Finite structurally uniform groups and commutative nilsemigroups
Let $S$ be a finite semigroup. By $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$ we denote the lattice of all its subsemigroups. If $A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$, then by $h(A)$ we denote the height of the subsemigroup $A$ in the lattice $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$. A semigroup $S$ is call...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1618 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507434113564672 |
|---|---|
| author | Derech, V. D. Дереч, В. Д. |
| author_facet | Derech, V. D. Дереч, В. Д. |
| author_sort | Derech, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:04Z |
| description | Let $S$ be a finite semigroup. By $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$ we denote the lattice of all its subsemigroups. If $A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$, then by $h(A)$ we
denote the height of the subsemigroup $A$ in the lattice $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$. A semigroup $S$ is called structurally uniform if, for any
$A, B \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$ the condition $h(A) = h(B) implies that A \sim = B$. We present a classification of finite structurally uniform
groups and commutative nilsemigroups. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.534.5
В. Д. Дереч (Вiнниц. нац. техн. ун-т)
СКIНЧЕННI СТРУКТУРНО-ОДНОРIДНI ГРУПИ
I КОМУТАТИВНI НIЛЬНАПIВГРУПИ
Let S be a finite semigroup. By \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) we denote the lattice of all its subsemigroups. If A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S), then by h(A) we
denote the height of the subsemigroup A in the lattice \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S). A semigroup S is called structurally uniform if, for any
A,B \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) the condition h(A) = h(B) implies that A \sim = B. We present a classification of finite structurally uniform
groups and commutative nilsemigroups.
Нехай S — скiнченна напiвгрупа. Решiтку пiднапiвгрупи напiвгрупи S позначимо через \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S). Якщо A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S),
то через h(A) позначимо висоту пiднапiвгрупи A в решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S). Напiвгрупа S називається структурно-однорiд-
ною, якщо для довiльних A,B \in Sub(S) з умови h(A) = h(B) випливає A \sim = B. У статтi наведено класифiкацiю
скiнченних структурно-одорiдних груп i комутативних нiльнапiвгруп.
Напiвгрупа S називається iнверсною, якщо для будь-якого елемента x iснує єдиний елемент
x - 1 такий, що xx - 1x = x i x - 1xx - 1 = x - 1. Вiдомо (див. [1]), що напiвгрупа є iнверсною
тодi i лише тодi, коли кожний її елемент є регулярним i будь-якi два її iдемпотенти кому-
тують. Далi, локальним автоморфiзмом математичної структури C називають iзоморфiзм мiж
двома її пiдструктурами. Множина всiх локальних автоморфiзмiв математичної структури C
вiдносно звичайної операцiї композицiї бiнарних вiдношень утворює iнверсний моноїд ло-
кальних автоморфiзмiв структури C, який ми будемо позначати через L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C). Вiдомо, що
основним джерелом груп є групи автоморфiзмiв (групи симетрiй) математичних структур.
Аналогiчно, основним джерелом iнверсних моноїдiв є iнверснi моноїди локальних автоморфiз-
мiв (локальних симетрiй) математичних структур. Вивчення взаємозв’язкiв мiж математичною
структурою C i групою автоморфiзмiв \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C) є актуальною задачею. Аналогiчно, важливою
проблемою в теорiї iнверсних напiвгруп є вивчення зв’язкiв мiж властивостями математичної
структури C i iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C). Зокрема, у статтi [2] (крiм iншого) знайдено
структуру групи G, для якої iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G) є клiффордовим. У роботi [3] наведе-
но опис iнверсних напiвгруп S, для яких iнверсний моноїд усiх локальних автоморфiзмiв мiж
iнверсними пiднапiвгрупами напiвгрупи S є цiлком напiвпростим або фундаментальним.
Скажемо, що напiвгрупа S є конгруенц-переставною (або просто переставною), якщо будь-
якi двi її конгруенцiї комутують вiдносно звичайної операцiї композицiї бiнарних вiдношень.
Класичним прикладом конгруенц-переставної напiвгрупи є група. До конгруенц-переставних
напiвгруп також належать скiнченна симетрична iнверсна напiвгрупа, iнверсний моноїд ло-
кальних автоморфiзмiв скiнченновимiрного векторного простору, iнверсний моноїд локальних
автоморфiзмiв скiнченної лiнiйно впорядкованої напiврешiтки, напiвгрупа Брандта та iншi на-
пiвгрупи. У статтi [8] наведено повну класифiкацiю скiнченних напiвгруп, для яких iнверсний
моноїд локальних автоморфiзмiв є конгруенц-переставною напiвгрупою. Вiдомо (див. [13]), що
множина iдеалiв конгруенц-переставної напiвгрупи є лiнiйно впорядкованою вiдносно вклю-
чення. У зв’язку з цiєю обставиною виникає проблема класифiкацiї скiнченних напiвгруп S,
для яких iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) має лiнiйно впорядковану (вiдносно включення) мно-
жину iдеалiв. Вiдомо (див. [7], теорема 1), що множина iдеалiв iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S)
лiнiйно впорядкована вiдносно включення тодi i лише тодi, коли з умови h(A) = h(B) ви-
c\bigcirc В. Д. ДЕРЕЧ, 2018
1072 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
СКIНЧЕННI СТРУКТУРНО-ОДНОРIДНI ГРУПИ I КОМУТАТИВНI НIЛЬНАПIВГРУПИ 1073
пливає A \sim = B
\bigl(
тут через h(A) позначено висоту пiднапiвгрупи A в решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)
\bigr)
. Далi
(для зручностi) скiнченну напiвгрупу, яка задовольняє щойно зазначену умову, будемо називати
структурно-однорiдною.
У даннiй статтi ми класифiкуємо структурно-однорiднi скiнченнi групи (див. теорему 1), а
також скiнченнi комутативнi структурно-однорiднi нiльнапiвгрупи (див. теорему 3).
1. Означення. Термiнологiя. Формулювання потрiбних результатiв. Нехай S — довiль-
на напiвгрупа. Iзоморфiзм мiж пiднапiвгрупами напiвгрупи S називають локальним автомор-
фiзмом напiвгрупи S. Множина всiх локальних автоморфiзмiв напiвгрупи S вiдносно звичайної
операцiї композицiї бiнарних вiдношень утворює iнверсний моноїд, який ми позначимо через
L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S). Якщо \xi \in L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S), то через \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\xi ) i \mathrm{i}\mathrm{m}(\xi ) будемо позначати вiдповiдно область
визначення i множину значень локального автоморфiзму \xi .
Напiвгрупа називається конгруенц-переставною (або просто переставною), якщо для будь-
яких двох її конгруенцiй \rho i \sigma виконується рiвнiсть \rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho , де \circ — позначення композицiї
бiнарних вiдношень.
Нехай P — скiнченна впорядкована множина з найменшим елементом 0. Висотою h(x)
елемента x називається точна верхня межа довжин ланцюгiв, що з’єднують елементи 0 i x.
Нехай S — довiльна напiвгрупа. Решiтку всiх її пiднапiвгруп будемо позначати через \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S).
