On the fundamental solution of the Cauchy problem for Kolmogorov systems of the second order
We study the structure of the fundamental solution of the Cauchy problem for a class of ultraparabolic equations with finitely many groups of variables degenerating parabolicity.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1621 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507435572133888 |
|---|---|
| author | Burtnyak, I. V. Malyts’ka, H. P. Буртняк, І. В. Малицька, Г. П. |
| author_facet | Burtnyak, I. V. Malyts’ka, H. P. Буртняк, І. В. Малицька, Г. П. |
| author_sort | Burtnyak, I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:04Z |
| description | We study the structure of the fundamental solution of the Cauchy problem for a class of ultraparabolic equations with
finitely many groups of variables degenerating parabolicity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
Г. П. Малицька, I. В. Буртняк (Прикарпат. ун-т iм. В. Стефаника, Iвано-Франкiвськ)
ПРО ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI
ДЛЯ СИСТЕМ КОЛМОГОРОВА ДРУГОГО ПОРЯДКУ
We study the structure of the fundamental solution of the Cauchy problem for a class of ultraparabolic equations with
finitely many groups of variables degenerating parabolicity.
Дослiджується структура фундаментального розв’язку задачi Кошi для одного класу систем ультрапараболiчних
рiвнянь, що мають скiнченну кiлькiсть груп змiнних, за якими вироджується параболiчнiсть.
Вступ. У цiй статтi ми дослiджуємо фундаментальний розв’язок задачi Кошi (ФРЗК) для одного
класу систем рiвнянь типу Колмогорова, якi є природним узагальненням рiвняння дифузiї
з iнерцiєю [1, 2]. Рiвняння, що узагальнюють рiвняння Колмогорова, вивчалися в багатьох
роботах; детальний виклад теорiї рiвняння типу дифузiї з iнерцiєю представлено в роботах
[3 – 7]. Значний iнтерес до дослiдження поведiнки розв’язкiв задачi Кошi та крайових задач для
рiвнянь Колмогорова обумовлений їхнiм широким застосуванням у фiнансовiй математицi для
обчислення цiн азiйських опцiонiв та характеристики волатильностi цiн [8, 9]. Ми розглядаємо
системи рiвнянь iз довiльною кiлькiстю груп змiнних, за якими є виродження параболiчностi,
i дослiджуємо структуру ФРЗК. Зокрема, одержано точнi залежностi i види зсувiв на лiнiях
рiвня ФРЗК як для систем, так i для модельних рiвнянь.
1. Позначення i постановка задачi. Основнi результати. Нехай n, n0 — натуральнi
фiксованi числа i n0 > 1, x \in Rn0 , (x, s) =
\sum n0
j=1
xjsj , x\ast = (x2, . . . , xn0). Розглянемо
систему рiвнянь вигляду
\partial tu\nu (t, x) -
n0 - 1\sum
j=1
xj\partial xj+1u\nu (t, x) =
2\sum
k=0
n\sum
r=1
a\nu rk (t)\partial k
x1
ur(t, x), \nu = 1, n, x \in \Pi (0,T ], (1)
де \Pi (0,T ] =
\bigl\{
(t, x), t \in (0, T ], T > 0, x \in Rn0
\bigr\}
. Припускатимемо, що коефiцiєнти a\nu rk (t) цiєї
системи — такi комплекснозначнi неперервнi на [0, T ] функцiї, що
\partial t\omega \nu (t, x1) =
2\sum
k=0
n\sum
r=1
a\nu rk (t)\partial k
x1
\omega r(t, x1), \nu = 1, n. (2)
Система (2) є рiвномiрно параболiчною за I. Г. Петровським.
Знайдемо розв’язок системи (1), який задовольняє початкову умову
ur(t, x)
\bigm| \bigm|
t=\tau
= ur0(x), x \in Rn0 , 0 \leq \tau < t \leq T, r = 1, n, (3)
де \tau — задане число.
Теорема . Iснує фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi (1), (2)
G(t, x; \tau , \xi ) = (t - \tau ) - n2
0/2\Omega
\Bigl(
t, \tau ; (x1 - \xi 1)(t - \tau ) - 1/2, (x2 - \xi 2 + x1(t - \tau ))(t - \tau ) - 3/2, . . .
