Periodic solutions of a system of differential equations with hysteresis nonlinearity in the presence of eigenvalue zero
We study an $n$-order system of ordinary differential equations with a nonlinearity of nonideal-relay-type with hysteresis and an external periodic perturbations. We consider the existence of solutions with periods equal or multiple to the period of the external perturbation and two points of switch...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1619 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507434604298240 |
|---|---|
| author | Yevstafyeva, V. V. Евстафьева, В. В. Евстафьева, В. В. |
| author_facet | Yevstafyeva, V. V. Евстафьева, В. В. Евстафьева, В. В. |
| author_sort | Yevstafyeva, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:04Z |
| description | We study an $n$-order system of ordinary differential equations with a nonlinearity of nonideal-relay-type with hysteresis and
an external periodic perturbations. We consider the existence of solutions with periods equal or multiple to the period of the
external perturbation and two points of switching within period. The problem is solved in the case where the collection of
simple real eigenvalues of the matrix of the system contains an eigenvalue equal to zero. By a nonsingular transformation,
the system is reduced to a canonical system of a special form that enables us to perform its analysis by analytic methods. We
propose an approach to finding the points of switching for the representation point of the periodic solution and to a choice
of the parameters of the nonlinearity and the feedback vector. We prove a theorem on necessary conditions for the existence
of the periodic solutions of the system. Sufficient conditions for the existence of the required solutions are established. We
also perform an analysis of stability of the solutions by using the point mapping and the fixed-point method. We present an
example that confirms the accumulated results. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925
В. В. Евстафьева (Санкт-Петербург. гос. ун-т, Россия)
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ГИСТЕРЕЗИСНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
ПРИ НАЛИЧИИ НУЛЕВОГО СОБСТВЕННОГО ЧИСЛА
We study an n-order system of ordinary differential equations with a nonlinearity of nonideal-relay-type with hysteresis and
an external periodic perturbations. We consider the existence of solutions with periods equal or multiple to the period of the
external perturbation and two points of switching within period. The problem is solved in the case where the collection of
simple real eigenvalues of the matrix of the system contains an eigenvalue equal to zero. By a nonsingular transformation,
the system is reduced to a canonical system of a special form that enables us to perform its analysis by analytic methods. We
propose an approach to finding the points of switching for the representation point of the periodic solution and to a choice
of the parameters of the nonlinearity and the feedback vector. We prove a theorem on necessary conditions for the existence
of the periodic solutions of the system. Sufficient conditions for the existence of the required solutions are established. We
also perform an analysis of stability of the solutions by using the point mapping and the fixed-point method. We present an
example that confirms the accumulated results.
Дослiджується n-вимiрна система звичайних диференцiальних рiвнянь iз нелiнiйнiстю типу неiдеального реле з
гiстерезисом i зовнiшнiм перiодичним збуренням. Розглядається iснування розв’язкiв iз перiодом, що дорiвнює i
є кратним перiоду зовнiшнього збурення та має двi точки перемикання за перiод. Задачу розв’язано у випадку,
коли серед дiйсних, простих власних чисел матрицi системи одне є нульовим. Система неособливим перетворенням
зводиться до канонiчної системи спецiального вигляду, що дозволяє провести дослiдження аналiтичними методами.
Викладено пiдхiд до знаходження точок перемикання зображуваної точки перiодичного розв’язку, а також до вибору
параметрiв нелiнiйностi та вектора зворотного зв’язку. Доведено теорему про необхiднi умови iснування перiодич-
них розв’язкiв системи. Встановлено достатнi умови iснування шуканих розв’язкiв. Проведено аналiз розв’язкiв
на стiйкiсть за допомогою точкового вiдображення та методу нерухомої точки. Наведено приклад, що пiдтверджує
отриманi результати.
Введение. Динамика систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными пра-
выми частями, которые подвергаются внешним возмущениям, представляет несомненный ин-
терес. История таких исследований началась давно [1]. В данной работе предлагается подход к
изучению проблемы существования периодических решений в нелинейной полностью управ-
ляемой системе с нулевым собственным числом матрицы системы и непрерывным периоди-
ческим внешним возмущением, которое воздействует на объект управления. Математические
модели таких объектов управления изучались рядом авторов (см., например, работы [2 – 4]). В
статье [4] исследовались устойчивые режимы в релейных системах, предложен алгоритм расче-
та вынужденных колебательных режимов в системах с нелинейностью типа неидеальное реле
и получены условия существования устойчивых периодических режимов. В последние годы
продолжается изучение и задач управления системами с разрывными нелинейностями [5], и
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с разрывными правыми частя-
ми [6 – 15].
В отличие от упомянутых выше работ в данной статье (и в статьях автора [16 – 21]) приме-
няется иной подход, который основывается на канонических преобразованиях исходной сис-
темы, построении и решении вспомогательной трансцендентной системы. В отличие от рабо-
ты [4], в которой устойчивые режимы в релейных системах изучались итеративными методами,
здесь ослаблены ограничения на параметры системы и рассматриваются периодические реше-
c\bigcirc В. В. ЕВСТАФЬЕВА, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8 1085
1086 В. В. ЕВСТАФЬЕВА
ния не только с периодом, совпадающим с периодом внешнего возмущения, но и с кратным пе-
риодом. Воздействие непрерывного периодического внешнего возмущения изучалось автором
в работах [16 – 20] для случая вещественных ненулевых собственных чисел матрицы системы
и в работе [21] для случая комплексных корней характеристического уравнения системы. В
работах [16, 17] рассмотрен вопрос существования периодических решений в случае, когда
среди собственных чисел матрицы системы по крайней мере одно является положительным.
В [16] доказана теорема о необходимых условиях существования периодических решений в
системах указанного класса. В [17] сформулированы достаточные условия существования пе-
риодических решений в виде теоремы с доказательством. В [18] рассмотрен случай гурвицевой
матрицы системы.
