Jackson – Stechkin-type inequalities for the approximation of elements of Hilbert spaces
We introduce new characteristics for elements of Hilbert spaces, namely, generalized moduli of continuity \$\omega_{ \varphi} (x, L_p, V ([0, \delta]))$ and obtain new exact Jackson – Stechkin-type inequalities with these moduli of continuity for the approximation of elements of Hilbert spaces. Thes...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1626 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507446792945664 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Konareva, S. V. Бабенко, В. Ф. Конарева, С. В. Бабенко, В. Ф. Конарева, С. В. |
| author_facet | Babenko, V. F. Konareva, S. V. Бабенко, В. Ф. Конарева, С. В. Бабенко, В. Ф. Конарева, С. В. |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:25Z |
| description | We introduce new characteristics for elements of Hilbert spaces, namely, generalized moduli of continuity \$\omega_{ \varphi} (x, L_p, V ([0, \delta]))$ and obtain new exact Jackson – Stechkin-type inequalities with these moduli of continuity for the approximation of
elements of Hilbert spaces. These results include numerous well-known inequalities for the approximation of periodic functions by trigonometric polynomials, approximation of nonperiodic functions by entire functions of exponential type, similar results for almost periodic functions, etc. Some of these results are new even in these classical cases. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко, С. В. Конарева (Днепр. нац. ун-т)
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА – СТЕЧКИНА
ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
We introduce new characteristics for elements of Hilbert spaces, namely, generalized moduli of continuity \omega \varphi (x, Lp,V ([0,
\delta ])) and obtain new exact Jackson – Stechkin-type inequalities with these moduli of continuity for the approximation of
elements of Hilbert spaces. These results include numerous well-known inequalities for the approximation of periodic
functions by trigonometric polynomials, approximation of nonperiodic functions by entire functions of exponential type,
similar results for almost periodic functions, etc. Some of these results are new even in these classical cases.
Введено новi характеристики елементiв гiльбертового простору — узагальненi модулi неперервностi \omega \varphi (x, Lp,V ([0,
\delta ])) та отримано новi точнi нерiвнoстi типу Джексона – Стєчкiна з цими модулями неперервностi для апроксимацiї
елементiв гiльбертового простору. Цi результати мiстять багато вiдомих нерiвнoстей для апроксимацiї перiодичних
функцiй тригонометричними полiномами, апроксимацiї неперiодичних функцiй цiлими функцiями експоненцiаль-
ного типу, аналогiчнi результати для майже перiодичних функцiй та iншi. Деякi результати є новими вже в цих
класичних випадках.
1. Введение. Пусть X — нормированное пространство над полем комплексных чисел. Наи-
лучшим приближением элемента x \in X подпространством W \subset X называется величина
E (f,W )X = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in W
\| f - h\| X .
Если G — действительная ось \BbbR или единичная окружность \BbbT , реализованная как отрезок
[0, 2\pi ] с отождествленными концами, то через X(G) будем обозначать нормированное про-
странство комплекснозначных функций, заданных на G. В частности, мы будем рассматривать
пространства Lp(G) и C(G). Наилучшее приближение функции f \in X(\BbbT ) тригонометриче-
скими полиномами порядка не выше n - 1 будем обозначать через En(f)X(\BbbT ).
Модуль непрерывности порядка m \in \BbbN функции f \in X(G) определяется так:
\omega m(f, \delta )X(G) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq t\leq \delta
\bigm\| \bigm\| \Delta m
t f
\bigm\| \bigm\|
X(G)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq t\leq \delta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m\sum
k=0
( - 1)m - kCkmf(\cdot + kt)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X(G)
.
Неравенства, оценивающие величины E(f,W )X(G) через значение модуля непрерывнос-
ти \omega m(f, \delta )X(G) в некоторой точке \delta , называются неравенcтвами типа Джексона (Джексона –
Стечкина при m \geq 2). Первое точное неравенство типа Джексона для наилучших равномерных
приближений функций из C(\BbbT ) тригонометрическими полиномами было получено Н. П. Кор-
нейчуком [1] в 1962 году. Аналогичный результат для наилучших равномерных приближений
функций f \in C(\BbbR ) целыми функциями экспоненциального типа \sigma был получен В. К. Дзяды-
ком [2].
В 1967 г. Н. И. Черных [3, 4] доказал два неулучшаемых неравенства для функций f \in
\in L2(\BbbT ):
c\bigcirc В. Ф. БАБЕНКО, С. В. КОНАРЕВА, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9 1155
1156 В. Ф. БАБЕНКО, С. В. КОНАРЕВА
En (f)L2(\BbbT ) \leq
1\surd
2
\omega 1
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
L2(\BbbT )
, En (f)L2(\BbbT ) \leq
1\sqrt{}
Cm2m
\omega m
\biggl(
f,
2\pi
n
\biggr)
L2(\BbbT )
, m \geq 2. (1)
(Для f \not =const имеет место знак строгого неравенства.)
Аналогичные результаты для наилучших L2(\BbbR )-приближений функций f \in L2(\BbbR ) целыми
функциями экспоненциального типа \sigma были получены в [5, 6], а для наилучших приближений
B2-почти периодических функций — в [7, 8].
Для получения неравенств (1) в [3, 4] были установлены точные неравенства вида
En(f) \leq K
\left\{
\delta \int
0
\omega 2
m(f, t)v(t)dt
\right\}
1/2
(2)
c \delta = \pi /n и v(t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt для m = 1 и с \delta = 2\pi /n и v(t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt+ 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(nt/2) для m \geq 2.