. . . , (xn0 - \xi n0 + xn0 - 1(t - \tau ) + . . .+ x1(t - \tau )n0 - 1((n0 - 1)!) - 1)(t - \tau ) - 2n0 - 1/2
\Bigr)
,
c\bigcirc Г. П. МАЛИЦЬКА, I. В. БУРТНЯК, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8 1107
1108 Г. П. МАЛИЦЬКА, I. В. БУРТНЯК
t - \tau > 0, x \in Rn0 , \xi \in Rn0 ,
де \Omega (t, \tau ; z1, . . . , zn0) — цiла функцiя аргументiв z1, . . . , zn0 , порядку зростання 2 при комплекс-
них значеннях аргументiв i такого ж порядку спадання при дiйсних значеннях. Для її похiдних
справджуються оцiнки
\bigm| \bigm| \partial m
xj
G(t, x; \tau , \xi )
\bigm| \bigm| \leq Cm(t - \tau ) -
n2
0+(2j - 1)m
2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
- c\ast 0
\Biggl[
| x1 - \xi 1| 24 - 1(t - \tau ) - 1+
+
n0\sum
k=2
(k - 1)2 . . . (2k - 3)2(2k - 1)(t - \tau ) - (2k - 1)
\Biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| xk - \xi k +
(t - \tau )(xk - 1 + \xi k - 1)
2
+ . . .
. . .+ (xk - j - ( - 1)j\xi k - j)(t - \tau )j(j + 1) . . .
k + j - 2
(j - 1)!
(k - 1)k . . . (2k - 3) + . . .
. . .+ (x1 - ( - 1)k - 1\xi 1)
(t - \tau )k - 1
(2(k - 1)k . . . (2k - 3))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
\Biggr\}
,
t - \tau > 0, x \in Rn0 , \xi \in Rn0 , m \in N \cup 0,
додатнi сталi Cm, c\ast 0 залежать вiд \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} | ar\nu k (t)| , сталої параболiчностi \delta та n0, T.
2. Розв’язання задачi Кошi для систем iз сталими коефiцiєнтами. Розглянемо задачу
Кошi для системи (1), в якiй коефiцiєнти a\nu r2 є сталими, a\nu r1 \equiv 0, a\nu r0 = 0, \nu = 1, n, r = 1, n,
\partial tu\nu -
n0 - 1\sum
j=1
xj\partial xj+1u\nu (t, x) =
n\sum
r=1
a\nu r2 \partial 2
x1
ur(t, x), \nu = 1, n, (4)
ur(t, x)| t=\tau = ur0(x), x \in Rn0 , r = 1, n, 0 \leq \tau < t \leq T, (5)
ur0(x) — досить гладкi фiнiтнi функцiї.
Припускатимемо, що \lambda — коренi \lambda 1, . . . , \lambda n рiвняння \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl\{
(a\nu r2 (is)2)n\nu ,r=1 - \lambda I
\bigr\}
= 0, де
I — одинична матриця порядку n, i — уявна одиниця, задовольняють умову \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda (s) \leq - \delta s21,
s1 \in R1, з деякою сталою \delta > 0.
Використовуючи перетворення Фур’є, задачу Кошi (4), (5) зведемо до задачi Кошi для систем
диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними першого порядку. Для цього компоненти
u1, . . . , un розв’язку задачi Кошi (4), (5) будемо шукати у виглядi оберненого перетворення
Фур’є по s вiд невiдомих функцiй \upsilon 1, . . . , \upsilon n, тобто
ur(t, x) := F - 1[\upsilon r(t, s)](t, x) := (2\pi ) - n0/2
\int
Rn0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ i(x, s)\} \upsilon r(t, s) ds,
0 \leq \tau < t \leq T, x \in Rn0 , r = 1, n.
В результатi одержимо для \upsilon 1, . . . , \upsilon n таку задачу Кошi:
\partial t\upsilon r(t, s) +
n0 - 1\sum
j=1
sj+1\partial sj\upsilon r(t, s) = -
n\sum
k=1
ark2 s21\upsilon k(t, s), (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ПРО ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ СИСТЕМ КОЛМОГОРОВА . . . 1109
\upsilon r(t, s)| t=r = \upsilon r0(s), s \in Rn0 , r = 1, n, 0 \leq \tau < t \leq T. (7)
Оскiльки функцiї ur0(x) досить гладкi i фiнiтнi, то їхнi перетворення Фур’є є аналiтичними
функцiями, для яких виконуються нерiвностi
| \upsilon r0(s)| \leq c(1 + | s| ) - m, s \in Rn0 , m \geq n0 + 1, (8)
де \upsilon r0(s) := F [ur0(x)].
