First nontrivial group of homologies of simplicial schemes of unimodular frames over the Dedekind ring
We prove a theorem on generation of the first nontrivial group of homologies of a simplicial scheme of unimodular frames over the Dedekind ring by standard cycles.
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1630 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507452314746880 |
|---|---|
| author | Zainalov, B. R. Зайналов, Б. Р. Зайналов, Б. Р. |
| author_facet | Zainalov, B. R. Зайналов, Б. Р. Зайналов, Б. Р. |
| author_sort | Zainalov, B. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:25Z |
| description | We prove a theorem on generation of the first nontrivial group of homologies of a simplicial scheme of unimodular frames
over the Dedekind ring by standard cycles. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Б. Р. ЗАЙНАЛОВ, 2018
1232 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
УДК 512.7
Б. Р. Зайналов (Самарканд. гос. ун-т, Узбекистан)
ПЕРВАЯ НЕТРИВИАЛЬНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИЙ
СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ СХЕМ УНИМОДУЛЯРНЫХ РЕПЕРОВ
НАД ДЕДЕКИНДОВЫМ КОЛЬЦОМ
We prove a theorem on generation of the first nontrivial group of homologies of a simplicial scheme of unimodular frames
over the Dedekind ring by standard cycles.
Доведено теорему про породження стандартними циклами першої нетривіальної групи гомологій симпліціальної
схеми унімодулярних реперів над дедекіндовим кільцем.
Введение. Проблема стабилизации и предстабилизации является одной из классических в ал-
гебраической K - теории. Основы этого направления заложили теоремы Серра [18] о выщеп-
лении свободных прямых слагаемых в проективных модулях, Басса [12] о сокращении, Бас-
са –Вассерштейна [1 – 5] о стабилизации полной линейной группы.
Для колец арифметического типа с бесконечной группой единиц [8, 13] имеются достаточ-
ные основания ожидать, что стабилизация наступает на один шаг раньше, чем это предсказы-
вает общая теория. Для функтора K1 этот результат доказан Л. Н. Вассерштейном [6], для
K2 — ван дер Калленом [15] и Колстером [17]. Колстер [16] дал также решение проблемы
предстабилизации для K2 .
После появления высшей K - теории начались попытки доказывать теоремы о стабилиза-
ции для высших K -функторов. Наиболее интересными и распространенными нестабильными
K -функторами являются функторы Квиллена и Володина. Проблема стабилизации в K - тео-
рии Квиллена равносильна проблеме стабилизации для гомологий полной линейной группы.
Эта проблема глубоко изучена и в основном решена в работах ван дер Каллена [14] и
А. А. Суслина [19].
Основой для решения проблемы стабилизации является изучение некоторых симплициаль-
ных множеств, связанных с унимодулярными реперами. Для доказательства теорем о стаби-
лизации необходимо уметь доказывать достаточно сильную ацикличность симплициального
множества унимодулярных реперов [9, 14, 19]. Аналогично, если вычислить первую нетриви-
альную группу гомологий соответствующего симплициального множества, то это даст ответ
на проблему предстабилизации [8, 11].
Данная работа посвящена доказательству основной теоремы, в которой утверждается, что
первая нетривиальная группа гомологий симплициальной схемы унимодулярных реперов над
дедекиндовым кольцом порождена стандартными циклами. Основной результат статьи дока-
зан в пункте 2, пункты 1 и 3 содержат необходимые вспомогательные результаты.
1. Свойства симплициальных схем унимодулярных реперов над дедекиндовыми
кольцами. Для произвольного множества V обозначим через ε(V ) множество его непустых
конечных подмножеств. Симплициальной схемой назовем пару (V , F) , где F ⊂ ε(V ) , при-
чем F вместе с каждым множеством содержит все его непустые подмножества. Пусть s =
= {ϑ0,…,ϑ p} ∈F — некоторый симплекс. Обозначим через Fs множество тех конечных
подмножеств t ∈ε(V ) , для которых t ∩ s = ∅ и t ∪ s ∈F является подсхемой схемы F [7].
ПЕРВАЯ НЕТРИВИАЛЬНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ СХЕМ … 1233
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
Пусть A — ассоциативное кольцо с единицей. Обозначим через A∞ свободный левый
А-модуль со счетным базисом e1,…, en ,… , а через An его подмодуль с базисом e1,…, en .
Элементы из An будем, как правило, представлять столбцами их координат в базисе
e1,…, en , тем самым отождествляя An с M n,1(A) . Если (ϑ0,…,ϑk)∈An , то будем отож-
дествлять последовательность (ϑ0,…,ϑk ) с соответствующей матрицей из M n,k+1(A) . Че-
рез U = Um(A∞ ) будем обозначать симплициальную схему, k -симплексами которой явля-
ются множества {ϑ0,…,ϑk} такие, что ϑi унимодулярный в совокупности или, другими
словами, образует унимодулярный репер. В частности, ε(An )∩U = Um(An ) [9].
Предложение 1.1. Пусть A — произвольное кольцо m ≥ n + s.r. A , где s.r. A — ста-
бильный ранг кольца, и (ϑ0,…,ϑn ) — унимодулярный репер в Am+1 . Прибавляя послед-
нюю координату к первым m, можно добиться, чтобы Am — часть репера (ϑ0,…,ϑn ) —
стала унимодулярной.
Доказательство проведем индукцией по n . Если n = 0 , то утверждение непосред-
ственно следует из определения стабильного ранга. Заметим, что при доказательстве утвер-
ждения мы можем заменить репер (ϑ0,…,ϑn ) на (αϑ0,…,αϑn ) для любой матрицы
α ∈GLm+1(A) вида α =
* *
0 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. Кроме того, можно заменить репер (ϑ0,…,ϑn ) на
(ϑ0 + λ0ϑn , …,ϑn−1 + λn−1ϑn ,ϑn) для любых λi ∈A . Пусть n ≥ 1 . В силу определения
стабильного ранга, прибавляя последнюю координату к первым m , можно считать, что
Am — часть вектора ϑn — унимодулярна. Поскольку группа GLm (A) транзитивно дей-
ствует на унимодулярных векторах, так как m ≥ s.r. A + n ≥ s.r. A + 1 , то можно считать да-
лее, что ϑn = (1, 0, …, 0, *)T . Вычитая теперь из ϑi подходящие кратные ϑn , можно счи-
тать, что ϑi = (0,ω i )T при i = 0, …, n −1 , где ω i ∈Am . Репер (ω0, …,ωn−1) унимодуля-
рен. По индукционному предположению, прибавив (m + 1) -ю координату к координатам с
номерами 2, …, m , можно добиться, чтобы ω i = ( ′ω i , *)T , где ( ′ω0, …, ′ωn−1) — унимоду-
лярный репер в Am−1 . Теперь Am — часть репера (ϑ0, …,ϑn ) — имеет вид
0 … 0 1
′ω0 … ′ωn−1 *
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
и, значит, унимодулярна [9].
Всюду ниже будем считать, что A — дедекиндово кольцо [10]. Из теоремы Басса [1] сле-
дует, что стабильный ранг [4] дедекиндового кольца не превышает 2 и имеет место следующее
утверждение.
Следствие 1.1. Если m ≥ n + 2 и (ϑ0, …,ϑn ) — унимодулярный репер в Am+1 , то,
прибавив последнюю координату к первым, можно добиться, чтобы Am — часть репера
(ϑ0, …,ϑn ) — стала унимодулярной.
1234 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
Предложение 1.2. Пусть заданы векторы (u0, …, uk)∈Am−1 , (ϑ1, …,ϑn−k−1)∈Am .
