Upper and lower Lebesgue classes of multivalued functions of two variables
We introduce a functional Lebesgue classification of multivalued mappings and obtain results on upper and lower Lebesgue classifications of multivalued mappings $F : X \times Y \multimap Z$ for wide classes of spaces $X, Y$ and $Z$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1620 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507435235540992 |
|---|---|
| author | Karlova, O. O. Mykhailyuk, V. V. Карлова, О. О. Михайлюк, В. В. |
| author_facet | Karlova, O. O. Mykhailyuk, V. V. Карлова, О. О. Михайлюк, В. В. |
| author_sort | Karlova, O. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:04Z |
| description | We introduce a functional Lebesgue classification of multivalued mappings and obtain results on upper and lower Lebesgue
classifications of multivalued mappings $F : X \times Y \multimap Z$ for wide classes of spaces $X, Y$ and $Z$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
О. Карлова (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича),
В. Михайлюк (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича, Ун-т iм. Я. Кохановського в Кельцах, Польща)
ВЕРХНIЙ ТА НИЖНIЙ КЛАСИ ЛЕБЕГА
БАГАТОЗНАЧНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ ДВОХ ЗМIННИХ
We introduce a functional Lebesgue classification of multivalued mappings and obtain results on upper and lower Lebesgue
classifications of multivalued mappings F : X \times Y \multimap Z for wide classes of spaces X, Y and Z.
Введено функцiональнi класи Лебега багатозначних вiдображень i отримано результати про верхню та нижню
лебегiвськi класифiкацiї багатозначних вiдображень F : X \times Y \multimap Z для широких класiв просторiв X, Y i Z.
1. Вступ. Дослiдження лебегiвської класифiкацiї нарiзно неперервних однозначних функцiй
(тобто функцiй декiлькох змiнних, якi неперервнi вiдносно кожної змiнної) та їх аналогiв роз-
почали Лебег [9] та Куратовський [6]. Цi дослiдження були продовженi у працях багатьох
математикiв (див., наприклад, [1, 2, 4, 7, 10, 12] i наведену там бiблiографiю).
Деякi аналоги класифiкацiї Лебега вiдомi також i для багатозначних вiдображень та пов’я-
занi з напiвнеперервнiстю зверху i знизу. А саме, багатозначне вiдображення F : X \multimap [0, 1],
визначене на топологiчному просторi X, називається напiвнеперервним зверху (знизу) в точ-
цi x0 \in X , якщо для кожної вiдкритої множини U \subseteq [0, 1] iз властивiстю F (x0) \subseteq U
(F (x0) \cap U \not = \varnothing ) множина
F+(U) = \{ x \in X : F (x) \subseteq U\} \bigl(
F - (U) = \{ x \in X : F (x) \cap U \not = \varnothing \}
\bigr)
є околом точки x0 в X. Багатозначне вiдображення F : X \multimap [0, 1] є неперервним у точцi x0 \in
\in X , якщо воно одночасно напiвнеперервне зверху i знизу в точцi x0. Вiдомо, що багатозначне
вiдображення F : X \multimap [0, 1] неперервне в точцi x0 \in X тодi i тiльки тодi, коли воно неперервне
в точцi x0 як однозначне вiдображення зi значеннями у просторi всiх непорожнiх пiдмножин
вiдрiзка [0, 1] з топологiєю В’єторiса.
Для топологiчних просторiв X та Y символами \mathrm{U}(X,Y ) (\mathrm{L}(X,Y )) будемо позначати
сукупнiсть усiх напiвнеперервних зверху (знизу) багатозначних вiдображень F : X \multimap Y.
Нехай X та Y — топологiчнi простори i \alpha < \omega 1. Багатозначне вiдображення F : X \multimap Y
належить до
\alpha -го верхнього класу Лебега, якщо для довiльної вiдкритої множини A \subseteq Y множина
F+(A) належить до \alpha -го адитивного класу в X;
\alpha -го нижнього класу Лебега, якщо для довiльної вiдкритої множини A \subseteq Y множина
F - (A) належить до \alpha -го адитивного класу в X.
Зауважимо, що класи Лебега також називають класами Бореля.
Для топологiчних просторiв X та Y сукупнiсть усiх багатозначних вiдображень F : X \multimap Y
верхнього (нижнього) лебегiвського класу \alpha ми позначатимемо через \mathrm{U}\alpha (X,Y )
\bigl(
\mathrm{L}\alpha (X,Y )
\bigr)
.
Для багатозначного вiдображення F : X \times Y \multimap Z, точок x \in X та y \in Y ми позначаємо
F x(y) = Fy(x) = F (x, y).
c\bigcirc О. КАРЛОВА, В. МИХАЙЛЮК, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8 1097
1098 О. КАРЛОВА, В. МИХАЙЛЮК
Нагадаємо, що топологiчний простiр називається досконалим, якщо кожна його замкнена
множина є типу G\delta .
Квєцiньська [8] отримала наступний результат про лебегiвську класифiкацiю багатозначних
вiдображень двох змiнних.
Теорема 1.1 [8]. Нехай (X, d) — метричний простiр, \scrT — топологiя на просторi X, D \subseteq
\subseteq X — не бiльш нiж злiченна множина, (U(x) : x \in X) — сiм’я \scrT -вiдкритих множин U(x) \subseteq
\subseteq X, Y i Z — досконало нормальнi простори, \alpha < \omega 1 i F : X \times Y \multimap Z — компактнозначне
(багатозначне) вiдображення з такими властивостями:
(a) множина D щiльна в (X, \scrT );
(b) для кожного x \in D множина A(x) = \{ u \in X : x \in U(u)\} належить до адитивного
класу \alpha в (X, d);
(c) для кожного x \in X послiдовнiсть (Bn(x))n\in \omega множин
Bn(x) = U(x) \cap
\biggl\{
u \in X : d(x, u) <
1
n
\biggr\}
утворює базу простору (X, \scrT ) у точцi x;
(d) для кожного y \in Y багатозначне вiдображення Fy : (X, \scrT ) \multimap Z є неперервним;
(e) для кожного x \in D багатозначне вiдображення F x : Y \multimap Z належить до нижнього
(верхнього) класу \alpha .
