботах [23, 47] доведено, що вектор-функцiї \Phi , що задовольняють рiвняння (42) i є
неперервно диференцiйовними (у сенсi диференцiйовностi дiйсної та уявної частин компонент
\Phi k, k = 1, 2), мають дану властивiсть для \Phi :=
\partial n\Phi
\partial xn
\equiv
\biggl(
\partial n\Phi 1
\partial xn
,
\partial n\Phi 2
\partial xn
\biggr)
, тобто
\partial n\Phi
\partial xn
задоволь-
няє рiвняння (42), а \Phi є n разiв неперервно диференцiйовною для кожного натурального n.
Крiм того, доведено, що неперервно диференцiйовна вектор-функцiя \Phi задовольняє рiвняння
(42) тодi i тiльки тодi, коли iснує скiнченна границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta z\rightarrow 0
[\Delta z] - 1
\bigl(
\Phi (z +\Delta z) - \Phi (z)
\bigr)
=: \Phi \prime (\zeta ) \forall \zeta = xe1 + ye2 \in D\zeta , (44)
де [z] \equiv [xI+yJ ] = xI+yJ =: zJ (z = x+iy \in \BbbC ), I = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1, 1) — одинична (2\times 2)-матриця,
[w] - 1 — обернена матриця до матрицi [w] = wJ .
За умови iснування границi (44) справджуються рiвностi \Phi (n) =
\partial n\Phi
\partial xn
, n = 1, 2, . . . .
Як вiдомо, неперервно диференцiйовнi розв’язки \Phi (\zeta ) називаються функцiями, аналiтич-
ними у сенсi Дуглiса, або J -аналiтичними (див., наприклад, [3, 48 – 50]). Покладаючи у (43)
\nu 1 = \nu 2 = i для J = J\BbbB 0 , одержуємо, що J -аналiтичнiсть вектор-функцiї \Phi еквiвалентна
класичнiй аналiтичностi її функцiй-компонент \Phi k(z) = \Phi k(\zeta ), k = 1, 2, вiдносно комплексної
змiнної z.
Уперше неперервно диференцiйовнi розв’язки \Phi (\zeta ) для задачi вигляду (42), де J — (n\times n)-
комплексна, оборотна i ганкелева матриця (означення див., наприклад, у [51, c. 42]), дослiджу-
вались у роботi А. Дуглiса [52], а вектор-функцiя \Phi набувала значень у певнiй 2n-вимiрнiй
алгебрi над полем дiйсних чисел.
Зауважимо, що без втрати гладкостi можна вважати вектор-функцiї \Phi = \Phi (x, y) лише
диференцiйовними, як це i має мiсце для пiдходу моногенних функцiй.
Кожна з пари матриць у (43) є елементом прямого добутку двох неперетинних класiв
матриць, аналiтичнi за Дуглiсом функцiї для яких застосовуються, наприклад, у роботах [23 –
25] для рiвнянь та крайових задач плоскої ортотропiї, зокрема для опису розв’язкiв системи
рiвнянь рiвноваги Ляме. У роботi [26] аналогiчний пiдхiд реалiзовано для деяких випадкiв
пружної симетрiї для просторової анiзотропiї.
Вищезазначенi мiркування щодо зображення моногенної функцiї через аналiтичнi функцiї
\psi k, k = 1, 2, разом з рiвнiстю (42) або (44) показують, що моногеннi функцiї \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB \ast та
J -аналiтичнi (з J = J\BbbB \ast ) за Дуглiсом вектор-функцiї
\Phi (z) \equiv \Phi (\zeta ) :=
\bigl(
\Phi 1(x+ \nu 1y),\Phi 2(x+ \nu 2y)
\bigr)
,
де \zeta = xe1+ye2 \in D\zeta , z = x+iy \in Dz, \nu 1 = \nu 2 := i при B\ast := \BbbB , є еквiвалентними поняттями
(якщо виходити з зазначеного послаблення умови неперервностi компонент \Phi k, k = 1, 2, лише
на диференцiйовнiсть у D).
