On the asymptotic of associate sigma-functions and Jacobi theta-functions
For the associated sigma-functions, Jacobi theta-functions, and their logarithmic derivatives, we present asymptotic formulas valid outside an efficiently constructed exceptional sets of discs.
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1625 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507443528728576 |
|---|---|
| author | Korenkov, M. E. Kharkevych, Yu. I. Коренков, М. Є. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Korenkov, M. E. Kharkevych, Yu. I. Коренков, М. Є. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Korenkov, M. E. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:04Z |
| description | For the associated sigma-functions, Jacobi theta-functions, and their logarithmic derivatives, we present asymptotic formulas
valid outside an efficiently constructed exceptional sets of discs. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
М. Є. Коренков, Ю. I. Харкевич (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк)
ПРО АСИМПТОТИКУ АСОЦIЙОВАНИХ СИГМА-ФУНКЦIЙ
I ТЕТА-ФУНКЦIЙ ЯКОБI
For the associated sigma-functions, Jacobi theta-functions, and their logarithmic derivatives, we present asymptotic formulas
valid outside an efficiently constructed exceptional sets of discs.
Для асоцiйованих сигма-функцiй, тета-функцiй Якобi та їх логарифмiчних похiдних наведено асимптотичнi форму-
ли, якi є правильними зовнi виняткових множин кругiв, що побудованi ефективно.
У роботi [1] отримано асимптотичнi формули для асоцiйованих сигма-функцiй \sigma j(z), j =
= 1, 3 [2, с. 379], та тета-функцiй Якобi \vargamma k(z), k = 1, 4 [2, с. 394 – 396], якi правильнi зовнi
деякої множини виняткових кругiв. Укажемо тут асимптотику цих функцiй та їх логарифмiчних
похiдних зовнi множини кругiв, якi будуються ефективно, i точнiше оцiнимо залишковi члени
асимптотичних формул iз [1]. При цьому будемо суттєво використовувати результати роботи
[3], якi стосуються асимптотики функцiй Вейєрштрасса \sigma (z), \zeta (z) [2, с. 372, 374]. Як вiдомо,
\zeta (z) =
\sigma \prime (z)
\sigma (z)
, нулi \Omega mn = = 2m\omega 1+2n\omega 3, Im
\biggl(
\omega 3
\omega 1
\biggr)
> 0, m, n \in \BbbZ , функцiї \sigma (z) є полюсами
функцiї \zeta (z).
Зазначенi вище функцiї пов’язанi мiж собою рiвностями [2, с. 394 – 396]
\sigma j(z) = \sigma - 1(\omega j) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \eta jz)\sigma (z + \omega j), (1)
\sigma (z) = 2\omega 1
\vargamma 1(u)
\vargamma \prime 1(0)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl( \eta 1z2
2\omega 1
\Bigr)
, (2)
\sigma j(z) =
\vargamma j+1(u)
\vargamma j+1(0)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl( \eta 1z2
2\omega 1
\Bigr)
, (3)
де \omega 2 = \omega 1 + \omega 3, \eta j = \zeta (\omega j), j = 1, 3, u =
z
2\omega 1
. Мають мiсце також спiввiдношення
Лежандра
2\omega 2\eta 1 - 2\omega 1\eta 2 = \pi i, 2\omega 3\eta 1 - 2\omega 1\eta 3 = \pi i. (4)
Говорять, що система K кругiв Ks = \{ z \in \BbbC : | z - zs| < rs\} , s \in \BbbN , де zs \in \BbbC , zs \rightarrow \infty
(s\rightarrow \infty ), має нульову \mu -щiльнiсть, 1 \leq \mu \leq 2, якщо\sum
| zs| \leq r
r\mu s = o(r\mu ), r \rightarrow \infty .
Якщо попереднє спiввiдношення правильне при \mu = 1, то говорять, що система K має нульову
лiнiйну щiльнiсть.
Зауваження 1. Якщо вказана вище система кругiв має нульову \mu -щiльнiсть, 1 \leq \mu \leq 2,
то цю ж властивiсть має i система кругiв
\widetilde Ks = \{ z \in \BbbC : | z - (zs - \omega )| < rs\} , s \in \BbbN (\omega \in \BbbC , \omega \not = 0),
c\bigcirc М. Є. КОРЕНКОВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8 1149
1150 М. Є. КОРЕНКОВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
що випливає iз спiввiдношень (r \rightarrow \infty )
1
r\mu
\sum
| zs - \omega | \leq r
r\mu s \leq
\biggl(
1 +
| \omega |
r
\biggr) \mu 1
(r + | \omega | )\mu
\sum
| zs| \leq r+| \omega |
r\mu s = o(1).