Тодi F є вiдображенням верхнього (нижнього) класу \alpha + 1 Лебега на добутку (X, d)\times Y.
Iншi рiзновиди лебегiвської класифiкацiї багатозначних вiдображень двох змiнних було
отримано в [5]. Наступний результат для досконало нормального простору Y випливає з тео-
реми 1.1.
Теорема 1.2 [5]. Нехай X — метризовний простiр, D — щiльна пiдмножина простору X,
Y — досконалий простiр, Z — досконало нормальний простiр, \alpha < \omega 1 i F : X \times Y \multimap Z —
компактнозначне (багатозначне) вiдображення з такими властивостями:
(a) для кожного y \in Y багатозначне вiдображення Fy : X \multimap Z є неперервним;
(b) для кожного x \in D багатозначне вiдображення F x : Y \multimap Z належить до нижнього
(верхнього) класу \alpha Лебега.
Тодi F належить до верхнього (нижнього) класу \alpha + 1 Лебега на добутку X \times Y.
У цiй статтi ми вводимо функцiональнi класи Лебега для багатозначних вiдображень i
узагальнюємо теореми 1.1 та 1.2 для широкого класу топологiчних просторiв X.
2. Багатозначнi вiдображення верхнього та нижнього функцiонального класу \bfitalpha
Лебега.
Означення 2.1. Нехай X та Y — топологiчнi простори. Багатозначне вiдображення F :
X \multimap Y називається
функцiонально напiвнеперервним зверху (знизу), якщо множина F+(A) (F - (A)) є функцiо-
нально вiдкритою в X для довiльної функцiонально вiдкритої множини A \subseteq Y ;
сильно функцiонально напiвнеперервним зверху (знизу), якщо множина F+(A) (F - (A)) є
функцiонально вiдкритою в X для довiльної вiдкритої множини A \subseteq Y ;
слабко функцiонально напiвнеперервним зверху (знизу), якщо множина F+(A) (F - (A)) є
вiдкритою в X для довiльної функцiонально вiдкритої множини A \subseteq Y.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ВЕРХНIЙ ТА НИЖНIЙ КЛАСИ ЛЕБЕГА БАГАТОЗНАЧНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ ДВОХ ЗМIННИХ 1099
Сукупнiсть усiх функцiонально напiвнеперервних зверху
\bigl(
знизу, сильно зверху, сильно зни-
зу, слабко зверху, слабко знизу) багатозначних вiдображень F : X \multimap Y будемо позначати
\mathrm{U}f (X) (\mathrm{L}f (X), \mathrm{U}f
s (X), \mathrm{L}f
s (X), \mathrm{U}f
w(X), \mathrm{L}f
w(X)
\bigr)
.
Нехай X — топологiчний простiр i \scrA 0(X) та \scrM 0(X) — системи всiх функцiонально вiдкри-
тих та функцiонально замкнених множин в X вiдповiдно. Для довiльного ординалу \alpha \in [1, \omega 1)
система всiх об’єднань
\bigcup
n\in \omega An множин An з
\bigcup
\xi <\alpha \scrM \alpha (X) позначається через \scrA \alpha (X), а
система всiх перетинiв
\bigcap
n\in \omega Mn множин Mn з
\bigcup
\xi <\alpha \scrA \alpha (X) — через \scrM \alpha (X). Очевидно, що
\scrA \alpha (X) =
\bigl\{
X \setminus M : M \in \scrM \alpha (X)
\bigr\}
.
Означення 2.2. Нехай X та Y — топологiчнi простори i \alpha \in [0, \omega 1). Багатозначне
вiдображення F : X \multimap Y належить
верхньому функцiональному класу \alpha Лебега, якщо F+(A) \in \scrA \alpha (X) для довiльної функцiо-
нально вiдкритої множини A \subseteq Y ;
нижньому функцiональному класу \alpha Лебега, якщо F - (A) \in \scrA \alpha (X) для довiльної функцiо-
нально вiдкритої множини A \subseteq Y.
Легко бачити, що багатозначне вiдображення F належить верхньому (нижньому) функцiо-
нальному класу \alpha Лебега тодi i тiльки тодi, коли F - (B) \in \scrA \alpha (X)
\bigl(
F+(B) \in \scrA \alpha (X)
\bigr)
для
довiльної функцiонально замкненої множини B \subseteq Y.
Для топологiчних просторiв X та Y сукупнiсть усiх багатозначних вiдображень F : X \multimap
\multimap Y верхнього (нижнього) функцiонального класу \alpha Лебега будемо позначати через \mathrm{U}f
\alpha (X)\bigl(
\mathrm{L}f
\alpha (X)
\bigr)
. Зауважимо, що \mathrm{U}f
0(X) = \mathrm{U}f (X) i \mathrm{L}f
0(X) = \mathrm{L}f (X).
Наведенi нижче властивостi легко випливають з означень, тому ми не будемо наводити їхнє
доведення.
Твердження 2.1. Нехай X та Y — топологiчнi простори, F : X \multimap Y — багатозначне
вiдображення i \alpha \in [0, \omega 1). Тодi:
1) \mathrm{U}(X,Y ) \cup \mathrm{U}f (X,Y ) \subseteq \mathrm{U}f
w(X,Y ) i \mathrm{L}(X,Y ) \cup \mathrm{L}f (X,Y ) \subseteq \mathrm{L}f
w(X,Y );
2) \mathrm{U}f
s (X,Y ) \subseteq \mathrm{U}(X,Y ) \cap \mathrm{U}f (X,Y ) i \mathrm{L}f
s (X,Y ) \subseteq \mathrm{L}(X,Y ) \cap \mathrm{L}f (X,Y );
3) якщо простiр X досконало нормальний, то \mathrm{U}f
s (X,Y ) = \mathrm{U}(X,Y ) \subseteq \mathrm{U}f (X,Y ) =
= \mathrm{U}f
w(X,Y ) i \mathrm{L}f
s (X,Y ) = \mathrm{L}(X,Y ) \subseteq \mathrm{L}f (X,Y ) = \mathrm{L}f
w(X,Y );
4) Якщо простiр Y цiлком регулярний, то \mathrm{U}f (X,Y ) \subseteq \mathrm{U}(X,Y ) i \mathrm{L}f (X,Y ) \subseteq \mathrm{L}(X,Y );
5) якщо простiр Y досконало нормальний, то \mathrm{U}f
s (X,Y ) = \mathrm{U}f (X,Y ) \subseteq \mathrm{U}(X,Y ) =
= \mathrm{U}f
w(X,Y ) i \mathrm{L}f
s (X,Y ) = \mathrm{L}f (X,Y ) \subseteq \mathrm{L}(X,Y ) = \mathrm{L}f
w(X,Y );
6) \mathrm{U}f
\alpha (X,Y ) \subseteq \mathrm{L}f
\alpha +1(X,Y );
7) якщо вiдображення F компактнозначне, то \mathrm{L}f
\alpha (X,Y ) \subseteq \mathrm{U}f
\alpha +1(X,Y ).