Предположим, что n < m и при любом i = 0, …, k векторы (u0, …, ûi , …, uk ,ϑ1, …,ϑn−k−1)
унимодулярны в совокупности. Прибавляя последнюю координату к оставшимся, можно
добиться, чтобы (u0, …, uk ,ϑ1, …,ϑn−k−1) имели те же свойства (где знак ∧ над ûi
означает, что эта компонента отбрасывается и ϑi , ϑi без последней координаты).
Доказательство. Как и выше, можно умножить все векторы на любую матрицу вида
β *
0 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, где β ∈GLm−1(A) . Применяя следствие 1.1 к унимодулярному реперу (u1, …, uk ,
ϑ1, …,ϑn−1−i ) и действуя транзитивно [1], можно считать, что
(u0, …, uk ,ϑ1, …,ϑn−1−i ) =
λ1 1… 0 0 … 0
… … …
λk 0 …1 0 … 0
… … …
µ1 0 … 0 1… 0
… … …
µn−k−1 0 … 0 0 …1
θ1 0 … 0 0 … 0
… … …
θm−n 0 … 0 0 … 0
0 0 … 0 y1 … yn−k−1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
.
Унимодулярность репера (u0, …, ûi , …, uk ,ϑ0, …,ϑn−k−1) при i = 1, …, k равносильна
унимодулярности строки µ j y j , λi ,θ1, …,θm−nj=1
n−k−1∑( ) [9]. Прибавляя последнюю строку к
верхним строкам k + 1, …, n − k −1 , не меняя при этом строки, а затем опуская последнюю
строку, получаем
λ 1k ′λ y
µ 0 1n−k−1
θ 0 ′θ y
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
. Унимодулярность этого репера без u0 очевидна, а при
i ≥ 1 унимодулярность без ui равносильна унимодулярности строки
λi − ′λi µ j y j , θ1 − ′θ1
j=1
n−k−1
∑ µ j y j , …,θm−n − ′θm−n µ j y j
j=1
n−k−1
∑
j=1
n−k−1
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1.1. Пусть x, λ1, …, λk ,θ1, …,θs ∈A, причем s ≥ 1 и при любом i строка
(x, λi ,θ1, …,θs ) унимодулярна. Прибавляя к λ и θ подходящие кратные x , можно до-
биться, чтобы при любом i строка (λi ,θ1, …,θs ) была унимодулярна.
ПЕРВАЯ НЕТРИВИАЛЬНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ СХЕМ … 1235
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
Доказательство. Можно считать, что x ≠ 0 . Прибавив x к λ , добьемся, чтобы
λi ≠ 0 . Тогда размерность кольца
A / λii=1
k∏ равна нулю и
s.r. A / λii=1
k∏ . Поскольку
строка (x,θ1, …,θs ) унимодулярна в
A / λii=1
k∏ , то, прибавив x к θ , добьемся, чтобы
строка (θ1, …,θs ) была унимодулярна в
A / λii=1
k∏ , т. е. чтобы строки (λi ,θ1, …,θs ) бы-
ли унимодулярны в A .
Предложение 1.3. Пусть заданы векторы (u1, …, uk ,ϑ1, …,ϑ s)∈A∞ , причем:
а) ui ∈Ak+s ;
б) (u1, …, ûi , …, uk ,ϑ1, …,ϑ s) — унимодулярный репер для любого i = 1, ..., k .
Тогда существует u0 ∈Ak+s такой, что:
1) (u0, u1, , …, ûi1 , …, ûi2 , …, uk ,ϑ1, …,ϑ s) — унимодулярный репер для любых i1 ≠ i2 ;
2) (u0, u1, …, û, …, uk ,ϑ1, …, ϑ̂ j , …,ϑ s) — унимодулярный репер при любых i = 1, …, k ,
j = 1, …, s ;
3) при любом i = 1, …, k репер (u0, u1, …, ûi1 , …, ûi2 , …, uk ,ϑ1 − ϑ s , …,ϑ s−1 − ϑ s) уни-
модулярен.
Доказательство. Справедливость утверждения, очевидно, не нарушится, если мы за-
меним векторы u , ϑ на αu , αϑ , где α ∈GL(A) и α ⋅ Ak+s = Ak+s [9]. В частности,
можно прибавлять координаты с большими номерами к координатам с меньшими номерами и
действовать матрицами из GLk+s (A) . В силу предложения 1.2 можно считать, что векторы
(u1, …, uk ,ϑ1, …,ϑ s) удовлетворяют условию б), где ϑ j есть Ak+s — часть вектора ϑ j .
Если мы сумеем подобрать вектор u0 , который удовлетворяет требованиям 1 и 2 для u и
ϑ , то u0 будет удовлетворять этим требованиям и для u и ϑ . Таким образом, можно
считать, что ϑ j ∈Ak+s . Поскольку группа GLk+s (A) транзитивно действует на унимоду-
лярные реперы [1], то мы можем считать, что репер (u,ϑ) имеет вид, указанный в таблице
λ1 1…0 0…0 ′λ1
… … … …
λk−1 0…1 0…0 ′λk−1
µ1 0…0 0…1 ′µ1
µ s 0…0 0…1 ′µ s
x 0…0 0…0 1
u1 u2 … uk ϑ1 …ϑ s u0 .
1236 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
Будем искать u0 в указанном в таблице виде. Условие б) на векторы u , ϑ означает,
что столбец (λi , x)T унимодулярен при любом i . Кроме того, условия 1 и 2 на вектор u0 в
данных обозначениях принимают следующий вид:
1) столбцы
λi1 − ′λi1 x
λi2 − ′λi2 x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
унимодулярны при i1 ≠ i2 ;
2) столбцы
λi − ′λi x
µ j − ′µ j x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
унимодулярны при всех i , j .
Можно считать, что x ≠ 0 . Подберем сначала ′µ j так, чтобы µ j − ′µ j x ≠ 0 . Построим ′λi
индуктивно так, чтобы выполнялись условия:
0) λi − ′λix ≠ 0 ;
1)
λi1 − ′λi1 x
λi2 − ′λi2 x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
унимодулярна при i1 < i ;
2)
λi − ′λi x
µ j − ′µ j x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
унимодулярна при всех j .
Требования 1 и 2 означают, что λi − ′λix обратим по модулю ненулевого идеала
I = (µ j − ′µ j x) (λi1 − ′λi1x)
i1<i
∏
j=1
s
∏
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
Поскольку dim A/I = 0 и, следовательно, s.r. A/I ≤ 1 , то можно найти ′λi такое, что
(λi − ′λix)A + I = A . Если при этом λi − ′λix = 0 , то A = I , условия 1 и 2 выполнены при
всех ′λi , и достаточно заменить ′λi на ′λi+1 так, чтобы выполнялось и условие 0. В обозна-
чениях доказательств случаев 1 и 2 новое требование принимает вид:
3) при любом i столбец
(µ1 − ′µ1x) + … + (µ s − ′µ sx)
λi − ′λix
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
унимодулярен.
Если A — поле, то можно подобрать ′λi так, чтобы λi − ′λix был обратим при любом
i . Если A не является полем, то A бесконечно и можно подобрать ′µ j так, чтобы элемен-
ты µ1 − ′µ1x, …, µ s − ′µ sx и их сумма были отличны от нуля. Затем подбор ′λi осуществля-
ется, как и выше.