Якщо напiвгрупа S мiстить найменшу непорожню пiднапiвгрупу (наприклад, одинична пiд-
група у групi), то найменшим елементом \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) вважається саме ця пiднапiвгрупа. Якщо ж
найменшої непорожньої пiднапiвгрупи в S не iснує, то найменшим елементом \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) будемо
вважати порожню множину \varnothing , i в цьому випадку порожнє перетворення є нулем iнверсно-
го моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S). Якщо A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S), то через \Delta A позначимо вiдношення рiвностi на
пiднапiвгрупi A. Зрозумiло, що \Delta A є iдемпотентом моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S). Кожний iдемпотент на-
пiвгрупи L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) має таку форму. Якщо A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S), то через h(A) будемо позначати висоту
пiднапiвгрупи A в решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S).
Нехай S — iнверсна напiвгрупа скiнченної довжини (вiдносно звичайного канонiчного
порядку на S ). Якщо a \in S, то (за означенням) \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(a) = h(aa - 1), де h(aa - 1) — висота iдем-
потента aa - 1 у напiврешiтцi E(S). Легко перевiрити, що при такому означеннi рангу елемента
виконується характеристична нерiвнiсть \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(a \cdot b) \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(a), \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(b)
\bigr\}
. Зазначимо, що
таке означення рангу елемента iнверсної напiвгрупи скiнченної довжини в багатьох випадках
(наприклад, у випадку скiнченної симетричної iнверсної напiвгрупи) тотожне класичному озна-
ченню. Конкретизуємо наше означення рангу для iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) у випадку, коли
S — скiнченна напiвгрупа. Отже, нехай f \in L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S), тодi (за означенням) \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(f) = h(\mathrm{i}\mathrm{m}(f)),
де h(\mathrm{i}\mathrm{m}(f)) — висота пiднапiвгрупи \mathrm{i}\mathrm{m}(f) у решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S).
Групу Q8 =
\bigl\{
1, - 1, i, - i, j, - j, k, - k
\bigr\}
, де множення задається правилом i2 = j2 = k2 =
= - 1, ij = k, ji = - k, jk = i, kj = - i, ki = j, ik = - j, називають групою кватернiонiв.
Для простого числа p через \BbbZ p позначимо вiдповiдне поле. Множина всiх верхнiх трикутних
матриць вигляду
\left( 1 a b
0 1 c
0 0 1
\right) , де a, b, c — довiльнi елементи з поля \BbbZ p, вiдносно звичайної
операцiї множення матриць утворює групу, яку називають групою Гайзенберга над полем \BbbZ p i
позначають через \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}(\BbbZ p).
Напiвгрупу, що мiстить нуль, називають нiльнапiвгрупою, якщо для довiльного x \in S iснує
таке натуральне число n, що xn = 0. Мiнiмальне значення k, для якого справджується ця
рiвнiсть, називають iндексом нiльпотентностi елемента x i позначають через nd(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1074 В. Д. ДЕРЕЧ
Напiвгрупу S з нулем називають напiвгрупою з нульовим множенням, якщо S2 = \{ 0\} .
Напiвгрупа називається в’язкою, якщо кожний її елемент є iдемпотентом.
Всi iншi поняття щодо абстрактних напiвгруп i напiвгруп перетворень можна знайти вiд-
повiдно в [1] i [4].
Тепер сформулюємо кiлька тверджень, необхiдних для подальшого викладу.
Твердження 1 (див. [5], теорема 2). Нехай S — iнверсна напiвгрупа скiнченного рангу з
нулем. Тодi S є конгруенц-переставною в тому i лише в тому випадку, коли виконуються такi
умови:
1) якщо \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(a) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(b), то SaS = SbS для будь-яких a, b \in S;
2) для будь-якого e \in E(S) (\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(e) \geq 2) iснують iдемпотенти f i g такi, що f \not = g,
f < e, g < e i \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(f) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(g) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(e) - 1.
Зауваження 1 (див. [5], теорема 1). Якщо ранг довiльного елемента нетривiальної iнверс-
ної напiвгрупи S з нулем не перевищує 1, то напiвгрупа S конгруенц-переставна тодi i лише
тодi, коли вона є напiвгрупою Брандта.
Зауваження 2 (див. [6], теорема 2). Зазначимо, що умова 1 твердження 1 еквiвалентна лi-
нiйнiй впорядкованостi (вiдносно включення) множини iдеалiв напiвгрупи S.
Зауваження 3 (див. [5], лема 1). Умовою 2 часто зручнiше користуватися в еквiвалентнiй
формi, а саме: якщо u < v, де u, v \in E(S) i \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(u) \geq 1, то iснує елемент w \in E(S) такий,
що u \not = w,w < v i \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(u) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(w).
Твердження 2 (див. [7], теорема 1). Нехай S — скiнченна напiвгрупа. Множина iдеалiв на-
пiвгрупи L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) лiнiйно впорядкована вiдносно включення тодi i тiльки тодi, коли в решiтцi
\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) неiзоморфнi пiднапiвгрупи мають рiзнi висоти.
Твердження 3 (див. [8], теорема 2). Нехай G — скiнченна група. Iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)
є конгруенц-переставним тодi i лише тодi, коли G:
1) або елементарна абелева p-група, де p — довiльне просте число;
2) або група Гайзенберга над скiнченним полем \BbbZ p, де p — довiльне непарне просте число.
У данiй статтi ми розглядаємо лише скiнченнi групи i напiвгрупи. Тому далi (якщо не
зазначено iнше) пiд словами „група” i „напiвгрупа” ми розумiємо вiдповiдно „скiнченна група”
i „скiнченна напiвгрупа”.
2. Структурно-однорiднi групи.
Означення. Напiвгрупу S назвемо структурно-однорiдною, якщо будь-якi двi її пiднапiв-
групи однакової висоти в решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) є iзоморфними.
Лема 1. Якщо група G є структурно-однорiдною, то G є p-групою, де p — просте число.
Доведення. Нехай | G| = m. Припустимо, що простi числа p1 i p2 (p1 \not = p2) є дiльниками
числа m. За теоремою Кошi група G мiстить пiдгрупи A i B, порядки яких вiдповiдно p1 i
p2. Оскiльки h(A) = h(B) = 1 i за умовою група G є структурно-однорiдною, то A \sim = B.
Суперечнiсть. Таким чином, число m має лише один простий дiльник. Позначимо його через
p. Отже, m = pn для деякого натурального числа n.
Лему 1 доведено.
Зазначимо, що доведення леми 1 майже повнiстю збiгаєтьcя з доведенням леми 3 зi стат-
тi [8].
Наступна теорема мiстить повний список структурно-однорiдних груп.
Теорема 1. Група G є структурно-однорiдною тодi i тiльки тодi, коли G:
(i) або циклiчна група порядку pn, де p — просте число;
(ii) або група кватернiонiв Q8 ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
СКIНЧЕННI СТРУКТУРНО-ОДНОРIДНI ГРУПИ I КОМУТАТИВНI НIЛЬНАПIВГРУПИ 1075
(iii) або елементарна абелева p-група;
(iv) або група Гайзенберга \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}(\BbbZ p) над скiнченним полем \BbbZ p, де p — просте непарне
число.
Доведення. Спочатку покажемо, що кожна з перелiчених у теоремi груп має однорiдну
структуру.
(i) Нехай G — циклiчна група порядку pn, де p — просте число. Вiдомо, що в цьому
випадку решiтка пiдгруп \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(G) є лiнiйно впорядкованою. Отже, iснує лише одна пiдгрупа
заданої висоти \alpha , 0 \leq \alpha \leq n. Звiдси випливає, що циклiчна група G є структурно-однорiдною.
