Estimates for the entropy numbers of the classes $B_{p,θ}^{Ω}$ of periodic multivariate functions in the uniform metric
We establish order estimates for the entropy numbers of the classes $B_{p,θ}^{Ω}$ of periodic multivariate functions in the uniform metric. For the proper choice of the functions $\Omega$, these classes coincide with the Nikol’skii – Besov classes $B_{p,θ}^{r}$.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1631 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507449098764288 |
|---|---|
| author | Pozhars’ka, K. V. Пожарська, К. В. |
| author_facet | Pozhars’ka, K. V. Пожарська, К. В. |
| author_sort | Pozhars’ka, K. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:25Z |
| description | We establish order estimates for the entropy numbers of the classes $B_{p,θ}^{Ω}$ of periodic multivariate functions in the uniform metric. For the proper choice of the functions $\Omega$, these classes coincide with the Nikol’skii – Besov classes $B_{p,θ}^{r}$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
К. В. Пожарська (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ ЕНТРОПIЙНИХ ЧИСЕЛ КЛАСIВ \bfitB \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
У РIВНОМIРНIЙ МЕТРИЦI
We establish order estimates for the entropy numbers of the classes B\Omega
p,\theta of periodic multivariate functions in the uniform
metric. For the proper choice of the functions \Omega , these classes coincide with the Nikol’skii – Besov classes B\bfitr
p,\theta .
Отримано порядковi оцiнки ентропiйних чисел класiв B\Omega
p,\theta перiодичних функцiй багатьох змiнних у рiвномiрнiй
метрицi. Цi класи при певному виборi функцiї \Omega збiгаються iз класами Нiкольського – Бєсова B\bfitr
p,\theta .
1. Вступ. Нехай \BbbR d, d \geq 1, — d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами \bfitx = (x1, . . . , xd)
i (\bfitx ,\bfity ) = x1y1 + . . . + xdyd, \bfitx ,\bfity \in \BbbR d. Через Lq(\pi d), \pi d =
\prod d
j=1[0, 2\pi ], 1 \leq q \leq \infty ,
позначимо простiр функцiй f(\bfitx ) = f (x1, . . . , xd) , якi є 2\pi -перiодичними за кожною змiнною,
зi скiнченною нормою
\| f\| q := \| f\| Lq(\pi d) =
\left( (2\pi ) - d
\int
\pi d
| f(\bfitx )| q d\bfitx
\right) 1/q , 1 \leq q < \infty ,
\| f\| \infty := \| f\| L\infty (\pi d) = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfitx \in \pi d
| f(\bfitx )| .
У подальших мiркуваннях вважаємо, що для f \in L1(\pi d) виконується умова
2\pi \int
0
f(\bfitx ) dxj = 0, j = 1, d.
Означимо апроксимативну характеристику, яка вивчається у роботi.
Нехай X — банахiв простiр i BX(\bfity , r) = \{ \bfitx \in X : \| \bfitx - \bfity \| X \leq r\} — куля радiуса r з центром
у точцi \bfity .
Для компактної множини A \subset X i \varepsilon > 0 позначимо
N\varepsilon (A,X) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\left\{ n : \exists \bfity 1, . . . ,\bfity n \in X : A \subseteq
n\bigcup
j=1
BX(\bfity
j , \varepsilon )
\right\} .
Тодi \varepsilon -ентропiєю множини A вiдносно банахового простору X називають величину [1]
H\varepsilon (A,X) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}N\varepsilon (A,X). (1)
(Тут i далi пiд записом \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} будемо розумiти \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 .)
З \varepsilon -ентропiєю множини A тiсно пов’язане поняття її ентропiйних чисел (див., напри-
клад, [2])
\varepsilon k(A,X) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \varepsilon : \exists \bfity 1, . . . ,\bfity 2k \in X : A \subseteq
2k\bigcup
j=1
BX(\bfity
j , \varepsilon )
\right\} . (2)
c\bigcirc К. В. ПОЖАРСЬКА, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9 1249
1250 К. В. ПОЖАРСЬКА
Зазначимо, що отримавши оцiнки ентропiйних чисел деякої множини A, можна записа-
ти вiдповiднi оцiнки її \varepsilon -ентропiї. Дiйсно, з наведених вище означень величин \varepsilon k(A,X) та
H\varepsilon (A,X) випливає, що при k < H\varepsilon (A,X) \leq k + 1 виконуються спiввiдношення \varepsilon k+1(A,X) \leq
\leq \varepsilon \leq \varepsilon k(A,X).
Величини (2) для класiв функцiй багатьох змiнних Соболєва W \bfitr
\bfitbeta ,p, Нiкольського – Бєсова
B\bfitr
p,\theta (B\bfitr
p,\infty \equiv H\bfitr
p ) та їх аналогiв дослiджувались у багатьох роботах (див., наприклад, [3 – 11]).
З бiльш детальною бiблiографiєю можна ознайомитися в оглядi [10].
У процесi доведення одержаних результатiв будемо розглядати такi числа:
M\varepsilon (A,X) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
n : \exists \bfitx 1, . . . ,\bfitx n \in A : \| \bfitx i - \bfitx j\| X > \varepsilon , i \not = j, i, j = 1, d
\bigr\}
.
Легко переконатися (див., наприклад, [1]), що
N\varepsilon (A,X) \leq M\varepsilon (A,X) \leq N \varepsilon
2
(A,X). (3)
У роботi встановлено оцiнки ентропiйних чисел класiв B\Omega
p,\theta у метрицi простору L\infty (\pi d)
при певних умовах на функцiю \Omega та параметри p i \theta . Згаданi класи для \theta = \infty уперше було
розглянуто в роботi [12], а потiм поширено у [13] на випадок 1 \leq \theta < \infty ; вони є узагальненням
за гладкiсним параметром класiв B\bfitr
p,\theta (див., наприклад, [14, 15]).
Класи B\Omega
p,\theta визначаються за допомогою мажорантної функцiї \Omega (\bfitt ), \bfitt \in \BbbR d
+, для мiшаного
модуля неперервностi \Omega l(f, \bfitt )p l-го порядку, l \in \BbbN , функцiї f \in Lp(\pi d), 1 \leq p \leq \infty , та
числового параметра \theta , 1 \leq \theta \leq \infty .
Отже, нехай для f \in Lp(\pi d)
\Omega l(f)p := \Omega l(f, \bfitt )p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| hj | \leq tj
j=1,d
\| \Delta l
hf\| p
— мiшаний модуль неперервностi порядку l, l \in \BbbN , функцiї f, де
\Delta l
\bfith f(\bfitx ) = \Delta l
hd
\cdot \cdot \cdot \Delta l
h1
f(\bfitx ) = \Delta l
hd
\bigl(
\Delta l
hd - 1
. . . (\Delta l
h1
f(\bfitx ))
\bigr)
, \bfith = (h1, . . . , hd),
— мiшана l-та рiзниця з кроком hj за змiнною xj , j = 1, d, а
\Delta l
hj
f(\bfitx ) =
l\sum
n=0
( - 1)l - nCn
l f(x1, . . . , xj - 1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd).
