Generalized characteristics of smoothness and some extremе problems of the approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. I
We consider the generalized characteristics of smoothness of the functions $\omega^w(f, t)$ and $\Lambda^w(f, t), t > 0,$ in the space $L_2(R)$ and, on the classes $L^{\alpha}_2 (R)$ defined with the help of fractional-order derivatives $\alpha \in (0,\infty)$, obtain the exact Jackson-ty...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1627 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507446778265600 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:25Z |
| description | We consider the generalized characteristics of smoothness of the functions $\omega^w(f, t)$ and $\Lambda^w(f, t), t > 0,$ in the space
$L_2(R)$ and, on the classes $L^{\alpha}_2 (R)$ defined with the help of fractional-order derivatives $\alpha \in (0,\infty)$, obtain the exact
Jackson-type inequalities for $\omega^w(f)$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Ун-т им. А. Нобеля, Днепр)
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ
И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ \bfitL \bftwo (\BbbR ). I
We consider the generalized characteristics of smoothness of the functions \omega w(f, t) and \Lambda w(f, t), t > 0, in the space
L2(\BbbR ) and, on the classes L\alpha
2 (\BbbR ) defined with the help of fractional-order derivatives \alpha \in (0,\infty ), obtain the exact
Jackson-type inequalities for \omega w(f).
Розглянуто узагальненi характеристики гладкостi функцiй \omega w(f, t) i \Lambda w(f, t), t > 0, у просторi L2(\BbbR ) i на класах
L\alpha
2 (\BbbR ), визначених за допомогою похiдних дробового порядку \alpha \in (0,\infty ), знайдено точнi нерiвностi типу Джексона
для \omega w(f).
1. Введение. В работе С. Н. Бернштейна [1] было заложено начало исследованиям, связан-
ным с аппроксимацией функций, заданных на всей вещественной оси. При этом средством
приближения послужило пространство целых функций конечного экспоненциального типа. В
последующем различные аспекты данной тематики рассматривались в работах Н. И. Ахие-
зера, А. Ф. Тимана, М. Ф. Тимана, С. Н. Никольского, И. И. Ибрагимова, Ф. Г. Насибова,
В. Ю. Попова, В. Г. Пономаренко, Г. Гаймназарова, А. И. Степанца, А. А. Лигуна, В. Г. До-
ронина, В. В. Арестова, А. Г. Бабенко, С. Н. Васильева, С. Б. Вакарчука, М. Ш. Шабозова,
С. Я. Янченко, С. Ю. Артамонова и других (см., например, [2 – 32]).
Целью данной статьи является продолжение исследований, связанных с решением в про-
странстве L2(\BbbR ) ряда экстремальных задач теории аппроксимации функций, базирующееся на
использовании обобщенных характеристик гладкости и на обобщении понятия производной.
В случае 2\pi -периодических функций в определенном смысле подобный круг экстремальных
задач в пространстве L2([0, 2\pi ]) был рассмотрен автором в статьях [33 – 35]. При этом заметим,
что краткий обзор окончательных в том или ином смысле результатов, связанных с наилуч-
шим полиномиальным приближением 2\pi -периодических функций в пространстве L2([0, 2\pi ]),
получил свое распространение на случай наилучшего приближения целыми функциями экспо-
ненциального типа в пространстве L2(\BbbR ) и приведен в [21].
Сформулируем далее необходимые понятия и определения. Под L2(\BbbR ) понимаем простран-
ство всех измеримых функций f, заданных на всей вещественной оси \BbbR , квадрат модуля кото-
рых интегрируем по Лебегу на любом конечном промежутке, а норма определяется формулой
\| f\| :=
\biggl\{ \int \infty
- \infty
\bigm| \bigm| f(x)\bigm| \bigm| 2 dx\biggr\} 1/2
< \infty . Приведем далее характеристики гладкости функций, при
использовании которых удалось получить окончательные решения ряда экстремальных задач
теории аппроксимации в пространстве L2(\BbbR ).
1.1. Для \beta \in (0,\infty ) запишем биномиальные коэффициенты\Biggl(
\beta
0
\Biggr)
:= 1,
\Biggl(
\beta
1
\Biggr)
:= \beta ,
\Biggl(
\beta
j
\Biggr)
:=
\beta (\beta - 1) . . . (\beta - j + 1)
j!
, (1.1)
где j \in \BbbN \setminus \{ 1\} . В случае \beta = m, m \in \BbbN , для (1.1) полагают
c\bigcirc С. Б. ВАКАРЧУК, 2018
1166 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1167\biggl(
m
j
\biggr)
:=
\biggl\{
m!
j!(m - j)!
, если j = 0, . . . ,m; 0, если j = m+ 1,m+ 2, . . .
\biggr\}
. (1.2)
Поскольку
\sum \infty
j=0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( \beta j
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \infty , то разность дробного порядка \beta функции f \in L2(\BbbR ) с
шагом h \in \BbbR , т. е.
\Delta \beta
h(f, x) :=
\infty \sum
j=0
( - 1)j
\Biggl(
\beta
j
\Biggr)
f(x - jh), (1.3)
определена почти всюду на \BbbR и принадлежит L2(\BbbR ). Разность (1.3) называют левосторонней
при h > 0 и правосторонней при h < 0. Модулем непрерывности функции f \in L2(\BbbR ) дробного
порядка \beta \in (0,\infty ) называют величину
\omega \beta (f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{ \bigm\| \bigm\| \Delta \beta
h(f)
\bigm\| \bigm\| : | h| \leq t
\bigr\}
, t \geq 0. (1.4)
При \beta = m, m \in \BbbN , из (1.1) – (1.4) имеем обычный модуль непрерывности m-го порядка \omega m(f).
В случае аппроксимации целыми функциями экспоненциального типа в L2(\BbbR ) характеристика
гладкости \omega m(f),m \in \BbbN , использовалась в работах [6 – 8, 15, 16, 21, 26, 27], а характеристика
гладкости (1.4) — в работе [32] (в более общем случае пространства Lp(\BbbR ), 1 \leq p <\infty , модуль
непрерывности дробного порядка рассматривался в [10, 11]).
1.2. В работах [18, 19, 21 – 24] при решении экстремальных задач в L2(\BbbR ) применялась
следующая характеристика гладкости:
\Omega m(f, t) :=
\left\{ 1
tm
t\int
0
. . .
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \Delta m
h
(f)
\bigm\| \bigm\| 2dh1 . . . dhm
\right\}
1/2
, t > 0, (1.5)
где
h := (h1, . . . , hm), \Delta m
h
:= \Delta 1
h1
\circ . . . \circ \Delta 1
hm
, \Delta 1
hj
(f, x) := f(x+ hj) - f(x), j = 1,m.
1.3. Для произвольной функции f \in L2(\BbbR ) запишем функцию Стеклова Sh(f, x) :=
:= (1/(2h))
\int x+h
x - h
f(t) dt, h > 0, и обозначим Sh,j(f) := Sh(Sh,j - 1(f)), j \in \BbbN , и Sh,0(f) \equiv f.
Полагая, что \BbbI — единичный оператор в пространстве L2(\BbbR ), определим специальные конечные
разности первого и высшего порядков в точке x с шагом h:
\widetilde \Delta 1
h(f, x) := Sh(f, x) - f(x) = (Sh - \BbbI )(f, x),
\widetilde \Delta m
h (f, x) := \widetilde \Delta 1
h
\bigl( \widetilde \Delta m - 1
h (f), x
\bigr)
= (Sh - \BbbI )m(f, x) =
=
m\sum
j=0
( - 1)m - j
\biggl(
m
j
\biggr)
Sh,j(f, x), m = 2, 3, . . . .
Использовав указанные обозначения, запишем специальный модуль непрерывности m-го, m \in
\in \BbbN , порядка \widetilde \Omega m(f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{ \bigm\| \bigm\| \widetilde \Delta m
h (f)
\bigm\| \bigm\| : 0 < h \leq t
\bigr\}
, t > 0. (1.6)
Характеристика гладкости (1.6) была использована, например, в работе [25].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1168 С. Б. ВАКАРЧУК
1.4. Для решения некоторых экстремальных задач в пространстве L2(\BbbR ) в работе [30]
применялась характеристика гладкости
\Lambda m(f, t) :=
\left\{ 1
t
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \Delta m
h (f)
\bigm\| \bigm\| 2 dh
\right\}
1/2
, t > 0, (1.7)
где m \in \BbbN . Рассмотрим ее более подробно, основываясь на исследованиях З. Дитциана и
В. Тотика [36, c. 26].
Возьмем интервал D = (a, b), концы которого могут принимать не только конечные, но
и бесконечные значения, например - \infty и +\infty соответственно. Для функции f \in Lp(D),
1 \leq p <\infty , в [36] рассматривалась характеристика гладкости
\omega \ast m
\varphi (f, t)p :=
\left\{ 1
t
t\int
0
\int
D
\bigm| \bigm| \Delta m
h\varphi (x)f(x)
\bigm| \bigm| p dx dh
\right\}
1/p
, t > 0. (1.8)
Функция \varphi , определенная на интервале D, является положительной и удовлетворяет несколь-
ким требованиям, изложенным в пп. 1.2 [36]. Под \Delta
m
h\varphi (x)f(x) понимается прямая или обратная
конечная разность m-го порядка функции f, которая существует почти всюду на D. При
этом \Delta
m
h\varphi (x)f(x) :=
- \rightarrow
\Delta m
h\varphi (x)f(x) =
\sum m
j=0
( - 1)j
\biggl(
m
j
\biggr)
f
\bigl(
x+ (m - j)h\varphi (x)
\bigr)
или \Delta
m
h\varphi (x)f(x) :=
:=
\leftarrow -
\Delta m
h\varphi (x)f(x) =
\sum m
j=0
( - 1)j
\biggl(
m
j
\biggr)
f(x - jh\varphi (x)). Полагают, что
- \rightarrow
\Delta m
h\varphi (x)f(x) = 0 или
\leftarrow -
\Delta m
h\varphi (x)f(x) = 0, если отрезок
\bigl[
x, x + mh\varphi (x)
\bigr]
или отрезок
\bigl[
x - mh\varphi (x), x
\bigr]
соответствен-
но не принадлежит D.
Если в формуле (1.8), например, D = ( - \infty ,\infty ); \varphi = \widetilde \varphi , где \widetilde \varphi (x) \equiv 1, p = 2, \Delta
m
h\widetilde \varphi (x)f(x) :=
:=
- \rightarrow
\Delta m
h\widetilde \varphi (x)f(x) = \Delta m
h (f, x), то, используя формулы (1.7) и (1.8), получаем \Lambda m(f, t) =
= \omega \ast m\widetilde \varphi (f, t)2, t > 0, f \in L2(\BbbR ), т. е. (1.7) является вполне естественной характеристикой
гладкости в пространстве L2(\BbbR ).
1.5. С. Ю. Артамоновым в [31] был предложен модуль непрерывности \omega \langle \prime \rangle (f), где
f \in Lp(\BbbR ), 1 \leq p \leq \infty . Использовав обозначения, принятые в [31], дадим его определе-
ние в пространстве L2(\BbbR ), а именно, с помощью операторов \Delta h := T h - \BbbI и T h(f, x) :=
:= (3/\pi 2)
\sum
j\in \BbbZ
(j \not =0)
f(x+ jh)/j2, где h \in \BbbR , запишем характеристику гладкости
\omega \langle \prime \rangle (f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| \Delta h(f)\| : 0 \leq h \leq t
\bigr\}
, t \geq 0. (1.9)
Модуль непрерывности (1.9) появился как один из способов модификации введенного К. В. Ру-
новским и Х.-Ю. Шмейссером в пространстве Lp
\bigl(
[0, 2\pi ]
\bigr)
, 1 \leq p <\infty , модуля непрерывности,
соответствующего производной Рисса [37]. В случае распространения на пространство L2(\BbbR )
модуля непрерывности из [37] имеем
\widehat \omega (f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| \widehat \Delta h(f)\| : 0 \leq h \leq t
\bigr\}
, t \geq 0, (1.10)
где \widehat \Delta h := \widehat Th - \BbbI , \widehat Th(f, x) := (4/\pi 2)
\sum
j\in \BbbZ
f(x+ (2j + 1)h)/(2j + 1)2, h \in \BbbR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1169
В связи с вышеизложенным естественным, с точки зрения автора, является рассмотрение
в пространстве L2(\BbbR ) более общих конструкций, которые бы играли роль характеристик глад-
кости функций и содержали, как частные случаи, модули непрерывности, представленные в
пп. 1.1 – 1.5, и чтобы при этом сохранялась возможность аккумулировать новые виды модулей
непрерывности, которые могут появиться в будущем.