Следствие 1.2. Пусть (ϑ1, …,ϑ s) — унимодулярный репер в A∞ . Тогда:
а) подгруппа стандартных в
!Hn−s−2(ε(An )∩U{ϑ1, …,ϑ s }) [9] групп порождена теми
[u1, …, us−1] , для которых [u1, …, us−1, ϑ1, …,ϑ s ] является стандартным циклом
(см. п. 2) U , т. е. при любых i , j реперы (u1, …, ûi , …, un−s , ϑ1, …,ϑ s) и
(u1, …, un−s , ϑ1, …, ϑ̂ j , …,ϑ s) унимодулярны;
ПЕРВАЯ НЕТРИВИАЛЬНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ СХЕМ … 1237
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
б) если дополнительно s ≥ 2 и ϑ j ∈An + en+1 , то подгруппа стандартных циклов
!Hn−s−1(ε(An )∩U{ϑ1, …,ϑ s }) порождается теми [u1, …, un−s+1] , для которых [u,ϑ] явля-
ется стандартным циклом в U .
Доказательство. а) Положим k = n − s , и пусть [u1, …, uk ] — стандартный цикл в
!H k−2(ε(An )∩U{ϑ}) , т. е. (u1, …, ûi , …, uk , ϑ1, …,ϑ s) — унимодулярный репер при любом
i . Найдем u0 ∈An , существование которого доказано в предложении 1.3. Тогда стандарт-
ные циклы [u0, u1, …, ûi , …, uk ], i = 1, …, k , удовлетворяют условиям следствия, формула
0 = d2(u0, u1, …, uk ) = d (−1)i(u0, …, ûi , …, uk)
i=0
k
∑
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= (−1)[u0, …, ûi , …, uk ]
i=0
k
∑
показывает, что
[u1, …, uk ] = (−1)i−1
i=1
k
∑ [u0, …, ûi , …, uk ] .
б) Положим ω j = ϑ j − ϑ s при j = 1, …, s −1 и k = n − s + 1 . Пусть [u1, …, uk ] —
стандартный цикл
!H k−2(ε(An )∩U{ϑ}) . Это означает унимодулярность реперов (u1, …, ûi , …
…, uk , ϑ1, …,ϑ s), которые равносильны унимодулярности (u1, …, ûi , …, uk , ω1, …,ω s−1) [9].
Согласно предложению 1.3 найдем вектор u0 ∈An , тогда стандартные циклы [u0, …, ûi , …
…, uk ], i = 1, …, k , удовлетворяют условиям следствия. При j < s унимодулярность
(u0, …, ûi , …, uk , ϑ1, …, ϑ̂ j , …,ϑ s) равносильна унимодулярности (u0, …, ûi , …, uk , ω1, …
…, ω̂ j , …,ω s−1) , а при j = s — унимодулярности (u0, …, ûi , …, uk , ω1 − ω s−1, …
…,ω s−2 − ω s−1) . Теперь доказательство завершается, как и выше.
Предложение 1.4. Пусть [u1, …, un ] — стандартный цикл в
!Hn−2(Um(An )) и
ϑ, ′ϑ ∈An + en+1 . Тогда цикл [u1, …, un ]∗[ϑ, ′ϑ ] ∈ !Hn−1(ε(An ∪ (An + en+1)∩U) является
суммой стандартных циклов, где ∗ означает джойн [7, 9].
Доказательство. [u1, …, un ]*[ϑ, ′ϑ ] = ± d([u1, ..., un ]* (ϑ, ′ϑ )) =
± (−1)i−1
i=1
n∑ [u1, …
…, ûi , …,ϑ, ′ϑ ] — сумма стандартных циклов, если все циклы [u1, …, ûi , …,ϑ, ′ϑ ] стандарт-
ны, т. е. унимодулярны все реперы (u1, …, ûi1 , …, ûi2 , …, un , ϑ, ′ϑ ) при i1 ≠ i2 . Отметим, что
унимодулярность равносильна унимодулярности (u1, …, ûi1 , …, ûi2 , …, un , ′ϑ − ϑ) [9]. Более
общим образом, допустим, что ′ϑ − ϑ = ω jj=1
k∑ , где векторы ω j ∈An таковы, что репер
(u1, …, ûi1 , …, ûi2 , …, un , ω j) унимодулярен для любых i1 ≠ i2 . Тогда согласно вышеизло-
1238 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
женному [u1, …, un ] ∗ ([ϑ,ϑ + ω1] + [ϑ + ω1,ϑ + ω1 + ω2 ] + … + [ϑ + ω1 + … + ω k+1 ,
ϑ + ω1 + … + ω k ]) — сумма стандартных циклов. Для любого u обозначим через Λ(u) ад-
дитивную подгруппу An , порожденную теми ω , для которых (u1, …, ûi1 , …, ûi2 , …, un , ω)
— унимодулярный репер для любых i1 ≠ i2 . Умножая репер u на обратимую матрицу, мо-
жем считать, что
u1, …, un( ) =
x1 1… 0
… …
xn−1 0 …1
z 0 … 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.
В этих обозначениях унимодулярность реперов (u1, …, ûi1 , …, un) означает, что xiA + zA =
= A при всех i = 1, …, n −1.
1.4.1: Λ(u) ⊃ An−1 . Действительно, вектор ω = (λ1, …, λn−1,1)T ∈Λ(u) при условии, что
(xiq − λi1z)A + (xi2 − λi2 z)A = A при i1 ≠ i2 . Если λ1, …, λn−1 удовлетворяют этому усло-
вию, то ему удовлетворяют и λ1 + θ, λ2, …, λn−1 для любого θ из идеала, порожденного
(x2 − λ2z)… (xn−1 − λn−1z) . Следовательно, Λ(u) ⊃ (x2 − λ2z)… (xn−1 − λn−1z)A ⋅ e1 . Посколь-
ку Λ(u) замкнуто по сложению, то Λ(u) ⊃ I ⋅ e1 , где I — идеал, порожденный всевозмож-
ными (x2 − λ2z)… (xn−1 − λn−1z) . Пусть µ — максимальный идеал A , тогда можно
индуктивно построить элементы λi так, чтобы xi − λiz ∉ µ(xi − λiz)A + (x j − λ j z)A = A
при j < i . Отметим, что возможность найти λi обусловлена тем, что
s.r. A/µ j<i∏ (x j − λ j z)( ) ≤ 1 . Это показывает, что I ⊄ µ и, следовательно, I = A . Тем
самым Λ(u) ⊃ A ⋅ e1 и, аналогично, Λ(u) ⊃ A ⋅ e2, …, A ⋅ en−1 .
1.4.2: Λ(u) ⊃ Izen . Действительно, подберем λ1, …, λn−1 так, что (xi1 − λi1z)A +
+ (xi2 − λi20 z)A = A при i1 ≠ i2 , и будем искать в виде ω = (λ1, …, λn−1,1)T + t ⋅u1 . Тогда
все реперы (u1, …, ûi1 , …, ûi2 , …, un ,ω) , где 2 ≤ i1 ≠ i2 ≤ n , унимодулярны. Унимодуляр-
ность (u1, …, ûi , …, un ,ω) равносильна, как легко видеть, тому, что (1 + tz)A + (xi−1 − λi−1z)A =
= A . Тем самым t можно варьировать по модулю идеала (xi − λiz)A1
n−1∏ и, следователь-
но, Λ(u) ⊃ Izen , где I — идеал, порожденный всевозможными (xi − λiz)1
n−1∏ . Однако,
как уже отмечалось выше, I = A .
Из 1.4.2 следует
1.4.3: Λ(u) ⊃ det (u) ⋅ An .
1.4.4. Снова выберем λ1, …, λn−1 так, что (xi1 − λi1z)A + (xi2 − λi20 z)A = A при i1 ≠ i2 .
Тогда цикл u можно записать в виде суммы стандартных циклов:
ПЕРВАЯ НЕТРИВИАЛЬНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ СХЕМ … 1239
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
[u1, …, un ] = (−1)i λ
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, u1, …, ûi , …, un
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
i=1
n
∑ .