Твердження 2.2. Нехай Y — такий топологiчний простiр, що \{ \varnothing , Y \} — сукупнiсть усiх
функцiонально вiдкритих множин в Y (див., наприклад, [3] (2.7.18)). Тодi:
1) для довiльного топологiчного простору X кожне багатозначне вiдображення F : X \multimap
\multimap Y функцiонально напiвнеперервне зверху i знизу;
2) для довiльного T1-простору Z кожне сильно функцiонально напiвнеперервне зверху вi-
дображення F : Y \multimap Z є сталим;
3) для довiльного (цiлком) регулярного простору Z кожне сильно функцiонально напiвне-
перервне зверху (знизу) замкненозначне вiдображення F : Y \multimap Z є сталим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1100 О. КАРЛОВА, В. МИХАЙЛЮК
Доведення. 1. Оскiльки F+(\varnothing ) = F - (\varnothing ) = \varnothing i F+(Y ) = F - (Y ) = X, то вiдображення
F : X \multimap Y функцiонально напiвнеперервне зверху i знизу.
2. Нехай Z — T1-простiр, F : Y \multimap Z — не стале вiдображення. Виберемо такi точки
y1, y2 \in Y, що F (y1) \not \subseteq F (y2). Оскiльки Y — T1-простiр, то iснує вiдкрита множина G \subseteq
\subseteq Z така, що F (y1) \not \subseteq G \supseteq F (y2). Тодi y1 \not \in F+(G) \ni y2. Таким чином, F+(G) \not \in \{ \varnothing , Y \}
i F+(G) не є функцiонально вiдкритою множиною. Отже, F не є сильно функцiонально
напiвнеперервним зверху.
3. Нехай Z — регулярний простiр, F : Y \multimap Z — не стале вiдображення. Виберемо такi
точки y1, y2 \in Y, що F (y1) \not \subseteq F (y2). Оскiльки простiр Y регулярний i множина F (y2) замк-
нена, то iснує вiдкрита множина G \subseteq Z така, що G \cap F (y1) \not = \varnothing i G \cap F (y2) = \varnothing . Тодi
y1 \in F - (G) \not \ni y2. Таким чином, F - (G) \not \in \{ \varnothing , Y \} i множина F - (G) не є функцiонально вiд-
критою. Отже, F не є сильно функцiонально напiвнеперервним знизу. У випадку, коли простiр
Z цiлком регулярний, ми можемо вибрати функцiонально вiдкриту множину G i переконатися,
що вiдображення F не є функцiонально напiвнеперервним знизу.
Приклад 2.1. Нехай A \subseteq [0, 1] — не вимiрна за Борелем множина. Багатозначне вiдобра-
ження F : [0, 1] \multimap [0, 1], що визначається правилом
F (x) =
\left\{ [0, 1], x \in A,
[0, 1), x \in [0, 1] \setminus A,
є (функцiонально) напiвнеперервним знизу, але (функцiонально) не вимiрним, тобто F \not \in
\not \in
\bigcup
\alpha <\omega 1
\mathrm{U}f
\alpha ([0, 1], [0, 1]).
3. Функцiональна класифiкацiя Лебега багатозначних вiдображень двох змiнних.
Лема 3.1 ([4], твердження 1.4). Нехай X — топологiчний простiр, \alpha \in [0, \omega 1), (Ui : i \in
\in I) — локально скiнченна сiм’я функцiонально вiдкритих множин в X i (Ai : i \in I) — сiм’я
множин Ai \in \scrA \alpha (X) (Ai \in \scrM \alpha (X)) таких, що Ai \subseteq Ui для кожного i \in I. Тодi
\bigcup
i\in I Ai \in
\in \scrA \alpha (X)
\bigl( \bigcup
i\in I Ai \in \scrM \alpha (X)
\bigr)
.
Слiд зазначити, що об’єднання локально скiнченної сiм’ї множин функцiонального муль-
типлiкативного класу \alpha не обов’язково є множиною того ж класу навiть при \alpha = 0.
Справдi, розглянемо площину Немицького X = \BbbR \times [0,+\infty ), де базу околiв точок (x, y) \in X
при y > 0 утворюють вiдкритi кулi з центром у точцi (x, y), а базу околiв точок вигляду (x, 0) —
множини U \cup \{ (x, 0)\} , де U — вiдкрита куля, що дотикається до прямої \BbbR \times \{ 0\} у точцi (x, 0).
Зауважимо, що для кожного p \in X одноточкова множина \{ p\} функцiонально замкнена в X,
оскiльки кожна неперервна функцiя на \BbbR \times [0,+\infty ) неперервна на X. Тодi сiм’я \scrF = (\{ (x, 0)\} :
x \in \BbbQ ) складається з функцiонально замкнених пiдмножин простору X. Припустимо, що
об’єднання F =
\bigcup
\scrF є функцiонально замкненим в X, i виберемо таку неперервну функцiю f :
X \rightarrow [0, 1], що F = f - 1(0). Для всiх (x, y) \in X та n \in \BbbN покладемо
fn(x, y) =
\left\{
f(x, y), y \geq 1
n
,
f
\biggl(
x,
1
n
\biggr)
, 0 \leq y <
1
n
.