Розглянемо множину \Psi l,d функцiй \Omega (\bfitt ), \bfitt \in \BbbR d
+, типу мiшаного модуля неперервностi l-го
порядку, якi задовольняють такi умови:
1) \Omega (\bfitt ) > 0, tj > 0, j = 1, d; \Omega (\bfitt ) = 0,
\prod d
j=1 tj = 0;
2) \Omega (\bfitt ) неперервна на \BbbR d
+;
3) \Omega (\bfitt ) не спадає по кожнiй змiннiй tj \geq 0, j = 1, d, при будь-яких фiксованих значеннях
iнших змiнних ti, i \not = j;
4) \Omega (m1t1, . . . ,mdtd) \leq C
\bigl( \prod d
j=1mj
\bigr) l
\Omega (\bfitt ), mj \in \BbbN , j = 1, d, C > 0.
На функцiї \Omega (\bfitt ) при формулюваннi та доведеннi результатiв накладемо додатково умови
(S\alpha ) i (Sl) Барi – Стєчкiна [16]. Для одновимiрного випадку (t \in \BbbR +) матимемо:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОЦIНКИ ЕНТРОПIЙНИХ ЧИСЕЛ КЛАСIВ \bfitB \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1251
а) \varphi належить (S\alpha ), \varphi \geq 0, \alpha > 0, якщо функцiя \varphi (\tau )\tau - \alpha майже зростає, тобто якщо iснує
така стала C1 > 0, яка не залежить вiд \tau 1 та \tau 2, 0 < \tau 1 \leq \tau 2 \leq 1, що \varphi (\tau 1)\tau
- \alpha
1 \leq C1\varphi (\tau 2)\tau
- \alpha
2 ;
б) \varphi належить (Sl), \varphi > 0, l \in \BbbN , якщо iснує \gamma , 0 < \gamma < l, таке, що \varphi (\tau )\tau - \gamma майже
спадає, тобто iснує не залежна вiд \tau 1 та \tau 2, 0 < \tau 1 \leq \tau 2 \leq 1, стала C2 > 0 така, що
\varphi (\tau 1)\tau
- \gamma
1 \geq C2\varphi (\tau 2)\tau
- \gamma
2 .
При d > 1 будемо говорити, що \Omega (\bfitt ), \bfitt \in \BbbR d
+, задовольняє умови (S\alpha ) та (Sl), якщо \Omega (\bfitt ) як
функцiя однiєї змiнної tj , j = 1, d, задовольняє цi умови при будь-яких фiксованих значеннях
iнших змiнних ti, i \not = j.
У подальших мiркуваннях будемо використовувати декомпозицiйне зображення норми про-
сторiв B\Omega
p,\theta . Для цього нам знадобляться деякi позначення.
Отже, кожному вектору \bfits = (s1, . . . , sd) , sj \in \BbbN , j = 1, d, поставимо у вiдповiднiсть
множину
\rho (\bfits ) =
\Bigl\{
\bfitk = (k1, . . . , kd) \in \BbbZ d : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , j = 1, d
\Bigr\}
i для f \in Lp(\pi d) покладемо
\delta \bfits (f) := \delta \bfits (f,\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in \rho (\bfits )
\widehat f(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx ),
де
\widehat f(\bfitk ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(\bfitt )e - i(\bfitk ,\bfitt ) d\bfitt
— коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
У [13] встановлено, що при 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , \Omega \in (Sl) \cap (S\alpha ) \cap \Psi l,d мають мiсце
спiввiдношення
\| f\| B\Omega
p,\theta
\asymp
\left\{
\Biggl( \sum
\bfits
\bigl(
\Omega (2 - \bfits )
\bigr) - \theta \| \delta \bfits (f)\| \theta p
\Biggr) 1/\theta
, 1 \leq \theta < \infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits
\| \delta \bfits (f)\| p
\Omega (2 - \bfits )
, \theta = \infty ,
(4)
де \Omega (2 - \bfits ) = \Omega (2 - s1 , . . . , 2 - sd), sj \in \BbbN , j = 1, d.
Наведене зображення норми не охоплює випадки p = 1 та p = \infty . Тому нам знадобиться
певна модифiкацiя норми, яка дозволяє встановити подiбне до (4) зображення i для граничних
значень параметра p.
Отже, нехай Vm(x) — ядро Валле Пуссена порядку 2m - 1:
Vm(x) = 1 + 2
m\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ 2
2m - 1\sum
k=m+1
\biggl(
1 - k - m
m
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx, m \in \BbbN .
Кожному вектору \bfits = (s1, . . . , sd) \in \BbbN d поставимо у вiдповiднiсть полiном
A\bfits (\bfitx ) =
d\prod
j=1
\bigl(
V2sj (xj) - V
2sj - 1(xj)
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1252 К. В. ПОЖАРСЬКА
Зауважимо, що \| A\bfits \| 1 \leq C3, C3 > 0.
Далi, для f \in L1(\pi d) будемо позначати A\bfits (f) := A\bfits (f,\bfitx ) = (f \ast A\bfits )(\bfitx ), де \ast — операцiя
згортки.
Тодi при 1 \leq p, \theta \leq \infty , \Omega \in (Sl) \cap (S\alpha ) \cap \Psi l,d мають мiсце спiввiдношення [12, 17]
\| f\| B\Omega
p,\theta
\asymp
\left\{
\Biggl( \sum
\bfits
\bigl(
\Omega (2 - \bfits )
\bigr) - \theta \| A\bfits (f)\| \theta p
\Biggr) 1/\theta
, 1 \leq \theta < \infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits
\| A\bfits (f)\| p
\Omega (2 - \bfits )
, \theta = \infty .
(5)
Далi через B\Omega
p,\theta будемо позначати одиничнi кулi з цих просторiв, тобто множини функцiй
f \in B\Omega
p,\theta , для яких \| f\| B\Omega
p,\theta
\leq 1.
Зауважимо, що при \theta = \infty покладають B\Omega
p,\infty \equiv H\Omega
p , де класи H\Omega
p — аналоги класiв
Нiкольського H\bfitr
p (див., наприклад, [18]).
У роботi розглядаємо функцiї \Omega типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, якi мають
вигляд \Omega (\bfitt ) = \Omega (t1 . . . td) = \omega
\Bigl( \prod d
j=1
tj
\Bigr)
, де \omega \in \Psi l,d — функцiя однiєї змiнної типу модуля
неперервностi порядку l, яка задовольняє умови (S\alpha ) i (Sl) Барi – Стєчкiна.
Результати роботи будемо формулювати в термiнах порядкових спiввiдношень. Для двох
невiд’ємних послiдовностей \{ a(n)\} \infty n=1 i \{ b(n)\} \infty n=1 спiввiдношення (порядкова нерiвнiсть)
a(n) \ll b(n) означає, що iснує стала C4 > 0, не залежна вiд n, така, що a(n) \leq C4b(n).
Спiввiдношення a(n) \asymp b(n) рiвносильне тому, що a(n) \ll b(n) i b(n) \ll a(n). Зазначимо,
що сталi Ci, i = 4, 5, . . . , якi далi будуть зустрiчатися у порядкових спiввiдношеннях, можуть
залежати вiд деяких параметрiв. Цi параметри iнколи будемо вказувати, в рештi випадкiв вони
будуть зрозумiлими iз контексту.