Л. В. Тайков [9, 10] начал систематическое исследование задачи о точных неравенствах
вида (2). В дальнейшем работы многих математиков были посвящены получению точных нера-
венств такого типа. Информацию о полученных в этом направлении результатах и дальнейшие
ссылки см. в работах [11, 12].
В связи сo вторым из неравенств (1) изучались, в частности, следующие вопросы.
1. Чему равна точная константа в неравенстве
En (f)L2(\BbbT ) \leq \chi \omega m
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
L2(\BbbT )
, m \geq 2? (3)
2. Каково должно быть минимальное значение \delta > 0, чтобы для произвольной функции
f \in L2(\BbbT )
En (f)L2(\BbbT ) \leq
1\sqrt{}
Cm2m
\omega m
\biggl(
f,
\delta
n
\biggr)
L2(\BbbT )
, m \geq 2? (4)
В [13, 14] показано, что для точной константы \chi в неравенстве (3) имеет место оценка \chi \leq
\leq
\surd
m+ 1
2m
. В [13] также показано, что для минимальной точки \delta в неравенстве (4) справедлива
оценка \delta \leq 1,4\pi .
Неравенства типа Джексона – Стечкина с обобщенными модулями непрерывности, введен-
ными в работах Г. Шапиро и Я. Бомана [15 – 17] (совокупность таких модулей непрерывно-
сти содержит, помимо классических, модули непрерывности, порожденные более общими, по
сравнению с \Delta m
t f, конечно-разностными операторами, разностными операторами дробных
порядков, и многие другие), изучались, например, в работах [13, 18 – 20].
В ряде работ (см., например, [21, 22]) задача о точных неравенствах типа Джексона –
Стечкина изучалась в абстрактных гильбертовых пространствах. Целью данной статьи является
дальнейшее изучение этой задачи.
В пункте 2 приведены два неравенства для операторов в гильбертовом пространстве. Неко-
торые необходимые факты из спектральной теории приведены в пункте 3. В пункте 4 введены
обобщенные модули непрерывности элементов гильбертова пространства. Точные оценки ве-
личин
\bigm| \bigm| (x - \Lambda x, f)
\bigm| \bigm| в терминах введенных характеристик получены в пункте 5 (при этом
использованы неравенства из пункта 2), а неравенства типа Джексона – Стечкина в гильберто-
вом пространстве — в пункте 6. Некоторые конкретизации результатов из пункта 6 обсуждаются
в пункте 7.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА – СТЕЧКИНА ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ . . . 1157
2. Одно неравенство для операторов в гильбертовом пространстве. Пусть H — комп-
лексное гильбертово пространство со скалярным произведением (\cdot , \cdot ) и нормой \| \cdot \| =
\sqrt{}
(\cdot , \cdot ).
Пусть S, T : H \rightarrow H — линейные ограниченные операторы, такие, что ST = TS. Будем
предполагать, что оператор S| T (H) : T (H) \rightarrow S(T (H)) имеет обратный (S| T (H))
- 1. Через T \ast
и S\ast будем, как обычно, обозначать сопряженные операторы.
Теорема 1. Для любых f \in H и x \in H выполняется неравенство\bigm| \bigm| (Tx, f)\bigm| \bigm| \leq \| Sx\|
\bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f
\bigm\| \bigm\| . (5)
Если \bigl(
(S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
(H) \subset S(T (H)), (6)
то неравенство (5) является точным и обращается в равенство для
\~x = (S| T (H))
- 1
\bigl(
(S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f. (7)
Доказательство. Имеем\bigm| \bigm| (Tx, f)\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| ((S| T (H))
- 1S| T (H)Tx, f)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| ((S| T (H))
- 1STx, f)
\bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| ((S| T (H))
- 1TSx, f)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigl( Sx, \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq \| Sx\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f
\bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Неравенство (5) доказано.
Для элемента \~x имеем
S\~x = S(S| T (H))
- 1
\bigl(
(S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f = S| T (H)(S| T (H))
- 1
\bigl(
(S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f =
\bigl(
(S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f.
Следовательно,
(T \~x, f) =
\bigl(
S\widetilde x, \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f
\bigr)
=
\bigl( \bigl(
(S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f,
\bigl(
(S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f
\bigr)
=
=
\bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f
\bigm\| \bigm\| 2 = \bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f
\bigm\| \bigm\| =
= \| S\~x\|
\bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f
\bigm\| \bigm\| .
Теорема доказана.
Следствие 1. Для любого x \in H
\| Tx\| \leq \| Sx\|
\bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast \bigm\| \bigm\| . (8)
Если выполнено условие (6), то неравенство (8) является точным.
Доказательство. Из неравенства (5) получаем
\| Tx\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in H
\| f\| \leq 1
| (Tx, f)| \leq \| Sx\| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in H
\| f\| \leq 1
\bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f
\bigm\| \bigm\| = \| Sx\|
\bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast \bigm\| \bigm\| .
Докажем точность полученного неравенства. Пусть элемент \~f \in H, \| \~f\| = 1, таков, что\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast \~f\bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast \bigm\| \bigm\| .
Положим
\~x = (S| T (H))
- 1
\bigl(
(S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast \~f.