Тодi функцiя fn : \BbbR \times [0,+\infty ) \rightarrow [0, 1] неперервна i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty fn(x, y) = f(x, y) для кожного
(x, y) \in X. Оскiльки F =
\bigcap \infty
k=1
\bigcup \infty
n=k f
- 1
n
\biggl( \biggl[
0,
1
k
\biggr) \biggr)
, то множина F є типу G\delta в \BbbR \times [0,+\infty ).
Суперечнiсть.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ВЕРХНIЙ ТА НИЖНIЙ КЛАСИ ЛЕБЕГА БАГАТОЗНАЧНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ ДВОХ ЗМIННИХ 1101
Означення 3.1. Сiм’я (Ai : i \in I) пiдмножин Ai топологiчного простору X називається
функцiонально локально скiнченною в X, якщо iснує локально скiнченна в X сiм’я (Ui : i \in I)
функцiонально вiдкритих множин в X таких, що Ui \supseteq Ai для кожного i \in I. Сiм’я (Ai : i \in I)
пiдмножин Ai топологiчного простору X називається \sigma -функцiонально локально скiнченною,
якщо iснує розбиття I =
\bigsqcup
n\in \omega In таке, що кожна сiм’я (Ai : i \in In) є функцiонально локально
скiнченною в X.
Теорема 3.1. Нехай X, Y i Z — топологiчнi простори, \alpha \in [0, \omega 1), (\scrA n)
\infty
n=1 — послi-
довнiсть \sigma -функцiонально локально скiнченних покриттiв \scrA n = (Ai,n : i \in In) простору X
множинами Ai,n \in \scrA \alpha (X),
\bigl(
(xi,n : i \in In)
\bigr) \infty
n=1
— послiдовнiсть сiмей точок xi,n \in X i F :
X \times Y \multimap Z — компактнозначне (багатозначне) вiдображення, яке задовольняє такi умови:
1) для всiх (x, y) \in X \times Y i довiльної послiдовностi (in)n\in \omega iндексiв in \in In таких, що
x \in Ain,n, послiдовнiсть (F (xin,n, y))n\in \omega збiгається до F (x, y) в топологiї В’єторiса;
2) F x \in \mathrm{L}f
\alpha (Y,Z)
\bigl(
F x \in \mathrm{U}f
\alpha (Y,Z)
\bigr)
для кожного x iз множини D = \{ xi,n : n \in \BbbN , i \in In\} .
Тодi F \in \mathrm{U}f
\alpha +1(X \times Y,Z)
\bigl(
F \in \mathrm{L}f
\alpha +1(X \times Y,Z)
\bigr)
.
Доведення. Розглянемо випадок, коли вiдображення F компактнозначне. Для всiх n \in \omega
та i \in In покладемо Fi,n = F xi,n . Нехай W \subseteq Z — функцiонально замкнена множина i \varphi :
Z \rightarrow [0, 1] — така неперервна функцiя, що W = \varphi - 1(0). Для кожного n \in \omega позначимо
Wn = \varphi - 1
\biggl( \biggl[
0,
1
n
\biggr] \biggr)
i Gn = \varphi - 1
\biggl( \biggl[
0,
1
n
\biggr) \biggr)
. Для всiх m,n \in \omega покладемо
Cm,n =
\bigcup
i\in In
\Bigl(
Ai,n \times F -
i,n(Gm)
\Bigr)
i C =
\bigcap
m\in \omega
\bigcup
n\geq m
Cn,m.
Оскiльки Ai,n \in \scrA \alpha (X) i F -
i,n(Gm) \in \scrA \alpha (Y ) за умовою 2, то
Ai,n \times F -
i,n(Gm) \in \scrA \alpha (X \times Y )
для всiх m,n \in \omega та i \in In. Тепер, згiдно з лемою 3.1, Cm,n \in \scrA \alpha (X \times Y ). Таким чином,
C \in \scrM \alpha +1(X \times Y ).
Залишилося показати, що C = F - (W ). Нехай (x0, y0) \in F - (W ). Зафiксуємо m \in \omega i
зауважимо, що (x0, y0) \in F - (Gm). Розглянемо окiл
O =
\bigl\{
B \subseteq Z : B \cap Gm \not = \varnothing
\bigr\}
множини F (x0, y0) в топологiї В’єторiса. За умовою 1 iснує таке n0 \geq m, що для кожного
n \geq n0 такого, що i \in In, iз включення x0 \in Ai,n випливає, що F (xi,n, y0) \in O, тобто
(xi,n, y0) \in F - (Gm). Зокрема, для деякого i \in In0 маємо, що x0 \in Ai,n0 i y0 \in F -
i,n0
(Gm).
Таким чином, (x0, y0) \in Cm,n0 . Отже, (x0, y0) \in C.
Тепер нехай (x0, y0) \not \in F - (W ). Тодi
F (x0, y0) \subseteq Z \setminus W =
\bigcup
m\in \omega
(Z \setminus Wm).
Оскiльки множина F (x0, y0) компактна, то iснує таке m0 \in \omega , що F (x0, y0) \subseteq Z \setminus Wm0 .
Розглянемо окiл
O1 =
\bigl\{
B \subseteq Z : B \cap Wm0 = \varnothing
\bigr\}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1102 О. КАРЛОВА, В. МИХАЙЛЮК
множини F (x0, y0) в топологiї В’єторiса. З властивостi 1 випливає, що iснує такий номер
n0 \in \omega , що для всiх n \geq n0 iз включення x0 \in Ai,n випливає включення F (xi,n, y0) \in O1.
Таким чином, F (xi,n, y0) \subseteq Z \setminus Wm0 \subseteq Z \setminus Wm i y0 \not \in F -
i,n(Gm) для всiх m \geq m0, n \geq n0 та
i \in In таких, що x0 \in Ai,n. Звiдси випливає, що (x0, y0) \not \in Cn,m для всiх n \geq n0 та m \geq m0.
Отже, (x0, y0) \not \in C.
Тепер нехай вiдображення F багатозначне i F x \in \mathrm{U}f
\alpha (Y, Z) для всiх x \in D. Будемо мiрку-
вати, як i в попередньому випадку, використовуючи аналогiчнi позначення. Для всiх m,n \in \omega
покладемо
Cm,n =
\bigcup
i\in In
\Bigl(
Ai,n \times F+
i,n(Gm)
\Bigr)
.