Основною перевагою пiдходу моногенних функцiй зi значеннями у комутативних банахових
алгебрах над пiдходом аналiтичностi у сенсi Дуглiса є те, що перший не вимагає використання
матричного числення, а будується аналогiчно класичнiй теорiї функцiй однiєї комплексної
змiнної.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ . . . 1069
6. Моногеннi функцiї площини, породженої елементами з B
\pm
\bfone , та одне узагальнене
бiгармонiчне рiвняння. З наслiдку 2 випливає, що кожна компонента (Uk)\pm , k = 1, 4, моно-
генної функцiї (26) задовольняє в D рiвняння (1). Дiйсно, це є наслiдком таких рiвностей при
кожному
\zeta \in D\pm
\zeta : \widetilde lp\Phi \pm (\zeta ) = Lp(e1, e2)\Phi
(4)
\pm (\zeta ) \equiv 0.
Рiвняння (1) одержується, наприклад, за допомогою пiдстановки у рiвняння сумiсностi
деформацiй Сен-Венана (див., наприклад, [32, c. 213]) рiвнянь узагальненого закону Гука (див.
[29, c. 32]) вигляду
\varepsilon x = \sigma x + a12\sigma y, \varepsilon y = a12\sigma x + \sigma y, \gamma xy = 2(p - a12)\tau xy, (45)
де
- 1 < a12 < 1 (46)\Bigl(
\varepsilon x,
\gamma xy
2
, \varepsilon y i \sigma x, \tau xy, \sigma y є компонентами тензора деформацiй [29, c. 16] i напружень [29,
c. 15] вiдповiдно
\Bigr)
, а далi iз застосуванням пiдстановки залежностей напружень через функцiю
напружень u(x, y) : \sigma x =
\partial 2u
\partial y2
, \tau xy = - \partial 2u
\partial x\partial y
, \sigma y =
\partial 2u
\partial x2
(див., наприклад, [32, с. 664]).
Зауважимо, що нерiвнiсть (46) є наслiдком симетричностi i додатної визначеностi матрицi
коефiцiєнтiв в узагальненому законi Гука (див., наприклад, [53, c. 27, 68], [54] (§ 2.3), [26]) та
нерiвностi p > 1.
Запишемо узагальнений закон Гука (45) у еквiвалентнiй формi
\sigma x =
1
1 - a212
(\varepsilon x - a12\varepsilon y), \sigma y =
1
1 - a212
( - a12\varepsilon x + \varepsilon y), \tau xy =
\gamma xy
2(p - a12)
. (47)
Рiвняння (1) та узагальнений закон Гука (47) вiдповiдають плоскому випадку анiзотропiї, який
називається ортотропним (див. [29, c. 33, 34]), причому його частинному випадку.
Зазначимо, що коефiцiєнти у правих частинах рiвностей (47) при деформацiях називаються
модулями пружностi (див., наприклад, [29, c. 25]).
Лiтература
1. Sobrero L. Nuovo metodo per lo studio dei problemi di elasticità, con applicazione al problema della piastra forata //
Ric. Ingegn. – 1934. – 13, № 2. – P. 255 – 264.
2. Edenhofer J. A. Solution of the biharmonic Dirichlet problem by means of hypercomplex analytic functions // Funct.
Theor. Methods Partial Different. Equat. (Proc. Int. Symp. Held at Darmstand, Germany, 12 – 15 April, 1976): Ser.
Lect. Notes Math. –1976. – 561. – P. 192 – 202.
3. Gilbert R. P., Wendland W. L. Analytic, generalized, hyperanalytic function theory and an application to elasticity //
Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. – 1975. – 73. – P. 317 – 331.
4. Ковалев В. Ф., Мельниченко И. П. Бигармонические функции на бигармонической плоскости // Докл. АН
УССР. Сер. А. – 1981. – № 8. – C. 25 – 27.
5. Грищук С. В., Плакса С. А. Моногенные функции в бигармонической алгебре // Укр. мат. журн. – 2009. – 61,
№ 12. – C. 1587 – 1596.
6. Грищук С. В., Плакса С. А. Моногенные функции в бигармонической плоскости // Доп. НАН України. – 2009. –
№ 12. – С. 13 – 20.
