Approximation of periodic functions of many variables by functions of smaller number of variables in Orlicz metric spaces
For periodic functions of many variables, the method of their approximation is offered in the Orlicz spaces $L_{\varphi} (T^m)$. In this method, the functions are approximated by the sums of functions of smaller number of variables, each of which is piecewiswe-constant in one of variables for fixed...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1624 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507442561941504 |
|---|---|
| author | Babich, Yu. A. Michaylova, T. F. Бабич, Ю. А. Михайлова, Т. Ф. Бабич, Ю. А. Михайлова, Т. Ф. |
| author_facet | Babich, Yu. A. Michaylova, T. F. Бабич, Ю. А. Михайлова, Т. Ф. Бабич, Ю. А. Михайлова, Т. Ф. |
| author_sort | Babich, Yu. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:04Z |
| description | For periodic functions of many variables, the method of their approximation is offered in the Orlicz spaces $L_{\varphi} (T^m)$. In this method, the functions are approximated by the sums of functions of smaller number of variables, each of which is piecewiswe-constant in one of variables for fixed values of the other variables. A Jackson-type inequality is investigated
for these approximations in terms of the mixed module of continuity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
Ю. А. Бабич, Т. Ф. Михайлова (Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. транспорта)
АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ФУНКЦИЯМИ МЕНЬШЕГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ
В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА
For periodic functions of many variables, the method of their approximation is offered in the Orlicz spaces L\varphi (\BbbT m). In
this method, the functions are approximated by the sums of functions of smaller number of variables, each of which is
piecewiswe-constant in one of variables for fixed values of the other variables. A Jackson-type inequality is investigated
for these approximations in terms of the mixed module of continuity.
Для перiодичних функцiй багатьох змiнних запропоновано метод їх наближень у просторах Орлича L\varphi (\BbbT m) сумою
функцiй меншого числа змiнних, кожна з яких є кусково-сталою за однiєю змiнною при фiксованих значеннях решти
змiнних. Дослiджується нерiвнiсть типу Джексона для таких наближень у термiнах мiшаного модуля неперервностi.
1. Чтобы сформулировать постановку задачи, введем следующие обозначения: для действи-
тельнозначных функций f(x), x = (x1, x2, . . . , xm) \in \BbbR m, имеющих по каждой переменной
период 1, L0 \equiv L0(\BbbT m) — множество измеримых и почти всюду конечных функций на основ-
ном торе периодов \BbbT m = [0, 1]m; \Phi — множество непрерывных и неубывающих функций \varphi :
\BbbR 1
+ \rightarrow \BbbR 1
+, \varphi (0) = 0;
L\varphi \equiv L\varphi (\BbbT m) =
\left\{ f \in L0; \| f\| \varphi :=
\int
\BbbT m
\varphi (| f(x)| )dx <\infty
\right\}
— функциональный класс Орлича; \Omega — множество функций \psi из \Phi , являющихся модулем
непрерывности, т. е. \psi — полуаддитивные функции. Тогда L\psi \equiv L\psi (\BbbT m) — метрические про-
странства.
Для x \in \BbbR m пусть (x; \^xj) := (x1, . . . , xj - 1, xj+1, . . . , xm) \in \BbbR m - 1. Обозначим через
\sum
m
совокупность функций G(x), x \in \BbbT m, вида
G(x) =
m\sum
j=1
gj(x; \^xj), gj \in L\varphi (\BbbT m - 1).