Тогда будем иметь (см. доказательство точности неравенства (5))
\| T \~x\| \geq
\bigm| \bigm| (T \~x, \~f)\bigm| \bigm| = \| S\~x\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast \~f\bigm\| \bigm\| \bigm\| = \| S\~x\|
\bigm\| \bigm\| \bigl( (S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast \bigm\| \bigm\| .
Следствие доказано.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1158 В. Ф. БАБЕНКО, С. В. КОНАРЕВА
3. Необходимые сведения из спектральной теории операторов в гильбертовом про-
странстве. Пусть задано гильбертово пространство H. Говорят (см. [23], гл. ХIII, §1), что
на \sigma -алгебре \scrB борелевских подмножеств числовой прямой задано разложение единицы E,
если каждому \beta \in \scrB поставлен в соответствие проектирующий оператор E(\beta ) в H, причем
выполняются следующие условия:
1) E(\varnothing ) = 0, E(\BbbR ) = I;
2) для любой последовательности \{ \beta j\} \infty j=1 \subset \scrB , состоящей из попарно непересекающихся
множеств,
E
\left( \infty \bigcup
j=1
\beta j
\right) =
\infty \sum
j=1
E(\beta j).
Заданное разложение единицы порождает [23] (гл. ХIII, § 6, 7) группу унитарных операторов
Ut и самосопряженный оператор A:
Utx =
+\infty \int
- \infty
eist dE(s)x, t \in \BbbR , Ax =
+\infty \int
- \infty
t dE(t)x.
Измеримая и почти везде конечная функция F : \BbbR \rightarrow \BbbC определяет функцию F (A) от самосо-
пряженного оператора A:
F (A)x =
\infty \int
- \infty
F (t) dE(t)x.
При этом
D(F (A)) :=
\left\{ x \in H :
\infty \int
- \infty
| F (t)| 2 d(E(t)x, x) <\infty
\right\} и \| F (A)x\| 2 =
\infty \int
- \infty
| F (t)| 2 d(E(t)x, x).
Для сопряженного оператора F (A)\ast и для оператора, обратного к F (A) (если он определен),
имеем
F (A)\ast x =
\infty \int
- \infty
F (t) dE(t)x и F (A) - 1x =
\infty \int
- \infty
1
F (t)
dE(t)x.
4. Обобщенные модули непрерывности элементов гильбертова пространства. Обозна-
чим через \Phi множество непрерывных неотрицательных 2\pi -периодических функций \psi , име-
ющих нигде не плотное множество нулей и таких, что \psi (0) = 0. Пусть \widehat fs — коэффициенты
Фурье функции f, \psi (\cdot ) \in \Phi . В работах [15 – 17] было предложено обобщенным модулем
непрерывности функции f \in L2(\BbbT ) называть функцию
\omega \psi (f, \delta )L2(\BbbT ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,\delta ]
\Biggl( \sum
s\in \BbbZ
\psi (st)| \widehat fs| 2\Biggr) 1/2
, \delta \geq 0.
Пусть \varphi : \BbbC \rightarrow \BbbC — непрерывная функция, такая, что \psi (t) =
\bigm| \bigm| \varphi (eit)\bigm| \bigm| 2 \in \Phi . В частности,
\varphi (1) = 0 и на любой дуге окружности | z| = 1 функция \varphi (z) отлична от тождественного нуля.
Определим обoбщенную разность элемента x \in H с шагом t, положив
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА – СТЕЧКИНА ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ . . . 1159
\Delta \varphi
t x =
+\infty \int
- \infty
\varphi
\bigl(
eits
\bigr)
dE(s)x.
Ясно, что
\| \Delta \varphi
t x\|
2
=
+\infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \varphi (eits)\bigm| \bigm| 2 d\bigl( E(s)x, x
\bigr)
=
+\infty \int
- \infty
\psi (st) d
\bigl(
E(s)x, x
\bigr)
.
Отметим, что \| \Delta \varphi
t x\| непрерывно зависит от t и \| \Delta \varphi
t x\| \rightarrow 0, t\rightarrow 0.
Обобщенным модулем непрерывности элемента x гильбертова пространства H назовем
\omega \varphi (x, \delta ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq t\leq \delta
\| \Delta \varphi
t x\| = \| \| \Delta \varphi
t x\| \| C([0,\delta ]) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
+\infty \int
- \infty
\psi (st) d
\bigl(
E(s)x, x
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1/2
C([0,\delta ])
. (9)
Кроме \omega \varphi (x, \delta ) = \omega \varphi
\bigl(
x,C([0, \delta ])
\bigr)
будем рассматривать характеристики \omega \varphi
\bigl(
x, Lp,V ([0, \delta ])
\bigr)
,
в которых 1 \leq p < \infty , V (t) — вес, т. е. неотрицательная интегрируемая на [0, 1] функция,
отличная от нуля на множестве полной меры. Положим
\omega \varphi
\bigl(
x, Lp,V ([0, \delta ])
\bigr)
=
\left( 1
\delta
\delta \int
0
\| \Delta \varphi
t x\| pV
\biggl(
t
\delta
\biggr)
dt
\right) 1/p
.
Ясно, что
\omega \varphi
\bigl(
x, L2,V ([0, \delta ])
\bigr)
=
\left( 1
\delta
\delta \int
0
V
\biggl(
t
\delta
\biggr) +\infty \int
- \infty
\psi (st) d
\bigl(
E(s)x, x
\bigr)
dt
\right) 1/2 =
=
\left( +\infty \int
- \infty
\Gamma (V, \delta s) d
\bigl(
E(s)x, x
\bigr) \right) 1/2 ,
где
\Gamma (V, t) =
1\int
0
\psi (t\upsilon )V (\upsilon ) d\upsilon .