Заметим, что детерминант i -го слагаемого равен единице при i = 1 и xi−1 − λi−1z при
i > 1 . Предложение справедливо, если ′ϑ − ϑ находится в подмодуле (xi − λiz) ⋅ An
i=1
k−1∏ .
Разлагая ′ϑ − ϑ в сумму, как в начале доказательства, видим, что ′ϑ − ϑ находится в сумме
таких подмодулей. Осталось еще раз воспользоваться тем, что идеал, порожденный всевоз-
можными (xi − λiz)i=1
k−1∏ , совпадает с A .
2. Стандартные циклы и основная теорема. Предположим, что {ϑ0, …,ϑ p+1}∈ε(V ),
причем все собственные грани симплекса {ϑ0, …,ϑ p+1} содержатся в F , т. е.
{ϑ0, …, ϑ̂i , …,ϑ p+1}∈F при всех i = 0, …, p + 1 ; d(ϑ0, …,ϑ p+1) =
(−1)i
i=0
p+1∑ (ϑ0, …, ϑ̂i , …
…,ϑ p+1) содержится в
!C* F( ) [7, 9] и является, очевидно, циклом. Такие циклы будем
называть стандартными p -мерными циклами симплициальной схемы F и обозначать через
[ϑ0, …,ϑ p ] .
Основным результатом статьи является следующая теорема.
Теорема 2.1. Для произвольного дедекиндова кольца A и любого n группа
!Hn−2(Um(A n )) порождается стандартными циклами.
Условимся считать, что группа
!H−1 всегда порождается стандартными циклами, то же
относится, конечно, и к группам
!H−2, !H−3, … , которые всегда равны нулю. Кроме того, от-
метим, что группа
!H0(F) порождается стандартными циклами для любой симплициальной
схемы F . Таким образом, утверждение теоремы справедливо при всех n ≤ 2 .
Для доказательства теоремы проследуем путь доказательства теоремы ацикличности [9] и
докажем на каждом шаге не только ацикличность соответствующей симплициальной схемы,
но и то, что младшая группа гомологий порождается стандартными циклами.
Начнем со следующих уточнений предложений 4.1 и 4.2 работы [9].
Предложение 2.1. Пусть F ⊂ ε(V ) — симплициальная схема, X ⊂ V и d — нату-
ральное число. Предположим, что:
а) ε(X)∩ F d -ациклична и
!Hd +1(ε(X)∩ F) порождается стандартными циклами;
б) для любого (s −1) -симплекса {ϑ1, …,ϑ s} ∈F таково, что ϑi ∉X при i = 1, …, s ,
cхема
ε(X)∩ F{ϑ1, …,ϑ s } (d −1) -ацикличнa и
!Hd−s+1(ε(X)∩ F{ϑ1, …,ϑ s }) порождается теми
стандартными циклами [u1, …, ud−s+3] , для которых [u1,ϑ] является стандартным цик-
лом в F , т. е. {u1, …, ûs , …, ud−s+3, …, ϑ1, …,ϑ s}∈F при любом i и {u1, …, ud−s+3 ,
ϑ1, …, ϑ̂ j , …,ϑ s}∈F при любом j .
Тогда симплициальная схема F d -ацикличнa, Ĥd +1(F) порождается стандартными
циклами.
1240 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
Замечание 2.1. В формулировке условия б) рассмотрим особо случай d − s + 1 = −1 , т. е.
s = d + 2 . Условимся считать, что в этом случае сформулированное условие означает, что для
любого симплекса {ϑ1, …,ϑd +2} ∈F такого, что ϑi ∉X при i = 1, …, d + 2 , найдется
u ∈X , для которого [u,ϑ1, …,ϑd +2 ] является стандартным циклом F , т. е. {u,ϑ1, …
…, ϑ̂i , …,ϑd +2}∈F при всех i .
Доказательство. Рассмотрим по схеме F фильтрацию Fs [7], выведенную при дока-
зательстве теоремы ацикличности [9], и покажем индукцией по s , что
!Hd +1(Fs ) порожда-
ется стандартными циклами. При s = 0 утверждение следует из условия а), поскольку
F0 = ε(X)∩ F . Пусть
!Hd +1(Fs−1) порождается стандартными циклами. При построении
схемы Fs к Fs−1 ,,склеиваем” джойны ε(X)∩ Ff ∗ f относительно (ε(X)∩ Ff )∗ "f по
всем f = {ϑ1, …,ϑS} ∈F таким, что ϑi ∉X при i = 1, …, s , где f и
!f соответственно
означают множества всех граней и собственных граней симплициальной схемы F . Обозна-
чим через Φ симплициальную схему, которая была получена до ,,склеиванияˮ
(ε(X)∩ Ff )∗ f , и рассмотрим точную последовательность Майера –Вьеториса [7, 9]
!Hd +1(Φ) → !Hd +1(Φ ∪((ε(X)∩ Ff )∗ f )) ∂⎯ →⎯⎯ !Hd((ε(X)∩ Ff )∗ $f )→ !Hd (Φ) = 0 .
Предположим, что
!H d +1 (Φ) порождается стандартными циклами. Для доказательства
того, что Φ ∪((ε(X)∩ Ff )∗ f ) имеет те же свойства, достаточно показать, что подгруппа
стандартных циклов в
!Hd +1(Φ ∪((ε(X)∩ Ff )∗ f )) сюръективно отображается на
!Hd((ε(X)∩ Ff )∗ f ) = !Hd−s+1(ε(X)∩ Ff ) . По условию б)
!Hd−s+1(ε(X)∩ Ff ) порождается
стандартными циклами [u1, …, ud−s−3] такими, что [u1, …, ud−s−3, ϑ1, …,ϑ s ] является
стандартным циклом F (в Fs ). Тогда
!Hd−s+1(ε(X)∩ Ff )
~⎯ →⎯⎯ !Hd((ε(X)∩ Ff )∗ f ) ,
цикл [u1, …, ud−s+3] переходит в [u1, …, ud−s+3]∗[ϑ1, …,ϑ s ] . Наконец, [u,ϑ] = [u]∗ (ϑ) +
+ (−1)d−s+3(u)∗[ϑ1, …,ϑ s ] (см. лемму 2.2 [8]), при этом первое слагаемое содержится в
!C*((ε(X)∩ Ff ) * f ) , а второе — в
!C*(Fs−1) . Следовательно, ∂([u,ϑ]) = d([u]∗ (ϑ)) =
= ± [u]∗[ϑ].
Предложение 2.2. В обозначениях предложения 2.1 предположим, что:
а) ε(X)∩ F d -ацикличнa,
!Hd +1(ε(X)∩ F) порождается стандартными циклами;
б) F ≠ F ∩ ε(X) , для любой вершины y{ } ∈F ∩ ε(X) имеет место соотношение
ε(X)∩ F ⊂ F {y} ;
в) если {y}, { ′y } ∈F − ε(X)∩ F и [u1, …, ud +3] — стандартный цикл в F , то цикл
[u1, …, ud +3]∗[y, ′y ] является суммой стандартных;
ПЕРВАЯ НЕТРИВИАЛЬНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ СХЕМ … 1241
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
г) если s ≥ 2 и f = ϑ1, …,ϑ s{ } ∈Fs , причем ϑi ∉X при i = 1, …, s , то схема
ε(X)∩ Ff (d − s + 1) -ацикличнa, a группа
!Hd−s+2(ε(X)∩ Ff ) порождается теми стан-
дартными циклами [u1, …, ud−s+4 ] , для которых [u,ϑ] — стандартный цикл в F .