Данная работа является продолжением работ [16 – 18]. В ней исследуется случай, когда сре-
ди вещественных, простых собственных чисел матрицы одно является нулевым. Особенность
этого случая состоит в каноническом преобразовании, которое отличается от преобразования
для ненулевых собственных чисел матрицы, и в подходе к выбору элементов преобразованного
вектора обратной связи.
1. Постановка задачи. В n-мерном евклидовом пространстве рассматривается система
обыкновенных дифференциальных уравнений вида
\.Y = AY +Bu(\sigma ) +Kf(t), \sigma = (C, Y ), (1)
где матрица A и векторы B, K, C являются вещественными и постоянными, Y — вектор
состояний системы, u(\sigma ) описывает нелинейность типа неидеального гистерезисного реле с
пороговыми числами \ell 1, \ell 2 и выходными числами m1, m2, функция f(t) описывает внешнее
возмущение.
Положим \ell 1 < \ell 2, m1 < m2. Функция u(\sigma (t)) определена для t \geq 0 в классе непрерывных
функций и задается следующим образом: из неравенства \sigma (t) \leq \ell 1 следует равенство u(\sigma ) =
= m1, из неравенства \sigma (t) \geq \ell 2 — равенство u(\sigma ) = m2, а из неравенств \ell 1 < \sigma (t) < \ell 2
(t1 < t \leq t2) — равенство u(\sigma (t1)) = u(\sigma (t2)). Это означает, что если \ell 1 < \sigma (0) < \ell 2, то \sigma (t)
соответствуют два значения функции u(\sigma (t)), а если \sigma (0) \leq \ell 1 или \sigma (0) \geq \ell 2, то одно [4].
Обход зоны неоднозначности (гистерезиса) выполняется против хода часовой стрелки на
плоскости (\sigma , u(\sigma )). Отметим, что нелинейности такого типа довольно часто используются в
прикладных задачах (см., например, работы [22 – 24]).
Внешнее воздействие на систему описывается функцией f(t) вида
f(t) = f0 + f1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t+ \varphi 1) + f2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\omega t+ \varphi 2), (2)
где f0, f1, f2, \varphi 1, \varphi 2, \omega — вещественные постоянные, причем f0, f1 и f2 являются ненулевыми,
\varphi 1 и \varphi 2 могут принимать нулевые значения, \omega > 0. Таким образом, функция вида (2) имеет
период T = 2\pi /\omega и представляет собой сумму ненулевой константы и двух гармоник.
Точкой переключения решения системы (1) в фазовом пространстве называется такое состо-
яние системы, при котором функция \sigma принимает одно из пороговых чисел, а функция u(\sigma )
изменяет выходное число (происходит переключение реле).
В случае нулевого собственного числа матрицы системы рассматривается существование
в системе (1) непрерывных периодических решений с двумя фиксированными в фазовом про-
странстве точками переключения и периодом, равным и кратным периоду функции внешнего
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1087
возмущения. Решение данной задачи сводится к разрешимости системы трансцендентных урав-
нений в аналитическом виде относительно точек переключения и моментов времени переклю-
чения изображающей точки периодического решения. Второй момент времени переключения
при этом совпадает с заданным периодом искомого решения системы. Общий подход к иссле-
дованию системы вида (1) и построение системы трансцендентных уравнений в общем виде
представлены в работе [16].
2. Система трансцендентных уравнений. В соответствии с постановкой задачи период
искомого решения системы равен kT, где k — фиксированное натуральное число. Зададим по-
следовательность движения изображающей точки периодического решения системы (1). Пусть
изображающая точка начинает свое движение в точке Y 1 на гиперплоскости \sigma = \ell 1 в момент
времени t0 = 0 и достигает точки Y 2 на гиперплоскости \sigma = \ell 2 в момент времени t = t1
в силу правой части системы (1) при условии, что u(\sigma ) = m1. Затем она возвращается в
точку Y 1 в момент времени t = kT в силу системы (1) при условии, что u(\sigma ) = m2. Таким
образом, согласно предписанной последовательности движения изображающей точки решения
системы (1) имеем Y (0) = Y (kT ) = Y 1, Y (t1) = Y 2.
Для аналитического представления решения используем форму Коши. Тогда система транс-
цендентных уравнений относительно моментов времени переключения t1, kT и точек пере-
ключения Y 1, Y 2 в общем виде такова:
\ell 1 = (C, Y 1), \ell 2 = (C, Y 2), (3)
где
Y 2 = eAt1Y 1 +
t1\int
0
eA(t1 - \tau )
\bigl(
Bm1 +Kf(\tau )
\bigr)
d\tau ,
Y 1 = eA(kT - t1)Y 2 +
kT\int
t1
eA(kT - \tau )
\bigl(
Bm2 +Kf(\tau )
\bigr)
d\tau .
Для получения аналитического решения системы (3) сначала приведем исходную систему
к каноническому виду в случае, когда среди простых, вещественных собственных чисел \lambda i,
i = 1, n, матрицы A есть одно нулевое и система (1) полностью управляема по отношению ко
входу u(\sigma ), т. е. векторы B, AB, A2B, . . . , An - 1B являются линейно независимыми.
Пусть \lambda 1 = 0. К системе (1) применим преобразование [3]
yi = - Ni(0)
D1(0)
x1 -
n\sum
j=2
Ni(\lambda j)
D\prime (\lambda j)
xj , i = 1, n. (4)
Здесь yi — элементы вектора Y, x1, xj — элементы преобразованного вектора состояний
X системы, D\prime (\lambda j) =
dD(p)
dp
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p=\lambda j
, D(p) = pD1(p), p — некоторый параметр, Ni(\lambda j) =
=
\sum n
h=1
bhDhi(\lambda j), bh — элементы вектора B, Dhi — алгебраическое дополнение элемента
ahi матрицы A, \lambda i — корни алгебраического уравнения D(p) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl[
ahi - \delta hip
\bigr]
= 0, \delta hi —
символ Кронекера.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1088 В. В. ЕВСТАФЬЕВА
Запишем систему (1) в каноническом виде
\.x1 = u(\sigma ) + k01f(t),
\.xj = \lambda jxj + u(\sigma ) + k0j f(t), j = 2, n, (5)
\sigma =
n\sum
i=1
\gamma ixi,
где коэффициенты \gamma i вычисляются по формулам
\gamma 1 = - 1/D1(0)
n\sum
i=1
ciNi(0), \gamma j = - 1/D\prime (\lambda j)
n\sum
i=1
ciNi(\lambda j), j = 2, n. (6)
Здесь ci — элементы вектора обратной связи C, \gamma i — элементы преобразованного вектора
обратной связи \Gamma .