Згiдно з лемою 3.1, Cm,n \in \scrA \alpha (X \times Y ) i
C =
\bigcap
m\in \omega
\bigcup
n\geq m
Cn,m \in \scrM \alpha +1(X \times Y ).
Далi, покажемо, що C = F+(W ). Нехай (x0, y0) \in F+(W ) i m \in \omega . Тодi (x0, y0) \in
\in F+(Gm). За властивiстю 1 iснують такi n \geq m та i \in In, що x0 \in Ai,n i F (xi,n, y0) \subseteq Gm.
Таким чином, (x0, y0) \in Cm,n. Отже, (x0, y0) \in C.
Тепер нехай (x0, y0) \not \in F+(W ). Тодi F (x0, y0)\cap (Z \setminus W ) \not = \varnothing та iснує такий номер m0 \in \omega ,
що F (x0, y0) \cap (Z \setminus Wm0) \not = \varnothing . З властивостi 1 випливає iснування такого номера n0 \in \omega , що
для всiх n \geq n0 iз включення x0 \in Ai,n випливає, що F (xi,n, y0) \cap (Z \setminus Wm0) \not = \varnothing . Таким
чином, (x0, y0) \not \in Cn,m для всiх n \geq n0 та m \geq m0. Отже, (x0, y0) \not \in C.
Теорему 3.1 доведено.
Зауваження 3.1. Багатозначне вiдображення F : (X, d)\times Y \multimap Z з теореми 1.1 задовольняє
умови 1, 2 теореми 3.1. Для всiх u \in D та n \in \omega покладемо
Au,n = A(u) \cap
\biggl\{
v \in X : d(u, v) <
1
n
\biggr\}
\mathrm{i} xu,n = u.
Тодi послiдовностi сiмей (Au,n : u \in D) та (xu,n : u \in D) мають властивiсть 1. Крiм того,
умова 2 рiвносильна умовi (e). Таким чином, теорема 3.1 узагальнює теорему 1.1.
Означення 3.2. Топологiчний простiр X називається (сильним) PP-простором, якщо (для
довiльної щiльної множини D \subseteq X ) iснують послiдовнiсть (\scrU n)
\infty
n=1 локально скiнченних по-
криттiв \scrU n = (Ui,n : i \in In) простору X i послiдовнiсть
\bigl(
(xi,n : i \in In)
\bigr) \infty
n=1
сiмей точок iз
простору X (з множини D) такi, що для кожного x \in X та кожного околу U точки x iснує
такий номер n0 \in \omega , що для всiх n \geq n0 та i \in In iз включення x \in Ui,n випливає включення
xi,n \in U.
Поняття PP-простору було введене в [14] i тiсно пов’язане з поняттям метрично чверть-
вичерпного простору (див. [1]). У статтi [13] встановлено, що метрично чвертьвичерпнi про-
стори збiгаються з гаусдорфовими PP-просторами. Очевидно, кожний сильний PP-простiр є
PP-простором.
Для топологiчних просторiв X, Y i Z та ординалу \alpha \in [0, \omega 1) через \mathrm{C}\mathrm{U}f
\alpha (X,Y, Z)\bigl(
\mathrm{C}\mathrm{L}f
\alpha (X,Y, Z)
\bigr)
будемо позначати сукупнiсть усiх багатозначних вiдображень F : X \times Y \multimap
\multimap Z, якi неперервнi вiдносно першої змiнної i верхнього (нижнього) функцiонального класу
\alpha Лебега вiдносно другої. Аналогiчно, через \mathrm{C}\mathrm{U}
f
\alpha (X,Y, Z)
\bigl(
\mathrm{C}\mathrm{L}
f
\alpha (X,Y, Z)
\bigr)
будемо позначати
сукупнiсть усiх багатозначних вiдображень F : X \times Y \multimap Z, якi неперервнi вiдносно першої
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ВЕРХНIЙ ТА НИЖНIЙ КЛАСИ ЛЕБЕГА БАГАТОЗНАЧНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ ДВОХ ЗМIННИХ 1103
змiнної i для довiльної щiльної множини D \subseteq X кожне багатозначне вiдображення F x на-
лежить до верхнього (нижнього) функцiонального класу \alpha Лебега. Сукупностi \mathrm{C}\mathrm{U}\alpha (X,Y, Z),
\mathrm{C}\mathrm{L}f
\alpha (X,Y, Z) \mathrm{C}\mathrm{U}
f
\alpha (X,Y, Z) та \mathrm{C}\mathrm{L}
f
\alpha (X,Y, Z) визначаються аналогiчно.
Наслiдок 3.1. Нехай X — PP -простiр, Y i Z — топологiчнi простори i \alpha \in [0, \omega 1). Тодi
\mathrm{C}\mathrm{U}f
\alpha (X,Y, Z) \subseteq \mathrm{L}f
\alpha +1(X \times Y, Z) i \mathrm{C}\mathrm{L}f
\alpha (X,Y, Z) \subseteq \mathrm{U}f
\alpha +1(X \times Y,Z).
Доведення. Нехай (\scrU n)
\infty
n=1 та ((xi,n : i \in In))
\infty
n=1 — послiдовностi з означення 3.2 i Ai,n =
= Ui,n для всiх n \in \omega та i \in In. Залишається застосувати теорему 3.1.
Для сильних PP-просторiв цiлком аналогiчно можна довести такий результат.
Наслiдок 3.2. Нехай X — сильний PP -простiр, Y i Z — топологiчнi простори та \alpha \in
\in [0, \omega 1). Тодi \mathrm{C}\mathrm{U}
f
\alpha (X,Y, Z) \subseteq \mathrm{L}f
\alpha +1(X \times Y,Z) i \mathrm{C}\mathrm{L}
f
\alpha (X,Y, Z) \subseteq \mathrm{U}f
\alpha +1(X \times Y,Z).
4. Класифiкацiя Лебега багатозначних вiдображень двох змiнних. Почнемо з узагаль-
нення теореми 3.30 з [11].