7. Gryshchuk S. V., Plaksa S. A. Reduction of a Schwartz-type boundary value problem for biharmonic monogenic
functions to Fredholm integral equations // Open Math. – 2017. – 15, № 1. – P. 374 – 381.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1070 С. В. ГРИЩУК
8. Ковалев В. Ф. Бигармоническая задача Шварца. – Киев, 1986. – 19 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики;
86.16).
9. Gryshchuk S. V., Plaksa S. A. Schwartz-type integrals in a biharmonic plane // Int. J. Pure and Appl. Math. – 2013. –
83, № 1. – P. 193 – 211.
10. Gryshchuk S. V., Plaksa S. A. Monogenic functions in the biharmonic boundary value problem // Math. Meth. Appl.
Sci. – 2016. – 39, № 11. – P. 2939 – 2952.
11. Gryshchuk S. V. \BbbB -valued monogenic functions and their applications to boundary value problems in displacements
of 2-D elasticity // ArXiv preprint. – 2016. – 12 p.
12. Ковалев В. Ф., Мельниченко И. П. Бигармонические потенциалы и плоские изотропные поля смещений // Укр.
мат. журн. – 1988. – 40, № 2. – С. 229 – 231.
13. Грищук С. В. Гiперкомплекснi моногеннi функцiї бiгармонiчної змiнної в деяких задачах плоскої теорiї пруж-
ностi // Доп. НАН України. – 2015. – № 6. – С. 7 – 12.
14. Грищук С. В. Одновимiрнiсть ядра системи iнтегральних рiвнянь Фредгольма для однорiдної бiгармонiчної
задачi // Аналiз та застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2017. – 14, № 1. – С. 128 – 139.
15. Бон Ц. С. Задача Неймана для бигармонического уравнения // Дифференц. уравнения. – 1991. – 27, № 1. –
P. 169 – 172.
16. Ковалев В. Ф., Мельниченко И. П. Алгебры функционально-инвариантных решений p-бигармонического урав-
нения. – Киев, 1991. – 15 с. – (Препринт / НАН Украины. Ин-т математики; 91.10).
17. Weisz-Patrault D., Bock S., Gürlebeck K. Three-dimensional elasticity based on quaternion-valued potentials // Int.
J. Solids and Structures. – 2014. – 51, № 19. – P. 3422 – 3430.
18. Bock S., Gürlebeck K., Legatiuk D., Nguyen H. M. \psi -Hyperholomorphic functions and a Kolosov – Muskhelishvili
formula // Math. Meth. Appl. Sci. – 2015. – 38, № 18. – P. 5114 – 5123.
19. Grigor’ev Yu. M. Regular quaternionic polynomials and their properties // Complex Var. and Elliptic Equat. – 2017. –
62, № 9. – P. 1343 – 1363.
20. Цалик А. М. Кватернионные функции, их свойства и некоторые приложения к задачам механики сплошных
сред // Докл. АН УССP. Сер. А. – 1986. – № 12. – С. 21 – 24.
21. Tsalik A. Quaternionic representations of the 3D elastic and thermoelastic bоundary problems // Math. Meth. Appl.
Sci. – 1995. – 18. – P. 687 – 708.
22. Gülebeck K., Habetha K., Sprössig W. Application of holomorphic functions in two and higher dimensions. – Basel:
Birkhäuser, 2016. – 402 p.
23. Солдатов А. П. Гипераналитические функции и их приложения // Совр. математика и ее приложения. Теория
функций. – Тбилиси: Ин-т кибернетики АН Грузии, 2004. – 15. – C. 142 – 199.
24. Солдатов А. П. К теории анизотропной плоской упругости // Совр. математика. Фундам. направления. – М.:
Рос. ун-т дружбы народов, 2016. – 60. – С. 114 – 163.
25. Абаполова Е. А., Солдатов А. П. Cистема Ламе теории упругости в плоской ортотропной среде // Совр.
математика и ее приложения. – Тбилиси: Ин-т кибернетики АН Грузии, 2008. – 53, ч. 1. – C. 3 – 9.
