Transformation operators in controllability problems for the degenerate wave equation with variable coefficients
We study the control system $w_{tt} = \cfrac1{\rho } (kw_x) x + \gamma w,\; w(0, t) = u(t),\; x \in (0, l), t \in (0, T)$, in special modified spaces of the Sobolev type. Here, $\rho , k,$ and \gamma are given functions on $[0, l)$; $u \in L^{\infty} (0, T)$ is a control, and $T > 0$ is a...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1623 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507439612297216 |
|---|---|
| author | Fardigola, L. V. Фардигола, Л. В. |
| author_facet | Fardigola, L. V. Фардигола, Л. В. |
| author_sort | Fardigola, L. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:04Z |
| description | We study the control system $w_{tt} = \cfrac1{\rho }
(kw_x) x + \gamma w,\; w(0, t) = u(t),\; x \in (0, l), t \in (0, T)$, in special modified spaces
of the Sobolev type. Here, $\rho , k,$ and \gamma are given functions on $[0, l)$; $u \in L^{\infty} (0, T)$ is a control, and $T > 0$ is a constant.
The functions $\rho$ and $k$ are positive on $[0, l)$ and may tend to zero or to infinity as $x \rightarrow l$. The growth of distributions from these spaces is determined by the growth of $\rho$ and $k$ as $x \rightarrow l$. Applying the method of transformation operators,
we establish necessary and sufficient conditions for the $L^{\infty}$ -controllability and approximate $L^{\infty}$ -controllability at a given
time and at a free time.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98:517.95
Л. В. Фардигола (Фiз.-техн. iн-т низьких температур iм. Б. I. Вєркiна НАН України, Харкiв)
ОПЕРАТОРИ ПЕРЕТВОРЕННЯ В ЗАДАЧАХ КЕРОВАНОСТI
ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ
ЗI ЗМIННИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
We study the control system wtt =
1
\rho
(kwx) x + \gamma w, w(0, t) = u(t), x \in (0, l), t \in (0, T ), in special modified spaces
of the Sobolev type. Here, \rho , k, and \gamma are given functions on [0, l); u \in L\infty (0, T ) is a control, and T > 0 is a constant.
The functions \rho and k are positive on [0, l) and may tend to zero or to infinity as x \rightarrow l. The growth of distributions
from these spaces is determined by the growth of \rho and k as x \rightarrow l. Applying the method of transformation operators,
we establish necessary and sufficient conditions for the L\infty -controllability and approximate L\infty -controllability at a given
time and at a free time.
Дослiджено керовану систему wtt =
1
\rho
(kwx) x + \gamma w, w(0, t) = u(t), x \in (0, l), t \in (0, T ), у спецiальних
модифiкованих просторах соболєвського типу. Тут \rho , k та \gamma — заданi на [0, l) функцiї; u \in L\infty (0, T ) — керування,
T > 0 — стала. Функцiї \rho та k є додатними на [0, l) та можуть прямувати до нуля або нескiнченностi при x \rightarrow l.
Зростання роподiлiв iз цих просторiв визначено зростанням \rho та k при x \rightarrow l. За допомогою методу операторiв
перетворення одержано необхiднi та достатнi умови L\infty -керованостi та наближеної L\infty -керованостi за заданий та
вiльний час.
1. Вступ. Розглянемо хвильове рiвняння
wtt =
1
\rho
(kwx) x + \gamma w, x \in (0, l), t \in (0, T ), (1.1)
з крайовою умовою Дiрiхле
w(0, \cdot ) = u на (0, T ) (1.2)
i початковими умовами
w(\cdot , 0) = w0
0, wt(\cdot , 0) = w0
1 на (0, l). (1.3)
Тут l, T > 0 — сталi; \rho , k, \gamma , w0
0 та w0
1 — заданi функцiї; u \in L\infty (0, T ) — керування. Будемо
вважати, що \rho , k \in C1[0, l) є додатними на [0, l), (\rho k) \in C2[0, l), (\rho k)\prime (0) = 0, та
\sigma (x) =
x\int
0
\sqrt{}
\rho (\mu )/k(\mu ) d\mu \rightarrow +\infty при x\rightarrow l. (1.4)
Крiм того, вважатимемо, що w(\cdot , t) належить простору L2
\rho (0, l) функцiй, квадратично сумовних
з вагою \rho на (0, l), t \in [0, T ]. Це припущення розглядається замiсть крайової умови в точцi
x = l. Зазначимо, що поведiнка \sigma (x) при x \rightarrow l суттєво позначається на поведiнцi розв’яз-
кiв (1.1). Якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow l \sigma (x) = +\infty , то розв’язки керованої системи (1.1), (1.2) вiдтворюють
властивостi розв’язкiв керованої системи
ztt = z\xi \xi - q2z, \xi \in (0,+\infty ), (1.5)
z(0, \cdot ) = v на (0, T ), (1.6)
з деякою сталою q \in \BbbR на пiвосi (0,+\infty ) (див. наслiдок 4.2). У цьому випадку розглянуто
лише крайову умову в точцi x = 0 для рiвняння (1.5) у соболєвському просторi H0(0,+\infty )
[5]. Якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow l \sigma (x) = d \in \BbbR , то розв’язки рiвняння (1.1) вiдтворюють властивостi розв’язкiв
рiвняння (1.5) з q = 0 на сегментi (0, d). У цьому випадку розглянуто крайовi умови в точках
c\bigcirc Л. В. ФАРДИГОЛА, 2018
1128 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ОПЕРАТОРИ ПЕРЕТВОРЕННЯ В ЗАДАЧАХ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО ХВИЛЬОВОГО . . . 1129
x = 0 та x = l для рiвняння (1.5) (див., наприклад, [8]). За зауваженнями 4.1, 4.2 крайова задача
(1.1) – (1.3) є коректною та має єдиний розв’язок. Крiм того, вважаємо, що
P (k, \rho ) - \gamma \in L\infty (0, l)
\bigcap
C1[0, l) (1.7)
та iснує q = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \geq 0 таке, що
\sigma
\sqrt{}
\rho
k
\bigl(
P (k, \rho ) - \gamma - q2
\bigr)
\in L1(0, l), (1.8)
де
P (k, \rho ) =
1
4
\sqrt{}
k
\rho
\Biggl( \sqrt{}
k
\rho
\biggl(
k\prime
k
+
\rho \prime
\rho
\biggr) \Biggr) \prime
+
\Biggl(
1
4
\sqrt{}
k
\rho
\biggl(
k\prime
k
+
\rho \prime
\rho
\biggr) \Biggr) 2
.
Керовану систему (1.1) – (1.3) розглянуто в модифiкованих просторах Соболєва (див. пунк-
ти 2 i 3).
Останнiм часом проблеми керованостi для хвильового рiвняння зi сталими та змiнними
коефiцiєнтами дослiджувалися в багатьох роботах (див., наприклад, [1, 3 – 8, 10 – 18, 20 – 27]).
Взагалi кажучи, рiвняння (1.1) є виродженим гiперболiчним рiвнянням, тому що \rho i k можуть
прямувати до нуля або нескiнченностi при x \rightarrow l. Вироджене хвильове рiвняння вивчалося у
багатьох роботах ( див., наприклад, [1, 10, 20, 25]).
У цiй статтi, застосувавши метод операторiв перетворення, запропонований у [7], ми одер-
жимо необхiднi та достатнi умови для (наближеної) L\infty -керованостi системи (1.1), (1.2) за
заданий та вiльний час.
Зазначимо, що простори Соболєва Hm
0 (0,+\infty ), m \in \BbbR , є природним „оточенням” для
розв’язкiв гiперболiчних рiвнянь iз сталими коефiцiєнтами, зокрема для рiвняння (1.5) (див.,
наприклад, [9]). Очевидно, що зростання розв’язкiв рiвнянь iз змiнними коефiцiєнтами зале-
жить вiд властивостей цих коефiцiєнтiв на межi областi, в якiй це рiвняння розглядається.
Для вивчення керованої системи (1.1), (1.2) ми застосовуємо композицiю \bfS \bfT r двох опера-
торiв перетворення, якi перетворюють розв’язки системи (1.5), (1.6) з q, визначеним умо-
вою (1.8), на розв’язки (1.1), (1.2). Разом з оператором \bfS ми вводимо спецiальний модифiкова-
ний простiр соболєвського типу \BbbH m, m = - 2, 2, в якому простiр L2( - l, l) замiнено на простiр
L2\widehat \rho ( - l, l) з вагою \widehat \rho , а диференцiальний оператор d/dx — на „лiнiйно деформований” оператор\sqrt{} \widehat k/\widehat \rho \Bigl( d/dx +
\bigl( \widehat \rho \prime /\widehat \rho + \widehat k\prime /\widehat k\bigr) /4\Bigr) , \widehat k та \widehat \rho є парними продовженнями k та \rho вiдповiдно (див.
пункт 3). Цей оператор \bfS є iзометричним iзоморфiзмом Hm(\BbbR ) та \BbbH m, m = - 2, 2 (теоре-
ма 3.2). Оператор \bfS зберiгає значення функцiї в нулi, але не зберiгає її асимптотику при x\rightarrow l.