Система (6) є системою диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними першого по-
рядку, якi мають однаковi головнi частини. Згiдно з результатами [10, с. 146 – 148], така система
еквiвалентна однорiдному лiнiйному диференцiальному рiвнянню з частинними похiдними
першого порядку для функцiї \omega вiд n+ n0 незалежних змiнних t, s2, . . . , sn0 - 1, \upsilon 1, . . . , \upsilon n,
\partial t\omega +
n0 - 1\sum
j=1
sj+1\partial sj\omega +
n\sum
r, l=1
arl2 s
2
1\upsilon r\partial \upsilon l\omega = 0,
яке в свою чергу, як вiдомо, еквiвалентне системi звичайних диференцiальних рiвнянь
dt =
ds1
s2
=
ds2
s3
= . . . =
dsn0 - 1
sn0
=
d\upsilon 1\sum n
n=1
- a1r2 s21\upsilon r
= . . . =
d\upsilon n\sum n
r=1
- anr2 s21\upsilon r
.
З цiєї системи видiлимо n0 + n - 1 незалежних iнтегралiв. З рiвняння dt =
dsn0 - 1
sn0
знаходимо
sn0 - 1 = tsn0 + c1, (9)
з рiвняння dt =
dsn0 - 2
sn0 - 1
, враховуючи (9), отримуємо
sn0 - 2 = t2sn0/2 + tc1 + c2, (10)
а з рiвняння dt =
dsn0 - k
sn0 - (k - 1)
для k = 3, n0 - 1 маємо
sn0 - k =
tk
k!
sn0 +
k\sum
j=1
tk - j
(k - j)!
cj . (11)
Враховуючи (9) – (11), записуємо
s = (s1, . . . , sn0 - (k - 1), . . . , sn0 - 1, sn0) =
=
\Biggl(
tn0 - 1
(n0 - 1)!
sn0 +
n0\sum
j=2
tn0 - j
(n0 - j)!
cj - 1, . . .
. . . ,
tk - 1
(k - 1)!
sn0 +
k\sum
j=2
tk - j
(k - j)!
cj - 1, . . . , tsn0 + c1, sn0
\Biggr)
. (12)
Пiдставивши (12) у систему рiвнянь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1110 Г. П. МАЛИЦЬКА, I. В. БУРТНЯК
d\upsilon r = -
n\sum
l=1
arl2 s
2
1\upsilon ldt, r = 1, n, (13)
одержимо систему рiвнянь (13) iз характеристиками (9) – (11):
d\upsilon r(t, P (t, sn0 , c)) = -
n\sum
l=1
arl2
\biggl(
tn0 - 1
(n0 - 1)!
sn0 +
n0\sum
k=2
tn0 - k
(n0 - k)!
ck - 1
\biggr) 2
\upsilon ldt, (14)
де
P (t, sn0 , c) :=
\biggl(
tn0 - 1
(n0 - 1)!
sn0 +
n0\sum
k=2
tn0 - k
(n0 - k)!
ck - 1, . . . , tsn0 + c1, sn0
\biggr)
,
з початковою умовою
\upsilon r(t, P (t, sn0 , c)
\bigm| \bigm|
t=\tau
= \upsilon r0(P (\tau , sn0 , c)), r = 1, n. (15)
Задача (14), (15) має єдиний розв’язок для 0 \leq \tau < t \leq T < +\infty . Розв’язок цiєї задачi Кошi
має вигляд
\upsilon
\bigl(
t, P (t, sn0 , c)
\bigr)
= Q
\bigl(
t, \tau , P (t, sn0 , c)
\bigr)
\upsilon 0
\bigl(
P (\tau , sn0 , c)
\bigr)
, (16)
де Q(t, \tau , P (t, sn0 , c)) — нормальна матриця розв’язкiв системи (14), Q(t, \tau , P (t, sn0 , c))
\bigm| \bigm|
t=\tau
=
= I, \upsilon 0 = (\upsilon 10, . . . , \upsilon n0).
Оскiльки матриця
A(t) =
\Biggl(
- arl2
\biggl(
tn0 - 1
(n0 - 1)!
sn0 +
n0\sum
k=2
tn0 - k
(n0 - k)!
ck - 1
\biggr) 2\Biggr) n
r, l=1
комутує з
\int t
\tau
A(\tau ) d\tau , то
Q
\bigl(
t, \tau , P (\tau , sn0 , c)
\bigr)
=
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ -
t\int
\tau
A(\beta )d\beta
\right\} = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ - A1
t\int
\tau
\biggl(
\beta n0 - 1sn0
(n0 - 1)!
+
n0\sum
k=2
\beta n0 - k
(n0 - k)!
ck - 1
\biggr) 2
d\beta
\right\} ,
де A1 =
\bigl(
ar\ell 2
\bigr) n
r, l=1
.