Тогда F (d + 1) -ацикличнa и
!Hd +2(F) порождается стандартными циклами.
Доказательство. Согласно условию б) схема F1 является джойном F0 = ε(X)∩ F и
непустого дискретного множества Φ , состоящего из вершин F , не лежащих в X . По-
скольку
!Hi (Φ) = 0 при i ≠ 0 , то получаем, что
!H k (F1) = !H k−1(F0 )⊗ !H0(Φ) (см. лем-
му 2.1 [9]). Следовательно, F (d + 1) -ацикличнa и
!Hd +2(F1) порождается циклами
[u1, …, ud +3]∗[y, ′y ] , где [u1, …, ud +3] — стандартный цикл F ∩ ε(X) и y ≠ ′y ∈Φ . По
условию в) заметим, что
!H d +2 (F1) порождается стандартными циклами. Далее доказываем
индукцией по s ≥ 1 , что Fs (d + 1) -ацикличнa и
!Hd +2(Fs ) порождается стандартными цик-
лами. Эти рассуждения аналогичны таковым при доказательстве предложения 2.1.
Перейдем к доказательству теоремы. Проведем доказательство индукцией по n . При
n = 0, 1, 2 теорема тривиальна, так что достаточно выполнить индукционный переход. Итак,
будем считать, что теорема справедлива при всех n ≤ N , и покажем, что она справедлива и
для N + 1 .
Предложение 2.3. Пусть {ϑ1, …,ϑk} ∈U . Если n − k ≤ N , то
!Hn−2−k(ε(An )∩
∩U{ϑ1, …,ϑk }) порождается стандартными циклами.
Доказательство проведем индукцией по n . Если n − 2 − k ≤ 0 , то доказывать нечего,
так что будем считать, что n ≥ k + 3 . При доказательстве предложения можно заменить ϑ i
на αϑ i для любой матрицы α ∈GL(A) такой, что αAn = An . Тем самым можем считать,
что n -я координата ϑk равна единице (см. п. 2 [9]). Запишем ϑ1, …,ϑk−1 в виде ϑi =
= λiϑi + ′ϑi , где n -я координата ′ϑi равна нулю. Положим
(ε(An )∩U{ϑ1, …,ϑk }) = F , X =
= An−1 , d = n − k − 3 и воспользуемся предложением 2.1. Тогда получим (ε(X)∩ F =
=
ε(An−1)∩U{ϑ1, …,ϑk }) =
ε(An−1)∩U{ ′ϑ1, …, ′ϑk } [9]. Эта схема d -ацикличнa в силу теоремы
ацикличности и ее следствий [9], и ее группа
!Hd +1 порождается стандартными циклами либо
по индукционному предположению, если k > 1 , либо по условию, если k = 1 . Запишем ′wi
в виде wi = µiϑk + ′wi , где n -я координата ′wi равна нулю. Тогда
ε(X)∩ F{w1, …,ws } =
= ε(X)∩U{w,ϑ} =
ε(An−1)∩U ′w1, …, ′ws , ′ϑ1, …, ′ϑk−1{ } — схема, (n − k − s − 3) -ациклична в силу
теоремы ацикличности и ее следствий [9], ее группа
!Hd−s+1 порождается стандартными
циклами по предположению. Наконец, используя следствие 1.2, заключаем, что
!Hd−s−1(ε(X)∩ F{w}) порождается стандартными циклами [u1, …, ud−s+1] такими, что
[u, ′w , ′ϑ ] — стандартный цикл в U и тем более [u, w] — стандартный цикл в U{ϑ1, …,ϑk } .
1242 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
Тем самым условие 2.1 б) также выполнено. Согласно предложению 2.1 заключаем, что
!Hd +1(F) порождается стандартными циклами.
Предложение 2.4. Если n ≤ N , то
!Hn−1(ε(An ∪ (An + en+1))∩U) порождается стан-
дартными циклами.
Доказательство. Положим (ε(An )∪ (An + en+1))∩U = F , X = An , d = n − 3 и приме-
ним предложение 2.2. Справедливость условий 2.1 а) и б) очевидна, условие в) выполнено со-
гласно предложению 1.4. Наконец, пусть s ≥ 2 и {ϑ1, …,ϑ s} ∈F , при этом ϑi ∉An при
i = 1, …, s . Тогда симплициальная схема
ε(An )∩ F{s} = ε(An )∩U ϑ1−ϑ s , …,ϑ s−1−ϑ s{ } (d − s −1) -
ацикличнa согласно теореме ацикличности и ее следствий [8]. Ее группа
!Hd−s+2 порождает-
ся стандартными циклами в силу предложения 2.3, а согласно следствию 1.2 б) она порождает-
ся теми циклами [u1, …, ud−s+4 ] , для которых [u,ϑ] — стандартный цикл в U . Тем самым
условие 2.2 г) также выполнено. Из предложения 2.2 заключаем, что
!Hd +2(F) порождается
стандартными циклами.
Предложение 2.5. Пусть (ϑ1, …,ϑ s) — унимодулярный репер в A∞ . Тогда подгруппа
стандартных циклов в
!Hd−s−1(ε(An ∪ (An + en+1))∩U{s}) порождается теми циклами
[u1, …, un−s+1] , для которых [u,ϑ] является стандартным циклом в U .
Замечание 2.2. При n − s = 0 утверждение означает, что существует u ∈An ∪
∪ (An + en+1) такой, что все реперы {u,ϑ1, …, ϑ̂i , …,ϑ s} унимодулярны (см. замечание 2.1).
Предложение 2.6. Пусть {ϑ1, …,ϑk} ∈U . Если n − k ≤ N , то группа
!Hd−1−k(ε(An ∪
∪ (An + en+1))∩U{ϑ}) порождается стандартными циклами.
Доказательство предложения 2.6 аналогично доказательству предложения 2.3 с учетом
следствия 1.2.
Предложение 2.7. Группа
!H N−1(Um(AN +1)) порождается стандартными циклами.
Доказательство. Положим F = Um(AN +1) , X = AN ∪(AN + eN +1) , d = N − 2 и вос-
пользуемся предложением 2.1. Условие 2.1 а) выполнено в силу предложения 2.4, а усло-
вие 2.1 б) — в силу предложения 2.6.
3. Доказательство предложения 2.5.
Лемма 3.1. Предположим, что A бесконечно. Пусть задано конечное число нетриви-
альных линейных форм от n переменных fi (T1, …, Tn ) = a0
i + a1
iT1 + … + an
i Tn , i = 1, …, m .
Тогда существуют элементы λ1, …, λn ∈A такие, что fi (λ1, …, λn ) = 0 при всех i .
Доказательство. Используем индуктивный метод. При n = 1 утверждение следует из
того, что нетривиальная линейная форма от одной переменной имеет не более одного нуля.
Пусть n > 1 . Будем считать, что an
i = 0 при i < k и an
i ≠ 0 при i > k . Применим индук-
ционное предположение к формам от fi (λ1, …, λn ) ≠ 0 при i = 1, …, k и подберем элемент
ПЕРВАЯ НЕТРИВИАЛЬНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ СХЕМ … 1243
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
λn так, чтобы нетривиальные формы от функции одной переменной fi (λ1, …, λn , Tn ) ,
i = k + 1, …, m , не были равны нулю.
Лемма 3.2. Пусть A бесконечно, I ∈A — ненулевой идеал, x1, x ∈A , причем I +
+ x1A + xA = A . Тогда найдется λ1 ∈A такой, что I + (x1 + λ1x)A = A . Если, более того,
задано конечное число нетривиальных линейных форм от одной переменной fi = a0
i + a1
iT ,
i = 1, …, m , то λ1 можно подобрать так, чтобы fi (λ1) ≠ 0 при всех i .