Функция \Gamma (V, t) непрерывно зависит от t и равна нулю только в точке нуль. Отметим, что при
любом \delta > 0 будет \omega \varphi
\bigl(
x;Lp,V ([0, \delta ])
\bigr)
\rightarrow \omega \varphi
\bigl(
x;C([0, \delta ])
\bigr)
, если p\rightarrow \infty .
Ниже нам будет удобно предполагать, что
\bigm\| \bigm\| V (\cdot )
\bigm\| \bigm\|
1
:=
\bigm\| \bigm\| V (\cdot )
\bigm\| \bigm\|
L1([0,1])
= 1. Тогда в силу
неравенства Гельдера для 2 \leq p \leq \infty при всех \delta > 0 имеем
\omega \varphi
\bigl(
x, L2,V ([0, \delta ])
\bigr)
\leq \omega \varphi
\bigl(
x, Lp,V ([0, \delta ])
\bigr)
. (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1160 В. Ф. БАБЕНКО, С. В. КОНАРЕВА
5. Оценки величин | (\bfitx - \bfLambda \bfitx , \bfitf )| . Будем рассматривать задачи аппроксимации элементов
гильбертова пространства подпространствами вида
W\sigma =
\left\{
\int
| t| <\sigma
dE(s)g : g \in H
\right\} , \sigma > 0.
Для аппроксимации будем использовать линейные методы приближения вида
\Lambda x =
\int
| t| <\sigma
\lambda (t) dE(t)x,
где \lambda (t) — непрерывная в ( - \sigma , \sigma ), ограниченная, комплекснозначная функция, тождественно
равная единице в некотором интервале ( - \varepsilon , \varepsilon ), 0 < \varepsilon < \sigma . Тогда
(I - \Lambda )x = x - \Lambda x =
\int
| t| <\sigma
(1 - \lambda (t)) dE(t)x+
\int
| t| \geq \sigma
dE(t)x =
\infty \int
- \infty
\theta (t) dE(t)x,
где \theta (t) = 1 - \lambda (t), если | t| < \sigma , и \theta (t) = 1, если | t| \geq \sigma .
Для любого элемента x \in H такого, что x \not = Utx при некотором t, рассмотрим значение
функционала f \in H\ast = H на разности x - \Lambda x. Получим неравенства, связывающие | (x -
- \Lambda x, f)| и \omega \varphi
\bigl(
x, L2,V ([0, \delta ])
\bigr)
. В теореме 1 положим S = \Gamma (V, \delta \cdot )1/2(A), T = I - \Lambda , T и S —
ограниченные операторы. При этом в силу того, что \theta (t) \equiv 0 для t \in ( - \varepsilon , \varepsilon ), а непрерывная
функция \Gamma (V, \delta t) равна нулю только в точке нуль, оператор (S| T (H))
- 1 существует,
(S| T (H))
- 1T =
\infty \int
- \infty
\theta (t) dE(t)
\Gamma (V, \delta t)1/2
,
\Bigl( \bigl(
S| T (H)
\bigr) - 1
T
\Bigr) \ast
=
\infty \int
- \infty
\theta (t) dE(t)
\Gamma (V, \delta t)1/2
(как обычно, считаем, что 0/0 = 0) и для любых x, f \in H
\| Sx\| 2 = \omega \varphi
\bigl(
F (A)x, L2,V ([0, \delta ])
\bigr) 2
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \bigl( S| T (H)
\bigr) - 1
T
\Bigr) \ast
f
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 = \infty \int
- \infty
| \theta (t)| 2 d(E(t)f, f)
\Gamma (V, \delta t)
. (11)
Используя неравенство (5), получаем
\bigm| \bigm| (x - \Lambda x, f)
\bigm| \bigm| \leq
\left( \infty \int
- \infty
| \theta (t)| 2d(E(t)f, f)
\Gamma (V, \delta t)
\right) 1/2 \omega \varphi \bigl( x, L2,V ([0, \delta ])
\bigr)
. (12)
Как следует из теоремы 1, это неравенство обращается в равенство для элемента
\~x =
\infty \int
- \infty
\theta (t)
\Gamma (V, \delta t)
dE(t)f.
Действительно, используя свойство мультипликативности спектральных интегралов
(см. [23], гл. XIII, §2), нетрудно проверить, что для определенных в данном пункте опера-
торов S и T условие (6) выполняется. Нетрудно также проверить, что для x \in S(T (H))
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА – СТЕЧКИНА ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ . . . 1161
(S| T (H))
- 1x =
\infty \int
- \infty
1
\Gamma (V, \delta t)1/2
dE(t)x.
Используя формулу (7) и свойство мультипликативности спектральных интегралов, получаем,
что неравенство (12) обращается в равенство для элемента
\~x = (S| T (H))
- 1
\bigl(
(S| T (H))
- 1T
\bigr) \ast
f =
=
\infty \int
- \infty
1
\Gamma (V, \delta t)1/2
dE(t)
\infty \int
- \infty
\theta (t)
\Gamma (V, \delta t)1/2
dE(t)f =
\infty \int
- \infty
\theta (t)
\Gamma (V, \delta t)
dE(t)f.