Методом математичної iндукцiї з (9), (10) знайдемо ck, k = 1, n0 :
ck =
k\sum
j=0
( - t)jsn0 - k+j
j!
, k = 1, n0. (17)
Пiдставивши (17) у (16), одержимо
\upsilon (t, s) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ - A1
t\int
\tau
\left( \beta n0 - 1sn0
(n0 - 1)!
+
n0\sum
k=2
\beta n0 - k
(n0 - k)!
k - 1\sum
j=0
( - t)j
sn0 - k - j
(j!)2
\right) d\beta
\right\} \times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ПРО ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ СИСТЕМ КОЛМОГОРОВА . . . 1111
\times \upsilon 0
\biggl(
s1 + (\tau - t)s2 +
(\tau - t)2s3
2!
+ . . .+
(\tau - t)n0 - 1sn0
(n0 - 1)!
,
s2 + (\tau - t)s3 + . . .+
(\tau - t)n0 - 2sn0
(n0 - 2)!
, . . . , sn0 - 1 + (\tau - t)sn0 , sn0
\biggr)
.
Пiсля зведення подiбних членiв у показнику експоненти матимемо
\upsilon (t, s) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ - A1
t\int
\tau
\Biggl(
n0\sum
k=1
(\beta - t)k - 1sk
(k - 1)!
\Biggr) 2
d\beta
\right\} \times
\times \upsilon 0
\Biggl(
n0\sum
k=1
(\tau - t)k - 1sk
(k - 1)!
,
n0\sum
k=2
(\tau - t)k - 2sk
(k - 2)!
, . . . , sn0 - 1 + (\tau - t)sn0 , sn0
\Biggr)
.
Знайдемо u(t, x):
u(t, x) =
1
(2\pi )n0/2
\int
Rn0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ - A1
t\int
\tau
\Biggl(
n0\sum
k=1
(\beta - t)k - 1sk
(k - 1)!
\Biggr) 2
d\beta
\right\} \times
\times \upsilon 0
\Biggl(
n0\sum
k=1
(\tau - t)k - 1sk
(k - 1)!
,
n0\sum
k=2
(\tau - t)k - 2sk
(k - 2)!
, . . . , sn0 - 1 + (\tau - t)sn0 , sn0
\Biggr)
ds. (18)
Виконавши замiну змiнних у iнтегралi (18)
n0\sum
k=1
(\tau - t)k - 1sk
(k - 1)!
= \alpha 1,
n0\sum
k=2
(\tau - t)k - 2 sk
(k - 2)!
= \alpha 2,
sn0 - 1 + (\tau - t)sn0 = \alpha n0 - 1,
sn0 = \alpha n0 ,
або
s1 =
n0\sum
k=1
( - 1)k - 1 (\tau - t)k - 1
(k - 1)!
\alpha k,
s2 =
n0\sum
k=2
( - 1)k - 2 (\tau - t)k - 2\alpha k
(k - 2)!
,
sk =
n0\sum
j=k
( - 1)k - j (\tau - t)k - j
(k - j)!
,
sn0 - 1 = \alpha n0 - 1 - (\tau - t)\alpha n0 ,
sn0 = \alpha n0 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1112 Г. П. МАЛИЦЬКА, I. В. БУРТНЯК
одержимо
u(t, x) =
1
(2\pi )n0/2
\int
Rn0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ i
n0\sum
k=1
\alpha k
k - 1\sum
j=0
( - 1)j xk - j(\tau - t)j
j!
-
- A1
t\int
\tau
\Biggl(
n0\sum
k=1
(\beta - \tau )k - 1\alpha k
(k - 1)!
\Biggr) 2
d\beta
\right\} \upsilon 0(\alpha ) d\alpha .
Оскiльки \upsilon 0(\alpha ) = Fu0(x), то
u(t, x) =
\int
Rn0
G(t, x; \tau , \xi )u0(\xi ) d\xi ,
де G(t, x; \tau , \xi ) — ФРЗК,
G(t, x; \tau , \xi ) = (2\pi ) - n0/2
\int
Rn0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ i
n0\sum
k=1
\alpha k
\left( k - 1\sum
j=0
( - 1)j
xk - j(\tau - t)j
j!
- \xi k
\right) -
-
t\int
\tau
\Biggl(
n0\sum
k=1
(\beta - \tau )k - 1\alpha k
(k - 1)!
\Biggr) 2
d\beta
\right\} d\alpha .