2. Преобразование Фурье и обобщенные характеристики гладкости функций в про-
странстве \bfitL \bftwo (\BbbR ). 2.1. Впервые преобразование Фурье в пространстве L2(\BbbR ) построил и
изучил Планшерель, поэтому указанное преобразование иногда называют преобразованием
Фурье – Планшереля.
Теорема Планшереля ([3], гл. III, пп. 3.11.21). Для любой функции f \in L2(\BbbR ) интеграл
1\surd
2\pi
\infty \int
- \infty
f(t)
e - itx - 1
- it
dt
имеет почти всюду конечную производную
\scrF (f, x) = 1\surd
2\pi
d
dx
\infty \int
- \infty
f(t)
e - itx - 1
- it
dt, (2.1)
для которой
\infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \scrF (f, x)\bigm| \bigm| 2dx =
\infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| f(x)\bigm| \bigm| 2 dx (2.2)
и почти всюду
f(x) =
1\surd
2\pi
d
dx
\infty \int
- \infty
\scrF (f, t)e
itx - 1
it
dt. (2.3)
Кроме того, при k \rightarrow \infty
\infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrF (f, x) - 1\surd
2\pi
k\int
- k
f(t)e - itx dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
dx\rightarrow 0, (2.4)
\infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(x) - 1\surd
2\pi
k\int
- k
\scrF (f, t)eitx dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
dx\rightarrow 0. (2.5)
Функцию (2.1) называют преобразованием Фурье для f в пространстве L2(\BbbR ). Иногда
формулы (2.1) и (2.3) называют формулами обращения.
Соотношения (2.1) и (2.4) показывают, что преобразование Фурье в L2(\BbbR ) может быть
определено не только как поточечный предел почти всюду, но и как предел в среднем, который
обозначают символом l.i.m. Изложенное относится и к соотношениям (2.3) и (2.5). Таким
образом,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1170 С. Б. ВАКАРЧУК
\scrF (f, x) := l.i.m
\left\{ 1\surd
2\pi
k\int
- k
f(t)e - itx dt : k\rightarrow \infty
\right\} ,
f(x) := l.i.m
\left\{ 1\surd
2\pi
k\int
- k
\scrF (f, t)eitx dt : k\rightarrow \infty
\right\} .
Записывая для f \in L2(\BbbR ) формулы обращения в виде
\scrF (f, x) = 1\surd
2\pi
\infty \int
- \infty
f(t)e - itx dt, f(x) =
1\surd
2\pi
\infty \int
- \infty
\scrF (f, t)eitx dt,
специально оговаривают, что интегралы понимаются сходящимися в среднеквадратическом,
т. е. имеют место соотношения (2.4) и (2.5) соответственно.
2.2. Обозначим через \BbbB \sigma ,2, \sigma \in (0,\infty ), совокупность всех целых функций g экспоненци-
ального типа, не превышающего \sigma , сужения которых на всю вещественную ось \BbbR принадлежат
пространству L2(\BbbR ).
Пусть L2(a, b), - \infty < a < b < +\infty , — пространство измеримых на (a, b) функций, квадрат
модуля которых интегрируем по Лебегу, т. е.
\int b
a
\bigm| \bigm| f(x)\bigm| \bigm| 2dx < \infty , \sigma \in (0,\infty ). Тогда если
преобразование Фурье функции g, т. е. \scrF (g), принадлежит L2( - \sigma , \sigma ), то
g(x) =
1\surd
2\pi
\sigma \int
- \sigma
\scrF (g, t)eitx dt (2.6)
является элементом пространства L2(\BbbR ) и допускает аналитическое продолжение на всю комп-
лексную плоскость до целой функции экспоненциального типа, не превышающего \sigma . Иными
словами, любая функция g(z), допускающая на вещественной оси представление (2.6), при-
надлежит \BbbB \sigma ,2. Имеет место и обратное утверждение.
Теорема Винера – Пэли ([48], гл. II, § 2.5). Для того чтобы функция g \in L2(\BbbR ) была
представима в виде (2.6), где \scrF (g) \in L2( - \sigma , \sigma ), т. е. чтобы g(x) была функцией с финитным
и интегрируемым в квадрате спектром, необходимо и достаточно, чтобы g(x) могла быть
доопределена в плоскости комплексной переменной z = x + iy как целая функция конечного
экспоненциального типа \leq \sigma .
2.3. Как дальнейшее развитие и распространение идей Г. С. Шапиро и Я. Бомана, изложен-
ных в [38, 39], обобщенные модули непрерывности 2\pi -периодических функций в пространстве
L2([0, 2\pi ]) рассматривались в работах С. Н. Васильева, А. Г. Бабенко, А. И. Козко, А. В. Рож-
дественского, С. Б. Вакарчука (см., например, [40 – 42, 25 – 27]). Распространение понятия обоб-
щенного модуля непрерывности на пространство функций n переменных L2(\BbbR n) было дано
С. Н. Васильевым в работе [17] и в последующем использовано в статье Д. В. Горбачева [43].
2.3.1. Следуя обозначениям [17, 43], дадим определение обобщенного модуля непре-
рывности в пространстве L2(\BbbR ). Пусть \scrM := \{ \mu j\} j\in \BbbZ — последовательность комплекс-
ных чисел, удовлетворяющих условиям 0 <
\sum
j\in \BbbZ
| \mu j | < \infty и
\sum
j\in \BbbZ
\mu j = 0. Полагаем
\mu (z) :=
\sum
j\in \BbbZ
\mu jz
j ; Hh — оператор сдвига, т. е. Hhf(x) := f(x + h), h \in \BbbR , при этом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1171
(Hh)j := Hhj . Символом \Delta \scrM
h обозначим обобщенный разностный оператор с постоянными
коэффициентами, действующий из L2(\BbbR ) в L2(\BbbR ). При этом почти всюду на \BbbR
\Delta \scrM
h (f, x) :=
\sum
j\in \BbbZ
\mu jf(x+ jh) = \mu (Hh)f(x). (2.7)
Например, в случае \widetilde \mu 1(z) := (z - 1)m, m \in \BbbN , для соответствующей данной функции
числовой последовательности имеем \scrM 1,m :=
\biggl\{
\mu j = ( - 1)m - j
\biggl(
m
j
\biggr)
, если j = 0, . . . ,m; \mu j =
= 0, если j < 0 или j > m
\biggr\}
j\in \BbbZ
. Отметим, что \Delta
\scrM 1,m
h , в силу (2.7), становится конечно-
разностным оператором \Delta m
h , который для функции f \in L2(\BbbR ) почти всюду имеет вид
\Delta m
h (f, x) :=
\sum m
j=0
( - 1)m - j
\biggl(
m
j
\biggr)
f(x+ jh).
При \widetilde \mu 2(z) := (1 - z)\beta , | z| \leq 1, \beta \in (0,\infty )\setminus \BbbN , имеем \scrM 2,\beta :=
\biggl\{
\mu j = ( - 1)j
\biggl(
\beta
j
\biggr)
, если j =
= 0, 1, . . . ; \mu j = 0, если j = - 1, - 2, . . .
\biggr\}
j\in \BbbZ
и соответствующий данной ситуации оператор
\Delta
\scrM 2,\beta
h будет разностью \Delta \beta
- h(f, x) дробного порядка \beta . Здесь
\Delta \beta
- h(f, x) :=
\sum
j\in \BbbZ +
( - 1)j
\biggl(
\beta
j
\biggr)
f(x - jh),
где h \in \BbbR , \BbbZ + := \BbbN \cup \{ 0\} . Данная разность называется левосторонней, если h > 0, и право-
сторонней, если h < 0. Таким образом, в силу (2.7) \Delta
\scrM 2,\beta
- h (f, x) = \Delta \beta
- h(f, x).
Когда \widetilde \mu 3(z) := ( - 1)m
\prod m - 1
j=0
(1 - za
j
), где m, a \in \BbbN , получаем разностный оператор Туэ –
Морса \widetilde \Delta m
ah(f, x) =
\prod m - 1
j=0
\Delta 1
ajh(f, x) =
\prod m - 1
j=0
\bigl(
f(x+ ajh) - f(x)
\bigr)
[42].
В случае числовой последовательности \scrM 3 :=
\bigl\{
\mu j = 3/(\pi j)2, если j \in \BbbZ \setminus \{ 0\} ;\mu j =
= - 1, если j = 0
\bigr\}
j\in \BbbZ оператор \Delta \scrM 3
h совпадает с оператором \Delta h, входящим в определение мо-
дуля непрерывности (1.9), а для числовой последовательности \scrM 4 :=
\bigl\{
\mu j = 4/(\pi j)2, если j =
= 2\nu + 1, \nu \in \BbbZ ;\mu j = 0, если j = 2\nu , \nu \in \BbbZ \setminus \{ 0\} ;\mu j = - 1, если j = 0
\bigr\}
j\in \BbbZ соответствующий
оператор \Delta \scrM 4
h на основании (2.7) превращается в разностный оператор \widehat \Delta h, входящий в опре-
деление характеристики гладкости (1.10).
Используя формулы (2.5) и (2.7), а также условия, налагаемые на члены числовой последо-
вательности \scrM = \{ \mu j\} j\in \BbbZ , почти всюду на \BbbR имеем
\Delta \scrM
h (f, x) =
1\surd
2\pi
d
dx
\infty \int
- \infty
\scrF (f, t)
\left( \sum
j\in \BbbZ
ei(x+jh)t - 1
it
\mu j
\right) dt =
=
1\surd
2\pi
d
dx
\infty \int
- \infty
\scrF (f, t)
\left( \sum
j\in \BbbZ
\mu je
ijht
\right) eixt
it
dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1172 С. Б. ВАКАРЧУК
=
1\surd
2\pi
d
dx
\infty \int
- \infty
\scrF (f, t)
\left( \sum
j\in \BbbZ
\mu je
ijht
\right) eixt - 1
it
dt. (2.8)
Поскольку для произвольной функции f, принадлежащей L2(\BbbR ), ее обобщенная разность
\Delta \scrM
h (f) также является элементом из L2(\BbbR ), на основании (2.3) записываем
\Delta \scrM
h (f, x) =
1\surd
2\pi
d
dx
\infty \int
- \infty
\scrF
\Bigl(
\Delta \scrM
h (f), t
\Bigr) eixt - 1
it
dt. (2.9)
Полагая
w\scrM (x) := \mu (eix) =
\sum
j\in \BbbZ
\mu je
ijx, (2.10)
из (2.8) и (2.9) почти всюду на \BbbR получаем
\scrF
\bigl(
\Delta \scrM
h (f), x
\bigr)
= w\scrM (hx)\scrF (f, x). (2.11)
Тогда на основании соотношений (2.2) и (2.11) имеем
\bigm\| \bigm\| \Delta \scrM
h (f)
\bigm\| \bigm\| 2 = \infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \scrF \bigl( \Delta \scrM
h (f), x
\bigr) \bigm| \bigm| 2dx =
\infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \scrF (f, x)\bigm| \bigm| 2\bigm| \bigm| w\scrM (hx)
\bigm| \bigm| 2dx. (2.12)
Из формулы (2.10) следует, что комплекснозначная функция w\scrM является непрерывной,
2\pi -периодической и такой, что w\scrM (0) = 0. Все изложенное касается и вещественной функции
| w\scrM | 2, которая к тому же может быть еще и четной, если все элементы числовой последова-
тельности \scrM = \{ \mu j\} j\in \BbbZ окажутся вещественными числами.
2.3.2. Для числовой последовательности \scrM 1,m в силу (2.10) получаем
w\scrM 1,m(x) =
m\sum
j=0
( - 1)m - j
\Biggl(
m
j
\Biggr)
eijx = (eix - 1)m.