(ii) Група кватернiонiв Q8 мiстить чотири власнi пiдгрупи: одну пiдгрупу порядку 2 i три
циклiчнi пiдгрупи порядку 4 (див., наприклад, [12]). Цi три циклiчнi пiдгрупи в решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(Q8)
мають однакову висоту (яка дорiвнює 2) i, зрозумiло, вони попарно iзоморфнi. Отже, група Q8
є структурно-однорiдною.
(iii) У статтi [7] доведено, що для елементарної абелевої p-групи G iнверсний моноїд
L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G) є конгруенц-переставним, а отже (див. [13], теорема 4), множина iдеалiв моноїда
L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G) лiнiйно впорядкована вiдносно включення. Тому, згiдно з твердженням 2, елементар-
на абелева p-група є структурно-однорiдною.
(iv) Аналогiчно, позаяк iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}(\BbbZ p)), де p — просте непарне число,
є конгруенц-переставним (див. [8]), то група \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}(\BbbZ p) є структурно-однорiдною.
Тепер покажемо, що групи, вказанi в теоремi, вичерпують усi скiнченнi структурно-однорiднi
групи. Отже, нехай скiнченна група G є структурно-однорiдною. Тодi, згiдно з лемою 1, група
G є p-групою, тобто | G| = pn, де p — просте число.
Розглянемо два випадки.
Перший випадок. Група G мiстить точно одну пiдгрупу порядку p.
Тодi, згiдно з теоремою 12.5.2 (див. [14]) група G є або циклiчною, або узагальненою
групою кватернiонiв. Припустимо, що G — узагальнена група кватернiонiв. Тодi (див. [14],
теорема 12.5.1)
G =
\bigl\langle
a, b : a2
n - 1
= 1, b2 = a2
n - 2
, ba = a - 1b
\bigr\rangle
, p = 2, n \geq 3.
Якщо n \geq 4, то група G мiстить циклiчну пiдгрупу C8 порядку 8. Крiм того, група G мiстить
групу кватернiонiв Q8. Пiдгрупи C8 i Q8 мають однакову висоту в решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(G), тому
C8
\sim = Q8. Суперечнiсть. Отже, в першому випадку група G є або циклiчною, або групою
кватернiонiв.
Другий випадок. Група G мiстить щонайменше двi пiдгрупи порядку p.
Тодi хоча б одна пiдгрупа порядку p належить центру групи G. Позначимо її через A.
Якщо пiдгрупа B така, що | B| = p i B \not = A, то пiдгрупа AB мiстить p2 елементiв i, зрозумiло,
не є циклiчною. Далi, нехай a — довiльний (вiдмiнний вiд одиницi) елемент групи G, тодi
| \langle a\rangle | = pk. Припустимо, що k \geq 2, тодi група \langle a\rangle мiстить циклiчну пiдгрупу C порядку p2.
Оскiльки (за умовою) група G є структурно-однорiдною i h(AB) = h(C) = 2, то AB \sim = C.
Суперечнiсть. Отже, довiльний (вiдмiнний вiд одиницi) елемент групи G має порядок p, тобто
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(G) = p. Таким чином, згiдно з твердженням 4 (див. [8]), iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G) є
конгруенц-переставним, а отже (див. твердження 3), група G є або елементарною абелевою
p-групою, або групою Гайзенберга над скiнченним полем \BbbZ p, де p — просте непарне число.
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1076 В. Д. ДЕРЕЧ
Зазначимо, що серед чотирьох типiв груп, перелiчених у теоремi 1, лише для елементарної
абелевої p-групи i групи Гайзенберга \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}(\BbbZ p), де p — просте непарне число, вiдповiднi iн-
верснi моноїди локальних автоморфiзмiв є конгруенц-переставними. Розглянемо для прикладу
iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\BbbZ 9), де \BbbZ 9 — циклiчна група вiдносно операцiї додавання за моду-
лем 9. Вона мiстить три пiдгрупи: \{ 0\} , \{ 0, 3, 6\} , \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} . Перелiчимо всi дев’ять
елементiв iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\BbbZ 9) :
0 =
\Biggl(
0
0
\Biggr)
, \alpha =
\Biggl(
0 3 6
0 3 6
\Biggr)
, \beta =
\Biggl(
0 3 6
0 6 3
\Biggr)
,
\varphi 1 =
\Biggl(
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
\Biggr)
,
\varphi 2 =
\Biggl(
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 2 4 6 8 1 3 5 7
\Biggr)
,
\varphi 4 =
\Biggl(
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 4 8 3 7 2 6 1 5
\Biggr)
,
\varphi 5 =
\Biggl(
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 5 1 6 2 7 3 8 4
\Biggr)
,
\varphi 7 =
\Biggl(
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 7 5 3 1 8 6 4 2
\Biggr)
,
\varphi 8 =
\biggl(
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 8 7 6 5 4 3 2 1
\biggr)
.
Оскiльки iдемпотент \varphi 1 не задовольняє умову 2 твердження 1, то iнверсний моноїд
L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\BbbZ 9) не є конгруенц-переставним. Пiдтвердимо цей факт, так би мовити, вручну, викорис-
тавши загальний метод конструювання двох непереставних конгруенцiй (див. [5], теорема 2) на
L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\BbbZ 9). Для цього моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\BbbZ 9) розiб’ємо на три класи: 0 = \{ 0\} , A = \{ \alpha ,\varphi 1, \varphi 4, \varphi 7\} ,
B = \{ \beta , \varphi 2, \varphi 5, \varphi 8\} . Вiдносно операцiї глобального множення маємо 0 \cdot 0 = 0 \cdot A = A \cdot 0 =
= B \cdot 0 = 0 \cdot B = 0, A \cdot A = B \cdot B = A, A \cdot B = B \cdot A = B. Отже, дане розбиття визначає
конгруенцiю, яку ми позначимо через \Sigma . Через \Omega позначимо конгруенцiю Рiса, що визначається
iдеалом \{ 0, \alpha , \beta \} . Оскiльки (0, \alpha ) \in \Omega i (\alpha ,\varphi 1) \in \Sigma , то (0, \varphi 1) \in \Omega \circ \Sigma . Однак (0, \varphi 1) /\in \Sigma \circ \Omega .
Дiйсно, якщо припустити, що (0, \varphi 1) \in \Sigma \circ \Omega , то iснує \xi \in L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\BbbZ 9) такий, що (0, \xi ) \in \Sigma
i (\xi , \varphi 1) \in \Omega . Якщо (0, \xi ) \in \Sigma , то 0 = \xi . Отже, (0, \varphi 1) \in \Omega . Одержали суперечнiсть. Таким
чином, \Sigma \circ \Omega \not = \Omega \circ \Sigma .
Кажуть, що напiвгрупа A в деякому класi напiвгруп \frakC визначається iнверсним моноїдом
L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A), якщо з умови L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A) \sim = L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(B) для деякої напiвгрупи B \in \frakC випливає A \sim = B.
У статтi [11] доведено таку теорему.
Теорема 2. Будь-яка скiнченна p-група, всi власнi пiдгрупи якої є комутативними, у класi
всiх груп визначається своїм моноїдом локальних автоморфiзмiв.
Структурно-однорiдна група у класi всiх груп визначається своїм iнверсним моноїдом ло-
кальних автоморфiзмiв, оскiльки вона є p-групою, всi власнi пiдгрупи якої є комутативними.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
СКIНЧЕННI СТРУКТУРНО-ОДНОРIДНI ГРУПИ I КОМУТАТИВНI НIЛЬНАПIВГРУПИ 1077
3. Структурно-однорiднi комутативнi нiльнапiвгрупи. Структурно-однорiднi в’язки
класифiковано в [7]. Сформулюємо вiдповiдний результат.
Твердження 4 (див. [7], леми 5 – 8). В’язка S є структурно-однорiдною тодi i лише тодi,
коли S :
(1) або лiнiйно впорядкована напiврешiтка;
(2) або примiтивна напiврешiтка;
(3) або напiвгрупа лiвих нулiв;
(4) або напiвгрупа правих нулiв.
Далi покажемо, що структурно-однорiдна комутативна напiвгрупа є або в’язкою, або нiль-
напiгрупою, або iдеальним розширенням нетривiальної групи за допомогою нiльнапiвгрупи.
Для цього доведемо таку лему.
Лема 2. Якщо комутативна напiвгрупа S є структурно-однорiдною i мiстить щонаймен-
ше два iдемпотенти, то кожний елемент напiвгрупи S є iдемпотентом.
Доведення. Нехай елементи a i b є рiзними iдемпотентами напiвгрупи S. Тодi iснують
x, y \in E(S) такi, що x < y
\bigl(
тут < є звичайним канонiчним порядком на E(S)
\bigr)
. Висота
напiврешiтки \{ x, y\} у решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) дорiвнює 2.
\bigl(
Нагадаємо, що найменшим елементом
решiтки \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) є порожня пiднапiвгрупа \varnothing .
\bigr)
Далi, нехай z — довiльний елемент напiвгрупи S. Розглянемо циклiчну пiднапiвгрупу \langle z\rangle .
Вiдомо, що будь-яка скiнченна циклiчна напiвгрупа мiстить ядро K, яке є групою. Припустимо,
що | \langle z\rangle | \geq 2. Розглянемо можливi випадки.
1. Ядро напiвгрупи \langle z\rangle є одноелементним.
У цьому випадку \langle z\rangle є нiльнапiвгрупою. Довiльна нетривiальна нiльнапiвгрупа мiстить
двохелементну пiднапiвгрупу. Позначимо її через A. Очевидно, що h(A) = 2. Оскiльки напiв-
група S є структурно-однорiдною i h(A) = h(\{ x, y\} ) = 2, то A \sim = \{ x, y\} . Суперечнiсть.
2. Ядро K напiвгрупи \langle z\rangle є нетривiальним.
Зрозумiло, що група K мiстить пiдгрупу B простого порядку. Оскiльки в решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)
h(B) = h(\{ x, y\} ) = 2, то A \sim = \{ x, y\} . Суперечнiсть.
Одже, для довiльного елемента z циклiчна пiднапiвгрупа \langle z\rangle є одноелементною, тобто z —
iдемпотент.
Лему 2 доведено.
Лема 3. Якщо комутативна напiвгрупа є структурно-однорiдною, то вона є або в’язкою,
або групою, або розширенням групи за допомогою нiльнапiвгрупи.
Доведення. Якщо напiвгрупа S мiстить щонайменше два iдемпотенти, то, згiдно з поперед-
ньою лемою, кожний елемент напiвгрупи S є iдемпотентом.
Нехай тепер напiвгрупа S є унiпотентною. Позначимо через K ядро напiвгрупи S, тобто
найменший (вiдносно включення) iдеал напiвгрупи S. Вiдомо, що K є простою напiвгрупою.
Проста скiнченна напiвгрупа є регулярною. Як вiдомо, регулярна напiвгрупа з єдиним iдемпо-
тентом є групою. Якщо K \not = S, то S є розширенням групи K за допомогою нiльнапiвгрупи.
Лему 3 доведено.
Далi ми неодноразово (явно чи неявно) будемо використовувати таку лему.
Лема 4 (див. [9], лема 4). Нехай S — нiльнапiвгрупа. Якщо пiднапiвгрупа Ak мiстить k+1
елемент, то h(Ak) = k.
Лема 5. Якщо нiльнапiвгрупа S є структурно-однорiдною, то iндекс нiльпотентностi
довiльного елемента не перевищує 4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1078 В. Д. ДЕРЕЧ
Доведення. Припустимо протилежне, тобто iснує елемент x \in S такий, що n = nd(x) \geq 5.
Очевидно, що B = \{ xn - 2, xn - 1, 0\} є триелементною пiднапiвгрупою з нульовим множенням.
Якщо n — непарне число, то пiднапiвгрупа C = \{ x
n - 1
2 , xn - 1, 0\} є циклiчною. Оскiльки | B| =
= | C| , то, згiдно з лемою 4, h(B) = h(C). Звiдси B \sim = C. Суперечнiсть. Якщо n — парне
число, то пiднапiвгрупа D = \{ x
n - 2
2 , xn - 2, 0\} є циклiчною. Позаяк | B| = | D| , то h(B) = h(D).
Звiдси B \sim = D. Знову одержали суперечнiсть.
Лему 5 доведено.
3.1. Структурно-однорiднi комутативнi нiльнапiвгрупи, в яких найбiльший iндекс нiль-
потентностi елемента дорiвнює 2. Спочатку зауважимо, що напiвгрупа S з нульовим мно-
женням є структурно-однорiдною, оскiльки множина iдеалiв iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є
лiнiйно впорядкованою вiдносно включення (див. твердження 2).
У подальших викладках важливу роль вiдiграватиме напiвгрупа K, що задана таблицею
Келi.
\star 0 a x y
0 0 0 0 0
a 0 0 0 0
x 0 0 0 a
y 0 0 a 0
Лема 6. Якщо S є комутативною нiльнапiвгрупою, яка вiдмiнна вiд напiвгрупи з нульовим
множенням, i для довiльного елемента x \in S має мiсце рiвнiсть x2 = 0, то S мiстить
пiднапiвгрупу, яка iзоморфна нiльнапiвгрупi K.
Доведення. За умовою iснує елемент a \not = 0 такий, що xy = a для деяких x, y \in S.
Зрозумiло, що елементи 0, a, x, y є попарно рiзними. Оскiльки xy = a, то xa = x2y = 0.
Аналогiчно ya = 0. Отже, множина \{ 0, a, x, y\} утворює напiвгрупу, яка, очевидно, iзоморфна
нiльнапiвгрупi K.
Лему 6 доведено.
Лема 7. Нехай S — структурно-однорiдна комутативна нiльнапiвгрупа, для якої iндекс
нiльпотентностi довiльного елемента не перевищує 2. Якщо напiвгрупа вiдмiнна вiд напiвгрупи
з нульовим множенням, то | S2| = 2.
Доведення. Спочатку припустимо, що | S2| \geq 4. Позначимо S2 через R. Розглянемо мож-
ливi випадки.
Перший випадок. R2 = \{ 0\} , тобто R є напiвгрупою з нульовим множенням.
Оскiльки | S2| \geq 4, то iснують три ненульовi елементи u, v, w \in S2. Пiднапiвгрупа \{ 0, u, v,
w\} є напiвгрупою з нульовим множенням. Оскiльки h(\{ 0, u, v, w\} ) = h(K) = 3, то \{ 0, u, v, w\} \sim =
\sim = K. Позаяк напiвгрупа K не є напiвгрупою з нульовим множенням, то одержали суперечнiсть.
Другий випадок. R2 \not = \{ 0\} .
Отже, iснують x, y \in R такi, що xy = z \not = 0. Оскiльки x \in S2, то iснують елементи u i v
такi, що uv = x. Розглянемо множину \{ 0, u, x, z\} . Покажемо, що елементи 0, u, x, z попарно
рiзнi. По-перше, x \not = 0, z \not = 0, u \not = 0. Припустимо, що u = x, тодi uv = u. З останньої
рiвностi легко випливає u = 0. Суперечнiсть. Припустимо, що u = z. Оскiльки uv = x, то
zv = xyv = x. Позаяк y2 = 0, то vxy2 = xy = z = 0. Суперечнiсть. Якщо припустити, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
СКIНЧЕННI СТРУКТУРНО-ОДНОРIДНI ГРУПИ I КОМУТАТИВНI НIЛЬНАПIВГРУПИ 1079
x = z, то x = xy. Звiдси xy = xy2 = 0. Суперечнiсть. Отже, елементи 0, u, x, z є попарно
рiзними. Далi, ux = u2v = 0, uz = uxy = 0y = 0, xz = xxy = 0. Отже, \{ 0, u, x, z\} —
напiвгрупа з нульовим множенням. Оскiльки h(\{ 0, u, x, z\} ) = h(K) = 3, то \{ 0, u, x, z\} \sim = K.
Позаяк пiднапiвгрупа K не є напiвгрупою з нульовим множенням, то одержали суперечнiсть.
Таким чином, | S2| \leq 3.
Тепер припустимо, що | S2| = 3. Нехай S2 = \{ 0, a, b\} . Виберемо елемент x /\in S2. Роз-
глянемо множину \{ 0, a, b, x\} . По-перше, чотири елементи 0, a, b, x є попарно рiзними. Оскiль-
ки b \in S2, то iснують елементи z, t \in S такi, що zt = b. Припустимо, що bx = a, тодi
(zt)x = z(tx) = a. Якщо припустити, що tx = a, то za = a. Звiдси a = 0. Суперечнiсть. Якщо
припустити, що tx = b, то zb = a, а отже, z(zt) = (z2)t = a = 0. Суперечнiсть. Таким чином,
bx = 0.
Розглянемо тепер елемент ax. Оскiльки a \in S2, то a = gf для деяких g, f \in S. Припустимо,
що ax = a, тодi ax2 = ax = a = 0. Суперечнiсть. Тепер припустимо, що ax = b, тодi
(gf)x = g(fx) = b. Якщо fx = b, то gb = b. Звiдси легко випливає, що b = 0. Суперечнiсть.
Якщо ж припустити, що fx = a, то b = ga = g(gf) = g2f = 0. Суперечнiсть. Отже,
ax = 0. Крiм того, очевидно, що ab = 0. Таким чином, \{ 0, a, b, x\} — пiднапiвгрупа з нульовим
множенням. Оскiльки h(\{ 0, a, x, z\} ) = h(K) = 3, то \{ 0, a, x, z\} \sim = K. Позаяк пiднапiвгрупа K
не є напiвгрупою з нульовим множенням, то одержуємо суперечнiсть.
Таким чином, | S2| = 2.
Лему 7 доведено.
Щойно ми довели рiвнiсть | S2| = 2. Отже, S2 = \{ 0, a\} .
Лема 8. Нехай S — структурно-однорiдна комутативна нiльнапiвгрупа, для кожного еле-
мента x якої має мiсце рiвнiсть x2 = 0. Якщо нiльнапiвгрупа S вiдмiнна вiд напiвгрупи з
нульовим множенням, то для будь-яких u, v \in S - \{ 0, a\} , де u \not = v, виконується рiвнiсть
uv = a.
Доведення. Зрозумiло, що \{ 0, a, u, v\} є пiднапiвгрупою напiвгрупи S, причому
h(\{ 0, a, u, v\} ) = h(K).
Отже, \{ 0, a, u, v\} \sim = K. Звiдси легко випливає, що uv = a.
Конструкцiя 1
На пiдставi двох останнiх лем ми маємо можливiсть конструювати структурно-однорiднi
комутативнi нiльнапiвгрупи, для яких iндекс нiльпотентностi довiльного елемента не переви-
щує 2 i якi вiдмiннi вiд напiвгрупи з нульовим множенням.
Нехай A = \{ 0, a\} — двохелементна множина, а X — довiльна скiнченна множина така, що
\{ 0, a\} \cap X = \varnothing i | X| \geq 2. На множинi A \cup X визначимо бiнарну операцiю \ast таким чином:
u \ast u = 0 для будь-якого u \in A \cup X;
0 \ast u = u \ast 0 = a \ast u = u \ast a = 0 для будь-якого u \in A \cup X;
якщо x, y \in X i x \not = y, то x \ast y = a.
Легко перевiрити асоцiативнiсть операцiї \ast . Напiвгрупа (A \cup X, \ast ) є комутативною нiль-
напiвгрупою (вiдмiнною вiд напiвгрупи з нульовим множенням), причому nd(x) = 2 для
будь-якого x \in X.
Щойно сконструйована нiльнапiвгрупа є структурно-однорiдною. Щоб це показати, перелi-
чимо спочатку всi її пiднапiвгрупи: \{ 0\} , \{ 0, u\} (де u \in \{ a\} \cup X), \{ 0, a\} \cup Z, де Z пробiгає всi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1080 В. Д. ДЕРЕЧ
пiдмножини множини X, якi мiстять щонайменше два елементи. Тепер вже легко перевiрити,
що пiдгрупи однакового порядку (а отже, однакової висоти в \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(A \cup X )) є iзоморфними.
Якщо | X| = n, то число пiднапiвгруп нiльнапiвгрупи (A\cup X, \ast ) дорiвнює 1+n+2n. Число
елементiв iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A \cup X) дорiвнює 1 + (n + 1)2 + 2n2 +
\sum n
k=2
\biggl(
n
k
\biggr) 2
\cdot k!.
Група автоморфiзмiв нiльнапiвгрупи (A \cup X, \ast ) iзоморфна симетричнiй групi Sn.
3.2. Структурно-однорiднi комутативнi нiльнапiвгрупи, в яких найбiльший iндекс нiль-
потентностi елемента дорiвнює 3.
Лема 9. Нехай S — структурно-однорiдна комутативна нiльнапiвгрупа, в якiй найбiльший
iндекс нiльпотентностi елемента дорiвнює 3.
Якщо nd(x) = nd(y) = 3, то x2 = y2.
Доведення. Множину \{ u \in S : u2 = 0\} позначимо через A. Зрозумiло, що A є пiднапiв-
групою напiвгрупи S. Покажемо, що | A| \leq 2. Припустимо протилежне, тобто | A| \geq 3. Тодi
iснує пiднапiвгрупа B така, що B \subseteq A i | B| = 3. Iндекс нiльпотентностi будь-якого елемента
пiднапiвгрупи B не перевищує 2. Отже, B \ncong \{ 0, x, x2\} . Суперечнiсть. Таким чином, | A| \leq 2.
Оскiльки \{ 0, x2\} \subseteq A, то A = \{ 0, x2\} . Аналогiчно A = \{ 0, y2\} , тобто A = \{ 0, x2\} = \{ 0, y2\} .
Звiдси x2 = y2.
Лему 9 доведено.
Лема 10. Нехай S — структурно-однорiдна комутативна нiльнапiвгрупа, в якiй найбiль-
ший iндекс нiльпотентностi елемента дорiвнює 3.
Якщо nd(x) = nd(y) = 3, то nd(xy) \leq 2.
Доведення. Позначимо xy через z, а x2 через b. Припустимо, що nd(z) = 3. Тодi, згiдно
з попередньою лемою, y2 = z2 = b. Позаяк xy = z, то xz = x2y = y2 \cdot y = 0. Аналогiчно
доводимо, що yz = 0. Далi, (xy)z = z2 = b. З iншого боку, x(yz) = x0 = 0, тобто (xy)z \not =
\not = x(yz). Суперечнiсть.
Лему 10 доведено.
Лема 11. Якщо S — структурно-однорiдна комутативна нiльнапiвгрупа, в якiй найбiль-
ший iндекс нiльпотентностi елемента дорiвнює 3, то S мiстить точно один елемент a
такий, що nd(a) = 2.
Доведення. Нехай елемент x такий, що nd(x) = 3. Позначимо x2 через a. Очевидно, що
nd(a) = 2. Множину \{ u \in S : u2 = 0\} позначимо через A. Тодi A = \{ 0, x2\} = \{ 0, a\} (див.
доведення леми 9). Тобто елемент a єдиний, iндекс нiльпотентностi якого дорiвнює 2.
Лему 11 доведено.
Нехай S — структурно-однорiдна комутативна нiльнапiвгрупа, в якiй найбiльший iндекс
нiльпотентностi елемента дорiвнює 3. Позначимо через X множину \{ x \in S : nd(x) = 3\} . Для
довiльного z \in X має мiсце рiвнiсть za = az = zz2 = z2z = 0. Крiм того, a2 = 0. Отже,
S2 = \{ 0, a\} .
Лема 12. Нехай x, y \in X i x \not = y. Якщо u, v \in X i u \not = v, то xy = uv.
Доведення. Вище ми вже зазначили, що S2 = \{ 0, a\} . Отже, \{ 0, a, x, y\} i \{ 0, a, u, v\} —
пiднапiвгрупи нiльнапiвгрупи S. Оскiльки h(\{ 0, a, x, y\} ) = h(\{ 0, a, u, v\} ) = 3, то \{ 0, a, x, y\} \sim =
\sim = \{ 0, a, u, v\} . Нехай \xi : \{ 0, a, x, y\} - \rightarrow \{ 0, a, u, v\} — iзоморфiзм. Очевидно, що (0)\xi = 0 i
(a)\xi = a, до того ж (x)\xi \in \{ u, v\} i (y)\xi \in \{ u, v\} . Припустимо, що xy = a. Тодi (xy)\xi = (a)\xi =
= a = (x)\xi (y)\xi = uv. Аналогiчно, якщо xy = 0, то uv = 0.
Лему 12 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
СКIНЧЕННI СТРУКТУРНО-ОДНОРIДНI ГРУПИ I КОМУТАТИВНI НIЛЬНАПIВГРУПИ 1081
Конструкцiя 2А
На пiдставi чотирьох останнiх лем ми маємо можливiсть конструювати структурно-однорiднi
комутативнi нiльнапiвгрупи, в яких найбiльший iндекс нiльпотентностi елемента дорiвнює 3.
Нехай A = \{ 0, a\} — двохелементна множина, а X — довiльна непорожня скiнченна множина
така, що \{ 0, a\} \cap X = \varnothing . На множинi A \cup X визначимо бiнарну операцiю \ast таким чином:
0 \ast u = u \ast 0 = a \ast u = u \ast a = 0 для будь-якого u \in A \cup X;
якщо x, y \in X, то x \ast y = a.
Легко перевiрити асоцiативнiсть операцiї \ast . Напiвгрупа (A\cup X, \ast ) є комутативною нiльна-
пiвгрупою, причому nd(x) = 3 для будь-якого x \in X.
Щойно сконструйована нiльнапiвгрупа є структурно-однорiдною. Щоб це показати, пе-
релiчимо спочатку всi її пiднапiвгрупи: \{ 0\} , \{ 0, a\} , \{ 0, a\} \cup Z, де Z пробiгає всi непорожнi
пiдмножини множини X. Тепер вже легко перевiрити, що пiднапiвгрупи однакового порядку
(а отже, однакової висоти в \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(A \cup X )) є iзоморфними.
Якщо | X| = n, то число пiднапiвгруп нiльнапiвгрупи (A \cup X, \ast ) дорiвнює 1 + 2n. Число
елементiв iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A\cup X) дорiвнює
\sum n
k=0
\biggl(
n
k
\biggr) 2
\cdot k!+1. Група автоморфiзмiв
нiльнапiвгрупи (A \cup X, \ast ) iзоморфна симетричнiй групi Sn.
Конструкцiя 2B
Нехай A = \{ 0, a\} — двохелементна множина, а X — довiльна непорожня скiнченна множина
така, що \{ 0, a\} \cap X = \varnothing . На множинi A \cup X визначимо бiнарну операцiю \star таким чином:
0 \star u = u \star 0 = a \star u = u \star a = 0 для будь-якого u \in A \cup X;
якщо x \in X, то x2 = a;
якщо x, y \in X i x \not = y, то x \star y = 0.
Легко перевiрити асоцiативнiсть операцiї \star . Напiвгрупа (A\cup X, \star ) є комутативною нiльна-
пiвгрупою, причому nd(x) = 3 для будь-якого x \in X.
Щойно сконструйована нiльнапiвгрупа є структурно-однорiдною. Зазначимо, що \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(A \cup
\cup X, \ast ) \sim = \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(A \cup X, \star ). Проте (A \cup X, \ast ) \ncong (A \cup X, \star ).
Розглянемо нiльнапiвгрупи (A \cup X, \ast ) з конструкцiї 2А i (A \cup X, \star ) з конструкцiї 2В у
випадку, коли X = \{ x, y\} . Легко встановити, що
\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(A \cup X, \ast ) = \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(A \cup X, \star )=
\bigl\{
\{ 0\} , \{ 0, a\} , \{ 0, a, x\} , \{ 0, a, y\} , \{ 0, a, x, y\}
\bigr\}
.
Крiм того,
L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A \cup X, \ast ) = L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A \cup X, \star ) =
=
\Biggl\{ \Biggl(
0
0
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a
0 a
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a x
0 a x
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a x
0 a y
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a y
0 a y
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a y
0 a x
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a x y
0 a x y
\Biggr)
,
\Biggl(
0 a x y
0 a y x
\Biggr) \Biggr\}
.
Оскiльки (A \cup X, \ast ) \ncong (A \cup X, \star ), то робимо висновок, що нiльнапiвгрупа (A \cup X, \ast ) не
визначається своїм iнверсним моноїдом локальних автоморфiзмiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1082 В. Д. ДЕРЕЧ
3.3. Структурно-однорiднi комутативнi нiльнапiвгрупи, в яких найбiльший iндекс нiль-
потентностi елемента дорiвнює 4.
Лема 13. Нехай S — структурно-однорiдна комутативна нiльнапiвгрупа, в якiй найбiль-
ший iндекс нiльпотентностi елемента дорiвнює 4.
Якщо nd(x) = nd(y) = 4, то x2 = y2 i x3 = y3.
Доведення. Множину \{ u \in S : nd(u) \leq 2\} позначимо через A. Зрозумiло, що A є пiдна-
пiвгрупою напiвгрупи S. Покажемо, що | A| \leq 3. Припустимо протилежне, тобто | A| \geq 4. Тодi
iснує пiднапiвгрупа B така, що B \subseteq A i | B| = 4. Iндекс нiльпотентностi будь-якого елемента
пiднапiвгрупи B не перевищує 2. Отже, B \ncong \{ 0, x, x2, x3\} , що суперечить умовi. Таким чином,
| A| \leq 3. Оскiльки \{ 0, x2, x3\} \subseteq A, то A = \{ 0, x2, x3\} = \{ 0, y2, y3\} . Припустимо, що x2 = y3
i x3 = y2. Тодi xy2 = x \cdot x3 = x4 = 0 i x3 = x \cdot y3 = xy2 \cdot y = 0. Оскiльки nd(x) = 4, то
одержуємо суперечнiсть. Отже, x2 = y2 i x3 = y3.
Лему 13 доведено.
Лема 14. Нехай S — структурно-однорiдна комутативна нiльнапiвгрупа, в якiй найбiль-
ший iндекс нiльпотентностi елемента дорiвнює 4.
Якщо nd(u) = nd(v) = 4, то uv = u2.
Доведення. Як i в попереднiй лемi, через A позначимо множину \{ x \in S : nd(x) \leq 2\} .
Згiдно з попередньою лемою, A = \{ 0, u2, u3\} . Позаяк uvuv = u2v2 = u2u2 = u4 = 0, то
uv \in A. Звiдси або uv = 0, або uv = u3, або uv = u2. Якщо припустити, що uv = 0, то
u2v = 0. Замiнюючи u2 на v2 (див. лему 13), одержуємо v3 = 0. Проте за умовою nd(v) = 4.
Суперечнiсть. Якщо припустити, що uv = u3, то u2v = u4 = 0. Звiдси (замiнюючи u2 на v2)
одержуємо v3 = 0. Суперечнiсть. Залишається єдина можливiсть: uv = u2.
Лему 14 доведено.
Нехай S — структурно-однорiдна комутативна нiльнапiвгрупа, в якiй найбiльший iндекс
нiльпотентностi елемента дорiвнює 4. Позначимо через X множину \{ x \in S : nd(x) = 4\} .
Якщо x \in X, то через A позначимо множину \{ 0, x3, x2\} = \{ 0, a, b\} , де x3 = a, x2 = b.
Використовуючи двi останнi леми, одержуємо:
0z = z0 = az = za = z3z = za = zz3 = 0 для будь-якого z \in X;
A2 = \{ 0\} ;
uv = b для довiльних u, v \in X;
zb = bz = zz2 = z2z = z3 = a для будь-якого z \in X.
Конструкцiя 3
Останнi двi леми дозволяють конструювати структурно-однорiднi комутативнi нiльнапiв-
групи, в яких найбiльший iндекс нiльпотентностi елемента дорiвнює 4.
Отже, нехай A = \{ 0, a, b\} . Позначимо через X довiльну непорожню скiнченну множину,
причому X \cap A = \varnothing . На множинi A \cup X визначимо бiнарну операцiю \ast таким чином:
0 \ast y = y \ast 0 = a \ast y = y \ast a = 0 для будь-якого y \in A \cup X;
A \ast A = \{ 0\} ;
якщо xi, xk \in X, то xi \ast xk = xk \ast xi = b;
якщо x \in X, то x \ast b = b \ast x = a.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
СКIНЧЕННI СТРУКТУРНО-ОДНОРIДНI ГРУПИ I КОМУТАТИВНI НIЛЬНАПIВГРУПИ 1083
Перевiримо асоцiативнiсть операцiї \ast на множинi A\cup X. Нехай u, v, w \in A\cup X. Якщо серед
елементiв u, v, w є 0 або елемент a, то (uv)w = u(vw) = 0. Якщо y, z \in X, то (yz)b = y(zb) =
= (yb)z = y(bz) = z(by) = (zb)y = z(yb) = (zy)b = b(yz) = (by)z = b(zy) = (bz)y = 0. Якщо
x, y, z \in X, то (xy)z = x(yz) = a. Отже, операцiя \ast має властивiсть асоцiативностi. Отримана
напiвгрупа є скiнченною комутативною нiльнапiвгрупою. Легко перевiрити, що nd(x) = 4 для
будь-якого x \in X.
Щойно сконструйована нiльнапiвгрупа є структурно-однорiдною. Щоб це показати, пере-
лiчимо спочатку всi її пiднапiвгрупи: \{ 0\} , \{ 0, a\} , \{ 0, b\} , \{ 0, a, b\} , \{ 0, a, b\} \cup Z, де Z пробiгає
усi непорожнi пiдмножини множини X. Тепер вже легко перевiрити, що пiдгрупи однакового
порядку (а отже, однакової висоти в \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(A \cup X )) є iзоморфними. Якщо | X| = n, то число
пiднапiвгруп нiльнапiвгрупи (A \cup X, \ast ) дорiвнює 3 + 2n. Число елементiв iнверсного моноїда
L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A \cup X) дорiвнює
\sum n
k=0
\biggl(
n
k
\biggr) 2
\cdot k! + 6. Група автоморфiзмiв нiльнапiвгрупи (A \cup X, \ast )
iзоморфна симетричнiй групi Sn.
Для прикладу перелiчимо всi 13 елементiв iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A \cup X) у випадку,
коли X = \{ x, y\} :
\alpha 1 =
\Biggl(
0
0
\Biggr)
, \alpha 2 =
\Biggl(
0 a
0 a
\Biggr)
, \alpha 3 =
\Biggl(
0 a
0 b
\Biggr)
, \alpha 4 =
\Biggl(
0 b
0 b
\Biggr)
, \alpha 5 =
\Biggl(
0 b
0 a
\Biggr)
,
\beta 1 =
\Biggl(
0 a b
0 a b
\Biggr)
, \gamma =
\Biggl(
0 a b
0 b a
\Biggr)
, \beta 2 =
\biggl(
0 a b x
0 a b x
\biggr)
,
\beta 3 =
\Biggl(
0 a b x
0 a b y
\Biggr)
, \beta 4 =
\Biggl(
0 a b y
0 a b y
\Biggr)
, \beta 5 =
\Biggl(
0 a b y
0 a b x
\Biggr)
,
\epsilon =
\Biggl(
0 a b x y
0 a b x y
\Biggr)
, \delta =
\Biggl(
0 a b x y
0 a b y x
\Biggr)
.
Легко перевiрити, що множина iдеалiв моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A \cup X) лiнiйно впорядкована вiдносно
включення. Проте умова 2 твердження 1 для iдемпотента \beta 2 не виконується. Отже, iнверсний
моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A\cup X) не є конгруенц-переставним. Покажемо це безпосередньо, використавши
загальний метод (див. [5], теорема 2) конструювання двох непереставних конгруенцiй. Для
цього розiб’ємо iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A \cup X) на п’ять класiв: A = \{ \alpha 1, \alpha 2, \alpha 3, \alpha 4, \alpha 5\} ,
B = \{ \beta 1, \beta 2, \beta 3, \beta 4, \beta 5\} , C = \{ \gamma \} , D = \{ \delta \} , E = \{ \epsilon \} . Легко перевiрити, що дане розбиття
iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A \cup X) визначає конгруенцiю, яку ми позначимо через \Sigma . Фактор-
напiвгрупу по цiй конгруенцiї подамо у виглядi таблицi Келi.
\diamond A B C D E
A A A A A A
B A B C B B
C A C B C C
D A B C E D
E A B C D E
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1084 В. Д. ДЕРЕЧ
Позначимо через \Omega конгруенцiю Рiса, що визначається iдеалом I2 = \{ \alpha 1, \alpha 2, \alpha 3, \alpha 4, \alpha 5,
\beta 1, \gamma \} . Оскiльки (\alpha 1, \beta 1) \in \Omega i (\beta 1, \beta 2) \in \Sigma , то (\alpha 1, \beta 2) \in \Omega \circ \Sigma . Припустимо, що (\alpha 1, \beta 2) \in
\in \Sigma \circ \Omega . Тодi iснує \xi \in L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A \cup X) такий, що (\alpha 1, \xi ) \in \Sigma i (\xi , \beta 2) \in \Omega . Позаяк (\xi , \beta 2) \in \Omega ,
то \xi = \beta 2. Отже, (\alpha 1, \beta 2) \in \Sigma . Одержали суперечнiсть. Таким чином, \Omega \circ \Sigma \not = \Sigma \circ \Omega .
Отже, справедливою є така теорема.
Теорема 3. Скiнченна комутативна нiльнапiвгрупа S є структурно-однорiдною тодi i
тiльки тодi, коли S :
(1) або напiвгрупа з нульовим множенням;
(2) або нiльнапiвгрупа, опис якої дано в конструкцiї 1;
(3) або нiльнапiвгрупа, опис якої дано в конструкцiї 2А;
(4) або нiльнапiвгрупа, опис якої дано в конструкцiї 2В;
(5) або нiльнапiвгрупа, опис якої дано в конструкцiї 3.
Зауважимо, що серед чотирьох типiв нiльнапiвгруп, що перелiченi в теоремi 3, лише напiв-
група з нульовим множенням, а також нiльнапiвгрупа, яка визначається конструкцiєю 1, є таки-
ми, для яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є конгруенц-переставним (див. [10]).
Лiтература
1. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: В 2 т. – М.: Мир, 1972. – Т.1. – 286 с; Т. 2. –
422 с.
2. Либих А. Л. Инверсные полугруппы локальных автоморфизмов абелевых групп // Исследования по алгебре. –
1973. – Вып. 3. – С. 25 – 33.
3. Goberstein S. M. Inverse semigroups with certain types of partial automorphism monoids // Glasg. Math. J. – 1990. –
32. – P. 189 – 195.
4. Ganyushkin O., Mazorchuk V. Classical finite transformation semigroups. An introduction. – Springer-Verlag, 2009. –
xii + 314 p.
5. Дереч В. Д. Характеристика напiврешiтки iдемпотентiв переставної iнверсної напiвгрупи скiнченного рангу з
нулем // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 10. – С. 1353 – 1362.
6. Дереч В. Д. Конгруенцiї переставної iнверсної напiвгрупи скiнченного рангу // Укр. мат. журн. – 2005. – 57,
№ 4. – С. 469 – 473.
7. Дереч В. Д. Структура скiнченної комутативної iнверсної напiвгрупи i скiнченної в’язки, для яких iнверсний
моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1218 – 1226.
8. Дереч В. Д. Повна класифiкацiя скiнченних напiвгруп, для яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є
переставною напiвгрупою // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 11. – С. 1571 – 1578.
9. Дереч В. Д. Класифiкацiя скiнченних нiльнапiвгруп, для яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є
переставним // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 5. – С. 610 – 624.
10. Дереч В. Д. Класифiкацiя скiнченних комутативних напiвгруп, для яких iнверсний моноїд локальних автомор-
фiзмiв є переставним // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 2. – С. 176 – 184.
11. Абухамда А. Х. Индуктивные изоморфизмы некоторых классов групп // Мат. исследования. – 1975. – 1(35). –
С. 3 – 19.
12. Курош А. Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967. – 648 с.
13. Hamilton H. Permutability of congruences on commutative semigroups // Semigroup Forum. – 1975. – 10. – P. 55 – 66.
14. Холл М. Теория групп. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 468 с.
Одержано 14.08.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1618 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:15Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1d/a83f43c1b5c52c4f1a4ae38c340af11d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16182019-12-05T09:21:04Z Finite structurally uniform groups and commutative nilsemigroups Скінченні структурно-однорідні групи і комутативні нільнапівгрупи Derech, V. D. Дереч, В. Д. Let $S$ be a finite semigroup. By $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$ we denote the lattice of all its subsemigroups. If $A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$, then by $h(A)$ we denote the height of the subsemigroup $A$ in the lattice $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$. A semigroup $S$ is called structurally uniform if, for any $A, B \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$ the condition $h(A) = h(B) implies that A \sim = B$. We present a classification of finite structurally uniform groups and commutative nilsemigroups. Нехай $S$ — скiнченна напiвгрупа. Решiтку пiднапiвгрупи напiвгрупи $S$ позначимо через $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$. Якщо $A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$, то через $h(A)$ позначимо висоту пiднапiвгрупи $A$ в решiтцi $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$. Напiвгрупа $S$ називається структурно-однорiдною, якщо для довiльних $A, B \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S)$ з умови $h(A) = h(B)$ випливає $A \sim = B$. У статтi наведено класифiкацiю скiнченних структурно-одорiдних груп i комутативних нiльнапiвгруп. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1618 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 8 (2018); 1072-1084 Український математичний журнал; Том 70 № 8 (2018); 1072-1084 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1618/600 Copyright (c) 2018 Derech V. D. |
| spellingShingle | Derech, V. D. Дереч, В. Д. Finite structurally uniform groups and commutative nilsemigroups |
| title | Finite structurally uniform groups and commutative nilsemigroups |
| title_alt | Скінченні структурно-однорідні групи і комутативні нільнапівгрупи |
| title_full | Finite structurally uniform groups and commutative nilsemigroups |
| title_fullStr | Finite structurally uniform groups and commutative nilsemigroups |
| title_full_unstemmed | Finite structurally uniform groups and commutative nilsemigroups |
| title_short | Finite structurally uniform groups and commutative nilsemigroups |
| title_sort | finite structurally uniform groups and commutative nilsemigroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1618 |
| work_keys_str_mv | AT derechvd finitestructurallyuniformgroupsandcommutativenilsemigroups AT derečvd finitestructurallyuniformgroupsandcommutativenilsemigroups AT derechvd skínčennístrukturnoodnorídnígrupiíkomutativnínílʹnapívgrupi AT derečvd skínčennístrukturnoodnorídnígrupiíkomutativnínílʹnapívgrupi |