Теорема 4.1. Нехай X — досконалий простiр, \alpha \in [0, \omega 1), (Ai : i \in I) — локально скiнченна
сiм’я множин адитивного (мультиплiкативного) класу \alpha в X. Тодi множина A =
\bigcup
i\in I Ai
належить до адитивного (мультиплiкативного) класу \alpha в X.
Доведення. Мiркуватимемо iндукцiєю по \alpha . Вiдомо, що твердження теореми правильне
для \alpha = 0.
Нехай (Ai : i \in I) — локально скiнченна сiм’я F\sigma -множин Ai \subseteq X i
\bigl(
(Bi,n)n\in \omega : i \in I
\bigr)
—
послiдовнiсть сiмей замкнених пiдмножин простору X така, що Ai =
\bigcup
n\in \omega Bi,n для кожного
i \in I. Зауважимо, що кожна сiм’я (Bi,n : i \in I) локально скiнченна. Таким чином, всi множини
Bn =
\bigcup
i\in I Bi,n замкненi i A =
\bigcup
n\in \omega Bn є F\sigma -множиною.
Нехай (Ai : i \in I) — локально скiнченна сiм’я G\delta -множин Ai \subseteq X i
\bigl(
(Bi,n)n\in \omega : i \in I
\bigr)
—
послiдовнiсть сiмей вiдкритих множин Bi,n така, що Ai =
\bigcap
n\in \omega Bi,n для кожного i \in I.
Для всiх i \in I покладемо Fi = Ai. Очевидно, що сiм’я (Fi : i \in I) локально скiнченна
i множина F =
\bigcup
i\in I Fi замкнена в X. Для кожного x \in F покладемо I(x) = \{ i \in I :
x \in Fi\} i n(x) = | I(x)| . Крiм того, нехай Kn = \{ x \in FI(x) : n(x) > n\} для кожного n \in \omega .
Оскiльки сiм’я (Fi : i \in I) локально скiнченна, то кожна множина Kn замкнена.
Розглянемо множину C = F \setminus A i покажемо, що вона є типу F\sigma . Для кожного n \in \omega
покладемо
Cn = \{ x \in C : | n(x)| = n\} , \scrJ n = \{ J \subseteq I : | J | = n\}
i
CJ,n = \{ x \in Cn : I(x) = J\}
для кожного J \in \scrJ n. Покажемо, що кожна сiм’я \scrC n = (CJ,n : J \in \scrJ n) локально скiнченна.
Зафiксуємо x \in X i виберемо окiл U точки x в X такий, що множина I1 = \{ i \in I : U\cap Fi \not = \varnothing \}
є скiнченною. Тодi
\scrI 1 = \{ J \in \scrJ n : U \cap CJ,n \not = \varnothing \} \subseteq \{ J \in \scrJ n : J \subseteq I1\} .
Таким чином, множина \scrI 1 скiнченна, а сiм’я \scrC n локально скiнченна. Тепер покажемо, що
CJ,n =
\Biggl( \bigcap
i\in J
Fi
\Biggr)
\setminus
\Biggl(
Kn \cup
\bigcup
i\in J
Ai
\Biggr)
для всiх n \in \omega та J \in \scrJ n. Оскiльки CJ,n \subseteq
\bigcap
i\in J Fi i CJ,n \cap (Kn \cup
\bigcup
i\in J Ai) = \varnothing , то
CJ,n \subseteq
\bigl( \bigcap
i\in J Fi
\bigr)
\setminus
\bigl(
Kn \cup
\bigcup
i\in J Ai
\bigr)
. Навпаки, нехай x \in
\bigcap
i\in J Fi, x \not \in Kn i x \not \in
\bigcup
i\in J Ai. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1104 О. КАРЛОВА, В. МИХАЙЛЮК
n(x) \geq | J | = n i n(x) \leq n. Таким чином, n(x) = n i I(x) = J. Отже, x \not \in Fi для всiх i \in I \setminus J.
Звiдси маємо
x \not \in
\Biggl( \bigcup
i\in J
Ai
\Biggr) \bigcup \left( \bigcup
i\in I\setminus J
Fi
\right) \supseteq A.
Оскiльки множини
\bigcap
i\in J Fi i Kn замкненi, а множина
\bigcup
i\in J Ai є типу G\delta , то множина CJ,n є
F\sigma -множиною. Таким чином, кожна множина Cn є типу F\sigma як локально скiнченне об’єднання
F\sigma -множин. Отже, множина C також є типу F\sigma .
Припустимо, що лема правильна для всiх \alpha < \beta , де \beta \in [1, \omega 1). Нехай (Ai : i \in I) —
локально скiнченна сiм’я множин адитивного класу \beta в X. Розглянемо випадок, коли \beta =
= \alpha + 1 для деякого \alpha < \omega 1. Тодi для кожного i \in I iснує послiдовнiсть (Bi,n)n\in \omega множин
мультиплiкативного класу \alpha в X така, що Ai =
\bigcup
n\in \omega Bi,n для всiх i \in I. За iндуктивним
припущенням кожна множина Bn =
\bigcup
i\in I Bi,n належить до мультиплiкативного класу \alpha в X.
Таким чином, множина A =
\bigcup
n\in \omega Bn належить до адитивного класу \beta в X.
Розглянемо тепер випадок граничного ординалу \beta . Виберемо зростаючу послiдовнiсть ор-
диналiв \alpha n < \beta таку, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\in \omega \alpha n = \beta . Для кожного i \in I iснує послiдовнiсть (Bi,n)n\in \omega
множин мультиплiкативного класу \alpha n в X така, що Ai =
\bigcup
n\in \omega Bi,n для всiх i \in I. Тодi кожна
множина Bn =
\bigcup
i\in I Bi,n належить до мультиплiкативного класу \alpha в X, звiдки випливає, що
A =
\bigcup
n\in \omega Bn є множиною адитивного класу \beta .
Тепер розглянемо випадок, коли множина належить до мультиплiкативного класу \beta \geq 2.