Не втрачаючи загальностi подальших мiркувань, будемо вважати, що
\omega 1 =
1
2
, \omega 3 =
\lambda
2
ei\alpha , 0 < \lambda < +\infty , 0 < \alpha < \pi , (5)
тобто
\Omega mn = m+ n\lambda ei\alpha , m, n \in \BbbZ . (6)
Тодi \omega 2 =
1
2
+
\lambda
2
ei\alpha та \eta 1 = \zeta
\biggl(
1
2
\biggr)
, \eta 3 = \zeta
\biggl(
\lambda
2
ei\alpha
\biggr)
, \eta 2 = \zeta
\biggl(
1
2
+
\lambda
2
ei\alpha
\biggr)
. За умов (5) u = z,
рiвнiсть (1) формально не змiнюється i з рiвностей (2), (3) випливають спiввiдношення
\vargamma 1(z) = \vargamma \prime 1(0)\sigma (z) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \eta 1z2), (7)
\vargamma j+1(z) = \vargamma j+1(0)\sigma j(z) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \eta 1z2), j = 1, 3. (8)
Розглянемо далi клас A додатних зростаючих на (0;+\infty ) функцiй \varphi (t) таких, що
\varphi (t) \rightarrow +\infty , \varphi (t) = o(t2), \varphi (t+ d) = O(\varphi (t)) (t\rightarrow +\infty ), (9)
де d — довiльна стала, d > 0. Через A\alpha позначимо пiдклас класу A тих функцiй \varphi (t) з A, якi
додатково задовольняють ще й умову
\varphi (t) \geq \alpha \mathrm{l}\mathrm{n} t (1 < t < +\infty ), \alpha > 1. (10)
Якщо \varphi — фiксована функцiя iз класу A, то позначимо (j = 1, 3, \omega 0 = 0)
Ej(\varphi ) =
\bigcup
m,n\in \BbbZ
K(j)
mn, K(j)
mn =
\bigl\{
z \in \BbbC : | z - (\Omega mn - \omega j)| < \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \varphi (| \Omega mn| ))
\bigr\}
. (11)
Введемо також позначення
U(z) =
\pi (| z| 2 - Rez2)
2\lambda \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha
, V (z) = U(z) + Re(\eta 1z
2), \eta 1 = \zeta
\biggl(
1
2
\biggr)
. (12)
Теорема 1. Якщо \varphi \in A, то за умов (5), (6)
\mathrm{l}\mathrm{n} | \sigma j(z)| = V (z) +O(\varphi (| z| )) (z \rightarrow \infty , z /\in Ej(\varphi )), j = 1, 3, (13)
\mathrm{l}\mathrm{n} | \vargamma j+1(z)| = U(z) +O(\varphi (| z| )) (z \rightarrow \infty , z /\in Ej(\varphi )), j = 0, 3. (14)
Зауваження 2. Якщо \varphi \in A\alpha , то множини Ej(\varphi ), j = 0, 3, мають нульову лiнiйну щiль-
нiсть, як це випливає з теореми 1 роботи [3] i зауваження 1.
Доведення теореми 1. У роботi [3] показано, що за умов (5), (6) i \varphi \in A має мiсце формула
\mathrm{l}\mathrm{n} | \sigma (z)| = V (z) +O(\varphi (| z| )) (z \rightarrow \infty , z /\in E0(\varphi )), (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
ПРО АСИМПТОТИКУ АСОЦIЙОВАНИХ СИГМА-ФУНКЦIЙ I ТЕТА-ФУНКЦIЙ ЯКОБI 1151
де V (z) задається рiвностями (12), а E0(\varphi ) — рiвностями (11) iз j = 0, \omega 0 = 0. Оскiльки
V (z + \omega j) = V (z) +
2\pi
\lambda \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha
Im\omega j Im z + Re (2\eta 1\omega jz) +O(1),
то, покладаючи z + \omega j замiсть z у (15), отримуємо (j = 0, 3)
\mathrm{l}\mathrm{n} | \sigma (z + \omega j)| = V (z + \omega j) +O(\varphi (| z + \omega j | )) =
= V (z) +
2\pi
\lambda \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha
Im\omega jImz + Re(2\eta 1\omega jz) +O(\varphi (| z| ))
(z \rightarrow \infty , z /\in E0(\varphi )), (16)
де множини Ej(\varphi ) задаються рiвностями (11). Тут ми скористалися спiввiдношеннями
\varphi (| z + \omega j | ) \leq \varphi (| z| + | \omega j | ) = O(\varphi (| z| )) (z \rightarrow \infty ), j = 1, 3.