3. Дослiдження поведiнки ФРЗК. Для того щоб дослiдити поведiнку G(t, x; \tau , \xi ), обчис-
лимо iнтеграл
I =
t\int
\tau
\Biggl(
n0\sum
k=1
(\beta - \tau )k - 1\alpha k
(k - 1)!
\Biggr) 2
d\beta .
Виконавши замiну (\beta - \tau )(\tau - t) - 1 = \theta , одержимо
I =
1\int
0
\Biggl(
n0\sum
k=1
\theta k - 1(t - \tau )k - 1\alpha k
(k - 1)!
\Biggr) 2
d\theta (t - \tau ).
Перепозначивши \alpha k(t - \tau )
2k - 1
2 /(k - 1)! = sk, k = 1, n0, будемо мати
I =
1\int
0
\Biggl(
n0\sum
k=1
\theta k - 1sk
\Biggr) 2
d\theta = s21 +
s22
3
+
s23
5
+ . . .+
s2n0
2n0 - 1
+ 2
n0\sum
j=2
s1sj
j
+
+2
n0\sum
j=3
s2sj
j + 1
+ . . .+ 2
n0\sum
j=k+1
sksj
k + j - 1
+ . . .+ 2
sn0 - 1sn0
2n0 - 2
. (19)
Видiливши у (19) повнi квадрати по s1, s2, . . . , sn0 , отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ПРО ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ СИСТЕМ КОЛМОГОРОВА . . . 1113
I =
\left( n0\sum
j=1
sj
j
\right) 2 + 3
\left( n0\sum
j=2
(j - 1)sj
j(j + 1)
\right) 2 + 5
\Biggl(
n0\sum
k=3
sk30(k - 1)(k - 2)
k(k + 1)(k + 2)
\Biggr) 2
+
+7
\Biggl(
n0\sum
k=4
sk(k - 1)(k - 2)(k - 3)
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
\Biggr) 2
+ . . .
. . .+ (2j - 1)
\left( n0\sum
k=j
sk(k - 1) . . . (k - (j - 1))
k(k + 1) . . . (k + j - 1)
\right) 2 + . . .
. . .+ (2n0 - 3)
\left( n0\sum
k=n0 - 1
sk(k - 1) . . . (k - (n0 - 2))
k(k + 1) . . . (k + n0 - 1)
\right) 2+
+(2n0 - 1)s20
(n0 - 1)2(n0 - 2)2 . . . 22
n2
0(n0 + 1)2 . . . (2n0 - 1)2
. (20)
З огляду на (20) G(t, x; \tau , \xi ) запишемо у виглядi
G(t, x; \tau , \xi ) = (2\pi ) - n0
\int
Rn0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{
n0\sum
k=1
isk(k - 1)! \times
\times
\left( k - 1\sum
j=0
( - 1)jxk - j(\tau - t)j
j!
- \xi k
\right) (t - \tau ) - (2k - 1)/2 + isn0 -
- A1
\left[
\left( n0\sum
k=1
(2k - 1)
\left( n0\sum
j=k
sj(j - 1) . . . (j - k + 1)
j(j + 1) . . . (j + k - 1)
\right) 2 + . . .+ (2n0 - 3)
\right) 2
\right]
\right\} ds \times
\times (t - \tau ) - n2
0/22! . . . (n0 - 1)!.
Розглянемо систему
n0\sum
j=1
sj
j
= \alpha 1,
n0\sum
j=2
(j - 1)sj
j(j + 1)
= \alpha 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n0\sum
j=k
sj(j - 1) . . . (j - k + 1)
j(j + 1) . . . (j + k - 1)
= \alpha k, (21)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1114 Г. П. МАЛИЦЬКА, I. В. БУРТНЯК
sn0 - 1(n0 - 2)!
(n0 - 1) . . . (2n0 - 3)
+
sn0(n0 - 1)!
n0 . . . (2n0 - 2)
= \alpha n0 - 1,
sn0(n0 - 1)!
n0 . . . (2n0 - 1)
= \alpha n0 .
Розв’язавши (21), одержимо
s1 =
n0\sum
k=1
( - 1)k - 1(2k - 1)\alpha k,
s2
2 \cdot 3
=
n0\sum
k=2
( - 1)k - 2
(k - 2)!
4 \cdot 5 . . . k(2k - 1)\alpha k,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sk(k - 1)!
k . . . (2k - 1)
= \alpha k - (2k + 1)\alpha k+1 +
2k(2k + 3)
2!
\alpha k+2+
+
n0 - k\sum
j=3
( - 1)j2k(2k + 1)(j + 2k - 2)(2k + 2j - 1)
j!