Нехай (Ai : i \in I) — локально скiнченна сiм’я множин мультиплiкативного класу \beta в X,
причому \beta = \alpha + 1 для деякого \alpha < \omega 1 i
\bigl(
(Bi,n)n\in \omega : i \in I
\bigr)
— послiдовнiсть сiмей множин
адитивного класу \alpha така, що Ai =
\bigcap
n\in \omega Bi,n для всiх i \in I. Для кожного i \in I покладемо
Fi = Ai. Сiм’я (Fi : i \in I) є локально скiнченною. Для кожного n \in \omega та i \in I позначимо
Ai,n = Bi,n\cap Fi. Оскiльки \alpha \geq 1, то кожна множина Ai,n належить до адитивного класу \alpha . Тодi
Bn =
\bigcup
i\in I Ai,n також є множиною адитивного класу \alpha для кожного n i такою ж є множина
A =
\bigcup
n\in \omega Bn. Для граничного \beta мiркування аналогiчнi.
Теорему 4.1 доведено.
Зауваження 4.1. Для досконалого паракомпакту X теорема 4.1 є вiдомою (див., напри-
клад, [3] (4.5.8)). З iншого боку, теорему 4.1 не можна узагальнити на довiльнi топологiчнi
простори. Зокрема, питання „чи є локально скiнченне об’єднання G\delta -множин G\delta -множиною?”
обговорювалося на сайтi http://mathoverflow.net. У зв’язку iз цим Тарас Банах показав, що iснує
функцiонально гаусдорфовий (не регулярний) простiр X iз другою аксiомою злiченностi, який
мiстить замкнену дискретну пiдмножину D, яка не є типу G\delta в X, а Mathieu Baillif побудував
приклад нульвимiрного гаусдорфового простору X iз першою аксiомою злiченностi потужностi
| X| = \omega 1, що мiстить замкнений дискретний пiдпростiр D, який не є типу G\delta вX. Тодi
\bigl(
\{ x\} :
x \in D
\bigr)
є локально скiнченною сiм’єю компактних G\delta -множин в X, чиє об’єднання F не є
типу G\delta в X.
Доведення наступного результату може бути проведене аналогiчно до доведення вiдповiд-
ного результату з попереднього пункту.
Теорема 4.2. Нехай X — топологiчний простiр, Y — досконалий простiр i Z — досконало
нормальний простiр, \alpha \in [0, \omega 1), (\scrA n)
\infty
n=1 — послiдовнiсть \sigma -локально скiнченних покрит-
тiв \scrA n = (Ai,n : i \in In) простору X множинами Ai,n адитивного класу \alpha в X,
\bigl(
(xi,n :
i \in In)
\bigr) \infty
n=1
— послiдовнiсть сiмей точок xi,n \in X i F : X \times Y \multimap Z — компактнозначне
(багатозначне) вiдображення з такими властивостями:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ВЕРХНIЙ ТА НИЖНIЙ КЛАСИ ЛЕБЕГА БАГАТОЗНАЧНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ ДВОХ ЗМIННИХ 1105
1) для всiх (x, y) \in X \times Y i довiльної послiдовностi (in)n\in \omega iндексiв in \in In з умови
x \in Ain,n випливає, що послiдовнiсть
\bigl(
F (xin,n, y)
\bigr)
n\in \omega збiгається до F (x, y) в топологiї
В’єторiса;
2) F x \in \mathrm{L}\alpha (Y,Z)
\bigl(
F x \in \mathrm{U}\alpha (Y, Z)
\bigr)
для кожного x \in D = \{ xi,n : n \in \BbbN , i \in In\} .
Тодi F \in \mathrm{U}\alpha +1(X \times Y,Z)
\bigl(
F \in \mathrm{L}\alpha +1(X \times Y,Z)
\bigr)
.
Наслiдок 4.1. Нехай X — PP -простiр, Y — досконалий простiр, Z — досконало нор-
мальний простiр i \alpha \in [0, \omega 1). Тодi \mathrm{C}\mathrm{U}\alpha (X,Y, Z) \subseteq \mathrm{L}\alpha +1(X \times Y,Z) i \mathrm{C}\mathrm{L}\alpha (X,Y, Z) \subseteq
\subseteq \mathrm{U}\alpha +1(X \times Y,Z).
Наслiдок 4.2. Нехай X — сильний PP -простiр, Y i Z — топологiчнi простори i \alpha \in
\in [0, \omega 1). Тодi \mathrm{C}\mathrm{U}\alpha (X,Y, Z) \subseteq \mathrm{L}\alpha +1(X \times Y,Z) i \mathrm{C}\mathrm{L}\alpha (X,Y, Z) \subseteq \mathrm{U}\alpha +1(X \times Y,Z).
Зауваження 4.2. Оскiльки кожний метризовний простiр є сильним PP -простором, то тео-
рема 4.2 узагальнює теорему 1.2. Крiм того, теорема 4.2 є узагальненням теореми 1.1 (достатньо
мiркувати, як у зауваженнi 3.1).
Наступний приклад вказує на iстотнiсть компактнозначностi вiдображення в теоремах 3.1
i 4.2.
Твердження 4.1. Iснує нарiзно неперервне напiвнеперервне знизу вiдображення F : [0, 1]2 \rightarrow
\rightarrow [0, 1], яке не є (функцiонально) вимiрним зверху.
Доведення. Нехай A \subseteq [0, 1] — не вимiрна за Борелем множина. Розглянемо неперервну
функцiю g : [0, 1]2 \rightarrow [0, 1], g(x, y) =
2(x+ 1)(y + 1)
(x+ 1)2 + (y + 1)2
, i багатозначне вiдображення F :
[0, 1]2 \multimap [0, 1],
F (x, y) =
\left\{ [0, g(x, y)], (x, y) \in [0, 1]2 \setminus \{ (z, z) : z \in A\} ,
[0, 1), (x, y) \in \{ (z, z) : z \in A\} .
Покладемо \Delta = \{ (x, x) : x \in [0, 1]\} . Оскiльки функцiя g неперервна, то вiдображення F на-
рiзно неперервне в кожнiй точцi множини [0, 1]2 \setminus \{ (z, z) : z \in A\} i сукупно неперервне в
кожнiй точцi множини [0, 1]2 \setminus \Delta . Оскiльки вiдображення H(x, y) = [0, g(x, y)] неперервне i
H - (G) = F - (G) для кожної вiдкритої множини G \subseteq [0, 1], то вiдображення F напiвнепе-
рервне знизу. Крiм того, F (x, y) \subseteq [0, 1) \subseteq F (z, z) для всiх (x, y) \in [0, 1]2 \setminus \Delta i z \in [0, 1].