Для упрощения системы трансцендентных уравнений (3) и приведения канонической сис-
темы n-го порядка к n независимым подсистемам 1-го порядка далее полагаем, что (n - 1)
элементов \gamma i, определяемых по формуле (6), равны нулю и только один элемент \gamma i отличен от
нуля. Индекс, при котором \gamma i \not = 0, обозначим через s, т. е. \gamma s \not = 0.
Случай 1. Пусть \gamma s \not = \gamma 1. Точечное отображение, к примеру, гиперплоскости переключения
\sigma (t) = \ell 1 в себя в силу решения системы (1) при внешнем возмущении (2) принимает вид
x1(kT ) = x11 +\Theta 1(t1, kT ),
xs(kT ) = \ell 1/\gamma s,
(7)
xj(kT ) = x1je
\lambda jkT +\Theta j(t1, kT ),
j = 2, . . . , s - 1, s+ 1, . . . , n,
где x11 = x1(0), x1j = xj(0) — координаты некоторой точки на гиперплоскости \sigma (t) = \ell 1.
Константа \Theta 1(t1, kT ) вычисляется по формуле
\Theta 1(t1, kT ) =
\bigl(
m1 + k01f0
\bigr)
t1 +
\bigl(
m2 + k01f0
\bigr)
(kT - t1)+
+
k01f1
\omega
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega kT + \varphi 1)
\bigr)
+
k01f2
2\omega
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi 2 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\omega kT + \varphi 2)
\bigr)
.
Константа \Theta j(t1, kT ) определяется выражением
\Theta j(t1, kT ) = e\lambda jkT
\Biggl\{
m1 + k0j f0
\lambda j
+
k0j f1
\lambda 2
j + \omega 2
(\lambda j \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi 1 + \omega \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi 1)+
+
k0j f2
\lambda 2
j + 4\omega 2
(\lambda j \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi 2 + 2\omega \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi 2)
\Biggr\}
- e\lambda j(kT - t1)
\biggl[
m2 - m1
\lambda j
\biggr]
-
-
m2 + k0j f0
\lambda j
-
k0j f1
\lambda 2
j + \omega 2
\bigl(
\lambda j \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega kT + \varphi 1) + \omega \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega TB + \varphi 1)
\bigr)
-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1089
-
k0j f2
\lambda 2
j + 4\omega 2
\bigl(
\lambda j \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\omega kT + \varphi 2) + 2\omega \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\omega kT + \varphi 2)
\bigr)
. (8)
Очевидно, что отображение (7) по первой координате x1 не имеет неподвижной точки. Это
означает, что нарушается условие периодичности решения по одной из координат. Следова-
тельно, решение исходной системы не является периодическим при таком выборе ненулевого
элемента вектора обратной связи.
Случай 2. Пусть \gamma s = \gamma 1. В данном случае точечное отображение гиперплоскости пере-
ключения \sigma (t) = \ell 1 в себя принимает вид
x1 (kT ) = \ell 1/\gamma 1, xj(kT ) = x1je
\lambda jkT +\Theta j(t1, kT ), j = 2, . . . , n, (9)
где константа \Theta j(t1, kT ) определяется по формуле (8). Отображение (9) имеет неподвижную
точку, которая может быть вычислена при известных величинах t1, kT. Существование непо-
движной точки отображения (9) свидетельствует о существовании периодического решения
системы (1). Поэтому при выборе элемента \gamma s остановимся на случае 2. Итак, полагаем, что
\gamma 1 \not = 0, \gamma j = 0, j = 2, n.
Указанный выбор элементов преобразованного вектора обратной связи приводит к разделе-
нию системы трансцендентных уравнений (3) на систему уравнений относительно моментов
времени переключения t1, kT
\ell 2 = \ell 1 + \gamma 1(m1 + k01f0)t1+
+
\gamma 1k
0
1f1
\omega
\bigl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t1 + \varphi 1)
\bigr]
+
\gamma 1k
0
1f2
2\omega
\bigl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi 2 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\omega t1 + \varphi 2)
\bigr]
,
(10)
\ell 1 = \ell 2 + \gamma 1(m2 + k01f0)(kT - t1)+
+
\gamma 1k
0
1f1
\omega
\bigl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t1 + \varphi 1) - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega kT + \varphi 1)
\bigr]
+
+
\gamma 1k
0
1f2
2\omega
\bigl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\omega t1 + \varphi 2) - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\omega kT + \varphi 2)
\bigr]
и формулы для вычисления точек переключения канонической системы X1 =
\bigl(
x11, . . . , x
1
n
\bigr)
,
X2 =
\bigl(
x21, . . . , x
2
n
\bigr)
, которые принадлежат гиперплоскостям переключения \sigma = \ell \beta , \beta = 1, 2:
x11 = \ell 1/\gamma 1, x21 = \ell 2/\gamma 1,
x1j =
\bigl(
1 - e\lambda jkT
\bigr) - 1
\left\{ e\lambda jkT
\left[ m1
t1\int
0
e - \lambda j\tau d\tau +m2
kT\int
t1
e - \lambda j\tau d\tau +
+k0j f0
kT\int
0
e - \lambda j\tau d\tau + k0j f1
kT\int
0
e - \lambda j\tau \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega \tau + \varphi 1)d\tau + k0j f2
kT\int
0
e - \lambda j\tau \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\omega \tau + \varphi 2)d\tau
\right] \right\} , (11)
x2j =
\bigl(
1 - e\lambda jkT
\bigr) - 1
e\lambda jt1
\left\{
kT\int
t1
e - \lambda j(kT - \tau )
\Bigl[
m2+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1090 В. В. ЕВСТАФЬЕВА
+k0j
\bigl(
f0 + f1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t+ \varphi 1) + f2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\omega t+ \varphi 2)
\bigr) \Bigr]
d\tau +
+
t1\int
0
e - \lambda j\tau
\Bigl[
m1 + k0j
\bigl(
f0 + f1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t+ \varphi 1) + f2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\omega t+ \varphi 2)
\bigr) \Bigr]
d\tau
\right\} , j = 2, . . . , n.