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 2. Для произвольной непрерывной в ( - \sigma , \sigma ), ограниченной, комплекснозначной
функции \lambda (t) такой, что \lambda (t) \equiv 1 в ( - \varepsilon , \varepsilon ), 0 < \varepsilon < \sigma , линейного метода приближения
\Lambda x =
\int
| t| <\sigma
\lambda (t) dE(t)x, любого элемента x \in H такого, что x \not = Utx для некоторого t,
любого элемента f \in H и любого веса V (t) имеет место неулучшаемое неравенство (12). В
частности, \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( x -
\int
| t| <\sigma
dE(t)x, f
\right)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\left( \int
| t| \geq \sigma
d(E(t)f, f)
\Gamma (V, \delta t)
\right)
1/2
\omega \varphi
\bigl(
x, L2,V ([0, \delta ])
\bigr)
.
6. Неравенства типа Джексона – Стечкина. Из неравенства (8) с учетом (11) выводим
\| x - \Lambda x\| 2 \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \bigl( S| T (H)
\bigr) - 1
T
\Bigr) \ast \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 \omega \varphi \bigl( x, L2,V ([0, \delta ])
\bigr) 2
.
Положим
\scrH (V, \lambda , \delta , \sigma ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| <\sigma
| 1 - \lambda (t)| 2
\Gamma (V, \delta t)
, \scrG (V, \delta , \sigma ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
| t| \geq \sigma
\Gamma (V, \delta t).
Тогда будем иметь
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \bigl( S| T (H)
\bigr) - 1
T
\Bigr) \ast \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| f\| =1
\infty \int
- \infty
| \theta (t)| 2d(E(t)f, f)
\Gamma (V, \delta t)
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| f\| =1
\left( \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| <\sigma
| 1 - \lambda (t)| 2
\Gamma (V, \delta t)
\int
| t| <\sigma
d(E(t)f, f) + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| \geq \sigma
1
\Gamma (V, \delta t)
\int
| t| \geq \sigma
d(E(t)f, f)
\right) \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\scrH (V, \lambda , \delta , \sigma ),
1
\scrG (V, \delta , \sigma )
\biggr\}
.
Покажем, что если разложение единицы таково, что E
\bigl(
[t, t + \varepsilon ]
\bigr)
\not = 0 для произвольных
t \in \BbbR и \varepsilon > 0, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1162 В. Ф. БАБЕНКО, С. В. КОНАРЕВА\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \bigl( S| T (H)
\bigr) - 1
T
\Bigr) \ast \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\scrH (V, \lambda , \delta , \sigma ),
1
\scrG (V, \delta , \sigma )
\biggr\}
. (13)
Рассмотрим случай, когда \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\scrH (V, \lambda , \delta , \sigma ),
1
\scrG (V, \delta , \sigma )
\biggr\}
=
1
\scrG (V, \delta , \sigma )
. Зададим произволь-
ное \varepsilon > 0. Пусть t\varepsilon , | t\varepsilon | \geq \sigma , таково, что \Gamma (V, \delta t\varepsilon ) \leq \scrG (V, \delta , \sigma ) + \varepsilon (для определенности будем
считать, что t\varepsilon \geq \sigma .) Пусть \gamma > 0 настолько мало, что в интервале [t\varepsilon , t\varepsilon + \gamma ] выполняется
неравенство \Gamma (V, \delta t) \leq \Gamma (V, \delta t\varepsilon ) + \varepsilon (в силу непрерывности функции \Gamma (V, \delta t) такой выбор \gamma
возможен). Выберем элемент f\varepsilon \in E
\bigl(
[t\varepsilon , t\varepsilon + \gamma ]
\bigr)
(H) так, что \| f\varepsilon \| = 1. Тогда получим
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| f\| =1
\infty \int
- \infty
| \theta (t)| 2d(E(t)f, f)
\Gamma (V, \delta t)
\geq
\int
[t\varepsilon ,t\varepsilon +\gamma ]
d(E(t)f\varepsilon , f\varepsilon )
\Gamma (V, \delta t)
\geq
\geq 1
\scrG (V, \delta , \sigma ) + 2\varepsilon
\int
[t\varepsilon ,t\varepsilon +\gamma ]
d(E(t)f\varepsilon , f\varepsilon ) =
1
\scrG (V, \delta , \sigma ) + 2\varepsilon
.
В силу произвольности \varepsilon в рассматриваемом случае соотношение (13) доказано. Cлучай, когда
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\scrH (V, \lambda , \delta , \sigma ),
1
\scrG (V, \delta , \sigma )
\biggr\}
= \scrH (V, \lambda , \delta , \sigma ), рассматривается аналогично.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 3. Для любого элемента x \in H такого, что x \not = Utx при некотором t, выполня-
ется неравенство
\| x - \Lambda x\| 2 \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\scrH (V, \lambda , \delta , \sigma ),
1
\scrG (V, \delta , \sigma )
\biggr\}
\omega \varphi
\bigl(
x, L2,V ([0, \delta ])
\bigr) 2
. (14)
В частности, для наилучшего приближения элемента x \in H подпространством W\sigma имеем
E\sigma (x)
2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| x -
\int
| t| <\sigma
dE(t)x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
\leq 1
\scrG (V, \delta , \sigma )
\omega \varphi
\bigl(
x, L2,V ([0, \delta ])
\bigr) 2
. (15)
Если разложение единицы таково, что E
\bigl(
[t, t + \varepsilon ]
\bigr)
\not = 0 для произвольных t \in \BbbR и \varepsilon > 0, то
неравенства (14) и (15) являются точными.