\alpha k+j ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sn0 - 1(n0 - 2)!
(n0 - 1) . . . (2n0 - 3)
= \alpha n0 - 1 - \alpha n0(2n0 - 1),
sn0(n0 - 1)!
n0 . . . (2n0 - 1)
= \alpha n0 .
З цiєї системи знайдемо sk(k - 1)!, k = 1, n0.
Згрупувавши подiбнi члени вiдносно \alpha j , будемо мати
G(t, x; \tau , \xi ) = (2\pi ) - n0
\int
Rn0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ - A1
n0\sum
k=1
(2k - 1)\alpha 2
k+
+i\alpha 1(t - \tau ) - 1/2(x1 - \xi 1) +
n0\sum
k=2
k(k + 1) . . . (2k - 1)i\alpha k\times
\times
\left[ k - 1\sum
j=0
xk - j(t - \tau )j
j
- \xi k - (t - \tau )
\left( k - 2\sum
j=0
xk - j - 1(t - \tau )j
j
- \xi k - 1
\right) +
+(t - \tau )2
\left( k - 3\sum
j=0
xk - j - 2(t - \tau )j
j
- \xi k - 2
\right) k - 2
4(2k - 3)
+ . . .+ ( - 1)(k - j) (t - \tau )(k - j)
(k - j)!
\times
\times 2j . . . (2j + 1) . . . (2j + (k - j) - 2)(2j + 2(k - j) - 1)
k . . . (2k - 1)
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ПРО ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ СИСТЕМ КОЛМОГОРОВА . . . 1115
\times
\Biggl(
j - 1\sum
l=0
xj - l(t - \tau )l
l!
- \xi j
\Biggr)
+ . . .+ ( - 1)(k - 2) (t - \tau )(k - 2)(x2 - \xi 2 + (t - \tau )x1)
2(k + 1) . . . (2k - 3)
+
+ ( - 1)(k - 1) (t - \tau )(k - 1)(x1 - \xi 1)
k . . . (2k - 2)
\right] \right\} d\alpha (t - \tau ) - n2
0/2
n0\prod
k=1
k(k + 1) . . . (2k - 1). (22)
З формули (22) випливає, що G(t, x; \tau , \xi ) є перетворенням Фур’є функцiї
I1(\alpha ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
- A1
n0\sum
k=1
(2k - 1)\alpha 2
k
\Biggr\}
, \alpha \in Rn0 .
У вiдповiдно пiдiбраних точках, використовуючи параболiчнiсть [11], одержуємо оцiнки для
I1(\alpha + i\beta ), \alpha \in Rn0 , \beta \in Rn0 :
| I1(\alpha + i\beta )| \leq C \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
- c\ast 0
n0\sum
k=0
\alpha 2
k + c
n0\sum
k=0
\beta 2
k
\Biggr\}
,
де додатнi сталi C, c\ast 0, c залежать вiд n0, n, сталої параболiчностi \delta , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq r, s\leq n | ar\upsilon 2 | .
Перетворення Фур’є I1 є цiлою функцiєю, для похiдних якої при t > \tau , x \in Rn0 , \xi \in Rn0
справджуються оцiнки
\bigm| \bigm| \partial m
xj
G(t, x; \tau , \xi )
\bigm| \bigm| \leq Cm(t - \tau ) -
n2
0
2
- (2j - 1)m
2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ - c0
\Biggl[
| x1 - \xi 1| 24 - 1(t - \tau ) - 1+
+
n0\sum
k=2
(k - 1)2k2 . . . (2k - 3)2(2k - 1)(t - \tau ) - (2k - 1)
\Biggr]
\times
\times
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
k - 1\sum
j=0
xk - j(t - \tau )j
j!
- \xi k - (t - \tau )
\sum k - 2
j=0
xk - 1 - j(t - \tau )j/j! - \xi k - 1
2
+ . . .
. . .+ ( - 1)k - l (t - \tau )k - l
(k - l)!
2l(2l + 1) . . . (2l + (k - l) - 2)(2l + 2(k - l) - 1)
k . . . (2k - 1)
\times
\times
\Biggl(
l - 1\sum
j=0
xl - j(t - \tau )j
j!
- \xi l
\Biggr)
+
+
( - 1)k - 2(t - \tau )k - 2(x2 - \xi 2 + (t - \tau )x1)
2(k + 1) . . . (2k - 3)
+
( - 1)k - 1(t - \tau )k - 1(x1 - \xi 1)
k . . . (2k - 2)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\right\} , (23)
де додатнi сталi Cm, c0 залежать вiд n0, j, m, \delta , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}r,\nu | ar\nu 2 | , T, j = 1, n0.