3. Основные результаты. Основными результатами работы являются теоремы 1 – 3.
Теорема 1. Пусть функция f(t) имеет вид (2). Пусть система (1) имеет периодическое
решение с рассматриваемыми свойствами и неособым преобразованием (4) приведена к виду (5)
при условии, что полностью управляема по отношению ко входу u(\sigma ), и среди простых,
вещественных собственных чисел матрицы A есть одно (например, \lambda 1) нулевое. Пусть только
один элемент \gamma 1 преобразованного вектора обратной связи отличен от нуля и имеют место
следующие условия:
1) выполняются неравенства m1 < - k01f0 < m2, G > 0, где
G =
\gamma 1(m1 + k01f0)(m2 + k01f0)
m2 - m1
kT+
+
\gamma 1k
0
1f1
\omega
\biggl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
\omega kT (m2 + k01f0)
m2 - m1
+ \varphi 1
\biggr) \biggr]
+
+
\gamma 1k
0
1f2
2\omega
\biggl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi 2 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
2\omega kT (m2 + k01f0)
m2 - m1
+ \varphi 2
\biggr) \biggr]
,
2) справедливо равенство \ell 2 = \ell 1 +G.
Тогда система (10) при заданном натуральном k имеет единственное решение t1 \in (0, kT ),
которое определяется по формуле
t1 =
kT
\bigl(
m2 + k01f0
\bigr)
m2 - m1
. (12)
Доказательство. По условию теоремы 1 система (1) приведена неособым преобразовани-
ем к виду (5). Это означает, что выполняются условия обратимости, и результаты, полученные
для канонической системы, можно распространить и на исходную систему, используя обратное
преобразование. Система (1) имеет периодическое решение с рассматриваемыми свойствами (с
двумя точками переключения на гиперплоскостях переключения и периодом kT, изображаю-
щая точка движется в предписанной ей последовательности). Следовательно, можно построить
систему трансцендентных уравнений относительно точек переключения и соответствующих
им моментов времени переключения изображающей точки решения. Условия ее разрешимос-
ти являются необходимыми условиями существования периодического решения с заданными
свойствами. При указанном выборе элементов вектора обратной связи (только один элемент
\gamma 1 \not = 0) и в случае, когда матрица системы среди простых, вещественных собственных чисел
имеет одно \lambda 1 нулевое, система трансцендентных уравнений (3) принимает вид (10), (11). По
условию теоремы 1 периодическое решение системы (1) ищем с наперед заданным периодом,
а именно, с равным или кратным периоду функции, описывающей внешнее возмущение. В
этом случае система (10) зависит только от одной переменной t1 и может быть аналитически
разрешима относительно этой переменной при определенных условиях на ее параметры.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1091
Подставив первое уравнение системы (10) во второе, после преобразования с учетом того,
что T = 2\pi /\omega , получим формулу (12) для определения переменной t1. Далее определим
условия, при которых существует решение t1. Поскольку переменная t1 определена как первый
момент времени переключения, то она, очевидно, должна принадлежать промежутку (0, kT ),
где k \in \BbbN . Кроме того, по предположению m2 > m1, поэтому из формулы, определяющей
переменную t1, следует первое неравенство условия 1 теоремы 1. Второе неравенство условия 1
теоремы 1 следует из предположения, что \ell 2 > \ell 1. Решение t1 является решением системы
трансцендентных уравнений, если оно удовлетворяет первому уравнению системы (10). Отсюда
следует условие 2 теоремы 1.
Теорема 1 доказана.
Замечание 1. Система неравенств и равенств в условиях 1, 2 доказанной теоремы уста-
новлена строгими аналитическими выкладками с использованием равносильных переходов,
поэтому представляется непротиворечивой. В связи с этим возможно построение примера су-
ществования решения t1 системы трансцендентных уравнений (10) при фиксированном k.
Действительно, например, пусть f(t) = 1 + 18 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl(
2t +
\pi
3
\Bigr)
+ 15 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(4t), тогда T = \pi . При
k = 2 период искомого решения системы (1) равен kT = 2\pi . При \lambda 1 = 0 выбираем \gamma 1 = 0,1.
Упомянутая система неравенств и равенств в условиях теоремы 1 справедлива при m1 = - 6,
m2 = 5, \ell 1 = - 1, k01 = 2. При этом G = 2, 44 > 0, \ell 2 = 1,44. Тогда система (10) имеет
единственное решение t1 = 1,71 из промежутка (0, 2\pi ).
Замечание 2. В теореме 1 сформулированы необходимые условия существования перио-
дического решения канонической системы уравнений, а в силу неособого преобразования — ис-
ходной системы. Кроме того, для искомого периодического решения определен момент времени
первого переключения t1 при заданном периоде kT. Точки переключения Y 1 =
\bigl(
y11, . . . , y
1
n
\bigr)
,
Y 2 =
\bigl(
y21, . . . , y
2
n
\bigr)
вычисляются в силу преобразования (4) по формулам
y1i = - Ni(0)
D1(0)
x11 -
n\sum
j=2
Ni(\lambda j)
D\prime (\lambda j)
x1j ,
(13)
y2i = - Ni(0)
D1(0)
x12 -
n\sum
j=2
Ni(\lambda j)
D\prime (\lambda j)
x2j ,
i = 1, n.
Сформулируем утверждение о существовании единственного kT -периодического решения
системы (1) при фиксированном k \in \BbbN .
Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:
1) внешнее возмущение f(t) системы (1) является T -периодической функцией вида (2), где
T = 2\pi /\omega , \omega > 0;
2) имеют место неравенства - (C,A - 1Bm2) < \ell 1, - (C,A - 1Bm1) > \ell 2;
3) система (1) неособым преобразованием (4) приведена к каноническому виду (5), если
выполняется неравенство \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \| B,AB, . . . , An - 1B\| \not = 0, и среди простых, вещественных соб-
ственных чисел матрицы A есть нулевое, пусть \lambda 1 = 0, остальные собственные числа \lambda j \not = 0,
где j = 2, n;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1092 В. В. ЕВСТАФЬЕВА
4)
\sum n
i=1
ciNi(\lambda j) = 0, j = 2, n,
\sum n
i=1
ciNi(0) \not = 0, где ci — элементы вектора обрат-
ной связи C, Ni — определитель матрицы A, в которой элементы i-го столбца заменены
элементами вектора B;
5) (t1, kT,X
1, X2) — решение системы трансцендентных уравнений (10), (11), построен-
ной на предположении существования хотя бы одного kT -периодического решения с двумя
точками переключения за период, параметры которой удовлетворяют условиям ее разре-
шимости (теореме 1) при фиксированном k \in \BbbN , где t1 и kT — первый и второй моменты
времени переключения соответственно, X1, X2 — точки переключения изображающей точки
решения канонической системы.
Тогда существует единственное kT -периодическое решение системы (1) с двумя точками
переключения Y 1, Y 2 за период, которые принадлежат гиперплоскостям вида (C, Y ) = \ell \beta ,
\beta = 1, 2, и определяются по формулам (13).
Доказательство для случая нулевого собственного числа матрицы проводится аналогично
доказательству теоремы 1 из [17] для случая ненулевых собственных чисел матрицы A.
Далее рассмотрим условия, при которых изображающая точка решения преобразованной
системы (5) достигает гиперплоскости переключения без касания во избежание режима „сколь-
жения” в точках переключения.
Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2 и дополнительно собственные числа
\lambda j , j = 2, n, являются отрицательными. Кроме того, пусть имеют место следующие условия:
1) при m1 < 0, m2 > 0 выполняются неравенства - \gamma 1m2 < 0, - \gamma 1m1 > 0;
2) m1 \not = - k01f(t\eta ), m2 \not = - k01f(t\eta ), \eta = 1, 2, где t1 — момент времени первого переклю-
чения, t2 = 0;
3) множество Q описывается системой неравенств
\| \=X\| \leq 1
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
j
| \lambda j |
\biggl[
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\alpha =1, 2
| m\alpha |
\bigm\| \bigm\| \=B0
\bigm\| \bigm\| +M
\bigm\| \bigm\| \=K0
\bigm\| \bigm\| \biggr] , j = 2, n,
\ell 1 \leq x1\gamma 1 \leq \ell 2,
где векторы \=X, \=B0, \=K0 размерности n - 1 отличаются от векторов канонической системы X,
B0, K0 тем, что в них исключен 1-й элемент, а постоянная M определяется из неравенства\bigm| \bigm| f(t)\bigm| \bigm| \leq | f0| + | f1| + | f2| = M, справедливого для любого t, при этом f0, f1, f2 являются
постоянными коэффициентами функции f(t).
Тогда в фазовом пространстве изображающая точка периодического решения канони-
ческой системы (5), начиная свое движение в X0 \in Q на одной из гиперплоскостей вида
\sigma (t) = \ell \beta , \beta = 1, 2, достигает второй гиперплоскости без касания в силу системы (5).
Доказательство. Данная теорема обобщает результаты, полученные в [18], поэтому при
ее доказательстве частично используются рассуждения, приведенные в упомянутой работе.
По предположению изображающая точка решения канонической системы (5) начинает свое
движение из точки на гиперплоскости переключения и перемещается в предписанной ей по-
следовательности между двумя гиперплоскостями переключения вдоль оси координат Ox1 при
условии 4 теоремы 2, при этом гиперплоскости в фазовом пространстве расположены ортого-
нально оси Ox1.
Каноническую систему вида (5) представим в виде двух систем
\sigma (t) = \gamma 1x1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1093
\.x1 = m\alpha + k01f(t), \alpha = 1, 2,
и
\.\=X = \=A0
\=X + \=B0m\alpha + \=K0f(t),
где \=A0 — матрица, на диагонали которой расположены собственные числа \lambda j , j = 2, n,
остальные элементы нулевые, \=X = (x2, . . . , xn)
\ast , \=B0 = (b02, . . . , b
0
n)
\ast = (1, . . . , 1)\ast , \=K0 =
= (k02, . . . , k
0
n)
\ast . Символ \ast означает транспонирование.
По условию теоремы 3 собственные числа \lambda j < 0. В фазовом пространстве системы (5) с
помощью функций Ляпунова на гиперплоскостях переключения можно выделить ограничен-
ное, замкнутое и выпуклое множество, которое отображается в себя в силу решения канони-
ческой системы. Поскольку нулевое решение системы \.\=X = \=A0
\=X является асимптотически
устойчивым, то существует положительно определенная квадратичная форма V ( \=X) = \=X\ast V \=X.
Уравнение вида V ( \=X) = C\nu описывает цилиндрические поверхности в n-мерном фазовом
пространстве канонической системы, где C\nu — постоянные, \nu \in \BbbN .
Для пересечения области притяжения V ( \=X) \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\nu
C\nu с гиперплоскостями переключения
вида (\Gamma , X) = \ell \beta , \beta = 1, 2, необходимо, чтобы при отсутствии внешнего возмущения, когда
f(t) = 0, виртуальные точки устойчивости располагались вне гистерезиса, что обеспечивает
выполнение условия 2 теоремы 2. В переменных канонической системы последнее условие
принимает вид
- (\Gamma , A - 1
0 B0m2) < \ell 1, - (\Gamma , A - 1
0 B0m1) > \ell 2. (14)
Cогласно условию 4 теоремы 2 n - 1 элемент \gamma j , j \not = 1, вектора \Gamma равны нулю. В случае
такого выбора элементов вектора \Gamma неравенства (14) при \lambda 1 = 0 принимают упрощенный вид
- \gamma 1m2 < 0, - \gamma 1m1 > 0. (15)
Система неравенств (15) выполняется, если \gamma 1 > 0, при этом m1 < 0, m2 > 0. Нетрудно
видеть, что при \gamma 1 < 0 условия m1 > 0, m2 < 0 противоречат предположению m1 < m2.
Отсюда следует условие 1 теоремы 3, необходимое для существования выпуклого компакт-
ного множества Q, которое является пересечением области притяжения с гиперплоскостями
переключения. Данное множество описывает условие 3 теоремы 3. Eсли начальная точка ре-
шения принадлежит области Q, то траектория его изображающей точки в силу канонической
системы (5) не выйдет из этой области фазового пространства.
Из вышеизложенного следует утверждение, что изображающая точка решения системы (5),
начиная свое движение в X0 \in Q на одной из гиперплоскостей вида \sigma (t) = \ell \beta , \beta = 1, 2,
достигает за конечный промежуток времени другой гиперплоскости.
Неравенство (\Gamma , \.X) \not = 0 означает условие, при котором изображающая точка решения
системы (5) достигает гиперплоскости без касания в точках переключения X = X\beta в соот-
ветствующие моменты времени t\eta , \eta = 1, 2, где t1 — момент времени первого переключения,
t2 = kT — момент времени второго переключения. Существование и единственность t1 при
заданном k \in \BbbN гарантируют условия теоремы 1.
Условие достижимости без касания гиперплоскостей переключения в точках переключения
в частном случае, когда \lambda 1 = 0, и при условии 4 теоремы 2 принимает вид условий 2 теоремы 3.
Поскольку функция f(t) является T -периодической, то ее значение в момент времени второго
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1094 В. В. ЕВСТАФЬЕВА
переключения kT совпадает со значением в нуле. Поэтому в условии 2 теоремы 3 для простоты
используем t2 = 0.
Теорема 3 доказана.
Важно, чтобы при малых изменениях начальных условий решение сохраняло характер сво-
его поведения при t \rightarrow \infty , т. е. было устойчивым. Ниже доказана асимптотически орбитальная
устойчивость искомых решений.
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда имеют место следующие утвер-
ждения:
1) kT -периодическое решение системы (5) с двумя точками переключения X\beta на гипер-
плоскостях вида (\Gamma , X) = \ell \beta , где \beta = 1, 2, является асимптотически устойчивым;
2) kT -периодическое решение системы (1) с двумя точками переключения Y \beta на гипер-
плоскостях вида (C, Y ) = \ell \beta является асимптотически орбитально устойчивым.
Доказательство следствия для случая нулевого \lambda s = \lambda 1 проводится аналогично доказа-
тельству следствия к теореме 3.3, приведенного в [18] для случая отрицательного \lambda s, поскольку
значение собственного числа \lambda s не влияет на ход рассуждений. Однако здесь при доказатель-
стве приведены дополнительные пояснения.
В условиях выбора элементов вектора обратной связи, когда один элемент \gamma 1 \not = 0, а осталь-
ные n - 1 равны нулю (условие 4 теоремы 2), гиперплоскости переключения в координатах xi,
i = 1, n, ориентируются ортогонально оси Ox1.
В плоскости (x1, xj) время перехода изображающей точки решения канонической системы
с одной прямой переключения на другую является постоянной величиной и не зависит от вы-
бора начального положения изображающей точки на прямой вида \sigma = \ell \beta , \beta = 1, 2, в момент
времени t0 = 0. Равенство (9) определяет точечное отображение одной из прямой переключе-
ния в себя, при этом его неподвижная точка совпадает с точкой переключения решения.
Положим начальными при t0 = 0 точку переключения X1 = (\ell 1/\gamma 1, x
1
j ) на прямой \sigma = \ell 1
и некоторую точку \~X1 = (\ell 1/\gamma 1, \~x
1
j ) из окрестности точки X1 на этой же прямой. Пусть\bigm| \bigm| \bigm| \~x1j - x1j
\bigm| \bigm| \bigm| = \delta , где \delta > 0. Тогда имеем
\bigm| \bigm| xj \bigl( kT, \~x1j ,m\alpha
\bigr)
- xj
\bigl(
kT, x1j ,m\alpha
\bigr) \bigm| \bigm| = e\lambda jkT
\bigm| \bigm| \~x1j - x1j
\bigm| \bigm| = e\lambda jkT \delta .
По условию теоремы 3 \lambda j < 0. Отсюда очевидно, что e\lambda jkT < 1. Отображение (9) является
сжимающим по каждой j -й координате (j = 2, . . . , n), и неподвижная точка данного отображе-
ния является асимптотически устойчивой, так как e\lambda jt\delta \rightarrow 0 при t \rightarrow \infty . Из асимптотической
устойчивости неподвижной точки отображения при выполнении условий теоремы 3 (дости-
жимость изображающей точки решения гиперплоскостей переключения без касания) следует
асимптотическая устойчивость периодического решения канонической системы в результате
ортогонального расположения гиперплоскостей переключения относительно оси Ox1. Первое
утверждение следствия доказано.
В силу неособого преобразования kT -периодическое решение канонической системы (5) с
рассматриваемыми свойствами является kT -периодическим решением с теми же свойствами и
для исходной системы (1).
В общем случае время перехода изображающей точки решения с одной гиперплоскости
переключения на другую не является постоянной величиной и зависит от начального положе-
ния изображающей точки на гиперплоскости переключения. Поэтому в исходной системе (1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1095
невозможно гарантировать близость решений по времени, но можно по фазовым координатам.
Отсюда следует второе утверждение следствия.
Следствие доказано.
Замечание 3. Асимптотически устойчивое по Ляпунову периодическое решение преобра-
зованной системы (5) является асимптотически орбитально устойчивым решением исходной
системы (1). Отметим, что если хотя бы одно собственное число \lambda j , j = 2, . . . , n, является
положительным, то неподвижная точка отображения (9) существует, но является неустойчивой.
В этом случае каноническая система и, следовательно, исходная система имеют неустойчивое
kT -периодическое решение.
4. Пример. Пусть с помощью преобразования (4) исходная система приведена к канони-
ческому виду
\.x1 = u(\sigma ) + 2f(t),
\.x2 = - x2 + u(\sigma ) + f(t),
\sigma = 0,1x1.
Пусть f(t) = 1 + 18 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl(
2t+
\pi
3
\Bigr)
+ 15 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(4t). Период функции внешнего возмущения равен
\pi . Рассмотрим вопрос существования периодических решений с периодом 2\pi , т. е. положим
k = 2. Пусть параметры нелинейной функции u(\sigma ) принимают следующие значения: m1 =
= - 6, m2 = 5, \ell 1 = - 1, \ell 2 = 1,44, удовлетворяющие условиям теоремы 1. Тогда согласно
теореме 1 система трансцендентных уравнений (10) имеет единственное решение t1 = 1,71.
Точки переключения, рассчитанные по формулам (11), имеют следующие значения:
X1 =
\biggl(
- 10
1,89
\biggr)
, X2 =
\biggl(
14,4
- 284,02
\biggr)
.
Заметим, что \lambda 2 = - 1. На основании теоремы 3 и следствия к ней в преобразованной систе-
ме существует единственное асимптотически устойчивое 2\pi -периодическое решение с двумя
точками переключения X1, X2 за период, а в силу неособого преобразования в исходной
системе существует единственное асимптотически орбитально устойчивое 2\pi -периодическое
решение также с двумя точками переключения за период, причем момент первого переключе-
ния t1 = 1,71.
Литература
1. Minagawa S. A proposal of a new method of phase analysis of on-off control systems with relation to sinusoidal
input // Bull. JSME. – 1961. – 4, № 16. – P. 650 – 657.
2. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. – Л.: Судпромгиз, 1962.
3. Нелепин Р. А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. – Л.: Судостроение,
1967.
4. Покровский А. В. Существование и расчет устойчивых режимов в релейных системах // Автоматика и телеме-
ханика. – 1986. – № 4. – C. 16 – 23.
5. Потапов Д. К. Оптимальное управление распределенными системами эллиптического типа высокого порядка
со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2013. –
№ 2. – С. 19 – 24.
6. Нижник И. Л., Краснеева А. А. Периодические решения дифференциальных уравнений второго порядка с
разрывной нелинейностью // Нелiнiйнi коливання. – 2012. – 15, № 3. – C. 381 – 389.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1096 В. В. ЕВСТАФЬЕВА
7. Jacquemard A., Teixeira M. A. Periodic solutions of a class of non-autonomous second order differential equations
with discontinuous right-hand side // Phys. D. – 2012. – 241, № 22. – P. 2003 – 2009.
8. Потапов Д. К. Задача Штурма – Лиувилля с разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения. – 2014. – 50,
№ 9. – С. 1284 – 1286.
9. Llibre J., Teixeira M. A. Periodic solutions of discontinuous second order differential systems // J. Singul. – 2014. –
10. – P. 183 – 190.
10. Kamachkin A. M., Potapov D. K., Yevstafyeva V. V. Solution to second-order differential equations with discontinuous
right-hand side // Electron. J. Different. Equat. – 2014. – № 221. – P. 1 – 6.
11. Потапов Д. К. Существование решений, оценки дифференциального оператора и „разделяющее” множество в
краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка с разрывной нелинейностью // Дифференц.
уравнения. – 2015. – 51, № 7. – С. 970 – 974.
12. Самойленко А. М., Нижник И. Л. Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью // Укр. мат.
журн. – 2015. – 67, № 4. – С. 517 – 554.
13. Bonanno G., D’Agui G., Winkert P. Sturm – Liouville equations involving discontinuous nonlinearities // Minimax
Theory and Appl. – 2016. – 1, № 1. – P. 125 – 143.
14. Kamachkin A. M., Potapov D. K., Yevstafyeva V. V. Non-existence of periodic solutions to non-autonomous second-
order differential equation with discontinuous nonlinearity // Electron. J. Different. Equat. – 2016. – № 04. – P. 1 – 8.
15. Kamachkin A. M., Potapov D. K., Yevstafyeva V. V. Existence of solutions for second-order differential equations with
discontinuous right-hand side // Electron. J. Different. Equat. – 2016. – № 124. – P. 1 – 9.
16. Евстафьева В. В. О необходимых условиях существования периодических решений в динамической системе
с разрывной нелинейностью и внешним периодическим воздействием // Уфим. мат. журн. – 2011. – 3, № 2. –
С. 20 – 27.
17. Yevstafyeva V. V. Existence of a unique kT -periodic solution for one class of nonlinear systems // J. Sib. Fed. Univ.
Math. and Phys. – 2013. – 6, № 1. – P. 136 – 142.
18. Евстафьева В. В. Об условиях существования двухточечно-колебательного периодического решения в неав-
тономной релейной системе с гурвицевой матрицей // Автоматика и телемеханика. – 2015. – № 6. – C. 42 – 56.
19. Kamachkin A. M., Potapov D. K., Yevstafyeva V. V. Existence of subharmonic solutions to a hysteresis system with
sinusoidal external influence // Electron. J. Different. Equat. – 2017. – № 140. – P. 1 – 10.
20. Kamachkin A. M., Potapov D. K., Yevstafyeva V. V. On uniqueness and properties of periodic solution of second-order
nonautonomous system with discontinuous nonlinearity // J. Dyn. Control Syst. – 2017. – 23, № 4. – P. 825 – 837.
21. Kamachkin A. M., Potapov D. K., Yevstafyeva V. V. Existence of periodic solutions to automatic control system with
relay nonlinearity and sinusoidal external influence // Int. J. Robust Nonlinear Contr. – 2017. – 27, № 2. – P. 204 – 211.
22. Macki J. W., Nistri P., Zecca P. Mathematical models for hysteresis // SIAM Rev. – 1993. – 35, № 1. – P. 94 – 123.
23. Mayergoyz I. D. Mathematical models of hysteresis and their applications. – Amsterdam: Elsevier, 2003.
24. Visintin A. Ten issues about hysteresis // Acta Appl. Math. – 2014. – 132, № 1. – P. 635 – 647.
Получено 28.06.16,
после доработки — 25.05.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1619 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:15Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9a/3de4df0af61c0ecc4e1adf21a821759a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16192019-12-05T09:21:04Z Periodic solutions of a system of differential equations with hysteresis nonlinearity in the presence of eigenvalue zero Периодические решения системы дифференциальных уравнений с гистерезисной нелинейностью при наличии нулевого собственного числа Yevstafyeva, V. V. Евстафьева, В. В. Евстафьева, В. В. We study an $n$-order system of ordinary differential equations with a nonlinearity of nonideal-relay-type with hysteresis and an external periodic perturbations. We consider the existence of solutions with periods equal or multiple to the period of the external perturbation and two points of switching within period. The problem is solved in the case where the collection of simple real eigenvalues of the matrix of the system contains an eigenvalue equal to zero. By a nonsingular transformation, the system is reduced to a canonical system of a special form that enables us to perform its analysis by analytic methods. We propose an approach to finding the points of switching for the representation point of the periodic solution and to a choice of the parameters of the nonlinearity and the feedback vector. We prove a theorem on necessary conditions for the existence of the periodic solutions of the system. Sufficient conditions for the existence of the required solutions are established. We also perform an analysis of stability of the solutions by using the point mapping and the fixed-point method. We present an example that confirms the accumulated results. Дослiджується $n$-вимiрна система звичайних диференцiальних рiвнянь iз нелiнiйнiстю типу неiдеального реле з гiстерезисом i зовнiшнiм перiодичним збуренням. Розглядається iснування розв’язкiв iз перiодом, що дорiвнює i є кратним перiоду зовнiшнього збурення та має двi точки перемикання за перiод. Задачу розв’язано у випадку, коли серед дiйсних, простих власних чисел матрицi системи одне є нульовим. Система неособливим перетворенням зводиться до канонiчної системи спецiального вигляду, що дозволяє провести дослiдження аналiтичними методами. Викладено пiдхiд до знаходження точок перемикання зображуваної точки перiодичного розв’язку, а також до вибору параметрiв нелiнiйностi та вектора зворотного зв’язку. Доведено теорему про необхiднi умови iснування перiодичних розв’язкiв системи. Встановлено достатнi умови iснування шуканих розв’язкiв. Проведено аналiз розв’язкiв на стiйкiсть за допомогою точкового вiдображення та методу нерухомої точки. Наведено приклад, що пiдтверджує отриманi результати. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1619 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 8 (2018); 1085-1096 Український математичний журнал; Том 70 № 8 (2018); 1085-1096 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1619/601 Copyright (c) 2018 Yevstafyeva V. V. |
| spellingShingle | Yevstafyeva, V. V. Евстафьева, В. В. Евстафьева, В. В. Periodic solutions of a system of differential equations with hysteresis nonlinearity in the presence of eigenvalue zero |
| title | Periodic solutions of a system of differential equations with hysteresis
nonlinearity in the presence of eigenvalue zero |
| title_alt | Периодические решения системы дифференциальных уравнений
с гистерезисной нелинейностью при наличии нулевого собственного числа |
| title_full | Periodic solutions of a system of differential equations with hysteresis
nonlinearity in the presence of eigenvalue zero |
| title_fullStr | Periodic solutions of a system of differential equations with hysteresis
nonlinearity in the presence of eigenvalue zero |
| title_full_unstemmed | Periodic solutions of a system of differential equations with hysteresis
nonlinearity in the presence of eigenvalue zero |
| title_short | Periodic solutions of a system of differential equations with hysteresis
nonlinearity in the presence of eigenvalue zero |
| title_sort | periodic solutions of a system of differential equations with hysteresis
nonlinearity in the presence of eigenvalue zero |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1619 |
| work_keys_str_mv | AT yevstafyevavv periodicsolutionsofasystemofdifferentialequationswithhysteresisnonlinearityinthepresenceofeigenvaluezero AT evstafʹevavv periodicsolutionsofasystemofdifferentialequationswithhysteresisnonlinearityinthepresenceofeigenvaluezero AT evstafʹevavv periodicsolutionsofasystemofdifferentialequationswithhysteresisnonlinearityinthepresenceofeigenvaluezero AT yevstafyevavv periodičeskierešeniâsistemydifferencialʹnyhuravnenijsgisterezisnojnelinejnostʹûprinaličiinulevogosobstvennogočisla AT evstafʹevavv periodičeskierešeniâsistemydifferencialʹnyhuravnenijsgisterezisnojnelinejnostʹûprinaličiinulevogosobstvennogočisla AT evstafʹevavv periodičeskierešeniâsistemydifferencialʹnyhuravnenijsgisterezisnojnelinejnostʹûprinaličiinulevogosobstvennogočisla |