Якщо \frakM — деяка скiнченна множина, то через | \frakM | будемо позначати кiлькiсть елементiв
цiєї множини.
2. Допомiжнi твердження. Для множини G \subset \BbbZ d через T (G) i T (G)q будемо позначати
множини тригонометричних полiномiв вигляду
T (G) =
\Biggl\{
t : t(\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in G
c\bfitk e
i(\bfitk ,\bfitx )
\Biggr\}
, T (G)q = \{ t \in T (G) : \| t\| q \leq 1\} .
Далi розглянемо множину Qn =
\bigcup
(\bfits ,\bfone )\leq n \rho (\bfits ), \bfone = (1, . . . , 1) \in \BbbN d, n \geq d, яку називають
„схiдчастим гiперболiчним хрестом” [18, с. 7]. Вiдомо [18, с. 70], що | Qn| \asymp 2nnd - 1.
Теорема А [11]. Справджується оцiнка
\varepsilon M (T (Qn)2, L\infty ) \ll
\left\{ n1/2
\bigl( \bigm| \bigm| Qn
\bigm| \bigm| M - 1
\bigr) 1/2 \bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\bigl(
4
\bigm| \bigm| Qn
\bigm| \bigm| M - 1
\bigr) \bigr) 1/2
, M \leq 2 | Qn| ,
n1/22 - M(2| Qn| ) - 1
, M \geq 2 | Qn| .
Зауважимо, що аналогiчне твердження справедливе i у випадку, коли замiсть множини Qn
розглядати множину \bigtriangleup Qn = Qn \setminus Qn - 1.
Позначимо через SQn(f) схiдчасто-гiперболiчну суму Фур’є функцiї f, тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОЦIНКИ ЕНТРОПIЙНИХ ЧИСЕЛ КЛАСIВ \bfitB \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1253
SQn(f) := SQn(f,\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in Qn
\widehat f(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx ).
Теорема Б [19]. Нехай 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty i \Omega (\bfitt ) = \omega
\Bigl( \prod d
j=1
tj
\Bigr)
, де \omega задовольняє
умову (S\alpha ) з деяким \alpha > 1/p та умову (Sl) . Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in B\Omega
p,\theta
\bigm\| \bigm\| f - SQn(f)
\bigm\| \bigm\|
\infty \asymp \omega (2 - n)2
n
p n(d - 1)(1 - 1
\theta ).
Нам також знадобиться порядкова нерiвнiсть, яка є наслiдком теореми Лiттлвуда – Пелi
(див., наприклад, [20, с. 52 – 56]).
Лема А. Нехай f \in Lp(\pi d), 1 < p < \infty . Тодi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
\bfits
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\ll
\Biggl( \sum
\bfits
\| \delta \bfits (f)\| p
\ast
p
\Biggr) 1/p\ast
, де p\ast = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 2, p\} .
3. Основнi результати. Справедливим є таке твердження.
Теорема 1. Нехай 2 \leq p \leq \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , а \Omega (\bfitt ) = \omega
\Bigl( \prod d
j=1
tj
\Bigr)
, де функцiя \omega задо-
вольняє умову (S\alpha ) з деяким \alpha > 1/2 та умову (Sl) . Тодi для будь-яких натуральних M i m
таких, що M = M(m) \asymp 2mmd - 1, виконується спiввiдношення
\varepsilon M
\bigl(
B\Omega
p,\theta , L\infty
\bigr)
\ll \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M, (6)
де a+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a, 0\} .
Доведення. З огляду на вкладення B\Omega
p,\theta \subset B\Omega
q,\theta , q < p, достатньо встановити оцiнку (6)
для p = 2. При цьому в ходi доведення розглянемо окремо випадки 1 \leq \theta \leq 2, 2 < \theta < \infty та
\theta = \infty .
Отже, нехай f \in B\Omega
2,\theta i 1 \leq \theta \leq 2. Тодi, використовуючи рiвнiсть Парсеваля та нерiвнiсть
[21, с. 43] \Biggl( \sum
l
| al| \mu 2
\Biggr) 1/\mu 2
\leq
\Biggl( \sum
l
| al| \mu 1
\Biggr) 1/\mu 1
, 1 \leq \mu 1 \leq \mu 2 < \infty ,
для n \in \BbbN , n \geq d, можемо записати\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(\bfits ,\bfone )=n
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
=
\left( \sum
(\bfits ,\bfone )=n
\| \delta \bfits (f)\| 22
\right) 1
2
\leq
\left( \sum
(\bfits ,\bfone )=n
\| \delta \bfits (f)\| \theta 2
\right) 1
\theta
= I1. (7)
Далi, врахувавши (4), продовжимо оцiнку I1 :
I1 =
\left( \sum
(\bfits ,\bfone )=n
\omega
\bigl(
2 - (\bfits ,\bfone )
\bigr) \theta
\omega
\bigl(
2 - (\bfits ,\bfone )
\bigr) - \theta \| \delta \bfits (f)\| \theta 2
\right) 1
\theta
\leq
\leq \omega (2 - n)
\Biggl( \sum
\bfits
\omega
\bigl(
2 - (\bfits ,\bfone )
\bigr) - \theta \| \delta \bfits (f)\| \theta 2
\Biggr) 1
\theta
\ll \omega (2 - n)\| f\| B\Omega
2,\theta
\leq \omega (2 - n).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1254 К. В. ПОЖАРСЬКА
Звiдси, згiдно з (7), будемо мати\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(\bfits ,\bfone )=n
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
\ll \omega
\bigl(
2 - n
\bigr)
, 1 \leq \theta \leq 2. (8)
Тепер розглянемо випадок f \in B\Omega
2,\theta i 2 < \theta < \infty . Використавши рiвнiсть Парсеваля та
нерiвнiсть Гельдера з показником \theta /2, одержимо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(\bfits ,\bfone )=n
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
=
\left( \sum
(\bfits ,\bfone )=n
\| \delta \bfits (f)\| 22
\right) 1
2
=
=
\left( \sum
(\bfits ,\bfone )=n
\Bigl(
\omega
\Bigl(
2 - (\bfits ,\bfone )
\Bigr) \Bigr) - 2
\| \delta \bfits (f)\| 22
\Bigl(
\omega
\bigl(
2 - (\bfits ,\bfone )
\bigr) \Bigr) 2\right) 1
2
\leq
\leq
\left( \sum
(\bfits ,\bfone )=n
\Bigl(
\omega
\bigl(
2 - (\bfits ,\bfone )
\bigr) \Bigr) - \theta
\| \delta \bfits (f)\| \theta 2
\right) 1
\theta
\left( \sum
(\bfits ,\bfone )=n
\Bigl(
\omega
\bigl(
2 - (\bfits ,\bfone )
\bigr) \Bigr) 2\theta
\theta - 2
\right) 1
2
- 1
\theta
= I2. (9)
Врахувавши (4), продовжимо оцiнку I2 :
I2 \ll \| f\| B\Omega
2,\theta
\left( \sum
(\bfits ,\bfone )=n
\Bigl(
\omega
\bigl(
2 - (\bfits ,\bfone )
\bigr) \Bigr) 2\theta
\theta - 2
\right) 1
2
- 1
\theta
\leq \omega (2 - n)
\left( \sum
(\bfits ,\bfone )=n
1
\right) 1
2
- 1
\theta
\ll
\ll \omega (2 - n)n(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ). (10)
Тому, спiвставивши (9) i (10), запишемо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(\bfits ,\bfone )=n
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
\ll \omega (2 - n)n(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ), 2 < \theta < \infty . (11)
Нехай тепер \theta = \infty i f \in B\Omega
2,\infty . Тодi, згiдно з (4), будемо мати\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(\bfits ,\bfone )=n
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
= \omega (2 - n)
\left( \sum
(\bfits ,\bfone )=n
\biggl( \Bigl(
\omega
\bigl(
2 - (\bfits ,\bfone )
\bigr) \Bigr) - 1
\| \delta \bfits (f)\| 2
\biggr) 2
\right) 1
2
\leq
\leq \omega (2 - n)
\left( \sum
(\bfits ,\bfone )=n
1
\right) 1
2
\asymp \omega (2 - n)n
d - 1
2 . (12)
Отже, об’єднавши (8), (11) та (12), отримаємо оцiнку\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
(\bfits ,\bfone )=n
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
\ll \omega (2 - n)n
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ , 1 \leq \theta \leq \infty . (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОЦIНКИ ЕНТРОПIЙНИХ ЧИСЕЛ КЛАСIВ \bfitB \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1255
Далi, виберемо згiдно з M число m \in \BbbN так, щоб | Qm - 1| < M \leq | Qm| . Тодi, оскiльки
| Qm| \asymp | Qm - 1| \asymp 2mmd - 1, M = M(m) \asymp 2mmd - 1.