Оскiльки внаслiдок (1) \mathrm{l}\mathrm{n} | \sigma j(z)| = \mathrm{l}\mathrm{n} | \sigma (z + \omega j)| - Re (\eta jz) - \mathrm{l}\mathrm{n} | \sigma (\omega j)| , то на основi (16)
приходимо до рiвностей (j = 1, 3)
\mathrm{l}\mathrm{n} | \sigma j(z)| = V (z) +
2\pi
\lambda \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha
Im\omega j Im z + Re [z(2\eta 1\omega j - \eta j)]+
+O(\varphi (| z| )) = V (z) + Lj(z) +O(\varphi (| z| )) (z \rightarrow \infty , z /\in Ej(\varphi )), (17)
де
Lj(z) =
2\pi
\lambda \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha
Im\omega j Im z + Re [z(2\eta 1\omega j - \eta j)]. (18)
Iз рiвностi \omega 1 =
1
2
випливає, що L1(z) \equiv 0. За умов (5) на основi спiввiдношень Лежандра (4)
отримуємо
Re [z(2\eta 1\omega j - \eta j)] = Re (\pi iz) = - \pi Im z, j = 2, 3.
Оскiльки перший доданок у (18) при j = 2, 3 дорiвнює \pi Imz, то Lj(z) \equiv 0 при вказаних j.
Отже, Lj(z) \equiv 0, j = 1, 3, i тому рiвнiсть (17) набирає вигляду (13).
Оскiльки внаслiдок (7) \mathrm{l}\mathrm{n} | \vargamma 1(z)| = \mathrm{l}\mathrm{n} | \sigma (z)| - Re(\eta 1z2)+\mathrm{l}\mathrm{n} | \vargamma \prime 1(0)| , то, використовуючи (15)
i позначення (12), отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{n} | \vargamma 1(z)| = V (z) - Re (\eta 1z
2) +O(\varphi (| z| )) = U(z) +O(\varphi (| z| ))
(z \rightarrow \infty , z /\in E0(\varphi )), тобто має мiсце формула (14) при j = 0. Iз рiвностей (8) випливає
(j = 1, 3)
\mathrm{l}\mathrm{n} | \vargamma j+1(z)| = \mathrm{l}\mathrm{n} | \sigma j(z)| - Re (\eta 1z
2) + \mathrm{l}\mathrm{n} | \vargamma j+1(0)| .
Тому, використовуючи рiвностi (13) i позначення (12), одержуємо (j = 1, 3)
\mathrm{l}\mathrm{n} | \vargamma j+1(z)| = V (z) - Re (\eta 1z
2) +O(\varphi (| z| )) = U(z) +O(\varphi (| z| ))
(z \rightarrow \infty , z /\in Ej(\varphi )), тобто мають мiсце формули (14).
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
1152 М. Є. КОРЕНКОВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Розглянемо клас S додатних зростаючих на (0;+\infty ) функцiй \psi (t) таких, що
\psi (t) \rightarrow +\infty , \psi (t) = o(t), \psi (t+ d) = O(\psi (t)) (t\rightarrow +\infty ), 0 < d = const.
Через S\beta позначимо пiдклас класу S тих функцiй \psi (t) з S, якi додатково задовольняють
ще й умову
\psi (t) \geq t\beta , (0 < t < +\infty ), 0 < \beta < 1.
Якщо \psi — фiксована функцiя iз класу S, то позначимо (j = 0, 3, \omega 0 = 0)
Tj(\psi ) =
\bigcup
m,n\in \BbbZ
P (j)
mn, P (j)
mn =
\biggl\{
z \in \BbbC : | z - (\Omega mn - \omega j)| <
1
\psi (| \Omega mn| )
\biggr\}
.