Рассмотрим задачу наилучшего приближения функции f(x) m переменных суммой функ-
ций (m - 1)-й переменной в пространстве L\varphi (\BbbT m):
E(f)\varphi = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| f(x) - G(x)
\bigm\| \bigm\|
\varphi
; G \in \Sigma m
\Bigr\}
. (1)
Поиск наилучших функций G из \Sigma m в (1) является, вообще говоря, трудной задачей. В связи с
этим мы исследуем аппроксимацию функциями, которые, возможно, и не являются наилучшими
из \Sigma m, но метод их построения является простым. Для таких функций докажем оценку сверху
c\bigcirc Ю. А. БАБИЧ, Т. Ф. МИХАЙЛОВА, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8 1143
1144 Ю. А. БАБИЧ, Т. Ф. МИХАЙЛОВА
приближения в терминах смешанного модуля непрерывности, которая является точной для
этого метода в пространствах L\psi для всех \psi \in \Omega и в L\varphi для некоторого класса \varphi \in \Phi .
Пусть \Delta j
tj
f(x) — приращение f(x) по переменной xj с шагом tj . Для h = (h1, . . . , hm) \in
\in \BbbR m+
\omega (f ;h1, . . . , hm)\varphi = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| \Delta 1
t1 . . .\Delta
m
tmf
\bigm\| \bigm\|
\varphi
; | tj | \leq hj , j = 1, . . . ,m
\Bigr\}
— смешанный модуль непрерывности f.
Для фиксированного t \in \BbbT m положим
Gt(f ;x) = f(x) - \Delta x1 - t1 . . .\Delta xm - tmf(t).
Функция Gt(f ;x) является суммой сечений f(x) вдоль координатных плоскостей и принадле-
жит \Sigma m.
Теорема 1. Пусть \varphi принадлежит \Phi . Тогда для f из L\varphi (\BbbT m) найдется такое значение
параметра tf \in \BbbT m, что
\| f - Gtf (f)\| \varphi \leq \omega
\biggl(
f ;
1
2
, . . . ,
1
2
\biggr)
\varphi
. (2)
Если \varphi удовлетворяет условию
\varphi (a) \geq \varphi (2m)
22m
a2, a = 1, 2, . . . , 2m, (3)
то неравенство (2) является точным в том смысле, что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f \in L\varphi (\BbbT m)
\omega
\Bigl(
f ;
1
2
, . . . ,
1
2
\Bigr)
\varphi
\not = 0
\| f - Gtf (f)\| \varphi
\omega
\biggl(
f ;
1
2
, . . . ,
1
2
\biggr)
\varphi
= 1. (4)
Доказательство. Существование параметра tf следует из оценки усреднения уклонений
Gt(f) по всем t:\int
t\in \BbbT m
\bigm\| \bigm\| f - Gt(f)
\bigm\| \bigm\|
\varphi
dt =
\int
t\in \BbbT m
\bigm\| \bigm\| \Delta 1
t1 . . .\Delta
m
tmf
\bigm\| \bigm\|
\varphi
dt \leq \omega
\biggl(
f ;
1
2
, . . . ,
1
2
\biggr)
\varphi
.
Для построения экстремальных функций в (4) используем функции одной переменной,
построенные В. А. Юдиным (см. [1]).
Пусть y \in \BbbR 1. Для простого числа q > 2 построим разбиение периода [0, 1] равноотстоя-
щими точками yj = jq - 1, j = 0, 1, . . . , q - 1, и определим 1-периодическую функцию fq(y)
условиями fq(y) =
\biggl(
j
q
\biggr)
при y \in (yj - 1, yj ] j = 1, 2, . . . , q - 1, и fq(y) = 0 при y \in (tq - 1, 1],
где
\biggl(
j
q
\biggr)
— символ Лежандра [2, c. 70].
В случае m > 1 для x = (x1, . . . , xm) положим
Fq(x) =
m\prod
k=1
fq(xk).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЯМИ . . . 1145
Лемма 1. Пусть функция \varphi из \Phi удовлетворяет условию (3). Тогда\int
t\in \BbbT m
\bigm\| \bigm\| \Delta 1
t1 . . .\Delta
m
tmFq
\bigm\| \bigm\|
L\varphi (\BbbT m)
dt
\omega
\biggl(
Fq;
1
2
, . . . ,
1
2
\biggr)
L\varphi (\BbbT m)
= 1 - cq, (5)
где cq > 0 и cq \rightarrow 0 при q \rightarrow \infty .