Следствие 2. В условиях теоремы 3 при 2 \leq p \leq \infty имеет место неравенство
E\sigma (x) \leq
1
\scrG (V, \delta , \sigma )1/2
\omega \varphi
\bigl(
x, Lp,V ([0, \delta ])
\bigr)
. (16)
Приведем обобщения некоторых результатов из [13, 19].
Если найдется такой вес V = \widetilde V (напомним, что \| V \| 1 = 1), что для него при некотором
\gamma > 0 выполняется неравенство
\scrG
\Bigl(
V,
\gamma
\sigma
, \sigma
\Bigr)
= \scrG (V, 1, \gamma ) \geq \scrI (\psi ), (17)
где \scrI (\psi ) = 1
2\pi
\int 2\pi
0
\psi (t) dt, то из (16) при 2 \leq p \leq \infty будем иметь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА – СТЕЧКИНА ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ . . . 1163
E\sigma (x) \leq
1\sqrt{}
\scrI (\psi )
\omega \varphi
\Bigl(
x, L
p,\widetilde V
\Bigl( \Bigl[
0,
\gamma
\sigma
\Bigr] \Bigr) \Bigr)
. (18)
В частности, при p = \infty
E\sigma (x) \leq
1\sqrt{}
\scrI (\psi )
\omega \varphi
\Bigl(
x,C
\Bigl( \Bigl[
0,
\gamma
\sigma
\Bigr] \Bigr) \Bigr)
=
1\sqrt{}
\scrI (\psi )
\omega \varphi
\Bigl(
x,
\gamma
\sigma
\Bigr)
. (19)
В [19] доказано, что такой вес существует, и приведена схема построения функции \widetilde V (t).
Таким образом, установлено следующее утверждение.
Теорема 4. Для любой функции \varphi : \BbbC \rightarrow \BbbC такой, что \psi \in \Phi , существует точка \gamma > 0
такая, что для любых x \in H и \sigma > 0 выполняются неравенства (18) и (19).
Сузим по сравнению с \Phi класс рассматриваемых функций \psi . Через \Psi обозначим (см. [13])
совокупность функций \psi \in \Phi таких, что:
1) \psi ( - t) = \psi (t) и \psi (\pi - t) = \psi (\pi + t) для t \in \BbbR ;
2)
1
t
\int t
0
\psi (s) ds \leq 1
\pi
\int \pi
0
\psi (s) ds для любого t \in (0, \pi ).
Пусть
Z(t) =
\left\{
2t
7
, t \in
\biggl[
0,
1
7
\biggr]
,
- t2
2
+
3t
7
- 1
98
, t \in
\biggl[
1
7
,
5
7
\biggr]
,
t2
2
- t+
1
2
, t \in
\biggl[
5
7
, 1
\biggr]
.
Положим V \ast (t) = Z(t)/\| Z(\cdot )\| 1. Из результатов работы [13] (теорема 1) следует, что для веса
V = V \ast , для \psi \in \Psi и любого \gamma \geq 7\pi
5
выполняется неравенство (17). Поэтому справедлива
следующая теорема.
Теорема 5. Для любой функции \varphi : \BbbC \rightarrow \BbbC такой, что \psi \in \Psi , для любых \gamma \geq 7\pi
5
, x \in H
и \sigma > 0 выполняются неравенства (18) (с заменой \widetilde V на V \ast ) и (19).
Теперь рассмотрим вес
\widehat V (t) =
\left\{ 5/4, t \in [0, 1/2],
3/4, t \in (1/2, 1],
\| \widehat V \| 1 = 1.
В [13] (теорема 2) показано, что для \psi \in \Psi и \gamma = \pi выполняется неравенство
\scrG
\Bigl( \widehat V , \gamma
\sigma
, \sigma
\Bigr)
\geq 3
4
\scrI (\psi ).
Из (16) следует справедливость следующей теоремы.
Теорема 6. Для любой функции \varphi : \BbbC \rightarrow \BbbC такой, что \psi \in \Psi , любых x \in H и \sigma > 0
выполняется неравенство
E\sigma (x) \leq
\biggl(
4
3
\biggr) 1/2 1\sqrt{}
\scrI (\psi )
\omega \varphi
\Bigl(
x, L
p,\widehat V
\Bigl( \Bigl[
0,
\pi
\sigma
\Bigr] \Bigr) \Bigr)
, 2 \leq p \leq \infty . (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1164 В. Ф. БАБЕНКО, С. В. КОНАРЕВА
7. Некоторые приложения. Приведенные выше результаты включают в себя ряд точных
неравенств типа Джексона – Стечкина (см., например, [13, 19]) для наилучших L2-приближений
периодических функций тригонометрическими полиномами, результаты по наилучшим L2-
приближениям функций, заданных на всей оси целыми функциями экспоненциального типа, а
также аналогичные результаты для почти периодических функций. В этих конкретных случаях
некоторые результаты являются новыми.
Результаты для периодических функций получаются, если в пространстве L2(\BbbT ) выбрать
разложение единицы следующим образом. Для любых борелевского множества \beta \subset \BbbT и функ-
ции x \in L2(\BbbT )
E(\beta )x(t) :=
\sum
k\in \beta
\^xk e
ikt.