Звiвши подiбнi члени, (23) можна записати таким чином:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1116 Г. П. МАЛИЦЬКА, I. В. БУРТНЯК
\bigm| \bigm| \partial m
xj
G(t, x; \tau , \xi )
\bigm| \bigm| \leq Cm(t - \tau ) -
n2
0+(2j - 1)m
2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ - c\ast 0
\left[ | x1 - \xi 1| 24 - 1(t - \tau ) - 1+
+
n0\sum
k=2
(k - 1)2 . . . (2k - 3)2(2k - 1)(t - \tau ) - (2k - 1)
\right] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| xk - \xi k +
+
(t - \tau )(xk - 1 + \xi k - 1)
2
+ . . .+ (xk - j - ( - 1)j\xi k - j)
(t - \tau )j(j + 1) . . . (k + j - 2)
(j - 1)!(k - 1)k . . . (2k - 3)
+ . . .
. . .+
(x1 - ( - 1)k - 1\xi 1)(t - \tau )k - 1
(2(k - 1)k . . . (2k - 3))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\right\} ,
t - \tau > 0, x \in Rn0 , x \in Rn0 , \xi \in Rn0 , m \in N \cup 0.
Зауваження. Оцiнки (23) є точними, при n = 1 маємо
\partial tu(t, x) -
n0 - 1\sum
j=1
xj\partial xj+1u(t, x) = \partial 2
x1
u(t, x).
Одержимо G(t, x; \tau , \xi ) при t > \tau :
G(t, x; \tau , \xi ) = 2n0\pi - n0/2
n0\prod
k=1
k(k + 1) . . . (2k - 1) - 1/2(t - \tau ) -
2n0 - 1
2 \times
\times \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
- | x1 - \xi 1| 24 - 1(t - \tau ) - 1 -
-
n0\sum
k=2
k2 . . . (2k - 3)2(2k - 1)(t - \tau ) - (2k - 1)\times
\times
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| xk - \xi k + (t - \tau )(xk - 1 + \xi k - 1)2
- 1 + . . .
. . .+ (xk - j - ( - 1)j\xi k - j)
(t - \tau )j(j + 1) . . . (k + j - 2)
(j - 1)!(k - 1)k . . . (2k - 3)
+ . . .
. . .+ (x1 - ( - 1)k - 1\xi 1)(t - \tau )k - 1(2(k - 1)k . . . (2k - 3)) - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
\Biggr\}
. (24)
Зокрема, з (24) при x = x1, x2 = y (n0 = 2) маємо ФРЗК для рiвняння дифузiї з iнерцiєю, при
n0 = 2, 5 одержуємо результати робiт [12, 13].
4. Побудова ФРЗК для системи (1), (2). Запишемо систему (13) для (1), (2) у виглядi
dv(t, s) = (a2(t0)(is1)
2 - (a2(t) - a2(t0))s
2
1v(t, s) +
1\sum
k=0
ak(t)(is1)
kv(t, s)) dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ПРО ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ СИСТЕМ КОЛМОГОРОВА . . . 1117
Застосувавши лему Гронуолла i використавши параболiчнiсть системи (13), отримаємо оцiнку
нормальної матрицi
\bigm| \bigm| Q(t, \tau , P (t, sn0 , c))
\bigm| \bigm| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ - \delta 1
t\int
\tau
\Biggl(
\beta n0 - 1sn0
(n0 - 1)!
+
n0\sum
k=2
\beta n0 - k
(n0 - k)!
ck - 1
\Biggr) 2
d\beta
\right\} ,
де c > 0, 0 < \delta 1 < \delta . Всi подальшi мiркування аналогiчнi використаним при встановленнi
оцiнки (28) [1].
Лiтература
1. Малицька Г. П. Системи рiвнянь типу Колмогорова // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 12. – С. 1650 – 1663.
2. Malyts’ka H. P. Fundamental solution matrix of the Cauchy problem for a class of systems of Kolmogorov type
equations // Different. Equat. – 2010. – 46, № 5. – P. 753 – 757.
3. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential
equations of parabolic type. – Basel etc.: Birkhäuser, 2004. – ix + 387 p.
4. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Malytska H. P. A modified Levi method: development and application // Dopov.
Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat., Prirodozn., Tekh. Nauky. – 1998. – № 5. – P. 14 – 19.
5. Polidoro S. On a class of ultraparabolic operators of Kolmogorov – Fokker – Planck type // Le Mathematiche. –
1994. – 49. – P. 53 – 105.