Теорема 2. Якщо \psi \in S, то за умов (5), (6)
\sigma \prime j(z)
\sigma j(z)
= 2\eta 1z -
2\pi i
\lambda \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha
\mathrm{I}\mathrm{m} z +O(\psi (| z| )) (z \rightarrow \infty , z /\in Tj(\psi )), j = 1, 3, (19)
\vargamma \prime j+1(z)
\vargamma j+1(z)
= - 2\pi i
\lambda \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha
\mathrm{I}\mathrm{m}z +O(\psi (| z| )) (z \rightarrow \infty , z /\in Tj(\psi )), j = 0, 3. (20)
Зазначимо, що формули (19), (20) випливають iз рiвностей (j = 1, 3)
\sigma \prime j(z)
\sigma j(z)
= \zeta (z + \omega j) - \eta j ,
\vargamma \prime 1(z)
\vargamma 1(z)
= \zeta (z) - 2\eta 1z,
\vargamma \prime j+1(z)
\vargamma j+1(z)
=
\sigma \prime j(z)
\sigma j(z)
- 2\eta 1z
та асимптотичної формули
\zeta (z) = 2\eta 1z -
2\pi i
\lambda \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha
Im z +O(\psi (| z| )) (z \rightarrow \infty , z /\in T0(\psi )),
яка вказана в теоремi 2 з [3].
Зауваження 3. Якщо \psi \in S\beta , то кожна множина Tj(\psi ), j = 0, 3, при довiльному \mu такому,
що
2
1 + \beta
< \mu \leq 2, має нульову \mu -щiльнiсть, що також випливає з теореми 2 роботи [3].
Лiтература
1. Коренков Н. Е. Об асимптотических свойствах сигма-функций Вейерштрасса и тета-функций Якоби // Укр.
мат. журн. – 1989. – 41, № 5. – С. 707–710.
2. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций: В 2 т. – М.: Наука, 1968. – Т. 2. – 624 с.
3. Зайонц Ю., Коренков М. Є., Харкевич Ю. I. Про асимптотику деяких функцiй Вейєрштрасса // Укр. мат. журн. –
2015. – 67, № 1. – С. 135–138.
Одержано 18.09.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1625 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:24Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/db/cf9eaff8c296d761c5cbae3ebc7d00db.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16252019-12-05T09:21:04Z On the asymptotic of associate sigma-functions and Jacobi theta-functions Про асимптотику асоційованих сигма-функцій і тета-функцій Якобі Korenkov, M. E. Kharkevych, Yu. I. Коренков, М. Є. Харкевич, Ю. І. For the associated sigma-functions, Jacobi theta-functions, and their logarithmic derivatives, we present asymptotic formulas valid outside an efficiently constructed exceptional sets of discs. Для асоцiйованих сигма-функцiй, тета-функцiй Якобi та їх логарифмiчних похiдних наведено асимптотичнi формули, якi є правильними зовнi виняткових множин кругiв, що побудованi ефективно. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1625 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 8 (2018); 1149-1152 Український математичний журнал; Том 70 № 8 (2018); 1149-1152 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1625/607 Copyright (c) 2018 Korenkov M. E.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Korenkov, M. E. Kharkevych, Yu. I. Коренков, М. Є. Харкевич, Ю. І. On the asymptotic of associate sigma-functions and Jacobi theta-functions |
| title | On the asymptotic of associate sigma-functions and Jacobi
theta-functions |
| title_alt | Про асимптотику асоційованих сигма-функцій і тета-функцій Якобі |
| title_full | On the asymptotic of associate sigma-functions and Jacobi
theta-functions |
| title_fullStr | On the asymptotic of associate sigma-functions and Jacobi
theta-functions |
| title_full_unstemmed | On the asymptotic of associate sigma-functions and Jacobi
theta-functions |
| title_short | On the asymptotic of associate sigma-functions and Jacobi
theta-functions |
| title_sort | on the asymptotic of associate sigma-functions and jacobi
theta-functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1625 |
| work_keys_str_mv | AT korenkovme ontheasymptoticofassociatesigmafunctionsandjacobithetafunctions AT kharkevychyui ontheasymptoticofassociatesigmafunctionsandjacobithetafunctions AT korenkovmê ontheasymptoticofassociatesigmafunctionsandjacobithetafunctions AT harkevičûí ontheasymptoticofassociatesigmafunctionsandjacobithetafunctions AT korenkovme proasimptotikuasocíjovanihsigmafunkcíjítetafunkcíjâkobí AT kharkevychyui proasimptotikuasocíjovanihsigmafunkcíjítetafunkcíjâkobí AT korenkovmê proasimptotikuasocíjovanihsigmafunkcíjítetafunkcíjâkobí AT harkevičûí proasimptotikuasocíjovanihsigmafunkcíjítetafunkcíjâkobí |