Результаты для функций из L2(\BbbR ) получаются, если в этом пространстве выбрать разло-
жение единицы, соответствующее оператору
1
i
d
du
, для которого, в силу формулы обращения
преобразования Фурье,
E
\bigl(
[s, t]
\bigr)
x(t) =
1
2\pi
+\infty \int
- \infty
eit(z - u) - eis(z - u)
i(z - u)
x(z) dz, s, t \in \BbbR , s < t.
Подробнее остановимся на случае почти периодических функций. В линейном простран-
стве \Pi функций, почти периодических по Бору, можно ввести скалярное произведение (см. [24],
дополнение, §7) (x, y) = M
\bigl[
x(t)y(t)
\bigr]
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}T\rightarrow \infty
1
T
\int T
0
x(t)y(t) dt и норму \| \cdot \| = (\cdot , \cdot )1/2.
Пополняя полученное предгильбертово пространство, получаем гильбертово пространство \widetilde \Pi ,
которое содержится в пространстве B2 функций, почти периодических по Безиковичу (про-
странства такого типа рассматривались, например, в [25]). Для x \in \widetilde \Pi и \lambda \in \BbbR положим
a(x, \lambda ) =M
\bigl[
x(t)e - i\lambda t
\bigr]
.
Как известно, для любой x \in \widetilde \Pi множество \mathrm{S}\mathrm{p}(x) = \{ \lambda : a(x, \lambda ) \not = 0\} не более чем счетно.
В пространстве \widetilde \Pi определим разложение единицы следующим образом. Для любых боре-
левского множества \beta \subset \BbbR и функции x \in \widetilde \Pi
E(\beta )x(t) :=
\sum
\lambda \in \beta \cap Sp(x)
a(x, \lambda )ei\lambda t.
Тогда будем иметь \infty \int
- \infty
dE(s)x(t) =
\sum
\lambda \in Sp(x)
a(x, \lambda )ei\lambda t.
Для \sigma > 0 положим
\scrE \sigma (x) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y\in \widetilde \Pi
Sp(y)\subset ( - \sigma ,\sigma )
\| x - y\| .
Будем для простоты рассматривать только функции x \in \widetilde \Pi , для которых \mathrm{S}\mathrm{p}(x) имеет един-
ственную предельную точку в бесконечности. В силу равенства Парсеваля
\scrE 2
\sigma (x) =
\sum
\lambda \in Sp(x)
| \lambda | \geq \sigma
| a(x, \lambda )| 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА – СТЕЧКИНА ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ . . . 1165
Теперь легко видеть, что для величин \scrE \sigma (x) и обобщенных модулей непрерывности \omega \varphi (x, \delta ),
построенных с помощью определенного выше разложения единицы, справедливы теорема 3,
следствие 2, а также (при дополнительных предположениях о функции \varphi ) теоремы 4 – 6.
Литература
1. Корнейчук Н. П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непре-
рывных периодических функций // Докл. АН СССР. – 1962. – 145. – С. 514 – 515.
2. Дзядик В. К. Про точнi верхнi гранi найкращих наближень на деяких класах функцiй, визначених на дiйснiй
осi // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1975. – № 7. – С. 589 – 592.
3. Черных Н. И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды Мат. ин-та АН. – 1967. – 88. – С. 71 – 74.
4. Черных Н. И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 //
Мат. заметки. – 1967. – 2, № 5. – С. 513 – 522.
5. Ибрагимов И. И., Насибов Ф. Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной
оси посредством целых функций констепени // Докл. АН СССР. – 1970. – 194, № 5. – С. 1013 – 1016.
6. Попов В. Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального
типа // Изв. вузов. Математика. – 1972. – 121, № 6. – С. 65 – 73.
7. Притула Я. Г. О неравенстве Джексона для B2 -почти периодических функций // Изв. вузов. Математика. –
1972. – 123, № 8. – С. 90 – 93.
8. Притула Я. Г., Яцимiрський М. М. Оцiнки наближень B2 майже перiодичних функцiй // Вопросы математи-
ческого анализа и его приложение: Вести Львов. ун-та. Сер. мех.-мат. – 1983. – Вып. 21. – С. 3 – 7.
9. Тайков Л. В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства L2 // Мат.
заметки. – 1977. – 22, вып. 4. – C. 535 – 542.
10. Тайков Л. В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 // Мат. заметки. – 1979. – 25,
вып. 2. – C. 217 – 223.
11. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения попереч-
ников некоторых классов функций в L2 // Сиб. мат. журн. – 2011. – 52, № 6. – С. 1414 – 1427.
12. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Неравенства типа Джексона – Стечкина для специальных модулей непрерыв-
ности и поперечники функциональных классов в пространстве L2 // Мат. заметки. – 2012. – 92, вып. 4. –
C. 497 – 514.
13. Васильев С. Н. Неравенство Джексона – Стечкина в L2[ - \pi , \pi ] // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. –
2001. – 7, № 1. – С. 75 – 84.
14. Степанец А. И., Сердюк А. С. Прямые и обратные теоремы теории приближения функций в пространстве
Sp // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 1. – С. 106 – 124.
15. Shapiro H. S. Tauberian theorem related to approximation theory // Acta Math. – 1968. – 120. – P. 279 – 292.
16. Shapiro H. S., Boman J. Comparison theorems for a generalized modulus of continuity // Ark. Mat. – 1971. – 9,
№ 1. – P. 91 – 116.
17. Boman J. Equivalence of generalized modulus of continuity // Ark. Mat. – 1980. – 18, № 1. – P. 73 – 100.
18. Бабенко А. Г. О неравенстве Джексона – Стечкина для наилучших L2 -приближений функций тригонометри-
ческими полиномами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2001. – 7, № 1. – С. 30 – 46.