Визначимо числа \beta та Mn таким чином:
\beta =
1
2
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{ \biggl(
\alpha - 1
2
\biggr)
;
1
2
\biggr\}
, Mn =
\left\{ C5(\beta )M \cdot 2 -
1
2
(m - n), n < m,
C5(\beta )M \cdot 2 - \beta (n - m), n \geq m,
(14)
де стала C5(\beta ) > 0 така, що
\sum \infty
n=1
Mn \leq M. Зазначимо, що пiдiбрати таку сталу C5(\beta )
можна, оскiльки, згiдно з (14),
\infty \sum
n=1
Mn =
m - 1\sum
n=1
C5(\beta )M \cdot 2 -
1
2
(m - n) +
\infty \sum
n=m
C5(\beta )M \cdot 2 - \beta (n - m) \ll M.
Нехай тепер Mn =
\bigl[
Mn
\bigr]
, де [a] — цiла частина числа a. Тодi
\sum \infty
n=1
Mn \leq M i, крiм
цього, Mn = 0, якщо C5(\beta )M \cdot 2 - \beta (n - m) < 1, тобто при
n > m1 = m+ \beta - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(C5(\beta )M). (15)
Покладемо
S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr)
=
\left\{ g : g(\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in \vartriangle Qn
\widehat f(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx ), f \in B\Omega
2,\theta
\right\} ,
\bigm\| \bigm\| S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr) \bigm\| \bigm\|
\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr) \| g\| \infty .
Тодi для ентропiйних чисел \varepsilon M
\Bigl(
B\Omega
2,\theta , L\infty
\Bigr)
можемо записати
\varepsilon M
\bigl(
B\Omega
2,\theta , L\infty
\bigr)
\leq
\sum
n
\varepsilon Mn
\bigl(
S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr)
, L\infty
\bigr)
=
=
\sum
n\leq m1
\varepsilon Mn
\bigl(
S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr)
, L\infty
\bigr)
+
\sum
n>m1
\varepsilon Mn
\bigl(
S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr)
, L\infty
\bigr)
\leq
\leq
\sum
n\leq m1
\varepsilon Mn
\bigl(
S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr)
, L\infty
\bigr)
+
\sum
n>m1
\bigm\| \bigm\| S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr) \bigm\| \bigm\|
\infty = I3 + I4. (16)
Оцiнимо спочатку доданок I4. Для цього встановимо оцiнку зверху величини
\bigm\| \bigm\| \bigm\| S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
.
Використавши властивiсть L\infty -норми, для f \in B\Omega
2,\theta отримаємо\bigm\| \bigm\| S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr) \bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\bigm\| \bigm\| SQn(f) - SQn - 1(f) + f - f
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\leq \| f - SQn(f)\| \infty +
\bigm\| \bigm\| f - SQn - 1(f)
\bigm\| \bigm\|
\infty . (17)
Врахувавши теорему Б для p = 2, iз (17) матимемо\bigm\| \bigm\| S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr) \bigm\| \bigm\|
\infty \ll \omega
\bigl(
2 - n
\bigr)
2
n
2 n(d - 1)(1 - 1
\theta ). (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1256 К. В. ПОЖАРСЬКА
Отже, беручи до уваги (18) та той факт, що функцiя \omega задовольняє умову (S\alpha ) з деяким
\alpha > 1/2, знаходимо
I4 =
\sum
n>m1
\bigm\| \bigm\| S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr) \bigm\| \bigm\|
\infty \ll
\sum
n>m1
\omega (2 - n)2
n
2 n(d - 1)(1 - 1
\theta ) =
=
\sum
n>m1>m
\omega (2 - n)
2 - \alpha n
2 - \alpha n2
n
2 n(d - 1)(1 - 1
\theta ) \ll \omega (2 - m)
2 - \alpha m
\sum
n>m1
2n(
1
2
- \alpha )n(d - 1)(1 - 1
\theta ) \ll
\ll \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
2\alpha m2m1( 1
2
- \alpha )m
(d - 1)(1 - 1
\theta )
1 . (19)
Оскiльки M = M(m) \asymp 2mmd - 1, то iз (15) робимо висновок, що m1 \asymp m+\beta - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\bigl(
C5(\beta )\times
\times 2mmd - 1
\bigr)
\ll m, i тому з (19) отримуємо
I4 \ll \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
2\alpha m2m1( 1
2
- \alpha )m(d - 1)(1 - 1
\theta ). (20)
Далi розглянемо два випадки: 1/2 < \alpha < 1 та \alpha \geq 1.
Нехай 1/2 < \alpha < 1. Тодi, згiдно з (14) та (15), одержуємо
\beta =
1
2
\biggl(
\alpha - 1
2
\biggr)
=
2\alpha - 1
4
, m1 = m+
4
2\alpha - 1
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(C5(\beta )M).