Доказательство. Рассмотрим сначала случай m = 1. Поскольку [2, c. 82]
q - 1\sum
r=0
\biggl(
r
q
\biggr) \biggl(
r + j
q
\biggr)
= - 1, j = 1, . . . , q - 1,
то для любого yj
- 1
q
=
1\int
0
fq(y)fq(y + yj)dy = \mu
\bigl\{
y \in [0, 1] : fq(y)fq(y + yj) = 1
\bigr\}
-
- \mu
\bigl\{
y \in [0, 1] : f(q)fq(y + yj) = - 1
\bigr\}
+
2
q
=: \mu + - \mu - +
2
q
.
Так как \mu + + \mu - +
2
q
= 1, то \mu - =
1
2
\biggl(
1 +
1
q
\biggr)
, поэтому
\bigm\| \bigm\| \Delta yjfq
\bigm\| \bigm\|
L\varphi (\BbbT 1)
=
1\int
0
\varphi
\bigl(
| fq(y + yj) - fq(y)|
\bigr)
dy = \varphi (2) \cdot 1
2
\biggl(
1 +
1
q
\biggr)
+ \varphi (1) \cdot 2
q
.
Функция \| \Delta tfq\| L\varphi (\BbbT 1) является кусочно-монотонной функцией аргумента t на отрезках
[yj , yj+1], значит,
\omega
\biggl(
fq,
1
2
\biggr)
L\varphi (\BbbT 1)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j
\| \Delta yjfq\| L\varphi (\BbbT 1) = \varphi (2) \cdot 1
2
\biggl(
1 +
1
q
\biggr)
+ \varphi (1)
2
q
. (6)
С другой стороны, используя (3), имеем
\| \Delta tfq\| L\varphi (\BbbT 1) \geq
\varphi (2)
22
1\int
0
\bigm| \bigm| fq(y) - fq(y + t)
\bigm| \bigm| 2dy = \varphi (2)
1
2
\left( 1 - 1
q
-
1\int
0
fq(y)fq(y + t)dy
\right) ,
и так как
\int 1
0
fq(t)dt = 0, то
1\int
0
\| \Delta tfq\| L\varphi (\BbbT 1)dt \geq \varphi (2)
1
2
\biggl(
1 - 1
q
\biggr)
. (7)
Из (6) и (7) следует (5) в случае m = 1.
При m > 1 доказательство аналогично. Пусть для простоты изложения m = 2. Тогда
\Delta 1
t1\Delta
2
t2Fq(x) = \Delta 1
t1fq(x1)\Delta
2
t2fq(x2),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1146 Ю. А. БАБИЧ, Т. Ф. МИХАЙЛОВА
\bigm\| \bigm\| \Delta 1
yj1
\Delta 2
yj2
Fq
\bigm\| \bigm\|
L\varphi (\BbbT 2)
=
1\int
0
1\int
0
\varphi
\bigl(
| \Delta yj1
fq(x1)| | \Delta yj2
fq(x2)|
\bigr)
dx1dx2 =
= \varphi (22)\mu
\bigl\{
x \in [0, 1]2 : | \Delta yj1
fq(x1)| | \Delta yj2
fq(x2)| = 22
\bigr\}
+
+\varphi (2)\mu
\bigl\{
x \in [0, 1]2 : | \Delta yj1
fq(x1)| | \Delta yj2
fq(x2)| = 2
\bigr\}
+
+\varphi (1)\mu
\bigl\{
x \in [0, 1]2 : | \Delta yj1
fq(x1)| | \Delta yj2
fq(x2)| = 1
\bigr\}
=
= \varphi (22)
\biggl(
1
2
\biggl(
1 +
1
q
\biggr) \biggr) 2
+ \varphi (2)
2
q
\biggl(
1 +
1
q
\biggr)
+ \varphi (1)
\biggl(
2
q
\biggr) 2
=
1
22
\varphi (22) + c1(q), (8)