6. Cinti C., Pascucci A., Polidoro S. Pointwise estimates for solutions to a class of non-homogeneous Kolmogorov
equations // Math. Ann. – 2008. – 340, № 2. – P. 237 – 264.
7. Iвасишен С. Д., Iвасюк Г. П. Про фундаментальнi розв’язки задачi Кошi для рiвнянь Фоккера – Планка –
Колмогорова деяких вироджених дифузiйних процесiв // Мат. та комп. моделювання. – 2011. – С. 116 – 126.
8. Буртняк I. В., Малицька Г. П. Модель шляхозалежної волатильностi для iндексу ПФТС // Бизнес информ. –
2012. – № 3. – С. 48 – 50.
9. Буртняк I. В., Малицька Г. П. Обчислення цiн опцiонiв методами спектрального аналiзу // Бизнес информ. –
2013. – № 4. – С. 152 – 158.
10. Курант Р. Уравнения с частными производными. – М.: Мир, 1964. – 830 с.
11. Эйдельман С. Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 443 с.
12. Буртняк I. В., Малицька Г. П. Фундаментальнi матрицi розв’язкiв одного класу вироджених параболiчних
систем // Карпат. мат. публ. – 2012. – 4, № 1. – С. 12 – 22.
13. Малицька Г. П. Про структуру фундаментального розв’язку задачi Кошi для елiптико-параболiчних рiвнянь, що
узагальнюють рiвняння дифузiї з iнерцiєю // Вiсн. нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Сер. Прикл. математика. –
2000. – № 411. – С. 221 – 228.
Одержано 31.07.14,
пiсля доопрацювання — 12.03.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1621 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:16Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/00/6407038b2b5169d29a91855c09141400.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16212019-12-05T09:21:04Z On the fundamental solution of the Cauchy problem for Kolmogorov systems of the second order Про фундаментальний розв’язок задачi Кошi для систем Колмогорова другого порядку Burtnyak, I. V. Malyts’ka, H. P. Буртняк, І. В. Малицька, Г. П. We study the structure of the fundamental solution of the Cauchy problem for a class of ultraparabolic equations with finitely many groups of variables degenerating parabolicity. Дослiджується структура фундаментального розв’язку задачi Кошi для одного класу систем ультрапараболiчних рiвнянь, що мають скiнченну кiлькiсть груп змiнних, за якими вироджується параболiчнiсть. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1621 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 8 (2018); 1107-1117 Український математичний журнал; Том 70 № 8 (2018); 1107-1117 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1621/603 Copyright (c) 2018 Burtnyak I. V.; Malyts’ka H. P. |
| spellingShingle | Burtnyak, I. V. Malyts’ka, H. P. Буртняк, І. В. Малицька, Г. П. On the fundamental solution of the Cauchy problem for Kolmogorov systems of the second order |
| title | On the fundamental solution of the Cauchy problem for
Kolmogorov systems of the second order |
| title_alt | Про фундаментальний розв’язок задачi Кошi для систем
Колмогорова другого порядку |
| title_full | On the fundamental solution of the Cauchy problem for
Kolmogorov systems of the second order |
| title_fullStr | On the fundamental solution of the Cauchy problem for
Kolmogorov systems of the second order |
| title_full_unstemmed | On the fundamental solution of the Cauchy problem for
Kolmogorov systems of the second order |
| title_short | On the fundamental solution of the Cauchy problem for
Kolmogorov systems of the second order |
| title_sort | on the fundamental solution of the cauchy problem for
kolmogorov systems of the second order |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1621 |
| work_keys_str_mv | AT burtnyakiv onthefundamentalsolutionofthecauchyproblemforkolmogorovsystemsofthesecondorder AT malytskahp onthefundamentalsolutionofthecauchyproblemforkolmogorovsystemsofthesecondorder AT burtnâkív onthefundamentalsolutionofthecauchyproblemforkolmogorovsystemsofthesecondorder AT malicʹkagp onthefundamentalsolutionofthecauchyproblemforkolmogorovsystemsofthesecondorder AT burtnyakiv profundamentalʹnijrozvâzokzadačikošidlâsistemkolmogorovadrugogoporâdku AT malytskahp profundamentalʹnijrozvâzokzadačikošidlâsistemkolmogorovadrugogoporâdku AT burtnâkív profundamentalʹnijrozvâzokzadačikošidlâsistemkolmogorovadrugogoporâdku AT malicʹkagp profundamentalʹnijrozvâzokzadačikošidlâsistemkolmogorovadrugogoporâdku |