Таким чином, вiдображення F нарiзно напiвнеперервне зверху в кожнiй точцi множини \Delta .
Звiдси випливає, що F — нарiзно неперервне напiвнеперервне знизу вiдображення. Згiдно з
прикладом 2.1, звуження F | \Delta не вимiрне за Лебегом зверху. Отже, вiдображення F також не
вимiрне за Лебегом зверху.
Лiтература
1. Banakh T. (Metrically) quarter-stratifiable spaces and their applications // Mat. Stud. – 2002. – 18, № 1. – P. 10 – 28.
2. Burke M. Borel measurability of separately continuous functions // Top. Appl. – 2003. – 129, № 1. – P. 29 – 65.
3. Engelking R. General topology. – Revised and completed ed. – Berlin: Heldermann Verlag, 1989.
4. Karlova O. Baire classification of maps which are continuous with respect to the first variable and of the functional
Lebesgue class \alpha with respect to the second one // Math. Bull. Shevchenko Sci. Soc. – 2004. – 2. – P. 98 – 114
(in Ukrainian).
5. Karlova O., Sobchuk O. Lebesgue classsification of multivalued maps of two variables // Nauk. Visn. Cherniv. Un-tu.
Matematyka. – 2003. – 160. – P. 76 – 79 (in Ukrainian).
6. Kuratowski K. Sur la théorie des fonctions dans les espaces métriques // Fund. Mat. – 1931. – 17. – P. 275 – 282.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1106 О. КАРЛОВА, В. МИХАЙЛЮК
7. Kuratowski K. Quelques problémes concernant les espaces métriques non-séparables // Fund. Mat. – 1935. – 25. –
P. 533 – 545.
8. Kwiecińska G. On Lebesgue theorem for multivalued functions of two variables // Proc. Ninth Prague Top. Symp. –
2001. – P. 181 – 189.
9. Lebesgue H. Sur les fonctions représentables analytiqment // J. Math. – 1905. – 1, № 6. – P. 139 – 216.
10. Maslyuchenko O., Maslyuchenko V., Mykhaylyuk V. Paracompactness and Lebesgue’s classifications // Mat. Met.
i Fiz.-Mekh. Polya. – 2004. – 47, № 2. – P. 65 – 72 (in Ukrainian).
11. Maslyuchenko O., Maslyuchenko V., Mykhaylyuk V., Sobchuk O. Paracompactness and separately continuous
mappings // General Topology in Banach Spaces. – Nantintong; New York: Nova Sci. Publ., 2001. – P. 147 – 169.
12. Montgomery D. Non separable metric spaces // Fund. Mat. – 1935. – 25. – P. 527 – 533.
13. Mykhaylyuk V. V. Baire classification of separately continuous functions and Namioka property // Ukr. Math. Bull. –
2008. – 5, № 2. – P. 203 – 218 (in Ukrainian).
14. Sobchuk O. V. PP -spaces and Baire classifications // Intern. Conf. Funct. Anal. and Appl., Dedic. to the 110th
of Stefan Banach. – Lviv, 2002.
Одержано 05.08.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1620 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:16Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/69/31884159bab52ae4f58febc586de8e69.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16202019-12-05T09:21:04Z Upper and lower Lebesgue classes of multivalued functions of two variables Верхній та нижній класи Лебега багатозначних відображень двох змінних Karlova, O. O. Mykhailyuk, V. V. Карлова, О. О. Михайлюк, В. В. We introduce a functional Lebesgue classification of multivalued mappings and obtain results on upper and lower Lebesgue classifications of multivalued mappings $F : X \times Y \multimap Z$ for wide classes of spaces $X, Y$ and $Z$. Введено функцiональнi класи Лебега багатозначних вiдображень i отримано результати про верхню та нижню лебегiвськi класифiкацiї багатозначних вiдображень $F : X \times Y \multimap Z$ для широких класiв просторiв $X, Y$ i $Z$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1620 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 8 (2018); 1097-1106 Український математичний журнал; Том 70 № 8 (2018); 1097-1106 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1620/602 Copyright (c) 2018 Karlova O. O.; Mykhailyuk V. V. |
| spellingShingle | Karlova, O. O. Mykhailyuk, V. V. Карлова, О. О. Михайлюк, В. В. Upper and lower Lebesgue classes of multivalued functions of two variables |
| title | Upper and lower Lebesgue classes of multivalued functions of two variables |
| title_alt | Верхній та нижній класи Лебега багатозначних відображень двох змінних |
| title_full | Upper and lower Lebesgue classes of multivalued functions of two variables |
| title_fullStr | Upper and lower Lebesgue classes of multivalued functions of two variables |
| title_full_unstemmed | Upper and lower Lebesgue classes of multivalued functions of two variables |
| title_short | Upper and lower Lebesgue classes of multivalued functions of two variables |
| title_sort | upper and lower lebesgue classes of multivalued functions of two variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1620 |
| work_keys_str_mv | AT karlovaoo upperandlowerlebesgueclassesofmultivaluedfunctionsoftwovariables AT mykhailyukvv upperandlowerlebesgueclassesofmultivaluedfunctionsoftwovariables AT karlovaoo upperandlowerlebesgueclassesofmultivaluedfunctionsoftwovariables AT mihajlûkvv upperandlowerlebesgueclassesofmultivaluedfunctionsoftwovariables AT karlovaoo verhníjtanižníjklasilebegabagatoznačnihvídobraženʹdvohzmínnih AT mykhailyukvv verhníjtanižníjklasilebegabagatoznačnihvídobraženʹdvohzmínnih AT karlovaoo verhníjtanižníjklasilebegabagatoznačnihvídobraženʹdvohzmínnih AT mihajlûkvv verhníjtanižníjklasilebegabagatoznačnihvídobraženʹdvohzmínnih |