26. Митин С. П. О представлении решений анизотропной теории упругости // Дифференц. уравнения. – 1998. –
34, № 1. – C. 94 – 100.
27. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: Наука, 1966. – 708 с.
28. Фридман М. М. Математическая теория упругости анизотропных сред // Прикл. математика и механика. –
1950. – 14, № 3. – С. 321 – 340.
29. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 416 c.
30. Шерман Д. И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды // Тр. Сейсм. ин-та АН СССР. –
1938. – № 86. – C. 51 – 78.
31. Боган Ю. А. Регулярные интегральные уравнения для второй краевой задачи в анизотропной двумерной
теории упругости // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2005. – № 4. – С. 17 – 26.
32. Партон В. З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. – М.: Наука, 1981. – 688 c.
33. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. – М.: Физматгиз, 1963. – 472 с.
34. Study E. Über systeme complexer zahlen und ihre anwendungen in der theorie der transformationsgruppen // Monatsh.
Math. – 1890. – 1, № 1. – S. 283 – 354.
35. Чеботарев Н. Г. Введение в теорию алгебр. – 3-е изд. // Физико-математическое наследие: математика (алгеб-
ра). – М.: Изд-во ЛКИ, 2008. – 88 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ . . . 1071
36. Hestenes D., Reany P. Sobczyk G. Unipodal algebra and roots of polynomials // Adv. Appl. Clifford Algebras. –
1991. – 1, № 1. – P. 31 – 51.
37. Baylis W. E. (Ed.) Clifford (geometric) algebras: with applications to physics, mathematics, and engineering. – Boston
ect.: Birkhäuser, 1996. – 521 p.
38. Segre G., Khrennikov A. An introduction to hyperbolic analysis // arXiv preprint. – 2005. – 42 p.
39. Motter A. E., Rosa M. A. F. Hyperbolic calculus // Adv. Appl. Clifford Algebras. – 1998. – 8, № 1. – P. 109 – 128.
40. Kisil V. V. Induced representations and hypercomplex numbers // Adv. Appl. Clifford Algebras. – 2013. – 23, № 2. –
P. 417 – 440.
41. Ulrych S. Relativistic quantum physics with hyperbolic numbers // Phys. Lett. B. – 2005. – 625, № 3. – P. 313 – 323.
42. Плакса С. А., Пухтаєвич Р. П. Конструктивний опис моногенних функцiй в скiнченновимiрнiй напiвпростiй
комутативнiй алгебрi // Доп. НАН України. – 2014. – № 1. – С. 14 – 21.
43. Plaksa S. A., Pukhtaievych R. P. Monogenic functions in a finite-dimensional semi-simple commutative algebra // An.
Ştiinţ. Univ. ”Ovidius” Constanţa. – 2014. – 22, № 1. – P. 221 – 235.
44. Грищук С. В., Плакса С. А. О логарифмичном вычете моногенных функций бигармонической переменной //
Комплексний аналiз i течiї з вiльними границями: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010. – 7, № 2. –
С. 227 – 234.
45. Мельниченко И. П. Бигармонические базисы в алгебрах второго ранга // Укр. мат. журн. – 1986. – 38, № 2. –
C. 252 – 254.
46. Riley J. D. Contributions to the theory of functions of a bicomplex variable // Tohoku Math. J. – 1953. – 5, № 2. –
P. 132 – 165.
47. Николаев В. Г. Исследование граничных свойств функций, аналитических по Дуглису: Дис. . . . канд. физ.-мат.
наук. – Великий Новгород, 2015. – 105 с.
48. Gilbert R. P., Hile G. N. Generalized hypercomplex function theory // Trans. Amer. Math. Soc. – 1974. – 195. –
P. 1 – 29.
49. Hile G. N. Function theory for a class of elliptic systems in the plane // J. Different. Equat. – 1979. – 32, № 3. –
P. 369 – 387.
50. Yeh R. Z. Hyperholomorphic functions and higher order partial differential equations in the plane // Pacif. J. Math. –
1990. – 142, № 2. – P. 379 – 399.
51. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 655 c.