Пiдставляючи у праву частину спiввiдношення (20) значення m1 та враховуючи, що M =
= M(m) \asymp 2mmd - 1, маємо
I4 \ll \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
2\alpha m2m(
1
2
- \alpha )M
4
2\alpha - 1(
1
2
- \alpha )m(d - 1)(1 - 1
\theta ) = \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
2
m
2 M - 2m(d - 1)(1 - 1
\theta ) \asymp
\asymp \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
2
- 3m
2 m - (d - 1)(1+ 1
\theta ) \ll \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
m
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ . (21)
Нехай тепер \alpha \geq 1. Тодi \beta = 1/4 i, вiдповiдно, m1 = m + \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(C5(\beta )M)4. Звiдси з
урахуванням спiввiдношення (20) отримаємо
I4 \ll \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
2\alpha m2m(
1
2
- \alpha )M4( 1
2
- \alpha )m(d - 1)(1 - 1
\theta ) =
= \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
2
m
2 M4( 1
2
- \alpha )m(d - 1)(1 - 1
\theta ) \asymp
\asymp \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
2
m
2 2m(2 - 4\alpha )m(d - 1)(2 - 4\alpha )m(d - 1)(1 - 1
\theta ) \ll \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
m
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ . (22)
Об’єднавши (22), (21) та (20), запишемо оцiнку для I4 :
I4 \ll \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
m
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ . (23)
Оцiнимо тепер доданок I3. З цiєю метою запишемо його у виглядi
I3 =
\sum
n\leq m1
\varepsilon Mn
\bigl(
S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr)
, L\infty
\bigr)
=
=
\sum
n\leq m
\varepsilon Mn
\bigl(
S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr)
, L\infty
\bigr)
+
\sum
m<n\leq m1
\varepsilon Mn
\bigl(
S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr)
, L\infty
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОЦIНКИ ЕНТРОПIЙНИХ ЧИСЕЛ КЛАСIВ \bfitB \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1257
Беручи до уваги означення множини T (\bigtriangleup Qn)2 i частинних сум S\vartriangle Qn
\bigl(
B\Omega
2,\theta
\bigr)
та спiввiдношення
(13), отримуємо
I3 \ll
\sum
n\leq m
\varepsilon Mn (T (\bigtriangleup Qn)2 , L\infty )\omega (2 - n)n
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )++
+
\sum
m<n\leq m1
\varepsilon Mn (T (\bigtriangleup Qn)2 , L\infty )\omega (2 - n)n
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ = I5 + I6. (24)
Далi, скористаємося для оцiнки кожного з доданкiв I5 та I6 теоремою A.
Отже, оскiльки для n \leq m Mn =
\Bigl[
C5(\beta )M2 -
1
2
(m - n)
\Bigr]
, а M = M(m) \asymp 2mmd - 1, | Qn| \asymp
\asymp 2nnd - 1, то
Mn \asymp 2mmd - 12 -
m
2 2
n
2 = 2
n+m
2 md - 1 \geq 2| Qn| \asymp 2nnd - 1.
Тому для I5 можемо записати
I5 \ll
\sum
n\leq m
n
1
2 2 - Mn(2| \vartriangle Qn| ) - 1
\omega (2 - n)n
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ \ll
\ll
\sum
n\leq m
n
1
2 2 - C5(\beta )M2 -
1
2 (m - n)2 - (n+1)n - (d - 1)
\omega (2 - n)n
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ \ll
\ll
\sum
n\leq m
n
1
2\omega (2 - n)n
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ . (25)
Звiдси, враховуючи, що функцiя \omega задовольняє умову (Sl), отримуємо
I5 \ll
\sum
n\leq m
\omega (2 - n)
2 - \gamma n
2 - \gamma nn
1
2n
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ \ll \omega (2 - m)
2 - \gamma m
\sum
n\leq m
2 - \gamma nn
1
2n
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ \ll
\ll \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
m
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+m
1
2 . (26)
Перейдемо тепер до оцiнки I6. Використовуючи теорему A для Mn =
\bigl[
C5(\beta )M \times
\times 2 - \beta (n - m)
\bigr]
\leq 2| \bigtriangleup Qn| , одержуємо
I6 \ll
\sum
m<n\leq m1
n
1
2 | \bigtriangleup Qn|
1
2M
- 1
2
n
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\bigl(
4| \bigtriangleup Qn| M - 1
n
\bigr) \bigr) 1
2 \omega (2 - n)n
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ \asymp
\asymp
\sum
m<n\leq m1
n
1
2 2
n
2 n
d - 1
2 M - 1
2 2
1
2
\beta (n - m)
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
4 \cdot 2nnd - 1
C5(\beta )M2 - \beta (n - m)
\biggr) 1
2
\omega (2 - n)n
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ \asymp
\asymp
\sum
m<n\leq m1
\omega (2 - n)
2 - \alpha n
2 - \alpha n2
n
2 2
1
2
\beta (n - m)2 -
m
2 m - d - 1
2 n
d - 1
2 n
1
2n
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+\times
\times
\Biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
4 \cdot 2n(1+\beta )nd - 1
2m(1+\beta )md - 1
\Biggr) 1
2
= I7. (27)
Далi, враховуючи, що функцiя \omega задовольняє умову (S\alpha ) з деяким \alpha > 1/2, а
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1258 К. В. ПОЖАРСЬКА
\beta =
1
2
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{ \biggl(
\alpha - 1
2
\biggr)
;
1
2
\biggr\}
,
можемо записати
I7 \ll
\omega (2 - m)
2 - \alpha m
\sum
m<n\leq m1
2n(
1
2
- \alpha + 1
2
\beta )2 -
1
2
m(1+\beta )m - d - 1
2 n
d - 1
2 n
1
2n
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+\times
\times
\Biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
4 \cdot 2n(1+\beta )nd - 1
2m(1+\beta )md - 1
\Biggr) 1
2
\ll \omega (2 - m)
2 - \alpha m
2m(
1
2
- \alpha + 1
2
\beta )2 -
1
2
m(1+\beta )m
1
2m
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+ =
= \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
m
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+m
1
2 . (28)
Об’єднуючи (26), (27), (28) iз (24), приходимо до оцiнки
I3 \ll \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
m
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+m
1
2 . (29)
Нарештi, спiвставляючи оцiнки (29), (23) i (16) та враховуючи, що M = M(m) \asymp 2mmd - 1,
отримуємо шукану оцiнку зверху:
\varepsilon M
\bigl(
B\Omega
2,\theta , L\infty
\bigr)
\ll \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
m
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+m
1
2 \asymp
\asymp \omega
\bigl(
2 - m
\bigr)
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)
(d - 1)( 1
2
- 1
\theta )+
\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 1. Для класiв Бєсова B\bfitr
p,\theta при 1 \leq \theta < \infty результати, вiдповiднi теоремi 1,
встановлено у роботi А. С. Романюка [9], а для класiв Нiкольського H\bfitr
p — у роботi Е. С. Белiн-
ського [7].
Далi встановимо оцiнку знизу ентропiйних чисел класiв B\Omega
\infty ,\theta , 1 \leq \theta \leq \infty , у метрицi
простору L1. Введемо необхiднi позначення. Отже, нехай для \bfits = (s1, . . . , sd) \in \BbbN d
\rho (\bfits ) =
\Bigl\{
\bfitk = (k1, . . . , kd) \in \BbbZ d : 2sj - 1 \leq kj < 2sj , j = 1, d
\Bigr\}
,
\Omega \ast
n =
\Bigl\{
\bfits = (s1, . . . , sd) \in \BbbN d : (\bfits ,\bfone ) = n, n \geq d, n, sj - парнi числа, j = 1, d
\Bigr\}
,
Q\prime
n =
\bigcup
s\in \Omega \ast
n
\rho (\bfits ), T (\rho (\bfits )) =
\Biggl\{
t : t(\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in \rho (\bfits )
\widehat t(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx )\Biggr\} .