19. Васильев С. Н. Точное неравенство Джексона – Стечкина в L2 с модулем непрерывности, порожденным
произвольным конечно-разностным оператором с постоянными коэффициентами // Докл. РАН. – 2002. – 385,
№ 1. – С. 11 – 14.
20. Козко А. И., Рождественский А. В. О неравенстве Джексона с обобщенным модулем непрерывности // Мат.
сб. – 2004. – 195, № 8. – С. 3 – 46.
21. Горбачук М. Л., Грушка Я. I., Торба С. М. Прямi й оберненi теореми в теорiї наближень методом Рiтца // Укр.
мат. журн. – 2005. – 57, № 5. – С. 633 – 643.
22. Бабенко В. Ф., Савела С. В. Оценки аппроксимации элементов гильбертова пространства // Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2013. – 10, № 1. – С. 18 – 27.
23. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. – Киев: Вища шк., 1990. – 600 с.
24. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 с.
25. Кузьмина А. Л. Пространства Lp(AP ) и их сопряженные // Изв. вузов. Математика. – 2008. – № 7. – С. 11 – 18.
Получено 11.10.16,
после доработки — 28.03.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1626 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:27Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a5/4152150c78ae5a1061df1e6d47bc97a5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16262019-12-05T09:21:25Z Jackson – Stechkin-type inequalities for the approximation of elements of Hilbert spaces Неравенства типа Джексона – Стечкина для аппроксимации элементов гильбертова пространства Babenko, V. F. Konareva, S. V. Бабенко, В. Ф. Конарева, С. В. Бабенко, В. Ф. Конарева, С. В. We introduce new characteristics for elements of Hilbert spaces, namely, generalized moduli of continuity \$\omega_{ \varphi} (x, L_p, V ([0, \delta]))$ and obtain new exact Jackson – Stechkin-type inequalities with these moduli of continuity for the approximation of elements of Hilbert spaces. These results include numerous well-known inequalities for the approximation of periodic functions by trigonometric polynomials, approximation of nonperiodic functions by entire functions of exponential type, similar results for almost periodic functions, etc. Some of these results are new even in these classical cases. Введено новi характеристики елементiв гiльбертового простору — узагальненi модулi неперервностi $\omega_{ \varphi} (x, L_p, V ([0, \delta]))$ та отримано новi точнi нерiвнoстi типу Джексона – Стєчкiна з цими модулями неперервностi для апроксимацiї елементiв гiльбертового простору. Цi результати мiстять багато вiдомих нерiвнoстей для апроксимацiї перiодичних функцiй тригонометричними полiномами, апроксимацiї неперiодичних функцiй цiлими функцiями експоненцiаль- ного типу, аналогiчнi результати для майже перiодичних функцiй та iншi. Деякi результати є новими вже в цих класичних випадках. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1626 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 9 (2018); 1155-1165 Український математичний журнал; Том 70 № 9 (2018); 1155-1165 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1626/608 Copyright (c) 2018 Babenko V. F.; Konareva S. V. |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Konareva, S. V. Бабенко, В. Ф. Конарева, С. В. Бабенко, В. Ф. Конарева, С. В. Jackson – Stechkin-type inequalities for the approximation of elements of Hilbert spaces |
| title | Jackson – Stechkin-type inequalities for the approximation of elements of Hilbert spaces |
| title_alt | Неравенства типа Джексона – Стечкина для аппроксимации
элементов гильбертова пространства |
| title_full | Jackson – Stechkin-type inequalities for the approximation of elements of Hilbert spaces |
| title_fullStr | Jackson – Stechkin-type inequalities for the approximation of elements of Hilbert spaces |
| title_full_unstemmed | Jackson – Stechkin-type inequalities for the approximation of elements of Hilbert spaces |
| title_short | Jackson – Stechkin-type inequalities for the approximation of elements of Hilbert spaces |
| title_sort | jackson – stechkin-type inequalities for the approximation of elements of hilbert spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1626 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf jacksonstechkintypeinequalitiesfortheapproximationofelementsofhilbertspaces AT konarevasv jacksonstechkintypeinequalitiesfortheapproximationofelementsofhilbertspaces AT babenkovf jacksonstechkintypeinequalitiesfortheapproximationofelementsofhilbertspaces AT konarevasv jacksonstechkintypeinequalitiesfortheapproximationofelementsofhilbertspaces AT babenkovf jacksonstechkintypeinequalitiesfortheapproximationofelementsofhilbertspaces AT konarevasv jacksonstechkintypeinequalitiesfortheapproximationofelementsofhilbertspaces AT babenkovf neravenstvatipadžeksonastečkinadlâapproksimaciiélementovgilʹbertovaprostranstva AT konarevasv neravenstvatipadžeksonastečkinadlâapproksimaciiélementovgilʹbertovaprostranstva AT babenkovf neravenstvatipadžeksonastečkinadlâapproksimaciiélementovgilʹbertovaprostranstva AT konarevasv neravenstvatipadžeksonastečkinadlâapproksimaciiélementovgilʹbertovaprostranstva AT babenkovf neravenstvatipadžeksonastečkinadlâapproksimaciiélementovgilʹbertovaprostranstva AT konarevasv neravenstvatipadžeksonastečkinadlâapproksimaciiélementovgilʹbertovaprostranstva |