Зростання розподiлiв з \BbbH m, m = - 2, 2, визначається даними \rho та k рiвняння (1.1). У пунктi 3
вивчено властивостi \bfS . Другим iз цих двох операторiв є оператор \bfT r, який було дослiджено
в [6] та вдосконалено в [7, 17]. Оператор \bfT r є автоморфiзмом \widetilde Hm, де \widetilde Hm — пiдпростiр усiх
непарних розподiлiв в Hm(\BbbR ), m = - 2, 2 (теорема 3.5). Оператор \bfT r зберiгає асимптотику
функцiй на нескiнченностi, але не зберiгає їх значення в нулi. Застосування оператора \bfS \bfT r та
оберненого до нього є ключовим пунктом даної статтi. Простори \BbbH m, m = - 2, 2, пов’язанi
з оператором \bfS , є не лише одним з об’єктiв дослiдження, а й одним з основних iнструментiв
дослiдження керованої системи (1.1), (1.2). Зазначимо, що оператор \bfS i простiр \BbbH m, m = - 2, 2,
розглянутi у цiй роботi, вiдрiзняються вiд оператора i просторiв, розглянутих у роботi [7], а
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1130 Л. В. ФАРДИГОЛА
оператор \bfT r є тим самим, що i розглянутий у згаданiй роботi. Застосовуючи оператор \bfS \bfT r,
бачимо, що керована система (1.1), (1.2) вiдтворює властивостi керованостi системи (1.5), (1.6)
з q, визначеним умовою (1.8) (наслiдки 4.2, 4.3). Зокрема, ми одержуємо необхiднi та достатнi
умови наближеної L\infty -коректностi та L\infty -коректностi за заданий та вiльний час для (1.1), (1.2).
Якщо q > 0, то кожний початковий стан системи (1.1), (1.2) є наближено L\infty -керованим за
вiльний час (теорема 4.5). Але якщо q = 0, то початковий стан цiєї системи є наближено L\infty -
керованим за вiльний час тодi i лише тодi, коли його компоненти
\bigl(
тобто w(x, 0) i wt(x, 0)
\bigr)
є
зв’язаними мiж собою (теорема 4.4). Подiбне спiввiдношення мiж компонентами є необхiдним
для L\infty -керованостi та наближеної L\infty -керованостi за заданий час в обох випадках: q = 0 i
q > 0 (теорема 4.3), а саме, для кожного часу T > 0 ми маємо множину допустимих початкових
станiв, визначених умовами (4.7) та (4.8).
2. Позначення. Наведемо означення просторiв, використаних у цiй роботi. Нехай \Omega —
вiдкрита пiдмножина \BbbR , а D(\Omega ) — простiр нескiнченно диференцiйовних функцiй iз компакт-
ним носiєм в \Omega .
Позначимо через Hp(\Omega ), p = 0,\infty , простори Соболєва
Hp(\Omega ) =
\Bigl\{
\varphi \in L2(\Omega ) | \forall m = 0, p \varphi (m) \in L2(\Omega )
\Bigr\}
з нормою \| \varphi \| p =
\biggl( \sum p
m=0
\Bigl( \bigm\| \bigm\| \varphi (m)
\bigm\| \bigm\|
L2(\Omega )
\Bigr) 2\biggr) 1/2
, \varphi \in Hp(\Omega ), та розглянемо двоїстий простiр
H - p(\Omega ) =
\bigl(
Hp(\Omega )
\bigr) \prime
iз сильною нормою \| f\| - p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| \langle f, \varphi \rangle | / \| \varphi \| p | \| \varphi \| p \not = 0
\bigr\}
, де \langle f, \varphi \rangle —
значення розподiлу f \in H - p(\Omega ) на тестовiй функцiї \varphi \in Hp(\Omega ). Зокрема, H0(\Omega ) = L2(\Omega ),
\| \cdot \| 0 = \| \cdot \| L2(\Omega ) . Скалярний добуток в L2(\Omega ) ми позначаємо через \langle \cdot , \cdot \rangle . Позначимо Hs =
= Hs(\BbbR ), s \in \BbbZ . Вiдомо [9] (глава 1), що
\| \varphi \| s \leq \| \varphi \| s
\prime
, s \leq s\prime , \varphi \in Hs\prime , (2.1)
Hs \supset Hs\prime — неперервне вкладення i Hs\prime є щiльним в Hs, s \leq s\prime .
Нехай a \in (0,\infty ]. Розподiл f \in D\prime ( - a, a) називається непарним, якщо
\langle f, \varphi (\xi )\rangle = - \langle f, \varphi ( - \xi )\rangle , \varphi \in D( - a, a).
Тут \langle f, \varphi \rangle — значення розподiлу f \in D\prime ( - a, a) на тестовiй функцiї \varphi \in D( - a, a). Позначимо
через \widetilde Hs пiдпростiр усiх непарних розподiлiв в Hs, та нехай \widetilde \bfH 0 = \widetilde H0\times \widetilde H - 1 з нормою | | | \cdot | | | 0 .
Позначимо через \widehat \rho , \widehat k та \widehat \gamma парнi продовження \rho , k та \gamma вiдповiдно. Нехай \eta =
\Bigl( \widehat k\widehat \rho \Bigr) 1/4 ,
\theta =
\Bigl( \widehat k/\widehat \rho \Bigr) 1/4 та \scrD \eta \theta = \theta 2 (d/dx+ \eta \prime /\eta ) =
\sqrt{} \widehat k/\widehat \rho \Bigl( d/dx +
\bigl( \widehat \rho \prime /\widehat \rho + \widehat k\prime /\widehat k\bigr) /4\Bigr) . Ми бачимо, що
\eta \in C2( - l, l) i \theta \in C1( - l, l).
Нехай a, b \in [ - l, l], a < b, L2
\eta \theta (a, b) = L2\widehat \rho (a, b) є ваговим простором iз скалярним добутком
\langle \langle \varphi 1, \varphi 2\rangle \rangle =
b\int
a
\varphi 1(x)\varphi 2(x)
\eta 2(x)
\theta 2(x)
dx =
b\int
a
\varphi 1(x)\varphi 2(x)\widehat \rho (x) dx, \varphi 1, \varphi 2 \in L2
\eta \theta (a, b),
i нормою, визначеною цим скалярним добутком.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ОПЕРАТОРИ ПЕРЕТВОРЕННЯ В ЗАДАЧАХ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО ХВИЛЬОВОГО . . . 1131
Далi в цьому пунктi ми вважаємо p = 0, 1, 2.
Введемо простiр
\BbbH p =
\Bigl\{
\varphi \in L2
loc( - l, l) | \forall m = 0, p \scrD m
\eta \theta \varphi \in L2
\eta \theta ( - l, l)
\Bigr\}
з нормою []\varphi []p =
\Biggl( \sum p
m=0
\biggl( \bigm\| \bigm\| \scrD m
\eta \theta \varphi
\bigm\| \bigm\|
L2
\eta \theta ( - l,l)
\biggr) 2
\Biggr) 1/2
, \varphi \in \BbbH p, i двоїстий простiр \BbbH - p = (\BbbH p)\prime
iз сильною нормою []f [] - p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ | \langle \langle f, \varphi \rangle \rangle | / []\varphi []p | []\varphi []p \not = 0\} , де \langle \langle f, \varphi \rangle \rangle — значення розподiлу
f \in \BbbH - p на тестовiй функцiї \varphi \in \BbbH p. Зокрема, \BbbH 0 =
\bigl(
\BbbH 0
\bigr) \prime
i
\langle \langle f, \varphi \rangle \rangle =
\Bigl\langle \eta
\theta
f,
\eta
\theta
\varphi
\Bigr\rangle
=
l\int
- l
f(x)\varphi (x)\widehat \rho (x) dx, f, \varphi \in \BbbH 0.
Покладемо \langle \langle \scrD \eta \theta f, \varphi \rangle \rangle = - \langle \langle f,\scrD \eta \theta \varphi \rangle \rangle , f \in \BbbH - p, \varphi \in \BbbH p+1, p \not = 2. Простори \BbbH p та \BbbH - p
дослiджено в пунктi 3. Зокрема, доведено, що D( - l, l) \subset \BbbH p \subset \BbbH - p \subset D\prime ( - l, l) є щiльним
неперервним вкладенням (див. теорему 3.4).
Введемо також простiр
H0 =
\bigl\{
\varphi \in L2
loc(0, l) | \varphi \in L2
\eta \theta (0, l)
\bigr\}
,
Hp =
\Bigl\{
\varphi \in Hp - 1 | \scrD p
\eta \theta \varphi \in H0 \wedge \scrD p - 1
\eta \theta \varphi (0) \in \BbbR \wedge \varphi (0) = 0
\Bigr\}
, p \not = 0,
з нормою ][\varphi ][p =
\Biggl( \sum p
m=0
\biggl( \bigm\| \bigm\| \scrD m
\eta \theta \varphi
\bigm\| \bigm\|
L2
\eta \theta (0,l)
\biggr) 2
\Biggr) 1/2
, \varphi \in \BbbH p, i двоїстий простiр H - p = (Hp)\prime
iз сильною нормою ][f ][ - p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| \langle [f, \varphi ]\rangle | / ][\varphi ][p | ][\varphi ][p \not = 0
\bigr\}
, де \langle [f, \varphi ]\rangle — значення розподiлу
f \in H - p на тестовiй функцiї \varphi \in Hp. Зокрема, H0 =
\bigl(
H0
\bigr) \prime
i
\langle [f, \varphi ]\rangle =
\Bigl\langle \Bigl[ \eta
\theta
f,
\eta
\theta
\varphi
\Bigr] \Bigr\rangle
=
l\int
0
f(x)\varphi (x)\rho (x) dx, f, \varphi \in H0.
Бачимо, що звуження на [0, l) непарної функцiї з \BbbH p належить Hp i, навпаки, непарне
продовження функцiї з Hp належить \BbbH p. Отже, звуження на Hp розподiлу з \BbbH - p належить
H - p i навпаки, непарне продовження розподiлу з H - p належить \BbbH - p.