Легко бачити, що при sj \geq 2, j = 1, d, для кожного полiнома t \in T (\rho (\bfits )) iснує полiном t1
степеня 2sj - 2 за змiнною xj , j = 1, d, такий, що t(\bfitx ) = ei(\bfitk
\bfits ,\bfitx )t1(\bfitx ), де \bfitk \bfits = (ks11 , . . . , ksdd ),
k
sj
j = 2sj - 1 + 2sj - 2, j = 1, d.
Нехай далi \bfitl = (l1, . . . , ld), lj \in \BbbZ +, j = 1, d. Розглянемо множини дiйсних тригонометрич-
них полiномiв
RT (\bfitl ) =
\Biggl\{
t : t(\bfitx ) =
\sum
| kj | \leq lj
j=1,d
\widehat t(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx )\Biggr\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОЦIНКИ ЕНТРОПIЙНИХ ЧИСЕЛ КЛАСIВ \bfitB \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1259
T \prime (\rho (\bfits )) =
\Bigl\{
t : t(\bfitx ) = ei(\bfitk
\bfits ,\bfitx )t1(\bfitx ), t1 \in RT (2\bfits - 2)
\Bigr\}
,
T \prime (Q\prime
n) =
\Bigl\{
t : t(\bfitx ) =
\sum
\bfits \in \Omega \ast
n
ei(\bfitk
\bfits ,\bfitx )t1\bfits (\bfitx ), t1\bfits \in RT (2\bfits - 2)
\Bigr\}
.
Справедливою є така теорема.
Теорема 2. Нехай 1 \leq \theta \leq \infty , а \Omega (\bfitt ) = \omega
\bigl( \prod d
j=1 tj
\bigr)
, де функцiя \omega задовольняє умову
(S\alpha ) з деяким \alpha > 0 та умову (Sl) . Тодi для будь-яких натуральних M i n таких, що
M = M(n) \asymp 2nnd - 1, справджується оцiнка
\varepsilon M
\bigl(
B\Omega
\infty ,\theta , L1
\bigr)
\gg \omega (2 - n)(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ). (30)
Доведення. Встановимо спочатку оцiнку знизу величини \varepsilon M
\Bigl(
B\Omega
\infty ,\theta , L2
\Bigr)
. Для цього ви-
користаємо множину тригонометричних полiномiв
T \prime \bigl( Q\prime
n
\bigr)
\infty =
\bigl\{
t \in T \prime \bigl( Q\prime
n
\bigr)
: \| t1s\| \infty \leq 1
\bigr\}
,
запропоновану В. М. Темляковим [3].
Для f \in L2(\pi d) визначимо функцiї
fR
n (\bfitx ) =
\sum
\bfits \in \Omega \ast
n
ei(\bfitk
\bfits ,\bfitx )\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
\delta \bfits (f,\bfitx )e
- i(\bfitk \bfits ,\bfitx )
\Bigr)
,
f I
n(\bfitx ) =
\sum
\bfits \in \Omega \ast
n
ei(\bfitk
\bfits ,\bfitx ) \mathrm{I}\mathrm{m}
\Bigl(
\delta \bfits (f,\bfitx )e
- i(\bfitk \bfits ,\bfitx )
\Bigr)
,
де
\delta \bfits (f) := \delta \bfits (f,\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in \rho (\bfits )
\widehat f(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx ).
Тодi fR
n \in T \prime (Q\prime
n) i для полiнома t \in T \prime (Q\prime
n) можемо записати
\| f - t\| 22 \geq
\bigm\| \bigm\| fR
n + if I
n - t
\bigm\| \bigm\| 2
2
=
=
\sum
\bfits \in \Omega \ast
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| t1\bfits - \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
\delta \bfits (f)e
- i(\bfitk \bfits ,\bfitx )
\Bigr)
- i \mathrm{I}\mathrm{m}
\Bigl(
\delta \bfits (f)e
- i(\bfitk \bfits ,\bfitx )
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
2
\geq
\bigm\| \bigm\| t - fR
n
\bigm\| \bigm\| 2
2
. (31)
Отже, згiдно з (31), не зменшуючи загальностi можна вважати, що елементи \varepsilon -сiтки множини
T \prime (Q\prime
n)\infty в L2 належать T \prime (Q\prime
n) .
В [3] було встановлено оцiнку
\varepsilon M
\bigl(
T \prime \bigl( Q\prime
n
\bigr)
\infty , L2
\bigr)
\gg | \Omega \ast
n|
1
2 . (32)
Щоб скористатися оцiнкою (32), покажемо, що функцiї f з множини C6T
\prime (Q\prime
n)\infty \omega (2 - n)n - d - 1
\theta
з деякою сталою C6 > 0 належать класу B\Omega
\infty ,\theta , 1 \leq \theta \leq \infty . Оцiнимо норму \| g\| B\Omega
\infty ,\theta
,
g \in T \prime (Q\prime
n)\infty .
Спочатку розглянемо випадок 1 \leq \theta < \infty . Згiдно з (5) та властивiстю згортки, одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1260 К. В. ПОЖАРСЬКА
\| g\| B\Omega
\infty ,\theta
\asymp
\left( \sum
\bfits \in \Omega \ast
n
\Bigl(
\omega
\Bigl(
2 - (\bfits ,\bfone )
\Bigr) \Bigr) - \theta
\| A\bfits (g)\| \theta \infty
\right) 1
\theta
\leq
\leq
\bigl(
\omega (2 - n)
\bigr) - 1
\Biggl( \sum
\bfits \in \Omega \ast
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\bfits \ast
\sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\delta \bfits \prime (g)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\theta
\infty
\Biggr) 1
\theta
\leq
\leq
\bigl(
\omega (2 - n)
\bigr) - 1
\Biggl( \sum
\bfits \in \Omega \ast
n
\| A\bfits \| \theta 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\delta \bfits \prime (g))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \theta
\infty
\Biggr) 1
\theta
\ll
\ll
\bigl(
\omega (2 - n)
\bigr) - 1
\Biggl( \sum
\bfits \in \Omega \ast
n
1
\Biggr) 1
\theta
\asymp
\bigl(
\omega (2 - n)
\bigr) - 1
n
d - 1
\theta . (33)
Нехай тепер \theta = \infty . Тодi для \| g\| B\Omega
\infty ,\infty
, повторюючи мiркування, використанi при встанов-
леннi оцiнки (33), можемо записати
\| g\| B\Omega
\infty ,\infty
\asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \in \Omega \ast
n
\| A\bfits (g)\| \infty
\omega
\bigl(
2 - (\bfits ,\bfone )
\bigr) =
\bigl(
\omega (2 - n)
\bigr) - 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \in \Omega \ast
n
\| A\bfits (g)\| \infty \ll
\ll
\bigl(
\omega (2 - n)
\bigr) - 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \in \Omega \ast
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\delta \bfits \prime (g)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\bigl(
\omega (2 - n)
\bigr) - 1
. (34)
Отже, згiдно з (33) та (34), функцiя f(\bfitx ) = C6\omega (2
- n)n - d - 1
\theta g(\bfitx ), g \in T \prime (Q\prime
n)\infty , належить
класу B\Omega
\infty ,\theta , 1 \leq \theta \leq \infty .