где c1(q) \rightarrow 0 при q \rightarrow \infty ,
\omega
\biggl(
Fq;
1
2
,
1
2
\biggr)
L\varphi (\BbbT 2)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j1,j2
\bigm\| \bigm\| \Delta 1
t1\Delta
2
t2Fq
\bigm\| \bigm\|
L\varphi (\BbbT 2)
=
1
22
\varphi (22) + c1(q),
1\int
0
1\int
0
\bigm\| \bigm\| \Delta 1
t1\Delta
2
t2Fq)
\bigm\| \bigm\|
L\varphi (\BbbT 2)
dt1dt2 \geq
\geq 1
24
\varphi (22)
1\int
0
1\int
0
1\int
0
1\int
0
\bigm| \bigm| \Delta t1fq(x1)
\bigm| \bigm| 2\Delta t2fq(x2)| 2dx1dx2dt1dt2 =
=
1
24
\varphi (22)
\Biggl(
2
\biggl(
1 - 1
q
\biggr) 2
\Biggr)
=
1
22
\varphi (22)
\biggl(
1 - 1
q
\biggr) 2
. (9)
Из (8) и (9) следует (5).
Лемма 1, а значит, и теорема 1 доказаны.
Заметим, что условие (3) выполняется для всех \varphi \in \Omega , а также, например, и для функций
\varphi (x) = | x| p при p \in [1, 2].
2. Используем теорему 1 для приближения функций f(x) из L\varphi (\BbbT m) функциями вида
S(x) =
\sum m
j=1
\varphi j(x), где каждая из функций \varphi j(x) является кусочно-постоянной по перемен-
ной xj (при фиксированных остальных переменных).
Для заданного вектора n = (n1, . . . , nm) \in \BbbN m построим равномерные разбиения осей
координат: j -ю координату тора периодов разобьем на nj отрезков длины
1
nj
точками yrj =
rj
nj
,
rj = 0, 1, . . . , nj . Пусть \chi j(xj) — характеристическая функция отрезка
\biggl[
0,
1
nj
\biggr]
, а функция
\varphi j(x) имеет вид
\varphi j(x) =
nj\sum
rj=1
grj (x; \^xj)\chi j(xj - yrj ),
где grj (x; \^xj) — произвольные функции из L\varphi (\BbbT m - 1), не зависящие от переменной xj .
Для данного t \in \BbbT m пусть
ft(x) := f(x+ t)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЯМИ . . . 1147
— сдвиг f(x) на параметр t. Рассмотрим аппроксимацию\int
t\in \BbbT m
\| ft - Sn\| \psi dt,
усредненную по всем сдвигам f. В качестве приближающей функции Sn выберем
Sn(ft;x) := ft(x) -
n1\sum
r1=1
. . .
nm\sum
rm=1
\Delta 1
yr1 - x1
. . .\Delta m
yrm - xmft(x)\chi 1(x1 - yr1) . . . \chi m(xm - yrm).
Легко видеть, что функция Sn(ft;x) принадлежит аппроксимирующему подпространству. На-
пример, при m = 2
Sn(ft;x) = -
n2\sum
r2=1
ft(x1, yr2)\chi (x2 - yr2) -
n1\sum
r1=1
ft(yr1 , x2)\chi (x1 - yr1)+
+
n1\sum
r1=1
n2\sum
r2=1
ft(yr1 , yr2).