Доказательство. Найти ′λ1 ∈A такой, что I + (x1 + ′λ1x)A = A , можно в силу того, что
s.r. A/I ≤ dim A/I + 1 ≤ 1 [1]. Выберем теперь ненулевой z ∈ I и будем искать λ1 в виде
λ1 = ′λ1 + µz . Поскольку I + (x1 + λ1x)A = I + (x1 + ′λ1x)A = A при любом z , то надо лишь
подобрать µ так, чтобы fi ( ′λ1 + µz) ≠ 0 . Это можно сделать согласно лемме 3.1, так как ли-
нейные формы fi ( ′λ1 + Tz) нетривиальны.
Лемма 3.3. Пусть заданы элементы x, x1, …, xn , t1, …, tn ∈A и число k , 1 ≤ k ≤ n ,
такие, что:
а) x ≠ 0 , xi + tixi ≠ 0i=2
n∑ ;
б) xA + xiA = A при i = 1, …, k .
Тогда существуют λ1, …, λn ∈A такие, что:
в) λ1 + tiλi = 0i=2
n∑ и (xi − λix)A + (x j − λ j x)A = A , если i ≠ j и один из индексов i ,
j не превышает k .
Доказательство. Предположим сначала, что A — поле. Подберем в этом случае
λ2, …, λn таким образом, что xi − λix ≠ 0 при i = 2, …, n , и положим λ1 = − tiλii=2
n∑ .
Таким образом, можно ограничиться случаем, когда A не является полем, следовательно,
бесконечно. Рассмотрим сначала случай k = 1 и проведем доказательство индукцией по n .
Согласно условию линейная форма x1 + (t2λ2 + … + tnλn )x + tn (xn − λnx) = x1 + tnxn +
+ tixλii=2
n∑ нетривиальна. Заменяя xi − λix при подходящих λ , можем считать в силу
леммы 3.1, что x1 + tnxn ≠ 0 . Найдем, воспользовавшись леммой 3.2, элемент λn ∈A такой,
что xn − λnx ≠ 0 , (x1 + tnλn ) + t2x2 + … + tn−1xn−1 ≠ 0 , (x1 + tnxn )A + (xn − λnx)A = A . Это
можно сделать, поскольку соответствующие формы нетривиальны, (x1 + tnxn )A ≠ 0 и
(x1 + tnxn )A + xnA + xA ⊃ xA + x1A = A . Заметим, что (x1 + tnxn )A + (xn − λnx)A = A . Заме-
нив x1 на x1 + tnλnx , xn на xn − λnxn , можем тем самым считать, что xn ≠ 0 ,
x1 + tixi ≠ 0i=2
n−1∑ , x1A + xnA = A . В силу этих условий элементы x, x1, …, xn , t1, …, tn−1
удовлетворяют требованиям леммы ( k = 1 ). Применив к ним индукционное предположение,
найдем µ1, …, µn−1 такие, что µ1 + tii=2
n−1∑ µi = 0 , (x1 − µ1xxn )A + (x j − µ j xxn )A = A при
2 ≤ j ≤ n −1 . Теперь достаточно положить λi = µix при i = 1, …, n −1, λn .
Считая, что k ≥ 2 , воспользуемся индукцией по k . Согласно лемме 3.1, заменив xi на
xi − λix при подходящих λ , можем считать, что x3 ≠ 0 , … , xn ≠ 0 , x1 + t2x2 ≠ 0 . Подбе-
1244 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
рем, использовав лемму 3.2, элемент λ2 ∈A такой, что (x1 − λ2x)A + (x1 + t2x2 )x3 … xnA =
= A , x2 − λ2x ≠ 0 , x1 + λ2t2x + t3x3 + … + tnxn ≠ 0 . Из приведенных свойств следует, что
(x1 + λ2t2x)A + (x2 − λ2x)A = (x1 + t2x)A + (x2 − λ2x)A = A . Заменив x1 на x1 + λ2t2x и
x2 на x2 − λ2x , будем далее считать, что: а) x2 ≠ 0 , x1 + t3x3 + … + tnxn ≠ 0 ; б) x2A +
+ xiA = A при i ≠ 2 . Условия а) и б) показывают, что элементы x , x2 , x1 , x3, …, xn ,
t3, …, tn удовлетворяют требованиям леммы с k , замененными на k −1 . В силу предполо-
жения индукции существуют µ1, …, µ 3, …, µn такие, что µ1 + µiti = 0i=s
n∑ и (xi − µ1xx2 )A +
+ (x j − µ j xx2 )A = A , если i и j — различные индексы, отличные от 2 и один из них не пре-
вышает k . Поскольку x2A + (xi − µixx2 )A = x2A + xiA = A при i = 2 , то теперь достаточно
положить λi = µix при i ≠ 2 , λ2 = 0 .
Лемма 3.4. Предположим, что (ϑ1, …,ϑn−1) — унимодулярный репер в An , причем n -
я координата ϑi равна единице. Тогда, прибавив n -ю координату к остальным с подхо-
дящими коэффициентами, можно добиться, чтобы An−1 — часть репера ϑ — стала уни-
модулярной.
Доказательство. Поскольку группа GLn (A) транзитивно действует на унимодулярных
реперах в An , то найдется α ∈GLn (A) такое, что αϑi = ei , i = 1, …, n −1. Положив
ϑn = α−1(en ) , получим вектор, дополняющий (ϑ1, …,ϑn−1) до унимодулярного n -репера.
Вычитая из ϑn подходящее кратное ϑ1 , можно считать далее, что n -я координата ϑn
равна единице и, следовательно, ϑn = (−λ1, …, −λn−1,1)T . Прибавим n -ю координату к
остальным с коэффициентами λi . Тогда получим (n −1) -репер с вектором (0, …, 0,1)T .
Отсюда заключаем, что An−1 — часть репера ′ϑ — унимодулярна [9].
Предложение 3.1. Пусть заданы векторы (u1, …, uk+1, …,ϑ1, …,ϑ s)∈A∞ , причем:
а) u1 ∈Ak+1 + ek+s+1, ui ∈Ak+s ∪ (Ak+s + ek+s+1) при i = 2, …, k + 1;
б) (u1, …, ûi , …, uk+1, ϑ) — унимодулярный репер при всех i .
Тогда существует u0 ∈Ak+s (Ak+s + ek+s+1) такой, что:
1) (u0, u1, …, ûi1 , …, ûi2 , …, uk+1,ϑ) — унимодулярный репер при i1 ≠ i2 ;
2) (u0, u1, …, ui , …, uk+1, ϑ1, …, ϑ̂ j , …,ϑ s) — унимодулярный репер для любых i = 1, …
…, k + 1 , j = 1, …, s .
Доказательство. Рассуждая, как при доказательстве предложения 1.3, видим, что
ϑ j ∈Ak+s+1. Применяя лемму 3.4 к унимодулярному реперу (u1, …, uk , ϑ1, …,ϑ s) , видим,
что прибавляя (k + s + 1)-ю координату к первым k + s с подходящими коэффициентами,
можно считать, что Ak+s — часть репера (u1, …, uk , ϑ1, …,ϑ s) — унимодулярна. Подставив
матрицу из Glk+s (A) , можем считать, что репер (u,ϑ) имеет вид, указанный в таблице
ПЕРВАЯ НЕТРИВИАЛЬНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ СХЕМ … 1245
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1 0 … 0 0 … 0 x1 λ1
0 1 … 0 0 … 0 x2 λ2
… … … … … … … … …
0 0 … 1 0 … 0 xk λk
0 0 … 0 1 … 0 xk+1 λk+1
… … … … … … … … …
0 0 … 0 0 … 1 xk+s λk+s
1 t2 … tk tk+1 … tk+s z 1 + λ1 + λiti
i=2
k+s
∑ .
u1 u2 … uk ϑ1 … ϑ s uk+s u0
Найдем u0 в виде, указанном в таблице. Условие б) в этих обозначениях принимает вид
xA + xiA = A при i = 1, …, k , где x = z − xi − tixii=2
k+s∑ . Требования 1 и 2 на вектор u0 и
условие u0 ∈Ak+s ∪ (Ak+s + ek+s+1) налагают следующие ограничения на λ :
1) (xi − λix)A + (x j − λ j x)A = A , если i ≠ j и 1 ≤ i ≤ k ;
2) λ1 + λiti = 0i=2
k+s∑ или −1 .
Очевидно, можно считать, что x ≠ 0 . Если xi + tix ≠ 0i=2
k+s∑ , то согласно лемме 3.3 су-
ществует λ , удовлетворяющее условию 1 и равенству λ1 + λiti = 0i=2
k+s∑ . Пусть x1 +
+ tixi = 0i=2
k+s∑ . Тогда элементы x, x1 + x, x2, …, xk+s , t2, …, tk+s удовлетворяют требовани-
ям леммы 3.3 и, следовательно, найдутся такие µi , что x1 + x − x µ1x , x2 − µ2x, …, xk –
– µ k x попарно комаксимальны и комаксимальны с xk+1 − µ k+1x, …, xk+s − µ k+sx и, кроме
того, µ1 + µiti = 0i=2
k+s∑ . Теперь достаточно положить λ1 = −1 + µ1, λi = µi при i ≥ 2 .
Лемма 3.5. Пусть A бесконечно и задана ((k + 2) × 2) -матрица
a1 … ak x z
b1 … bk y t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
T
.
Предположим, что xA + zA = yA + tA = A , при любом i = 1, …, k матрица
ai x z
bi y t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
T
унимодулярна. Тогда существуют λ1, …, λk , c ∈A такие, что (ai + λiz)A + (x + cz)A = A
и матрица
ai + λiz a j + λ j z x + cz
bi + λit b j + λ jt y + ct
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
T
при i ≠ j унимодулярна.
Доказательство. Положим Δ = xt − yz и рассмотрим два случая:
1) Δ = 0 . Тогда y = εx , t = εz , где ε ∈A * и условия на матрицу принимают вид
xA + zA = A и bi − εai ∈A * при всех i . В свою очередь требования на λ , c принимают,
1246 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
как легко видеть, следующий вид: (x + cz)A + (ai + λiz)A = A , (x + cz)A + (bi + λiεz)A = A ,
(x + cz)A +
ai + λiz bi − εai
a j + λ j z b j − εa j
A = A . Очевидно, можно считать, что z ≠ 0 и, следовательно,
линейные формы ai + λiz, bi + λiεz, (bj − εa j )(ai + λiz) − (bi − εai )(a j − λ j z) нетривиальны.
Подберем λi так, чтобы они не аннулировали ни одну из этих форм, а затем c так, чтобы
(x + cz)A + I = A , где I — идеал, порожденный произведением рассмотренных форм.
2) Δ ≠ 0 . Подберем c так, чтобы (x + cz)A + ΔA = A, x + cz ≠ 0 , y + ct ≠ 0 . В этом
случае (x + cz)A + (y + ct)A ⊃ (x + cz)A + ΔA = A . Тем самым, заменив x на x + cz , y на
y + ct , можно считать, что xA + yA = A , x ≠ 0 , y ≠ 0 . Положим Δi = bix − aiy . Легко ви-
деть, что в этих обозначениях условия на матрицу имеют вид xA + zA = A , yA + tA = A ,
xA + yA = A , ΔiA + ΔA = A . В свою очередь, требования на λ имеют следующий вид:
(ai + λiz)A + xA = A , (bi + λit)A + yA = A, (Δi + λiΔ)A + (Δ j + λ jΔ)A = A .
Будем считать λi последовательно, на каждом i -м шаге требуя выполнения условий:
1) (Δi + λiΔ)A + (Δ j + λ jΔ)A = A при j < i ;
2) (ai + λiz)A + zA = A, (bi + λit)A + yA = A ;
3) Δi + λiΔ ≠ 0 .
По построению, Δi + λiΔ ≠ 0 при j < i , тогда согласно предложению 2.1 построим ′′λi ,
удовлетворяющее первому требованию. Положим ′λi = ′′λ + µ (Δ j + λ jΔ)ij<i∏ . Этот
элемент по-прежнему удовлетворяет условию 1. Подберем µ так, чтобы он удовлетворял и
условию 2. По модулю x элемент Δ j + λ jΔ сравним с −y(a j + λ j z) , поэтому
(ai + ′λ zi )A + xA = ai + ′′λiz + µz(−y)i−1 (a j + λ j z)j=1
i−1∏( ) A + xA . Поскольку, по построению,
(a j + λ j z)A + xA = A, то согласно предложению 2.1 найдем такое µ x , что для соответствую-
щего ′λi выполнено требование (ai + ′λiz)A + xA = A . Аналогично можно найти µ y , удовле-
творяющее условию 2. Воспользуемся китайской теоремой об остатках и найдем µ ∈A та-
кое, что µ ≡ µ x mod xA , µ ≡ µ y mod yA . Положим λi = ′λi + θ (Δ j + λ jΔ)xyj<i∏ . Этот эле-
мент по-прежнему удовлетворяет условиям 1, 2 и, согласно лемме 3.1, можно подобрать θ
так, чтобы выполнялось и условие 3.
Следствие 3.1. Пусть заданы векторы (u1, …, uk+1, ϑ1, …,ϑ s ∈A∞) , причем:
1) u1 ∈Ak+s+1 ;
2) при любом i векторы (u1, …, ûi , …, uk+2,ϑ) унимодулярны в совокупности.
Прибавив координаты с номерами k + s + 2, … к первым k + s + 1 координатам, можно
добиться, обозначив через ϑ , Ak+s+1 часть репера ϑ , чтобы выполнялось требование:
при i ≠ j векторы (u1, …, ûi , …, û j , …, uk+2, ϑ) унимодулярны в совокупности.
Доказательство. Помимо преобразований, указанных в формулировке, мы можем, оче-
видно, действовать на u , ϑ матрицами из GLk+s+1(A) . Согласно предложению 1.2 векторы
ПЕРВАЯ НЕТРИВИАЛЬНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ СХЕМ … 1247
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
(ϑ1, …,ϑ s) лежат в Ak+s+2 , а в силу следствия 1.1 можно считать, что Ak+s+1 — часть ре-
пера (u1, …, uk , ϑ1, …,ϑ s) — унимодулярна. Таким образом, подействовав на u , ϑ матри-
цей из GLk+s+1(A) , можно считать, что u , ϑ имеют вид, указанный в следующей таблице:
1 … 0 0 … 0 a1 b1
… … … … … … … …
0 … 1 0 … 0 ak bk
0 … 0 1 … 0 ak+1 bk+1
… … … … … … … …
0 … 0 0 … 1 ak+s bk+s
0 … 0 0 … 0 x y
0 … 0 t1 … ts 0 0 .
u1 … uk ϑ1 … ϑ s uk+1 uk+2
Положим z = tiak+ii=1
s∑ , t = tibk+ii=1
s∑ . Легко видеть, что требования к векторам u , ϑ
в этих обозначениях превращаются в требования, приведенные в формулировке леммы 3.5.
Если λ1, …, λk , c — элементы, существование которых доказано в леммы 3.5, то достаточно
прибавить (k + s + 2)-ю координату к первым k с коэффициентами λi и к (k + s + 2)-й с
коэффициентом c .
Следствие 3.2. В условиях следствия 3.1 найдется вектор u0 ∈Ak+s+1 + ek+s+2 такой,
что [u0, u1, …, ûi , …, uk+2 ] — стандартный цикл в U{ϑ} при i = 1, …, k + 2.
Доказательство. Если (k + s + 2)-ю координату прибавляем к первым k + s + 1 коорди-
натам с коэффициентами λi , то надо взять u0 = (λ1, …, λk+s+1,1)T .
Доказательство предложения 2.5. Пусть [u1, …, un−s+1] — стандартный цикл в
!Hd−s−1(ε(An ∪ (An + en+1))∩U{ϑ]) . Если хотя бы один из векторов ui лежит в An + en+1 ,
то, воспользовавшись предложением 3.1, найдем u0 ∈An ∪ (An + en+1) такой, что [u0, u1, …
…, ûi , …, un−s+1, …,ϑ1, …,ϑ s ] является стандартным циклом в U при всех i = 1, …
…, n − s −1 . Тем самым стандартные циклы [u0, u1, …, ûi , …, un−s+1] имеют вид, требуемый в
предложении 2.5, и утверждение следует из уже использованной ранее формулы
[u1, …, un−s+1] = (−1)i
i=1
n−s+1∑ [u0, u1, …, ui , …, un−s+1]. Если все ui ∈An , то можно восполь-
зоваться следствием 3.2 и найти u0 ∈An + en+1 такой, что [u0, u1, …, ûi , …, un−s+1] являются
1248 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
стандартными циклами в U{ϑ} . Эти циклы являются суммами циклов нужного вида по уже
доказанному, и осталось вновь воспользоваться формулой.
Литература
1. Басс Х. Алгебраическая К-теория. – М.: Мир, 1973.
2. Вассерштейн Л. Н. K1-теория и конгруэнцпроблема // Мат. заметки. – 1968. – 5. – C. 233 – 244.
3. Вассерштейн Л. Н. О стабилизации общей линейной группы над кольцом // Мат. сб. – 1969. – 79, № 3. –
C. 405 – 424.
4. Вассерштейн Л. Н. Стабильный ранг колец и размерность топологических пространств // Функцион. анализ и
его прил. – 1971. – 5, № 2. – С. 17 – 27.
5. Вассерштейн Л. Н. О стабилизации для K2 -функтора Милнора // Уcпехи мат. наук. – 1975. – 30, № 1. –
С. 224 – 237.
6. Вассерштейн Л. Н. О группе SL2 над дедекиндовыми кольцами арифметического типа // Мат. сб. – 1972. – 89,
№ 2. – С. 313 – 322.
7. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. – М.: Мир, 1976. – 463 с.
8. Зайналов Б. Р., Cуслин А. А. Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 11. – С. 1464 – 1476.
9. Зайналов Б. Р. Предацикличность над кольцами с бесконечными полями вычетов // Укр. мат. журн. – 2016. –
68, № 2. – С. 202 – 216.
10. Касселс Дж., Фрелих А. Алгебраическая теория чисел. – М.: Мир, 1969. – 483 с.
11. Суслин А. А. Гомологии GLn , характеристические классы и К-теория Милнора // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1984. – 165. – С. 188 – 203.
12. Bass H. K-theory and stable algebra // Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. – 1964. – № 22. – Р. 489 – 544.
13. Bass H., Milnot J., Serre J. P. Solution of the congruence subgroup problem SLn (n ≥ 3) and SP2n (n ≥ 2) // Publ.
Math. Inst. Hautes Études Sci. – 1967. – № 33. – Р. 421 – 499.
14. Van der Kellen W. Homology stability for linear groups // Invent. Math. – 1980. – № 3. – Р. 269 – 295.
15. Van der Kallen W. Stability for K2 of Dedekind rings of arithmetic type // Lect. Notes Math. – 1981. – 854. –
Р. 217 – 249.
16. Kolster M. On injective stability for K2 // Lect. Notes Math. – 1982. – 966. – Р. 128 – 169.
17. Kolster M. Improvement of K2 -stabillity under transitive actions of elementary groups // J. Pure and Appl. Algebra. –
1982. – 24, № 3. – Р. 277 – 282.
18. Serre J.-P. Modules projectivs et espaces fibres a fibre vectorielle // Semin. P. Dubreil. Fac. Sci. Paris. – 1957-1958.
– 231. – P. 1 – 18.
19. Suslin A. A. Stability in algebraic K -theory // Lect. Notes Math. – 1982. – 966. – Р. 304 – 334.
Получено 18.08.14,
после доработки — 29.01.17
ПЕРВАЯ НЕТРИВИАЛЬНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ СХЕМ … 1249
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1630 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:32Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3e/b05014d5287e40668e2998d253146d3e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16302019-12-05T09:21:25Z First nontrivial group of homologies of simplicial schemes of unimodular frames over the Dedekind ring Первая нетривиальная группа гомологий симплициальных схем унимодулярных реперов над дедекиндовым кольцом Zainalov, B. R. Зайналов, Б. Р. Зайналов, Б. Р. We prove a theorem on generation of the first nontrivial group of homologies of a simplicial scheme of unimodular frames over the Dedekind ring by standard cycles. Доведено теорему про породження стандартними циклами першої нетривіальної групи гомологій симпліціальної схеми унімодулярних реперів над дедекіндовим кільцем. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1630 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 9 (2018); 1231-1248 Український математичний журнал; Том 70 № 9 (2018); 1231-1248 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1630/612 Copyright (c) 2018 Zainalov B. R. |
| spellingShingle | Zainalov, B. R. Зайналов, Б. Р. Зайналов, Б. Р. First nontrivial group of homologies of simplicial schemes of unimodular frames over the Dedekind ring |
| title | First nontrivial group of homologies of simplicial schemes of unimodular frames
over the Dedekind ring |
| title_alt | Первая нетривиальная группа гомологий симплициальных схем унимодулярных реперов над дедекиндовым кольцом |
| title_full | First nontrivial group of homologies of simplicial schemes of unimodular frames
over the Dedekind ring |
| title_fullStr | First nontrivial group of homologies of simplicial schemes of unimodular frames
over the Dedekind ring |
| title_full_unstemmed | First nontrivial group of homologies of simplicial schemes of unimodular frames
over the Dedekind ring |
| title_short | First nontrivial group of homologies of simplicial schemes of unimodular frames
over the Dedekind ring |
| title_sort | first nontrivial group of homologies of simplicial schemes of unimodular frames
over the dedekind ring |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1630 |
| work_keys_str_mv | AT zainalovbr firstnontrivialgroupofhomologiesofsimplicialschemesofunimodularframesoverthededekindring AT zajnalovbr firstnontrivialgroupofhomologiesofsimplicialschemesofunimodularframesoverthededekindring AT zajnalovbr firstnontrivialgroupofhomologiesofsimplicialschemesofunimodularframesoverthededekindring AT zainalovbr pervaânetrivialʹnaâgruppagomologijsimplicialʹnyhshemunimodulârnyhreperovnaddedekindovymkolʹcom AT zajnalovbr pervaânetrivialʹnaâgruppagomologijsimplicialʹnyhshemunimodulârnyhreperovnaddedekindovymkolʹcom AT zajnalovbr pervaânetrivialʹnaâgruppagomologijsimplicialʹnyhshemunimodulârnyhreperovnaddedekindovymkolʹcom |