Таким чином, скориставшись оцiнкою (32) i врахувавши, що | \Omega \ast
n|
1
2 \asymp n
d - 1
2 , отримаємо
\varepsilon M
\bigl(
B\Omega
\infty ,\theta , L2
\bigr)
\gg \varepsilon M
\Bigl(
T \prime \bigl( Q\prime
n
\bigr)
\infty \omega (2 - n)n - d - 1
\theta , L2
\Bigr)
\gg \omega (2 - n)n - d - 1
\theta n
d - 1
2 =
= \omega (2 - n)n(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ). (35)
Тепер перейдемо до встановлення оцiнки величини \varepsilon M
\Bigl(
B\Omega
\infty ,\theta , L1
\Bigr)
. Iз (35) робимо висно-
вок, що в C6T
\prime (Q\prime
n)\infty \omega (2 - n)n - d - 1
\theta знайдеться 2M функцiй fi таких, що
\| fi - fj\| 2 \gg \omega (2 - n)n(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ), i \not = j, i, j = 1, 2M . (36)
Покажемо, що при цьому буде справедливою оцiнка
\| fi - fj\| 1 \gg \omega (2 - n)n(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ), i \not = j, i, j = 1, 2M .
Дiйсно, використовуючи нерiвнiсть [22]
\| f\| a \leq \| f\| \nu 1\| f\| 1 - \nu
b , f \in Lb, 1 < a < b, \nu =
\bigl(
a - 1 - b - 1
\bigr) \bigl(
1 - b - 1
\bigr) - 1
,
у випадку a = 2, b = 4 отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОЦIНКИ ЕНТРОПIЙНИХ ЧИСЕЛ КЛАСIВ \bfitB \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1261
\| fi - fj\| 1/31 \geq \| fi - fj\| 2\| fi - fj\| - 2/3
4 , i \not = j, i, j = 1, 2M . (37)
Далi, розглянемо набiр функцiй fi(\bfitx ) = \omega (2 - n)n - d - 1
\theta \varphi i(\bfitx ), i = 1, 2M , де \varphi i належать
T \prime (Q\prime
n)\infty . Тодi для fi та fj , i \not = j, i, j = 1, 2M , використовуючи лему A, одержуємо
\| fi - fj\| 4 \ll
\left( \sum
\bfits \in \Omega \ast
n
\| \delta \bfits ((fi - fj))\| 24
\right) 1
2
\ll
\ll \omega (2 - n)n - d - 1
\theta
\left( \sum
\bfits \in \Omega \ast
n
\| \delta \bfits (\varphi i - \varphi j)\| 24
\right) 1
2
\leq
\leq \omega (2 - n)n - d - 1
\theta
\left( \sum
\bfits \in \Omega \ast
n
(\| \delta \bfits (\varphi i)\| \infty + \| \delta \bfits (\varphi j)\| \infty )2
\right) 1
2
\ll
\ll \omega (2 - n)n - d - 1
\theta
\left( \sum
\bfits \in \Omega \ast
n
1
\right) 1
2
\asymp \omega (2 - n)n - d - 1
\theta n
d - 1
2 = \omega (2 - n)n(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ). (38)
Спiвставляючи (36), (38) i (37) та враховуючи, що M = M(n) \asymp 2nnd - 1, маємо
\| fi - fj\| 1 \gg \omega (2 - n)(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ).
Тому справедливою є оцiнка
\varepsilon M
\bigl(
B\Omega
\infty ,\theta , L1
\bigr)
\gg \omega (2 - n)(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ).
Теорему 2 доведено.
Зауваження 2. Для класiв Бєсова B\bfitr
p,\theta вiдповiднi теоремi 2 результати встановлено у ро-
ботi А. С. Романюка [9], а для класiв Нiкольського H\bfitr
p — у роботi В. М. Темлякова [3].
Покажемо тепер, що оцiнка з теореми 1 у загальному випадку є непокращуваною. З цiєю
метою встановимо у двовимiрному випадку точнi за порядком оцiнки ентропiйних чисел класiв
B\Omega
p,\theta , 2 \leq p \leq \infty , у просторi L\infty .
Справедливим є таке твердження.
Теорема 3. Нехай d = 2, 2 \leq p \leq \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , а \Omega (\bfitt ) = \omega
\Bigl( \prod d
j=1 tj
\Bigr)
, де функцiя \omega
задовольняє умову (S\alpha ) з деяким \alpha > 1/2 i умову (Sl) . Тодi для будь-яких натуральних M i n
таких, що M = M(n) \asymp 2nn, виконується спiввiдношення
\varepsilon M
\bigl(
B\Omega
p,\theta , L\infty
\bigr)
\asymp \omega (2 - n)(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)1 -
1
\theta . (39)
Доведення. Оцiнка зверху в (39) випливає безпосередньо з теореми 1, якщо у (30) покласти
d = 2.
Оцiнку знизу достатньо довести для класу B\Omega
\infty ,\theta , оскiльки B\Omega
\infty ,\theta \subset B\Omega
p,\theta , 1 \leq p < \infty .
Насамперед означимо для парних n такi множини:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1262 К. В. ПОЖАРСЬКА
Sn = \{ \bfits : \bfits = (2n1, 2n2), n1 + n2 = n/2\} , Dn =
\bigcup
\bfits \in Sn
\rho (\bfits ).
Зазначимо, що при d = 2 Sn = \Omega \ast
n, Dn = Q\prime
n i | Dn| \asymp 2nn.
Далi розглянемо набiр функцiй \{ fn
i \}
An
i=1 , An \geq | Dn| /2, якi є тригонометричними полiно-
мами з гармонiками iз множини Dn та мають такi властивостi:
\| \delta \bfits (fn
i )\| \infty \leq 1, i = 1, An, \bfits \in Sn, (40)
\| fn
i - fn
j \| \infty \geq C7n, i \not = j, i, j = 1, An, C7 > 0. (41)
Функцiї \{ fn
i \}
An
i=1 були введенi В. М. Темляковим [6] при встановленнi оцiнок знизу ентропiйних
чисел класiв Нiкольського H\bfitr
\infty .
Оцiнимо \| fn
i \| B\Omega
\infty ,\theta
. Повторивши мiркування, використанi при встановленнi (33), (34), та
врахувавши (40), отримаємо:
при 1 \leq \theta < \infty
\| fn
i \| B\Omega
\infty ,\theta
\leq
\bigl(
\omega (2 - n)
\bigr) - 1
\left( \sum
\bfits \in Sn
\| A\bfits \| \theta 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\delta \bfits \prime (f
n
i ))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\theta
\infty
\right)
1
\theta
\ll
\ll
\bigl(
\omega (2 - n)
\bigr) - 1
\left( \sum
\bfits \in Sn
\sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\| \delta \bfits \prime (fn
i ))\|
\theta
\infty
\right) 1
\theta
\asymp
\bigl(
\omega (2 - n)
\bigr) - 1
n
1
\theta ,
i, вiдповiдно, при \theta = \infty
\| fn
i \| B\Omega
\infty ,\infty
\ll
\bigl(
\omega (2 - n)
\bigr) - 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \in Sn
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\| \delta \bfits \prime (fn
i )\| \infty \leq
\bigl(
\omega (2 - n)
\bigr) - 1
.