Следовательно, \bigm| \bigm| w\scrM 1,m(x)
\bigm| \bigm| 2 = 2m(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x)m. (2.13)
Далее рассмотрим числовую последовательность \scrM 2,\beta , для которой \beta \in (0,\infty )\setminus \BbbN . Тогда
w\scrM 2,\beta
(x) =
\sum
j\in \BbbZ +
( - 1)j
\biggl(
\beta
j
\biggr)
eijx = (1 - eix)\beta
и \bigm| \bigm| w\scrM 2,\beta
(x)
\bigm| \bigm| 2 = 2\beta (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x)\beta . (2.14)
Отметим, что в силу формулы (2.11) в данном случае почти всюду на \BbbR имеем
\scrF
\bigl(
\Delta \beta
h(f), x
\bigr)
= \scrF
\bigl(
\Delta
\scrM 2,\beta
- h (f), x
\bigr)
= w\scrM 2,\beta
( - hx)\scrF (f, x) =
\bigl(
1 - e - ixh
\bigr) \beta \scrF (f, x).
В случае числовой последовательности \scrM 3, используя результаты [44, с. 776] (пп. 5.4.2.7),
для 0 \leq x \leq \pi имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1173
w\scrM 3(x) = - 1 +
6
\pi 2
\sum
j\in \BbbN
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
jx
j2
=
3x(x/(2\pi ) - 1)
\pi
,
т. е. \bigm| \bigm| w\scrM 3(x)
\bigm| \bigm| 2 = 9
\pi 2
x2
\Bigl(
1 - x
2\pi
\Bigr) 2
. (2.15)
Для числовой последовательности \scrM 4, в силу результатов [44, с. 771] (пп. 5.4.6.5) при
0 \leq x \leq \pi получаем
w\scrM 4(x) = - 1 +
8
\pi 2
\sum
\nu \in \BbbZ +
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}((2\nu + 1)x)/(2\nu + 1)2 = - 2x
\pi
,
т. е. \bigm| \bigm| w\scrM 4(x)
\bigm| \bigm| 2 = 4x2
\pi 2
. (2.16)
Отметим, что функции (2.13) – (2.16) являются 2\pi -периодическими, непрерывными, четны-
ми
\bigl(
в связи с этим они рассматривались на отрезке [0, \pi ]
\bigr)
и принимающими в нуле значение 0.
Согласно работе С. Н. Васильева [17], под обобщенным модулем непрерывности произ-
вольного элемента f \in L2(\BbbR ), порожденным числовой последовательностью \scrM = \{ \mu j\} j\in \BbbZ ,
будем понимать функцию
w\scrM (f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| \Delta \scrM
h (f)\| : | h| \leq t
\bigr\}
, t \geq 0. (2.17)
Исходя из (2.12) и (2.17), в общем случае, включающем рассмотренные выше числовые
последовательности \scrM 1,m, \scrM 2,\beta , \scrM 3 и \scrM 4, имеем
w\scrM (f, t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( \infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \scrF (f, \tau )\bigm| \bigm| 2\bigm| \bigm| w\scrM (h\tau )
\bigm| \bigm| 2d\tau
\right) 1/2
: 0 \leq h \leq t
\right\} , t \geq 0. (2.18)
2.3.3. Характеристики гладкости (1.5) – (1.7) никак не укладываются в общую схему, свя-
занную с формированием обобщенного модуля непрерывности вида (2.17) в пространстве
L2(\BbbR ). Остановимся на соотношениях (1.6) и (1.7). Согласно работам [25, 30], для произволь-
ной функции f \in L2(\BbbR ) получаем соответственно
\widetilde \Omega m(f, t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( \infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \scrF (f, \tau )\bigm| \bigm| 2\bigl( 1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (h\tau )
\bigr) 2m
d\tau
\right) 1/2
: 0 < h \leq t
\right\} , t > 0, (2.19)
и
\Lambda m(f, t) =
\left\{
\infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \scrF (f, \tau )\bigm| \bigm| 2\eta m(t\tau ) d\tau
\right\}
1/2
, t > 0, (2.20)
где m \in \BbbN , \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (x) :=
\bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)/x, еслиx \not = 0; 1, еслиx = 0
\bigr\}
, \eta m(x) := (2m/x)
\int x
0
(1 -
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} v)m dv, x \not = 0. Полагаем, что \eta m(0) = 0. Содержащиеся в формулах (2.19), (2.20) функции\bigl(
1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (x)
\bigr) 2m
и \eta m(x) соответственно являются на множестве \BbbR непрерывными, четными,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1174 С. Б. ВАКАРЧУК
ограниченными, почти всюду отличными от нуля и равными нулю при x = 0. Однако ни одна
из них не является 2\pi -периодической.
2.3.4. Продолжая дальнейшее обобщение характеристик гладкости в пространстве L2(\BbbR ),
через \BbbG обозначим множество всех непрерывных, неотрицательных, четных, ограниченных
на всей вещественной оси \BbbR функций \varphi , которые почти всюду на \BbbR отличны от нуля и
такие, что \varphi (0) = 0. Символом \frakM обозначим класс всех комплекснозначных функций w :
\BbbR \rightarrow \BbbC , для которых | w| 2 \in \BbbG .
Пусть f \in L2(\BbbR ), \scrF (f) — преобразование Фурье функции f, w \in \frakM , h \in \BbbR . Тогда\bigm\| \bigm\| \scrF (f, \cdot )w(h\cdot )\bigm\| \bigm\| \leq \| w\| C(\BbbR )\| f\| < \infty , т. е. \scrF (f, x)w(hx) \in L2(\BbbR ). С помощью обобщенного
разностного оператора \Delta w
h : L2(\BbbR )\rightarrow L2(\BbbR ), где h \in \BbbR , w \in \frakM , почти всюду на \BbbR определяем
функцию
\Delta w
h (f, x) :=
1\surd
2\pi
d
dx
\infty \int
- \infty
\scrF (f, \tau )w(h\tau )e
ix\tau - 1
i\tau
d\tau . (2.21)
Например, при w := w\scrM , где w\scrM определяется формулой (2.10), из (2.8) и (2.21) для f \in L2(\BbbR )
имеем \Delta w\scrM
h (f) = \Delta \scrM
h (f). В связи с этим формулу (2.21) можно рассматривать как своеоб-
разное распространение обобщенного разностного оператора \Delta \scrM
h на более общий случай \Delta w
h .
Согласно (2.3) и (2.21), почти всюду на \BbbR справедливо равенство \scrF (\Delta w
h (f), x) = \scrF (f, x)w(hx),
h \in \BbbR , на основании которого и формулы (2.2) получаем
\bigm\| \bigm\| \Delta w
h (f)
\bigm\| \bigm\| 2 = \bigm\| \bigm\| \scrF (\Delta w
h (f))
\bigm\| \bigm\| 2 = \infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \scrF (f, \tau )\bigm| \bigm| 2\bigm| \bigm| w(h\tau )\bigm| \bigm| 2d\tau . (2.22)
В результате приходим в определенном смысле к более общей, чем (2.17), характеристике
гладкости функций f \in L2(\BbbR ):
\omega w(f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| \Delta w
h (f)\| : | h| \leq t
\bigr\}
, t \geq 0, (2.23)
или с учетом (2.22), (2.23)
\omega w(f, t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( \infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \scrF (f, \tau )\bigm| \bigm| 2\bigm| \bigm| w(h\tau )\bigm| \bigm| 2d\tau
\right) 1/2
: 0 \leq h \leq t
\right\} , t \geq 0. (2.24)
При этом \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl\{
\omega w(f, t) : t\rightarrow 0 +
\bigr\}
= 0 и \omega w(f, t) — непрерывная, неубывающая на множестве
0 \leq t <\infty функция, такая, что \omega w(f1 + f2, t) \leq \omega w(f1, t) + \omega w(f2, t), где f1, f2 \in L2(\BbbR ).
Сопоставляя (2.18) и (2.24), имеем \omega w\scrM (f, t) = \omega \scrM (f, t), t \geq 0. Поскольку рассмотренный
в пп. 1.3 разностный оператор \widetilde \Delta m
h (f), m \in \BbbN , h \in (0,\infty ), f \in L2(\BbbR ), можно представить
почти всюду на \BbbR в виде [25]
\widetilde \Delta m
h (f, x) =
1\surd
2\pi
d
dx
\infty \int
- \infty
\scrF (f, \tau )(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (h\tau ) - 1)m
eix\tau - 1
i\tau
d\tau ,
то согласно (2.21) оператор \widetilde \Delta m
h (f) является частным случаем обобщенного оператора \Delta w
h (f)
при w = \widetilde wm, где \widetilde wm(x) := (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (x) - 1)m. Тогда на основании (2.19) и (2.24) получаем
\omega wm(f, t) = \widetilde \Omega m(f, t), t > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1175
2.3.5. Рассмотрим вторую группу функций, которые также целесообразно использовать как
характеристики гладкости в пространстве L2(\BbbR ). Пусть f \in L2(\BbbR ) и w \in \frakM . Тогда полагаем
\Lambda w(f, t) :=
\left\{ 1
t
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \Delta w
h (f)
\bigm\| \bigm\| 2dh
\right\}
1/2
, t > 0. (2.25)
При этом \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl\{
\Lambda w(f, t) : t\rightarrow 0+
\bigr\}
= 0; \Lambda w(f, t) является непрерывной функцией на множестве
0 < t < \infty ; \Lambda w(f, t) \leq \omega w(f, t), t > 0; \Lambda w(f1 + f2, t) \leq
\surd
2(\Lambda w(f1, t) + \Lambda w(f2, t)), t > 0, где
f1, f2 \in L2(\BbbR ). Отметим, что, например, в случае w = w\scrM 1,m , m \in \BbbN , из (1.7) и (2.25) имеем
\Lambda
w\scrM 1,m (f, t) = \Lambda m(f, t), t > 0.
Для произвольного элемента f \in L2(\BbbR ) на основании (2.22) и (2.25) записываем
\Lambda w(f, t) =
\left\{
\infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \scrF (f, \tau )\bigm| \bigm| 2
\left( 1
t
t\int
0
\bigm| \bigm| w(h\tau )\bigm| \bigm| 2dh
\right) d\tau
\right\}
1/2
, t > 0. (2.26)
Очевидно, что
t\int
0
| w(h\tau )| 2dh =
1
\tau
t\tau \int
0
\bigm| \bigm| w(h)\bigm| \bigm| 2dh, t > 0, \tau \not = 0. (2.27)
Пусть
\scrW (x) :=
\left\{
0, если x = 0,
(1/x)
x\int
0
\bigm| \bigm| w(h)\bigm| \bigm| 2dh, если x \in \BbbR и x \not = 0,
(2.28)
где w \in \frakM . В силу четности функции | w| 2 из (2.28) имеем \scrW (x) = \scrW ( - x), x \in \BbbR . Тогда с
учетом (2.27), (2.28) формула (2.26) принимает вид
\Lambda w(f, t) =
\left\{
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, \tau )| 2\scrW (t\tau ) d\tau
\right\}
1/2
, t > 0. (2.29)
Следует особо отметить, что, например, для функций w = w\scrM 2,\beta
, \beta \in (0,\infty ), w = w\scrM 3
и w = w\scrM 4 , а также для w = \widetilde wm, m \in \BbbN , рассмотренный далее круг экстремальных задач,
связанных с теорией аппроксимации функций в пространстве L2(\BbbR ), ранее не исследовался с
использованием характеристики гладкости \Lambda w.
3. Производные дробного порядка функций в пространстве \bfitL \bftwo (\BbbR ). Напомним опреде-
ление производной дробного порядка \alpha \in (0,\infty ) произвольной функции f \in L2(\BbbR ) (см., на-
пример, [10, 45 – 47, 32]). Пусть функция q, принадлежащая L2(\BbbR ), такова, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl\{
\| \Delta \alpha
- h(f)/h
\alpha - q\| : h\rightarrow 0 +
\bigr\}
= 0, (3.1)
где \Delta \alpha
- h(f, x) =
\sum
j\in \BbbZ +
( - 1)j
\biggl(
\alpha
j
\biggr)
f(x - jh) почти всюду на \BbbR . Тогда q называют сильной
производной Лиувилля – Грюнвальда – Летникова дробного порядка \alpha функции f \in L2(\BbbR ) и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1176 С. Б. ВАКАРЧУК
обозначают символом \scrD \alpha f, т. е. q = \scrD \alpha f. Из равенства (3.1), в частности, получаем \| \scrD \alpha f\| =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl\{
\| \Delta \alpha
- h(f)/h
\alpha \| : h\rightarrow 0 +
\bigr\}
.
В статье Г. Гаймназарова [10] указывалось, что для произвольной функции f \in L2(\BbbR ) и
\alpha \in (0,\infty ) почти всюду на \BbbR имеет место равенство
\scrF (\scrD \alpha f, x) = (ix)\alpha \scrF (f, x). (3.2)
В работе автора [32] отмечалось, что если существует в приведенном выше смысле силь-
ная производная Лиувилля – Грюнвальда – Летникова D\alpha f, то почти всюду на \BbbR выполняется
равенство D\alpha f(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl\{
\Delta \alpha
- h(f, x)/h
\alpha : h\rightarrow 0 +
\bigr\}
.
Символом L\alpha
2 (\BbbR ), \alpha \in (0,\infty ), обозначим класс функций f \in L2(\BbbR ), которые имеют про-
изводные дробного порядка D\alpha f, принадлежащие пространству L2(\BbbR ). Отметим, что L\alpha
2 (\BbbR )
является банаховым пространством с нормой \| f\| + \| D\alpha f\| . Если же \alpha = r, r \in \BbbN , то под
Lr
2(\BbbR ) будем понимать класс функций f \in L2(\BbbR ), у которых производные (r - 1)-го поряд-
ка локально абсолютно непрерывны, а производные r-го порядка принадлежат пространству
L2(\BbbR ). В данном случае очевидно, что почти всюду на \BbbR имеем Drf = f (r).
4. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями экспоненци-
ального типа \bfitsigma \in (\bfzero ,\infty ) на классах \bfitL \bftwo (\BbbR ) и \bfitL \bfitalpha
\bftwo (\BbbR ), \bfitalpha \in (\bfzero ,\infty ), выраженные через
характеристику гладкости \bfitomega \bfitw . 4.1. Прежде чем перейти к изложению основного материала
данного пункта, введем ряд необходимых понятий и определений. Поскольку в силу четности
функций из множества \BbbG , введенного в пп. 2.3.4, достаточно их рассматривать лишь на по-
луоси \BbbR +, для произвольного элемента \varphi \in \BbbG через t\ast \in (0,\infty ) обозначим такое значение
аргумента x, для которого
\varphi (t\ast ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\varphi (x) : 0 < x <\infty
\bigr\}
. (4.1)
Очевидно, что t\ast зависит от \varphi . Если верхняя грань в формуле (4.1) достигается более чем при
одном значении аргумента, то в качестве t\ast рассматриваем наименьшее из них.
Будем говорить, что функция \varphi \in \BbbG удовлетворяет свойству А, если на отрезке [0, t\ast ] она
является монотонно возрастающей. Для произвольного элемента \varphi \in \BbbG , имеющего указанное
свойство, полагаем
\varphi \ast (x) :=
\bigl\{
\varphi (x), если 0 \leq x \leq t\ast ; \varphi (t\ast ), если t\ast \leq x <\infty
\bigr\}
, (4.2)
\varphi (\widetilde t\ast ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\varphi (x) : t\ast < x <\infty
\bigr\}
, (4.3)
где значение t\ast определяется из соотношения (4.1). Если нижняя грань в (4.3) достигается
более чем при одном значении аргумента, то в качестве \widetilde t\ast используем наименьшее из них.
Будем говорить, что функция \varphi \in \BbbG удовлетворяет свойству В, если для нее \varphi (\widetilde t\ast ) > 0.
Отметим, что рассмотренные ранее функции | w\scrM 1,m | 2, m \in \BbbN ; | w\scrM 2,\beta
| 2, \beta \in (0,\infty );
| w\scrM 3 | 2 и | w\scrM 4 | 2 принадлежат множеству \BbbG , удовлетворяют свойству А и для каждой из них
t\ast = \pi . Что же касается функций | \widetilde wm| 2, m \in \BbbN , то они также являются элементами множества
\BbbG , удовлетворяют свойствам А, В и имеют одно и то же значение t\ast \in (4,49; 4,51), которое
является наименьшим положительным корнем уравнения tg(x) = x (см., например, [21, 25]).
Для произвольной функции f \in L2(\BbbR ) через \scrA \sigma (f), \sigma \in (0,\infty ), обозначим ее наилучшее
среднеквадратическое приближение элементами подпространства \BbbB \sigma ,2, состоящего из целых
функций экспоненциального типа \leq \sigma , сужения которых на \BbbR принадлежат пространству
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1177
L2(\BbbR ), т. е. \scrA \sigma (f) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| f - g\| : g \in \BbbB \sigma ,2
\bigr\}
. Нам понадобится одно утверждение, установ-
ленное И. И. Ибрагимовым и Ф. Г. Насибовым в работе [6].
Лемма 1. Пусть функция f принадлежит пространству L2(\BbbR ) и \scrF (f) — ее преобразо-
вание Фурье в смысле L2(\BbbR ) т. е.
f(x) =
1\surd
2\pi
d
dx
\infty \int
- \infty
\scrF (f, t)e
ixt - 1
it
dt,
где \scrF (f) \in L2(\BbbR ). Тогда
\scrL \sigma (f, x) =
1\surd
2\pi
\sigma \int
- \sigma
\scrF (f, t)eixt dt (4.4)
является целой функцией, принадлежащей подпространству \BbbB \sigma ,2, которая наименее уклоня-
ется от f в смысле метрики L2(\BbbR ), т. е.
\scrA \sigma (f) =
\bigm\| \bigm\| f - \scrL \sigma (f)\bigm\| \bigm\| =
\left\{
\int
| t| \geq \sigma
| \scrF (f, t)| 2 dt
\right\}
1/2
. (4.5)
4.2. Теорема 1. Пусть \alpha , \sigma принадлежат (0,\infty ); комплекснозначная функция w : \BbbR \rightarrow \BbbC
такова, что | w| 2 принадлежит множеству \BbbG и удовлетворяет свойствам А и В; точка
t \in (0, t\ast ) определяется следующим образом:\bigm| \bigm| w(t)\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| w(\widetilde t\ast )\bigm| \bigm| , (4.6)
где величина \widetilde t\ast находится для функции \varphi = | w| 2 согласно соотношению (4.3). Тогда для любого
значения \tau \in (0, t] справедливо равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)
\omega w(D\alpha f, \tau /\sigma )
=
1
| w(\tau )|
. (4.7)
Доказательство. Используя формулы (2.24), (3.2), (4.5) и учитывая, что функция | w| 2
удовлетворяет свойству В, для 0 < t \leq t/\sigma записываем
\omega w(D\alpha f, t) \geq
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
\bigm| \bigm| \scrF (D\alpha f, \tau )
\bigm| \bigm| 2 \bigm| \bigm| w(t\tau )\bigm| \bigm| 2 d\tau
\right\}
1/2
=
=
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \tau | 2\alpha
\bigm| \bigm| \scrF (f, \tau )\bigm| \bigm| 2 | w(t\tau )| 2 d\tau
\right\}
1/2
\geq
\geq \sigma \alpha
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
\bigm| \bigm| \scrF (f, \tau )\bigm| \bigm| 2\bigm| \bigm| w(t\tau )\bigm| \bigm| 2 d\tau
\right\}
1/2
\geq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1178 С. Б. ВАКАРЧУК
\geq \sigma \alpha | w(t\sigma )|
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
\bigm| \bigm| \scrF (f, \tau )\bigm| \bigm| 2 d\tau
\right\}
1/2
=
= \sigma \alpha
\bigm| \bigm| w(t\sigma )\bigm| \bigm| \scrA \sigma (f).
Отсюда, полагая t = \tau /\sigma , где 0 < \tau \leq t, получаем оценку сверху
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)
\omega w(D\alpha f, \tau /\sigma )
\leq 1
| w(\tau )|
. (4.8)
Установим оценку снизу экстремальной характеристики, содержащейся в левой части нера-
венства (4.8). Для этого рассмотрим функцию \lambda a(x) := a\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (ax), a \in (0,\infty ). Поскольку
| \lambda a(z)| \leq k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(a| z| ), где k = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}(k > 0), z \in \BbbC , то \lambda a является целой функцией экспонен-
циального типа \leq a. Функция \lambda a не является элементом пространства L1(\BbbR ) [48] (гл. II, § 2.3),
однако \lambda a \in L2(\BbbR ) и, следовательно, для нее существует преобразование Фурье (2.1) в смысле
пространства L2(\BbbR ), которое равно \scrF (\lambda a, x) =
\sqrt{}
\pi /2
\bigl\{
1, если | x| < a; 1/2, если | x| = a; 0,
если | x| > a
\bigr\}
[49] (гл. 5). Исходя из изложенного, рассмотрим функцию
q\sigma +\varepsilon (x) :=
\sqrt{}
2/\pi
\bigl(
\lambda \sigma +\varepsilon (x) - \lambda \sigma (x)
\bigr)
, \varepsilon > 0, (4.9)
которая является целой функцией конечного экспоненциального типа \leq \sigma + \varepsilon , принадлежит
пространству L2(\BbbR ) и имеет преобразование Фурье
\scrF (q\sigma +\varepsilon , x) =
\bigl\{
1, если \sigma < | x| < \sigma + \varepsilon ; 1/2, если | x| = \sigma или | x| = \sigma + \varepsilon ;
0, если | x| < \sigma или | x| > \sigma + \varepsilon
\bigr\}
. (4.10)
Из (2.2), (3.2) и (4.10) следует, что q\sigma +\varepsilon принадлежит L\alpha
2 (\BbbR ). Исходя из (4.5) и (4.10), для q\sigma +\varepsilon
получаем
\scrA \sigma (q\sigma +\varepsilon ) =
\surd
2\varepsilon . (4.11)
Поскольку, согласно (2.22) и (3.2),
\bigm\| \bigm\| \Delta w
h (\scrD \alpha f)
\bigm\| \bigm\| 2 = \infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \scrF (f, \tau )\bigm| \bigm| 2| \tau | 2\alpha \bigm| \bigm| w(h\tau )\bigm| \bigm| 2d\tau , (4.12)
то используя соотношение (4.2), где \varphi = | w| 2, а также формулы (4.10) – (4.12) и учитывая, что
| w| 2 \in \BbbG , для функции q\sigma +\varepsilon имеем
\bigm\| \bigm\| \Delta w
h (\scrD \alpha q\sigma +\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| 2 = 2
\sigma +\varepsilon \int
\sigma
\tau 2\alpha | w(h\tau )| 2d\tau \leq 2(\sigma + \varepsilon )2\alpha
\sigma +\varepsilon \int
\sigma
| w(h\tau )| 2d\tau \leq
\leq (\sigma + \varepsilon )2\alpha \scrA 2
\sigma (q\sigma +\varepsilon )
\bigm| \bigm| w(h(\sigma + \varepsilon ))
\bigm| \bigm| 2
\ast . (4.13)
Используя определение (2.23) для характеристики гладкости \omega w и (4.13), для любого t \in (0, t/\sigma ]
получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1179
\omega w(\scrD \alpha q\sigma +\varepsilon , t) \leq \scrA \sigma (q\sigma +\varepsilon )(\sigma + \varepsilon )\alpha
\bigm| \bigm| w(t(\sigma + \varepsilon ))
\bigm| \bigm|
\ast . (4.14)
Полагая t = \tau /\sigma , где 0 < \tau \leq t, и вводя обозначение
\theta \varepsilon (\sigma , \tau ) := (1 + \varepsilon /\sigma )\alpha
\bigm| \bigm| w(\tau (1 + \varepsilon /\sigma ))
\bigm| \bigm|
\ast , (4.15)
из (4.14) имеем
\sigma \alpha \scrA \sigma (q\sigma +\varepsilon )
\omega w(\scrD \alpha q\sigma +\varepsilon , \tau /\sigma )
\geq 1
\theta \varepsilon (\sigma , \tau )
.
Поскольку, как уже отмечалось, q\sigma +\varepsilon принадлежит L\alpha
2 (\BbbR ), из последнего неравенства следует
соотношение
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)
\omega w(\scrD \alpha f, \tau /\sigma )
\geq 1
\theta \varepsilon (\sigma , \tau )
. (4.16)
Из (4.15) следует, что при \varepsilon \rightarrow 0+ и постоянных значениях \sigma и \tau величина \theta \varepsilon (\sigma , \tau )
монотонно убывает. Следовательно, 1/\theta \varepsilon (\sigma , \tau ) при \varepsilon \rightarrow 0+ монотонно возрастает и ограничена
сверху значением 1/| w(\tau )| . Таким образом, для произвольного сколь угодно малого числа
\delta > 0 существует такое значение \widetilde \varepsilon = \widetilde \varepsilon (\delta ) \in (0, \sigma \ast ), где \sigma \ast := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\sigma , 1/\sigma ), для которого
1/\theta \widetilde \varepsilon (\sigma , \tau ) > 1/| w(\tau )| - \delta . Отсюда и из определения верхней грани числового множества имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
1/\theta \varepsilon (\sigma , \tau ) : 0 < \varepsilon < \sigma \ast
\bigr\}
= 1/| w(\tau )| . (4.17)
Вычисляя верхнюю грань по \varepsilon \in (0, \sigma \ast ) от правой части неравенства (4.16) и используя (4.17),
получаем оценку снизу
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)
\omega w(D\alpha f, \tau /\sigma )
\geq 1
| w(\tau )|
. (4.18)
Требуемое равенство (4.7) следует из соотношений (4.8) и (4.18).
Теорема 1 доказана.
Замечание 1. На основании рассуждений, практически аналогичных имевшим место при
доказательстве теоремы 1, имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)
\omega w(f, \tau /\sigma )
=
1
| w(\tau )|
, (4.19)
где 0 < \tau \leq t. При этом верхняя грань вычисляется по всем функциям f из L2(\BbbR ), которые
не эквивалентны нулю.
Объединяя, например, (4.7), когда \alpha = r \in \BbbN ; w = \widetilde wm, m \in \BbbN , и (4.19), когда также
w = \widetilde wm, m \in \BbbN , получаем один из результатов автора [25]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr
2(\BbbR )
\sigma r\scrA \sigma (f)\widetilde \Omega m(f (r), \tau /\sigma )
=
1
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\tau ))m
,
где r \in \BbbZ +, L
0
2(\BbbR ) \equiv L2(\BbbR ), f (0) \equiv f, 0 < \tau \leq t.
4.3. Далее полагаем
\frakN (f ;u, \tau ) := | \scrF (f, u)| p | u| \alpha p | w(\tau u)| p \xi (\tau ), (4.20)
\Xi u,p,\alpha ,w(\xi , t) := | u| \alpha
\left\{
t\int
0
| w(\tau u)| p \xi (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
. (4.21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1180 С. Б. ВАКАРЧУК
Теорема 2. Пусть \alpha , \sigma принадлежат (0,\infty ); комплекснозначная функция w : \BbbR \rightarrow \BbbC
такова, что | w| 2 принадлежит множеству \BbbG и удовлетворяет свойству А; 0 < p \leq 2;
t \in (0, t\ast /\sigma ], где t\ast определяется согласно (4.1) для \varphi = | w| 2; \xi — неотрицательная, сумми-
руемая на отрезке [0, t] функция, которая не эквивалентна нулю. Тогда имеет место двойное
неравенство
1
\Xi \sigma ,p,\alpha ,w(\xi , t)
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
(\omega w(\scrD \alpha f, \tau ))p\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
\leq 1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\Xi u,p,\alpha ,w(\xi , t) : \sigma \leq | u| <\infty
\bigr\} .
(4.22)
Доказательство. Используя формулы (2.23), (4.12), (4.20), (4.21) и (4.5), а также обобщен-
ное неравенство Минковского (см., например, [5], гл. I, раздел 1.3, пп. 1.3.2), для произвольного
t \in (0, t\ast /\sigma ] записываем\left\{
t\int
0
\bigl(
\omega w(\scrD \alpha f, \tau )
\bigr) p
\xi (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
\geq
\left\{
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \Delta w
\tau (\scrD \alpha f)
\bigm\| \bigm\| p\xi (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
=
=
\left\{
t\int
0
\left[ \infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \scrF (f, u)\bigm| \bigm| 2| u| 2\alpha \bigm| \bigm| w(\tau u)\bigm| \bigm| 2du
\right] p/2
\xi (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
\geq
\geq
\left\{
t\int
0
\left[ \int
| u| \geq \sigma
\bigm| \bigm| \scrF (f, u)\bigm| \bigm| 2| u| 2\alpha \bigm| \bigm| w(\tau u)\bigm| \bigm| 2du
\right]
p/2
\xi (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
=
=
\left\{
t\int
0
\left[ \int
| u| \geq \sigma
\frakN 2/p(f ;u, \tau )du
\right]
p/2
d\tau
\right\}
1/p
\geq
\geq
\left\{
\int
| u| \geq \sigma
\left[ t\int
0
\frakN (f ;u, \tau ) d\tau
\right] 2/p
du
\right\}
1/2
=
=
\left\{
\int
| u| \geq \sigma
| \scrF (f, u)| 2
\left[ | u| \alpha p t\int
0
\bigm| \bigm| w(\tau u)\bigm| \bigm| p\xi (\tau ) d\tau
\right] 2/p
du
\right\}
1/2
=
=
\left\{
\int
| u| \geq \sigma
| \scrF (f, u)| 2 \Xi 2
u,p,\alpha ,w(\xi , t)du
\right\}
1/2
\geq
\geq \scrA \sigma (f) \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\Xi u,p,\alpha ,w : \sigma \leq | u| <\infty
\bigr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1181
Отсюда получаем оценку сверху
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
(\omega w(\scrD \alpha f, \tau ))p\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
\leq 1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\Xi u,p,\alpha ,w(\xi , t) : \sigma \leq | u| <\infty
\bigr\} . (4.23)
Установим оценку снизу экстремальной характеристики, содержащейся в левой части нера-
венства (4.23). Для этого воспользуемся целой функцией q\sigma +\varepsilon \in L\alpha
2 (\BbbR ) экспоненциального
типа \leq \sigma + \varepsilon , введенной при доказательстве теоремы 1 формулой (4.9). Далее полагаем
\widehat \Xi \sigma +\varepsilon ,p,\alpha ,w(\xi , t) := (\sigma + \varepsilon )\alpha
\left\{
t\int
0
\bigm| \bigm| w(\tau (\sigma + \varepsilon ))
\bigm| \bigm| p
\ast \xi (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
, \varepsilon > 0. (4.24)
Используя неравенство (4.14), которое выполняется в более широком диапазоне значений 0 <
< t <\infty , а также формулу (2.24), получаем
t\int
0
(\omega w(\scrD \alpha q\sigma +\varepsilon , \tau ))
p\xi (\tau ) d\tau \leq \scrA p
\sigma (q\sigma +\varepsilon )(\sigma + \varepsilon )\alpha p
t\int
0
| w(\tau (\sigma + \varepsilon ))| p\ast \xi (\tau ) d\tau =
=
\Bigl( \widehat \Xi \sigma +\varepsilon ,p,\alpha ,w(\xi , t)
\Bigr) p
\scrA p
\sigma (q\sigma +\varepsilon ),
т. е. \left\{
t\int
0
(\omega w(\scrD \alpha q\sigma +\varepsilon , \tau ))
p\xi (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
\leq \scrA \sigma (q\sigma +\varepsilon )\widehat \Xi \sigma +\varepsilon ,p,\alpha ,w(\xi , t).
Отсюда имеем
\scrA \sigma (q\sigma +\varepsilon )\biggl\{ \int t
0
(\omega w(\scrD \alpha q\sigma +\varepsilon , \tau ))
p\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
\geq 1\widehat \Xi \sigma +\varepsilon ,p,\alpha ,w(\xi , t)
.
Поскольку, как уже отмечалось, q\sigma +\varepsilon является элементом класса L\alpha
2 (\BbbR ), из последнего нера-
венства для 0 < t \leq t\ast получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\bigl(
\omega w(\scrD \alpha f, \tau )
\bigr) p
\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
\geq 1\widehat \Xi \sigma +\varepsilon ,p,\alpha ,w(\xi , t)
. (4.25)
Из формулы (4.24) следует, что при \varepsilon \rightarrow 0+ величина \widehat \Xi \sigma +\varepsilon ,p,\alpha ,w(\xi , t), как функция от \varepsilon ,
при фиксированных значениях остальных параметров монотонно убывает. При этом с учетом
(4.21) имеем \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl\{ \widehat \Xi \sigma +\varepsilon ,p,\alpha ,w(\xi , t) : \varepsilon \rightarrow 0+
\bigr\}
= \Xi \sigma ,p,\alpha ,w(\xi , t). Следовательно, для произвольного
сколь угодно малого значения \delta > 0 существует такое число \widehat \varepsilon = \widehat \varepsilon (\delta ) \in (0, \sigma \ast ), для которого
выполняется неравенство 1/\widehat \Xi \sigma +\widehat \varepsilon ,p,\alpha ,w(\xi , t) > 1/\Xi \sigma ,p,\alpha ,w(\xi , t) - \delta . Из данного соотношения и
определения верхней грани числового множества получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{
1\widehat \Xi \sigma +\varepsilon ,p,\alpha ,w(\xi , t)
: 0 < \varepsilon < \sigma \ast
\Biggr\}
=
1
\Xi \sigma ,p,\alpha ,w(\xi , t)
. (4.26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1182 С. Б. ВАКАРЧУК
Поскольку левая часть неравенства (4.25) не зависит от \varepsilon , то, вычисляя верхнюю грань по
\varepsilon \in (0, \sigma \ast ) от его правой части, с учетом (4.26) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\bigl(
\omega w(\scrD \alpha f, \tau )
\bigr) p
\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
\geq 1
\Xi \sigma ,p,\alpha ,w(\xi , t)
. (4.27)
Требуемое соотношение (4.22) следует из неравенств (4.23) и (4.27), что и завершает дока-
зательство теоремы 2.
Замечание 2. Повторяя практически дословно доказательство теоремы 2, получаем двой-
ное неравенство для элементов пространства L2(\BbbR ):
1\widetilde \Xi \sigma ,p,w(\xi , t)
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
(\omega w(f, \tau ))p\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
\leq 1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{ \widetilde \Xi u,p,w(\xi , t) : \sigma \leq | u| <\infty
\bigr\} , (4.28)
где \widetilde \Xi \sigma ,p,w(\xi , t) := \Xi \sigma ,p,0,w(\xi , t). При этом верхняя грань в формуле (4.28) вычисляется по всем
функциям f из L2(\BbbR ), которые не эквивалентны нулю.
Конкретизируя w в соотношении (4.22), а именно, полагая w = w\scrM 2,\beta
, \beta \in (0,\infty ), полу-
чаем основной результат теоремы 1 из [32]:
1
\gamma \sigma ,\beta ,\alpha ,p(\xi , t)
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau )\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
\leq 1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\gamma u,\beta ,\alpha ,p(\xi , t) : \sigma \leq | u| <\infty
\bigr\} ,
(4.29)
где 0 < t \leq \pi /\sigma ; \sigma , \alpha \in (0,\infty ); 0 < p \leq 2;
\gamma u,\beta ,\alpha ,p(\xi , t) := 2\beta /2| u| \alpha
\left\{
t\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(u\tau ))\beta p/2\xi (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
, u \in \BbbR .
В случае объединения соотношений (4.29), где \alpha \in \BbbN , \beta = m \in \BbbN , 0 < p \leq 2, и (4.28), в
котором полагаем w = w\scrM 1,m , m \in \BbbN , 0 < p \leq 2, получаем результат, сформулированный в
теореме 1 из [26].
Пусть теперь в формулах (4.22) и (4.28) w = \widetilde wm, m \in \BbbN ; 0 < p \leq 2; \sigma \in (0,\infty );
0 < t \leq t\ast /\sigma , и в формуле (4.22) \alpha = r \in \BbbN . Тогда объединение при указанных условиях этих
двух соотношений приводит к одному из основных результатов теоремы 2 из [25]:
1\widehat \gamma \sigma ,m,r,p(\xi , t)
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr
2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\widetilde \Omega p
m(f (r), \tau )\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
\leq 1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{ \widehat \gamma u,m,r,p(\xi , t) : \sigma \leq | u| <\infty
\bigr\} ,
где r \in \BbbZ +,
\widehat \gamma u,m,r,p(\xi , t) := | u| r
\left\{
t\int
0
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (u\tau ))mp\xi (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
, u \in \BbbR .
Следует особо отметить, что для модулей непрерывности \omega \scrM , заданных формулой (2.17), соот-
ношение вида (4.22) ранее было неизвестно, за исключением двух упомянутых выше частных
случаев \scrM =\scrM 1,m, m \in \BbbN , и \scrM =\scrM 2,\beta , \beta \in (0,\infty ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1183
5. Некоторые следствия из теоремы 2. Особый интерес, с точки зрения автора, представ-
ляет рассмотрение условий, при которых удается вычислить точные значения экстремальной
характеристики, содержащейся в соотношении (4.22).
5.1. Следствие 1. Пусть \alpha , \sigma принадлежат (0,\infty ); комплекснозначная функция w : \BbbR \rightarrow
\rightarrow \BbbC такова, что | w| 2 принадлежит множеству \BbbG и удовлетворяет свойствам А, В; 0 <
< p \leq 2; 0 < t \leq t/\sigma , где t \in (0, t\ast ) — значение аргумента функции | w| 2, определяемое
согласно формуле (4.6); \xi — неотрицательная, суммируемая на отрезке [0, t] функция, которая
не эквивалентна нулю. Тогда справедливо равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
(\omega w(\scrD \alpha f, \tau ))p\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
=
1
\Xi \sigma ,p,\alpha ,w(\xi , t)
. (5.1)
Доказательство. Для получения соотношения (5.1) достаточно показать выполнение ра-
венства
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\Xi u,p,\alpha ,w(\xi , t) : \sigma \leq | u| <\infty
\bigr\}
= \Xi \sigma ,p,\alpha ,w(\xi , t) (5.2)
и затем воспользоваться теоремой 2. Пусть 0 < y \leq t; x, z \in [1,\infty ); \nu , \mu \in (0,\infty ) — произ-
вольные числа. Поскольку функция | w| 2 \in \BbbG удовлетворяет свойствам А и В, то выполняется
неравенство x\nu /\mu | w(zy)| 2 \geq | w(y)| 2. Возводя обе его части в степень \mu /2, получаем
x\nu /2| w(zy)| \mu \geq | w(y)| \mu . (5.3)
Поскольку | w| 2 — четная функция, то очевидно, что | w(x)| = | w(| x| )| , x \in \BbbR . Полагая в (5.3)
z = x = | u| /\sigma , \sigma \leq | u| < \infty , и y = \sigma \tau , 0 < \tau \leq t/\sigma , имеем | u| \nu /2| w(u\tau )| \mu \geq \sigma \nu /2| w(\sigma \tau )| \mu .
Отсюда при \nu = 2\alpha p и \mu = p следует неравенство
| u| \alpha p| w(u\tau )| p \geq \sigma \alpha p| w(\sigma \tau )| p. (5.4)
Умножая обе части соотношения (5.4) на функцию \xi (\tau ), затем интегрируя обе части получен-
ного таким образом неравенства по переменной \tau в пределах от 0 до t, 0 < t \leq t/\sigma , и возводя
в степень 1/p, имеем
| u| \alpha
\left\{
t\int
0
| w(u\tau )| p\xi (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
\geq \sigma \alpha
\left\{
t\int
0
| w(\sigma \tau )| p\xi (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
или, с учетом (4.21), получаем \Xi u,p,\alpha ,w(\xi , t) \geq \Xi \sigma ,p,\alpha ,w(\xi , t), где \sigma \leq | u| < \infty . Следовательно,
равенство (5.2) справедливо и следствие 1 доказано.
Замечание 3. Аналогичным образом можно показать, что имеет место равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\bigl(
\omega w(f, \tau )
\bigr) p
\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
=
1\widetilde \Xi \sigma ,p,w(\xi , t)
(5.5)
при выполнении условий следствия 1. При этом \widetilde \Xi \sigma ,p,w(\xi , t) определено ранее в замечании 2, а
верхняя грань вычисляется по всем функциям f из L2(\BbbR ), которые не эквивалентны нулю.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1184 С. Б. ВАКАРЧУК
5.1.1. Полагая, например, w = \widetilde wm, m \in \BbbN , из (5.1), (5.5) с учетом (1.6), (2.19) и (4.21) для
0 < t \leq t/\sigma , \sigma \in (0,\infty ), p \in (0, 2] при \alpha \in (0,\infty ) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\widetilde \Omega p
m(\scrD \alpha f, \tau )\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\widetilde \Omega p
m(f, \tau )\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
=
=
1\biggl\{ \int t
0
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\tau \sigma ))mp\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
. (5.6)
В случае p = 1/m, m \in \BbbN , и \xi (\tau ) \equiv \tau из (5.6) при \alpha \in (0,\infty ), 0 < t \leq t получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - 2m\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int t/\sigma
0
\widetilde \Omega 1/m
m (\scrD \alpha f, \tau )\tau d\tau
\Biggr\} m = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)\Biggl\{
\sigma 2
\int t/\sigma
0
\widetilde \Omega 1/m
m (f, \tau )\tau d\tau
\Biggr\} m =
=
2m
t2m(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} 2(t/2))m
.
Если же p = 1/m, m \in \BbbN , и \xi (\tau ) \equiv 1, то из (5.6) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - m\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int t/\sigma
0
\widetilde \Omega 1/m
m (\scrD \alpha f, \tau ) d\tau
\Biggr\} m = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)\Biggl\{
\sigma
\int t/\sigma
0
\widetilde \Omega 1/m
m (f, \tau ) d\tau
\Biggr\} m =
1
(1 - \mathrm{S}\mathrm{i}(t))m
.
где \mathrm{S}\mathrm{i}(x) :=
\int x
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (t) dt — интегральный синус, \alpha \in (0,\infty ), 0 < t \leq t.
5.2. Следствие 2. Пусть \sigma \in (0,\infty ); \alpha \in [1/2,\infty ); комплекснозначная функция w :
\BbbR \rightarrow \BbbC такова, что функция | w| 2 принадлежит множеству \BbbG , дифференцируема почти
всюду на \BbbR и удовлетворяет свойству А; t \in (0, t\ast /\sigma ]; \xi — неотрицательная, измеримая на
отрезке [0, t] функция, которая не эквивалентна нулю и дифференцируема почти всюду на
интеграле (0, t). Если для некоторого значения p \in [1/\alpha , 2] почти всюду на [0, t] выполнено
неравенство
(\alpha p - 1)\xi (\tau ) - \tau \xi \prime (\tau ) \geq 0, (5.7)
то имеет место соотношение (5.1).
Доказательство. Пусть для некоторого p \in [1/\alpha , 2] почти при всех \tau из отрезка [0, t]
выполняется неравенство (5.7). Для получения соотношения (5.1) при выполнении сформули-
рованных выше условий необходимо показать, что имеет место равенство (5.2), а затем вос-
пользоваться соотношением (4.22). Для этого рассмотрим вспомогательную функцию \lambda (u) :=
:=
\bigl(
\Xi u,p,\alpha ,w(\xi , t)
\bigr) p
, где все параметры, кроме u, в том числе и переменную t полагаем произ-
вольными, но фиксированными. В силу (4.21) функция \lambda является четной и неотрицательной
на \BbbR . Следовательно, достаточно рассмотреть ее поведение на полуоси \BbbR + и показать, что \lambda —
неубывающая функция. Поскольку \lambda (u) = u\alpha p
\int t
0
\bigm| \bigm| w(\tau u)\bigm| \bigm| p\xi (\tau ) d\tau , то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1185
\lambda \prime (u) = \alpha pu\alpha p - 1
t\int
0
\bigm| \bigm| w(\tau u)\bigm| \bigm| p\xi (\tau ) d\tau + u\alpha p
t\int
0
\xi (\tau )
\partial
\partial u
\bigm| \bigm| w(\tau u)\bigm| \bigm| pd\tau . (5.8)
Полагая z = \tau u, почти всюду на \BbbR +\setminus \{ 0\} имеем \partial
\partial u
| w(z)| p = p| w(z)| p - 1
\bigl(
| w(z)|
\bigr) \prime
z
\tau и
\partial
\partial \tau
| w(z)| p = p| w(z)| p - 1
\bigl(
| w(z)|
\bigr) \prime
z
u, т. е.
1
\tau
\partial
\partial u
\bigm| \bigm| w(\tau u)\bigm| \bigm| p = 1
u
\partial
\partial \tau
\bigm| \bigm| w(\tau u)\bigm| \bigm| p. (5.9)
Равенство (5.8) с учетом (5.9) принимает вид
\lambda \prime (u) = u\alpha p - 1
\left\{ \alpha p
t\int
0
\bigm| \bigm| w(\tau u)\bigm| \bigm| p\xi (\tau ) d\tau +
t\int
0
\tau \xi (\tau )
\partial
\partial \tau
\bigm| \bigm| w(\tau u)\bigm| \bigm| pd\tau
\right\} . (5.10)
После интегрирования по частям второго интеграла в (5.10) получаем
\lambda \prime (u) = u\alpha p - 1
\left\{ t\xi (t)
\bigm| \bigm| w(tu)\bigm| \bigm| p + t\int
0
\bigl(
\alpha p\xi (\tau ) - \xi (\tau ) - \tau \xi \prime (\tau )
\bigr) \bigm| \bigm| w(\tau u)\bigm| \bigm| pd\tau
\right\} . (5.11)
Учитывая неравенство (5.7), из (5.11) имеем \lambda \prime (u) \geq 0, где 0 < u < \infty , т. е. \lambda является
неубывающей функцией на рассматриваемом множестве.
Следствие 2 доказано.
5.2.1. Полагая w = w\scrM 2,\beta
, \beta \in (0,\infty ), на основании (2.23), (2.17) и (1.4) имеем
\omega
w\scrM 2,\beta (f, t) = \omega \scrM 2,\beta
(f, t) = \omega \beta (f, t),
где f \in L2(\BbbR ), t \geq 0. Отметим, что в данном случае t\ast = \pi . Тогда из следствия 2 в силу (2.14),
(4.21) и (5.1) при 0 < t \leq \pi /\sigma имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau )\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
=
1
2\beta /2
\biggl\{ \int t
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\sigma \tau ))p\beta /2\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
. (5.12)
Если, например, в (5.12) \beta = 2/p, p \in [1/\alpha , 2], \alpha \in [1/2,\infty ) и \xi (\tau ) \equiv 1, то получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - 1/p\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int t/\sigma
0
\omega p
2/p(\scrD
\alpha f, \tau ) d\tau
\Biggr\} 1/p
=
1\bigl\{
2t(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (t)
\bigr\} 1/p , (5.13)
где 0 < t \leq \pi . В случае \alpha = r \in \BbbN и p = 2/m, где m \in \BbbN и 1 \leq m \leq 2r, из (5.13) имеем один
из результатов следствия 2 из [26]:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr
2(\BbbR )
\sigma r - 1/p\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int t/\sigma
0
\omega 2/m
m (f (r), \tau ) d\tau
\Biggr\} m/2
=
1\bigl\{
2t(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (t)
\bigr\} m/2
.
Здесь 0 < t \leq \pi , а \omega m — обычный модуль непрерывности m-го порядка.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1186 С. Б. ВАКАРЧУК
5.2.2. Пусть \scrM = \scrM 4 и w = w\scrM 4 . Тогда согласно (2.7), (2.17), (2.23) и (1.10) для
произвольного элемента f \in L2(\BbbR ) получаем \omega w\scrM 4 (f, t) = \omega \scrM 4(f, t) = \widehat \omega (f, t), где \widehat \omega —
модуль непрерывности, введенный в рассмотрение К. В. Руновским и Х.-Ю. Шмейссером в
работе [37]. Используя в данном случае формулы (2.16) и (4.21), из следствия 2 имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha +1\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\widehat \omega p(\scrD \alpha f, \tau )\xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
=
\pi
2
\biggl\{ \int t
0
\tau p \xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
, (5.14)
где 0 < t \leq \pi /\sigma . Полагаем \xi (\tau ) := \tau m, m \in [0,\infty ). Тогда ограничение (5.7) принимает вид
(m+1)/\alpha \leq p \leq 2, где (m+1)/2 \leq \alpha <\infty . С учетом изложенного из соотношения (5.14) при
0 < t \leq \pi /\sigma получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha +1\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\widehat \omega p(\scrD \alpha f, \tau )\tau m d\tau
\biggr\} 1/p
=
\pi (p+m+ 1)1/p
2t1+(m+1)/p
.
Рассмотрим далее функцию \xi (\tau ) := \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau ). Поскольку при 0 < \tau \leq \pi выполняется нера-
венство \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\tau ) > \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\tau ), то (\alpha p - 1) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau ) - \tau \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\tau ) =
1
\tau
\bigl\{
(\alpha p - 1) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\tau ) - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\tau )
\bigr\}
\geq
\geq 1
\tau
(\alpha p - 2) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\tau ) и правая часть данного соотношения будет неотрицательной для любых
\tau \in (0, \pi ], если p \geq 2/\alpha . Таким образом, в рамках следствия 2 условие (5.7) имеет место, если
в данном конкретном случае 2/\alpha \leq p \leq 2 и \alpha \in [1,\infty ). Тогда из (5.14) при 0 < t \leq \pi /\sigma
получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha +1\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\widehat \omega p(\scrD \alpha f, \tau ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
=
\pi
2
\biggl\{ \int t
0
\tau p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
. (5.15)
Полагая, например, в (5.15) p = 1, когда \alpha \in [2,\infty ), при 0 < t \leq \pi /\sigma имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha +1\scrA \sigma (f)\int t
0
\widehat \omega (\scrD \alpha f, \tau ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau ) d\tau
=
\pi
2t
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (t) - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t)
\bigr) .
5.2.3. Пусть далее \scrM =\scrM 3 и w = w\scrM 3 . С учетом (2.7), (2.23) и (1.9) для произвольной
функции f \in L2(\BbbR ) получаем \omega w\scrM 3 (f, t) = \omega \scrM 3(f, t) = \omega \langle \prime \rangle (f, t), t \geq 0. Используя (4.21) и
(2.15), из следствия 2 в рассматриваемом случае для t \in (0, \pi /\sigma ] имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha +1\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\omega p
\langle \prime \rangle (\scrD
\alpha f, \tau ) \xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
=
\pi
3
\biggl\{ \int t
0
\tau p(1 - \sigma \tau /(2\pi ))p \xi (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
. (5.16)
Как уже отмечалось, если \xi (\tau ) := \tau m, m \in [0,\infty ), то условие (5.7) имеет место при
p \in [(m + 1)/\alpha ; 2], \alpha \in [(m + 1)/2;\infty ) и в формуле (5.16) можно использовать данную
степенную функцию. Если же p = 1, то в силу (5.7) при \alpha \in [m + 1;\infty ) равенство (5.16) при
0 < t \leq \pi принимает вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1187
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - m - 1\scrA \sigma (f)\int t/\sigma
0
\omega \langle \prime \rangle (\scrD \alpha f, \tau )\tau md\tau
=
\pi
3tm+2
\biggl\{
1
m+ 2
- t
2\pi (m+ 3)
\biggr\} - 1
.
5.2.4. Рассмотрим еще один случай, когда w = \widetilde wm, m \in \BbbN . Тогда для произвольной
функции f \in L2(\BbbR ) имеем \omega \widetilde wm(f, t) = \widetilde \Omega m(f, t), t > 0. Используя соотношение (4.21) и
следствие 2, для 0 < t \leq t\ast /\sigma получаем равенство (5.6), в котором \sigma \in (0,\infty ), \alpha \in [1/2,\infty ), а
p \in [1/\alpha , 2] — такое число, для которого выполняется условие (5.7) при почти всех \tau \in [0, t].
Напомним, что в данном случае t\ast — наименьший положительный корень уравнения tg(x) = x,
4,49 < t\ast < 4,51 [25].
5.3. Полагаем \xi := \widetilde \xi , где \widetilde \xi (\tau ) = \eta (\sigma \tau ), \sigma \in (0,\infty ), \tau \in (0, y/\sigma ], y \in (0, t\ast ]. С учетом
этого, обозначая t = y/\sigma , формулу (4.21) записываем в виде
\Xi u,p,\alpha ,w
\Bigl( \widetilde \xi , y
\sigma
\Bigr)
= | u| \alpha
\left\{
y/\sigma \int
0
\bigm| \bigm| w(\tau u)\bigm| \bigm| p\eta (\sigma \tau ) d\tau
\right\}
1/p
=
= \sigma \alpha - 1/p
\left\{ | u| \alpha p\sigma
y\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| w\biggl( | u| \sigma \tau
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p \eta (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
, \sigma \leq | u| <\infty . (5.17)
Пусть z = | u| /\sigma , т. е. 1 \leq z <\infty . Тогда из (5.17) получаем
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\sigma \leq | u| <\infty
\Xi u,p,\alpha ,w
\Bigl( \widetilde \xi , y
\sigma
\Bigr)
\geq \sigma \alpha - 1/p \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
1\leq z<\infty
\left\{ z\alpha p
y\int
0
| w(z\tau )| p\eta (\tau ) d\tau
\right\}
1/p
. (5.18)
Обозначим
\Xi p,\alpha ,w(\eta ; y, z) := z\alpha p
y\int
0
\bigm| \bigm| w(z\tau )\bigm| \bigm| p\eta (\tau ) d\tau . (5.19)
Тогда из теоремы 2 и (5.17) – (5.19) получаем следующее утверждение.
Следствие 3. Пусть \alpha , \sigma \in (0,\infty ); 0 < p \leq 2, комплекснозначная функция w : \BbbR \rightarrow \BbbC
такова, что | w| 2 \in \BbbG и | w| 2 удовлетворяет свойству А; y \in [0, t\ast ], где число t\ast определяется
согласно (4.1) для функции \varphi := | w| 2; \eta — измеримая, суммируемая на отрезке [0, y] функция,
которая неотрицательна и неэквивалентна нулю. Тогда выполняется двойное неравенство
1\bigl\{
\Xi p,\alpha ,w(\eta ; y, 1)
\bigr\} 1/p \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int y
0
(\omega w(\scrD \alpha f, \tau /\sigma ))p\eta (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
\leq
\leq 1\biggl\{
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
1\leq z<\infty
\Xi p,\alpha ,w(\eta ; y, z)
\biggr\} 1/p
. (5.20)
Если же функция \eta такова, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1188 С. Б. ВАКАРЧУК
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
1\leq z<\infty
\Xi p,\alpha ,w(\eta ; y, z) = \Xi p,\alpha ,w(\eta ; y, 1), (5.21)
то справедливо равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int y
0
\bigl(
\omega w(\scrD \alpha f, \tau /\sigma )
\bigr) p
\eta (\tau ) d\tau
\biggr\} 1/p
=
1\bigl\{
\Xi p,\alpha ,w(\eta ; y, 1)
\bigr\} 1/p . (5.22)
Отметим, что в конкретном случае \scrM =\scrM 2,\beta , \beta \in (0,\infty ), и w = w\scrM 2,\beta
для характерис-
тики гладкости функции f \in L2(\BbbR ) вида \omega
w\scrM 2,\beta (f, t) = \omega \scrM 2,\beta
(f, t) = \omega \beta (f, t), t \geq 0, данное
следствие было получено в работе [32].
5.4. В следующем утверждении устанавливаются условия на функцию \eta , при которых
имеет место равенство (5.21).
Следствие 4. Пусть \alpha , \sigma \in (0,\infty ); 0 < p \leq 2, y \in [0, t\ast ]; комплекснозначная функция w :
\BbbR \rightarrow \BbbC такова, что | w| 2 \in \BbbG и | w| 2 удовлетворяет свойству А; \widehat \eta (\tau ) := \tau \alpha p - 1\widetilde \eta (\tau ), где \widetilde \eta —
измеримая, невозрастающая, суммируемая на множестве (0, y] функция, которая является
неотрицательной и неэквивалентной нулю. Тогда для \eta = \widehat \eta справедливо равенство (5.21) и
выполняется соотношение
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int y
0
\bigl(
\omega w(\scrD \alpha f, \tau /\sigma )
\bigr) p
\tau \alpha p - 1\widetilde \eta (\tau ) d\tau \biggr\} 1/p
=
1
\{ \Xi p,\alpha ,w(\widehat \eta ; y, 1)\} 1/p. (5.23)
Доказательство. Рассматривая y как произвольное, но фиксированное число из множест-
ва (0, t\ast ], доопределим функцию \widetilde \eta следующим образом: \widetilde \eta y(\tau ) := \bigl\{ \widetilde \eta (\tau ), если 0 < \tau \leq y; \widetilde \eta (y),
если y \leq \tau < \infty
\bigr\}
. Поскольку \widetilde \eta является невозрастающей и неотрицательной функцией на
множестве (0, y], для произвольного значения z \in [1,\infty ) при 0 < \tau < zy имеем \widetilde \eta (\tau /z) \geq
\geq \widetilde \eta y(\tau ). Тогда, используя формулу (5.19), где \eta = \widehat \eta , получаем
\Xi p,\alpha ,w(\widehat \eta ; y, z) = z\alpha p
y\int
0
| w(z\tau )| p\tau \alpha p - 1\widetilde \eta (\tau ) d\tau =
zy\int
0
| w(\tau )| p\tau \alpha p - 1\widetilde \eta (\tau /z) d\tau \geq
\geq
zy\int
0
| w(\tau )| p\tau \alpha p - 1\widetilde \eta y(\tau ) d\tau \geq y\int
0
| w(\tau )| p\tau \alpha p - 1\widetilde \eta (\tau ) d\tau = \Xi p,\alpha ,w(\widehat \eta ; y, 1),
где 1 \leq z <\infty . Следовательно, для \eta = \widehat \eta равенство (5.21) имеет место, а значит, справедливо
и соотношение (5.22), которое в рассматриваемом случае принимает вид (5.23).
Следствие 4 доказано.
При конкретизациях следствия 4, когда\scrM =\scrM 2,\beta , \beta \in (0,\infty ), w = w\scrM 2,\beta
, \omega
w\scrM 2,\beta (f, t) =
= \omega \scrM 2,\beta
(f, t) = \omega \beta (f, t), t \geq 0, и w = \widetilde wm, m \in \BbbN , \omega \widetilde wm(f, t) = \widetilde \Omega m(f, t), t \geq 0, получаем
результаты, приведенные в работах [32] и [25] соответственно.
5.4.1. Пусть \scrM =\scrM 4 и w = w\scrM 4 . Тогда для произвольной функции f \in L2(\BbbR ) имеем
характеристику гладкости \omega w\scrM 4 (f, t) = \omega \scrM 4(f, t) = \widehat \omega (f, t), t \geq 0, рассмотренную в [37].
Полагаем \widetilde \eta (\tau ) := \tau - \gamma , 0 < \tau \leq y. При этом считаем, что \gamma \in (0, 1), \alpha \in (\gamma /2,\infty ), p \in (\gamma /\alpha , 2].
Используя соотношения (2.16) и (5.20), из (5.23) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1189
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int y
0
\widehat \omega p(\scrD \alpha f, \tau /\sigma )\tau \alpha p - 1 - \gamma d\tau
\biggr\} 1/p
=
\pi (p(1 + \alpha ) - \gamma )1/p
2y1+\alpha - \gamma /p
, 0 < y \leq \pi .
5.4.2. Пусть теперь \scrM = \scrM 3 и w = w\scrM 3 . В этом случае для f \in L2(\BbbR ) получаем
характеристику гладкости \omega w\scrM 3 (f, t) = \omega \scrM 3(f, t) = \omega \langle \prime \rangle (f, t), t \geq 0, исследовавшуюся в
работе [31]. Используя функцию \widetilde \eta (\tau ), при указанных выше ограничениях на \gamma , \alpha , p для 0 <
< y \leq \pi в силу (2.15) и (5.19) из (5.23) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int y
0
\omega p
\langle \prime \rangle (\scrD
\alpha f, \tau /\sigma )\tau \alpha p - 1 - \gamma d\tau
\biggr\} 1/p
=
=
\pi
3
\left\{
y\int
0
\Bigl(
1 - \tau
2\pi
\Bigr) p
\tau (1+\alpha )p - 1 - \gamma d\tau
\right\}
- 1/p
. (5.24)
При p = 2 и 0 < y \leq \pi из (5.24) получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int y
0
\omega 2
\langle \prime \rangle (\scrD
\alpha f, \tau /\sigma )\tau 2\alpha - 1 - \gamma d\tau
\biggr\} 1/2
=
=
\pi
3
y\gamma - 2(\alpha +1)
\biggl\{
1
2(\alpha + 1) - \gamma
- y
\pi (2(\alpha + 1) - \gamma + 1)
+
y2
4\pi 2(2(\alpha + 1) - \gamma + 2)
\biggr\} - 1/2
.
Пусть теперь \alpha \in (\gamma ,\infty ), где \gamma \in (0, 1). Полагая p = 1, при 0 < y \leq \pi из (5.24) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\int y
0
\omega \langle \prime \rangle (\scrD \alpha f, \tau /\sigma )\tau \alpha - 1 - \gamma d\tau
=
\pi
3
y\gamma - \alpha - 1
\biggl\{
1
\alpha - \gamma + 1
- y
2\pi (\alpha - \gamma + 2)
\biggr\} - 1
.
Во второй части данной статьи будут рассмотрены экстремальные задачи, связанные с
характеристикой гладкости (2.25), а также вычислены точные значения средних \nu -поперечников
классов функций, определенных с помощью \omega w и \Lambda w.
Литература
1. Бернштейн С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций на всей вещественной оси при помощи
целых функций данной степени (1912) // Собр. соч. – М.: АН СССР, 1952. – Т. 2. – С. 371 – 375.
2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.; Л.: Гостехиздат, 1947. – 324 с.
3. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
4. Тиман М. Ф. Приближение функций, заданных на всей вещественной оси, целыми функциями экспоненци-
ального типа // Изв. вузов. Математика. – 1968. – № 2. – С. 89 – 101.
5. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1977. – 456 с.
6. Ибрагимов И. И., Насибов Ф. Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной
оси посредством целых функций конечной степени // Докл. АН СССР. – 1970. – 194, № 5. – С. 1013 – 1016.
7. Насибов Ф. Г. О приближении в L2 целыми функциями // Докл. АН АзССР. – 1986. – 42, № 4. – С. 3 – 6.
8. Попов В. Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального
типа // Изв. вузов. Математика. – 1972. – № 6. – С. 65 – 73.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1190 С. Б. ВАКАРЧУК
9. Пономаренко В. Г. Интегралы Фурье и наилучшее приближение целыми функциями // Изв. вузов. Математи-
ка. – 1966. – № 3. – C. 109 – 123.
10. Гаймназаров Г. О модулях гладкости дробного порядка функций, заданных на всей вещественной оси // Докл.
АН ТаджССР. – 1981. – 24, № 3. – C. 148 – 150.
11. Гаймназаров Г. Некоторые соотношения для модулей гладкости дробного порядка в пространстве
Lp( - \infty ,\infty ) // Изв. АН ТаджССР. – 1985. – № 3. – С. 8 – 13.
12. Stepanets А. I. Classes of functions defined on the real line and their approximation by entire functions. I // Ukr.
Math. J. – 1990. – 42, № 1. – P. 93 – 102.
13. Stepanets А. I. Classes of functions defined on the real axis and their approximations by entire functions. II // Ukr.
Math. J. – 1990. – 42, № 2. – P. 186 – 197.
14. Ligun A. A., Doronin V. G. Exact constants in Jackson-type inequalities for L2 -approximation on an axis // Ukr.
Math. J. – 2009. – 61, № 1. – P. 112 – 120.
15. Arestov V. V. On Jackson inequalities for approximation in L2 of periodic functions by trigonometric polynomials
and of functions on the line by entire functions // Approxim. Theory (A volume dedicated to Borislaw Bojanov). –
Sofia: Marin Drinov Acad. Publ. House, 2004. – P. 1 – 19.
16. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона – Стечкина в пространстве L2(\BbbR m) // Тр. Ин-та математики и
механики УрО РАН. – 1998. – № 5. – С. 1 – 17.
17. Васильев С. Н. Неравенство Джексона в L2(\BbbR N ) с обобщенным модулем непрерывности // Тр. Ин-та матема-
тики и механики УрО РАН. – 2010. – 16, № 4. – С. 93 – 99.
18. Vakarchuk S. B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2 -approximation on the line and exact values
of mean widths of functional classes // East J. Approxim. – 2004. – 10, № 1-2. – P. 27 – 39.
19. Vakarchuk S. B., Doronin V. G. Best mean-square approximations by entire functions of finite degree on a straight
line and exact values of mean widths of functional classes // Ukr. Math. J. – 2011. – 62, № 8. – P. 1199 – 1212.
20. Vakarchuk S. B. Best mean-square approximation of functions defined on the real axis by entire functions of
exponential type // Ukr. Math. J. – 2012. – 64, № 5. – P. 680 – 692.
21. Vakarchuk S. B. On some extremal problems of approximation theory of functions on the real axis. I // J. Math. Sci. –
2013. – 188, № 2. – P. 146 – 166.
22. Vakarchuk S. B. On some extremal problems of approximation theory of functions on the real axis. II // J. Math.
Sci. – 2013. – 190, № 4. – P. 613 – 630.
23. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. О точных значениях средних \nu -поперечников некоторых классов целых функ-
ций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2012. – 18, № 4. – С. 315 – 327.
24. Юсупов Г. А. О наилучших среднеквадратических приближениях на всей оси целыми функциями экспонен-
циального типа // Докл. АН Республики Таджикистан. – 2013. – 56, № 3. – С. 192 – 195.
25. Vakarchuk S. B. Jackson-type inequalities for the special moduli of continuity on the entire real axis and the exact
values of mean \nu -widths for the classes of functions in the space L2(\BbbR ) // Ukr. Math. J. – 2014. – 66, № 6. –
P. 827 – 856.
26. Vakarchuk S. B. Best mean-square approximations by entire functions of exponential type and mean \nu -widths of
classes of functions on the line // Math. Notes. – 2014. – 96, № 6. – P. 878 – 896.
27. Vakarchuk S. B., Shabozov M. Sh., Langarshoev M. R. On the best mean square approximations by entire functions
of exponential type in L2(\BbbR ) and mean \nu -widths of some functional classes // Russian Math. – 2014. – 58, № 7. –
P. 25 – 41.
28. Yanchenko S. Ya. Approximations of classes B\Omega
p,\theta of functions of many variables by entire functions in the space
Lq(\BbbR d) // Ukr. Math. J. – 2010. – 62, № 1. – P. 136 – 150.
29. Vakarchuk S. B. Mean-square approximation of function classes, given on the all real axis \BbbR by the entire functions
of exponential type // Int. J. Adv. Math. – 2016. – 6. – P. 1 – 12.
30. Vakarchuk S. B. Exact constants in Jackson-type inequalities for the best mean square approximation in L2(\BbbR ) and
exact values of mean \nu -widths of the classes of functions // J. Math. Sci. – 2017. – 224, № 4. – P. 582 – 603.
31. Artamonov S. Yu. Nonperiodic modulus of smoothness corresponding to the Riesz derivative // Math. Notes. – 2016. –
99, № 6. – P. 928 – 931.
32. Vakarchuk S. B. On the moduli of continuity and fractional-order derivatives in the problems of best mean-square
approximations by entire functions of the exponential type on the entire real axis // Ukr. Math. J. – 2017. – 69, № 5. –
P. 599 – 623.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1191
33. Vakarchuk S. B. Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the n-widths
for the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions in L2 . I // Ukr. Math. J. – 2016. – 68, № 6. – P. 823 – 848.
34. Vakarchuk S. B. Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the n-widths
for the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions in L2 . II // Ukr. Math. J. – 2017. – 68, № 8. – P. 1165 – 1183.
35. Vakarchuk S. B. Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the n-widths
for the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions in L2 . III // Ukr. Math. J. – 2017. – 68, № 10. – P. 1495 – 1518.
36. Ditzian Z., Totik V. Moduli of smoothness. – New York: Springer-Verlag, 1987. – 228 p.
37. Runovski K., Schmeisser H.-J. On modulus of continuity related to Riesz derivative. – Jena, 2011. – (Preprint /
Friedrich-Schiller-Univ. Jena).
38. Boman J., Shapiro H. S. Comparison theorems for a generalized modulus of continuity // Ark. Mat. – 1971. – 9,
№ 1. – P. 91 – 116.
39. Boman J. Equivalence of generalized moduli of continuity // Ark. Mat. – 1980. – 18, № 1. – P. 73 – 100.
40. Васильев С. Н. Точное неравенство Джексона – Стечкина в L2 с модулем непрерывности, порожденным
произвольным конечно-разностным оператором с постоянными коэффициентами // Докл. АН. – 2002. – 385,
№ 1. – С. 11 – 14.
41. Васильев С. Н. Поперечники некоторых классов функций в пространстве L2 на периоде // Тр. Ин-та математики
и механики УрО РАН. – 2013. – 19, № 4. – С. 42 – 47.
42. Kozko A. I., Rozhdestvenskii A. V. On Jackson’s inequality for generalized moduli of continuity // Math. Notes. –
2003. – 73, № 5. – P. 736 – 741.
43. Горбачев Д. В. Оценка оптимального аргумента в точном многомерном L2 -неравенстве Джексона – Стечкина //
Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2014. – 20, № 1. – С. 83 – 91.
44. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев С. И. Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981. – 798 с.
45. Butzer P. L., Dyckhoff H., Gorlich E., Stens R. L. Best trigonometric approximation, fractional order derivatives and
Lipschitz classes // Canad. J. Math. – 1977. – l29, № 4. – P. 781 – 793.
46. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их
приближения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
47. Butzer P. L., Westphal U. An introduction to fractional calculus // Appl. Fractional Calculus in Physics. – Singapore:
World Sci. Publ., 2000. – P. 1 – 85.
48. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике. – М.: Наука, 1971. – 408 c.
49. Ахиезер Н. И. Лекции об интегральных преобразованиях. – Харьков: Вища шк., 1984. – 120 с.
Получено 22.03.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1627 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:27Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/66/e626acea530146b18d7e91723d6e5166.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16272019-12-05T09:21:25Z Generalized characteristics of smoothness and some extremе problems of the approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. I Обобщенные характеристики гладкости и некоторые экстремальные задачи теории аппроксимации функций в пространстве $L_2 (R)$. I Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. We consider the generalized characteristics of smoothness of the functions $\omega^w(f, t)$ and $\Lambda^w(f, t), t > 0,$ in the space $L_2(R)$ and, on the classes $L^{\alpha}_2 (R)$ defined with the help of fractional-order derivatives $\alpha \in (0,\infty)$, obtain the exact Jackson-type inequalities for $\omega^w(f)$. Розглянуто узагальненi характеристики гладкостi функцiй $\omega^w(f, t)$ i $\Lambda^w(f, t), t > 0,$ у просторi $L_2(R)$ i на класах $L^{\alpha}_2 (R)$, визначених за допомогою похiдних дробового порядку $\alpha \in (0,\infty)$, знайдено точнi нерiвностi типу Джексона для $\omega^w(f)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1627 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 9 (2018); 1166-1191 Український математичний журнал; Том 70 № 9 (2018); 1166-1191 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1627/609 Copyright (c) 2018 Vakarchuk S. B. |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. Generalized characteristics of smoothness and some extremе problems of the approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. I |
| title | Generalized characteristics of smoothness and some extremе problems
of the approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. I |
| title_alt | Обобщенные характеристики гладкости и некоторые экстремальные задачи
теории аппроксимации функций в пространстве $L_2 (R)$. I |
| title_full | Generalized characteristics of smoothness and some extremе problems
of the approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. I |
| title_fullStr | Generalized characteristics of smoothness and some extremе problems
of the approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. I |
| title_full_unstemmed | Generalized characteristics of smoothness and some extremе problems
of the approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. I |
| title_short | Generalized characteristics of smoothness and some extremе problems
of the approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. I |
| title_sort | generalized characteristics of smoothness and some extremе problems
of the approximation theory of functions in the space $l_2 (r)$. i |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1627 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb generalizedcharacteristicsofsmoothnessandsomeextremeproblemsoftheapproximationtheoryoffunctionsinthespacel2ri AT vakarčuksb generalizedcharacteristicsofsmoothnessandsomeextremeproblemsoftheapproximationtheoryoffunctionsinthespacel2ri AT vakarčuksb generalizedcharacteristicsofsmoothnessandsomeextremeproblemsoftheapproximationtheoryoffunctionsinthespacel2ri AT vakarchuksb obobŝennyeharakteristikigladkostiinekotoryeékstremalʹnyezadačiteoriiapproksimaciifunkcijvprostranstvel2ri AT vakarčuksb obobŝennyeharakteristikigladkostiinekotoryeékstremalʹnyezadačiteoriiapproksimaciifunkcijvprostranstvel2ri AT vakarčuksb obobŝennyeharakteristikigladkostiinekotoryeékstremalʹnyezadačiteoriiapproksimaciifunkcijvprostranstvel2ri |