Позначимо через \widetilde \BbbH m пiдпростiр усiх непарних розподiлiв з \BbbH m, m = - 2, 2, та нехай
\mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0 = \widetilde \BbbH 0 \times \widetilde \BbbH - 1 з нормою [][]\cdot [][]0 .
Ми розумiємо рiвнiсть (1.2) як значення розподiлу w в точцi x = 0 в D\prime ( - l, l) (див. [2],
глава 1, або [6]). Можна стверджувати, що розподiл f \in H - p має значення f0 \in \BbbR у точцi
x = 0 (f(0) = f0) тодi i лише тодi, коли для \varphi \in D(0, l) маємо \langle f\alpha , \varphi \rangle \rightarrow \langle f0, \varphi \rangle при \alpha \rightarrow +0.
Тут f\alpha (x) = f(\alpha x), тобто \langle f\alpha , \varphi \rangle =
\Bigl\langle
f,
1
\alpha
\varphi 1/\alpha
\Bigr\rangle
, \varphi 1/\alpha (x) = \varphi (x/\alpha ), x \in \BbbR , \alpha \in (0, 1).
Ми розглядаємо керовану систему (1.1) – (1.3) у просторах H - m, m = 0, 1, 2, тобто\biggl(
d
dt
\biggr) m
w : [0, T ] \rightarrow H - m, m = 0, 1, 2, w0
0 \in H0 i w0
1 \in H - 1. Зрозумiло, що рiвняння (1.1)
можна записати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1132 Л. В. ФАРДИГОЛА
wtt = \scrD 2
\eta \theta w + (\gamma - \nu )w, x \in (0, l), t \in (0, T ), (2.2)
де \nu = \scrD \eta \theta
\bigl(
\theta 2\eta \prime /\eta
\bigr)
.
Нехай w \in H0 — розв’язок керованої системи (2.2), (1.2), (1.3). Позначимо через W, W 0
0 та
W 0
1 непарнi продовження по x розподiлiв w, w0
0 та w0
1 вiдповiдно. Беручи до уваги лему 3.1,
бачимо, що
Wtt = \scrD 2
\eta \theta W + (\widehat \gamma - \nu )W - 2\eta 2(0)u\scrD \eta \theta \delta , x \in ( - l, l), t \in (0, T ), (2.3)
W (\cdot , 0) =W 0
0 , Wt(\cdot , 0) =W 0
1 на ( - l, l), (2.4)
де
\biggl(
d
dt
\biggr) m
W : [0, T ] \rightarrow \widetilde \BbbH - m, m = 0, 1, 2, W 0
0 \in \widetilde \BbbH 0, W 0
1 \in \widetilde \BbbH - 1, \delta є розподiлом Дiрака
по x. Нехай W — розв’язок системи (2.3), (2.4) i W+ — його звуження на [0, l) \times [0, T ]. За
наслiдком 4.1 (див. пункт 4) маємо
W+(0, \cdot ) = u на (0, T ). (2.5)
Отже, W+ є розв’язком системи (2.2), (1.2), (1.3).
Разом iз керованою системою (2.3), (2.4) iз загальним хвильовим оператором розглянемо
допомiжну керовану систему з найпростiшим хвильовим оператором
Ztt = Z\xi \xi - q2Z - 2v\delta \prime , \xi \in \BbbR , t \in (0, T ), (2.6)
Z(\cdot , 0) = Z0
0 , Zt(\cdot , 0) = Z0
1 на \BbbR , (2.7)
де
\biggl(
d
dt
\biggr) m
Z : [0, T ] \rightarrow \widetilde H - m, m = 0, 1, 2, Z0
0 \in \widetilde H0, Z0
1 \in \widetilde H - 1, \delta — розподiл Дiрака по \xi ,
v \in L\infty (0, T ) — керування, q є сталою з умови (1.8). Нехай Z — розв’язок системи (2.6), (2.7),
а Z+ — його звуження на [0,+\infty )\times [0, T ]. У [6] доведено, що
Z+(0, \cdot ) = v на (0, T ). (2.8)
Позначимо W 0 =
\biggl(
W 0
0
W 0
1
\biggr)
i Z0 =
\biggl(
Z0
0
Z0
1
\biggr)
. Зрозумiло, що W 0 \in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0 i Z0 \in \widetilde \bfH 0.
Упродовж всiєї роботи будемо позначати область визначення i образ оператора A через
D(A) i R(A) вiдповiдно.
3. Простори та оператори. У цьому пунктi дослiджено простори \BbbH m, m = - 2, 2, i
введено та дослiджено деякi оператори перетворення. Далi впродовж цього пункту ми вважаємо
p = 0, 1, 2.
Згiдно з (1.4) \sigma (x) =
\int x
0
d\mu
\theta 2(\mu )
, x \in ( - l, l). Бiльш того, \sigma — непарна зростаюча оборотна
функцiя i \sigma (x) \rightarrow +\infty при x\rightarrow l.
Введемо оператор S0 : H0 \rightarrow \BbbH 0 з областю визначення D(S0) = H0 так, що S0\psi =
= (\psi \circ \sigma )/\eta , \psi \in D(S0), де \psi \circ \sigma — композицiя \psi та \sigma , тобто (\psi \circ \sigma )(x) = \psi (\sigma (x)), x \in \BbbR .
За побудовою, S0 є оборотним, S - 1
0 : \BbbH 0 \rightarrow H0 з областю визначення D(S - 1
0 ) = R(S0) i
S - 1
0 \varphi = (\eta \varphi ) \circ \sigma - 1, \varphi \in D(S - 1
0 ).
Теорема 3.1. Справедливими є такi твердження:
(i) \scrD \eta \theta (S0\psi ) = S0 (\psi
\prime ) , \psi \in H1;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ОПЕРАТОРИ ПЕРЕТВОРЕННЯ В ЗАДАЧАХ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО ХВИЛЬОВОГО . . . 1133
(ii) S0 є iзометричним iзоморфiзмом Hp i \BbbH p.
Доведення. Твердження (i) безпосередньо одержуємо з означення S0.
(ii) Бачимо, що з (i) випливає []S0\psi []
p = \| \psi \| p , \psi \in Hp. Отже, S0 є iзометричним iзомор-
фiзмом Hp i \BbbH p.
Теорему доведено.
Продовжимо \bfS 0 на H - 2. Введемо оператор \bfS : H - 2 \rightarrow \BbbH - 2 з областю визначення D(\bfS ) =
= H - 2 так, що \langle \langle \bfS g, \varphi \rangle \rangle = \langle g, S - 1
0 \varphi \rangle , g \in D(\bfS ), \varphi \in D(S - 1
0 ) \cap \BbbH 2 = \BbbH 2. Це продовження \bfS
оператора S0 є також оборотним, \bfS - 1 : \BbbH - 2 \rightarrow H - 2 з областю визначення D(\bfS - 1) = \BbbH - 2 i
\langle \bfS - 1f, \psi \rangle = \langle \langle f, S0\psi \rangle \rangle , f \in D(\bfS - 1), \psi \in D(S0) \cap H2 = H2.
Беручи до уваги конструкцiю \bfS i теорему 3.1, одержуємо таку теорему.
Теорема 3.2. Для m = - 2, 2 справедливими є наступнi твердження:
(i) \scrD \eta \theta \bfS \psi = \bfS (\psi \prime ), \psi \in Hm, m \not = - 2;
(ii) \bfS є iзометричним iзоморфiзмом Hm i \BbbH m;
(iii) \langle \langle f, \varphi \rangle \rangle = \langle \bfS - 1f,\bfS - 1\varphi \rangle , f \in \BbbH - m, \varphi \in \BbbH m.
Використовуючи означення \bfS i \delta , одержуємо таку теорему.
Теорема 3.3. Справджується рiвнiсть \bfS (\delta \prime ) = \eta (0)\scrD \eta \theta \delta .
Доведення. Нехай \varphi \in \BbbH 2. За теоремою 3.2\bigl\langle \bigl\langle
\bfS \delta \prime , \varphi
\bigr\rangle \bigr\rangle
= \langle \langle \scrD \eta \theta \bfS \delta , \varphi \rangle \rangle = - \langle \langle \bfS \delta ,\scrD \eta \theta \varphi \rangle \rangle = - \langle \delta ,\bfS - 1\scrD \eta \theta \varphi \rangle = - \eta (0) (\scrD \eta \theta \varphi ) (0) =
= - \langle \langle \eta (0)\delta ,\scrD \eta \theta \varphi \rangle \rangle = \langle \langle \eta (0)\scrD \eta \theta \delta , \varphi \rangle \rangle ,
що i потрiбно було довести.
Наступна теорема встановлює властивостi просторiв \BbbH m, m = - 2, 2.
Теорема 3.4. D( - l, l) \subset \BbbH m \subset \BbbH n \subset D\prime ( - l, l), - 2 \leq n \leq m \leq 2, є щiльним неперервним
вкладенням.
Доведення. Використовуючи (2.1), одержуємо []f []n =
\bigm\| \bigm\| \bfS - 1f
\bigm\| \bigm\| n \leq
\bigm\| \bigm\| \bfS - 1f
\bigm\| \bigm\| m = []f []m , f \in
\in \BbbH m, - 2 \leq n \leq m \leq 2. Отже, \BbbH m \subset \BbbH n — неперервне вкладення. Оскiльки Hm є щiльним
у Hn, застосовуючи оператор \bfS та його властивостi (див. теорему 3.2), бачимо, що \BbbH m є
щiльним у \BbbH n.
Доведемо, що D( - l, l) \subset \BbbH m — неперервне вкладення. Нехай \{ \varphi n\} \infty n=1 \subset D( - l, l) та
\varphi n \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty в D( - l, l), тобто iснує a \in (0, l) таке, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi n \subset [ - a, a] для кожного
n = 0,\infty i
\bigm\| \bigm\| \varphi (m)
n
\bigm\| \bigm\|
L\infty ( - l,l)
\rightarrow 0 при n \rightarrow \infty для кожного m = 0,\infty . Оскiльки \eta \in C2( - l, l) i
\theta \in C1( - l, l), одержуємо
[]\varphi n[]
2 =
\Biggl(
2\sum
m=0
\biggl( \bigm\| \bigm\| \scrD m
\eta \theta \varphi n
\bigm\| \bigm\|
L2
\eta \theta ( - l,l)
\biggr) 2
\Biggr) 1/2
\leq C
2\sum
m=0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi (m)
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2
\eta \theta ( - l,l)
\rightarrow 0 при n\rightarrow \infty ,
де C > 0 — стала, що визначається значеннями функцiй \eta , \eta \prime , \eta \prime \prime , \theta та \theta \prime на [ - a, a]. Тому
\varphi n \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty в \BbbH 2. Таким чином, D \subset \BbbH 2 — неперервне вкладення. Отже, D( - l, l) \subset
\subset \BbbH m є неперервним вкладенням.
Доведемо, що D( - l, l) є щiльним в \BbbH 2. Спочатку покажемо, що для кожного \varphi \in \BbbH 2 iснує
послiдовнiсть \{ \varphi n\} \infty n=1 \subset \BbbH 2 така, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi n \subset ( - l, l), n = 1,\infty , i []\varphi - \varphi n[]
2 \rightarrow 0 при n\rightarrow
\rightarrow \infty . Покладемо \psi = \bfS - 1\varphi . Тодi \psi \in H2. Згiдно з результатами [9] (глава 1), D(\BbbR ) є щiльним
в H2. Отже, iснує послiдовнiсть \{ \psi n\} \infty n=1 \subset D(\BbbR ) така, що \| \psi - \psi n\| 2 \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty .
Покладемо \varphi n = \bfS \psi n, n = 1,\infty . Тодi \varphi n \in \BbbH 2, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi n \subset ( - l, l), n = 1,\infty , i []\varphi - \varphi n[]
m \rightarrow 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1134 Л. В. ФАРДИГОЛА
при n\rightarrow \infty . На жаль, ми не можемо гарантувати, що \{ \varphi n\} \infty n=1 \subset D( - l, l). Тепер припустимо,
що \varphi \in \BbbH 2 i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi n \subset ( - l, l). Тодi \varphi \in H2( - l, l). Отже, iснує послiдовнiсть \{ \widehat \varphi n\} \infty n=1 \subset
\subset D( - l, l) така, що \| \varphi - \widehat \varphi n\| 2 \rightarrow 0 при n\rightarrow \infty . Тому iснує a \in (0, l) таке, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi \subset [ - a, a]
i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi n \subset [ - a, a], n = 1,\infty . Отже, []\varphi - \widehat \varphi n[]
2 \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty . Таким чином, D( - l, l) є
щiльним в \BbbH 2. Тому D( - l, l) є щiльним в \BbbH m.
Оскiльки D( - l, l) є щiльним в D\prime ( - l, l), бачимо, що \BbbH n є щiльним в D\prime ( - l, l).
Теорему доведено.
Деякi простори \BbbH m дослiджено у наведених нижче прикладах.
У пунктi 2 нам буде потрiбний аналог леми 8.7 з роботи [7].
Лема 3.1. Нехай f \in H0, \varphi \in H2. Якщо iснує f(0), то\bigl\langle \bigl[
\scrD 2
\eta \theta f, \varphi
\bigr] \bigr\rangle
=
\bigl\langle \bigl[
f,\scrD 2
\eta \theta \varphi
\bigr] \bigr\rangle
+ \eta 2(0)f(0) (\scrD \eta \theta \varphi ) (0). (3.1)
Доведення. Покладемо F (x) = f(x), якщо x \in [0, l), i F (x) = 0 у протилежному випадку
на ( - l, l). Тодi F \in \BbbH 0. Для кожного n = 1,\infty покладемо Fn(x) = f(x), якщо x \in [0, l - l/n],
i Fn(x) = 0 у протилежному випадку на ( - l, l). Тодi Fn \in \BbbH 0
\bigcap
H0( - l, l), n = 1,\infty , i
[]F - Fn[]
0 \rightarrow 0 при n\rightarrow \infty . (3.2)
Нехай \psi \in D(\BbbR ), \psi (x) \geq 0 для x \in \BbbR , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\psi \subset [ - l, 0],
\int \infty
- \infty
\psi (x) dx = 1. Покладемо
F k
n = Fn \ast \psi k, де \psi k(x) = k\psi (kx), x \in \BbbR , n = 1,\infty , \ast є знаком згортки. Отже, F k
n \in
\in \BbbH 0
\bigcap
C\infty ( - l, l), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}F k
n \in [ - l/k, l - l/n], n, k = 1,\infty , i для кожного n = 1,\infty маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| Fn - F k
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty .
Далi, повторюючи доведення леми 8.7 [7], одержуємо (3.1), що i потрiбно було довести.
Для дослiдження керованої системи (2.3), (2.4) нам потрiбен оператор, що перетворює
кожний L2(0,+\infty )-розв’язок рiвняння
- z\prime \prime = \mu 2z, \lambda > 0, (3.3)
на L2(0,+\infty )-розв’язок рiвняння
- y\prime \prime + ry = \mu 2y, \lambda > 0, (3.4)
за крайової умови
y(\lambda , \mu )
z(\lambda , \mu )
\rightarrow 1 при \lambda \rightarrow +\infty , \mu \in \BbbC , \Re \mu \geq 0. Тут z\prime \prime та y\prime \prime — похiднi z i y по
\lambda , \mu — параметр,
r =
\bigl(
\scrD \eta \theta
\bigl(
\theta 2\eta \prime /\eta
\bigr)
- \widehat \gamma - q2
\bigr)
\circ \sigma - 1 =
\bigl(
P (k, \rho ) - \gamma - q2
\bigr)
\circ \sigma - 1. (3.5)
Беручи до уваги (1.7) i (1.8), одержуємо
r \in L\infty (0,+\infty )
\bigcap
C1[0,+\infty ) i \lambda r \in L1(0,+\infty ). (3.6)
У [19] (глава 3) доведено, що цей оператор є оборотним, тобто iснує оператор, що перетворює
кожний L2(0,+\infty )-розв’язок рiвняння (3.4) на L2(0,+\infty )-розв’язок рiвняння (3.3) за крайової
умови, що зберiгає асимптотику розв’язкiв на нескiнченностi. У [6] цей оператор та обернений
до нього були продовженi на H - 2
0 за додаткової умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ОПЕРАТОРИ ПЕРЕТВОРЕННЯ В ЗАДАЧАХ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО ХВИЛЬОВОГО . . . 1135
| r(\lambda )| \leq \alpha e - \lambda , \lambda > 0. (3.7)
Результати продовження цих операторiв на H - 2
0 було анонсовано в [17] у загальному випадку
(без припущення (3.7)). Пiзнiше продовження цих операторiв було означено та вивчено в [7]
(без припущення (3.7)).
Нагадаємо означення для цих продовжень. Ми вважаємо, що (3.6) виконано, але не вважає-
мо, що виконано (3.7).
Означення 3.1. Позначимо через \bfT 0 : H0 \rightarrow H0 оператор з областю визначення D (\bfT 0) =
= \widetilde H0,
(\bfT 0g) (\lambda ) = g(\lambda ) + \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\lambda
\infty \int
| \lambda |
K
\bigl(
| \lambda | , \xi
\bigr)
g(\xi ) d\xi , \lambda \in \BbbR , g \in D(\bfT 0).
Тут ядро K \in C(\Omega )\cap L2(\Omega ) є єдиним розв’язком деякої крайової задачi (див. [19], глава 3),
де \Omega =
\bigl\{
y = (y1, y2) \in \BbbR 2 | y2 > y1 > 0
\bigr\}
.
З [19] (глава 3) випливає, що оператор \bfT 0 є оборотним i \bfT - 1
0 : H0 \rightarrow H0, D
\bigl(
\bfT - 1
0
\bigr)
= \widetilde H0,
\bigl(
\bfT - 1
0 f
\bigr)
(\xi ) = f(\xi ) + \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \xi
\infty \int
| \xi |
L
\bigl(
| \xi | , \lambda
\bigr)
f(\lambda ) d\lambda , \xi \in \BbbR , f \in D(\bfT - 1
0 ),
де L \in C2(\Omega ) \cap L2(\Omega ).
Для спряжених операторiв \bfT \ast
0 i
\bigl(
\bfT - 1
0
\bigr) \ast
= (\bfT \ast
0)
- 1 маємо \bfT \ast
0 : H0 \rightarrow H0, D (\bfT \ast
0) =
\widetilde H0 =
= R
\bigl(
(\bfT \ast
0)
- 1
\bigr)
,
(\bfT \ast
0\varphi ) (\xi ) = \varphi (\xi ) + \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \xi
| \xi | \int
0
K(\lambda , | \xi | )\varphi (\lambda ) d\lambda , \xi \in \BbbR , \varphi \in D (\bfT \ast
0) ,
i (\bfT \ast
0)
- 1 : H0 \rightarrow H0, D
\bigl(
(\bfT \ast
0)
- 1
\bigr)
= \widetilde H0 = R (\bfT \ast
0) ,
\Bigl(
(\bfT \ast
0)
- 1 \psi
\Bigr)
(\lambda ) = \psi (\lambda ) + \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\lambda
| \lambda | \int
0
L(\xi , | \lambda | )\psi (\xi ) d\xi , \lambda \in \BbbR , \psi \in D
\bigl(
(\bfT \ast
0)
- 1)
\bigr)
.
Наступну теорему було доведено в [7].
Теорема 3.5. Оператор \bfT \ast
0 є автоморфiзмом простору \widetilde Hm, m = - 2, 2.
Тепер наведемо означення оператора \bfT r.
Означення 3.2. Позначимо через \bfT r оператор (\bfT \ast
0| H2)\ast . Маємо \bfT r : H - 2 \rightarrow H - 2,
D (\bfT r) = \widetilde H - 2, \langle \bfT rg, \varphi \rangle = \langle g,\bfT \ast
0\varphi \rangle , g \in D (\bfT r) = \widetilde H - 2, \varphi \in D (\bfT \ast
r) \cap \widetilde H2 = \widetilde H2.
Тодi \bfT - 1
r =
\Bigl(
(\bfT \ast
0)
- 1 | H2
0
\Bigr) \ast
, \bfT - 1
r : H - 2
0 \rightarrow H - 2
0 , D
\bigl(
\bfT - 1
r
\bigr)
= \widetilde H - 2
0 i \langle \bfT - 1
r f, \psi \rangle =
= \langle g, (\bfT \ast
0)
- 1 \psi \rangle , f \in D
\bigl(
\bfT - 1
r
\bigr)
= \widetilde H - 2, \psi \in D
\bigl(
(\bfT \ast
r)
- 1
\bigr)
\cap \widetilde H2 = H2.
Наступнi чотири теореми було доведено в [7].
Теорема 3.6. Оператор \bfT r є автоморфiзмом простору \widetilde Hm, m = - 2, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1136 Л. В. ФАРДИГОЛА
Теорема 3.7. Справджується рiвнiсть
\bigl(
(d/d\lambda )2 - r(| \lambda | )
\bigr)
(\bfT rg) = \bfT r
\bigl(
(d/d\xi )2g
\bigr)
+ 2\delta \prime (\lambda )
\infty \int
0
K(0, \xi )g(\xi ) d\xi , g \in \widetilde H0.
Бiльш того, якщо g \in \widetilde H0 та iснує g(+0), то
\int \infty
0
K(0, \xi )g(\xi ) d\xi = (\bfT rg) (+0) - g(+0).
Теорема 3.8. Справджується рiвнiсть
(d/d\xi )2
\bigl(
\bfT - 1
r f
\bigr)
= \bfT - 1
r
\bigl( \bigl(
(d/d\lambda )2 - r(| \lambda | )
\bigr)
f
\bigr)
+ 2\delta \prime (\xi )
\infty \int
0
L(0, \lambda )f(\lambda ) d\lambda , f \in \widetilde H0.
Бiльш того, якщо f \in \widetilde H0 та iснує f(+0), то
\int \infty
0
L(0, \lambda )f(\lambda ) dx =
\bigl(
\bfT - 1
r f
\bigr)
(+0) - f(+0).
Теорема 3.9. Маємо \bfT r (\delta
\prime ) = \delta \prime .
Ядра K та L iнтегральних операторiв \bfT r i \bfT - 1
r було явно знайдено в [6] (приклад 5.1) для
r(\lambda ) = \beta e - \lambda , \lambda > 0, де \beta > 0 — стала.
4. Умови керованостi. Скориставшись оператором перетворення \bfS \bfT r та його оберненим,
перетворимо кожний розв’язок керованої системи (2.6), (2.7) iз найпростiшим хвильовим опера-
тором на розв’язок керованої системи (2.3), (2.4) iз загальним хвильовим оператором, i навпаки
(теореми 4.1, 4.2). Зазначимо, що теореми 4.1, 4.2 i наслiдок 4.1 є аналогами теорем 4.1, 4.3 та
наслiдку 4.2 [7], i ми їх доводимо цiлком аналогiчно.
Теорема 4.1. Нехай Z є розв’язком системи (2.6), (2.7) для деяких v \in L\infty (0, T ) i Z0 \in \widetilde \bfH .
Нехай W (\cdot , t) = \bfS \bfT rZ(\cdot , t), t \in [0, T ]. Тодi W є розв’язком системи (2.3), (2.4) з W 0 = \bfS \bfT rZ
0
та
\eta (0)u(t) = v(t) +
\infty \int
0
K(0, \xi )Z(\xi , t) d\xi , t \in [0, T ], (4.1)
i (2.5) виконано. Бiльш того,\biggl[ \biggr] \biggl[ \biggr] \biggl(
W (\cdot , t)
Wt(\cdot , t)
\biggr) \biggl[ \biggr] \biggl[ \biggr] 0
\leq C0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( Z(\cdot , t)Zt(\cdot , t)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 0 , t \in [0, T ], (4.2)
\| u\| L\infty (0,T ) \leq C1Q(T )
\Bigl(
\| v\| L\infty (0,T ) +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Z0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 0\Bigr) , (4.3)
де Q(T ) =
\sqrt{}
(2T 2 + 6)(1 + q2), C0 > 0 та C1 > 0 — деякi сталi.
Наслiдок 4.1. Якщо W є розв’язком системи (2.3), (2.4) для деяких u \in L\infty (0, T ) i W 0 \in
\in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}, то (2.5) виконано.
Теорема 4.2. Нехай W є розв’язком системи (2.3), (2.4) для деяких u \in L\infty (0, T ) i W 0 \in
\in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I} та Z(\cdot , t) = \bfT - 1
r \bfS - 1W (\cdot , t), t \in [0, T ]. Тодi Z є розв’язком системи (2.6), (2.7) з
Z0 = \bfT - 1
r \bfS - 1W 0 та
v(t) = \eta (0)u(t) +
\infty \int
0
L(0, x)\bfS - 1W (x, t) dx, t \in [0, T ]. (4.4)
Бiльш того,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ОПЕРАТОРИ ПЕРЕТВОРЕННЯ В ЗАДАЧАХ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО ХВИЛЬОВОГО . . . 1137\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( Z(\cdot , t)Zt(\cdot , t)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 0 \leq G0
\biggl[ \biggr] \biggl[ \biggr] \biggl(
W (\cdot , t)
Wt(\cdot , t)
\biggr) \biggl[ \biggr] \biggl[ \biggr] 0
, t \in [0, T ], (4.5)
\| v\| L\infty (0,T ) \leq G1Q(T )eTG2
\Bigl(
\| u\| L\infty (0,T ) +
\bigl[ \bigr] \bigl[ \bigr]
W 0
\bigl[ \bigr] \bigl[ \bigr] 0\Bigr)
, (4.6)
де Q(T ) =
\sqrt{}
(2T 2 + 6)(1 + q2), G0 > 0, G1 > 0 та G2 > 0 — деякi сталi.
Цi теореми та наслiдок доведено з допомогою оператора перетворення \bfS \bfT r та оберненого
до нього до систем (2.3), (2.4) та (2.6), (2.7). Теореми 3.2 i 3.6 вiдiграють головну роль у їх
доведеннi (див. [7], теореми 4.1, 4.3 та наслiдок 4.1). У доведеннi теореми 4.2 використано
узагальнену теорему Гронуолла (див. [7], теорема 4.3).
Зауваження 4.1. За теоремою 3.2 [4] система (2.6), (2.7) має єдиний розв’язок. Тому з
теорем 4.1, 4.2 випливає єдинiсть розв’язку задачi (2.3), (2.4) (i (1.1) – (1.3)).
Зауваження 4.2. Беручи до уваги (4.2), (4.5) i (4.6), одержуємо\biggl[ \biggr] \biggl[ \biggr] \biggl(
W (\cdot , t)
Wt(\cdot , t)
\biggr) \biggl[ \biggr] \biggl[ \biggr] 0
\leq C(T )
\Bigl( \bigl[ \bigr] \bigl[ \bigr]
W 0
\bigl[ \bigr] \bigl[ \bigr] 0
+ \| u\| L\infty (0,T )
\Bigr)
, t \in [0, T ],
де C(T ) = C0Q(T )
\bigl(
G0 +G1Q(T )eTG2
\bigr)
, C0, G0, G1, G2 та Q(T ) — сталi з теорем 4.1 та 4.2.
Тому задачi (2.3), (2.4) i (1.1) – (1.3) є коректними.
Таким чином, керована система (2.3), (2.4) iз загальним хвильовим оператором є перетворен-
ням за допомогою оператора \bfS \bfT r керованої системи (2.6), (2.7) iз найпростiшим хвильовим
оператором i, навпаки, керована система (2.6), (2.7) є перетворенням за допомогою оператора
(\bfS \bfT r)
- 1 керованої системи (2.3), (2.4).
Для заданих T > 0 i W 0 \in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0 (Z0 \in \widetilde \bfH 0) позначимо через \scrR g
T (W
0)
\bigl(
вiдповiдно \scrR s
T (Z
0)
\bigr)
множину станiв W T \in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0
\bigl(
вiдповiдно ZT \in \widetilde \bfH 0
\bigr)
, для яких iснує керування u \in L\infty (0, T )\bigl(
вiдповiдно v \in L\infty (0, T )
\bigr)
таке, що задача (2.3), (2.4) (вiдповiдно (2.6), (2.7)) має єдиний
розв’язок W
\bigl(
вiдповiдно Z
\bigr)
i
\biggl(
W (\cdot , T )
Wt(\cdot , T )
\biggr)
=W T
\Biggl(
вiдповiдно
\biggl(
Z(\cdot , T )
Zt(\cdot , T )
\biggr)
= ZT
\Biggr)
. Для заданих
W 0 \in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0 i Z0 \in \widetilde \bfH 0 позначимо \scrR g(W 0) =
\bigcup
T>0\scrR
g
T (W
0) i \scrR s(Z0) =
\bigcup
T>0\scrR s
T (Z
0).
Означення 4.1. Стан W 0 \in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0 (Z0 \in \widetilde \bfH 0) називається L\infty -керованим вiдносно систе-
ми (2.3), (2.4) (вiдповiдно (2.6), (2.7)) за заданий час T > 0, якщо 0 належить \scrR g
T (W
0) (вiд-
повiдно \scrR s
T (Z
0)), i наближено L\infty -керованим вiдносно системи (2.3), (2.4) (вiдповiдно (2.6),
(2.7)) за заданий час T > 0, якщо 0 належить замиканню \scrR g
T (W
0) в \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0
\bigl(
вiдповiдно \scrR s
T (Z
0)
в \widetilde \bfH 0
\bigr)
.
Означення 4.2. Стан W 0 \in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0 (Z0 \in \widetilde \bfH 0) називається наближено L\infty -керованим вiд-
носно системи (2.3), (2.4) (вiдповiдно (2.6), (2.7)) за вiльний час, якщо 0 належить замиканню
\scrR g(W 0) в \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0
\bigl(
вiдповiдно \scrR s(Z0) в \widetilde \bfH 0
\bigr)
.
З теорем 4.1 та 4.2 випливає такий результат.
Наслiдок 4.2. Нехай W 0 \in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0, Z0 = (\bfS \bfT r)
- 1W 0 i задано час T > 0.
(i) W 0 є наближено L\infty -керованим вiдносно системи (2.3), (2.4) за час T тодi i лише тодi,
коли Z0 є наближено L\infty -керованим вiдносно системи (2.6), (2.7) за той же час.
(ii) W 0 є L\infty -керованим вiдносно системи (2.3), (2.4) за час T тодi i лише тодi, коли Z0
є L\infty -керованим вiдносно системи (2.6), (2.7) за той же час.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1138 Л. В. ФАРДИГОЛА
Для того щоб сформулювати властивостi керованої системи (2.6), (2.7), нагадаємо деякi
означення i твердження з [5]. Будемо вважати, що S — простiр Шварца швидко спадних функцiй,
а S\prime є двоїстим до нього (тобто S\prime є простором помiрних розподiлiв). Нехай \beta > 0, \bfPsi \beta :
S\prime \rightarrow S\prime , D (\bfPsi \beta ) =
\bigl\{
g \in S\prime | g непарне i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} g \subset [ - \beta , \beta ]
\bigr\}
= R (\bfPsi \beta ) ,
\bfPsi \beta g = F - 1
\sigma \rightarrow \xi
\Biggl(
\sigma \sqrt{}
\sigma 2 + q2
(Fg)
\Bigl( \sqrt{}
\sigma 2 + q2
\Bigr) \Biggr)
, g \in D(\bfPsi \beta ),
де F — оператор перетворення Фур’є. Зрозумiло, що якщо q = 0, то \bfPsi \beta = \mathrm{I}\mathrm{d} (де \mathrm{I}\mathrm{d} — тотожний
оператор). Зокрема,
(\bfPsi \beta g) (\xi ) = g(\xi ) - q\xi
\infty \int
| \xi |
J1
\Bigl(
q
\sqrt{}
\tau 2 - \xi 2
\Bigr)
\sqrt{}
\tau 2 - \xi 2
g(\tau ) d\tau , \xi \in \BbbR , g \in D (\bfPsi \beta ) \cap H0.
Тут J\nu , \nu = 0,\infty , — функцiя Бесселя. Оператор \bfPsi \beta є оборотним i \bfPsi - 1
\beta : S\prime \rightarrow S\prime , D
\Bigl(
\bfPsi - 1
\beta
\Bigr)
=
= R(\bfPsi \beta ) = D(\bfPsi \beta ) = R
\Bigl(
\bfPsi - 1
\beta
\Bigr)
,
\bfPsi - 1
\beta f = F - 1
\sigma \rightarrow \xi
\Biggl(
\mu \sqrt{}
\mu 2 - q2
(Ff)
\Bigl( \sqrt{}
\mu 2 - q2
\Bigr) \Biggr)
, f \in D
\bigl(
\bfPsi - 1
\beta
\bigr)
.
Зокрема,
\Bigl(
\bfPsi - 1
\beta f
\Bigr)
(\tau ) = f(\tau ) + q\tau
\infty \int
| \tau |
I1
\Bigl(
q
\sqrt{}
\xi 2 - \tau 2
\Bigr)
\sqrt{}
\xi 2 - \tau 2
f(\xi ) d\xi , \tau \in \BbbR , f \in D
\bigl(
\bfPsi - 1
\beta
\bigr)
\cap H0,
де I\nu — модифiкована функцiя Бесселя: I\nu (\tau ) = i - \nu J\nu (i\tau ), \nu = 0,\infty . Оператори \bfPsi \beta та \bfPsi - 1
\beta
є обмеженими з H - s в H - s, s \geq 0. Бiльш того, \bfPsi
\Bigl( \widetilde H - s \cap D (\bfPsi \beta )
\Bigr)
= \widetilde H - s \cap R (\bfPsi \beta ) , s \geq 0.
Якщо f = \bfPsi \beta g, то f \in L\infty ( - \beta , \beta ) у тому i лише в тому випадку, коли g \in L\infty ( - \beta , \beta ).
Скориставшись наслiдком 3.9 [5], теоремами 4.1, 4.2 i наслiдком 4.2, одержимо умови
керованостi за заданий час для системи (2.3), (2.4) з таких умов для системи (2.6), (2.7).
Теорема 4.3. Нехай W 0 \in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0 i задано час T > 0.
(i) W 0 є наближено L\infty -керованим вiдносно системи (2.3), (2.4) за час T тодi i лише тодi,
коли
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}W 0
0 \subset
\bigl[
- \sigma - 1(T ), \sigma - 1(T )
\bigr]
, (4.7)
W 0
1 - (\bfS \bfT r\bfPsi T )
\biggl( \Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x (\bfS \bfT r\bfPsi T )
- 1W 0
0
\Bigr) \prime \biggr)
= 0. (4.8)
(ii) W 0 є L\infty -керованим вiдносно системи (2.3), (2.4) за час T тодi i лише тодi, коли
\eta W 0
0 \in L\infty (0, \sigma - 1(T )) i виконано (4.7), (4.8).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ОПЕРАТОРИ ПЕРЕТВОРЕННЯ В ЗАДАЧАХ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО ХВИЛЬОВОГО . . . 1139
Доведення. (i) За наслiдком 4.2 i наслiдком 3.9 [5] W 0 є наближено L\infty -керованим вiдносно
системи (2.3), (2.4) за час T тодi i лише тодi, коли виконано умови (4.7), (4.8).
(ii) Покладемо Z0 = \bfT - 1
r \bfS - 1W 0. Беручи до уваги наслiдок 4.2, наслiдок 3.9 [5] та тверд-
ження (i), бачимо, що достатньо довести, що
\eta W 0
0 \in L\infty (0, \sigma - 1(T )) тодi i тiльки тодi, коли Z0
0 \in L\infty (0, T ), (4.9)
замiсть доведення (ii). Застосовуючи (3.6), одержуємо\bigm\| \bigm\| Z0
0
\bigm\| \bigm\|
L\infty (0,T )
\leq
\bigm\| \bigm\| \eta W 0
0
\bigm\| \bigm\|
L\infty (0,\sigma - 1(T ))
\Bigl(
1 + \| K(0, \cdot )\| L2(0,+\infty )
\Bigr)
,
тобто якщо W 0
0 \in L\infty (0, \sigma - 1(T )), то Z0
0 \in L\infty (0, T ). Протилежне твердження одержуємо
аналогiчно. Отже, (4.9) виконано. Беручи до уваги наслiдок 4.2 i наслiдок 3.9 [5], бачимо, що
(ii) також виконано.
Теорему 4.3 доведено.
З теорем 4.1 та 4.2 випливає таке твердження.
Наслiдок 4.3. Нехай W 0 \in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0 i Z0 = (\bfS \bfT r)
- 1W 0. Стан W 0 є наближено L\infty -керованим
вiдносно системи (2.3), (2.4) за вiльний час тодi i лише тодi, коли Z0 є наближено L\infty -
керованим вiдносно системи (2.6), (2.7) за вiльний час.
Застосовуючи наслiдок 4.3, теорему 1.1 [23] та теорему 3.8 [5], одержуємо умови керова-
ностi за вiльний час для системи (2.3), (2.4) з вiдповiдних умов для системи (2.6), (2.7).
Теорема 4.4. Нехай q = 0. Стан W 0 \in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0 є наближено L\infty -керованим вiдносно систе-
ми (2.3), (2.4) за вiльний час тодi i лише тодi, коли
W 0
1 - \bfS \bfT r
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x (\bfS \bfT r)
- 1W 0
0
\Bigr) \prime
= 0. (4.10)
Зазначимо, що якщо q = 0, то умова (4.10) еквiвалентна умовi (4.8).
Теорема 4.5. Нехай q > 0. Кожний стан W 0 \in \mathrm{I}\BbbH \mathrm{I}0 є наближено L\infty -керованим вiдносно
системи (2.3), (2.4) за вiльний час.
Таким чином, перетворена керована система (2.3), (2.4) iз загальним хвильовим оператором
вiдтворює властивостi керованостi своєї оригiнальної керованої системи (2.6), (2.7) iз найпрос-
тiшим хвильовим оператором за заданий та вiльний час i навпаки.
5. Приклади. Нехай \alpha \in \BbbR , \delta \in [0, 1], \widehat k(x) =
\bigl(
l2 - x2
\bigr) \alpha
, \widehat \rho (x) = (2l)2
\bigl(
l2 - x2
\bigr) \alpha - 2
,
\widehat \gamma (x) =
\bigl(
1 - \delta 2
\bigr) \biggl( \alpha - 1
2
\biggr) 2
- \alpha (\alpha - 1)
4l2
\bigl(
l2 - x2
\bigr)
- \delta 2
l - | x|
l + | x|
, x \in ( - l, l), W 0 \in \widetilde \BbbH 0 i u \in
\in L\infty (0, T ). Тодi
\eta (x) =
\surd
2l
\bigl(
l2 - x2
\bigr) \alpha - 1
2 , \theta (x) =
1\surd
2l
\sqrt{}
l2 - x2,
\sigma (x) =
x\int
0
2l d\xi
l2 - \xi 2
= \mathrm{l}\mathrm{n}
l + x
l - x
, x \in ( - l, l), \sigma - 1(\lambda ) = l
e\lambda - 1
e\lambda + 1
, \lambda \in \BbbR .
Маємо
\scrD \eta \theta \varphi =
1
2l
\bigl( \bigl(
l2 - x2
\bigr)
\varphi \prime - (\alpha - 1)x\varphi
\bigr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1140 Л. В. ФАРДИГОЛА
\scrD 2
\eta \theta \varphi =
1
4l2
\Bigl( \bigl(
l2 - x2
\bigr) 2
\varphi \prime \prime - 2\alpha x
\bigl(
l2 - x2
\bigr)
\varphi \prime + (\alpha - 1)
\bigl(
(\alpha - 1)x2 -
\bigl(
l2 - x2
\bigr) \bigr)
\varphi
\Bigr)
.
Отже,
\varphi \in \BbbH 0 \leftrightarrow \varphi \in L2
\eta \theta ( - l, l) \leftrightarrow
\bigl(
l2 - x2
\bigr) \alpha /2 - 1
\varphi \in L2( - l, l),
\varphi \in \BbbH 1 \leftrightarrow \varphi \in \BbbH 0 \wedge
\bigl(
l2 - x2
\bigr)
\varphi \prime \in L2
\eta \theta ( - l, l) \leftrightarrow \varphi \in \BbbH 0 \wedge
\bigl(
l2 - x2
\bigr) \alpha /2
\varphi \prime \in L2( - l, l),
\varphi \in \BbbH 2 \leftrightarrow \varphi \in \BbbH 1 \wedge
\bigl(
l2 - x2
\bigr) 2
\varphi \prime \prime \in L2
\eta \theta ( - l, l) \leftrightarrow \varphi \in \BbbH 1 \wedge
\bigl(
l2 - x2
\bigr) \alpha /2+1
\varphi \prime \prime \in L2( - l, l).
Тодi
\nu = \scrD \eta \theta
\bigl(
\theta 2\eta \prime /\eta
\bigr)
= \theta 2
\bigl(
\theta 2\eta \prime /\eta
\bigr) \prime
+
\bigl(
\theta 2\eta \prime /\eta
\bigr) 2
=
=
1
4l2
\bigl(
- (\alpha - 1)2
\bigl(
l2 - x2
\bigr)
+ (\alpha - 1)2x2
\bigr)
=
\biggl(
\alpha - 1
2
\biggr) 2
- \alpha (\alpha - 1)
4l2
\bigl(
l2 - x2
\bigr)
.
Тому r \circ \sigma + q2 = \nu - \gamma = \delta 2
\Biggl(
l - | x|
l + | x|
+
\biggl(
\alpha - 1
2
\biggr) 2
\Biggr)
. Отже, умови (1.7) та (1.8) виконано для
q = \delta
\alpha - 1
2
i r(\lambda ) = \delta 2e - | \lambda | , \lambda \in \BbbR , тому (3.6) також виконано. У цьому випадку ядра K та L
операторiв \bfT r та \bfT - 1
r було обчислено в [6].
Розглянемо керовану систему (2.3), (2.4). Беручи до уваги теореми 4.3 i 4.5, одержуємо такi
твердження:
(i) стан W 0 є наближено L\infty -керованим вiдносно системи (2.3), (2.4) за заданий час T > 0
тодi i лише тодi, коли (4.7) та (4.8) виконано;
(ii) стан W 0 є L\infty -керованим вiдносно системи (2.3), (2.4) за заданий час T > 0 тодi i
лише тодi, коли (l2 - x2)
\alpha - 1
2 W 0
0 \in L\infty (0, T ) i виконано (4.7), (4.8);
(iii) якщо \delta \not = 0 i \alpha \not = 1, то стан W 0 є завжди L\infty -керованим вiдносно системи (2.3), (2.4)
за вiльний час;
(iv) якщо \delta = 0 або \alpha = 1, то стан W 0 є наближено L\infty -керованим вiдносно системи (2.3),
(2.4) за вiльний час тодi i лише тодi, коли виконано (4.10).
Знайдемо явнi спiввiдношення мiж розв’язком W системи (2.3), (2.4) та розв’язком Z зада-
чi (2.6), (2.7), де W (\cdot , t) = \bfS \bfT rZ(\cdot , t), t \in [0, T ]. Використовуючи явну формулу, одержану в
[6] для K, маємо
(\bfT rZ(\cdot , t)) (\lambda ) = Z(\lambda , t) +
\delta
2
\infty \int
| \lambda |
I1
\biggl(
2\delta
\sqrt{}
e -
| \lambda |
2
\Bigl(
e -
| \lambda |
2 - e -
\xi
2
\Bigr) \biggr)
\sqrt{}
e -
| \lambda |
2
\Bigl(
e -
| \lambda |
2 - e -
\xi
2
\Bigr) e -
| \lambda | +\xi
2 Z(\xi , t) d\xi .
Позначаючи \xi = \mathrm{l}\mathrm{n}
l + \mu
l - \mu
, одержуємо
W (x, t) =
\bigl(
l2 - x2
\bigr) 1 - \alpha
2
\surd
2l
\left( Z \biggl( \mathrm{l}\mathrm{n} l + x
l - x
, t
\biggr)
+ l\delta
l\int
h(x)
K1(x, \mu )Z
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
l + \mu
l - \mu
, t
\biggr)
d\mu
\right) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ОПЕРАТОРИ ПЕРЕТВОРЕННЯ В ЗАДАЧАХ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО ХВИЛЬОВОГО . . . 1141
де h(x) = \mathrm{l}\mathrm{n}
l + | x|
l - | x|
,
K1(x, \mu ) = I1
\left( 2\delta
\sqrt{} l - | x|
l + | x|
-
\sqrt{}
(l - | x| )(l - \mu )
(l + | x| )(l + \mu )
\right) \Bigg/
\sqrt{} l + \mu
l - \mu
-
\sqrt{}
(l + | x| )(l + \mu )
(l - | x| )(l - \mu )
.
Розглянемо тепер окремий випадок, де
\delta = 0, u(t) =
l1/2 - \alpha
\surd
2(2et - 1)
, t \in [0, T ], W 0
0 (x) =
\bigl(
l2 - x2
\bigr) 1 - \alpha
2 (l - | x| )
\surd
2l(l + 3| x| )
\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x,
W 0
1 (x) = -
\bigl(
l2 - x2
\bigr) 1 - \alpha
2 (l2 - x2)
\surd
2l(l + 3| x| )2
\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x, x \in ( - l, l).
У цьому випадку ми можемо знайти керування, що розв’язують проблему наближеної L\infty -
керованостi за вiльний час. Маємо q = 0, r = 0. Тому \bfT r — тотожний оператор. Далi,
Z0
0 (\xi ) =
\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \xi
2e| \xi | - 1
, Z0
1 (\xi ) = - 2e| \xi | \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \xi \bigl(
2e| \xi | - 1
\bigr) 2 , \xi \in \BbbR , v(t) =
1
2et - 1
, t \in [0, T ]. Бачимо, що
Z0
1 (\xi ) =
\bigl(
Z0
0 (\xi ) \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \xi
\bigr) \prime
, \xi \in \BbbR . Отже, для W 0 умову (4.10) виконано, i цей стан є наближено
L\infty -керованим вiдносно системи (2.3), (2.4) за вiльний час згiдно з твердженням (iv). Можна
переконатися, що
Z(\xi , t) =
H(\xi )
2et+\xi - 1
- H( - \xi )
2et - \xi - 1
=
\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \xi
2ete| \xi | - 1
, \xi \in \BbbR ,
є розв’язком системи (2.6), (2.7). Маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( Z(\cdot , T )Zt(\cdot , T )
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 0 =
\sqrt{} 2
\infty \int
0
d\xi
(2eT+\xi - 1)
2 + e2T
\infty \int
0
d\xi
(2eT+\xi - 1)
4 \leq
\leq
\sqrt{} 2
\infty \int
T
e - 2\mu d\mu + e2T
\infty \int
T
e - 4\mu d\mu =
\surd
3e - T \rightarrow 0 при T \rightarrow +\infty . (5.1)
Застосовуючи оператор перетворення \bfS \bfT r = \bfS до Z(\cdot , t) i беручи до уваги теорему 4.1, бачимо,
що
W (x, t) =
\bigl(
l2 - x2
\bigr) 1 - \alpha
2 (l - | x| )
\surd
2l(l (2et - 1) + | x| (2et + 1))
\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x, x \in ( - l, l),
є розв’язком системи (2.3), (2.4). Згiдно з (5.1) одержуємо\biggl[ \biggr] \biggl[ \biggr] \biggl(
W (\cdot , T )
Wt(\cdot , T )
\biggr) \biggl[ \biggr] \biggl[ \biggr] 0
\leq C0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( Z(\cdot , T )Zt(\cdot , T )
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 0 \leq \surd
3C0e
- T \rightarrow 0 при T \rightarrow +\infty .
Таким чином, керування un(t) =
l1/2 - \alpha
\surd
2(2et - 1)
, t \in [0, Tn], розв’язують задачу наближеної L\infty -
керованостi вiдносно системи (2.3), (2.4) за вiльний час для стану W 0. Тут \{ Tn\} \infty n=1 \subset (0,+\infty )
є довiльною послiдовнiстю, що зростає до +\infty . Зокрема, W (x, t) \rightarrow 0 при x\rightarrow l, якщо \alpha < 1,
i W (x, t) \rightarrow \infty при x\rightarrow l, якщо \alpha > 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1142 Л. В. ФАРДИГОЛА
Лiтература
1. Alabau-Boussouira F., Cannarsa P., Leugering G. Control and stabilization of degenerate wave equations //
arXiv:1505.05720.
2. Antosik P., Mikusiński J., Sikorski R. Theory of distributions. The sequential approach. – Amsterdam: Elsevier, 1973.
3. Castro C. Exact controllability of the 1-D wave equation from a moving interior point // ESAIM. Control, Optim.
and Calc. Var. – 2013. – 19. – P. 301 – 316.
4. Fardigola L. V. Controllability problems for the string equation on a half-axis with a boundary control bounded by a
hard constant // SIAM J. Control Optim. – 2008. – 47, № 4. – P. 2179 – 2199.
5. Fardigola L. V. Controllability problems for the 1-d wave equation on a half-axis with the Dirichlet boundary control //
ESAIM. Control, Optim. Calc. Var. – 2012. – 18. – P. 748 – 773.
6. Fardigola L. V. Transformation operators of the Sturm – Liouville problem in controllability problems for the wave
equation on a half-axis // SIAM J. Control Optim. – 2013. – 51. – P. 1781 – 1801.
7. Fardigola L. V. Transformation operators of the Sturm – Liouville problem in controllability problems for the wave
equation with variable coefficients on a half-axis controlled by the Dirichlet boundary control // Math. Control and
Relat. Fields. – 2015. – 5. – P. 31 – 53.
8. Фардигола Л. В., Халiна К. С. Проблеми керованостi для рiвняння струни // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 7. –
С. 939 – 952.
9. Gindikin S. G., Volevich L. R. Distributions and convolution equations. – Philadelphia: Gordon and Breach Sci. Publ.,
1992.
10. Gueye M. Exact boundary controllability of 1-D parabolic and hyperbolic degenerate equations // SIAM J. Control
Optim. – 2014. – 52(4). – P. 2037 – 2054.
11. Gugat M., Keimer A., Leugering G. Optimal distributed control of the wave equation subject to state constraints // Z.
angew. Math. und Mech. – 2009. – 89, № 6. – S. 420 – 444.
12. Gugat M., Leugering G. L\infty -norm minimal control of the wave equation: on the weakness of the bang-bang
principle // ESAIM. Control, Optim. and Calc. Var. – 2008. – 14, № 2. – P. 254 – 283.
13. Gugat M., Sokolowski J. A note on the approximation of Dirichlet boundary control problems for the wave equation
on curved domains // Appl. Anal. – 2012. – 92, № 10. – P. 2200 – 2214.
14. Ильин В. А., Кулешов А. А. Обобщенные решения вонового уравнения из классов Lp и W 1
p , p \geq 1 // Докл.
АН. – 2012. – 446, № 4. – С. 374 – 377.
15. Халiна К. С. Проблеми крайової керованостi для рiвняння коливання неоднорiдної струни на пiвосi // Укр.
мат. журн. – 2012. – 64, № 4. – С. 525 – 541.
16. Khalina K. S. On the Neumann boundary controllability for a non-homogeneous string on a half-axis // J. Math.
Phys., Anal. and Geom. – 2012. – 8, № 4. – P. 307 – 335.
17. Халiна К. С. Про керованiсть крайовими умовами Дiрiхле для неоднорiдної струни на пiвосi // Доп. НАН
України. – 2012. – № 10. – С. 24 – 29.
18. Lui Y. Some sufficient conditions for the controllability of the wave equation with variable coefficients // Acta Appl.
Math. – 2013. – 128. – P. 181 – 191.
19. Marchenko V. A. Sturm – Liouville operators and applications. – Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 2011.
20. Mizumachi T. Decay properties of solutions to degenerate wave equation with dissipative terms // Adv. Different.
Equat. – 1997. – 2, № 4. – P. 573 – 592.
21. Privat Y., Trélat E., Zuazua E. Optimal location of controllers for the one-dimensional wave equation // Ann. Inst.
H. Poincaré. Anal. Non Linéaire. – 2013. – 30, № 6. – P. 1097 – 1126.
22. Seck Ch., Bayili G., Séne A., Niane M. T. Contrôlabilité exacte de l’équation des ondes dans des espaces de Sobolev
non réguliers pour un ouvert polygonal // Afr. Mat. – 2012. – 23, № 1. – P. 1 – 9.
23. Sklyar G. M., Fardigola L. V. The Markov power moment problem in problems of controllability and frequency
extinguishing for the wave equation on a half-axis // J. Math. Anal. and Appl. – 2002. – 276, № 1. – P. 109 – 134.
24. Vancostenoble J., Zuazua E. Hardy inequalities, observability, and control for the wave and Schrödinder equations
with singular potentials // SIAM J. Math. Anal. – 2009. – 41, № 4. – P. 1508 – 1532.
25. Zhang M., Gao H. Null controllability of some degenerate wave equations // J. Syst. Sci. Complex. – 2016.
26. Zhang X. A unified controllability/observability theory for some stochastic and deterministic partial differential
equations // Proc. Intern. Congr. Math. (Hyderabad, India). – 2010. – 4. – P. 3008 – 3034.
27. Zuazua E. Controllability and observability of partial differential equations: some results and open problems //
Handbook Different. Equat.: Evol. Equat. – 2006. – 3.
Одержано 20.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1623 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:20Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7f/935cf8ef4837d01807066df4a657b07f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16232019-12-05T09:21:04Z Transformation operators in controllability problems for the degenerate wave equation with variable coefficients Оператори перетворення в задачах керованості для виродженого хвильового рівняння зі змінними коефіцієнтами Fardigola, L. V. Фардигола, Л. В. We study the control system $w_{tt} = \cfrac1{\rho } (kw_x) x + \gamma w,\; w(0, t) = u(t),\; x \in (0, l), t \in (0, T)$, in special modified spaces of the Sobolev type. Here, $\rho , k,$ and \gamma are given functions on $[0, l)$; $u \in L^{\infty} (0, T)$ is a control, and $T > 0$ is a constant. The functions $\rho$ and $k$ are positive on $[0, l)$ and may tend to zero or to infinity as $x \rightarrow l$. The growth of distributions from these spaces is determined by the growth of $\rho$ and $k$ as $x \rightarrow l$. Applying the method of transformation operators, we establish necessary and sufficient conditions for the $L^{\infty}$ -controllability and approximate $L^{\infty}$ -controllability at a given time and at a free time. Дослiджено керовану систему $w_{tt} = \cfrac1{\rho } (kw_x) x + \gamma w,\; w(0, t) = u(t),\; x \in (0, l), t \in (0, T)$, у спецiальних модифiкованих просторах соболєвського типу. Тут $\rho , k$ та $\gamma$ — заданi на $[0, l)$ функцiї; $u \in L^{\infty}(0, T)$ — керування, $T > 0$ — стала. Функцiї $\rho$ та $k$ є додатними на $[0, l)$ та можуть прямувати до нуля або нескiнченностi при $x \rightarrow l$. Зростання роподiлiв iз цих просторiв визначено зростанням $\rho$ та $k$ при $x \rightarrow l$. За допомогою методу операторiв перетворення одержано необхiднi та достатнi умови $L^{\infty}$ -керованостi та наближеної $L^{\infty}$ -керованостi за заданий та вiльний час. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1623 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 8 (2018); 1128-1142 Український математичний журнал; Том 70 № 8 (2018); 1128-1142 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1623/605 Copyright (c) 2018 Fardigola L. V. |
| spellingShingle | Fardigola, L. V. Фардигола, Л. В. Transformation operators in controllability problems for the degenerate wave equation with variable coefficients |
| title | Transformation operators in controllability problems for the degenerate wave equation with variable coefficients |
| title_alt | Оператори перетворення в задачах керованості для виродженого хвильового рівняння зі змінними коефіцієнтами |
| title_full | Transformation operators in controllability problems for the degenerate wave equation with variable coefficients |
| title_fullStr | Transformation operators in controllability problems for the degenerate wave equation with variable coefficients |
| title_full_unstemmed | Transformation operators in controllability problems for the degenerate wave equation with variable coefficients |
| title_short | Transformation operators in controllability problems for the degenerate wave equation with variable coefficients |
| title_sort | transformation operators in controllability problems for the degenerate wave equation with variable coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1623 |
| work_keys_str_mv | AT fardigolalv transformationoperatorsincontrollabilityproblemsforthedegeneratewaveequationwithvariablecoefficients AT fardigolalv transformationoperatorsincontrollabilityproblemsforthedegeneratewaveequationwithvariablecoefficients AT fardigolalv operatoriperetvorennâvzadačahkerovanostídlâvirodženogohvilʹovogorívnânnâzízmínnimikoefícíêntami AT fardigolalv operatoriperetvorennâvzadačahkerovanostídlâvirodženogohvilʹovogorívnânnâzízmínnimikoefícíêntami |