52. Douglis A. A function-theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables // Communs Pure and
Appl. Math. – 1953. – 6, № 2. – P. 259 – 289.
53. Бехтерев П. В. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука: В 2 ч. – Л.: Изд. автора, отпечатано в
типографии Морск. ведомства, 1925. – Ч. 1: Применение учения о потенциальной энергии и начала наименьшей
работы. – 155 c. (переиздание: М.: Рипол Классик, 2013. – 160 c.)
54. Хан Х. Теория упругости. Основы линейной теории и ее применения: Пер. с нем. Е. А. Когана. – М.: Мир,
1988. – 344 с.
Одержано 04.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1617 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:13Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fb/90fe6fc8008b249feee83162cab951fb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16172019-12-05T09:21:04Z Сommutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases of plane orthotropy. I Комутативні комплексні алгебри другого рангу з одиницею та деякі випадки плоскої ортотропії. I Gryshchuk, S. V. Грищук, С. В. Among all two-dimensional algebras of the second rank with unity $e$ over the field of complex numbers $C$, we find a semisimple algebra $B_0 = \{ c_1e + c_2\omega: c_k \in C, k = 1, 2\} , \omega^2 = e$, containing bases $(e_1, e_2)$, such that $e^4_1 + 2pe^2_1e^2_2 + e^4_2 = 0$ for every fixed $p > 1$. A domain $\{ (e1, e2)\}$ is described in the explicit form. We construct $B_0$ -valued “analytic” functions $\Phi$ such that their real-valued components satisfy the equation for the stress function $u$ in the case of orthotropic plane deformations $$\biggl(\frac{\partial^4}{\partial x^4} + 2p \frac{\partial^4}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4}{\partial y^4}\biggr) u(x, y) = 0,$$ where $x, y$ are real variables. Серед двовимiрних алгебр другого рангу з одиницею $e$ над полем комплексних чисел $C$ знайдено напiвпросту алгебру $B_0 = \{ c_1e + c_2\omega: c_k \in C, k = 1, 2\} , \omega^2 = e$, що мiстить базиси $(e_1, e_2)$ такi, що $e^4_1 + 2pe^2_1e^2_2 + e^4_2 = 0$ для кожного фiксованого $p > 1$. Множину $\{ (e1, e2)\}$ описано в явному виглядi. Побудовано $B_0$ -значнi „аналiтичнi” функцiї $\Phi$ такi, що їхнi дiйснозначнi компоненти задовольняють рiвняння для знаходження функцiї напружень $u$ у випадку плоских ортотропних деформацiй $$\biggl(\frac{\partial^4}{\partial x^4} + 2p \frac{\partial^4}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4}{\partial y^4}\biggr) u(x, y) = 0,$$ де $x, y$ — дiйснi змiннi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1617 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 8 (2018); 1058-1071 Український математичний журнал; Том 70 № 8 (2018); 1058-1071 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1617/599 Copyright (c) 2018 Gryshchuk S. V. |
| spellingShingle | Gryshchuk, S. V. Грищук, С. В. Сommutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases of plane orthotropy. I |
| title | Сommutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases of plane orthotropy. I |
| title_alt | Комутативні комплексні алгебри другого рангу з одиницею та деякі випадки плоскої ортотропії. I |
| title_full | Сommutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases of plane orthotropy. I |
| title_fullStr | Сommutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases of plane orthotropy. I |
| title_full_unstemmed | Сommutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases of plane orthotropy. I |
| title_short | Сommutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases of plane orthotropy. I |
| title_sort | сommutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases of plane orthotropy. i |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1617 |
| work_keys_str_mv | AT gryshchuksv sommutativesomplexalgebrasofthesecondrankwithunityandsomecasesofplaneorthotropyi AT griŝuksv sommutativesomplexalgebrasofthesecondrankwithunityandsomecasesofplaneorthotropyi AT gryshchuksv komutativníkompleksníalgebridrugogoranguzodiniceûtadeâkívipadkiploskoíortotropííi AT griŝuksv komutativníkompleksníalgebridrugogoranguzodiniceûtadeâkívipadkiploskoíortotropííi |