Теорема 2. Пусть \varphi принадлежит \Phi . Тогда для любой f \in L\varphi (\BbbT m) выполняется нера-
венство \int
t\in \BbbT m
\bigm\| \bigm\| ft - Sn(ft)
\bigm\| \bigm\|
\varphi
dt \leq \omega
\biggl(
f ;
1
n1
, . . . ,
1
nm
\biggr)
\varphi
. (10)
Если для \varphi выполнено (3), то неравенство (10) в пространстве L\varphi (\BbbT m) точное:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f \in L\varphi (\BbbT m)
\omega
\Bigl(
f ;
1
n1
, . . . ,
1
nm
\Bigr)
\varphi
\not = 0
\int
t\in \BbbT m
\| ft - Sn(ft)\| \varphi dt
\omega
\biggl(
f ;
1
n1
, . . . ,
1
nm
\biggr)
\varphi
= 1. (11)
Доказательство. На каждом кубе разбиения
\Pi r1...rm = \{ x \in \BbbT m;xi \in [yri , yri+1), i = 1, . . . ,m\}
разность ft(x) - Sn(ft;x) имеет вид
ft(x) - Sn(ft;x) = \Delta 1
yr1 - x1
. . .\Delta yrm - xmft(x),
поэтому \int
t\in \BbbT m
\bigm\| \bigm\| ft - Sn(ft)
\bigm\| \bigm\|
\varphi
dt =
=
n1\sum
r1=1
. . .
nm\sum
rm=1
\int
t\in \BbbT m
\int
x\in
\prod
r1...rm
\varphi
\bigl(
| \Delta 1
yr1 - x1
. . .\Delta yrm - xmf(t+ x)|
\bigr)
dx dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1148 Ю. А. БАБИЧ, Т. Ф. МИХАЙЛОВА
= n1 . . . nm
1
n1\int
h1=0
. . .
1
nm\int
hm=0
\bigm\| \bigm\| \Delta 1
h1 . . .\Delta
m
hmf
\bigm\| \bigm\|
\varphi
dh1 . . . dhm \leq \omega
\biggl(
f ;
1
n1
, . . . ,
1
nm
\biggr)
\varphi
.
Для оценки снизу в (11) выберем f(x) = Fq(x) и применим лемму 1.
Теорема 2 доказана.
Использованный нами метод усреднения по сдвигам оказался эффективным при аппрокси-
мации периодических функций одной переменной тригонометрическими полиномами в про-
странствах Lp(\BbbT 1), p \in (0, 1) [3], и L\psi (\BbbT 1) [4, 5]. В работах [6, 7] этот же метод применялся
при аппроксимации в L\psi (\BbbT 1) кусочно-постоянными функциями.
Доказанные нами теоремы являются одним из возможных многомерных аналогов резуль-
татов работы [6]. Лемма 1 ранее было доказана в случае m = 1 для пространств Lp(\BbbT 1),
p \in (0, 2) [1], и L\psi (\BbbT 1), \psi \in \Omega [6].
Литература
1. Пичугов С. А. Константы Юнга пространства Lp // Мат. заметки. – 1988. – 43, № 5. – С. 604 – 614.
2. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1981. – 172 с.
3. Руновский К. В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp,
0 < p < 1 // Мат. сб. – 1994. –185, № 8. – С. 81 – 102.
4. Пичугов С. А. О теореме Джексона для периодических функций в пространствах с интегральной метрикой //
Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 1. – С. 122 – 123.
5. Пичугов С. А. О теореме Джексона для периодических функций в метрических пространствах с интегральной
метрикой. II // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 11. – С. 1524 – 1533.
6. Пичугов С. А. Приближение константой периодических функций в метрических пространствах \varphi (L) // Укр.
мат. журн. – 1994. – 46, № 8. – С. 1095 – 1098.
7. Пичугов С. А. Гладкость функций в метрических пространствах L\psi // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 9. –
С. 1214 – 1232.
Получено 28.11.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1624 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:23Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1d/00201025f492223df5b6e7502e60581d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16242019-12-05T09:21:04Z Approximation of periodic functions of many variables by functions of smaller number of variables in Orlicz metric spaces Аппроксимация периодических функций многих переменных функциями меньшего числа переменных в метрических пространствах Орлича Babich, Yu. A. Michaylova, T. F. Бабич, Ю. А. Михайлова, Т. Ф. Бабич, Ю. А. Михайлова, Т. Ф. For periodic functions of many variables, the method of their approximation is offered in the Orlicz spaces $L_{\varphi} (T^m)$. In this method, the functions are approximated by the sums of functions of smaller number of variables, each of which is piecewiswe-constant in one of variables for fixed values of the other variables. A Jackson-type inequality is investigated for these approximations in terms of the mixed module of continuity. Для перiодичних функцiй багатьох змiнних запропоновано метод їх наближень у просторах Орлича $L_{\varphi} (T^m)$ сумою функцiй меншого числа змiнних, кожна з яких є кусково-сталою за однiєю змiнною при фiксованих значеннях решти змiнних. Дослiджується нерiвнiсть типу Джексона для таких наближень у термiнах мiшаного модуля неперервностi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1624 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 8 (2018); 1143-1148 Український математичний журнал; Том 70 № 8 (2018); 1143-1148 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1624/606 Copyright (c) 2018 Babich Yu. A.; Michaylova T. F. |
| spellingShingle | Babich, Yu. A. Michaylova, T. F. Бабич, Ю. А. Михайлова, Т. Ф. Бабич, Ю. А. Михайлова, Т. Ф. Approximation of periodic functions of many variables by functions of smaller number of variables in Orlicz metric spaces |
| title | Approximation of periodic functions of many variables by
functions of smaller number of variables in Orlicz metric spaces |
| title_alt | Аппроксимация периодических функций многих переменных
функциями меньшего числа переменных в метрических пространствах Орлича |
| title_full | Approximation of periodic functions of many variables by
functions of smaller number of variables in Orlicz metric spaces |
| title_fullStr | Approximation of periodic functions of many variables by
functions of smaller number of variables in Orlicz metric spaces |
| title_full_unstemmed | Approximation of periodic functions of many variables by
functions of smaller number of variables in Orlicz metric spaces |
| title_short | Approximation of periodic functions of many variables by
functions of smaller number of variables in Orlicz metric spaces |
| title_sort | approximation of periodic functions of many variables by
functions of smaller number of variables in orlicz metric spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1624 |
| work_keys_str_mv | AT babichyua approximationofperiodicfunctionsofmanyvariablesbyfunctionsofsmallernumberofvariablesinorliczmetricspaces AT michaylovatf approximationofperiodicfunctionsofmanyvariablesbyfunctionsofsmallernumberofvariablesinorliczmetricspaces AT babičûa approximationofperiodicfunctionsofmanyvariablesbyfunctionsofsmallernumberofvariablesinorliczmetricspaces AT mihajlovatf approximationofperiodicfunctionsofmanyvariablesbyfunctionsofsmallernumberofvariablesinorliczmetricspaces AT babičûa approximationofperiodicfunctionsofmanyvariablesbyfunctionsofsmallernumberofvariablesinorliczmetricspaces AT mihajlovatf approximationofperiodicfunctionsofmanyvariablesbyfunctionsofsmallernumberofvariablesinorliczmetricspaces AT babichyua approksimaciâperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyhfunkciâmimenʹšegočislaperemennyhvmetričeskihprostranstvahorliča AT michaylovatf approksimaciâperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyhfunkciâmimenʹšegočislaperemennyhvmetričeskihprostranstvahorliča AT babičûa approksimaciâperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyhfunkciâmimenʹšegočislaperemennyhvmetričeskihprostranstvahorliča AT mihajlovatf approksimaciâperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyhfunkciâmimenʹšegočislaperemennyhvmetričeskihprostranstvahorliča AT babičûa approksimaciâperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyhfunkciâmimenʹšegočislaperemennyhvmetričeskihprostranstvahorliča AT mihajlovatf approksimaciâperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyhfunkciâmimenʹšegočislaperemennyhvmetričeskihprostranstvahorliča |