Отже, функцiї з множини\Bigl\{
C8 \omega (2
- n)n - 1
\theta fn
i
\Bigr\} An
i=1
, C8 > 0,
належать класу B\Omega
\infty ,\theta , 1 \leq \theta \leq \infty .
Покладемо M = M(n) = | Dn| \asymp 2nn. Тодi, згiдно з (3) та (41), будемо мати
\varepsilon M
\bigl(
B\Omega
p,\theta , L\infty
\bigr)
\gg \varepsilon M
\bigl(
B\Omega
\infty ,\theta , L\infty
\bigr)
\gg \omega (2 - n)n1 - 1
\theta \asymp \omega (2 - n)(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)1 -
1
\theta .
Теорему 3 доведено.
Зауваження 3. Для класiв Нiкольського H\bfitr
p оцiнка знизу величини \varepsilon M
\bigl(
H\bfitr
p , L\infty
\bigr)
випливає
iз результату В. М. Темлякова [6], а оцiнку зверху встановлено Е. С. Белiнським [7].
Лiтература
1. Колмогоров А. Н., Тихомиров В. М. \varepsilon -Энтропия и \varepsilon -емкость множеств в функциональных пространствах //
Успехи мат. наук. – 1959. – 14, № 2. – C. 3 – 86.
2. Höllig K. Diameters of classes of smooth functions // Quant. Approxim. – New York: Acad. Press, 1980. – P. 163 – 176.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ОЦIНКИ ЕНТРОПIЙНИХ ЧИСЕЛ КЛАСIВ \bfitB \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1263
3. Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производ-
ной или разностью // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 189. – С. 138 – 168.
4. Belinskii E. S. Approximation of functions of several variables by trigonometric polinomials with given number of
harmonics, and estimates of \varepsilon -entropy // Anal. Math. – 1989. – 15. – P. 67 – 74.
5. Кашин Б. С., Темляков В. Н. О наилучших m-членных приближениях и энтропии множеств в пространстве
L1 // Мат. заметки. – 1994. – 56, № 5. – С. 57 – 86.
6. Temlyakov V. N. An inequality for trigonometric polynomials and its application for estimating the entropy numbers //
J. Complexity. – 1995. – 11. – P. 293 – 307.
7. Belinskii E. S. Estimates of entropy numbers and Gaussian measures for classes of functions with bounded mixed
derivative // J. Approxim. Theory. – 1998. – 93. – P. 114 – 127.
8. Temlyakov V. N. An inequality for the entropy numbers and its application // J. Approxim. Theory. – 2013. – 173. –
P. 110 – 121.
9. Романюк А. С. Оценки энтропийных чисел и колмогоровских поперечников классов Никольского – Бесова
периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 11. – C. 1540 – 1556.
10. Dung D., Temlyakov V. N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation, arXiv: 1601.03978v3.
11. Temlyakov V. N. On the entropy numbers of the mixed smoothness function classes // J. Approxim. Theory. – 2017. –
217. – P. 26 – 56.
12. Пустовойтов Н. Н. Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным
модулем непрерывности // Anal. Math. – 1994. – 20, № 2. – P. 35 – 48.
13. Yongsheng S., Heping W. Representation and approximation of multivariate periodic functions with bounded mixed
moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1997. – 219. – С. 356 – 377.
14. Аманов Т. И. Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S
(r)
p,\theta B(\BbbR n) и S
(r)\ast
p,\theta B
(0 \leq xj \leq 2\pi ; j = 1, . . . , n) // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 77. – С. 5 – 34.
15. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – С. 143 – 161.
16. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функ-
ций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 483 – 522.
17. Стасюк С. А., Федуник О. В. Апроксимативнi характеристики класiв B\Omega
p,\theta перiодичних функцiй багатьох
змiнних // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 5. – С. 692 – 704.
18. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – C. 1 – 112.
19. Стасюк С. А. Наближення класiв B\Omega
p,\theta перiодичних функцiй багатьох змiнних у рiвномiрнiй метрицi // Укр.
мат. журн. – 2002. – 54, № 11. – С. 1551 – 1559.
20. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1977. – 456 с.
21. Харди Г., Литтлвуд И. Е., Пойа Дж. Неравенства. — М.: Изд-во иностр. лит., 1948. – 456 с.
22. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. — М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 с.
Одержано 18.12.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1631 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:29Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/68/c7d1557709aa9cfe94f55d2746dbd568.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16312019-12-05T09:21:25Z Estimates for the entropy numbers of the classes $B_{p,θ}^{Ω}$ of periodic multivariate functions in the uniform metric Оцінки ентропійних чисел класів $B_{p,θ}^{Ω}$ періодичних функцій багатьох змінних у рівномірній метриці Pozhars’ka, K. V. Пожарська, К. В. We establish order estimates for the entropy numbers of the classes $B_{p,θ}^{Ω}$ of periodic multivariate functions in the uniform metric. For the proper choice of the functions $\Omega$, these classes coincide with the Nikol’skii – Besov classes $B_{p,θ}^{r}$. Отримано порядковi оцiнки ентропiйних чисел класiв $B_{p,θ}^{Ω}$ перiодичних функцiй багатьох змiнних у рiвномiрнiй метрицi. Цi класи при певному виборi функцiї $\Omega$ збiгаються iз класами Нiкольського – Бєсова $B_{p,θ}^{r}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1631 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 9 (2018); 1249-1263 Український математичний журнал; Том 70 № 9 (2018); 1249-1263 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1631/613 Copyright (c) 2018 Pozhars’ka K. V. |
| spellingShingle | Pozhars’ka, K. V. Пожарська, К. В. Estimates for the entropy numbers of the classes $B_{p,θ}^{Ω}$ of periodic multivariate functions in the uniform metric |
| title | Estimates for the entropy numbers of the classes $B_{p,θ}^{Ω}$ of periodic multivariate functions in the uniform metric |
| title_alt | Оцінки ентропійних чисел класів $B_{p,θ}^{Ω}$ періодичних функцій багатьох змінних у рівномірній метриці |
| title_full | Estimates for the entropy numbers of the classes $B_{p,θ}^{Ω}$ of periodic multivariate functions in the uniform metric |
| title_fullStr | Estimates for the entropy numbers of the classes $B_{p,θ}^{Ω}$ of periodic multivariate functions in the uniform metric |
| title_full_unstemmed | Estimates for the entropy numbers of the classes $B_{p,θ}^{Ω}$ of periodic multivariate functions in the uniform metric |
| title_short | Estimates for the entropy numbers of the classes $B_{p,θ}^{Ω}$ of periodic multivariate functions in the uniform metric |
| title_sort | estimates for the entropy numbers of the classes $b_{p,θ}^{ω}$ of periodic multivariate functions in the uniform metric |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1631 |
| work_keys_str_mv | AT pozharskakv estimatesfortheentropynumbersoftheclassesbpthōofperiodicmultivariatefunctionsintheuniformmetric AT požarsʹkakv estimatesfortheentropynumbersoftheclassesbpthōofperiodicmultivariatefunctionsintheuniformmetric AT pozharskakv ocínkientropíjnihčiselklasívbpthōperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihurívnomírníjmetricí AT požarsʹkakv ocínkientropíjnihčiselklasívbpthōperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihurívnomírníjmetricí |